3.vectores en el plano

3.1. Sistemas de referencia 3.2. Funciones y gráficas 3.3. Resolución de triángulos rectángulos 3.4. Magnitudes escalares y vectoriales 3.5. Vectores en el plano 3.6. Formas de expresión y transformaciones05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMAS DE REFERENCIAAquello a lo que nos vamos a referir para determinar la posición de un objeto SISTEMA UNIDIMENSIONAL Constituido por una recta, un origen y un sentido positivo y negativo. Y P -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P (x) P (5) Y (-2) Relación biunívoca (uno a uno), para cada valor hay uno y solo un punto en la recta y viceversa05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMA BIDIMENSIONALSISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES Y (+) 2do CUADRANTE 1er CUADRANTE (-) o X (+) 3er CUADRANTE 4to CUADRANTE (-)La posición de un punto en el plano queda determinado por un par de númerosordenados (x, y), llamados coordenadas rectangulares que corresponden a laintersección de una abscisa (x) y una ordenada (y).También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el planoy viceversaEjemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el planoA(5,1) B(-4,4) C(2,-4) D(-1,-3) E(4,-6) F(7,3)G(-5,-5) H(-3,6) I(4,0) J(0,2) K(-6,0) L(0,-2) 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

L a representación en el sistema de Determine que coordenadas rectangulares representan loscoordenadas rectangulares es: siguientes puntos: H A B B F J A C K D I E L F D G C G H E I J05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARESEje numérico de referencia X denominado eje polar La posición de un punto queda determinada por un par ordenado (r, Φ), donde: r es el radio vector y representa la distancia positiva del origen al punto y, Φ es el ángulo polar y representa la medida del ángulo desde el eje r polar hasta el radio vector, Φ medido en sentido antihorario. o X (0°) También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Ejemplo: Determinar que coordenadas polares representan los siguientes puntos: Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes puntos en el plano A y 15m B A(50 km,120°) 40° B(20km,330°) 60° 10m C(40km,45°) C 5m 40° D(30km,220°) x 45° E(10km,180°) D 7m 12m 20° E05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRAFICAS Dos ejes perpendiculares entre sí, éstos dividen al plano en los cuatro puntos cardinales. La posición de un punto queda determinada por N un par ordenado (r, rumbo), donde: r representa la distancia positiva del origen al O E punto y, rumbo representa la dirección medida a partir del Norte o Sur. s También hay una relación biunívoca entre un par ordenado y un punto en el plano y viceversa05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Ejemplo 2: Determinar que coordenadas geográficas representan los siguientes puntos: Ejemplo 1: Representar la posición de los siguientes N puntos en el plano: A A(10kgf, S40°O) 100km B(4kgf,N30°E) B 40° 80km 120km C C(8kgf,S20°E) O 10° 15° E D(6kgf,N60°O) 45° 60km E(12kgf,SE) 70km 70° D F(5kgf, O) E s05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

SISTEMA TRIDIMENSIONAL Esta constituido por tres ejes perpendiculares que se cortan entre sí, un origen. y El espacio se ha dividido en 8 partes (octeto). Este sistema sirve para ubicar puntos en el espacio. Para ubicar un punto se necesita tres valores (terna ordenada): x P (x, y, z) z05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FUNCIONES Y GRAFICAS FUNCION.- Al estudiar los fenómenos que se producen en la naturaleza, se comprueban que en ellos, generalmente hay dos (o más) magnitudes relacionadas entre sí. Esto significa que al variar una de las magnitudes, la otra también cambia.  EJEMPLOS  1. La longitud de un tramo de riel de acero aumenta cuando se eleva su temperatura.  2. La fuerza que un imán ejerce sobre un clavo disminuye cuando aumentamos la distancia entre ambos, etc. Cuando esto sucede, es decir, cuando las magnitudes están relacionadas, decimos que una es función de la otra. Así la longitud del riel es función de su temperatura, y la fuerza que el imán ejerce sobre el clavo es también función de su distancia05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Se dice que una magnitud y (llamada variabledependiente) es una función de otra magnitud x(llamada variable independiente), cuando su valor esdeterminado por el valor de la x. Una función se escribirá simbólicamente: y = f(x) Y = 3X Y = 2X3 + 5 Y = X2 Toda ecuación es función pero no toda función es ecuación. GRAFICOS Es la representación lineal de una función en un sistema de coordenadas rectangulares. Tiene una relación de indicativo.05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FUNCION DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es constante, de modo que al aumentar una, la otra también aumenta (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente. Si x e y son dos magnitudes directamente proporcionales, debe cumplirse que: y k o y kx x Esto significa que: y es directamente proporcional a x. Constante de proporcionalidad Se llama así al cociente entre las dos magnitudes (k)05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJEMPLOS 1. Una persona al recoger el agua que sale de una manguera, obtiene los siguientes datos: En 5 segundos (s) recoge 15 litros (lt) En 10 s recoge 30 lt En 30 s recoge 90 lt, etc. a) Podemos decir que hay una proporción directa entre el volumen de agua y el tiempo empleado en la operación. Si 15l 30l 90l 5s 10s 30s b) ¿Cuál es el valor de la constante de proporcionalidad entre las magnitudes? 15l L TAMBIÉN k k 3 5s S05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

2. Al soltar un cuerpo desde cierta altura obtuvimos lossiguientes datos: En un tiempo t1 = 1 s recorrió una distancia d1 = 5 m En un tiempo t2 = 2 s recorrió una distancia d2 = 20 m En un tiempo t3 = 3 s recorrió una distancia d3 = 45 m ¿Podemos decir que la distancia recorrida d es directamente proporcional al tiempo de caída t? 5m 20m 45m No 1s 2s 3s Por tanto en este caso la distancia no es directamente proporcional al tiempo.05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR UNA FUNCIÓN  Paso 1. Se elabora una tabla de datos, que se disponen en forma de tablero a dos columnas o filas.  Paso 2. Para cada par de la tabla de datos, se dibuja, en el plano un punto.  Paso 3. Se unen estos puntos por una línea de curvatura suave. EJEMPLOS:  1. Al graficar la función y = ax obtenemos una recta que pasa por el origen, por lo que se dice que es una relación de proporcionalidad directa.  El coeficiente a se llama pendiente (m = constante) y da la inclinación de la recta con respecto a los ejes.05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Si a es + la recta esta en loscuadrantes 1 y 3 Si a es – la recta esta en los cuadrantes 2 y 405 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Al graficar la función y = ax + b; obtenemos una recta, tambiénnos indica una relación de proporcionalidad directa.El término b da el desplazamiento (sobre el eje y) del origen a larecta Si b es + el desplazamiento es hacia Si b es – el desplazamiento es arriba hacia abajo +b -b05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Deducción de ecuaciones lineales Y 4 8 16 40 X 1 2 4 10 Y 6 10 18 14 X 1 2 4 3 Y 3 4 10 X 1 2 8 y 2 0 -4 x 5 3 -1

Deducción de ecuaciones lineales Y 7 21 70 X 1 3 10y 2 5 9x 6 15 27y 1 4 10x 0 1 3y -12 -2 18x -2 0 4

PROPORCIÓN INVERSA. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando su producto es constante, de modo que al aumentar una, la otra disminuye (en el mismo orden de magnitud) y recíprocamente. o k xy k y x Esto significa que: y es inversamente proporcional a x.05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJEMPLOS 1. Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180km entre una ciudad y otra. Sea x la velocidad del auto e y el tiempo transcurrido en el viaje, es fácil concluir que:  Si x = 30km/h  y = 6h  Si x = 60km/h  y = 3h  Si x = 90km/h  y = 2h, etc. El tiempo de viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada. La constante es: k = 30X60 = 180Km05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

aAl graficar una función de este tipo y x se tienenlas siguientes características:  Su gráfica es una curva que se denomina hipérbola  Al graficar la variable dependiente con el recíproco de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)  Si a es positivo la hipérbola se encuentra en el primer cuadrante y si a es negativo la curva se encuentra en el cuarto cuadrante  Los ejes x e y se dicen asíntotas (por más que se prolonguen la curva nunca los llega a alcanzar) de la hipérbola  EJEMPLOS.- Graficar: 20 100 l R m l05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FUNCION DIRECTA CON LOS CUADRADOS  Una Función de este tipo es y = ax2, tiene las siguientes características:  y es directamente proporcional a x2  su gráfica es una curva que se denomina parábola  al graficar la variable dependiente con el cuadrado de la variable independiente se obtiene una recta (Linealizar)  La constante (pendiente de la recta) se obtiene dividiendo y para x2  Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y si a es negativo las ramas se abren hacia abajo.  EJEMPLOS.- Graficar: y = 6x2 t = - 65x205 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTÁNGULOS Seis elementos: 3 lados, dos ángulos agudos y un ángulo recto A α c b β B a C05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

Para resolver un triángulo rectángulo se aplica:  a) TEOREMA DE PITAGORAS: El cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. c2 a2 b2 c a2 b2 2 2 b c2 a2 a c b05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

b) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO FUNCION SIMBOLO DEFINICION FORMULA Seno sen α cateto opuesto a hipotenusa c Coseno cos α cateto adyacente b hipotenusa c cateto opuesto a Tangente tan α cateto adyacente b05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJEMPLOS 1. En el triángulo ABC, determinar: a) B en términos de a, b C b) b en términos de a, c c) a en términos de c, C a d) C en términos de b, c b e) b en términos de c, B A c B f) c en términos de a, C 2. Resolver el triángulo rectángulo: X y = 22cm Z 28° z x Y05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

3. Resolver el triángulo rectángulo: c=37m E D d e=52m C05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES  MAGNITUD ESCALAR Es la magnitud física representada por un número real positivo o negativo acompañado del nombre de la unidad  EJEMPLOS: Longitud: 10m Temperatura: 23°K = -250°C Tiempo: 15s Energía: 10J Masa: 10Kg Carga eléctrica: 2C  MAGNITUD VECTORIAL Es la magnitud física que para su representación requiere se indique tamaño (módulo o magnitud), dirección y sentido; acompañado del nombre de la unidad.  EJEMPLOS: Desplazamiento: 10m al norte Fuerza: 5Kgf, 125° Velocidad: ; S70°O Aceleración:05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA MAGNITUD VECTORIAL Las cantidades vectoriales son representadas gráficamente por flechas llamadas vectores. Los vectores son segmentos b B orientados A θ a Todo vector queda determinado por:  Tamaño; representa en una escala seleccionada su valor numérico (módulo o magnitud)  Dirección; ángulo (θ)que forma el vector con el eje +x en sentido antihorario  Sentido; es la saeta (punta de flecha)05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

NOTAS:  En un vector se distinguen también su origen (punto A) y su extremo (punto B) b B A θ a  Línea de acción del vector, es la recta a lo largo de la cual esta dirigido el vector (recta ab)  Los vectores se representan con letras mayúsculas y una flecha en la parte superior  El módulo del vector se representa con la misma letra pero sin flecha05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJERCICIOS 1. Representar gráficamente los siguientes vectores   A (15 m; S ) B (50 Kgf ;140 )   Km D (28 cm;225 ) C (40 ; S 70 E ) h05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

2. Determinar el módulo y dirección de los siguientes vectores N y  M Km 20 45° hO E 80° x 3m  S N N y  P 500Km 35° O E 45° x 45cm  S Q 05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

CLASES DE VECTORES VECTOR LIBRE.- Cuando el punto de aplicación (origen) se traslada a cualquier punto sin alterar el efecto de su acción  P VECTOR DESLIZANTE.- Es aquel en que el punto de aplicación se traslada a lo largo de su línea de acción  P05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

CLASES DE VECTORES VECTOR FIJO.- Cuando no se puede mover el punto de aplicación  P VECTORES IGUALES.- Cuando tienen la misma magnitud, dirección y sentido   R T   R T05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

CLASES DE VECTORES VECTOR NEGATIVO.- (Opuesto de otro dado).- Si tienen la misma magnitud, la misma dirección pero sentido opuesto  H  H VECTOR NULO.- Es aquel en el cual el origen y el extremo coinciden, En este caso su módulo es igual a cero, carece de dirección y sentido  o05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

CLASES DE VECTORES VECTOR UNITARIO.- Es aquel cuyo módulo es 1 Para obtener un vector unitario se divide el vector para su módulo    A Por tanto  UA A A AU A   El UA tiene la misma dirección y sentido que el A y no tiene unidades  A  UA05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO y  A Ax , Ay  Ax A cos Ax A cos A  Ay Ay α sen Ay Asen  x A Ax Módulo de un vector A Ax 2 Ay 2 Ay Dirección en función de sus componentes tan Ax05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

ANGULOS DIRECTORES Son aquellos que forman el vector con los ejes positivos x e y de un sistema de coordenadas rectangulares, varían entre 0° y 180°, no existe convención para el giro Los ángulos directores en el plano son: α es el que forma el vector con el eje positivo de las x β es el que forma el vector con el eje positivo de las y y  P β α x05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

VECTORES BASE O UNITARIOS NORMALIZADOS   Ax   U Ax i  A Ax Ay   Ay   U Ax j j Ay   i Ax    A Ax i Ay j    UA cos i cos j05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJERCICIOS  1.- La magnitud de un vector P es 18cm, y forma un ángulo de 75 con el sentido positivo del eje x. Determinar: a) Las componentes del vector b) Las coordenadas del vector c) Los ángulos directores d) El vector en función de los vectores base e) El vector unitario    2. Dado el vector F ( 35 i 67 j ) N , determinar: a) Las componentes rectangulares del vector b) Las coordenadas del punto extremo del vector c) El módulo del vector d) La dirección e) Los ángulos directores f) El vector unitario05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJERCICIOS  3. El módulo de un vector    es 125Km y su vector unitario K U K 0,542 i mj Determinar: a) El valor de m b) Los ángulos directores c) El vector en función de sus vectores base d) Las componentes rectangulares del vector e) Las coordenadas del punto extremo del vector f) La dirección  4. El módulo de un vector G es 68m y tiene como ángulos directores α = 135 y β = 45 . Determinar: a) El vector unitario b) El vector en función de los vectores base c) Las componentes rectangulares del vector d) Las coordenadas del punto extremo del vector e) La dirección05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

EJERCICIOS 5. El módulo del vector M es 87cm, y forma un ángulo de 315 con el eje positivo de las x. Determinar:a) Los ángulos directoresb) Las componentes rectangulares del vectorc) Las coordenadas del punto extremo del vectord) El rumboe) El vector en función de los vectores basef) El vector unitario 6. Las coordenadas de los puntos inicial y final del vector Q son (13,22)m y (-15,-22)m respectivamente. Determinar:a) Las componentes del vectorb) El móduloc) La dirección (rumbo)d) Los ángulos directorese) El vector en función de los vectores basef) El vector unitario05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 1. EN FUNCIÓN DE SU MODULO EJEMPLO Y ÁNGULO  F (8Kgf ;125 )  F (F ; ) y Coordenadas polares  F F es el módulo del vector 8Kgf θ ángulo medido desde el eje +X hasta el vector en sentido 125° antihorario x05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 2. EN FUNCIÓN DE SUS EJEMPLO COORDENADAS  RECTANGULARES G ( 3; 5)m y  G (G x ; G y ) Donde: x Gx asi como Gy Coordenadas del punto extremo  G05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 3. EN FUNCIÓN DE LOS EJEMPLO VECTORES BASE    C (7i 3 j ) Km    y C (C X i Cy j) Donde: x así como CX Cy  C Componentes rectangulares del vector05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 4. EN FUNCIÓN DE SUS EJEMPLO COORDENADAS  GEOGRAFICAS D (250 cm; N 25 E )  N D ( D; rumbo )  D 250cm Donde: 25° D es el módulo del vector O E Rumbo es la dirección S05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

FORMAS DE EXPRESION DE UN VECTOR Y SUS TRANSFORMACIONES 5. EN FUNCIÓN DE SU MODULO Y SU UNITARIO EJEMPLO      E EU E E 27 Kgf ( 0,538 i 0,843 j ) Donde: E es el módulo del vector  UE Es el vector unitario del  E05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

05 de diciembre de 2011 Dr. Segundo Morocho C.

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