Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações [2/5]

Full Waveform Inversion: Introdução e Aplicações
Módulo 02: Modelagem - Extrapolação do Campo de Ondas
Bruno Pereira Dias, Andé Bulcão, Djalma Manoel Soares Filho
VII Semana de Inverno de Geofísica, 6 a 8 de Julho/2016
INCT-GP, UNICAMP, Campinas, SP,
BPD, AB, DMSF FWI: Módulo 02 VII SIG / 2016 1 / 58

Ementa
Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação
Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas
Módulo 03 Métodos de Otimização
Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de
ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...)
Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar)
Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015)

Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda
3 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio do Tempo
4 Modelagem por Diferenças Finitas no Domínio da Frequência
5 Bordas Não-Reexivas

Full Waveform Inversion
Ferramenta para se obter modelos de propriedades da subsuperfície em alta resolução
através do ajuste de dados baseado na modelagem completa da onda.

Problemas Direto e Inverso
d = L(p)
p = L−1 (d)

Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda

Formulação do Problema
Modelos Matemáticos
Modo de onda compressional,
cisalhante, conversões
ρ ¨uii −τij,j = ρfi
Somente modo de onda
compressional
1
c2 ¨uii −u,jj = f

Alguns Métodos Numéricos
Método das Diferenças Finitas (M.D.F.)
Simplicidade e fácil implementação computacional
Coecientes xos. É desnecessárion cálculos preliminares
para a motagem do sistema.
Programas velozes e ecientes

Método dos Elementos Finitos (M.E.F.)
Método integral; minimiza o resíduo da equação integral
Requer montagem das matrizes do sistema
Fácil tratamento de domínios com geometrias complexas
Permite renamento não uniforme

Método dos Elementos Finitos (M.E.F.)
Método integral; minimiza o resíduo da equação integral
Requer montagem das matrizes do sistema
Permite renamento não uniforme
Método dos Elementos de Contorno (M.E.C.)
Método integral
Problemas com domínios innitos e semi-innitos
Menor volume de dados para discretização das interfaces
Elevada precisão na resposta do interior do domínio

Domínios de Formulação
Soluções Numéricas da Propagação de Ondas Sísmicas
Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
Discretização da derivada
temporal
Esquema iterativo de
solução: marcha no tempo
Não há inversão de matriz
(esquema explícito)
Geralmente utilizado em
inversões sísmicas 3D

Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
Discretização da derivada
temporal
Esquema iterativo de
solução: marcha no tempo
Não há inversão de matriz
(esquema explícito)
Geralmente utilizado em
Domínio da Frequência
−ω2Mu (ω)+Ku (ω) = f (ω)
Requer a solução de sistemas
de equações lineares
Frequentemente utilizado em
Eciente em problemas com
grande número de
experimentos (fontes)

Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]

Domínio do Tempo
¨u (t) = M−1 [f (t)−Ku (t)]
Domínio da Frequência
−ω2Mu (ω)+Ku (ω) = f (ω)

Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda

Formulações da Equação da Onda: Geral =⇒ Particular

Equação Viscoelástica Anisotrópica
Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ,rxx ,ryy ,··· ,rxz ⇒ 3+6+6= 15
Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66,QP ,QS ⇒ 2+21+2= 25

Equação Elástica Anisotrópica
Campos: ux ,uy ,uz ,τxx ,τyy ,··· ,τxz ⇒ 3+6= 9
Propriedades: vp,vs,c11,c12,··· ,c66 ⇒ 2+21= 23

Equação Elástica Isotrópica
Propriedades: vp,vs,λ,µ,ρ ⇒ 2+3= 5

Acústica Isotrópica ρ var.
Campos: u ⇒ 1
Propriedades: vp,ρ ⇒ 2

Acústica Isotrópica ρ var.
Campos: u ⇒ 1
Propriedades: vp,ρ ⇒ 2
Equação Acústica Isotrópica
Campos: u ⇒ 1
Propriedades: vp ⇒ 1

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
Equação da Onda Geral
ρ (x)¨u(x,t) = ∇·σ (x,t)+f (x,t), x ∈ G ⊂ R, t ∈ [t0,t1] ⊂ R

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
x = (x,y,z) : coordenadas espaciais; G: domínio de modelagem

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
t : coordenada temporal; t0: inicial; t1: nal

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
u: campo de deslocamento de partícula

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
ρ: densidade

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
ρ: densidade
σ: tensor de tensões (propriedades serão denidas posteriormente)

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
ρ: densidade
f: fonte externa

Lei de Newton
ma = f , a ≡
∂2u
∂t2 ≡ ¨u
ρ: densidade
f: fonte externa
Condições de contorno: condição de Sommerfeld
Condições iniciais: u|t≤t0
= ˙u|t≤t0
= 0.

Tensor de Tensões
Modelo Visco-elástico
Tensor de elasticidade C dependente do tempo:
σ (x,t) =
∞
−∞
˙C x,t −t : ∇u x,t dt

Tensor de Tensões
σ (x,t) =
∞
−∞
Permite a descrição de fenômenos de:
Atenuação: decaimento de amplitude
com a frequência
Dispersão: dependência da velocidade
com a frequência
Absorção = Atenuação + Dispersão
Mecanismos de atenuação:
Domínio do tempo: variáveis de memória
Domínio da frequência: velocidade
complexa (v ∈ C)

Tensor de Tensões
σ (x,t) =
∞
−∞

Tensor de Tensões
σ (x,t) =
∞
−∞
Modelo Elástico
Tensor de elasticidade C não-dependente do tempo:
Relação constitutiva: σ (x) = C(x) : ∇u(x)
Lei de Hooke (F = kx) generalizada

Tensor de Tensões
σ (x,t) =
∞
−∞
Modelo Elástico
Tensor de elasticidade C não-dependente do tempo:
Relação constitutiva: σ (x) = C(x) : ∇u(x)
Lei de Hooke (F = kx) generalizada
Contração tensorial
σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul

Tensor de Elasticidade
σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul

σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul
Notação de Voigt
A notação de Voigt auxilia escrever os tensores em forma matricial. Esta notação combina os índice ij em um único
índice das seis combinações independentes de índices
11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6,
ou
xx → 1, yy → 2, zz → 3, yz → 4, xz → 5, xy → 6.

σij =
3
∑
k=1
3
∑
l=1
Cijkl ∂kul
Notação de Voigt
A notação de Voigt auxilia escrever os tensores em forma matricial. Esta notação combina os índice ij em um único
índice das seis combinações independentes de índices
11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6,
ou
xx → 1, yy → 2, zz → 3, yz → 4, xz → 5, xy → 6.
Modelo Elástico Anisotrópico
C =







c11 c12 c13 c14 c15 c16
c22 c23 c24 c25 c26
c33 c34 c35 c36
c44 c45 c46
c55 c56
c66







⇒ 21 parâmetros independentes

Anisotropia

C =







c11 c12 c13 c14 c15 c16
c22 c23 c24 c25 c26
c33 c34 c35 c36
c44 c45 c46
c55 c56
c66








C =







c11 c12 c13 c14 c15 c16
c22 c23 c24 c25 c26
c33 c34 c35 c36
c44 c45 c46
c55 c56
c66







Isotropia
Mesma velocidade de propagação para cada direção

C =







c11 c12 c13 c14 c15 c16
c22 c23 c24 c25 c26
c33 c34 c35 c36
c44 c45 c46
c55 c56
c66







Isotropia
Mesma velocidade de propagação para cada direção
Modelo Elástico Isotrópico
C =







λ +2µ λ λ
λ λ +2µ λ
λ λ λ +2µ
µ
µ
µ







λ,µ: Parâmetros de Lamé

Notação Tensorial
Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
δij =
1, i = j
0, i = j
, delta de Kronecker

Notação Tensorial
δij =
1, i = j
0, i = j
Notação de Voigt
C =







λ +2µ λ λ
λ λ +2µ λ
λ λ λ +2µ
µ
µ
µ







11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6,

Notação Tensorial
δij =
1, i = j
0, i = j
Notação de Voigt
C =







λ +2µ λ λ
λ λ +2µ λ
λ λ λ +2µ
µ
µ
µ







11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 13 → 5, 12 → 6,
Exemplo
c1111 = λδ11δ11 + µδ11δ11 + µδ11δ11 = λ +2µ −→ C11
c1311 = λδ13δ11 + µδ11δ31 + µδ13δ11 = 0−→ C51

Formulações da Equação da Onda Elástica
Formulação de deslocamento
Sistema de 2a. ordem no tempo:
ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t)

ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t)
Formulação Velocidade-Tensão
Sistema acoplado de 1a. ordem no tempo: v = ˙u (campo de
velocidade)
ρ (x) ˙v(x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t)
˙σ (x,t)−C(x) : ∇v(x,t) = 0

ρ (x)¨u(x,t)−∇·[C(x) : ∇u(x,t)] = f (x,t)
Formulação Velocidade-Tensão
Sistema acoplado de 1a. ordem no tempo: v = ˙u (campo de
velocidade)
ρ (x) ˙v(x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t)
˙σ (x,t)−C(x) : ∇v(x,t) = 0
Apesar de matematicamente equivalentes, essas formulações podem
ter diferentes propriedades numéricas, quando discretizadas.

Equação da Onda Acústica*
Meios líquidos
O módulo de cisalhamento é nulo: µ = 0

Meios líquidos
Módulo de Bulk: κ = λ + 2
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
Tensor elástico: Cijkl = λδij δkl + µδik δjl + µδil δjk
µ=0
−→ Cijkl = κδij δkl

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
Rel. constitutiva: σij = ∑3
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
−→ σij = κδij ∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul = ∇·u −→ σij = κδij ∇·u

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Pressão: p := −κ∇·u

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Eq. Elástica: ρ (x)¨u (x,t)−∇·σ (x,t) = f (x,t) −→ ρ¨u +∇p = f

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Divide por ρ: ¨u +ρ−1∇p = ρ−1f

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Aplica o divergente: ∇· ¨u +∇· ρ−1∇p = ∇· ρ−1f

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Denição de pressão: κ−1 ¨p −∇· ρ−1∇p = −∇· ρ−1f

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Densidade constante:¨p −v2∇2p = −v2∇·f

Meios líquidos
3 µ
µ=0
−→ κ = λ.
µ=0
k=1 ∑3
l=1 Cijkl ∂k ul
µ=0
k=1 ∑3
l=1 δkl ∂k ul
∑3
k=1 ∑3
Densidade constante:¨p −v2∇2p = −v2∇·f
Velocidade da onda acústica: v := κ
ρ

Equação Acústica da Onda
¨p −v2∇2p = I
Campo de pressão: p
Velocidade da onda acústica: v
Assinatura da fonte: I = −v2∇·f

¨p −v2∇2p = I
1 Desconsidera efeitos de absorção e atenuação.

¨p −v2∇2p = I
2 Desconsidera efeitos de anisotropia.

¨p −v2∇2p = I
2 Desconsidera efeitos de anisotropia.
3 Desconsidera conversões de onda P para S, ondas Rayleigh etc.

Exemplos de Propagação

Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda

Discretização no Espaço
Para aplicações numéricas, o campo de onda contínuo u (x,t) deve ser
discretizado, isto é, amostrado em um número de pontos nitos:
u1 (t),...,uN (t).
Em 1D, ui (t) = u (i∆x,t). Em 2D, uik (t) = u (i∆x,k∆z,t).
Figura extraída de di Bartolo 2013.

Aproximação das Derivadas
Expansão em série de Taylor
f (x +∆x) = f (x)+∆x ·f (x)+
1
2
∆x2f (x)+O ∆x3 (1)
f (x −∆x) = f (x)−∆x ·f (x)+
1
2
∆x2f (x)+O ∆x3 (2)
Somando as expressões: (1)+(2)
f (x +∆x)+f (x −∆x) = 2f (x)+∆x2f (x)+O ∆x3
f (x) ≈
1
∆x2 [f (x +∆x)−2f (x)+f (x −∆x)]

Modelagem no Domínio do Tempo*
Na modelagem no domínio do tempo a propagação da onda é
realizada substiuindo as derivadas temporais por uma aproximação por
diferenças nitas:
∂2u
∂t2 ≈
1
∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)]

diferenças nitas:
∂2u
∂t2 ≈
1
∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)]
Equação da onda acústica: 1
c2
∂2u
∂t2 −∇2u = f

diferenças nitas:
∂2u
∂t2 ≈
1
∆t2 [u (t +∆t)−2u (t)+u (t −∆t)]
Equação da onda acústica: 1
c2
∂2u
∂t2 −∇2u = f
Expressão para a marcha explícita no tempo:
u (t +∆t) = 2u (t)−u (t −∆t)+c2∆t2 ∇2u (t)+f

Aproximação das Derivadas Espaciais
Equação da onda discretizada no tempo:
u (t +∆t) = 2u (t)−u (t −∆t)+c2∆t2 ∇2u (t)+f
Laplaciano em 2D: ∇2u = ∂2u
∂x2 + ∂2u
∂z2
Aproximação de segunda ordem:
∇2u ≈
1
∆x2 [u (x +∆x,z)−2u (x,z)+u (x −∆x,z)]
+
1
∆z2 [u (x,z +∆z)−2u (x,z)+u (x,z −∆z)]

Aproximações de Ordem mais Altas
∂2f (x)
∂x2
x=0
≈
1
∆x2 c0f0 +
N/2
∑
n=1
cn (fn +f−n)
N : ordem do operador (N ≥ 2)
cn: coecientes de diferenças nitas
fn = f (n∆x)
Referência Silva 2014.

Aproximações de Ordem mais Altas
∂2f (x)
∂x2
x=0
≈
1
∆x2 c0f0 +
N/2
∑
n=1
cn (fn +f−n) T. Fourier←−−−−−−−→
−(kx ∆x)2 = c0 +2
N/2
∑
n=1
cn cos(nkx ∆x)
Erro
kx
kxn
= − c0f0 +2
N/2
∑
n=1
cn cos
kx
kxn
nπ −
kx
kxn
π
2
Referência Silva 2014.

Condição de Estabilidade
Condição CFL em homenagem a R. Courant, K. Friedrichs e H. Lewy.
∆t ≤
a1
a2
min h
max v
a1: soma dos valores absolutos dos coecientes da derivada temporal ∂2u
∂t2
a2: soma dos valores absolutos dos coecientes das derivadas espaciais ∇2u
Ordem 1D 2D 3D
2 1.00000 0.70711 0.57735
4 0.86603 0.61237 0.50000
6 0.81349 0.57522 0.46967
8 0.78437 0.55463 0.45286
10 0.76547 0.54127 0.44194
12 0.75202 0.53176 0.43418
14 0.74187 0.52458 0.42832
16 0.73388 0.51893 0.42371
Referência Lines, Slawinski, Bording 1998.

Condição de Dispersão
hmax ≤
vmin
αfmax
Ordem 2 4 6 8 10 12 14 16
α 10.0 4.61 3.58 3.15 2.91 2.76 2.66 2.58
Referência Wu, Lines, Lu 1996.

Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda

Modelagem no Domínio da Frequência
Vantagens da modelagem no domínio da frequência
1 Menor não-linearidade no problema inverso: utilização da técnica multi-escala na
frequência, com a inversão das baixas frequências para as altas frequências.
Fonte: Ajo-Franklin 2005.

2 Melhor descrição de mecanismos de atenuação: a descrição de mecanismos de
atenuação podem ser implementados através da inclusão de parte imaginária nos
parâmetros elásticos. No domínio do tempo, é necessária a utilização de variáveis
de memória, que aumentam o custo computacional.

3 Diminuição da Dimensão do Dado Observado: No domínio do tempo é necessário
armazenar #Traços x #Amostras. No domínio da frequência, bastam #Traços x
2, para cada frequência utilizada.

3 Diminuição da Dimensão do Dado Observado: No domínio do tempo é necessário
armazenar #Traços x #Amostras. No domínio da frequência, bastam #Traços x
2, para cada frequência utilizada.
4 Solução eciente para várias fontes através da decomposição LU: O uso da
decomposição LU permite o cálculo rápido e paralelizável para múltiplas fontes,
após o processo de fatorização

Modelagem no Domínio da Frequência*
Equação da onda acústica
1
c2
∂2u (t)
∂t2 −∇2u (t) = f (t) T. Fourier←−−−−−−→ −
ω2
c2 +∇2 U (ω) = F (ω)
u (t) ∈ R, u (ω) ∈ C
dn
dtt f (t) T. Fourier←−−−−−−→ (iω)n
F (ω)

Modelagem no Domínio da Frequência*
Equação da onda acústica
1
c2
∂2u (t)
∂t2 −∇2u (t) = f (t) T. Fourier←−−−−−−→ −
ω2
c2 +∇2 U (ω) = F (ω)
u (t) ∈ R, u (ω) ∈ C
dn
dtt f (t) T. Fourier←−−−−−−→ (iω)n
F (ω)
Sistema Linear
Matriz impedância: S = discretização do operador ω2
c2 +∇2
S (ω)U (ω) = F (ω)

Discretização do Campo u em 2D
Figura extraída de di Bartolo 2013.

Sistema Linear
Referência http://www.cs.berkeley.edu/~demmel/cs267/lecture24/lecture24.html

Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío do tempo)
1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)

1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
Eq. Acústica Densidade Constante em 2D (dominío da frequência)
ω2
c2 U +
∂2U
∂x2 +
∂2U
∂z2 = −F (ω)
k2 = ω2/c2

1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
ω2
c2 U +
∂2U
∂x2 +
∂2U
∂z2 = −F (ω)
k2 = ω2/c2
Discretização das derivadas espaciais
∂2U
∂x2 ≈
Ui−1,j −2Ui,j +Ui+1,j
∆x2
∆x: espaçamento da malha

1
c2
∂2u
∂t2 −
∂2u
∂x2 −
∂2u
∂z2 = f (t)
ω2
c2 U +
∂2U
∂x2 +
∂2U
∂z2 = −F (ω)
k2 = ω2/c2
Discretização das derivadas espaciais
∂2U
∂x2 ≈
∆x2
∆x: espaçamento da malha
Discretização da equação
ω2
c2 Ui,j +
∆x2 +
Ui,j−1 −2Ui,j +Ui,j+1
∆z2 = −Fi,j

Discretização da equação
ω2
c2 Ui,j +
∆x2 +
Ui,j−1 −2Ui,j +Ui,j+1
∆z2 = −Fi,j
Interior do Modelo
Mij = ω2
c −2 1
∆x2 + 1
∆z2
Eij = 1
∆x2
Wij = 1
∆x2
Nij = 1
∆z2
Sij = 1
∆z2

Condição de borda
∂u
∂z
=
Ui,j+1 −Ui,j
∆z
,
Ui,2 −Ui,1
∆z
+
iω
ci,1
= 0
Borda
Mij = − 1
∆z − iω
ci,1
Eij = 0
Wij = 0
Nij = 0
Sij = 1
∆z

Propriedades da Matriz S
Propriedades
S é quadrada e esparsa:
dimensão N ×N, N = Nx Nz .
Discretização de 2a. ordem, 5
diagonais não nulas.
S é complexa: Devido às
condições de borda.
S é não-simétrica: Operador
dif. nitas é simétrico,
condições de borda quebram a
simetria.
S é indenida: possui
autovalores positivos e
negativos.Fonte: Ajo-Franklin 2005

Estêncil Otimizado de 9 Pontos
Figura extraída de Hustedt, Operto, Virieux 2004.

Discretização do Operador Diferenças Finitas
Figura extraída de Hustedt, Operto, Virieux 2004.

Decomposição LU
Sendo S uma matriz não-singular,
S = LU
onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares.
Para uma matriz 3×3.
Referência https://pt.wikipedia.org/wiki/Decomposição_LU
Fonte: Ajo-Franklin 2005

Decomposição LU
S = LU
Passos para a solução do sistema
A ⇒ LU (fatorização)
Ly = b (substituição direta)
Ux = y (substituição reversa)

Decomposição LU
S = LU
Complexidade computacional da fatorização: O n3

Decomposição LU
S = LU
Complexidade computacional da fatorização: O n3
Complexidade computacional da substituição direta e reversa: O n2

Bibliotecas Computacionais
Bibliotecas computacionais para resolução de sistema linear
UMFPACK:
https://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/cpp_src/umfpack/umfpack.html
SuperLU: http://crd-legacy.lbl.gov/~xiaoye/SuperLU/
MUMPS: http://mumps.enseeiht.fr/
PARDISO: http://www.pardiso-project.org/
PETSc: https://www.mcs.anl.gov/petsc/
TRILINOS: https://trilinos.org/
Intel MKL/LAPACK: https://software.intel.com/sites/products/
documentation/doclib/mkl_sa/11/mkl_lapack_examples/

Modelagem 3D no Domínio da Frequência
Fitchner p.19

Modelagem 3D no Domínio da Frequência
Fitchner p.19
15 anos depois...

Modelagem no Domínio da Frequência Método Direto
Desvantagem: excessivo uso de memória (especialmente em 3D).
Vantagem: paralelização da solução para várias fontes.

Sumário
1 Problema Direto
2 Equação da Onda

Comparação Snapshots
Bordas e condições não-reexivas são utilizadas para simular
problemas de propação em domínios não-limitados.
Bordas Não-Reexivas
dabc=y nb=100
Bordas Reexivas
dabc=n nb=0

Condição de Contorno Não-Reexiva
Baseada em aproximações paraxiais:
Engquist Madja 1977
Clayton Engquist 1977
Reynolds 1978

Condição de Contorno Não-Reexiva
Baseada em aproximações paraxiais:
Engquist Madja 1977
Clayton Engquist 1977
Reynolds 1978
Camada Não-Reexiva
Atenuação Gaussiana
Cerjan et al. 1985
Perfectly Matched Layer (PML)
Bérenger 1994

Aproximação Paraxial
Fatoração da equação da onda
1
c2
∂2
∂t2 −
∂2
∂x2 U (x,t) = 0−→
1
c
∂
∂t
−
∂
∂x
1
c
∂
∂t
+
∂
∂x
U (x,t) = 0
1
c
∂
∂t
+
∂
∂x
U (x,t) = 0⇒ U (x,t) = f (x −ct) : propagação para a direita
1
c
∂
∂t
−
∂
∂x
U (x,t) = 0⇒ U (x,t) = f (x +ct) : propagação para a esquerda
Figura extraída de Fitchner 2010.

Atenuação Gaussiana
Multiplicar o campo de onda por uma função Gaussiana
G (x) = e−(x0−x)2/γ2

Perfectly Matched Layer (PML)
Método PML com Coordenadas estendidas
1
ξx (x)
∂
∂x
1
ξx (x)
∂u
∂x
+
1
ξz (z)
∂
∂z
1
ξz (z)
∂u
∂z
+
ω2
c2 u = f (ω)δ (x−xf )
ξx (x) = 1+iγx (x)/ω, ξz (z) = 1+iγz (z)/ω,
γx (x) e γz (z) dene o comportamento atenuante nas camadas PML.

Perl de Atenuação

Pontos Importantes
1 Partir da equação da onda elástica, supor hipóteses, e chegar a
equação da onda acústica.

Pontos Importantes
2 Deduzir a expressão para a modelagem no domínio do tempo.

Pontos Importantes
3 Entender transformada de Fourier e modelagem no domínio da
frequência.

Pontos Importantes
3 Entender transformada de Fourier e modelagem no domínio da
frequência.
4 Testar perl de atenuação da borda não-reexiva em seu programa de
modelagem.

Referências
Lines, Slawinski, Bording 1998. A recipe for stability analysis of nite-dierence
wave equation computations. CREWES Research Report Volume 10
di Bartolo, Leandro. 2013. Introdução à Modelagem Sísmica utilizando o MDF. IV
Semana de Inverno de Geofísica. Notas de Aula de Minicurso.
https://semanainvernogeosica.les.wordpress.com/2013/07/notas_v2-0.pdf
Wu, Wen-Jing, Lines, Larry R., Lu, Han-Xing, 1996. Analysis of higher-order,
nite-dierence schemes in 3D reverse-time migration. Geophysics, 61, (3), p.
845-856.
Hustedt, Bernhard, Operto, Stéphane, Virieux, Jean. 2004. Mixed-grid and
staggered-grid nite-dierence methods for frequency-domain acoustic wave
modeling. Geophys. J. Int. 157, 1269-1296.
Ajo-Franklin, Jonathan. 2005. Frequency-Domain Modeling Techniques for the
Scalar Wave Equation: An introduction.

Ementa
Módulo 01 Introdução, Contextualização, Motivação
Módulo 02 Modelagem, Extrapolação do campo de Ondas
Módulo 03 Métodos de Otimização
Módulo 04 FWI: Algoritmo Geral, tópicos relacionados (salto de
ciclo, multi-escala, relação oset-frequência,etc...)
Módulo 05 FWI: Método Adjunto e Aplicações (Madagascar)
Módulo 06 FWI: Teoria à Prática (Palestra WorkShop SBGF 2015)

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