SMP-MTs kelas09 mudah belajar matematika nuniek

  • 46,100 views
Uploaded on

 

More in: Education , Business
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • wah apek apek aku gampang leh sinau
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • I like
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • tolong dicarikan buku matematika kls 9 penerbit erlangga
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • hy....
    saya mau tanya...
    bagai mna cara buat soal bilangan berpangkat yang hasil nya 3, 1, 5
    kalau ada yang bisa kasih tau ea.....
    mohon info soal nya ke nomor hp saya (085374447721) atau email: soefcoolsoef@ymail.com
    terimakasih......

    salam kenal
    soef
    smk negri 1 dumai
    Are you sure you want to
    Your message goes here
  • salam kenal, saya mau bertanya soal matimatika, suatu sudut 4/5 kali sikunya.........??
    berapakah besar sudut tersebut.
    mohon info hasilnya ke nomer hp saya (08814722862) atau email:arthana9777@gmail.com
    terimakasih sebelumnya

    salam kenal
    gede Arthane
    smpn 7 mataram
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
46,100
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
1,211
Comments
6
Likes
22

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
  • 2. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MUDAH BELAJAR MATEMATIKA 3 Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah Penulis : Nuniek Avianti Agus Ukuran Buku : 21 x 28 510.07 AGU AGUS, Nuniek Avianti M Mudah belajar matematika 3: untuk kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah/Oleh Nuniek Avianti Agus. -- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008 viii, 138 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi: hlm. 138 Indeks: hlm. 136-137 ISBN 979-462-818-2 1. Matematika-Studi dan Pengajaran I. Judul Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007 Diperbanyak oleh ………………………………………………………
  • 3. SAMBUTAN Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu. Jakarta, 25 Pebruari 2008 Kepala Pusat Perbukuan Sugijanto iii
  • 4. Panduan Menggunakan Buku Buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini merupakan buku penuntun untukmu dalam mempelajari matematika. Untuk membantumu mempelajarinya, kenalilah terlebih dahulu bagian-bagian buku ini, yaitu sebagai berikut. 1 12 Gambar Pembuka Bab Solusi Matematika Setiap bab diawali Berisi soal-soal terpilih 14 oleh sebuah foto yang EBTANAS, UAN, dan UN mengilustrasikan materi beserta pambahasannya. 1 pengantar. 15 13 Uji Kompetensi Subbab 2 2 Judul Bab Berisi soal-soal untuk 16 3 mengukur pemahamanmu 3 4 Judul-Judul Subbab terhadap materi yang telah 17 kamu pelajari pada subbab 4 Materi Pengantar tertentu. Berisi gambaran penggunaan 14 Cerdas Berpikir materi yang akan dipelajari dalam kehidupan sehari-hari. Berisi soal-soal yang memiliki lebih dari satu jawaban. 5 Uji Kompetensi Awal 15 Sudut Tekno Berisi soal-soal materi prasyarat untuk 16 memudahkanmu memahami Rangkuman konsep pada bab tertentu. Berisi ringkasan materi yang 18 telah dipelajari. 5 6 Materi Pembelajaran 19 17 Berisi materi pokok yang 20 disajikan secara sistematis 6 Berisi pertanyaan- 7 dan menggunakan bahasa 21 pertanyaan untuk mengukur yang sederhana. 8 pemahamanmu tentang materi 9 7 yang telah dipelajari. Gambar, Foto, atau Ilustrasi 22 18 Materi dalam buku ini Problematika disertai dengan gambar, 19 foto, atau ilustrasi yang akan Situs Matematika membantumu dalam memahami 20 materi. Peta Konsep 8 Contoh Soal 21 Uji Kompetensi Bab Berisi soal-soal yang disertai Disajikan sebagai sarana langkah-langkah cara evaluasi untukmu setelah selesai menjawabnya. mempelajari bab tertentu. 9 22 Plus + 11 Uji Kompetensi Semester 10 23 Berisi soal-soal untukmu 10 Kegiatan 12 sebagai persiapan menghadapi Ujian Akhir Semester. Berisi kegiatan untuk menemukan sifat atau 23 rumus. Uji Kompetensi Akhir Tahun Berisi soal-soal dari semua 11 13 24 Tugas materi yang telah kamu pelajari Berisi tugas untuk mencari selama satu tahun. informasi, berdiskusi, dan 24 Kunci Jawaban melaporkan. v
  • 5. Prakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami. Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak merasa bosan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar. Penulis vi
  • 6. Daftar Isi Sambutan .............................................................................................................................. iii Panduan Menggunakan Buku ............................................................................................ v Prakata................................................................................................................................... vi Daftar Isi ................................................................................................................................ vii Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar ................................................. ........................ 1 A. Kesebangunan Bangun Datar ........................................................................................... 2 B. Kekongruenan Bangun Datar ........................................................................................... 8 Uji Kompetensi Bab 1 ............................................................................................................. 14 Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung ................................................................................... 17 A. Tabung ............................................................................................................................... 18 B. Kerucut .............................................................................................................................. 23 C. Bola ................................................................................................................................... 28 Uji Kompetensi Bab 2 ............................................................................................................. 35 Bab 3 Statistika ...................................................................................................................... 37 A. Penyajian Data................................................................................................................... 38 B. Ukuran Pemusatan Data .................................................................................................... 44 C. Ukuran Penyebaran Data................................................................................................... 48 Uji Kompetensi Bab 3 ............................................................................................................. 52 Bab 4 Peluang ........................................................................................................................ 55 A. Dasar-Dasar Peluang.......................................................................................................... 56 B. Perhitungan Peluang ......................................................................................................... 59 C. Frekuensi Harapan (Pengayaan)........................................................................................ 63 Uji Kompetensi Bab 4 ............................................................................................................. 67 Uji Kompetensi Semester 1 ..................................................................................................... 70 vii
  • 7. Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya............................................................................................ 73 A. Bilangan Berpangkat Bulat................................................................................................ 74 B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan.................................................................................... 85 Uji Kompetensi Bab 5 ............................................................................................................. 97 Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret............................................................................. 99 A. Pola Bilangan..................................................................................................................... 100 B. Barisan Bilangan................................................................................................................ 107 C. Deret Bilangan .................................................................................................................. 114 Uji Kompetensi Bab 6 ............................................................................................................. 124 Uji Kompetensi Semester 2 ..................................................................................................... 126 Uji Kompetensi Akhir Tahun ................................................................................................... 128 Kunci Jawaban ........................................................................................................................ 131 Daftar Pustaka ......................................................................................................................... 138 viii
  • 8. Bab 1 Sumb er: CD Image Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar A. Kesebangunan Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, Bangun Datar layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari B. Kekongruenan kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut. Bangun Datar Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan pada papan catur, baik yang berwarna hitam maupun yang berwarna putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik. 1
  • 9. Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. Jelaskan cara mengukur sudut menggunakan busur 5. Perhatikan gambar berikut. derajat. 2. Jelaskan sifat-sifat persegipanjang, persegi, layang- Q2 P2 1 1 layang, trapesium, belah ketupat, dan segitiga. 3 4 3 4 3. Jelaskan cara membuat segitiga sama sisi. 4. Tentukan nilai a . R2 S2 1 1 3 4 3 4 Jika ? P 1 = 50°, tentukan besar ? Q2, ? R3, dan α ? S4. A. Kesebangunan Bangun Datar D C 1. Kesebangunan Bangun Datar 2 cm Dalam kehidupan sehari-hari, pasti kamu pernah mendengar istilah A 4 cm B memperbesar atau memperkecil foto. Ketika kamu memperbesar (atau (a) G memperkecil) foto, berubahkah bentuk gambarnya? Bentuk benda pada foto H mula-mula dengan foto yang telah diperbesar adalah sama, tetapi ukurannya 4 cm berlainan dengan perbandingan yang sama. Gambar benda pada foto mula- mula dengan foto yang telah diperbesar merupakan contoh dua bangun yang E F 8 cm sebangun. (b) Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 1.1 . Sebangunkah persegi- Gambar 1.1 panjang ABCD dengan persegipanjang EFGH? Pada persegipanjang ABCD Dua persegipanjang yang sebangun. dan persegipanjang EFGH, perbandingan panjangnya adalah 4 : 8 = 1 : 2. Adapun perbandingan lebarnya adalah 2 : 4 = 1 : 2. Dengan demikian, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. AB 1 BC 1 CD 1 DA 1 =; =; =; = Plus + EF 2 FG 2 GH 2 HE 2 Kemudian, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang Keseban Kesebangunan dilambangkan dengan “ ~ “. ABCD dan persegipanjang EFGH. Oleh karena keduanya berbentuk persegipanjang, setiap sudut besarnya 90° sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Artinya kedua persegi - Cerdas Berpikir panjang tersebut memiliki sisi-sisi yang bersesuaian dan sebanding sedang- Buatlah tiga kan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Oleh karena itu, persegipanjang persegipanjang yang ABCD dan persegipanjang EFGH dikatakan sebangun. . sebangun dengan kedua persegipanjang pada Jadi, dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat- Gambar 1.1 . syarat sebagai berikut. • Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang senilai. • Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar. 2 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 10. Contoh 1.1 Soal Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun? ra gambar b 6 cm T S 2 cm L K P O 2 cm M N I 6 cm J Jawab: Q R a. Perhatikan persegipanjang IJKL dan persegi MNOP. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah IJ 6 JK 2 KL 6 LI 2 =; =; =; = MN 2 NO 2 OP 2 PM 2 Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebanding. (ii) Besar setiap sudut pada persegipanjang dan persegi adalah 90° sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP sama besar. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebangun. b. Perhatikan persegi MNOP dan persegi QRST. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah MN 2 NO 2 OP 2 PM 2 =; =; =; = QR 6 RS 6 ST 6 TQ 6 Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi MNOP dan persegi QRST sebanding. (ii) Oleh karena bangun MNOP dan QRST berbentuk persegi, besar setiap sudutnya 90˚ sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegi MNOP dan persegi QRST sebangun. c. Dari jawaban a telah diketahui bahwa persegipanjang IJKL tidak sebangun dengan persegi MNOP. Dengan demikian, persegipanjang IJKL juga tidak sebangun dengan persegi QRST. Coba kamu jelaskan alasannya Contoh 1.2 Soal Perhatikan gamb berikut. kan gambar D C S R 6 cm P 2 cm Q A B 9 cm Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang QR. Jawab: Oleh karena persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding. 9 X2 9 6 AB BC QR = =3 = = QR 2 6 QR RS Jadi, panjang QR adalah 3 cm. 3 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 11. Contoh 1.3 Soal Diketahui dua j j i d jajargenjang yang sebangun seperti gambar berikut. Sekilas D C Matematika H G Thales 6 cm 624 SM–546 SM 2 dm x 120° 6 dm E F A B 9 cm Tentukan nilai x. Jawab: Perhatikan jajargenjang ABCD. 1B = 1 D = 120° 1 A = 1 C = 180° − 120° = 60° Oleh karena jajargenjang ABCD sebangun dengan jajargenjang EFGH, besar sudut- Thales adalah seorang ahli sudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian, 1 E =1= = 60°. A Jadi, nilai x = 60˚ mempelajari matematika, ilmu pengetahuan lain. 2. Kesebangunan pada Segitiga Dalam matematika, ia terkenal dengan Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan caranya mengukur tinggi kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk piramida di Mesir dengan mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu. menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga. Kegiatan Sumber: Matematika, Khazanah Perhatikan pasangan-pasangan segitiga berikut ini, kemudian jawab pertanyaannya. Pengetahuan Bagi Anak-anak, 1979. a. 5 cm 4 cm 10 cm 8 cm 2 cm 3 cm 3 cm (a) (b) 6 cm Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar? b. 40° 60° 40° 60° 60° 90° 60° 50° 90° 50° 60° 60° (a) (b) Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama? c. 3 cm 25° 2 cm 25° 37,5 cm 2,5 cm 4,5 cm 3 cm 75° 75° 2 cm 3 cm (a) (b) 4 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 12. Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki 2 sisi bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisi yang belum diketahui. Apakah sisi-sisi tersebut memiliki perbandingan yang sama dengan sisi-sisi yang lainnya? Kemudian, ukur pula sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah hasilnya sama besar? Jika kamu mengerjakan kegiatan tersebut dengan benar, akan diperoleh kesimpulan bahwa untuk memeriksa kesebangunan pada segitiga, cukup lakukan tes pada kedua segitiga tersebut sesuai dengan unsur-unsur yang diketahui. Tabel 1.1 Syarat kesebangunan pada segitiga Unsur-Unsur yang Diketahui Syarat Kesebangunan Pada Segitiga Perbandingan sisi-sisi yang (i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s) bersesuaian sama. Sudut-sudut yang bersesuaian sama (ii) Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd) besar. Dua sisi yang bersesuaian memiliki (iii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s) perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar. Contoh 1.4 Soal Problematika Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun? b Dari gambar berikut, ada berapa buah segitiga yang sebangun? Sebutkan dan 13 6 jelaskan jawabanmu. 5 10 C 50° 50° 50° 10 3 (a) (b) (c) D E Jawab: Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi. A B F a. Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar, yaitu 50°. b. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut. Untuk segitiga (a) dan (b). 3 6 = 0,3 dan = 0,46 10 13 Untuk segitiga (a) dan (c). 36 = 0, 6 = 5 10 Untuk segitiga (b) dan (c). 10 13 = 2 dan = 1, 3 5 10 Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c) Ketiga syarat kesebangunan pada segitiga dapat digunakan untuk mencari panjang salah satu sisi segitiga yang belum diketahui dari dua buah segitiga yang sebangun. 5 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 13. Contoh 1.5 Soal Perhatikan gambar berikut. Solusi R M Matematika 6 cm Perhatikan gambar berikut. 10 cm 30 cm R S 21 cm L 12 cm 7 cm K Q P 8 cm P Q 3 cm T Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR. Panjang QT adalah .... Jawab: a. 4 cm PQ = 3 KL = 21 cm b. 5 cm QR = 3 LM = 30 cm c. 6 cm d. 8 cm PR = 3 MK = 3 × 6 = 18 Jawab: Jadi, panjang PR adalah 18 cm ΔQST sebangun dengan ΔQRP. R Contoh 1.6 Soal S 12 cm Gambar berikut menunjukkan ∆ABC dengan DE sejajar BC. Jika panjang AD = 8 cm, 8 cm b ik P Q BD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan panjang BC. 3 cm T ST QT C = E RP QP 8 QT = A 12 QT + 3 8(QT + 3) = 12QT 8 QT + 24 = 12 QT 4QT = 24 D QT = 6 B Jawab: Jadi, panjang QT adalah 6 cm. Oleh karena ∆ABC sebangun dengan ∆ADE, Jawaban: c AD 8 4 DE Soal UN, 2007 = = maka AD + DB BC 8 + 2 BC 8 4 = 10 BC 4 X 10 BC = =5 8 Jadi, panjang BC adalah 5 cm Contoh 1.7 Soal Sebuah tongkat yang tingginya 1,5 m mempunyai bayangan 1 m. Jika pada saat k yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah 2,5 m, tentukan tinggi tiang bendera tersebut. C Jawab : Misalkan, DE = tinggi tongkat E BD = bayangan tongkat ? AB = bayangan tiang bendera 1,5 m AC = tinggi tiang bendera B A 1m D 2,5 m 6 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 14. 1, 5 BD DE 1 = maka = 2, 5 AC AB AC 2, 5 × 1, 5 AC = 1 = 3, 75 Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah 3,75 m Uji Kompetensi 1.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 5. Tentukan nilai x dan y pada pasangan bangun- 1. Manakah di antara bangun-bangun berikut yang bangun yang sebangun berikut. pasti sebangun? a. Dua jajargenjang a. D b. Dua trapesium c. Dua persegi E A 70° 70° C d. Dua lingkaran 70° e. Dua persegipanjang H 2. Perhatikan gambar berikut. x° F 65° 2 D C B H G G 5 S R b. 6 103° E F 15 B A Sebangunkah persegipanjang ABCD dan persegi- panjang EFGH? Jelaskan jawabanmu. Q P 3. Gambar-gambar berikut merupakan dua bangun S R yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y. y a. 2 4 x 10 b. x y 4 Q P 6. Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang 5 10 sebangun? 10 15 12 20 5 30° 4. Deni membuat sebuah jajargenjang seperti gambar 30° 30° 6 9 3 berikut. (a) (b) (c) 6 35° 10 Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan jajargenjang yang dibuat Deni. 7 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 15. C 9. Sebuah tongkat yang tingginya 2 m mempunyai 7. bayangan 1,5 m. Jika pada saat yang sama, sebuah Pada gambar di samping, DE // AB. pohon mempunyai bayangan 30 m, tentukan tinggi Jika AB = 12 cm, DE = 8 cm, dan pohon tersebut. DC = 10 cm, tentukan panjang AC. D E 10. Seorang pemuda menghitung lebar sungai dengan A B menancapkan tongkat di titik B, C, D, dan E (seperti pada gambar) sehingga DCA terletak pada Buktikan bahwa ∆DEF sebangun dengan ∆GHF. satu garis. Tentukan lebar sungai tersebut. 8. A 5 D E 4 7 F aliran sungai 12 E B 12 m D G H B. Kekongruenan Bangun Datar 1. Kekongruenan Bangun Datar Pernahkah kamu memperhatikan ubin-ubin yang dipasang di lantai kelasmu? Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut benda- benda yang kongruen. Coba kamu sebutkan benda-benda lain di sekitarmu yang kongruen. Sumber: Dokumentasi Penulis Perhatikan Gambar 1.3 Gambar 1.2 S D A R C P Q B Gambar 1.3: Dua bangun kongruen Gambar 1.3 menunjukkan dua bangun datar, yaitu layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu AB = QR = AD = RS dan BC = PQ = CD = SP. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua layang- layang tersebut juga sama besar, yaitu 1 A = 1 R, 1 C = 1 P, 1 B = 1 Q, dan 1 D = 1 S. Oleh karena itu, layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS kongruen, ditulis layang-layang ABCD ≅ layang-layang PQRS . Plus+ Kongru Kongrue Kongruen disebut juga Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut sama dan sebangun, memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian dilambangkan dengan “≅”. sama besar. 8 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 16. Contoh 1.8 Soal Perhatikan gambar berikut. H G Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada F bangun tersebut. E C D A B Jawab : Syarat kekongruenan pada bangun datar adalah sama bentuk dan ukurannya. Pada balok ABCD. EFGH, sisi-sisi yang kongruen adalah • sisi ABCD ≅ sisi EFGH • sisi ABFE ≅ sisi CDHG • sisi BCGF ≅ sisi ADHE Contoh 1.9 Soal Tugas Perhatikan gambar berikut. Q Manakah pernyataan yang benar? R D C a. Bangun-bangun yang sebangun pasti kongruen. b. Bangun-bangun yang kongruen pasti sebangun. Jelaskan jawabanmu. A B S P Tunjukkan bahwa kedua bangun tersebut kongruen. Jawab : a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada trapesium ABCD dan trapesium PQRS sama besar, yaitu AB = PQ, BC = QR, CD = RS, dan AD = PS. b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut sama besar, yaitu 1 A = 1 P = 1 E = 1 Q dan 1C = 1 R = 1 D = 1 S. Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium ABCD ≅ trapesium PQRS . Contoh 1.10 Soal Perhatikan d b k dua bangun datar yang kongruen berikut. D E x 120° C H 60° 45° F A B G Tentukan besar 1 E. 9 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 17. Jawab : Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar. 1A = 1 F = 45˚ 1C = 1 H = 60˚ 1D = 1 G = 120˚ 1B = 1 E = ? Jumlah sudut pada bangun datar ABCD = jumlah sudut pada bangun datar Situs Matematika EFGH = 360°. E = 360° − ( – F + – G + – H ) www.deking. wordpress.com www.gemari.or.id = 360° − (45° +120° + 60° ) = 360° − 225° = 35° Jadi, 1E = 35° 2. Kekongruenan Segitiga Pada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan pada bangun segitiga. Untuk menunjukkan apakah dua segitiga kongruen atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian, bandingkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian. Perhatikan tabel syarat kekongruenan dua segitiga berikut. Tabel 1.2 Syarat kekongruenan pada segitiga Unsur-Unsur yang Diketahui Syarat Kekongruenan Pada Segitiga Sisi-sisi yang bersesuaian sama (i) Sisi-sisi-sisi (s.s.s) panjang. Dua sisi yang bersesuaian sama (ii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s) panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar. (iii) Sudut-sisi-sudut (sd.s.sd) atau Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang. Sudut-sudut-sisi (sd.sd.s) Contoh 1.11 Soal U Gambar di samping merupakan gambar segitiga samasisi S O STU. Jika SO tegak lurus TU dan panjang sisi-sisinya 3 cm, buktikan bahwa ∆STO ≅ ∆SUO. T 10 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 18. Jawab: Solusi • ∆STO merupakan segitiga samasisi sehingga ST = TU = US = 3 cm dan – STU = Matematika – TUS = – UST = 60°. • SO tegak lurus TU maka – SOT = – SOU = 90° dan TO = OU sehingga Diketahui segitiga ABC dengan siku-siku di B; – OST = 180˚ − ( – STO + – TOS) kongruen dengan segitiga = 180˚ − (60°+ 90°) = 30° PQR dengan siku-siku di P. – USO = 180˚ − ( – SOU + – OUS) Jika panjang BC = 8 cm dan = 180˚ − (90° + 60°) = 30° QR = 10 cm maka luas segitiga PQR adalah .... Oleh karena (i) – T = – U = 60° a. 24 cm c. 48 cm (ii) ST = US = 3 cm b. 40 cm d. 80 cm (iii) – OST = – USO = 30° Jawab: terbukti bahwa ∆STO ≅ ∆SUO A Contoh 1.12 Soal B C 8 cm Q Perhatikan dua segitiga yang kongruen berikut. C R 10 cm w 65° P R Oleh karena ΔABC @ΔPQR z 35° A Q maka BC = PR = 8 cm. Menurut Teorema Pythagoras, x y PQ = QR 2 – PR 2 B P = 102 – 82 Tentukan nilai w, x, y, dan z. = 100 – 64 = 36 = 6 Jawab: Oleh karena ∆ABC @ ∆PQR, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu 1 × PR× PQ Luas PQR R 1A = 1 Q = z = 35° 2 1 C = 1 R = w = 65° 1 = × 8× 6 = 24 × 1 B = 1 P = x = y = 180° − (35° + 65°) 2 Jadi, luas ΔPQR adalah 24 cm2. = 180° − 100° = 80° Jawaban: a Jadi, w = 65°, x = y = 80°, dan z = 35°. Soal UN, 2007 Uji Kompetensi 1.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. C 2. 1. Dari gambar-gambar berikut, manakah yang D 40° kongruen? F C I 40° 4 cm 75° x A B 4 cm G Pada gambar di atas, tentukan nilai x. E 75° D 4 cm A 65° H B 3. Perhatikan gambar berikut. R C F L P O 13 cm 5 cm 5 cm 4 cm 4 cm 13 cm 13 cm 13 cm A B 12 cm D 13 cm E 4 cm M N Buktikan bahwa ∆ABC ≅∆DEF. J Q K 11 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 19. 4. 5. Perhatikan gambar berikut. S P 140° 60° P R Q T 140° Q Jika – PSR = 140° dan – SPR = 30° , tentukan besar – PRQ. R S Pada gambar tersebut, panjang PR = (5x + 3) cm dan PS = (2x + 21) cm. Tentukan panjang PS. Rangkuman • Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun • Dua atau lebih bangun dikatakan kongruen jika memenuhi syarat-syarat berikut. jika memenuhi syarat-syarat berikut. - Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada - Bentuk dan ukurannya sama. bangun-bangun tersebut mempunyai per- - Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. bandingan yang senilai. • Syarat kekongruenan dua atau lebih segitiga - Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun- adalah bangun tersebut sama besar. - sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, • Syarat kesebangunan pada dua atau lebih - dua sisi yang bersesuaian sama panjang segitiga adalah dan satu sudut yang diapit oleh kedua - perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sisi tersebut sama besar , atau senilai (s.s.s), - dua sudut yang bersesuaian sama besar dan - sudut-sudut yang bersesuaian sama besar satu sisi yang bersesuaian sama panjang. (sd.sd.sd), atau - dua sisi yang bersesuaian memiliki per- bandingan yang sama dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar. • Setelah mempelajari bab Kesebangunan dan Kekongruenan ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? • Pada bab ini, materi-materi apa saja yang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan baik? • Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini? 12 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 20. Peta Konsep Perbandingan sisi-sisi syarat yang bersesuaian memiliki Bangun Datar perbandingan yang senilai Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar untuk Kesebangunan Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai (s.s.s) Sudut-sudut yang bersesuaian syarat sama besar (sd.sd.sd) Segitiga Dua sisi yang bersesuaian Kesebangunan memiliki perbandingan yang meliputi sama dan sudut bersesuaian dan yang diapit sama besar (s.sd.s) Kekongruenan Bangun Datar syarat Bentuk dan ukurannya sama Bangun Datar Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd) untuk Kekongruenan Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s) Dua sisi yang bersesuaian sama syarat panjang dan satu sudut yang Segitiga diapit sama besar (s.sd.s) Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (sd.sd.s) 13 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 21. Uji Kompetensi Bab 1 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. c. AB × AC = FD × ED 1. Berikut adalah syarat kesebangunan pada bangun d. AC : AB = DE : DF datar, kecuali .... a. perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya Pernyataan yang benar mengenai gambar berikut 6. senilai adalah .... b. sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar d c. sudut-sudut yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang senilai e c d. pernyataan (a) dan (b) f 2. Perhatikan gambar dua trapesium yang sebangun berikut. b a G H a+b D C e = a. n f b 9 8 6 d+c e = b. f d B E F 12 A 16 e b = c. Nilai n yang memenuhi adalah .... f a a. 12 e c = d. b. 14 f d c. 16 d. 18 Perhatikan gambar berikut. 7. Ukuran persegipanjang yang sebangun dengan 3. persegipanjang berukuran 4 cm × 12 cm adalah .... 10 cm a. 4 cm × 2 cm 6 cm b. 18 cm × 6 cm c. 8 cm × 3 cm x d. 20 cm × 5 cm 9 cm Bangun-bangun di bawah ini pasti sebangun, 4. Nilai x sama dengan .... kecuali .... a. 6,7 cm a. dua persegi b. 5,0 cm b. dua persegipanjang c. 4,1 cm c. dua lingkaran d. 3,8 cm d. dua segitiga samasisi Diketahui ΔPQR dengan ST sejajar PQ, PS = 6 cm, 8. Perhatikan gambar berikut. 5. ST = 10 cm, dan RP = 15 cm. Panjang BS adalah B E ... cm. a. 9 cm b. 10 cm c. 12 cm d. 15 cm Jika ΔDEF kongruen dengan ΔKLM, pernyataan 9. yang benar adalah .... A DC F a. – D = – L Jika ΔABC dan ΔDEF sebangun, pernyataan yang b. – E = – K benar adalah .... c. DF = LM a. AC = DF d. DE = KL b. AB : DE = BC : EF 14 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 22. 10. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah .... 14. S a. jika sudut-sudut dua segitiga sama besar, sisi- 100° sisi yang bersesuaian sama panjang b. jika sisi-sisi dua segitiga sama panjang sudut- 45° sudut, kedua segitiga itu sama besar R P c. jika dua segitiga sebangun, kedua segitiga itu kongruen d. jika dua segitiga sebangun, sisi-sisinya sama panjang Q 11. Perhatikan gambar berikut. Pada gambar di atas, besar – RSP adalah .... C a. 45° b. 40° c. 35° d. 30° A D 15. Perhatikan gambar berikut. D C B Pasangan segitiga yang kongruen adalah .... a. ΔDAB dan ΔCAD b. ΔCDA dan ΔCBA c. ΔABC dan ΔADC A B d. ΔBAD dan ΔCAD Jika panjang AB = (6x − 31) cm, CD = (3x − 1) cm, 12. Perhatikan gambar berikut. dan BC = (2x + 3) cm, panjang AD = .... a. 29 cm D CS R y 50° b. 26 cm c. 23 cm x 50° d. 20 cm A B Q P Nilai x + y = .... B. Kerjakanlah soal-soal berikut. a. 260° 1. Buatlah tiga pasang bangun datar yang sebangun. b. 130° Kemudian, berikan alasan jawabannya. c. 50° 2. Perhatikan gambar berikut. d. 25° 13. Pada gambar berikut, ∆PQR @ ∆STU. A B U R C 70° 50° T Q P S D E Pernyataan yang benar adalah .... Tunjukkan bahwa ΔABC sebangun dengan ΔCDE. a. – S = 50° b. – T = 70° c. – S = 60° d. – U = 60° 15 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar
  • 23. Pada gambar berikut, tentukan panjang PQ. Jelaskan cara menguji kekongruenan dua segitiga 3. 4. dengan kata-katamu sendiri. Perhatikan gambar berikut. 5. R 85° T 12 cm 8 cm x z 10 cm S P Q y Tentukan nilai x, y, dan z. 16 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 24. Bab 2 Sumb er: www.contain.ca Bangun Ruang Sisi Lengkung Di Sekolah Dasar, kamu telah mengenal bangun-bangun ruang seperti A. Tabung tabung, kerucut, dan bola. Bangun-bangun ruang tersebut akan kamu B. Kerucut pelajari kembali pada bab ini. C. Bola Dalam kehidupan sehari-hari, kamu mungkin sering melihat benda- benda yang berbentuk tabung, kerucut, dan bola. Misalnya, sebuah tangki berbentuk tabung memiliki jari-jari 15 m dan tingginya 50 m. Jika tangki tersebut akan diisi minyak tanah sampai penuh, berapa liter minyak tanah yang diperlukan? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik. 17
  • 25. Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. 3. Gambarlah jaring-jaring prisma segiempat ber- aturan. x 12 cm Tentukan nilai x. 4. Tentukan luas permukaan kubus yang memiliki panjang rusuk 5 cm. 5. Sebuah limas segiempat memiliki panjang alas 9 cm 15 cm dan lebarnya 12 cm. Tentukan volume limas 2. tersebut. Tentukan luas bangun di samping. 7 cm Di Kelas VIII, kamu telah mempelajari bangun ruang sisi tegak seperti kubus, balok, prisma, dan limas. Pada bab ini, bangun ruang tersebut akan diperluas dengan mempelajari bangun ruang sisi lengkung, yaitu tabung, kerucut, dan bola. Di dalam kehidupan sehari-hari, kamu pasti pernah menemukan benda- benda seperti kaleng susu, nasi tumpeng, dan bola sepak. (c) (a) (b) Sumber: Dokumentasi Penulis Gambar 2.1 : Contoh bangun ruang sisi lengkung Perhatikan Gambar 2.1 . Gambar (a), (b), dan (c) merupakan contoh- contoh bangun ruang sisi lengkung. Sekarang, coba kamu sebutkan nama- nama bangun ruang yang diwakili oleh gambar-gambar tersebut. A. Tabung Perhatikan Gambar 2.2 . Amatilah bentuk geometri bangun tersebut. Tabung Gambar 2.2 Tabung atau silinder. (silinder) merupakan bangun sisi lengkung yang memiliki bidang alas dan bidang atas berbentuk lingkaran yang sejajar dan kongruen. 1. Unsur-Unsur Tabung P2 D C r Perhatikan Gambar 2.3 . Tabung memiliki unsur-unsur sebagai berikut. a. Sisi alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P1, dan sisi atas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P2. b. Selimut tabung, yaitu sisi lengkung tabung (sisi yang tidak diraster). c. Diameter lingkaran alas, yaitu ruas garis AB, dan diameter lingkaran atas, P1 A B r yaitu ruas garis CD. Gambar 2.3 : Tabung d. Jari-jari lingkaran alas (r), yaitu garis P1A dan P1B, serta jari-jari lingkaran atas (r), yaitu ruas garis P2C dan P2D. e. Tinggi tabung, yaitu panjang ruas garis P2P1, DA, dan CB. 18 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 26. 2. Luas Permukaan Tabung Perhatikan kembali Gambar 2.3 . Jika tabung pada gambar tersebut dipotong sepanjang garis AD, keliling sisi alas, dan keliling sisi atasnya, akan diperoleh jaring-jaring tabung seperti pada Gambar 2.4 . P2 r D D' A A' P2 Gambar 2.4 : Jaring-jaring tabung. Selimut tabung pada Gambar 2.4 berbentuk persegipanjang dengan panjang AA ' = DD ' = keliling alas tabung = 2πr dan lebar AD = A' D ' = tinggi tabung = t. Jadi, luas selimut tabung = luas persegipanjang = p × l = 2πrt. Luas permukaan tabung merupakan gabungan luas selimut tabung, luas sisi alas, Tugas 2.1 dan luas sisi atas tabung. Luas permukaan tabung = luas selimut + luas sisi alas + luas sisi atas Diskusikan dengan teman sebangkumu tentang rumus = 2πrt + πr2 +πr2 luas permukaan tabung tanpa = 2πrt + 2πr2 tutup. Laporkan hasilnya di depan kelas. = 2πr (r + t) Dengan demikian, untuk tabung yang tertutup, berlaku rumus sebagai berikut. Luas selimut tabung = 22rt Luas permukaan tabung = 22r (r + t) Contoh 2.1 Soal Diketahui suatu tabung jari-jari alasnya 7 cm dan tingginya 10 cm. Tentukan luas i tt Plus+ selimut tabung dan luas permukaan tabung tersebut. Jawab: Jika pada bangun Diketahui : r = 7 cm ruang terdapat unsur t = 10 cm yang nilainya kelipatan Ditanyakan : • luas selimut tabung 7, gunakan nilai 22 • luas permukaan tabung π= . 7 Penyelesaian: Jika pada bangun • Luas selimut tabung = 2πrt ruang tidak terdapat 22 unsur yang nilainya 7 . 10 = 440 cm 2 = 2. kelipatan 7, gunakan 7 nilai π = 3,14. • Luas permukaan tabung = 2πr (r + t) 22 . 7 .( 7+ 10 ) = 748 cm 2 = 2. 7 Jadi, luas selimut tabungnya adalah 440 cm2 dan luas permukaan tabungnya adalah 748 cm2 19 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 27. Contoh 2.2 Soal i luas selimut suatu tabung adalah 1.408 cm2. Jika jari-jari alasnya 14 cm, Diketahui l tentukan luas permukaan tabung tersebut. Jawab : Diketahui : luas selimut tabung = 1.408 cm2 r = 14 cm Ditanyakan : luas permukaan tabung Penyelesaian: Luas selimut tabung = 2πrt 22 1.408 = 2 . . 14 . t 7 1.408 = 16 cm t= 88 Luas permukaan tabung = 2πr (r + t) 22 . 14 . (14 + 16 ) = 2. 7 = 2.640 cm2 Jadi, luas permukaan tabung tersebut adalah 1.640 cm2 Contoh 2.3 Soal Jika luas permukaan tabung di samping adalah 1.406,72 cm2, tentukan tinggi tabung tersebut. 8 cm Jawab: Diketahui: luas permukaan tabung = 1.406,72 cm2 r = 8 cm. Ditanyakan: tinggi (t) Penyelesaian: Luas permukaan tabung = 2pr (r + t) 1.406,72 = 2 · 3,14 · 8 · (8 + t) = 50,24 (8 + t) = 401,92 + 50,24 · t 50,24 · t = 1.004,8 1.004, 8 t= = 20 50, 24 Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm 3. Volume Tabung Masih ingatkah kamu pelajaran mengenai prisma di Kelas VIII? Pada dasarnya, tabung juga merupakan prisma karena bidang alas dan bidang atas tabung sejajar dan kongruen. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 2.5. Dengan demikian, volume tabung sama dengan volume prisma, yaitu (a) (b) luas alas dikali tinggi. Oleh karena alas tabung berbentuk lingkaran, volume Gambar 2.5 : Prisma dan Tabung tabung dinyatakan sebagai berikut. Volume tabung = luas alas × tinggi = πr2t 20 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 28. Contoh 2.4 Soal Diketahui j i j alas suatu tabung adalah 12 cm. Jika tinggi tabung tersebut 10 cm, i jari-jari Plus+ tentukan volume tabung tersebut. Jawab : Volume digunakan untuk Diketahui : r = 12 cm menyatakan ukuran besar suatu ruang. t = 10 cm Ditanyakan : volume tabung Penyelesaian: Volume tabung = πr2t = 3,14 · (12)2 · 10 = 4.521,6 cm3 Jadi, volume tabung tersebut adalah 4.521,6 cm3 Contoh 2.5 Soal Diketahui jari-jari suatu tabung adalah 7,5 cm. Tentukan tinggi tabung tersebut jika volumenya 3.532,5 cm3. Jawab : Diketahui: r = 7,5 cm V = 3.532,5 cm3 Ditanyakan: tinggi (t) Penyelesaian: Volume = πr2t 3.532,5 = 3,14 (7,5)2 · t = 176,625 · t 3.532, 5 t= = 20 176, 625 Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm Problematika Contoh Diketahui suatu tabung 2.6 Soal memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika jari-jarinya Volume sebuah tabung adalah 20.790 cm3. Jika tinggi tabung tersebut 15 cm, tentukan 3 bh diperbesar menjadi r dan panjang jari-jari dan luas selimut tabung tersebut. 2 tingginya diperkecil menjadi Jawab : 1 Diketahui : t = 15 cm t, tentukan perbandingan 3 V = 20.790 cm3 volume tabung sebelum Ditanyakan : panjang jari-jari (r) dan luas selimut tabung. dan sesudah mengalami Penyelesaian: perubahan. Volume = πr2t • 22 2 20.790 = . r . 15 7 20.790 x 7 r2 = = 441 330 r = 441 = 21 cm 21 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 29. • Luas selimut tabung = 2πrt 22 = 2 . . 21 . 15 = 1.980 cm 2 7 Jadi, jari-jari tabung tersebut adalah 21 cm dan luas selimutnya 1.980 cm2. Contoh 2.7 Soal Jari-jari alas suatu tabung adalah 14 cm. Jika luas permukaannya 3.432 cm2, tentukan volume tabung tersebut. Jawab : Diketahui: r = 14 cm Luas permukaan = 3.432 cm2 Ditanyakan : volume (V) Penyelesaian: Luas permukaan = 2πr (r + t) 22 3.432 = 2 . .14 . (14 + t ) 7 = 1.232 + 88 · t 88 · t = 2.200 2.200 t= = 25 88 Volume = πr2t 22 . (14 )2 . 25 = 7 = 15.400 Jadi, volume tabung tersebut adalah 15.400 cm3 Uji Kompetensi 2.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 5. Perhatikan gambar berikut. 1. Hitunglah luas selimut tabung-tabung berikut. 8 dm 12 cm 8 cm 7 cm 16 dm 20 dm 14 cm 6 dm 16 cm 5 cm (a) (b) (c) (a) (b) Tentukan perbandingan luas permukaan tabung (a) 2. Diketahui suatu tabung memiliki jari-jari 4 cm. Jika dan tabung (b). tinggi tabung tersebut 16,5 cm, tentukan luas selimut tabung tersebut. 6. Sebuah tabung tanpa tutup memiliki jari-jari 6,5 cm Luas selimut suatu tabung 628 cm 2 . Tentukan dan tinggi 18 cm. Tentukan luas permukaan tabung 3. tersebut. tinggi tabung tersebut jika diketahui jari-jari alasnya 10 cm. 7. Diketahui jari-jari alas sebuah tabung 28 cm. Jika tingginya 20 cm, tentukan volume tabung 4. Hitunglah luas permukaan suatu tabung yang tersebut. memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi 12 cm. 22 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 30. 8. Hitunglah volume tabung-tabung berikut. 9. Sebuah tabung memiliki volume 192,5 cm3. Jika tinggi tabung tersebut adalah 0,5 dm, tentukan panjang jari-jari alasnya. 2,1 dm 10. Diketahui sebuah tabung memiliki luas selimut 7.536 cm2. Tentukan volume tabung tersebut jika 30 mm 70 dm tingginya 40 cm. 17 cm 4,5 mm 3,5 m (a) (b) (c) T B. Kerucut Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360°, di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Perhatikan Gambar 2.6 . Kerucut B pada Gambar 2.6 dapat dibentuk dari segitiga siku-siku TOA yang diputar, P Q O di mana sisi TO sebagai pusat putaran. A 1. Unsur-Unsur Kerucut Gambar 2.6 Kerucut. Amatilah Gambar 2.7 . Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut. a. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran (daerah yang diraster). b. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB. C c. Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB. d. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas garis CO). e. Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diraster. s t f. Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak C ke titik pada lingkaran. r Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan persamaan- A B O persamaan berikut. D Gambar 2.7 Kerucut. r2 = s2 − t2 t2 = s2 − r2 s2 = r2 + t2 2. Luas Permukaan Kerucut C Perhatikan kembali Gambar 2.7 . Jika kerucut tersebut dibelah sepanjang garis CD dan keliling alasnya, akan diperoleh jaring-jaring kerucut seperti pada Gambar s s 2.8. Jaring-jaring kerucut pada Gambar 2.8 terdiri atas: • juring lingkaran CDD' yang merupakan selimut kerucut. • lingkaran dengan jari-jari r yang merupakan sisi alas kerucut. D D' Pada Gambar 2.8 , terlihat bahwa panjang jari-jari juring lingkaran sama dengan s (garis pelukis kerucut). Adapun panjang busur DD' sama dengan keliling alas kerucut, yaitu 2πr. Jadi, luas selimut kerucut sama dengan luas juring CDD'. r Luas juring CDD ' Panjang busur DD ' = Luas lingkaran Keliling lingkaran Luas juring CDD' 2 π r Gambar 2.8 : Jaring-jaring kerucut. = 2πs πs 2 23 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 31. 2πr Solusi . πs 2 Luas juring CDD ' = 2πs Matematika = πrs Diketahui jari-jari alas Jadi, luas selimut kerucut = πrs. sebuah kerucut 3,5 cm dan tingginya 12 cm. Jika Luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas 22 digunakan π = = πrs + πr2 , luas sisi 7 = πr (s + r) kerucut tersebut adalah .... a. 132 cm Dengan demikian, pada kerucut berlaku rumus sebagai berikut. b. 154 cm Luas selimut kerucut = πrs c. 176 cm d. 198 cm Luas permukaan kerucut = πr (s + r) t s Jawab: r = 3,5 cm r Contoh t = 12 cm 2.8 Soal t2 + r2 s= 122 + 52 = Diketahui jari jari alas sebuah kerucut adalah 7 cm dan panjang garis pelukisnya 15 cm. ui ja ja i jari-jari = 12,5 Hitunglah luas permukaan kerucut tersebut. Luas sisi kerucut = πr (s + r) Jawab : 22 = · 3,5 · (12,5 + 3,5) 7 Diketahui: r = 7 cm = 176 cm2 s = 15 cm Jadi, luas sisi kerucut Ditanyakan: luas permukaan kerucut tersebut adalah 176 cm2. Penyelesaian: Jawaban: c Luas permukaan kerucut = πr (s + r) Soal UAN, 2003 = 22 . 7 . (15 + 7 ) = 484 cm 3 7 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 484 cm3 Contoh 2.9 Soal Jika diameter sebuah kerucut adalah 10 cm dan tingginya 12 cm, tentukan: t b a. panjang garis pelukis (s), b. luas selimut kerucut, c. luas permukaan kerucut. Jawab: Diketahui : d = 10 maka r = 5 cm t = 12 cm Ditanyakan : a. panjang garis pelukis (s) b. luas selimut kerucut c. luas permukaan kerucut Penyelesaian: a. s2 = t2 + r2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 s = 169 = 13 Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 13 cm. b. Luas selimut kerucut = πrs = 3,14 · 5 · 13 = 204,1 Jadi, luas selimut kerucut tersebut adalah 204,1 cm2. c. Luas permukaan kerucut = πr (s + r) = 3,14 · 5 · (13 + 5) = 282,6 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 282,6 cm2 24 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 32. Contoh 2.10 Soal Diketahui luas permukaan suatu kerucut adalah 376,8 dm2. Jika jari-jari alasnya 6 dm, tentukan panjang garis pelukis kerucut tersebut. Jawab: Diketahui: luas permukaan kerucut = 376,8 dm2 r = 6 dm Ditanyakan: panjang garis pelukis (s) Penyelesaian: Luas permukaan kerucut = πr (s + r) 376,8 = 3,14 · 6 · (s + 6) 376,8 = 18,84s + 113,04 376, 8 - 113, 04 = 14 s= 18, 84 Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 14 dm Contoh 2.11 Soal Jika luas selimut suatu kerucut adalah 113,04 cm2 dan jari-jarinya 4 cm, li tentukan luas permukaan kerucut tersebut. Jawab : Diketahui: luas selimut kerucut = 113, 04 cm2 r = 4 cm Ditanyakan: luas permukaan kerucut Penyelesaian: Luas selimut = πrs 113,04 = 3,14 · 4 · s = 12,56s 113, 04 =9 s= 12, 56 Luas perm ukaan = πr (s + r) = 3,14 · 4 · (9 + 4) = 12,56 · 13 = 163,28 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 163,28 cm2 (a) 3. Volume Kerucut Perhatikan Gambar 2.9 . Dapatkah kamu menemukan persamaan antara gambar (a) dan gambar (b)? Pada dasarnya, kerucut merupakan limas karena memiliki 1 titik puncak sehingga volume kerucut sama dengan volume limas, yaitu kali 3 luas alas kali tinggi. Oleh karena alas kerucut berbentuk lingkaran, volume kerucut dinyatakan oleh rumus sebagai berikut. 1 Volume kerucut = x luas alas x tinggi (b) 3 Gambar 2.9 : Limas dan Kerucut 12 πr t = 3 25 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 33. Contoh 2.12 Soal Hitunglah volume suatu kerucut yang memiliki jari-jari 2,5 dm dan tinggi 9 dm. hl Jawab : Diketahui: r = 2,5 dm t = 9 dm Ditanyakan: volume kerucut Penyelesaian: 12 πr t Volume kerucut = 3 [] 1 · 3,14 · (2,5)2 · 9 = 58,875 dm3 = 3 Jadi, volume kerucut tersebut adalah 58,875 dm3 Contoh 2.13 Soal T Jika panjang OA = 30 mm dan TA = 5 cm, hitunglah volume kerucut di samping. Jawab : Diketahui : OA = r = 30 mm = 3 cm O A TA = s = 5 cm Ditanyakan : volume kerucut Jawab: Situs Matematika t2 = s2 − r2 = 52 − 32 www.mate–mati–kaku.com com www.krenllinst.org = 25 − 9 = 16 t = 16 = 4 . . . Tinggi kerucut = 4 cm. 12 πr t Volume kerucut = 3 1 · 3,14 · (3)2 · 4 = 37,68 = 3 Jadi, volume kerucut tersebut adalah 37,68 cm3 Contoh 2.14 Soal Diketahui volume kerucut adalah 254,34 cm3. Jika jari-jarinya 4,5 cm, tentukan tinggi kerucut tersebut. Jawab : Diketahui: V = 254,34 cm3 r = 4,5 cm Ditanyakan: tinggi kerucut (t) Penyelesaian: 12 πr t Volume = 3 26 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 34. 1 2 254,34 = . 3, 14 . ( 4, 5 ) . t 3 1 254,34 = . 63, 585 . t 3 t = 254, 34 x 3 = 12 63, 585 Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 12 cm Contoh 2.15 Soal Diketahui jari-jari suatu kerucut adalah 9 dm. Tentukan volume kerucut tersebut jika luas permukaannya 678,24 dm2. Jawab : Diketahui: r = 9 dm luas permukaan = 678,24 dm2 Ditanyakan: volume kerucut Penyelesaian: Luas permukaan = 2r (s + t) 678,24 = 3,14 · 9 · (s + 9) = 28,26 · (s + 9) = 28,26 · s + 254,34 28,26 · s = 423,9 423, 9 = 15 s= 28, 26 Oleh karena garis pelukisnya 15 dm, t2 = s2 – r2 = 152 – 92 = 144 t = 144 = 12 Dengan tinggi 12 dm maka 1 Volume = 2r 2 t 3 1 = . 3, 14 (9 )2 . 12 3 = 1.017, 36 Jadi, volume kerucut tersebut adalah 1.017,36 dm3 Uji Kompetensi 2.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 4. Diketahui luas permukaan suatu kerucut 1. Hitunglah luas selimut kerucut yang memiliki jari- 2 438,815 dm . Jika jari-jarinya 6,5 dm, tentukan jari 10 cm dan panjang garis pelukis 17 cm. luas selimut kerucut tersebut. 2. Diketahui luas selimut suatu kerucut adalah 220 dm2. 5. Tentukan luas selimut dan luas permukaan suatu Jika panjang garis pelukisnya 14 dm, tentukan kerucut yang memiliki jari-jari 5 cm dan tinggi panjang jari-jari kerucut tersebut. 13 cm. 3. Jika jari-jari alas sebuah kerucut 6 dm dan tingginya 80 cm, hitunglah luas selimut dan luas permukaan kerucut tersebut. 27 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 35. 6. Hitunglah luas permukaan kerucut-kerucut berikut. 8. Hitunglah volume kerucut yang memiliki: a. r = 8 cm dan t = 15 cm b. r = 7 cm dan s = 25 cm c. r = 10 cm dan t = 21 cm 11 dm 9. Diketahui suatu kerucut memiliki jari-jari 5 cm 15 cm dan tinggi 12 cm. Tentukan: a. luas selimut kerucut, 7 dm 20 cm b. luas permukaan kerucut, (a) (b) c. volume kerucut. 10. Suatu kerucut memilki volume 1.884 dm3. Jika 160 mm tingginya 8 dm, tentukan: a. panjang jari-jari alas kerucut, b. panjang garis pelukis, 8,5 cm c. luas selimut kerucut, (c) d. luas permukaan kerucut. 7. Suatu kerucut memiliki jari-jari 70 mm dan luas selimut 308 cm2. Tentukan luas permukaan kerucut tersebut C. Bola O A B Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang (a) lengkung. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360° pada garis tengahnya. Perhatikan Gambar 2.10 . Gambar (a) merupakan gambar setengah lingkaran. Jika bangun tersebut diputar 360° O pada garis tengah AB, diperoleh bangun seperti pada gambar (b). A B 1. Luas Permukaan Bola Untuk mengetahui luas permukaan bola, lakukanlah kegiatan berikut dengan (b) kelompok belajarmu. Gambar 2.10 Bangun setengah lingkaran Kegiatan 2.1 dan Bola 1. Sediakan sebuah bola berukuran sedang, misalnya bola sepak, benang kasur, karton, penggaris, dan pulpen. 2. Ukurlah keliling bola tersebut menggunakan benang kasur. 3. Lilitkan benang kasur pada permukaan setengah bola sampai penuh, seperti pada gambar (i). benang kasur yang dililitkan pada permukaan setengah bola sampai penuh. bola sepak (i) 28 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 36. 4. Buatlah persegipanjang dari kertas karton dengan ukuran panjang sama dengan Tugas 2.2 keliling bola dan lebar sama dengan diameter bola seperti pada gambar (ii). Amatilah Gambar 2.10 (b). Coba tuliskan unsur-unsur yang dimiliki bola pada buku latihanmu. Bacakan hasilnya di depan kelasmu. (ii) 5. Lilitkan benang yang tadi digunakan untuk melilit permukaan setengah bola pada persegipanjang yang kamu buat tadi. Lilitkan sampai habis. benang kasur yang dililitkan persegipanjang dari karton 6. Jika kamu melakukannya dengan benar, tampak bahwa benang dapat menutupi persegipanjang selebar jari-jari bola (r). 7. Hitunglah luas persegipanjang yang telah ditutupi benang. Dapatkah kamu menemukan hubungannya dengan luas permukaan setengah bola? Dari Kegiatan 2.1 , jelaslah bahwa luas permukaan setengah bola sama dengan luas persegipanjang. Luas permukaan setengah bola = luas persegipanjang =p×l = 2πr × r = 2π r2 sehingga luas permukaan bola = 2 × luas permukaan setengah bola = 2 × 2πr2 = 4πr2 Jadi, luas permukaan bola dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Luas permukaan bola = 4πr2 Contoh 2.16 Soal Diketahui sebuah bola dengan jari-jari 7 dm. Tentukan luas permukaan bola i bh tersebut. Jawab: Diketahui: r = 7 dm Ditanyakan: luas permukaan bola 7 dm Penyelesaian: Luas permukaan bola = 4π r 2 22 = 4 . . ( 7 )2 = 616 7 Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah 616 dm2 29 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 37. Contoh 2.17 Soal permukaan suatu bola 154 cm 2, tentukan panjang jari-jari bola Jika luas permuk s perm k tersebut. Jawab: Diketahui : luas permukaan bola = 154 cm2 Ditanyakan : panjang jari-jari (r) Penyelesaian: Luas permukaan bola = 4πr 2 22 154 = 4 . . r 2 7 154 x 7 r2 = = 12, 25 88 r = 12, 25 = 3, 5 Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah 3,5 cm Contoh 2.18 Soal Tentukan luas per n permukaan sebuah bola yang berdiameter 56 mm. Jawab : Diketahui: d = 56 mm [] 56 r= mm = 28 mm 2 Ditanyakan: luas permukaan bola Penyelesaian: Luas permukaan bola = 4πr2 = 4 · 3,14 · (28)2 = 9.807,04 Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah 9.807,04 cm2 Contoh 2.19 Soal Sebuah bangun beberbentuk belahan bola padat memiliki jari-jari 10 cm. Tentukan luas permukaan bangun tersebut. Jawab : 1 Diketahui: belahan bola padat berbentuk bola dengan r = 10 cm. 2 Ditanyakan: luas permukaan belahan bola padat Penyelesaian: 1 Luas permukaan belahan bola padat = luas permukaan bola + luas lingkaran 2 1 = (4πr2) + ? r2 2 = 2πr2 + ? r2 = 3πr2 = 3 · 3,14 · (10)2 = 942 Jadi, luas permukaan bangun tersebut adalah 942 cm2 30 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 38. 2. Volume Bola Untuk mengetahui rumus volume bola, lakukan kegiatan berikut. Kegiatan 2.2 1. Siapkan sebuah wadah yang berbentuk setengah bola berjari-jari r (wadah (i)) dan sebuah wadah yang berbentuk kerucut berjari-jari r dan tingginya 2r (wadah (ii)). r r 2r (i) (ii) 2. Isikan pasir ke wadah (ii) sampai penuh. 3. Pindahkan pasir di dalam wadah (ii) ke wadah (i). Apakah yang terjadi? Dari kegiatan di atas, dapat dilihat bahwa volume pasir yang dituangkan ke dalam wadah setengah bola tidak berubah. Ini berarti, untuk bangun setengah bola, dan kerucut yang berjari-jari sama, dan tinggi kerucut sama dengan dua kali jari-jarinya maka : volume setengah bola = volume kerucut 1 1 volume bola = πr 2 t 2 3 43 22 πr (2 r ) = πr volume bola = 3 3 Jadi, volume bola dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. 43 πr Volume bola = 3 Contoh 2.20 Soal Hitunglah volume bola yang memiliki jari-jari 9 cm. hl Jawab: Diketahui: r = 9 cm 9 cm Ditanyakan: volume bola Penyelesaian: 4 Volume bola = pr 3 3 4 . 3, 14 . (9 )3 = 3.052,08 = 3 Jadi, volume bola tersebut adalah 3.052,08 cm3 31 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 39. Contoh 2.21 Sekilas Soal Matematika Hitunglah volume bangun di samping. 3 dm Jawab: Diketahui : r = 3 dm Ditanyakan : Volume setengah bola Penyelesaian: 14 Volume setengah bola = . πr 3 23 2 Sumber: . 3, 14 . ( 3)3 = 56, 52 = 3 Gunung es adalah suatu bongkahan es air tawar Jadi, volume bangun tersebut adalah 56,52 dm3 yang telah terpecah dari gletser dan mengambang di perairan terbuka. Pada Contoh umumnya, sekitar 90% 2.22 Soal volume gunung es berada di bawah permukaan laut. Diketahui volume sebuah bola adalah 38.808 cm3. Tentukan diameter bola tersebut. Sumber: www.id.wikipedia.org Jawab : Diketahui: volume = 38.808 cm3 Ditanyakan: diameter (d) Penyelesaian: 4 Volume = πr3 3 4 22 38.808 = . · r3 37 88 3 = ·r 21 21 r3 = 38.808 × 88 = 9.261 r = 3 9.261 = 21 Oleh karena panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jarinya, d = 2r = 2 · 21 = 42. Jadi, diameter bola tersebut adalah 42 cm Contoh 2.23 Soal Diketahui volume udara yang dimasukkan ke dalam sebuah bola sepak plastik adalah 4.846,59 cm3. Tentukan panjang jari-jari bola sepak tersebut. Jawab: Diketahui: volume udara = volume bola = 4.846,59 cm3. Ditanyakan: panjang jari-jari bola (r) Penyelesaian: 4 Volume bola = πr 3 3 3 . 3, 14 . r 3 4.846,59 = 4 32 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 40. 4.846, 59 x 3 r3 = = 1.157, 625 4 x 3, 14 r = 3 1.157, 625 = 10, 5 Jadi, panjang jari-jari bola sepak tersebut adalah 10,5 cm Uji Kompetensi 2.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 6. Tentukan volume bola yang memiliki: 1. Diketahui sebuah bola memiliki panjang jari-jari a. r = 5 cm 5 cm. Hitunglah luas permukaan bola tersebut. b. r = 4,2 dm 2. Hitunglah luas permukaan setengah bola padat yang c. d = 12 cm berjari-jari 14 mm. 7. Hitunglah volume sebuah bola yang memiliki jari- 3. Suatu bola memiliki luas permukaan 803,84 cm2. jari 3 dm. Tentukan panjang jari-jari bola tersebut. 8. Diketahui volume sebuah bola adalah 381,51 cm3. 4. Dua bola jari-jarinya masing-masing adalah r1 dan Tentukan panjang jari-jari bola tersebut. r2. Adapun luas permukaannya masing-masing L1 9. Diketahui volume sebuah kerucut sama dengan dan L2. Jika r2 = 3r1, tentukan perbandingan L1 : L2. volume sebuah bola. Jika jari-jari alas kerucut 5. Perhatikan gambar berikut. sama dengan jari-jari bola, yaitu r, nyatakan tinggi kerucut dalam r. Hitunglah luas permukaan bangun tersebut. 10. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Jika diameter bola sama dengan diameter tabung, yaitu 18 cm 12 cm, dan tinggi tabung sama dengan 20 cm, 4 cm tentukan volume tabung di luar bola. Rangkuman • • Yang termasuk bangun ruang sisi lengkung Pada sebuah kerucut, berlaku rumus-rumus: adalah tabung, kerucut, dan bola. Luas selimut = 2rs • Pada sebuah tabung, berlaku rumus-rumus: Luas permukaan = 2r (r + s) s 1 Volume = 2r2t t 3 Luas selimut = 22rt r Luas permukaan = 22r (r + t) t Volume = 2r2t r • Pada sebuah bola, berlaku rumus-rumus: Luas permukaan = 42r2 r 4 Volume = 2r 3 3 33 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 41. Pada bab Bangun Ruang Sisi Lengkung ini, materi apa sajakah yang belum kamu pahami dan sudah kamu pahami dengan baik? Pada bab ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini? Peta Konsep Bangun Ruang Sisi Lengkung meliputi Tabung Kerucut Bola rumus rumus rumus Luas selimut kerucut = 2rs Luas permukaan bola = 42r2 Luas selimut tabung = 22rt Luas permukaan kerucut = 2r (r + s) 4 Volume = 2r 3 Luas permukaan tabung = 22r (r + t) Volume = 2r2t 12 Volume = 2r t 3 3 34 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 42. Uji Kompetensi Bab 2 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Yang tidak termasuk bangun ruang sisi lengkung 8. Sebuah tangki minyak berbentuk tabung berisi adalah .... minyak sebanyak 183,69 liter. Jika jari-jari tangki tersebut adalah 30 cm, tingginya adalah .... a. kerucut c. balok a. 3,5 dm c. 5,5 dm b. tabung d. bola b. 4,5 dm d. 6,5 dm 2. Selimut tabung berbentuk .... 9. Luas selimut suatu kerucut 353,25 cm. Jika a. juring lingkaran jari-jari alas kerucut tersebut 7,5 cm, luas b. persegipanjang permukaan kerucut tersebut adalah .... c. segitiga a. 529,875 cm2 d. lingkaran b. 451,777 cm2 3. Sebuah tabung jari-jarinya 3,5 cm dan tingginya c. 397,256 cm2 10 cm. Luas selimut tabung tersebut adalah .... d. 354,106 cm2 a. 2.200 cm2 c. 219,8 cm2 10. Jika d adalah diameter alas kerucut dan t adalah b. 220 cm2 d. 2.198 cm2 tinggi kerucut, luas permukaan kerucut dinyatakan 4. Diketahui diameter sebuah tabung 8 cm. Jika dengan rumus .... tingginya 16 cm, luas permukaan tabung a. πd (d + s) tersebut adalah .... ⎛1 ⎞ 1 a. 251,2 cm2 πd ⎜ d + s ⎟ b. ⎝2 ⎠ 2 b. 160 cm2 c. 125,6 cm2 ⎛ 1⎞ 1 πd ⎜ d + s ⎟ c. d. 502,4 cm2 ⎝ 4⎠ 4 5. ⎞ 1 ⎛1 πd ⎜ d + s ⎟ Gambar di samping menunjukkan d. ⎠ ⎝4 2 sebuah tabung tanpa tutup. Luas 16 dm permukaan tabung tersebut adalah 11. Sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 4 cm dan .... tinggi 12 cm. Volume kerucut tersebut adalah .... 7 dm a. 200,96 cm3 c. 301,44 cm3 b. 150,75 cm3 d. 602,88 cm3 a. 154 dm2 12. Volume sebuah kerucut adalah 588,75 mm3. Jika b. 704 dm2 jari-jarinya 7,5 mm, tingginya adalah .... c. 858 dm2 a. 6 mm c. 10 mm d. 975 dm2 b. 8 mm d. 12 mm Diketahui luas permukaan tabung 2.992 dm 2. Jika 6. 13. Perbandingan volume dua kerucut yang jari-jarinya jari-jari alasnya 14 dm, tinggi tabung tersebut 3 cm dan 9 cm adalah .... adalah .... a. 3 : 4 c. 1 : 7 a. 7 dm c. 20 dm b. 2 : 5 d. 1 : 9 b. 14 dm d. 22 dm 14. Sebuah tempat es krim yang berbentuk kerucut Volume tabung yang jari-jarinya 6,5 cm dan 7. memiliki diameter 5 cm dan tinggi 12 cm. Banyak tingginya 15 cm adalah .... es krim yang diperlukan untuk mengisi tempat a. 1.897,691 cm3 tersebut sampai penuh adalah .... b. 1.835,433 cm3 a. 60 cm3 c. 471 cm3 c. 1.995,866 cm3 b. 314 cm3 d. 942 cm3 d. 1.899,975 cm3 35 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 43. 15. Perhatikan gambar berikut. 19. Diketahui volume sebuah bola adalah 36π m3. Luas permukaan bola tersebut adalah ... Luas permukaan benda tersebut a. 9π m2 c. 36π m2 s adalah .... b. 18π m2 d. 72π m2 a. πrs + 4πr + πr2 20. Volume bola terbesar yang dapat dimasukkan ke b. πr (s + 2t + r) dalam kubus dengan panjang rusuk 12 cm adalah c. πr (s + 4t + r) t ... d. πrs + 2πrt + πr2 a. 904,32 cm3 c. 673,11 cm3 b. 343,89 cm3 d. 510,88 cm3 16. Luas permukaan bola yang berjari-jari 4 cm adalah B. Kerjakanlah soal-soal berikut. .... 1. Diketahui volume sebuah tabung 196,25 cm3. Jika a. 96,375 cm2 c. 200,96 cm2 tingginya 10 cm, tentukan: b. 100,43 cm2 d. 213,01 cm2 a. panjang jari-jari kerucut, 17. Perhatikan gambar berikut. b. luas selimut kerucut, c. luas permukaan kerucut. 2. Sebuah bak air yang berbentuk tabung dengan jari- jari lingkaran alas 1 m dan tinggi 1 m akan diisi penuh dengan air. Jika setiap 1 menit air yang 9 dm 2 1 3 dm diisikan adalah liter, tentukan: 2 a. volume bak air dalam liter, 5 dm b. waktu yang diperlukan untuk mengisi bak air itu sampai penuh (dalam jam). 3. Luas selimut suatu kerucut 1.177,5 cm 2 dan jari- Luas permukaan bangun tersebut adalah .... jarinya 15 cm. Tentukan: a. 47,1 dm2 c. 169,56 dm2 a. panjang garis pelukis, b. 56,52 dm2 d. 273,18 dm2 b. luas permukaan kerucut. 18. Diketahui bangun setengah bola padat memiliki 4. Diketahui jari-jari alas kerucut 7 cm dan tinggi- jari-jari 10 cm. Luas permukaan bangun tersebut nya 9 cm. adalah ... a. Sketsalah gambar kerucut dengan ukurannya. a. 942 cm2 c. 628 cm2 b. Hitunglah volume kerucut tersebut dengan b. 853 cm2 d. 314 cm2 langkah langkahnya. 5. Sebuah bola berdiameter 7 dm. Tentukan: a. luas permukaan bola, b. volume bola. 36 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 44. Bab 3 Sum b er: D okumentas i Penulis Statistika A. Penyajian Data Di Sekolah Dasar, kamu telah mempelajari Statistika, di antaranya cara menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung rata-rata dari B. Ukuran sekelompok data. Pada bagian ini, materi tersebut akan dikembangkan Pemusatan Data sampai dengan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran data. C. Ukuran Lima orang siswa ditanya mengenai waktu belajar di rumah setiap Penyebaran harinya, hasilnya ditampilkan pada tabel berikut. Data Nama Waktu (menit) Hanif 30 Erika 60 Maria 60 Cucu 75 Yadi 30 Dari tabel tersebut, dapatkah kamu menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut? a. Siapakah yang waktu belajarnya paling lama? b. Berapa menit rata-rata kelima siswa tersebut belajar di rumah setiap harinya? c. Berapa menit jangkauannya? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik. 37
  • 45. Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. Tentukan nilai terkecil dan nilai terbesar dari 4. Hitunglah: bilangan-bilangan berikut. 5 + 8 + 7 + 9 + 7 + 7+ 6 a. a. 3, 2, 5, 2, 1, 6, 7, 9, 8, 5, 5 7 b. 23, 30, 35, 36, 25, 27, 35, 28, 27 (2 × 3) + (6 × 4 ) + (2 × 5 ) 2. Urutkan mulai dari yang terbesar. b. 8 a. 8, 9, 3, 5, 4, 7, 8, 8, 9, 9, 5 b. 53, 25, 29, 43, 20, 11, 49, 38 5. 3. Hitunglah: 20° a. 1 × 360° 75° Tentukan nilai x. 90° 8 x 65° 2 b. × 360° 3 A. Penyajian Data 1. Pengertian Data dan Statistika Statistika sangat erat kaitannya dengan data. Oleh karena itu, sebelum membahas mengenai statistika, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai data. Data merupakan kumpulan datum, di mana datum merupakan fakta tunggal. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Ibu guru meminta Ratna untuk mengukur tinggi badan lima siswa Kelas XI A secara acak. Hasilnya adalah sebagai berikut. Tabel 3.1 Daftar tinggi badan lima siswa Kelas IX A Nama Dwi Willi Nita Wulan Dani Tinggi (cm) 155 160 158 160 165 Perhatikan Tabel 3.1 . Bilangan 155 cm merupakan tinggi badan seorang siswa. Fakta tunggal ini dinamakan datum Adapun hasil seluruh pengukuran . terhadap lima orang siswa disebut data. Berdasarkan data yang diperoleh pada Tabel 3.1 , Ratna menyimpulkan bahwa dari kelima siswa tersebut, (i) siswa yang paling tinggi badannya adalah Dani, (ii) siswa yang paling pendek badannya adalah Dwi, dan Tugas 3.1 (iii) tinggi badan Willi dan Wulan sama. Tuliskan olehmu, langkah- Ketika Ratna menarik kesimpulan di atas, sebenarnya ia telah menggunakan langkah kegiatan yang dilakukan Ratna ketika statistika. Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, melakukan perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan a. pengumpulan data, data yang diperoleh. b. pengolahan data, dan c. penarikan kesimpulan. Berdasarkan jenisnya, data dibedakan menjadi 2 macam, yaitu: Bacakan hasilnya di depan a. Data Kuantitatif, yaitu data yang berupa bilangan dan nilainya bisa kelasmu. berubah-ubah. Contoh: Jumlah siswa Kelas IX SMP Tunas Harapan sebanyak 650 siswa. 38 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 46. b. Data Kualitatif, yaitu data yang menggambarkan keadaan objek yang Sekilas dimaksud. Matematika Contoh : Selain ramah, Andri juga pintar. Statistika telah digunakan 2. Populasi dan Sampel ribuan tahun yang lalu. Statistika awal, seperti Untuk menarik kesimpulan, kadang-kadang tidak diambil berdasarkan sensus bangsa Babilonia keseluruhan data. Misalnya, seorang peneliti ingin menguji kandungan air kuno, Mesir kuno, dan di sebuah sungai sehingga air tersebut layak diminum atau tidak. Untuk Cina kuno, digunakan untuk menghitung jumlah mengetahuinya, tentu tidak praktis untuk menguji semua air yang ada di populasi untuk tujuan sungai tersebut. Peneliti tersebut cukup mengambil satu gelas air sungai untuk pemungutan pajak. diuji. Pada kasus ini, seluruh air tersebut dinamakan populasi, sedangkan Sejak awal abad ke-15 sampai sekarang, ahli-ahli satu gelas air untuk diuji dinamakan sampel. statistika mulai menyadari bahwa statistika bisa Contoh 3.1 digunakan dalam bidang Soal yang lebih luas, seperti industri, kedokteran, Tentukan popula dan sampel yang mungkin jika seseorang ingin mengetahui an populasi genetika, dan lain-lain. tingkat penghasilan setiap kepala keluarga di suatu kelurahan. Sumber: Ensiklopedi Matematika Jawab: dan Peradaban Manusia, 2002 Seluruh kepala keluarga yang ada di kelurahan tersebut merupakan populasi. Adapun beberapa kepala keluarga yang ditanya di kelurahan tersebut merupakan sampel 3. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Untuk memudahkan membaca data, biasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. Pada bagian ini, akan dibahas penyajian data dalam bentuk tabel. Diketahui data nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A sebagai berikut. 6 8 7 6 6 5 7 8 8 5 9 9 8 6 7 7 7 6 8 7 10 8 8 6 6 5 9 9 7 6 Dapatkah kamu membaca data tersebut? Tentu saja dapat, meskipun untuk membacanya memerlukan waktu yang cukup lama. Jika data tersebut disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, hasilnya akan tampak sebagai berikut. Tabel 3.2 Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A Nilai Turus Jumlah Siswa 5 3 6 8 7 7 8 7 9 4 10 1 Jumlah 30 Sekarang, coba kamu baca data yang telah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, kemudian bandingkan, manakah yang lebih mudah untuk dibaca? 39 Statistika
  • 47. Contoh 3.2 Soal Diketahui d t b i data berat badan (dalam kg) 30 balita di sebuah kelurahan adalah sebagai berikut. 30 30 28 27 25 29 30 25 28 30 27 25 30 26 29 29 27 25 27 26 26 25 28 30 27 27 30 30 26 26 Sajikan data tersebut dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Situs Matematika Jawab: www.library. gunadarma.ac.id a ac id ac id Berat Badan (kg) Turus Frekuensi www. mathworld.wolfram. com 25 5 26 5 27 6 28 3 29 3 30 8 Jumlah 30 4. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram a. Diagram Gambar Diagram gambar atau piktogram adalah bagan yang menampilkan data dalam bentuk gambar. Menyajikan data dalam bentuk piktogram merupakan cara yang paling sederhana. Contoh 3.3 Soal Jumlah penduduk di suatu kecamatan adalah sebagai berikut. ddk Kelurahan A sebanyak 800 orang. Kelurahan B sebanyak 650 orang. Kelurahan C sebanyak 700 orang. Sajikan data tersebut dalam bentuk piktogram. Jawab: Kelurahan Jumlah Penduduk ( = 100 orang) A B C Pada dasarnya, penyajian data dalam bentuk piktogram memang menarik. Akan tetapi, penggunaan piktogram sangatlah terbatas. Misalnya pada Contoh Soal 3.3 , bagaimanakah cara menggambarkan piktogram kelurahan D yang memiliki penduduk sebanyak 627 orang? Dapatkah kamu menggambarkannya? 40 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 48. b. Diagram Batang Diagram batang biasanya digunakan untuk menyajikan data dalam bentuk kategori. Untuk menggambar diagram batang, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan. Terdapat dua macam diagram batang, yaitu diagram batang vertikal dan diagram batang horizontal. Contoh 3.4 Soal Diketahui d t suhu minimum dan suhu maksimum di kota A, B, C, D, dan E sebagai i data berikut. Kota ABCD E Suhu Minimum (°C) 10 15 15 12 20 Suhu Maksimum (°C) 25 30 32 27 35 Sajikan data suhu minimum dalam diagram batang vertikal dan suhu maksimum dalam diagram batang horizontal. Jawab: a. Diagram Batang Vertikal b. Diagram Batang Horizontal 20 E Suhu minimum (°C) 15 D 10 Kota C 5 B A A B C D E Kota 5 10 15 20 25 30 35 Suhu maksimum (°C) c. Diagram Garis Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang berkesi- nambungan dan berkala. Seperti pada diagram batang, untuk menggambar diagram garis, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan. Contoh 3.5 Soal Diketahui data jumlah TV berwarna yang terjual di toko elektronik Maju Bersama ui ju setiap bulannya pada tahun 2006 adalah sebagai berikut. Bulan Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sept Okt Nov Des Jumlah 20 15 12 10 15 17 10 10 15 20 15 25 TV Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram garis. 41 Statistika
  • 49. Jawab: 25 20 Jumlah TV 15 10 5 Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agt Sep Okt Nov Des Tugas 3.2 Bulan Carilah informasi bagaimana menyajikan diagram lingkaran dalam persen (%). d. Diagram Lingkaran Kemudian, sajikan data pada Diagram lingkaran biasanya digunakan untuk menunjukkan perbandingan Contoh Soal 3.6 dalam bentuk diagram lingkaran suatu data terhadap keseluruhan. Biasanya, besar daerah pada lingkaran dalam persen (%) dinyatakan dalam persen (%) atau derajat (° ). Untuk diagram lingkaran yang dinyatakan dalam derajat, kamu harus membagi lingkaran menjadi juring-juring atau sektor-sektor. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut. Solusi Contoh Matematika 3.6 Soal Diagram di bawah ini Diketahui data w ui warna yang disukai 40 anak usia 12 sampai dengan 15 tahun sebagai menggambarkan hobi 40 siswa di suatu sekolah. berikut. Warna Frekuensi Menari Menyanyi Putih 10 (musik) 72˚ 126˚ Voli 36˚ Merah muda 4 72˚ Sepak Merah 8 bola Melukis Biru 8 Kuning 5 Banyak siswa yang hobi sepakbola adalah .... Hijau 5 a. 4 orang b. 6 orang Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram lingkaran. c. 8 orang d. 14 orang Jawab: Jawab: Sebelum menyajikan data tersebut dalam bentuk diagram lingkaran, tentukan besar Jumlah siswa = 40 siswa. sudut pusat juring untuk setiap warna. Besar sudut untuk siswa 8 10 yang gemar sepakbola × 360° = 90° Biru = × 360° = 72° Putih = adalah 40 40 360˚– (36˚+ 72˚ + 126 ˚ + 72˚ ) = 54°. 4 5 Merah muda = × 360° = 36° Kuning = × 360° = 45° Jadi, banyaknya siswa yang 40 40 hobi sepakbola adalah 8 5 54˚ Merah = × 360° = 72° Hijau = × 360° = 45° x 40 siswa = 6 siswa. 360˚ 40 40 Jawaban: b Soal UN, 2007 42 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 50. Diagram lingkaran adalah sebagai berikut. Tugas 3.3 Hijau Bersama kelompok belajarmu, Putih carilah contoh lain 45° penggunaan diagram batang, Kuning 90° garis, dan lingkaran dalam 72° 36° kehidupan sehari-hari. Kamu Biru 72° Merah Muda dapat mencarinya di koran atau majalah. Kemudian, Merah ceritakan data yang diwakili diagram-diagram tersebut di depan kelas Uji Kompetensi 3.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 7. Banyaknya buku yang terjual di toko buku Gemar 1. Tentukan populasi dan sampel yang mungkin dari Membaca selama satu minggu adalah sebagai pernyataan-pernyataan berikut ini. berikut. a. Petugas puskesmas ingin mengetahui tingkat kesehatan balita di suatu kelurahan. Hari Jumlah Buku b. Ibu mencicipi sayur sop untuk mengetahui Senin 40 rasanya. Selasa 25 2. Buatlah masing-masing tiga contoh populasi dan Rabu 35 sampelnya. Kamis 40 3. Diketahui nilai tes IPA 20 siswa sebagai berikut. Jumat 30 78 53 60 65 88 78 60 50 77 53 Sabtu 50 55 80 85 85 85 70 70 65 53 78 Minggu 55 Tentukan datum terkecil dan datum terbesar dari data tersebut. Buatlah diagram garis dari data tersebut. 4. Berikut adalah tabel jenis olahraga yang disukai 8. Perhatikan diagram batang berikut. oleh siswa Kelas IX A. 300 Jenis Olahraga Jumlah Siswa 250 Sepakbola 30 Bulutangkis 25 200 Kasti 10 150 Basket 20 Voli 15 100 Sajikan data tersebut dalam bentuk piktogram. 50 5. Banyak anak yang dimiliki setiap keluarga di suatu daerah adalah sebagai berikut. 2001 2002 2003 2004 2005 2006 4, 3, 4, 0, 0, 1, 2, 4, 5, 3 , 2, 3, 5, 2, 2, 2, 1, 0, 0 Perempuan Sajikan data tersebut dalam bentuk tabel distribusi Laki-laki frekuensi, kemudian tentukan: a. Buatlah judul yang sesuai dengan diagram a. banyak keluarga yang disurvei. batang tersebut. b. banyak keluarga yang tidak memiliki anak. b. Pada tahun berapa terjadi kenaikan jumlah 6. Misalkan, data mengenai jumlah siswa SD, SMP, perempuan dan laki-laki terbesar ? SMA, dan Perguruan Tinggi di suatu kota pada c. Pada tahun berapa terjadi penurunan jumlah tahun 2006 berturut-turut adalah 14.600 orang, perempuan dan laki-laki terbesar ? 12.800 orang, 9.500 orang, dan 6.700 orang. Buatlah diagram batang dari data tersebut. 43 Statistika
  • 51. 9. Diketahui data cara 100 siswa Kelas IX pergi ke 10. Perhatikan diagram lingkaran berikut. sekolah. Jenis Kendaraan Jumlah Siswa Ketela Jagung Jalan kaki 20 90° 72° Gandum Bis 15 180° Angkutan umum 25 Padi Sepeda 30 Jemputan 10 Diagramlingkarantersebutmenunjukanbanyaknya Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut. hasil pertanian (dalam ton) di suatu daerah. Jika hasil pertanian di daerah tersebut 40 ton, tentukan jumlah hasil panen padi, jagung, gandum, dan ketela. B. Ukuran Pemusatan Data 1. Mean Salah satu ukuran pemusatan data adalah mean atau rata-rata. Mean suatu Sudut Tekno data adalah jumlah seluruh datum dibagi oleh banyaknya datum. Mean dilambangkan dengan huruf kecil dengan garis diatasnya. Misalnya n , x , atau Perhitungan mean dapat n y . Akan tetapi, biasanya mean dilambangkan dengan x (dibaca eks bar). dilakukan dengan kalkulator Jika suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ... xn, mean dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut. Misalnya, diketahui data sebagai berikut. Jumlah datum x1 + x2 + ... + xn = Mean ( x ) = 6, 7, 6, 8, 5, 7 n Banyak datum Untuk menghitung Contoh mean dari data tersebut, 3.7 Soal sebelumnya kamu harus Nilai delapan ka ulangan Matematika Dina adalah sebagai berikut. elapan kali lapan kal menset kalkulator tersebut 8, 8, 6, 7, 6, 7, 9, 9 pada fungsi statistika, yaitu Tentukan mean dari data tersebut. dengan mene dengan mene menekan tombol Jawab: MODE 3 . Kemudian, Kemudian, Kemudian E jumlah datum 8+8+6 +7+6 +7+9 + tekan tombol SH FT K tekan tombol SHIFT KAC ekan ombo SHIFT T kan mbo n m olo x= = banyak datum 8 6 DATA 7 DATA 6 DATA AT DAT DATA 60 DATA 8 DATA 5 DATA DATA AT TA DA = = 7, 5 8 7 DATA . Kemudian, untuk menentukan meanny tekan ntuk n ntukan meannya, tuk anny a Jadi, mean dari data tersebut adalah 7,5 tombol SHIFT x . Hasilnya T ol o pada layar adalah 6,5. p y Contoh 3.8 Soal Rata-rata nilai ulangan Geografi 10 orang siswa adalah 7,0. Jika nilai Rino il i dimasukkan, nilai rata-rata tersebut berubah menjadi 6,8. Tentukan nilai ulangan Geografi Rino. Jawab: x + x +... + xn x= 1 2 n x1 + x2 +... + x10 7,0 = maka x1 + x2 +... + x10 =70 10 44 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 52. Jika nilai Rino (xn + 1 = x11) dimasukkan, x + x + ... + x10 + x11 70 + x11 6,8 = 1 2 maka 6, 8 = 11 11 74,8 = 70 + x11 x11 = 74,8 – 70 = 4,8 Tabel 3.3 Tabel distribusi Jadi, nilai ulangan Geografi Rino adalah 4,8 frekuensi Nilai Frekuensi (x i) (f i) Misalkan suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ... xi, dan memiliki frekuensi f1, f2, ..., fi seperti yang disajikan pada Tabel 3.2 . x1 f1 Mean dari data tersebut dinyatakan oleh rumus sebagai berikut. x2 f2 . . f1 x1 + f2 x2 +... + fi xi . . x= f1 + f2 +... + fi . . xn fn Contoh 3.9 Soal Hasil pengukuran berat badan 10 siswa SMP disajikan di dalam tabel distribusi engukura engukuran frekuensi seperti pada gambar tersebut. Berat Badan (kg) Frekuensi fi·xi (xi) (fi) Solusi 42 2 84 Matematika 43 3 129 44 1 44 Perhatikan tabel di bawah ini. 45 4 80 Jumlah 10 437 Nilai 4 5 678 Frekuensi 2 4 752 Tentukan mean dari data tersebut. Jawab: Tabel tersebut menunjukkan f x + f x +f x + f x data nilai ulangan x= 1 1 2 2 3 3 4 4 matematika sekelompok f1 + f2 + f3 + f4 siswa. Nilai rata-rata dari ( 2 x 42 ) + ( 3 x 43) + (1 x 44 ) + ( 4 x 45 ) data tersebut adalah .... = a. 6,50 c. 6,00 2 + 3 +1+ 4 b. 6,05 d. 5,00 Jawab: 84 + 129 + 44 + 80 437 = 43, 7 = = jumlah datum Rata-rata = 10 10 banyak datum Jadi, mean dari data tersebut adalah 43,7 kg 8 + 20+ 42 + 35+ 16 = 20 2. Modus 121 = = 6, 05 Dalam 12 kali ulangan Bahasa Indonesia, Ucok memperoleh tujuh kali nilai 8. 20 Jadi, rata-ratanya adalah Artinya, nilai yang paling sering diperoleh Ucok adalah 8. Dalam statistika, 6,05. nilai yang paling sering muncul di dalam suatu data disebut modus Modus . Jawaban: b suatu data bisa satu, dua, tiga, atau lebih, bahkan tidak ada. Soal UN, 2006 Contoh 3.10 Soal Berikut adalah d penjualan berbagai merek TV berwarna di toko elektronik d l h data Maju selama satu bulan. Merek A B C D E F Jumlah 5 3 7 4 5 6 45 Statistika
  • 53. TV berwarna merek apakah yang paling banyak terjual selama satu bulan tersebut? Jawab: Modus = nilai yang paling sering muncul =7 Jadi, TV berwarna yang paling banyak terjual adalah TV merek C Contoh 3.11 Soal Diberikan sek mp an sekumpulan data sebagai berikut. k 1, 4, 3, 5, 2, 3, 2, 2 , 5, 4, 3, 1 Tentukan modus dari data tersebut. Jawab: Perhatikan data tersebut dan beri tanda pada datum/nilai yang paling sering muncul. 1, 4, 3, 5, 2 , 3, 2 , 2 , 5, 4, 3, 1 Datum yang paling sering muncul adalah 2. Jadi, modus dari data tersebut adalah 2 3. Median Median adalah nilai tengah suatu data yang telah diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian sama banyak. Cara penentuan median tergantung pada banyaknya datum. Jika pada suatu data jumlah datumnya ganjil, mediannya adalah nilai tengah data yang telah diurutkan. Jika pada suatu data jumlah datumnya genap, mediannya adalah mean dari dua datum yang di tengah setelah data diurutkan. Contoh 3.12 Soal Tentukan median dari data berikut. di 6, 7, 6, 6, 5, 8, 7 Jawab: Urutkan data terlebih dahulu. 5, 6, 6, 6 , 7, 7, 8 (banyaknya datum = 7 (ganjil)). v Median Jadi, median dari data tersebut adalah 6 Contoh 3.13 Soal Setelah d l delapan k ulangan Fisika, Budhi memperoleh nilai sebagai berikut. kali 7, 7, 10, 8, 6, 6, 7, 8. Tentukan median dari data tersebut. Jawab: Setelah diurutkan, data nilai Fisika Budhi akan tampak seperti berikut. 6, 6, 7, 7, 7, 8 8, 10 (banyaknya datum = 8 (genap)). v 7+7 Median = =7 2 Jadi, median dari data tersebut adalah 7 46 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 54. Contoh 3.14 Soal Tentukan mean, modus, dan median data pada tabel-tabel berikut. a. b. Nilai (xi) Frekuensi (fi) Nilai (xi) Frekuensi (fi) 5 5 4 3 6 6 5 5 7 7 5 8 8 8 8 8 9 9 2 5 10 10 1 3 Jawab: x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 + x4 f4 + x5 f5 + x6 f6 a. (i) Mean = x = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 (5 × 4 )+ (6 × 5 )+ ( 7 × 5 )+ (8 × 8 )+ (9 × 2 )+ (10 × 1) = 4 + 5 + 5+ 8 + 2 + 1 177 = 7, 08 = 25 Jadi, mean dari data tersebut adalah 7,08. (ii) Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Pada tabel (a), nilai yang paling sering muncul adalah 8. Jadi, modus data tersebut adalah 8. (iii) Oleh karena banyak datum pada tabel (a) adalah 25 (ganjil), mediannya n+ 1 25 + 1 16 adalah datum ke- = datum ke- = datum ke- = datum ke-13. 2 2 2 Dari tabel (a) diketahui: • datum ke-1 sampai dengan datum ke-4 adalah 5. • datum ke-5 sampai dengan datum ke-9 adalah 6. • datum ke-10 sampai dengan datum ke-14 adalah 7. Oleh karena datum ke-13 terletak pada interval ke-3, mediannya adalah 7. b. Coba kamu tentukan mean, modus, dan median pada tabel (b). bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumu Uji Kompetensi 3.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 4. Data nilai ulangan Bahasa Indonesia 15 siswa 1. Tentukan mean dari data-data berikut. Kelas XI adalah sebagai berikut. a. 3, 2, 4, 3, 3, 5, 4 7, 5, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 4, 5, 9, 5, 6, 4 b. 12, 14, 14, 13, 10, 12 Jika siswa yang dianggap lulus adalah yang nilainya c. 27, 30, 29, 28, 27, 30, 28, 27 di atas rata-rata, tentukan banyak siswa yang lulus. d. 7,5; 6,5; 4,5; 6,5; 4,5; 5,5; 5,5; 6,5; 7,5; 7,5 5. Berdasarkan hasil survei yang dilakukan oleh sebuah 2. Mean dari 10 data adalah 5,8. Tentukan jumlah perusahaan pakaian selama satu bulan, diperoleh seluruh data tersebut. data nomor celana yang terjual selama satu bulan, 3. Rata-rata tinggi badan 15 anak adalah 152 cm. yaitu sebagai berikut. Jika tinggi badan Indra dimasukkan ke dalam 27 35 32 30 30 32 32 28 perhitungan tersebut, rata-ratanya menjadi 152,5 cm. 29 30 32 27 27 30 28 29 Tentukan tinggi badan Indra. 29 29 27 28 28 30 32 27 Tentukan modus dari data tersebut. 47 Statistika
  • 55. 6. Diagram garis berikut menunjukkan banyak pasien 8. Tentukan mean, modus, dan median dari data Puskesmas Jayasehat selama 6 hari. berikut. 8, 9, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 6, 6, 8 35 9. Diketahui hasil ulangan Matematika 30 orang siswa adalah sebagai berikut. 30 5 6 7 6 7 8 8 5 9 10 25 9957787666 Jumlah Pasien 5 8 8 7 6 9 10 10 8 7 20 a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya b. Tentukan mean, modus, dan mediannya. 15 10. Sebuah perusahaan sepatu ingin mengetahui ukuran 10 sepatu yang harus diproduksi paling banyak. Setelah survei selama tiga bulan, diperoleh data 5 nomor sepatu yang banyak dijual, yaitu sebagai berikut. Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu 40 42 39 38 40 39 42 40 37 36 Hari 39 39 40 38 37 37 40 39 39 36 a. Berapakah jumlah seluruh pasien Puskemas 39 36 37 38 40 40 37 40 37 39 Jayasehat selama 6 hari itu? a. Tentukan mean, modus, dan median dari data b. Pada hari apakah jumlah pasien yang paling tersebut. banyak? b. Nilai apakah yang tepat untuk menentukan 7. Tentukan median dari data-data berikut. nomor sepatu yang harus diproduksi paling banyak? Mean, modus, atau median? Jelaskan a. 15, 17, 10, 15, 18, 14, 15 jawabanmu. b. 25, 37, 28, 30, 38, 25 c. 750, 853, 743, 750, 800, 841, 800, 853 d. 8,1; 7,8; 9,9; 4,5; 6,3; 5,4 C. Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan Jangkauan suatu data adalah selisih datum terbesar dengan datum terkecil. Biasanya, jangkauan dilambangkan dengan J. Untuk mengetahui jangkauan suatu data, kamu harus mengurutkan datum-datum pada data tersebut terlebih dahulu. Misalnya, diketahui data tinggi badan 8 siswa sebagai berikut. 150 155 160 157 158 160 155 150 Jika data tersebut diurutkan akan tampak seperti berikut. 150 150 155 155 157 158 160 160 v v Datum terkecil Datum terbesar Jangkauan data tersebut adalah 160 – 150 = 10. Jangkauan diperlukan untuk mengetahui tersebar atau terkumpulnya suatu data. Contoh 3.14 Soal Tentukan j k jangkauan dari data berikut. a. 26, 40, 18, 25, 16, 45, 30 b. 15, 15, 15, 15, 15 48 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 56. Jawab: a. Urutkan data terlebih dahulu. 16, 18, 25, 26, 30, 40, 45 v v Datum terkecil Datum terbesar J = datum terbesar – datum terkecil = 45 – 16 = 29 Jadi, jangkauan data tersebut adalah 29. b. Data ini jangkauannya nol. Mengapa? Coba kamu jelaskan alasannya 2. Kuartil Kuartil suatu data diperoleh dengan membagi suatu data terurut menjadi empat bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu: a. kuartil bawah (Q1) b. kuartil tengah/median (Q2) c. kuartil atas (Q3) Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut. Median Data di bawah Q2 Data di atas Q2 Gambar 3.1 Letak kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil Q1 Q2 Q3 atas (Q3) pada suatu data. 1 1 1 1 data data data data 4 4 4 4 Cara menentukan kuartil sebagai berikut. • Urutkan data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. • Tentukan Q2 atau median. • Tentukan Q1 dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bagian yang sama besar. • Tentukan Q3 dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama besar. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh 3.15 Soal Tentukan k til b kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) dari data-data berikut. a. 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35 b. 11 13 10 10 12 15 14 12 Jawab: a. Urutkan data terlebih dahulu. 5 data di bawah Q2 5 data di atas Q2 20 25 30 30 30 35 35 40 45 45 50 v v v Q1 Q2 Q3 Jadi, Q1 = 30, Q2 = 35, dan Q3 = 45. 49 Statistika
  • 57. b. Urutkan data terlebih dahulu. 10 10 11 12 12 13 14 15 v v v Q1 Q2 Q3 13 + 14 10 + 11 12 + 12 = = = 2 2 2 = 10,5 = 12 = 13,5 Jadi, Q1 = 10,5; Q2 = 12; dan Q3 = 13,5 Uji Kompetensi 3.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. a. Tentukan nilai Q1, Q2, dan Q3. 1. Tentukan jangkauan dari data-data berikut. b. Berapa banyak siswa yang nilainya di bawah Q2? a. 13, 11, 14 ,11, 13, 15, 12, 11 c. Berapa banyak siswa yang nilainya di atas Q2? b. 27, 30, 45, 60, 11, 37, 41, 45 d. Apa yang dapat kamu simpulkan dari data c. 209, 317, 211, 453, 194, 317 tersebut ? d. 16,8; 25,3; 17,7; 26,1; 38,4; 17,7 5. Seorang guru mengukur tinggi badan (dalam cm) 2. Diketahui dua data sebagai berikut. 10 orang siswa, hasilnya adalah sebagai berikut. a. 273, 840, 728, 963, 543, 189 150 155 153 154 160 150 155 155 150 153 b. 110, 231, 601, 335, 815, 588 Tentukan: Manakah yang jangkauannya lebih besar? a. jangkauan, 3. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil b. mean, modus, dan median, atas data-data berikut. c. Q1, Q2, dan Q3. a. 8, 9, 7, 5, 3, 4, 6, 3, 5 b. 23, 23, 37, 40, 38, 37 6. Jelaskan pengertian jangkauan dan kuartil serta c. 119, 203, 483, 423, 119, 200 cara menentukannya dengan kata-katamu sendiri. d. 50,9; 35,8; 40,1; 35,8; 49,7 4. Diketahui data nilai ulangan Bahasa Indonesia 15 siswa sebagai berikut. 867 8 7596 5 8 8 10 10 7 6 Rangkuman • • Datum adalah fakta tunggal. Adapun data Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum adalah kumpulan datum. dibagi oleh banyaknya datum. Mean dirumuskan • sebagai berikut. Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau Jumlah datum x= pengolahan data, serta penarikan kesimpulan Banyak datum berdasarkan data yang diperoleh. • • Data biasanya disajikan dalam bentuk tabel Modus adalah nilai yang paling sering muncul. dan diagram (diagram gambar, batang, garis, • Median adalah nilai tengah suatu data. dan lingkaran). 50 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 58. • • Jangkauan suatu data adalah selisih datum Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu kuartil terbesar dengan datum terkecil. Jangkauan bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil dirumuskan sebagai berikut. atas (Q3). J = datum terbesar – datum terkecil Pada bab Statistika ini, adakah materi yang menurutmu sulit untuk kamu pahami? Mengapa? Pada bab ini, bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini? Peta Konsep Pengumpulan Data Tabel menggunakan Diagram Gambar Penyajian Data Diagram Batang terdiri atas Diagram Diagram Garis mempelajari tentang Diagram Lingkaran Statistika Mean terdiri atas Modus Ukuran Pemusatan Median terdiri atas Pengolahan Data Ukuran Penyebaran terdiri atas Jangkauan Kuartil Penarikan Kesimpulan Kuartil Bawah Kuartil Tengah Kuartil Atas 51 Statistika
  • 59. Uji Kompetensi Bab 3 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 5. Diagram berikut menunjukkan jenis pekerjaan 1. Yang bukan termasuk data kuantitatif adalah .... penduduk di kota A. a. nomor sepatu siswa b. warna kesukaan siswa Bur c. olahraga kesukaan siswa u d. cara siswa pergi ke sekolah h Pedagang 2. Petugas Departemen Kesehatan melakukan penelitian Petani 135° mengenai kesehatan balita di kota Solo. Sampel untuk 60° 45° penelitian tersebut adalah .... Pegawai Swata Negeri a. balita di kota Solo b. balita di luar kota Solo Jika banyak penduduk yang menjadi pegawai c. beberapa balita di kota Solo negeri sebanyak 28 orang, perbandingan jumlah d. seluruh balita di kota Solo penduduk pekerja swasta dengan buruh adalah .... 3. Pernyataan yang benar mengenai diagram batang a. 6 : 5 c. 4 : 3 adalah .... b. 5 : 4 d. 3 : 2 a. memerlukan sumbu datar dan sumbu tegak Mean data 8, 8, 7, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 5 adalah .... 6. yang saling berpotongan b. terbagi menjadi beberapa sektor/juring a. 6,5 c. 6,3 c. dapat disajikan secara vertikal maupun horizontal b. 6,4 d. 6,2 d. terbagi menjadi 2 kategori 7. Nilai rata-rata dari tabel berikut adalah .... 4. Perhatikan diagram garis berikut. Nilai (x i) Frekuensi ( f i) 300 4 2 250 5 7 6 13 Jumlah Buku 200 7 6 8 1 150 9 1 100 a. 6 c. 7 b. 6,5 d. 7,5 50 8. Diketahui data nilai ulangan matematika 15 orang siswa sebagai berikut. Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu 7, 5, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 4, 5, 9, 5, 6, 4 Hari Banyak siswa yang nilainya di atas rata-rata adalah Diagram tersebut menunjukkan jumlah buku yang ... orang. terjual selama satu minggu di toko buku Baca- a. 4 c. 8 Baca. Kenaikan penjualan terbesar terjadi pada b. 7 d. 11 hari .... 9. Mean dari data 7, 8, 5, 7, 5, n, 6, 5, 9, 8 adalah 6,3 a. Senin dan Kamis Nilai n sama dengan .... b. Kamis dan Sabtu a. 5 c. Kamis b. 4 d. Senin c. 3 d. 2 52 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 60. 16. Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. 10. Rata-rata pendapatan per hari seorang pedagang koran di sebuah terminal bus adalah Rp 7.000,00. Nilai Matematika Frekuensi Oleh karena ada pedagang koran yang baru, rata- 5 5 rata pendapatannya menjadi Rp 6.800,00. Besar 6 7 pendapatan pedagang koran yang baru tersebut 7 6 adalah .... 8 3 a. Rp 2.800,00 9 5 b. Rp 3.000,00 Median dari data tersebut adalah .... c. Rp 4.000,00 a. 5 c. 7 d. Rp 6.800,00 b. 6 d. 8 11. Diketahui data sebagai berikut. 17. Diketahui data tinggi badan 24 siswa Kelas IX 53 55 40 45 30 30 53 55 SMP Bina Bangsa sebagai berikut (dalam cm). 54 53 45 53 45 55 53 54 150 153 160 147 150 155 155 148 56 57 43 63 65 40 54 55 148 155 150 158 147 160 160 150 Modus data tersebut adalah .... 155 162 150 155 147 153 153 160 a. 53 c. 55 Jangkauan data tersebut adalah .... b. 54 d 56 a. 12 c. 13 12. Dari hasil ulangan Sejarah selama semester satu, b. 14 d. 15 Winda memperoleh nilai sebagai berikut. 18. Kuartil bawah dari data 7,8; 8,1; 6,5; 8,3; 8,1; 7,6; 6,9; 8,1 6, 9, 3, 7, 5, 3, 6 7, 8, 5 adalah .... Modus dari data tersebut adalah .... a. 5 c. 7 a. 6,1 b. 6 d. 8 b. 6,9 19. Diketahui data kuantitatif sebagai berikut. c. 7,6 1 1 6, 7 , 5, 8, 5, 7 , 6, 6, 7, 5, 8 d. 8,1 2 2 13. Diketahui data pengeluaran harian dari beberapa Pernyataan yang benar mengenai data tersebut keluarga di sebuah Rukun Warga (dalam ribuan) adalah .... sebagai berikut. a. mean = 5 30 20 25 20 25 37 26 b. modus = 6 18 20 26 20 24 30 19 1 c. median = 7 Modus pengeluaran harian dari beberapa keluarga 2 tersebut (dalam ribuan) adalah .... d. Q2 = 6 a. 30 c. 24 20. Diagram batang berikut menunjukan nilai ulangan b. 25 d. 20 matematika beberapa siswa Kelas IX. 14. Diketahui data sebagai berikut. Jumlah Siswa 4 25, 26, 22, 24, 26, 28, 21, 24, 26, 27, 28, 28, 30, 25, 29, 22, 21, 23, 25, 26, 23 3 Median dari data tersebut adalah .... 2 a. 25 c. 27 1 b. 26 d. 28 15. Nilai tengah dari data 5 6 7 8 153 155 203 153 158 211 190 155 adalah .... Nilai a. 155 Dari data tersebut, mean + median + modus = .... b. 156,5 4 a. 4 c. 6 c. 157 5 7 d. 158,5 d. 8 b. 5 9 53 Statistika
  • 61. B. Kerjakanlah soal-soal berikut. Diketahui rata-rata dua datum adalah 92. Jika Perhatikan diagram lingkaran berikut. 3. 1. selisih dua data tersebut adalah 72, tentukan nilai Voli kedua datum tersebut. Rata-rata lima bilangan bulat yang berurutan 4. 45° Basket adalah 10. Tentukan selisih bilangan terbesar dan Bulu 60° Sepak- tangkis terkecilnya. bola 180° 45° Diketahui data sebagai berikut. 5. 1, 3, 5, 8, 3, 3, 2, 5, 8, 10, 4, 6, 7 Silat Tentukan: Diagram tersebut menggambarkan jenis olahraga a. datum terkecil dan datum terbesarnya, yang disukai 1.200 siswa SMP. Tentukan banyak b. jangkauannya, siswa yang menyukai olahraga basket. c. kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan Diketahui data tinggi badan (dalam cm) 20 siswa 2. kuartil atasnya (Q3). Kelas IX SMP Tunas Bangsa sebagai berikut. 150, 152, 152, 150, 151, 154, 154, 155, 155, 155 152, 153, 153, 153, 154, 154, 150, 150, 152, 153 a. Sajikan data tersebut dalam tabel distribusi frekuensi. b. Tentukan mean, modus, dan median dari data tersebut. 54 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 62. Bab 4 Sumb er: www.op en-site.org Peluang Konsep peluang sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, A. Dasar-Dasar dalam bidang meteorologi, astronomi, asuransi, olahraga, dan lain- Peluang lain. Salah satu manfaat materi peluang dapat kamu lihat dalam uraian B. Perhitungan berikut. Peluang Komet adalah benda langit yang menyerupai bintang dengan C. Frekuensi semburan ekornya. Komet yang terkenal adalah komet Halley yang Harapan melintas mendekati matahari setiap 76 tahun sekali. Jika peluang komet tersebut melintas setiap 76 tahun sekali adalah 0,937, berapakah peluang komet tersebut tidak melintas setiap 76 tahun sekali? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik. 55
  • 63. Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikut. a. A = {a, b, c, d, e, f, g} 8 15 b. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} a. c. c. T = {1, a, 2, b, 3} 12 50 23 26 d. Z = {2, 4, 6, 8} b. d. 37 52 3. Tentukan himpunan bagian dari himpunan-him- punan berikut ini. 2. Tentukan jumlah anggota himpunan-himpunan a. R = {1, 2, 3} berikut ini. b. D = {0, 9} A. Dasar-Dasar Peluang Dalam kehidupan sehari-sehari, kamu pasti sering mendengar pernyataan- pernyataan berikut. • Nanti sore mungkin akan turun hujan. • Berdasarkan hasil perolehan suara, Joni berpeluang besar untuk menjadi ketua kelas. • Peluang Indonesia untuk mengalahkan Brazil dalam pertandingan sepakbola sangat kecil. Besar peluang ketiga pernyataan di atas dinyatakan dengan mungkin, berpeluang besar , dan berpeluang kecil. Di dalam Matematika, besar peluang suatu kejadian/pernyataan dapat ditentukan secara eksak. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. 1. Kejadian Acak Coba kamu lemparkan sekeping uang logam. Dapatkah kamu memastikan sisi mana yang akan muncul? Tentu saja tidak, bukan? Kamu hanya mengetahui sisi yang mungkin muncul adalah salah satu dari sisi angka atau gambar. Pelemparan sekeping uang logam merupakan salah satu contoh kejadian acak. Untuk lebih memahami pengertian kejadian acak, lakukanlah kegiatan berikut. Kegiatan 4.1 1. Siapkan sebuah dadu, sebuah wadah, lima bola merah, dan lima bola kuning. 2. Lemparkan dadu tersebut. Dapatkah kamu menentukan muka dadu yang akan muncul? 3. Masukan lima bola merah dan lima bola kuning ke dalam wadah. Aduklah bola-bola tersebut. Kemudian, tutup matamu dan ambillah satu bola. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil? 4. Ulangi percobaan nomor 3. Kali ini, lakukan tanpa menutup mata. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil? Pada percobaan nomor 1, kamu tentu tidak tahu muka dadu mana yang akan muncul. Kamu hanya mengetahui bahwa muka dadu yang akan muncul adalah yang bertitik satu, dua, tiga, empat, lima, atau enam. Kejadian muka dadu mana yang akan muncul tidak dapat ditentukan sebelumnya. Inilah yang disebut kejadian acak . Sekarang, tentukan olehmu kejadian acak atau bukankah percobaan nomor 3 dan nomor 4? 56 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 64. Percobaan yang dilakukan pada Kegiatan 4.1 disebut percobaan statistika Percobaan statistika adalah percobaan yang dilakukan untuk . mengamati suatu kejadian. 2. Titik Sampel dan Ruang Sampel Pada pelemparan sekeping uang logam, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan dengan himpunan, misalnya S, menjadi S = {A,G}. Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, dilambangkan dengan S. Adapun anggota-anggota (a) (b) dari S disebut titik sampel. Banyak anggota (titik sampel) suatu ruang sampel Sumber: www.bi.go.id Gambar 4.2 : Uang Logam dinyatakan dengan n(S). Gambar 4.2 Memperlihatkan : Cara menentukan ruang sampel dari titik sampel ada tiga, yaitu dengan (a) Sisi angka uang logam mendaftar, tabel, dan diagram pohon. (b) Sisi gambar uang logam. a. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka (A) pada uang logam pertama dan gambar (G) pada uang logam kedua, ditulis AG. Kejadian lain yang mungkin muncul pada pelemparan kedua uang logam tersebut adalah AA, GA, dan GG. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, hasilnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n (S) = 4. b. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel Situs Matematika Selain dengan cara mendaftar, ruang sampel dapat ditentukan dengan cara membuat tabel. Perhatikan kembali pelemparan dua keping uang logam pada www. free.vism.org bagian a. Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan www.myscienceblogs.com jumlah baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris. Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1 dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2. Kemudian, lengkapi tabel yang kosong. Tabel ruang sampel pelemparan dua logam adalah sebagai berikut. Uang logam ke-2 Uang logam ke-1 A G Baris pertama A AA AG G GA GG Kolom pertama Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4. c. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus. 57 Peluang
  • 65. Uang logam Uang logam Hasil yang ke-1 ke-2 mungkin A AA A AG G A GA G GG G Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4. Contoh 4.1 Soal Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut. a. Melempar sebuah dadu. b. Melempar tiga keping uang logam sekaligus. c. Melempar dua buah dadu sekaligus. Jawab: a. Hasil yang mungkin muncul dari pelemparan sebuah dadu adalah muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Jadi, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan tiga keping uang logam sekaligus, digunakan diagram pohon. Hasil yang Uang logam mungkin ke-3 Uang logam A AAA ke-2 Uang logam A AAG G ke-1 A A AGA G AGG G A GAA A GAG G G A GGA G GGG G Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. c. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan dua buah dadu sekaligus, digunakan tabel. Dadu ke-2 1 2 3 4 5 6 Baris ke-1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 1 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 2 Dadu ke-1 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) Sumber: www.kingofchicago.info (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 4 Gambar 4.3 Dua buah dadu. (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 5 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Kolom ke-1 Jadi, ruang sampelnya adalah S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ... (6, 6)} 58 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 66. Uji Kompetensi 4.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Apa yang dimaksud dengan kejadian acak? Berikan 5. Firdaus melemparkan sebuah dadu dan sekeping contohnya paling sedikit tiga. uang logam sekaligus. Tentukan ruang sampelnya dengan tabel. 2. Tuliskan perbedaan ruang sampel dan titik sampel. Berikan contohnya. 6. Tentukan ruang sampel dari percobaan berikut dengan cara yang kamu anggap paling mudah. 3. Sebuah kartu diambil dari setumpuk kartu bilangan bernomor 1 sampai dengan nomor 15. Tentukan a. Pemilihan sebuah bilangan kelipatan 3 dari 10 ruang sampelnya dengan mendaftar. bilangan positif pertama. 4. Andri melempar 4 keping uang logam sekaligus. b. Sebuah bola diambil dari kotak yang berisi Tentukan ruang sampelnya dengan diagram pohon. 3 bola merah, 4 bola kuning, dan 5 bola biru. B. Perhitungan Peluang 1. Pengertian Kejadian Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, Cerdas Berpikir 3, 4, 5, 6}, sedangkan titik-titik sampel percobaan tersebut adalah 1, 2, 3, 4, Buatlah sebanyak- 5, 6. Adapun sebarang himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian, banyaknya kejadian dari pengambilan kartu biasanya dilambangkan dengan K. Misalnya, K = {2, 4, 6} adalah kejadian bilangan bernomor 1 munculnya muka dadu bertitik genap dengan n(K) = 3. sampai dengan 10. 2. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. Frekuensi relatif dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Banyak kejadian K Frekuensi relatif = Banyak percobaan Ambillah sekeping uang logam, kemudian lemparkan sebanyak 30 kali. Misalkan, hasil yang diperoleh adalah muncul sisi gambar sebanyak 13 kali. Perbandingan banyak kejadian muncul sisi gambar dengan banyak 13 pelemparan adalah . Nilai inilah yang disebut frekuensi relatif. 30 Contoh 4.2 Soal Rino melempar d elempar dadu sebanyak 200 kali. Hasilnya adalah muncul muka dadu sebagai berikut. a. Bertitik 1 sebanyak 25 kali. b. Bertitik 3 sebanyak 17 kali. c. Bertitik 6 sebanyak 56 kali. Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 3, dan 6. Jawab: Banyaknya percobaan adalah 200 a. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 1 sebanyak 25 kali. 25 1 banyak kejadian Frekuensi relatif = = = 0,125 = banyak percobaan 200 8 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 1 adalah 0,125. 59 Peluang
  • 67. b. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 3 sebanyak 17 kali. 17 = 0, 085 Frekuensi telatif = 200 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 3 adalah 0,085. c. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 6 sebanyak 56 kali. 56 Frekuensi relatif = = 0, 28 200 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 6 adalah 0,28 Setelah mengetahui cara menentukan frekuensi relatif suatu kejadian, dapatkah kamu menentukan hubungan frekuensi relatif dengan peluang? Untuk menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu. Kegiatan 4.2 1. Siapkan sekeping uang logam, kemudian lemparkan sebanyak 5 kali. Catat hasil yang muncul pada tabel berikut. Hitung frekuensi relatifnya. Sisi yang Muncul Angka ( A) Gambar ( G) Banyak Pelemparan 5 16 22 35 2. Ulangi langkah pada nomor 1 dengan jumlah pelemparan yang berbeda, misalnya 16 kali, 22 kali, 35 kali, dan seterusnya. 3. Amatilah tabel yang telah kamu isi. Apa yang dapat kamu simpulkan? Pada Kegiatan 4.2 , semakin banyak lemparan yang kamu lakukan maka Tugas 1 frekuensi relatif kejadian munculnya sisi angka semakin mendekati angka . Jika peluang dari kejadian 2 mucul sisi angka pada Nilai ini disebut peluang kejadian muncul sisi angka, dilambangkan dengan 1 P. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung dengan frekuensi relatif. Kegiatan 4.2 adalah , 2 3. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Rumus bagaimana dengan kejadian muncul sisi gambar? Apakah Peluang peluangnya sama? Diskusikan dengan kelompok belajarmu, Perhatikan kembali percobaan pelemparan sebuah dadu. Ruang sampelnya kemudian laporkan hasilnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n (S) = 6. Misalkan, kejadian munculnya di depan kelas. muka dadu yang bertitik prima dinyatakan dengan K = {2, 3, 5} sehingga n(K) = 3. Peluang munculnya setiap titik sampel di dalam ruang sampel adalah 1 sama, yaitu . Jadi, peluang munculnya muka dadu bertitik prima adalah 6 11131 P(K) = + + = = . 66662 60 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 68. Selain dengan cara tersebut, nilai P(K) juga dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. K = {2, 3, 5} maka n(K) = 3. n( K ) 3 1 == P(K) = n(S ) 6 2 Uraian tersebut menjelaskan bahwa jika setiap titik sampel anggota ruang sampel S memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n(K) dinyatakan sebagai berikut. n( K ) dengan Kc S P(K ) = n(S ) Contoh 4.3 Soal Siti melemparkan sebuah dadu. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu k Problematika a. bertitik 3, b. bertitik lebih dari tiga, Dua buah dadu dilempar bersamaan. Tentukan c. bertitik 1, 2, 3, 4, 5, 6, peluang munculnya muka d. bertitik lebih dari 6. dadu yang merupakan Jawab: kelipatan dari muka dadu Oleh karena ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. yang lain a. Misalkan, A adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik 3 maka A = {3} sehingga n(A) = 1. n( A ) 1 P( A) = = n(S ) 6 1 Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik 3 adalah . 6 b. Misalkan, B adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik lebih dari 3 maka B = {4, 5, 6} sehingga n(B) = 3. n( B ) 3 1 P( B) = == n(S ) 6 2 1 Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari 3 adalah . 2 c. Misalkan, C adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 maka C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(C) = 6. n(C ) 6 P(C ) = = =1 n(S ) 6 Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah 1. d. Misalkan, D adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik lebih dari 6 maka D = { } sehingga n(D) = 0. Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari 6 adalah 0 61 Peluang
  • 69. 4. Nilai Peluang Perhatikan nilai-nilai yang diperoleh pada Contoh Soal 4.3 . Nilai-nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Secara matematis, ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1 dengan P(K) adalah peluang suatu kejadian K. Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol, berarti kejadian tersebut mustahil atau tidak mungkin terjadi, misalnya peluang matahari terbit dari arah barat. Jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, berarti kejadian tersebut pasti terjadi, misalnya peluang setiap manusia akan meninggal. Adapun jika peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1, berarti kejadian tersebut mungkin terjadi, misalnya peluang kamu untuk menjadi juara kelas. Plus+ Jika L merupakan kejadian komplemen dari kejadian K maka peluang kejadian L adalah satu dikurangi peluang kejadian K. Secara matematis, ditulis K j di Kejadian komplemen dari P(L) = 1 − P(K) atau P(L) + P(K) = 1 kejadian K adalah kejadian bukan K. Misalnya, peluang Romi lulus ujian adalah 0,9 maka peluang Romi tidak lulus ujian adalah 1 − 0,9 = 0,1. Contoh 4.4 Soal Lima belas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 15. Kartu-kartu tersebut dikocok, elas kemudian diambil satu kartu secara acak (kartu yang telah diambil kemudian dikembalikan lagi). Tentukan peluang terambil kartu berangka a. genap, b. bukan genap. Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} a. Misalkan, A adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka genap maka A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} sehingga n(A) = 7. n( A ) 7 P( A) = = n(S) 15 7 Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah . 15 b. Oleh karena kartu yang sudah diambil dikembalikan lagi, ruang sampelnya tetap, yaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Misalkan, B adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap maka B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) sehingga n(B) = 8. n( B ) 8 P( B) = = n(S ) 15 8 Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah . 15 Selain dengan cara tersebut, peluang terambil kartu berangka bukan bilangan genap dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Misalkan, B adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap. B merupakan kejadian komplemen dari kejadian A sehingga P(B) = 1 − P(A) 8 7 =1− = 15 15 62 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 70. Uji Kompetensi 4.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. c. bertitik ganjil, 1 Di dalam sebuah kotak, terdapat kartu bilangan d. bertitik kelipatan 2. yang bernomor 1 sampai dengan nomor 20. Sebuah kartu diambil dengan pengembalian. Tentukan: 5. Sebuah kantong berisi 3 bola kuning (K), 5 bola a. kejadian terambil kartu berangka genap, hijau (H), dan 7 bola biru (B). Jika satu bola b. kejadian terambil kartu berkelipatan 3, diambil secara acak dengan pengembalian, tentukan c. kejadian terambil kartu berangka lebih dari peluang terambilnya bola dengan warna 20. a. kuning, b. hijau, 2. Heri melempar sekeping uang logam sebanyak c. biru, 100 kali. Tentukan frekuensi relatifnya jika hasil d. bukan kuning, yang diperoleh adalah e. bukan biru. a. muncul gambar sebanyak 51 kali, b. muncul angka sebanyak 49 kali. 6. Tiga keping uang logam dilemparkan bersamaan. Tentukanlah peluang yang muncul adalah 3. 30 orang siswa ditanya tentang warna kesukaannya. a. dua angka dan satu gambar, Hasilnya adalah sebagai berikut. b. satu angka dan dua gambar. P, P, H, M, P, B, H, P, M, M, 7. Tentukan apakahkejadian-kejadian berikut mustahil, M, B, B, H, P, M, H, B, B, P, mungkin terjadi, atau pasti terjadi. P, P, B, M, B, H, H, B, B, B a. Satu minggu terdiri atas 7 hari. dengan P = putih, H = hijau, M = merah, dan B = b. Pengeraman telur ayam memerlukan waktu biru. selama 21 hari. a. Sajikan data tersebut dalam tabel distribusi c. Sebelum bulan Maret adalah bulan April. frekuensi. d. Kamu menjadi juara lomba puisi. b. Tentukan frekuensi relatif setiap warna yang e. Bulan Februari berjumlah 29 hari. disukai. 8. Tulislah masing-masing dua contoh kejadian yang c. Tentukan jumlah seluruh frekuensi relatif. mustahil terjadi, mungkin terjadi, dan pasti terjadi. d. Tentukan warna yang paling banyak disukai. 4. Sebuah dadu dilemparkan ke atas. Tentukanlah peluang muka dadu yang muncul adalah a. bertitik 4, b. bertitik lebih dari 3. C. Frekuensi Harapan (Pengayaan) Pernahkah kamu mengirimkan kupon undian? Dalam suatu undian, semakin banyakkuponundianyangkamukirimkan,harapankamuuntukmemenangkan undian tersebut semakin besar. Harapan kamu untuk memenangkan undian di dalam matematika disebut frekuensi harapan. Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan (n). Frekuensi harapan biasanya dilambangkan dengan Fh. Secara matematis ditulis Fh = P(K) × n dengan P(K) adalah peluang kejadian K dan n adalah banyaknya percobaan. 63 Peluang
  • 71. Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh 4.5 Soal Sekeping uang llogam dilemparkan sebanyak 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi angka. Jawab : 1 Misalkan, K adalah himpunan kejadian munculnya sisi angka sehingga P(K) = . 2 Banyaknya pelemparan (n) adalah 30 kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya sisi angka adalah Fh =P(K) ×n 1 = × 30 kali = 15 kali 2 Contoh 4.6 Soal Sebuah d d dil dadu dilempar sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya a. muka dadu bertitik prima, b. muka dadu bertitik kurang dari 3. Jawab : a. Misalkan, A adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik prima maka 31 A = {2, 3, 5} sehingga P(A) = = . 62 Banyaknya pelemparan (n) adalah 100 kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik prima adalah Fh =P(A) ×n 1 = × 100 kali = 50 kali. 2 b. Misalkan, B adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik kurang dari 21 3 maka B = {1, 2} sehingga P(B) = = . 63 Banyaknya pelemparan (n) adalah 100 kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik kurang dari 3 adalah Fh =P(B) ×n 1 100 = × 100 kali = kali 3 3 Contoh 4.7 Soal Di sebuah d h daerah, kemungkinan seorang anak terjangkit suatu penyakit adalah 0,05. h Tentukan banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut jika diambil sampel sebanyak 1.000 anak. Jawab : Misalkan, K adalah kejadian seorang anak terjangkit suatu penyakit maka P(K) = 0,05, dan n adalah banyak sampel anak maka n = 3.000. Jadi, banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut adalah Fh = P(K) × n = 0,05 × 3.000 anak = 150 anak 64 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 72. Uji Kompetensi 4.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 2. Dalampercobaanpengambilankartudariseperangkat 1. Insan melemparkan sebuah dadu sebanyak 150 kartu bridge sebanyak 50 kali, tentukan frekuensi kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya muka harapan terambil kartu bergambar hati. dadu bertitik: a. ganjil, 3. Suatu daerah berpenduduk 2.500 orang. Peluang b. genap, seorang penduduk di daerah tersebut menjadi seorang c. lebih dari 3. sarjana adalah 0,2. Tentukan banyak penduduk yang diperkirakan akan menjadi sarjana di daerah tersebut. Rangkuman • Kumpulan atau himpunan semua hasil yang • Kisaran nilai peluang munculnya kejadian K mungkin muncul pada suatu percobaan disebut adalah sebagai berikut. ruang sampel. Adapun anggota-anggota ruang 0 ≤ P(K) ≤ 1 sampel disebut titik sampel. • Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang Jika P(K) bernilai 1 maka kejadian K pasti sampel. terjadi. • frekuensi adalah perbandingan banyaknya Jika P(K) bernilai 0 maka kejadian K mustahil kejadian yang diamati dengan banyaknya terjadi. percobaan. Frekuensi relatif suatu kejadian • Misalkan, L merupakan kejadian komplemen dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. dari K. Besar peluang kejadian L adalah sebagai berikut. Banyak kejadian Frekuensi relatif = f Banyak percobaan e P(L) = 1 – P(K) atau P(L) + P(K) = 1 • Jika setiap titik sampel anggota ruang sampel S memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n(K) dinyatakan sebagai berikut. n( K ) dengan Kc C P(K ) = n(S ) • Setelah mempelajari bab Peluang ini, materi apa sajakah yang belum kamu pahami dengan baik? Faktor-faktor apa saja yang menghambat pemahamanmu? • Pada bab ini, bagian manakah menurutmu yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? 65 Peluang
  • 73. Peta Konsep Cara Mendaftar ditentukan Ruang Sampel Cara Tabel dengan Dasar-Dasar Peluang Cara Diagram Pohon Titik Sampel Frekuensi Relatif Pendekatan Banyak kejadian e = Frekuensi Relatif Banyak percobaan dengan mempelajari Perhitungan Peluang Peluang n(K ) P(K) = Rumus n(S ) S 1 ≤ P(K) ≤ 0 Nilai Peluang Jika L kejadian komplemen dari K, P(L) = 1 – P(K) atau P(L) + P(K) = 1 66 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 74. Uji Kompetensi Bab 4 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Munculnya gambar atau angka pada pelemparan Seorang pedagang di suatu pasar mendapat 7. sekeping uang logam adalah .... kiriman telur sebanyak 500 butir. Oleh karena kurang hati-hati, 40 telur pecah. Jika sebutir telur a. kejadian mustahil diambil secara acak, peluang terambilnya telur b. kejadian pasti pecah adalah .... c. kejadian sampel 12 a. d. kejadian biasa 23 2. Setiap anggota ruang sampel disebut .... 20 a. kejadian b. 23 b. peluang c. titik sampel 2 c. d. sampel coba 23 3. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang memiliki 2 nilai peluang nol, kecuali .... d. 12 a. ayam melahirkan b. bumi berbentuk datar 8. Dari soal nomor 7, peluang terambilnya telur yang c. setiap siswa mendapat peringkat 1 di kelasnya tidak pecah adalah .... d. bilangan genap yang habis dibagi 2 20 a. 4. Pada pelemparan dua buah dadu, kejadian muka 23 dadu berjumlah 5 adalah .... 21 a. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)} b. 23 b. {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} c. {(1, 4), (2, 3)} 12 c. d. {(0, 5), (1, 4), (3, 2)} 23 5. Pada 100 kali pelemparan sekeping uang logam, 2 muncul sisi angka sebanyak 67 kali. Frekuensi d. relatif muncul sisi angka adalah .... 23 a. 67 c. 100 9. Peluang munculnya gambar dan gambar pada 100 67 pelemparan dua keping uang logam adalah .... 23 a. 1 100 b. d. 100 23 1 b. Dalam sebuah kantong, terdapat 2 kelereng merah, 6. 3 5 kelereng biru, 4 kelereng hijau, dan 1 kelereng kuning. Peluang terambil kelereng biru adalah .... 1 c. 5 1 2 a. c. 12 2 1 d. 1 2 4 b. d. 6 3 10. Tiga belas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 13. Kartu-kartu tersebut dikocok, kemudian diambil 1 kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu bernomor genap adalah .... 67 Peluang
  • 75. a. 1 3 a. 8 b. 5 3 b. 7 10 c. 13 27 c. 6 40 d. 13 5 d. 11. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu 8 secara acak. Peluang terambil kartu As adalah .... 14. Peluang Deva untuk menjadi juara kelas adalah 1 a. 0,73. Peluang Deva tidak menjadi juara kelas 52 adalah .... 4 a. 0,27 b. 13 b. 0,43 c. 0,13 4 c. d. 0,4 13 15. Ade melemparkan dua buah dadu secara bersamaan. 1 Peluang muncul muka dadu bertitik genap pada d. dadu pertama dan muka dadu bertitik ganjil pada 13 dadu kedua adalah .... 12. Dita melemparkan sebuah dadu sebanyak 50 kali 1 Hasilnya adalah sebagai berikut. a. 2 - Muncul muka dadu bertitik 1 sebanyak 8 kali. - Muncul muka dadu bertitik 2 sebanyak 6 kali. 1 b. - Muncul muka dadu bertitik 3 sebanyak 6 kali. 3 - Muncul muka dadu bertitik 4 sebanyak 10 kali. 1 c. - Muncul muka dadu bertitik 5 sebanyak 12 kali. 4 - Muncul muka dadu bertitik 6 sebanyak 8 kali. 1 Pernyataan berikut yang benar adalah .... d. 5 a. Frekuensi relatif muka dadu bertitik 1 adalah 4 16. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 180 kali. 25 Frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang b. Frekuensi relatif muka dadu bertitik 3 adalah dari 6 adalah .... 4 a. 60 25 b. 90 Frekuensi relatif muka dadu bertitik 4 adalah c. 4 c. 120 25 d. 150 d. Frekuensi relatif muka dadu bertitik 6 adalah 17. Tiga keping uang logam yang sama dilemparkan 1 secara bersamaan sebanyak 80 kali. Frekuensi 5 harapan ketiganya muncul sisi angka adalah .... 13. Sebuah wadah berisi 15 kancing merah, 12 kancing a. 5 hijau, dan 13 kancing putih. Jika satu kancing akan b. 10 diambil secara acak, peluang terambil kancing c. 20 yang bukan berwarna putih adalah .... d. 40 68 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 76. 18. Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan B. Kerjakanlah soal-soal berikut. secara acak sebanyak 260 kali. Jika setiap kartu 1. Dari 1 pak kartu bridge, diambil satu kartu secara yang diambil kemudian dikembalikan, frekuensi acak. Tentukan peluang terambilnya harapan terambil kartu As adalah .... a. kartu king, a. 5 kali b. kartu berwarna hitam. b. 20 kali 2. Dalam sebuah kantong terdapat 15 kaleng merah, c. 40 kali 12 kelereng putih, 17 kelereng biru, dan 10 d. 60 kali kelereng kuning. Jika satu bola diambil secara acak, kemudian dikembalikan lagi, tentukan 19. Frekuensi harapan munculnya mata dadu bilangan peluang terambilnya bola berwarna ganjil pada percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak 300 kali adalah .... a. merah, a. 75 kali b. biru, b. 100 kali c. kuning, c. 150 kali d. bukan putih, d. 200 kali e. bukan merah. 20. Dari 62 kali pelemparan dadu, frekuensi harapan 3. Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah ... kali. munculnya muka dadu a. 10 a. berjumlah 8, b. 20 b. berjumlah lebih dari 7. c. 30 4. Sekeping uang logam dilemparkan sebanyak 80 kali. Hasilnya adalah muncul sisi angka sebanyak d. 40 35 kali dan muncul sisi gambar sebanyak 45 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul sisi gambar dan sisi angka. 5. Diketahui bahwa peluang seorang anak lulus ujian adalah 0,85. Berapa orangkah di antara 500 anak yang diperkirakan akan lulus ujian? 69 Peluang
  • 77. Uji Kompetensi Semester 1 Pilihlah satu jawaban yang benar. @ ∆PQR, hubungan yang benar adalah Jika ∆ABC 1. Berikut adalah ukuran panjang sisi-sisi segitiga 5. .... yang sebangun dengan segitiga berisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm, kecuali .... a. – A = – R, – B = – P, – C = –Q a. 9 cm, 12 cm, dan 15 cm b. – A = – P, – B = – Q, – C = –R b. 1,5 cm, 2 cm, dan 2,5 cm c. – A = – Q, – C = – P, – B = –R c. 6 cm, 12 cm dan 10 cm d. – A = – Q, – B = – P, – C = –B d. 4,5 cm, 6 cm, dan 7,5 cm 6. A Perhatikan gambar berikut. B 2. 18 cm 12 cm 6 cm x D 8 cm 12 cm C Nilai x sama dengan .... Pada gambar di atas, ΔABC siku-siku di A dan AD ^ CD, Jika AC = 12 cm dan BC = 16 cm, a. 9 cm c. 15 cm panjang sisi CD adalah .... b. 12 cm d. 16 cm a. 9 cm c. 6 cm C 3. b. 8 cm d. 4 cm Pada gambar di samping, AB Pasangan segitiga yang kongruen pada jajargenjang 7. = 20 cm, DE = 15 cm, dan ABCD adalah .... CD = 24 cm. Panjang CA adalah ... cm. D C D E S A B a. 32 c. 56 A b. 42 d. 60 B Perhatikan gambar berikut. ∆ADS dan ∆SDC 4. a. ∆ADS dan ∆ABS b. R ∆ABD dan ∆CDB c. 3 cm ∆ABD dan ∆ABC d. T S 8. x D 4 cm x 40˚ Q P Pada gambar di samping, 14 cm A nilai 2x – 3y + z = .... z 120˚ Panjang ST adalah ... cm. a. 60˚ a. 12 b. 80˚ b. 6 c. 140˚ c. 4 y 20˚ d. 180˚ d. 3 B 70 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 78. 16. Sebuah bola volumenya 904,32 dam3. Jari-jari bola 9. Pernyataan yang benar mengenai tabung adalah .... tersebut adalah .... a. mempunyai 2 buah sisi a. 9 cm b. mempunayai 3 titik sudut b. 8 cm c. jari-jari lingkaran alas sama dengan jari-jari c. 7 cm lingkaran atas d. 6 cm d. merupakan prisma segibanyak beraturan yang 17. Diketahui panjang jari-jari sebuah bola sama sisi alasnya berbentuk segiempat dengan panjang jari-jari sebuah tabung yaitu 10. Diketahui sebuah tabung memiliki tinggi 15 cm 5 cm. Jika tinggi tabung adalah 8 cm, perbandingan dan jari-jari alasnya 7 cm. Luas permukaan tabung volume bola dan volume tabung adalah .... tersebut adalah .... a. 2 : 3 a. 968 cm2 b. 3 : 4 b. 1.452 cm2 c. 4 : 5 c. 1.936 cm2 d. 5 : 6 d. 1.980 cm2 18. Yang termasuk data kuantitatif adalah sebagai 11. Tinggi suatu kaleng yang berbentuk tabung yang berikut, kecuali .... berisi minyak sebanyak 314 dm3 dan berdiameter a. ukuran lingkar pinggang seorang siswa 10 dm adalah .... b. rasa manisan kolang kaling a. 25 cm c. komet Halley muncul setiap 76 tahun sekali b. 30 cm d. jarak bumi-bulan adalah 3,82 × 108 m c. 35 cm 19. Petugas Departemen Pendidikan Nasional melakukan d. 40 cm penelitan mengenai tingkat kelulusan siswa kelas 12. Luas selimut kerucut pada gambar berikut adalah IX di Bali. Sampel untuk penelitian tersebut adalah .... .... a. siswa SMP negeri di Bali s b. siswa SMP swasta di Bali c. siswa beberapa SMP negeri dan swasta di Bali r d. seluruh siswa SMP di Bali a. prs c. 2prs 20. Perhatikan diagram batang berikut. b. pr s 2 d. 2pr2s 250 13. Ditahui sebuah kerucut dengan tinggi 8 cm dan jari-jari alasnya 6 cm. Luas seluruh permukaan Jumlah Siswa 200 kerucut tersebut adalah .... 150 a. 301,44 cm2 b. 188,40 cm2 100 c. 113, 04 cm2 50 d. 100,48 cm2 14. Volume kerucut yang jari-jarinya 8 cm dan garis 2003 2004 2005 2006 2007 pelukisnya 17 cm adalah ... cm. Tahun a. 2.009,6 c. 912,03 Diagram batang tersebut menunjukkan jumlah b. 1.004,8 d. 669,87 penerimaan siswa baru di SMP Nusantara dari 15. Luas permukaan bola yang berdiameter 21 cm tahun 2003 sampai dengan tahun 2007. Kenaikan adalah .... jumlah siswa terbesar terjadi pada tahun .... a. 264 cm2 a. 2004 c. 2006 b. 462 cm2 b. 2005 d. 2007 c. 1.386 cm2 d. 4.851 cm2 71 Uji Kompetensi Semester 1
  • 79. 21. Nilai ulangan Matematika 14 siswa adalah sebagai 26. Jika tiga keping uang logam dilemparkan sekaligus, berikut. jumlah kejadian yang mungkin terjadi seluruhnya sebanyak .... 4, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 9, 7, 5, 9, 8, 7 a. 5 kejadian c. 7 kejadian Banyak siswa yang mendapat nilai di bawah rata-rata adalah .... b. 6 kejadian d. 8 kejadian a. 4 orang 27. Sekeping uang logam dilemparkan 200 kali. Ternyata, muncul sisi gambar sebanyak 155 kali. b. 5 orang Frekuensi relatifnya adalah .... c. 6 orang 31 c. 29 d. 7 orang a. 60 30 22. Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. 37 1435243526 23 b. d. 60 2413435416 30 Modus data tersebut adalah .... 28. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu a. 2,5 c. 4,0 secara acak. Peluang terambil kartu keriting adalah .... b. 3,5 d. 5,0 1 23. Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. 1 a. c. 52 13 Nilai Frekuensi 4 13 4 2 b. d. 13 52 5 2 6 6 29. Sebuah kantong berisi 14 kelereng hitam, 12 7 10 kelereng putih, dan 22 kelereng biru. Jika sebuah 8 5 9 4 kelereng diambil secara acak, peluang terambil 10 1 kelereng putih adalah .... 7 Median data tersebut adalah .... a. 24 a. 6,5 c. 5,5 11 b. 6 d. 5 b. 24 24. Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 26 siswa Kelas IX adalah 55. Jika seorang siswa yang 1 c. mendapat nilai 80 tidak dimasukkan ke dalam 4 perhitungan tersebut, nilai rata-rata ujian yang 3 d. baru adalah .... 4 a. 54 c. 52 30. Dari 50 siswa, terdapat 30 orang yang gemar b. 53 d. 51 lagu pop, 25 orang gemar lagu-lagu dangdut, 10 25. Diketahui sekumpulan data sebagai berikut. orang gemar keduanya, dan 5 orang tidak gemar 10 18 32 14 20 18 30 32 25 28 keduanya. Jika dipanggil satu orang secara acak Pernyataan yang benar adalah .... sebanyak 100 kali, harapan terpanggil kelompok siswa yang hanya gemar lagu-lagu dangdut adalah a. jangkauan = 20 .... b. Q1 = 16 a. 15 kali c. Q2 = 25 b. 25 kali d. Q3 = 30 c. 30 kali d. 50 kali 72 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 80. Bab 5 Sum b er : w ww.h5.dion.ne.jp Pangkat Tak Sebenarnya angkat T A. Bilangan Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bilangan berpangkat positif. Pada bab ini, materi tersebut akan dibahas lebih dalam dan dikembangkan Berpangkat sampai dengan bilangan berpangkat negatif, nol, dan pecahan. Bulat Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan bilangan berpangkat B. Bentuk Akar banyak digunakan. Contohnya sebagai berikut. Frekuensi gelombang dan Pangkat televisi 10 56 putaran per detik. Jika besar frekuensi sinar X 10.000 Pecahan kali frekuensi gelombang televisi, berapa besar frekuensi sinar X ? Untuk menjawabnya, kamu dapat menggunakan alat pengukur besar frekuensi suatu gelombang, yaitu osiloskop. Secara matematis, besar frekuensi sinar X dapat ditentukan menggunakan sifat perkalian bilangan berpangkat yang akan dibahas pada bab ini. Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik. 73
  • 81. Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. Tentukan nilai p. 4. Tentukan nilai dari: a. 2 + (–5) = p a. 22 + 23 b. –4 – p = –2 b. 32 – (–2)2 c. p + 8 = 10 c. 52 + 43 2. Tuliskan dalam bentuk pangkat. 5. Tentukan nilai dari: a. 2 × 2 × 2 a. 36 b. (–5) × (–5) b. 100 c. q × q × q × q 3. Tentukan nilai dari: 3 c. 64 a. 32 b. 43 c. (–2)4 A. Bilangan Berpangkat Bulat Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bilangan berpangkat bulat positif. Sekarang, materi tersebut akan dikembangkan sampai bilangan berpangkat bulat negatif dan nol. 1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif Ketika mempelajari operasi perkalian, kamu pasti pernah menemukan bentuk- bentuk perkalian seperti berikut. 7 × 7, 5 × 5 × 5, (–4) × (–4) × (–4) × (–4), (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5), dan lain-lain. Bentuk-bentuk perkalian berulang tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat. 7 × 7 ditulis 72 dibaca tujuh pangkat dua atau tujuh kuadrat. 5 × 5 × 5 ditulis 53 dibaca lima pangkat tiga. (–4) × (–4) × (–4) × (–4) ditulis (–4)4 dibaca negatif empat pangkat empat. (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) ditulis (0,5)5 dibaca nol koma lima pangkat lima. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa bilangan berpangkat merupakan bentuk sederhana dari perkalian berulang dan memperjelas definisi bilangan berpangkat berikut. 5.1 ∋ Jika a R (bilangan real) dan n adalah bilangan bulat maka bilangan an (dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (faktor). a n = a × a ×... × a n faktor an disebut bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok, dan n disebut pangkat (eksponen). 74 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 82. Contoh 5.1 Soal Nyatakan bilangan-bilangan berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian an bilanga hitunglah. Sudut Tekno a. 25 d. (0,5)4 b. (–3)2 e. (–4)3 Perhitungan bilangan gan berpangkat dapat dilakukan Jawab: dengan menggunakan a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 b. (–3)2 = (–3) × (–3) = 9 Misalnya, kamu diminta untuk menghitung 24. c. (0,5)4 = (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) = 0,0625 Untuk menjawabnya, te wabnya tekan nya e a, d. (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64 y tombol 2 x 4 = pada kalkulator. Hasil yang akan kamu peroleh pada layar Contoh adalah 16. 5.2 Soal Sebuah kubus panjang rusuknya 8 cm. Tentukan volume kubus tersebut. kb Jawab : Diketahui : sebuah kubus dengan panjang rusuk (r) = 8 cm. Ditanyakan: volume kubus Penyelesaian: V = r3 = (8 cm)3 = 8 cm × 8 cm × 8 cm = 512 cm3 Jadi, volume kubus 512 cm3 2. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Sifat perkalian bilangan berpangkat telah kamu pelajari di Kelas VII. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan kata- katamu sendiri. Misalnya, 4 2 × 4 3 = ( 4 × 4 ) × ( 4 × 4 × 4 ) { {{ 2 faktor 3 faktor = 4 × 4 × 4 × 4× 4 ( 2+ 3) faktor 2+ 3 =4 = 45 Jadi , 42 × 43 = 42 + 3 = 45. Untuk perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, berlaku sifat berikut Sifat 5.1 am x an = a m + n dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif. 75 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 83. Agar kamu lebih memahami Sifat 5.1, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh Cerdas Berpikir 5.3 Soal Jika am × an = am + n, tentukan Sederhanakan b k bentuk-bentuk perkalian berikut. nilai am × an yang mungkin a. 63 × 64 c. 52 × 33 × 2 dari: 2 d. 7a3 × b4 × 3a2 × b b. (–4) × (–4) a. am + n = 410 Jawab: b. am + n = (–12)7 a. 63 × 64 = 63 + 4 = 67 b. (–4) × (–4)2 = (–4)1 + 2 = (–4)3 c. Oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, perkalian 52 × 33 × 2 tidak dapat disederhanakan. d. 7a3 × b4 × 3a2 × b = 7a3 × 3a2 × b4 × b = 21a3 + 2 b4 + 1 = 21a5b5 Contoh 5.4 Soal Sebuah persegipanjang memiliki ukuran panjang dan i lebar berturut-turut 10a3 dan 4a3. Tentukan luas persegi- panjang tersebut. 4a3 Jawab: 10a3 Diketahui: sebuah persegipanjang dengan p = 10a 3 dan l = 4a3 Ditanyakan: luas persegipanjang Penyelesaian: L=p× l = 10a3 × 4a3 = 40a3 + 3 = 40a6 Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah 40a6 b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Selain sifat perkalian bilangan berpangkat, sifat pembagian bilangan berpangkat juga telah kamu pelajari. Coba ingat kembali materi tersebut dan jelaskan dengan kata-katamu sendiri. 6 faktor { 6 5 5 ×5 × 5 × 5 × 5 × 5 Misalnya, = 4 5 5 × 5 ×5 × 5 { 4 faktor = 5× 5 { 2 faktor = 56 – 4 = 52 56 = 5 6− 4 = 5 2 . Jadi, 54 76 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 84. Sifat 5.2 am = a m− n an dengan a bilangan real yang tidak nol dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n. Contoh 5.5 Soal Sederhanakan pem nakan pe pembagian-pembagian berikut. 93 12 6 24a8 : 12a3 a. c. e. 62 610 8 4 3 (− 7) (− 3) × (− 3) 30 p8 × 4q 4 b. d. f. 3 2 5 p 7 × 4q 3 (− 7) (− 3) Jawab: 12 a. 6 = 612 − 10 = 62 610 8 (− 7) 8− 3 5 = (− 7) = (− 7) b. 3 (− 7) 3 Oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, pembagian 9 tidak dapat c. 62 disederhanakan. 4 3 4+ 3 7 (− 3) × (− 3) (− 3) (− 3) 7− 2 5 = (− 3) = (− 3) d. = = 2 2 2 (− 3) (− 3) (− 3) 24 a8 24a8 : 12a3 = = 2a8 – 3 = 2a5 e. 12 a 3 30 p8 × 4q 4 120 p8 q 4 = 6p8 – 7q4 – 3 = 6pq f. = 7 3 73 5 p × 4q 20 p q C. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat Masih ingatkah sifat perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari? Coba jelaskan kembali olehmu. Misalnya, (22)3 = ( 22 ) × ( 22 ) × ( 22 ) { 3faktor = ( 2 × 2) × ( 2× 2) × ( 2× 2) { { { 2 faktor a 2 faktor 2 faktor = 2 ×2 × 2 × 2 × 2 × 2 { (3× 2) faktor Jadi, (22)3 = 22 × 3 = 23 × 2. 77 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 85. Sifat 5.3 (a ) = am × n = an × m mn dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif. Coba kamu pelajari contoh soal berikut. Contoh 5.6 Soal Sederhanakan perpangkatan-perpangkatan berikut. anakan pe 42 a. (5 ) 5 b. ( (− 6)3) 2 25 × ( 2 3) c. 24 7 8 (− 3) × ( (− 3)2 ) d. 4 ( (− 3)3) × (− 3) Jawab: a. (54)2 = 54 × 2 = 58 5 3× 5 15 ( (− 6) ) = (− 6) = (− 6) 3 b. 2 25 × ( 2 3 ) 25 × 2 6 c. = 24 24 25 + 6 =4 2 211 =4 2 = 211− 4 = 27 7 8 8 2× 7 (− 3) × ( (− 3)2 ) (− 3) × (− 3) d. = 4 3× 4 (− 3) × (− 3) ( (− 3)3) × (− 3) 8 14 (− 3) × (− 3) = 12 (− 3) × (− 3) 8+ 14 22 (− 3) (− 3) 22− 13 9 = (− 3) = (− 3) = = 12+ 1 13 (− 3) (− 3) d. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Pelajari penjumlahan bilangan berpangkat berikut. 1. 24 + 26 = 24 + 24 + 2 = 24 + 24 · 22 (menggunakan Sifat 5.1 ) 4 2 = 2 (1 + 2 ) (menggunakan sifat distributif) 78 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 86. 2. (–5)6 + (–5)9 = (–5)6 + (–5)6+3 = (–5)6 + (–5)6 · (–5)3 (menggunakan Sifat 5.1 ) Tugas 5.1 6 3 = (–5) (1 + (–5) ) (menggunakan sifat distributif) Diskusikan dengan teman Kedua contoh tersebut memperjelas sifat penjumlahan bilangan berpang- sebangkumu, bagaimana kat dengan bilangan pokok yang sama, yaitu sebagai berikut. sifat pengurangan bilangan berpangkat yang memiliki Sifat 5.4 bilangan pokok yang sama. Laporkan hasilnya di depan a + am = an (1 + am – n) n kelas. dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n. Jika Tugas 5.1 kamu kerjakan dengan benar, diperoleh sifat pengurangan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama, yaitu sebagai berikut. Sifat 5.5 a – am = an (1 – am – n) atau m – an = an (am – n – 1) n a dengan a bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n. Agar kamu lebih memahami Sifat 5.4 dan 5.5, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh 5.7 Soal Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan berikut. k lh a. (–8) + (–8)5 3 c. a 4 + a 8 b. 77 – 73 d. b10 – b7 Jawab: a. (–8)3 + (–8)5 = (–8)3 + (–8)3+2 = (–8)3 + (–8)3 · (–8)2 = (–8)3 (1+ (–8)2) b. 77 – 73 = 74 + 3 – 73 = 74 · 73 – 73 = 73 (74 – 1) a5 + a6 = a5 + a5 + 1 c. = a5 + a5 · a = a 5 (1 + a) d. b12 – b8 = b8 + 4 – b8 = b8 · b4 – b8 = b8 (b4 – 1) 2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif dan Nol Pada bagian A.1, kamu telah mempelajari bahwa bilangan berpangkat merupakan bentuk sederhana dari perkalian berulang. Misalnya, 23 merupakan bentuk sederhana dari 2 × 2 × 2. Sekarang, bagaimana cara menguraikan 2–3 dan 20? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut dengan baik. 79 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 87. a. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Amatilah Sifat 5.2. Untuk a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n, berlaku am = a m− n n a Apa yang terjadi jika m < n? Jika m < n maka m – n merupakan bilangan bulat negatif. Pelajari pembagian bilangan berpangkat berikut. 22 2× 2 1 1 ... (i) = =2 = 4 2 2 ×2 × 2 × 2 2 × 2 2 22 = 2 2− 4 = 2− 2 ... (ii) 24 1 = 2− 2 . Sekarang, coba kamu selesaikan Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa Sekilas 2 2 Matematika pembagian bilangan berpangkat berikut dengan kedua cara di atas. 33 = ... 38 711 = ... 712 Jika kamu dapat menyelesaikan kedua soal tersebut dengan benar, akan memperjelas definisi bilangan berpangkat bulat negatif, yaitu sebagai berikut. 5.2 Sumber: www.bnd.com.au Panjang gelombang 1 a− n = sinar infra merah berkisar an antara satu milimeter dan 750 nanometer. Satu dengan a bilangan real, a ≠ 0, dan n bilangan bulat positif. nanometer (1nm) adalah satu per satu miliar meter. Jika dilambangkan dengan Dengan menggunakan Definisi 5.2, kamu dapat mengubah bilangan bilangan, satu nanometer ditulis berpangkat bulat negatif ke dalam bilangan bulat positif dan sebaliknya. 1 1 nm = m Contoh 1.000.000.000 5.8 Soal = 10–9 m 1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif. i k dal iskan d l Sumber: Ensiklopedia Iptek, a. 3–5 b. (–8)–4 a–2 c. Ensiklopedia Sains untuk Pelajar dan Umum, 2007 2. Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif. 1 1 1 a. b. c. 2 26 a9 7 Jawab: 1 1 −4 1 (− 8) 3− 5 = 1. a. b. c. = a2 4 35 (− 8) 1 1 1 = a− 9 = 2− 6 = 7− 2 2. a. b. c. 9 26 72 a 80 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 88. Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat positif berlaku juga untuk bilangan Tugas 5.2 berpangkat negatif dengan a, b bilangan real dan m, n bilangan bulat negatif. Buatlah masing-masing tiga b. Bilangan Berpangkat Nol contoh untuk setiap sifat bilangan berpangkat negatif Perhatikan kembali bentuk berikut. di buku latihanmu. am Bandingkan hasilnya dengan = a m− n temanmu. n a Jika pada bentuk tersebut nilai m sama dengan nilai n maka m – n = 0 dan am – n merupakan bilangan berpangkat nol. Pelajari pembagian bilangan berpangkat berikut. 3× 3 9 ...(i) 32 : 32 = = =1 3× 3 9 32 ...(ii) 32 : 32 = 2 = 32− 2 = 30 3 Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa 1 = 30. Sekarang, coba kamu selesaikan pembagian bilangan berpangkat berikut dengan kedua cara di atas. 24 = ... 24 7 (− 4) = ... 7 (− 4) Jika kamu dapat menyelesaikan kedua soal tersebut dengan benar, akan memperjelas definisi bilangan berpangkat nol, yaitu sebagai berikut. 5.3 a0 = 1 dengan a bilangan real dan a ≠ 0. Contoh 5.9 Soal Hitunglah perpangkatan-perpangkatan berikut. a. (5)0 c. (25)0 b. (12)0 d. 34a2 b0 Jawab: a. (5)0 = 1 c. (25)0 = 1 d. 34a2 b0 = 34a2 · 1 = 34a2 b. (12)0 = 1 Sifat-sifat bilangan berpangkat positif dan negatif berlaku juga untuk Tugas 5.3 bilangan berpangkat nol dengan a bilangan real, a ≠ 0, dan m – n = 0. Buatlah masing-masing tiga 3. Bilangan Rasional Berpangkat Bulat contoh untuk setiap sifat bilangan berpangkat nol di a. Bilangan Rasional buku latihanmu. Bandingkan Di Kelas VII, kamu telah mempelajari materi bilangan bulat. Setiap bilangan hasilnya dengan temanmu. bulat dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan. 81 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 89. 1257 Tugas 5.4 Misalnya, 1 = = = = = ... 1257 Selain bilangan rasional, 2 4 6 10 di dalam sistem bilangan 2= = = = = ... juga terdapat bilangan 123 5 irasional. Carilah informasi − 5 − 10 − 15 − 25 mengenai bilangan irasional. −5 = = ... = = = Kamu dapat mencarinya di 1 2 3 5 perpustakaan atau internet. Laporkan hasilnya di depan Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebut kelas bilangan rasional. Uraian tersebut memperjelas definisi bilangan rasional, yaitu sebagai berikut. 5.4 a Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. b. Bilangan Rasional Berpangkat Bulat Pada bagian sebelumnya, kamu telah mampelajari bilangan bulat berpangkat bulat. Sekarang kamu akan mempelajari bilangan rasional berpangkat bulat. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat. Coba kamu tuliskan dan jelaskan sifat-sifat tersebut dengan kata-katamu. Contoh 5.10 Soal Hitunglah perpangkatan bilangan rasional berikut. (( (( 5 2 2 2 × 3 ( ( 7 7 2 a. c. ( 6 ( 3 2 7 (( (( 2 1 2 x (( (( 3 5 4 4 2 3 + b. d. (( (( 5 6 5 5 3 1 x 4 4 Jawab: ( ( 3 2 2 2 23 2 8 a. = × × = 3= 3 3333 27 (((( (((( 3 5 3 3+ 2 4 4 4 4 b. = + + 5 5 5 5 (( ( ( (( 3 3 2 4 4 4 + = . 5 5 5 (( ( ((( 3 2 4 4 = 1+ 5 5 82 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 90. 5 +2 ⎛ 2 ⎞ ⎛2⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ 2⎞ 5 2 7 ⎜ ⎟ ×⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ 7− 6 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎝ 7 ⎠ ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠ ⎝ 7⎠ = =⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ c. 6 ⎝7⎠ ⎝7⎠ 6 6 ⎛2 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛2⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠ ⎝7⎠ d. Pembagian ini tidak dapat disederhanakan. Mengapa? Jelaskan jawabanmu. Contoh 5.11 Soal Tuliskan dala pangkat positif. skan dalam 1. −7 −3 −c ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ a⎞ b. ⎜ ⎟ a. ⎜ ⎟ ⎜⎟ c. ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ b⎠ Tuliskan dalam pangkat negatif. 2. 1 1 1 a. b. c. ⎛ 7⎞ 5 r ⎛ p⎞ ⎛ 5⎞ 2 ⎜⎟ ⎜ q⎟ ⎜⎟ ⎝ 9⎠ ⎝⎠ ⎝ 6⎠ Jawab: −c −7 −3 ⎛ 3⎞ ⎛ a⎞ ⎛ 1⎞ 1 1 1 ⎜⎟= ⎜⎟ = = a. ⎜ ⎟ 1. b. c. ⎝ 4⎠ c 7 ⎝ b⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ 3 ⎝ 2⎠ ⎛ a⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ b⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝⎠ −r −2 −5 ⎛7 ⎞ ⎛5 ⎞ =⎛ ⎞ 1 p 1 1 =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜q ⎟ 2. a. b. c. r ⎝9⎠ 2 ⎝6 ⎠ 5 ⎛ 5⎞ ⎛ p⎞ ⎛7 ⎞ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝ 6⎠ q⎠ ⎝9⎠ ⎝ Uji Kompetensi 5.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. Sederhanakan perkalian berikut. 1. a. Tuliskan dalam bentuk bilangan berpangkat, 2. kemudian tentukan bilangan pokok dan pang- a. 26 × 27 katnya. b. 43 × 42 1) 4 × 4 × 4 × 4 c. (–3)5 × (–3) × (–3)7 2) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 d. 33 × 44 × 55 3) (–7) × (–7) × (–7) e. s6 × s7 × s9 4) c × c × c × c × c × c × c f. 3a2 × 3a3 5) (–y) × (–y) × (–y) × (–y) × (–y) g. 8p4 × p b. Tuliskan perpangkatan berikut sebagai perkalian h. 9a × a2 × b × 3b3 berulang. i. a4 × b3 × c2 × d 1) 23 4) 26 42 j. 10p × 2q2 × 8p5 2) 55 5) 83 a5 Sebuah balok memiliki panjang 12a, lebar 4a, dan 3. 3) (–6)4 tinggi 8a. Tentukan luas permukaan dan volume balok tersebut dalam a. 83 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 91. Sederhanakan pembagian berikut. b. Tuliskan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk 4. pangkat negatif, kemudian sederhanakan. 7 p 8q8 24 f. a. 1 1 1 52 r 4 23 1) 4) 112 1112 8 55 56 a 2 g. b. 35 11 1 p11 p13 2) 5) 2 7 8 25 100q 4 5 5 h. p9 p3 c. 25q17 10 5 1 3) 23b8 24b11 9 4 d. 7 : 7 i. 96 46b13 Hitung nilai pangkat berikut. c. 19 23 3 3 3 10 52 k 13 1) 60 4) 5p0×12q0 e. j. 25 7 13 4m 15r 0 3 3 2) 130 5) 350 t 0 Sebuah trapesium memiliki luas 54a2. Jika panjang 5. 3) (–20)0 sisi sejajarnya berturut-turut adalah 8a dan 10a, Sederhanakan bentuk-bentuk berikut dengan 10. a. tentukan tinggi trapesium tersebut dalam a. menggunakan sifat bilangan berpangkat. Sederhanakan perpangkatan berikut. 6. 4 9 2 2 1) a. (23)2 3 3 6 b. ( 5)4 12 10 6 6 2) 7 7 (33)5 × (32)7 c. 4 11 ( 8)4 ( 8)3 4 d. 5 9 3) 8 8 4 (910)9 : (97)8 e. 5 (m18)2 : (n6)4 f. 23 12 9 9 6 4 ( 4)3 : ( 4) 2 g. 13 13 4) 4 32 9 8 11 13 192 : ( p5 ) h. 3 3 194 p7 2 4 12 12 Sebuah tabung memiliki jari-jari 7b3. Jika tinggi 7. 25 25 5) tabung tersebut 15b3, nyatakan volume tabung 4 4 dalam p dan p. 12 Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan 25 8. bilangan berpangkat berikut. a. 32 + 36 e. 99 + 97 b. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif. 5 12 f. (–23)20 – (–23)13 b. 5 + 5 2 10 17 4 7 13 c. (–11)11 + (–11)25 g. 1517 – 1511 1) 2) 3) 5 19 23 d. p9 + p8 h. (–a)28 – (–a)18 a. Tuliskan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk 9. Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif. c. pangkat positif, kemudian sederhanakan. 1 1 1 1) 2) 3) 1) 7–3 4) 8–3 × 17–5 8 6 15 2 17 25 2) 4–2 5) 20p–5 : 10p–25 3 20 26 3) (–5)–5 84 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 92. B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Pengertian Bentuk Akar Sekilas Matematika Di Kelas VII, kamu telah mempelajari akar kuadrat suatu bilangan. Sekarang, kamu akan mempelajari bentuk akar. Sebelumnya, pelajari perhitungan akar Simbol radikal (akar) kuadrat bilangan-bilangan berikut. quot; quot; dikenalkan pertama 22 = 2 kali oleh matematikawan 4= 32 = 3 di dalam bukunya Die Coss. 9= Simbol tersebut ia pilih 42 = 4 karena mirip dengan huruf 16 = quot; r quot; yang diambil dari kata Coba kamu tuliskan 5 contoh akar kuadrat bilangan lain di buku latihanmu. radix, bahasa latin untuk akar pangkat dua. Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan yang telah kamu pelajari tersebut memenuhi definisi sebagai berikut. Sumber: Finite Mathematics and Its Applications,1994 5.5 a 2 = a dengan a bilangan real positif. Sekarang, coba kamu periksa 3, 5 , 6 , dan 7 , apakah memenuhi Definisi 5.5 atau tidak? Jika kamu memeriksanya dengan benar maka bentuk-bentuk tersebut tidak memenuhi Definisi 5.4. Akar pangkat suatu bilangan yang tidak memenuhi definisi tersebut dinamakan bentuk akar. Jadi, 3, 5 , 6 , dan 7 merupakan bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 3, 5, 6, dan 7. Contoh 5.12 Soal Manakah yang merupakan bentuk akar? Berikan alasannya. h 49 28 a. c. e. 64 36 b. d. f. 55 40 Jawab: 2 a. 64 bukan akar karena 64 = 8 = 8 . 40 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika b. dikuadratkan hasilnya sama dengan 40. 7 2 = 7. c. 49 bukan bentuk akar karena 49 = 62 = 6 . d. 36 bukan bentuk akar karena 36 = e. 28 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 28. f. 55 adalah bentuk akar. Mengapa? Coba tuliskan alasannya 85 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 93. 2. Sifat-Sifat dan Menyederhanakan Bentuk Akar Solusi Sebuah bentuk akar dapat dituliskan sebagai perkalian dua buah akar pangkat Matematika bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut. 15 = 3×5 = 3× 5 2, 57 = 1, 60 Jika diketahui 25, 7 = 5, 07 maka nilai dan 24 = 4×6 = 4× 6 = 2 6 2.570 adalah .... 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 a. 16 c. 160 b. 50,7 d. 507 Ketiga contoh di atas memperjelas sifat berikut. Jawab: 2, 57 = 1, 60 dan Diketahui Sifat 5.6 25, 7 = 5, 07 2.750 = 27,50 × 100 sehingga ab = a× b 2.570 = 25, 70 ×100 = 25, 7 × 100 dengan a dan b bilangan real positif. = 5, 07 ×10 = 50, 7 Contoh 5.13 Soal Jawaban: b Soal Ebtanas, 2000 Sederhanakan b k bentuk-bentuk akar berikut. a. b. c. 12 20 35 Jawab: 12 = 4× 3 = 4× 3= 2 3 a. 20 = 4× 5 = 4× 5= 2 3 b. c. 35 = 5× 7 = 5× 7 Sekarang, pelajari contoh berikut. 4 4 2 = = 6 6 6 25 25 5 = = 36 6 36 5 5 5 = = 9 3 9 Contoh-contoh tersebut memperjelas sifat berikut. Sifat5.7 a a = b b dengan a ≥ 0 dan b > 0. 86 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 94. Contoh 5.14 Soal Solusi Sederhanakan ben nakan bentuk-bentuk akar berikut. Matematika 2 9 81 a. b. c. 16 10 100 Hasil dari 0, 0625 + 0,022 adalah .... Jawab : a. 0,029 c. 0,2504 b. 0,065 d. 0,29 2 2 2 a. = = Jawab: 16 4 16 625 625 0, 0625 = = 10.000 10.000 9 9 3 b. = = 25 10 10 10 = 0, 25 = 100 81 81 9 2 22 Ê2ˆ c. = = = (0,02)2 = Á Ë 100 ˜ 100 10 100 ¯ 1002 100 4 = 0, 0004 = 10.000 Jadi, 0, 0625 + (0,02)2 062 Contoh 5.15 = 0,25 + 0,0004 Soal = 0,2504 Jawaban: c Perhatikan gambar berikut. Soal UN, 2006 C Tentukan panjang BC. 3 cm B A 6 cm Jawab: Diketahui : AB = 6 cm dan AC = 3 cm Ditanyakan : Panjang BC Penyelesaian: Gunakan Teorema Pythagoras, AB 2 + AC 2 BC = 62 + 32 = = 36+ 9 = 45 = 9× 5 = 9× 5 =3 5 Jadi, panjang BC = 3 5 cm 87 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 95. 3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Pelajari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut. 7 5 − 4 5 = ( 7 − 4) 5 2 3 + 3 3= ( 2 + 3) 3 i i =5 3 =3 5 23 6 − 12 6 = ( 23− 12) 6 8 7 + 11 7 = ( 8+ 11) 7 i i = 19 7 = 11 6 Contoh-contoh tersebut menggambarkan sifat-sifat berikut. Sifat 5.8 a c + b c = ( a + b) c dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0. Sifat 5.9 a c − b c = ( a − b) c dengan a, b, c, bilangan real dan c ≥ 0. Contoh 5.16 Soal Problematika Dapatkah kamu Hitunglah: h menjumlahkan 5 6 + 6 5 ? − 5 2+ 12 8 a. 4 3 + 8 3 c. Jelaskan alasannya. 15 7 − 25 7 b. d. 13 5 + 29 5 Jawab: a. 4 3 + 8 3= ( 4 + 8) 3 = 12 3 13 5 + 29 5= (13 + 29) 5 = 42 5 b. − 5 2+ 12 8 = − 5 2 + 12 4× 2 c. = − 5 2 + 12 4× 2 = − 5 2 + 24 2 = (− 5 + 24) 2 = 19 2 15 7 − 25 7 = (15 − 25) 7 d. = − 10 7 88 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 96. b. Perkalian dan Pembagian Perhatikan kembali Sifat 5.6. Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian bentuk akar seperti berikut. 2 × 3= 2 × 3= 6 5× 10 = 50 = 5 2 5 × 10 = 2 3 × 4 7 = 2 × 4× 3× 7 = 8 21 Uraian tersebut menggambarkan sifat perkalian bentuk akar sebagai berikut. Sifat 5.10 p a × q b = pq ab dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. Sekarang, perhatikan Sifat 5.7 . Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan pembagian bentuk akar berikut. 3 3 1 = = 6 2 6 5 5 Situs Matematika = 7 7 www.nimasmultima.co.id id www.geocities.com 82 82 22 = = 12 3 3 3 12 3 Uraian tersebut menggambarkan sifat pembagian bentuk akar sebagai berikut. Sifat 5.11 pa pa = qb qb dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. Contoh 5.17 Soal Tentukan h il perkalian dan pembagian bentuk akar berikut. hasil 7 a. c. 11 × 5 28 10 8 b. d. 8 3 × 24 12 52 Jawab : a. 11 × 5= 11× 5= 55 b. 8 3 × 24 12 = 8 3 × 24 4× 3 = 8 3× 48 3 = 8× 48 × 3 3 = 1.152 × 89 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 97. 7 7 11 c. = = = 28 42 28 10 8 10 4 × 2 20 2 d. = = =4 52 52 52 4. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari bilangan rasional. Masih ingatkah kamu tentang materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan kata-katamu sendiri. Di dalam matematika, selain bilangan rasional, terdapat bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah b bentuk akar, misalnya 2, 3, dan 5 . Pecahan yang penyebutnya bentuk akar 11 2 3 ,, , juga termasuk bilangan irasional, misalnya , dan 2 3 5 + 1 10− 6 lain-lain. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Caranya yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan-pecahan tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawan penyebutnya. Secara umum, pecahan yang penyebutnya bentuk akar yang a c c , , dan dapat dirasionalkan adalah dengan a, b, dan c b a± b a± b bilangan real. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. a a. Merasionalkan Bentuk b a Cara merasionalkan bentuk adalah dengan mengalikan pembilang dan b penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu : a a b ab a = . = = b b b b b b Contoh 5.18 Soal Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah. k −6 4 3 a. b. c. 5 7 6 90 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 98. Jawab: 4 4 5 45 4 a. = . = = 5 5 5 5 5 5 −6 −6 −6 7 7 6 =− b. = . = 7 7 7 7 7 7 3 3 6 18 9× 2 3 2 1 c. = . = = = = 2 6 6 6 2 6 6 6 c b. Merasionalkan Bentuk a± b c Untuk pecahan bentuk , cara merasionalkannya adalah dengan mengalikan a± b pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan a ± b . Bentuk sekawan dari a + b adalah a – b , sedangkan bentuk sekawan dari a – b adalah a + b. ( ) ( ) c a− c a− b b a− b c c = . = = a2 − b 2 b a− b ( b) a+ b a+ a 2 − a b+ a b − c Sekarang, coba kamu rasionalkan bentuk dengan cara yang sama. a− b Bagaimanakah hasilnya ? Contoh 5.19 Soal Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. −4 3 a. b. 5− 6+ 2 6 Jawab : ( ) = 3( 6 − 2) = 3 6− 2 6− 3 3 2 3 ( ) 6− a. = . = 2 36 − 2 2 6− 34 34 6+ 2 6+ 2 ( ) = − 4(5+ 6) = − 4 5 + 6 − 4 5+ 6 −4 −4 5+ 6 () = = . b. 25 − 6 5− 5− 19 19 6 6 5+ 6 c c. Merasionalkan Bentuk a± b c Sama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk a± b adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawan a + b adalah a – b , sedangkan dari b . Bentuk sekawan dari a± a – b adalah a+ b. bentuk sekawan dari 91 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 99. a− b c c Problematika = a− b a+ b a+ b Tentukan nilai dari 6 3 c( a − b) + . 3+ 2 2+3 2 = 2 2 ( a) − ( a)( b) + ( a)( b) − ( b) c( a − b) = a− b c Dengan cara yang sama, rasionalkan . Bagaimanakah hasilnya? a− b Contoh 5.20 Soal 8 Rasionalkan penyebut pecahan . 5+ 2 Jawab: 2 8 ( 5 − 2) 8 5− 8 8 = ( 5− 2) = . = 5− 2 5+ 2 5− 3 5+ 2 2 5. Bilangan Berpangkat Pecahan Perhatikan kembali Definisi 5.1. Definisi tersebut menyatakan bahwa bilangan berpangkat an didefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyak n faktor. 1 2 2 Misalnya, 2 = 2 × 2. Sekarang, bagaimana dengan 2 ? Untuk mengetahui definisi pangkat pecahan, pelajari uraian berikut. (i) 9a = 3. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan a hasilnya sama dengan 3. Berapakah nilai a? a Oleh karena 9a = 3 maka ( 3 ) = 3 2 32 a = 31 1 1 Ini berarti 2a = 1 atau a = sehingga 9 2 = 3 . 2 1 9 = 3 maka 9 = 9 2 = 3 . Oleh karena (ii) 9b = 27. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan b hasilnya sama dengan 27. Berapakah nilai b? b Oleh karena 9b = 27 maka ( 32 ) = 33 32 b = 33 3 3 sehingga 9 2 = 27 . Ini berarti 2b = 3 atau b = 2 2 32 32 Oleh karena 9 = 27 maka 9 = 9 3 = 27. Uraian (i) dan (ii) memperjelas definisi bilangan berpangkat pecahan, yaitu sebagai berikut. 92 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 100. 5.6 m m n n a m atau am = a n an = dengan a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat positif. Sifat-sifat yang berlaku untuk bilangan berpangkat bulat berlaku juga untuk bilangan berpangkat pecahan. Coba kamu tuliskan sifat-sifat tersebut dengan contoh-contohnya di buku latihanmu. Bandingkan hasilnya dengan teman-temanmu. Contoh 5.21 Soal 1. Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar. 1 3 7 a. b. c. 32 72 62 2. Ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan. 4 3 152 a. b. c. 6 9 Jawab : 3 7 1 73 67 1. a. b. c. 72 = 62 = 32 = 3 1 2 1 1 4 3 152 = 154 = 152 2. a. b. c. 9 = 93 6 = 62 Contoh 5.22 Soal Sederhanakan b nakan ben k bentuk-bentuk pecahan berikut. Problematika 7 ( (4 1 1 14 Tentukan nilai dari a. c. 2 2 2 ×2 2 -2 ( 2 ( 1 27 3 + 4 1 3 . 8 − − 52 2 2 3 ×3 3 5 b. d. 3− 1 6 53 Jawab: 1 1 1 1 2 + = 2 2 = 21 = 2 a. 22 × 22 = 22 2 8 86 2 53 − b. = 53 3 = 5 3 6 53 7 ( (4 14 17 7 × c. 2 = 42 4 = 48 ( ( 1 3 1 3 4 −+− − − − 4 2 2 3 2× 3 2 32 3 − − (− 1) = − 1 = 3 2 = 3− 1 d. = 3− 1 3− 1 3 93 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 101. Uji Kompetensi 5.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 6. Sebuah kerucut memiliki jari-jari 5 2 cm. Jika 1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut. tinggi kerucut tersebut 18 5 cm, tentukan volume kerucut tersebut. 9 32 a. e. 25 7. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. 3 10 a. e. 48 b. f. 27 5− 5 2 125 15 25 b. f. 121 c. g. 75 7 3+ 5 441 15 22 c. g. 320 245 d. h. 11 − 8 66 1.000 16 100 2 5+ 2 3 2. Sebuah persegi ABCD memiliki panjang sisi a cm. d. h. 2 5− 2 3 Tentukan panjang diagonal AC dalam a. 1+ 32 3. Diketahui segititiga siku-siku PQR seperti pada 8. Panjang diagonal sebuah persegi 20 cm. gambar berikut. Tentukan panjang sisi persegi tersebut. R 10 cm Q 9. Ubahlah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan. a. e. 3 10 Tentukan panjang PQ. 15 cm 3 52 152 b. f. 3 5 165 c. g. 23 4 6 122 404 d. h. P 10. Sederhanakan bentuk pangkat pecahan berikut. 4. Tentukanlah hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut. 1 1 2 ( 282) 4 a. e. 3 3 27 × 27 28 11 − 10 11 a. e. 11 2 + 10 2 9 ( (19 4 6 2 16 7 19 − 2 19 b. f. 23 6 + 5 6 5 7 3 b. 11 × 11 f. − 15 3+ 7 3 − 29− c. g. 29 1 1 2 × 23 3 − 32 33− d. h. c. g. 33 36 2 5+ 9 5 1 22 5. Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk akar berikut. 9 7 1 − 611 : 611 4 d. h. 81 18 a. e. 5× 2 2 20 b. f. 2 13 × 9 25 24 9 ( ) c. g. 6 5 + 12 × 45 2 ( )( ) 7 32 2− d. h. 2+ 3 3 6 28 × 7 27 94 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 102. Rangkuman • • Bilangan berpangkat sebenarnya adalah bilangan Bilangan berpangkat tak sebenarnya terdiri atas berpangkat bulat positif. bilangan berpangkat bulat negatif, berpangkat • nol, dan berpangkat pecahan. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat • bulat positif adalah sebagai berikut. Bilangan berpangkat pecahan dapat diubah menjadi bentuk akar, yang memiliki sifat-sifat - am × an = am + n sebagai berikut. dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif. ab = a × b - am dengan a dan b bilangan real positif. = a m− n - n a a a - = dengan a bilangan real yang tidak nol dan b b m, n bilangan bulat positif yang memenuhi dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. m > n. a c ± b c = (a + b ) c - (am)n = am × n = an × m - dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0. dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n. p a × q b = pq ab - - an + am = an (1+ am – n) dengan a, b, p, q bilangan real dengan am – an = an(am – n – 1) a ≥ 0 dan b ≥ 0. dengan a bilangan real dan m, n bilangan pa pa bulat positif yang memenuhi m ≥ n. = - qb qb dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. Pada bab Pangkat Tak Sebenarnya ini, bagian manakah menurutmu yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Materi apa sajakah yang belum dan telah kamu kuasai dengan baik? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari bab ini? 95 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 103. Peta Konsep Bilangan Berpangkat terdiri atas Pangkat Sebenarnya Pangkat Tak Sebenarnya terdiri atas yaitu Pangkat Bulat Positif Pangkat Bulat Negatif Pangkat Nol Pangkat Pecahan definisi definisi dapat diubah menjadi sifat Bentuk Akar 0 a =1 1 a–n = a bilangan real dan a ≠ 0 n sifat a a bilangan real, a ≠ 0, a m × a n = a m+ n dan bilangan bulat ab = a× b positif m a a = = a m– n an b b ( a m )n = a m× n = a n m × a c ± b c = ( a ± b) c a n + a m = a n (1+ a m–n ) + p a × q b = pq ab a m a n = a n ( a m–n − 1) pa pa = qb qb 96 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 104. Uji Kompetensi Bab 5 ((1 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. (( 1 12 (( (( 2 1. Pernyataan yang salah mengenai a5 adalah .... 23 2 4 × 58 5 a. bilangan pokok = a 10. = ... b. pangkatnya adalah 5 3 ( ( 2 16 c. dapat ditulis a × a × a × a × a 5 d. eksponennya adalah a 3 1 2. Bentuk sederhana dari 4a5× 16a adalah .... ( ( ( ( 2 2 16 9 a. c. a. 8a2 c. 3a5 5 5 b. 64a6 d. 16 a5 3. Sebuah kubus memiliki sisi 3p satuan. Perbandingan 1 1 luas permukaan dengan volumenya adalah .... ( ( ( ( 2 2 4 8 b. d. a. 3 : 6p c. 15 : 9p 5 5 b. 8p : 5 d. 22p : 18 8 3 11. Bentuk sederhana dari 80 adalah .... (− 2) × (− 2) jika disederhanakan menjadi 4. Bentuk 9 (− 2) a. c. 8 10 45 .... a. (–2)2 c. (–2)0 b. 8 5 d. 4 10 b. b–3 d. (–2)12 12. Diketahui panjang dan lebar sebuah persegipanjang berturut-turut adalah 9 cm dan 5 cm. Panjang nilai dari (a – b)10 dan (b – a)13 5. Jika a – b = –1, diagonal persegipanjang tersebut adalah .... adalah .... a. 1 dan 1 c. 1 dan –1 15 2 cm a. 5 3 cm c. b. –1 dan 1 d. –1 dan –1 b. 10 6 cm d. 20 cm b9 : b5 6. Nilai dari adalah .... b8 13. − 8 13− 10 13 = ... a. b–4 c. b6 b. b–3 d. b7 a. c. − 2 13 − 12 13 Penjumlahan (162)3 + (164)3 sama dengan .... 7. − 8 13 − 18 13 b. d. a. 166 (1 + 166) b. 162 (1 + 163) ( ) 3 8 − 7 9 = ... 14. c. 166 (163 + 1) − 13 3 d. 163 (162 + 1) a. c. 3 Nilai dari 80a5b0c2 adalah .... 8. −3 15 3 b. d. a. a5c2 c. 80a4bc2 b. a5 d. 80a5c2 20 2 15. × = ... Bentuk 5–4 × 5–10 jika dinyatakan dalam bentuk 9. 27 3 pangkat positif menjadi .... 2 2 1 a. c. 5 a. 514 c. 3 3 514 5 5 1 b. d. 3 b. 154 d. 9 9 1514 97 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 105. B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 85 16. = ... 1. Nyatakanlah dalam bentuk yang paling sederhana. 6 2 × 7 10 a. 85 × 84 × 8–2 4 1 a. c. (− 2 )9× (− 2 )10 21 21 b. (− 2 )17 2 3 b. d. p 5 × p 9× p− 16 21 21 c. p 4 × p− 10 8 −2 5 17. Bentuk rasional dari adalah .... (( 2 2 (( d. 2+ 5 × p q ( 5) − 8 2− a. 2. Jika p = q + 1, tentukanlah nilai dari − 8( 2− 5) ( p − q )10× (q − p )7 . b. 3 ( p − q )5 () 8 2− 5 c. 3. Tentukan nilai x. 8( 2 − 5) ( x ( d. 1 −3 a. 35 = 3 (( 6 x (( 2 4 2 5 18. Bentuk 3 64 p q jika dinyatakan dalam pangkat = b. pecahan menjadi .... 5 2 1 4 1 4 a. c. 8 p 3q 3 4 p 3q 3 (14–2)3 = 196x c. 2 4 2 4 ( 2 b. d. ( 8 p3q3 4 p3q3 1 = 5x d. 25 5 4 19. 11r : 11r = ... a. 11 c. 11r 4. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. d. r 2 b. r Kemudian, sederhanakanlah. 1 2 2 (132) 4 × (145) 15 a. 20. = ... 5 ( ( 1 4 (( 33 13 2 5 13 × 14 1 b. 11 − 5 1 5 1 1 2 6 13 14 a. c. 2 15 13 14 5. Tentukan keliling sebuah persegi yang memiliki ( 5 2 1 ( 6 5 14 b. 14 d. sisi cm. 3+ 1 98 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 106. Ba Bab 6 Sum te.fr b er: w fcom ww.medec inepharmacie.univ- Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Pola bilangan, barisan, dan deret merupakan materi baru yang akan kamu A. Pola Bilangan pelajari pada bab ini. Terdapat beberapa masalah yang penyelesaiannya B. Barisan memerlukan materi ini, contohnya sebagai berikut. Bilangan Jumlah bakteri dalam suatu kondisi tertentu bertambah dari C. Deret Bilangan 10.000 menjadi 25.000 dalam 4 hari. Jika jumlah bakteri tersebut terus bertambah menurut deret geometri, berapa banyak pertumbuhan bakteri tersebut per hari? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik. 99
  • 107. Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. Tuliskan himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10. 4. Tuliskan bilangan kelipatan 5 antara 80 dan 95. 2. Tuliskan himpunan genap antara 10 dan 20. 5. Hitunglah: 3. Tuliskan bilangan kelipatan tiga antara 50 dan 70. a. 54 c. 10(1,5)3 7 (15 + 25 ) b. (1,5)3 d. 2 A. Pola Bilangan Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamu perhatikan Gambar 6.1 . Gambar tersebut menunjukkan bahwa dadu memiliki bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktah- noktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada Sumber: Dokumentasi Penulis zaman dahulu. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti Gambar 6.1 : Dadu pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang. 1. Pola Garis Lurus Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya, a. mewakili bilangan 2. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 4. d. mewakili bilangan 5. Contoh 6.1 Soal Plus+ Gambarkan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah yang berpola garis rkan bilan Semua bilangan asli dapat b lurus. digambarkan dengan a. 8 b. 11 c. 15 noktah-noktah yang mengikuti pola garis lurus. Jawab: a. b. c. 100 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 108. 2. Pola Persegipanjang Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya, mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6. a. mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8. b. mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6. c. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh soal berikut. Contoh 6.2 Soal Dari bilangan-bilangan berikut, manakah yang dapat mengikuti pola angan bi angan-bil persegipanjang? Jelaskan dengan gambar. a. 15 b. 16 c. 17 Jawab: a. Bilangan 15 merupakan hasil perkalian 3 dan 5. Jadi, mengikuti pola persegipanjang. b. Bilangan 16 merupakan hasil perkalian 2 dan 8. Jadi, mengikuti pola persegipanjang. c. Bilangan 17 merupakan hasil perkalian dari 1 dan 17. Jadi, mengikuti pola garis lurus. 3. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut. mewakili bilangan 1, yaitu 1 x 1 = 1. a. b. mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4. 101 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 109. mewakili bilangan 9, yaitu 3 x 3 = 9. c. mewakili bilangan 16, yaitu 4 x 4 = 16. d. Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat dua). Jika kamu perhatikan, bilangan kuadrat memiliki pola sebagai berikut. 81 100 64 49 36 25 16 9 4 1 +19 +17 +15 +13 +11 +9 +7 +5 +3 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 Contoh 6.3 Soal 1. Dengan menggunakan ciri-ciri penulisan bilangan yang memiliki pola persegi, tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi? a. 60 b. 196 c. 225 2. Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola sebagai berikut. Pola 1 Pola 2 Pola 3 Berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5? Jawab: 1. a. Bilangan 60 bukan merupakan bilangan kuadrat. Jadi, bilangan 60 tidak dapat digambarkan mengikuti pola persegi. b. Bilangan 196 merupakan bilangan kuadrat dari 14. Jadi, bilangan 196 dapat digambarkan mengikuti pola persegi. c. Bilangan 225 merupakan bilangan kuadrat dari 15. Jadi, bilangan 225 dapat digambarkan mengikuti pola persegi. 102 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 110. 2. Persegi yang dibentuk pada pola ke-5 dapat digambarkan sebagai berikut. Dari gambar di samping, banyak lidi yang Situs Matematika dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5 adalah 60 lidi. www.free.vism www.sgi.com 4. Pola Segitiga Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. a. mewakili bilangan 1. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 6. d. mewakili bilangan 10. Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut. 28 36 21 15 10 6 3 1 +8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1 +1 +1 +1 +1 +1 103 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 111. atau 1 =1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 dan seterusnya. Apa yang dapat kamu simpulkan dari uraian tersebut? Contoh 6.4 Soal 1. Tentukan li bilangan segitiga setelah bilangan 36. t k lima 2. Seorang anak membuat kerangka segitiga dari batang lidi dengan mengikuti pola sebagai berikut. pola 1 pola 2 Berapa banyak lidi yang diperlukan untuk membuat pola ke-4? Jawab: 1. Lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 dapat ditentukan dengan pola: 36 + 9 = 45 + 10 = 55 + 11 = 66 + 12 = 78 + 13 = 91 Jadi, bilangan segitiga tersebut adalah 45, 55, 66, 78 dan 91 2. Segitiga yang dibentuk pada pola keempat dapat digambarkan sebagai berikut. Dari gambar di samping, banyaknya batang lidi yang dibutuhkan untuk membuat kerangka segitiga yang sesuai dengan pola ke-4 adalah 30 batang lidi 5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut. a. Pola Bilangan Ganjil Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. (1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal. (2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. 1 3 5 7 9 11 13 15 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 104 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 112. b. Pola Bilangan Genap Tugas 6.1 Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. Carilah contoh lain pola (1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal. bilangan ganjil dan genap selain contoh yang sudah ada. (2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumu Perhatikan pola bilangan genap berikut ini. 2 4 6 8 10 12 14 16 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 Agar kamu lebih memahami pola bilangan ganjil dan genap, coba kamu perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh 6.5 Soal 1. Isilah titik tit berikut sehingga membentuk pola bilangan genap. ah titik-titik h ti ... ... ... ... 28 ... ... ... ... 38 ... 2. Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan ganjil. ... 51 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69 Jawab: 1. Pola bilangan genap yang dimaksud adalah 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 2. Pola bilangan ganjil yang dimaksud adalah 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 6. Pola Segitiga Pascal Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. 1 Plus+ 1 1 Pola bilangan segitiga bil bila Pascal ini dapat digunakan dalam perhitungan 1 2 1 matematika lainnya. Salah satunya adalah 1 3 3 1 variabel bilangan berpangkat 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 dan seterusnya. 105 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 113. Uji Kompetensi 6.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan pola noktah berikut. 7. Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi. a. Salinlah kembali pola noktah tersebut dan lanjutnya tiga pola noktah berikutnya. b. Tulislah pola noktah tersebut dalam bentuk angka. (a) (b) (c) (d) c. Jelaskan pola bilangan tersebut. a. Salinlah pola tersebut dan tentukan tiga pola 2. Isilah tabel berikut. berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan Pola Bilangan Bilangan untuk membuat pola 1, 2, 3, dan 4? Bilangan Pada Dadu Pada Kartu Domino 8. Berdasarkan pola yang telah dibuat pada soal Garis lurus ... ... nomor 7, isilah titik-titik pada tabel berikut. ... ... Persegi 9. Tentukan nilai m dan n sehingga pola bilangan Persegi ... ... berikut mempunyai pola tertentu. panjang Banyaknya Banyaknya Banyaknya Persegi Batang Batang 3. Buatlah pola noktah dari bilangan-bilangan berikut. Lidi Lidi Kemudian, tentukan jenis pola yang digunakan. yang pada a. 9 d. 12 Digunakan Kelilingnya b. 10 e. 13 c. 11 1 4 4 4. Istilah titik-titik berikut dengan memperhatikan 2 7 6 pola yang digunakan. 3 ... ... a. 1, 2, 4, 8, 32, 256, ... ... ... ... b. 1, 5, 9, ..., 17, 21, 25 ... ... ... c. 5, 10, 15, 20, 25, ... , 35 d. 1, 4, 10, 19, 31, ... , ... ... ... ... e. 1, 4, 9, 16, ... , ..., 49 ... ... ... 5. Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang a. 7, 10, m, 16, 19, 22, n, ... lidi. b. 1, 2, 5, 6, 9, 10, m, n, c. 1, 6, 16, m, 51, n, ... d. 1, 6, m, 7, 3, n, 4 a. Salinlah pola tersebut dan lanjutkan tiga pola berikutnya. e. m, 12, 19, 26, n, 40, ... b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan 10. Di sebuah bioskop, susunan tempat duduknya untuk membuat pola kesepuluh? digambarkan sebagai berikut. 6. Tentukan pola bilangan berikut dan isilah titik-titik baris 1 yang telah disediakan. baris 2 a. 1, 8, 27, 64, ..., ..., ... baris 3 b. 13, 23, ..., ..., ..., 63, 73 a. Berdasarkanpolatersebut,berapakahbanyaknya c. 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4, ..., ..., 6 + 7 kursi pada baris ke-6? d. ..., ..., 75, 100, 125, ..., 175 b. Jika di bioskop tersebut hanya terdapat enam e. 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., ..., ..., ..., baris kursi, berapa jumlah kursi di bioskop tersebut? 106 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 114. B. Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8 b. 1, 3, 5, 7, ... c. 3, 6, 9, 12, 15, ... Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun Plus+ mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku T Tanda “ ... “ pada akhir barisan bilangan ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. menunjukkan bahwa Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh barisan tersebut memiliki banyak sekali suku U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku. Contoh 6.6 Soal 1. Diketahui ba ketahui barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Sebutkan satu per satu suku yang dimaksud. 2. Diketahui barisan bilangan 5, 10, 20, 40, 80. Tentukan U2, U4, dan U5. Jawab: 1. a. Terdapat 8 suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. U1 = 1 U5 = 9 U2 = 3 U6 = 11 U3 = 5 U7 = 13 U4 = 7 U8 = 15 2. U2 = suku kedua = 10 U4 = suku keempat = 40 U5 = suku kelima = 80 Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini. 1. Barisan Aritmetika (Barisan Hitung) Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan: 1 4 7 10 13 16 19 22 +3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. 107 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 115. • Diketahui barisan bilangan: Sekilas −4 −8 −12 −16 −20 8 4 0 Matematika Fibonacci –4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 (1180 –1250) Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan Sumber: www.lahabra.seniorhigh.net arimetika turun. Fibonacci, yang nama Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. lengkapnya adalah Leonardo of Pisa, adalah Contoh putra seorang saudagar 6.7 Soal Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, Tentukan jenis ba an b barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya. ia mengembangkan kegemarannya akan a. 30, 32, 34, 36, 38, ... bilangan. Dalam karya b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ... terbesarnya, Liber Abaci, c. −10, −14, –18, −22, −26, ... ia menjelaskan sebuah Jawab teka-teki yang sekarang kita kenal dengan barisan a. 30 32 34 36 38 Fibonacci. Barisan tersebut adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Setiap bilangan atau +2 +2 +2 +2 angka dalam barisan ini merupakan barisan aritmetika naik karena bedanya 2. merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. b. 18 15 12 9 6 3 (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, ...). Sumber: Ensiklopedi Matematika −3 −3 −3 −3 −3 dan Peradaban Manusia, 2002 merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −3. −10 −14 −18 −22 −26 c. −4 −4 −4 −4 merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −4. Kamu telah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang, bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a) U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b 108 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 116. U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b . . Problematika . Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) b Isilah dengan barisan bilangan yang tepat. Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut. 1 11 Un = a + (n − 1) b 21 1211 Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan 111221 312211 uraian berikut. 13112221 U2 = U1 + b maka b = U2 − U1 U3 = U2 + b maka b = U3 − U2 U4 = U3 + b maka b = U4 − U3 U5 = U4 + b maka b = U5 − U4 . . . Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un − 1 Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut. b = Un − U n − 1 Agar kamu lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh 6.8 Soal Diketahui barisa aritmetika sebagai berikut. ui barisan 10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan: a. jenis barisan aritmetikanya, b. suku kedua belas barisan tersebut. Jawab: a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan Solusi tersebut. b = U2 − U1 Matematika = 13 − 10 = 3 127, 119, 111, 103, 95, ... Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika Rumus suku ke-n dari naik. barisan bilangan di atas adalah .... b. Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut. a. 8n + 119 c. 135 – 8n Un = a + (n − 1)b maka U12 = 10 + (12 − 1) 3 b. 119 – 8n d. 8n + 135 = 10 + 11 · 3 Jawab: = 10 + 33 = 43 Diketahui: U1 = a = 127 Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43. U2 = 119 b = –8 Rumus umum suku ke-n adalah Contoh Un = a + (n – 1) b 6.9 Soal = 127 + (n – 1) (–8) = 127 – 8n + 8 Sebuah barisan a aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. = 135 – 8n a. Tentukan beda pada barisan tersebut. Jawaban: c Soal UAN, 2002 b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut. 109 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 117. Jawab: Diketahui : suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36 Solusi a. Untuk menentukan beda: Un = a + (n − 1) b maka U7 = 6 + (7 − 1) b Matematika 36 = 6 + 6 b Di dalam suatu gedung 36 − 6 = 6 b pertunjukan, disusun kursi 30 = 6 b dengan baris paling depan b =5 terdiri atas 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga Jadi, beda pada barisan itu adalah 5. 16 kursi, dan seterusnya b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut. selalu bertambah dua. 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51 Banyak kursi pada baris ke- 20 adalah .... a. 28 buah Contoh b. 50 buah 6.10 Soal c. 58 buah d. 60 buah barisan aritmetika :−8, −3, 2, 7, 12, 17, ... Diketahui suatu b i Jawab: Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut. Misalkan, Un = banyak kursi pada baris ke-n Jawab: Diketahui: Diketahui: a = U1 = −8 U1 = 12, U2 = 14, dan U3 = 16 b = U2 − U1 = −3 − (−8) Ditanyakan: U20 = −3 + 8 Penyelesaian: =5 Banyak kursi pada setiap Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah baris membentuk barisan Un = a + (n − 1) b aritmetika dengan a = 12 dan b = 2. = −8 + (n − 1) 5 Jadi, Un = a + (n –1)b = −8 + 5n − 5 U20 = 12 + (20 – 1)2 = 5n − 13 = 12 + (19)2 = 12 + 38 = 50 Contoh Jawaban: b 6.11 Soal Soal UN, 2006 Setiap bulan, U l Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12. Jawab : a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Diketahui : U1 = 10 b=1 Cerdas Berpikir U12 = a + (n – 1) b = 10 + (12 – 1) 1 Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan aritmetika = 10 + 11 selain contoh yang sudah = 21 ada Jadi, uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00. 110 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 118. 2. Barisan Geometri (Barisan Ukur) Barisan geometriadalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Pelajari uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 3 6 12 24 48 96 192 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri. • Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 1 1 81 27 9 3 1 3 9 1 1 1 1 1 1 × × × × × × 3 3 3 3 3 3 1 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap yaitu . Berarti, , 3 bilangan tersebut merupakan barisan geometri. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun. Contoh 6.12 Soal Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun. 5 5 5 a. 100, 20, 5, , , , ... 4 16 64 b. 1, 5, 25, 125, 625, ... c. 2, 4, 8, 16, 32, ... Jawab : 5 5 5 a. 100 20 5 4 16 64 merupakan barisan geometri 1 turun karena rasionya . 1 1 1 1 1 4 × × × × × 4 4 4 4 4 b. 1 5 25 125 625 merupakan barisan geometri naik karena rasionya 5. ×5 ×5 ×5 ×5 c. 2 4 8 16 32 merupakan barisan geometri naik karena rasionya 2. ×2 ×2 ×2 ×2 111 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 119. Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut. U1, U2, U3, U5, U6, ..., Un – 1, Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a U2 = U1 × = a × r = ar U3 = U2 × r = (a × r) × r = ar2 U4 = U3 × r = (a × r2) × r = ar3 U5 = U4 × r = (a × r3) × r = ar4 U6 = U5 × r = (a × r4) × r = ar5 . . . Un = Un–1 × r = (a × rn – 2) × r = arn – 1 Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut. Un = arn – 1 Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut. U U2 = U1 × r maka r = 2 U1 U U3 = U2 × r maka r = 3 U2 U U4 = U3 × r maka r = 4 U3 . . . Un Un = Un – 1 × r maka r = U n− 1 Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. Un r= U n−1 Contoh 6.13 Soal Cerdas Berpikir Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2 18, 6, 2, , 2 , 2 , ... Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan geometri 3 9 27 selain contoh yang sudah Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. ada Jawab: U U 61 r = n maka r = 2 = = U n− 1 U1 8 3 1 Dengan rasio , suku kesepuluh barisan tersebut adalah 3 ( ( ( 10 − 1 ( ( ( 9 1 1 1 18 2 Un = arn–1 maka U10 = 18× = 18 × = 18 × = = 3 3 19 683 19 683 2.187 2 Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 2.187 112 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 120. Contoh 6.14 Soal Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah ui ba b 32. Tentukan: a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut, b. suku kesembilan barisan geometri tersebut. Jawab: a. Diketahui U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn – 1 maka U4 = ar3 = 4 .... (1) U7 = ar6 = 32 .... (2) Dari persamaan (1) diperoleh 4 ar3 = 4 maka a = 3 .... (3) r Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2). ( ( 4 ar6 = 32 maka 3 r 6 = 32 r 4r3 = 32 r3 = 8 r=2 Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1), diperoleh ar3 = 4 maka a · (2)3 = 4 a·8 =4 1 a= 2 1 Jadi, suku pertamanya adalah dan rasionya adalah 2. 2 1 · (2)9 – 1 b. Un = arn – 1 maka U9 = 2 1 = · (2)8 2 1 = · 256 = 128 2 Jadi, suku kesembilan dari barisan geometri tersebut adalah 128 Uji Kompetensi 6.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 3. Tentukan beda untuk setiap barisan aritmetika 1. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. berikut ini. –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37 a. 17, 27, 37, 47, 57, ... a. Tentukanlah banyaknya suku barisan dalam b. –6, –1, 4, 9, 14, 19, ... barisan bilangan tersebut. c. 48, 32, 16, 0, –16, ... b. Tentkan nilai U3, U5, U6, U8, dan U10. d. 3, –1, –5, –9, –13, ... 2. Tentukanlah apakah barisan aritmetika berikut ini e. 0, –2, –4, –6, –8, ... merupakan barisan aritmetika naik atau turun. 4. Tulislah lima suku pertama dari barisan aritmetika a. 12, 36, 108, 324, ... yang mempunyai rumus umum sebagai berikut. b. –40, –28, –16, –4, ... 1 c. 7, 4, 1, –2, –5, –8, ... a. Un = 2n + 1 d. Un = n + 2 2 d. 10, 8, 6, 4, 2, ... b. Un = n + 5 e. Un = 3n + 7 e. 1, –5, –11, –17, –23, ... c. Un = 4n + 3 113 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 121. 5. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku 8. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. berikut ini. a. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut. a. 2, 10, 50, 250, ..., U7 b. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut. b. 16, 8, 4, 2, ..., U8 4 c. Tuliskan sepuluh suku pertama barisan tersebut. c. 100, 20, 4, , ..., U6 5 6. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertamanya –15 dan suku kelimanya 1. d. 1, 5, 25, 125, ..., U8 a. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. e. 6, 18, 54, 162, ..., U7 b. Tentukan suku kesepuluh barisan aritmetika 9. Tentukan rasio dan suku keempat suatu barisan tersebut. geometri jika diketahui c. Tuliskan 10 suku pertama barisan aritmetika a. a = 2 dan U5 = 162 tersebut. b. a = 4 dan U3 = 64 7. Tentukan rasio setiap barisan geometri berikut ini. 7 c. a = dan U7 = 224 a. 5, 15, 45, 135, ... 2 11 9 1 81 b. , , , , ... d. a = dan U6 = 12 4 4 15 15 10 c. 20, 10, 5, ... e. a = 90 dan U5 = 777 9 d. 7, , , 248 10. Diketahui suatu barisan geometri dengan suku keempat 10 10 e. 1, 2, 4, 8, ... dan suku keenam . Tentukan: 81 9 a. suku pertama dan rasio pada barisan geometri tersebut, b. suku kesepuluh barisan geometri tersebut. C. Deret Bilangan Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu barisan aritmetika maupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya? Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un Bentuk seperti ini disebut deret bilangan . Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri. 1. Deret Aritmetika (Deret Hitung) Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika. 114 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 122. Contoh 6.15 Soal Suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret arisan ari ar aritmetika dari barisan tersebut. Jawab: • Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un • Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + ... + Un Kemudian, • Sn = a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + ( a + 3b ) + ( a + 4 b ) + ...+ U n Sn = U n + (U n − b ) + (U n − 2b ) + (U n − 3b ) + (U n − 4 b ) + ...+ a + 2 Sn = ( a + U ) + ( a + U ) + ( a + U ) + ( a + U ) + ...+ ( a + U ) Sebanyak n kali y • 2 Sn = n (a + Un) n 1 • n(a + Un) = (a + U n ) Sn = 2 2 Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut. n Sn = (a + Un) 2 Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut. n Sn = (2a + (n – 1) b) 2 Agar kamu lebih memahami deret aritmetika, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh 6.16 Soal Diketahui d t aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + U10. Tentukan: i deret a. suku kesepuluh (U10) deret tersebut, b. jumlah sepuluh suku pertama (S10). 115 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 123. Jawab : Diketahui : a = 3 dan b = 4 a. Un = a + (n – 1) b maka U10 = 3 + (10 – 1) 4 =3+9·4 = 3 + 36 Solusi = 39 Jadi, suku kesepuluh deret tersebut adalah 39. Matematika 10 n b. Sn = (a + Un) maka S10 = (3 + U10) Setiap hari, Anisa 2 2 menyimpan uang sebesar Rp1.000,00 di kotak uang. 10 = (3 + 39) Uang di kotak itu pada hari 2 ini ada Rp15.000,00. Berapa rupiah uang di kotak = 210 tersebut 2 minggu yang Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 210 akan datang? a. Rp14.000,00 b. Rp28.000,00 Contoh 6.17 c. Rp29.000,00 Soal d. Rp30.000,00 Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20. ui d Jawab: a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut. Setiap hari Anisa menabung sebesar b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. Rp1.000,00 c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut. Oleh karena hari ini uang Jawab : Anisa Rp15.000,00, hari Diketahui: U1 = a = 10 ke-1 menjadi Rp16.000,00, U6 = 20 hari ke-2 menjadi Rp17.000,00 dan a. Un = a + (n – 1) b maka U6 = 10 + (6 – 1)b seterusnya (mengikuti 20 = 10 + 5b deret aritmetika). 20 – 10 = 5b 16.000, 17.000, 18.000, .... 10 = 5b a = 16.000 b =2 b = 1.000 Jadi, bedanya adalah 2. U14 = a + (n –1)b b. Deret aritmetika tersebut adalah: 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + ... = 16.000 + (14 – 1)1.000 = 16.000 + 13 × 1.000 1 6 c. Sn = (a + Un) maka S6 = (10 + U6) = 29.000 2 2 Jadi, uang Anisa setelah 6 dua minggu adalah = (10 + 20) = 90 Rp29.000,00. 2 Jawaban: c Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah 90 Soal UN, 2005 Contoh 6.18 Soal Sebuah perusahaan permen memproduksi 2.000 permen pada tahun pertama. Oleh karena permintaan konsumen setiap tahunnya, perusahaan tersebut memutuskan untuk meningkatkan produksi permen sebanyak 5% dari produksi awal setiap tahunnya. a. Nyatakan jumlah permen yang diproduksi perusahaan tersebut pada 5 tahun pertama dalam barisan bilangan. b. Tentukan jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 (U7). c. Tentukan jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 (S7). Jawab: Diketahui: a = 2.000 5 b= x 2.000 = 100 100 116 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 124. a. Barisan bilangannya adalah sebagai berikut. 2.000, 2.100, 2.200, 2.300, 2.400 b. Un = a + (n – 1) b maka U7 = 2.000 + (7 – 1) 100 = 2.000 + 6 · 100 = 2.000 + 600 = 2.600 Jadi, jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 adalah 2.600 permen. 7 n c. Sn = (a + U n ) maka S7 = (2.000 + 2.600) 2 2 = 3,5 × 4.600 = 16.100 Jadi, jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 adalah 16.100 permen Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut. (1) Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1 (2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka 2U2 = U1 + U3 (3) Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka Um = Un + (m – n)b Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal berikut. Contoh 6.19 Soal 1. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku k il deret geometri. 2. Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan: a. beda deret aritmatika tersebut, b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut. Jawab: 1. Diketahui : U1 = x – 1 U2 = 2x – 8 U3 = 5 – x 2U2 = U1 + U3 maka 2 (2x – 8) = (x – 1) + (5 – x) 4x – 16 = x – 1 + 5 – x 4x – 16 = 4 4x = 20 x =5 Jadi, nilai x sama dengan 5. 2. Diketahui U4 = 38 dan U10 = 92 a. Untuk mencari beda: U − Un Um = Un + (m – n)b maka b = m m− n U − U 4 92 − 38 54 = 10 = = =9 10 − 4 6 6 Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9. 117 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 125. b. Um = Un + (m – n)b maka U7 = U4 + (7 – 4)b = 38 + (3) 9 = 38 + 27 = 65 Jadi, suku ketujuh deret aritmetika tersebut adalah 65 2. Deret Geometri (Deret Ukur) Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun merupakan jumlah suku- suku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri. Contoh 6.20 Soal Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan barisan dan deret geometrinya. Jawab: Barisan geometrinya adalah 5, 10, 20, 40, 80, 160, ..., Un Deret geometrinya adalah 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + .... + Un Selanjutnya, kamu akan mempelajari cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn – 1 Kemudian, n− 1 2 3 4 • Sn = a + ar + ar + ar + ar + ... + ar rSn = ar+ ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + ...+ ar n Sn − rSn = a − ar n Sn − rSn = a (1 − r n ) • Sn (1 − r) = a (1− r n ) a (1 − r n ) Sn = (1 − r) Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. a ( r n − 1) a (1 − r n ) atau S n = Sn = r− 1 1− r Agar kamu lebih memahami deret geometri, coba kamu pelajari contoh- contoh soal berikut. 118 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 126. Contoh 6.21 Soal Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7). Jawab: • Menentukan suku ketujuh. Un = arn – 1 maka U7 = ar 6 = 3(2)6 = 3 · 64 = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192. • Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya. a (1 − r n ) 3(1 − 2 7 ) maka S7 = Sn = 1− r 1− 2 3(1 − 128) = −1 3(− 127) = −1 = 381 Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381 Contoh 6.22 Soal Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio (r), suku kelima (U5), dan jumlah delapan suku pertamanya (S8). Jawab: Diketahui U7 = 64 dan U10 = 512. • Un = arn – 1 maka U7 = ar6 64 = ar6 64 a= 6 ... (1) r U10 = ar9 maka 512 = ar9 ... (2) Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh () ar9 = 512 maka 64 r 9 = 512 r6 64 r3 = 512 512 r3 = 64 r3 = 8 r =2 Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 2. 64 • Dari persamaan (1) diperoleh : a = 6 r 64 = 6 ( 2) 64 = =1 64 119 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 127. Diperoleh a = 1, sehingga Un = arn–1 maka U5 = 1(2)5–1 = 1(2)4 = 1 · 16 = 16 Jadi, suku kelimanya adalah 16. a (1 − r n ) 1(1 − 2 8 ) • Sn = maka S8 = 1− r 1− 2 1(1 − 256) = −1 − 255 = −1 = 255 Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 255 Contoh 6.23 Soal Di suatu desa jum desa, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 adalah 10.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di desa tersebut 5% per tahun, tentukan jumlah penduduk di desa tersebut pada tanggal 1 Januari 2011. Jawab: Misalkan, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 (U1) adalah 10.000 dan tingkat pertumbuhan penduduk (r) adalah 5 % = 0,05. • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2008 adalah U2 = 10.000 + (10.000 × 0,05) = 10.500 jiwa • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2009 adalah U3 = 10.500 + (10.500 × 0,05) = 11.025 jiwa dan seterusnya hingga diperoleh barisan sebagai berikut: 10.000, 10.500, 11.025, ... sehingga a = 10.000 r = 10.500 = 1, 05 10.000 Jadi, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2011 adalah U5 = ar5 – 1 = 10.000 (1,05)4 = 12.155,0625 = 12.155 jiwa. Untuk mempermudah perhitungan deret geometri, kamu dapat meng- gunakan sifat-sifat dasar deret geometri, sebagai berikut (1) Jika diketahui deret geometri : U1 + U2 + U3 + ... +Un maka U2 U3 U4 Un = = = ...= U1 U 2 U 3 U n−1 (2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret geometri maka U22 = U1 × U3 (3) Jika Um dan Un merupakan suku dari deret geometri maka Um = Un · r m – n Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh soal berikut. 120 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 128. Contoh 6.24 Soal Diketahui suatu barisan : x + 2, 9, x + 26. Tentukanlah nilai x agar barisan tersebut dapat disusun menjadi sebuah deret geometri. Jawab: Diketahui bahwa : U1 = x + 2 U2 = 9 U3 = x + 26 Dengan menggunakan sifat dasar deret geometri maka U22 = U1 × U3 maka (9)2 = (x + 2) (x + 26) 81 = (x + 2) (x + 26) 2 81 = x + 28 x – 52 0 = x 2 + 28x – 29 0 = (x – 1) (x + 29) x = 1 atau x = –29 Jadi, nilai x = 1 atau x = –29 Contoh 6.25 Soal Dari suatu geometri, diketahui suku keenamnya 32 dan suku kesembilannya 256. Tentukan: a. rasio dari deret tersebut, b. suku ketiga (U3) dari deret tersebut. Jawab: Diketahui: U6 = 32 dan U9 = 256 a. Um = Un· rm–n maka U9 = U6 · r9–6 U 9 = U6 · r 3 U r3 = 9 U6 256 = =8 32 r =2 Jadi, rasio deret tersebut adalah 2. Um = Un· rm–n maka U6 = U3 · r6–3 b. U 6 = U3 · r 3 U U3 = 36 r 32 = 3 ( 2) 32 = 8 =4 Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 4 121 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 129. Uji Kompetensi 6.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tuliskan deret aritmetika dari barisan aritmetika Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 3 6. berikut ini. dan rasio 4. a. Tuliskan barisan geometri tersebut. a. 80, 120, 160, 200, ..., Un b. Tuliskan deret geometri tersebut. b. 13, 18, 23, 28, ..., Un 7. Tentukan jumlah setiap deret geometri berikut. c. –16, –9, –2, 5, ..., Un a. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ... + U7 d. 10, 12, 14, 16,..., Un b. 3 + 15 + 75 + ... + U6 e. 17, 24, 31, 38, ..., Un c. 1 + 4 + 16 + 64 + ... + U7 2. Tentukan jumlah setiap deret aritmetika berikut. d. 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + ... + U8 a. 1 + 5 + 9 + 13 + ... + U10 1 1 b. 8 + 11 + 14 + 17 + ... + U15 + + 1 + 2 +... + U10 e. 4 2 c. 2 + 9 + +16 + 23 + ... + U7 8. Diketahui suatu deret geometri memiliki suku d. 3 + 8 + 13 + 18 + ... + U20 ketiga 18 dan suku kelima 162. Tentukan: e. 14 + 18 + 22 + 26 + ... + Un a. rasio deret geometri tersebut, b. suku kedelapan deret geometri tersebut, 3. Suatu deret aritmetika memiliki suku pertama 3 c. jumlah delapan suku pertama deret geometri dan suku kedelapan 24. tersebut. a. Tentukan beda deret tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. 9. Diketahui suatu barisan 1 + x, 10, x +16. Tentukan c. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari nilai x agar suku barisan tersebut menjadi deret deret tersebut. geometri. 4. Jika diketahui dalam suatu deret aritmetika dengan 10. Tentukan n jika suku kelima 13 dan suku kesembilan 21, tentukan: a. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + n = 510 a. beda dari deret tersebut, b. 3 + 9 + 27 + ... + n = 120 b. suku kesepuluh deret tersebut, c. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + n = 1.023 c. jumlah sebelas suku pertama dari deret tersebut. d. 3 + 6 + 12 + ... + n = 765 5. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 4, 2x + 1, 10 + x, merupakan suku-suku yang membentuk e. 2 + 6 + 18 + ... + n = 242 dari aritmetika. Rangkuman Pola bilangan terdiri atas: Rumus suku ke - n barisan aritmetika • • sebagai berikut. - pola garis lurus - pola persegipanjang Un = a + (n – 1)b - pola persegi Rumus suku ke - n barisan geometri • - pola segitiga sebagai berikut. - pola bilangan ganjil dan genap Un = arn – 1 - pola segitiga Pascal Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmetika Deret bilangan terdiri atas deret aritmetika • • dan barisan geometri. dan deret geometri. 122 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 130. Jumlah suku ke-n deret aritmetika dinyatakan Jumlah suku ke-n deret geometri dinyatakan • • oleh rumus oleh rumus a(1 − r n ) n Sn = (a + U n ) dengan r π 1 Sn = 2 1− r • Pada bab Pola Bilangan, Barisan, dan Deret ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? • Setelah mempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu? • Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi pada bab ini? Peta Konsep Pola Bilangan, Barisan, dan Deret mempelajari tentang jika dijumlahkan Pola Bilangan Barisan Deret menjadi terdiri atas terdiri atas terdiri atas • Pola garis lurus • Pola persegipanjang • Pola persegi Aritmetika Geometri Aritmetika Geometri • Pola segitiga • Pola bilangan ganjil dan genap rumus rumus rumus rumus • pola segitiga Pascal Suku ke-n Suku ke-n Jumlah suku ke-n Jumlah suku ke-n Un = a + ( n – 1)b a(1− r n ) Un = a rn – 1 n Sn = ( a + Un) ,r π1 Sn = 1− r 2 123 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 131. Uji Kompetensi Bab 6 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 6. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 1. Perhatikan pola berikut. –8, –4, 0, 4, 8, 12, n, 20, 24 Nilai n yang memenuhi adalah .... a. 10 c. 16 b. 14 d. 18 (1) (2) (3) (4) 7. Berikut ini yang merupakan barisan aritmetika Pola kelima dari gambar tersebut adalah .... turun adalah .... a. c. a. 30, 32, 34, 36, ... b. 12, 8, 4, ... c. 16, 21, 26, ... d. 50, 60, 70, ... b. d. 8. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 36, 44, 52, 60, 68, .... Beda pada barisan tersebut adalah .... a. 6 c. 8 Pola noktah-noktah berikut yang menunjukkan 2. b. 7 d. 9 pola bilangan persegipanjang adalah ... 9. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. a. c. 42, 45, 48, 51, 54, .... Suku ke-12 barisan tersebut adalah .... a. 75 b. d. b. 55 c. 85 d. 65 Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 3. 10. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki suku 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. pertama 15 dan suku ketujuh 39 adalah .... Banyaknya suku barisan dari barisan bilangan a. 3 tersebut adalah .... b. 4 a. 10 c. 8 c. 5 b. 9 d. 7 d. 6 Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 4. 11. Suatu barisan aritmetika memiliki suku keempat 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70 46 dan suku ketujuh 61. Suku kesepuluh barisan Nilai U3, U6, dan U8 berturut-turut adalah .... tersebut adalah .... a. 40, 46, 64 a. 66 c. 76 b. 40, 52, 70 b. 71 d. 81 c. 40, 58, 70 12. Barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum: d. 40, 64, 70 3n – 1 adalah .... Berikut ini adalah barisan aritmetika, kecuali .... 5. a. 1, 4, 7, 10, 13, ... a. 70, 82, 94, 106, 118 b. 1, 5, 9, 13, 17, ... b. 36, 40, 44, 48, 52 c. 2, 8, 14, 20, ... c. –10, –4, 2, 8, 14 d. 2, 5, 8, 11, 14, ... d. 1, 2, 4, 8, 16 124 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 132. 13. Perhatikan barisan bilangan berikut. 18. Suatu deret aritmetika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku 1, 3, 9, 27, 81, m, 729, ... pertama deret aritmetika tersebut adalah .... Agar barisan tersebut menjadi barisan geometri a. 242 maka nilai m yang memenuhi adalah .... b. 121 a. 324 c. 81 b. 234 d. 72 c. 243 19. Dalam sebuah deret geometri, diketahui nilai S10 = d. 342 1.023. Jika rasio pada deret tersebut adalah 2, suku 14. Diketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut. pertama deret tersebut adalah .... 15 15 60, 30, 15, , a. 1 c. 3 24 b. 2 d. 4 Rasio pada barisan tersebut adalah .... 20. Diketahui suatu barisan sebagai berikut. a. 30 x + 3, 16, 27 + x b. 15 Nilai x yang memenuhi agar suku barisan tersebut c. 3 menjadi deret geometri adalah .... d. 2 a. 4 c. 6 15. Perhatikan barisan bilangan geometri sebagai berikut. b. 5 d. 7 3, 6, 12, 24, ... Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah B. Kerjakanlah soal-soal berikut. .... 1. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan-barisan a. 1.356 bilangan berikut. b. 1.536 a. 4, 5, 9, 14, 23, ... c. 1.635 b. 90, 78, 66, 54, ... d. 1.653 c. 2, 6, 18, 54, 162, ... 16. Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku 2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan pertamanya adalah 128 dan suku kelimanya adalah bilangan berikut. 8. Rasio dari barisan tersebut adalah .... a. 3, 4, 6, 9, ... a. 4 b. 1, 2, 4, 8, ... b. 2 c. 10, 8, 6, 4, ... 6 c. 3. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika 2 yang memenuhi rumus umum sebagai berikut. 1 a. n(n + 1) d. 4 b. 2n + 5 c. n2 (n + 1) 17. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai berikut. 12 + 15 + 18 + ... 4. Tentukan nilai suku keseratus barisan bilangan segitiga. Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah .... 5. Diketahui barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, .... Tentukan: a. 160 a. rasionya, b. 180 b. rumus suku ke-n, c. 360 c. jumlah sepuluh suku pertamanya. d. 450 125 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret
  • 133. Uji Kompetensi Semester 2 Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Nilai dari (–4)3 adalah .... 9. Bentuk pangkat pecahan dari 27 3 3 adalah .... a. 64 c. 12 1 5 a. c. 27 3 33 b. –64 d. –12 –4 2 2. Bentuk a b jika diubah ke dalam bentuk pangkat 4 10 bulat positif menjadi .... b. d. 27 3 33 b2 b2 a. c. a4 4a 10. Diketahui panjang rusuk sebuah kubus adalah 2 –2 b. –4ab d. ab 2 5 cm. Volume kubus tersebut adalah .... 40 5 cm3 8 3 5 cm3 a. c. 2 1 40 3 5 cm3 8 5 cm3 b. d. 3. ... 4 4 11. Bentuk sederhana dari 4 5 5 adalah .... a. –8 c. 8 a. c. 5 25 b. –16 d. 16 4 b. d. 5 45 1 Jika 74 = p , nilai p sama dengan .... 4. 12. Diketahui 15 = 3, 873 . Nilai dari 15 15 1 7 a. 7 c. –4 adalah .... b. 4 d. –7 a. 2,873 c. 11,127 Diketahui sebuah persegipanjang memiliki ukuran 5. b. 8,619 d. 11,732 1 5 13. Diketahui 1 × 2–4 ) cm. Luas persegipanjang tersebut adalah ( 2 a . Nilai a sama dengan .... 2 4 a. 10 c. –10 ... cm2. b. 5 d. –12 1 8 a. c. 49 16 14. Bentuk sama dengan .... 7 1 d. 16 b. 8 a. 77 c. 21 7 3 2 14 7 b. d. 49 7 1 1 Hasil dari adalah .... 6. 5 2 12 15. Bentuk sederhana dan rasional dari adalah 6 2 .... a. 125 c. 134 b. 129 d. 135 6 a. 6 2 34 x5 Bentuk sederhana dari 6 adalah .... 7. x 6 a. 1 b. c. x–1 6 2 17 x b. x–11 d. x 12 c. 6 2 5 –8 (p + 1) (p + 1) = ... 17 8. a. (p + 1)3 c. p5 + 1 d. 6 2 b. (p + 1)–3 d. p13 + 1 126 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 134. 16. Himpunan bilangan yang diurutkan dengan pola 24. Rumus suku ke-n barisan bilangan 10, 7, 4, ... (2n – 1) dengan n bilangan asli, akan membentuk adalah .... suatu barisan bilangan .... a. Un = 13 + 3n a. ganjil c. persegi b. Un = 13 – 3n b. genap d. segitiga c. Un= 3n + 7 17. Gambar di bawah ini menggambarkan pola suatu d. Un = 3n – 7 barisan yang disusun dari batang-batang korek api. 25. Jumlah 20 suku pertama barisan bilangan 5, 3, 1, –1, –3 ... adalah .... a. –280 c. 380 b. 180 d. 480 Banyak korek api pada pola berikutnya adalah .... 26. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + a. 13 c. 15 6 + 8 + ...+ Un adalah .... a. Sn = n2 + n c. Sn = 2n + n2 b. 14 d. 16 Dari himpunan bilangan berikut ini yang merupakan b. Sn = n + 1 d. Sn = n(n + 1) 18. barisan bilangan adalah .... 27. Diketahui rumus jumlah n suku pertama sebuah a. 2, 4, 5, 6, ... n deret adalah S n 3n 1 . Deret yang dimaksud b. 1, 2, 4, 12, ... 2 adalah .... c. –5, –2, 1, 4, ... a. 1 + 1 + 2 + 2 + ... + Un d. 3, –3, 0, 3, ... b. 5 + 7 + 9 + 11 + ... + Un Diketahui barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... 19. c. 4 + 7 + 10 + 13 + ... + Un Jika barisan tersebut dilanjutkan dengan suku d. 2 + 6 + 10 + 14 + ... + Un berikutnya maka akan menjadi .... 28. Jumlah delapan suku pertama barisan bilangan a. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8 1, 3, 9, 27, ... adalah .... b. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 9 a. 3.180 c. 3.080 c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 16 b. 3.280 d. 3.380 d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 29. Sebuah bambu dibagi menjadi 4 bagian dan panjang Tiga suku berikutnya dari barisan bilangan prima 20. setiap bagian membentuk suatu barisan geometri. 13, 17, 19, ... adalah .... Jika panjang potongan bambu terpendek adalah a. 23, 27, 29 c. 21, 23, 27 25 cm dan potongan bambu terpanjang adalah 200 cm, panjang bambu mula-mula adalah .... b. 23, 29, 31 d. 21, 23, 29 a. 225 c. 400 Diketahui barisan 1, 2, 0, 1, p, 0, .... Nilai p yang 21. memenuhi adalah .... b. 375 d. 425 a. –2 c. 0 30. Pak Joyo membeli sebuah TV berwarna seharga Rp 5.000.000,00. Pada setiap akhir 1 tahun, TV b. –1 d. 1 berwarna tersebut mengalami penurunan harga Suku kelima dan keenam barisan bilangan 2, 5, 9, 22. sebesar 10%. Harga TV berwarna tersebut pada 14, ... adalah .... akhir tahun ketiga adalah .... a. 17 dan 20 c. 19 dan 23 a. Rp3.645.000,00 b. 18 dan 22 d. 20 dan 27 b. Rp3.280.500,00 Diketahui barisan bilangan 1, 4, 16, 64. Suku 23. c. Rp2.952.450,00 kedelapan barisan tersebut adalah .... d. Rp2.657.205,00 a. 4.096 c. 19.373 b. 16.384 d. 24.576 127 Uji Kompetensi Semester 2
  • 135. Uji Kompetensi Akhir Tahun A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Perhatikan gambar berikut. 6. Luas permukaan tabung yang memiliki diameter 10 cm dan tinggi 4 cm adalah .... C a. 125,6 cm2 c. 244,92 cm2 Jika panjang PC = 3 cm, AC = 9 cm, b. 138,7 cm2 d. 251,2 cm2 dan AB = 15 cm, panjang PQ sama P Q dengan .... 7. Suatu kaleng berbentuk tabung dapat menampung air sampai penuh sebanyak 7.959,9 cm3. Jika jari- B jari kaleng tersebut 13 cm, tinggi kaleng tersebut A sama dengan .... a. 4,0 cm c. 7,5 cm a. 13 cm c. 15 cm b. 5,0 cm d. 10,0 cm b. 14 cm d. 16 cm Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai 2. 8. Diketahui jari-jari alas suatu kerucut 5 cm dan panjang bayangan 2 m. Jika pada saat yang sama tingginya 12 cm. Luas seluruh permukaan kerucut panjang bayangan tiang bendera 3,5 m, tinggi tiang tersebut adalah .... bendera tersebut adalah .... a. 62,8 cm2 c. 204,1 cm2 a. 2,625 m c. 4,66 m b. 78,5 cm2 d. 282,6 cm2 b. 3,625 m d. 5,66 m 9. Volume kerucut yang diameter alasnya 20 cm dan Perhatikan gambar berikut. 3. tingginya 24 cm adalah .... R S4 a. 7.536 cm3 c. 2.512 cm3 T Nilai x adalah .... b. 5.024 cm3 d. 1.105 cm3 12 x 10. Luas permukaan bola yang memiliki diameter 21 cm Q P U adalah .... a. 2 c. 16 a. 19.404 cm2 c. 12.005 cm2 b. 16 d. 22 b. 15.783 cm2 d. 9.702 cm2 Penulisan yang benar mengenai kongruensi dua 4. 11. Luas dua buah bola berturut-turut adalah L1 dan segitiga berikut adalah .... L2 dan volumenya V1 dan V2. Jika panjang jari- jarinya berturut turut 1 dm dan 2 dm, perbandingan S R ΔTPQ @ ΔRST a. volumenya adalah .... ΔPQT @ ΔSRT b. a. 2 : 5 c. 1 : 4 T ΔSTR @ ΔQTP c. b. 1 : 5 d. 1 : 8 ΔRTS @ ΔPQT d. 12. Dari 720 siswa di SMP Nusa Bangsa, diperoleh P Q data tentang pelajaran yang disukai siswa. Data tersebut disajikan pada diagram berikut ini. Perhatikan gambar berikut. 5. C F B. Indonesia IPA 9 cm 60° 45° B. Inggris 75° IPS 45° 70° 45° Matematika B D E A 10 cm 10 cm Pada gambar tersebut, ΔABC @ ΔDEF. Pernyataan Banyak siswa yang menyukai matematika adalah yang benar adalah .... ... orang. a. EF = 9 cm dan –F = 70° a. 90 c. 270 b. EF = 9 cm dan –C = 45° b. 120 d. 280 c. –C = 65° dan EF = 70 cm d. –F = 65° dan EF = 9 cm 128 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 136. 13. Diketahui data sebagai berikut. 19. Sebuah koin dilemparkan 200 kali. Hasilnya, muncul sisi angka sebanyak 120 kali. Frekuensi 25, 26, 22, 24, 26, 28, 21, 24, 26, 27, 21 relatif muncul sisi angka adalah .... 28, 28, 30, 25, 29, 22, 21, 23, 25, 26, 23 2 Mean dari data tersebut adalah .... a. 0 c. 5 a. 24 c. 26 1 3 b. 25 d. 27 b. d. 5 5 14. Nilai rata-rata ujian PKn 10 siswa adalah 55. Jika 20. Di suatu desa, diketahui peluang seorang balita nilai tersebut digabung dengan 5 siswa lainnya, terjangkit penyakit asma adalah 0,38. Jika di desa nilai rata-ratanya menjadi 53. Nilai rata-rata kelima tersebut terdapat 100 balita, jumlah balita yang siswa tersebut adalah .... diperkirakan akan terjangkit penyakit asma adalah a. 47 c. 49 .... b. 48 d. 50 a. 23 orang c. 38 anak 15. Tabel frekuensi nilai ulangan matematika 40 siswa b. 27 orang d. 53 anak adalah sebagai berikut. Nilai Frekuensi 21. Jika 1 = 5 p maka nilai p adalah .... 5 -5 10 2 a. –5 c. 1 9 2 b. 5 d. 0 8 5 7 6 22. Luas sebuah persegipanjang adalah 1 dm2. Jika 6 10 lebarnya 4–2 dm, panjang persegipanjang tersebut 5 7 adalah .... 4 6 a. 2 dm c. 8 dm 3 2 b. 4 dm d. 16 dm Median dari data tersebut adalah .... b 23. Bentuk akar dari a c adalah .... a. 6 c. 7 c ab ab a. c. b. 6,5 d. 7,5 16. Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. b a bc ac b. d. 153, 160, 275, 273, 154, 153, 160, 211, 1 3 160, 150, 150, 154, 154, 273, 160 24. Jika x = 3 maka nilai x adalah .... Modus dari data tersebut adalah .... a. 27 c. 3 a. 160 c. 153 1 b. 9 d. 3 b. 154 d. 150 17. Pada pelemparan dua keping uang logam secara 1 25. Bentuk rasional dari adalah .... bersamaan, peluang tidak muncul sisi gambar 5+ 7 adalah .... 1 - 1 2 a. a. 0 c. 2 2 1 1 b. 12 d. 1 b. 2 4 18. Dua buah dadu dilempar bersamaan. Peluang ( ) 1 - 5- 7 c. munculnya muka dadu berjumlah kurang dari 10 2 adalah .... ( ) 1 5- 7 d. 1 1 2 a. c. 4 6 1 5 b. d. 3 6 129 Uji Kompetensi Akhir Tahun
  • 137. 26. Perhatikan gambar berikut. B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan gambar berikut. C Jika DE//AB, CD = 8 cm, AD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan: Barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya a. panjang AB, persegipanjang pada setiap pola adalah .... E D b. perbandingan BE : BC. a. 2, 3, 4, 6 B A b. 2, 3, 5, 7 c. 2, 3, 5, 6 Diketahui volume sebuah tabung yang memiliki 2. d. 2, 3, 4, 8 jari-jari alas r dan tinggi t adalah 480 cm3. Jika jari- Dua suku berikutnya dari barisan 6, 12, 20, 30 dan 27. 1 jatinya diperkecil menjadi r, tentukan volume seterusnya adalah .... 2 tabung yang baru. a. 36 dan 44 c. 40 dan 48 Rata-rata nilai ulangan matematika dari 12 siswa 3. b. 38 dan 50 d. 42 dan 56 adalah 7,2. Jika nilai Heri dimasukkan ke dalam Jumlah 8 suku pertama dari barisan bilangan 1, 3, 28. perhitungan tersebut, rata-ratanya menjadi 7,3. 9, 27, ... adalah .... Tentukan nilai ulangan Heri. a. 3.180 c. 3.080 Diketahui 3 = p dan 2 = q . Nyatakan bentuk- 4. b. 3.280 d. 3.380 bentuk berikut dalam p dan q. Diketahui suku pertama barisan geometri adalah 4 29. 24 a. dan rasionya 2. Rumus suku ke-n barisan tersebut 54 b. adalah .... c. 150 a. Un = 2n + 1 c. Un = 2n + 2 Jumlah suku kedua dan ketiga suatu barisan 5. b. Un = 2n – 1 d. Un = 2n – 2 aritmetika adalah 14. Adapun jumlah suku ketujuh Dalam suatu pertandingan sepakbola, setiap pemain 30. dan kedelapan adalah 54. Tentukan: dari kedua kesebelasan yang masuk lapangan harus a. bedanya, menjabat tangan pemain yang datang terlebih dahulu. Jumlah jabat tangan yang terjadi adalah .... b. suku pertamanya, a. 400 c. 200 c. rumus suku ke-n. b. 231 d. 40 130 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 138. Kunci Jawaban Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Uji Kompetensi Bab 2 halaman 35 c a A. 1. 11. Uji Kompetensi 1.1 halaman 7 b d 3. 13. c dan d 1. c b 5. 15. a. x = 5 3. d d 7. 17. b. y = 8 a c 9. 19. a. x = 160° 5. r = 2,5 cm B. 1. a. b. y = 77° 157 cm2 b. z = 103° 196,5 cm2 c. AC = 15 cm 7. s = 25 cm 3. a. Tinggi pohon = 40 cm 9. 1.884 cm2 b. 154 cm2 5. a. Uji Kompetensi 1.2 halaman 11 179,667 cm3 b. ∆ABC dan ∆DEF 1. ∆GHI dan ∆MNO Bab 3 Statistika x = 40° 3. Uji Kompetensi 3.1 halaman 43 PS = 33 cm 5. Populasi = seluruh balita di kelurahan tersebut 1. a. Uji Kompetensi Bab 1 halaman 14 Sampel = beberapa balita di kelurahan tersebut c d A. 1. 9. yang diperiksa kesehatannya b d 3. 11. b. Populasi = seluruh sayur sop yang dibuat ibu b c 5. 13. Sampel = sedikit/sebagian dari sayur sop yang b c 7. 15. dicicipi ibu. PQ = 15 cm B. 3. Datum terkecil = 50 3. x = 47, 5° 5. Datum terbesar = 88 y = 58° Tabel frekuensinya: 5. z = 47,5° Jumlah Anak Turus Frekuensi Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung 0 4 1 2 Uji Kompetensi 2.1 halaman 22 2 6 a. 376,8 cm2 1. 3 3 b. 401,92 cm2 4 3 c. 616 cm2 5 2 t = 10 cm 3. 33 : 56 5. Jumlah 20 V = 49.280 dm3 7. 20 keluarga a. r = 2,5 9. 4 keluarga b. Uji Kompetensi 2.2 halaman 27 533,8 cm2 7. 1. 60 a. 188,4 cm2 3. b. 301,44 cm2 50 188,4 cm2 5. 282,6 cm2 Jumlah Buku 40 462 cm2 7. a. 204,1 cm2 9. 30 b. 282, 6 cm2 20 c. 314 cm3 Uji Kompetensi 2.3 halaman 33 10 314 cm 1. r = 8 cm 3. Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu 577,76 dm 5. V = 113,04 dm3 7. Hari t = 4r 9. 131 Kunci Jawaban
  • 139. Datum terkecil = 1 9. 5. a. Bis Bis Datum terbesar = 10 J=9 b. Jalan Jalan 15% 54° Q1 = 3 c. Kaki Kaki Angkot Angkot 20% 72° Q2 = 5 90° 25% 10% 36° 108° 30% Jemputan Jemputan Q3 = 7,5 Bab 4 Peluang Sepeda Sepeda Uji Kompetensi 4.1 halaman 59 Uji Kompetensi 3.2 halaman 47 Kejadian acak adalah kejadian yang hasilnya tidak 1. a. x = 3,57 1. dapat ditentukan sebelumnya. b. x = 12,5 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} 3. x = 28,25 c. 5. Dadu d. x = 6,2 1 2 3 4 5 6 145 cm 3. Modus = 27 5. Angka Uang logam (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6) a. Me = 15 7. (A) b. Me = 29 Gambar (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6) c. Me = 800 (G) d. Me = 7,05 9. a. S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)} Nilai Turus Frekuensi Uji Kompetensi 4.2 halaman 63 5 4 6 6 K = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 1. a. K = {3, 6, 9, 12, 15} 7 7 b. K={} 8 6 c. 3. a. 9 4 10 3 Warna Turus Frekuensi Putih (P) 8 Jumlah 30 Hijau (H) 6 Mean = 7,3 b. Merah (M) 6 Median = 7 Biru (B) 10 Modus = 7 Jumlah 30 Uji Kompetensi 3.3 halaman 49 J=4 1. a. Frekuensi relatif warna b. J = 49 b. J = 244 c. 8 4 = putih = J = 21,6 d. 30 15 Q1 = 3,5 Q2 = 5 Q3 = 7,5 3. a. 61 hijau = = Q1 = 23 Q2 = 37 Q3 = 38 b. 30 5 Q1 = 119 Q2 = 201,5 Q3 = 413 c. 61 = merah = Q1 = 35,8 Q2 = 40,1 Q3 = 50,3 d. 30 5 Jangkauan = 10 5. a. 10 1 = biru = Mean = 153,5 b. 30 3 Modus = 150 dan 155 Jumlah frekuensi relatif = 1 c. Median = 153,5 Q1 = 150 Q2 = 153,5 Q3 = 155 c. 4 1 5. a. d. Uji Kompetensi Bab 3 halaman 52 5 5 1 2 a a A. 1. 11. b. e. 3 b d 3 3. 13. d b 5. 15. 7 c. a d 7. 17. 12 c d 9. 19. pasti terjadi 7. a. 360 B. 1. mungkin terjadi b. 56 dan 128 3. mustahil c. mungkin terjadi d. 132 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 140. mungkin terjadi 1 5 e. 2) 5) 1 3) Uji Kompetensi 4.3 halaman 65 Uji Kompetensi 5.2 halaman 94 a. 75 kali 1. b. 75 kali 11 75 c. 75 kali 1. a. d. g. 42 21 500 orang 3. 3 22 b. e. h. 33 5 5 Uji Kompetensi Bab 4 halaman 67 4 53 b d A. 1. 11. c. f. 5 d b 3. 13. PQ = 5 13 cm 3. a c 5. 15. 3 5. a. e. 10 c b 7. 17. 1 d c b. 2 117 f. 9. 19. 1 23 5 6 +6 2 B. 1. a. c. g. 13 5 1 2 b. –1 d. h. 2 9 21 5 3. a. 3 10 36 5 (5 + 2 ) 7. a. e. 5 23 5 b. 15 12 10 - 15 7 b. f. 7 425 anak 5. 3 5( 11 + 18 ) c. g. Uji Kompetensi Semester 1 halaman 70 9 c d c 1. 11. 21. 160 4 (1 + 2 15 ) - d. h. (6 – 32 ) a a b 3. 13. 23. 31 b c d 5. 15. 25. 1 1 c d a 7. 17. 27. 9. a. e. 10 2 32 c c c 9. 19. 29. 2 5 b. f. 15 3 5 Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya 1 c. g. 16 3 23 5 2 1 Uji Kompetensi 5.1 halaman 83 d. h. 40 3 12 2 1) 44 1. a. 2) 105 Uji Kompetensi Bab 5 halaman 97 3) (–7)3 d a A. 1. 11. 4) c7 c d 3. 13. 5) (–y)5 a a 5. 15. b. 1) 2 × 2 × 2 a a 7. 17. 2) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 c b 9. 19. 3) (–6) × (–6) × (–6) × (–6) 87 p4 B. 1. a. c. 4) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 × 4 23 q2 (–2)2 b. d. 5) 8 × 8 × 8 × a × a × a × a × a p5 L = 352 a2 3. a. x = –5 x = –3 3. c. t = 6a 5. V = 735 p9p b. x = –6 x = –4 d. 7. (2( 3 – 1)) cm 5. 1 1 1 ¥ 9. a. 1) 4) 73 8 3 17 5 Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret 1 20 2p 2) 5) Uji Kompetensi 6.1 halaman 106 42 1, 4, 7, 10, ... 1 1. b. 3) (-5 )5 pola garis lurus c. pola persegi 3. a. 8–1 11–14 b. 1) 4) pola persegipanjang b. 1 (–4)–2 pola garis lurus 2) 5) c. p -11 9–6 pola persegipanjang 3) d. 1 60 pola garis lurus c. 1) 4) e. 30 batang lidi 5. b. 133 Kunci Jawaban
  • 141. 4, 7, 10, 12 buah S6 = 11.718 7. b. b. m = 13 n = 25 S7 = 5.461 9. a. c. m = 13 n = 14 S8 = 1.275 b. d. S10 = –255 3 m = 31 n = 76 c. e. m=2 n= 8 4 d. m=5 n = 33 x = –21 atau x = 4 e. 9. Uji Kompetensi 6.2 halaman 113 Uji Kompetensi Bab 6 halaman 124 10 suku 1. a. c c A. 1. 11. U3 = 2 U8 = 27 b. a c 3. 13. U5 = 12 U10 = 37 d b 5. 15. U6 = 17 b b 7. 17. b = 10 d. b = –4 3. a. a a 9. 19. b=5 e. b = –2 b. 37, 60, 97 B. 1. a. b = –16 c. 42, 30, 28 b. U1 = –6 dan b = 5 5. a. 486, 1.458, 4.374 c. U12 = 49 b. 2, 6, 14, 20, 30 3. a. –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39 c. 7, 9, 11, 13, 15 b. r= 1 r=3 7. a. d. 2, 12, 36, 80, 150 c. 2 r=2 5. a. r=3 r=2 b. e. Un = 2n b. 1 r= c. S10 = 1.024 c. 2 Uji Kompetensi Semester 2 halaman 126 r=3 U4 = 54 9. a. r=4 U4 = 256 b a b b. 1. 11. 21. d c b 3. 13. 23. r=2 U4 = 28 c. a b a 5. 15. 25. d c c 7. 17. 27. 9 r=3 U4 = d. d d b 9. 19. 29. 5 1 10 r= U4 = Uji Kompetensi Akhir Tahun halaman 128 e. 3 3 b d b A. 1. 11. 21. c b c 3. 13. 23. Uji Kompetensi 6.3 halaman 122 d a c 5. 15. 25. a. 80 + 120 + 160 + 200 + ... + Un 1. c c d 7. 17. 27. b. 13 + 18 + 23 + 28 + ... + Un c d a 9. 19. 29. c. –16 + (–9) + (–2) + 5 + ... + Un d. 10 + 12 + 14 + 16 + ... + Un AB = 5 cm B. 1. a. e. 17 + 24 + 31 + 38 + ... + Un BE : BC = 1 : 5 b. a. b = 3 3. 8,5 3. b. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + ... + Un b=4 5. a. c. S10 = 165 a=1 b. x=6 5. Un = 4n – 3 c. a. S7 = 2.186 7. 134 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 142. Daftar Simbol himpunan ruang sampel ? S sudut jumlah anggota himpunan S n(S) ~ sebangun P(A) ( peluang kejadian A P(A) ° derajat ? himpunan bagian ≅ kongruen frekuensi harapan Fh jari-jari jari-jari - r anggota Œ diameter d π akar kuadrat phi = sama dengan tinggi t ≠ tidak sama dengan luas L lebih besar dari garis pelukis > s ≥ lebih besar sama dengan % persen < lebih kecil mean atau rata-rata x ≤ lebih kecil sama dengan data ke-n xn suku ke-n frekuensi ke-n Un fn jumlah suku ke-n jangkauan Sn J ? dot kuartil ke-n Qn Glosarium Deret bilangan: Jumlah suku-suku suatu barisan B bilangan Barisan bilangan: bilangan-bilangan yang disusun Deret aritmetika: jumlah suku-suku barisan aritmetika mengikuti pola tertentu Deret geometri: jumlah suku-suku barisan geometri Barisan aritmetika: barisan bilangan yang mempunyai Diameter: garis tengah beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan F yang berurutan Barisan geometri: barisan bilangan yang mempunyai Frekuensi harapan: harapan banyaknya muncul rasio yang tetap antara dua suku barisan yang suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang berurutan dilakukan Beda: selisih dua suku barisan yang berurutan Frekuensi relatif: perbandingan banyaknya kejadian uang diamati dengan banyaknya percobaan Bilangan irasional: bilangan yang tidak dapat di- nyatakan dalam bentuk pecahan G Bilangan real: bilangan yang mencakup bilangan Garis pelukis: garis yang ditarik dari titik puncak rasional dan bilangan irasional atau semesta bilangan kerucut ke sisi alas kerucut D J Data: kumpulan datum Jangkauan: selisih datum terbesar dengan terkecil Data kualitatif: data yang bukan berupa bilangan, melainkan gambaran keadaan objek yang dimaksud K Data kuantitatif: data yang berupa bilangan dan Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel nilainya bisa berubah-ubah Kejadian acak: kejadian yang hasilnya tidak dapat Datum: fakta tunggal diprediksikan sebelumnya 135 Kunci Jawaban
  • 143. Indeks diagram gambar 40, 50, 51 B diagram garis 41, 43, 48, 51, 52 diagram lingkaran 42, 43, 44, 51, 54 bangun datar 1, 2, 4, 8, 9, 10 diagram pohon 57, 58, 59, 66 bangun ruang sisi lengkung 17, 18, 23, 28, 34, 35 diameter 18, 23, 24, 29, 32, 33, 35 barisan bilangan 99, 107, 108, 109, 111, 112, 116, 122, 124, 125, 127, 130 barisan aritmetika 107, 108, 109, 110, 111, 113, 114, 115, E 122, 124, 125, 130 barisan aritmetika naik 108, 109, 113 eksponen 74, 97 barisan aritmetika turun 108, 124 barisan geometri 107, 111, 112, 113, 114, 118, 119, 120, 125, 127 F barisan geometri naik 111 barisan geometri turun 111 Fibonacci 108 beda 107, 108, 109, 111, 114, 115, 117, 119, 122, 124, 130 frekuensi harapan 63, 64, 68, 69 belah ketupat 1, 2 frekuensi relatif 59, 60, 63, 65, 66, 68, 72 bentuk akar 73, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 93, 94, 95, 96 bilangan berpangkat bulat 73, 74, 79, 81, 93, 95 G bilangan berpangkat bulat negatif 74, 79, 80, 95 bilangan berpangkat bulat positif 74, 95 garis 8, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 28, 36 bilangan berpangkat nol 81 garis pelukis 23, 24, 25, 27, 28, 36 bilangan berpangkat pecahan 92, 93, 95 bilangan bulat positif 75, 77, 78, 79, 80, 93, 95, 96 bilangan irasional 82, 90 J bilangan pokok 74, 75, 76, 77, 79, 83, 97 bilangan rasional 81, 82, 90 jajargenjang 1, 4, 7, 70 bilangan rasional berpangkat bulat 81, 82 jangkauan 48, 50, 51, 53, 72 bilangan real 74, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 85, 86, 88, 89, 90, jari-jari 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 95, 96 31, 32, 33, 36 bilangan real positif 85, 86, 95 jari-jari alas 21, 22, 24, 27, 28, 33, 35, 36 bola 17, 18, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 70 juring 42, 52 C K Christoff Rudolff 85 kejadian 56, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 72 kejadian acak 56 D kekongruenan 1, 8 kekongruenan bangun datar 1, 8, 13 data 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, kekongruenan segitiga 10 52, 53, 54, 71, 72 kesebangunan 1, 2, 4, 5, 12, 13 data kualitatif 39 kesebangunan bangun datar 1, 2 data kuantitatif 38, 52, 53, 71 kesebangunan segitiga 4 datum 38, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 54 kerucut 17, 18, 23, 24, 25, 31, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 71 deret bilangan 99, 114, 122, 127, 128 komplemen 62, 65 deret aritmetika 114, 115, 116, 117, 118, 122, 123, 125 kongruen 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 70 deret geometri 99, 114, 117, 119, 120, 121, 122, 123, 125 kuartil 49, 50, 51, 53, 54 diagram batang 41, 43, 51, 52, 53, 71 kuartil atas 49, 51, 54 diagram batang horizontal 41 kuartil bawah 49, 50, 53, 54 diagram batang vertikal 41 kuartil tengah 49, 50, 51, 54 136 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX
  • 144. pola persegi 101, 102, 122, 123 L pola persegipanjang 101, 103, 122, 123 pola segitiga 103, 105, 122, 123 lingkaran 18, 20, 23, 25, 28, 30, 35, 36, pola segitiga Pascal 105, 122, 123 luas 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, populasi 39, 43 36, 71 luas alas 20, 24, 25 luas permukaan 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, R 33, 35, 36, 71 luas permukaan kerucut 23, 24, 25, 28, 34, 35, 36 rasio 111, 112, 113, 114, 118, 119, 122, 125 luas permukaan tabung 19, 20, 21, 22, 35, 34, 71 ruang sampel 57, 58, 59, 60, 61, 65, 67 luas selimut 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 33, 34, 35, 36, 71 luas selimut kerucut 23, 24, 27, 28, 36, 34, 71 S luas selimut tabung 19, 20, 21, 22, 34, 35 sampel 39, 43, 52, 71 sebangun 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 70 M segitiga 1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 70 sektor 42, 52 mean 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54 selimut kerucut 23, 24, 25, 27, 28, 36, 34 median 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54 selimut tabung 18, 19, 20, 21, 22, 34, 35 modus 45, 46, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 72 sisi 2, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 23, 28, 33, 35, 24, 34, 70 sudut 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 N suku barisan 107, 108, 111, 113, 114, 117, 118, 122, 124, 125 nilai peluang 62, 65, 66 suku ke-n 107, 109, 110, 112, 122, 123, 125, 127, 130 P T pangkat bulat negatif 96 tabung 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 33, 34, 35, 36, 71 pangkat bulat positif 96 Thales 4 pangkat nol 96 titik sampel 57, 59, 60, 61, 65, 66, 67 pangkat pecahan 73, 85, 92, 93, 94, 98 trapesium 1, 2, 7, 9, 14 pangkat sebenarnya 96 pangkat tak sebenarnya 73, 95, 96 panjang 2, 4, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 15, 16, 18, 19, 21, V 23, 24, 25, 27, 29, 26, 30, 32, 33, 36, 70, 71 peluang 55, 56, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 72 volume 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, peluang kejadian 60, 61, 62, 63, 65 36, 71 peluang suatu kejadian 56, 59, 60, 62 volume bola 31, 32, 33, 36, 71 percobaan 56, 57, 58, 59, 60, 63, 65, 69 volume kerucut 25, 26, 27, 28, 31, 35, 36, 71 percobaan statistika 57 volume tabung 20, 21, 22, 23, 33, 35, 71 persegi 1, 2, 3, 7, 15 persegipanjang 1, 2, 3, 7, 14 piktogram 40, 43 pola bilangan ganjil 104, 105 pola bilangan genap 105 137 Indeks
  • 145. Daftar Pustaka Bigelow, Paul dan Graeme Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Victoria: Macmillan Education Australia PTY LTD. Bin, Oh Teik. 2003. The Essential Guide to Science and Mathematics in English. Selangor: Shinano Publishing House. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Farlow, Stanley J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co. Hong, Tay Choong, Mark Riddington and Martin Grier. 2001. New Mathematics Counts For Secondary Normal (Academic) 4. Singapore: Times Publishing Group. Negoro, ST dan B. Harahap. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Nightingale, Paul. 2001. Vic Maths 6. Australia: Nightingale Press. O'Brien, Harry. 2001. Advanced Primary Maths 6. Australia: Horwitz Martin Education. O'Brien, Paul. 1995. Understanding Math Year 11. NSW: Turramurra. 138 Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX