Your SlideShare is downloading. ×
SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

SMP-MTs kelas09 belajar matematika aktif dan menyenangkan wahyudin dwi

49,848
views

Published on

Published in: Education, Business

2 Comments
8 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total Views
49,848
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
10
Actions
Shares
0
Downloads
1,111
Comments
2
Likes
8
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang Hak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen Pendidikan Nasional dari Penerbit PT. Setia Purna Invest Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan Untuk SMP/MTs Kelas IX SPI 03-01-20-02-036 Penulis : Wahyudin Djumanta Dwi Susanti Editor : Tim Setia Purna Inves Perancang Kulit : Tim Setia Purna Inves Layouter : Tim Setia Purna Inves Ilustrator : Tim Setia Purna Inves Ukuran Buku : 17,6 × 25 cm 510.71 DJU DJUMANTA, Wahyudin b Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX/oleh Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. –Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. vi, 162 hal. : tab.; ilus.; foto., 25 cm indeks, hlm. 160-161 ISBN 979-462-974-4 1. Matematika Studi dan Pembelajaran I. Judul II. Wahyudin Djumanta III. Susanti, Dwi Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2008 Diperbanyak oleh ...
  • 2. Kata Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan karunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juli 2008 Kepala Pusat Perbukuan iii
  • 3. Kata Pengantar Pendidikan adalah modal dasar bagi peningkatan kualitas sumber daya manusia sehingga manusia dituntut untuk terus berupaya mempelajari, memahami, dan menguasai berbagai macam disiplin ilmu untuk kemudian diaplikasikan dalam segala aspek kehidupan. Matematika sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuan memegang peranan penting dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, Matematika memiliki tingkat urgensitas yang tinggi karena merupakan landasan awal bagi terciptanya sumber daya manusia yang cerdas dan berkualitas. Sesuai dengan misi penerbit untuk menciptakan inovasi baru dalam dunia pendidikan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggungjawab tersebut dengan menyediakan bahan ajar Matematika yang berkualitas dan sesuai dengan kurikulum yang berlaku saat ini. Buku ini disusun dengan mengutamakan pendekatan secara inkuiri (eksperimen) dan disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif, serta adanya keruntutan rangkaian (bab dengan subbab, antarsubbab dalam bab, antaralinea dalam subbab). Sebelum mempelajari materi, sebaiknya terlebih dahulu membaca bagian Advanced Organizer yang terdapat pada halaman awal setiap bab agar dapat mengetahui isi bab secara umum, Diagram Alur sebagai peta jalan pemahaman materi pada setiap bab, dan Tes Apersepsi Awal sebagai evaluasi materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan. Di akhir setiap bab, terdapat Ringkasan dan Refleksi yang bertujuan lebih meningkatkan pemahaman kamu tentang materi yang telah dipelajari dengan memunculkan umpan balik untuk evaluasi diri. Buku ini dilengkapi juga dengan beberapa materi, tugas, dan soal pengayaan, diantaranya Infomatika, InfoNet, Siapa Berani?, TechnoMath, Tugas untukmu, MatematikaRia, dan Uji Kecerdikan yang dapat memperluas wawasan dan pengetahuanmu tentang materi yang sedang dipelajari. Untuk menguji pemahamanmu terhadap materi yang telah dipelajari, diberikan Tes Kompetensi Subbab pada setiap akhir subbab, Tes Kompetensi Bab pada setiap akhir bab, dan Tes Kompetensi Semester pada setiap untuk menguji pemahaman materi selama satu tahun ajaran. Semua tes kompetensi tersebut merupakan sarana mengevaluasi pemahaman dan melatih kemampuan menerapkan konsep/prinsip yang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari. Adapun Kunci Jawaban (nomor ganjil) kami sajikan untuk memudahkan Anda dalam mengevaluasi hasil jawaban. Untuk menumbuhkan daya nalar, kreativitas, dan pola berpikir matematis, kami sajikan Aktivitas yang menuntut peran aktif kamu dalam melakukan kegiatan tersebut. Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan. Bandung, Juli 2008 Penulis iv
  • 4. Daftar Isi Tes Kompetensi Bab 3 • 86 Kata Sambutan • iii Kata Pengantar • iv Bab 4 Daftar Simbol • vi Peluang • 89 Bab 1 Diagram Alur • 90 Kesebangunan dan A. Pengertian Peluang • 91 Kekongruenan • 1 B. Frekuensi Harapan • 102 Diagram Alur • 2 Ringkasan • 104 A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Refleksi • 104 Kongruen • 3 Tes Kompetensi Bab 4 • 105 B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun • 10 Tes Kompetensi Semester 1 • 108 C. Dua Segitiga yang Kongruen • 17 Ringkasan • 26 Bab 5 Refleksi • 27 Pangkat Tak Sebenarnya • 111 Tes Kompetensi Bab 1 • 27 Diagram Alur • 112 A. Bilangan Rasional Berpangkat Bab 2 Bilangan Bulat • 113 Bangun Ruang Sisi Lengkung • 31 B. Bentuk Akar dan Pangkat Diagram Alur • 32 Pecahan • 123 A. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Ringkasan • 132 Bangun Ruang Sisi Lengkung • 33 Refleksi • 133 B. Volume Bangun Ruang Sisi Tes Kompetensi Bab 5 • 133 Lengkung • 43 Ringkasan • 52 Bab 6 Refleksi • 53 Barisan dan Deret Bilangan • 135 Tes Kompetensi Bab 2 • 53 Diagram Alur • 136 A. Pola Bilangan • 136 Bab 3 Statistika • 57 B. Barisan dan Deret Bilangan • 141 Diagram Alur • 58 Ringkasan • 151 A. Pengumpulan dan Penyajian Refleksi • 152 Data • 59 Tes Kompetensi Bab 6 • 152 B. Ukuran Pemusatan Data • 69 Tes Kompetensi Semester 2 • 154 C. Ukuran Penyebaran Data • 79 Tes Kompetensi Akhir Tahun • 156 D. Distribusi Frekuensi • 83 Kunci Jawaban • 158 Ringkasan • 85 Glosarium • 159 Refleksi • 86 v
  • 5. Daftar Simbol sudut alpha + tambah; plus; positif beta – kurang; minus; negatif gamma kali // r sejajar u : bagi ABr ruas garis u sebanding dengan | AB | panjang ruas garis ∆ segitiga kongruen = sama dengan tegak lurus ≠ tidak sama dengan π phi (3,141592 ...) sedemikian hingga; maka ° derajat akar kuadrat sebangun vi
  • 6. 1 Bab Sumber: i160.photobucket.com Kesebangunan dan Kekongruenan Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah. A. Bangun-Bangun Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII. yang Sebangun Perbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep dan Kongruen kesebangunan dan kekongruenan. B. Segitiga-Segitiga Kesebangunan sangat penting peranannya dalam yang Sebangun kehidupan sehari-hari seperti uraian berikut. C. Dua Segitiga yang Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh Kongruen karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak pada gambar berikut. B D A Setelah dilakukan pengukuran, C diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m. Berapa meter lebar sungai itu? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik. E F 1
  • 7. Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan perbedaan Sebangun Kongruen syarat syarat Bentuk dan ukurannya sama besar. Panjang sisi yang Sudut yang sifat bersesuaian memiliki bersesuaian perbandingan sama besar. senilai. Sisi-sisi yang Dua sisi yang Dua sudut yang Dua sudut yang bersesuaian bersesuaian bersesuaian bersesuaian aplikasi sama panjang sama panjang sama besar sama besar (s.s.s) dan sudut yang dan sisi yang dan sisi yang Segitiga yang diapitnya sama berada di berada di Sebangun besar (s.sd.s). antaranya hadapannya sama panjang sama panjang (sd.s.sd). (sd.sd.s). aplikasi Menentukan perbandingan aplikasi ruas garis pada segitiga. Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri. Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Suatu peta digambar dengan skala 4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini. 1 : 500.000. Berapakah jarak pada Tentukan nilai . peta jika jarak sesungguhnya 25 km? 2. Jika harga 6 buah penggaris adalah Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah 38° 75° penggaris tersebut? 5. Perhatikan gambar berikut ini. D 3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis a. Tentukan besar DEC segitiga ditinjau dari: b. Tentukan besar BEC. 110° a. panjang sisinya; c. Tentukan sudut yang A C E b. besar sudutnya. saling bertolak belakang. B 2 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 8. A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen D C 1. Foto Berskala 24 mm Contoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat 36 mm B A pada Gambar 1.1. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif a ABCD berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah C' D' dicetak, film negatif tersebut menjadi foto A' B' C' D' berukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm. Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan 120 mm skala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuran pada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan A' B' 180 mm antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu Sumber: i160.photobucket.com sentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada b ukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada foto Gambar 1.1 biasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter saja dari ukuran sebenarnya. Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada 7 cm peta dan ukuran sebenarnya. Contoh 1.1 2,5 cm Sumber: www.tuningnews.net Amati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar Gambar 1.2 1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil sebenarnya? Siapa Penyelesaian: Berani? Untuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala foto 1. Seorang anak yang tersebut. tingginya 1,5 m difoto. Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenar- Jika skala foto tersebut adalah 1 : 20, berapa nya adalah 7 cm : 3,5 m sentimeter tinggi anak 7 cm : 350 cm dalam foto? 1 cm : 50 cm. 2. Lebar sebuah rumah dalam foto adalah Jadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi 5 cm. Jika skala foto mobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah tersebut 1 : 160, 2,5 cm 50 = 125 cm. berapa meter lebar rumah sebenarnya? Jadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m. 3 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 9. 2. Pengertian Kesebangunan Pada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegipanjang yang masing-masing berukuran 36 mm 24 mm, 180 mm 120 mm, dan 58 mm 38 mm. C‘ D‘ S R D C 120 mm 38 mm 24 mm Gambar 1.3 A‘ B‘ A 36 mm B 58 mm Q 180 mm P Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegipanjang A'B'C'D' adalah 36 : 180 atau 1 : 5. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120 atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegi- Tugas panjang tersebut, yaitu sebagai berikut. untukmu AB BC DC AD 1 Amatilah persegipanjang A'B ' B 'C ' D 'C ' A' D ' 5 ABCD dan persegipanjang Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnya PQRS pada Gambar 1.3. 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian dari Coba kamu selidiki bersama kelompok kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini, belajarmu, apakah persegipanjang ABCD dan persegipanjang A'B'C'D' memiliki persegipanjang ABCD sebangun dengan sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaian persegipanjang PQRS? yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebut Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun kelas bergantian dengan dengan persegipanjang A'B'C'D'. kelompok lain. Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping. Sekarang amati Gambar 1.4. Z G M L E X Gambar 1.4 F K Y a b c Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut EFG dan XYZ. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, akan diperoleh hubungan berikut. EF FG EG ; (i) XY YZ XZ (ii) E = X, F = Y, dan G = Z. 4 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 10. Tugas Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan untukmu sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka EFG sebangun dengan XYZ. Amatilah ∆EFG dan Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum ∆KLM pada Gambar 1.4. Coba kamu selidiki untuk setiap bangun datar. bersama kelompok belajarmu, apakah ∆EFG Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi sebangun dengan ∆KLM? Presentasikan hasil dua syarat berikut. penyelidikanmu di depan 1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun kelas bergantian dengan kelompok lain. itu memiliki perbandingan senilai. 2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar. Contoh 1.2 D C Amati Gambar 1.5. a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH? B b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS A 4 cm sebangun? H G c. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat PQRS? Jelaskan hasil penyelidikanmu. Penyelesaian: a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH. F E 5 cm (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah S AB BC DC AD 4 EF FG HG EH 5 P R Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan persegi EFGH sebanding. 4 cm (ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga Q besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudut- Gambar 1.5 sudut yang bersesuaian sama besar. Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegi EFGH Catatan sebangun. b. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS. Salah satu syarat (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah kesebangunan adalah sudut-sudut yang AB BC DC AD 4 bersesuaian sama besar. PQ QR SR PS 4 Maksud dari kata sama Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi besar adalah ukuran ABCD dan belahketupat PQRS sebanding. sudutnya sebanding, sehingga pada Gambar (ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai 1.5 dapat dituliskan: berikut. A = E, B = F, C = G = D = H. A ≠ P, B ≠ Q, C ≠ R, dan D ≠ S. 5 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 11. Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar. Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat PQRS tidak sebangun. c. Telah diketahui bahwa persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD tidak sebangun D C dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS. 5 cm A 2 cm B Contoh 1.3 R Q 1. Amati Gambar 1.6. Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang 6 cm PQRS, hitung panjang QR. Penyelesaian: P S Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah Gambar 1.6 sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu, AB BC 2 5 K 2QR = 30 QR = 15 PQ QR 6 QR 125° Jadi, panjang QR adalah 15 cm. 80° L N Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada 2. Gambar 1.7 sebangun, tentukan besar R dan S. M Penyelesaian: P Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga P = 125° dan Q = 80°. Q S PQRS. Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang ber- R hadapan sama besar sehingga R = P = 125°. Gambar 1.7 360° maka P + Q + R + S = 360° 125° + 80° + 125° + S = 360° S = 360° – 330° = 30° 3. Pengertian Kekongruenan a Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang D C F sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti B A E tampak pada Gambar 1.8(a). b Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara Gambar 1.8 geometri seperti berikut. 6 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 12. Siapa Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang Berani? akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa Berikut ini adalah sketsa dibalik), diperoleh A B, B E, D C, dan C F sehingga tambak udang milik Pak Budi ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya, 100 m AB BE sehingga AB = BE BC EF sehingga BC = EF 100 m DC CF sehingga DC = CF 45° 200 m AD BC sehingga AD = BC Pak Budi akan membagi tambaknya menjadi 4 DAB CBE sehingga DAB = CBE bagian yang sama dan ABC BEF sehingga ABC = BEF berbentuk trapesium juga, seperti bentuk BCD EFC sehingga BCD = EFC asalnya. Gambarlah ADC BCF sehingga ADC = BCF olehmu tambak udang yang telah dibagi empat Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh tersebut. a. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, dan b. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakan kongruen. Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dan segienam D E PQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan F C (i) AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST A B = TU = UP T S (ii) A = B = C = D = E = F = P = Q = R = S = T = U. R U Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan segienam PQRSTU. Q P Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut K J segienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsur- unsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut, I L diperoleh hubungan G H (i) A = B = C = D = E = F = G = H = I = Gambar 1.9 J= K= L (ii) AB ≠ GH, BC ≠ HI, CD ≠ IJ, DE ≠ JK, EF ≠ KL, FA ≠ LG. 7 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 13. Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa segienam ABCDEF tidak kongruen dengan segienam GHIJKL. Sekarang lakukan Tugas untukmu di samping. Berdasarkan uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar. Contoh 1.4 Amati Gambar 1.10. a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD D C kongruen dengan persegipanjang 6 cm PQRS? b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD A InfoNet B 8 cm sebangun dengan persegipanjang S R Kamu dapat menambah PQRS? 10 cm wawasanmu tentang materi 6 cm Jelaskan hasil penyelidikanmu. dalam bab ini dengan mengunjungi alamat: Penyelesaian: Q bicarisme.files.wordpress. Unsur-unsur persegipanjang ABCD P com/2008/03/soal-bangun- Gambar 1.10 adalah datar.doc AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan A = B = C = D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut. PQ = ( )2 (Q )2 102 62 64 = 8 Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan P = Q = R = S = 90°. a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS. 8 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 14. Tes Kompetensi 1.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. Selidiki apakah belahketupat EFGH 1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide a. sebangun dengan belahketupat PQRS? (film negatif) berturut-turut 36 mm dan b. Selidiki apakah belahketupat EFGH 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, kongruen dengan belahketupat PQRS? tentukan tinggi pada layar. 2. Amati gambar berikut. Jelaskan hasil penyelidikanmu. 3 cm C Q P 6. Pasangan bangun-bangun berikut adalah sebangun, tentukan nilai x. 10 cm 4 cm a. x 3 cm B A 8 cm R 8 cm 6 cm a. Tentukan panjang AC dan QR. b. Apakah ABC sebangun dengan b. x PQR? Jelaskan jawabanmu. 5 cm 3. Amati gambar berikut. U T N M 14 cm 8 cm 7. Perhatikan gambar berikut. N M H G K L 110° R S 6 cm 4 cm Pada gambar tersebut, jajargenjang RSTU 70° sebangun dengan jajargenjang KLMN. E L K F 6 cm 9 cm Jika KL = 6 cm, LM = 4 cm, dan RS = 15 Trapesium EFGH dan trapesium KLMN cm, tentukan: adalah trapesium sama kaki. Tunjukkan a. panjang KN dan MN; bahwa trapesium EFGH sebangun dengan b. panjang ST, TU, dan RU. trapesium KLMN. D 4. Amati gambar berikut. 8. Amati foto berikut. 3 cm Jika layang-layang ABCD A Foto tersebut mempunyai skala C sebangun dengan layang- 1 : 65. Tentukan tinggi sebenarnya 6 cm layang BEFC, tentukan: orang yang ada di foto tersebut. F B a. panjang CF; b. panjang EF. 5. Amati gambar berikut. Sumber: Dokumentasi Penerbit G E Trapesium ABCD sebangun dengan tra- 9. Q pesium PQRS. 13 cm 12 cm Q 12 cm P 9 cm B 5 cm A FP R H 5 cm 18 cm 85° S CS D R E 9 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 15. Tentukan panjang PS. a. 11. Diketahui tinggi Tentukan besar PQR. b. Monas pada gambar Tentukan besar BCD. c. di samping 4,4 cm. Tentukan besar BAD. d. Jika skalanya 1 : 4,4 cm 3.000, tentukanlah D R 10. Segilima ABCDE C tinggi Monas sebangun dengan sesungguhnya. segilima PQCRS. Q S Panjang AB = 7,5 E B 12. Bagilah bangun berikut menjadi dua P cm, BC = 4,2 cm, bagian yang sama dan sebangun. CD = 3 cm, A PS = 1 cm, SR = 2,5 cm, dan RC = 2 cm. Tentukan panjang: a. AE; b. QC; Selanjutnya, susunlah kembali kedua c. DE; bagian tersebut sehingga membentuk d. PQ. bermacam-macam bangun. Cobalah, bangun-bangun apa saja yang dapat kamu peroleh? B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun R T 1. Syarat Dua Segitiga Sebangun P Amati Gambar 1.11. S Q Pada gambar tersebut, QR sejajar dengan ST (QR // ST). Gambar 1.11 Ukurlah panjang PS, PQ, PT, PR, ST, dan QR. Ukur pula besar TPS, RPQ, PTS, PRQ, PST, dan C a PQR. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan b a memperoleh hubungan berikut: A B c PS PT ST ; (i) M b PQ PR QR (ii) TPS = RPQ, PTS = PRQ, PST = PQR. 2b 2a Jadi, PST sebangun dengan PQR. Selanjutnya, amati Gambar 1.12(a). Pada gambar tersebut, ABC adalah segi- K L 2c tiga dengan R c AB = c; BC = a; AC = b A= ; B= ; C= . Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi P Q bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi ABC maka Gambar 1.12 diperoleh KLM seperti pada Gambar 1.12(b). 10 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 16. Dengan demikian, KL = 2AB = 2c, LM = 2BC = 2a, dan InfoMatika AB BC AC 1 KM = 2AC = 2b. Sehingga . KL LM KM 2 Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut KLM. Dari pengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan berikut: A= K= B= L= C= M= Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Jadi, ABC dan KLM sebangun. Thales Pada Gambar 1.12(c), PQR dibuat sedemikian rupa (624 S.M.–546 S.M.) sehingga P = A = , Q = B = , dan R = C = . Kira-kira 2.500 tahun Ukurlah panjang sisi-sisi PQR. Dari pengukuran yang lalu, seorang ahli tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut. Matematika Yunani, Thales, mengungkapkan AB BC AC gagasan yang fenomenal. Ia dapat menghitung PQ QR PR tinggi piramida dari Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. panjang bayangan suatu tongkat. Jadi, ABC dan PQR sebangun. A Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding maka sudut-sudut yang D bersesuaiannya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga B C E yang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding adalah sebangun. Thales menggunakan kenyataan bahwa Sebaliknya, jika dua segitiga memiliki sudut-sudut segitiga besar ABC yang bersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaiannya dibentuk oleh piramida dan bayangannya, sebanding. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang memiliki sebangun dengan sudut-sudut bersesuaian sama besar adalah sebangun. segitiga kecil DCE yang dibentuk oleh tongkat Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka dan bayangannya. Oleh suatu syarat dua segitiga sebangun? Cobalah nyatakan syarat karena itu, diperoleh persamaan dua segitiga sebangun dengan kata-katamu sendiri. AB DC BC CE Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang ber- Thales dapat mengukur sesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian panjang BC, CD, dan CE. Dengan demikian, sama besar. ia dapat menghitung AB (tinggi piramida) Contoh 1.5 menggunakan persamaan tersebut. A Sumber: Matematika, Khazanah 1. Coba kamu selidiki apakah Pengetahuan bagi Anak-Anak, A' 1979 ABC dan A'B'C' pada gambar di samping sebangun? Jelaskan 8 5 hasil penyelidikanmu. C' C B' B 6 3 11 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 17. Penyelesaian: InfoNet Amati ABC. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 (AC)2 = 82 + 62 Kamu dapat menemukan (AC)2 = 100 AC = 100 = 10 informasi lebih lanjut tentang materi ini Jadi, AC = 10. dari internet dengan Amati A'B'C' mengunjungi alamat (A'B')2 = (A'C')2 – (B'C')2 (A'B')2 = 52 – 32 artofmathematics. wordpress.com (A'B')2 = 25 – 9 (A'B')2 = 16 A'B' = 16 = 4 Oleh karena itu, AB = 8 = 2; BC = 6 = 2; AC = 10 = 2. C 3 5 A'B ' 4 B 'C ' A 'C ' E AB = BC = AC . Berarti, A'B ' B 'C ' A 'C ' Jadi, ABC sebangun dengan A'B'C'. A B D 2. Amati Gambar 1.13. a. Jika DE // BC, apakah ADE sebangun dengan ABC? Gambar 1.13 b. Jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan panjang DE. Penyelesaian: a. Pada DE dan ABC tampak bahwa DAE = BAC (berimpit) Siapa ADE = ABC (sehadap) Berani? AED = ACB (sehadap) Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ABC dan 1. Diketahui PQR dan ADE sama besar sehingga ABC sebangun dengan XYZ dengan unsur- unsur sebagai berikut. ADE. PQR = 40°, b. ADE sebangun dengan ABC. Oleh karena itu, PRQ = 65°, YXZ = 75°, DE = AE DE = AE XYZ = 35°. BC AC BC AE CE Selidikilah apakah DE = 6 PQR dan XYZ 63 6 sebangun? Jelaskan. 2. Amati gambar berikut. DE = 4 P Jadi, DE = 4 cm. 4 cm 10 cm xxcm cm S T 3 cm 7,5 cm (x + 30) cm 30) Q Aktivitas 1.1 R a. Apakah PQR sebangun dengan Tujuan: Mengukur tinggi pohon menggunakan konsep PST? Jelaskan. kesebangunan. b. Jika PQR sebangun dengan Cara Kerja: PST tentukan 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 sampai dengan 6 orang. nilai x. 2. Carilah sebuah pohon di sekitar rumah atau sekolah. 12 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 18. E 3. Ambil sebuah tongkat yang telah diukur panjangnya. 4. Tancapkan tongkat tersebut di ujung bayangan pohon. Amati Gambar 1.14. 5. Hitung panjang bayangan tongkat dan bayangan pohon. Kemudian, jawab pertanyaan berikut. D a. Apakah ABE sebangun dengan BCD? b. Dengan menggunakan perhitungan, tentukan tinggi A C B pohon tersebut. Presentasikanlah hasil kegiatanmu di depan kelas. Gambar 1.14 Petunjuk: Kegiatan dilakukan sekitar pukul 09.00 atau pukul 16.00 pada saat cuaca sedang cerah. 2. Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga Amati Gambar 1.15. Pada gambar tersebut, diketahui bahwa R r ST // PR. Oleh karena itu, T t 1) SQT = PQR (berimpit) s u 2) TSQ = RPQ (sehadap) q p Q 3) STQ = PRQ (sehadap) P S Berdasarkan (1), (2), dan (3), diperoleh SQT sebangun Gambar 1.15 dengan PQR sehingga SQ TQ ST ... (*) PQ RQ PR Jika PS = p, SQ = q, RT = r, TQ = s, PR = t, dan ST = u, Tugas dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, seperti tampak untukmu pada Gambar 1.15 maka persamaan (*) menjadi q s u Coba kamu selidiki. Jelaskan mengapa p ≠ 0, pqrs t q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, q s. Sekarang, amati perbandingan senilai dan u ≠ 0? pqrs Jika kamu kalikan kedua ruas dengan (p + q)(r + s), diperoleh q (p + q) (r + s) = s (p + q) (r + s) pq rs q (r + s) = s (p + q) qr + qs = ps + qs qr + qs – qs = ps + qs – qs qr = ps qs pr 13 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 19. Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada Gambar 1.15 adalah sebagai berikut. q s p r q s dapat dikatakan bahwa R Berdasarkan perbandingan p r jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan S salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama. Selanjutnya, amati Gambar 1.16. P Q Coba kamu selidiki, apakah PQR sebangun dengan QSR? Pada gambar tersebut tampak bahwa: Gambar 1.16 1) PQR = QSR (siku-siku); 2) QRP = QRS (berimpit). Berdasarkan (1) dan (2), diperoleh QPR = RQS. Mengapa? Coba kamu jelaskan. Oleh karena itu, PQR sebangun dengan QSR sehingga berlaku hubungan QR = SR atau QR 2 = SR · PR. PR QR Contoh 1.6 Amati Gambar 1.17. Tentukan panjang OM. 1. O Penyelesaian: MPO sebangun dengan MON sehingga OM = MP MN OM 3 cm 9 cm (OM)2 = MP · MN M N P (OM)2 = 3 · 12 Gambar 1.17 (OM)2 = 36 OM = 6 cm Jadi, panjang OM = 6 cm. B D A 2. Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran C dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak pada Gambar 1.18. Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3 E F m, dan DE = 12 m. Jika BF sejajar DE, berapa meter lebar sungai itu? Gambar 1.18 14 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 20. Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan pada soal. Diketahui : AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m. Ditanyakan : Lebar sungai (BD)? Langkah 2 Menentukan konsep apa yang akan digunakan untuk menjawab soal. Konsep yang digunakan adalah segitiga-segitiga Siapa yang sebangun. Berani? Langkah 3 Melakukan perhitungan dengan menggunakan konsep kese- Amati gambar berikut. bangunan, sebagai berikut. Amati Gambar 1.18 pada soal. P Dari pengamatan yang teliti, diperoleh ABC sebangun Q A dengan ADE, sehingga B R C AB = BC Titik P, Q, dan R AD DE berturut-turut terletak pada perpanjangan AC, 4 =3 AB, dan BC suatu ABC. AB BD 12 Jika P, Q, dan R segaris, 4 12 = 3(AB + BD) kedua ruas kalikan 12 (AB + BD) buktikan bahwa 48 = 3(4 + BD) AQ substitusikan AB = 4 BR CP =1 QB RC PA 4 + BD = 16 kedua ruas bagi dengan 3 BD = 12 Jadi, lebar sungai itu adalah 12 meter. Tes Kompetensi 1.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Amati gambar berikut. 2. Amati gambar berikut. M C T R 50° 9 cm 6 cm 15 cm 10 cm K R 8 cm 65° 12 cm Q P S A B L Buktikan bahwa ABC sebangun a. Buktikan bahwa KLM sebangun a. dengan PQR. dengan RST. b. Tentukan pasangan sisi-sisi yang b. Tentukan pasangan-pasangan sudut bersesuaian. yang sama besar. 15 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 21. 3. Amati gambar berikut. 8. Diketahui ABC sebangun dengan PQR. A P Jika BAC = 50° dan ABC = 68°, tentukan besar QPR, PQR, dan PRQ. R O 9. Q q p t B Buktikan bahwa AOB sebangun a. P Q S dengan POQ. r Pada gambar berikut, PRQ siku-siku, b. Jika AB = 12 cm, PQ = 8 cm, dan begitu juga dengan PSR. Nyatakan t AQ = 24 cm, tentukan panjang OA dalam p, q, dan r. dan OQ. A 10. Amati gambar berikut. 4. Amati gambar berikut. A D Diketahui BC // ED. D E a. Buktikan bahwa E ABC sebangun 6m C B dengan AED. b. Jika EB = 6 cm, BC = 10 cm, dan F DE = 4 cm, tentukan panjang AE. B C 8m Jika ABC dan PQR pada soal berikut 5. Berdasarkan gambar di atas, tentukan: sebangun, tentukan nilai x dan y. a. panjang AC; c. panjang AE; a. A P b. panjang CF; d. luas ADF. y 11. Pak Amir akan membuat dua buah papan reklame berbentuk segitiga samasisi. 118° x 28° R C Menurut pemesannya, perbandingan sisi Q B kedua papan itu 3 : 7 dan selisih kedua C b. R sisinya 16 dm. Tentukanlah panjang sisi 6 cm y cm x cm 8 cm dari setiap segitiga itu. 12. Amati gambar berikut. A BP Q 15 cm 10 cm H Diketahui ABC sebangun dengan PQR. 6. G F Jika AB = 6 cm, AC = 8 cm, BAC = 60°, dan PR = 10 cm, tentukan besar QRP D C dan panjang PQ. E 3 cm 7. Amati gambar berikut. I C Q A B 4 cm Dari gambar tersebut, buktikan: A 3 cm P x cm B a. DCG sebangun dengan IBC, Selidiki apakah ABC sebangun a. b. DCG sebangun dengan HGF. dengan APQ? Jelaskan. Kemudian, tentukan panjang CI, b. Jika ABC sebangun dengan APQ IB, HG, dan HF. tentukan nilai x. 16 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 22. 13. Diketahui ABC dan PQR kedua- a. Sketsalah beberapa kemungkinan duanya samakaki. Jika besar salah satu bentuk geometri kedua segitiga itu sudut dari ABC adalah 80° dan besar dan tentukan besar semua sudutnya. salah satu sudut dari PQR adalah 50°, b. Apakah ABC dan PQR sebangun? jawablah pertanyaan berikut. Jelaskan. C. Dua Segitiga yang Kongruen Perhatikan Gambar 1.19. C Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan segitiga PQR. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, diperoleh hubungan: (i) AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR. (ii) A = P, B = Q, dan C = R. A B Oleh karena itu, ABC kongruen dengan PQR. R Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut KLM. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur ABC. Dari hasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut. (iii) AB ≠ KL, BC ≠ LM, dan AC ≠ KM. P Q (iv) A = K, B = L, dan C = M. M Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa BC tidak kongruen dengan KLM. Akan tetapi, AB BC AC K L KL LM KM Gambar 1.19 Dengan demikian, ABC sebangun dengan KLM. Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka pengertian dua segitiga yang kongruen? Cobalah nyatakan pengertian dua segitiga yang kongruen dengan kata-katamu sendiri. Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen. I G H 1. Sifat Dua Segitiga yang Kongruen Gambar 1.20 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan D E F segitiga-segitiga yang kongruen. C A B Apabila ABD digeser ke kanan tanpa memutar dengan arah ur uuu AB maka diperoleh Gambar 1.20 17 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 23. A B (A menempati B) B C (B menempati C) D E (D menempati E) Siapa Berani? AB BC sehingga AB = BC BD CE sehingga BD = CE Amati gambar berikut. AD BE sehingga AD = BE Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen C E memenuhi sifat umum berikut. B Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. ur uuu A D AE diputar setengah Dalam penggeseran ABE dengan arah AB , diperoleh pula putaran dengan pusat B DAB EBC sehingga EAB = FBC sehingga bayangannya CD. Akibatnya, ABE DBA ECB sehingga DBA = ECB kongruen dengan CBD. ADB BEC sehingga ADB = BEC Jika BE = 6 cm, AE = 8 cm, BC = 5 cm, Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen BAE = 60°, dan memenuhi sifat umum berikut. ABE = 70°, tentukan: a. panjang BD dan AB; Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. b. besar BDC, CBD, dan BCD. Contoh 1.7 Pada gambar di samping, PQ diputar setengah putaran 1. dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya P Q' P’Q’. Selidiki apakah POQ kongruen dengan P'OQ' ? Jelaskan hasil penyelidikanmu. O Penyelesaian: PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleh Q P' a. PQ P'Q' sehingga PQ = P'Q' Q PO P'O sehingga PO = P'O P C QO Q'O sehingga QO = Q'O 18 cm b. QPO Q'P'O sehingga QPO = Q'P'O 62° PQO P'Q'O sehingga PQO = P'Q'O 54° A POQ P'OQ' sehingga POQ = P'O'Q B 20 cm R Dari penjelasan (a) dan (b) maka POQ kongruen dengan P'OQ' , ditulis POQ P'OQ'. Pada gambar di samping, ABC kongruen dengan PQR. 2. Tentukan: a. besar ACB dan PQR; b. panjang sisi QR. Penyelesaian: a. ABC kongruen dengan PQR maka ACB = PRQ = 62° ABC = 180° – ( BAC + ACB) 18 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 24. Siapa = 180° – (54° + 62°) = 64° Berani? PQR = ABC = 64°. ABC kongruen dengan PQR maka b. Coba kamu selidiki QR = BC = 18 cm. persamaan dan perbedaan antara dua segitiga yang sebangun dan dua segitiga yang 2. Syarat Dua Segitiga Kongruen kongruen. Pada bagian sebelumnya, kamu sudah mengetahui bahwa dua C R segitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan demikian, kamu harus menghitung setiap panjang sisi dan besar sudut kedua segitiga untuk membuktikan kekongruenan Q BP dua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu. A Apakah kamu tahu cara lain yang lebih efektif? Gambar 1.21 a. Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang Tugas (s.s.s) untukmu Amati Gambar 1.21. Pada gambar tersebut, AB = PQ, BC Gambarlah lima pasang = QR, dan AC = PR. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua segitiga sebarang yang segitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan sisi-sisi bersesuaiannya sama panjang (s.s.s). memperoleh hubungan A = P; B = Q; C = R. Ukurlah besar sudut- Dengan demikian, ABC dan PQR memenuhi sifat sudut yang bersesuaian dari setiap pasang dua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian segitiga. Selidikilah sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. apakah besar sudut yang bersesuaian dari setiap Jadi, ABC kongruen dengan PQR. pasang segitiga tersebut Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi-sisi yang sama besar? Dapatkah dinyatakan bahwa jika bersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaian tersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara umum? Untuk dari dua segitiga sama panjang maka mengetahuinya, lakukanlah Tugas untukmu di samping. dua segitiga tersebut Hasil yang benar dari tugas tersebut memperjelas sifat kongruen? Tuliskan hasil penyelidikanmu berikut. pada selembar kertas, kemudian kumpulkan Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama pada gurumu. panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen. F M b. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar (s.sd.s) Amati Gambar 1.22. Pada gambar tersebut, DE = KL, D = ° ° K, dan DF = KM. Ukurlah panjang EF dan LM, besar E D K dan L, serta besar F dan M. Berdasarkan hasil pengukuran E L Gambar 1.22 19 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 25. Tugas tersebut, kamu akan memperoleh hubungan EF = LM, E = untukmu L, dan F = M. Dengan demikian, pada DEF dan KLM berlaku Buatlah 3 pasang segitiga sebarang. Setiap pasang (i) DE = KL, EF = LM, DF = KM; segitiga memiliki sudut- (ii) D = K, E = L, F = M. sudut yang bersesuaian sama besar. Ukurlah Hal ini menunjukkan bahwa DEF dan KLM memenuhi panjang sisi yang sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, DEF KLM. bersesuaian. Apakah dapat disimpulkan Uraian tersebut memperjelas sifat berikut. bahwa jika sudut-sudut yang bersesuaian sama Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar maka dua segitiga panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka tersebut kongruen? Coba selidiki adakah kedua segitiga itu kongruen. syarat yang lain agar dua segitiga tersebut c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar kongruen? Tuliskan dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama hasil penyelidikanmu pada kertas terpisah. Panjang (sd.s.sd) Kemudian, kumpulkan pada gurumu. Amati Gambar 1.23. Pada gambar tersebut G = X, H = Y, dan GH = XY. Ukurlah besar I dan Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan I = Z, GI Z I = XZ, dan HI = YZ. Dengan demikian, pada GHI dan XYZ berlaku (i) G = X, H = Y, dan I = Z; (ii) GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ. H X° G° Y Hal ini menunjukkan bahwa GHI dan XYZ Gambar 1.23 memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, GHI XYZ. C Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut? Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang A B (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen. Y X d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang (sd.sd.s) Z Amati Gambar 1.24. Pada gambar tersebut, A = X, B = Gambar 1.24 Y, dan BC = YZ. Ukurlah besar C dan Z, panjang AB dan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan C = Z, AB = XY, dan AC = XZ. 20 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 26. Dengan demikian, pada ABC dan XYZ berlaku (i) A = X, B = Y, dan C = Z; (ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa ABC dan XYZ memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ABC XYZ. Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut? Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang (sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen. Contoh 1.8 1. Amati Gambar 1.25. R Selidikilah apakah ABC kongruen dengan PQR? 50° 8 cm Jelaskan. Penyelesaian: B 70° P Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga ABC kongruen dengan PQR. R S 2. Amati gambar di samping. Q PQRS adalah jajargenjang dengan salah satu diagonalnya QS. 70° 50° Selidikilah apakah PQS dan RSQ A C 8 cm kongruen? Jelaskan. P Q Gambar 1.25 Penyelesaian: Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR. Selanjutnya, QS adalah diagonal sehingga QS = SQ. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari PQS dan RSQ sama panjang (s.s.s). Tugas Jadi, PQS dan RSQ kongruen. untukmu Amati trapesium siku-siku PQRS pada gambar berikut. 3. S R PQ = 5 cm, SR = 3 cm, Lukislah masing-masing dua segitiga yang dan PS = 3 cm. memenuhi syarat: Selidikilah apakah PSR a. s. s. s b. s. sd. s kongruen dengan PRQ? c. sd. s. sd Penyelesaian: P Q d. sd. sd. s Jika PSR dan PRQ kongruen Selidikilah apakah setiap pasangan segitiga yang maka haruslah PS = PR dan SR = RQ karena PSR = PRQ kamu buat kongruen? (siku-siku). Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan PR = ( )2 ( )2 = 32 32 = 3 2 kelas. Jadi, PR ≠ PS. Oleh karena PQ = 5 cm maka PQ ≠ PR. Dengan demikian, 21 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 27. sisi-sisi yang bersesuaian dari PSR dan PRQ tidak sama Hal Penting panjang. Jadi, PSR dan PRQ tidak kongruen. Istilah-istilah penting yang kamu temui pada bab ini 3. Panjang Garis dan Besar Sudut dari adalah Bangun Geometri • kesebangunan • kekongruenan • skala Konsep segitiga kongruen dapat digunakan untuk menghitung • perbandingan sisi panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti • perbandingan sudut jajargenjang, belahketupat, dan layang-layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun A geometri, pelajarilah uraian berikut. Gambar 1.26 memperlihatkan segitiga siku-siku 30° ABC. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC sedemikian rupa sehingga ABT = 30°, diperoleh T ATB = 180° – (30° + 30°) = 120° BTC = 180° – ATB = 180° – 120° = 60° 30° BCT = 180° – ( BAT + ABC) = 180° – (30° + 90°) = 60° C B CBT = ABC – ABT = 90° – 30° = 60° Gambar 1.26 Amati bahwa: BAT = ABT = 30° sehingga ABT samakaki, dalam Catatan hal ini AT = BT; CBT = BCT = BTC = 60° sehingga BTC samasisi, Garis berat segitiga dalam hal ini BT = BC = CT. adalah garis yang melalui salah satu titik tengah Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Amati bahwa AT = sisi segitiga dan titik CT sehingga BT merupakan garis berat ABC. sudut di hadapan sisi itu. Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BC atau AC = BT + BT = 2 BT. Uraian tersebut memperjelas Sifat 1 dan Sifat 2 dari Siapa Berani? segitiga siku-siku bersudut 30° seperti berikut. Perhatikan gambar Sifat 1 berikut. Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30° D yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan panjang setengah hipotenusanya. H I E C Sifat 2 G J Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku F bersudut 30° sama dengan panjang setengah A B hipotenusanya. Tentukan bangun-bangun datar yang kongruen. 22 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 28. Contoh 1.9 C D Amati Gambar 1.27(a). Jajargenjang ABCD terbentuk 1. dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ADC 12 cm dan CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi 60° B jajargenjang tersebut. A a Penyelesaian: C Pelajarilah Gambar 1.33(b). 12 cm BA = 2 CB sifat 2 CBA siku-siku di C sehingga berlaku hubungan 60° 30° A B (BA)2 = (AC)2 + (CB)2 b (2CB)2 = 122 + (CB)2 4(CB)2 = 144 + (CB)2 Gambar 1.27 3(CB)2 = 144 CB = 4 3 Matematika Dengan demikian, BA = 2CB = 2 4 3 = 8 3 . Oleh karena ADC CBA maka Ria AD = CB = 4 3 cm dan DC = BA = 8 3 cm. 1. Dari selembar Amati Gambar 1.28(a). Pada gambar tersebut, AB = 6 cm, 2. karton, buatlah dua model bangun yang BC = 3 cm, DC = 4 cm, DBC = 53°, dan DB = DA = 5 kongruen dengan cm. Tentukanlah besar DAB. ukuran bebas seperti D D pada gambar berikut. 5 cm 4 cm A A 3 cm E C C A 53° 3 cm 3 cm B B Penyelesaian: ABD adalah segitiga samakaki. B Tarik garis tinggi ABD yang melalui titik D hingga 2. Guntinglah bangun B menurut garis putus- memotong AB di E seperti pada Gambar 1.28(b). putus. ABD segitiga samakaki dan DE garis 3. Acaklah potongan- tingginya maka AE = EB. Adapun DEB siku-siku di E, potongan bangun B. 4. Susun dan tempelkan EB = 3 cm, dan DB = 5 cm. potongan-potongan (DE)2 = (DB)2 – (EB)2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 tersebut hingga DE = 4 cm. menutupi bangun A. 5. Pertanyaan: DEB dan DCB. a. Apakah potongan- DC = DE = 4 cm potongan bangun B dapat disusun CB = EB = 3 cm menyerupai DB = DB = 5 cm (berimpit) bangun A? Oleh karena itu, DEB kongruen dengan DCB, b. Apa yang dapat kamu simpulkan? akibatnya DBC = DBE = 53°. 23 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 29. DEB kongruen dengan DEA karena ED = ED = 4 cm (berimpit) DB = DA = 5 cm EB = EA = 3 cm Jadi, DAB = DBE = 53°. Tes Kompetensi 1.3 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 3. Amati gambar berikut. Pada gambar berikut, KLM diputar 1. S setengah putaran pada titik tengah MK, yaitu titik O. Akibatnya, KLM dan R P bayangannya, yaitu MNK kongruen. K N O Q L M PQRS adalah layang-layang dengan a. Tentukan pasangan sisi yang sama sumbu simetrinya QS. Dari gambar panjang. tersebut diperoleh PQS kongruen b. Tentukan pasangan sudut yang sama dengan RQS. besar. a. Tentukanlah pasangan sisi yang c. Berbentuk apakah bangun KLMN? sama panjang. 2. Amati gambar berikut. b. Tentukanlah pasangan sudut yang B sama besar. Pada gambar berikut, PQ dan RS sama 4. panjang dan sejajar. R A C P O S D ABCD adalah belahketupat dengan salah Q satu diagonalnya BD. Dari gambar tersebut Buktikan bahwa POQ kongruen dengan diperoleh ABD kongruen dengan CBD. SOR. a. Tentukanlah pasangan sisi yang Pada gambar berikut, KLMN adalah 5. sama panjang. persegipanjang dengan kedua diagonal- b. Tentukanlah pasangan sudut yang nya berpotongan di titik O. sama besar. 24 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 30. N M 9. Tentukan panjang: a. AE; O b. EB; d. AD; L K e. BC. Buktikan bahwa KLM kongruen a. c. ED; dengan MNK. 10. Amati gambar berikut. C b. Tentukan pasangan segitiga lain yang kongruen dari gambar tersebut. Pada gambar berikut, ABCD adalah tra- 6. D pesium samakaki dengan kedua garis dia- gonalnya berpotongan di titik O. D C A E B Diketahui: O AB = BD, = , dan AE BC. a. Buktikan bahwa ABC kongruen A B dengan BED. Buktikan bahwa DAC kongruen a. dengan CBD. 1 b. Jika BC = 10 cm dan CD = BD, b. Tentukan pasangan segitiga lain yang 3 tentukanlah panjang garis DE dan kongruen dari gambar tersebut. luas BED. 7. Pada gambar berikut, BC = CD = CE, 11. Amati gambar berikut. ABF = 50°, dan BF // CE. D C Tentukan besar: F 100° a. BCE; E b. CDE c. CED; B A E d. CBE; A ABCD adalah trapesium samakaki. B C D e. BEC. Jika BC // ED dan AE = ED, tentukan Untuk soal nomor 8 dan 9, perhatikan gambar besar: berikut dengan DC = 8 cm dan ED = EB. a. EBC; D C b. EDC; c. BED; 30º d. AED; e. EAD; 60º 30º A B E ADE. f. 8. Tentukan besar: 12. Amati gambar berikut. D a. BED; b. AED; c. DBC; O F E d. BDC; A C e. ADE; BCD. f. B 25 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 31. a. Tentukan pasangan-pasangan segitiga Selidikilah apakah ABE kongruen dengan kongruen yang terdapat dalam belah- CDE. ketupat ABCD. 14. Amati gambar berikut. T b. Jika BD = 32 cm, DC = 20 cm, dan FC = 1 OF, tentukan luas BDF. 3 13. Amati gambar berikut dengan saksama. C D P S R Q E Pada gambar berikut, QT = RT dan PQ = RS. B Buktikan bahwa PQT A kongruen dengan SRT. Diketahui BCD = BAD dan AB = CD. Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Dua bangun dikatakan sebangun jika 4. Syarat dua segitiga kongruen: a. panjang sisi-sisi yang bersesuaian a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama dari kedua bangun tersebut memiliki panjang (s.s.s); atau perbandingan senilai, dan b. Dua sisi yang bersesuaian sama b. sudut-sudut yang bersesuaian dari panjang dan sudut yang diapitnya kedua bangun tersebut sama besar. sama besar (s.sd.s); atau 2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk c. Dua sudut yang bersesuaian sama dan ukuran yang sama dikatakan bangun- besar dan sisi yang berada di antaranya bangun yang kongruen. sama panjang (sd.s.sd); atau 3. Syarat dua segitiga sebangun adalah d. Dua sudut yang bersesuaian sama sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau besar dan sisi yang berada di sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. hadapannya sama panjang (sd.sd.s). Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. 26 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 32. Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang kesulitan-kesulitan yang dihadapi saat mempelajari bab ini. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 1 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. P 1. Pada sebuah peta, jarak 3,2 cm mewakili A 288 km. Skala peta tersebut adalah .... 4,5 cm a. 1 : 4.500.000 3 cm b. 1 : 6.000.000 R CQ 4 cm B c. 1 : 7.500.000 a. 6 cm d. 1 : 9.000.000 b. 7,5 cm 2. Diketahui sebuah kolam berbentuk c. 8,5 cm lingkaran. Pada denah berskala 1 : 200, d. 9 cm kolam itu digambar dengan diameter 4 5. Amati gambar berikut. Diketahui cm. Jika π = 3,14 maka luas tanah yang layang-layang ABCD sebangun dengan digunakan untuk kolam adalah .... layang-layang PQRS. Besar sudut PSR a. 200,96 m2 Q adalah .... b. 50,24 m2 B a. 59° c. 25,12 m2 R P 91º b. 61° C A 105º d. 12,56 m2 c. 78° 3. Pasangan bangun datar berikut ini d. 91° pasti sebangun, kecuali .... D a. dua segitiga samasisi S b. dua persegi 6. Sebuah penampung air yang panjang- c. dua segienam beraturan nya 10 m sebangun dengan kotak d. dua belahketupat korek api yang panjang, lebar, dan tingginya berturut-turut 4 cm; 3,5 cm; 4. Diketahui ABC sebangun dengan dan 1,5 cm. Volume penampung air PQR. Panjang PR adalah .... tersebut adalah .... 27 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 33. Jika OA = 4 cm, OB = 8 cm, dan OD = a. 328.125 liter 10 cm, maka panjang OC adalah .... b. 287.135 liter c. 210.000 liter a. 2 cm d. 184.250 liter b. 6,5 cm c. 7 cm 7. Panjang bayangan tugu karena sinar d. 5 cm Matahari adalah 15 m. Pada tempat 11. Pada gambar berikut, nilai x sama dan saat yang sama, tongkat sepanjang 1,5 m yang ditancapkan tegak lurus dengan .... terhadap tanah mempunyai bayangan 3 m. Tinggi tugu adalah .... 9 cm a. 6 m b. 7,5 m x 10 cm c. 8,5 m a. 6,7 cm d. 9 m b. 5,0 cm 8. Pada segitiga siku-siku ABC, DE // AB. c. 4,0 cm Jika AB = 18 cm, BE = 20 cm, dan EC d. 3,0 cm = 10 cm, luas CDE adalah .... Ebtanas 1995 A 2 a. 7,5 cm 12. Amati gambar berikut. D 15 cm2 b. D 30 cm2 c. 17 cm 270 cm2 d. C 25 cm B E E cm 25 9. Pada segitiga ABC berikut, DE // BC. 7 cm A 74º x A C y 24 cm B D E Pada gambar berikut, besar sudut x dan panjang y adalah .... C B a. 16° dan 7 cm Perbandingan Luas ADE : luas b. 16° dan 24 cm trapesium BCED adalah 4 : 5. Luas c. 74° dan 7 cm ADE : luas ABC adalah .... d. 74° dan 24 cm a. 4 : 3 13. Pada gambar berikut, layang-layang b. 5 : 9 PQRS terbentuk dari dua segitiga c. 4 : 9 siku-siku yang kongruen, yaitu PQR d. 9 : 4 dan PSR. S 10. Pada gambar berikut, AC // DB. A C 60º 30º O P R T B D Q 28 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 34. Jika SQ = 24 cm maka panjang QR c. 9 cm dan 30° adalah .... d. 3 cm dan 80° a. 16 cm 16. Benda yang sebangun dengan persegi b. 20 cm berikut adalah .... c. 24 cm d. 28 cm 14. Amati gambar berikut. E B a. ubin berukuran 30 cm × 20 cm C D b. buku berukuran 40 cm × 30 cm c. sapu tangan berukuran 20 cm × A 20 cm Pada gambar di atas, ABC kongruen d. permukaan meja berukuran dengan EDC, AC = 10 cm, dan DE 15 dm × 10 dm = 5 3 cm. Keliling EDC adalah .... 17. Amati gambar berikut. a. 2 3 cm A b. 18 2 cm c. (15 + 5 3 ) cm d. (15 + 3 5 ) cm D E 15. Pada gambar berikut, layang-layang F ABCD sebangun dengan layang- B C layang EFGD. Jika diketahui BAC = 60°; AD = AE D = 5 cm; dan EC = DB = 4 cm maka E G 125º panjang BE adalah .... A C a. 7 cm b. 8 cm F c. 9 cm 30º d. 10 cm B 18. Besar sudut-sudut suatu segitiga Jika AB = 18 cm, CD = 12 cm, DG adalah 3x°, 5x°, dan 7x°. Sudut yang = 3 DC, ABC = 30°, dan DEF = terkecil dari segitiga itu besarnya .... 4 a. 9° 125°, panjang ED dan besar DAB b. 12° adalah .... c. 15° a. 9 cm dan 125° d. 18° b. 3 cm dan 125° 29 Kesebangunan dan Kekongruenan
  • 35. 20. Pada gambar berikut, 19. Amati gambar berikut. B E D C A C A B D Pada gambar tersebut, ΔACE sebangun ΔABC ΔADC. Jika DC = 6,5 cm, dengan ΔBCD. Jika AC = 6 cm, AO = 4 cm, dan DAC = 140° maka panjang AB adalah .... panjang AB adalah .... a. 1,6 cm a. 4 cm b. 2,4 cm b. 5,5 cm c. 3,6 cm c. 6,5 cm d. 4,8 cm d. 8 cm 30 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 36. 2 Bab Sumber: www.3dnworld.com Bangun Ruang Sisi Lengkung Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat tabung, kerucut, dan bola serta menentukan ukurannya dengan cara mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola, menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut, dan bola, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut, dan bola. A. Unsur-Unsur dan Di Kelas VIII, kamu telah mempelajari bangun ruang sisi Luas Permukaan datar, yaitu balok, kubus, prisma tegak, dan limas tegak. Bangun Ruang Pada bab ini, konsep yang telah kamu pelajari tersebut akan Sisi Lengkung digunakan untuk memahami bangun ruang sisi lengkung, B. Volume Bangun yaitu tabung, kerucut, dan bola. Ruang Sisi Konsep bangun ruang sisi lengkung banyak diguna- Lengkung kan untuk menyelesaikan permasalah seperti pada uraian berikut. Bumi yang kita diami mempunyai bentuk yang hampir menyerupai bola. Jika diketahui jari-jari Bumi 6.370 km dan = 22 , dapatkah kamu mencari volume Bumi? 7 Jika kamu menguasai konsep volume bola, tentu kamu akan dapat menjawabnya dengan mudah. Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik. 31
  • 37. Diagram Alur Bangun Ruang Sisi Lengkung (BRSL) membahas Unsur-unsur dan Luas BRSL Volume BRSL misalnya misalnya Tabung Kerucut Bola Tabung Kerucut Bola unsur- rumus rumus rumus unsur-unsurnya unsurnya unsurnya volume volume volume • Sisi alas tabung • Bidang alas Selimut bola • Sisi atas tabung kerucut 43 12 V = r2t V= rt • Selimut tabung • Selimut kerucut V= r rumus luas 3 3 permukaannya rumus luas rumus luas permukaannya permukaannya L = 2 r (t + r) L = 4 r2 L = r (s + r) Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Jika diketahui luas alas dan tingginya, 4. Tentukan luas juring lingkaran pada tentukan: gambar berikut. a. Volume prisma tegak; r = 14 cm b. Volume limas tegak. 80° 2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Tentukan keliling dan luas daerah lingkaran tersebut. 5. Tentukan volume dan luas permukaan 3. Tentukan luas permukaan balok yang kubus yang panjang rusuknya 10 cm. berukuran panjang 8 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 2 cm. 32 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 38. A. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung Kaleng Nasi Tumpeng Bola Takraw Sarden Kamu tentu pernah menjumpai bangun-bangun seperti Gambar 2.1 kaleng sarden, nasi tumpeng, dan bola takraw. Bangun-bangun pada Gambar 2.1 merupakan bangun ruang sisi lengkung. Adapun bentuk geometri dari benda- benda tersebut berturut-turut tampak pada Gambar 2.2. Dapatkah kamu menyebutkan nama-nama bangun ruang pada Gambar 2.2? Gambar 2.2 1. Tabung Amati Gambar 2.3. Bangun tersebut dibatasi oleh dua sisi yang sejajar dan kongruen berbentuk lingkaran (ditunjukkan oleh daerah yang diarsir) serta sisi lengkung (daerah yang tidak diarsir). Bangun ruang seperti ini dinamakan tabung. a. Unsur-Unsur Tabung Gambar 2.3 Amatilah Gambar 2.4. Unsur-unsur tabung tersebut dapat T2 C D diuraikan sebagai berikut. a. Sisi yang diarsir (lingkaran T1) dinamakan sisi alas t tabung. Dinamakan sisi apakah lingkaran T2? b. Titik T1 dan T2 masing-masing dinamakan pusat lingkaran (pusat sisi alas dan sisi atas tabung). Pusat lingkaran B A T1 merupakan titik tertentu yang mempunyai jarak yang Gambar 2.4 sama terhadap semua titik pada lingkaran itu. c. Titik A dan B pada lingkaran alas tabung, sedangkan titik C dan D pada lingkaran atas. Ruas garis T1A dan T1B dinamakan jari-jari lingkaran (jari-jari bidang alas tabung). Jari-jari lingkaran merupakan jarak pusat lingkaran ke titik pada lingkaran. Sebutkanlah jari-jari bidang atas tabung. d. Ruas garis AB dinamakan diameter atau garis tengah lingkaran (diameter bidang alas). Diameter lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran. Sebutkanlah diameter bidang atas tabung. e. Ruas garis yang menghubungkan titik T1 dan T2 dinamakan tinggi tabung, biasa dinotasikan dengan t. Tinggi tabung disebut juga sumbu simetri putar tabung. 33 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 39. f. Sisi lengkung tabung, yaitu sisi yang tidak diarsir r dinamakan selimut tabung. Adapun garis-garis pada sisi lengkung yang sejajar dengan sumbu tabung (ruas garis C2 C1 T1T2) dinamakan garis pelukis tabung. b. Luas Permukaan Tabung t Amati kembali Gambar 2.4 dengan saksama. Jika tabung pada Gambar 2.4 direbahkan dengan cara memotong A1 A2 sepanjang ruas garis AC, keliling alas, dan keliling atasnya r ditempatkan pada bidang datar maka diperoleh jaring-jaring tabung, seperti pada Gambar 2.5. Daerah yang tidak diarsir (selimut tabung) pada Gambar Gambar 2.5 2.5 berbentuk persegipanjang dengan ukuran sebagai berikut. Catatan Panjang = keliling alas tabung = 2 r Lebar = tinggi tabung = t Oleh karena tidak dapat sehingga luas selimut tabung = panjang × lebar dinyatakan secara tepat =2r×t dalam bentuk desimal maupun pecahan, = 2 rt biasanya 3,14 atau Luas permukaan tabung sama dengan luas jaring- 22 . Tanda me- jaringnya, yaitu 7 nyatakan nilai hampiran. L = luas selimut tabung + 2 × luas alas. Akibatnya, luas Dengan demikian, luas permukaan tabung adalah permukaan tabung merupakan nilai L = 2 rt + 2 r2 hampiran. Selanjutnya, untuk memudahkan = 2 r (t + r) pembahasan, nilai 22 adalah 3,14 atau . Contoh 2.1 7 1. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm. Jika tingginya 30 cm dan Siapa = 3,14, hitunglah luas permukaannya. Berani? Penyelesaian: Diketahui r = 10 cm, t = 30 cm, dan = 3, 14, diperoleh Seorang pengrajin akan L = 2 r (t + r) membuat 100 kaleng berbentuk tabung yang = 2 × 3,14 × 10 × (30 + 10) = 2.512 terbuat dari seng. Jadi, luas permukaannya adalah 2.512 cm2. Tinggi dan diameter Diketahui luas selimut tabung 1.256 cm2. Jika = 3.14, dan 2. tabung yang akan dibuat berturut-turut 20 cm dan jari-jari alas tabung 10 cm, tentukan: 15 cm serta = 3,14. a. Tinggi tabung; Jika harga 1 m2 seng adalah Rp12.000,00, b. Luas permukaan tabung. berapa rupiah uang yang Penyelesaian: harus disediakan peng- luas selimut tabung = 2 rt = 1.256 cm2 rajin untuk membuat seluruh kaleng? = 3,14 r = 10 cm 34 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 40. 2 rt = 1.256 2 (3,14) × 10 × t = 1.256 a. 62,8 t = 1.256 t = 20 Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm. b. L = 2 rt + 2 r2 = 1.256 + 2 (3,14) × 102 = 1.256 + 628 = 1.884 Jadi, luas permukaan tabung tersebut adalah 1.884 cm2. 2. Kerucut Amati Gambar 2.6 dengan saksama. Gambar 2.6(a), O O memperlihatkan segitiga samakaki ATB dengan alas AB dan A BA B tinggi OT. Jika ATB diputar pada sumbu OT, diperoleh bangun ruang seperti pada Gambar 2.6(b). Bangun ruang tersebut dinamakan kerucut. a. Unsur-Unsur Kerucut Amati kerucut pada Gambar 2.7. Unsur-unsur kerucut dapat T T diuraikan sebagai berikut. a b a. Sisi yang diarsir dinamakan bidang alas kerucut. Gambar 2.6 b. Titik O dinamakan pusat lingkaran (pusat bidang alas kerucut), sedangkan titik T dinamakan puncak kerucut. T c. Ruas garis OA dinamakan jari-jari bidang alas kerucut. Sebutkan jari-jari bidang alas kerucut lainnya. d. Ruas garis AB dinamakan diameter bidang alas kerucut. s e. Ruas garis yang menghubungkan titik T dan O dinama- t kan tinggi kerucut (t). f. Ruas garis BC dinamakan tali busur bidang alas kerucut. O A B Sebutkan tali busur bidang alas kerucut lainnya. g. Sisi yang tidak diarsir dinamakan selimut kerucut. C Gambar 2.7 Adapun ruas-ruas garis pada selimut kerucut yang meng- hubungkan titik puncak T dan titik-titik pada lingkaran (misalnya TA) dinamakan garis pelukis kerucut (s). b. Luas Permukaan Kerucut Gambar 2.8(a) menunjukkan kerucut dengan titik puncak T dan jari-jari bidang alasnya adalah r. Jika kerucut itu kamu potong sepanjang ruas garis TB dan seputar lingkaran alasnya, serta diletakan pada bidang datar maka diperoleh jaring-jaring kerucut, seperti pada Gambar 2.8(b). 35 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 41. Amati Gambar 2.8(b). Daerah yang diarsir merupakan T alas kerucut (berbentuk lingkaran). Adapun daerah yang a tidak diarsir merupakan selimut kerucut yang berbentuk juring lingkaran. Berapakah luas juring TB1B2? Untuk s menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. s s s Panjang busur B1B2 = keliling alas kerucut = 2 r. t Keliling lingkaran yang berjari-jari s adalah 2 s. r Luas lingkaran yang berjari-jari s adalah s2. A D Oleh karena luas juring TB1B2 = panjang busur B1B2 B a B C T luas lingkaran aa keliling lingkaran aa b maka luas juring TB1B2 = 2 r × s2 = rs. s s 2s Jadi, luas selimut kerucut adalah rs. Dengan demikian, luas permukaan kerucut adalah B2 B1 L = luas selimut kerucut + luas alas kerucut L = rs + r2 = r(s + r) r Jadi, rumus luas permukaan kerucut adalah L = r (s+r) Contoh 2.2 Gambar 2.8 1. Sebuah kerucut berdiameter 12 cm. Jika tingginya 8 cm dan = 3,14, hitunglah: a. Luas selimutnya; Uji Kecerdikan b. Luas alasnya; s c. Luas permukaan kerucut. 8 Azis akan membuat dua Penyelesaian: buah kerucut dari bahan Amati gambar berikut. karton. Luas permukaan 6 6 kerucut kesatu dua kali r = 6 cm dan t = 8 cm luas permukaan kerucut s = r 2 t 2 = 62 82 = 100 = 10 yang kedua. Adapun panjang garis pelukis Jadi, panjang garis pelukisnya 10 cm. kerucut yang kesatu a. Luas selimut kerucut juga dua kali panjang L1 = rs = 3,14 × 6 × 10 = 188,4 garis pelukis yang kedua. Akan tetapi, ia Jadi, luas selimutnya 188,4 cm2. kebingungan menentukan b. Luas alas kerucut panjang jari-jari kedua L2 = r2 = 3,14 × 62= 113,04 kerucut itu. Dapatkah kamu membantunya Jadi, luas alas kerucut adalah 113,04 cm2. untuk menghitung c. Luas permukaan kerucut perbandingan jari-jari kedua kerucut itu? L = L1 + L2 = 188,4 + 113,04 = 301,44 Jadi, luas permukaannya adalah 301,44 cm2. 36 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 42. 2. Gambar berikut memperlihatkan skema tutup lampu. r1 InfoNet Jika r1 = 7 cm, r2 = 14 cm, s' = 30 cm, dan = 22 , berapa meter persegi kain yang Kamu dapat menambah s’ 7 wawasanmu tentang materi digunakan untuk membuat tutup lampu dalam bab ini dari internet r2 dengan mengunjungi tersebut? alamat: Penyelesaian: learning-with-me. blogspot.com/2006/09/ Langkah 1 geometry_11.html Lengkapi gambar pada soal sehingga membentuk bangun kerucut, kemudian tentukan variabel-variabelnya. Gambar kerucut dari permasalahan ini diperlihatkan pada Gambar 2.9. Langkah 2 s1 Menentukan nilai s1 dengan menggunakan perbandingan. r1 Diketahui r1 = 7 cm, r2 = 14 cm, dan s' = 30 cm Untuk menentukan s1, caranya sebagai berikut. s' r1 s 7 = s1 =1 r2 r2 s1 s ' 14 s1 30 1 s1 = 2 s1 30 Gambar 2.9 s1 = 30 Langkah 3 Tugas Menghitung luas selimut kerucut. untukmu Luas selimutnya = r1s1 Coba kamu selidiki konsep geometri apakah = 22 × 7 × 30 = 660 cm2 yang digunakan dalam 7 r1 s1 perbandingan . r2 s1 s' Luas selimutnya = r2 (s1 + s') = 22 × 14 (30 + 30) Jelaskan hasil penyelidi- 7 kanmu di depan kelas. 2 = 2.640 cm Langkah 4 Menghitung luas kain yang dibutuhkan. luas kain = luas selimut kerucut besar – luas selimut kerucut kecil = 2.640 cm2 – 660 cm2 = 1.980 cm2 = 0, 198 m2 Jadi, kain yang dibutuhkan seluas 1.980 cm2. 3. Pak Buyung akan membuat model kerucut dari selembar s t aluminium seperti pada Gambar 2.10. Jika luas permukaan model kerucut itu 75,36 cm2 dan = 3,14, tentukan jari-jari, Pr panjang garis pelukis, dan tinggi kerucut yang mungkin. Gambar 2.10 37 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 43. Siapa Penyelesaian: Berani? Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Sebuah model kerucut Diketahui: Luas permukaan kerucut, L = 75,36 cm2 dan akan dibuat dari = 3,14. aluminium. Jika luas permukaan model Ditanyakan: Panjang jari-jari, panjang garis pelukis, dan kerucut itu 360 cm2, tinggi kerucut yang mungkin. jawablah pertanyaan Langkah 2 berikut. a. Selidiki apakah Masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus luas mungkin diameter permukaan kerucut sebagai berikut. alas model kerucut itu L = 75,36 75,36 = r (s + r) panjangnya 40 cm? Jelaskan hasil 75,36 = 3,14r (s + r) penyelidikanmu. 24 = r (s + r) ... (*) b. Berapa panjang diameter kerucut Langkah 3 yang mungkin? Menghitung panjang jari-jari, panjang garis pelukis, dan tinggi kerucut yang mungkin dengan menggunakan persamaan (*) pada langkah ke-2 sebagai berikut. Kemungkinan ke-1 Untuk r = 1 maka 1(s + 1) = 24 s = 23 t = s 2 r 2 = 232 12 = 528 Jadi, jika jari-jari model kerucut 1 cm maka panjang garis pelukis dan tinggi kerucut berturut-turut adalah 23 cm dan 528 cm. Kemungkinan ke-2 Untuk r = 2 maka 2(s + 2) = 24 s = 10 t = s 2 r 2 = 102 22 = 96 = 4 6 Jadi, jika jari-jari model kerucut 2 cm maka panjang garis pelukis dan tinggi kerucut berturut-turut adalah 10 cm dan 4 6 cm. Kemungkinan ke-3 Untuk r = 3 maka s = 5 dan t = 4. Jadi, jika jari-jari model kerucut 3 cm maka panjang garis pelukis dan tingginya berturut-turut adalah 5 cm dan 4 cm. Adakah cara menentukan model kerucut yang lainnya? Jelaskan alasannya. A A 3. Bola C DC D o Gambar 2.11(a) memperlihatkan lingkaran dengan diameter AB atau CD. Jika lingkaran pada Gambar 2.11(a) diputar B B terhadap titik O (AOB sebagai sumbu putar), diperoleh a b bangun ruang seperti pada Gambar 2.11(b). Bangun ruang Gambar 2.11 seperti ini dinamakan bola. 38 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 44. a. Unsur-Unsur Bola Bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk. Amati kembali Gambar 2.11(b). Unsur-unsur bola dapat diuraikan sebagai berikut. 1) Titik O dinamakan titik pusat bola. 2) Ruas garis OA dinamakan jari-jari bola. Sebutkan jari- jari bola lainnya. 3) Ruas garis CD dinamakan diameter bola. Jika kamu amati, ruas garis AB juga merupakan diameter bola. AB dapat pula disebut tinggi bola. 4) Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola. 5) Ruas garis ACB dinamakan tali busur bola. Sebutkan tali busur bola lainnya. 6) Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola. b. Luas Permukaan Bola Amati kembali bahasan mengenai luas permukaan tabung dan kerucut. Dari pembahasan tersebut, kamu dapat melihat cara mencari luas permukaan bangun ruang yang secara umum adalah sebagai berikut. a. Membuat jaring-jaring bangun tersebut. b. Menghitung luas jaring-jaring bangun tersebut. c. Luas permukaan bangun sama dengan luas jaring- InfoMatika jaringnya. Akan tetapi, cara seperti itu tidak dapat diterapkan pada bola karena kamu tidak bisa membuat jaring-jaring Menurut Archimedes, dari sebuah bola. Untuk menentukan nilai hampiran luas jika bola dan tabung memiliki jari-jari yang permukaan bola, lakukan aktivitas berikut. sama dan tinggi tabung sama dengan diameter Aktivitas 2.1 bola, luas permukaan bola sama dengan luas selimut tabung. Tujuan: Menentukan nilai hampiran luas permukaan bola. 1. Sediakan bola plastik kecil, gunting, karton, penggaris, dan dua buku tebal. 2. Letakkan bola plastik seperti pada gambar (a). Kemudian, ukurlah jarak antarbuku. Panjang jari-jari bola tersebut adalah 1 kali jarak antarbuku. 2 39 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 45. 3. Buatlah model persegipanjang dari karton dengan panjang bola 4 kali panjang jari-jari bola (4r) dan lebar 3,14 kali panjang jari-jari bola seperti gambar (b). Berapa cm2 luas model persegipanjang itu? 4. Potong-potong bola plastik sehingga menjadi potongan- potongan yang sangat kecil. Kemudian, potongan-potongan bola plastik itu diletakkan pada model persegipanjang itu. buku buku a 5. Apakah seluruh kulit bola itu persis menutupi seluruh permukaan model persegipanjang tersebut? 4r 6. Ulangi langkah ke-3 sampai dengan langkah ke-5 dengan membuat model persegipanjang dengan ukuran sebagai 3,14r berikut. a. panjang 4r dan lebar 3,5r b b. panjang 4r dan lebar 2,5r c. panjang 4r dan lebar 2r Perkirakan berapa cm2 luas permukaan bola plastik itu. 7. 8. Apa yang dapat kamu simpulkan dari kegiatan ini? Presentasikan hasil kegiatanmu di depan kelas. Petunjuk: Kedua buku diletakkan vertikal dan sejajar. Misalkan, Gambar 2.12(a) adalah bola plastik berjari-jari r, sedangkan Gambar 2.12(b) adalah sehelai kertas berbentuk persegipanjang dengan luas daerah 4 r2. Jika bola plastik dikuliti, kemudian kulitnya diletakkan pada sehelai kertas yang berbentuk persegipanjang dengan luas 4 r2 (seperti Gambar 2.12(b)) maka kulit bola itu akan persis menutupi seluruh permukaan kertas itu. Hal tersebut menggambarkan bahwa rumus luas permukaan bola adalah a L = 4 r2 4r dengan L = luas permukaan bola r r = jari-jari bola = 3,14 atau = 22 b 7 Contoh 2.3 Gambar 2.12 1. Sebuah bola diketahui jari-jarinya 10 cm. Jika = 3,14, hitunglah luas permukaan bola itu. Penyelesaian: Diketahui: jari-jari bola r =10 cm dan 40 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 46. Ditanyakan: Luas permukaan bola L? L = 4 r2 = 4 × 3,14 × 102 = 1.256. Catatan Jadi, luas permukaan bola adalah 1.256 cm2. 2. Tangki penyimpanan gas alam cair berbentuk bola dengan Bukti dari rumus L = 4 r2 tidak diberikan di buku diameter 70 m. Supaya tangki itu dapat menyimpan gas ini. Pembuktian rumus alam cair sampai –160°C tanpa membeku, lapisan luar tersebut akan kamu tangki tersebut diisolasi. pelajari di tingkat pendidikan yang lebih a. Berapa meter persegi isolasi yang diperlukan untuk tinggi. melapisi tangki itu? b. Jika biaya isolasi per meter persegi adalah Rp75.000,00, berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi tangki tersebut? Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui: Diameter tangki, d = 70 m Biaya isolasi per meter persegi = Rp75.000,00 Ditanyakan: a. Berapa m2 isolasi yang diperlukan? Sumber: The World Book b. Berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi Encyclopedia Volume 8, 1996 tangki itu? Gambar 2.13 Langkah 2 Menentukan rumus yang digunakan untuk menjawab soal. Siapa Rumus yang digunakan adalah luas permukaan bola, yaitu Berani? L = 4 r2. Langkah 3 Gambar berikut memperlihatkan sebuah Menentukan panjang jari-jari tangki, kemudian menghitung monumen yang dibentuk luas permukaan tangki, sebagai berikut. dari sebuah kerucut dan 1 1 setengah bola. Jari-jari r = d = × 70 = 35 m 2 2 22 × (35)2 = 15.400 2 L=4r =4× 7 8m Jadi, isolasi yang diperlukan adalah seluas permukaan bola, 6m yaitu 15.400 m2. Langkah 4 Menghitung biaya untuk mengisolasi tangki, yaitu sebagai tanah Monumen tersebut berikut. menempel pada tanah Biaya per meter persegi adalah Rp75.000,00 seluas 1 m2. Jika monumen itu akan dicat sehingga biaya seluruhnya adalah dan setiap m2 memerlukan 15.400 × Rp75.000,00 = Rp1.155.000.000,00. biaya Rp35.000,00, Jadi, biaya untuk mengisolasi tangki tersebut adalah berapa rupiah biaya pengecatan tugu tersebut? Rp1.155.000.000,00. (ambil = 3,14) 41 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 47. Tes Kompetensi 2.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Hitunglah luas permukaan bangun ruang a. Tinggi kerucut; berikut. b. Luas selimut kerucut; a. c. Luas alas kerucut; d. Luas permukaan kerucut. 100 cm 7. Bulan hampir menyerupai bola dengan diameter 3.476 km. Hitunglah luas b. permukaan bulan jika = 22 . 12 cm 7 9 cm 8. Kubah sebuah gedung berbentuk setengah P bola. Kubah tersebut mempunyai diameter 16 m. Jika permukaan kubah bagian c. 6 cm dalam akan dicat dan setiap meter persegi memerlukan biaya sebesar Rp40.000,00, 1,5 cm berapa biaya yang dibutuhkan untuk mengecat kubah itu? 2. Sebuah tabung diketahui luas permukaan- nya 4.396 cm2. Jika tingginya 15 cm dan = 3,14, hitunglah tinggi tabung itu. 3. Sebuah kerucut berdiameter 10 cm. Jika tingginya 12 cm dan = 3,14, hitunglah: a. luas selimutnya; Sumber: Majalah Orbit, 2002 b. luas alasnya; 9. Gambar berikut merupakan c. luas permukaan kerucut. tabung dengan bagian atas dan 4. Hitunglah diameter bola jika = 3,14 bawah berupa setengah bola. dan luas permukaannya: 2 a. 200,96 cm2 Jika diameter tabung 8 cm 5 b. 452,16 cm2 dan tinggi tabung 20 cm, c. 1.256 cm2 tentukanlah luas permukaan bangun d. 5.024 cm2 22 tersebut . 5. Hitunglah luas permukaan bola yang 7 memiliki ketentuan berikut. 10. Hitunglah luas permukaan bangun ruang Jari-jari 45 cm dan = 22 . a. berikut. 7 a. b. Diameter 80 cm dan = 3,14. 12 cm 6. Sebuah kerucut jari-jari alasnya 10 cm. Jika panjang garis pelukisnya 24 cm dan 18 cm = 3,14 hitunglah: 10 cm 42 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 48. Rp80.000,00, berapa biaya yang harus b. disediakan untuk membuat sebuah tenda? 24 cm 13. Ukuran garis pelukis kerucut lebih panjang 15 cm daripada panjang jari-jari alasnya. Jika luas selimut kerucut adalah 7 cm 2.198 cm2 dan = 3,14, hitunglah: a. panjang jari-jari dan panjang garis pelukis kerucut dan c. 5 cm b. luas permukaan kerucut. 14. Sebuah bola plastik dimasukkan ke dalam tabung sehingga bola itu menyinggung 16 cm sisi alas, sisi atas, dan sisi lengkung tabung, seperti gambar berikut. Diketahui luas permukaan tabung 924 cm2 dan = 22 . 8 cm 7 Tentukanlah luas kulit bola itu. 11. Sebuah penampung minyak berbentuk tabung dengan keliling alasnya 50,24 m dan tingginya 10 m. Sisi atas dan sisi lengkung- nya akan dicat. Jika untuk mengecat 1 m2 memerlukan biaya Rp30.000,00, berapa biaya yang dibutuhkan untuk mengecat 16. Sebuah model kerucut akan dibuat dari penampung minyak itu? aluminium. Jika luas permukaannya 12. Sebuah pabrik akan membuat tenda ber- 200 cm2, jawablah pertanyaan berikut. bentuk kerucut tanpa alas dari kain parasut. a. Mungkinkah diameter model kerucut Tenda yang akan dibuat memiliki diameter tersebut 30 cm? Jelaskan jawabanmu. 20 m dan panjang garis pelukis 5 m. Jika b. Berapa panjang diameter kerucut biaya pembuatan tenda tiap m2 adalah yang mungkin? B. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung P O C D T2 T2 Volume bangun ruang menyatakan ukuran atau kemampuan N K L menampung suatu benda cair. Misalnya, volume sebuah M drum adalah 100 liter, artinya apabila drum itu diisi minyak J I sampai penuh maka dapat menampung 100 liter minyak. T1 E H T1 A B 1. Volume Tabung F G a b Amatilah Gambar 2.14 dengan saksama. Apabila kamu amati Gambar 2.14 dengan teliti (Gambar 2.14(a) dan (b)), antara tabung dan (a) tabung prisma tegak mempunyai kesamaan, yaitu mempunyai dua (b) prisma tegak sisi (bidang) sejajar dan kongruen (bidang atas kongruen 43 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 49. dengan bidang alas). Hal tersebut menggambarkan kesamaan dalam cara mencari volumenya, yaitu luas alas × tinggi. Di Kelas VIII, kamu telah mengetahui bahwa volume prisma bergantung pada bentuk alasnya. Jika alas prisma berbentuk segitiga, volume prisma segitiga adalah 1 ( × alas × tinggi) × tinggi. 2 Hal tersebut berlaku pula pada prisma segiempat, prisma segilima, dan seterusnya hingga prisma segi-n. Bagaimana jika alas prisma berbentuk lingkaran? Prisma yang alasnya berbentuk lingkaran disebut tabung. Akibatnya, cara menentukan volume tabung sama dengan cara menentukan volume prisma, yaitu V = luas alas × tinggi dalam hal ini, V = luas lingkaran × tinggi Tugas Kamu juga telah mengetahui rumus luas lingkaran, yaitu r2. untukmu Jadi, rumus volume tabung adalah Kerjakan tugas ini secara V = luas alas × tinggi = r2t berkelompok yang terdiri atas 4 atau 5 orang (disesuaikan dengan Dalam hal ini, kondisi di kelas). V = volume tabung 1. Dengan mengevaluasi Contoh 2.4 nomor 2a, 22 = 3,14 atau = cobalah kamu terka 7 suatu ketentuan umum r = jari-jari alas tabung mengenai rumus perubahan volume t = tinggi tabung tabung jika tingginya berubah, sedangkan Contoh 2.4 jari-jarinya tetap. 2. Dengan mengevaluasi Contoh 2.4 nomor 1. Sebuah tabung diketahui jari-jarinya 6 cm, tingginya 7 cm, 2b, cobalah kamu 22 terka suatu ketentuan dan = . Hitunglah volume tabung tersebut. umum mengenai 7 perubahan volume Penyelesaian: tabung jika jari-jarinya 22 berubah, sedangkan V = r2t = × 62 × 7 = 792 tingginya tetap. 7 Nyatakan ketentuan- Jadi, volumenya 792 cm3. ketentuan tersebut 2. Tentukan volume tabung pada soal nomor 1, jika dengan kata-katamu sendiri. a. tingginya menjadi 2 kali lebih panjang dari tinggi (Petunjuk: misalkan, semula (jari-jari tetap); volume tabung mula- b. jari-jarinya menjadi 3 kali lebih panjang dari jari-jari mula adalah V = r2t dan volume semula (tinggi tetap). tabung setelah perubahan n kali adalah Vn). 44 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 50. Penyelesaian: InfoMatika a. t1 = 2t = 2 × 7 cm 22 22 2 V1 = r2t1 = × 62 × 2 × 7 = 2 × 6 7 7 7 = 2 × 792 = 1.584 Jadi, volumenya 1.584 cm3. b. r2 = 3r = 3 × 6 cm 22 V2 = r22t = 22 × (3 × 6)2 × 7 = × 32 × 62 × 7 7 7 22 2 2 2 =3 × 7 = 3 × 792 = 9 × 792 = 7.128 6 7 Jadi, volumenya 7.128 cm3. Archimedes (Yunani, 287–212 SM) Selidikilah penyelesaian Contoh 2.4. Archimedes lebih dikenal karena ide sainsnya mengenai Jika tinggi tabung menjadi 2 kali lebih panjang daripada teori mengambang dan tenggelam. Menurut tinggi semula (t1 = 2t) maka cerita, suatu hari ia V1 = r2t1 = r2 (2t) = 2( r2t) = 2V. pernah berlari tanpa busana dari kamar Uraian tersebut memperjelas ketentuan berikut. mandinya sambil berteriak quot;Eureka!quot;, yang Misalnya, volume sebuah tabung adalah V. Jika tingginya artinya quot;Saya berhasil menjadi n kali lebih panjang dari tinggi semula (jari-jari tetap), menemukannya!quot;. Ia berhasil menemukan volumenya menjadi n kali volume semula (Vn = n × V). cara mengetahui volume suatu benda dengan memasukkannya ke dalam air. Kemudian, Jika jari-jari tabung menjadi 3 kali lebih panjang mengukur berapa daripada jari-jari semula (r2 = 3r) maka banyak air yang didorong oleh benda tersebut. V2 = r22t = (3r)2t = 32( r2t) = 32V. Archimedes juga dikenal Uraian tersebut memperjelas ketentuan berikut. sebagai matematikawan yang sangat hebat. Ia menemukan rumus luas Misalnya, volume sebuah tabung adalah V. Jika jari-jarinya bangun datar dan volume menjadi n kali lebih panjang daripada jari-jari semula bangun ruang. (tinggi tetap), volumenya menjadi n2 kali volume semula Sumber: Ensiklopedia Matematika, 1998 (Vn = n2 × V). Matematika Contoh 2.5 Ria Seseorang akan Diketahui sebuah tangki air berbentuk tabung yang tingginya mengukur 4 liter air 200 cm. Tabung tersebut dapat menampung air sampai penuh secara tepat. Akan tetapi, ia hanya mempunyai 2 sebanyak 1.570 liter. Jika = 3,14, hitunglah: tabung berukuran 5 liter a. luas alas tangki tersebut; dan 3 liter. Bagaimana b. panjang jari-jari alasnya; orang tersebut harus mengukurnya? c. luas selimut tangki. 45 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 51. Penyelesaian: a. Volume tangki = 1.570 liter = 1.570 dm3 = 1.570.000 cm3. Tinggi tangki = 200 cm. V = luas alas × tinggi tangki 1.570.000 = luas alas × 200 luas alas = 1.570.000 = 7.850 200 Jadi, luas alasnya 7.850 cm2. b. L = r2 7.850 = 3,14r2 t t r2 = 2.500 r = 50 Jadi, panjang jari-jari alas tangki adalah 50 cm. r c. Luas selimut tangki = 2 rt = 2 (3,14) × 50 × 200 = 62.800 a b Jadi, luas selimutnya 62.800 cm2. Gambar 2.16 (a) limas tegak 2. Volume Kerucut (b) kerucut Untuk mengetahui rumus volume kerucut, pelajarilah uraian Tugas berikut dengan saksama. untukmu Di Kelas VIII, kamu telah mengetahui cara menentukan volume limas tegak, yaitu 1 × luas alas × tinggi. Sekarang, Nyatakanlah volume kerucut dalam , d, dan t. 3 Dalam hal ini, = 3,14, amatilah Gambar 2.16 di samping. d = diameter alas Jika kamu amati dengan baik, volume limas bergantung kerucut, dan t = tinggi kerucut. pada bentuk alasnya. Jika luas alasnya berbentuk segitiga maka volume limas segitiga adalah 1 × ( 1 alas × tinggi) × tinggi Uji Kecerdikan 3 2 Demikian pula dengan limas segiempat, limas segilima, dan D seterusnya. Bagaimana jika alas limas berbentuk lingkaran? Limas yang alasnya berbentuk lingkaran disebut kerucut. Akibatnya, cara menentukan volume kerucut sama dengan cara menentukan limas, yaitu V = 1 × luas alas × tinggi Sumber: Majalah Orbit, 2002 3 dalam hal ini, Museum Purna Bakti Pertiwi yang terletak di V = 1 × luas lingkaran × tinggi Taman Mini Indonesia Indah memiliki bentuk 3 bangunan yang unik. Di Kelas VIII, kamu juga telah mengetahui rumus luas Setiap bangunannya lingkaran, yaitu r2. berbentuk kerucut. Jika jari-jari kerucut yang Jadi, volume kerucut adalah besar adalah 14 m dan tinggi 20 m, hitunglah V = 1 × r2 × t volume kerucut tersebut. 3 46 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 52. Tugas Dalam hal ini, V = volume kerucut untukmu r = jari-jari alas kerucut t = tinggi kerucut Kerjakan tugas ini secara = 3,14 atau 22 berkelompok yang terdiri atas 4 atau 5 orang 7 (disesuaikan dengan Contoh 2.6 kondisi di kelas). 1. Amatilah Contoh 2.6 nomor 2. Jika tinggi 1. Diketahui sebuah kerucut berdiameter 12 cm dan tingginya kerucut pada soal itu 8 cm. Jika = 3,14, hitunglah volume kerucut tersebut. 1 kali, 1 menjadi Penyelesaian: 2 3 kali, 3 kali, 4 kali, dan Diameter kerucut d = 12 cm sehingga jari-jarinya 5 kali tinggi semula (jari-jari tetap), 1 r= 12 cm = 6 cm hitunglah volume 2 kerucut itu setelah 1 1 perubahan. Coba V = r2t = 3,14 62 8 = 301,44 kamu terka suatu 3 3 ketentuan umum Jadi, volumenya adalah 301,44 cm3. mengenai rumus Volume sebuah kerucut adalah 594 cm3. Jika tinggi kerucut 2. perubahan volume itu menjadi 2 kali tinggi semula (jari-jari tetap), berapa kerucut jika tingginya berubah, sedangkan volume kerucut itu setelah perubahan? jari-jarinya tetap. Penyelesaian: 2. Amati kembali Contoh Misalkan, volume kerucut semula = V1, 2.6 nomor 2. Jika panjang jari-jari tinggi kerucut semula = t1, kerucut pada soal itu volume kerucut setelah perubahan = V2, 1 1 menjadi kali, kali, dan tinggi kerucut setelah perubahan = t2 2 3 2 kali, 3 kali, dan 4 kali maka t2 = 2t1. semula (tinggi tetap), hitunglah volume 12 V1 = r t1 kerucut itu setelah 3 perubahan. Coba kamu 12 terka suatu ketentuan r t1 = 594 3 umum mengenai rumus perubahan 1 1 V2 = r2t2= r2 (2t1) volume kerucut jika 3 3 panjang jari-jarinya berubah, sedangkan 12 r t1 = 2 V1 =2 tingginya tetap. 3 = 2 594 = 1.188 Jadi, volume kerucut setelah mengalami perubahan adalah dua kali volume semula, yaitu 1.188 cm3. 3. Garam halus ditumpuk sehingga membentuk kerucut seperti Gambar 2.17. Tinggi tumpukan garam itu 15 m dan diameter alasnya 56 m. Tumpukan garam tersebut akan diangkut oleh truk yang kapasitas angkutnya 70 meter kubik. Tentukan berapa truk yang diperlukan untuk mengangkut tumpukan garam itu (ambil = 22 ). 7 47 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 53. Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui: Tinggi t = 15 m. Diameter d = 56 m. Daya angkut truk = 70 m3. Ditanyakan: Banyak truk yang diperlukan untuk mengangkut Sumber: The World Book Encyclopedia Volume 17, 1995 tumpukan garam. Langkah 2 Gambar 2.17 Menentukan rumus apa yang digunakan untuk menjawab soal. Rumus yang digunakan adalah rumus volume kerucut, yaitu 12 V= r t. 3 Langkah 3 Menentukan panjang jari-jari alas tumpukan garam, kemudian menghitung volume tumpukan garam tersebut, yaitu sebagai berikut. Jari-jari alasnya r = 1 d 2 =1 56 2 = 28 m 12 V= rt 3 Hal Penting 1 22 (28)2 15 = 3 7 Istilah-istilah penting yang = 12.320 kamu temui pada bab ini adalah Jadi, volume tumpukan garam itu adalah 12.320 m3. • sisi alas Langkah 4 • selimut • garis pelukis Menentukan berapa truk yang diperlukan untuk mengangkut • luas permukaan garam adalah sebagai berikut. Banyak truk yang diperlukan • volume adalah 12.320 = 176. 70 Dengan demikian, diperlukan 176 truk untuk mengangkut tumpukan garam tersebut. 3. Volume Bola Untuk menentukan nilai hampiran volume bola, lakukanlah aktivitas berikut. 48 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 54. Tugas Aktivitas 1.1 untukmu Tujuan: Menentukan nilai hampiran volume bola. Kerjakan tugas ini secara berkelompok 1. Sediakan corong bola plastik yang dilubangi, dan model terdiri atas 4 atau 5 kerucut dari seng atau plastik dengan ukuran jari-jari dan orang (disesuaikan tinggi kerucut sama dengan ukuran jari-jari bola. (Alat ini dengan kondisi di kelas). Misalkan, volume sebuah disediakan oleh sekolah sebagai alat peraga). bola V. Jika panjang 2. Isilah model kerucut dengan air sampai penuh. Kemudian jari-jari bola menjadi dengan menggunakan corong, tuangkan seluruh air dalam 1 kali, 2 kali, dan 3 2 model kerucut itu ke dalam bola plastik. kali semula, tentukan 3. Lakukan langkah ke-2 beberapa kali sampai bola plastik volume bola itu setelah penuh berisi air. perubahan. Coba kamu terka suatu ketentuan 4. Berapa kali kamu dapat mengisi bola plastik sehingga bola umum mengenai rumus itu penuh berisi air? perubahan volume bola jika panjang jari-jarinya 5. Dari aktivitas ini, apa yang dapat kamu simpulkan? Buatlah berubah? laporannya. Amati Gambar 2.18 dengan saksama. Gambar 2.18(a) menunjukkan sebuah kerucut dengan ukuran jari-jari dan tingginya sama dengan ukuran jari-jari bola pada Gambar 2.18(b). r r Pr Gambar 2.18 a b Jika kerucut pada Gambar 2.18(a) diisi air sampai penuh, kemudian seluruh air dalam kerucut itu dituangkan Catatan ke dalam bola pada Gambar 2.18(b) maka akan didapat bahwa volume bola sama dengan empat kali volume kerucut. Pembuktian dari rumus 43 Peragaan tersebut menggambarkan bahwa V= r tidak diberikan 3 di buku ini. Pembuktian 12 r t. volume bola = 4 volume kerucut = 4 rumus tersebut akan 3 kamu pelajari di tingkat Ukuran tinggi kerucut sama dengan ukuran jari-jari pendidikan yang lebih tinggi. bola sehingga t = r. 1 4 r2 r = r3. Dengan demikian, volume bola = 4 3 3 Jadi, rumus volume bola adalah V = 4 r3 3 49 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 55. Siapa Dalam hal ini, V = volume bola Berani? r = jari-jari bola = 3,14 atau = 22 1. Sebuah wadah 7 berbentuk kerucut Contoh 2.7 diisi es krim, seperti gambar berikut. Diketahui jari-jari sebuah bola adalah 21 cm. Jika = 22 , 5 cm 1. 7 tentukanlah volume bola itu. 13 cm Penyelesaian: 43 4 22 4 22 213 = V= r= 9.261 = 38.808 Es krim bagian atas 3 3 7 3 7 membentuk setengah Jadi, volume bola itu adalah 38.808 cm3. bola. Jika semua 1 22 ruang wadah itu terisi Volume sebuah bola adalah 1.437 cm3. Jika = 2. , tentu- es krim, berapa mL es 3 7 krim yang ditampung kanlah panjang jari-jarinya. wadah itu? Penyelesaian: Petunjuk:1 cm3 = 1 mL 2. Gambar berikut 1 dan = 22 . Diketahui V = 1.437 memperlihatkan 3 7 sebuah bandul yang 43 1 4 22 dibentuk dari sebuah r3 V= r 1.437 = 3 3 3 7 kerucut dan setengah bola. 1 = 88 r3 1.437 3 21 r3 = 343 s r3 = 73 r = 7 t Jadi, panjang jari-jari bola itu adalah 7 cm. 3. Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam Diketahui jari-jari tabung berisi air sehingga permukaan air dalam tabung naik. kerucut panjangnya 3,5 cm. Jika volume Jika jari-jari alas tabung 10 cm, berapa sentimeter kenaikan kerucut sama dengan air dalam tabung tersebut? 1 1 kali volume Penyelesaian: 5 setengah bola, Amati Gambar 2.19. Misalkan, jari-jari bola r1 = 3 cm dan tentukan: a. tinggi kerucut; jari-jari tabung r2 = 10 cm maka volume bola = 4 r13. b. volume bandul. 3 Bentuk air yang naik mengikuti bentuk tabung sehingga volume air yang naik = r22t. Volume air yang naik = volume bola 43 43 r22t = r22t = r r 31 31 4 t 102t = (3)3 3 t = 36 = 0,36 Gambar 2.19 100 Jadi, tinggi air yang naik adalah 0,36 cm. 50 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 56. Tes Kompetensi 2.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. volume 7.850 cm3 sehingga diameter 1. Sebuah tabung diketahui mempunyai panjang diameter 20 cm dan tinggi 50 cm. kerucut sama dengan diameter tabung. Jika = 3,14, hitunglah volumenya. Jika = 3,14 dan diameter tabung 10 cm, 2. Volume sebuah bola 113,04 liter. Hitunglah hitunglah: panjang diameternya jika = 3,14. a. volume kerucut dan 3. Amati gambar berikut. b. panjang garis pelukis kerucut. 9. Selembar seng berbentuk juring lingkaran, seperti gambar berikut. 25 cm P Jika diameter alas kerucut adalah 30 cm 150° 22 dan = , tentukan volume kerucut 7 tersebut. 10 cm Volume sebuah tabung 88.704 cm3. Jika 4. tingginya 36 cm, hitunglah: Lembaran seng tersebut akan dibuat a. panjang jari-jari tabung dan kerucut tanpa alas. b. luas selimutnya. a. Hitunglah panjang jari-jari dan tinggi 5. Diameter bola sama dengan diameter kerucut. tabung, yaitu 7 cm. Jika tinggi tabung b. Jika kerucut tanpa alas itu diisi air 7 cm, hitunglah perbandingan volume sampai penuh, berapa mL air yang bola dan tabung itu. dapat ditampung? 6. Sebuah drum berbentuk tabung, di- 10. Untuk soal ini, gunakan = 3,14. 7 cm ketahui volumenya 3.388 liter dan 10 cm diameternya 14 dm. h cm dipotong 8 dm a b Diketahui sebuah mangkuk berbentuk setengah bola dengan jari-jari 10 cm Jika drum itu dipotong 8 dm (seperti seperti pada gambar (a). gambar di atas), berapa literkah volume a. Hitunglah volume mangkuk tersebut. drum setelah dipotong? b. Jika tabung pada gambar (b) mem- 7. Sebanyak 165 liter oli dituangkan ke punyai volume yang sama dengan dalam tangki berbentuk tabung ber- mangkuk, hitunglah nilai h. diameter 60 cm. Berapa cm kedalaman 11. Dari hasil yang kamu peroleh pada soal oli dalam tabung? nomor 10, tentukan ukuran jari-jari 8. Sebuah kerucut dimasukkan tepat ke dan tinggi tabung yang membuat luas dalam sebuah tabung yang mempunyai permukaan tabung paling kecil. 51 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 57. 12. Amati gambar berikut dengan saksama. b. volume air dalam pipa (dalam satuan liter). 300 mL 300 mL 300 mL 14. Sebuah bola besi dimasukkan ke dalam 200 mL 200 mL 200 mL bejana berbentuk tabung yang berisi air. Diketahui jari-jari bola dan jari-jari alas 100 mL 100 mL 100 mL bejana sama panjang, yaitu 4 cm, tinggi bola besi kubus bejana 10 cm, dan = 3,14. Tentukan volume kubus dan bola besi. Kemudian, tentukan jari-jari bola dan rusuk kubus. 13. Sebuah pipa dengan diameter 84 cm dan panjang 2,4 m dapat menampung air hujan dengan tinggi air 68 cm seperti 1 terlihat pada gambar. Jika volume air semula adalah volume 2,4 m 3 bejana, berapakah volume air setelah bola 68 cm dimasukkan ke dalam bejana? 84 cm 15. Diketahui volume tabung adalah 3.600 cm3. Tentukan panjang jari-jari dan tinggi Hitunglah: tabung yang mungkin. a. luas seluruh permukaan pipa yang berisi air; dan Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Tabung 3. Bola Luas permukaan: Luas permukaan: L = 4 r2 L = 2 r (t + r) r t Volume: Volume: V = r2t 43 r r V= 3 2. Kerucut Luas permukaan: L = r (s + r) s t Volume: r 12 P V= rt 3 Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. 52 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 58. Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai dengan 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi-materi yang sudah dan yang belum dipahami pada bab ini. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 2 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Di antara bangun ruang berikut, yang c. tabung memiliki dua sisi, dan satu titik sudut d. limas adalah .... 5. Sebuah tabung terbuka terbuat dari a. kerucut seng dengan jari-jari alasnya 14 cm, b. tabung tinggi 20 cm. Jika = 22 , luas seng c. bola 7 yang diperlukan untuk membuat d. prisma tegak 2. Bangun ruang yang mempunyai sisi tabung itu adalah .... lebih dari empat adalah .... a. 1.232 cm2 a. bola b. 1.496 cm2 b. tabung c. 1.760 cm2 c. kerucut d. 2.992 cm2 Ebtanas 1997 d. limas segi empat 6. Sebuah tangki berbentuk tabung ter- 3. Bangun ruang berikut yang tidak tutup mempunyai volume 2.156 cm3. mempunyai sisi lengkung adalah .... Jika panjang tangki 14 cm dan = 22 a. kerucut 7 b. tabung maka luas permukaan tangki tersebut c. bola adalah .... d. prisma tegak a. 4.312 cm2 4. Bangun ruang berikut yang tidak b. 924 cm2 mempunyai titik sudut adalah .... c. 3.696 cm2 a. kerucut d. 776 cm2 b. kubus Ebtanas 2000 53 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 59. 21,195 cm2 7. Pak guru akan membuat satu model a. 25,905 cm2 kerucut dari karton. Jika panjang garis b. 31,793 cm2 pelukisnya 12 cm, jari-jarinya 6 cm, c. 32,970 cm2 dan = 3,14, sedangkan karton yang d. Ebtanas 1999 tersedia 400 cm2, sisa karton yang 11. Gambar berikut memperlihatkan se- tidak terpakai adalah .... potong pipa berbentuk tabung ber- a. 63,50 cm2 lubang. b. 339,12 cm2 c. 400 cm2 2 cm 2 cm d. 60,88 cm2 8. Luas permukaan bola yang berdiameter 21 cm dengan = 22 adalah .... 14 cm 7 264 cm2 a. 462 cm2 b. 1.386 cm2 c. Jika = 22 , volume pipa tersebut 4.814 cm2 d. adalah .... 7 Ebtanas 2001 9. Sebuah pabrik akan memproduksi 250 a. 268 cm3 buah bola pingpong. Bola pingpong b. 294 cm3 tersebut berdiameter 4 cm ( = 3,14) c. 352 cm3 dan memerlukan biaya produksi se- d. 528 cm3 besar Rp18.840.000,00, harga bahan 12. Sebuah kerucut memiliki tinggi 30 bola pingpong tersebut per cm2-nya cm dan keliling alasnya 66 cm. Jika adalah .... = 22 , volume kerucut diketahui a. Rp1.000,00 7 b. Rp1.500,00 tersebut adalah .... c. Rp2.000,00 a. 13.860 cm3 d. Rp2.500,00 b. 10.395 cm3 c. 6.930 cm3 10. Gambar berikut menunjukkan sebuah d. 3.465 cm3 bandul padat yang terdiri atas belahan Ebtanas 2001 bola dan kerucut. 13. Sebuah corong berbentuk kerucut yang penuh berisi pasir diameternya 2 cm 6 m dan tingginya 3 m. Jika pasir 1,5 cm tersebut dipindahkan ke dalam se- buah wadah berbentuk kubus dan pasir yang tersisa 1.260 liter, panjang Alas kerucut berimpit dengan belahan rusuk kubus adalah .... bola. Jika = 3,14, luas permukaan bandul adalah .... 54 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 60. a. 5 m a. 5 cm b. 3 m b. 10 cm c. 2 m c. 15 cm d. 7 m d. 20 cm 14. Sebuah bola besi dimasukkan ke 18. Sebuah tabung yang mempunyai dalam air. Jika volume air 1.000 cm3 volume 9.240 cm3 penuh berisi air. Ke serta panjang jari-jari bola 5 cm, dalam tabung tersebut dimasukkan volume air sekarang adalah .... kerucut pejal. a. 476,67 cm3 b. 1.000 cm3 c. 1.523,33 cm3 d. 523,33 cm3 15. Sebuah kerucut berada di dalam setengah bola, seperti tampak pada gambar. Jika jari-jari dan tinggi kerucut sama dengan panjang jari-jari dan tinggi tabung maka sisa air dalam tabung adalah .... a. 2.310 cm3 Jika volume kerucut tersebut 4 liter, b. 3.080 cm3 sisa volume setengah bola (pada c. 4.620 cm3 gambar yang ditunjukkan oleh daerah d. 6.160 cm3 yang diarsir) adalah .... 19. Amati gambar berikut. a. 2 liter b. 3 liter 7m c. 4 liter d. 5 liter 16. Sebatang pipa berbentuk tabung 14 m dengan panjang 14 m. Jika keliling 1 22 alasnya 25 m dan π = , volume 7 7 7m pipa tersebut adalah .... a. 0,0704 m3 Gambar tersebut memperlihatkan b. 0,704 m3 sebuah tugu berbentuk tabung dan c. 0,1408 m3 setengah bola yang akan dicat. Jika d. 1,408 m3 setiap m2 memerlukan cat sebanyak 17. Jika luas permukaan sebuah bola 78 1 22 4 kg dan π = maka banyak cat 22 cm2 dan π = , panjang diameter 7 4 7 7 yang diperlukan adalah .... bola tersebut adalah .... 55 Bangun Ruang Sisi Lengkung
  • 61. Jika π = 3,14 maka volume benda a. 154 kg b. 231 kg pejal tersebut adalah .... a. 37,68 cm3 c. 462 kg b. 50,24 cm3 d. 539 kg c. 113,04 cm3 20. Sebuah benda berbentuk kerucut pejal d. 150,72 cm3 keliling alasnya 18,84 cm, panjang garis pelukisnya 5 cm. 5 cm t Pr 56 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 62. 3 Bab Sumber: www.suarapembaruan.com Statistika Pada bab ini, kamu akan diajak untuk melakukan pengolahan dan penyajian data dengan cara menentukan rata-rata, median, dan modus data tunggal serta penafsirannya, serta menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, dan lingkaran. A. Pengumpulan dan Kamu telah mempelajari cara menyajikan data dengan diagram Penyajian Data batang, garis, dan lingkaran di Sekolah Dasar. Pada bab ini, B. Ukuran kamu akan mempelajari statistika, yaitu pengembangan dari Pemusatan Data materi tersebut. Konsep statistika banyak digunakan dalam C. Ukuran kehidupan sehari-hari, seperti uraian berikut. Penyebaran Data Tabel berikut adalah gambaran pendidikan di Kabupaten Tabalong tahun 2005. D. Distribusi Frekuensi Jumlah Jumlah Jumlah No. Jenjang Sekolah Siswa Guru (buah) (orang) (orang) 1. TK 129 3.870 317 2. SD/SDLB 229 25.747 2.098 3. SMP/SMPLB 37 4.693 462 4. SMP Terbuka 7 432 68 5. SMA/SMALB 10 2.275 194 6. SMK 4 1.862 76 Sumber: www.disdik.tabalong.go.id Berdasarkan tabel, dapatkah kamu mencari mean dari jumlah guru dan siswa di tiap jenjang? Jika kamu menguasai konsep statistika, kamu akan dapat mengatasi kesulitan ini. Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik. 57
  • 63. Diagram Alur Statistika berhubungan dengan Pengolahan Pengukuran Data Data di antaranya di antaranya Ukuran Ukuran Pengumpulan Pemeriksaan Penyajian Pemusatan Data Data Data Data Penyebaran Data dalam bentuk terdiri atas terdiri atas diambil dari • Jangkauan • Mean • Populasi • Sampel • Kuartil • Median • Jangkauan • Modus Diagram Tabel Interkuartil • Simpangan Kuartil terdiri atas • Batang • Garis • Piktogram • Lingkaran Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Urutkan data berikut dari yang 3. Hitunglah nilai x pada terkecil. diagram lingkaran 98° 100° a. 21, 6, 17, 9, 15 di samping. b. –9, –12, 2, –5, 1 x° 2. Hitunglah: 70° 7 a. 360° 11 4. Pada pemilihan ketua kelas, Firdaus 3 b. 360° memperoleh 21% suara, Agus 47% 18 suara, dan Dadi 30% suara. Hitung berapa persen suara yang tidak memilih. 58 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 64. A. Pengumpulan dan Penyajian Data 1. Pengertian Datum dan Data Seorang guru ingin mengetahui berat badan dan tingkat kesehatan lima siswanya. Hasil pengukuran berat badan kelima siswa tersebut berturut-turut 42 kg, 45 kg, 40 kg, 50 kg, dan 44 kg. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan terhadap kelima siswa tersebut berturut-turut baik, buruk, baik, baik, dan buruk. Hasil pengukuran berat badan kelima siswa tersebut, Gambar 3.1 yaitu 42 kg, 45 kg, 40 kg, 50 kg, dan 44 kg disebut fakta Hasil pengukuran berat dalam bentuk angka, sedangkan hasil pemeriksaan kesehatan, badan merupakan contoh yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. data dalam bentuk angka. Fakta dalam bentuk kategori yang lain, misalnya kurang, sedang, rusak, dan puas. Selanjutnya, fakta tunggal disebut datum, sedangkan kumpulan datum disebut data. Contoh 3.1 Hasil ulangan Matematika 10 siswa Kelas IX A SMP Budikarya adalah sebagai berikut. 7 9 6 8 5 8 7 9 5 10 datum datum datum datum datum data Data tersebut terdiri atas 10 datum. Datum terbesar adalah 10, sedangkan datum terkecil adalah 5. 2. Pengertian Statistika, Populasi, dan Sampel Selama tiga minggu, seorang pedagang pakaian jadi mencatat jumlah pakaian yang terjual. Berdasarkan data tersebut diketahui bahwa penjualan pada minggu pertama sebanyak 100 kodi, minggu kedua sebanyak 105 kodi, dan minggu ketiga sebanyak 110 kodi. Pedagang tersebut memperkirakan penjualan pada minggu keempat sebanyak 115 kodi. Pedagang itu sebenarnya telah menggunakan statistika untuk menilai hasil pekerjaan di masa yang telah lewat dan Gambar 3.2 membuat perkiraan hasil pekerjaan pada masa yang akan datang. 59 Statistika
  • 65. Apakah yang dimaksud dengan statistika? Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara- cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan data tersebut. Kadang-kadang, kesimpulan diambil tidak berdasarkan keseluruhan data, tetapi hanya sebagian. Misalkan, Pak Alan akan membeli 25 kg anggur. Sebelum membeli, ia cukup mengambil beberapa anggur secara acak dari setiap keranjang untuk dicicipi rasanya. Jika rasanya manis, Pak Alan akan menganggap bahwa anggur yang akan dibeli manis, kemudian segera membelinya. Anggur yang diambil Sumber: Dokumentasi Penerbit Pak Alan untuk dicicipi merupakan sampel dari seluruh Gambar 3.3 anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu, sedangkan Anggur yang dibeli merupa- kan sampel dari seluruh seluruh anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu anggur yang ada di toko merupakan populasi. buah-buahan tersebut. Uraian tersebut menggambarkan pengertian populasi dan sampel, yaitu sebagai berikut. Populasi adalah semua objek yang menjadi sasaran pengamatan. untuk dijadikan objek pengamatan langsung dan dijadikan dasar dalam penarikan kesimpulan mengenai populasi. Contoh 3.2 Tentukan populasi dan sampel dari uraian berikut. populasi Seorang peneliti ingin mengetahui tingkat kecerdasan siswa-siswa sampel SMP di suatu provinsi. Untuk itu, ia mengambil beberapa siswa SMP di provinsi itu untuk dites. Penyelesaian: Seluruh siswa yang ada di provinsi itu merupakan populasi, sedangkan sebagian siswa SMP yang mengikuti tes merupakan sampel dari seluruh siswa yang ada di provinsi itu. Hubungan antara populasi dan sampel dapat kamu lihat pada Gambar 3.4. Semakin besar ukuran populasi, sampel semakin sulit mengamati seluruh populasi. Jika hal itu sampel terjadi, biasanya dipilih pengamatan pada beberapa sampel Gambar 3.4 dalam populasi. 60 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 66. 3. Jenis Data dan Pengumpulan Data InfoMatika Menurut sifatnya, data dibagi menjadi dua golongan, yaitu sebagai berikut. a. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. 1) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misalnya, data jumlah anak dalam keluarga. 2) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, data tinggi badan siswa. Coba kamu cari lagi contoh data kontinu lainnya. Gregor Mendel (1822–1884) b. Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka Gregor Mendel adalah atau bilangan. Misalnya, data warna dan mutu barang. seorang ahli botani Dapatkah kamu memberikan contohnya? dari Austria. Mendel merumuskan dasar- Cara untuk mengumpulkan data, antara lain wawancara, dasar hukum mengenai pengisian lembar pertanyaan (questionnaire), pengamatan sifat-sifat keturunan. Percobaannya dalam (observation), dan mengolah atau menggunakan data yang perkawinan silang sudah ada. tumbuhan memberikan pengaruh terhadap Seringkali data yang dikumpulkan berupa bilangan perkembangan ilmu desimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki, bilangan genetika. Ternyata, Mendel menggunakan tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya sebagai statistika untuk berikut. mengetahui sifat-sifat kacang polong yang a. Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari atau diturunkan dari satu sama dengan 5, angka yang di depannya ditambah satu. generasi ke generasi lainnya. b. Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, angka tersebut dihilangkan. Sumber: media.isnet.org Misalnya, diketahui hasil pengukuran kadar garam air laut sebesar 0,36205. Angka tersebut jika dibulatkan sampai dengan empat angka di belakang koma menjadi 0,3621, sedangkan jika dibulatkan sampai dengan dua angka di belakang koma menjadi 0,36. 4. Pemeriksaan Data Misalkan, seorang guru mencatat hasil ulangan Matematika seluruh siswanya. Sebelum mencari nilai rata-ratanya, ia perlu memeriksa untuk memastikan data yang diperolehnya tidak salah catat. Ia juga perlu memeriksa apakah ada nilai-nilai yang harus dibulatkan atau tidak. Kesalahan pencatatan 61 Statistika
  • 67. Tugas dan pembulatan data ini akan menyebabkan nilai rata-rata untukmu ulangan Matematika di kelas tersebut tidak sesuai dengan data yang sebenarnya. Berikut ini adalah data jumlah sekolah untuk 5. Penyajian Data Statistik berbagai jenjang di provinsi Kalimantan Timur, Jawa Barat, dan Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu: Maluku pada tahun 2000. a. daftar atau tabel; a. Kaltim: SD (2.047), b. grafik atau diagram. SMP (333), SMA (145), SMK (64) a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel b. Jawa Barat: SD (25.445), SMP Misalkan, hasil ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A (2.602), SMA (984), SMK (424) SMP X disajikan dalam tabel berikut. c. Maluku: SD (2.679), Tabel 3.1 Nilai Ulangan Matematika Siswa Kelas IX A SMP X SMP (451), SMA (Tidak Alfabetis) (156), SMK (26). Buatlah diagram batang 3 Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai komponen dari data tersebut. Vonny 8 Dodi 10 Tedi 7 Sumber: Statistik Indonesia, 2000 Popi 6 Uken 7 Yeni 8 Budhi 3 Iwan 5 Olga 5 Gilang 5 Cucu 4 Fera 5 Susi 7 Dani 4 Hedi 5 Lela 6 Adang 8 Wida 8 Qori 7 Bian 9 Mia 6 Andi 2 Cici 9 Kiki 6 Eko 6 Janu 5 Rudi 7 Zaid 8 Nani 6 Made 8 Untuk mengetahui berapa nilai ulangan yang diperoleh Made, kamu harus membaca data tersebut satu per satu. Untuk data pada Tabel 3.1 (30 datum), kamu masih dapat mencarinya dengan mudah walaupun memerlukan waktu yang cukup lama. Akan tetapi, bagaimana jika data yang ada terdiri atas 1.000 datum? Jika data pada Tabel 3.1 disajikan sesuai nama siswa yang disusun secara alfabet maka akan tampak seperti Tabel 3.2. Tabel 3.2 Nilai Ulangan Matematika Siswa Kelas IX A SMP X (Alfabetis) No Nama Nilai No Nama Nilai 1. Adang 8 7. Dani 4 2. Andi 2 8. Dodi 10 3. Bian 9 9. Eko 6 4. Budhi 3 10. Fera 5 5. Cici 9 11. Gilang 5 6. Cucu 4 12. Hedi 5 62 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 68. 13. Iwan 5 22. Qori 7 14. Janu 5 23. Rudi 7 15. Kiki 6 24. Susi 7 16. Lela 6 25. Tedi 7 17. Made 8 26. Uken 7 18. Mia 6 27. Vony 8 19. Nani 6 28. Wida 8 20. Olga 5 29. Yeni 8 21. Popi 6 30. Zaid 8 Tabel 3.3 Tabel Frekuensi Dengan melihat Tabel 3.2, kamu dapat menentukan Nilai Frekuensi dengan mudah nilai ulangan Matematika yang diperoleh 2 1 Made, yaitu 8. 3 1 Jika ingin mengetahui berapa orang yang memperoleh 4 2 nilai 8, kamu harus menyajikan data tersebut dengan 5 6 6 6 mencatat banyak nilai tertentu (frekuensi) yang muncul, 7 5 seperti diperlihatkan pada Tabel 3.3. Dengan demikian, 8 6 9 2 kamu dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 10 1 8 dengan sekali pandang, yaitu 6 orang. Jumlah 30 Ketiga cara penyajian data pada Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan Tabel 3.3 dinamakan penyajian data sederhana. Jika data hasil ulangan Matematika itu disajikan dengan Tabel 3.4 Tabel Distribusi Frekuensi cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel Nilai Turus/Tally Frekuensi frekuensi data berkelompok seperti Tabel 3.4. Tabel seperti 1–2 | 1 ini dinamakan tabel distribusi frekuensi. 3–4 ||| 3 b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram 5–6 |||| |||| || 12 7–8 |||| |||| | 11 Di Sekolah Dasar, kamu telah mengenal diagram batang, 9 – 10 ||| 3 garis, dan lingkaran. Pada bagian ini, materi penyajian data Jumlah 30 dengan diagram-diagram tersebut akan diulas kembali. Selain itu, akan dikenalkan cara penyajian data dengan piktogram. Banyak 1) Diagram Batang Siswa Diagram batang merupakan salah satu bentuk diagram yang 2.500 2.250 dapat digunakan untuk menyajikan data. Untuk meng- 2.000 gambar diagram batang, diperlukan sumbu mendatar dan 1.750 sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus, seperti tampak 1.500 pada Gambar 3.5. 1.250 a. Sumbu mendatar digunakan untuk menunjukkan jenis 1.000 kategori, misalnya SD, SMP, SMA, dan SMK. Tingkat SD SMP SMA SMK Sekolah b. Sumbu tegak digunakan untuk menunjukkan frekuensi, misalnya banyak siswa. Gambar 3.5 63 Statistika
  • 69. Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa bagian untuk menunjukkan kategori tingkat sekolah. Demikian pula sumbu tegaknya dibagi menjadi beberapa bagian untuk Tabel 3.5 Tabel Banyak Siswa menunjukkan banyak siswa pada setiap kategori tingkat Tingkat Banyaknya Siswa sekolah. Skala pada sumbu mendatar dan sumbu tegak tidak Sekolah (Frekuensi) perlu sama. SD 2.550 Misalnya, diagram batang pada Gambar 3.5 menunjuk- SMP 2.250 SMA 1.500 kan data banyak siswa tingkat SD, SMP, SMA, dan SMK di SMK 1.350 suatu daerah. Dari diagram batang tersebut dapat diperoleh Jumlah 7.650 data seperti pada Tabel 3.5. Contoh 3.3 Berdasarkan dari hasil pengamatan banyak siswa sesuai tingkatan sekolah di suatu daerah, diperoleh data seperti pada Tabel 3.6. Gambarlah diagram batang dari data tersebut. Tabel 3.6 Tabel Banyak Siswa Banyak Siswa Tingkat Sekolah Jumlah Laki-Laki Perempuan SD 1.700 1.300 3.000 SMP 1.700 1.050 2.750 SMA 750 650 1.400 SMK 825 700 1.525 Jumlah 4.975 3.700 8.675 Penyelesaian: Diagram batang dari data pada Tabel 3.6 tersebut tampak pada Gambar 3.4. Karena setiap kategori tingkat sekolah dibagi Banyak menjadi dua komponen, yaitu laki-laki dan perempuan maka Siswa diagram ini dinamakan diagram batang dua komponen. 1.700 1.700 Laki-laki 2) Diagram Garis 1.500 Perempuan 1.300 Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan keadaan yang berkesinambungan. Misalnya, jumlah penduduk 1.050 1.000 tiap tahun, perkembangan berat badan bayi tiap bulan, suhu 825 750 badan pasien tiap jam di rumah sakit, dan curah hujan di 700 650 suatu daerah. 500 Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar dan sumbu tegak yang Tingkat saling berpotongan tegak lurus. Pada umumnya, sumbu datar Sekolah SD SMP SMA SMK menunjukkan waktu, sedangkan sumbu tegak menunjukkan Gambar 3.6 data yang berubah menurut waktu. 64 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 70. Langkah-langkah untuk menggambar diagram garis 800 adalah sebagai berikut. 600 400 a. Buatlah sumbu mendatar untuk menunjukkan waktu 200 dan sumbu tegak untuk menunjukkan data yang berubah menurut waktu pada kertas grafik. Januari Maret Mei Juli b. Gambarkan titik-titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu tertentu. Curah Hujan (mm) c. Hubungkan titik-titik tadi secara berurutan dengan ruas garis. Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002 Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut. Gambar 3.7 Contoh diagram garis Contoh 3.4 dari curah hujan di Kota Bandung pada tahun 1996. Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan. Berat (kg) Tabel 3.7 Tabel Berat Badan Seorang Bayi 10 Usia (Bulan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 Berat Badan (kg) 3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 8,8 8,6 7 6 a. Buatlah diagram garisnya. 5 b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun? 4 3 c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap? 2 Penyelesaian: 1 a. Dengan melakukan langkah-langkah yang telah dijelaskan Usia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (bulan) sebelumnya, diagram garis dari data pada Tabel 3.7 tampak seperti pada gambar di samping. b. Berdasarkan diagram tersebut, dapat dilihat bahwa berat Uji Kecerdikan badan bayi menurun pada usia 8 sampai dengan 9 bulan. c. Berat badan bayi yang tetap (tidak berubah) ditunjukkan Kegiatan ekstrakurikuler yang diikuti oleh sebagian oleh ruas garis mendatar. Terlihat bahwa berat badan bayi siswa Kelas IX A SMP tetap pada usia 5 sampai dengan 6 bulan. Pelita adalah sebagai berikut. 15 orang mengikuti 3) Piktogram dan Diagram Lingkaran Paskibra, 10 orang mengikuti Pramuka, Salah satu cara yang sederhana dan jelas untuk menyajikan 20 orang mengikuti Olahraga, dan 5 orang suatu data adalah dengan menggunakan piktogram, yaitu tidak mengikuti kegiatan suatu bagan yang menampilkan data dengan menggunakan ekstrakurikuler. a. Gambarlah diagram gambar-gambar. Jika di suatu daerah tercatat data banyak lingkaran dari data siswa SD maka banyak siswa SD tersebut dapat ditampilkan tersebut. b. Bagaimana dalam bentuk gambar orang. Misalnya, satu gambar orang sikapmu terhadap melambangkan 1.000 siswa SD. Jika di daerah itu terdapat siswa yang tidak mengikuti kegiatan 500 siswa SD, data tersebut ditampilkan sebagai setengah ekstrakurikuler? gambar orang. Bagaimana jika terdapat 2.500 siswa SD? Coba kamu perkirakan piktogramnya. 65 Statistika
  • 71. Contoh 3.5 Banyak siswa di Kecamatan Sukajaya menurut tingkat sekolah pada tahun 2006 adalah sebagai berikut. SD sebanyak 10.000 siswa, SMP sebanyak 7.500 siswa, SMA sebanyak 5.000 siswa, dan SMK sebanyak 2.500 siswa. Gambarlah piktogram dari data tersebut. Penyelesaian: Misalkan, satu gambar orang mewakili 1.000 orang maka piktogram dari data tersebut tampak pada Gambar 3.8. SMK Gambar 3.8 SD SMP SMA Salah satu kekurangan menyajikan data dengan piktogram adalah sulitnya membedakan setengah gambar Pangsa Pasar Semen Domestik (%) dengan dua pertiga gambar. Oleh karena itu, penggunaan Holcim Indonesia lain-lain piktogram sangat terbatas. 12,7 10,3 Dalam hal seperti ini, penggunaan diagram lingkaran akan lebih jelas daripada piktogram, terutama dalam mem- bandingan suatu data terhadap keseluruhan. Contoh diagram lingkaran diperlihatkan pada Gambar 3.9. PT. Indocement TP PT. Semen Gresik Langkah-langkah membuat diagram lingkaran adalah 30,5 46,5 sebagai berikut. Sumber: Koran Tempo, Maret 2007 a. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas. Gambar 3.9 b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring Contoh diagram lingkaran lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat. Tugas Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut. untukmu Contoh 3.6 Buatlah kelompok yang terdiri atas lima siswa. Carilah informasi tentang Gambarlah diagram lingkaran dari data yang terdapat pada cara menggunakan Contoh 3.5. program Microsoft Excel Penyelesaian: untuk menyajikan data ke dalam diagram batang, Perbandingan banyak siswa SD, SMP, SMA, dan SMK adalah garis, dan lingkaran. 10.000 : 7.500 : 5.000 : 2.500 = 4 : 3 : 2 : 1. Tuliskan informasi yang Jumlah perbandingan = 4 + 3 + 2 + 1 = 10. diperoleh kelompokmu dalam bentuk laporan. Ukuran sudut pusat juring dari setiap kategori adalah sebagai Presentasikan hasilnya di berikut. depan kelas. 66 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 72. 4 2 SD = 360° = 144° SMA = 360° = 72° 10 10 SD 40% 3 1 SMK SMP = 360° = 108° SMK = 360° = 36° 144° 10% 10 10 36° Jika kamu ingin mengetahui persentase dari setiap kategori, 72° 108° SMA caranya sebagai berikut. SMP 20% 30% 4 2 SD = 100% = 40% SMA = 100% = 20% 10 10 3 1 Gambar 3.10 SMP = 100% = 30% SMK = 100% = 10% 10 10 Dengan menggunakan ukuran sudut pusat yang diperoleh, diagram lingkaran yang dihasilkan tampak pada Gambar 3.10. Tes Kompetensi 3.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Seseorang ingin mengetahui kadar garam 5. Hasil penjualan buku pelajaran di sebuah dalam sebuah kolam ikan. Tentukan toko buku menurut tingkat sekolah pada populasi dan sampel yang mungkin. tahun 2006 adalah sebagai berikut. 2. Jelaskan cara-cara pengumpulan data dan Buku SD = 70.000 eksemplar. berikan contohnya. Buku SMP = 76.500 eksemplar. 3. Jelaskan keuntungan dan kerugiannya Buku SMA = 72.500 eksemplar. jika seseorang melakukan penelitian atau Buku Perguruan Tinggi = 56.000 pengukuran terhadap suatu objek dengan eksemplar. cara mengambil a. Buatlah tabel frekuensi dari data a. populasi; tersebut. b. sampel. b. Buatlah diagram batangnya. 4. Banyaknya siswa di suatu SMP dari 6. Misalnya, suatu data mengenai banyaknya siswa di daerah D menurut tingkat sekolah tahun 1997 sampai dengan tahun 2006 adalah sebagai berikut. berdasarkan hasil penelitian tahun 2006 Tahun 1997 sebanyak 650 orang. adalah sebagai berikut. Tahun 1998 sebanyak 640 orang. 35% terdiri atas siswa SD. Tahun 1999 sebanyak 660 orang. 30% terdiri atas siswa SMP. Tahun 2000 sebanyak 670 orang. 25% terdiri atas siswa SMA. Tahun 2001 sebanyak 685 orang. 10% terdiri atas siswa SMK. Tahun 2002 sebanyak 680 orang. a. Buatlah diagram lingkaran dari data Tahun 2003 sebanyak 700 orang. tersebut. Tahun 2004 sebanyak 715 orang. b. Jika jumlah siswa SD sebanyak 600 Tahun 2005 sebanyak 730 orang. orang, hitunglah jumlah siswa: Tahun 2006 sebanyak 730 orang. (i) SMP; a. Buatlah tabel frekuensi dari data (ii) SMA; tersebut. (iii) SMK. b. Buatlah diagram garisnya. 67 Statistika
  • 73. 7. Suatu data mengenai jumlah penduduk Diagram tersebut memperlihatkan jumlah di suatu daerah menurut mata penca- produksi gas dan minyak bumi dalam ribuan m3 pada tahun 2002 sampai dengan hariannya, yaitu petani 45%, guru 20%, pedagang 25%, dan wiraswastawan 10%. tahun 2006. a. Buatlah diagram lingkarannya. Berdasarkan diagram tersebut, jawablah b. Jika jumlah penduduk di daerah pertanyaan berikut. a. Berapa m3 produksi gas yang paling tersebut sebanyak 200 orang, hitung- lah banyaknya penduduk berdasarkan banyak? Tahun berapa? mata pencahariannya masing-masing. b. Kapan produksi gas dan minyak 8. Berikut ini diagram garis penjualan telur bumi mengalami penurunan? Kira- seorang pedagang di pasar induk pada kira berapa persen penurunannya? bulan Januari 2006–Juni 2006. c. Kapan produksi minyak bumi meng- alami kenaikan paling besar? Kira- Jumlah Telur Terjual (kg) kira berapa persen kenaikannya? 2.500 d. Dapatkah kamu memperkirakan 2.000 berapa m3 produksi gas dan minyak 1.500 bumi pada tahun 2007? 1.000 10. Banyaknya kendaraan bermotor rakitan 500 (Bulan) 2006 (dalam unit) dari tahun 1995 sampai Jan Feb Mar Apr Mei Jun dengan tahun 1998 tercatat sebagai a. Pada bulan apakah penjualan telur berikut. paling banyak? Tahun Jenis b. Pada bulan apakah penjualan telur Kendaraan 1995 1996 1997 1998 pedagang itu mengalami penurunan? jeep 6.079 5.598 4.081 1.257 c. Pada bulan apakah penjualan telur sedan 39.839 35.303 55.102 8.401 pick up 275.552 220.681 267.367 43.194 pedagang itu mengalami kenaikan? bus 48.020 52.761 49.958 4.699 d. Tentukan jumlah telur yang terjual truk 18.051 11.151 12.771 528 selama 6 bulan (dari Januari 2006– motor 1.042.938 1.425.373 1.861.111 519.404 Jumlah 1.430.479 1.750.867 2.250.390 577.483 Juni 2006). Sumber: Statistik Indonesia, 2000 9. Perhatikan diagram berikut. a. Buatlah diagram garis kendaraan bermotor rakitan dalam negeri 100.000 selama tahun 1995–1998 untuk 80.000 keenam jenis kendaraan. 60.000 b. Pada tahun berapakah perakitan 40.000 kendaraan paling banyak? 20.000 c. Jenis kendaraan apakah yang paling 2002 2003 2004 2005 2006 banyak dirakit selama tahun 1995– Minyak Bumi Gas 1998? 68 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 74. B. Ukuran Pemusatan Data 1. Mean (Rataan) Mean atau rataan merupakan salah satu ukuran pemusatan Tugas data. Dengan mengetahui mean, kamu dapat memperkirakan untukmu variasi data yang lain. Mean biasanya dinotasikan dengan Carilah data sampel di huruf yang di atasnya terdapat garis, seperti x , y , dan v . sekolahmu mengenai Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi usia dan tinggi badan siswa Kelas VII, VIII, dan oleh banyak datum. IX. Kemudian, buatlah Jika data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ..., xn, maka masing-masing diagram batang untuk data mean dari data tersebut ditentukan oleh rumus berikut. usia dan tinggi badan tersebut, serta tentukan: mean ( x ) = jumlah datum = x1 x 2 ... xn a a. usia siswa yang paling banyak; n banyak datum a a b. rata-rata tinggi badan siswa. Contoh 3.7 Kerjakan dalam kertas terpisah, kemudian kumpulkan pada gurumu. Nilai rapor Wina adalah 8, 7, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9, 6, 7. Tentukan mean atau rataannya. Penyelesaian: x = jumlah datum a banyak datum a a 8 7 7 9 8 6 7 8 9 6 7 = 7,45 = 11 Jadi, mean (rataan) nilai rapor Wina adalah 7,45. Jika data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka Tabel 3.8 Tabel Distribusi Frekuensi tampak seperti Tabel 3.8. Nilai Frekuensi Mean dari data tersebut adalah ( xi ) ( fi ) f 1 x1 f 2 x2 f 3 x 3 ... f i xi x= . x1 f1 f1 f 2 f3 fi x2 f2 Contoh 3.8 x3 f3 . . . . Siswa kelas IX B mengikuti ujian Sains. Distribusi nilai ujian . . yang diperoleh disajikan pada tabel berikut. xi fi Nilai ( xi ) 4 5 6 7 8 9 Frekuensi ( fi ) 2 8 10 10 7 3 Hitunglah meannya. 69 Statistika
  • 75. Penyelesaian: f 1 x1 f 2 x2 f 3 x3 ... f 6 x6 x= f1 f 2 f3 f6 x = (4 )( )( )( )( )( ) 2 8 10 10 7 3 = 261 = 6,525 40 Jadi, meannya adalah 6,525. Siapa Berani? Contoh 3.9 Lamanya pembicaraan melalui telepon (dalam Jika berat badan rata-rata dari tabel berikut adalah 47, tentukan menit) pada suatu hari nilai p. yang dilakukan oleh seorang manajer suatu perusahaan tercatat Berat Badan 44 45 46 47 48 49 50 sebagai berikut 4, 3, 8, 5, 11, 9, 3, 16, 5, Frekuensi 4 3 6 6 2 p 4 15, 9, 11, 12, 9, 10, 8, 7, 5, 4, 8. Penyelesaian: Tentukan mean dari data f 1 x1 f 2 x 2 ... f 7 x7 tersebut. x= f1 f 2 ... f7 ( 44 4) (4 ) (4 6) ( 4 ) ( 4 2) ( 4 p ) (50 4) 5 47 = 43662p4 1.165 49 p 47 = 1175 + 47p = 1165 + 49p 25 p 2p = 10 p=5 Jadi, nilai p adalah 5. Siapa Sekarang, lakukan aktivitas berikut bersama kelompok Berani? belajarmu. Dalam satu tahun, Aktivitas 3.1 sebuah mobil telah menempuh jarak Tuliskan sepuluh datum x1, x2, x3, ..., x10. 1. sepanjang 14.250 km dan menghabiskan bensin Misalkan, mean dari data itu adalah x . Hitunglah x . 1.500 liter. 2. Tambahkan setiap datum pada langkah ke-1 dengan bilangan a. Untuk setiap satu bulat sebarang p sehingga diperoleh data x1 + p, x2 + p, x3 + p, ..., liter bensin, hitunglah rata-rata jarak yang x10 + p. Misalkan, mean dari data ini adalah w. Hitunglah w. ditempuh mobil. 3. Lakukan langkah ke-1 dan ke-2 untuk data yang lain dan b. Untuk menempuh jarak 142,5 km, nilai p yang lain. Coba kamu selidiki apakah w = x + p? hitunglah berapa 4. Kalikan setiap datum pada langkah ke-1 dengan bilangan liter bensin yang bulat sebarang q sehingga diperoleh data qx1, qx2, qx3, ..., qx10. dibutuhkan mobil itu. Misalkan, mean dari data ini adalah y . Hitunglah y . 70 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 76. 5. Lakukan langkah ke-1 dan ke-4 untuk data yang lain dan nilai q yang lain. Coba kamu selidiki apakah y = q x ? 6. Kalikan setiap datum pada langkah ke-1 dengan bilangan bulat q. Kemudian, tambahkan dengan bilangan bulat p sehingga diperoleh data qx1 + p, qx2 + p, qx3 + p, ..., qx10 + p. Misalkan, mean dari data ini adalah z . Hitunglah z . 7. Lakukan langkah ke-1 dan ke-6 untuk data yang lain dan nilai p dan q yang lain. Coba kamu selidiki apakah z = q x + p? Siapa Berani? Hasil Aktivitas 3.1 memperjelas sifat berikut. Diketahui data x1, x2, x3, ..., xn dengan mean x . Mean gaji bruto per 1. Jika setiap datum ditambahkan dengan bilangan bulat bulan karyawan sebuah perusahaan adalah sebarang p maka diperoleh data x1+ p, x2 + p, x3 + p, ..., Rp1.200.000,00. Bulan xn + p dengan mean w = x + p. depan, setiap karyawan memperoleh kenaikan 2. Jika setiap datum dikalikan dengan bilangan bulat gaji sebesar 15%. sebarang q maka diperoleh data qx1, qx2, qx3, ..., qxn dengan Berapa mean gaji bruto per bulan karyawan mean y = q x . perusahaan tersebut 3. Jika setiap datum dikalikan q, kemudian ditambahkan p setelah kenaikan? maka diperoleh data qx1 + p, qx2 + p, qx3 + p, ..., qxn + p dengan mean z = q x + p. Contoh 3.10 Mean nilai ujian Matematika siswa Kelas IX A adalah 4,8. Oleh Tugas karena meannya terlalu kecil, setiap siswa memperoleh tambahan untukmu nilai 2. Berapakah mean nilai ujian yang baru? Penyelesaian: Tunjukkan bahwa rumus berikut berlaku untuk Diketahui: Mean mula-mula adalah x = 4,8 dan p = 2. menyelesaikan Ditanyakan: Mean baru w. Contoh 3.11(2). Pengerjaan: w = x + p = 4,8 + 2 = 6,8 n xlama xa xbaru = Jadi, mean nilai ujian yang baru adalah 6,8. n1 dengan n = banyak datum Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing xlama = nilai rata-rata dari n datum meannya diketahui, kamu dapat menghitung mean gabungan xbaru = nilai rata-rata dari dari kelompok-kelompok data tersebut, seperti berikut. (n – 1) datum xa = nilai salah satu Misalnya, datum yang tidak kelompok data ke-1 memiliki mean x1 ; dimasukkan dalam perhitungan kelompok data ke-2 memiliki mean x 2 ; Tulislah langkah- . langkahnya pada kertas . terpisah, kemudian . kumpulkan kepada gurumu. kelompok data ke-i memiliki mean xi ; 71 Statistika
  • 77. Tabel 3.9 maka mean gabungannya x gab adalah sebagai berikut. ni x n1 x1 n2 x 2 ... ni xi , i = 1, 2, 3, x gab = 35 6 n1 n2 ... ni 30 7 ... 40 6,5 dengan ni = banyak datum pada kelompok data ke-i dan 105 n1 + n2 + ... + ni = jumlah total datum. Contoh 3.11 TechnoMath 1. Data nilai rata-rata ulangan umum Matematika disajikan Perhitungan mean dapat pada Tabel 3.9. Nilai rata-rata Matematika dari 35 siswa Kelas dilakukan dengan bantuan IX A adalah 6. Nilai rata-rata Matematika dari 30 siswa Kelas kalkulator. Kalkulator yang digunakan adalah IX B adalah 7. Nilai rata-rata Matematika dari 40 siswa Kelas kalkulator scientific, seperti IX C adalah 6,5. Tentukan nilai rata-rata gabungannya. fx-3600Pv. Penyelesaian: Diketahui n1 = 35, n2 = 30, n3 = 40, x1 = 6, x 2 = 7, dan x 3 = 6,5 sehingga ( )( ) ( )( ) ( 4 )( , 5) = 680 = 6,48 x gab = 35 30 40 105 Jadi, nilai rata-rata gabungannya adalah 6,48. Untuk menghitung mean Coba periksa hasil ini dengan menggunakan kalkulator. dengan kalkulator, kamu 2. Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 40 siswa Kelas IX A harus menset kalkulator pada fungsi statistika adalah 51. Jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidak dengan menekan tombol dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut, tentukan MODE 3. nilai rata-rata ujian yang baru. Misalnya, diketahui data Penyelesaian: nilai ujian Matematika 5 orang siswa sebagai Langkah 1 berikut. Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal 6, 7, 5, 8, 8. tersebut. Untuk menentukan meannya, simpan data-data Diketahui: Jumlah siswa = 40 orang. tersebut dalam memori Nilai rata-rata, x = 51. kalkulator dengan menekan Ditanyakan: Nilai rata-rata ujian yang baru jika seorang tombol-tombol berikut. siswa mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam per- SHIFT KAC 6 hitungan rata-rata tersebut. DATA 7 Langkah 2 DATA 5 DATA 8 Tentukan strategi yang akan digunakan untuk menyelesaikan DATA 8 DATA . soal tersebut. Kamu harus terlebih dahulu menghitung jumlah Kemudian, untuk nilai dari 40 orang siswa. Kemudian, mensubstitusikan nilai menentukan meannya, tekan yang diperoleh pada nilai rata-rata ujian yang baru. SHIFT x. Langkah 3 Hasilnya adalah 6,8. Selesaikan soal dengan menggunakan strategi yang telah Bandingkanlah dengan ditentukan. hasil perhitunganmu secara manual. x1 x 2 ... x 40 x= = 51 40 72 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 78. Tugas x1 + x2 + ... + x40 = 51 × 40 = 2.040 untukmu Nilai rata-rata ujian yang baru adalah ( x1 x 2 ... x 40 ) 90 2.040 90 1.950 Lakukan tugas ini secara xbaru = = = = 50 39 39 39 berkelompok. Kerjakan dalam kertas terpisah, Jadi, nilai rata-rata ujian yang baru adalah 50. kemudian kumpulkan Langkah 4 pada gurumu. Periksa kembali jawaban yang telah diperoleh. Caranya, 1. Carilah harga 5 jenis rokok per bungkus hitung nilai x1 + x2 + ... + x40, apakah nilainya sama dengan dengan merek yang 2.040 atau tidak? Jika sama, berarti jawabannya benar. berbeda. Hitung harga rata-rata sebatang ( x1 x 2 ... x 40 ) 90 xbaru = rokok dari setiap 39 jenisnya. ( x1 x 2 ... x 40 ) 90 2. Ayah Pandi mengisap 50 = rokok rata-rata 30 39 batang per hari. x1 + x2 + ... + x40 – 90 = 50 × 39 Gunakan harga x1 + x2 + ... + x40 = 1.950 + 90 rata-rata per batang x1 + x2 + ... + x40 = 2.040 salah satu jenis rokok pada nomor 1 untuk Terbukti bahwa jawaban yang diperoleh benar. menghitung biaya pembelian rokok yang dikeluarkan ayah Pandi 2. Median (Nilai Tengah) selama 1 tahun. Menurutmu, barang- barang apakah yang Sama halnya dengan mean, median juga merupakan ukuran dapat dibeli ayah Pandi pemusatan data yang digunakan untuk menganalisis data. dengan uang yang telah digunakan untuk membeli Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan rokok tersebut? dari datum terkecil ke terbesar. (1) Telepon genggam (2) TV berwarna Jika banyak datum ganjil, mediannya adalah datum (3) Lemari es yang tepat berada di tengah data setelah diurutkan. Datum (4) Radio tape Meninggalkan kebiasaan ini tepat membagi data menjadi dua kelompok datum yang merokok merupakan ide sama banyak. Jika banyak datum genap, mediannya adalah yang baik. Bagaimana pendapatmu? mean atau rata-rata dari dua datum yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan. Median biasanya dinotasikan dengan Me. Contoh 3.12 Tentukan median dari bilangan-bilangan berikut. a. 6, 4, 8, 9, 3, 8, 5, 9, 7. b. 71, 74, 70, 72, 69, 80, 76, 81, 71, 68, 75, 73. Penyelesaian: a. Urutkan dahulu data tersebut dari datum terkecil ke datum terbesar sehingga diperoleh bagan berikut. 3 4 5 6 7 88 99 empat datum empat datum median = 7 73 Statistika
  • 79. Oleh karena banyak datum ganjil maka mediannya adalah datum yang tepat berada di tengah data. Jadi, mediannya adalah 7. b. Urutkan dahulu data tersebut dari datum terkecil ke datum terbesar sehingga diperoleh bagan berikut. 68 69 70 71 71 72 73 74 75 76 80 81 lima datum lima datum median = = 72,5 72 73 2 Oleh karena banyak datum genap maka mediannya adalah rata-rata dua datum yang di tengah. Jadi, mediannya adalah 72,5. Contoh 3.12 menggambarkan ketentuan berikut. 1) Jika banyak datum yang telah diurutkan ganjil (n ganjil) maka n+1 Me = x n 1 dat ke- tum e 2 2 Misalnya, pada Contoh 3.12(a) Me = x n 1 = x 9 1 = x 10 = x5 = 7 2 2 2 Jadi, mediannya adalah datum ke-5 setelah data tersebut diurutkan, yaitu 7. 2) Jika banyak datum yang telah diurutkan genap (n genap) Siapa x x Berani? n n 1 2 2 maka Me = . 2 Diketahui data sebagai Nilai tersebut menunjukkan mean dari dua datum berikut. yang terletak di tengah setelah data diurutkan, yaitu 10, 6, 6, 8, 5, 8, p, 7. Tentukan nilai p jika n dan datum ke- n 1 . mediannya 6,5. mean dari datum ke- 2 2 Misalnya, pada Contoh 3.12(b) x x x x 12 12 n n 1 1 2 2 2 2 Me = = 2 2 x6 x7 = 72 73 = 2 2 = 72,5 Jadi, mediannya adalah 72,5. Bagaimana cara menentukan median dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi? 74 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 80. Pada prinsipnya, menentukan median dari data seperti ini sama saja dengan yang telah kamu pelajari. Dengan mempelajari contoh berikut, kamu pasti dapat menemukan Uji Kecerdikan caranya. Diketahui data seperti Contoh 3.13 berikut. 2 , 5, 4, p, 3, 3, 1 p, 7, 3 2 Tentukan median dari data pada Tabel 3.10 dan Tabel 3.11. 8, 2p – 4, 3, dan 6. Tabel 3.10 Tabel Distribusi Tabel 3.11 Tabel Distribusi Jika mean = 5, Frekuensi Frekuensi a. tentukan nilai p; b. tentukan median dari Nilai Frekuensi Nilai Frekuensi data tersebut. 4 3 4 3 5 9 5 4 6 8 6 10 7 10 7 8 8 6 8 3 9 4 9 1 Penyelesaian: a. Banyak datum pada Tabel 3.10 adalah 29 (jumlah total frekuensi), berarti banyak datumnya ganjil. Oleh karena itu, mediannya adalah datum yang tepat berada pada urutan ke- n 1 = urutan ke- 29 1 = urutan ke-15. 2 2 Berdasarkan Tabel 3.10 diketahui: 1. datum ke-1 sampai dengan ke-3 adalah 4 (interval ke-1); 2. datum ke-4 sampai dengan ke-7 adalah 5 (interval ke-2); InfoNet 3. datum ke-8 sampai dengan ke-17 adalah 6 (interval ke-3). Kamu dapat menambah Oleh karena datum ke-15 terletak pada interval ke-3 maka wawasanmu tentang materi datum ke-15 tersebut adalah 6. dalam bab ini dari internet Jadi, median dari data pada Tabel 3.10 adalah 6. dengan mengunjungi alamat: b. Coba kamu cari median data pada Tabel 3.11. kur2003.if.itb.ac.id/ file/CN%20IF2152%20 distribusi%20peluang%20 3. Modus kontinu.pdf Pada bagian sebelumnya, kamu telah belajar tentang ukuran pemusatan data, yaitu mean dan median. Ukuran pemusatan data berikutnya adalah modus. Datum-datum yang menyusun suatu data tentu bervariasi. Ada datum yang muncul hanya sekali. Ada juga datum yang muncul lebih dari sekali. Datum yang paling sering muncul dinamakan modus dan biasanya dinotasikan dengan Mo. 75 Statistika
  • 81. Contoh 3.14 Catatan Tentukan modus dari setiap data berikut. 1. • Jika frekuensi (banyak a. 4, 6, 3, 7, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 9, 6. setiap datum) dalam suatu data sama b. 12, 10, 8, 10, 9, 7, 8, 6, 5. maka data tersebut c. 6, 6, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 4, 4, 10, 10, 3, 3, 2, 2. tidak memiliki modus. Penyelesaian: Contoh: 10, 9, 8, 1, 2, 3, 4, 6. a. Datum yang paling sering muncul adalah 6, yaitu • Jika suatu data sebanyak empat kali. Jadi, modusnya adalah 6. memiliki modus lebih dari dua maka data b. Datum yang paling sering muncul adalah 8 dan 10, yaitu tersebut disebut sebanyak dua kali. Dengan demikian, modusnya ada polimodal. dua, yaitu 8 dan 10. Data yang memiliki dua modus Contoh: 1, 2, 2, 3, 1, 4, 5, 3, disebut bimodal. 6, 4, 8, 7, 9. c. Data ini tidak memiliki modus karena frekuensi setiap Data ini memiliki datumnya sama banyak. empat modus, yaitu 1, 2, 3, dan 4. 2. Data berikut memiliki mean 5,6. 9, p, 6, 4, 3, 5, q, 5, 7, 4. Hitunglah nilai p + q. Jika data itu memiliki modus 5, tentukan: a. nilai p dan q; b. median. Penyelesaian: 9 p6435q574 x= 10 43 p q 5,6 = 10 56 = 43 + p + q p + q = 13 Tanpa memperhatikan nilai p dan q, modus dari data a. itu adalah 4 dan 5. Diketahui modus data adalah 5 sehingga nilai p yang mungkin adalah 5. Untuk p = 5 maka p + q = 13 5 + q = 13 q =8 Jadi, nilai p = 5 dan q = 8. b. Untuk menentukan median, data diurutkan sebagai berikut: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9 Me Me = 5 5 = 5 2 Jadi, mediannya adalah 5. 76 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 82. Tugas Contoh 3.15 untukmu Tentukan modus dari data pada Tabel 3.12 1. Kerjakan bersama teman sebangkumu. Carilah Tabel 3.12 Tabel Distribusi Frekuensi informasi tentang cara menghitung ukuran Nilai Frekuensi pemusatan untuk 5 3 data tunggal dengan 6 4 menggunakan kalkulator. 7 4 Kemukakan informasi 8 9 yang kamu peroleh 9 5 tersebut di depan kelas. 10 5 Demonstrasikan pula cara menggunakan kalkulator Penyelesaian: untuk menghitung mean, Datum yang memliki frekuensi terbanyak adalah 8 dengan median, dan modus pada contoh-contoh soal pada frekuensi 9. bab ini di depan kelas. Jadi, modus dari data pada Tabel 3.12 adalah 8. 2. Data pada Tabel 3.13 memiliki rata-rata 7,1. Tentukan modus dari data tersebut. Tabel 3.13 Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Frekuensi 5 5 6 10 7 9 8 p 9 4 10 2 Penyelesaian: Sebelum menentukan modus dari data pada Tabel 3,13, kamu harus mengetahui nilai p terlebih dahulu. 5 5 6 10 7 9 8p 9 4 10 2 x 5 10 9 p 4 2 25 60 63 8p 36 20 7, 1 30 p 204 8p 7, 1 30 p 213 + 7,1 p = 204 + 8p 0,9p = 9 p = 10 Datum yang memiliki frekuensi terbanyak adalah 6 dan 8 dengan fekuensi 10. Jadi, modus dari data pada Tabel 3.13 adalah 6 dan 8. 77 Statistika
  • 83. Tes Kompetensi 3.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Tentukan mean, median, dan modus dari 6. Nilai rata-rata hasil ulangan Fisika dari 39 murid adalah 6,5. Jika seorang anak setiap data berikut. mengikuti ulangan susulan, nilai rata-rata a. 8, 5, 6, 8, 7, 8, 9, 6, 8, 9, 8, 4, 5 tersebut menjadi 6,56. Berapakah nilai b. 6, 4, 7, 5, 10, 3, 6, 8, 7, 2, 7, 6 murid yang mengikuti ulangan susulan? 2. Hasil ulangan Matematika dari siswa 7. Waktu rata-rata hasil tes lari 100 m dari Kelas IX B tercatat sebagai berikut. 45 siswa adalah 15 sekon. Jika seorang 683565947 siswa terlambat mengikuti tes tersebut 893473778 dan ketika dites waktu yang tercatat 12 7 4 5 3 5 5 8 9 10 sekon, berapakah waktu rata-rata dari 46 2 10 4 10 2 3 4 6 9 siswa tersebut? 6696 8. Seorang siswa dinyatakan lulus apabila a. Buatlah tabel frekuensinya. nilai ujiannya lebih dari nilai rata-rata b. Tentukan mean, median, dan modus dikurangi 0,1. Jika hasil ujian dari peserta dari data tersebut. tes tampak pada tabel berikut, tentukan 3. Berdasarkan hasil sembilan kali ulangan jumlah murid yang lulus. pada Semester 1, Sani mendapat nilai Nilai Ujian 54 55 56 57 58 59 60 65 70 7, 4, 5, 4, 6, 5, 8, 7, dan 5. Ukuran Frekuensi 8 4 7 6 5 4 3 2 1 pemusatan data (mean, median, atau 9. Berikut ini adalah catatan waktu 10 pe- modus) manakah yang menguntungkan renang dalam final gaya bebas 100 m. Sani apabila nilai tersebut akan dipilih untuk menentukan nilai rapornya? Berilah Perenang Catatan Waktu (detik) penjelasan dari setiap jawabanmu. A 57 B 49 4. Berikut ini adalah diagram garis pen- C ... D 53 jualan sepeda motor dari sebuah dealer E 58 pada tahun 2006. F 58 G 53 H ... 18 I 52 J 59 16 Jika waktu rata-rata dari 10 perenang 14 Unit adalah 54 detik dan perenang H lebih 12 cepat 1 detik dari perenang C, tentukan: 10 a. catatan waktu s perenang H dan C; 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 b. siapakah yang menjadi juara? (Bulan ke-) 10. Tabel berikut memperlihatkan distribusi Tentukan mean, median, dan modus dari frekuensi yang salah satu frekuensinya data tersebut. belum diketahui. 5. Jika berat badan rata-rata dari tabel berikut Data Frekuensi Tentukan rata-rata 47 kg, tentukan nilai p. 0 1 hitung yang mungkin 2 3 dari data tersebut. 3 2 Berat Badan (kg) 44 45 46 47 48 49 50 4 ? 5 1 Frekuensi 4 3 6 6 2 p 4 78 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 84. C. Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan Pada bagian sebelumnya, kamu telah belajar tentang pengertian data. Pada bagian ini, kamu akan belajar tentang pengertian jangkauan suatu data. Apakah jangkauan suatu data? Jangkauan suatu data adalah selisih antara datum terbesar dan datum terkecil, yang dirumuskan sebagai InfoMatika berikut. Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil Ukuran statistika yang membagi data terurut Contoh 3.16 dari datum terbesar ke datum terkecil menjadi 10 kelompok sama 1. Nilai rapor seorang siswa Kelas IX adalah 5, 8, 7, 6, 7, 5, 6, banyak disebut desil. 6, 7. Tentukan jangkauannya. Letak desil ditentukan Penyelesaian: dengan rumus berikut. Letak Di = datum ke- Datum terbesar = 8, dan datum terkecil = 5. in 1 Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil = 8 – 5 = 3. 10 2. Suatu data memiliki mean 16 dan jangkauan 6. Jika setiap atau Di = x i n . 1 nilai di dalam data tersebut dikalikan q, kemudian dikurangi p 10 Dalam hal ini, i = 1, 2, maka diperoleh data baru dengan mean 20 dan jangkauan 9. ..., 10 dan n = banyak Tentukan nilai dari 2p + q. datum. Penyelesaian: Coba kamu tentukan desil ke-5 dari data Data mula-mula adalah x1, x2, x3, ..., xn dengan mean x = 16 4, 3, 4, 5, 7, 8, 5, 4, 3, dan j = 6 sehingga j = xn – x1 = 6 ... (1) 2, 6, 9, 6. Data baru adalah qx1 – p, qx2 – p, qx3 – p, ..., qxn – p dengan j = 9 sehingga (qxn – p) – (qx1 – p) = 9 q(xn – x1) = 9 ... (2) Substitusikan persamaan (1) ke (2), diperoleh q 6=9 q= 3 2 Diketahui z = 20 maka z = qx – p qx – p = 20 3 (16) – p = 20 p = 4 2 Jadi, 2p + q = 2(4) + 3 = 9 1 . 2 2 79 Statistika
  • 85. 2. Kuartil, Jangkauan Interkuartil, dan Simpangan Kuartil Median yang telah kamu pelajari pada bagian sebelumnya adalah membagi data terurut menjadi dua kelompok yang sama banyak. Bagaimana jika data yang telah terurut dibagi menjadi empat kelompok yang sama banyak? Kamu akan memperoleh empat kelompok yang masing-masing terdiri atas 1 data. Ukuran yang membagi data menjadi empat 4 kelompok yang sama banyak disebut kuartil. Ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil pertama (kuartil bawah), kuartil kedua (kuartil tengah atau median), dan kuartil ketiga (kuartil atas). Kuartil-kuartil itu berturut-turut diberi notasi Q1, Q2, dan Q3. Untuk lebih jelasnya, amati gambar pembagian data terurut menjadi empat kelompok yang sama banyak berikut. Kelompok 1 * Kelompok 2 * Kelompok 3 * Kelompok 4 Gambar 3.11 1 1 1 1 data data data data 4 4 4 4 Q1 Q2 Q3 (kuartil bawah) (kuartil tengah) (kuartil atas) Keterangan: Banyak datum kelompok 1 = banyak datum kelompok 2 = banyak datum kelompok 3 = banyak datum kelompok 4. Untuk menentukan nilai-nilai kuartil dari suatu data, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah mengurutkan data tersebut. Misalnya, diketahui data 4, 2, 3, 5, 7, 3. Setelah diurutkan, tentukan median dari data tersebut. Nilai median yang diperoleh tidak lain adalah Q2. Kemudian, tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di bawah Q 2 menjadi dua bagian sama banyak. Selanjutnya, tentukan kuartil atas (Q3) dengan cara membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Hasilnya tampak seperti pada bagan berikut. 2 3 3 4 5 7 Q1 Q2 Q3 Dengan demikian, diperoleh Q1 = 3, Q2 = 3 4 = 3,5; 2 dan Q3 = 5. 80 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 86. Matematika Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas Ria dan kuartil bawah. Jika jangkauan interkuartil dinotasikan dengan QR maka Isilah petak-petak berikut dengan cara menurun. QR = Q3 – Q1 2 3 6 7 4 Simpangan kuartil (jangkauan semiinterkuartil) adalah 1 5 8 setengah dari jangkauan interkuartil. 9 Jika jangkauan semiinterkuartil dinotasikan dengan Qd maka Qd = 1 QR atau Qd = 1 (Q3 – Q1) 2 2 Pertanyaan: Contoh 3.17 1. Badan Pusat Statistik 2. Nilai tengah Nilai rapor Irma, siswa Kelas IX adalah sebagai berikut: 3. Data yang diperoleh 7, 6, 8, 5, 7, 9, 7, 7, 6. Tentukan: dengan cara menghitung a. kuartil bawah, median, dan kuartil atas; 4. Elemen-elemen data b. jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil. 5. Nilai yang paling sering muncul Penyelesaian: 6. Selisih antara data 5 6 6 7 7 7 8 9 7 terbesar dan data terkecil 7. Batas-batas Q1 = 6 6 = 6 Q3 = 7 8 = 7,5 pembagian data Q2 = 7 2 2 8. Himpunan bagian a. Jadi, kuartil bawah = 6, median = 7, dan kuartil atas = 7,5. dari populasi 9. Nilai rata-rata b. QR = Q3 – Q1 Jika kamu menjawab = 7,5 – 6 = 1,5 dengan benar, kamu akan Qd = 1 (Q3 – Q1) menemukan sebuah kata pada petak yang diarsir. 2 Kata apakah itu? = 1 (1,5) = 0,75 2 Jadi, jangkauan interkuartil = 1,5 dan simpangan kuartil = 0,75. Untuk menentukan kuartil data yang beberapa datum- nya sama (memiliki frekuensi tertentu), dapat digunakan rumus berikut. Catatan Misalkan, banyak seluruh datum: n1 + n2 + ... + ni = N dengan i = 1, 2, 3, ..., sehingga Dalam beberapa buku, ni dinotasikan dengan fi Q1 merupakan datum ke- 1 atau 25% N; karena banyak datum N 4 yang sama (n) tidak lain merupakan frekuensi dari Q2 merupakan datum ke- 1 atau 50% N; datum tersebut. N 2 Q3 merupakan datum ke- 3 atau 75% N. N 4 81 Statistika
  • 87. Contoh 3.18 Misalnya, data pada Tabel 3.14 adalah nilai ulangan Matematika Tabel 3.14 dari 40 siswa Kelas IX A. Nilai Frekuensi a. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. 1 1 b. Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil. 2 4 Penyelesaian: 3 2 Diketahui: N = n1 + n2 + ... + ni 4 5 5 8 = 1 + 4 + 2 + 5 + 8 + 9 + 5 + 4 + 1 + 1 = 40 6 9 1 Q1 merupakan datum ke- 1 N a = 40 = 10. 7 5 4 4 8 4 Jadi, Q1 merupakan datum ke-10, yaitu 4. 9 1 1 Q2 merupakan datum ke- 1 N 10 1 = 40 = 20. 2 2 Jadi, Q2 merupakan datum ke-20, yaitu 5. 3 Q3 merupakan datum ke- 3 N = 40 = 30. 4 4 Jadi, Q3 merupakan datum ke-30, yaitu 7. b. QR = Q3 – Q1 = 7 – 4 = 3 1 1 Qd = QR = · 3 = 1,5 2 2 Tes Kompetensi 3.3 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. Untuk soal nomor 1 dan 2, tentukanlah kuartil Tentukan: bawah, median, kuartil atas, jangkauan inter- a. jangkauan; kuartil, dan simpangan kuartil. b. kuartil bawah, median, kuartil atas; 1. 49 30 46 43 42 c. jangkauan interkuartil dan simpangan 47 40 45 44 56 kuartil. 149 150 155 152 151 4. Lama pembicaraan melalui telepon yang 154 153 160 151 dilakukan oleh seorang pedagang elektronik 2. 14 12 15 13 12 11 (dinyatakan dalam menit) tercatat sebagai 14 13 12 15 11 12 berikut. 3. Tekanan darah seorang pasien (dinyata- 8 12 4 10 35 12 kan dalam mmHg) rumah sakit dicatat 6 8 15 9 12 24 sehingga diperoleh data berikut. 17 25 16 7 11 15 180 160 175 150 176 130 10 12 14 14 5 16 174 125 178 126 180 124 18 6 22 25 23 18 180 120 165 120 166 120 82 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 88. Tentukan: Tentukan: a. jangkauan; a. jangkauan; b. kuartil bawah, median, kuartil atas; b. kuartil bawah, median, dan kuartil c. jangkauan interkuartil dan simpangan atas; kuartil. c. jangkauan interkuartil dan simpangan 5. Perhatikan tabel berikut. kuartil. Nilai 3 4 5 6 7 8 9 Frekuensi 3 2 8 12 10 3 2 D. Distribusi Frekuensi Kamu telah mengetahui bahwa jika suatu data disajikan Hal Penting dengan cara pengelompokan data, akan diperoleh tabel distribusi frekuensi. Untuk membuat tabel distribusi Istilah-istilah penting yang frekuensi yang baik, gunakanlah aturan-aturan berikut. kamu temui pada bab ini a. Tentukan datum terkecil dan datum terbesar, kemudian adalah • data hitung jangkauannya (range) dengan rumus berikut. • datum • data kuantitatif Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil • data kualitatif • data diskrit b. Tentukan banyaknya interval kelas, misalnya p dengan • data kontinu • populasi perkiraan yang memenuhi ketentuan berikut. • sampel • mean 6 ≤ p ≤ 15 • median • modus c. Tentukan panjang interval kelas dengan rumus panjang • jangkauan kelas sebagai berikut. • kuartil • simpangan kuartil jangkauan a aa Panjang kelas = banyak interval kelas a a d. Tentukan batas bawah dan batas atas setiap interval kelas. e. Tentukan frekuensi pada masing-masing interval kelas dengan menggunakan sistem turus (tally). Batas bawah interval kelas ke-1 biasanya diambil dari datum terkecil. Adapun datum terbesar harus termuat dalam interval kelas terakhir. Contoh 3.19 Misalnya, data tinggi badan 40 siswa SMP Harapan yang diukur sampai sentimeter terdekat adalah sebagai berikut. 160, 160, 168, 165, 169, 170, 160, 176, 150, 175, 149, 158, 164, 166, 150, 167, 168, 155, 159, 175, 147, 174, 154, 167, 150, 164, 176, 166, 148, 161, 170, 158, 151, 163, 158, 163, 170, 159, 153, 156 83 Statistika
  • 89. Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut. Penyelesaian: data terkecil 147 sehingga jangkauan = 176 – 147 = 29. interval kelas, misalnya 6. interval kelas (p) adalah Tabel 3.15 jangkauan a aa = 29 = 4,83 5. Tanda p= Nilai Frekuensi Hitung 6 banyak interval kelas a a interval ke-1 adalah 147, dan batas atasnya 151. 147 - 151 |||| ||| 8 152 - 156 |||| 4 Batas bawah interval ke-2 adalah 152, dan batas atasnya 157 - 161 |||| ||| 8 156, dan seterusnya. 162 - 166 |||| || 7 167 - 171 |||| ||| 8 - frekuensi interval ke-1 adalah 8 172 - 176 |||| 5 - frekuensi interval ke-2 adalah 4, dan seterusnya. Jumlah 40 Dengan demikian, diperoleh tabel distribusi frekuensi seperti terlihat pada Tabel 3.15. Tes Kompetensi 3.4 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Misalkan, data tinggi badan siswa Kelas 2. Amati data pada tabel berikut. IX SMP Pertiwi diukur sampai sentimeter Nilai Ulangan Frekuensi terdekat adalah sebagai berikut. 31–40 3 141 162 147 158 41–50 4 157 164 168 161 51–60 7 146 148 168 169 61–70 20 71–80 21 155 156 141 144 81–90 18 170 152 165 166 91–100 7 163 161 143 145 Jumlah 80 150 164 160 145 Tentukan: 168 149 144 142 a. panjang dan banyaknya interval kelas; 163 160 165 161 b. batas bawah dan atas interval kelas; 149 160 151 155 c. tepi bawah kelas ke-1, ke-2, ke-3, a. Tentukan jangkauannya. ke-4, ke-5, ke-6, dan ke-7; b. Jika banyaknya interval kelas 6, d. tepi atas kelas ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, tentukan panjang setiap kelasnya. ke-5, ke-6, dan ke-7. c. Buatlah tabel distribusi frekuensi 3. Setiap hari, banyaknya pasien di sebuah dari data itu. rumah sakit dicatat. Kemudian, diperoleh data sebagai berikut. 84 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 90. 98 102 99 106 90 97 a. Tentukan jangkauannya. 104 109 82 75 86 91 b. Buatlah tabel distribusi frekuensi 89 101 108 105 103 95 dari data tersebut. 92 88 96 76 78 80 5. Seorang ibu mencatat perkembangan 84 88 79 79 100 99 berat badan anaknya setiap bulan selama 98 94 85 87 93 100 dua tahun (dinyatakan dalam kilogram) 96 80 81 94 sebagai berikut. a. Tentukan jangkauannya 3,00 5,60 8,30 8,50 b. Jika banyaknya interval kelas 7, 3,40 5,95 7,90 8,50 tentukan panjang setiap kelasnya. 3,90 6,60 7,80 8,75 c. Buatlah tabel distribusi frekuensi 4,35 7,10 8,00 8,40 dari data tersebut. 5,20 7,50 8,25 8,40 4. Pada suatu hari, temperatur minimum 5,35 8,00 8,15 8,75 beberapa daerah di Indonesia dicatat a. Tentukan jangkauannya. dalam derajat Celsius hingga diperoleh b. Buatlah tabel distribusi frekuensinya. data berikut. 12 21 14 23 17 5 18 20 28 19 16 19 11 25 6 10 15 22 24 26 7 27 20 21 8 11 13 28 18 22 26 24 9 10 8 6 17 19 21 27 20 17 10 22 15 16 24 21 Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Populasi adalah semua objek yang 4. Mean adalah rata-rata dari sekumpulan menjadi sasaran pengamatan. data. 2. Sampel adalah bagian dari populasi 5. Median adalah nilai tengah dari yang diambil untuk dijadikan sasaran sekumpulan data yang telah diurutkan. pengamatan. 6. Modus adalah data yang paling banyak 3. Metode penyajian data, di antaranya muncul pada sekumpulan data. diagram batang, diagram garis, piktogram, 7. Jangkauan interkuartil adalah selisih dan diagram lingkaran. antara kuartil atas dan kuartil bawah. Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. 85 Statistika
  • 91. Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari Bab Statistika yang paling kamu senangi serta mengapa kamu menyenangi materi tersebut. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 3 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Suatu lembaga lingkungan hidup 3. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang ingin mengetahui kandungan unsur berjumlah 40 orang adalah 62. Jika tembaga dalam Sungai Ciliwung yang seorang siswa yang mendapat nilai 23 tercemar. Untuk keperluan tersebut, dari kelompok itu tidak dimasukkan petugas hanya mengambil secangkir dalam perhitungan rata-rata tersebut, air dari Sungai Ciliwung. Sampel dari nilai rata-rata ujian menjadi .... keadaan tersebut adalah .... a. 61,05 c. 62 a. unsur tembaga b. 61,425 d. 63 b. secangkir air 4. Diketahui kelompok bilangan 2, 3, 7, c. Sungai Ciliwung 7, 8, 8, 8, 9, 11. d. secangkir air dari Sungai Ciliwung (1) Modus lebih dari rata-rata 2. Diketahui nilai ulangan Biologi 10 (2) Median kurang dari rata-rata siswa yang diambil secara acak adalah (3) Modus sama dengan rata-rata 8, 4, 7, 9, 4, 7, 3, 6, 5, 7. (4) Modus sama dengan median Pernyataan yang benar adalah .... (1) Rataan = 6 (2) Median = 6,5 a. (1), (2), dan (3) (3) Modus = 7 b. (1) dan (3) Pernyataan yang benar adalah .... c. (2) dan (4) a. (1) dan (2) d. (1) dan (4) b. (1) dan (3) 5. Banyaknya sepeda motor rakitan c. (2) dan (3) dalam negeri (dalam unit) tahun d. (1), (2), dan (3) 1993–1998 disajikan pada diagram garis berikut. 86 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 92. Banyaknya sepeda motor 500 1.861.111 400 Banyaknya Siswa 1.425.373 300 1.042.938 200 781.404 100 607.239 519.404 Tahun bus jalan kaki sepeda mobil 1993 1994 1995 1996 19971998 Transportasi Siswa Sumber: Departemen Perindustrian Selisih siswa yang naik sepeda dan bus Kenaikan banyaknya sepeda motor adalah .... rakitan yang paling besar terjadi pada a. 270 orang tahun .... b. 280 orang a. 1993–1994 c. 290 orang b. 1994–1995 d. 300 orang c. 1995–1996 9. Dalam suatu ujian yang diikuti 42 d. 1996–1997 siswa, diperoleh rataan nilai ujian 30. 6. Hasil ulangan Matematika siswa Kelas Oleh karena rataannya terlalu rendah, IX A disajikan pada tabel berikut. semua nilai ujian siswa dikalikan 2, Nilai (x) 4 5 6 7 8 9 kemudian dikurangi 5. Rataan nilai Frekuensi (f ) 2 6 13 12 6 3 yang baru adalah .... a. 55 c. 53 Median dari data tersebut adalah .... b. 54 d. 52 a. 5,5 c. 6,5 b. 6 d. 7 10. Nilai rata-rata ujian Matematika pada tabel berikut adalah 6. 7. Untuk memudahkan pelaksanaan suatu acara, jumlah siswa Kelas IX dibagi ke Nilai 4 5 6 8 10 dalam lima kelompok dengan per- Frekuensi 20 40 70 p 10 bandingan 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Nilai p sama dengan .... Jika data tersebut dibuat diagram a. 5 c. 20 lingkarannya, besar sudut masing- b. 10 d. 25 masing kelompok adalah .... 11. Nilai rata-rata ulangan Matematika a. 20°, 40°, 60°, 80°, 100° 10 siswa adalah 55. Jika digabung lagi b. 24°, 48°, 76°, 92°, 120° dengan 5 siswa lain, nilai rata-ratanya c. 26°, 52°, 72°, 96°, 114° menjadi 53. Nilai rata-rata dari 5 d. 24°, 48°, 72°, 96°, 120° siswa tersebut adalah .... 8. Diagram berikut menunjukkan ber- a. 49 c. 50,5 bagai cara dari 1.270 siswa menuju ke b. 50 d. 51 sekolah. 87 Statistika
  • 93. 12. Jangkauan dari 6, 4, 7, 5, 8, 7, 8, 6, 8, 17. Pak Agus dan Pak Harif masing- 5, 10, 6 adalah .... masing memiliki lima ekor kambing. a. 4 c. 6 Berat rata-rata kambing Pak Agus b. 5 d. 7 36 kg, sedangkan berat rata-rata kambing Pak Harif hanya 34 kg. 13. Nilai rata-rata ulangan Matematika Seekor kambing Pak Harif ditukarkan 15 siswa adalah 7,0. Jika nilai ulangan dengan seekor kambing Pak Agus Matematika Andri dimasukkan dalam sehingga berat rata-rata kambing kelompok tersebut, nilai rata-ratanya Pak Harif sama dengan berat rata- menjadi 7,125. Nilai ulangan Andri rata kambing Pak Agus. Selisih berat adalah .... kambing yang ditukarkan adalah .... a. 7 c. 8 a. 5 c. 10 b. 7,125 d. 9 b. 6 d. 12 14. Simpangan kuartil dari 7, 4, 5, 6, 7, 18. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 4, 5, 7, 8, 9, 6 adalah .... 120 kali. Frekuensi harapan munculnya a. 1 c. 2,5 mata dadu kurang dari 4 adalah .... b. 2 d. 3 a. 20 c. 60 15. Amati diagram berikut. b. 40 d. 80 81º PKn 19. Nilai rata-rata ujian Matematika dari 39 siswa adalah 45. Jika nilai dari 30º Matematika seorang siswa lain yang bernama Riva 240 buah digabungkan, nilai rata-rata ujian 75º 60º Matematika dari 40 siswa sekarang menjadi 46. Nilai ujian Matematika Riva adalah .... Banyak buku pelajaran yang tersedia a. 70 c. 80 untuk pelajaran PKn adalah .... b. 75 d. 85 a. 16 buku 20. Diketahui data kuantitatif: 4, 5, 5, b. 64 buku 7, 3, 2, 4, 6, 7, 4. Pernyataan berikut c. 96 buku benar, kecuali .... d. 128 buku a. Modus = 4 Ebtanas 2001 b. Median = 5 16. Peluang munculnya angka prima pada c. Mean = 4,7 pelemparan dadu bersisi 6 adalah .... d. Q3 = 6 1 3 a. c. 6 6 2 4 b. d. 6 6 Ebtanas 1998 88 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 94. 4 Bab Sumber: pop.blogsome.com Peluang Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami peluang kejadian sederhana dengan cara menentukan ruang sampel suatu percobaan dan menentukan peluang suatu kejadian sederhana. A. Pengertian Peluang merupakan konsep yang baru kamu kenal. Konsep Peluang peluang sangat penting peranannya dalam kehidupan sehari- B. Frekuensi hari. Saat ini, teori peluang banyak digunakan dalam berbagai Harapan bidang, seperti ekonomi, sosial, pendidikan, kesehatan, dan olahraga, seperti uraian berikut. Pada tahun 2007, diketahui rasio setiap satu orang siswa Kelas IX SMP Karya Kita lulus ujian nasional adalah 0,85. Jika pada tahun ajaran 2007/2008 sekolah itu menampung 280 orang siswa kelas IX, berapa banyak siswa SMP tersebut yang diperkirakan lulus ujian nasional? Kamu harus menguasai konsep peluang untuk menjawab pertanyaan tersebut. Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik. 89
  • 95. Diagram Alur Peluang dapat dihitung melalui dihitung menggunakan nilai nilai Frekuensi Relatif 0 ≤ P(K) ≤ 1 n(K) P(K) = n(S) rumus Titik Sampel Ruang Sampel Frekuensi relatif pengertian munculnya kejadian banyak kejadian(K) Setiap anggota K= banyak percobaan ruang sampel dari pengertian kejadian yang mungkin Himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan disusun menggunakan Tabel Diagram pohon Cara mendaftar Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Buatlah tiga kalimat yang menyatakan 4. Sebuah uang logam dilemparkan satu kemungkinan. kali. Tentukan kemungkinan kejadian 2. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan yang akan muncul. berikut merupakan kejadian pasti atau 5. Banyaknya siswa dalam satu kelas kejadian mustahil. berjumlah 56 orang. Perbandingan a. Bulan berputar mengelilingi bumi. banyaknya siswa laki-laki dan siswa b. Matahari terbenam di sebelah perempuan adalah 3 : 5. Tentukan timur. banyaknya siswa laki-laki dan siswa c. Paus bernapas dengan insang. perempuan dalam kelas tersebut. 3. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan kemungkinan mata dadu yang muncul. 90 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 96. A. Pengertian Peluang Kamu sering mendengar ungkapan-ungkapan berikut dalam kehidupan sehari-hari. Indonesia memiliki peluang yang kecil untuk mencapai babak final. Sumber: insert.web.id Kemungkinan Klub Jaya memenangkan pertandingan Gambar 4.1 sangat besar. kemungkinan besar hujan akan turun. Nina dan Andri memiliki kesempatan yang sama untuk menjadi juara kelas. Apakah sebenarnya yang dimaksud dengan peluang atau kemungkinan itu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah pengertian peluang dan nilai peluang suatu kejadian berikut. Kamu akan memulai bagian ini dengan mempelajari pengertian kejadian acak. 1. Kejadian Acak Pernahkah kamu memperhatikan sekumpulan ibu-ibu yang sedang arisan? Saat arisan, seorang ibu mengundi nama- nama pemenang dengan menggunakan sebuah gelas. Nama pemenang yang akan keluar tidak dapat diprediksikan. Uraian tersebut menggambarkan salah satu contoh kejadian acak. Untuk memahami pengertian kejadian acak, lakukanlah percobaan dalam Aktivitas 4.1 berikut. Aktivitas 4.1 Tujuan: Memahami pengertian kejadian acak. Lakukanlah percobaan-percobaan berikut kemudian jawablah pertanyaannya. Percobaan 1 Lemparkan sebuah mata uang logam. Dapatkah kamu memastikan sisi yang akan muncul, sisi angka atau sisi gambar? Percobaan 2 Lemparkan sebuah dadu. Dapatkah kamu memastikan muka dadu yang akan muncul? Percobaan 3 Sediakan sebuah kotak. Isikan kelereng berwarna merah, kuning, dan hijau masing-masing sebanyak 15 butir ke dalam kotak tersebut. Aduklah kelereng itu. Kemudian, tutup matamu dan ambillah sebutir demi sebutir secara acak sebanyak 3 kali 91 Peluang
  • 97. pengambilan. Dapatkah kamu memastikan, kelereng warna apa saja yang terambil jika setiap selesai pengambilan, kelereng tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak? Percobaan 4 Sediakan sebuah stoples. Isikan permen karet berwarna merah, kuning, dan hijau masing-masing sebanyak 20 butir ke dalam stoples tersebut. Ambillah permen karet berwarna merah sebutir demi sebutir tanpa menutup mata. Dapatkah kamu memastikan warna tiga permen karet yang diambil? Pada Percobaan 1, kejadian yang menjadi perhatian adalah munculnya sisi angka atau gambar. Tentu saja kamu tidak tahu pasti sisi uang logam yang akan muncul. Kamu hanya mengetahui bahwa hasil yang mungkin muncul adalah sisi angka atau sisi gambar. Tentu saja, kedua sisi ini tidak mungkin muncul bersamaan. Tugas Kejadian munculnya sisi angka atau sisi gambar pada Percobaan 1 tidak dapat dipastikan, sehingga dinamakan untukmu kejadian acak. Demikian pula kejadian munculnya muka dadu Sebutkan masing- pada Percobaan 2 dan kejadian terambilnya kelereng berwarna masing 3 contoh dalam merah, kuning, atau hijau pada Percobaan 3 merupakan kehidupan sehari- hari yang merupakan kejadian acak. Tuliskan permen karet pada Percobaan 4, apakah merupakan kejadian pada kertas terpisah, acak? Coba kamu jelaskan. kemudian kumpulkan Percobaan-percobaan pada Aktivitas 4.1 dilakukan pada gurumu. untuk mengamati kejadian tertentu. Percobaan-percobaan seperti ini dinamakan percobaan statistika. Kejadian acak memang sangat menarik untuk diamati. Oleh karena itu, fokus pembahasan pada bab ini adalah kejadian acak. 2. Kejadian Sederhana Seperangkat kartu bridge terdiri atas 13 buah kartu merah bergambar hati, 13 kartu merah bergambar wajik, 13 kartu hitam bergambar sekop, dan 13 kartu hitam bergambar keriting. Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajik, kejadian muncul kartu bergambar wajik pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya kartu bergambar wajik pasti merah. Kejadian munculnya kartu berwarna merah dinamakan 92 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 98. kejadian bukan sederhana karena munculnya kartu berwarna merah belum tentu bergambar wajik, tetapi mungkin ber- gambar hati. 3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian Pada bagian ini, kamu akan belajar tentang cara menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Ambillah se- keping uang logam, kemudian lakukan percobaan statistika, yaitu melempar uang logam tersebut sebanyak 20 kali. Misalnya, muncul sisi angka sebanyak 11 kali. Per- bandingan banyak kejadian munculnya angka dan banyak pelemparan adalah 11 . Nilai ini dinamakan frekuensi relatif Siapa 20 munculnya angka. Jika sebuah dadu dilempar 30 kali dan Berani? muncul muka dadu bernomor 6 sebanyak lima kali, berapakah frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 6? Satu mata uang logam dilempar sebanyak 300 Uraian tersebut menggambarkan rumus frekuensi kali. Ternyata, muncul sisi relatif munculnya suatu kejadian yang diamati, yaitu sebagai angka 156 kali. Berapa berikut. frekuensi relatifnya? (tulis dalam bentuk pecahan Frekuensi relatif (fr) munculnya kejadian K dirumuskan biasa dan desimal). sebagai berikut. banyak kejadian K a ea fr = banyak percobaan a Contoh 4.1 Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadu bernomor 1 sebanyak 16 kali. Tentukan frekuensi relatif muncul- nya muka dadu bernomor 1. Penyelesaian: banyak kejadian a ea 16 fr = = = 0,16. banyak percobaan a 100 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 1 adalah 0,16. Kamu telah mengetahui pengertian frekuensi relatif. Apakah hubungan antara frekuensi relatif dan peluang suatu kejadian? Untuk menyelidikinya, lakukan aktivitas berikut. 93 Peluang
  • 99. Aktivitas 4.2 Tujuan: Menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Lemparkan sekeping uang logam ke atas sebanyak 6 kali. Catat banyak sisi angka yang muncul dan isikan hasilnya pada Tabel 4.1. Kemudian, hitung frekuensi relatifnya, teliti sampai dua desimal. Ulangi langkah-langkah tersebut untuk pelemparan sebanyak 12, 16, 20, 40, dan 80 kali. Tabel 4.1 Tabel Frekuensi Relatif Banyak Sisi Angka Frekuensi Relatif Banyak Lemparan yang Muncul Muncul Sisi Angka 6 Uji Kecerdikan 12 16 Banyak ahli Matematika yang pada kali pertama 20 mengembangkan teori 40 peluang sebenarnya adalah orang-orang yang 80 senang berjudi. Salah satunya adalah Girolamo Amatilah tabel yang telah kamu lengkapi tersebut. Apa yang Cardano, seorang dapat kamu simpulkan tentang frekuensi relatif munculnya sisi profesor di bidang angka jika banyaknya lemparan semakin besar? Matematika, sekaligus seorang penjudi. Cardano menghitung peluang pelemparan dadu dan Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa semakin banyak peluang penarikan lemparan yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian kartu As dari setumpuk kartu. Tidak hanya itu, munculnya sisi angka akan mendekati suatu bilangan tertentu, dia juga menyarankan peluang dari kejadian muncul cara-cara yang menarik untuk bermain curang. sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui Bagaimana pendapatmu pendekatan frekuensi relatif. tentang hal ini? 4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang a. Pengertian Titik Sampel dan Ruang Sampel Suatu Kejadian Pada pelemparan mata uang logam, kejadian yang mungkin adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Jika dinyatakan dengan notasi himpunan, misalnya S, maka S = {A, G}. Siapa Berani? ruang sampel, sedangkan titik A dan G dinamakan titik sampel sampel dinotasikan dengan n(S). Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari Uraian tersebut memperjelas pengertian ruang sampel penelitian golongan darah dan titik sampel, yaitu sebagai berikut. manusia. 94 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 100. 1) Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan. 2) Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin. Contoh 4.2 Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah dadu. Penyelesaian: Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengan demikian, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan titik sampelnya 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. b. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara A a Mendaftar Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkan muncul sisi angka (A) pada mata uang pertama, muncul sisi gambar (G) pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka (A) G pada mata uang ketiga. Kejadian ini dapat ditulis AGA. Kejadian A AA lain yang mungkin dari pelemparan tiga mata uang sekaligus b A adalah AAA, AGG, dan GGG. Jika ruang sampelnya kamu tuliskan dengan cara mendaftar, diperoleh S = {AAA, AAG, AGA, G AG GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} sehingga n(S) = 8. A GA c. Menyusun Ruang Sampel dengan G Menggunakan Diagram Pohon G GG Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggota ruang sampel adalah menggunakan diagram pohon. Amati A AAA c A kembali kasus pelemparan tiga mata uang sekaligus pada G AAG bagian b. Sekarang, kamu akan mencoba menyusun ruang A A AGA sampelnya dengan menggunakan diagram pohon. G G AGG Untuk mata uang pertama, kejadian yang mungkin adalah munculnya sisi angka (A) atau gambar (G). Diagram- A GAA nya dapat kamu buat seperti pada Gambar 4.2(a). A G GAG Untuk mata uang kedua, kejadian yang mungkin adalah G A GGA sama. Diagram pohonnya tampak pada Gambar 4.2(b). G Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga G GGG Gambar 4.2 sama. Diagram pohon kejadian untuk pelemparan tiga mata uang tampak pada Gambar 4.2(c). tersebut, dapat ditentukan ruang sampelnya, yaitu S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. 95 Peluang
  • 101. d. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Matematika Membuat Tabel Ria Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 3 muncul muka dadu bernomor 2 pada dadu pertama dan orang. muka dadu bernomor 3 pada dadu kedua. Kejadian ini 2. Buatlah tiga buah kartu dengan gambar dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu (2, 3). yang berbeda-beda. Jika muncul muka dadu bernomor 5 pada dadu pertama dan muka dadu bernomor 1 pada dadu kedua, bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan? Pada selembar kertas, Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus buatlah tiga gambar yang sama seperti dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut. gambar pada kartu. Tabel 4.2 Tabel Ruang Sampel Dadu ke-2 Dadu 3. Kocok ketiga kartu ke-1 1 2 3 4 5 6 tersebut olehmu. 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) Kemudian, ambil satu kartu secara acak 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) oleh temanmu dan tempatkan di atas 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) gambar yang menurut 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) tebakan temanmu sesuai dengan 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) gambar pada kartu. 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel sehingga n(S) = 36. 4. Buka kartu tersebut. 5. Kisaran Nilai Peluang Apakah tebakan temanmu benar? a. Rumus Peluang 5. Tempatkan kartu yang telah dibuka di atas gambar yang sesuai. pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu 6. Lakukan langkah bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, sehingga ruang sampelnya yang sama untuk kartu yang kedua dan adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. ketiga oleh temanmu Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor yang lain. Apakah tebakan temanmu genap adalah G G atau benar? kejadian G dinotasikan dengan n(G), sehingga n(G) = 3. 7. Dapatkah kamu menghitung peluang Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang untuk menebak kartu sampel S sama, yaitu 1 . Dengan demikian, peluang muncul- pertama, kedua, atau ketiga dengan 6 benar? Berapa nilai nya muka dadu bernomor genap adalah sebagai berikut. peluangnya? 1 1 1 3 1 P(G) = 6 6 6 6 2 P(G) juga dapat diperoleh dengan cara berikut. 96 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 102. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. G = {2, 4, 6} sehingga n(G) = 3. n(G ) 3 1 P(G) = . n(S ) 6 2 Jika setiap anggota ruang sampel S memiliki peluang muncul yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n(K) didefinisikan sebagai berikut. n( K ) P(K) = , dengan K S n(S ) Contoh 4.3 dadu bernomor: Siapa a. 2 c. 7 Berani? b. kurang dari 4 d. 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 Penyelesaian: Sebuah kotak berisi 4 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. bola berwarna merah dan a. Misalkan, A kejadian munculnya muka dadu nomor 2 maka 6 berwarna putih. Sebuah bola diambil dari kotak itu A = {2}, n(A) = 1, dan P(A) = n( A ) = 1 . secara acak, kemudian n(S ) 6 dikembalikan lagi. Berapa b. Misalkan, C kejadian munculnya muka dadu bernomor peluang terambilnya bola berwarna: kurang dari 4 maka C = {1, 2, 3}, n(C) = 3, dan a. merah; P(C) = n(C ) = 3 = 1 . b. putih? n(S ) 6 2 Misalkan, D kejadian munculnya muka dadu nomor 7 maka c. D = { }, n(D) = 0, dan P(D) = n( D ) = 0 = 0. n(S ) 6 d. Misalkan, E adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 maka E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 6 n(E) = 6 sehingga P(E) = = 1. 6 b. Nilai Peluang Contoh 4.3 memperlihatkan kepada kamu bahwa peluang suatu kejadian nilainya berkisar 0 sampai dengan 1. Secara matematis, hal itu ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1, dengan P(K) adalah peluang suatu kejadian K. Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol atau P(K) = 0, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian K tidak mungkin terjadi. Misalnya, pada pelemparan dadu, peluang 97 Peluang
  • 103. munculnya mata dadu bernomor 7 adalah nol, atau P(7) = 0 karena pada dadu tidak terdapat mata dadu yang bernomor 7 (lihat Contoh 4.3(c)). Untuk kejadian-kejadian lain yang nilainya mendekati nol, berarti kemungkinan kejadian tersebut terjadi sangat kecil. Sebaliknya, jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan satu atau P(K) = 1, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian K pasti terjadi. Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya mata dadu yang lebih dari 0 tetapi kurang dari 7 adalah 1. Dengan kata lain, munculnya mata dadu yang lebih dari 0, tetapi kurang dari 7 merupakan suatu kejadian yang pasti terjadi. Dari uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan per- nyataan berikut? 1) Peluang suatu kejadian nilainya dari 0 sampai dengan 1 (ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1). 2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, nilainya nol atau P(K) = 0 (kejadian tersebut dinama- kan kejadian yang mustahil). 3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya 1 atau P(K) = 1 (kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata/pasti). Jika kejadian L merupakan komplemen dari kejadian K maka P(K) + P(L) = 1 atau P(L) = 1 – P(K). Misalkan, peluang hari ini hujan 0,3 maka peluang hari ini tidak hujan adalah 1 – 0,3 = 0,7. Contoh 4.4 1. Dua puluh lima kartu diberi angka 1, 2, 3, ..., 25. Kartu tersebut dikocok. Kemudian, diambil kartu secara acak peluang terambilnya kartu berangka InfoNet a. ganjil b. kelipatan 3 Penyelesaian: Kamu dapat menambah Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {1, 2, 3, ..., wawasanmu tentang materi 25} sehingga n(S) = 25. dalam bab ini dari internet dengan mengunjungi a. Misalkan, G kejadian terambilnya kartu berangka ganjil alamat: maka G = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25} zaki.web.ugm.ac.id/web/ mod.php?mod=download&o sehingga n(G) = 13. n(G ) 13 p=visit&lid=118 Peluang G adalah P(G) = = . n(S ) 25 98 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 104. Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil 13 adalah . 25 b. Misalkan, K adalah kejadian terambilnya kartu berangka kelipatan 3 maka K = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} sehingga n(K) = 8. n( K ) 8 Peluang K adalah P(K) = = . n(S ) 25 Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan tiga adalah 8 . 25 2. Dari 36 siswa terdapat 22 orang gemar voli, 17 orang gemar tenis, dan 4 orang tidak gemar keduanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, berapa peluang: a. seorang siswa hanya gemar voli; b. seorang siswa hanya gemar tenis; c. seorang siswa gemar voli dan tenis; d. seorang siswa tidak gemar voli dan tenis? Penyelesaian: Langkah 1 Tuliskan apa yang diketahui dan ditanyakan. S = 36 Tenis Voli 22 – x x 17 – x Ditanyakan: 4 Peluang: a. seorang siswa hanya gemar voli; b. seorang siswa hanya gemar tenis; Gambar 4.3 c. seorang siswa gemar voli dan tenis; d. seorang siswa tidak gemar voli dan tenis. Langkah 2 Perjelas soal dengan menggunakan gambar. Pada soal ini, gunakanlah diagram Venn seperti Gambar 4.3. Langkah 3 Selesaikan soal berdasarkan gambar dengan terlebih dahulu mencari nilai x, yaitu jumlah siswa yang gemar voli dan tenis. (22 – x) + x + (17 – x) + 4 = 36 43 – x = 36 x = 7 a Peluang seorang siswa hanya gemar voli = 15 . 36 b = 10 orang. 10 Peluang seorang siswa hanya gemar tenis = . 36 99 Peluang
  • 105. Siapa c Berani? 7 Peluang seorang siswa gemar voli dan tenis = . 36 Dua dadu dilempar d secara bersamaan. Tentukan peluang angka 4 Peluang seorang siswa tidak gemar voli dan tenis = . pada salah satu dadu 36 yang merupakan faktor Langkah 4 dari mata dadu yang lain. Periksa kembali jawaban yang diperoleh. Untuk menguji apakah jawabanmu benar atau salah, jumlahkan semua nilai peluang dari a sampai dengan d. Jika jumlah peluangnya sama dengan 1, berarti jawabanmu benar. Tahukah kamu mengapa berlaku seperti itu? Coba jelaskan. 15 10 7 4 36 1 36 36 36 36 36 Dapat disimpulkan bahwa jawaban yang diperoleh benar. Contoh 4.5 A AA peluang munculnya A a. tepat dua angka; G AG b. angka dan gambar; c. paling sedikit satu angka. A GA Penyelesaian: G Ruang sampel percobaan ini dapat ditentukan dengan diagram G GG pohon di samping. Jadi, ruang sampel percobaan ini adalah S = {AA, AG, GA, GG} sehingga n(S) = 4. a. Misalnya, E kejadian muncul tepat dua angka maka E = {AA} dan n(E) = 1. n( E ) 1 Peluang kejadian E adalah P(E) = =. n(S ) 4 1 Jadi, peluang muncul tepat dua angka adalah . 4 b. Misalnya, F kejadian muncul angka dan gambar maka F = {AG, GA} dan n(F) = 2. n( F ) 2 1 Peluang kejadian F adalah P(F) = ==. n(S ) 4 2 1 Jadi, peluang muncul angka dan gambar adalah . 2 Misalnya, H kejadian muncul paling sedikit satu angka maka c. H = {AA, AG, GA}dan n(H) = 3. n( H ) 3 Peluang kejadian H adalah P(H) = = n(S ) 4 Jadi, peluang muncul paling sedikit satu angka adalah 3 . 4 100 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 106. Tes Kompetensi 4.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Suatu kantong berisi 4 kelereng merah, b. Mengambil kartu As dari satu set kartu bridge. 6 kelereng putih, dan 8 kelereng hijau. Sebuah kelereng diambil secara acak dari c. Memilih bilangan genap dari 20 dalam kantong itu. bilangan bulat positif pertama. a 5. Sebuah dadu dan sebuah mata uang berwarna bukan putih? logam dilemparkan ke atas bersama-sama. b. Jika pada pengambilan pertama Sebuah hasil yang mungkin muncul adalah (2, A), artinya muncul muka dadu yang terambil adalah kelereng hijau dan tidak dikembalikan, berapa bernomor 2 dan muncul angka pada peluang terambilnya kelereng hijau permukaan uang. pada pengambilan kedua? a sampel dengan meng- 2. Sebuah uang logam dilemparkan ke atas gunakan diagram pohon. b. Tentukan P(2, A), P(4, A) dan P(5, G). sebanyak empat kali. Diketahui salah c. Tentukan P(genap, G), artinya ke- satu hasil yang mungkin muncul adalah angka, angka, gambar, dan gambar, mungkinan munculnya nomor ditulis AAGG. genap pada dadu dan munculnya a. Susunlah ruang sampel dengan gambar pada uang logam. model diagram yang kamu sukai. 6. Sebuah memiliki 2 sisi berwarna merah, b. Tentukan P(AAGG), P(AAAA), dan 2 sisi berwarna putih, satu sisi berwarna P(GGGG). hijau dan kuning. Jika kubus tersebut c. Tentukan peluang munculnya paling dilemparkan, tentukan peluang sisi bagian sedikit: atas yang muncul adalah (i) dua angka; (ii) tiga gambar. a. merah; c. tidak merah. 3. Dua buah dadu dilemparkan ke atas b. kuning; sekaligus. Diketahui salah satu hasil yang 7. Tes kesehatan dilakukan terhadap 40 mungkin adalah muncul permukaan angka orang anak di tiga kota yang diambil 2 pada dadu pertama dan muncul angka 3 secara acak, diperoleh bahwa: Kota P : 6 orang buta warna pada dadu kedua, ditulis (2, 3). Kota A : 2 orang buta warna a sampel dengan cara Kota C : 3 orang buta warna membuat tabel. b. Tentukan P(2, 3) dan P(1, 4). a c. Tentukan peluang munculnya muka pada masing-masing kota. dadu: b. Tentukan peluang dari keseluruhan (i) berjumlah 1; pengujian bahwa seseorang itu buta (ii) berjumlah 8; warna. (iii) berjumlah 13. c 4. Tentukan ruang sampel peristiwa berikut. keadaan tersebut. a. Mengambil bola dari kotak yang 8. Tentukan peluang munculnya sekurang- berisi 3 bola merah, 2 bola putih, kurangnya dua angka pada pelemparan 3 dan 1 bola hitam. mata uang secara bersamaan. 101 Peluang
  • 107. B. Frekuensi Harapan Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak 100 kali. Dalam sekali pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah 1 . 2 Dari pelemparan uang logam sebanyak 100 kali, kamu dapat mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak 50 kali. Tidak mengherankan apabila dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka sebanyak 47 kali, 48 kali, 52 kali, atau 56 kali. Akan tetapi, akan mengherankan apabila munculnya angka sebanyak 50 kali dari 100 kali pelemparan uang logam disebut frekuensi harapan. Dalam buku ini, frekuensi harapan dinotasikan dengan Fh. Frekuensi harapan dari suatu kejadian ialah harapan banyak nya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Fh = P(K) N dengan P(K)= peluang kejadian K N = banyaknya percobaan Contoh 4.6 Hal Penting frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3? Penyelesaian: Istilah-istilah penting yang Misalkan, K = kejadian munculnya mata dadu bernomor 3 kamu temui pada bab ini sehingga P(K) = 1 . adalah • peluang kejadian 6 • frekuensi relatif • titik sampel Fh = P(K) × 36 • ruang sampel • kejadian acak = 1 × 36 • frekuensi harapan 6 =6 Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3 dari 36 kali pelemparan adalah 6 kali. Jika hasil percobaan tersebut munculnya dadu bernomor 3 jauh dari harapan, hal ini mungkin disebabkan berat pada setiap mata dadu tidak sama (dadu tidak homogen). 102 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 108. Tes Kompetensi 4.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 100 5. Diketahui bahwa peluang seorang penembak akan menembak tepat mengenai nya muka dadu bernomor: sasaran adalah 0,69. Di antara 100 orang a. 4; penembak, berapa orang yang diperkira- b. genap; kan menembak tepat mengenai sasaran? c. kurang dari 5; 6. Diketahui di suatu desa terdapat 200 d. prima. keluarga. Rata-rata jumlah anggota setiap 2. Dua buah dadu dilemparkan sekaligus. keluarga adalah 6 orang dan jumlah orang Sebuah hasil yang mungkin muncul dewasa seluruhnya 500 orang. Suatu saat, adalah (3, 4). Jika percobaan dilakukan desa itu diserang suatu wabah penyakit sebanyak 250 pelemparan, berapa kali dengan peluang terjangkit wabah bagi harapan munculnya muka dadu: orang dewasa 0,3 dan bagi anak-anak a. (3, 4); b. berjumlah 7; akan terjangkit wabah tersebut? c. bernomor sama? 7. Sebuah uang logam salah satu mukanya 3. Sebuah dadu dan dua buah mata uang diberi beban sehingga peluang muncul- logam dilemparkan bersama-sama. Ke- nya gambar (G) dua kali peluang mun- jadian yang mungkin muncul adalah culnya angka (A). Jika uang tersebut di- (3, A, G). Jika percobaan dilakukan lemparkan 100 kali, berapakah frekuensi sebanyak 200 kali, berapa kali harapan harapan: munculnya: a. munculnya angka (A); a. (3, A, G); b. munculnya gambar (G). b. (ganjil, G, A); 8. Pada suatu percobaan pelemparan mata c. (prima, A, A); uang logam sebanyak 200 kali, ternyata d. (genap, G, G). muncul sisi angka (A) sebanyak 70 kali 4. Peluang seorang siswa lulus ujian adalah dan sisi gambar (G) sebanyak 130 kali. 0,75. Jika terdapat 600 siswa yang Mengapa hal ini terjadi? Coba kamu mengikuti ujian, berapa orang yang jelaskan. diperkirakan akan lulus? 103 Peluang
  • 109. Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Ruang sampel adalah himpunan semua 3. Kisaran nilai peluang munculnya kejadian K adalah sebagai berikut. kejadian yang mungkin diperoleh pada 0 ≤ P(K) ≤ 1 suatu percobaan. Setiap anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Jika P(K) = 1, kejadian K pasti terjadi. 2. Jika setiap anggota ruang sampel S Jika P(K) = 0, kejadian K tidak mungkin mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. muncul, peluang kejadian K S 4. Jika L komplemen dari kejadian K maka yang memiliki anggota sebanyak n(K) berlaku P(K) + P(L) = 1 atau P(L) = 1 – P(K). didefinisikan sebagai berikut. 5. Frekuensi harapan munculnya kejadian K P(K) = n( K ) didefinisikan sebagai berikut. n(S ) Fh = P(K) N Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. Refleksi 1 kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor apa saja yang menghambat pemahamanmu terhadap materi tentang Peluang. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. 104 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 110. Tes Kompetensi Bab 4 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Dari 4 9 a. c. hasil pelemparan tersebut, muncul 58 29 mata dadu bernomor 3 sebanyak 17 kali 7 20 b. d. dan mata dadu bernomor 5 sebanyak 9 29 18 kali. Peluang muncul mata dadu 4 bernomor 3 atau 5 adalah .... 100 buah. Setiap kartu diberi nomor 9 a. 7 c. 1 sampai dengan 100. Seperangkat 50 20 kartu itu dikocok, kemudian diambil 17 153 b. d. secara acak. Peluang terambilnya kartu 100 5.000 bernomor bilangan prima adalah .... 2. Gambar berikut memperlihatkan 1 27 lempengan bernomor 1, 2, 3, 4, 5, a. c. 4 100 dan 6 dengan jarum penunjuknya. 13 7 Jika lempengan tersebut diputar, b. d. 50 25 jarum akan tetap pada posisinya. 5. Dari pernyataan berikut yang merupa- Adapun pada saat berhenti, jarum kan suatu kepastian adalah .... penunjuk akan menunjuk ke angka a. Dalam 1 tahun terdapat 365 hari. tertentu. Pada pemutaran 60 kali, jarum menunjuk ke angka 5 sebanyak b 12 kali. Peluang jarum menunjuk ke apung. angka lima adalah .... c 1 d a. 6 tahun sekali. 1 1 b. 6. Tiga keping uang logam dilempar ber- 6 2 5 1 sama-sama. Peluang munculnya tiga c. 5 3 4 sisi angka adalah .... 4 1 d. 1 3 a. c. 3 8 8 3. Sebuah stoples berisi 18 butir kelereng 1 1 b. d. berwarna merah, 14 butir berwarna 4 2 hijau, 11 butir berwarna kuning, 7. Sebuah dadu dilempar sebanyak 20 dan 15 butir berwarna biru. Sebuah kali, ternyata muncul muka dadu kelereng diambil dari stoples itu secara bernomor 3 sebanyak 3 kali. Frekuensi acak. Peluang terambilnya kelereng relatif munculnya angka tiga adalah .... yang bukan berwarna merah adalah .... 105 Peluang
  • 111. 12. Peluang munculnya muka dadu ber- 3 a. c. 3 nomor prima pada pelemparan dadu 20 3 bersisi 6 adalah .... b. d. 60 1 3 10 a. c. 8. Dua puluh enam kartu masing-masing 6 6 2 5 diberi huruf A, B, C, ..., Z. Sebuah kartu CZ f b. d. 6 6 diambil secara acak dari seperangkat Ebtanas 1998 kartu itu, kemudian dikembalikan. Jika 13. Dari 300 kali pelemparan sebuah dilakukan pengambilan sebanyak 50 dadu, frekuensi harapan munculnya kali, harapan terambilnya huruf vokal mata dadu yang merupakan faktor adalah .... 9 7 prima dari 6 adalah .... a. 7 c. 11 13 13 a. 50 c. 150 8 6 b. 100 d. 200 b. 9 d. 13 13 13 Ebtanas 1999 9. Di suatu daerah, peluang bayi terkena 14. Peluang seorang pemain basket akan polio adalah 0,03 dan peluang melempar bola tepat masuk ring 0,7. terkena campak 0,05. Jika 1.500 bayi Jika ia melempar sebanyak 70 kali, di daerah itu diperiksa, bayi yang kemungkinan banyaknya bola yang terkena campak sebanyak .... tepat masuk ring adalah .... a. 45 orang a. 50 c. 10 b. 60 orang 1 b. 49 d. c. 75 orang 7 d. 100 orang 15. Sebuah dadu hitam dan sebuah dadu 10. Banyak anggota ruang sampel pada putih dilemparkan bersamaan satu kali. pelemparan sekeping uang logam dan Kemungkinan keluarnya jumlah 5 atau sebuah dadu yang dilakukan secara 10 dari kedua dadu itu adalah .... bersamaan adalah .... 1 7 a. c. a. 12 titik sampel 9 36 b. 18 titik sampel 1 5 b. d. c. 20 titik sampel 12 36 d. 24 titik sampel 16. Diagram berikut memperlihatkan 11. Dari seperangkat kartu bridge dilakukan jalan yang dapat dilalui oleh kendaraan pengambilan secara acak sebanyak 260 yang bergerak dari kota A ke kota G kali, dan setiap kali pengambilan kartu yang melalui kota-kota B, C, D, E, C E dikembalikan. Frekuensi harapan yang dan F. F D A terambil kartu As adalah .... a. 5 kali c. 40 kali E A G b. 20 kali d. 60 kali Ebtanas 1996 F A 106 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 112. Ruang sampel yang dapat dilalui 19. Frekuensi harapan munculnya mata suatu kendaraan adalah .... dadu bilangan prima pada percobaan a. {ABDG, ACDG, ABEG, ABFG, G G G G { pelemparan sebuah dadu sebanyak ABCG, ACFG} G G 300 kali adalah .... b. {ABEG, ABDG, ABCG, ACBG, G G G G { a. 65 kali ACED, ACFG} G b. 100 kali c. {ABDG, ABEG, ABCG, ACBG, G G G G { c. 150 kali ABDG, ABCG} G G d. 200 kali d. {ABDG, ABEG, ABFG, ACDG, G G G G { Ebtanas 1993 ACEG, ACFG} G G 20. Dalam suatu kardus terdapat 10 bola 17. Tiga mata uang dilempar sekaligus berwarna merah, 7 bola berwarna sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan kuning, dan 3 bola berwarna hitam. muncul dua sisi angka adalah .... Satu bolanya diambil secara acak ter- a. 35 kali nyata berwarna merah, dan tidak di- b. 30 kali kembalikan. Jika diambil satu lagi, c. 25 kali nilai kemungkinan bola tersebut d. 20 kali berwarna merah adalah .... 9 18. Dua buah dadu dilempar bersamaan. a. 20 Kejadian yang mungkin muncul 9 adalah mata dadu berjumlah 2, yaitu b. 19 (1, 1). Artinya, muncul mata dadu 10 bernomor 1 pada dadu pertama dan c. 19 kedua. Peluang muncul dua mata dadu 10 d. berjumlah bilangan prima adalah .... 20 5 7 a. c. Ebtanas 1987 18 18 1 15 b. d. 3 36 107 Peluang
  • 113. Tes Kompetensi Semester 1 Kerjakanlah pada buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Pada segitiga ABC, DE //CB, AE = 25 5. Segitiga ABC dengan A sebesar 85° cm, EB = 25 cm, dan CB = 60 cm. dan B sebesar 70° akan sebangun dengan .... Panjang DE adalah .... A a. PQR, Q = 70°, dan P = 70° a. 20 cm E b. MNO, M = 85°, dan O = 20° b. 25 cm D c. XYZ, Z = 25°, dan X = 85° c. 30 cm B d. KLM, L = 70°, dan M = 35° d. 60 cm C 6. Diketahui sebuah tabung terbuka 2. Pada gambar berikut, besar ABC mempunyai tinggi 20 cm. Jika keliling dan ACB adalah .... 22 a. 75° dan 55° A lingkaran alas tabung 88 cm dan π = D 7 55° b. 75° dan 50° 75° maka luas permukaan tabung tersebut C c. 50° dan 55° adalah .... d. 75° dan 55° E a. 2.068 cm2 B 3. Jika trapesium ABCD dan trapesium b. 1.914 cm2 PQRS sebangun maka panjang BC c. 1.034 cm2 adalah .... d. 1.188 cm2 R S 7. Diketahui sebuah kerucut dengan luas D C alas kerucut 1.386 cm2. Jika tinggi 15 cm 22 kerucut tersebut 28 cm dan π = , BP Q A 7 20 cm 16 cm luas permukaan kerucut adalah .... a. 12 cm a. 3.696 cm2 b. 15 cm b. 4.567 cm2 c. 18 cm c. 3.966 cm2 d. 16 cm d. 4.657 cm2 4. Pada gambar berikut panjang KM = 8. Amati gambar berikut dengan 12 cm dan MO = 6 cm. Panjang ML saksama. adalah .... M 1.000 mL 1.000 mL a. 12 cm O 500 mL 500 mL bola besi b. 16 cm c. 24 cm L Jari-jari bola besi adalah .... d. 26 cm K 108 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 114. a. 2,413 12. Sebuah tempat penampungan air ber- b. 2,516 bentuk tabung yang diameternya 7 dm c. 2,616 dan tingginya 0,6 m. Jika ke dalam d. 2,717 tabung tersebut dialiri air dengan debit 2 liter/menit, waktu yang dibutuhkan 9. Diketahui sebuah sumur dengan untuk mengisi tabung sampai penuh diameter 140 cm dan tinggi 12 m. Jika adalah .... isi airnya 1 volume sumur, volume air a. 12 jam 24 menit 4 22 b. 15 jam 24 menit tersebut adalah .... 7 c. 16 jam 24 menit a. 462 liter d. 17 jam 24 menit b. 4.620 liter c. 46.200 liter 13. Sebuah bola yang terbuat dari karet d. 462.000 liter jari-jarinya 14 cm. Jika untuk setiap cm2 karet, diperlukan biaya Rp25,00, 10. Ke dalam sebuah tabung yang berisi besar biaya yang diperlukan untuk air (penuh) dimasukkan kerucut membuat bola tersebut adalah .... pejal yang diameternya sama dengan a. Rp61.500,00 diameter tabung, yaitu 10 cm dan tinggi b. Rp75.000,00 kerucut 6 cm, seperti ditunjukkan pada c. Rp51.050,00 gambar berikut. d. Rp70.500,00 S T 14. Sebuah corong berbentuk kerucut yang penuh berisi pasir diameternya 6 m dan tingginya 3 m. Jika pasir V tersebut dipindahkan ke dalam sebuah Jika volume air setelah dimasukkan wadah berbentuk kubus dan pasir 1 yang tersisa 1.260 liter, panjang sisi kerucut pejal menjadi 1.257 cm3, 7 kubus adalah .... tinggi tabung adalah .... a. 5 m a. 15 cm b. 3 m b. 16 cm c. 2 m c. 17 cm d. 7 m d. 18 cm 15. Mean dari data berikut ini adalah .... 11. Diketahui volume sebuah kerucut Nilai 4 5 6 7 8 9 adalah V. Jika jari-jari kerucut tersebut Frekuensi 1 4 5 6 4 2 diperbesar 3 kali jari-jari kerucut a. 6,5 semula sedangkan tinggi kerucut b. 6,6 tetap, volume kerucut menjadi .... c. 6,7 a. 3 V c. 6 V d. 7 b. 9 V d. 12 V UN 2005 109 Tes Kompetensi Semester 1
  • 115. 16. Diketahui data sebagai berikut. a. 3,5; 5; 6 b. 4; 5; 6 14 12 11 13 10 1 4 c. 4; 5; 6,5 11 10 15 12 11 11 d. 4; 5,5; 6,5 Pernyataan dari data tersebut adalah (1) rataan = 12 19. Sebuah dadu dilempar sebanyak 400 (2) modus = 11 kali. Frekuensi harapan munculnya (3) median = 12 mata dadu kelipatan 2 adalah .... Pernyataan yang benar adalah .... a. 100 a. (1) dan (2) b. 200 b. (2) dan (3) c. 300 c. (1) dan (3) d. 400 d. (1), (2), dan (3) 20. Dalam sebuah kotak terdapat 20 17. Nilai rata-rata ujian Matematika dari nama peserta undian yang dikemas 50 murid adalah 6,5. Jika dua orang secara seragam. Satu nama akan murid yang masing-masing mendapat diambil dari kotak tersebut secara nilai 8 dan 5 tidak dimasukkan dalam acak. Peluang setiap orang untuk bisa perhitungan rata-rata tersebut, nilai memenangkan undian adalah .... 1 rata-rata ujian yang baru adalah .... a. 20 a. 6 c. 7 1 b. 6,5 d. 7,5 b. 10 18. Diketahui data sebagai berikut. 1 c. 5 4 7 4 3 6 7 5 d. 1 Nilai kuartil bawah, median, dan kuartil atas dari data tersebut berturut- turut adalah .... 110 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 116. 5 Bab Sumber: www6.fheberswalde.de Pangkat Tak Sebenarnya Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat- sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar. A. Bilangan Rasional Di Kelas VII kamu telah mempelajari sifat-sifat perkalian Berpangkat dan pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat Bilangan Bulat positif. Pada bab ini sifat-sifat tersebut akan dikembangkan B. Bentuk Akar dan sampai bilangan rasional berpangkat bilangan bulat dan Pangkat Pecahan bentuk akar. Konsep-konsep bilangan berpangkat dan bentuk akar banyak digunakan dalam bidang ilmu dan teknologi, seperti pada contoh berikut. Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan 5 dikotil pada musim dingin adalahx cm. Adapun pada 2 musim panas, ukurannya menyusut x cm. Setelah mem- pelajari bab ini, kamu dapat menghitung penurunan luas penampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas. 111
  • 117. Diagram Alur Bilangan Berpangkat terdiri atas Pangkat Sebenarnya Pangkat Tak Sebenarnya adalah adalah Pangkat Bilangan Bulat Positif Pangkat Bilangan Pangkat Nol Pangkat Pecahan Bulat Negatif sifat definisi definisi 1. am × an = am + n am a0 = 1, a bilangan dapat diubah 2. = am – n 1 sifat a–n = rasional dan a ≠ 0 an menjadi an n 3. = am × n = an × m am a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n bilangan 4. pan + qam = an (p + qam – n) Bentuk Akar bulat positif 5. pan – qam = an (p – qam – n) pam – qan = an(pam – n – q) 1 1 1 n 1. = pm pm n 1 m 2. =p = mn pm p n n m m m 1 p n 3. =p = p n n Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat c. 32 × 3 × 33 berikut. d. (–2)3 × (–2)2 × (–2)4 a. 72 c. (–11)2 4. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat b. 13 d. (–15)3 berikut. 3 2. Tentukan nilai dari akar bilangan a. (23)2 berikut. b. (32)3 5. Selesaikan soal-soal berikut. a. c. 3 216 81 a. (34)2 – (15)2 3 b. d. 512 625 b. (23)2 + (23)4 3. Selesaikan soal-soal berikut. a. 53 – 22 + (–3)2 b. 82 – 13 – (–2)3 112 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 118. A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat 1. Bilangan Rasional Di Kelas VII, kamu telah mempelajari konsep bilangan rasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajari Tugas kembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisi untukmu bilangan rasional berikut. Coba kamu selidiki Definisi 5.1 apakah bilangan-bilangan Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan berikut merupakan bilangan rasional? a , dengan a dan b adalah bilangan bulat dalam bentuk a. 0,5 b b. 0,3333.... c. 0,16666.... serta b ≠ 0. d. 1,41421356237.... e. 0,08080808080808.... Bilangan 1 , 1 , 2 , – 2 , – 3 , dan – 5 merupakan bilangan f. 3 233 5 7 9 Tuliskan hasil rasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi 5.1. penyelidikanmu pada buku latihan, kemudian 2. Pengertian Bilangan Rasional kumpulkan kepada gurumu. Berpangkat Bilangan Bulat Positif Dalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harus mengalikan bilangan-bilangan berikut: 3×3 InfoMatika 5×5×5 (–2) × (–2) × (–2) × (–2) (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) Pangkat dua dari suatu Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika bilangan yang digit terakhirnya 5 dapat ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut. dihitung dengan rumus 3 × 3 ditulis 32 dan dibaca quot;tiga pangkat duaquot;. n (n + 1) + 25 Dalam hal ini + 5 × 5 × 5 ditulis 53 dan dibaca quot;lima pangkat tigaquot;. berarti angka-angkanya (–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)4 dan dibaca quot;negatif didekatkan. Misalnya, berapa nilai dari 452? dua pangkat empatquot;. 452 berarti n = 4 Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dari + 4 (4 + 1) 25 perkalian berulang (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5). Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan 20 + 25 = 2025 berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut. Jadi, 452 = 2025 Dengan penalaran Definisi 5.2 yang sama seperti perhitungan tersebut, Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka hitunglah perkalian berulang n faktor dari a ialah a. 752 b. 852 a a a a ... a dituli a n .. . 1 2443 n faktor a 113 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 119. Pada Definisi 5.2, an disebut bilangan berpangkat dengan TechnoMath a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen). Contoh 5.1 Dengan menggunakan Calculator Scientific tipe FX-570W kamu dapat 1. Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian menentukan nilai (4,9)3 berulang, kemudian hitunglah. dengan menekan tombol- a. 73 c. –(34) tombol berikut secara berurutan. 3 2 ( 4 • 9 ) x3 b. (–3)4 d. 3 Pada layar akan muncul Penyelesaian: tampilan a. 73 = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343 b. (–3)4 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 9 × 9 = 81 c. –(34) = –(3 × 3 × 3 × 3) = –(9 × 9) = –81 Selanjutnya, untuk mengetahui hasilnya tekan 3 2 2 2 2 8 tombol = d. = 3 3 3 3 27 sehingga pada layar akan muncul tampilan. 2. Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang rusuk 9,2 dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut? Penyelesaian: Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9,2 dm Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan mL. Tugas V = p3 = (9,2)3 = 9,2 × 9,2 × 9,2 = 84,64 × 9,2 = 778,688 untukmu Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm3 atau 778,688 liter. Diketahui 1 liter = 1000 ml sehingga Salin dan lengkapilah perkalian berikut. 778,688 liter = 778,688 × 1000 mL = 778.688 mL. 1. 2,54 × 2,53 Jadi, volume bak mandi tersebut adalah 778.688 mL. = ( 4 .. 3 ) ( 4 .. 3 ) .. .. 12 12 ... faktor ... faktor = ( .. ) ... 142 3 3. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat ... faktor = 2,5 ... Bilangan Bulat Positif 2. Misalkan, a adalah bilangan rasional. a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat a3 × a5 = ( 4 .. 3 ) ( 4 .. 3 ) .. .. Pelajari operasi hitung berikut. 12 12 ... faktor ... faktor 33 × 32 = ( 4 2 3 ) ( = ( 4 .. 3 ) {) ... 1 12 ... faktor 2 f ktor fak 3 f ktor fak = a ... = 3 3 2 4 343 3 = 33+2 3 Berdasarkan uraian 1 tersebut dapatkah kamu ( 3 2 ) faktor a menerka sifat umum Jadi, 33 × 32 = 33+2. perkalian bilangan Sekarang, lakukan Tugas untukmu di samping. berpangkat? Cobalah nyatakan sifat tersebut Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas dengan kata-katamu sifat berikut ini. sendiri. Kemudian, ujilah Sifat 5.1 dugaanmu untuk mengalikan 2 bilangan Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka berpangkat sebarang. am × an = am+n 114 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 120. Siapa Contoh 5.2 Berani? a. 52 × 53 = 52+3 = 55 1. Panjang rusuk sebuah b. (–2)4 × (–2)5 = (–2)4+5 = (–2)9 kubus adalah 5 cm. c. 23 × 34 tidak dapat disederhanakan karena bilangan Kemudian, panjang rusuk kubus tersebut pokoknya tidak sama. diperpanjang menjadi d. 3y2 × y3 = 3y2+3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional. 5 kali panjang rusuk 2. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan meng- semula. Berapa liter volume kubus yang baru? 12 gunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h = gt . Dalam 2 hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah Tugas adalah 4,9 detik. Jika percepatan gravitasi bumi di tempat untukmu itu 9,8 m/det2, berapa meterkah tinggi gedung tersebut? Penyelesaian: Salin dan lengkapilah Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det2 pembagian bilangan berikut. Ditanyakan: h = ? 6. 7 to 4 faktor . ... fa or 8 h = 1 gt2 = 1 × 9,8 × (4,9)2 = 4,9 × (4,9)2 6 1. 24 = ( ... ) 4 2 2 ( .. ) ... 123 4 = (4,9)1+2 = (4,9)3 = 117,649 ... faktor 6. 7 kt8r 4f 4 . faktor ... fa tor to 6.. 7 to 4 fa 8 .. faktor or Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter. = ( ... ) ( ... ) ( ... ) . 123 4 ... faktor b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat = 1 ... = 2... .. 23 ... faktor Pelajari operasi hitung berikut. 2. Misalnya, a adalah bilangan rasional. 5 faktor 7 or 4 8 fa a 6 4 6. 7 to 4 fa 8 . ... faktor or 5 3 33333 = ( ... ) a5 = 32 33 ( .. ).. a3 { 123 4 ... faktor 2 f ktor fak 6. 7 kt8r 4f 4 . faktor ... fa tor to 6.. 7 to 4 fa 8 .. faktor or ( 5 2 ) faktor fakto kt kto 678 4 } 2 f ktor fak ( ... ) ( ... ) = 3 3 3 3 3 = 34 2 3 3 = 35–2 13 ( ... ) . = 123 4 33 ... faktor ( 5 2 ) faktor a { = 1 ... = a... .. 23 2 faktor akt ... faktor 35 Berdasarkan uraian Jadi, 2 = 35–2 tersebut, coba kamu 3 terka sifat umum Selanjutnya, lakukan Tugas untukmu di samping. pembagian bilangan berpangkat. Nyatakan Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi sifat tersebut dengan sifat berikut. kata-katamu sendiri. Kemudian, ujilah Sifat 5.2 dugaanmu untuk menghitung pembagian Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat dua bilangan berpangkat m positif maka a n = am–n dengan m > n. sebarang. a 115 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 121. Contoh 5.3 37 = 37–4 = 33 = 27 1. a. 34 (–5)6 = (–5)6–4 = (–5)2 = 25 b. (–5)4 2 p5 = 2p5–2 = 2p3 c. p2 2. Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak v2 melingkar dirumuskan as = r . Dalam hal ini as = percepatan sentripetal bersatuan m/det2, v = kecepatan benda bersatuan m/det, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan meter. Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang ber- Sumber: CD Image bentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam. Berapa m/det2 percepatan sentripetal mobil tersebut? Penyelesaian: Tugas Diketahui: r = 16 m untukmu 57.600 m v = 57, 6 km = = 16 m/det 3.600 det jam a Salin dan lengkapilah Ditanyakan as? perpangkatan berikut. 2 2 as = v = 16 = 162–1 = 161 = 16 1. (54)3 = 1 ... .. 23 r 16 ... faktor Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/det2. = (4 .. 3 ) .. ( .. ) .. ( .. ) ... 12 123 4 123 4 ... faktor ... faktor ... faktor = 1 ...3 = 5 ... ... × ... 42 c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat ... faktor 2. Misalnya, a adalah bilangan rasional. Pelajari operasi hitung berikut ini. (a2)4 = 1 ... .. 23 (23)2 = 232 3 3 12 ... faktor = (4 .. 3 ) (4 .. 3 ) ... ... 2 f ktor fak 12 12 ... faktor ... faktor = ( 4 2 3 ) ( 4 2 3 ) = 2 2 422 2 2 32 1 1 1 ( ... ) ( ... ) ( 2 3 ) faktor a 1 24 43 1 24 43 3 f ktor fak 3 faktor a ... faktor ... faktor 2×3 =2 = 1 ...3 = a .. ... × ... 42 Jadi, (23)2 = 22×3 = 23×2 ... faktor Kemudian, ujilah Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. dugaanmu untuk Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu memangkatkan bilangan berpangkat sebarang. pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu Sifat 5.3 menduga sifat umum Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka perpangkatan bilangan berpangkat? Cobalah (am)n = am×n = an×m nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. 116 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 122. Contoh 5.4 (34)2 = 34×2 = 38 1. a. 5 35 3 15 1 1 =1 b. = 2 2 2 3 = (–2) = (–2)12 4×3 c. ( ) Energi kinetik (Ek) sebuah benda bermassa m kg yang 2. 1 mv2. bergerak dengan kecepatan v m/det dirumuskan Ek = 2 Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 27 m/det. Berapa joule energi kinetik benda tersebut? Penyelesaian: Diketahui: m = 6 kg v = 27 m/det = 33 m/det Ditanyakan: Ek = ? 1 1 mv2 = × 6 × (33)2 = 3 × 33×2 = 3 × 36 = 37 = 2.187 Ek = 2 2 Jadi, energi kinetiknya adalah 2.187 joule. Tugas d. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian untukmu Pelajarilah operasi hitung berikut. Salin dan lengkapilah (2 × 3)3 = ( operasi hitung berikut. ) ( 2 4) 4 (4 4 ) 1 3 1. (3 × 5)4 = 1 ...... 3 faktor f 23 ... faktor = 23 × 33 =( 14 2 3 ) ( 4 2 3 ) 1 = (4 .. 3 ) (4 .. 3 ) ... ... 12 12 3 f ktor fak 3 faktor a ... faktor ... faktor Jadi, (2 × 3)3 = 23 × 33. = ... × ... 2. Misalkan, a dan b Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. bilangan rasional. (a × b)5 = 1 ... .. Perpangkatan dari bentuk perkalian yang telah kamu 23 ... faktor pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. = (4 .. 3 ) (4 .. 3 ) ... ... 12 12 Sifat 5.4 ... faktor ... faktor = ... × ... Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka Berdasarkan uraian tersebut coba kamu terka (a × b)n = an × bn sifat umum perpangkatan dari bentuk perkalian Contoh 5.5 tersebut. Nyatakan sifat itu dengan kata-katamu sendiri. a. (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100 1. b. {(–3) × 2)3 = (–3)3 × 23 = –27 × 8 = –216 c. (–3pq)4 = (–3)4 × p4 × q4 = 81p4q4 Suatu alat listrik mempunyai hambatan 2 × 102 ohm dialiri 2. arus 3 × 102 ampere selama 2 menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan? 117 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 123. Tugas Penyelesaian: untukmu Diketahui: R = 2 × 102 ohm I = 3 × 102 ampere Bersama kelompok t = 2 menit = 120 detik belajarmu, coba kamu Ditanyakan W? selidiki mengapa pada Sifat 5.5 nilai b tidak W = I 2 R t = (3 × 102)2 × 2 × 102 × 120 boleh sama dengan = 32 × (102)2 × 2 × 102 × 1,2 × 102 nol. Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan = 9 × 2,4 × 104 × 102 × 102 = 21,6 × 108 = 2,16 × 109 kelas bergantian dengan Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar 2,16 × 109 joule. kelompok yang lain. e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian Tugas Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian, untukmu pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama. Salin dan lengkapilah }faktor 2f k operasi hitung berikut. 2 2 2 = 2 2 = 2 2 = 22 4 3 1. = 1 ...3 .. 3 {3 3 33 42 3 5 { ... faktor 2 f ktor fak 2 f ktor fak 6. 7 to 4 faktor . ... fa or 8 ... ( ... ) = 3 2 2 Jadi, 2 = 22 5... ( .. ).. 123 4 3 3 ... faktor 2. Misalkan, a dan b Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. bilangan rasional Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu 3 a = 1 ...3 ... pelajari itu memperjelas sifat berikut. 42 b ... faktor Sifat 5.5 6. 7 to 4 faktor . aktor ... fa or 8 a... ( ... ) = = Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat b... ( .. ) .. 123 4 n n ... faktor positif maka a = an . Berdasarkan uraian b b tersebut coba kamu terka sifat umum perpangkatan Contoh 5.6 dari bentuk pembagian itu. Nyatakan sifat tersebut dengan kata- 2 3 katamu sendiri. 22 p 2 q 2 4 p2q 2 3 27 2 pq 3 = 33 = 1. 3. = = 343 r2 r2 7 7 r 4 4 =( ) = 16 2 2. 34 81 3 f. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Sebelum mempelajari sifat penjumlahan dan pengurangan Catatan bilangan berpangkat, dapatkah kamu menyederhanakan Sifat distributif pada penjumlahan bilangan berpangkat berikut? bentuk aljabar adalah a. 35 + 37 c. 2 × 53 + 55 a (b + c) = ab + ac. b. (–3)3 + (–3)5 118 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 124. Cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut. InfoMatika a. 35 + 37= 35 (1 + 32) (sifat distributif ) 5 5 = 3 × 10 = 10 × 3 b. (–3)3 + (–3)5 = (–3)3 (1 + (–3)2) (sifat distributif ) 3 3 = (–3) × 10 = 10 × (–3) c. 2 × 5 + 5 = 53 (2 + 52) 3 5 (sifat distributif ) = 53 × 27 = 27 × 53 Uraian tersebut sesuai dengan konsep penjumlahan bilangan berpangkat seperti berikut. Edward Waring Sifat 5.6 (1743–1798) Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah Setiap bilangan bulat merupakan bilangan bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka pangkat tiga dari pan + qam = an(p + qam–n) bilangan itu sendiri atau merupakan jumlah dari beberapa bilangan Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut pangkat tiga. Pernyataan berlaku juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat ini diungkapkan oleh seorang matematikawan seperti berikut. Inggris, Edward Waring, pada tahun 1770. Sifat 5.7 Pernyataan tersebut Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah dapat dibuktikan kebenarannya. Jika bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka diambil sebarang pan – qam = an(p – qam – n) bilangan bulat, bilangan tersebut pam – qan = an(pam – n – q) dapat dinyatakan sebagai bilangan Contoh 5.7 bulat berpangkat tiga. Misalnya, 3 = 43 + 43 + (–5)3 dan 25 + 27 = 25 (1 + 22) 1. (sifat 5.6) 20 = 43 + 43 + (–3)3 + = 25 × 5 = 5 × 25 (–3)3 + (–3)3 + (–3)3. 55 – 57 = 55 (1 – 52) 2. Sumber: Ensiklopedi Matematika (sifat 5.7) & Peradaban Manusia, 2002 = 55 × (–24) = –24 × 55 3 × 7 – 2 × 75 = 75 (3 × 7 – 2) 6 3. (sifat 5.6) = 75 × 19 = 19 × 75 Tugas untukmu 4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat 1. Gunakan Sifat 5.2 untuk Bilangan Bulat Negatif dan Nol a5 menyederhanakan . a8 a. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif 2. Dengan menuliskan ke dalam bentuk faktor- Berdasarkan Sifat 5.2, telah dipelajari bahwa untuk a adalah faktornya, sederhana- a5 bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat kanlah . a8 am Berdasarkan kedua = am–n. positif dengan m > n, berlaku langkah tersebut, an apa yang dapat kamu simpulkan? 119 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 125. Siapa Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai Berani? contoh, amatilah bentuk berikut. a3 = a3–5 = a–2 ... (1) Bilangan sempurna a 5 Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor- adalah bilangan yang jumlah seluruh faktornya faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai sama dengan dua kali bilangan tersebut. berikut. Sebagai contoh, 28 a3 merupakan bilangan aaa =a a a 1 = sempurna karena jumlah a5 aaaaa aaa aa seluruh faktornya sama 1 =1 dengan 2 × 28, yaitu =1× ... (2) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 a2 aa = 56 1 Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a–2 = . = 2 × 28 a2 Untuk mengetahui bilangan sempurna, Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan salah satunya dapat rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk menggunakan rumus 2p (P p+1 – 1). bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan Dalam hal ini p sebaliknya. merupakan bilangan prima. Coba kamu Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n tentukan paling sedikit adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut. dua buah bilangan sempurna lainnya (selain 1 = a–n, a ≠ 0 28) dengan menggunakan rumus tersebut. an Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang dihitung dengan menggunakan kalkulator. InfoMatika 1 1 = 0,111 ... = 1 = 2 –1 –2 = 0,25 = 4 3 9 = 0,125 = 1 = 13 –3 8 2 Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional cokelat berpangkat bilangan bulat negatif seperti definisi berikut. hitam merah Definisi 5.3 perak Nilai dari komponen Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat resistor ditandai oleh positif maka a–n = 1n sebuah sistem warna a garis. Inilah cara untuk menuliskan bilangan yang besar dalam benda yang Contoh 5.8 kecil. Dua garis yang pertama menunjukkan sebuah bagian dan yang Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat ketiga mewakili operasi positif. perkalian dengan pangkat 10. Adapun garis yang a. 5–2 b. 2–3 keempat menunjukkan Penyelesaian: toleransi nilai. 5–2 = 12 b. 2–3 = 13 Sumber: Ensiklopedi Matematika a. & Peradaban Manusia, 2002 5 2 120 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 126. Siapa Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 5.1 sampai Berani? dengan Sifat 5.5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional 1. Ubahlah bentuk dan m, n adalah bilangan bulat negatif. Coba kamu tuliskan pangkat berikut menjadi bentuk kelima sifat tersebut di buku tugasmu. pangkat positif. Contoh 5.9 a. 10–7 b. (–2)–3 c. (–8)–2 5–4 × 56 = 5–4 + 6 = 52 = 5 × 5 = 25 a. d. 7–15 2. Selesaikan soal 2 )2 = (–3)2 – 4 = (–3)–2 = ((–3)–1)2 = ( 1 berikut. Kemudian, b. )4 ubahlah hasilnya ( 3 ke bentuk pangkat 1 =1 1× = negatif. 9 3 3 2 2 5 a. 5 5 b. Pengertian Pangkat Nol 4 1 2 2 b. 2 2 2 2 Kamu telah mempelajari Sifat 5.2 bilangan rasional ber- 2 3 m 7 7 pangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu a n = am–n, c. 3 7 a dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat, m ≠ 0, n ≠ 0, serta m ≠ n. Sekarang, amati sifat tersebut Tugas untuk m = n. untukmu 5 Sebagai contoh, a 5 = a5–5 = a0 ... (1) a Pada Definisi 5.4, disebut- Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, kan bahwa a0 = 1. Selidiki mengapa hal tersebut pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. berlaku untuk a bilangan a5 = a a a a a = 1 rasional dan a ≠ 0? ... (2) Bagaimana jika a = 0? a5 aaaaa Tulis hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu, Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a0 = 1. kemudian kumpulkan pada gurumu. Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat nol seperti definisi berikut. Definisi 5.4 Siapa a0 = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0 Berani? Sifat 5.1 sampai dengan Sifat 5.5 yang telah kamu pelajari Ubahlah bentuk pangkat pada bagian 3 berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol, berikut menjadi bentuk dengan m = n = 0, a adalah bilangan rasional, dan a ≠ 0. pangkat positif. Coba tuliskan kelima sifat tersebut. 4 5 a. 7 Contoh 5.10 5 2 b. 9 Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut. c. (0,1)–2 2 d. (0,15)–1 3 3 2 2 2 2 2 2 1. 2. 3. 3 5 5 3 121 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 127. Penyelesaian: 3 2 2 2 8 2 1. = = 3 3 3 27 3 3 2 3 ( 2) 1 2 2 2 2 =2 2. = = 5 5 5 5 5 2 22 4 2 4 =2 =2 = 24 = 16 2 3. 3 3 81 3 3 Tes Kompetensi 5.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Hitunglah: Tentukan R jika R1 = 1 , R2 = 12 , a. 3–5 × 33 : 3–4 2 2 4 22 2 R3 = 23 , dan R4 = 22 . b. 1 25 2 5. Diketahui produksi semen (x) sebuah (0,25)–2 × (0,25)4 c. pabrik memenuhi persamaan 1 x = 5 × 2–4 × t2 × 106 (2 × 7)3 × 72 × d. 2 75 dengan t bilangan bulat positif yang 3 2 menyatakan waktu berjalan dalam tahun. 30 52 e. Jika keuntungan perusahaan dinyatakan 52 p = 2–5 × 105, oleh p dari persamaan 2 2 Hitunglah 5 1 7 x 2. dan nyatakan hasilnya 1 berapakah keuntungan perusahaan yang 5 7 dalam bentuk yang paling sederhana. diperoleh selama 3 tahun? 6. Gunakanlah Sifat 5.6 dan 5.7 untuk 3. Volume sebuah kerucut dinyatakan menyederhanakan bilangan berpangkat 1 dengan rumus V = berikut. 3 r2t, dengan r = jari-jari a. 2 × 85 + 5 × 86 t b. 2 × 75 + 3 × 74 alas kerucut dan t = tinggi r c. 3 × (–5)6 – 2 × (–5)5 kerucut. d. 5 × 113 – 7 × 114 Jika r = 1 d, dalam hal ini d = 7. Hambatan sebuah alat listrik (R) bersatuan 2 diameter alas kerucut, nyatakan: V2 ohm dirumuskan R = . Dalam hal ini a. V dalam , d, dan t; P b. t dalam V, dan r; V = tegangan listrik bersatuan volt, dan P = c. d dalam , V, dan t; daya listrik bersatuan watt. Pada sebuah alat d. t dalam , V, dan d. listrik tertulis 220 volt, 220 watt. Berapa Hambatan total R dari sebuah rangkaian 4. ohm hambatan alat listrik tersebut? seri paralel ditentukan oleh persamaan 8. Besarnya energi listrik yang digunakan 1 1 1 pada sebuah alat listrik dirumuskan 1 1 1 1 R= W = I 2Rt. Dalam hal ini W = energi listrik R1 R2 R3 R4 bersatuan joule, I = kuat arus listrik 122 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 128. bersatuan ampere, R = hambatan listrik 10. Panjang sebuah karet gelang () dirumuskan bersatuan ohm, dan t = waktu bersatuan sebagai berikut. 2 detik. Suatu alat listrik mempunyai 25 –3 –3 = (4a ) hambatan 3 × 102 ohm dialiri arus 102 ( 9)4 ampere selama 5 menit. Berapa joule dengan a merupakan bilangan 1, 2, 3, besarnya energi listrik yang digunakan? 4, dan 5 yang menyatakan jenis karet 9. Sebuah penampungan air berbentuk kubus gelang. Jenis karet gelang manakah yang dengan panjang rusuk 1,5 × 103 cm. Berapa memiliki ukuran terpanjang? liter volume penampungan air tersebut? B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Bilangan Real A Di Subbab A kamu telah mempelajari konsep bilangan rasional. Agar kamu lebih memahami konsep bilangan 1 rasional, coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan rasional? a. –3 c. 0, 13245814 .... 45° C B b. 0,252525 .... d. 1 Gambar 5.1 Sekarang, pelajarilah Gambar 5.1. Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga siku- siku istimewa dengan besar sudut lancipnya 45° dan panjang Catatan sisi siku-sikunya 1 satuan panjang. Hubungan antara Panjang sisi AC dapat ditentukan dengan menggunakan macam-macam bilangan Dalil Pythagoras seperti berikut. dapat disajikan seperti diagram berikut. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 × AC = 12 12 = 2 . Bilangan Real Jadi, panjang sisi AC adalah 2 satuan panjang. Amati bilangan 2 tersebut. Dengan menggunakan Bilangan Bilangan kalkulator, akan diperoleh nilai 2 = 1,414213562.... Rasional Irasional Apakah 2 merupakan bilangan rasional? Coba kamu Bilangan 2 = a , dalam hal ini a dan Bilangan cari nilai-nilai a dan b agar Bulat Pecahan b b bilangan bulat dan b ≠ 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan Bilangan Bilangan Bulat b yang memenuhi a = Cacah 2 , sehingga 2 bukan bilangan Negatif b rasional. Jadi, 2 merupakan bilangan irasional. Gabungan Bilangan Bilangan Nol Bulat Positif dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan (Bilangan Asli) irasional merupakan himpunan bilangan real. 123 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 129. 2. Pengertian Bentuk Akar Untuk memahami pengertian bentuk akar, pelajarilah Siapa Berani? perhitungan-perhitungan berikut ini. 22 = 2 42 = 4 4= 16 = Bentuk 4 x 2 52 = 5 32 = 3 25 = 9= dengan x ≥ 0 dapat merupakan Berapakah 36 , 49 , 64 , dan 81 ? bentuk akar atau bukan Perhitungan akar pangkat bilangan tersebut memenuhi bentuk akar. Tentukan paling sedikit dua nilai definisi berikut. x agar bentuk tersebut Definisi 5.5 merupakan a. bentuk akar, a , bil a 0 b. bukan bentuk akar. a2 = a , bil a 0 Amati contoh-contoh berikut. Tugas 1. Misalkan, a = 2 (a > 0) untukmu Nilai a 2 = 22 = 2 Bentuk akar hanyalah 2. Misalkan, a = –2 (a < 0) sebagian kecil dari anggota-anggota Nilai a 2 = ( )2 = –(–2) = 2 himpunan bilangan irasional. Contoh bilangan Sekarang, adakah akar pangkat yang tidak memenuhi? irasional yang bukan Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi Definisi 5.5 bentuk akar yaitu dan e. Carilah informasi dinamakan bentuk akar, seperti 2, 3, 5, 7 , dan 8. mengenai bilangan dan Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional. e. Kemudian, buatlah laporan dari tugas tersebut dan kumpulkan. 3. Menyederhanakan Bentuk Akar Sebuah bentuk akar dapat disederhanakan menjadi per- kalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu akar pangkat bilangan memenuhi Definisi 5.5. Amati dan Siapa pelajari contoh berikut. Berani? 8 = 4 2 = 4 × 2 =2× 2 =2 2 18 = 9 2 = 9 × 2 = 3 × 2 = 3 2 Perhatikan balok berikut. H Berdasarkan perhitungan tersebut, dapatkah kamu G F menemukan sifat berikut? E Sifat 5.8 D C b, ab a A B dengan a dan b adalah bilangan rasional positif. Diketahui AB = 8 cm, BC = 4 cm, dan CG = 6 cm. Hitunglah Contoh 5.11 panjang diagonal sisi AC dan diagonal ruang AG dalam bentuk akar yang 3= 2 3 1. 12 = 4 3= 4× paling sederhana. 24 = 4 6= 4× 6=2 6 2. 124 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 130. 4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Di buku Kelas VII Bab 3, kamu telah mempelajari penjum- lahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x ... (1) 5y – 2y = (5 – 2)y = 3y ... (2) Konsep tersebut berlaku juga untuk bentuk akar, misalnya 2 2 + 3 2 = (2 + 3) 2 = 5 2 ... (3) 5 3 – 2 3 = (5 – 2) 3 = 3 3 ... (4) Berdasarkan kedua contoh tersebut dapatkah kamu Siapa Berani? menerka sifat umum penjumlahan dan pengurangan bentuk akar? Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. Hitunglah operasi Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar tersebut bentuk akar berikut memperjelas sifat berikut. dengan terlebih dahulu menyederhanakan bentuk Sifat 5.9 akarnya. a. 2 + 32 ac b c = (a + b) c b. 6 + 54 – 250 a c b c = (a – b) c c. 32 – 2 + 8 dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c ≥ 0. d. 4 3– 27 12 Contoh 5.12 4 2 + 3 2 – 2 2 = (4 + 3 – 2) 2 = 5 2 1. 3 5 +3 2 2. (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak meme- nuhi aturan penjumlahan bentuk akar) b. Perkalian Bentuk Akar Dengan menggunakan Sifat 5.8, kamu dapat menghitung Siapa Berani? perkalian bentuk akar berikut. 2 3= 2 3= 6 Sederhanakan bentuk akar berikut. 3 3= 3 3= 9 =3 a. 2 5 2 5 5 3 6 2 = 5 × 6 × 3 2 = 30 6 b. 5 7 5 7 Ketiga perkalian tersebut memenuhi sifat perkalian 2 c. 7 12 bentuk akar, yang secara umum ditulis seperti berikut. 2 d. 10 8 2 e. Sifat 5.10 c d = ac bd ab dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b ≥ 0, dan d ≥ 0. 125 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 131. Contoh 5.13 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut. 2 a. b. 3 2 3 2 5 3 Penyelesaian: a. Ingat perkalian suku dua. (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Oleh karena itu, 2 2 2= 3 3 2 3 23 23 2 = 3× 3– 2 × 2 =3–2=1 b. Ingat, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Siapa Berani? Oleh karena itu, 2 2 2 = 5 +2 5× 3 + 3 5 3 Sederhanakan bentuk = 5 × 5 + 2 15 + 3 × 3 akar berikut. 20 50 a. = 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15 42 150 252 b. c. Pembagian Bentuk Akar 12 14 2 27 32 c. Untuk memahami pembagian bentuk akar, amati dan 18 24 pelajarilah uraian berikut. 1. 100 : 4 = 10 : 2 = 5 = 100 : 4 = 25 = 5 2. 36 : 9 = 6 : 3 = 2 = 36 : 9 = 4 = 2 Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan berikut. 1. 100 : 4 = 100 : 4 = 5 2. 36 : 9 = 36 : 9 = 2 Tugas Perhitungan tersebut menggambarkan sifat pembagian untukmu dalam bentuk akar seperti berikut. Pada Sifat 5.11, Sifat 5.11 dituliskan persamaan a a a= a a atau a= b b b b b b dengan a dan b bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > dengan a dan b adalah bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 0. 0. Selidikilah bagaimana jika a dan b negatif? Contoh 5.14 Berilah beberapa contoh, lalu amati. Kemudian, tuliskan hasil penyelidikanmu 18 = 18 = 6 15 = 6 15 = 2 5 a. b. 6 pada buku tugasmu dan 3 33 3 33 kumpulkan pada gurumu. 126 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 132. 5. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Kamu telah mempelajari bahwa bentuk akar merupakan bilangan irasional, seperti 2 , 5, 2 + 5, 3 – 2 , dan 5 + 3. Pecahan bentuk akar merupakan bilangan irasional juga Misalnya 1 1, 1, 3, 5 , dan . 5 3 2 5 2 6 3 2 3 Penyebut pecahan-pecahan tersebut dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan setiap penyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitu mengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional. Berdasarkan contoh pecahan-pecahan bentuk akar tersebut, secara umum bentuk akar yang dapat dirasionalkan, a c c c c yaitu , dan , dengan , , , b a b a b b d b d a, b, c, dan d adalah bilangan rasional dan b > 0, d > 0. Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut berturut-turut d , dan b d . Apakah bentuk b ,a b ,a b, b sekawan dari setiap penyebut itu? a. Bentuk sekawan dari b adalah b . b. Bentuk sekawan dari a + b adalah a – b . c. Bentuk sekawan dari b + d adalah b – d . Perkalian bentuk akar dengan sekawannya akan menghasilkan bilangan rasional. Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangan sekawannya yang menghasilkan bilangan rasional. 2 =b a. b× b= b 2 b = a2 – = a2 – b b. a ba b InfoNet 2 2 = b – d =b–d c. b d b d Kamu dapat menambah dengan b, a2 – b, dan b – d adalah bilangan rasional. wawasanmu tentang materi dalam bab ini dari internet Sampai saat ini, kamu telah mempelajari perkalian penye- dengan mengunjungi alamat: but pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehingga manajemen.klanis.or.id/ warehouse/bab%2021%20 diperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang, kamu akan bilangan%20pangkat.doc mempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar. Secara umum, pecahan bentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalah a c c c c , dan . , , , ba ba bb d b d 127 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 133. Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut. b a=a b Ingat , 1 a. b b b b = a b2 = a b = a b b b b Uji Kecerdikan a b c c a b Ingat , 1 b b. = Kerjakan soal-soal a b a b a b a b berikut. Kemudian, pasangkan hasilnya =ca b = c a2 b c dengan jawaban yang = a b bersesuaian dengan 2 a2 b a b 2 a b cara menuliskan huruf- huruf soal pada kotak c c a b c c. = =2 a b yang tersedia. Jika kamu ab a b a b a b menjawab dengan benar, kamu akan memperoleh c c b d= c kalimat pernyataan dari d. = b d seorang matematikawan bd b d b d b d Jerman, Carl Friedrich Gauss. c c b d= c e. = b d A. 34 × 3–6 bd 3 b d b d b d 16/81 6 E. –125 Contoh 5.15 1/9 H. (–5) 3 1/6 6 Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan me- 2 –3 I. 43 4 rasionalkan penyebutnya. –3 4 1 K. 6 10 1/9 22 a. b. 1/4 5 2 5 M. 3 27 1/9 256 Penyelesaian: N. 4 : 44 5 = 10 5 = 2 5 10 = 10 1/9 a. 3 R. 3 2 5 40 5 5 5 5 256 2 6 3 5 2 6 T. 3 b. = –3 5– 2 5 2 5 2 4 4 2 U. 3 3 2 =6 5 2 =6 5 = 2 5+2 2 3 52 6. Pangkat Pecahan Kamu telah mempelajari bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Selanjutnya, kamu akan mempelajari bilangan berpangkat pecahan. Misalkan, 128 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 134. pandanglah persamaan 9n = 3. Ini berarti 9 dipangkatkan n sama dengan 3. Selain itu, 9n = 3 dapat juga ditulis dalam bentuk (32)n = 3 × 32n = 31 1 Artinya, 2n = 1 atau n = . Jadi, jika 9n = 3, sama artinya 2 1 dengan 9 2 = 3. 1 1 Pada bentuk 9 2 , bilangan adalah eksponen pecahan. 2 1 Bilangan 9 2 dinamakan bilangan berpangkat pecahan. Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa 9 = 3 dan 1 1 9 2 = 3. Jadi, 9 2 = 9 = 3. Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real 1 dan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a = p n . Catatan Definisikan a = n p (dibaca: quot;a adalah akar pangkat n dari pquot;). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut. • Bilangan berpangkat tak sebenarnya (i) p merupakan bilangan real positif dan nol untuk n bilangan meliputi, bilangan genap. berpangkat nol, (ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. bilangan berpangkat bilangan bulat Contoh: Jika 125k = 5 maka negatif, dan bilangan 1 berpangkat pecahan (53)k = 5 53k = 51 3k = 1 k = seperti 3 1 2 1 2–3, 5–2, 30, 50, 33 , 32 Jadi, 125 3 = 5, atau 3 125 = 5. 2 1 1 , dan . Dengan menggunakan pengembangan Sifat 5.3, kamu dapat 3 2 menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan • Bilangan berpangkat bilangan bulat dan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut. positif disebut juga n 1 bilangan berpangkat 1 n n = p n = p1 = p = pn pn sebenarnya, seperti 5 1 23, (–3)2, , (0,2)3, n 2 1 =p 10 n 3 p 2 1 , dan . 5 3 1 1 p n adalah akar pangkat n dari p atau dituliskan p = pn . n 1 p n disebut bilangan berpangkat pecahan. 1 Pada p n berlaku ketentuan berikut. (i) p merupakan bilangan real positif dan nol, untuk n bilangan genap. (ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan, berlaku sifat berikut. 129 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 135. Sifat 5.12 Sifat 5.13 Uji Kecerdikan 1 1 m m1 1 1 pm n = pm n n pn = p = n m mn Penjualan sepeda motor p =p pada suatu dealer mengikuti persamaan Sifat 5.14 3 p = 1.000 t 2 . m m m 1m 1 2 n p p n = pn =p = n Dalam hal ini, t adalah bilangan bulat positif yang menyatakan waktu Berdasarkan Sifat 5.13 dan 5.14, terlihat bahwa dalam tahun. a. Hitung banyaknya sepeda motor yang m m pm = terjual pada tahun n n p pn = ke-4. b. Apakah penjualan terus meningkat Contoh 5.16 dari tahun ke tahun? Jika ya, bagaimana pendapatmu 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut. mengenai dampaknya 5 terhadap lingkungan? a. 3 8 b. 23 Penyelesaian: 3 3 23 = 2 3 = 21 = 2 a. 8= 3 5 3 3 3 3 3 25 = 32 = b. 23 = 8 4= 8 4 3 = 2 3 4 = 2 × 3 4 = 23 4 3 2. Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan. a. 3 52 b. 5 81 Penyelesaian: 4 2 5 b. 5 81 = 34 = 3 5 a. 3 52 = 53 Hal Penting 3. Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar. 1 • eksponen 3 3 a. 12 4 b. c. 63 22 • polinem • bilangan berpangkat Penyelesaian: • pangkat negatif 3 3 • pangkat pecahan 4 123 a. 12 4 = c. 22 = 23 = 23 = 8=2 2 2 • bentuk akar 1 3 b. 6= 3 6 Contoh 5.17 x Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil 5 pada musim dingin adalah x cm. Adapun pada musim 2 x x panas, ukurannya tersebut menyusut sejauh x cm, seperti pada gambar di samping. Hitunglah penurunan luas penampang x tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas. 130 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 136. Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan soal tersebut. 5 Diketahui: Jari-jari batang mula-mula = r1 = x cm 2 5 Jari-jari batang setelah menyusut r2 = cm x x 2 Ditanyakan: Penurunan luas penampang ( L) Siapa Langkah 2 Berani? Menentukan konsep yang akan digunakan untuk menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah luas daerah 1. Sederhanakanlah lingkaran dan operasi pada bentuk akar. soal-soal berikut. Langkah 3 a. 3 8 Menyelesaikan soal. b. 5 81 L = Luas mula-mula – Luas batang setelah menyusut c. 3 125 d. 8 2 2 256 5 5 = πr12 – πr22 = x x x e. 3 8 2 2 10 f. 2 5 42 25 3 = 25 x 9 16 πx = 4πx = x= x x 1 g. 2 3 4 2 52 4 4 4 Jadi, penurunan luas penampang tumbuhan tersebut = 4πx cm2. 2. Ubahlah bentuk akar berikut menjadi Langkah 4 pangkat pecahan. Memeriksa kembali jawaban yang telah diperoleh. 3 a. 11 c. 13 Oleh karena L = πr12 – πr22 maka b. 162 d. 3 322 3 2 3. Ubahlah pangkat 9 3 L + πr22 = 4πx + = 4πx + x x pecahan berikut 4 2 menjadi bentuk akar. 2 = 16 9 25 5 1 2 = πr12 x= x= x a. 22 c. 115 4 4 4 2 2 b. 7 3 Jadi, jawaban L = 4πx cm2 tersebut benar karena L + πr22 = πr12. Tes Kompetensi 5.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Sederhanakan bentuk akar berikut. 3. Sederhanakan pecahan bentuk akar berikut dengan merasionalkan penyebutnya. 48 72 a. c. 3 8 a. c. 54 80 b. d. 6 3 21 2. Hitunglah operasi-operasi berikut. 4 3 b. d. a. 2 6 3 3 6 7 11 25 b. 2 3 3 7 4. Nyatakan soal-soal berikut dalam bentuk akar yang paling sederhana. 48 c. 1 6 a. 3210 8 90 5 d. b. 27 6 65 131 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 137. 5. Sederhanakanlah soal-soal berikut dan 1 9. Tunjukkan bahwa bilangan x2 nyatakan hasilnya dalam bentuk bilangan x2 berpangkat rasional positif. 5 1. rasional untuk x = 2 2 1 a. c. (–5) × ( ) 3 73 72 51 1 3 1 3 10. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar b. 4 d. 8 42 4 2 2 atau salah. Jelaskan hasil penyelidikanmu. 6. Amati persamaan berikut. a = a 2 = ( )( ) 1 1 1 3 12 = a=( = –a a3 b3 a ) Ubahlah persamaan tersebut dalam bentuk 11. Sebuah kubus dengan yang paling sederhana, tanpa mengguna- R panjang rusuk 6 cm RZ kan pangkat bilangan negatif. disandarkan pada 7. Hitunglah p + q, p – q, dan p × q, serta S dinding sehingga sederhanakan hasilnya jika Q posisinya miring 3 2 p= dan q = a. seperti pada 23 23 gambar. Y P 12 dan q = 3 b. p = Jika PY = 4 cm dan RZ = 31 cm, berapa 11 3 11 3 tinggi titik R dari lantai? 8. Carilah nilai x untuk persamaan 12. Sederhanakan bentuk a2 – b2 untuk 4x 2 = x 1 . 1 1 a= , dan b = . 3 2 4 22 322 322 Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n 1. Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat 4. adalah bilangan bulat positif maka a dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan (am)n = am × n = an × m. b b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan 5. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n 2. m, n adalah bilangan bulat positif dengan adalah bilangan bulat positif maka m ≥ n maka pan + qam = an (p + qam – n). am × an = am + n. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan 6. Jika a adalah bilangan rasional, dengan 3. m, n adalah bilangan bulat positif dengan a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat m ≥ n maka m positif maka a n = am – n dengan m > n. pan – qam = an (p – qam – n); a pam – qan = an (pam – n – q). Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. 132 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 138. Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari bab ini yang menurutmu paling mudah dan yang paling sulit dipahami berikut alasannya. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 5 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. Nilai (–6)–2 sama dengan .... 1 1. 6. = .... 82 c. – 1 a. 36 a. 2–6 26 c. 36 1 1 b. d. –36 b. 82 82 d. 36 7. 27 12 = .... 35 = .... 2. a. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 a. 3 c. 2 3 b. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 b. 15 d. 2 5 c. 5 + 5 + 5 8. Dengan merasionalkan penyebutnya, d. 5 × 5 × 5 bentuk 6 dapat disederhanakan men- 3. Dengan merasionalkan penyebutnya, 3 6 bentuk dapat disederhanakan jadi .... 3 3 2 a. 3 c. 3 menjadi .... 3 a. 3 + 3 c. 3 – 3 b. 2 3 d. 3 3 2 b. d. 2 – 3 1 9. 8 9 = .... 3 3 3 2 2 a. c. 3 3 4. 343 = .... 3 8 b. 8 d. 3 a. 7 c. –6 5 b. 6 d. –7 10. 5 = .... 23 + 25 = .... 5. a. 5 3 c. 5 5 a. 25 c. 5 × 23 b. 3 5 d. 3 3 b. 28 d. 3 × 23 133 Pangkat Tak Sebenarnya
  • 139. 32 32 32 11. 125 = .... 15. = .... 23 23 23 2 53 a. 9 8 a. c. 5 8 9 2 b. 3 3 b. 1 d. 3 4 52 c. 6 3 2 16. = .... d. 3 5 a. 9 12. Dengan cara merasionalkan penyebutnya, b. 27 90 c. 36 bentuk akar dapat disederhanakan 72 d. 81 menjadi .... 20 17. = .... a. 5 5 1 b. 5 a. 2 5 2 b. 4 5 c. 2 5 c. 5 5 1 d. 3 2 d. 8 5 3 25 18. 2 10 = .... 13. = .... 3 3 a. 2 3 1 35 a. b. 2 5 2 c. 2 10 33 b. 1 d. 5 2 33 c. 19. 8 = .... 12 8 12 2 35 d. a. 2 b. 4 2 3 14. 125 100 = .... 3 2 c. 6 9 d. 8 a. 100 1 3 20. 3 4 3 4 = .... 29 b. a. 1 1.000 b. 3 19 c. c. 9 1.000 39 d. 81 d. 1.000 134 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 140. 6 Bab Sumber: www.scatork.com Barisan dan Deret Bilangan Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret. A. Pola Bilangan Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran yang baru kamu kenal. Konsep barisan dan deret bilangan B. Barisan dan Deret Bilangan sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraian berikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai 100 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun barat dan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jika terdapat 25 baris tempat duduk? Untuk menjawab permasalahan tersebut, kamu harus mempelajari konsep barisan dan deret bilangan seperti materi yang dibahas pada bab ini. 135
  • 141. Diagram Alur Barisan dan Deret Bilangan materi dasarnya membahas tentang Pola Bilangan misalnya Barisan Bilangan Deret Bilangan terdiri atas terdiri atas • Pola bilangan ganjil • Pola bilangan genap • Pola bilangan segitiga • Pola bilangan persegi Barisan Barisan Deret Deret • Pola bilangan persegipanjang Aritmetika Geometri Aritmetika Geometri Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Sebutkanlah bilangan genap positif 4. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 6 yang kurang dari 20. antara 1 dan 100. 2. Sebutkanlah bilangan ganjil positif 5. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 10 antara 11 dan 30. dari 10 sampai dengan 250. 3. Sebutkanlah bilangan kuadrat dari 1 sampai dengan 15. A. Pola Bilangan Gambar 6.1 memperlihatkan gedung pertunjukan yang mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Apabila kamu tuliskan banyaknya tempat duduk pada setiap baris, diperoleh tabel sebagai berikut. Sumber: CD Image Baris ke- 1 2 3 4 5 ... 20 Gambar 6.1 Banyak Kursi 40 44 48 52 56 ... 116 136 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 142. Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu kumpulan (himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 4. Contoh lain bilangan-bilangan yang memiliki pola adalah nomor rumah di jalan raya atau di perumahan. Rumah-rumah di sebelah kiri bernomor 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87. Adapun rumah- rumah di sebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88. Amati barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87 dan juga barisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 6.2 Kedua barisan bilangan tersebut memiliki pola, dengan Penomoran rumah di suatu setiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya jalan merupakan contoh pola bilangan. ditambah 2. 1. Pengertian Pola Bilangan Jika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilangan yang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan ter- tentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut membentuk suatu barisan. Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola- pola. Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini. a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil. Pola barisan ini dapat dilihat pada Gambar 6.3. Gambar 6.3 b. Barisan 2, 4, 6, 8, .... Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap. Polanya dapat dilihat pada Gambar 6.4. Gambar 6.4 c. Amati Gambar 6.5 berikut. Gambar 6.5 Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut. 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 Sumber: images.search.yahoo.com Gambar 6.6 137 Barisan dan Deret Bilangan
  • 143. Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga. d. Amati pola bilangan pada Gambar 6.7. Pola bilangan pada Gambar 6.7 disebut pola bilangan persegi. Mengapa? Diskusikan dengan temanmu. Gambar 6.7 Tugas Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut. untukmu 1 = 1 atau 12 = 1 Coba kamu selidiki 4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3 mengapa barisan 1, 9 = 1 + 3 + 5 atau 32 = 1 + 3 + 5 3, 6, 10, ... disebut barisan bilangan 16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7 segitiga. Jelaskan hasil e. Pola bilangan persegipanjang di antaranya dapat kamu penyelidikanmu. lihat pada Gambar 6.8. Gambar 6.8 Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut. 2=1×2 12 = 3 × 4 6=2×3 20 = 4 × 5 Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegi- panjang? Coba kamu jelaskan. 2. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yang berbentuk segitiga adalah Blaise Pascal. Untuk mengabadikan 1 namanya, hasil karyanya tersebut kemudian disebut segitiga Pascal. Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak 1 1 a b dalam Gambar 6.9. 1 2 1 Jika kamu amati dengan cermat, bilangan-bilangan 1 3 3 1 yang terdapat pada segitiga Pascal memiliki pola tertentu, 1 4 6 4 1 yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk mendapatkan bilangan pada baris selanjutnya. 1 5 10 10 5 1 Sekarang, amati bilangan-bilangan yang terdapat pada Gambar 6.9 sepanjang garis a dan b pada Gambar 6.9. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu barisan dengan aturan berikut. 138 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 144. 1=1 InfoMatika 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, ... merupakan barisan bilangan pada segitiga Pascal. Segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan koefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli. Misalnya, (x + y)1 = 1x + 1y = x + y Blaise Pascal (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x2 + 2xy + y2 (1623–1662) (x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Blaise Pascal, ilmuwan (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 berkebangsaan Prancis = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 yang merupakan keajaiban dalam dunia matematika. 3. Menemukan Pola dari Perhitungan Segitiga Pascal yang Bilangan ditunjukkan di sini telah dikenal selama 600 tahun. Kemudian, Pada Bagian 1, kamu telah mengetahui bahwa jumlah ia menemukan bahwa bilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil banyak dari sifat-sifat segitiga dihubungkan yang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu: dengan barisan-barisan 1 + 3 = 22, dan deret-deret yang istimewa. 1 + 3 + 5 = 32, Sumber: Ensiklopedi Matematika 1 + 3 + 5 + 7 = 42, dan seterusnya. & Peradaban Manusia, 2002 Jika kamu amati, akan diperoleh: a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 2, b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 3, c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya. Sekarang, amatilah pola bilangan dari perhitungan berikut ini. 22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1, 32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2, 42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3, 52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4, dan seterusnya. Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih dari kuadrat bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilangan berurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara aljabar berikut ini. 139 Barisan dan Deret Bilangan
  • 145. Misalkan, bilangan yang berurutan itu adalah a dan a + 1 maka (a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 – a2 = 2a + 1 = (a + 1) + a Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap a bilangan asli. Tes Kompetensi 6.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. a. Gambar berikut menunjukkan suatu c. lima belas bilangan ganjil yang pola yang disusun dari batang-batang pertama, dan korek api. d. dua puluh dua bilangan ganjil yang pertama. 5. Hitunglah bilangan-bilangan berikut dengan cepat (tanpa menggunakan kalkulator). 1 4 9 a. 3982 – 3972 Salingambar tersebut,kemudianlanjut- b. 5762 – 5752 kan dengan dua suku berikutnya. c. 10732 – 10722 b. Berdasarkan gambar tersebut, tulis- d. 12562 – 12552 lah barisan bilangannya. 6. Amatilah kesamaan-kesamaan berikut. c. Pola bilangan apakah yang memiliki 152 = 225 = 200 + 25 barisan seperti itu? = (1 × 2) × 100 + 25 2. Gambarlah pola noktah (seperti pada 252 = 625 = 600 + 25 Gambar 6.3) dengan menggunakan = (2 × 3) × 100 + 25 barisan bilangan berikut. 352 = (3 × 4) × 100 + 25 a. (1 × 4), (2 × 5), (3 × 6), (4 × 7), ... 452 = (4 × 5) × 100 + 25 b. (2 × 1), (2 × 2), (2 × 3), (2 × 4), ... Dengan melihat pola tersebut, hitunglah c. (2 + 1), (3 + 2), (4 + 3), (5 + 4), ... soal-soal berikut ini dengan cepat. 3. Gunakan segitiga Pascal untuk meng- a. 552 uraikan bentuk perpangkatan berikut. b. 652 a. (x + y)5 c. 952 b. (x + y)6 d. 1052 c. (x – y)3 7. Amatilah kesamaan-kesamaan berikut. d. (x – y)4 3 + 23 = 1 + 8 = 9 = 32 = (1 + 2)2 4. Berapa jumlah dari: 3 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62 a. sembilan bilangan ganjil yang = (1 + 2 + 3)2 pertama, 3 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 b. sebelas bilangan ganjil yang Dengan melihat pola tersebut, hitunglah pertama, soal-soal berikut ini dengan cepat. 140 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 146. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 a. 8. Tentukan urutan bilangan yang habis 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 b. dibagi: 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 c. a. 10; c. 2; 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 d. b. 5; d. 3. B. Barisan dan Deret Bilangan 1. Barisan Bilangan Bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) InfoMatika tertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya, barisan bilangan a. 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116 Terdapat dua macam deret bilangan b. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan berdasarkan atas c. 2, 4, 6, 8, 10, ...,98. banyaknya suku pada deret tersebut, yaitu Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari deret berhingga dan bilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan) deret tak berhingga. Deret berhingga adalah tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan suatu deret yang banyak bilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang. sukunya terbatas. Contoh, 1 + 2 + 3 + ... Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan + 100. Deret ini ditulis bilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada dengan notasi U1 + U2 + ... + Un. Adapun deret barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan tak berhingga adalah tersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, deret yang banyak sukunya tak terbatas. dan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1, Contoh, 1 + 2 + 3 + .... suku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61. Deret ini biasanya ditulis Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai dengan notasi U1 + U2 + U3 + .... suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan. Dapatkah kamu membedakan kedua 2. Deret Bilangan macam deret tersebut? Coba beri contoh lain Amati kembali barisan-barisan bilangan berikut. deret berhingga dan deret tak berhingga. a. 40, 44, 48, 52, 56, b. 1, 3, 5, 7, 9, c. 2, 4, 6, 8, 10. Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperoleh penjumlahan berikut. a. 40 + 44 + 48 + 52 + 56, b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9, c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10. Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret. Oleh karena itu, jika U1, U2, U3, ..., Un adalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Un dinamakan deret. 141 Barisan dan Deret Bilangan
  • 147. 3. Barisan Aritmetika Matematika Ria Amati keempat barisan bilangan berikut. a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un, Berikut adalah sekumpulan bilangan b. 99, 96, 93, 90, ..., Un, yang di antaranya c. 1, 2, 5, 7, 12, ..., Un, terdapat beberapa bilangan yang memenuhi d. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un. rumus Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu n(n ) Un = tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan 2 Jika U1 = 1, pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang hubungkanlah bilangan- demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua bilangan yang memenuhi rumus tersebut dengan suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilangan garis. Bentuk apakah (c) bukan merupakan barisan aritmetika. Apakah barisan (d) yang kamu peroleh? • merupakan barisan aritmetika? Coba selidiki olehmu. • 28 • • Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan 11 • 36 8 dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum, • 45 • • • 21 7 55 barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut. 66 • • • 10 Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan 4 78 • • aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi • • 6 17 1 91 •• Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b. • • 20 15 • 44 82 3 Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un menjadi a, a + b, a + 2b, ..., a + (n – 1)b U1 U2 U3 Un Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan sebagai berikut. Un = a + (n – 1) b Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1 dengan menggunakan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui? Contoh 6.1 1. Selidikilah apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmetika atau bukan. a. 1, –1, –3, –5, –7, –9, –11, –13, –15 b. 2, –2, 2, –2, –2 Penyelesaian: a. Barisan aritmetika dengan b = –1 – 1 = –3 – (–1) = –5 – (–3) = –2 142 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 148. Siapa b. Bukan barisan aritmetika karena selisih dua suku yang Berani? berurutan tidak sama atau tidak tetap. 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 1. Di antara barisan- kurang dari 100. barisan bilangan Penyelesaian: berikut, selidiki Barisan bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 manakah yang merupakan barisan adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99. aritmetika? a = 3 dan b = 3 sehingga Un = a + (n – 1)b 1 1 a. 5, 4 , 4, 3 , U20 = 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60 2 2 1 Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang 3, 2 2 dari 100 adalah 60. b. 2, 1, 1 , 1 , 1 3. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui 2 48 c. 5, 11 , 16, 2 a = 5 dan b = . 2 5 1 21 , 27 Penyelesaian: 2 2. Tuliskan lima suku 2 U1 = a = 5 dan b = pertama barisan 5 aritmetika jika 2 2 U2 = a + b = 5 + =5 diketahui 5 5 u6 = 9 dan u10 = 24. 2 4 U3 = a + (3 – 1) b = a + 2b = 5 + 2 =5 5 5 2 1 U4 = a + (4 – 1)b = a + 3b = 5 + 3 =6 5 5 Catatan 2 3 U5 = a + (5 – 1)b = a + 4b = 5 + 4 =6 5 5 Jika aturan suatu barisan Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 5, 5 2 , 5 4 , aritmatika ditambah b 5 5 maka suku ke-n akan 1 3 6 , dan 6 . memuat 5 5 b × n, yaitu Un = b × n + ... atau Un = b × n – ... 4. Deret Aritmetika Contoh: Tentukan rumus suku Berdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3, ke-n dari 7, 10, 13, 16, dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut. ..., 64. Penyelesaian: a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un. Oleh karena aturannya Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai ditambah tiga maka suku ke-n memuat 3n, yaitu Un semakin besar. U1 = 7 = 3 × 1 + 4 b) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un. U2 = 10 = 3 × 2 + 4 U3 = 13 = 3 × 3 + 4 Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai (Nilai 4 ditentukan sendiri Un semakin kecil. agar hasilnya sama seperti suku barisan Kamu dapat menentukan suku-suku pada deret yang dimaksud). Uraian aritmetika sebagai berikut. tersebut menggambar- kan rumus suku ke-n dari Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut barisan dilambangkan dengan Sn maka 7, 10, 13, 16, ..., yaitu Un = 3 × n + 4 = 3n + 4. 143 Barisan dan Deret Bilangan
  • 149. Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b) Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a + 2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b) n faktor sama n 2Sn = n(2a + (n – 1)b) maka Sn = (2a + (n – 1)b) 2 Tugas Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah untukmu n Sn = (2a + (n – 1)b) Dapatkah kamu 2 membuktikan bahwa pada deret aritmetika Oleh karena Un = a + (n – 1)b, rumus Sn dapat dituliskan berlaku sebagai berikut. Un = Sn – Sn – 1? Tuliskan hasil pembuktian n n tersebut pada buku Sn = (a + Un) atau Sn = (U1 + Un) 2 2 tugasmu, kemudian kumpulkan pada gurumu. Dapatkah kamu menemukan rumus Sn + 1 dengan menggunakan rumus Sn yang telah kamu ketahui? Contoh 6.2 1. Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7. Penyelesaian: Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994. Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga Un = a + (n – 1)b 994 = 252 + (n – 1)7 994 = 252 + 7n – 7 994 = 245 + 7n 7n = 994 – 245 7n = 749 n = 107 Sn = n (a + Un) maka S107 = 107 (252 + 994) = 66.661 Hal Penting 2 2 Jadi, jumlahnya adalah 66.661. • pola bilangan Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan 2. • barisan aritmetika • barisan geometri dengan Sn = 5n2 – 4n. Tentukanlah suku ke-n deret • deret aritmetika tersebut. • deret geometri • sukubeda Penyelesaian: • segitiga Pascal Jumlah n suku pertama adalah Sn = 5n2 – 4n • jumlah n suku pertama Jumlah (n – 1) suku pertama adalah 144 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 150. Siapa Sn–1 = 5(n – 1)2 – 4(n – 1) = 5(n2 – 2n + 1) – 4(n – 1) Berani? = 5n2 – 10n + 5 – 4n + 4 = 5n2 – 14n + 9 Un = Sn – Sn–1 = (5n2 – 4n) – (5n2 – 14n + 9) 1. Jumlah n suku = 5n2 – 4n – 5n2 + 14n – 9 = 10n – 9 pertama suatu deret Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah Un = 10n – 9. aritmetika ditentukan oleh rumus Sn = 2n2 + 3n. Contoh 6.3 Tentukan suku ke-n dan beda (b) deret tersebut. Sebuah perusahaan mobil mainan memproduksi 3.000 buah 2. Sebuah perusahaan kompor memproduksi mobil mainan di tahun pertama produksinya. Karena permintaan 4.000 buah kompor konsumen setiap tahunnya meningkat, perusahaan tersebut di tahun pertama memutuskan untuk meningkatkan jumlah produksinya dengan produksinya. Setiap tahun menambah produksi mobil mainan sebanyak 10% dari produksi jumlah produksinya awal tiap tahunnya. Tentukanlah: bertambah dengan a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun ke- jumlah yang sama. Total produksi delapan; sampai dengan tahun b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai dengan kedelapan adalah 37.600 buah. tahun kedelapan. a. Berapa Penyelesaian: penambahan Langkah 1 produksi setiap tahunnya? Menentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. b. Berapa kompor Diketahui: Suku pertama (a) = 3.000 yang diproduksi Beda (b) = 10% × 3.000 = 300 pada tahun kesepuluh? n=8 3. Seorang pengusaha Ditanyakan: kecil meminjam modal m rupiah dari suatu a. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan bank dengan suku (U8). bunga tunggal 1,2% b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai tahun per bulan. Setelah setahun pengusaha kedelapan (S8). itu mengembalikan Langkah 2 pinjaman dan a. Menentukan U8 dengan menggunakan rumus bunga sebesar 57.200.000,00. Berapa Un = a + (n – 1)b, sebagai berikut. rupiah modal yang U8 = a + (8 – 1)b = a + 7b dipinjam pengusaha tersebut? = 3.000 + 7 (300) = 5.100 Jadi, jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan adalah 5.100 buah. Langkah 3 Tugas b. Menentukan S8 dengan menggunakan rumus untukmu Sn = n (a + Un), sebagai berikut Coba kamu gunakan 2 kalkulator untuk mencari 8 S8 = (3.000 + U8) = 4 (3.000 + 5.100) = 32.400 S107 dari Contoh 6.2 2 nomor 1 tersebut. Jadi, jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai Apakah hasil yang kamu peroleh adalah 275? tahun kedelapan adalah 32.400 buah. 145 Barisan dan Deret Bilangan
  • 151. 5. Barisan Geometri InfoMatika Amatilah ketiga barisan berikut ini. a. 5, 15, 45, 135, b. 160, 80, 40, 20, c. 2, 8, 24, 120. Pada barisan (a) tampak bahwa 15 = 45 = 135 = 3. 5 15 45 Jadi, perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan, Johan Gauss (1771–1885) 1 . Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan yaitu Banyak orang 2 mengatakan, Johan geometri. Adapun perbandingan dua suku yang berurutan Gauss adalah seorang pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan jenius dalam aritmetika. Ketika ia berusia 9 barisan geometri. tahun, seorang guru Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan menyuruh murid-murid di kelasnya untuk geometri dinamakan pembanding atau rasio, dilambangkan menjumlahkan deret dengan p. bilangan 1 + 2 + 3 + ... + 40. Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai Gauss hanya berikut. memerlukan waktu beberapa saat saja Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un+1 dinamakan barisan untuk memperoleh jawaban (820), bahkan geometri apabila untuk setiap n bilangan asli berlaku tanpa menulis sesuatu. Un Un Un U2 Ia mendapat jawaban 1 1 =p = = = ... = dalam otaknya dengan Un Un Un U1 menyadari jumlah itu 1 2 dapat dipikirkan sebagai Jika suku pertama barisan geometri adalah a dengan berikut: (1 + 40) + (2 + 39) + pembandingnya p maka barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un ... + (20 + 21) = 41 + dinyatakan dengan 41 + ... + 41 = 20 × 41 = 820. a, ap, ap2, ..., apn–1, ... Raja sangat kagum akan kemampuan Gauss muda sehingga raja bersedia U1, U2, U3,..., Un membayar biaya pendidikannya. Akhirnya, sehingga rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai Gauss menjadi salah berikut. satu ahli matematika terkemuka di dunia. Un = apn–1 Ia juga meninggalkan hasil karyanya dalam Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1 dengan meng- bidang astronomi, gunakan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui? pengukuran tanah, dan elektromagnetisme. Contoh 6.4 Sumber: Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-Anak Matematika, 1979 1. Selidiki apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri atau bukan. 146 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 152. a. 1, 4, 16, 64, 256 InfoMatika b. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 Penyelesaian: a. Barisan geometri karena perbandingan dua suku ber- urutan sama, yaitu 4 = 16 = 64 = 256 = 4. 1 4 16 64 b. Bukan barisan geometri karena perbandingan dua suku 3 5 berurutan tidak sama, yaitu . 1 3 2. Tentukan pembanding (rasio) dan suku ke-8 dari barisan Fibonacci 2, 6, 18, 54, ..., 39.366 (1180–1250) Fibonacci mempunyai Penyelesaian: nama lengkap Leonardo a = 2 dan p = 6 = 18 = 3 of Pisa. Dalam 2 6 perjalanannya ke Un = apn–1 sehingga U8 = 2 × 38–1 = 2 × 37 = 4.374. Eropa dan Afrika Utara, Jadi, pembanding (rasio) = 3 dan suku ke-8 = 4.374. ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber 6. Deret Geometri Abaci, ia menjelaskan suatu teka-teki yang membawanya kepada Seperti yang telah kamu ketahui, jika U1, U2, U3, ..., Un adalah apa yang sekarang barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ap, ap2, dikenal sebagai Barisan ap3, ..., apn–1. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapat Bilangan Fibonacci. Barisannya adalah memperoleh barisan penjumlahan berikut. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... a + ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1 Setiap bilangan dalam barisan ini merupakan Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri. Misalkan, jumlah dari dua bilangan sebelumnya (1 + 1 = 2, jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, Sn maka berlaku hubungan berikut. ...). Barisan Fibonacci Sn = a + ap + ap2 + ... + apn–2+ apn–1 bisa diteliti dalam susunan daun bunga pSn = ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1 + apn atau segmen-segmen dalam buah nanas atau (1 – p)Sn = a – apn biji cemara. = a(1 – pn) Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002 Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret Tugas geometri adalah sebagai berikut. untukmu a 1 pn a pn Apakah mungkin suatu Sn = ; p < 1 atau Sn = ;p>1 barisan aritmetika juga 1p p1 merupakan barisan geometri? Contoh 6.5 Coba selidiki olehmu. Berikan beberapa contoh lalu amati. Tentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan Kemudian, tulislah hasil 2, 6, 18, 54, .... penyelidikanmu pada buku tugasmu dan kumpulkan pada gurumu. 147 Barisan dan Deret Bilangan
  • 153. Penyelesaian: Catatan a = 2 dan p = 6 = 18 = 3 2 16 Apabila aturan suatu a pn barisan geometri dikali Sn = sehingga dengan p, maka suku p1 ke-n akan memuat 2 38 1 pemangkatan dari p. 2(6.561 1) S8 = = = 6.560 Contoh: 31 2 Tentukan rumus suku ke-n dari 9, 27, 81, .... Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 6.560. Penyelesaian: Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan 2. Oleh karena aturannya dengan Sn = 23n – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut. dikali tiga maka suku ke-n memuat 3n, yaitu Penyelesaian: U1 = 9 = 31 + 1 ditentukan Sn = 23n – 1 maka sendiri agar hasilnya sama seperti suku 23 n Sn–1 = 23(n–1) – 1 = 23n–3 – 1 = –1 barisan yang dimaksud. 23 U2 = 27= 32 + 1 3n 3n = (23n – 1) – 2 3 1 = 23n – 2 U3 = 81= 33 + 1 Un = Sn – Sn – 1 Uraian tersebut 8 2 menggambarkan rumus 3 3n 3n 7 =8 2 2 =7 2 = suku ke-n dari barisan × 23n 9, 27, 81, ..., 8 8 8 yaitu Un = 3n + 1. Contoh 6.6 Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di Tugas kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di untukmu kabupaten itu pada 1 Januari 2018. Dapatkah kamu Penyelesaian: membuktikan bahwa Langkah 1 pada deret geometri berlaku Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Un = Sn – Sn – 1? Tuliskan Diketahui: hasil pembuktian tersebut pada buku tugasmu, kemudian kumpulkan pada gurumu. Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018. Langkah 2 Membuat model matematika dari masalah tersebut. Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah U1 = 50.000 maka diperoleh model berikut. Uji Kecerdikan U2 = 50.000 + 0,1(50.000) (gunakan sifat distributif) Dari suatu deret geometri = 50.000 (1 + 0,1) diketahui Sn = 150, = 1,1 × 50.000 Sn + 1 = 155, dan Sn + 2 = 157,5. Tentukan suku pertama deret U3 = 1,1 × 50.000 + 0,1(1,1 × 50.000) (gunakan sifat tersebut. = 1,1 × 50.000 (1 + 0,1) distributif) 148 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 154. Siapa = 1,1 × 50.000 × 1,1 Berani? = (1,1)2 × 50.000 1. Awal bulan, Pak U4 = (1,1)2 × 50.000 + 0,1{(1,1)2 × 50.000} (gunakan sifat Tobing menabung di 2 = (1,1) × 50.000 (1 + 0,1) distributif) suatu bank sebesar Rp100.000,00 dengan = (1,1)2 × 50.000 (1,1) suku bunga majemuk = (1,1)3 × 50.000 1% per bulan. Dengan demikian, diperoleh barisan berikut. Berapa rupiah jumlah tabungan Pak Tobing U1, U2, U3, U4, ... setelah disimpan 50.000 (1,1) × 50.000 (1,1)2 × 50.000 (1,1)3 × 50.000 .... selama 1 tahun? Langkah 3 2. Seekor ikan berenang lurus Menentukan jumlah penduduk pada 1 Januari 2018. dengan kecepatan Amati bahwa barisan yang diperoleh pada Langkah 2 adalah tetap 32 km/jam selama jam pertama. barisan geometri dengan suku pertama U1 = a = 50.000 dan Pada jam kedua pembanding p = 1,1. Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 kecepatannya menjadi adalah suku ke-11 atau U11. Mengapa? Coba kamu jelaskan 2 -nya, demikian alasannya. 3 seterusnya setiap jam Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = apn – 1 maka kecepatannya menjadi U11 = 50.000(1,1)11 – 1 = 50.000(1,1)10 = 129.687,123 2 kecepatan jam Jadi, jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 adalah 129.687 jiwa. 3 sebelumnya. Berapa kilometer jarak yang ditempuh ikan Contoh 6.7 tersebut pada 8 jam pertama? Bu Aminah membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000,00. Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual) sebesar 20% pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jual mobil tersebut pada akhir tahun keenam? Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui: Harga mobil baru Rp200.000.000,00 Depresiasi 20% atau 0,2 setiap akhir 1 tahun Ditanyakan: harga jual mobil pada akhir tahun keenam. Catatan Langkah 2 Perhitungan suku Membuat model matematika dari masalah pada soal, sebagai bunga majemuk adalah berikut. Misalnya harga mobil baru adalah a = 200.000.000,00 perhitungan bunga dengan demikian diperoleh model berikut. yang akan diperoleh pada bulan atau tahun berikutnya, dihitung U2 = 200.000.000 – 0,2 (200.000.000) (gunakan sifat dari saldo pada bulan = 200.000.000 (1 – 0,2) atau tahun sebelumnya. distributif) Penjelasan lebih dalam = 0,8 × 200.000.000 tentang materi ini akan kamu temui di tingkat SMA/SMK U3 = 0,8 × 200.000.000 – 0,2 (0,8 × 200.000.000) 149 Barisan dan Deret Bilangan
  • 155. = 0,8 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif) InfoNet = 0,8 × 200.000.000 (0,8) = (0,8)2 × 200.000.000 Kamu dapat menambah wawasanmu tentang materi U4 = (0,8)2 × 200.000.000 – 0,2 (0,82 × 200.000.000) dalam bab ini dari internet dengan mengunjungi = (0,8)2 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif) alamat: = (0,8)2 × 200.000.000 (0,8) www.smu-net.com/main. php?act=um&gptp=materi& = 0,83 × 200.000.000 umtr=2 Dengan demikian, diperoleh barisan berikut. a, U2, U3, U4, .... 200.000.000, (0,8) × 200.000.000, (0,8)2 × 200.000.000, (0,8)3 × 200.000.000, .... Langkah 3 Menentukan harga jual mobil pada akhir tahun keenam (U7), sebagai berikut. Amatilah bahwa barisan yang diperoleh pada Siapa langkah ke-2 adalah barisan geometri dengan suku pertama (U1) Berani? = 200.000.000 dan pembanding p = 0,8. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = apn – 1 maka Dari deret geometri U7 = 200.000.000 (0,8)7 – 1 diketahui U4 : U6 = k dan = 200.000.000 (0,8)6 U2 × U8 = 1 . = 52.428.800 k Nyatakan suku pertama Jadi, harga jual mobil pada akhir tahun keenam adalah deret tersebut dalam k. Rp52.428.800,00. Tes Kompetensi 6.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Tentukan beda dan suku ke-10 dari 3. Tentukan masing-masing 5 contoh barisan berikut. barisan aritmetika dan bukan barisan a. –17, –11, –5, ... aritmetika selain contoh yang sudah ada. 4. Carilah suku ke-n deret aritmetika jika 12 3 b. , , , ... diketahui suku pertama (a) dan beda (b) 2 5 10 1 1 berikut. c. –10 , –8, –5 2 2 a. a = 9, b = –3, dan n = 24 1 2 3 , k, ... b. a = 12, b = –7, dan n = 8 d. k, k, 555 c. a = –4, b = 4, dan n = 100 2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap baris- d. a = 2, b = 9, dan n = 15 an bilangan berikut. 5. Tulislah lima suku pertama dari barisan a. 2, 5, 8, 11, ... yang suku ke-n-nya dinyatakan dengan b. 16, 32, 64, 128, ... rumus berikut. c. 35, 31, 27, 23, ... c. n2 + n a. 2n + 1 d. 108, 36, 12, 4, ... 2 d. 5 × 2n–1 b. n + 1 150 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 156. 12. Tentukan nilai t agar barisan berikut 6. Tentukan rasio (pembanding) dan suku ke-n (Un) dari setiap barisan geometri menjadi barisan geometri. a. t, t + 2, t + 6 berikut. b. t – 2, t + 1, 3t + 3 a. 1, –1, 1, ... 13. Carilah nilai dari b. 2, 8, 32, ... (2 + 4 + 6 + ... + 100) – (1 + 3 + 5 + ... + 99). 1 1 c. 5, 2 , 1 . 14. Hitunglah deret bilangan berikut. 2 4 1 1 11 1 1 1, 7, 49, ... d. a. ... 2 4 8 16 52 104 7. Berapakah jumlah dua belas suku per- b. 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + tama deret berikut. 88 + 99 a. –5 + (–2) + 1 + ... c. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 94 + 96 + 98 + 100 b. 6 + 1 + (–4) + ... 15. Carilah x sehingga x + 3, 2x + 1, dan c. 32 + 16 + 8 + ... 5x + 2 adalah bilangan berurutan yang d. 1 1 1 ... memenuhi barisan aritmetika. 3 9 27 Untuk soal nomor 8 sampai dengan nomor 16. Sebuah bank swasta memberikan bunga 10, tentukan jumlah barisan untuk soal-soal majemuk 6% per tahun. Jika bunganya berikut. ditutup setiap akhir tahun, berapakah 8. Tiga puluh bilangan cacah yang pertama. uang nasabah sebesar Rp1.000.000,00 9. Dua puluh lima bilangan asli genap yang setelah disimpan selama 4 tahun? pertama. 17. Dalam suatu rapat, setiap peserta diminta 10. Dua puluh delapan bilangan ganjil yang berjabatan tangan satu kali dengan pe- pertama. serta lain. Berapa kalikah jabatan tangan 11. Jumlah n suku pertama suatu deret yang terjadi jika peserta yang datang aritmetika adalah Sn = 3n2 – 5(n – 1). sebanyak: Tentukan: a. 5 orang; c. 15 orang a. suku ke-10; b. 8 orang d. 20 orang b. beda; c. sepuluh suku pertama deret tersebut. Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Beberapa pola barisan bilangan, di antara- d. barisan bilangan persegi adalah nya adalah sebagai berikut. 1, 4, 9, 16, ..., dan a. barisan bilangan ganjil adalah 2. Barisan bilangan berpola diperoleh dengan 1, 3, 5, 7, ..., mengurutkan bilangan-bilangan dengan b. barisan bilangan genap adalah aturan tertentu, dan tiap-tiap bilangan 2, 4, 6, 8, ..., yang terdapat pada barisan bilangan di- c. barisan bilangan segitiga adalah sebut suku dari barisan itu. 1, 3, 6, 10, ..., 151 Barisan dan Deret Bilangan
  • 157. Jumlah n suku pertama deret geometri 3. Rumus suku ke-n barisan aritmetika 6. Un = a + (n – 1)b a 1 pn Sn = ;p<1 Jumlah n suku pertama deret aritmetika 4. 1p n n atau Sn = (a + Un) atau Sn = (U1 + Un) 2 2 a pn 1 5. Rumus suku ke-n barisan geometri Sn = ;p>1 p1 Un = apn –1 Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor yang menghambatmu dalam memahami materi Barisan dan Deret Bilangan. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 6 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 3. Hasil dari 3472 – 3462 sama dengan 1. Suku berikutnya dari barisan 1, 3, 6, 10 adalah .... .... a. 14 a. 2(347 – 346) b. 15 b. 2(347) – 346 c. 16 c. 2(347) + 346 d. 17 d. 347 + 346 2. Jumlah 17 bilangan ganjil yang 4. Suku berikutnya dari barisan 3, 6, 11, pertama sama dengan .... a 18 adalah .... a. 361 a. 28 b. 324 b. 27 c. 289 c. 26 d. 256 d. 25 152 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 158. 5. Suku ke-n dari suatu barisan di- 10. Jika suku ke-n dari suatu barisan adalah tentukan dengan rumus 2n – 1. Suku 5n2 – 3, suku ke-7 adalah .... ke-5 dari barisan tersebut adalah .... a. 242 c. 122 a. 31 c. 33 b. 177 d. 67 b. 32 d. 34 11. Suku pertama dan kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah 2–4 6. Rumus suku ke-n dari barisan 0, 2, 6, dan 2x. Jika suku kedelapan adalah 252 12, 20 adalah .... a. n(n + 1) maka x sama dengan .... b. 2n2 + 1 a. –16 c. 2n2 – n b. 12 d. n2 –n c. 8 d. 4 7. Amoeba yang terdiri atas satu sel berkem- bang biak dengan cara membelah 12. Suku kelima dan kesepuluh dari diri. Setelah 20 menit, Amoeba itu suatu barisan aritmatika berturut- membelah menjadi 2 ekor, setelah turut adalah 30 dan 50. Suku ketujuh 40 menit menjadi 4 ekor, setelah 60 barisan tersebut adalah .... menit menjadi 8 ekor, dan demikian a. 25 seterusnya. Banyaknya Amoeba setelah b. 35 3 jam adalah .... c. 38 a. 512 ekor d. 48 b. 256 ekor 11 21 13. Suku ke-31 barisan 3, , 8, , ..., c. 128 ekor 2 2 98 adalah .... d. 64 ekor a. 65 8. Ibu Ina pergi ke Jakarta selama 50 b. 78 hari. Jika ia berangkat hari Sabtu, ia c. 80 kembali hari .... d. 82 a. Sabtu 14. Pada suatu barisan aritmetika, U1 = 10 b. Minggu dan U28 = 91. Beda antara dua suku c. Senin yang berurutan adalah .... d. Selasa a. 2 9. Jika suku ke-n dari suatu barisan b. 3 n bilangan adalah , tiga suku c. 4 2n 1 d. 5 pertamanya adalah .... 15. Jumlah 50 suku pertama deret –98, 23 25 1, , c. a. 1, , –95, –92, –89, ... adalah .... 57 33 a. –1.552 c. –1.035 23 125 d. 1, , b. ,, b. –1.225 d. 1.025 35 333 153 Barisan dan Deret Bilangan
  • 159. Tes Kompetensi Semester 2 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Nilai n jika 3 125 = n + 2 adalah .... 6. Jika 2 = 1,414; maka nilai dari a. 5 c. –7 50 adalah .... b. 4 d. –3 a. 7,07 b. 7,14 2. Bilangan nol dipangkatkan dengan c. 14,14 bilangan bulat positif akan meng- d. 6,414 hasilkan .... a. bilangan bulat positif 7. Diketahui a – b = 4 maka nilai dari b. bilangan bulat negatif 4 ab adalah .... c. bilangan nol (0) 3 ba d. bilangan real a. 4 1 2 3. Bentuk pangkat x y dapat di- b. 42 2 x c. –4 tuliskan tanpa pangkat bilangan bulat d. –42 negatif menjadi .... y2 8. Bentuk yang paling sederhana dari 2 a. xy c. x5 x4 x x2 ; x ≠ 0 adalah .... y2 2 y x x2 b. d. x3 x a. x5 4. Sebuah bilangan bulat positif yang b. x6 dipangkatkan dengan bilangan nol c. x7 hasilnya sama dengan .... d. x8 a. 0 9. Bentuk sederhana dan rasional dari b. 1 15 c. bilangan bulat positif adalah .... 5 10 d. bilangan bulat negatif 15 p a. 5 10 Bentuk akar dari y r adalah .... 5. 35 p yr a. b. 5 – 10 1 p r y b. c. 5 10 3 p c. x d. 5 + 10 r d. x 154 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 160. 10. Diketahui barisan bilangan berikut. 16. Diketahui barisan bilangan 2, 4, 7, 1, 4, 8, 13 11, ..., 56. Rumus suku ke-n barisan Suku berikutnya adalah .... tersebut adalah .... a. 19 c. 21 a. Un = 1 (n + 3) b. 20 d. 22 2 b. Un = 1 (n2 + n + 2) 11. Diketahui barisan bilangan berikut. 2 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, ..., 51 × 52 c. Un = 1 (n + 2) 2 Suku ke-n barisan tersebut adalah .... d. Un = 3 (n2 + 3) a. n2 + n 4 b. n2 – n 17. Wawan pergi ke Bali selama 40 hari. c. (n – 1) × n Jika ia berangkat pada hari Senin, ia d. n × (n – 2) akan kembali hari .... 12. Diketahui barisan bilangan berikut. a. Senin c. Jumat 600, 580, 560, 540, ..., 320. b. Selasa d. Sabtu Suku kedua belas dari barisan tersebut 18. 2, 4, 6, 10, 16, .... adalah .... Barisan bilangan tersebut adalah a. 380 c. 210 barisan bilangan .... b. 300 d. 200 a. segitiga 13. Jumlah 15 bilangan genap pertama b. Fibonacci adalah .... c. persegi a. 240 c. 220 d. genap b. 230 d. 210 19. Satu pasukan parade drum band yang 14. Suku ketiga dan suku kelima suatu berjumlah 49 orang membentuk for- barisan geometri berturut-turut 27 dan masi barisan. Paling depan 1 orang, 243. Suku pertama barisan tersebut kemudian di belakangnya bertambah adalah .... 2, dan berikutnya bertambah 2 lagi a. 2 c. 5 dan seterusnya. Maka banyaknya b. 3 d. 6 orang pada barisan terakhir adalah .... 15. Suatu jenis motor mengalami penu- a. 11 c. 15 runan harga sebesar 2% pada setiap b. 13 d. 17 akhir tahun. Pada Januari harga 20. Sebuah deret aritmetika terdiri dari motor baru Rp16.000.000,00. Harga 10 suku, jumlah suku pertama dan jual motor tersebut pada akhir tahun ke-2 adalah 9. Adapun jumlah suku ke-4 adalah .... ke-5 dan ke-6 adalah 33. Jumlah deret a. Rp14.720.000,00 tersebut adalah .... b. Rp14.740.000,00 a. 30 c. 156 c. Rp14.400.000,00 b. 67 d. 165 d. Rp14.080.000,00 155 Tes Kompetensi Semester 2
  • 161. Tes Kompetensi Akhir Tahun Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 7, a. 225 c. 256 10, 13 adalah .... b. 250 d. 265 a. 3n + 1 c. 3n – 1 3 3 3 y , nilai y adalah .... 7. Jika 2 216 b. 3n + 2 d. 3n – 2 a. 4 c. 12 2. Panjang sebuah jalan pada peta yang b. 6 d. 16 mempunyai skala 1 : 500.000 adalah 8. Frekuensi harapan munculnya mata 10 cm. Panjang jalan sesungguhnya dadu kelipatan dua yang dilempar adalah .... 480 kali adalah .... a. 0,05 km c. 5 km a. 80 c. 240 C b. 0,5 km d. 50 km b. 160 d. 320 3. Dari seperangkat kartu dilakukan D 9. Pada gambar berikut dike- pengambilan secara acak sebanyak 260 B tahui panjang BC = 20 cm. A kali dan setiap kali pengambilan kartu Jika BD = 6 cm, panjang AD adalah .... dikembalikan. Frekuensi harapan yang a. 18 cm c. 8 cm terambil kartu As adalah sebanyak .... b. 12 cm d. 6 cm a. 5 kali c. 40 kali 10. Jika luas permukaan tabung 858 cm2 b. 20 kali d. 60 kali dan diameter tabung 21 cm maka 4. Diketahui data sebagai berikut. volume kerucut dalam tabung tersebut 28, 25, 26, 22, 24, 27, 22, 21, 29, 28, adalah .... 27, 24, 22, 21, 24, 25, 25, 27, 23, 26. a. 288,75 cm3 Median dari data tersebut adalah .... b. 866,25 cm3 a. 23 c. 25 c. 1.501,5 cm3 b. 24 d. 26 d. 1.732,5 cm3 5. Jika diketahui luas permukaan sebuah 11. Seorang pemain sepakbola telah men- tangki BBM yang berbentuk bola cetak 68 gol dari 85 kali penampilan- 22 adalah 2.464 m2 dan π = maka nya. Jika ia ingin mencapai rata-rata 7 gol 0,84 dalam 15 pertandingan se- jari-jari tangki tersebut adalah .... lanjutnya, banyak gol yang harus ia a. 7 m c. 21 m cetak adalah .... b. 14 m d. 28 m a. 13 c. 15 6. Suku ke-15 dari barisan bilangan 1, b. 14 d. 16 4, 9, 16, ... adalah .... 156 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 162. 5 4 x 2 y3 52 73 19. Bentuk dapat dituliskan 12. Jika = x maka nilai x x3 2 2 75 54 tanpa pangkat bilangan bulat negatif adalah .... menjadi .... a. 33 c. 35 a. x5y3 c. xy3 b. 34 d. 36 b. x1y3 d. 2x3y 13. Segitiga KLM dengan besar K = 38° 20. Suku ke-8 dari barisan bilangan 2, 7, dan L = 62° sebangun dengan segitiga 12, 17, ... adalah .... ABC dengan besar .... a. 32 c. 42 a. A = 38° dan B = 80° b. 37 d. 47 b. B = 62° dan C = 80° 21. Dalam suatu kelas terdapat 25 siswa c. A = 80° dan C = 38° putri dan 15 siswa putra. Jika salah d. B = 38° dan C = 62° seorang dipanggil oleh wali kelas 14. Peluang munculnya muka dadu ber- secara acak, peluang terpanggilnya jumlah 5 pada pelemparan 2 buah siswa putri adalah .... dadu adalah .... 3 5 a. c. 1 1 a. c. 8 8 9 6 3 1 1 1 b. d. b. d. 5 4 4 36 15. Jumlah 7 suku pertama dalam 22. Volume kerucut yang garis pelukisnya 20 cm dan jari-jarinya 12 cm dengan barisan 2, 6, 18, ... adalah .... π = 3,14 adalah .... a. 486 c. 2.186 a. 752,6 cm3 c. 2.411,5 cm3 b. 976 d. 4.372 b. 5.024 cm3 d. 3.014,4 cm3 16. Simpangan kuartil dari data: 6, 4, 6, 23. Dua bola jari-jarinya masing-masing 4, 2, 6, 5, 3, 6 adalah .... adalah r1 dan R, sedangkan luas a. 1,75 c. 1,25 kulitnya masing-masing L1 dan L2. b. 1,50 d. 1,00 Jika R = 4r maka L1 : L2 adalah .... R 17. Amati gambar berikut. PQ// a. 1 : 4 c. 1 : 16 ST, PQ = 18 cm, ST = 12 b. 1: 8 d. 1 : 32 T cm, dan QR = 54 cm. S 1 1 Panjang TR adalah .... Q 24. Jika a = 3 dan b = 5 2 4 P a. 18 cm c. 36 cm maka 45 = .... b. 24 cm d. 48 cm a. a2b c. a2b2 18. Sebuah tabung dengan diameter 30 b. ab2 d. a4b 3 cm diisi minyak sampai bagian. Jika 25. Mean dari data 25, 21, 28, 24, 25, 4 27, x, 22, 23, 21 adalah 24. Nilai x volume minyak 8.478 cm3 maka tinggi yang memenuhi adalah .... tabung tersebut adalah .... (π = 3,14) a. 22 c. 24 a. 4 c. 12 b. 23 d. 25 b. 8 d. 16 157 Tes Kompetensi Akhir Tahun
  • 163. Kunci Jawaban Tes Kompetensi Bab 1 Tes Kompetensi Bab 5 1. d 11. b 1. b 11. c 3. d 13. c 3. a 13. d 5. a 15. a 5. c 15. a 7. b 17. b 7. a 17. b 9. c 19. b 9. a 19. b Tes Kompetensi Bab 2 Tes Kompetensi Bab 6 1. a 11. d 1. b 9. c 3. d 13. b 3. d 11. d 5. c 15. b 5. a 13. b 7. b 17. b 7. a 15. b 9. b 19. b Tes Kompetensi Semester 2 Tes Kompetensi Bab 3 1. c 11. a 1. d 11. c 3. a 13. a 3. d 13. d 5. b 15. a 5. d 15. a 7. c 17. c 7. d 17. c 9. b 19. b 9. a 19. d Tes Kompetensi Akhir Tahun Tes Kompetensi Bab 4 1. b 15. c 1. c 11. b 3. b 17. c 3. d 13. b 5. b 19. c 5. d 15. c 7. b 21. a 7. a 17. b 9. c 23. c 9. c 19. b 11. d 25. c 13. b Tes Kompetensi Semester 1 1. c 11. a 3. a 13. a 5. c 15. b 7. a 17. b 9. b 19. b 158 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 164. Glosarium Bimodal : data yang memiliki dua Kongruen : bangun-bangun yang memiliki modus. ............................................ (66) bentuk dan ukuran yang sama. .......... (7) Dalil Pythagoras : keterangan Pythagoras Kuartil : ukuran yang membagi data yang dijadikan bukti atau alasan menjadi empat kelompok yang suatu kebenaran. ............................... (7) anggotanya sama banyak. ................ (69) Data : kumpulan datum ......................... (66) Mean : rerata; nilai antara. ..................... (60) Data diskrit : data yang diperoleh dengan cara Median : nilai tengah dari data yang menghitung .................................... (59) diurutkan dari datum terkecil ke Data kontinu : data yang diperoleh dengan datum terbesar................................. (64) cara mengukur ................................ (59) Modus : datum yang paling sering Data kualitatif : data yang tidak berbentuk muncul. .......................................... (66) bilangan. ......................................... (59) Peluang : kemungkinan terjadinya suatu Data kuantitatif : data yang berbentuk peristiwa.......................................... (76) bilangan. ......................................... (59) Populasi : semua objek yang menjadi Datum : fakta tunggal ............................ (59) sasaran pengamatan......................... (51) Diagonal : garis yang menghubungkan dua Ruang sampel : himpunan semua kejadian titik sudut yang tidak bersebelahan dalam yang mungkin diperoleh dari suatu suatu segiempat. ................................ (7) percobaan. ...................................... (82) Diameter : garis lurus yang melalui titik Sampel : bagian dari populasi yang diambil tengah lingkaran dari satu sisi ke sisi untuk dijadikan objek pengamatan lainnya. ........................................... (24) langsung dan dijadikan dasar dalam Frekuensi : banyak kejadian yang lengkap penarikan kesimpulan mengenai atau fungsi muncul dalam suatu populasi.............................................. (51) waktu. ............................................. (65) Sebangun : serupa; memiliki perkawanan Frekuensi relatif : banyaknya kejadian k; antartitik sudutnya sehingga sudut- banyaknya percoban. ....................... (80) sudut yang sekawan sama besar dan Garis pelukis : garis-garis pada sisi lengkung semua rasio ukuran isi yang sekawan yang sejajar dengan sumbunya. ....... (29) sama.................................................. (3) Geometri : cabang matematika yang mene- Sejajar : paralel; garis yang mempunyai rangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, gradien yang sama. ............................ (6) dan ruang. ......................................... (6) Selimut : sisi lengkung. .......................... (29) Hipotenusa : sisi sebuah segitiga yang ter- Simpangan kuartil : setengah dari jangkauan letak di seberang sudut sikunya. ...... (20) interkuartil. ..................................... (50) Jangkauan : selisih antara datum terbesar Statistika : ilmu pengetahuan yang dan datum terkecil. ......................... (68) berhubungan dengan cara-cara Jangkauan interkuartil : selisih antara pengumpulan data, pengolahan data, kuartil atas dan kuartil bawah. ........ (73) dan penarikan kesimpulan Jari-jari : garis lurus dari titik pusat ke garis berdasarkan data tersebut. ............... (49) lingkaran. ........................................ (28) Substitusi : penggantian ........................ (13) 159 Barisan dan Deret Bilangan
  • 165. Indeks A diagram batang 49, 57 akar 95, 96, 107, 108, 109, 110, 111, 113, diagram garis 56 114, 115, 137, 143 diagram lingkaran 57 aljabar 102, 108, 124 diagram pohon 82 aritmetika 126, 127, 128, 129, 130, 133, distribusi frekuensi 55 134, 136, 138 E B eksponen 98, 113 bangun datar 4, 7, 8, 19, 20, 24, 39 bangun geometri 19 F bangun ruang sisi lengkung 27, 28, 29, faktor 87, 90, 92, 97, 103, 104, 105, 38, 142 127, 135 barisan aritmetika 126, 127, 130, 133, fibonacci 130 134, 136 frekuensi 54, 75, 76, 139, 144 barisan geometri 129, 130, 131, 132, 133, G 134, 138 garis pelukis 29, 31, 32, 33, 34, 37, 44, bidang alas 29, 31, 38 140 bilangan bulat 34, 35, 61, 62, 88, 103, geometri 19, 120, 129, 130, 141, 144 104, 105, 107, 108, 109, 110, 111, 128, 137, 140 I bilangan irasional 107, 108, 110 interval 65, 71, 72, 73 bilangan rasional 95, 96, 97, 98, 116 J bilangan real 107, 113, 137 jangkauan 50, 68, 69, 71, 73, 75, 144 bola 29, 34, 139, 140 jangkauan interkuartil 50, 68 busur 31 K D kelas 1, 51, 53, 54, 57, 60, 62, 63, 67, 68, dalil Pythagoras 7, 107, 142, 144 70, 72, 75, 77, 108 data 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, kongruen 1, 2, 3, 15, 16, 17, 144 76, 94, 139, 140, 144 kuartil 69, 70, 71, 73, 75, 94, 140, 144 data diskrit 144 data kontinu 144 L data kualitatif 53, 144 luas daerah 28, 35, 115 data kuantitatif 51, 52, 144 luas permukaan 28, 30, 32, 33, 34, 35, datum 51, 54, 55, 144 36, 37, 44, 46, 47, 93, 139 deret aritmetika 127, 128, 133, 134, 138 deret geometri 120, 130 160 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 166. M sebangun 1, 2, 3, 9, 144 mean 50, 60, 62, 73, 76, 94, 140, 144 segitiga Pascal 122, 123 median 50, 64, 66, 68, 73, 74, 75, 76, selimut 28, 144 139, 144 simpangan kuartil 69, 75, 140, 144 modus 50, 66, 73, 74, 76, 144 skala 3, 24, 55, 144 statistika 49, 51, 142, 144 P suku 129, 135, 136, 138, 139, 140 pangkat 97, 98, 103, 104, 105, 107, 108, T 113, 114, 115, 137, 140 pangkat tak sebenarnya 96 tabel 53, 55, 56, 58, 60, 61, 65, 67, 71, peluang 57, 73, 76, 79, 140, 142, 144 72, 73, 75, 81, 83, 88, 121 piktogram 52, 55, 57, 73 tabung 29, 30, 93, 94, 139, 140 pola bilangan 119, 120, 121, 122 tali busur 31 populasi 50, 51, 144 titik sampel 78, 82 pythagoras 7, 107, 142, 144 U R urutan 65, 124 rata-rata 53, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 69, V 73, 74, 75, 76, 94, 139 volume 28, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, ruang sampel 82, 83, 85, 87, 90, 92, 45, 46, 47, 93, 94, 98, 99, 106, 144 139, 140 S sampel 52, 58, 60, 78, 82, 83, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 144 161 Indeks
  • 167. Daftar Pustaka Barnett, Raymond A. et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences, 11th Edition. New Jersey: Pearson Education Inc. Bennett, Albert B. 2004. Mathematics for Elementary Teachers: a Conceptual Approach, 6th Edi- tion. Singapore: Mc Graw Hill. Bigellow dan Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Melbourne: Macmillan. Bloom, B. S. 1971. Handbook on Formative and Summative Evaluation of Student Learning. New York: Mc Graw Hill. Booth, D. J. 1995. Foundation Mathematics. London: Addison-Wesley. Brumfiel, C. B. 1964. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 mata pelajaran Matematika Sekolah Menegah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional. Christy, D. T. dan Rosenfeld, R. 1994. Beginning Algebra, Annotated Instructor’s Edition.Wm. C. Brown. Farlow, Stanley. J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: Mc Graw Hill. Kaur, Jasbir dan Sim I-Jee. 2000. Aset Peperiksaan Matematik. Selangor: Pearson Education Malaysia. Keng Seng, Teh dan Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 1. Singapore: Shi- glee. Meserve, B. E. dan Max A. Sobel. 1984. Introduction to Mathematics. New Jersey: Prentice- Hall. Moise E.E. 1990. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint. London: Addison- Wesley. Negoro, St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. J dan Varberg, D. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, ET. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito. Seang, Ooi Yong dkk. 2001. Fokus Indigo SPM Matematik. Selangor: Pelangi. Seymour Lipschutz. 1981. Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. Schaum's Outline Series. Mc Graw Hill. Suherman, E dan Surjaya, Y. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung: Wijaya- kusumah. Sullivan, Michael. 1999. Pre Calculus. Upper Saddle River: Prentice Hall Inc. Watson, Jenny et.al. 2001. Maths Quest for Victoria 9. Queensland: John Wiley & Sons Australia. Yeo, Ricky. 1992. New Syllabus Mathematics. Singapore: EPB Publisher. 162 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
  • 168. Daftar Pustaka Barnett, Raymond A. et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences, 11th Edition. New Jersey: Pearson Education Inc. Bennett, Albert B. 2004. Mathematics for Elementary Teachers: a Conceptual Approach, 6th Edi- tion. Singapore: Mc Graw Hill. Bigellow dan Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Melbourne: Macmillan. Bloom, B. S. 1971. Handbook on Formative and Summative Evaluation of Student Learning. New York: Mc Graw Hill. Booth, D. J. 1995. Foundation Mathematics. London: Addison-Wesley. Brumfiel, C. B. 1964. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 mata pelajaran Matematika Sekolah Menegah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional. Christy, D. T. dan Rosenfeld, R. 1994. Beginning Algebra, Annotated Instructor’s Edition.Wm. C. Brown. Farlow, Stanley. J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: Mc Graw Hill. Kaur, Jasbir dan Sim I-Jee. 2000. Aset Peperiksaan Matematik. Selangor: Pearson Education Malaysia. Keng Seng, Teh dan Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 1. Singapore: Shi- glee. Meserve, B. E. dan Max A. Sobel. 1984. Introduction to Mathematics. New Jersey: Prentice- Hall. Moise E.E. 1990. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint. London: Addison- Wesley. Negoro, St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. J dan Varberg, D. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, ET. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito. Seang, Ooi Yong dkk. 2001. Fokus Indigo SPM Matematik. Selangor: Pelangi. Seymour Lipschutz. 1981. Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. Schaum's Outline Series. Mc Graw Hill. Suherman, E dan Surjaya, Y. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung: Wijaya- kusumah. Sullivan, Michael. 1999. Pre Calculus. Upper Saddle River: Prentice Hall Inc. Watson, Jenny et.al. 2001. Maths Quest for Victoria 9. Queensland: John Wiley & Sons Australia. Yeo, Ricky. 1992. New Syllabus Mathematics. Singapore: EPB Publisher. 162 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX

×