Triangulos cuadrilateros (trigonometria)

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Triangulos cuadrilateros (trigonometria)

  1. 1. Propiedades de los Triángulos y los Cuadriláteros
  2. 2. <ul><li>Es la mitad del área de un rectángulo de la misma base y de la misma altura </li></ul><ul><li>½ (base x altura) </li></ul><ul><li>H= a sen γ </li></ul><ul><li>CD= a cos γ DA=c cos α </li></ul><ul><li>CD+ DA= b= a cos γ + c cos α </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>A΄= (a cos γ + c cos α ) a sen γ/:2 </li></ul><ul><li>A=1/2absen γ --->1/2 bc sen α </li></ul><ul><li>A´= 1/2absen β </li></ul><ul><li>A´=ab/2 </li></ul>Superficie
  3. 3. Formula de Herón <ul><li>Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo ( a , b , c ) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de herón </li></ul><ul><li>viene dada por: </li></ul><ul><li>Donde p es el semiperimetro </li></ul>
  4. 4. Demostración Supongamos un triángulo de lados a , b , c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A , B , C . Entonces tenemos que: Por el teorema del coseno : La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsen( C), por lo tanto:
  5. 5. Propiedades del triángulo <ul><li>L a suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. </li></ul><ul><li>La suma de todos los án gulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180 ° . </li></ul>
  6. 6. Teorema del Seno <ul><li>Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del Seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»: </li></ul>Sen α = CD/b CD= b sen α Sen β = CD/a CD= a Sen β Sen β = AE/c AE= c Sen β Sen γ = AE/b AE= b Sen γ
  7. 7. Teorema del coseno <ul><li>Relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. </li></ul>a² =CD²+ DB² CD²= b²- AD² a² = b² - AD²+ DB² a²= b² - AD²+C² - 2DC +AD² a² =b²+ c²-2c*AD a² = b² + c²- 2c* b cos α b² = a² + c² –2ac cosβ c² = a² + b² –2ab cos γ  
  8. 8. Teorema de Pitágoras <ul><li>El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: </li></ul>c² =a²+ b² - 2ab cos90º
  9. 9. Teorema del cateto o de Euclides <ul><li>El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella . Por lo tanto: </li></ul>
  10. 10. Triángulos semejantes <ul><li>Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales </li></ul>
  11. 11. Teorema de Thales Primer teorema (caso particular de triángulos semejantes) Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O . Sean A y A' dos puntos de (d) , y B y B' dos puntos de (d') . Entonces: La igualdad de los cocientes equivale al paralelismo 1° fig. tiene medidas algebraicas positivas - los vectores OA , OA' , OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d') , 2fig posee cocientes negativos. si se aplica teorema : A'B' / AB es igual a los dos anteriores.
  12. 12. 2° teorema Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB es recto. Prueba : OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado) En conclusión se forma un triangulo rectangulo
  13. 13. Teorema de la bisectriz En un triangulo, la r a z ón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángu l o interno opuesto. Demostración Si se dibuja desde C una // a AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A hasta pto D El triangulo ACD es isósceles (ángulos C y D son congruentes: Porque los dos angulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC
  14. 14. Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Tales se mantiene la proporción: y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD, Además porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales. Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que
  15. 15. <ul><li>Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. </li></ul><ul><li>El término deriva de orto, recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas. </li></ul><ul><li>El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo </li></ul>Ortocentro <ul><li>El único caso en que los centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. </li></ul>
  16. 16. Baricentro Es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
  17. 17. Incentro Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
  18. 18. Radio del círculo inscrito en triángulo cualquiera <ul><li>En función de un lado y de las razones </li></ul><ul><li>Trigonométricas de la mitad de los ángulos </li></ul>< OBD = B/2, < OCD=C/2 BD= r ctg B/2, CD=r ctg c/2 r(ctg B/2 + ctg C/2)=a; r sen B/2+C/2 =a sen B/2 sen C/2; r= a sen B/2 sen C/2 /: cos A/2
  19. 19. Circuncentro es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo y centro de la circunferencia circunscrita. Dicho punto se suele expresar con la letra (O).Todos los vértices del triángulo se encuentran a la misma distancia del circuncentro. Circuncentro
  20. 20. Radio de la circunferencia circunscrita S=centro de circunf..circunscrita al ∆ ABC y R=radio Se traza la bisectriz SD del < BSC que bisecará a BC y será perpendicular a él < BSC en el centro = doble del < BAC =2A ^ a/2 =BD=BSsen BSD=Rsen A R= a /: 2 sen A En consecuencia a/sen A =b/senB= c/sen C= 2R ó de manera que no intervengan ángulos R= a/2senA=abc/2bcsenA=abc/4∆
  21. 21. Círculo exinscrito El círculo de una circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos se llaman un círculo exinscrito del triángulo A= area Δ ABC A= área ABIC – área BIC Área BIA + área CIA – área BIC A= ½ c * Ra + ½b*RA - ½* Ra =½Ra (c +b-a) ; como P= a +b+ c; P-2 a = b+c-a =½Ra(P-2 a) = ½ Ra (2p-2 a) ;p=P/2 ; p:semiperímetro = ½Ra2(p-a) = Ra (p-a) Ra = A / p-a ; Radio del círculo exinscrito tangente exteriormente al lado a  Análogamente: Rb = A / p-b Rc= A/p-c
  22. 22. Triángulo pedal G, H y K son los pies de las alturas trazadas de los vértices a sus lados opuestos en triángulo ABC, entonces, GHK se llama triángulo pedal   Las alturas se encuentran en el ortocentro de ABC   < OGK=<OBK= 90° - A < OGH = < OCH = 90° -A; < KGH= 180°-2A por lo tanto los ángulos del triángulo pedal son: 180-2ª, 180-2B, 180-2C por otro lado los triángulos AKH, ABC son semejantes: HK/BC = AK/AC = cos A HK= a cos A Los lados del triángulo pedal son a cos A, b cos B, c cos C  
  23. 23.   Area= ½ (producto lados) por (seno del ángulo comprendido) =1/2 R sen 2B* Rsen 2C *sen(180-2A) =1/2 R² sen 2A sen 2B sen 2C   circunradio= HK/: 2 sen HGK = Rsen 2A/:2 sen (180-2A) = R/2   Area y circunradio de triángulo pedal
  24. 25. Cuadriláteros Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto de las diagonales por el seno del ángulo que comprenden   AC y BD = diagonales, se cortan en P <DPA = α Δ DAC = Δ APD +Δ CPD = ½ DP* AP senα + ½ DP PC sen (π-α) = ½ DP (AP +PC)sen α =1/2 DP* Acsenα de modo semejante ΔABC=1/2 BP*AC sen α   Area = ½ (DP+BP) AC sen α = ½ DB* AC sen α
  25. 26. Muchas gracias. <ul><ul><ul><ul><ul><li>Cecilia Herrera.- </li></ul></ul></ul></ul></ul>

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