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QA371 R 293 1998GRANVILLECALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111       ...
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  1. 1. QA371 R 293 1998GRANVILLECALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 0233007122
  2. 2. http://carlos2524.jimdo.com/Temas que trata la obra:• Resumen de fórmulas• Variables, funciones y límites• Derivación• Reglas para derivar funciones algebraicas• Aplicaciones de la derivada• Derivadas sucesivas de una función. Aplicaciones• Derivación de funciones trascendentes. Aplicaciones• Aplicaciones a las ecuaciones para métricas y polares y al cálculo de las raíces de una ecuación• Diferenciales l.• Curvatura. Radio de curvatura. Círculo de curvatu ra• Teorema del valor medio y sus aplicaciones• Integración de formas elementales ordinarias• Constante de integración• Integral definida• La integración como suma• Artificios de integración• Fórmulas de reducción. Uso de la tabla de integrales• Centros de gravedad. Presión de líquidos• Trabajo. Valor medio• Series• Desarrollo de funciones en serie de potencias• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Funciones hiperbólicas• Derivadas parciales• Aplicaciones de las derivadas parciales• Integrales múltiples• Curvas importantes• Tabla de integrales { ,
  3. 3. http://carlos2524.jimdo.com/ , CALCULODIFERENCIALE INTEGRAL
  4. 4. http://carlos2524.jimdo.com/ SIR ISAAC NEWTON
  5. 5. http://carlos2524.jimdo.com/ , CALCULODIFERENCIALE INTEGRAL WllLlAM ANTHONY GRANVlllE Doctor en Filosofía. Doctor en Leyes Ex Presidente del Colegio de Gettisburg Edición revisada por: PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY Doctores en Filosofía y Profesores de Matemáticas de la Universidad de Yale LIMUSA
  6. 6. http://carlos2524.jimdo.com/Granville. William Anthony Cálculo diferencial e integral = Elements of differentialand integral calculus / William Anthony Granville. -- México:Limusa, 2009.704 p. : il. ; 23 x 15.5 cm.ISBN-13: 978-968-18-1178-5Rústica.1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral1. Byngton, Steven, tr. 11. Romero Juárez, Antonio, colab.Dewey: 515.33 122/ G765c Le: QA303 VERSiÓN AUTORIZADA EN ESPAÑOL DE LA OBRA PUBLICADA EN INGLÉS CON EL TíTULO: ELEMENTS OF DIFFERENTIALAND INTEGRAL CALCULUS © JOHN WILEY & SONS, INC. C OLABORADOR EN LA TRADUCCiÓN: STEVEN T. BYNGTON REVISiÓN: ANTONIO ROMERO JUÁREZ PROFESOR EN LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO. LA PRESENTACiÓN Y DISPOSICiÓN EN CONJUNTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SON PROPIEDAD DEL EDITOR . NINGUNA PARTE DE ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA o MÉTODO, ELECTRÓNICO O MECÁNICO (INCLUYENDO EL FOTOCOPIADO, LA GRABACiÓN O CUALQUIER SISTEMA DE RECUPERACiÓN Y ALMACENAMIENTO DE INFORMACiÓN) , SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO DEL EDITOR. DERECHOS RESERVADOS: © 2009, EDITORIAL LlMUSA, S.A. DE C.v. GRUPO NORIEGA EDITORES BALDE RAS 95, MÉXICO, D . F. C.P. 06040 ~ 51300700 r2J 5512 2903 )iiii limusa@noriega.com.mx T" www.nonega.com.mx CANIEM NÚM. 121 HECHO EN MÉXICO ISBN-13: 978-968-18-1178-5 45.1
  7. 7. http://carlos2524.jimdo.com/ PROLOGO Esta obra es, en sus líneas generales, una edición revisada yaumentada del texto debido al profesor Grallille. Los únicos cambiosintroducidos se reducen a pequefios detalles en las demostraciones, ala rev isión de los problemas - afiadiendo algunos de aplicación a laEconomía y otros adicionales al final de cada capítulo para alumnos másaventajados- y a la redacción de un capítulo sobre Funciones hiperb6-li cas, junto con algunos pjelllplos de apli cación de las eoorrlenadas cilín-dricas en las integrales dobles. El cap ítulo a11adido ha sido p,.;critosigui endo el Illétodo del libro , procurando quP fOlllle un todo armónicocon pI resto de la obra. Lai::l soluciones de la mayor parte de 10i::l problemaf i-P dan en pitexto. Algun as soluciones fe Ollliten de intento para a,costulllblar alestudiante a tener confianza en sí mismo. El trabajo de los autores de esta edición. se verá ampliamente CO I1l-pensado si tiene la misma acogida que tUYO la primpra edición de laobra de Granville. PERCEY F. SMITH VILLIAM R. LONGLEY
  8. 8. http://carlos2524.jimdo.com/
  9. 9. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE CALCULO DIFERENCIAL CAPITULO 1 Resumen de fórmulas Fórmulas de Algebra y de Geometría elementales, 3. Fórmulas de Trigo -nometría plana, 4. Fórmulas de Geometría analítíca plana, 6. Fórmulas deGeometría analítica del espacio, 8. Alfabeto griego, 10. CAPITULO 11 Variables, funciones y límites Variables y constantes , 11. Intervalo de una variable, 11. Variación con-tinua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y dependientes, 12. No-tación de funciones. 13. La división por cero, excluída , 13 . Gráfica de unafunción: continuidad, 15 . Límite de una variable, 16. Límite de una fun-ción , 16. Teoremas sobre límites, 17. Funcíones contínuas y discontinuas. 17 .Infinito , 19 . Infinitésimos, 22.. Teoremas relativos a infinitésimos y lími-tes , 23. CAPITULO III Derivación Introducción, 25. Incrementos , 25. Comparación de incrementos 26.Derivada de una función de una variable, 27. Símbolos para representar lasderivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivación, 30.Interpretación geométr ica de la derivada, 32. CAPITULO IV Reglas para deri v ar funciones alge braícas Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Deri-vada de una variable con respecto a, si mIsma, 38. Derivada de una suma, 38.Derivada del producto de una constante por una función, 39 . . Derivada del
  10. 10. http://carlos2524.jimdo.com/VIII INDICEproducto de dos funciones. 39. Derivada del producto de n funciones. siendon un número fijo. 40. Derivada de la potencia de una función. siendo elexponente constante. 41 . D e ri vada de un cociente. 41. Derivada de una fun-ción de función. 46. Relación entre las deri va das de las funciones inver-sas . 47. Funciones implicitas . 49. Derivación de funciones implícitas. 49 . CAPITULO V Aplicaciones de la derivada Dirección de un;l curva . 52. Ecuaciones de la tangente y la normal: longi-tudes d e la subtangente y la subnormal, 54. Valores máximo y mínimo de unafunción: introdu cc ió n . 58. Funciones crecientes y decrecientes. 62. Máximosy mínimos de una función; definiciones. 64. Primer método para calcular losrr. áximos y minimos de una función. Regla guía en las aplicaÓones. 66.Máximos o mínimos cuando f (x) se vuelve infinita y f (x) es continua. 68.Problemas sobre m<iximos y minimos. 7. La derivada como rapidez de varia-clon. 7S. Velocidad en un movimiento rectilíneo. 80. Relación cntre larapidez de variación de variables relacionadas. 82. CAPITULO VI Deri vadas sucesi vas de una función. Aplicaciones Definición de las d e ri vadas sucesivas. 89 . Obtención de las deri vadas suce -sivas en funciones implicitas, 90. Sentido de la concavidad de una curva. 92.Segundo método para determinar m áxi mos y mínimo s. 92 . Puntos de infle-xión, 96 . Método para construcción de cur vas dadas por su ecuación. 98.Aceleración en un mo vimie nto rectilíneo, 101. CAPITULO VII Derivación de funciones trascendentes. Aplicaciones Fórmulas de deriva ción; lista segunda. 105. El número e. Logaritmosnaturales. 106. Funciones exponenciales y logarítmicas . lOS . Derivación dela función logarítmica. 109. Derivación de la fu nción exponencial. 110.Deri vación de la función exponencial general. Demostración de la regla depotencias. 111. Derivación logarítmica. 113. Función sen x. 117. Límitede sen x cuando x -7 O. IIR. Derivada de sen v. 119. Otras funciones tri- xgonométricas. I2Ú. Derivada de cos V. 121. Demostración de las fórmu-las X V a XIX, 122 . Funciones trigonométricas in versas. 126. Derivaciónde are se.n V. 128. Derivación de arc cos V. 128. Derivación de are tg v. 129.Derivación de arc ctg V. 130. Derivaciones de arc sec v y arc csc v. 131. Deri-vación de arc vers v. 132.
  11. 11. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE IX CAPITULO VIIIAplicaciones a las ecuaciones paramétricas y polares y al cálculo de las raíces de una ecuación Ecuaciones paramétricas de una curva. Pendiente, 138. Ecuaciones paramé-tricas. Segunda derivada, 143. Movimiento curvilíneo. Velocrdad, 144. Mo-vimiento curvilíneo. Aceleraciones componentes, 145. Coordenadas polares.Angula que forman el radio vector y la tangente . 148. Longitudes de la subtan-gente y la subnormal en coordenadas polares, 152. Raíces reales de las ecuacio-nes. Métodos gráficos , 154 . Segundo método para localizar las raíces reales. 156.Método de Newton , 15 8 . CAPITULO IX Diferenciales Introducción, 164. D2finiciones. 164. La diferencial como aproximaci ó ndel incremento. 165. Errores pequeños, 166. Fórmulas para hallar las diferen-ciales d.e funciones. 169. Diferencial del arco en coordenadas cartesianas rectan-gul a res, 171. Diferencial del arco en coordenadas polares, 173. La velocidadcomo rapidez de variación de la longitud del arco con respecto al tiempo, 175 .Las diferenci a les como infinitesimo s, 176. Ordenes de infinites imos. Diferen-ciales de orden superior. 177 . CAPITULO X Curvatura. Radio de curvatura. Círculo de curvatura Curvatura, 179. Curvatura de la circunferencia, 180. Fórmulas para lacurvatura (coordenadas rectangulares), 180. Fórmula especial para las ecuacio-nes paramétricas, 182. Fórmula para la curvatura (coordenadas polares), 182.Radio de curvatura, 183. Curvas de ferrocarril: curvas de transición, 183.Circulo de curvatura , 184. Centro de curvatura, 188 . Evolutas, 190. Propie-dades de la evoluta, 194 . Las ev ol ventes y su construcción mecánica, 196.Transformación de deri vadas, 199. CA.PITULO XI Teorema del valor medio y sus aplicaciones Teorema de Rolle. 203. Circulo osculador. 204. Punto limite de la inter-sección de dos normales infinitamente próximas. 206. Teorema del valormedio, 207 Formas indeterminadas. 209. Determinación del valor de unafunciAn cuando ésta toma una forma indeterminada. 210. Determinaci ó n Odel valor de la forma indeterminada O. 210. Determinación del valor dela forma indeterminada : 214 . Determinación del valor de la forma in-
  12. 12. http://carlos2524.jimdo.com/x INDICEdeterminada O . 00, 214. Determinación del valor de la forma indetermi-nada 00 - oo. 215. Determinación del valor de las formas indeterminadas0°, )"", 00°, 216. Generalización del teorema del valor medio, 218. Los má -ximos y mínimos, tratados analíticamente, 219. CALCULO INTEGRAL CAPITULO XII Integración de formas elementales ordinarias Integración, 227. Constante de integración. Integral indefinida, 229.Reglas para integrar las formas elementales ordinarias, 230. Demostraciónde las fórmulas (3), (4) Y (5), 233. Demostración de las fórmulas (6)y (7), 140. Demostración de las fórmulas (8) a (17), 242. Demostraciónde las fórmulas (18) a (21), 246. Demostración de las fórmulas (22)y (23), 254. Integración de diferenciales trigonométricas, 257. Integración,por sustltuclOn trigonométrica, de expresiones que contienen V a2 - u2o V u2 ± a2 , 266. Integración por partes, 269 . Observaciones, 274. CAPITULO XIII Constante de integración Determinación de la constante de integración por medio de condiciones ini-cia les, 277. Significado geométrico, 277. Significado físico de la constantede integración, 28. CAPITULO XIV Integral definida Diferencial del área b aj o una curva, 287 . La integral definida, 288 .Cálculo de una integral definida, 289. Cambio de limites correspondientesa un cambio de la variable, 290. Cálculo de áreas, 292. Cálculo del areacuando las ecuaciones de la curva se dan en forma para métrica, 293. Represen-tación geometrica de una integral. 297. Integración aproximada. Fórmula delos trapecios, 297. Fórmula de Simpson (fórmula parabólica), 300. Inter-cambio de limites, 303. Descomposición del intervalo de integración en unaintegral definida, J03. La integral definida es una función de sus limites, 304.Integrales í mpropias . L ími tes infini tos, 304. In tegrales impropias, 305. CAPITULO XV La integración como suma Introducción, 309. Teorema fundamental del Cálculo integral. 309. De -mostración analítica del teorema fundamental. 312. A r e a s de superficieslimitadas por curvas planas: coordenadas rectangulares, 314. Areas de curvas
  13. 13. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE XIplanas; coordenadas polares . 31 9. Volúmenes de sólidos de revolución . 322.Longitud de un arco de curva. 330. Longitudes de arcos de curvas planas;.coordenadas rectangulares. 331. Longitudes de arcos de cur vas planas; coorde-nadas polares . 334. Areas de superficies de revoluci ó n. 337. Sólidos cuyassecciones transversales se conocen. 344. CAPITULO XVI Artificios de integración Introducción. 352. Integraci ó n d e fracciones racionales. 352. Integraciónpor sustitución de una nueva variable; racionalización. 36 1. Diferencialesbinomias. 365. Condiciones de racionalización de la difer encial binomi a . 368.Transformación de las diferenciales trigonom étricas . 369. Sustituciones di-versas. 371. CAPITULO XVII Fórmulas de reducción. Uso de la tabla de integrales Introducción . 374. Fórmulas de reducci ó n para las diferenciales bino-mias. 374. Fórmulas de reducción para las diferenciales trigonométricas. 380 .Empleo de una tabla de integrales. 384. CAPITULO XVIII Centros de gravedad. Presión de líquidos. Trabajo. Valor medio Momento de superficie; centro de gravedad. 390. Centro de gravedad deun sólido de revolución. 394. Presión de liquidos . 396. Trabajo. 400. Valormedio de una función . 406. CAPITULO XIX Series Definiciones. 412. La serie geométrica . 413. Series convergentes y di ver-gent~s . 415 . Teoremas generales. 416. Criterios de comparación. 417. Cri-terio de D Alembert. 422. Series alternadas. 423. Convergencia absolu-ta . 424. Resumen. 425 . Siries de potencias. 428. La serie binómica . 431.Otro tipo de serie de potencias. 433. CAPITULO XX Desarrollo de funciones en serie de potencias Serie de Macaurin. 435. Operaciones con series infinitas. 441 . Dertva-ción e integración de series de potencias. 445. Deducción de fórmulas
  14. 14. http://carlos2524.jimdo.com/XI! INDICEaproximadas de la serie de Maclaurin. 448. Seri e d e Taylor. 450. Otraforma de la serie de Taylor. 452. Fórmulas aproximadas deducidas de laserie de Taylor. 454. CAPITULO XX I E cuaciones di f erenci ales ordinarias Ecuaciones diferen ciales: orden y grado. 458. Soluc io ne s de una ecuacióndiferencial. Constantes de integración. 459 . Verificación de las soluciones deecuaciones diferenciales. 460 . Ecuaciones diferenciales de primer orden yde primer grado. 462. Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de ordensuperior. 473. Ecuaciones dif ere nciales lineales de segundo orden con coeficien-tes constantes. 476. Aplicaciones. Ley del interés compues to. 486. Aplica-ciones a problemas de Mec á nica. 490 . Ecuaciones dif erenciales lineale, deenésimo orden con coeficientes constantes. 496. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL CAPITULO XXII Funciones hiperbólicas S~ no y coseno hiperbólicos . 507. Otras funciones hiperbólicas . 508. Tablade valores de senos. cosenos y tangentes hiperbólicos . Gráficas. 510. Funcio-nes hiperbólicas de [} y UJ . 511 . Derivadas. 51 4. R elaciones con la hipérbolaequilátera. 514. Funciones hiperbólicas inversas. 51 8 . Deri va das (continua-ción).52!. Línea telegráfica. 523. Integrales. 526 . Int eg rales (conti-nuación). 529. El g udermaniano. 532. Carta de Mercator. 535. Relacionesentre las funcion es trigonom étricas y las hiperbólicas. 538 . CAPITULO XX III Deri v adas parciales Funciones de dos o más variables. Continuidad. 543. Derivadas par-ciales. 544. Interpretación geométrica de las deri vadas parciales. 546. Dife-rencial total. 549. Valor aproximado del incremento total. Errores peque-ños. 552. Derivadas totales. R a z o n e s de variación. 556. Cambio devariables. 558. Derivación de funciones implícitas. 560. Derivadas de ordensuperior. 565. CAPITULO XXIV Aplicaciones de las derivadas llarciale s Envolvente de una familia de curvas. 570. La evoluta de una curva dadaconsiderada como la envolvente de sus normales. 575. Ecuaciones de latangente y del plano normal a una curva alabeada. 577. Longitud de un arco
  15. 15. http://carlos2524.jimdo.com/ INDICE XIIIde curva alabeada. 580. Ecuaciones de la normal y del plano tangente a unasuperficie. 582. Interpretación geométrica de la diferencial total. 584. Otraforma de las ecuaciones de la tangente y el plano normal a una curva ala-beada. 587. Teorema del valor medio. 590. Máximos y mínimos de funcionesde varias variables. 592. Teorema de Taylor para funciones de dos o m ásvariables . 598 . CAPITULO X X V Integrales múltiples Integración parcial y sucesiva. 602. Integral d0ble definida. Interpretacióngeométrica. 603. Valor de una integ ral doble definida extendida a unaregión S. 609. Area de una superficie plana como integral doble definida. 6,1 0.Volumen bajo una superficie. 614. Instrucciones para establecer. en la pr ác-tica. una integral doble . 617. Momento de una superficie y centros de grave-dad. 617 . Teorema de Pappus. 619. Centro de presión de líquidos. 622.Momento de inercia de una superficie. 623. Momento polar de inercia. 627.Coordenadas polares. Ar ea plana. 629. Fórmulas que emplean coordenadaspolares. 632. Método general para bailar las áreas de las superficies cur-vas. 635. Cálculo de volúmenes por integración triple. M I. Cálculo devolúmenes . empleando coordenadas cilíndricas . 644. CAPITULO XXVI Curvas importantes Parábola cúbica . parábola semicúbica. la bruja de Agne s i. cisoide deDiocles. 653. Lemniscata de Bernoulli . concoide de Nicomede s . cicloideordinaria. cicloide con vé rtice en el origen . catenaria. parábola. 654. Astroide.evoluta de la elipse. cardioide. hoja de Descartes . sinusoide y cosinusoide. 65 5.Caracol de Pascal. estrofoide. espiral de Arquímedes. espiral logarítmica ,espiral hiperbólica. lituus. 656, Espiral parabólica. curva logarítmica. curvaexponencial. curva de probabilidad. secantoide. tangentoide. 657. Rosa detres hojas. rosa de cuatro hojas . ro sa de dos hojas. rosa de ocho hojas. 658.Parábola . hip érbola equilátera . e vol vente de círculo . tractriz . 659 CAPITULO X XVII Tabla de integrales Algunas formas elementales . 660. Formas r a c ton a I e s q u e contienena + bu .660. Formas racionales que contienen a 2 + b 2 u 2 • 661 . Formas quecontienen a + bu. 662. Formas que contienen V u 2 ± a 2 • 663. For- Vmas que contienen V a 2 - ,,2. 665. Formas que contienen V 2 au ± u 2 ,M 7. Fórmulas de reducción para las integrales binomias. 668 . formas que
  16. 16. http://carlos2524.jimdo.com/XIV INDICEcontienen a + bu ± cu 2 (e > O), 669. Otras formas algebraicas , 670. For-mas exponenciales y logarítmicas, 67 1. Formas trigonométricas, 672. Formasde reducción para integrales trigonométricas , 674. Funciones trigonométricasinversas, 675. Funciones hiperbólicas , 676.INDI CE ALFABETICO . . .... 679
  17. 17. http://carlos2524.jimdo.com/GUILLERMO LEIBNIZ
  18. 18. http://carlos2524.jimdo.com/
  19. 19. http://carlos2524.jimdo.com/
  20. 20. http://carlos2524.jimdo.com/
  21. 21. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO PRIMERO RESUMEN DE FORMULAS 1. Fórmulas de Algebra y de Geometría elementales. Para como-didad del estudiante, en los Artículos 1 a 4 damos un resumen def()rmulas elementales. Empezaremos por las relativas al Algebra. (1) Resolución de la ecuación de segundo grado AX2 + Ex + C = O. 1. Factorizando: Se descompone AX2 + Bx + C en factores, seiguala cada factor a cero y se resuelven las ecuaciones que resultan,con respecto a x. 2. Completando el cuadrado: Se transpone C al segundo miem-bro, se divide la ecuación por el coeficiente de x 2 , se añade a ambosmiembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de x y Re extrae laraíz cuadrada. ;~ . Empleando la fórmula x= -B ±v B2 - 4 AC 2A Carácter de las raíces. La expresión B 2 - 4 AC, que aparece en lafórmula debajo del signo radical, se llama discriminante de la ecuación.Las dos raíces son reales y desiguales, reales e iguales, o imaginarias,según que el discriminante sea positivo, cero o negativo. (2) Logaritmos. log ab = log a + log b . log a" = n log a. log 1 = O. a log b = log a - log b . log v" / - a = -1 log a. . loga a = 1. n
  22. 22. http://carlos2524.jimdo.com/4 CALCULO DIFERENCIAL RESUMEN DE F (3) Fórmula del binomio de Newton (siendo n un número entero de donde: 1 grado = ~= O 01positivo) . 180 n(n -1)(a + b)" = a" + nan-1b + a,,-2 b2+ 1 radián = 180 = 57 2 I~ n: +n ( n-ti (n - 2) a,,-3 b3 + De dicha definición tenemos N úmero de radianes en un ángnl + n(n -1) (n - 2) ... (n - r + 2) an- +1b 1 + J r- I r - 1 Estas ecuaciones permiten pasar de (4) Factoríal de un número, (2) Relaciones entre las funciones n!=I~=1·2·3·4 ... (n-l)n. 1 ctg x = -- sec x = - En las siguientes fórmulas de la Geometría elemental, r o R repre- tg x csenta el radio, a la altura, B el área de la base y s el lado o altura sen x e T,g x = -- ctg x = -inclinada. cos x s (5) Círculo. Longitud de la circunferencia = 2n:r. Area = n:r2• sen" x + cos" X = 1; 1 + tg2 X = (6) Sector circular. Area = Yz r2a, siendo a = ángulo central del (3) Fórmulas para reducir ángulo:sector, medido en radianes . Angulo Seno Coseno Tangente (7) Prisma. Volumen = Ba. (8) Pirámide. Volumen = HBa. -x - sen x cos x - tg x 90 x 0 - cos x sen x ctg x 90°+ x cos x - sen x - ctg x (9) Cilindro circular recto. Volumen = n:r2a. Area lateral =2 n:ra. 180°- x se n x - cos x - tg xArea total = 2 n:r(r + a). 180°+ 270 -x 0 x - sen x - cos x tg x - cos x - sen x ctg x (10) Cono circular recto. Volumen =}~ m· a. 2 Area lateral = nrs . 270°+ x - cos x se n x - ctg x 360°_ x - sen x cos x - tg xArea total = n:r(r + s). (11) Esfera. Volumen = j(¡ n:r3 . Area = 4 n:r2. (4) Funciones trigonométricas de (12) Tronco de cono circular recto. Volumen = % n:a (R2 +12+ Rr) . sen (x+ y) = sen z COEArea lateral = ns (R + r) . sen (x - y) = sen x cos cos (x + y) = cos z cos 2. Fórmulas de Trigonometría plana. Son de uso frecuente mu- cos (x - y) = cos x coschas de las siguieñtes fórmulas. (1) Medida de ángulos. Hay dos métodos generalmente usados tg (x + )= tg x + tg Y ti Y. l-tgxtgypara medir ángulos; es decir, hay dos sistemas de unidades angulares. Medida en grados. En este sistema el ángulo unidad es %60 de una (5) Funciones trigonométricas derevolución completa y se llama grado. ~n2x=2~nxoosx;oos2x=oo~ Medida circular. En esté sistema el ángulo unidad es el que sub-tiende un arco de longitud igual al radio del arco, y se llama radián. x /1- C.os x z !1 sen 2= ± j 2 ; cos2= ±j- La ecuación que da la relación entre los dos ángulos unidad es sen2 x ;:; Yz - Yz cos 2 x i co 180 grados = ]( radianes (n: = 3,14159 ... ) ,
  23. 23. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMEN DE FORMULAS 5un número entero de donde: 1 grado = I~O= 0,0174 radianes : 1 radián = 180 = 57 ,29 grados Jt De dicha definición tenemos N d d , l arco correspondiente umero e ra wnes en un anqu. u = radio1l-r+lbl-1 + .... Estas ecuaciones permiten pasar de una medida a la otra. (2) Relaciones entre las funciones trigonométricas. 1 1 1 ctg x = -- sec x = -- csc x = -- . tg x cos x sen z tal, r o R repre- el lado o altura sen x cos z T.gX = -- ctg x = -- . cos x sen xnr , Area = n:r2• sen" z + cos" X = 1; 1 + tg2 X = sec" x; 1 + ctg" X = ese" x.ángulo central del (3) Fórmulas para reducir ángulos. I Anzulo Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante -x - sen x eos x - tg x - etg x see x -ese x 900-x eos x sen x etg x tg x ese x see x 90°+ x cos x - sen x - etg x - tg x - ese x see xea lateral = 2 xra . 180°- x sen x - eos x - tg x - etg X - see x ese x 1800+x - sen x - eos x tg x etg x - see x - ese x 270°- x - eos x - sen x etg x tg x - ese x - see x 270°+ x - eos x sen x - etg x - tg x ese x - sec xrea lateral = nrs , 360°- x - sen x eos x - tg x -etg x sec x - cs~ .A i (4) Funciones trigonométricas de (x + yJ y (x - y). sen (x + y) sen z cos y + cos x = sen y . sen (x - y) = sen x cos y - cos x sen y. cos (x + y) = cos x cos y - sen x sen y. so frecuente mu- cos (z - y) = cos x cos y + sen x sen y.eralmente usados tg (x + )= tg x + tg Y . t (x _ ) = tg x - tg Y y, l-tgxtgy g. y l+tgxtgy.dades angulares.dad es 7~60 de una (5) Funciones trigonométricas de 2 x y de Y2 x. 2tg sen 2 x = 2 sen x cos x; cos 2 x = cos" X - sen 2 x; tg 2 x = 1-tg2 x X . ad es el que sub- se llama radián. x /1 - c.os x x /1 + cos x t z /1 - cos x sen 2 = ± j 2 ; cos 2 = ± j 2 ; g 2= ± j 1 + cos xngulos unidad es . .) , sen" x = Y2 - Y2 cos 2 x i cos? X = + ~:! .Y:! 00S 2x.
  24. 24. http://carlos2524.jimdo.com/6 CALCU LO DIFERENCIAL (6) Transformación de sumas y diferencias de senos y cosenos enproductos. sen x + sen y = 2 sen ~ (x + y) cos ~ (x - y) . sen x - sen y = 2 cos ~ (x + y) sen Yz (x - y). cos x + cos y = 2 cos Yz (x + y) cos Yz (x - yj. cos x - cos y = - 2 lOen Yz (x + y) sen Yz (x - y). (7) Relaciones en un triángulo cualquiera. a b eLey de los senos. sen A = sen B = sen C .Ley de los cosenos. a2 = b2 + c2 - 2 be cos A .Fórmulas para el área. K = Yz be sen A . K = Yz a2 sen B sen C sen (B+C) K = ,/ ses - a) (s - b) (s - e) , siendo s = Yz (a + b + e). 3. Fórmulas de Geometría ana!Hica plana. Las fórmulas másimportantes son las siguientes: (l) Distancia entre dos puntos Pl (Xl, yd y P2{X2, Y2). d = y (Xl - X2)2+ (y¡ - Y2)2 .Pendiente de P l P2 . m = Jll - y2 Xl - X2Coordenadas del punto medio. x = Yz (Xl + X2), y = Yz (Yl + Y2) . (2) Angulo de dos rectas en función de sus pendientes. tg () = ml - m2 . 1 +ml m2 (Si las rectas son paralelas es ml = m2; si las rectas son perpen-diculares es ml m2 = - 1 . ) (3) Ecuaciones de la línea recta.En función de uno de sus puntos y de la pendiente. y- yl = m (x - Xl)En función de la pendiente y de la ordenada en el origen. y=mx+b.
  25. 25. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMEN DE FORMULAS 7En fun ción de dos de sus puntos . y - YI X -XlEn función de los segmentos que determina s()/Yre los ejes (4) Distancia del punto PI(XJ, y¡} a la recta Ax + By + e = o. d = AXl + BYI C . + ± VA2+ B2 (5) Relacior.<:s entre las coordenadas rectangulares y las polares. X = (> cos () , y = º sen (), º = V x 2 + y2 , () = are tg]L· X (6) Ecuación de la circunferencia.Centro (h, k). (7) Ecuaciones de la parábola.Con vértice en el origen. y2 = 2 px, foco (Y2 P., O) . x 2 = 2 py, foco (O, Y2 p) .Con vértice en (h, k) . (y - k)2 = 2 p (x - h), eje y = k . (X - h)2 = 2p(y-k), ejex = h.Con eje en el eje de las y. y = AX2 + c. (8) Ecuaciones de otras curvas. Elipse con centro en el ongen y focos en el eje de las x . X2 y2 ~+b2 = 1. (a>b). Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje de las x . Hipérbola equilátera con centro en el origen y los ejes de coordenada~como asíntotas . xy = C. Véase también el Capitulo XXVI
  26. 26. http://carlos2524.jimdo.com/8 CALCULO DIFERENCIAL 4. Fórmulas de Geometría analítica del espacio. He aquí algunasde las fórmulas más importantes. (1) Distancia entre PI (Xl, gl, Zl) y P1 (X2, g2, Z2). d= V (Xl - X2)2 + (YI - Y2) 2 + (Zl - Z2)2 . (2) Línea recta. Cosenos directores: co~ u, cos (:, cos y. N lImeros directores: a, b, c. cos (( cos [1 cos y Entonces -a- = --b- = -c-- cos 2 a + cos 2 (3 + cos 2 y = l. cos a = a -, ± , / a2 +b +c 2 2 b cos ~ = , ± ,/ a2 + b + ,.22 c cos y = --:=~=== ± V a 2 + b2 + c2 Para la recta que une los puntos (Xl, yl, Zl ) y (X2, y2, Z2), setiene: cos a cos ~ ros y X2 - Xl y2 - yl Z2 - ZI (3) Angulo de dos rectas. Cosenos directores: cos a, cos ~, cos y; cos a, cos W, cos y . N Úilleros directores: a, b, c; a, b , c. Si 8 = ángulo de las dos rectas, se tiene: eos 8 = cos a cos a + cos ~ cos W+ cos y cos y , aa + bb + cc cos 8 = ----;-==~~~..:....:...:=====:=====. V a +b +c V a +b + 2 2 2 /2 2 C /2 Rectas paralelas . Rectas perpendiculares. aa + bb + cc = O. (4) Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (Xl, gl, Zl), y sus números directores son a, b, c. x - Xl Y - Yl Z - Zl ---a-=--b--= --c-
  27. 27. http://carlos2524.jimdo.com/ RESUMEN DE FORMULAS 9 (5) Ecuación del plano. En el plano Ax + By + Cz + D = O, loscueficientes A, B, C sun los números directores de la recta perpen-dicular al plano. Ecuación de un plano que pasa por el punto (Xl, Yl, z¡) y es per-pendicular a la recta que tiene los números directores A, B, c. A (x - x¡) + B (y - Yl) + C (z - z¡) = O. (6) Angulo de dos planos. Ecuaciones: Ax + By + Cz + 1J = O. Ax + By + Cz + D = O. Números directores de la recta de intersección: BC- CB, CA-AC, AB- BA. ~i () es el ángulo de los dos planos, se tiene: cos () = --;-==~A=A==+~B:..:B=-:-==+===,C=,C=====- ..../ A 2 + B2 +C 2 V A,2 + B,2 + C/2 . (7) Coordenadas cilíndricas. La distancia z (fig. 1) de un puntop (x, y, z) al plano XY y las coordenadas polares (Q, ()), de <;uproyección A (x, y, O) sobre el plano XY, se llaman coordenadascilíndricas de P. Las coordenadas cilíndricas de P se escriben (Q, (), z). Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, de lasdefiniciones y de la figura, tenemos: x = Q cos () , y = Q sen () , z= z; Q2 = X2 + y2 , () = arc tg JL . x z p x p y A Fig. 1 Fig. 2 (8) Coordenadas esféricas. El radio vector r (fig. 2) de un pun- to P, el ángulo cf> que forma OP con el eje de las z y el ángulo () que forma la proyección de OP sobre el plano XY con el eje de las x, se llaman coordenadas esféricas de P. El ángulo cf> se llama
  28. 28. http://carlos2524.jimdo.com/10 CALCULO DIFERENCIALla colatitud y (j la longitud. Las coordenadas esféricas de P se escriben (1-, cf>, 8). Si x, y, z son las coordenadas rectangulares de P, entonces, delas definiciones y de la figura, tenemos: x = r sen cf> eos 8 , y = r sen cf> sen 8 , z = r cos «, ~---c V x2 + y2 8 = are tg JL, cf> = arc tg . x z 5. Alfabeto griego. CAPITULETRAS NOMBRES LETRAS NOMBHES LETRAS NOMBRES A a Alfa I lota l Ro VARIABLES, FUNCII /1 (i Beta J{ K Kapa " º rr Sigrna r r Gama A , Lambda t :- Tau r 6. Variables y constantes. Un¡ Ll o Delta M p. Mi o mu u Ipsilon se le puede asignar, durante el CUT E Epsilon N ~ Ni o nu 1/1 l Fi número ilimitado de valores. Las va Z t Dseta o zeta E , Xi X 1. Ji o ki las últimas letras del alfabeto H YJ Eta O o Omieron 1· ~" Psi Una cantidad que durante el curs e o Teta H t: Pi !! w Omega se llama constante. Constantes numéricas o absolutas valores en todos los problemas, corr Constantes arbitrarias, o parámetro asignar valores numéricos, y que d esos valores asignados. Usualmente letras del alfabeto. Así. en la ecuación de la recta, ~+JL. a b x y y son las coordenadas variables d línea, mientras que a y b son las cons la abscisa en el origen y la ordenada E que son valores definidos para cada rE El valor numérico (o absoluto) de u de su valor algebraico , se representa 1 símbolo I a I se lee "valor numérico d 7. Intervalo de una variable. A a una porción del sistema de números gir nuestra variable de manera que to didos entre a y b. También puede SE
  29. 29. http://carlos2524.jimdo.com/ALsféricas de P se escribenres de P, entonces, de z = r cos cf> ; vi x2 --- y2 + cp = arc t.g . z CAPITULO II LETRAS NOMBRES r Ro VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES " º rr Sigma r :- Tau r 6. Variables y constantes. Una variable es una cantidad a la que u Ipsilon ¡p se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un l Fi número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por X 1 Ji o ki las últimas letras del alfabeto r ~" Psi Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo ~l w Omega se llama constante. Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc. Constantes arbitrarias, o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente se representan por las primeras letras del alfabeto. Así. en la ecuación de la recta, x y -+-= a b 1 x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea , mientras que a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada en el origen, las cuales se supone que son valores definidos para cada recta. El valor numérico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor algebraico , se representa por 1al. Así, 1- 21 2 = 121. El = símbolo 1 a I se lee "valor numérico de a" o "valor absoluto de a , . 7. Intervalo de una variable. A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo, podemos restríu- gir nuestra variable de manera que tome únicamente valores compren- didos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que
  30. 30. http://carlos2524.jimdo.com/12 CALCULO DIFERENCIALuno () ambos sean excluÍdos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendoa menor que b, para representar los números a y b y todos los núme-ros comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otracosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b , . 8. Variación continua, Se dice que una variable a varía de una .manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde elvalor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores intermedios entre a y b en elo---------<g~--____~o______~g orden de s u s magnitudes; oo A P 8 cuando x disminuye desde x = b Fig.3 hasta x = a, tomando sucesiva- mente todos los valores interme-dios. Esta idea se ilustra geométricamente mediante el diagramade la · figura 3. Tomando el punto O como origen, marquemos sobre la recta lospuntos A y B correspondientes a los números el y b. Además, haga-mos corresponder el punto P a un valor particular de la variable x .Evidentemente, el intervalo [a , b] estará representado por el seg-mento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [ a, b],el punto P engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BASI x disminuye. 9. Funciones. Cuando dos variables están relacionadas de talmanera que el valor de la primera queda determinado si se da un valora la segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda . Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y rela-ciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nosencontramos constantemente con situaciones en las que intervienenmagnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el pesoque un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad deotras circunstancias, de su fuerza. Análogamente, se puede considerarque la distancia ql,le un muchacho puede recorrer depende del tiempo.O también podemos decir que el área de un cuadrado es una función dela longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una funciónde su diámetro . 10. Variables independientes y dependientes. La segunda varia-ble, a la. cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limitesque dependen del problema particular, se llama la variable .independienteo el argumento. La primera variable, cuyo valor queda fijado cuandose asigna un valor a la variable independiente, se llama la variabledependiente o la funci6n.
  31. 31. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES. FUNCIONES y LIMITES 13 Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entresí, queda a nuestro arbitrio el elegir a una de ellas como variable inde-pendiente; pero una vez hecha esta elección, no es permitido cambiarde variable independiente sin tomar ciertas precauciones y hacer laEtransformaciones pertinentes. El área de un cuadrado, por ejemplo,es una función de la longitud del lado , y, recíprocamente, la longituddel lado es una función del área. 11. Notación de funciones. El símbolo f(x) se emplea para desig-nar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entrediferentes funciones se carp.bia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) ,J (x), etc. Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcio-nalidad indicará una misma ley de dependencia entre una función y suvariable. En los casos más simples, esta ley expresa la ejecución de unconjunto de operaciones analíticas con la variable . Por consiguiente,en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la mismaoperación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores dela variable. Así, por ejemplo, si f(x) = X2 - 9x + 14,entonces, f (?I) = y2 - 9Y + 14 ; f(b+1)= (b+1) 2 - 9(b + 1)+14=b 2 -7b + G f( O) = 02 - 9· 0 + 14 = 14, f( - 1) = (_1)2 - 9 ( - 1) + 14 = 24, 2 f(3) =3 - 9. 3 + 14= - 4 . 12. La división por cero, excluida. El cociente de dos númerosa y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente, con esta defini-ción la división por cero queda excluída. En efecto, si b = O, Y recor-dando que cero tomado cualquier número de veces como sumando essiempre igual a cero, se ve que x no existe, a menos que a = O.Si a = O, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto, lasexpresiones que se presentan en una de las formas a O O O I carecen de sentido por no ser posible la división por cero.
  32. 32. http://carlos2524.jimdo.com/14 CALC ULO DIFERENCIAL Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero.La siguiente paradoja es un ejemplo . Supongamos que a = b. Entonces, evidentemente, ab = a 2 • Restando b2 , ab - b2 = a~ - b~ . Descomponiendo en factores, h (a- b) = (a+b) (a- /; ) . Dividiendo por a -/¡ , b=a+b. Pero, a = b;luego, b = 2 b,o ~ea que 1 = 2. E l resultado absurdo proviene de haber dividido por a - b = O. PROBLEMAS 1. Dado f (x) = x a - 5 X2 - 4 x + 20 , d emo strar qu e f ( I )=12, f(5)=0, ( 0 ) = - 2(3), (7)=5( -1 ). 2. S i {(x)=4-2 x2+x·, calcular (O), f( I ), f( - I), (2), (-2) 3. Si F (e) = sen 2 e + cos e, hallar F (O), F ( Yz n), F (n). 4. Dado f (x) = x 3 - 5 X2 - 4 x + 20, demostrar que f(t+I)=t3 - 2r 2 -11 t+ 12. 5. Dado f (y) = y2 - 2 y + 6, demo s trar q U C f (y + h) = y2 - 2 y + 6 + 2 (y - 1) h + !-J2. n. 0 .1<.10 ( x ) = x 3 + 3 x , d e mostrar quc (x+h) - ( x )=3(x 2 +1)h+ 3 Xh2 +h a. 7. D a d o f(x) =..!.. . drmostrarquef(x+h)-(x)=- h x X2 + xh 8. D ado </>(z);; 4=, demostrar que </>(z + 1) - </>(z) = 3 </>(z) . 9. Si </> (x) = al, demostrar que</> ( y ) • </> (z) = </> (y + z). 1 ·- x 10. Dado</> (x) = l og - - , demostra r que I+ x </>(1)+</>(z) = </>(1+Z). 1+ lJZ 11. D ado f ~ x) = se n x. d emostrar que f(x + 2h)-f(x) =2cos (x +h ) senh. S UGESTION . Utili za r l as fórmu las (6) del Articulo 2 .
  33. 33. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES . FUNCIONES Y LIMITES 15 13. Gráfiéa de una función; continuidad. Consideremos la funciónx2 y hagamos (1) Y = Xl. Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir,(1) define unívocamente a y para todos los valores de la variable inde-pendiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y sellama la gráfica de la función X2. Si x varía continuamente (Art. 8)desde x = a hasta x = b, entonces y variará continuamente desdey = a2 ha"ta y = b2 , Y el punto P (x, y) se moverá continuamente,a lo largo de la curva, desde el punto (a, a 2 ) hasta (b, b2 ). Además,a y b pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que, In. función X2 es continua para todos los valores de x". Fig.4 Fig. 5 1 Consideremos ahora la función Hagamos x 1 (2) Y = -X EflLá p.cuacÍún da un valor de y para cada valor de x, con p.xcep-ci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la función no está definida. Lagráfica (fig. 5), que es el lugar geométrico de (2), es una hipér-bola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalola, bl que no incluya x = O, entonces y decrecerá continuamentedp.sde ~ hasta ~ , y el punto P (x, y) describirá la curva entre lospuntos correspondientes ( a, ~), (b, ~ ). En este caso decimosquc "la función 1- es continua para todos los valores de x con excep- xción de x = O . No existe en la gráfica un punto correspondiente ax = O. Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función.Una definición se dará en el Artículo 17.
  34. 34. http://carlos2524.jimdo.com/16 CALCULO DIFERENCIAL 14. Límite de una variable. La noción de una variable que seaproxima a un limite se encuentra, en la Geometría elemental, alestablecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considerael área de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera delados, y se supone, después, que n crece infinitamente. El áreavariable tiende así hacía un limite, y este límite se define como áreadel círculo . En este caso, la variable v (área) aumenta indefinida-mente, y la diferencia a - v (siendo a el área del círculo) va disminu-yendo hasta que, finalmente, llega a ser menor que cualquier númeropositivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño que éste sehaya elegido. El concepto de límite se precisa mediante la siguiente DEFINICIÓN. Se dice que la variable v tiende a la constante l comolímite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor numé-rico de la diferencia v - l puede llegar a ser, finalmente, menor quecualquier número positivo predeterminado tan pequeño como se quiera. La relación así definida se escribe lim v = l. Por conveniencia, nosserviremos de la notación v -7 l, que se leerá "v tiende hacia ellímite l" o, más brevemente, "v tiende al". (Algunos autoresusan la notación v -:"l . ) EJEMPLO. Si u toma la sucesión infinita de va loreses evidente que u -72 al crecer n . es decir . lim u = 2. Si sobre una línea recta, como en el Artículo 8, se señala el punto Lque corresponde al limite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud E,sin importar lo pequeño que éste sea, entonces se observará que lospuntos determinados por v caerán todos, finalmente, dentro del seg-mento que corresponde al intervalo [l - E. l + E ] . 15. Límite de una función. En las aplicaciones de la definiciónde límite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tieneuna variable v y una función dada z de v, y se supone que la variablev recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces losvalores de la variable dependiente z e investigar, particularmente, siz tiende también a un limite. Si efectivamente existe una constante atal que lím z = a, entonces se expresa est.a relación escribiendo límz=a, V-71y se leerá: "el límite de z. cuando v tiende a l, es a . ,
  35. 35. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES . FU NC IO NES Y LIMITES 17 16. Teoremas sobre límites. En el cálculo del límite de una fun-ción tienen aplicación los teoremas siguientes. Las demostraciones sedarán en el Artículo 20 . Supongamos que u, v y w sean funciones de una variable x y que lím u = A, lím v = B, lím w = c. ",~a ", ~a x~aEntonees son ciertas las siguientes relaciones. (1) lím (u x~a + v- w) =A +B - C. (2) lím (uvw) = ABC. x~a (3) 1 , 1m - u = -, A . B SI no es cero. x~a V B En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un productoo de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al pro-ducto o al cociente de los límites respectivos, con tal de que, en el últimocaso, el límite del divisor no sea cero. Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de loanterior se deduce: (4 ) Hm (u x~a + c) =A + c, lím cu x ~a = cA , lím x~" ~ = ~. V B Conside remos algunos ejemplos. 1. Demostrar q u e l i m (x 2 + 4 x) = 12. x~2 Demostración. La f unción dada es la suma de X2 y 4 x. En primer lugarh allarem os lo s li mites de estas d os funciones.Segú n (2). lim X2 = 4. p u esto q u e xc = x·x. x~2Seg ún (4). lim 4x=4 lim x = 8. :t ~ 2 x~2Luego. seg ún (1). el limite bu scado es 4 +8 = 12 . 2. "Demostrar q ue l im Z2 - 9 = _ 2.. z ~2 z +2 4 Demostración. Co n side rand o el num erador. lim (Z2 - 9) = - 5. según 2~2 (2) Y (4). E n cuanto al denominador . li m (z + 2) = 4. Lu ego. d e (3). 2~~tenemos el resultado buscado. 17. Funciones continuas y discontinuas. En el ejemplo 1 delArtículo 16 , donde se demostró que lím (X2 x-;2 + 4 x) 12,
  36. 36. http://carlos2524.jimdo.com/18 CALCULO DIFERENCIALobservamos que la solución es el valor de la función para x = 2 ; esdecir, el valor límite de la función cuando x tiende a 2 es igual al valorde la función para x = 2. En este caso decimcs que la función escontinua para x = 2. La definición general es la siguiente: DEFINICIÓN. Se dice que una función f(x) es continua para x = asi el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor dela función para x = a. En símbolos, si lím ¡(x) = ¡(a), X-7aentonces f (x) es continua para x = a. Se dice que la función es discontinua para x = a si no se satisfaceesta condición. Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentanfrecuentemente. CASO l. Como ejemplo sencillo de una función que es continuapara un valor particular de la variable, consideremos la. función X2 - 4 f(x) = - -o x- 2 Para x = 1, f ex) = fe 1) = 3. Además, si x tiende al, la fun-ción f(x) tiende a. 3 como límite (Art. 16). Luego la función escontinua para x = 1 . CASO n. La definición de función continua supone que la funciónestá definida para x = a . Sin embargo, si este no es el caso, a veceses posible asignar a la función t al valor para x = a que la condición decontinuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente teorema: Teorema. Si f (x) no está definida para x = a, pero lím ¡(x) = B, X-7 aentonces fex) será·-continua para x = a, si se toma como valor de f ( x)para x = a el valor B. Así, por ejemplo, la función X2 - 4 x-2 no está definida para x = 2 (puesto que entonces habría división por cero ) . Pero para todo otro valor de x x~ - 4 x_2=x-l-2;
  37. 37. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES, FUNCIONES Y LIMITE S 19y lím (x :<-72 + 2) = 4; X2 - 4luego, lím - - - = 4. :<-72 x - 2 Aunque la función no está definida para x = 2, si arbitrari amenteasignamos a ella para x = 2 el valor 4, se hace continua para estevalor. Se dice que una función f (x) es cont1nua en un intervalo cuando escontinua para todos los valores de x dentro de este intervalo. * En el Cálculo diferencial e integral, es frecuente tener que calcularel límite de una función de la variable v, cuando v tiende a un valor asituado en un intervalo donde la función es continua. En este caso ellímite de la función es el valor de la función para , v = a. 18. Infinito (00). Si el valor numérico de una variable v llega aser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado deantemano, por grande que éste sea, decimos qlle v se vuelve infinita .Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente;si solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente.La notación que se emplea para los t res casos es lím v = 00, Iím v = + 00, lím v = - 00En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición delArtíct:lo 14 . La notación lím v = 00 , o V-7oo • debe leErse "v sevuelve infinita" y no "v se aproxima al infinito" ** Con esta notación podemos escribir , por ejemplo, , 1 1lm- = oo, "-70 xsignificando que ~ x se hace infinito cuando x tiende a cero. En este libro trataremos solamente funciones que son, en general. conti -nuas, es decir , que so n co ntinua s para todos los va lores de x , con la posibleexcepción de ciertos valores aislados; se sobrentiende que, en general. nuestrosresu ltados son vál idos solamente para aq u el l os valores de x para los cuales lafunción que se considera es realmente continua, ** A causa d e la notación y para mayor uniformidad. a veces la expresiónU-7+ 00 se lee" u tiende al límite más infinito " . De igual manera U-7 - 00se lee" u tiende al límite menos infinito " y U-7oo se lee " u, en valor numé-rico, tiende al límite infinito". Es ta fraseología es cómo da , pero el lector no debe olvidar que el infinit o noes un límite , puesto que el infinito no es un número.
  38. 38. http://carlos2524.jimdo.com/2U CALCULO DIFERENCIAL Según el Artículo 17 , es evidente que si lím f(x) = 00 , x -,)a0S dccir, si f (x) se hace infinita cuando x tiende a a, en toncc;; f (x) esdi scontinua para x = a . Una función puede tender hacia un lími te cuando la. va riable inde-pendien te se hacc infinit.a . Por ejemplo, lím ~ = o. x-,)oo X En general, si f (x) tiende al valor constante A como límitecuando x-,) 00 , empleamos la notación del Artículo 17 y escribimos lím f(x) = A . x -,)"- Ciertof límite:;: particulares que se presentan frecuentemente se dana continuación. La constante e no es cero. Escrito en forma de límites Forma abreuiada. fr ec u ent emente usada e (1 ) lím .!:... = 00 00 v ,-,) 0 O (2) lím cv = 00 c· 00 00 /"-,)00 00 (3 ) lím ...!!... = 00 00 ,.-,)", e e (4 ) lím .!:... = O. .!:... = O. 00 /"-,) 00 V Estos límites particula res Ron ú t.ilef pa ra hallar el límite del cocientede dof polinomios cuando la variable se hace infinita . E l siguifnteejemplo ilustrará el método . EJEMPL O IL US TR AT IVO. D emostrar que lím 2 x - 3 x-,) 00 5 x - X2 3 XZ - +4 = 7 x3 _ ~. 7 Demostración. Di v ídanse el numerador y el denominador por x 3 • que esla mayor potencia de x que entra en la fracción . Entonces tenemos: 2-2. -I- ±3 lím 2 x 3 - 3 X2 4 + = l ím x x " , - , ) oC 5 x - X2 - 7 x 3 x-,)oo2. _ ~_7 X2 xEl l ímite de cada término que contiene a x. tanto en el numerador como en eldenominador del segundo miembro. es cero. de acuerdo con (4). Por consi-g ui ente. se obtiene la solución aplicando las fórmulas (1) y (3 ) del Artículo 16.En cualquier caso análogo se procede . por lo tanto. como sigue: Se diuiden numerador y d enominador por la mayor pot encia de la uariableque entr e en la fracci ón.
  39. 39. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES. FUNCIONES Y LIMITES 21 Si u y v son funciones de x, y lím u = A, lírn v = O, "-7a "-7 u y A no es igual a cero, entoncesr" f (x) es lím ~ = 00uble inde- "-7av Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16 I cuanclo B = O Y A no es cero. Véase también el Artículo 20.mo límit.e PROBLEMASescribimos Demostrar cada una de las siguientes igualdades:nte se dan 2. - 2 5-2x2 x2mente usada lím = lím --o Demostración. X-7",,3x+5x2 x-7",,1.+5 x [Dividiendo numerador y denominador por X2.] El límite de cada término conteniendo a x. en el numerador y en el denomi- nador. es cero. de acuerdo con (4). Aplicando (1) y (3) del Artículo 16 se obtiene la solución. 2. lím 4x+5 =2. 7. lím ax + b x? + e = O. %-700 2 x +3 X-7" d x? + ex3 + fx el cociente 4 (2 + 3 (+ 2 1 ax + b x? + e = oo. 3. lím 8. lím 1 siguiente t-70 (3 +2 t r-: 6 T X-7oo dx3+ex2+fx+g lím x2h + 3 xh? + h3 X 9. 4 lím s-a =2a2. 4. /1.-70 - +5 h 2 xh -1 2 8-7a,S2 - a2 =-~ 7 • 5. lím 6 x3 - 5 x2 + 3 = 3. 10 . lím x2 + x - 6 = 2.. .r x3• que es %-700 2 x3 + 4 x - 7 ",-72 x2 - 4 4 (2 z + 3 k) 4 k z =1. 3 - 2 11. lím 4 y2 - 3 = O. 6. lím -7002y3+3y2 k-70 2 z (2 z - k) 2 12. l m í 3h + 2 xh2 + x2h3 = __ 1_ "-7" 4-3xh-2x3h3 2xr como en el 13. l aox" + a¡x"b-l + " +an + b¡Xn.-l + .,. + b« í m e o Por consi- :<-700 box" = bu . Artículo 16. 14. lím aox" + a¡xn- 1 + ... + an an e la variable %-70 t-ox1t + b x" i 1 + +b O" « bn.
  40. 40. http://carlos2524.jimdo.com/22 CALCULO DIFERENCIAL (n = núm ero entero y posit ivo . ) 16 . 11m . V x +h - ,/~ =-- I h---70 h 2 V~· Demostración. No se p u ed e hallar el limite su st itu ye nd o h = O, porque seobtiene la fo rma indetermina d a ~ (A rt. 12). P or esta ra zó n hay que trans- Ofo rmar la exp re sión d e una m a n e ra convenie nt e, como se indica abajo, a saber,rac io nali za nd o el num era dor.V x +h - V-; X V x + h + V-; _ h ~ + vxP or tanto , . 11m V x + h - V-; = lim --- h---7 0 h 11---70 Vrl-h + V-; 2V-; 17. Dado f(x) = x 2 , demostrar que lim r(x+h)--f(x~ =2 x . h---7 0 h 18. Dado f (x ) = ax 2 + bx + c. demostrar que lím f(x+h ) - f(x) = 2ax+b. h---70 h 19. Dddo f (x) = ~ d e mostrar q u e x ¡ím f(x+h)-f(x) h---70 h -;z . 20. Si f (x) = x 3 , hallar lím f(x +h ) - f(x) h---70 h 19. Infinitésimos. Una variable v que tiende a cero se llama uninfi:nitésimo. Simbólicamente se escribe (Art. 14) lím v = O o v ---7 O ,Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece,menor que cualquier número positivo asignado de antemano, porpequeño que sea. Si lím v = l, entonces lím (v - l) = O; es decir, la diferenciaentre una variable y su límite es un infinitésimo . Recíprocamente, si la diferencia entre una variable y una constantees un infinitésimo, entonces la constante es el limite de la variable .
  41. 41. http://carlos2524.jimdo.com/ VARIABLES, FUNCIONES y LIMITES 23 20. Teoremas relativos a infinitésimos y límites. En las siguientesconsideraciones todas las variables se suponen funciones de la mismavariable independiente, y, además, que tienden a sus límites respec-tivos cuando esta variable tiende a un valor fijo a . La constante E esun núraero positivo asignado de antemano, tn,n pequeño como sequiera, pero no cero. En primer lugar demostraremos cuatro teoremas sobre infinitésimos. 1 . La suma algebraica de n infinitésimos, siendo n un númerofinito, es otro infinitésimo. En efecto, el valor numérico de la suma llegará a ser, y permane-cerá, menor que E cuando el valor numérico de cada infini tésimo llegaa ser, y permanece, menor que n. E II . El producto de una constante c por un infinitésimo es otro infi-nitésimo. EH efecto , el valor numérico del producto será menor que E cuandoel valor numérico del infinitésimo sea menor que I~I . III . El producto de un número finito n de infinitésimos es otroinfinitésimo. En efecto, el valor numérico del producto llegará a ser, y perma-necerá, menor que E cuando el valor numérico de cada infinitésimollega a ser, y perma.nece, menor aue la raíz n de E . IV. Si lím de v = l Y l no es cero, entonces el cociente de un 1:nfini-tésimo i dividido por v es también un infinitésimo. En efecto, podemos eleg ir un número positivo c , numérica mentemenor que l, tal que el valor numérico de v llega a ser, y perma-nece, mayor que c, y también tal que el valor numérico de i llega aser, y permanece, menor que CE. Entonces el valor numérico delcociente llegará a ser, y permanecerá, menor que E. Demostraciones de los teoremas del Artículo 16. Sea (1 ) u-A=i, v-B=j, w-C=k.Entonces i, j, k son funciones de x, y cada una tiende a cerocuando x -7 a; es decir, son infinitésimos (Art. 19). De las igual-dades (1) obtenemos (2) u +v - w - (A +B- C) = i +j - k.
  42. 42. http://carlos2524.jimdo.com/24 CALCULO DIFERENCIALEl segundo miembro es un infinitésimo ::egún el teorema l. Luego,según el Artículo 19, (3 ) lím (u x~a +v- w) =A + B - c.Según (1) t.enemos u = A + i, v = B + j. Multiplicando y trans-poniendo AB resulta: (4) uv - AB = Aj + Bi + ij.Según los teoremas I a III que hemos demostrado, el segundo miembroes un infinitésimo . Luego, (5 ) lím uv = AB. x~aLa demostración se extiende fácilmente al producto uvw. En fin, podemos escribir, u A A+ i A Bi - Aj (6 ) B = B + j - B = B (B + j) . vEl numerador es un infinitésimo según los teoremas I y II. Según(3) Y (4), lím B (B + j) = B2 . Según el teorema IV, el segundomiembro de (6) es un infinitésimo y, por lo tanto, (7 ) lím ~ = .!l. x~a v BLuego las proposiciones del Artículo 16 están demostradas.
  43. 43. http://carlos2524.jimdo.com/ CAPITULO III DERIVACION 21. Introducción. En este capítulo vamos a investigar cómo varíael valor de una función al variar la variable independiente. El proble-ma fundamental del Cálculo diferencial es el de establecer con todaprecisión una medida de esta variación. La investigación de problemasde esta índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban deuna manera continua, llevó a Newton * al descubrimiento de los prin-cipios fundamentales del Cálculo infinitesimal, el instrumento científicomás poderoso del matemático moderno. 22. Incrementos. El incremento de una variable que pasa de unvalor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valorinicial del valor final. Un incremento de x se representa por el símbo-lo ~x, que se lee "delta x . El estudiante no debe leer este símbolo, , delta veces x , Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo, **según que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor.Asimismo, ~y significa incremento de y, ~cp significa incremento de cp 1 ~f(x) sig?ifica incremento de f (x), etc. " El célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) ha sidouno de los genios más grandes que han existido. Desarrolló la ciencia del Cálculodiferencial e integral bajo el nombre de fluxiones. Aunque Newton descubrióy empleó la nueva ciencia desde 1670, su primera obra publicada que la exhibeestá fechada en 1687, teniendo el título " Philosophiae Naturalis Principia Ma-thematica". Esta es la obra principal de Newton. De ella dijo Laplace:" Siempre pe!manecerá preeminente sobre todas las otras producciones de 1.1mente humana." ** Algunos autores al incremento negatilJo le llaman" decremento".
  44. 44. http://carlos2524.jimdo.com/26 CALCULO DIFERENCIAL Si en y = f (x) la variable independiente x toma un incremento ~x ,entonces ~y indicará el incremento correspondiente de la fun ción f (x) (o sea, de la variable dependiente y). El incremento ~y siempre ha de contarse desde el valor inicial defi-nido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de xdesde el cual se cuenta el incremento ~x. Por ejemplo, consideremosla función Si tomamos x = 10 como valor in icial de x, est.o fija y = 100corno valor inicial de y. Supongamos que x aumenta hasta x = 12, es decir , ~x = 2;entonces y aumenta hasta y = 144, y ~y = 44 . Si se supone que x decrece hasta x = 9, es decir, ~x = -1 ;entonces y decrece hasta y = 81 , y ~y =-1 9. En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuan~do x decrece. Los valores correspondientes de ~x y ~y tienen unmismo signo. Puede acontecer que y decrezca cuando x aumenta, oviceversa; ~x y ~y tendrán entonces signos contrarios. 23. Comparación de incrementos. Consideremos la función (1 ) .y = X2. Supongamos que x tiene un valor ini cial fijo y le damos después unincremento ~x . Entonces y tomará un incremento correspondiente ~y,y tendremos: y + ~y = (x + ~xr,o sea, y + ~y = X2 + 2 x· ~x + (~X)2. Restando (1), Y = X2 (2)obtenemos el incremento ~y en función de x y ~x. Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dosmiembros de (2) por ~x, y resulta: ~~= 2 x + ~x.

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