1. GUIA N° 3 DE EJERCICIOS
INVESTIGACION OPERATIVA
METODO SIMPLEX
EJERCICIO 1
Utilice el método simplex (en su forma algebraica) para resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = 4x1 + 3x2 + 6x3
Sujeta a: 3x1 + x2 + 3x3 ≤ 30
2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
EJERCICIO 2
Utilice el método simplex (en su forma algebraica) para resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = x1 + 2x2 + 4x3
Sujeta a: 3x1 + x2 + 5x3 ≤ 10
x1 + 4x2 + x3 ≤ 8
2x1 + 2x3 ≤ 7
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
EJERCICIO 3
Utilice el método simplex (en su forma algebraica) para resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = x1 + 2x2 + 2x3
Sujeta a: 5x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 15
x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 12
2x1 + x3 ≤ 8
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
EJERCICIO 4
Considere el siguiente problema:
Maximizar Z = 2x1 + 4x2 + 3x3
Sujeta a: 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 60
2x1 + x2 + 2x3 ≤ 40
x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 80
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

2. EJERCICIO 5
Utilice el método simplex (en forma tabular) para resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = 2x1 - x2 + x3
Sujeta a: 3x1 + x2 + x3 ≤ 6
x1 - x2 + 2x3 ≤ 1
x1 + x2 - x3 ≤ 2
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
EJERCICIO 6
Utilice el método simplex para resolver el siguiente problema:
Maximizar Z = -x1 + x2 + 2x3
Sujeta a: x1 + 2x2 - x3 ≤ 20
-2x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 60
2x1 + 3x2 + x3 ≤ 50
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
EJERCICIO 7
Considere el siguiente problema:
Maximizar Z = x1 + x2 + x3 + x4
Sujeta a: x1 + x2 ≤ 3
x3 + x4 ≤ 2
y xj ≥ 0, para j = 1, 2, 3, 4
Utilice el método simplex para encontrar todas las soluciones BF óptimas.
EJERCICIO 8
Considere el siguiente problema:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2
Sujeta a: x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + x2 = 3
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
a) Resuelva este problema gráficamente.
b) Use el método de la M para construir la primera tabla simplex para el método simplex e
identificar la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifique la
variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
c) Resuelva por el método simplex.

3. EJERCICIO 9
Considere el siguiente problema:
Minimizar Z = 3x1 + 2x2
Sujeta a: 2x1 + x2 ≥ 10
-3x1 + 2x2 ≤ 6
x1 + x2 ≥ 6
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
a) Resuelva este problema gráficamente.
b) Use el método de la M para construir la primera tabla simplex completa para el método
simplex e identifique la solución inicial BF (artificial) correspondiente. Identifique
también la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.
c) Resuelva por el método simplex.
EJERCICIO 10
Considere el siguiente problema:
Minimizar Z = 2x1 + 5x2 + 3x3
Sujeta a: x1 - 2x2 + x3 ≥ 20
2x1 + 4x2 + x3 = 50
y x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
a) Use el método de la M para construir la primera tabla simplex completa para el método
simplex e identifique la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También
identifique la variable básica entrante y la variable básica que sale.
b) Resuelva por el método simplex.
c) Use el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para fase 1
e identifique la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifique la
variable básica entrante y la variable básica que sale.
d) Realice la fase 1.
e) Construya la primera tabla simplex completa para la fase 2.
f) Realice la fase 2.
g) Compare la secuencia de soluciones BF obtenidas en el inciso b) con las de los incisos d) y
f). ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al
introducir las variables artificiales y cuáles son de hecho factibles para el problema real?
EJERCICIO 11
Considere el siguiente PL:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2
Sujeta a: x1 + 3x2 ≤ 6
3x1 + 2x2 ≤ 6
y x1, x2 ≥ 0
a) Exprese el problema en forma estándar.

4. b) Determine todas las soluciones básicas del problema y clasifíquelas como factibles y no
factibles.
c) Emplee la sustitución directa en la función objetivo para determinar la mejor solución
básica factible.
d) Verifique gráficamente que la solución obtenida en c) sea la solución óptima de PL y, por
lo tanto, concluya que la solución óptima se puede determinar algebraicamente,
considerando sólo las soluciones factibles básicas.
e) Muestre cómo la solución básica no factible está representada en el espacio de la solución
gráfica.
EJERCICIO 12
Determine la solución óptima para cada una de las siguientes PL., enumerando todas las
soluciones básicas:
a) Maximizar Z = 2x1 - 4x2 + 5x3 + 6x4
Sujeta a: x1 + 4x2 - 2x3 + 8x4 ≤ 2
-x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 ≤ 1
y x1, x2, x3, x4 ≥ 0
b) Minimizar Z = x1 + 2x2 - 3x3 - 2x4
Sujeta a: x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 4
x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 4
y x1, x2, x3, x4 ≥ 0
EJERCICIO 13
Muestre que todas las soluciones básicas de las siguientes PL. son no factibles:
Maximizar Z = x1 + x2
sujeta a x1 + 2x2 ≤ 6
2x1 + x2 ≥ 16
y x1, x2 ≥ 0
EJERCICIO 14
Considere la siguiente PL.:
Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + 5x3
Sujeta a: -6x1 + 7x2 - 9x3 ≥ 4
x1 + x2 + 4x3 = 10
y x1, x3 ≥ 0
x2 no restringida
La conversión a la forma estándar implica utilizar la sustitución x2 = x2+ - x2-. Muestre que
ninguna de las soluciones básicas del problema puede incluir tanto x2+ y x2- simultáneamente.

5. EJERCICIO 15
Considere la siguiente PL.:
Maximizar Z = x1 + 3x2
Sujeta a: x1 + x2 ≤ 2
-x1 + x2 ≤ 4
y x1 no restringida
x2 ≥ 0
a) Determine todas las soluciones básicas factibles del problema.
b) Utilice la sustitución directa en la función objetivo para determinar la mejor solución
básica.
c) Resuelva gráficamente el problema y verifique que la solución obtenida en c) es laóptima.
EJERCICIO 16
Considere la siguiente serie de restricciones:
x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 40
2x1 - x2 + x3 + 2x4 ≤ 8
4x1 - 2x2 + x3 - x4 ≤ 10
y x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Para cada una de las siguientes funciones objetivo, resuelva el problema utilizando la opción
de guiada por el usuarios de TORA:
a) Maximizar: Z = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4
b) Maximizar: Z = 8x1 + 6x2 + 3x3 - 2x4
c) Maximizar: Z = 3x1 - x2 + 3x3 + 4x4
d) Minimizar: Z = 5x1 - 4x2 + 6x3 - 8x4
e) Minimizar: Z = -4x1 + 6x2 - 2x3 + 4x4
EJERCICIO 17
La siguiente tabla simplex representa una iteración simplex específica. Todas las variables son
no negativas:
Sólución básica
factible x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
z 0 -5 0 4 -1 -10 0 0 620
x6 0 3 0 -2 -3 -1 5 1 12
x3 0 1 1 3 1 0 3 0 6
x1 1 -1 0 0 6 -4 0 0 0
a) Determine la variable de salida si la variable de entrada es (i) x 2, (ii) x4, (iii) x5, (iv) x6, (v)
x7.
b) Para cada caso en a) y sin utilizar las operaciones de Gauss-Jordan, determine el valor de
la variable de netrada y el incremento correspondiente en el valor del objetivo z.

6. EJERCICIO 18
a) Resuelva la siguiente PL. por inspección y justifique la respuesta en términos de las
soluciones básicas del método simplex:
Maximizar Z = x1
Sujeta a: 5x1 + x2 = 4
6x1 + x3 = 8
3x1 + x4 = 8
y x1, x2, x3, x4 ≥ 0
b) Repìta a) suponiendo que la función objetivo requiere la minimización de z = x1.
EJERCICIO 19
Considere la siguiente serie de restricciones:
-2x1 + 3x2 = 3 (1)
4x1 + 5x2 ≥ 10 (2)
x1 + 2x2 ≤ 5 (3)
6x1 + 7x2 ≤ 3 (4)
4x1 + 8x2 ≥ 5 (5)
y x1, x2 ≥ 0
Para cada uno de los siguientes problemas, desarrolle el renglón –z después de sustituir las
variables artificiales::
a) Maximizar: Z = 5x1 + 6x2 sujeta a (1), (3) y (4).
b) Maximizar: Z = 2x1 - 7x2 sujeta a (1), (2), (4) y (5).
c) Minimizar: Z = 3x1 + 6x2 sujeta a (3), (4) y (5).
d) Minimizar: Z = 4x1 + 6x2 sujeta a (1), (2) y (5).
e) Minimizar: Z = 3x1 + 2x2 sujeta a (1) y (5).
EJERCICIO 20
Considere el problema:
Maximizar Z = 2x1 + 4x2 + 4x3 - 3x4
Sujeta a: x1 + x2 + x3 = 4
x1 + 4x2 + x4 = 8
y x1, x2, x3, x4 ≥ 0
Resuelva el problema utilizando x3 y x4 para la solución básica factible. No utilice ninguna
variable artificial.
EJERCICIO 21
Resuelva el problema utilizando x3 y x4 como las variables básicas factibles. No utilice
ninguna variable artificial.
Minimizar Z = 3x1 + 2x2 + 3x3

7. Sujeta a: x1 + 4x2 + x3 ≥ 7
2x1 + x2 + x4 ≥ 10
y x1, x2, x3, x4 ≥ 0
EJERCICIO 22
Considere el problema:
Maximizar Z = x1 + 5x2 + 3x3
Sujeta a: x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 - x2 = 4
y x1, x2, x3 ≥ 0
La variable x3 desempeña el papel de una holgura; por tanto, no necesitamos una variable
artificial en la primera restricción. Sin embargo, en la segunda restricción se necesita una
variable artificial. Utilice esta solución inicial (es decir, x3, en la primera restricción y R2 en la
segunda restricción) para resolver este problema.
EJERCICIO 23
Para la siguiente PL., encuentre tres soluciones básicas óptimas alternativas y después escriba
una expresión general para todos los óptimos alternativos no básicos que constituyen estas tres
soluciones:
Maximizar Z = x1 + 2x2 + 3x3
Sujeta a: x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 5
x1 ≤ 1
y x1, x2, x3 ≥ 0
EJERCICIO 24
Muestre que todos los óptimos alternativos de la siguiente PL son no básicos. Proporcione una
demostración gráfica bidimensional del tipo de espacio de la solución y de la función objetivo
que producirá este resultado:
Maximizar Z = 2x1 - x2 + 3x3
Sujeta a: x1 - x2 + 5x3 ≤ 10
2x1 - x2 + 3x3 ≤ 40
y x1, x2, x3 ≥ 0

8. EJERCICIO 25
Para la siguiente PL., muestre que la solución óptima es degenerada y que existen soluciones
alternativas que son todas no básicas:
Maximizar Z = 3x1 + x2
Sujeta a: x1 + 2x2 ≤ 5
x1 + x2 - x3 ≤ 2
7x1 + 3x2 - 5x3 ≤ 20
y x1, x2, x3 ≥ 0
EJERCICIO 26
Considere la PL.:
Maximizar Z = 20x1 + 10x2 + x3
Sujeta a: 3x1 - 3x2 + 5x3 ≤ 50
x1 + x3 ≤ 10
x1 - x2 + 4x3 ≤ 20
y x1, x2, x3 ≥ 0
a) Al inspeccionar las restricciones, determine la dirección (x1, x2 o x3) en la cual el espacio
de la solución es no acotado.
b) Sin hacer cálculos adicionales, ¿puede usted concluir cuál es el valor objetivo óptimo?
EJERCICIO 27
Considere el modelo de PL.:
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 3x3
Sujeta a: 2x1 + x2 + x3 ≤ 2
3x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 8
y x1, x2, x3 ≥ 0
Muestre, con la técnica de la M, que la solución óptima incluye una variable básica artificial.
Sin embargo, debido a que su valor es cero, el problema tiene una solución óptima factible.