Fatoração
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Apresentação de matemática sobre Fatoração.

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Fatoração Presentation Transcript

  • 1. 1 Uniban Universidade Bandeirante de São Paulo Fundamentos da Álgebra Prof. Cícero São Paulo – 2009
  • 2. 2 CAPÍTULO III – Fatoração 1. Introdução Consideremos o número 100. Utilizando a multiplicação, podemos escrever esse número de várias maneiras: 100 =        2 . 50 4 . 25 5 . 20 2 2 2 . 5 10 . 10 Resumo detalhado sobre o assunto em: http://www.algosobre.com.br/matematica/divisibilidade-e-a-decomposicao
  • 3. 3 Quando escrevemos o número 100 na forma 2 . 50 ou 4 . 25 ou 5 . 20 ou 10 . 10, transformamos esse número numa multiplicação de dois fatores. numa multiplicação em que todos os fatores são números primos. Quando escrevemos o número 100 na forma transformamos esse número2 2 2 . 5 Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 100. Como a palavra fatoração está associada a uma multiplicação, podemos dizer que: Fatorar um número significa escrevê-lo como multiplicação de dois ou mais fatores.
  • 4. 4 a b x A1 A2 Seja a figura ao lado: Há duas maneiras de representarmos a área dessa figura. 1ª) Área da figura 1 + área da figura 2, ou seja, ax + bx. 2ª) Fazemos x . (a + b), pois a figura é um retângulo.
  • 5. 5 Quando escrevermos o polinômio ax + bx na forma x (a + b), estamos transformando o polinômio inicial numa multiplicação de polinômios, Portanto, fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio com uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Daí podemos escrever: polinômio ax + bx =14243 multiplicação de polinômios x (a + b) 14243
  • 6. 6 2. Técnicas de fatoração 2.1. Colocação de um fator comum em evidência A figura abaixo mostra um quadrado ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABEF. a b A C EB D F a De acordo com a figura, podemos escrever:
  • 7. 7 área do quadrado ABCD 2a 14444244443 a b A C EB D F a área do retângulo CEFD + ab 14444244443área do retângulo ABEF = a(a + b) 14444244443
  • 8. 8 2.1. Agrupamento Observe as 3 figuras seguintes: ba x y a b x y ax ay bx by ba x y x.(a + b) y.(a + b) A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio ax + bx + ay + by. A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio x(a + b) + y(a + b). A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio (a + b) (x + y).
  • 9. 9 Como as três figuras têm a mesma área, podemos escrever: polinômio ax + bx + ay + by = 144424443 x . (a + b) + y . (a + b) = forma fatorada do polinômio (a + b) (x + y) 1442443 Vejamos como podemos fazer algebricamente para escrever o polinômio ax + bx + ay + by na forma fatorada: ax + bx + ay + by14243 14243 Agrupamos os termos que possuem fator comum x (a + b) + y (a + b) Em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência (a + b) (x + y) Colocamos, novamente, em evidência o fator comum
  • 10. 10 2.3. Diferença de dois quadrados Consideremos a figura abaixo: x - y y y x x x2 – y2 x – y que expressa uma diferença de dois quadrados. 2 x 2 y− A área da figura pintada acima pode ser indicada pelo polinômio 2 x 2 y .−
  • 11. 11 y (x – y) (x – y) (x – y) x y y (x – y) x (x – y) x (x + y)(x y)−2 x 2 y =− Figura 1 Figura 2
  • 12. 12 Recortando a figura (ver fig. 1) pelo tracejado formamos uma nova figura (ver fig. 2) quando juntamos as duas partes: A área da figura 2 é expressa por (x + y) (x – y). Como as áreas são iguais, logo podemos escrever: (x + y)(x y)−2 x 2 y =− A área da figura 1 é expressa por 2 2 x y .−
  • 13. 13 Na forma fatorada, podemos observar que: 2 x = x raiz quadrada do 1º termo do polinômio 2 y = y raiz quadrada do 2º termo do polinômio Então: 2 2 x - y = 2 2x x2 2y y ( x + y) ( x + y) ↓ ↓↓ ↓
  • 14. 14 2.4. Quadrado da soma de dois termos Vamos considerar a seguinte figura: x2 y2xy xyx x y y A figura representa um quadrado cujo lado mede (x + y) unidades de comprimento. A área da figura pode ser indicada de duas maneiras: 2 2 x + 2xy + y ou 2 (x + y)
  • 15. 15 2.4. Quadrado da diferença de dois termos Vamos considerar a seguinte figura: A figura pintada representa um quadrado cujo lado mede (x - y) unidades de comprimento. A área da figura hachurada horizontalmente é xy, e a área da figura verticalmente também é xy. x y (x – y) (x – y) x y
  • 16. 16 e é comum a outras duas áreas hachuradas. A área da figura pintada é: 2 2 x 2xy + y− ou 2 (x y)− x y (x – y) (x – y) x y A área da figura com hachura quadriculada é 2 y
  • 17. 17 Então, podemos escrever as seguintes igualdades: 2 2 2 polinômio forma fatorada do polinômio x + 2xy + y = (x + y) (x + y) = (x + y) 1442443 14243 2 2 2 polinômio forma fatorada do polinômio x - 2xy + y = (x - y) (x - y) = (x - y) 1442443 123
  • 18. 18 Trinômios porque possuem três termos, quadrados perfeitos porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), enquanto o segundo representa o quadrado de (x – y). Os polinômios e são chamados trinômios quadrados perfeitos. 2 2 x + 2xy + y 2 2 x 2xy + y−
  • 19. 19 A seguir, determinamos a raiz quadrada de cada termo quadrado: 2 x x= 4y16y2 =e Finalmente, multiplicamos por 2 o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao termo restante: 2 . x . 4y = 8xy Exemplo 1: Fatore + 8xy + 2 x 2 16y . Inicialmente, verificamos se dois termos do trinômio são quadrados. Neste caso, e são quadrados. 2 x 2 16y
  • 20. 20 Como, neste caso, o termo é justamente 8xy, dizemos que o trinômio é quadrado perfeito. Então sua forma fatorada é: 4x16x2 = 525 =e 2 . 4x . 5 = 40x , não corresponde ao termo restante do trinômio. + 8xy + 16 = 2 x 2 y 2 (x + 4y) Exemplo 2: Fatore 16 – 24x + 25.2 x e 25 são termos quadrados. 2 16x Logo, – 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito. 2 16x
  • 21. 21 ab ax bx 2 x ax b x 2.5. Trinômio do 2º grau ab ax bx 2 x 2 x + ax + bx + ab = 2 x + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
  • 22. 22 pode ser decomposto num produto de dois binômios do 1º grau da seguinte maneira: Um trinômio do 2º grau da forma + Sx + P, em que S = a + b e P = p . q, 2 x + Sx + P = (x + a)(x + b), sendo S = a + b e P = a . b 2 x