Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Like this? Share it with your network

Share

Vektor vektor di ruang dimensi 2 dan ruang

  • 4,729 views
Uploaded on

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
No Downloads

Views

Total Views
4,729
On Slideshare
4,665
From Embeds
64
Number of Embeds
2

Actions

Shares
Downloads
105
Comments
0
Likes
1

Embeds 64

http://mathematicsofsanpedrouniversity.blogspot.com 62
http://www.mathematicsofsanpedrouniversity.blogspot.com 2

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. W  Jika V dan W adalah sebarang dua vektor, m aka jum lah V + W adalah jum lah vektor yang ditentukan sbb : tem patkanlah vektor W sehingga titik aw alnya berim pit dengan titik term inal vektor V ,       vektor V + W dinyatakan oleh panah dari titik aw al V terhadap titik term inal W .     V  W  V  V + W  
  • 2. • Vektor diruang dimensi dua (R-2) 1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka: 2. Penjumlahan : 3. Pengurangan : x y 1 2 1 2 V V , V W W , W   1 2 1 2 .V V , V .W W , Wk k k k k k   1 1 2 2 V W V W , V W   1 1 2 2 V W V W , V W  
  • 3. • Aturan tangan kanan z y X • Aturan tangan kiri z x y Vektor diruang dimensi tiga (R-3) 1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka : 2. Penjumlahan: 3. Pengurangan : 1 2 3 1 2 3 V V , V , V W W , W , W   1 2 3 1 2 3 .V V , V , V .W W , W , Wk k k k k k k k   1 1 2 2 3 3 V W V W , V W , V W   1 1 2 2 3 3 V W V W , V W , V W  
  • 4. • Contoh : 1. Vektor Carilah hasil dari 2. Vektor Carilah hasil dari • Penyelesaian 1. 2. V 2, 5 dan W 4,3   2V dan V+W    V 2, 4, 5 dan W 3,6,1   3W dan V+W    2V 2.2, 2. 5 4, 10  V +W 2 4, 5 3 6, 2   3W 3.3, 3.6, 3.1 9,18, 3  V+W 2 3,4 6, 5 1 5,10, 4  
  • 5. Komponen vektor-vektor Definisi Misalkan Contoh 1. Carilah vektor-vektor yang mempunyai titik awal dan titik terminal dari: a. b. 2. Misalkan carilah komponen- komponen dari 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 P , , dan P , , maka : vektor P P , ,x y z x y z x x y y z z  1 P  2 P  1 2 P 2,5 dan P 3,8 1 2 P 2,5,9 dan P 8, 2, 1 U 5, 2, 4 , V 1, 3, 2 dan V 1, 2, 3 .    a. U W b. 2V 3W    
  • 6. penyelesaian 1. a. b. 2 1 2 P P 3 2,8 5 1,3  1 2 P P 8 2, 2 5, 1 9 6, 7, 10  a. U W 5 1, 2 2, 3 4 3 6, 4, 1   b. 2V 3W 2.1, 2. 3, 2.2 3.1, 3.2, 3.3 2, 6, 4 3, 6, 9 1, 12, 5  
  • 7.  Norma-norma vektor dalam ilmu hitung Jika vektor U ,vektor V dan vektor W adalah vektor-vektor di ruang 2 atau ruang 3, dan serta adalah skalar maka hubungan selanjutnya akan berlaku : k l    a. U +V V + U b. U +V + W U + V + W c. U +0 0+ U U d. U + U 0 e. U U f. U +V U + V g. U U + U h. 1.U U k l kl k k k k l k l                            
  • 8.  Definisi Panjang sebuah vektor sering dinamakan V dan dinyatakan • untuk R-2 panjang dan norma vektor • Untuk R-3 panjang dan norma vektor V  : 2 2 1 2 2 2 2 1 2 V V V V V V V V 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 V V V V V V V V V
  • 9. Jarak • Untuk R-2: • untuk R-3 Contoh : Diketahui Penyelesaian : 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 P P , , m aka:x x y y d x x y y  2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 P P , , , m aka:x x y y z z d x x y y z z  1 2 1 2 V 5,1, 3 , P 4, 3,1 , P 7, 1, 5 . Carilah V dan jarak dari P P     2 2 2 1 2 2 2 2 V 5 1 3 25 1 9 35 Jarak P P : 7 4 1 3 5 1 9 4 16 29 d 
  • 10.  Hasil Kali Proyeksi Misalkan ada dua vektor diasumsikan bahwa keduanya berimpitan dan sudut diantara kedua sudut vektor desebut U dan V   U dan VJika adalah vektor-vektor diruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan adalah sudut diantara U dan V maka hasil kali titik (dot product) didefinisikan oleh : U V cos ; Jika U 0 dan V U V    0 0 ; Jika U 0 dan V 0 Jika tidak diketahu maka : U V cos U V   Definisi U  U  U  V  V  V 
  • 11.  Contoh : 1. 2.  penyelesaian: U 2, 4, 0 dan V 3,1, 2 dengan 60. Carilah U V    U 1, 2,1 dan V 2,1,1 . Carilah nilai   2 2 2 2 2 2 2). U ( 1) 2 1 V 2 1 1 1 4 1 4 1 1 6 6 1 U V 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 U V cos U V 1 36 1 1 cos 80, 4 6 6   2 2 2 2 2 2 1). U 2 4 0 V 3 1 2 4 16 0 9 1 4 20 14 2 5 U V U V cos 2 5 14 cos 60 1 2 70 2 70 
  • 12. Teorema : Misalkan U, V dan W adalah vektor-vektor di R-2 dan R-3, dimana adalah skalar, maka W2 = U – W1 W2 U a Q W1 a. U V V U b. U V W U V U W c. U V U V U V d. V V > 0 jika V 0 dan V V 0 jika V 0 k k k                                  Vektor W1 sejajar dengan a1, vektor W2 tegak lurus dengan a2 dan W1 + W2 = W1 + (U – W1) = U Vektor W1 tersebut dinamakan proyeksi ortogonal U pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor U sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan proyaU. Vektor W2 kita namakan komponen vektor U yang ortogonal terhadap a, karena W2 = U – W1. Maka vektor ini dapat kita tulis dalam notasi sebagai : W2 = U - proyaU.
  • 13. • Teorema : Jika U dan a adalah vektor di R-2 atau R-3 dan jika a ≠ 0, maka : 2 2 U Proy komponen vektor U sepanjang . U U Proy U komponen vekto r U yang ortogonal dengan . a a a U a a a a U a a a   • Contoh : • penyelesaian M isalkan U 2, 3, 5 dan a 3, 6,1 C arilah kom ponen vektor U sepanjang dan kom ponen vektor U yang ortogonl kea a     2 22 2 2 2 2 U 2 3 3 6 5 1 7 3 6 1 9 3 6 1 4 6 U P ro y 7 3, 6,1 4 6 a a a a U a a  
  • 14. 2 2 1 4 2 7 , , 4 6 4 6 4 6 U U P ro y U 2 1 4 2 7 2, 3, 5 , , 4 6 4 6 4 6 1 1 3 9 6 2 3 7 , , 4 6 4 6 4 6 a a U a a   Hasil kali silan • Definisi : • Teorema 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 Jika vektor U U ,U ,U dan vektor V V ,V ,V adalah vektor di R-3 maka hasil kali silang : U V U V U V , U V U V , U V U V atau dalam notasi determinan : U V , , u u u u u u v v v v v v   22 2 2 Jika U dan V adalah vektor di R -3, m aka : a. U U V 0 b. V U V 0 c. U V U V U V (identitas Langrange)                 
  • 15. • Teorema : • Tinjau vektor-vektor : Jika U , V dan W adalah vektor di R -3 dan adalah sebarang skalar, m aka : a. U V V U b. U V W U V U W c. U V W U W V W d. U V U V U V k k k k                            e. U 0 0 U 0 f. U U 0      1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1 M isalkan V V ,V ,V V V ,V ,V V 1, 0, 0 V 0,1, 0 V 0, 0,1 V V V i j k i j k  
  • 16. Contoh : m isalkan : U (4, 2,1) V (2, 3, 0) W (5, 2, 3) hitunglah U (V W ) penyelesaian: 3 0 2 0 2 3 V W , , 2 3 5 3 5 2 = (9 0), (6 0), (4 15) = 9, 6, 11 U (V W ) (4, 2,1)            9, 6, 11 2 1 4 1 4 2 = , , 6 11 9 11 9 6 = ( 22 6), ( 44 9), ( 24 18) = 16, 53, 42 i j k U (V W ) 4 2 1 9 6 11 2 1 4 1 = i j 6 11 9 11    4 2 k 9 6 = i( 22 6) j( 44 9) k ( 24 18) = 16i+ 53 j 42 k