Tgs ale kel 2 vektor
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Tgs ale kel 2 vektor

on

  • 586 views

 

Statistics

Views

Total Views
586
Views on SlideShare
510
Embed Views
76

Actions

Likes
0
Downloads
14
Comments
0

2 Embeds 76

http://mathematicsofsanpedrouniversity.blogspot.com 74
http://www.mathematicsofsanpedrouniversity.blogspot.com 2

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft Word

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Tgs ale kel 2 vektor Tgs ale kel 2 vektor Document Transcript

    • VEKTOR VEKTOR DI RUANG DIMENSI 2 DAN RUANG DIMENSI 3  Definisi Jika V dan W adalah sebarang dua vektor, maka jumlah V + W adalah jumlah vektor yang ditentukan sbb : tempatkanlah vektor W sehingga titik awalnya berimpit dengan titik terminal vektor V ,       vektor V + W dinyatakan oleh panah dari titik awal V terhadap titik terminal W .     W  W  V  V  V +W    Vektor diruang dimensi dua (R-2) 1 2 1 2V V , V W W , W       y 1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka : 1 2 1 2.V V , V .W W , Wk k k k k k       2. Penjumlahan : 1 1 2 2V W V W , V W       3. Pengurangan : 1 1 2 2V W V W , V W       x  Vektor diruang dimensi tiga (R-3) 1 2 3 1 2 3V V , V , V W W , W , W         1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka : 1 2 3 1 2 3.V V , V , V .W W , W , Wk k k k k k k k         2. Penjumlahan : 1 1 2 2 3 3V W V W , V W , V W         3. Pengurangan : 1 1 2 2 3 3V W V W , V W , V W        
    • Aturan tangan kanan : z Aturan tangan kiri : z y x x y  Contoh : 1. Vektor V 2, 5 dan W 4, 3   Carilah hasil dari 2V dan V +W    2. Vektor V 2, 4, 5 dan W 3, 6,1   Carilah hasil dari 3W dan V +W     Penyelesaian : 1. 2V 2.2, 2. 5 4, 10  V +W 2 4, 5 3 6, 2   2. 3W 3.3, 3.6, 3.1 9,18, 3  V +W 2 3, 4 6, 5 1 5,10, 4    Komponen-komponen vektor  Definisi : Misalkan vektor 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 P , , dan P , , maka : vektor P P , ,x y z x y z x x y y z z   Contoh : 1. Carilah vektor-vektor yang mempunyai titik awal 1 P  dan titik terminal 2 P  dari : a. 1 2 P 2,5 dan P 3,8 b. 1 2 P 2,5,9 dan P 8, 2, 1 2. Misalkan U 5, 2, 4 , V 1, 3, 2 dan W 1, 2, 3 .    Carilah komponen-komponen dari : a. U W b. 2V 3W      Penyelesaian : 1. a. 1 2 P P 3 2,8 5 1, 3  b. 1 2 P P 8 2, 2 5, 1 9 6, 7, 10 
    • 2. a. U W 5 1, 2 2, 4 3 6, 4, 1   b. 2V 3W 2.1, 2. 3, 2.2 3.1, 3.2, 3.3 2, 6, 4 3, 6, 9 1, 12, 5    Norma-norma vektor dan ilmu hitung  Teorema : Jika vektor U,vektor V dan vektor W adalah vektor-vektor di ruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan serta adalah skalar maka hubungan selanjutnya akan berlaku :k l    a. U +V V + U b. U +V + W U + V + W c. U +0 0+ U U d. U + U 0 e. U U f. U +V U + V g. U U + U h. 1.U U k l kl k k k k l k l                              Definisi : Panjang sebuah vektor V  sering dinamakan norma V dan dinyatakan dengan V  Untuk R-2, panjang atau norma vektor V  : 2 2 1 2 2 2 2 1 2 V V V V V V   Untuk R-3, panjang atau norma vektor V  : 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 V V V V V V V V    Jarak vektor Untuk R-2 : 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 P P , , maka:x x y y d x x y y 
    • Untuk R-3 : 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 P P , , , maka:x x y y z z d x x y y z z   Contoh : Diketahui 1 2 1 2 V 5,1,3 , P 4, 3,1 , P 7, 1,5 . Carilah V dan jarak dari P P       Penyelesaian : 2 2 2 1 2 2 2 2 V 5 1 3 25 1 9 35 Jarak P P : 7 4 1 3 5 1 9 16 16 41 d    Hasil kali titik dan proyeksi Misalkan ada dua vektor U dan V   diasumsikan bahwa keduanya berimpit dan sudut diantara kedua vektor disebut .  Definisi : U dan V U Jika adalah vektor-vektor diruang dimensi 2 atau ruang dimensi 3 dan adalah sudut diantara U dan V maka hasil kali titik (dot product) didefinisikan oleh : V cos ; Jika U 0 d U V      U an V 0 0 ; Jika U 0 dan V 0 Jika tidak diketahu maka : U V cos V     Contoh : 1. U 2, 4, 0 dan V 3,1, 2 dengan 60. Carilah U V   
    • 2. U 1, 2,1 dan V 2,1,1 . Carilah nilai    Penyelesaian : 2 2 2 2 2 2 1. U 2 4 0 V 3 1 2 4 16 0 9 1 4 20 14 2 5   U V U V cos 2 5 14 cos 60 1 2 70 2 70    2 2 2 2 2 2 2. U ( 1) 2 1 V 2 1 1 1 4 1 4 1 1 6 6   1 U V 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 U V cos U V 1 36 1 1 cos 80, 4 6 6      Teorema : Misalkan U, V dan W adalah vektor-vektor di R-2 dan R-3, dimana k adalah skalar, maka a. U V V U b. U V W U V U W c. U V U V U V d. V V > 0 jika V 0 dan V V 0 jika V 0 k k k                                 
    • W2 = U – W1 W2 U Q a W1 Vektor W1 sejajar dengan a1, vektor W2 tegak lurus dengan a2 W1 + W2 = W1 + (U – W1) = U Vektor W1 tersebut dinamakan proyeksi ortogonal U pada a atau kadang-kadang kita namakan komponen vektor U sepanjang a. Hal ini kita nyatakan dengan proyaU. Vektor W2 kita namakan komponen vektor U yang ortogonal terhadap a, karena W2 = U – W1. Maka vektor ini dapat kita tulis dalam notasi sebagai : W2 = U - proyaU.  Teorema : Jika U dan a adalah vektor di R-2 atau R-3 dan jika a ≠ 0, maka : 2 2 U Proy komponen vektor U sepanjang . U U Proy U komponen vekto r U yang ortogonal dengan . a a a U a a a a U a a a    Contoh : M isalkan U 2, 3, 5 dan a 3, 6,1 Carilah komponen vektor U sepanjang dan komponen vektor U yang ortogonl kea a      Penyelesaian : 2 22 2 2 2 2 U 2 3 3 6 5 1 7 3 6 1 9 36 1 46 U Proy 7 3, 6,1 46 a a a a U a a  
    • 2 21 42 7 , , 46 46 46 U U Proy U 21 42 7 2, 3, 5 , , 46 46 46 113 96 237 , , 46 46 46 a a U a a   Hasil kali silang  Definisi : 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 Jika vektor U U ,U ,U dan vektor V V ,V ,V adalah vektor di R-3 maka hasil kali silang : U V U V U V , U V U V , U V U V atau dalam notasi determinan : U V , , u u u u u u v v v v v v    Teorema : 22 2 2 Jika U dan V adalah vektor di R-3, maka : a. U U V 0 b. V U V 0 c. U V U V U V (identitas Langrange)                   Teorema : Jika U , V dan W adalah vektor di R-3 dan adalah sebarang skalar, maka : a. U V V U b. U V W U V U W c. U V W U W V W d. U V U V U V k k k k                            e. U 0 0 U 0 f. U U 0     
    • Tinjau vektor-vektor : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1 M isalkan V V ,V ,V V V ,V ,V V 1, 0, 0 V 0,1, 0 V 0, 0,1 V V V i j k i j k    Contoh : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1, 0, 0 , 0,1, 0 , 0, 0,1 M isalkan V V ,V ,V V V ,V ,V V 1, 0, 0 V 0,1, 0 V 0, 0,1 V V V i j k i j k   Contoh soal misalkan : U (4, 2,1) V (2, 3, 0) W (5, 2, 3) hitunglah U (V W ) penyelesaian: 3 0 2 0 2 3 V W , , 2 3 5 3 5 2 = (9 0), (6 0), (4 15) = 9, 6, 11 U (V W ) (4, 2,1)            9, 6, 11 2 1 4 1 4 2 = , , 6 11 9 11 9 6 = ( 22 6), ( 44 9), ( 24 18) = 16, 53, 42 i j k U (V W ) 4 2 1 9 6 11 2 1 4 1 =i j 6 11 9 11    4 2 k 9 6 =i( 22 6) j( 44 9) k ( 24 18) = 16i+53 j 42k