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Ecuación de Schrodinger

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  • 1. INTRODUCCIÓN A LAMECÁNICA CUÁNTICA(continuación)Física IV- Astronomía-Geofísica- U.N.S.J.
  • 2. ECUACIÓN DE SCHRÖDINGEREcuación de Schrödinger en una dimensión Es la ecuación de onda que rige el movimiento de los electrones (y otras partículas con masa). Relaciona las derivadas temporales y espaciales de la función de onda. No puede deducirse (al igual que las leyes de Newton del movimiento).
  • 3. Ecuación de onda ∂2 y 1 ∂2 yclásica = 2 2 ∂x 2 v ∂tPara los fotones: v=c ∂2E 1 ∂2EReemplazamos y(x,t) por E(x,t): = 2 2 ∂x 2 v ∂tSolución E ( x, t ) = E0 cos( kx − ωt ): ∂2E = −ω 2 E0 cos(kx − ωt ) = −ω 2 E ( x, t ) ∂t 2 ω2 −k = − 2 2 c ω = kc ∂2E = − k 2 E ( x, t ) ω(k): ∂x 2 relación de E dispersiónComo: ω= y p = k  E = pc RELACIÓN ENTRE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA DE UN FOTÓN
  • 4. Ecuación de Schrödinger  2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) ∂Ψ ( x, t ) dependiente del − 2m ∂x 2 + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ∂t tiempo La ecuación que buscamos relaciona la primera derivada temporal y la segunda espacial y la energía potencial Tenemos un factor k cuando derivamos respecto de la posición  2k 2 ω = +V Tenemos un factor ω cuando 2m derivamos respecto del tiempo E ω(k):Utilizando las relaciones de de ω= y p = k relación deBroglie  dispersión 2 p E= +V ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA DE MASA m 2m V: energía potencial
  • 5. Función de onda de la partículalibre En el caso en que no existen fuerzas: la energía potencial es constante. V(x)=V0  2 ∂ 2 Ψ ( x, t ) ∂Ψ ( x, t ) − + V0 Ψ ( x, t ) = i 2m ∂x 2 ∂t La forma exponencial de la función de onda armónica satisface −ωt ) la ecuación de Ψ ( x, t ) = Ae Schrödinger: i ( kx donde A = cte
  • 6. Sustituyendo en la ecuación:O sea: Este resultado coincide con la ecuación vista anteriormente.
  • 7. i ( kx −ωt ) Ψ ( x, t ) = AeLas funciones de onda que satisfacen laecuación de Schrödinger no sonnecesariamente reales La función de onda Ψ(x,t) no es una función medible ya que las medidas siempre producen números reales.
  • 8. Probabilidad de hallar alelectrón La probabilidad de que un electrón esté en la región dx es: 2 P ( x, t )dx = Ψ ( x, t ) dx = Ψ *Ψdx que toma un valor real. Como el electrón debe estar en algún punto, la suma de las probabilidades en todos los valores posibles de x debe ser igual a 1. +∞ ∫ Ψ Ψdx = 1 * Condición de normalización −∞
  • 9. Si la función de onda describe una partícula en un estado de energíadefinida, conviene escribirla como:Sustituyendo Ψ(x,t) en la ecuación de Schrödinger dependiente deltiempo: Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo En este caso: Entonces: Condición de normalización
  • 10. Condiciones que debe cumplir lafunción de onda para ser aceptable1- ψ(x) debe satisfacer la ecuación de Schrödinger.2- ψ(x) y ψ´ (x) deben ser monovaluadas.3- ψ(x) debe ser continua (ya que la probabilidad de hallar una partícula no puede ser discontinua de un punto a otro).4- ψ´(x) debe ser continua ya que en la ecuación de Schrödinger interviene ψ´´(x). Esto puede no cumplirse cuando V(x) sea infinita: En este caso ψ(x)=0 porque ninguna partícula puede tener energía infinita. En el límite de la región en que esto ocurre ψ´puede ser discontinua.5- ψ(x) →0 cuando x →±∞, de modo que ψ(x) pueda normalizarse.
  • 11. Pozo cuadrado infinito(Problema de la partícula en una caja) V(x)=0 si 0<x<L V(x)=∞ si x<0 ó x>L
  • 12.  Como la energía potencial es infinita fuera del pozo, ψ=0 allí y la partícula debe estar dentro del pozo. Como ψ(x) debe ser continua, ψ(x)debe ser nula en x=0 y x=L.
  • 13. De la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo: O sea: donde : k: número de onda Esta ecuación tiene soluciones de la forma: y A y B son constantesCondición límite: ψ(x)=0 para x=0 → se elimina la solución coseno ya que cos 0=1Condición límite: ψ(x)=0 para x=L → ψ(L)=A senkL=0 → kL= nπ n=1,2,3,…
  • 14. Sustituyendo en la ecuación del número deonda: Diagrama de niveles energéticos Clásicamente: una partícula puede tener cualquier valor de energía. Mecánica Cuántica: Sólo algunos valores de En conducen a soluciones con buen comportamiento de la ecuación de Schrödinger.
  • 15. Para encontrar A usamos la condición de normalización: Integrando obtenemos que: Por lo tanto: n=1,2,3,… número cuántico Funciones de onda para un pozo infinito
  • 16. Funciones de onda y funciones de distribución deprobabilidades para el estado fundamental (n=1) y los dosprimeros estados excitados.
  • 17. Solución clásica de este problema:Dentro del pozo: V=0.La partícula se mueve con velocidad constante dentro del pozo.En los bordes, una fuerza muy grande hace rebotar la partículacon la misma velocidad (en módulo).Clásicamente está permitida cualquier velocidad y cualquierenergía.La probabilidad de hallar la partícula en una cierta región dx esproporcional al tiempo empleado en dx. Este tiempo es dx/v.Como v es constante, la función de distribución es constantedentro del pozo. 1 P= L Si n es grande, los picos de ψn2(x) están muy próximos y sólo se observa el valor medio: Coincide con la distribución clásica
  • 18. Pozo cuadrado finito E>V0 Estudiaremos luego la solución. Consideraremos ahora E<V0
  • 19. E<V0 Dentro del pozo: V(x) =0 Fuera del pozo: V(x) =V0 Condición: ψ(x) y ψ´(x) deben ser continuas en los límites del pozo.
  • 20. Resolviendo las ecuaciones diferenciales y exigiendo estacondición podemos obtener las funciones de onda y lasenergías permitidas.
  • 21.  Las longitudes de onda dentro del pozo son ligeramente mayores que las correspondientes longitudes de onda del pozo infinito, de modo que las energías son ligeramente menores. Existe sólo un número finito de energías permitidas (dependiendo del valor de V0). Si V0 es pequeño existe sólo un nivel de energía permitido, es decir, sólo puede existir un estado ligado.
  • 22.  Física Clásica: la partícula no puede hallarse fuera de la caja. Física Cuántica: Existe cierta probabilidad de hallar la partícula fuera de la caja (x<0; x>L) En estas regiones E<V0 ¿Podríamos medir en este caso una energía cinética negativa? NO
  • 23. Consideremos x>L entonces ψ disminuye como e-αx resulta muy pequeña en una ψ 2 = e −2αx distancia del orden ∆x≈α-1Consideramos ψ(x) despreciable más allá de x=L+α-1, entoncesencontrar la partícula en la región x>L es aproximadamente equivalentea localizarla en una región ∆x≈α-1Usando el principio de incertidumbre:y la energía cinética mínima será del orden de: Esto impide que se mida una energía cinética negativa
  • 24. Valores esperados Cuando nos interesa conocer la probabilidad de medir un cierto valor de la posición x, usamos: Valor esperado de x El valor esperado coincide con el valor medio de x que deberíamos obtener a partir de una medida de las posiciones de un gran número de partículas con la misma función de onda Ψ(x,t).
  • 25. Valores esperados Para una partícula en un estado de energía definida la distribución de probabilidad es independiente del tiempo. En este caso: El valor esperado de cualquier función f(x) es:
  • 26. El oscilador armónico simple El sistema vibra alrededor de una configuración de equilibrio. Ejemplo: un objeto soportado por un resorte, un átomo en una red cristalina, una molécula diatómica, etc. Fuerza recuperadora: viene dada por la ley de Hooke (para desplazamientos pequeños) F=-kx La energía potencial es: 1F = − kx = − dV ( x) dV ( x) = kxdx V ( x) = kx 2 dx 2
  • 27.  Reemplazando en la ecuación de Schrödinger:  2 d 2ψ  1 2 2 +  E − kx ψ = 0 2m dx  2  Para simplificar la ecuación conviene introducir magnitudes adimensionales: 1 1  2 2πmν ν: frecuencia clásica y = km  x = x    1 k ν= 2E m 2E 2π m α= =  k hν Reemplazando queda: d 2ψ 2 + (α − y 2 )ψ = 0 dy
  • 28.  Para que ψ sea una función de onda bien comportada ψ→0 cuando y→±∞ d 2ψ d 2ψ − ( y 2 − α )ψ = 0 = ( y 2 − α )ψ dy 2 dy 2 d 2ψ dy 2 =1 ( ) y −α ψ 2
  • 29.  Cuando y→±∞, y²>>a y queda: d 2ψ d 2ψ dy 2 dy 2 lím 2 =1 lím 2 = 1 ( ) y →∞ y − α ψ y →∞ y ψ Una función que satisface esta condición es: Forma asintótica para ψ − y2 ψ∞ = e 2
  • 30.  La función que buscamos es: donde f(y) es la 2 −y función que ψ = f ( y )ψ ∞ = f ( y )e 2 debemos determinar ahora Entonces: d2 f df 2 − 2y + (α − 1) f = 0 dy dy
  • 31.  Para resolver esta ecuación diferencial debemos desarrollar f(y) como una serie de potencias de y. Para que la solución satisfaga las diversas exigencias que debe cumplir ψ, la condición necesaria y suficiente es: α=2n+1 donde n=0,1,2,….. Entonces: α n = 2 E = 2n + 1 hν Para cada n hay una  1 energía diferente y En =  n + hν  2 una función de onda diferente
  • 32. La función de onda para cada valor de n seobtiene como el producto de: Un polinomio de Hermite Un factor exponencial e-y²/2 Un coeficiente numérico (para que la función cumpla la condición de normalización) La fórmula general para la n-ésima función de onda es: 1  2mν  ( 2 n!) 4 1 − y2 ψn =   n 2 H n ( y )e 2   
  • 33. Algunos polinomios de Hermite
  • 34. Conclusiones1- No habrá un espectro continuo de energías permitidas, sino un espectro discreto. Los niveles de energía están igualmente espaciados (a diferencia del pozo infinito).
  • 35. 2- La energía más baja permitida no es E=0sino un valor mínimo permitido: 1 E 0 = hν 2 Energía del punto cero
  • 36. 3- Hay una cierta probabilidad de que lapartícula pueda atravesar la barrera depotencial (es decir, salir de los límites clásicospermitidos x=-A y x=+A).
  • 37. 4- Si comparamos las densidades deprobabilidad clásica y cuántica; tenemos:Probabilidad clásica: máxima en los extremos(donde se mueve más lentamente) y mínimacerca de la posición de equilibrio (donde semueve con mayor rapidez).
  • 38. Discrepancia con elresultado clásicoAl promediar sobre xtenemosaproximadamente elcomportamientogeneral de laprobabilidad clásica
  • 39. Reflexión y transmisión de ondas Consideremos ahora ejemplos de estados no ligados para los que E es mayor que V(x). En estos casos:  ψ´´(x) tiene signo opuesto a la función de onda.  ψ(x) en todas partes se curva hacia el eje  Está permitido cualquier valor de energía.
  • 40. Potencial escalón  V(x)=0 para x<0  V(x)=V0 para x>0Consideremos una partícula de energía E que semueve desde la izquierda hacia la derecha.
  • 41. Potencial escalón: resultadoclásico x<0: la partícula se mueve con velocidad x=0: actúa una fuerza impulsiva sobre la partícula  E<V0: retrocede con su velocidad original, es decir que es reflejada por el escalón.  E>V0: continúa moviéndose hacia la derecha tal que x>0: la velocidad disminuye a
  • 42. Potencial escalón: mecánicacuántica E<V0: la función de onda no se anula en x=0 sino que disminuye exponencialmente. La onda penetra en la región prohibida clásicamente, pero luego se ve completamente reflejada. E>V0: el resultado difiere de la predicción clásica:  x<0  x=0: la longitud de onda varía abruptamente entonces parte de la onda se verá reflejada y parte transmitida.  x>0
  • 43. Para calcular las probabilidades de reflexión y de transmisión, se resuelve laecuación de Schrödinger y se obtiene que: R: coeficiente de reflexión k1 y k2: números de onda original y final T: coeficiente de transmisión Se puede demostrar que: T + R =1
  • 44. Efecto túnel Una partícula de energía E incide sobre una barrera rectangular de altura V0 y ancho a, siendo E<V0. Existe cierta probabilidad de que la partícula (representada por la función de onda) se encuentre del otro lado de la barrera, aunque clásicamente nunca podrá atravesarla.
  • 45.  Una variación del problema: considerar dos de dichas barreras separadas una distancia L, es decir, un pozo cuadrado con paredes de altura finita V0 y espesor finito a. Una partícula dentro del pozo, cada vez que choca contra una barrera tiene una posibilidad pequeña pero finita de atravesarla por efecto túnel y escapar. Ejemplo: diodo túnel; desintegración α.
  • 46. Ecuación de Schrödinger en tres dimensiones En coordenadas rectangulares, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es: donde la función de onda y la energía potencial son generalmente función de tres coordenadas x, y y z.
  • 47. Pozo de potencial infinitocúbico  V=0 0<x<L 0<y<L 0<z<L  V=∞ fuera de esa región
  • 48.  En este caso: donde ψn es una función sinusoidal como en el caso de una dimensión.Y la energía será:
  • 49.  Utilizando las restricciones sobre los números de onda que se obtiene usando la condición ψ=0 en las paredes: niπ ki = L Tenemos:La función de onda y la energía están caracterizadas portres números cuánticos, cada uno de los cuales surge apartir de la condición límite de cada una de lascoordenadas.
  • 50. Estados de energía:  n1=n2=n3=1 Estado fundamental  n1=2; n2=n3=1  n2=2; n1=n3=1 Primer estado excitado  n3=2; n1=n2=1Cada uno conduce a una función de onda diferente.Ejemplo:
  • 51. Un nivel energético que tengaasociada más de una función de ondase dice que es degenerado.La degeneración está relacionada conla simetría del problema:E211=E121=E112 degeneración triple
  • 52. Pozo de potencial infinito no-cúbico  V=0 0>x>L1 0>y>L2 0>z>L3  V=∞ fuera de esa región
  • 53.  Las condiciones límites en las paredes conducen a: Entonces:
  • 54. Diagrama de niveles energéticos Pozo infinito cúbico Pozo infinito no-cúbico L1=L2=L3 L1<L2<L3

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