Autor:Sebastián Lema
Derivada de una función en un punto   La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es    fin...
Ejemplo de cálculo de la función derivada
Idea gráfica del concepto de derivada
Ecuación de la recta tangente y normal a una curva   La recta tangente a a una curva    en un punto es aquella que pasa  ...
Derivada lateral por la izquierda   La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x)    en el punto x=a es el l...
Derivada lateral por la derecha   La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el    punto x=a es el límit...
Continuación de derivadas laterales                                Si en un punto x=a, las derivadas                     ...
Relación entre continuidad y derivabilidad   La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad,...
Operaciones con derivadas              Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
Cálculo de derivadas de funciones elementales            Función            Derivada         EjemplosConstantey=k         ...
Cálculo de derivadas de funciones elementalesFunciones exponencialesFunciones logarítmicasFunciones trigonométricas
Cálculo de derivadas de funciones elementalesFunciones trigonométricas (Continuación)
Funciones crecientes y decrecientes
Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento   TEOREMA 1                                  TEOREMA 2    Sea (f,D) derivable en ...
Extremos relativos: Máximos y Mínimos relativos   TEOREMA    Sea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un míni...
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se presenta el tema derivada, se trabaja con conocimientos básicos.

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Derivadas en una sola variable

  1. 1. Autor:Sebastián Lema
  2. 2. Derivada de una función en un punto La derivada de una función f(x) en un punto x=a es el límite, si existe y es finito, de las tasa de variación media, TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero. La representamos por f(a) y es : Función derivada. La función derivada de una función y=f(x), que sea derivable en su dominio, es una función que asocia a cada valor de la variable x, el valor de la derivada en ese punto. La representamos por f(x) o y y viene dada por :
  3. 3. Ejemplo de cálculo de la función derivada
  4. 4. Idea gráfica del concepto de derivada
  5. 5. Ecuación de la recta tangente y normal a una curva La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f (a). y-f(a)=f’(a)(x-a) La recta normal a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a -1/f (a). y-f(a)=-1/f’(a)(x-a)
  6. 6. Derivada lateral por la izquierda La derivada lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media TVM[a,a+h] cuando h tiende a cero por la izquierda del cero, es decir tomando sólo valores negativos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la izquierda y es :
  7. 7. Derivada lateral por la derecha La derivada lateral por la derecha de una función y=f(x) en el punto x=a es el límite de las tasa de variación media, TVN[a,a+h] cuando h tiende a cero por la derecha del cero, es decir, tomando sólo valores positivos. Cuando el límite existe y es finito, decimos que la función tiene derivada lateral por la derecha y es:
  8. 8. Continuación de derivadas laterales  Si en un punto x=a, las derivadas laterales no coinciden, es decir, son distintas, la función no es derivable en el punto x=a.  Si la función tiene derivada en un punto x=a, existen las derivadas laterales y son iguales,es decir; f’(a)=f’(a+)=f’(a-)
  9. 9. Relación entre continuidad y derivabilidad La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad, una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto , varía suavemente al pasar por el punto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado: “Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto” Demostración: Si existe y es finita f(a) Luego la función es continua en x=a .
  10. 10. Operaciones con derivadas Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones
  11. 11. Cálculo de derivadas de funciones elementales Función Derivada EjemplosConstantey=k y=0 y=8 y=0Identidady=x y=1 y=x y=1Funciones potenciales
  12. 12. Cálculo de derivadas de funciones elementalesFunciones exponencialesFunciones logarítmicasFunciones trigonométricas
  13. 13. Cálculo de derivadas de funciones elementalesFunciones trigonométricas (Continuación)
  14. 14. Funciones crecientes y decrecientes
  15. 15. Monotonía: Crecimiento y Decrecimiento TEOREMA 1  TEOREMA 2 Sea (f,D) derivable en c c R. Sea (f,D) derivable en c c R. Entonces: Entonces: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si una función es creciente en un punto, la pendiente de la recta tangente es mayor o igual que cero.
  16. 16. Extremos relativos: Máximos y Mínimos relativos TEOREMA Sea (f,D) derivable en a c R. Si f posee un máximo o un mínimo relativo en a, entonces f´(a) = 0. El recíproco no es cierto en general: f(x) = x3 es derivable en 0, y f´(x) = 3 x2, con f´(0) = 0; pero f no tiene máximos ni mínimos en ningún punto (es estrictamente creciente). f(x) = |x| no es derivable en 0 y posee un mínimo en él.
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