taskによる物理のクラスでの復習課題になります。

1. 第 6 回 復習問題
第 1 問
S 系 (x,y 座標) は慣性系、S’ 系 (X,Y 座標) は S 系から見て角速度 ω で左回転している。ここで小文字は S
系、大文字は S’系での量を表し、大文字にダッシュがついたものは S’ 系の量を S 系に座標変換したもので
あるとする。
問 1
質量 m の質点 P の S 系での座標が r = (x, y)、質点 P の S’ 系での座標が R = (X, Y ) であるとき、
r = (x, y) = (X cos ωt − Y sin ωt, X sin ωt + Y cos ωt) (1)
であることを示せ。
式 (1) の両辺を t で微分すると
v = ˙r = ( ˙x, ˙y) = ( ˙X cos ωt−Xω sin ωt− ˙Y sin ωt−Y ω cos ωt, ˙X sin ωt+Xω cos ωt+ ˙Y cos ωt−Y ω sin ωt)
(2)
となる。
問 2
式 (2) の両辺を t で微分すると
a = ¨r = (¨x, ¨y)
ただし、
¨x = ¨X cos ωt − 2 ˙Xω sin ωt − Xω2
cos ωt − ¨Y sin ωt − 2 ˙Y ω cos ωt + Y ω2
sin ωt (3)
¨y = ¨X sin ωt + 2 ˙Xω cos ωt − Xω2
sin ωt + ¨Y cos ωt − 2 ˙Y ω sin ωt − Y ω2
cos ωt (4)
であることを示せ。
S’ 系から見た質点 P の加速度 A = ( ¨X, ¨Y ) を S 系での座標に変換すると、式 (1) と同様にして
A = ( ¨X cos ωt − ¨Y sin ωt, ¨X sin ωt + ¨Y cos ωt) (5)
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2. となる。
問 3
ma − mA (6)
を計算せよ。
ω2
R = ω2
r = (Xω2
cos ωt − Y ω2
sin ωt, Xω2
sin ωt + Y ω2
cos ωt) (7)
である。また、S’ 系での速度 V は ( ˙X, ˙Y ) であり、S 系に座標変換すると
V = (Vx, Vy) = ( ˙X cos ωt − ˙Y sin ωt, ˙X sin ωt + ˙Y cos ωt) (8)
問 4
ma − mA + mω2
R = 2mω(−Vy, Vx) (9)
である事を示せ。
ma = f は慣性系で質点 P に働く力、つまり「本物の力」である。f を S’ 系に座標変換したものを f と
書く事にする。回転軸ベクトルを ω = (0, 0, ω) と定義する (反時計周りで ω > 0)。
問 5
式 (9) を書き直すと
mA = f + mω2
R − 2mω × V (10)
もしくは S’ 系での座標に書き直して
mA = f + mω2
R − 2mω × V (11)
と表される事を示せ。
mω2
R は 遠心力 と呼ばれ、回転中心から遠ざかる向きに働く。−2mω × V はコリオリ力と呼ばれ、速度
に垂直な向きに働く。
2

3. 問 6
時計周りに回転している系の上で歩くと、コリオリ力は進行方向から見て右と左のどちらに作用するか。
まとめ
考えている物理量がどの座標系から見たもので、どの座標系の成分で表しているかに注意する。ここでは位
置、速度、加速度などの物理量は S’ 系から見たものを考えたいので、S’ 系の成分で (X, Y ),( ˙X, ˙Y ),( ¨X, ¨Y ) と
なる量を式 (1) と同様に S 系に座標変換して比較している。S’系での (X, Y ) を S 系へ座標変換したものは
(x, y) と当然一致するが、S’ 系で ( ˙X, ˙Y ),( ¨X, ¨Y ) を S 系へ座標変換したものは ( ˙x, ˙y),(¨x, ¨y) と一致しないこと
に注意。(理由も考えて欲しい)
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