ApresentaçãoE   ste trabalho constitui um roteiro básico de estudo. Portanto, não    substitui os títulos bibliográficos e...
Mecânica Básica I (cód. CT242)Créditos: 6Semestre: _____/_____Programação:               Início: ___/___/_____            ...
Sumário                                                                                                        páginaIntro...
4
IntroduçãoA    Mecânica se dedica ao estudo das condições de movimento de corpos    submetidos à ação de forças. Nessa sim...
sucedem, adquirem maior sofisticação, porém ainda estão longe dereproduzir todas as singularidades de um sistema natural.P...
instrumentos colocados à sua disposição. Bastante oportuno, então, iniciar oestudo da mecânica com uma idéia clara dos obj...
velocidades moderadas. A sua evolução, como área do conhecimento, foiviabilizada a partir de instrumentos de medição do te...
Dois avanços significativos, verdadeiramente revolucionários, foramexperimentados no século XX, com o advento da teoria qu...
Grandezas físicas e mediçõesQualquer entidade suscetível de medida é denominadadas grandezas é significa comparar, cotejar...
Em várias situações, dada a magnitude do que está sendo mensurado, éconveniente a adoção de múltiplos (ou submúltiplos) de...
As grandezas apresentadas a seguir, com suas respectivas expressõesdimensionais, são algumas das que serão exploradas nest...
- O valor 78 está entre 10 e 100, mais próximo de 100 do que de 10. Logo, a suaordem de grandeza é 102.- O valor 0,0015 es...
milímetros. Não é possível, por esse instrumento, alcançar precisão acimadessa menor medida.Denominam-se algarismos signif...
decimal ocupada por algarismos significativos em todos os             números operados. Portanto, ao somarmos (ou subtrair...
2) Considere uma experiência para a medição de velocidade, utilizando uminstrumento que oferece 1% de precisão na medida d...
Elementos de análise vetorialD    efine-se vetor6 como uma entidade matemática dotada de módulo,     direção e sentido. A ...
neste caso, o produto de um escalar por um vetor resulta num vetor cujosmódulo e sentido podem ser alterados, porém nunca ...
Notação vetorial cartesianaNum sistema cartesiano tridimensional, os vetores podem ser expressos emtermos de sua projeção ...
                                                 a b a x .i a y . j a z .k bx .i by . j bz .k                   ...
A operação produto escalar de vetores é importante, por exemplo, para adefinição da grandeza física trabalho, como será vi...
                                                 i     j    k                                                     a b...
Temos as seguintes relações:                                                                         c    a b          ...
Aplicações:Problemas resolvidos:1) Um veículo se desloca 10km na direção nordeste, em seguida 5km nadireção norte, em segu...
                                                   3) Considere o vetor c perpendicular a cada um dos vetores a e b .  ...
              5) Determine o ângulo formado entre os vetores a                  2.i 6. j   k e                     ...
                                               a d   .a.a      .a.b     .a.c      .a.a                        ...
Conceitos fundamentais da mecânicaD    iversos conceitos e abstrações teóricas são incorporados nos textos de     Mecânica...
circunstâncias de velocidades muito altas (comparáveis à da luz) ou decampos gravitacionais muito intensos. Isso significa...
essencialmente, na variação, em função do tempo, das coordenadas delocalização de um corpo em relação a algum sistema de r...
energia; por outro lado, energia sob forma radiante pode transformar-se emum corpúsculo com massa, como demonstrado pela F...
Cinemática da partículaB     asicamente, quatro variáveis estão presentes nas equações      cinemáticas: a aceleração (a),...
Sendo infinitesimal o intervalo de tempo em que se verifica a variação,também infinitesimal, da velocidade, temos a aceler...
x                                     v méd                                                  tA velocidade escalar propria...
dv                                 a                                      dtO esquema seguinte esclarece o significado da ...
Particularmente, para o movimento que se desenvolve numa trajetória retilínea conhecida, podemos tecer os seguintes coment...
1.    Identificar os instantes em que ocorrem mudanças no sinal da velocidade            escalar (quando o movimento muda ...
5                              2.t 3                      5                        s                       4.t 2          ...
O caso particular de movimento com aceleração constante (a)O movimento que ocorre com aceleração de módulo constante édeno...
inclusive quando esta é nula (caso de MU). Ampliando esse raciocínio, asequações de movimento variado são, com efeito, uma...
Interpretação de gráficos do movimentoGráficos cartesianos são instrumentos bastante úteis para a representaçãodo moviment...
Conhecido o gráfico posição versus tempo, podemos confeccionar o gráficovelocidade versus tempo.Conhecido o gráfico veloci...
A área sob a curva no gráfico     aceleração versus        tempo     permite inferir a variação da     velocidade entre os...
Aplicações:Problemas resolvidos:1) Uma partícula de desloca da origem e ao longo de um eixo retilíneo. Ográfico temporal d...
A partícula volta a passar pela origem quando a área sob a curva (consideradagrandeza escalar) for nula. Enquanto a veloci...
1                                                             yo           .g.t12                   1                     ...
v          t                 dv                              dt        Sendo a numericamente igual a v:              vo   ...
A velocidade se expressa por:                                                                               v   v x .i...
Independência das velocidadesA independência de dois movimentos simultâneos e perpendiculares foiexperimentalmente reconhe...
sendo x e y expressos em metros e t em segundos. Determine a velocidadee a aceleração no instante 3s.R.: As componentes x ...
sendo x e y expressos em metros e t em segundos. Determine a velocidadee a aceleração no instante 1s.R.: As componentes da...
                                                 vo       (vx )o .i (vy )o . j                             (v x ) o    ...
Conhecidos os valores de    o   e v o , podemos, a cada instante t, determinaras componentes v x e v y . Assim:           ...
g.t 2                     y    yo        (vo .sen     o ).t                                                               ...
g                  y       (tg    o   ).x                           2                                                     ...
dRFazendo                   0 , podemos deduzir que o máximo alcance ocorre           d oquando    o=45                 o....
Então, a distância d percorrida na horizontal é: d   v x .t                           d       1.0,63 0,63m2) Um avião voa ...
R.: Também nesta solução, estaremos desprezando a resistência do ar. Então, atrajetória é descrita pela seguinte relação (...
5) Uma pedra é lançada obliquamente do ponto O e deve vencer umobstáculo de altura h que se encontra a uma distância x à s...
                v        v.it                              dv      a               dt            dv              di...
                       dit                 d         1       dsConhecidas as relações            in ,                   ...
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Mecânica básica i (3a. edição)
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Mecânica básica i (3a. edição)

6,001

Published on

0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
6,001
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
76
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Mecânica básica i (3a. edição)

  1. 1. ApresentaçãoE ste trabalho constitui um roteiro básico de estudo. Portanto, não substitui os títulos bibliográficos específicos de Mecânica Clássicavoltados para cursos de graduação nas Universidades brasileiras.Acreditamos na sua utilidade como fonte de pesquisa teórica introdutória dadisciplina, a ser suplementada nos livros relacionados no final do texto,dentre outros. Destina-se, principalmente, aos alunos do curso de Física(bacharelado e licenciatura) da Universidade Estadual do Ceará. Alémdisso, as notas aqui reunidas poderão ser aproveitadas, a qualquer tempo,por aqueles que pretendam rever os tópicos conceituais ou explorar algunsdos mais interessantes problemas de aplicação da mecânica.O intuito maior foi o de reunir uma lista bem diversificada de questõesrelativas ao movimento para que o aluno-leitor desenvolva a suacapacidade analítica e adquira habilidade no emprego dos princípios eteoremas que formam o alicerce desse importante ramo da Física.Conhecimentos básicos de análise vetorial e cálculo diferencial e integralsão requisitos para uma compreensão satisfatória dos processosrelacionados ao movimento da partícula e a completa aplicação das leis deNewton.Reparos, críticas e sugestões para o aprimoramento da proposta serãobem-vindos. Professor Anísio Meneses anisiomeneses@secrel.com.br março/2004 1
  2. 2. Mecânica Básica I (cód. CT242)Créditos: 6Semestre: _____/_____Programação: Início: ___/___/_____ Término: ___/___/_____Avaliações individuais: 1ª. : ___/___/_____ 2ª. : ___/___/_____ 3ª. : ___/___/_____ 4ª. : ___/___/_____Entrega de relatórios (listas de exercícios): 1º. : ___/___/_____ 2º. : ___/___/_____ 3º. : ___/___/_____ 4º. : ___/___/_____ 5º. : ___/___/_____ 6º. : ___/___/_____ 7º. : ___/___/_____ 8º. : ___/___/_____Seminário: ___/___/_____ 2
  3. 3. Sumário páginaIntrodução......................................................................................... 5Grandezas físicas e medição........................................................... 10Elementos de análise vetorial........................................................... 17Conceitos fundamentais da mecânica.............................................. 28Cinemática da partícula.................................................................... 32As leis de Newton da dinâmica................................................ 78Trabalho e energia........................................................................... 121Leis de conservação......................................................................... 133Impulso e quantidade de movimento................................................ 157Colisões............................................................................................ 165Listas de exercícios 1ª. Lista de exercícios................................................. 175 2ª. Lista de exercícios................................................. 177 3ª. Lista de exercícios................................................. 180 4ª. Lista de exercícios................................................. 185 5ª. Lista de exercícios................................................. 191 6ª. Lista de exercícios................................................ 195 7ª. Lista de exercícios................................................ 198 8ª. Lista de exercícios................................................ 205 3
  4. 4. 4
  5. 5. IntroduçãoA Mecânica se dedica ao estudo das condições de movimento de corpos submetidos à ação de forças. Nessa simples definição, pelo menos doistermos (movimento e força) somente se justificam a partir da necessidadede sistematização de fenômenos muito comuns no cotidiano – os objetos seaproximam ou se afastam uns dos outros. Corpos se movimentam quandomudam de posição (E o que significa essa posição? Ela tem caráterabsoluto ou relativo?). Aclarar o significado disso é o nosso primeiro desafio.Quando caminhamos, “somos empurrados” pelo chão para frente ou“estamos empurrando” a Terra para trás? É o aluno que se dirige à escolaou a escola que se dirige ao aluno? É o veículo que colide com o poste ou éo poste que colide com o veículo? Percebemos que diversos e intrigantesfenômenos (e novas questões) permeiam todos os acontecimentos, desdeaqueles mais prosaicos. E o que causa tudo isso? Qual o agenteresponsável por toda essa dinâmica? Podemos especular, formular algumashipóteses, ensaiar conclusões. Não vemos qualquer força, porém qualquerpessoa é capaz de reconhecer que elas “existem”, produzem efeitos visíveis(alguns, assombrosos).O tempo é outro conceito desafiador (perturbador, às vezes) – ele sempre“anda” para frente; não raro, assume conotação um tanto quanto subjetiva(o meu tempo, o seu tempo...). Os acontecimentos nunca se desenvolveminstantaneamente – há sempre uma duração para qualquer ato, por maisrápido que seja.Para uma boa análise e descrição do fenômeno, precisamos avaliar,quantificar. Em se tratando de movimento, é necessário medir o tempo, oespaço, a velocidade, a aceleração, a força, um sem-número de variáveis.Por outro lado, os instrumentos auxiliares à percepção humana são, todoseles, limitados. E não há qualquer expectativa de, em algum tempo futuro,se tornarem absolutamente precisos. Com efeito, tudo é relativo: dependedo modelo, do observador e de seus mecanismos de avaliação.É nessa perspectiva de compreender fenômenos que nascem diversosconceitos1, muitos dos quais não absolutamente naturais. Afinal, sãodiversas as maneiras que temos de ver e encarar o mundo. Modelos se1 Conceito é a representação de um objeto pelo pensamento, por meio de suascaracterísticas gerais. É também a formulação de uma idéia por meio de palavras (conformeDicionário Aurélio). 5
  6. 6. sucedem, adquirem maior sofisticação, porém ainda estão longe dereproduzir todas as singularidades de um sistema natural.Podemos, numa síntese, propor: não sabemos o que preside, de fato, ofuncionamento da natureza, como são preparadas suas ações e respostas,porém já dispomos, hoje, de modelos que funcionam satisfatoriamente... Averdade maior: ainda conhecemos muito pouco – não raro, somossurpreendidos com algumas “anomalias” de comportamento – e aí somosinstados a rever conceitos, formular novas relações funcionais, enfim,conhecer melhor a lógica do sistema natural. Quando um modelosupostamente “consolidado” deixa de oferecer uma resposta consistentecom a realidade, ou seja, quando a previsão não se confirma, não significa oseu absoluto fracasso – isso até permite conhecer a abrangência e aslimitações do modelo. Afinal, não é a natureza que tem de se ajustar ànossa limitada capacidade de compreensão; esta é que deve ser exploradae aproveitada de forma permanente e contínua, para oferecer prediçõesconfiáveis. Poucas respostas na ciência são definitivas. Sempre, diante deum fenômeno, estaremos formulando perguntas. Basicamente, emmodelagem, uma se destaca: Quantas e quais são as variáveisintervenientes mais relevantes? A rigor, é impossível listar todos os fatoresque participam ou que concorrem para uma certa ocorrência. Isso, porém,não chega a ser um problema, tampouco motivo para desânimo. Importa,efetivamente, identificar os fatores (as variáveis) mais significativos, os quecausam maior impacto na qualidade e na magnitude do fenômeno.A incerteza é um conceito humano modernamente acrescentado aosmodelos. Em alguns casos, o máximo que conseguimos alcançar é umindício da resposta mais provável, o que já é bastante satisfatório, haja vistaa multiplicidade de parâmetros e variáveis presentes. Os bons modelos jáprocuram incorporar a estimativa (probabilística) de erro, atenuando opretenso caráter determinístico das predições.Na ciência, e na física de modo particular, trabalhamos com princípios, leis,modelos e teorias. Chamamos de lei a formulação a respeito de algum tipode regularidade da natureza. Freqüentemente, os termos lei e princípio sãoempregados com a mesma acepção. Basicamente, leis (ou princípios) sãoenunciados ou relacionamentos matemáticos que buscam descrever ocomportamento natural.Não devemos olvidar que a física é uma construção humana, e se sujeita,portanto, a todas as limitações da capacidade perceptiva do homem e dos 6
  7. 7. instrumentos colocados à sua disposição. Bastante oportuno, então, iniciar oestudo da mecânica com uma idéia clara dos objetivos e das limitações daciência. Certeza é o que se persegue, poucas vezes o que se alcança.SistematizaçãoA mecânica costuma ser dividida em duas áreas: a estática, que cuida dascondições de equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento semmudança de velocidade, e a dinâmica, destinada ao estudo dos movimentosde corpos acelerados. A dinâmica compreende a cinemática, que se ocupados aspectos geométricos do movimento, objetivando uma análisemeramente descritiva, e a cinética, voltada para a análise das forçaspromotoras de mudanças na velocidade. Na prática, todas essas áreas secomunicam amplamente e estão amparadas num mesmo conjunto de leis eprincípios. Um bom conhecimento da dinâmica pressupõe um bomconhecimento da estática, e vice-versa.Nas páginas seguintes, estaremos dando passos iniciais para acompreensão dos movimentos (causas e efeitos, simulação e modelagem).Ênfase é dada, neste trabalho, aos problemas. A teoria é apresentada deforma resumida, contemplando apenas os tópicos essenciais. Algumasquestões são resolvidas logo após apresentação dos princípios e noçõesgerais, para sedimentar a compreensão. As listas mais extensas deproblemas estão colocadas na última parte deste caderno e estãoseparadas por tema.Estas notas estão orientadas à dinâmica da partícula. Num módulosubseqüente, será abordada a dinâmica dos corpos rígidos, sendo estestratados tridimensionalmente, compreendendo os movimentos translacionaise rotacionais.Mecânica clássicaA mecânica clássica, ou newtoniana, está fundamentada nas leis propostaspor Isaac Newton, no século XVII. Embora se tenha revelado inapta paraexplicar todos os tipos e circunstâncias de movimento, notadamente aquelesenvolvendo massas ou velocidades imensas ou massas extremamentebaixas (partículas no mundo atômico), a mecânica clássica respondesatisfatoriamente aos casos mais comuns do nosso dia-a-dia, de massas e 7
  8. 8. velocidades moderadas. A sua evolução, como área do conhecimento, foiviabilizada a partir de instrumentos de medição do tempo2.Um breve históricoNa mecânica clássica, três estudiosos se destacam. O primeiro deles,Johannes Kepler (1540-1603), utilizando os dados coligidos por TychoBrahe, concebeu a primeira descrição matemática do movimento dosplanetas.Galileu Galilei (1564-1642), com os experimentos utilizando pêndulos ecorpos em queda livre, foi um dos mais notáveis colaboradores para aconstrução da moderna ciência, como criador do método experimental,aliando a hipótese teórica à sua verificação por meio de experiências. Suaprincipal obra, sobre o movimento dos corpos, foi publicada em 1634, sob otítulo Discorsi e dimonstrazioni matematiche intorno a due nuove science.Atribui-se, no entanto, a Isaac Newton (1642-1727) a contribuição maissignificativa para o amadurecimento dos princípios da dinâmica. Sobre Newton Isaac Newton nasceu na Inglaterra, em 1642, ano da morte de Galileu Galilei. Diversos avanços na Física e na Matemática são devidos a Newton: desenvolvimento do binômio de Newton, criação e desenvolvimento do cálculo diferencial e integral, estudo dos fenômenos ópticos, concepção das leis da mecânica clássica e desenvolvimento das idéias acerca da gravitação. Sua principal obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, foi publicada em 1687 e o consagrou como um dos maiores gênios da história. Interessante notar que a maior parte de sua obra foi desenvolvida até os 24 anos de idade. Newton morreu em 1727, quando era presidente da Real Academia de Ciências da Inglaterra, cargo que vinha ocupando desde 1703. Até o início do século XX, toda a Física era baseada e inspirada no trabalho de Newton. Suas concepções, ainda hoje aplicáveis a um grande número de fenômenos, foram reformuladas em 1905 por Albert Einstein, em sua Teoria da Relatividade.2 Pode-se afirmar que a estática, isoladamente, exibiu avanços bem antes de Newton, hajavista prescindir da medição da variável tempo. 8
  9. 9. Dois avanços significativos, verdadeiramente revolucionários, foramexperimentados no século XX, com o advento da teoria quântica e da teoriarelativística.O método científicoA formulação de princípios e leis, como fruto de observações sistemáticas everificações experimentais, deve seguir uma certa disciplina e metodologia,logicamente concebida, de forma a se evitarem sofismas e leiturasinconsistentes dos fenômenos. Coube a Galileu, no século XVII, demonstrara importância das experiências e medidas precisas para a construção dosaber científico. Até então, era amplamente majoritária a idéia de quesomente o raciocínio filosófico e as concepções aprovadas pelos antigospensadores “permitiam” conhecer a verdade.As duas características marcantes do novo método científico são aexperimentação e a matematização. Com efeito, a ciência só pode avaliaradequadamente uma teoria se houver condições para a aplicação dométodo científico.Em síntese, o seguinte fluxo procedimental deve ser cumprido na aquisiçãode verdade científica3.3Nem sempre, o cumprimento desses passos leva a uma descoberta ou teoria científica. Emalgumas situações, chegamos a descoberta por acaso, quando estamos pesquisando outrascoisas. É o que se denomina serendipidade. 9
  10. 10. Grandezas físicas e mediçõesQualquer entidade suscetível de medida é denominadadas grandezas é significa comparar, cotejar. Em Física, a maioria grandeza. Medirdimensional, ou seja, ao seu valor deve estar associada uma unidade demedida (padrão de referência). Há, porém, algumas grandezas que sãoadimensionais, constituindo simples fatores de relacionamento entre outrasgrandezas dotadas de dimensão.Uma importante classificação das grandezas físicas refere-se ao nível deinformações necessárias para que ela esteja completamente caracterizada.Assim, existem as grandezas escalares e as grandezas vetoriais4. Umagrandeza escalar requer apenas uma valoração numérica denotando a suamagnitude. São exemplos de grandezas escalares o tempo, a massa, ocomprimento. As grandezas vetoriais, por sua vez, são esclarecidas desdeque se conheçam a sua intensidade, o seu sentido e a sua direção. Sãoexemplos de grandezas vetoriais a força, a velocidade, a aceleração.O sistema internacional de unidadesA existência de diversos padrões de medidas revelou-se inconveniente parao intercâmbio tecnológico e comercial entre as nações. Motivaçõeseconômicas e comerciais ensejaram a definição de um sistema de unidadesque fosse comum às diversas culturas e sociedades. Temos, hoje, umconjunto de padrões de medidas amplamente aceito. Esse sistema (SI)5resultou da XI Conferência Geral da Comissão Internacional de Pesos eMedidas, realizada em Paris, no ano de 1960. O Brasil oficializou suaadesão a esse sistema em 1963.Alguns países desenvolvidos, como os Estados Unidos e a Inglaterra, porexemplo, ainda nos dias atuais, empregam paralelamente unidades distintasdaquelas definidas no SI. Por isso, o usuário deve estar, portanto, sempreatento aos fatores de conversão entre unidades. A tendência, no entanto, éde que as unidades do SI se consagrem como efetivamente universais.4 A entidade vetor, usada para retratar grandezas vetoriais, é apresentada no capítuloseguinte. A breve noção de análise vetorial é também ali oferecida.5 Originalmente, em francês: Système International d’Unités. 10
  11. 11. Em várias situações, dada a magnitude do que está sendo mensurado, éconveniente a adoção de múltiplos (ou submúltiplos) de unidades básicas.Nesse caso, geralmente são acrescentados prefixos gregos (por exemplo,mega, quilo, mili, micro, etc.) ao nome da unidade, para compor uma novabase de comparação.Grandezas fundamentaisSão consideradas fundamentais as seguintes grandezas: comprimento(distância), tempo, massa, temperatura, intensidade de corrente elétrica,intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, todas as demaisgrandezas físicas podem ser expressas.As três primeiras são de especial interesse no estudo da mecânica. Suasunidades no SI são, respectivamente, o metro (m), o segundo (s) e oquilograma (kg), assim definidos:metro: comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo detempo de 1/299 792 458 de segundo; o metro padrão é a distância entre duas linhasparalelas existentes num protótipo de platina iridiada, depositada em Paris, natemperatura de zero graus Celsius e em condições de sustentação perfeitamentedefinidas.segundo: duração de 9 192 631 770 vezes o período de determinada radiaçãoemitida, no seu estado fundamental, por um dos isótopos do césio (o nuclídeo césio133).quilograma: massa do protótipo internacional constituído por um cilindro de platina e10% de irídio depositado no Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Paris).Análise dimensionalAdotam-se os seguintes símbolos para expressar a dimensionalidade dasgrandezas físicas fundamentais: Comprimento: L Tempo: T Massa: M Temperatura: Intensidade de corrente elétrica: I Intensidade luminosa: Il 11
  12. 12. As grandezas apresentadas a seguir, com suas respectivas expressõesdimensionais, são algumas das que serão exploradas neste texto: 1 Velocidade: V L .T 2 Aceleração: A L .T 2 Força: F M . L .T 2 2 Energia: E M . L .T 2 3 Potência: P M . L .T 1 Quantidade de movimento: Q M . L .TA análise dimensional constitui procedimento valioso para a verificação daconsistência de qualquer formulação matemática de uma grandeza física.Pelo princípio da homogeneidade dimensional, “toda equação que traduzum fenômeno físico verdadeiro é, necessariamente, homogênea do ponto-de-vista dimensional”.Além disso, de acordo com o teorema de Bridgman (ou de previsão defórmulas), “se experimentalmente constatado que uma grandeza física Ydepende apenas das grandezas físicas A, B, C,..., todas independentesentre si, então X pode ser expresso como o produto de um fator puramentenumérico k por potências , , ,..., das grandezas das quais ele depende”.Assim, podemos escrever, por exemplo: X f ( A, B, C,...) X k. A .B .C ...Ordem de grandezaDenominamos ordem de grandeza a potência de 10 mais próxima do valorda grandeza. A identificação da ordem de grandeza é útil para efeitoscomparativos, além de permitir cálculos expeditos de razoável aproximação.Alguns exemplos:- O valor 18 está entre 10 e 100, mais próximo de 10 do que de 100. Logo, a suaordem de grandeza é 101. 12
  13. 13. - O valor 78 está entre 10 e 100, mais próximo de 100 do que de 10. Logo, a suaordem de grandeza é 102.- O valor 0,0015 está entre 10-3 e 10-4, mais próximo de 10-3 do que de 10-4. Logo, asua ordem de grandeza é 10-3.Notação científicaCom a notação científica, a exibição e a manipulação de valores (grandesou pequenos) se tornam mais simples, além de se constituir uma útiluniformização nos diversos textos da literatura técnica. Isso porque permiteuma rápida comparação baseada na ordem de grandeza.Nessa perspectiva, qualquer valor numérico deve ser escrito como o produtode um número entre 1 e 10 por uma potência de base 10. Por exemplo, onúmero 2300 seria expresso 2,3x103 (ou 2,3.103).Algarismos significativos e precisão de medidasQuando empregamos instrumentos para medir alguma grandeza, aqualidade da resposta depende do nível de precisão e sensibilidade.Sempre haverá algum erro (ou incerteza) embutido nessa mensuração.Basicamente, podem ser destacados três tipos de erros: grosseiros,sistemáticos ou acidentais. Os primeiros são detectáveis através de análiseuma linha tendencial de comportamento ou em razão de discrepânciasacentuadas em relação ao esperado (valor médio); os erros sistemáticos,via de regra, são atribuíveis à deficiência de calibração do aparelho demedida (se percebidos a tempo, antes do processamento, os dados podematé ser aproveitados, às vezes pela aplicação de um simples fator de ajusteou correção); os erros acidentais, por outro lado, podem ser produzidos pordescuido, negligência, imperícia ou imprudência do operador (daí anecessidade de treinar bem (e valorizar) as pessoas responsáveis pelotrabalho de coleta de dados, seja no campo, seja em laboratório).Uma vez realizadas as medidas, uma dúvida freqüente é sobre quantosalgarismos decimais adotar. Convenciona-se, então, usar, no máximo, umacasa decimal além da precisão do resultado (um algarismo incertoduvidoso).Consideremos, por exemplo, uma medição efetuada com uma régua escolarde 30cm, em que estão indicadas graduações em centímetros e em 13
  14. 14. milímetros. Não é possível, por esse instrumento, alcançar precisão acimadessa menor medida.Denominam-se algarismos significativos de uma medida os algarismoscorretos e o primeiro algarismo duvidoso. Uma possível leitura com aquelanossa régua seria 18,65cm, em que o 1, o 8 e o 6 são algarismos corretos eo 5, algarismo duvidoso.Não é razoável exibir-se mais de um algarismo duvidoso.Para a contagem dos algarismos significativos, devemos observar que oalgarismo 0 (zero) somente assume esse caráter se estiver posicionado àdireita de outro algarismo significativo. Por exemplo, em 0,0053 temosapenas dois algarismos significativos (o 5 e o 3), já que os zeros não sãosignificativos. Por outro lado, em 53000 temos cinco algarismossignificativos; pois, nesse caso, também os zeros são significativos.Dúvidas surgem, com freqüência, quando se promove a conversão de unidades.Nesse caso, a tendência (aos desavisados) é que apareçam 0 (zero) que não sãosignificativos. Por exemplo, poder-se-ia expressar 2,6m como 260cm, dando aimpressão de que o algarismo 6 assume, agora, caráter de algarismo correto, o queé inconsistente. A notação científica é o expediente recomendado para se evitar talequívoco. Assim, de fato, 2,6m corresponde a 2,6.102cm; o algarismo 6 é duvidosona expressão em metros e assim continua sendo após a conversão de unidade.Operações com algarismos significativosAlgumas regras básicas devem ser obedecidas nas operações comalgarismos significativos, a fim de não se introduzir uma falsa precisão aosresultados de cálculo, já que também estes devem ser apresentados apenascom os algarismos significativos. i. No resultado das operações de multiplicação e divisão, o número de algarismos significativos não deve ser superior ao do de algarismos significativos do número operado de menor precisão. Se pretendemos multiplicar os valores 2,34 e 2,6, o resultado deve ser expresso como 6,1 (ou seja, 6,084 arredondado para uma casa decimal) ii. No resultado das operações de adição e subtração, o número de algarismos significativos não deve ir além da última casa 14
  15. 15. decimal ocupada por algarismos significativos em todos os números operados. Portanto, ao somarmos (ou subtrairmos) parcelas, devemos verificar qual dessas parcelas apresenta o menor número de casas decimais, o que servirá de base para o estabelecimento do número de dígitos do resultado. As parcelas com número superior de casas decimais serão convenientemente arredondas. Seja, por exemplo, a operação soma das seguintes parcelas: 235,87, 82,465 e 0,8 com, respectivamente, duas, três e uma casas decimais em suas expressões numéricas. O resultado conterá, então, uma casa decimal. O arredondamento das duas primeiras parcelas conduz a 235,9 e 82,5. Daí a soma total será 319,2cm.As regras aqui apresentadas não são absolutas ou definitivas. Há, inclusive,algumas divergências (não muito relevantes, porém) entre os autores maisconsagrados. Importa, efetivamente, que as operações com númerossignificativos sejam feitas com critérios razoáveis, não conferindo aoresultado uma precisão que inexiste.Oportuno observar, ainda, que valores de constantes presentes emexpressões matemáticas de leis físicas, quando não são resultados diretosde medidas, não estão sujeitas à contagem de algarismos significativos,para efeito de operações.Aplicações:Problemas resolvidos:1) Efetuada a medição da distância entre duas cidades, encontrou-se o valor38,5km. Comente por que não se deve escrever 38500m no lugar da leituraoriginal.R.: No número 38,5 temos três algarismos significativos, sendo o 5 algarismoduvidoso, o que é compatível com o instrumento utilizado na medição. Sepassássemos a expressar a distância pelo número 38500, embora preservando alógica da conversão da unidade (já que 1km equivale a 1000m), estaríamosampliando o número de algarismos significativos e “transformando” o algarismoduvidoso 5 em algarismo correto. Note que em 38500 temos cinco algarismossignificativos, sendo o zero mais à direita o “suposto” duvidoso. 15
  16. 16. 2) Considere uma experiência para a medição de velocidade, utilizando uminstrumento que oferece 1% de precisão na medida de distância. Observa-se que uma partícula se desloca vinte centímetros em seis segundos.Expresse a velocidade.R.: Calculando a razão entre a distância percorrida e o intervalo de tempocorrespondente, encontramos: v 3,33...cm / sA forma de apresentação acima é inadequada. Com efeito, devemos adotar, nomáximo, uma casa decimal além da precisão do resultado. Desse modo, se adistância é medida com 1% de precisão, temos: v 3,33 0,03cm / sAssim, o valor verdadeiro da velocidade está entre 3,30cm/s e 3,36cm/s. Os doisprimeiros dígitos são corretos; o terceiro, duvidoso. 16
  17. 17. Elementos de análise vetorialD efine-se vetor6 como uma entidade matemática dotada de módulo, direção e sentido. A designação, criada por Willian Hamilton (1805-1865), deriva do latim e significa transportador. Sua representaçãogeométrica é feita por um segmento de reta, cujo comprimento correspondeao módulo, e uma seta numa das extremidades indicando o sentido dagrandeza que está sendo retratada. Uma importante característica do vetoré que ele não tem uma posição fixa no espaço; assim, a sua simplestranslação (mudança de posição paralelamente a si próprio) não o altera, ouseja, um mesmo vetor pode ser apresentado em diferentes posições noespaço e em diferentes sistemas de coordenadas.Na figura seguinte, as três setas estão representando um mesmo vetor.A notação vetorial adotada neste texto consiste numa letra com seta encimada (ex.: a ). Alguns autores preferem apresentar a letra em negrito,sem a seta (ex.: a). O módulo (comprimento ou intensidade) desse vetor é denotado por a ou simplesmente a.Há diversas operações matemáticas das quais vetores participam: elespodem ser somados, subtraídos ou multiplicados. Não se admite, porém, adivisão de um vetor por outro vetor. A operação adição (soma ou subtração)requer que as grandezas envolvidas sejam de mesma natureza (somentevetor pode ser somado a vetor; somente escalar pode ser somado aescalar). Subtrair um vetor de outro significa somar a este o oposto daquele.A multiplicação, por outro lado, consegue associar um vetor a um escalar;6 A concepção da entidade vetor é posterior ao surgimento da Mecânica Newtoniana,somente se consolidando no final do século XIX. 17
  18. 18. neste caso, o produto de um escalar por um vetor resulta num vetor cujosmódulo e sentido podem ser alterados, porém nunca a direção. O produtode dois vetores traz como resultado um escalar ou um vetor, conforme amaneira como se procede: no primeiro caso, também chamado de produtointerno, obtém-se um valor (positivo, negativo ou nulo), enquanto nosegundo, dito produto vetorial, a resposta é um vetor cuja direção éperpendicular ao plano definido pelos dois vetores que estão sendomultiplicados.Vetores unitáriosTanto no sistema cartesiano (retangular) de coordenadas, quanto nosistema normal-tangencial ou no sistema radial-transversal, podemos definirvetores unitários em cada direção principal do sistema, o que permiteexpressar qualquer outro vetor como combinação linear desses vetoresunitários. 18
  19. 19. Notação vetorial cartesianaNum sistema cartesiano tridimensional, os vetores podem ser expressos emtermos de sua projeção em cada um dos eixos perpendiculares x, y e z.Assim, por exemplo:     a a x .i a y . j a z .k     b bx .i by . j bz .kSoma de vetoresHá diversos processos metodológicos para efetuar a soma (ou subtração)de vetores. A mais simples, se trabalhamos com a notação vetorialcartesiana, consiste em adicionar algebricamente as projeções dos vetoresrelativas a cada um dos três eixos perpendiculares, associando a soma aorespectivo vetor unitário, como mostrado a seguir: 19
  20. 20.         a b a x .i a y . j a z .k bx .i by . j bz .k      a b (a x bx ).i (a y by ). j (a z bz ).kProduto escalar de vetores  O produto escalar, ou produto interno, dos vetores a e b é o valor(escalar) obtido por     a b a .b . cosonde o ângulo entre os dois vetores (0 180 ).Decorre da definição que:    i .i 1 j. j 1 k .k 1    i.j 0 i .k 0 k. j 0Portanto:        a.b (a x .i a y . j a z .k ).(bx .i by . j bz .k )  a.b a x .bx a y .by a z .bz    Observa-se, facilmente, que a b b a , ou seja, o produto escalar écomutativo.Na multiplicação de escalar por vetor, vale a propriedade:       m.( a.b ) (m.a ).b a.( m.b ) (a.b ).mO produto escalar goza, ainda, da propriedade distributiva. Significa dizer:        a (b c) a b a c 20
  21. 21. A operação produto escalar de vetores é importante, por exemplo, para adefinição da grandeza física trabalho, como será visto adiante.Produto vetorialO resultado do produto vetorial (ou produto externo) é um vetorperpendicular ao plano definido pelos dois vetores que estão sendomultiplicados.Para identificar a orientação do vetor resultante do produto vetorial, aplica-se a “regra da mão-direita”.O módulo do produto vetorial é dado por:     a b a . b .sen  sendo o ângulo formado entre os vetores a e b (0 180 ). 21
  22. 22.    i j k   a b ax ay az bx by bz    a b (a y .bz a z .by ).i (a z .bx a x .bz ). j (a x .by a y .bx ).kA operação produto vetorial (ou externo) é importante, por exemplo, para oestabelecimento da grandeza momento angular.Decorre da definição que:       i i 0 j j 0 k k 0          i j k j k i k i j          i k j j i k k j iNo produto vetorial, vale a propriedade distributiva:        a (b c ) a b a cPor outro lado, é inaplicável a propriedade comutativa. Ou seja:     a b b a    Porém, com efeito: a b b aNa multiplicação por um escalar, vale a propriedade:         m.( a b ) (m.a ) b a (m.b ) (a b ).mLei dos cossenos   Sejam os vetores a , b e c , mostrados na figura seguinte. 22
  23. 23. Temos as seguintes relações:    c a b    a c bPode ser demonstrado que 2 2 2   c a b 2. a . b . cosLei dos senosSeja o triângulo dos lados a, b e c , da figura seguinte.Vale a relação: a b c sen sen senDerivação e integração de funções vetoriais- As expressões seguintes são válidas, desde que as funções a(t) e b(t)sejam suaves e contínuas para todo t.     d (a b ) da d b dt dt dt     (a b )dt a.dt b.dt      d (a b ) da  db b a dt dt dt     da b da   db b a dt dt dt 23
  24. 24. Aplicações:Problemas resolvidos:1) Um veículo se desloca 10km na direção nordeste, em seguida 5km nadireção norte, em seguida 15km para leste, em seguida 30km na direçãonoroeste, onde pára. Localize esse veículo, após todos os percursos, emrelação a seu ponto de partida.R.: Consideremos (0,0) ascoordenadas do ponto de partida, onorte coincidindo com a orientaçãopositiva de y e o leste, com aorientação positiva de x.A posição final do veículo, após os quatro deslocamentos mencionados, é obtidapor:        r 5. 2i 5. 2 j 5. j 15 .i 15 . 2 .i 15 . 2 j    r 5.(3 2. 2 ).i 5.(1 4. 2 ) j    2) Em geral, a b a b . Comente.R.: O módulo da soma de dois vetores equivale à soma dos módulos desses doisvetores somente quando o ângulo formado entre eles é nulo. Ou seja, apresentamambos a mesma direção e o mesmo sentido. Isso é previsto na lei dos cossenos(basta lembrar que esta função trigonométrica assume valores no intervalo 1; 1 ).Portanto, pode-se afirmar que o módulo da soma de dois vetores está situado nointervalo:       a b a b a bO limite inferior desse intervalo corresponde à situação em que os dois vetoresapresentam a mesma direção, porém sentidos contrários. 24
  25. 25.   3) Considere o vetor c perpendicular a cada um dos vetores a e b .   Mostre que c é também perpendicular a m.a n.b , para quaisquerescalares m e n.  R.: Com base no produto vetorial: sec e a são perpendiculares, então     c a c .a  Similarmente, se c e b são perpendiculares, então     c b c .b   Fazendo, agora, o produto vetorial de c e m.a n.b e reconhecendo adistributividade dessa operação, temos:        c (m.a n.b ) c (m.a ) c (n.b )        c (m.a n.b ) m.( c a ) n.( c b )        c (m.a n.b ) m. c . a n. c . b       c (m.a n.b ) c (m. a n. b )   Seja o ângulo formado entre c e m.a n.b . Temos, então, que:    c.(m.a n.b ) sen    1 c . m.a n.b Daí, 900   Portanto, c e m.a n.b são perpendiculares.      4) Considere os vetores a .i 6. j e b 3.i 2. jperpendiculares. Determine o valor de .  R.: Sendo perpendiculares a e b , temos que o produto escalar desses vetores énulo. Assim:   a b 0 .3 ( 6).2 0Daí: 4 25
  26. 26.    5) Determine o ângulo formado entre os vetores a 2.i 6. j k e   b 4.i 3. j 2.k .R.: O ângulo entre dois vetores pode ser determinado com base o seu produtoescalar, conhecida a relação:     a b a .b . cosSubstituindo os valores:   a b 2.4 ( 6). 3 1.( 2) 12  a 22 ( 6) 2 12 41  b 42 32 ( 2) 2 29   a b cos   a .b 12 cos 41. 29 arccos 0,348   6) Três vetores a , b e c , mutuamente perpendiculares e não nulos no    espaço, são combinados produzindo o vetor d .a .b .c ( , e são escalares). Encontre as expressões para , e    (componentes do vetor d relativas ao sistema de referência a , b , c ).   R.: Sendo os vetores a , b e c mutuamente perpendiculares, temos que:     a b a b cos90 0     a c a c cos90 0     b c b c cos90 0  Se multiplicarmos escalarmente os vetores a e d :       a d a ( .a .b .c )Aplicando a propriedade distributiva: 26
  27. 27.       a d .a.a .a.b .a.c .a.a   a dEntão:   (Note-se que aqui não estamos dividindo vetor por vetor (o a aque não é possível), mas escalar por escalar).De modo semelhante, chegamos a:     b d c d   e   b b c c 27
  28. 28. Conceitos fundamentais da mecânicaD iversos conceitos e abstrações teóricas são incorporados nos textos de Mecânica. No desenvolvimento dos capítulos, estaremos definindograndezas físicas e estabelecendo os seus relacionamentos através de leis.Preliminarmente, porém, cabe apresentar os elementos básicos quepermearão toda a abordagem da Mecânica Clássica.PartículaA entidade partícula constitui uma abstração da Física, bastante utilizada naMecânica, para indicar que o móvel é pequeno e suas dimensõesgeométricas são irrelevantes no cenário em que se desenvolve o fenômeno.Uma partícula (ou ponto material) apresenta uma certa quantidade dematéria, isto é, tem massa, porém são desprezíveis a sua forma e o seutamanho. Esse conceito é aplicável a objetos cujas dimensões,relativamente às demais grandezas espaciais envolvidas, não afetam aanálise do movimento.Portanto, quando mencionamos partícula, queremos dizer que não estamosconsiderando as dimensões reais do corpo que se desloca e, dessa forma,a abordagem se limita ao movimento de translação. Evidentemente, apesarda abstração de tamanho, a ela atribuímos, paradoxalmente, uma massa;aceita-se que toda a matéria esteja concentrada em seu centro de massa ea descrição translacional desse ponto central seja suficiente para osobjetivos da análise.Aspectos relativos à rotação e deformação não são considerados para apartícula material. Por outro lado, se um objeto apresenta apenasmovimento de translação, ele pode ser tratado como partícula, já que todosos seus pontos se deslocam igualmente.TempoNewton, em seu tratado “Os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”,introduziu o conceito de tempo absoluto. Segundo ele, “o tempo absoluto,verdadeiro e matemático, por si só e por sua própria natureza, fluiuniformemente, não mantendo relação com qualquer coisa externa.” Assim,o tempo não estaria sujeito a condição física alguma.A concepção de tempo, tal como proposta por Newton, embora prevaleça noâmbito da mecânica clássica, deve ser revista para acomodar as 28
  29. 29. circunstâncias de velocidades muito altas (comparáveis à da luz) ou decampos gravitacionais muito intensos. Isso significa que podemos “aceitar” otempo absoluto somente quando as velocidades e os campos gravitacionaisforem relativamente baixos, que serão, enfim, os casos discutidos nestetexto.O conceito mais moderno de tempo relativo (que pode se dilatar,dependendo do observador) pode ser extraído da leitura de textos damecânica relativística, desenvolvida a partir do início do século XX.EspaçoO espaço é o palco de acontecimento dos fenômenos físicos. Costuma-seatribuir a ele um caráter tridimensional, ou seja, de certa volumetria. Noentanto, em condições particulares, a análise pode ser conduzidasatisfatoriamente reduzindo-o a duas dimensões (por exemplo, nomovimento de uma partícula ao longo de uma trajetória plana) ou a umadimensão (por exemplo, no movimento de uma partícula ao longo de umatrajetória retilínea).ReferencialA necessidade de estabelecimento de referencial decorre do caráter nãoabsoluto dos fenômenos naturais, notadamente aqueles relacionados aomovimento. Dependendo da perspectiva, um mesmo fato pode ensejardiferentes leituras e interpretações. Por isso, as leis da Física devem seraplicadas somente após a clara definição de quem está observando ofenômeno. Via de regra, o referencial deve ser assumido como um sistemarígido. Em relação a este, são especificadas as coordenadas espaciais etemporais de eventos físicos.É a partir da caracterização do referencial que a análise do comportamentoda partícula (ou sistema de partículas) pode ser conduzida, bem assimqualquer inferência sobre o seu repouso ou movimento.No âmbito da mecânica, os sistemas de referência podem ser classificadosem inerciais ou não-inerciais, de acordo com a sua mobilidade em relação aum ponto fixo distante.MovimentoNão é possível qualquer alusão a movimento sem que previamente sejadefinido um referencial. De fato, o fenômeno movimento consiste, 29
  30. 30. essencialmente, na variação, em função do tempo, das coordenadas delocalização de um corpo em relação a algum sistema de referência.Portanto, não é razoável a afirmação de que algo se movimenta quandomuda de posição. Tal assertiva é frágil, incompleta e merece reparos.Dentro de um veículo que trafega numa estrada, as pessoas estão emmovimento em relação a um poste fincado à margem da rodovia; porém,dois passageiros no interior desse veículo encontram-se parados um emrelação ao outro, ainda que ambos estejam se movimentando em relação aoposte aludido. Também não se pode afirmar que um marco na estradaesteja imóvel: ele se movimenta, sim, se tomado o veículo como referência.ForçaTodos temos uma idéia (ou conceito intuitivo) do que seja força e do que elaé capaz. Na verdade, a força constitui mais uma entidade (grandeza)concebida para o estabelecimento de relações dinâmicas. Sua efetivamensuração somente é possível a partir dos efeitos que ela produz.Adiante, quando forem apresentadas as leis de Newton do movimento,veremos que uma razoável definição de força é: todo agente capaz dealterar o módulo ou a direção da velocidade de um corpo; todo agente capazde atribuir uma aceleração a um corpo. Por outro lado, a força pode ensejardiversos outros processos além de movimentos acelerados.EnergiaComo clássica definição, temos a energia como a propriedade de umsistema que lhe permite realizar trabalho. A energia pode se apresentar sobvárias formas (potencial, cinética, calorífica, elétrica, eletromagnética,potencial, química, radiante etc.), transformáveis umas nas outras, e cadauma capaz de provocar fenômenos bem determinados e característicos nossistemas físicos.É justo asseverar que essa foi, até hoje, uma das mais brilhantesconcepções da ciência, em razão, sobretudo, do caráter intercambiável e desua absoluta indestrutibilidade.Em todas as transformações de energia há completa conservação em suaquantidade (a energia não pode ser criada, nem destruída, mas apenastransformada). Até mesmo a massa de um corpo pode-se transformar em 30
  31. 31. energia; por outro lado, energia sob forma radiante pode transformar-se emum corpúsculo com massa, como demonstrado pela Física Moderna.Particularmente, a energia dita mecânica se apresenta sob a forma potencial(gravitacional, elástica etc.) ou cinética (translacional, rotacional etc.). É daenergia mecânica que nos ocuparemos mais neste texto. Adiante, serácomentado o princípio da conservação da energia, enfatizando como oconceito de energia pode ser proveitoso na análise e solução de variadosproblemas de mecânica. 31
  32. 32. Cinemática da partículaB asicamente, quatro variáveis estão presentes nas equações cinemáticas: a aceleração (a), a velocidade (v), a posição (s) e o tempo(t). Em geral, o tempo se comporta como variável independente, a partir daqual as demais são estabelecidas e/ou identificadas. Sendo conhecida umarelação entre duas dessas variáveis, uma terceira pode ser alcançadautilizando-se as equações exibidas adiante.Cinemática da partículaPrimariamente, é o deslocamento a grandeza apta a indicar a ocorrência demovimento. Um corpo (ou partícula) se desloca quando há uma mudançaem sua posição. Esse fenômeno, evidentemente, se desenvolve num certointervalo de tempo; da relação entre o deslocamento e o tempo obtém-se avelocidade.Assim:   r v méd tSendo infinitesimal o intervalo de tempo em que ocorre um certodeslocamento também infinitesimal, temos a velocidade instantânea (ousimplesmente velocidade).   r v limt 0 t   dr v dtOu seja, a velocidade (grandeza vetorial) é a derivada da posição no tempo,significando a taxa de variação temporal do deslocamento.Também necessária à descrição do movimento é a taxa de variaçãotemporal da velocidade, grandeza (vetorial) que denominamos aceleração.Assim:   v a méd t 32
  33. 33. Sendo infinitesimal o intervalo de tempo em que se verifica a variação,também infinitesimal, da velocidade, temos a aceleração instantânea (ousimplesmente aceleração).   v a lim t 0 t   dv a dtEm algumas situações, é possível e conveniente relaxar o caráter vetorial davelocidade, omitindo-se a exata caracterização da sua direção.Esclarecendo: se a trajetória (caminho ou configuração de percurso) ésatisfatoriamente conhecida, se a posição está identificada ao longo dessatrajetória (como ocorre, por exemplo, numa rodovia), é bastante aceitávelenfocar a velocidade sem os seus elementos de grandeza vetorial,porquanto implícitos. Nesse caso, podemos operar com uma novagrandeza, denominada velocidade escalar, a qual pode assumir valorpositivo ou negativo, de acordo com a orientação de crescimento dosmarcos posicionais. Com efeito, a orientação da grandeza, inerente a seucaráter vetorial, passa a ser transferida para a trajetória, sem qualquerprejuízo para a análise.Nas figuras seguintes, a trajetória (eixo x) está orientada da esquerda para a direita.O ponto P, à direita do marco posicional 0, assume uma posição escalar positiva. Oponto P’, à esquerda do marco posicional 0, assume, por outro lado, posiçãoescalar negativa.Admitindo-se que, após um intervalo de tempo t, a partícula se desloca x,temos a velocidade escalar média: 33
  34. 34. x v méd tA velocidade escalar propriamente dita (ou instantânea) se expressa por: dx v dtVale, assim, a seguinte convenção para o sinal da velocidade escalar:positivo, quando o móvel (partícula) se desloca no sentido dos marcosposicionais crescentes; negativo, quanto o móvel (partícula) se desloca nosentido dos marcos posicionais decrescentes.A aceleração, por sua vez, traduz o comportamento temporal da velocidade,sendo, matematicamente, a derivada da velocidade em relação ao tempo(variável independente). Como aludido anteriormente, trata-se de umagrandeza vetorial; no entanto, em algumas situações, é viável a suaapresentação sob a forma escalar, isto é, como um valor ao qual se associaum sinal. Neste caso, o sinal (positivo ou negativo) não se referediretamente à variação da velocidade, em valor absoluto7. Deve serobservado que uma aceleração positiva não significa, necessariamente,aumento da velocidade.7O sinal da aceleração escalar, assim como o da velocidade escalar, depende da orientaçãoestabelecida para o eixo de referência. 34
  35. 35. dv a dtO esquema seguinte esclarece o significado da aceleração escalar positivae da aceleração escalar negativa.Conhecido o comportamento temporal da posição, isto é, s f (t ) , aaceleração pode ser obtida por: d 2s a dt 2Ou seja, a segunda derivada da posição em relação ao tempo.Portanto, a aceleração, a posição e a velocidade assim se relacionam: a.ds v.dvAs equações apresentadas até aqui são gerais e, portanto, aplicáveis aqualquer tipo de movimento. 35
  36. 36. Particularmente, para o movimento que se desenvolve numa trajetória retilínea conhecida, podemos tecer os seguintes comentários: 1. A direção da trajetória não muda durante o movimento; 2. A direção da velocidade e a direção da aceleração coincidem com a da trajetória; 3. O módulo de deslocamento corresponde à diferença (em valor absoluto) dos marcos posicionais; 4. A velocidade escalar e a aceleração escalar podem substituir, sem prejuízo da análise cinemática, as grandezas vetoriais velocidade e aceleração.Velocidade média e velocidade média de percursoA velocidade média de percurso ( v mp ) é definida em função da distânciatotal percorrida, sendo, portanto, uma grandeza escalar positiva. Essagrandeza não deve ser confundida com a velocidade média ( v méd ), a qualestá associada ao deslocamento ou, mais propriamente, à mudançaposicional. Assim, a velocidade média de percurso é a relação entre adistância total percorrida e o tempo demandado nesse percurso; avelocidade média é a razão entre a mudança de posição e o tempo. Note-seque a velocidade média pode assumir valor positivo ou negativo. t2 v.dt s t1Assim: v méd t t2 t1 sT v mp tNa prática, a diferença entre esses dois conceitos se evidencia quandoocorre mudança na direção da velocidade (ou seja, quando a velocidadeescalar muda de sinal). Podemos estabelecer o seguinte algoritmo para o cálculo da velocidade média de percurso: 36
  37. 37. 1. Identificar os instantes em que ocorrem mudanças no sinal da velocidade escalar (quando o movimento muda de sentido); 2. Discretizar o intervalo de tempo de análise em subintervalos, definidos entre duas mudanças sucessivas de sinal; 3. Calcular a variação posicional s (os espaços percorridos, em valor absoluto), em cada subintervalo; 4. Determinar a razão entre o espaço total percorrido (soma dos s) e o intervalo de tempo de análise.Aplicações:Problemas resolvidos:1) Um veículo numa estrada retilínea percorre 15km a 50km/h mais 10km a60km/h mais 5km a 75km/h. Determine a média aritmética das velocidadese a velocidade média de seu percurso.R.: Determinemos, inicialmente, o tempo demandado em cada etapa do percurso.Para percorrer os primeiros 15km foram gastos 18 min; nos 10km seguintes, mais10min e, nos 5km restantes, mais 4min. Assim, o trecho total de 30km foidesenvolvido num intervalo de tempo total de 22min. Isso permite que a velocidademédia seja estimada em: 15 10 5 vm 0,94km / min 56,25km / h 18 10 4A média aritmética das velocidades vale: 50 60 75 v 61,67km / h 3Somente no caso do movimento uniformemente variado é que a média dasvelocidades equivale à velocidade média.2) Ao longo de uma trajetória plana horizontal, uma partícula se movimenta,sendo a sua velocidade expressa por v (2.t 2 8.t ) m/s, com o tempo tem segundos. Determine a velocidade média e a velocidade média depercurso, no intervalo de tempo de 0 a 5s.R.: Calculemos o deslocamento (medido ao longo da trajetória). ds v.dt 5 5 s v.dt (2.t 2 8.t ) 0 0 37
  38. 38. 5 2.t 3 5 s 4.t 2 16,67m 3 0 0Podemos, então, calcular a velocidade média: s 16,67 vméd 3,33m / s t 5Calculemos a distância total percorrida. Devemos, antes, identificar o(s) instante(s)em que a partícula inverte o sentido de seu movimento. Isso ocorre quando a 2velocidade se anula, ou seja, no instante t 4s (obtido de 0 2.t 8.t ).De 0 a 4s, o móvel percorre 21,33m; de 4s a 5s, o percurso é de 4,67m. Portanto,de 0 a 5s, o percurso total corresponde a 26,00m. Então, podemos calcular avelocidade média de percurso: sT 26,00 v mp 5,20m / s t 5O caso particular de movimento com velocidade constante (v)Quando o valor da velocidade não se altera durante o movimento, este édito uniforme, independentemente da configuração da trajetória. s v ds v.dt s0 0 s s0 v.t s s0 v.tA expressão acima representa a função horária da posição. O fato de omovimento se desenvolver com velocidade de módulo constante nãoimplica, rigorosamente, a ausência de aceleração, como veremos maisadiante.Verifica-se, com efeito, que o único movimento possível na naturezacompletamente destituído de aceleração é o movimento retilíneo uniforme(MRU). 38
  39. 39. O caso particular de movimento com aceleração constante (a)O movimento que ocorre com aceleração de módulo constante édenominado movimento uniformemente variado (MUV). Exemplo dessemovimento ocorre quando um corpo cai livremente (queda livre) no vácuo,onde a resistência do ar inexiste. Também próximo à superfície da Terra, omovimento de queda de um corpo pode, em muitos casos, ser consideradode aceleração constante.A velocidade em função do tempo: v t dv a.dt v0 0 v v0 a.tA expressão acima é dita função horária da velocidade no MUV.A posição em função do tempo: s t ds (v 0 a.t ).dt s0 0 1 2 s s0 v0 .t .a.t 2A expressão acima é dita função horária da posição no MUV.A velocidade em função da posição: v s v.dv a.ds v0 s0 v2 2 v0 2.a.( s s0 )Esta equação é conhecida como Equação de Torricelli.Note-se que as três últimas expressões apresentadas são aplicáveis tantoao movimento uniforme quanto ao movimento uniformemente variado. Defato, o que caracteriza o MUV é a constância do valor da aceleração, 39
  40. 40. inclusive quando esta é nula (caso de MU). Ampliando esse raciocínio, asequações de movimento variado são, com efeito, uma generalização dessescasos particulares.Análise do movimentoPara a aplicação das equações precedentes, é necessário que seestabeleça um sistema de coordenadas. No caso particular de trajetóriaretilínea, é suficiente que seja especificada uma coordenada de posição aolongo do percurso, com a identificação de uma origem fixa e a suaorientação positiva. Também nesse caso, bastam escalares algébricos deposição, velocidade e aceleração; os sinais algébricos indicarão os sentidosdas variáveis, na manipulação analítica das formulações matemáticas.Classificação dos movimentosQuanto à orientação da mudança de posição e da velocidade, osmovimentos podem ser classificados em:Progressivo: o móvel assume posições cada vez mais elevadas,considerando os marcos do sistema de referência. Nesse caso, costuma-sedizer que a velocidade é positiva.Retrógrado: o móvel assume posições cada vez mais baixas, considerandoos marcos do sistema de referência. Nesse caso, costuma-se dizer que avelocidade é negativa.Acelerado: o módulo da velocidade cresce com o tempo. Nesse caso o sinal(positivo ou negativo) da aceleração deve coincidir com o da velocidade.Retardado: o módulo da velocidade decresce com o tempo. Nesse caso ossinais (positivo ou negativo) da aceleração e da velocidade devem sercontrários.Podemos encontrar as seguintes associações:v 0 v 0 movimento acelerado e progressivo movimento retardado e progressivoa 0 a 0v 0 v 0 movimento acelerado e retrógrado movimento retardado e retrógradoa 0 a 0 40
  41. 41. Interpretação de gráficos do movimentoGráficos cartesianos são instrumentos bastante úteis para a representaçãodo movimento. Grande quantidade de dados pode ser retratada num gráfico.Em geral, a sua confecção não envolve maiores dificuldades. Importa, parao leitor, desenvolver habilidade na sua interpretação, explorando-os emtodos os seus pormenores.A seguir, apresentamos alguns aspectos relevantes da leitura de gráficosque relacionam as grandezas da cinemática.A inclinação da reta tangente à curva num dado instante de tempo tcorresponde à grandeza definida pela derivada da grandeza exibida no eixodas ordenadas em relação ao tempo. Ou seja, no gráfico posição versustempo, a inclinação traduz a velocidade; no gráfico velocidade versustempo, a inclinação traduz a aceleração, como mostra a figura seguinte. 41
  42. 42. Conhecido o gráfico posição versus tempo, podemos confeccionar o gráficovelocidade versus tempo.Conhecido o gráfico velocidade versus tempo, podemos confeccionar ográfico aceleração versus tempo. 42
  43. 43. A área sob a curva no gráfico aceleração versus tempo permite inferir a variação da velocidade entre os limites do intervalo de tempo considerado, ou seja, de t1 a t2. A área sob a curva no gráfico velocidade versus tempo permite inferir a variação posicional da partícula entre os limites do intervalo de tempo considerado, ou seja, de t1 a t2.43
  44. 44. Aplicações:Problemas resolvidos:1) Uma partícula de desloca da origem e ao longo de um eixo retilíneo. Ográfico temporal da velocidade é apresentado na figura seguinte.Represente em gráfico o comportamento temporal da posição e daaceleração dessa partícula. Determine o instante em que a partícula volta apassar pela origem.R.: Podemos depreender do gráfico: i) no intervalo de 0 a 4s, o movimento éuniformemente variado, ou seja, com aceleração constante igual a 1,5m/s2; ii) de 8sa 12s, a aceleração constante vale -6m/s2; iii) no instante 10s, a velocidade é nula(a partícula momentaneamente pára); iv) a partir de 12s, a velocidade é constanteigual -12m/s (aceleração nula).Graficamente: 44
  45. 45. A partícula volta a passar pela origem quando a área sob a curva (consideradagrandeza escalar) for nula. Enquanto a velocidade é positiva, de 0 a 10s, a partículapercorre 60m. Então, basta determinar, a partir de 10s, o instante correspondente auma área (no gráfico) de -60m. Pelo gráfico posição versus tempo, verifica-se queisso ocorre no instante 16s.2) Um estudante, pretendendo medir a aceleração da gravidade, resolvefazer o seguinte experimento: num tubo evacuado, lança verticalmente paracima uma bolinha, e mede, com precisão, os instantes de passagem, nasubida e na descida, dessa bolinha por um certo ponto do tubo. Esclareça alógica desse procedimento e apresente a expressão que fornece o valor deg.R.: Sejam t1 e t2 os instantes de tempo, ambos medidosa partir do lançamento. No instante t1, a bolinha passa,em movimento ascendente, pelo ponto de controle(indicado na figura seguinte); no instante t2, a mesmabolinha passa novamente por esse ponto de controle,porém, agora, em movimento descendente.No intervalo de tempo compreendido entre t1 e t2, o seupercurso terá sido 2.h, onde h representa a alturamáxima alcançada a partir do ponto de controle.Estando o corpo em movimento vertical no vácuo, sua aceleração equivale à dagravidade (movimento de queda livre). No ápice de sua trajetória, a velocidade énula e o deslocamento da bolinha muda de sentido. Podemos, então, escrever: 1 2.h y0 vo .(t 2 t1 ) .g.(t 2 t1 ) 2 2 2.h vo .(t 2 t1 ) g 1 .(t 2 t1 ) 2 2v o : velocidade na passagem pelo ponto de controleLembrando que: vo 2.g.h (da equação de Torricelli), temos: 45
  46. 46. 1 yo .g.t12 1 2yo vo .t1 .g.t12 , daí: vo 2 t1 1 2 yo .g.t 2 1 2 2yo vo .t 2 .g.t 2 , daí: vo 2 t2Então: yo g .t1 yo g .t 2 t1 2 t2 2 1 1 t2 t1 yo . g. t1 t2 2 2 2. y oPortanto: g t1 .t 2 O sinal negativo indica que a aceleração da gravidade g está orientada contrariamente ao sentido estabelecido para o eixo y, ou seja, o vetor g é verticale para baixo.3) Uma partícula percorre uma trajetória retilínea, sendo que, em qualquerinstante, a posição, a velocidade e a aceleração apresentam valoresnumericamente iguais. Apresente as funções horárias de posição e develocidade.R.: Temos as seguintes relações: dx v.dt dv a.dt x t dx dt Sendo v numericamente igual a x: xo v to x t ln x x tt x (t ) x o .e t to o oPor outro lado: 46
  47. 47. v t dv dt Sendo a numericamente igual a v: vo a to v t ln v v tt v(t ) vo .e t to o oMovimento curvilíneoNo caso mais geral do movimento, a trajetória é descrita em três dimensões.Um sistema cartesiano de coordenadas retangulares pode ser novamenteempregado para a análise.As grandezas envolvidas são tratadas em termos de três componentesmutuamente perpendiculares, segundo os eixos x, y e z.Assim, o vetor posição se apresenta como:     r x.i y. j z.kO módulo do vetor posição será: r x2 y2 z2 47
  48. 48. A velocidade se expressa por:     v v x .i v y . j v z .k dx dy dz vx vy vz dt dt dtO módulo da velocidade será: 2 2 2 v vx yy zzA aceleração ser expressa por:     a a x .i a y . j a z .k dv x dv y dv z ax ay az dt dt dtO módulo da aceleração será: 2 2 2 a ax ay azNota:Denomina-se hodógrafo do movimento a curva descrita pela extremidade do vetor velocidade v . 48
  49. 49. Independência das velocidadesA independência de dois movimentos simultâneos e perpendiculares foiexperimentalmente reconhecida por Galileu.Estando um corpo animado, simultaneamente, de dois movimentosperpendiculares entre si, o deslocamento na direção de um deles édeterminado apenas pela velocidade naquela direção.Aplicações:Problemas resolvidos:1) O motor de um barco faz com que ele se desloque com velocidade de4m/s. Um rio de 40m de largura flui com velocidade de 1m/s. Determine oponto em que o barco, partindo da posição mostrada, atinge a margemoposta do rio. R.: Podemos escrever a seguinte expressão para a velocidade resultante v R :      vR v rio vbarco 1,0.i 4,0. j  vR 17m / sO tempo de travessia pode ser estimado por: y 40 t 10 s vy 4 x v x .t 10 .1 10 mPortanto, o barco atinge a margem oposta do rio 10m abaixo do ponto de partida.2) Uma partícula tem movimento definido pelas equações temporaisseguintes: 1 3 1 2 x .t 2.t 2 e y .t 2.t 3 2 49
  50. 50. sendo x e y expressos em metros e t em segundos. Determine a velocidadee a aceleração no instante 3s.R.: As componentes x e y da velocidade são expressas, em unidades SI, por: dx vx t 2 4.t dt dy vy t 2 dtPara o instante t=3s, temos: vx 3m / s vy 1m / sRecompondo a velocidade: 2 2v vx vy 10m / sAs componentes x e y da aceleração são expressas, em unidades SI, por: dv x ax 2.t 4 dt dv y ay 1 dtPara o instante t=3s, temos: ax 2m / s 2 ay 1m / s 2Recompondo a aceleração: 2 2a ax ay 5m / s 23) Uma partícula descreve uma hipérbole retangular dada pelas equaçõesseguintes: x et / 2 e y e t / 2 50
  51. 51. sendo x e y expressos em metros e t em segundos. Determine a velocidadee a aceleração no instante 1s.R.: As componentes da velocidade nas direções x e y são obtidas de: dx 1 t2 dy 1 t 2 vx .e vy .e dt 2 dt 2As componentes da aceleração, por sua vez, se expressam por: dv x 1 t2 dv y 1 t ax .e ay .e 2 dt 4 dt 4No instante t=1s, temos: vx 0,82 m / s ax 0,41m / s 2 vy 0,30 m / s ay 0,15m / s 2Portanto: 2 2 v vx vy 0,82 2 ( 0,30) 2 0,87m / s 2 2 a ax ay 0,412 0,152 0,44m / s 2O caso particular do movimento de um projétilUma vez que a aceleração da gravidade atua sempre na direção vertical, omovimento de um projétil pode ser mais facilmente estudado a partir dascomponentes retangulares das variáveis cinemáticas. Assim, são descritosum movimento na direção horizontal e um movimento na direção vertical.O projétil lançado se move sob ação de uma força constante, a dagravidade, orientada para baixo. O movimento realizado é bidimensional. 51
  52. 52.    vo (vx )o .i (vy )o . j (v x ) o vo . cos o (v y ) o vo .sen oNa análise do lançamento de projéteis podemos, muitas vezes, desprezaros efeitos da resistência do ar. Desse modo, desenvolvem-se ummovimento uniforme (velocidade constante) na direção horizontal e ummovimento uniformemente variado (aceleração constante, correspondente àaceleração da gravidade g) na direção vertical. dv x ax 0 dt dv y ay g dt Admitamos que uma partícula seja lançada com velocidade inicial v o ,segundo uma direção inclinada o com a horizontal. A figura seguinteapresenta a trajetória de um projétil em condições ideais. 52
  53. 53. Conhecidos os valores de o e v o , podemos, a cada instante t, determinaras componentes v x e v y . Assim: vx (v x ) o vy (v y ) o g.tDurante o movimento bidimensional, a partícula acelera para baixo. Os  vetores posição r e velocidade v variam continuamente.O movimento horizontal e o movimento vertical podem ser tratados deforma independente. Isso facilita sobremaneira o procedimento analítico dolançamento oblíquo.Movimento horizontal: x vx . t x xo (vo . cos o ).tMovimento vertical: g .t 2 y (v y ) o .t 2 53
  54. 54. g.t 2 y yo (vo .sen o ).t 2 vy (v y ) o g.t vy vo. sen o g .t 2 2 vy (vy )o 2.g. y 2 vy (vo .sen o )2 2.g.( y yo )Trajetória:Para caracterizar a trajetória, isto é, obter a função y=f(x), devemossimplesmente eliminar a variável independente t nas equaçõesprecedentes. Assim: x xo (vo . cos o ).t g.t 2 y yo (vo .sen o ).t 2 2 ( x xo ) g x xo y yo vo .sen o . . vo . cos o 2 vo . cos o g y yo tg o .(x xo ) 2 .(x xo ) 2 2.(vo . cos o )Assumindo xo 0 e yo 0 , encontramos: 54
  55. 55. g y (tg o ).x 2 .x 2 2.(vo . cos o )Note-se que g, o e vo são valores constantes. A equação obtida apresenta,assim, a forma y a.x 2 b.x c , que retrata uma parábola em gráficocartesiano.Alcance horizontal (R): x xo R y yo 0 x xo (vo . cos o ).t R g.t 2 y yo (vo . sen o ).t 0 2Eliminando a variável t nas duas equações anteriores, temos: R g.R 2 vo .sen o . 0 vo . cos o 2.(vo . cos o ) 2 g.R tg o 2.v . cos 2 2 o o 2.vo .tg o . cos 2 2 o 2 2.vo .sen o . cos o 2 vo .sen (2 o ) R g g g 55
  56. 56. dRFazendo 0 , podemos deduzir que o máximo alcance ocorre d oquando o=45 o. Nesse caso: 2 vo R máx gAltura máxima (h):Determinamos a altura máxima (h) alcançada pelo projétil atribuindo valornulo à componente vertical da velocidade (vy). Assim: v o . sen 2 2 o h 2. gAplicações:Problemas resolvidos:1) Uma bolinha de aço desliza sobre a superfície plana de uma mesa comvelocidade de 1,0m/s. Sabendo-se que a mesa está a 2,0m do solo,determine a que distância d essa bolinha tocará o solo.R.: A bolinha, a partir do instante em que abandona a mesa de altura h, realiza,simultaneamente, um movimento uniforme (com velocidade vx=1m/s) na horizontal e um movimento uniformemente variado (com aceleração da gravidade g ) navertical. Desconsiderando o efeito da resistência do ar, o tempo de queda pode serdeterminado por: 1 2.h h .g .t 2 t 0,63s 2 g 56
  57. 57. Então, a distância d percorrida na horizontal é: d v x .t d 1.0,63 0,63m2) Um avião voa horizontalmente a umaaltura de 180m com velocidade de240km/h, devendo lançar pacotes demantimentos de região de selva, onde nãohá condições de pouso. Estime a quedistância do ponto de recepção devem serabandonados os pacotes.R.: A exemplo do problema anterior, há dois movimentos simultâneos cumpridospelos pacotes a partir de seu lançamento da aeronave.Os pacotes saem da aeronave com a mesma velocidade desta. Desprezando,novamente, a resistência do ar, temos o seguinte tempo de queda: 2.h t 6s gDurante esse tempo, cada pacote percorre horizontalmente com velocidadeconstante ( v x 240 km / h 66 ,7m / s ) a distância d calculada por: d v x .t 66 ,7.6 400 m3) Um projétil é disparado de uma altura de 60m, com velocidade inicial de120m/s, num ângulo de 30º com a horizontal. Determine: a) a distânciahorizontal do ponto de lançamento àquele onde o projétil atinge o solo; ii) aaltura máxima, em relação ao solo, alcançada pelo projétil. 57
  58. 58. R.: Também nesta solução, estaremos desprezando a resistência do ar. Então, atrajetória é descrita pela seguinte relação (situando a origem do sistema dereferência cartesiana no ponto de lançamento): g y (tg o ).x 2 .x 2 2.(vo . cos o ) 10 y (tg 30).x 2 .x 2 2.(120. cos30)A distância horizontal x corresponde à abscissa no ponto, pertencente à curva detrajetória, cuja ordenada é -60m. Assim, resolvendo a equação do segundo grau,obtemos: (a outra solução é imprópria, pois, pela configuração específica do problema,inexiste abscissa negativa) x 1343,4mPara a determinação do ponto de altura máxima, podemos igualar a zero a derivadada função da trajetória. Por outro lado, é fácil perceber que a máxima altura y(medida a partir do nível de lançamento) corresponde ao ponto em que acomponente vertical da velocidade é nula. Assim: 2 2 vy (vo ) y 2.g. y 2 2 0 (120 .sen30 ) 2.10 . y y 180mTomando por referência o nível do solo, temos altura máxima igual a 240m.4) Um homem dispara uma arma diretamente contra um objeto. Por meracoincidência, no exato momento do disparo, o objeto começa a cairverticalmente. Analise se o projétil atingirá o alvo.R.: Sim. A aceleração da gravidade entre o ponto de disparo e a linha verticalage igualmente sobre a bala (projétil) de queda do objeto.e o objeto, durante o movimento dequeda. A bala sofre, então, umdesvio vertical equivalente ao doobjeto, em relação à linha de queda.A bala somente não atingirá o alvo(objeto) se o seu alcance for inferiorà distância (medida na horizontal) 58
  59. 59. 5) Uma pedra é lançada obliquamente do ponto O e deve vencer umobstáculo de altura h que se encontra a uma distância x à sua frente, comomostra a figura seguinte. Indique como deverá ser feito esse lançamento.Determine a menor distância horizontal entre os pontos O e P (abaixo d doponto de lançamento, como mostra a figura seguinte).R.: Devemos impor a condição de o ponto C pertencer à região côncava delimitadapela curva da trajetória (parábola com concavidade voltada para baixo). g h x.tg 2 .x 2 2.(vo . cos )Na situação limite, o ponto C (de coordenadas (x,h)) corresponde ao ápice datrajetória. Então, a distância horizontal entre os pontos O e P será dada por d x. 1 1 hMovimento curvilíneo: componentes tangencial e normalA velocidade de uma partícula é representada por um vetor sempretangente à sua trajetória. Porém, em geral, o vetor aceleração não étangente à trajetória.Em algumas situações de movimento curvilíneo, é conveniente decompor aaceleração numa componente segundo a tangente à trajetória e noutrasegundo a direção normal dessa trajetória. 59
  60. 60.   v v.it   dv a dt  dv  dita .it v. dt dt  dit dit d ds . .dt d ds dt 60
  61. 61.  dit  d 1 dsConhecidas as relações in , e v , podemos d ds dtescrever:  dv  v2  a .it .in dt    a a t .it a n .inO módulo da aceleração total é assim obtido: a at2 2 an A componente tangencial da aceleração ( at dv ) é responsável pela dt mudança da velocidade escalar da partícula. A componente normal da aceleração ( a v2 ) é n responsável pela mudança na direção do movimento. 61

×