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FUNCIONES

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  • 1. FUNCIONES Prof. Susana Gaiara Año 2009 Unidad Educativa N° 29 9 ° AÑO MATEMÁTICA
  • 2. FUNCIONES
      • Definición de función. Dominio y codominio.
      • Representación gráfica
      • Clasificación de funciones
      • Ceros de una función
  • 3. Las funciones constituyen una herramienta útil para describir, analizar e interpretar diversas situaciones provenientes de la Matemática y de otras ciencias. Permiten expresar relaciones entre variables y construir modelos referidos a distintas áreas (biología, economía, física, etc.). Funciones
  • 4. ¿Qué es una función? Esta unidad te presenta un nuevo desafío: el estudio de funciones . Seguramente tendrás alguna idea sobre este tema estudiado en la escuela. ¿Función? f(x) = x - 4 f(x) = x 2 + 3 Funciones
  • 5. Para pensar… Ud. es seleccionado para trabajar como vendedor en una concesionaria de automóviles. En la entrevista se acuerdan las condiciones del trabajo, beneficios que se le otorgan y la forma en que se compone el sueldo. Cada vendedor recibe un sueldo fijo de $700 y $200 adicionales por cada automóvil vendido. El número máximo de unidades a vender por cada vendedor es de 8 y si se presenta la oportunidad de una nueva venta, a partir de la octava, deberá cederla a otro vendedor. ¿Qué sueldo recibirá si vende 6 automóviles? ¿Y si no realiza ninguna venta? $700 + 6 . $200 = $1900 ¿Y si vende 3 automóviles? $700 + 3 . $200 = $1300 $700 ¿Y si vende x automóviles? y = $700 + $200. x Fórmula Funciones
  • 6. Los datos obtenidos se pueden organizar en una tabla de valores donde y = 700 + 200 x Cada mes, tu sueldo puede variar,¿de qué depende esa variación? El sueldo depende de la cantidad de vehículos vendidos Podés observar que: “ a cada vendedor de la agencia se le asigna un único sueldo en el mes”, quedando el mismo determinado por la cantidad de vehículos vendidos. Funciones Por lo tanto estás relacionando en cada caso dos variables: número de autos vendidos variable independiente ( x ) sueldo que le corresponde variable dependiente ( y ) x y 6 3 0 … 1900 1300 700 …
  • 7.
    • Observá las gráficas.¿Cuál corresponde al problema?
    • ¿Por qué?
    • Gráfica A Gráfica B
    Representación gráfica
  • 8.
    • ¿Qué valores puede tomar la variable y?
    • Pensá:¿Puede percibir un sueldo de $600, trabajando en esa agencia?
    ¿Qué valores puede tomar la variable x? Pensá: ¿Puede venderse 2,7 autos? ¿Y 10 autos? NO, solo pueden venderse 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 autos NO , los sueldos posibles son 700, 900, 1100, 1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300 Variables
  • 9. Además: Para realizar un gráfico que describa la información que querés transmitir debés tener en cuenta:
    • Escribir un título que permita determinar la información suministrada.
    • Ubicar la variable independiente en el eje horizontal y la dependiente en el eje vertical.
    • Elegir la escala a utilizar para cada variable (pueden ser diferentes).
    Representación gráfica Ahora si, la gráfica correcta es la B Titulo Variables Escala
  • 10. Llegamos de esta manera a formalizar la definición de función Se llama función del conjunto A en el conjunto B ( f : A  B ) a toda correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos, de modo que a todo elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B. El conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B el codominio Si se designa con x a los elementos del conjunto A y con y a los elementos del conjunto B, la relación entre las variables la simbolizamos: y = f ( x ), y = g( x ), y = s( x ), etc. donde f, g, s, … es el nombre de la función y es la imagen de x y x es la pre-imagen de y f( 6 ) = 1900 , es decir: 1900 es la imagen de 6 o 6 es la pre-imagen de 1900 Además: f(6) es el sueldo que cobrará si vende 6 autos Función: definición Observá x y = 700 + 200 x 6 3 0 1 2 4 5 7 8 1900 1300 700 900 1100 1500 1700 2100 2300
  • 11. El conjunto formado solo por los posibles sueldos es el conjunto imagen : Im f = { 700, 900, 1100,1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300 } El conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable independiente es el dominio de la función, y el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente es el conjunto imagen . Dominio, codominio y conjunto imagen Dm f se lee dominio de f Codm f se lee codominio de f Im f se lee imagen de f El dominio en el problema de la agencia es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Se escribe: Dm f = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} El codominio es cualquier conjunto al que pertenezcan los posibles sueldos de los vendedores. Codm f = { 700, 900, 1100,1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300 } o Codm f = {x / x < 3000 } o Codm f = N0 o Codm f = R o …
  • 12. Ceros o raíces
    • Llamamos ceros o raíces de una función f
    • a los valores de x para los cuales se cumple
    • que f(x) = 0. Los ceros de una función son
    • las abscisas de los puntos en los cuales su
    • gráfica tiene contacto con el eje de las x.
  • 13. Crecimiento y decrecimiento
    • Una función puede tener intervalos de
    • crecimiento, de decrecimiento, y otros en los
    • que sea constante. En éstos, cuando x
    • aumenta, y se mantiene estable.
  • 14. Periodicidad
    • Una función es periódica cuando la forma
    • de su gráfica se repite cada cierto intervalo.
    • La longitud de dicho intervalo se llama
    • período.
  • 15. Continuidad
    • Una función es continua cuando se puede
    • dibujar sin interrumpir el trazo.
    • Decimos que una función es continua en un
    • intervalo de su dominio cuando no presenta
    • ninguna discontinuidad de él.
  • 16. Clasificación de funciones
      • Función lineal: es toda función cuya fórmula sea de la forma y = a x + b Su gráfica es una recta: a es la pendiente y b es la ordenada al origen. b = 0, es de proporcionalidad directa. a = 0, una función constante.
      • Función cuadrática , se expresa y = a . x² + b . x + c Su gráfica es una curva llamada parábola. Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas, y un vértice que es el punto del eje de simetría que pertenece a la curva.
    Funciones Lineales Cuadráticas De proporcionalidad directa De proporcionalidad inversa Exponencial
  • 17.
    • De proporcionalidad directa: toda función que sea de la forma
    • y = k . x (k distinto a 0) Las gráficas de estas funciones son rectas que contienen al origen de coordenadas. El número k es la constante de proporcionalidad y gráficamente está asociado a la inclinación de la recta.
    • De proporcionalidad inversa: toda función cuya expresión sea de la forma y = k/x (k es un número real; x distinto a 0 y k distinto a 0) Los puntos de su gráfica están sobre una curva llamada hipérbola, que no tiene contacto con los ejes cartesianos.
    • Exponencial: toda función cuya expresión sea de la forma y = k . a x , (k y a son números reales, a mayor a 0, y a distinto a 1). Los puntos de su gráfica pertenecen a una curva que no tiene contacto con el eje de las x.
  • 18. f(3) = 10 es el valor que toma f cuando x = 3 ó 10 es la imagen de 3 ó 3 es la pre-imagen de 10 ó (3, f(3)) ϵ f ó (3, 10) ϵ f El número x = a es cero o raíz de f(x)  f( a ) = 0 Es decir: Si e l número x = a es cero o raíz de f(x) entonces f( a ) = 0 y si f( a ) = 0 entonces el número a es cero o raíz de f(x)
    • se lee:
    • “ si y solo si”
    Ceros de una función Si f(x) es una función, indicamos con f(a) al valor que toma la función cuando x = a Por ejemplo: Si f(x) = 2 x + 4 y x = 3
  • 19. Ejemplo: Calculá los ceros de f(x) = x 2 – 4 debés encontrar los valores de x para los cuales x 2 – 4 = 0 Ceros de una función Ceros de f(x) Para calcular los cero de una función f, debés hallar los valores para los cuales f(x) = 0 Al resolver la ecuación, resulta x 1 = 2 y x 2 = -2 2 es cero de f porque f( 2 ) = 2 2 – 4 = 0 -2 es cero de f porque f( -2 ) = ( -2 ) 2 – 4 = 0 Entonces, 2 y -2 son ceros de la función f
  • 20. Funciones Llegó el momento de practicar lo aprendido