1. Flujo en conductos 1
UNIVERSIDAD DE OVIEDO
Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón
3er curso Ingeniería Industrial
Curso 2005-06
Mecánica de Fluidos
8. FLUJO EN CONDUCTOS.
Julián Martínez de la Calle
Área de Mecánica de Fluidos
Gijón diciembre 2005
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
2. Flujo en conductos 2
8. FLUJO EN CONDUCTOS.
8.1. Flujos laminar y turbulento.
8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.
8.1.2. Modelos de turbulencia.
8.2. Flujo estacionario, incompresible en conductos.
8.2.1. Pérdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach.
8.2.2. Cálculo de tuberías.
8.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross.
8.3. Flujo no estacionario.
8.3.1. Oscilaciones tubo en U.
8.3.2. Establecimiento del flujo.
8.3.3. Golpe de ariete.
8.4. Problemas resueltos.
8.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO.
La solución general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos, actualmente no se tiene.
Aunque se dispone de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales (constitución + conservación) con las
magnitudes del flujo (p, ρ, T, û, u, v, w), solo se tiene la solución analítica para casos muy concretos con fuertes
hipótesis restrictivas. No obstante, las técnicas numéricas, están aportando soluciones.
La mayor dificultad de la resolución analítica, viene determinada, por que en función de la relación
entre las fuerzas de inercia y las viscosas, el flujo es totalmente distinto: si predominan las fuerzas viscosas, el
movimiento es ordenado, denominándose flujo laminar; si son predominantes las fuerzas de inercia, el flujo es
agitado y fluctuante, denominandose flujo turbulento. La relación entre las fuerzas de inercia y viscosas, es el
parámetro adimensional intrínseco en Mecánica de Fluidos, y se denomina número de Reynolds: Re.
En flujo laminar, no hay fluctuaciones en los valores de las magnitudes, que solo dependen de las
posición y del tiempo. En cambio, en flujo turbulento, los valores son fluctuantes entorno a un valor medio. El
paso de un tipo de flujo al otro, no es discreto, hay un flujo de transición, en donde se presentan fluctuaciones
esporádicas.
Tanto el flujo laminar, como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones de conservación y
constitutición. En flujo laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener
soluciones analíticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes del
flujo, se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución analítica.
8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.
Como hemos citado anteriormente, las ecuaciones de conservación y de constitución, forman un
conjunto homogéneo. Particularizando para el flujo incompresible, isotrópico e isotermo de un fluido
newtoniano, las magnitudes del flujo son la presión y las tres componentes del vector velocidad; disponientdo
de 4 ecuaciones diferenciales entre ellas: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:
∂u ∂v ∂w
+ + =0
∂x ∂y ∂z
→
→ → dv
2
ρ g − ∆p + µ∇ v = ρ
dt
Tanto en flujo laminar, como en turbulento, vienen descritos, por las ecuaciones anteriores. En flujo
laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analíticas.
En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las cuatro magnitudes del flujo (presión
y las tres de la velocidad), se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución
analítica.
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
3. Flujo en conductos 3
Estas consideraciones, llevaron a Osborne REYNOLDS a considerar a las variables, como suma de un
valor medio y de su correspondiente fluctuación temporal:
T
u' _
u ( t ) = u (T ) + u ' ( t ) u (T ) =
∫ u(t)·dt
0
u T
u
t
u = componente “x” de la velocidad, en un determinado punto, a lo largo del tiempo.
u' = fluctuación de la componente x, en un determinado instante.
u = valor medio de la componente x, a lo largo de un periodo de promedio >> tiempo característico.
_
Análogamente a la componente x de la velocidad: u ( t ) = u (T ) + u ' ( t ) , se tienen expresiones para las
_ _ _
otras componentes y para la presión: v( t ) = v(T) + v' ( t ) ; w ( t ) = w (T ) + w ' ( t ) ; p( t ) = p(T ) + p' ( t )
Por su propia definición, el valor medio de la fluctuación turbulenta es nulo, definiéndose como una
medida de la turbulencia, su valor cuadrático medio, que se denomina intensidad de turbulencia:
T
(u ') 2
=
∫ u' (t)·u' (t)·dt
0
T
Para flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes
(u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuación, integran un conjunto de 4 ecuaciones
que se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes):
∂u ∂ v ∂ w
+ + =0
∂x ∂y ∂z
∂p ⎡ ⎛ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ⎞ ∂ u '·u ' ∂ u '·v' ∂ u '·w ' ⎤ du
ρg x − + ⎢µ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ
∂x ⎢ ⎜ ∂x
⎣ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎦ dt
∂p ⎡ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ ∂ v'·u ' ∂ v'·v' ∂ v'·w ' ⎤ dv
ρg y − + ⎢µ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ
∂y ⎢ ⎝⎜ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎥ dt
⎣ ⎦
∂p ⎡ ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ ⎤
⎟ − ρ ∂ w '·u ' − ρ ∂ w '·v' − ρ ∂ w '·w ' ⎥ = ρ d w
ρg z − + ⎢µ⎜ 2 + +
∂z ⎢ ⎝⎜ ∂x ∂y 2 2 ⎟
∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎥ dt
⎣ ⎦
En el término de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos:
∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w
Esfuerzos laminares: µ , µ , µ ; µ , µ , µ ; µ , µ , µ
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: − ρ(u '·u '), − ρ(v'·v'), − ρ(w '·w ') − ρ(u '·v'), − ρ(u '·w '), − ρ(v'·w ')
Genéricamente las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, son:
⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞
⎜µ − ρ(u '·u ') µ − ρ(u '·v') µ − ρ(u '·w ') ⎟
⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟
= ⎜ ∂v ∂v ∂v ⎟
T= ⎜ µ − ρ(u '·v') µ − ρ(v'·v') µ − ρ(v'·w ') ⎟
⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟
⎜ ∂w ∂w ∂w ⎟
⎜ µ ∂x − ρ(u '·w ') µ ∂y − ρ(v'·w ') µ ∂z − ρ(w '·w ')⎟
⎝ ⎠
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
4. Flujo en conductos 4
8.1.2. Modelos de turbulencia.
La determinación de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad para
resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, de
los que citaremos los denominados de “una ecuación” de Boussineq y de Prandtl. Modelos más completos, se
estudiaran en la descripción de la capa límite de la lección 9: modelos de “dos ecuaciones”, como los k-epsilón y
los k-omega.
a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta, como una propiedad
del flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad:
⎛ ∂u ∂v ⎞
− ρ(u '·v') = τ turbulento ≈ µ t ⎜ + ⎟
esfuerzo turbulento
µt = ⎜ ∂y ∂x ⎟
gradiente de velocidad ⎝ ⎠
b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como el
recorrido libre medio de una partícula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partícula; con lo
que las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: u’≈v’≈L(∂u/∂y); siendo la viscosidad turbulenta :
∂u
µ t ≈ ρL2
∂y
Von Karman, estableció la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posición (y) en la
capa límite1, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo tubulento de Reynolds:
∂u ∂u
L = κ⋅y µ t ≈ ρL2 = ρ(κy )2
∂y ∂y
∂u ⎛ ∂u ⎞ ∂u 2 ∂u ⎛ ∂u ⎞
τ turbulento = (τ t )xy = −ρ(u '·v') =≈ µ t = ⎜ ρ(κy )2
⎜
⎟ ⎜ ⎟ 2
⎟ ∂y = ρκ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ⋅ y
∂y ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ⎠
El coeficiente de Karman, κ es una constante universal en flujo turbulento κ = 0,41
Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidades
en flujo turbulento, que viene dado por la ley logaritmica de la capa límite de Millikan:
⎛ 1 (R − r )u * ⎞
u (r ) = u * ⎜ ln + B⎟
⎜k ν ⎟
⎝ ⎠
en donde u* es la velocidad de fricción, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: τw=ρ(u*)2; k es
el coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.
1
El concepto de CAPA LÍMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la lección 9 (flujo externo). Básicamente, es la
zona del flujo en las proximidades de las paredes sólidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos; distinguiendose tres zonas de
distribución diferenciada de esfuerzos viscosos: en la más proxima a la pared, son predominantes los esfuerzos viscosos (subcapa límite
laminar), en la más alejada de la pared, son predominantes los esfuerzos turbulentos (subcapa limite turbulenta), y entre las dos zonas se
tienen esfuerzos de ambos tipos.
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
5. Flujo en conductos 5
8.2. FLUJO ESTACIONARIO, INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS.
8.2.1. Pérdida de carga: Ec. de Darcy-Weisbach: se define perdida de carga, como la energía
disipada por unidad de peso; y se obtiene a partir de la tensión de rozamiento en la pared. En una tubería
(longitud L, dámetro D), se denominan perdidas lineales:
Ep Fµ L (τ w πDL )L L
h pl = = = = 4τ w
mg mg ⎛ πD 2 ⎞ ρgD
⎜ρ L ⎟g
⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
Régimen Laminar (Re<2300): los esfuerzos de rozamiento son exclusivamente viscosos, siendo posible la
resolución analítica de Navier-Stokes (flujo estacionario e incompresible) obteniendo una distribución de
velocidad parabólica:
⎛ r2 ⎞
u (r ) = 2v⎜1 − 2 ⎟ En donde “v” es la velocidad media en cualquier sección del flujo estacionario.
⎜ R ⎟
⎝ ⎠
⎛ du ⎞ − 2R 8µv
La tensión en la pared es: τ w = µ ⎜ ⎟ = µ 2v 2 =
⎝ dr ⎠ r = R R D
Con lo que la perdida de carga es proporcional a la velocidad media: (h pl )la min ar = 4τ w ρgD = ... = 32µL v
L
2
ρgD
2
Expresando, la velocidad media en función del caudal: v=4Q/πD , se obtiene que la perdida de carga en flujo
laminar es proporcional al caudal, es la Ec. de Hagen-Poiseuille:
(h pl )la min ar = 128µL Q
4
(1)
ρgD
Régimen Turbulento (Re>4000): los esfuerzos de rozamiento tienen términos viscosos y términos turbulentos,
con lo que no es posible la resolución de Navier-Stokes; no obstante, por analisis dimensional, se obtiene el
factor de fricción de Darcy, que adimensionaliza la tensión de rozamiento en la pared:
8·τ w
f=
ρv 2
L ⎛ fρv 2 ⎞ L L v2
La ecuación de la perdida de carga lineal, será: h pl = (4τ w )
=⎜ ⎟ =f
ρgD ⎜ 2 ⎟ ρgD
⎝ ⎠ D 2g
Que es la ecuación de Darcy-Weisbach, en donde la perdida de carga es proporcional al cuadrado de la
velocidad, o al cuadrado del caudal:
L v2 8f L
h pl = f = ... = 2 5 Q 2
D 2g gπ D
En régimen turbulento el factor de fricción depende, además del número de Re, de la rugosidad
relativa: εr=ε/D; en donde ε es la rugosidad de la tubería, que representa las alturas promedio de las
irregularidades de la superficie interior de la tubería. Según pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esa
dependencia está determinada por la relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que es
la zona de la capa límite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubería y los esfuerzos son
exclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa límite laminar, la
tubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds, según la expresión
empírica que obtuvo Prandlt, a parir del a ley logarítmica de velocidad en la capa límite:
1 ⎛ 2,51 ⎞
Tubería lisa: = −2 log⎜
⎜
⎟
⎟
f ⎝ Re f ⎠
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
6. Flujo en conductos 6
Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente desarrollado) la importancia
de la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de
1 ⎛ε ⎞
la rugosidad relativa (von Karman, 1938): = −2 log⎜ r ⎟
⎜ ⎟
f ⎝ 3,7 ⎠
Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una
única expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo el régimen turbulento:
1 ⎛ε 2,51 ⎞
= −2 log⎜ r +
⎜ 3,7
⎟
⎟
f ⎝ Re f ⎠
Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción aparece en forma explicita, y debe
recurrirse al calculo numérico para su resolución. No obstante, en un principio sin la herramienta del calculo
numérico, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, a partir de la ecuación de Colebrook, en donde se
muestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se determina el factor de fricción a partir de
la intersección de la vertical del número de Reynolds, con la isocurva correspondiente.
1 ⎡⎛ ε ⎞1,11 6,9 ⎤
Una solución alternativa, es la ecuación de Haaland: ≅ −1,8 log ⎢⎜ r ⎟ +
⎜ ⎟ ⎥
f ⎢⎝ 3,7 ⎠
⎣
Re ⎥
⎦
En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logaritmica, el factor de fricción vs el número
de Reynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa.
El flujo laminar Re<2000) viene representado por una recta de pendiente negativa, ya que el factor de
8·τ w 8·(8µv / D ) 64 64
Darcy, correspondiente sería: f = = = = , con lo que: log(f) = log 64-log(Re)
ρv 2
ρv 2 vDρ / µ Re
El flujo turbulento, se divide en tres zonas, en función del número de Reynolds:
2000>Re>4000: zona crítica de paso de flujo laminar a turbulento
4000>Re y f=f(εr,Re): zona de transición con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds
10000>Re y f=f(εr): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
7. Flujo en conductos 7
8.2.2. Cálculo de tuberías:
CASO (1): cálculo de la pérdida de carga.
DATOS: tubería: D, L, ε
fluido: ρ, µ
flujo: Q
CÁLCULO: perdida de carga: hp
vDρ 4Q
RESOLUCIÓN: 1. número de Reynolds: Re = =
µ πDν
128 µ L
2. para FLUJO LAMINAR (Re<2000): h pl la min ar = Q
ρ g π D4
3. para FLUJO TURBULENTO (Re>4000):
1 ⎛ε 2,51 ⎞
f = f (Re, εr) : Ec. Colebrook: = −2 log⎜ r +
⎜ 3,7
⎟
⎟
f ⎝ Re f ⎠
L v2 8f L 2
Ec. Darcy-Weisbach: h pl = f = ... = Q
D 2g gπ 2 D 5
CASO (2): cálculo del caudal.
DATOS: tubería: D, L, ε
fluido: ρ, µ
flujo: hp
CÁLCULO: caudal: Q
vDρ 4Q h p gD 3
RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): Re = = = ... =
µ πDν 32Lυ 2
h p ρgπD 4
Ec. Hagen-Poiseuille: Q=
128µL
2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000):
h p gπ 2 D 5 / 8L ⎛ 2 5 ⎞
Ec. Darcy-Weisbach: ⇒ f= =
K ⎜ K = h p gπ D ⎟
Q2 Q2 ⎜ 8L ⎟
⎝ ⎠
4Q 4Q K 4 K
Número de Reynolds: Re = ⇒ Re⋅ f = =
πDν πDν Q πDν
⎛ε 2,51πDν ⎞
Ec. Colebrook: ⇒ Q = −2 K ·log⎜ r +
⎜ 3,7 ⎟
⎟
⎝ 4 K ⎠
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8. Flujo en conductos 8
CASO (3): cálculo del diámetro.
DATOS: tubería: L, ε
fluido: ρ, µ
flujo: Q, hp
CÁLCULO: diámetro: D
vDρ 4Q h p gD 3
RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): Re = = = ... =
µ πDν 32Lυ 2
128µLQ
Ec. Hagen-Poiseuille: D=4
h p ρgπ
2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000):
h p gπ 2 D 5 ⎛ 2 ⎞
Ec. Darcy-Weisbach: ⇒ f= = C·D 5 [Ec.1] ⎜ C = h p gπ ⎟
8LQ 2 ⎜ 8LQ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
1 ε/D 2,51
Ec. Colebrool: ⇒ = −2 log⎜ + ⎟ [Ec.2]
f ⎜ 3,7 4Q ⎟
⎜ f ⎟
⎝ πDν ⎠
En las dos ecuaciones, se tienen como incógnitas f y D, la resolución simultanea
por métodos iterativos da sus valores.
DATOS Dinicial = Q / π … se supone una velocidad de 4 m/s en la iteración inicial
D = Dinicial
D = (fColebrook/C)0,2
Ec. 1: f=C·D5
ε
εr =
D
Ec.2 ⇒ f Colebrook =f(Re,ε r )
4Q
Re =
πDν
SI f − f Colebrook < 10−5 NO
FIN
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
9. Flujo en conductos 9
8.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross.
En una instalación de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberías acopladas en serie, en paralelo
o como una combinación de ambas, que integran una red de tuberías. En las tuberías en serie, el caudal que
circula por ellas es el mismo, y la pérdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puede
considerar como una única tubería cuyo termino resistente es la suma de los términos individuales. Se define
resistencia de una tubería al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la pérdida de carga:
L 8
k=f (8)
D5 π2g
⎛ ⎞
i
hpi = ⎜
h p total = ⎜
⎜ ∑
⎝ i
ki ⎟ Q2
⎟
⎟
⎠
∑ (9)
Para regimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de fricción solo depende de la rugosidad
relativa, y es constante a partir de una determinado valor (alto) del número de Reynodls; con lo que se puede
suponer que la resistencia de la tubería es constante.
Cuando dos o más tuberías se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudales
individuales, pero la pérdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberías. Las ecuaciones que
rigen las tuberías en paralelo son:
Q total = ∑Q
i
i (10)
2
hp = k 1Q1 = k 2Q 2
2 = ... = k i Q i2 (11)
Cuando se tiene una red de tuberías, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cada
una de las tuberías que integran la red. Se establecen los términos de malla y de nudo, para cada malla la suma
de perdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema de
ecuaciones, integrado por la “m” ecuaciones de las mallas y las “n” ecuaciones de los nudos, que es homógeneo
(m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la “t” tuberías que integran la red..
Ecuaciones de las mallas: de la malla “1” a la malla “m” ; para una
determinada malla “i”, se establece un sentido positivo de la malla
tubería 32
(normalmente el destrogiro); el caudal circulante por una tubería “ij” es
tubería 31
positivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo que
se tiene para cada malla “i”: +
malla 3
∑ j
k ij Q ij Q ij = 0
tubería 34
tubería 33
k 31 Q i1 Q 31 + k 32 Q 32 Q 32 + k 33 Q 33 Q 33 + k 34 Q 34 Q 34 = 0
tubería 35 malla 4
Ecuaciones de los nudos: del nudo “1” al nudo “n” ; para un tubería 45
determinado nudo “i”, el caudal que le llega de una determinada
tubería “ij” es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene para malla 3 malla 5
cada nudo “i”: nudo 5
∑ j
Q ij = 0 Q 35 + Q 45 + Q 55 + Q 65 = 0
tubería 55
tubería 65
malla 6
En el método de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, se
calcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteración de cálculo se va
aproximando a la solución. El caudal corrector para una malla “i” viene dado por la ecuación:
∑k ij Q ij Q ij
(∆Q )i =−
j
(12)
2 ∑k
j
ij Q ij
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
10. Flujo en conductos 10
8.3. FLUJO NO ESTACIONARIO.
.
(1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubería conectada a un deposito, desde que la válvula de descarga
se abre, hasta que se alcanza régimen estacionario en todo el conducto.
(2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenómeno del golpe de ariete, en donde el cierre de la
válvula de descarga, provoca oscilaciones de presión, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efecto
de la compresibilidad del fluido.
8.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario.
A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa, entre dos
secciones separadas por un diferencial de longitud:
τw
p ∂p
v(t) p+ dL
∂L
τw
dL
H
L
⎛ ∂p ⎞ dv ∂p ⎛f ⎞ dv
pA − ⎜ p + dL ⎟A − τ w πD ⋅ dL = ρA·dL − dL·A − ⎜ ρv 2 ⎟πD·dL = ρAdL
⎝ ∂L ⎠ dt ∂L ⎝8 ⎠ dt
En donde el gradiente de presión en la dirección del flujo, es constante: ∂p / ∂L = −ρgH / L e ; en donde Le, es
la longitud equivalente, suma de la longitud de la propia tubería y de la longitud adicional provocada por las
singularidades en la entrada y en la salida (Le=L+(D/f)(Σξ)).
La tensión de rozamiento viscoso en la pared, viene dada por el factor de fricción de Darcy, que supondremos
constante: f = 8τ w / ρv 2
ρgH f ρv 2 dv
Obteniendo la ecuación diferencial: − =ρ
Le D 2 dt
gH 2D
Una vez alcanzado el régimen estacionario, si la velocidad es v0, se tiene que: f = 2
Le v0
Le dv L v v +v
La ecuación diferencial del tiempo de establecimiento es: dt = ⇒ t = e 0 ·ln 0
ρgH ⎛ v 2 ⎞ 2gH v0 − v
⎜1 − ⎟
⎜ v2 ⎟
⎝ 0 ⎠
Por el carácter asintótico de la función v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando se
alcanza el 99% de v0; con lo que su valor es:
Lev0 1,99 v 0 L v
t establecimiento = ·ln = 2,646 e 0
2gH 0,01v 0 gH
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
11. Flujo en conductos 11
8.3.2. Golpe de Ariete.
A partir de la figura, cuando la válvula de descarga se cierra instantáneamente, el fluido empieza a
pararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la sección de la válvula (2) en
el instante inicial, hasta la sección de conexión con el deposito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresión2,
que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presión3, viene determinada por la compresibilidad del fluido,
la geometría y la elásticidad de la tubería:
K/ρ
a=
1 + (D / e)(K / E)
∆p=ρgv0 Ec. Allievi
v0 ∆p
(1) (i) (2)
L
Cuando la onda de sobrepresión llega a la sección (1) de conexión con el deposito, todo el fluido de la
tubería esta parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depósito,
sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el deposito secciones de fluido, en dirección al depósito; las
secciones movilizadas del deposito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresión al llegar al depósito a
rebotado una onda de depresión.
Cuando la onda de depresión, llega a la válvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubería en
movimiento hacía el deposito, y sin sobrepresión,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la válvula
al deposito) se van parando y quedando a baja presión. La llegada de la onda de depresión a la válvula, provoca
un rebote de una onda de depresión, que conforme se mueve hacia el depósito, va parando el flujo y dejandolo a
baja presión.
La llegada de la onda de depresión, a la sección (1) del depósito, deja a todo el flujo parado, pero a
depresión; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubería, dejando
sucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presión inicial: la onda de depresión al llegar al depósito rebota
una onda de sobrepresión. Esta situación se prolonga hasta que la onda de sobrepresión, llega a la válvula, y se
vuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presión provocado por el cierre de la válvula.
2
La sobrepresión del cierre instantaneo de la válvula, viene dada por la Ec. de Allievi: ∆p=ρv0a; en donde “v0”es la
velocidad media del fluido antes del cierre, y “a” la velocidad de la onda de sobrepesión. Se deduce a partir del balance de
fuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presión:
∑ dF = ρQ·∆v dp·A = ρv 0 A·[v 0 − (v 0 − a )] dp = ρv 0 a
3
La velocidad de la onda de presión depende del módulo de compresibilidad del líquido circulante, y de las características
elásticas de la tubería: un aumento de presión hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su módulo de
compresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubería, en función de su diámetro, espesor y módulo de
elasticidad o módulo de Young (E), lo que lleva a obtener un módulo de dilatación volumétrica (K’):
V D dp dp K
− dVfluido = dp ; dVtubería = V dp ; K' = V =V = ... =
K eE dV V D DK
dp + V dp 1+
K eE e E
K K
dp K' 1 + (D / e)(K / E ) ρ a0
a= = = = =
dρ ρ ρ 1 + (D / e)(K / E) 1 + (D / e)(K / E )
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
12. Flujo en conductos 12
A este fenómeno de generación de oscilaciones de presión (sobre y depresión), generado por el cierre de
válvulas, se denomina golpe de ariete. Aunque en el análisis anterior, no se han considerado efectos disipativos,
en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones máximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempo
se van amortiguando. La resolución numérica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por el
método de carácterísticas, permite obtener resultados contrastados con los experimentales.
∂p ∂v
Continuidad: + ρa 2 =0
∂t ∂x
∂p f ρv v ∂v
Navier-Stokes en dirección axial: ρg·senα + + +ρ =0
∂x D 2 ∂t
La ecuación de continuidad, se obtiene a partir de considerar el módulo de dilatación volumétrica
fluido- tubería: K’=ρdp/dρ=ρa2, y despreciando la variación convectiva de presión frente a la local
dρ ∂v ρ
+ρ =0 dp
dt ∂x K' ∂v dp ⎛ K ' ⎞ ∂v ∂p ∂v
⇒ +ρ =0 + ⎜ ⎟ρ =0 + ρa 2 =0
ρ dt ∂x dt ⎜ ρ ⎟ ∂x
⎝ ⎠ ∂t ∂x
dρ = dp
K'
En la ecuación de Navier-Stokes en dirección axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidad
de volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubería tiene un ángulo de
inclinación α; y se ha despreciado la aceleración convectiva frente a la local.
Para explicar cualitativamente el fenómeno del golpe de ariete, en el cierre instantáneo de una válvula,
consideremos las siguientes gráficas de la presión en función del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) y
una sección intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubería de longitud L, es L/a; con lo que
el tiempo que tarda la onda de presión generada por el cierre de la válvula será 2L/a. El cierre no es posible que
sea instantáneo, distinguiendo entre cierre rápido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento en
caso contrario. En cierre rápido, cuando la primera onda de presión generada por el cierre de la válvula, retorno
a la válvula, ésta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presión de igual magnitud. En
cierre lento, cuando la primera onda llega en el insante 2L/a, la válvula esta parcialmente abierta, y parte de la
intensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo.
En el cierre rápido, prácticamente se alcanza la sobrepresión de Allievi:
∆p = ρv 0 a .
En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvo la ecuación de la presión máxima, en función del tiempo de
cierre; considerando el cierre de la válvula, sin pérdidas y lineal (%cierre = 100·t/tcierre):
ρLv 0
p máxima = p 0 ⎛1 + 1 ⎛ n 2 + n n 2 + 4 ⎞ ⎞
⎜ 2⎜ ⎟⎟ n=
⎝ ⎝ ⎠⎠ p 0 ·t cierre
Si la ley de cierre de la válvula no es líneal, se puede seguir el método de Bergeron, en donde se
considera el cierre en cierres parciales instantaneos (CP), cada fracción de tiempo 2L/a:
% cierre
CP1
CP2 cierre
CP3 lento
CP4
CP5
cierre lineal
CP6 t
2L/a
tcierre
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
13. Flujo en conductos 13
p(1) L
2a
∆p
p0 t
−∆p
2L
p(i) a
∆p
p0 t
−∆p
p(2)
∆p
p0 t
−∆p
L
t= t=0
2L 2a
t=
2a
3L
t=
2a 4L
t=
5L 2a
t=
6L 2a
t=
2a 7L
t=
2a 8L
t=
2a
sección (i )
DEPÓSITO (1): VÁLVULA (2):
ONDA DE
LA ONDA LA ONDA
SOBREPRESIÓN (+∆p)
REFLEJADA ES REFLEJADA
DE SENTIDO ES DEL
CONTRARIA A ONDA DE MISMO
LA ONDA DEPRESIÓN (-∆p) SENTIDO QUE
INCIDENTE LA ONDA
INCIDENTE
Movimiento de ondas de sobrepresión (+∆p) y de depresión (-∆p), desde su origen en el cierre de la válvula (t=0), hasta la
repetición del ciclo en la propia válvula (t=4L/a).
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
14. Flujo en conductos 14
P 8.1. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosímetro capilar. En flujo laminar en conductos, las
ecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver, y la pérdida de carga viene determinada por la ecuación de
128νL
Hagen-Poiseuille: h p = Q . Una aplicación característica de este resultado, es la determinación de la
gπD4
viscosidad cinemática de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar.
DETERMINE: 1. Viscosidad absoluta en cP.
2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar.
2. Caudal máximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar.
DATOS: Viscosímetro: longitud: L= 2400 mm, diámetro: D = 10 mm
Fluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presión: -∆p = 16 kPa; densidad: ρ = 830 kg/m3
Flujo laminar: Re<2300
Considere tubería horizontal.
∆p
RESOLUCIÓN:
Q Q
L
1. Viscosidad absoluta: de la Ec. de Hagen-Poiseuille, la viscosidad absoluta es: µ=
(ρgh ) πD
p
4
128LQ
⎛ ∆p ⎞
La perdida de carga viene determinada por : h p = − ⎜ ∆z + ⎟ , en donde -∆z es la disminución de cota y -∆p la
⎝ ρg ⎠
perdida de presión. Si la tubería es horizontal (-∆z=0), la pérdida de presión es: −∆p = ρgh p
con lo que la viscosidad es:
( −∆p ) πD4 16000 ⋅ π ⋅ 0,0104
µ= = = 16, 362 ⋅ 10-3 Pa ⋅ s = ... = 16, 362 cP
128LQ 128 ⋅ 2, 4 ⋅ ( 6 ⋅ 10−3 / 60 )
Comprobemos que el número de Reynolds, es menor de 2300, para asegurar que el flujo en el capilar es laminar:
Q
vD πD 2 / 4
D
4Qρ 4 ⋅ ( 6 ⋅ 10−3 / 60 ) 830
Re = = = = = 645, 9
ν µ /ρ πDµ π ⋅ 0, 010 ⋅ (16, 362 ⋅ 10−3 )
2. Potencia disipada: Pµ = Q ⋅ ∆p = ( 6 ⋅ 10−3 / 60 ) ( −16000 ) = -1, 6W
3. Caudal máximo para flujo laminar: la condición es : Re<2300, con lo que se tiene:
4Qρ
Re = < 2300 ⇒
π Dµ
2300 ⋅ πDµ 2300 ⋅ π ⋅ 0,010 ⋅ (16,362 ⋅ 10 )
−3
Q < = = 1, 424 ⋅ 10-3 m 3 / s = ... = 85, 465 litros/minuto
ρ 830
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
15. Flujo en conductos 15
P 8.2. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte. En las
máquinas herramienta, en la zona de corte se debe aportar un aceite. El dispositivo más sencillo, es tener un
depósito superior, del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte; el sistema se
completa con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depósito
superior.
DETERMINE el diámetro que tiene que tener el conducto.
DATOS: Conducto vertical: longitud: L= 350 mm,
Fluido: caudal = 100 cm3/minuto;
viscosidad: µ= 1,9·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 950 kg/m3
RESOLUCIÓN:
Supondremos inicialmente, que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicar la Ec. de Hagen-Poiseuille.
128νL
hp = Q
gπD 4
El flujo se establece exclusivamente por gravedad, con lo que el gradiente de presión es nulo, es decir, en todas
las secciones del flujo, la presión es constante e igual a la atmosférica. Con lo que la perdida de carga, viene
determinada exclusivamente por la disminución de cota desde la sección inicial a la final. En este caso, al ser el
conducto recto y totalmente vertical, la disminución de cota coincide con la propia longitud del conducto, con lo
que la perdida de carga coincide con la longitud del conducto:
⎛ ∆p ⎞
h p = − ⎜ ∆z + ⎟
⎝ ρg ⎠
−∆z = L ⇒ hp = L 1/ 4
⎛ 128νQ ⎞
∆p = 0 ⇒ D= ⎜ ⎟
⎝ gπ ⎠
128νL
hp = Q
gπD 4
⎛ 128 ⋅ (1,9 ⋅ 10-3 / 950 )(100 ⋅ 10−6 / 60 ) ⎞
1/ 4
1/ 4
⎛ 128νQ ⎞
D = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 1, 93 mm
⎝ gπ ⎠ ⎜ 9,8 ⋅ π ⎟
⎝ ⎠
4Q 4 ⋅ (100 ⋅ 10−6 / 60 )
Comprobemos, que el flujo es laminar: Re = = = 549, 8 < 2300
πDν π ⋅ (1, 93 ⋅ 10−3 )(1, 9 ⋅ 10−3 / 950 )
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
16. Flujo en conductos 16
P 8.3. Aplicación de la Ec. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto. El alto caudal, que
circula por un oleoducto, hace que las pérdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento, en donde
la pérdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal. Por lo cual, es necesario localizar subestaciones de
bombeo, entre el pozo de petróleo y el puerto de carga.
DETERMINE: 1. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo.
2. La potencia disipada por viscosidad.
DATOS: Conducto horizontal: diámetro: D = 1200 mm, rugosidad : ε = 0,12 mm
Crudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por día)
(1 barril = 50 galones USA = 189,27 litros)
viscosidad: µ= 5,36·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 860 kg/m3
Perdida de presión: 40 bar
RESOLUCIÓN:
1. Longitud del oleoducto: la perdida de carga viene determinada por la Ec. de D’Arcy-Weisbach:
L 8
h p = f 5 2 Q2
D πg
en donde el factor de fricción o factor de D’Arcy, viene determinado por la Ec. de Colebrook:
1 ⎛ ε 2,51 ⎞
= −2 ⋅ log ⎜ r +
f ⎝ 3,7 Re f ⎟ ⎠
ε 0,12
En el problema: la rugosidad relativa es: εr = = = 0,0001
D 1200
4Q 4 ⋅ 4,381
el número de Reynolds es: Re = = = 745865, 6
πDν π ⋅ 1, 2 ⋅ ( 5,36 ⋅ 10−3 / 860 )
B 1día 0,18927m3
Q = 2 ⋅ 106 = 4,381m3 / s
día 24 ⋅ 3600s 1Barril
con lo de la Ec. de Colebrook se obtiene: f=0,014
El factor de fricción, también se puede obtener a partir del diagrama de Moody:
0,014
7,46·105
En el problema, la pérdida de carga, viene impuesta por la pérdida de presión admisible en el conducto, que al
considerarse horizontal, viene dada por:
−∆p 40 ⋅ 105
hp = = = 474,608m
ρg 860 ⋅ 9,8
h p D5 π 2 g 474,608 ⋅ 1, 25 π2 ⋅ 9,8
Con todo lo anterior, la longitud del conducto será: L = = = 53137, 7 m
8fQ 2
8 ⋅ 0,014 ⋅ 4,3812
2. Potencia disipada por viscosidad: Pµ = ρgh p ⋅ Q = 860 ⋅ 9,8 ⋅ 474,608 ⋅ 4, 381 = 17524 kW
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
17. Flujo en conductos 17
P 8.4. Aplicación de la Ec. de D’Arcy-Weisbach: determinación de diámetro de un conducto. El problema
básico de diseño en flujo en conductos, es la determinación del diámetro del conducto, para unas determinadas
prestaciones. Los datos de partida, son habitualmente, el fluido a transportar, el caudal a mover y la perdida de
carga admisible; en cuanto a la geometría del conducto, se conoce su longitud y su rugosidad, pero no su
diámetro. Si el flujo es laminar, el problema es inmediato ya que de la Ec. de Hagen-Poiseuille, lo único que se
desconoce es el diámetro. En cambio, en flujo turbulento, en la Ec. de D’Arcy-Weisbach, se desconocen tanto
el diámetro como el factor de fricción; por lo que se tiene que utilizar la Ec. de Colebrook, que a su vez también
tiene como únicas incógnitas, el diámetro y el factor de fricción: la explicidad de la Ec. de Colebrook, hace
necesario recurrir a un método iterativo de resolución simultanea de las dos ecuaciones.
Considere, un conducto de alimentación a un sistema de riego por aspersión, en donde a partir de los datos:
DETERMINE el diámetro mínimo del conducto.
DATOS: Conducto horizontal: diámetro: L = 50m, rugosidad : ε = 0,1 mm
Agua: caudal: Q = 1,8 m3/minuto; viscosidad: µ= 10-3 Pa·s; densidad: ρ = 1000 kg/m3
Perdida de presión admisible: 2,34 bar
L 8 2
RESOLUCIÓN: la pérdida de carga viene determinada por la Ec. de D’Arcy-Weisbach: h p = f Q ; de
D5 π 2 g
donde se tiene la relación entre el diámetro y el factor de fricción:
h p π2 g
f = D5 Ec.1
8LQ2
⎛ ε
1 2,51 ⎞
El factor de fricción viene dado por la Ec. de Colebrook: = −2 ⋅ log ⎜ r + ;
f ⎝ 3,7 Re f ⎟ ⎠
en donde εr=ε/D; y Re=4Q/πDν; con lo que se obtiene una segunda relación entre f y D:
⎛ ⎞
1 ⎜ ε/D 2,51 ⎟
= −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ Ec. 2
f ⎜ 3,7 4Q ⎟
⎜ f ⎟
⎝ πDν ⎠
h p π2 g
Para la resolución del sistema, de puede obtener una única ecuación explicita entre f y D; en donde k =
8LQ 2
⎛ ⎞
1 ⎜ ε/ D 2,51 ⎟
= −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ Ec. 3
kD 5
⎜ 3,7 4Q ⎟
⎜ kD5 ⎟
⎝ πDν ⎠
−∆p 2,34 ⋅ 105
En el problema, con los datos : hp = = = 23,878 m ; L = 50 m; Q = 1,8m3/min=0,03m3/s;
ρg 1000 ⋅ 9,8
h p π2 g 23,878 ⋅ π2 ⋅ 9,8
se tiene que la constante de la Ec. 3, es: k= = = 6415, 4 m -5
8LQ 2 8 ⋅ 50 ⋅ 0,032
con lo que se tiene la ecuación:
⎛ ⎞
1 ⎜ 0,1 ⋅ 10−3 / D 2,51 ⎟
= −2 ⋅ log ⎜ + ⎟
6415, 4D 5
⎜ 3,7 4 ⋅ 0,03 ⎟
⎜ 6415, 4D5 ⎟
⎝ πD ⋅ 10−6 ⎠
cuya solución es: D = 80 mm
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
18. Flujo en conductos 18
Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultáneas (1) y (2), es por iteraciones; cuyo diagrama de resolución
es:
DATOS
Dinicial = Q / π
D = Dinicial
D = (fColebrook/k)0,2
Ec. 1: f=k·D5
ε
εr =
D
Ec.2 ⇒ f Colebrook =f(Re,ε r )
4Q
Re =
πDν
f − f Colebrook < 10−5 NO
SI
FIN
En el problema:
1ª ITERACIÓN: D = Q / π = 0,03 / π = 0,098m (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s)
Ec. 1: f = kD5 = 6415,4·0,0985 = 0,057
Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,098·10-6) = 4·105
εr = 0,1·10-3/0,098=0,001
fColebrook = 0,0205
2ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,0205/6415,4)0,2 = 0,080 m
Ec. 1: f = 0,0205
Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105
εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125
fColebrook = 0,021
3ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,021/6415,4)0,2 = 0,080 m
Ec. 1: f = 0,0205
Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105
εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125
fColebrook = 0,021 (CONVERGENCIA) …. D=80 mm
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19. Flujo en conductos 19
P 8.5. Método de Hardy-Cros:. Una caldera de fueloil, dispone de 3 quemadores, que se alimentan desde el
nudo común de un regulador, por la red de tubería de la figura. Se debe asegurar una presión constante en la
entrada de cada quemador, y a la salida del regulador la presión es constante. A partir de los datos:
DETERMINE: el reparto de caudales por la red de tuberías, y la presión de salida del regulador.
DATOS: Quemador: presión mínima de entrada: 200 mbar.
Tuberías: hierro galvanizado: rugosidad absoluta: ε = 0,15 mm
Fueloil: densidad: 900 kg/m3
Qq2=90 L/s
L12=20 m 2 L23=5 m
D12=80 mm D23=60 mm
malla 1
L13=30 m
Q=200 L/s 1 3 Qq3=50 L/s
D13=100 mm
malla 2
L12=25 m L12=3 m
D12=80 mm D12=60 mm
4
Qq4=60 L/s
RESOLUCIÓN: supondremos flujo turbulento completamente desarrollado, con lo que el factor de fricción es
constante en cada tubería, y con ello su resistencia:
1 ⎛ m ⎞ L 8
f= K⎜ 3 ⎟ = f 5 2
4 log (ε r / 3,7 )
2
⎝m /s⎠ D π g
Para cada una de las tuberías, las resistencias Kij son:
1 20 8
Tubería 12: f 12 = = 0,023 K 12 = 0,023 = 11623,06
4 log 2
((0,15 / 80) / 3,7 ) 5
0,080 π 9,82
1 5 8
Tubería 23: f 23 = = 0,025 K 23 = 0,025 = 13229,02
4 log 2
((0,15 / 60) / 3,7 ) 5
0,060 π 9,82
1 3 8
Tubería 34: f 34 = = 0,025 K 34 = 0,025 = 7937,41
4 log 2
((0,15 / 60) / 3,7 ) 5
0,060 π 9,82
1 30 8
Tubería 13: f 13 = = 0,022 K 13 = 0,023 = 5391,20
4 log 2 ((0,15 / 100) / 3,7 ) 0,100 5 π 2 9,8
1 25 8
Tubería 14: f 14 = = 0,023 K 14 = 0,023 = 14528,83
4 log 2
((0,15 / 80) / 3,7 ) 5
0,080 π 9,82
Se hace un reparto inicial de caudales, que cumplan las condiciones de que en cada nudo la suma de caudales sea
nula. Para cada malla, se determina el caudal corrector:
∑k ij Q ij Q ij
(∆Q )i =−
j
2 ∑k
j
ij Q ij
Los calculos de las iteraciones, se resumen en la siguiente tabla. En los cálculos de las columnas de KQ y hp, hay
que poner el caudal en m3/s
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Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
