Flujo en conductos                                                                                              1UNIVERSID...
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8. flujo conductos

  1. 1. Flujo en conductos 1UNIVERSIDAD DE OVIEDOEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón3er curso Ingeniería IndustrialCurso 2005-06Mecánica de Fluidos 8. FLUJO EN CONDUCTOS. Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón diciembre 2005_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  2. 2. Flujo en conductos 28. FLUJO EN CONDUCTOS.8.1. Flujos laminar y turbulento. 8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. 8.1.2. Modelos de turbulencia.8.2. Flujo estacionario, incompresible en conductos. 8.2.1. Pérdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach. 8.2.2. Cálculo de tuberías. 8.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross.8.3. Flujo no estacionario. 8.3.1. Oscilaciones tubo en U. 8.3.2. Establecimiento del flujo. 8.3.3. Golpe de ariete.8.4. Problemas resueltos.8.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO. La solución general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos, actualmente no se tiene.Aunque se dispone de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales (constitución + conservación) con lasmagnitudes del flujo (p, ρ, T, û, u, v, w), solo se tiene la solución analítica para casos muy concretos con fuerteshipótesis restrictivas. No obstante, las técnicas numéricas, están aportando soluciones. La mayor dificultad de la resolución analítica, viene determinada, por que en función de la relaciónentre las fuerzas de inercia y las viscosas, el flujo es totalmente distinto: si predominan las fuerzas viscosas, elmovimiento es ordenado, denominándose flujo laminar; si son predominantes las fuerzas de inercia, el flujo esagitado y fluctuante, denominandose flujo turbulento. La relación entre las fuerzas de inercia y viscosas, es elparámetro adimensional intrínseco en Mecánica de Fluidos, y se denomina número de Reynolds: Re. En flujo laminar, no hay fluctuaciones en los valores de las magnitudes, que solo dependen de lasposición y del tiempo. En cambio, en flujo turbulento, los valores son fluctuantes entorno a un valor medio. Elpaso de un tipo de flujo al otro, no es discreto, hay un flujo de transición, en donde se presentan fluctuacionesesporádicas. Tanto el flujo laminar, como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones de conservación yconstitutición. En flujo laminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtenersoluciones analíticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes delflujo, se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce solución analítica.8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds. Como hemos citado anteriormente, las ecuaciones de conservación y de constitución, forman unconjunto homogéneo. Particularizando para el flujo incompresible, isotrópico e isotermo de un fluidonewtoniano, las magnitudes del flujo son la presión y las tres componentes del vector velocidad; disponientdode 4 ecuaciones diferenciales entre ellas: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes: ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z → → → dv 2 ρ g − ∆p + µ∇ v = ρ dt Tanto en flujo laminar, como en turbulento, vienen descritos, por las ecuaciones anteriores. En flujolaminar, en función de la geometría y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analíticas.En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las cuatro magnitudes del flujo (presióny las tres de la velocidad), se tienen variables estocásticas, para las que actualmente no se conoce soluciónanalítica._________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  3. 3. Flujo en conductos 3 Estas consideraciones, llevaron a Osborne REYNOLDS a considerar a las variables, como suma de unvalor medio y de su correspondiente fluctuación temporal: T u _ u ( t ) = u (T ) + u ( t ) u (T ) = ∫ u(t)·dt 0 u T u t u = componente “x” de la velocidad, en un determinado punto, a lo largo del tiempo. u = fluctuación de la componente x, en un determinado instante. u = valor medio de la componente x, a lo largo de un periodo de promedio >> tiempo característico. _ Análogamente a la componente x de la velocidad: u ( t ) = u (T ) + u ( t ) , se tienen expresiones para las _ _ _otras componentes y para la presión: v( t ) = v(T) + v ( t ) ; w ( t ) = w (T ) + w ( t ) ; p( t ) = p(T ) + p ( t ) Por su propia definición, el valor medio de la fluctuación turbulenta es nulo, definiéndose como unamedida de la turbulencia, su valor cuadrático medio, que se denomina intensidad de turbulencia: T (u ) 2 = ∫ u (t)·u (t)·dt 0 T Para flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes(u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuación, integran un conjunto de 4 ecuacionesque se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes): ∂u ∂ v ∂ w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂p ⎡ ⎛ ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ⎞ ∂ u ·u ∂ u ·v ∂ u ·w ⎤ du ρg x − + ⎢µ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂x ⎢ ⎜ ∂x ⎣ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎦ dt ∂p ⎡ ⎛ ∂ 2 v ∂ 2 v ∂ 2 v ⎞ ∂ v·u ∂ v·v ∂ v·w ⎤ dv ρg y − + ⎢µ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ − ρ −ρ −ρ ⎥=ρ ∂y ⎢ ⎝⎜ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎟ ∂x ∂y ∂z ⎥ dt ⎣ ⎦ ∂p ⎡ ⎛ ∂ 2 w ∂ 2 w ∂ 2 w ⎞ ⎤ ⎟ − ρ ∂ w ·u − ρ ∂ w ·v − ρ ∂ w ·w ⎥ = ρ d w ρg z − + ⎢µ⎜ 2 + + ∂z ⎢ ⎝⎜ ∂x ∂y 2 2 ⎟ ∂z ⎠ ∂x ∂y ∂z ⎥ dt ⎣ ⎦En el término de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos: ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂wEsfuerzos laminares: µ , µ , µ ; µ , µ , µ ; µ , µ , µ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂zEsfuerzos turbulentos o de Reynolds: − ρ(u ·u ), − ρ(v·v), − ρ(w ·w ) − ρ(u ·v), − ρ(u ·w ), − ρ(v·w )Genéricamente las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, son: ⎛ ∂u ∂u ∂u ⎞ ⎜µ − ρ(u ·u ) µ − ρ(u ·v) µ − ρ(u ·w ) ⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ = ⎜ ∂v ∂v ∂v ⎟ T= ⎜ µ − ρ(u ·v) µ − ρ(v·v) µ − ρ(v·w ) ⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂w ∂w ∂w ⎟ ⎜ µ ∂x − ρ(u ·w ) µ ∂y − ρ(v·w ) µ ∂z − ρ(w ·w )⎟ ⎝ ⎠_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  4. 4. Flujo en conductos 48.1.2. Modelos de turbulencia. La determinación de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad pararesolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, delos que citaremos los denominados de “una ecuación” de Boussineq y de Prandtl. Modelos más completos, seestudiaran en la descripción de la capa límite de la lección 9: modelos de “dos ecuaciones”, como los k-epsilón ylos k-omega.a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta, como una propiedaddel flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad: ⎛ ∂u ∂v ⎞ − ρ(u ·v) = τ turbulento ≈ µ t ⎜ + ⎟ esfuerzo turbulentoµt = ⎜ ∂y ∂x ⎟ gradiente de velocidad ⎝ ⎠b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como elrecorrido libre medio de una partícula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partícula; con loque las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: u’≈v’≈L(∂u/∂y); siendo la viscosidad turbulenta : ∂u µ t ≈ ρL2 ∂yVon Karman, estableció la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posición (y) en lacapa límite1, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo tubulento de Reynolds: ∂u ∂u L = κ⋅y µ t ≈ ρL2 = ρ(κy )2 ∂y ∂y ∂u ⎛ ∂u ⎞ ∂u 2 ∂u ⎛ ∂u ⎞ τ turbulento = (τ t )xy = −ρ(u ·v) =≈ µ t = ⎜ ρ(κy )2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ ∂y = ρκ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ⋅ y ∂y ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ⎠ El coeficiente de Karman, κ es una constante universal en flujo turbulento κ = 0,41 Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidadesen flujo turbulento, que viene dado por la ley logaritmica de la capa límite de Millikan: ⎛ 1 (R − r )u * ⎞ u (r ) = u * ⎜ ln + B⎟ ⎜k ν ⎟ ⎝ ⎠en donde u* es la velocidad de fricción, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: τw=ρ(u*)2; k esel coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.1 El concepto de CAPA LÍMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la lección 9 (flujo externo). Básicamente, es lazona del flujo en las proximidades de las paredes sólidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos; distinguiendose tres zonas dedistribución diferenciada de esfuerzos viscosos: en la más proxima a la pared, son predominantes los esfuerzos viscosos (subcapa límitelaminar), en la más alejada de la pared, son predominantes los esfuerzos turbulentos (subcapa limite turbulenta), y entre las dos zonas setienen esfuerzos de ambos tipos._________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  5. 5. Flujo en conductos 58.2. FLUJO ESTACIONARIO, INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS.8.2.1. Pérdida de carga: Ec. de Darcy-Weisbach: se define perdida de carga, como la energíadisipada por unidad de peso; y se obtiene a partir de la tensión de rozamiento en la pared. En una tubería(longitud L, dámetro D), se denominan perdidas lineales: Ep Fµ L (τ w πDL )L L h pl = = = = 4τ w mg mg ⎛ πD 2 ⎞ ρgD ⎜ρ L ⎟g ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠Régimen Laminar (Re<2300): los esfuerzos de rozamiento son exclusivamente viscosos, siendo posible laresolución analítica de Navier-Stokes (flujo estacionario e incompresible) obteniendo una distribución develocidad parabólica: ⎛ r2 ⎞ u (r ) = 2v⎜1 − 2 ⎟ En donde “v” es la velocidad media en cualquier sección del flujo estacionario. ⎜ R ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ du ⎞ − 2R 8µvLa tensión en la pared es: τ w = µ ⎜ ⎟ = µ 2v 2 = ⎝ dr ⎠ r = R R DCon lo que la perdida de carga es proporcional a la velocidad media: (h pl )la min ar = 4τ w ρgD = ... = 32µL v L 2 ρgD 2Expresando, la velocidad media en función del caudal: v=4Q/πD , se obtiene que la perdida de carga en flujolaminar es proporcional al caudal, es la Ec. de Hagen-Poiseuille: (h pl )la min ar = 128µL Q 4 (1) ρgDRégimen Turbulento (Re>4000): los esfuerzos de rozamiento tienen términos viscosos y términos turbulentos,con lo que no es posible la resolución de Navier-Stokes; no obstante, por analisis dimensional, se obtiene elfactor de fricción de Darcy, que adimensionaliza la tensión de rozamiento en la pared: 8·τ w f= ρv 2 L ⎛ fρv 2 ⎞ L L v2La ecuación de la perdida de carga lineal, será: h pl = (4τ w ) =⎜ ⎟ =f ρgD ⎜ 2 ⎟ ρgD ⎝ ⎠ D 2gQue es la ecuación de Darcy-Weisbach, en donde la perdida de carga es proporcional al cuadrado de lavelocidad, o al cuadrado del caudal: L v2 8f L h pl = f = ... = 2 5 Q 2 D 2g gπ D En régimen turbulento el factor de fricción depende, además del número de Re, de la rugosidadrelativa: εr=ε/D; en donde ε es la rugosidad de la tubería, que representa las alturas promedio de lasirregularidades de la superficie interior de la tubería. Según pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esadependencia está determinada por la relación entre la rugosidad y el espesor de la subcapa límite laminar, que esla zona de la capa límite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubería y los esfuerzos sonexclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa límite laminar, latubería puede considerarse lisa y el factor de fricción sólo depende del número de Reynolds, según la expresiónempírica que obtuvo Prandlt, a parir del a ley logarítmica de velocidad en la capa límite: 1 ⎛ 2,51 ⎞ Tubería lisa: = −2 log⎜ ⎜ ⎟ ⎟ f ⎝ Re f ⎠_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  6. 6. Flujo en conductos 6 Para números de Reynolds grandes (régimen turbulento completamente desarrollado) la importanciade la subcapa límite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de fricción pasa a depender sólo de 1 ⎛ε ⎞la rugosidad relativa (von Karman, 1938): = −2 log⎜ r ⎟ ⎜ ⎟ f ⎝ 3,7 ⎠ Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron unaúnica expresión para el factor de fricción que puede aplicarse en todo el régimen turbulento: 1 ⎛ε 2,51 ⎞ = −2 log⎜ r + ⎜ 3,7 ⎟ ⎟ f ⎝ Re f ⎠ Esta ecuación tiene el inconveniente de que el factor de fricción aparece en forma explicita, y deberecurrirse al calculo numérico para su resolución. No obstante, en un principio sin la herramienta del calculonumérico, Moody desarrolló un diagrama que lleva su nombre, a partir de la ecuación de Colebrook, en donde semuestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se determina el factor de fricción a partir dela intersección de la vertical del número de Reynolds, con la isocurva correspondiente. 1 ⎡⎛ ε ⎞1,11 6,9 ⎤ Una solución alternativa, es la ecuación de Haaland: ≅ −1,8 log ⎢⎜ r ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ f ⎢⎝ 3,7 ⎠ ⎣ Re ⎥ ⎦ En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logaritmica, el factor de fricción vs el númerode Reynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa. El flujo laminar Re<2000) viene representado por una recta de pendiente negativa, ya que el factor de 8·τ w 8·(8µv / D ) 64 64Darcy, correspondiente sería: f = = = = , con lo que: log(f) = log 64-log(Re) ρv 2 ρv 2 vDρ / µ Re El flujo turbulento, se divide en tres zonas, en función del número de Reynolds: 2000>Re>4000: zona crítica de paso de flujo laminar a turbulento 4000>Re y f=f(εr,Re): zona de transición con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds 10000>Re y f=f(εr): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  7. 7. Flujo en conductos 78.2.2. Cálculo de tuberías:CASO (1): cálculo de la pérdida de carga.DATOS: tubería: D, L, ε fluido: ρ, µ flujo: QCÁLCULO: perdida de carga: hp vDρ 4QRESOLUCIÓN: 1. número de Reynolds: Re = = µ πDν 128 µ L 2. para FLUJO LAMINAR (Re<2000): h pl la min ar = Q ρ g π D4 3. para FLUJO TURBULENTO (Re>4000): 1 ⎛ε 2,51 ⎞ f = f (Re, εr) : Ec. Colebrook: = −2 log⎜ r + ⎜ 3,7 ⎟ ⎟ f ⎝ Re f ⎠ L v2 8f L 2 Ec. Darcy-Weisbach: h pl = f = ... = Q D 2g gπ 2 D 5CASO (2): cálculo del caudal.DATOS: tubería: D, L, ε fluido: ρ, µ flujo: hpCÁLCULO: caudal: Q vDρ 4Q h p gD 3RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): Re = = = ... = µ πDν 32Lυ 2 h p ρgπD 4 Ec. Hagen-Poiseuille: Q= 128µL 2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000): h p gπ 2 D 5 / 8L ⎛ 2 5 ⎞ Ec. Darcy-Weisbach: ⇒ f= = K ⎜ K = h p gπ D ⎟ Q2 Q2 ⎜ 8L ⎟ ⎝ ⎠ 4Q 4Q K 4 K Número de Reynolds: Re = ⇒ Re⋅ f = = πDν πDν Q πDν ⎛ε 2,51πDν ⎞ Ec. Colebrook: ⇒ Q = −2 K ·log⎜ r + ⎜ 3,7 ⎟ ⎟ ⎝ 4 K ⎠_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  8. 8. Flujo en conductos 8CASO (3): cálculo del diámetro.DATOS: tubería: L, ε fluido: ρ, µ flujo: Q, hpCÁLCULO: diámetro: D vDρ 4Q h p gD 3RESOLUCIÓN: 1. FLUJO LAMINAR (Re<2000): Re = = = ... = µ πDν 32Lυ 2 128µLQ Ec. Hagen-Poiseuille: D=4 h p ρgπ 2. FLUJO TURBULENTO (RE>4000): h p gπ 2 D 5 ⎛ 2 ⎞ Ec. Darcy-Weisbach: ⇒ f= = C·D 5 [Ec.1] ⎜ C = h p gπ ⎟ 8LQ 2 ⎜ 8LQ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ε/D 2,51 Ec. Colebrool: ⇒ = −2 log⎜ + ⎟ [Ec.2] f ⎜ 3,7 4Q ⎟ ⎜ f ⎟ ⎝ πDν ⎠ En las dos ecuaciones, se tienen como incógnitas f y D, la resolución simultanea por métodos iterativos da sus valores. DATOS Dinicial = Q / π … se supone una velocidad de 4 m/s en la iteración inicial D = Dinicial D = (fColebrook/C)0,2 Ec. 1: f=C·D5 ε εr = D Ec.2 ⇒ f Colebrook =f(Re,ε r ) 4Q Re = πDν SI f − f Colebrook < 10−5 NO FIN_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  9. 9. Flujo en conductos 98.2.3. Redes de tuberías: método de Hardy-Cross. En una instalación de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberías acopladas en serie, en paraleloo como una combinación de ambas, que integran una red de tuberías. En las tuberías en serie, el caudal quecircula por ellas es el mismo, y la pérdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puedeconsiderar como una única tubería cuyo termino resistente es la suma de los términos individuales. Se defineresistencia de una tubería al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la pérdida de carga: L 8 k=f (8) D5 π2g ⎛ ⎞ i hpi = ⎜ h p total = ⎜ ⎜ ∑ ⎝ i ki ⎟ Q2 ⎟ ⎟ ⎠ ∑ (9) Para regimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de fricción solo depende de la rugosidadrelativa, y es constante a partir de una determinado valor (alto) del número de Reynodls; con lo que se puedesuponer que la resistencia de la tubería es constante. Cuando dos o más tuberías se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudalesindividuales, pero la pérdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberías. Las ecuaciones querigen las tuberías en paralelo son: Q total = ∑Q i i (10) 2 hp = k 1Q1 = k 2Q 2 2 = ... = k i Q i2 (11) Cuando se tiene una red de tuberías, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cadauna de las tuberías que integran la red. Se establecen los términos de malla y de nudo, para cada malla la sumade perdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema deecuaciones, integrado por la “m” ecuaciones de las mallas y las “n” ecuaciones de los nudos, que es homógeneo(m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la “t” tuberías que integran la red..Ecuaciones de las mallas: de la malla “1” a la malla “m” ; para unadeterminada malla “i”, se establece un sentido positivo de la malla tubería 32(normalmente el destrogiro); el caudal circulante por una tubería “ij” es tubería 31positivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo quese tiene para cada malla “i”: + malla 3 ∑ j k ij Q ij Q ij = 0 tubería 34 tubería 33 k 31 Q i1 Q 31 + k 32 Q 32 Q 32 + k 33 Q 33 Q 33 + k 34 Q 34 Q 34 = 0 tubería 35 malla 4Ecuaciones de los nudos: del nudo “1” al nudo “n” ; para un tubería 45determinado nudo “i”, el caudal que le llega de una determinadatubería “ij” es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene para malla 3 malla 5cada nudo “i”: nudo 5 ∑ j Q ij = 0 Q 35 + Q 45 + Q 55 + Q 65 = 0 tubería 55 tubería 65 malla 6 En el método de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, secalcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteración de cálculo se vaaproximando a la solución. El caudal corrector para una malla “i” viene dado por la ecuación: ∑k ij Q ij Q ij (∆Q )i =− j (12) 2 ∑k j ij Q ij_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  10. 10. Flujo en conductos 108.3. FLUJO NO ESTACIONARIO..(1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubería conectada a un deposito, desde que la válvula de descargase abre, hasta que se alcanza régimen estacionario en todo el conducto.(2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenómeno del golpe de ariete, en donde el cierre de laválvula de descarga, provoca oscilaciones de presión, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efectode la compresibilidad del fluido.8.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario. A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa, entre dossecciones separadas por un diferencial de longitud: τw p ∂p v(t) p+ dL ∂L τw dL H L ⎛ ∂p ⎞ dv ∂p ⎛f ⎞ dvpA − ⎜ p + dL ⎟A − τ w πD ⋅ dL = ρA·dL − dL·A − ⎜ ρv 2 ⎟πD·dL = ρAdL ⎝ ∂L ⎠ dt ∂L ⎝8 ⎠ dtEn donde el gradiente de presión en la dirección del flujo, es constante: ∂p / ∂L = −ρgH / L e ; en donde Le, esla longitud equivalente, suma de la longitud de la propia tubería y de la longitud adicional provocada por lassingularidades en la entrada y en la salida (Le=L+(D/f)(Σξ)).La tensión de rozamiento viscoso en la pared, viene dada por el factor de fricción de Darcy, que supondremosconstante: f = 8τ w / ρv 2 ρgH f ρv 2 dvObteniendo la ecuación diferencial: − =ρ Le D 2 dt gH 2DUna vez alcanzado el régimen estacionario, si la velocidad es v0, se tiene que: f = 2 Le v0 Le dv L v v +vLa ecuación diferencial del tiempo de establecimiento es: dt = ⇒ t = e 0 ·ln 0 ρgH ⎛ v 2 ⎞ 2gH v0 − v ⎜1 − ⎟ ⎜ v2 ⎟ ⎝ 0 ⎠Por el carácter asintótico de la función v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando sealcanza el 99% de v0; con lo que su valor es: Lev0 1,99 v 0 L v t establecimiento = ·ln = 2,646 e 0 2gH 0,01v 0 gH_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  11. 11. Flujo en conductos 118.3.2. Golpe de Ariete. A partir de la figura, cuando la válvula de descarga se cierra instantáneamente, el fluido empieza apararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la sección de la válvula (2) enel instante inicial, hasta la sección de conexión con el deposito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresión2,que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presión3, viene determinada por la compresibilidad del fluido,la geometría y la elásticidad de la tubería: K/ρ a= 1 + (D / e)(K / E) ∆p=ρgv0 Ec. Allievi v0 ∆p (1) (i) (2) L Cuando la onda de sobrepresión llega a la sección (1) de conexión con el deposito, todo el fluido de latubería esta parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depósito,sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el deposito secciones de fluido, en dirección al depósito; lassecciones movilizadas del deposito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresión al llegar al depósito arebotado una onda de depresión. Cuando la onda de depresión, llega a la válvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubería enmovimiento hacía el deposito, y sin sobrepresión,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la válvulaal deposito) se van parando y quedando a baja presión. La llegada de la onda de depresión a la válvula, provocaun rebote de una onda de depresión, que conforme se mueve hacia el depósito, va parando el flujo y dejandolo abaja presión. La llegada de la onda de depresión, a la sección (1) del depósito, deja a todo el flujo parado, pero adepresión; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubería, dejandosucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presión inicial: la onda de depresión al llegar al depósito rebotauna onda de sobrepresión. Esta situación se prolonga hasta que la onda de sobrepresión, llega a la válvula, y sevuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presión provocado por el cierre de la válvula.2 La sobrepresión del cierre instantaneo de la válvula, viene dada por la Ec. de Allievi: ∆p=ρv0a; en donde “v0”es lavelocidad media del fluido antes del cierre, y “a” la velocidad de la onda de sobrepesión. Se deduce a partir del balance defuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presión: ∑ dF = ρQ·∆v dp·A = ρv 0 A·[v 0 − (v 0 − a )] dp = ρv 0 a3 La velocidad de la onda de presión depende del módulo de compresibilidad del líquido circulante, y de las característicaselásticas de la tubería: un aumento de presión hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su módulo decompresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubería, en función de su diámetro, espesor y módulo deelasticidad o módulo de Young (E), lo que lleva a obtener un módulo de dilatación volumétrica (K’): V D dp dp K − dVfluido = dp ; dVtubería = V dp ; K = V =V = ... = K eE dV V D DK dp + V dp 1+ K eE e E K K dp K 1 + (D / e)(K / E ) ρ a0 a= = = = = dρ ρ ρ 1 + (D / e)(K / E) 1 + (D / e)(K / E )_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  12. 12. Flujo en conductos 12 A este fenómeno de generación de oscilaciones de presión (sobre y depresión), generado por el cierre deválvulas, se denomina golpe de ariete. Aunque en el análisis anterior, no se han considerado efectos disipativos,en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones máximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempose van amortiguando. La resolución numérica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por elmétodo de carácterísticas, permite obtener resultados contrastados con los experimentales. ∂p ∂v Continuidad: + ρa 2 =0 ∂t ∂x ∂p f ρv v ∂v Navier-Stokes en dirección axial: ρg·senα + + +ρ =0 ∂x D 2 ∂t La ecuación de continuidad, se obtiene a partir de considerar el módulo de dilatación volumétricafluido- tubería: K’=ρdp/dρ=ρa2, y despreciando la variación convectiva de presión frente a la local dρ ∂v ρ +ρ =0 dp dt ∂x K ∂v dp ⎛ K ⎞ ∂v ∂p ∂v ⇒ +ρ =0 + ⎜ ⎟ρ =0 + ρa 2 =0 ρ dt ∂x dt ⎜ ρ ⎟ ∂x ⎝ ⎠ ∂t ∂x dρ = dp K En la ecuación de Navier-Stokes en dirección axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidadde volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubería tiene un ángulo deinclinación α; y se ha despreciado la aceleración convectiva frente a la local. Para explicar cualitativamente el fenómeno del golpe de ariete, en el cierre instantáneo de una válvula,consideremos las siguientes gráficas de la presión en función del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) yuna sección intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubería de longitud L, es L/a; con lo queel tiempo que tarda la onda de presión generada por el cierre de la válvula será 2L/a. El cierre no es posible quesea instantáneo, distinguiendo entre cierre rápido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento encaso contrario. En cierre rápido, cuando la primera onda de presión generada por el cierre de la válvula, retornoa la válvula, ésta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presión de igual magnitud. Encierre lento, cuando la primera onda llega en el insante 2L/a, la válvula esta parcialmente abierta, y parte de laintensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo. En el cierre rápido, prácticamente se alcanza la sobrepresión de Allievi: ∆p = ρv 0 a . En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvo la ecuación de la presión máxima, en función del tiempo decierre; considerando el cierre de la válvula, sin pérdidas y lineal (%cierre = 100·t/tcierre): ρLv 0 p máxima = p 0 ⎛1 + 1 ⎛ n 2 + n n 2 + 4 ⎞ ⎞ ⎜ 2⎜ ⎟⎟ n= ⎝ ⎝ ⎠⎠ p 0 ·t cierre Si la ley de cierre de la válvula no es líneal, se puede seguir el método de Bergeron, en donde seconsidera el cierre en cierres parciales instantaneos (CP), cada fracción de tiempo 2L/a: % cierre CP1 CP2 cierre CP3 lento CP4 CP5 cierre lineal CP6 t 2L/a tcierre_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  13. 13. Flujo en conductos 13 p(1) L 2a ∆p p0 t −∆p 2L p(i) a ∆p p0 t −∆p p(2) ∆p p0 t −∆p L t= t=0 2L 2a t= 2a 3L t= 2a 4L t= 5L 2a t= 6L 2a t= 2a 7L t= 2a 8L t= 2a sección (i ) DEPÓSITO (1): VÁLVULA (2): ONDA DE LA ONDA LA ONDA SOBREPRESIÓN (+∆p) REFLEJADA ES REFLEJADA DE SENTIDO ES DEL CONTRARIA A ONDA DE MISMO LA ONDA DEPRESIÓN (-∆p) SENTIDO QUE INCIDENTE LA ONDA INCIDENTE Movimiento de ondas de sobrepresión (+∆p) y de depresión (-∆p), desde su origen en el cierre de la válvula (t=0), hasta la repetición del ciclo en la propia válvula (t=4L/a)._________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  14. 14. Flujo en conductos 14P 8.1. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosímetro capilar. En flujo laminar en conductos, lasecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver, y la pérdida de carga viene determinada por la ecuación de 128νLHagen-Poiseuille: h p = Q . Una aplicación característica de este resultado, es la determinación de la gπD4viscosidad cinemática de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar.DETERMINE: 1. Viscosidad absoluta en cP. 2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar. 2. Caudal máximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar.DATOS: Viscosímetro: longitud: L= 2400 mm, diámetro: D = 10 mm Fluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presión: -∆p = 16 kPa; densidad: ρ = 830 kg/m3 Flujo laminar: Re<2300 Considere tubería horizontal. ∆pRESOLUCIÓN: Q Q L1. Viscosidad absoluta: de la Ec. de Hagen-Poiseuille, la viscosidad absoluta es: µ= (ρgh ) πD p 4 128LQ ⎛ ∆p ⎞La perdida de carga viene determinada por : h p = − ⎜ ∆z + ⎟ , en donde -∆z es la disminución de cota y -∆p la ⎝ ρg ⎠perdida de presión. Si la tubería es horizontal (-∆z=0), la pérdida de presión es: −∆p = ρgh pcon lo que la viscosidad es: ( −∆p ) πD4 16000 ⋅ π ⋅ 0,0104 µ= = = 16, 362 ⋅ 10-3 Pa ⋅ s = ... = 16, 362 cP 128LQ 128 ⋅ 2, 4 ⋅ ( 6 ⋅ 10−3 / 60 )Comprobemos que el número de Reynolds, es menor de 2300, para asegurar que el flujo en el capilar es laminar: Q vD πD 2 / 4 D 4Qρ 4 ⋅ ( 6 ⋅ 10−3 / 60 ) 830 Re = = = = = 645, 9 ν µ /ρ πDµ π ⋅ 0, 010 ⋅ (16, 362 ⋅ 10−3 )2. Potencia disipada: Pµ = Q ⋅ ∆p = ( 6 ⋅ 10−3 / 60 ) ( −16000 ) = -1, 6W3. Caudal máximo para flujo laminar: la condición es : Re<2300, con lo que se tiene: 4Qρ Re = < 2300 ⇒ π Dµ 2300 ⋅ πDµ 2300 ⋅ π ⋅ 0,010 ⋅ (16,362 ⋅ 10 ) −3 Q < = = 1, 424 ⋅ 10-3 m 3 / s = ... = 85, 465 litros/minuto ρ 830_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  15. 15. Flujo en conductos 15P 8.2. Aplicación de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte. En lasmáquinas herramienta, en la zona de corte se debe aportar un aceite. El dispositivo más sencillo, es tener undepósito superior, del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte; el sistema secompleta con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depósitosuperior.DETERMINE el diámetro que tiene que tener el conducto.DATOS: Conducto vertical: longitud: L= 350 mm, Fluido: caudal = 100 cm3/minuto; viscosidad: µ= 1,9·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 950 kg/m3RESOLUCIÓN:Supondremos inicialmente, que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicar la Ec. de Hagen-Poiseuille. 128νLhp = Q gπD 4El flujo se establece exclusivamente por gravedad, con lo que el gradiente de presión es nulo, es decir, en todaslas secciones del flujo, la presión es constante e igual a la atmosférica. Con lo que la perdida de carga, vienedeterminada exclusivamente por la disminución de cota desde la sección inicial a la final. En este caso, al ser elconducto recto y totalmente vertical, la disminución de cota coincide con la propia longitud del conducto, con loque la perdida de carga coincide con la longitud del conducto: ⎛ ∆p ⎞ h p = − ⎜ ∆z + ⎟ ⎝ ρg ⎠ −∆z = L ⇒ hp = L 1/ 4 ⎛ 128νQ ⎞ ∆p = 0 ⇒ D= ⎜ ⎟ ⎝ gπ ⎠ 128νL hp = Q gπD 4 ⎛ 128 ⋅ (1,9 ⋅ 10-3 / 950 )(100 ⋅ 10−6 / 60 ) ⎞ 1/ 4 1/ 4 ⎛ 128νQ ⎞ D = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = 1, 93 mm ⎝ gπ ⎠ ⎜ 9,8 ⋅ π ⎟ ⎝ ⎠ 4Q 4 ⋅ (100 ⋅ 10−6 / 60 )Comprobemos, que el flujo es laminar: Re = = = 549, 8 < 2300 πDν π ⋅ (1, 93 ⋅ 10−3 )(1, 9 ⋅ 10−3 / 950 )_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  16. 16. Flujo en conductos 16P 8.3. Aplicación de la Ec. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto. El alto caudal, quecircula por un oleoducto, hace que las pérdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento, en dondela pérdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal. Por lo cual, es necesario localizar subestaciones debombeo, entre el pozo de petróleo y el puerto de carga.DETERMINE: 1. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo. 2. La potencia disipada por viscosidad.DATOS: Conducto horizontal: diámetro: D = 1200 mm, rugosidad : ε = 0,12 mm Crudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por día) (1 barril = 50 galones USA = 189,27 litros) viscosidad: µ= 5,36·10-3 Pa·s; densidad: ρ = 860 kg/m3 Perdida de presión: 40 barRESOLUCIÓN:1. Longitud del oleoducto: la perdida de carga viene determinada por la Ec. de D’Arcy-Weisbach: L 8 h p = f 5 2 Q2 D πgen donde el factor de fricción o factor de D’Arcy, viene determinado por la Ec. de Colebrook: 1 ⎛ ε 2,51 ⎞ = −2 ⋅ log ⎜ r + f ⎝ 3,7 Re f ⎟ ⎠ ε 0,12En el problema: la rugosidad relativa es: εr = = = 0,0001 D 1200 4Q 4 ⋅ 4,381 el número de Reynolds es: Re = = = 745865, 6 πDν π ⋅ 1, 2 ⋅ ( 5,36 ⋅ 10−3 / 860 ) B 1día 0,18927m3 Q = 2 ⋅ 106 = 4,381m3 / s día 24 ⋅ 3600s 1Barrilcon lo de la Ec. de Colebrook se obtiene: f=0,014El factor de fricción, también se puede obtener a partir del diagrama de Moody: 0,014 7,46·105En el problema, la pérdida de carga, viene impuesta por la pérdida de presión admisible en el conducto, que alconsiderarse horizontal, viene dada por: −∆p 40 ⋅ 105 hp = = = 474,608m ρg 860 ⋅ 9,8 h p D5 π 2 g 474,608 ⋅ 1, 25 π2 ⋅ 9,8Con todo lo anterior, la longitud del conducto será: L = = = 53137, 7 m 8fQ 2 8 ⋅ 0,014 ⋅ 4,38122. Potencia disipada por viscosidad: Pµ = ρgh p ⋅ Q = 860 ⋅ 9,8 ⋅ 474,608 ⋅ 4, 381 = 17524 kW_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  17. 17. Flujo en conductos 17P 8.4. Aplicación de la Ec. de D’Arcy-Weisbach: determinación de diámetro de un conducto. El problemabásico de diseño en flujo en conductos, es la determinación del diámetro del conducto, para unas determinadasprestaciones. Los datos de partida, son habitualmente, el fluido a transportar, el caudal a mover y la perdida decarga admisible; en cuanto a la geometría del conducto, se conoce su longitud y su rugosidad, pero no sudiámetro. Si el flujo es laminar, el problema es inmediato ya que de la Ec. de Hagen-Poiseuille, lo único que sedesconoce es el diámetro. En cambio, en flujo turbulento, en la Ec. de D’Arcy-Weisbach, se desconocen tantoel diámetro como el factor de fricción; por lo que se tiene que utilizar la Ec. de Colebrook, que a su vez tambiéntiene como únicas incógnitas, el diámetro y el factor de fricción: la explicidad de la Ec. de Colebrook, hacenecesario recurrir a un método iterativo de resolución simultanea de las dos ecuaciones.Considere, un conducto de alimentación a un sistema de riego por aspersión, en donde a partir de los datos:DETERMINE el diámetro mínimo del conducto.DATOS: Conducto horizontal: diámetro: L = 50m, rugosidad : ε = 0,1 mm Agua: caudal: Q = 1,8 m3/minuto; viscosidad: µ= 10-3 Pa·s; densidad: ρ = 1000 kg/m3 Perdida de presión admisible: 2,34 bar L 8 2RESOLUCIÓN: la pérdida de carga viene determinada por la Ec. de D’Arcy-Weisbach: h p = f Q ; de D5 π 2 gdonde se tiene la relación entre el diámetro y el factor de fricción: h p π2 g f = D5 Ec.1 8LQ2 ⎛ ε 1 2,51 ⎞El factor de fricción viene dado por la Ec. de Colebrook: = −2 ⋅ log ⎜ r + ; f ⎝ 3,7 Re f ⎟ ⎠en donde εr=ε/D; y Re=4Q/πDν; con lo que se obtiene una segunda relación entre f y D: ⎛ ⎞ 1 ⎜ ε/D 2,51 ⎟ = −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ Ec. 2 f ⎜ 3,7 4Q ⎟ ⎜ f ⎟ ⎝ πDν ⎠ h p π2 gPara la resolución del sistema, de puede obtener una única ecuación explicita entre f y D; en donde k = 8LQ 2 ⎛ ⎞ 1 ⎜ ε/ D 2,51 ⎟ = −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ Ec. 3 kD 5 ⎜ 3,7 4Q ⎟ ⎜ kD5 ⎟ ⎝ πDν ⎠ −∆p 2,34 ⋅ 105En el problema, con los datos : hp = = = 23,878 m ; L = 50 m; Q = 1,8m3/min=0,03m3/s; ρg 1000 ⋅ 9,8 h p π2 g 23,878 ⋅ π2 ⋅ 9,8se tiene que la constante de la Ec. 3, es: k= = = 6415, 4 m -5 8LQ 2 8 ⋅ 50 ⋅ 0,032con lo que se tiene la ecuación: ⎛ ⎞ 1 ⎜ 0,1 ⋅ 10−3 / D 2,51 ⎟ = −2 ⋅ log ⎜ + ⎟ 6415, 4D 5 ⎜ 3,7 4 ⋅ 0,03 ⎟ ⎜ 6415, 4D5 ⎟ ⎝ πD ⋅ 10−6 ⎠cuya solución es: D = 80 mm_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  18. 18. Flujo en conductos 18Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultáneas (1) y (2), es por iteraciones; cuyo diagrama de resoluciónes: DATOS Dinicial = Q / π D = Dinicial D = (fColebrook/k)0,2 Ec. 1: f=k·D5 ε εr = D Ec.2 ⇒ f Colebrook =f(Re,ε r ) 4Q Re = πDν f − f Colebrook < 10−5 NO SI FIN En el problema:1ª ITERACIÓN: D = Q / π = 0,03 / π = 0,098m (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s) Ec. 1: f = kD5 = 6415,4·0,0985 = 0,057 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,098·10-6) = 4·105 εr = 0,1·10-3/0,098=0,001 fColebrook = 0,02052ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,0205/6415,4)0,2 = 0,080 m Ec. 1: f = 0,0205 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105 εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125 fColebrook = 0,0213ª ITERACIÓN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,021/6415,4)0,2 = 0,080 m Ec. 1: f = 0,0205 Ec. 2: Re = (4·0,03/π·0,080·10-6) = 4,78·105 εr = 0,1·10-3/0,080=0,00125 fColebrook = 0,021 (CONVERGENCIA) …. D=80 mm_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  19. 19. Flujo en conductos 19P 8.5. Método de Hardy-Cros:. Una caldera de fueloil, dispone de 3 quemadores, que se alimentan desde elnudo común de un regulador, por la red de tubería de la figura. Se debe asegurar una presión constante en laentrada de cada quemador, y a la salida del regulador la presión es constante. A partir de los datos:DETERMINE: el reparto de caudales por la red de tuberías, y la presión de salida del regulador.DATOS: Quemador: presión mínima de entrada: 200 mbar. Tuberías: hierro galvanizado: rugosidad absoluta: ε = 0,15 mm Fueloil: densidad: 900 kg/m3 Qq2=90 L/s L12=20 m 2 L23=5 m D12=80 mm D23=60 mm malla 1 L13=30 m Q=200 L/s 1 3 Qq3=50 L/s D13=100 mm malla 2 L12=25 m L12=3 m D12=80 mm D12=60 mm 4 Qq4=60 L/sRESOLUCIÓN: supondremos flujo turbulento completamente desarrollado, con lo que el factor de fricción esconstante en cada tubería, y con ello su resistencia: 1 ⎛ m ⎞ L 8 f= K⎜ 3 ⎟ = f 5 2 4 log (ε r / 3,7 ) 2 ⎝m /s⎠ D π gPara cada una de las tuberías, las resistencias Kij son: 1 20 8Tubería 12: f 12 = = 0,023 K 12 = 0,023 = 11623,06 4 log 2 ((0,15 / 80) / 3,7 ) 5 0,080 π 9,82 1 5 8Tubería 23: f 23 = = 0,025 K 23 = 0,025 = 13229,02 4 log 2 ((0,15 / 60) / 3,7 ) 5 0,060 π 9,82 1 3 8Tubería 34: f 34 = = 0,025 K 34 = 0,025 = 7937,41 4 log 2 ((0,15 / 60) / 3,7 ) 5 0,060 π 9,82 1 30 8Tubería 13: f 13 = = 0,022 K 13 = 0,023 = 5391,20 4 log 2 ((0,15 / 100) / 3,7 ) 0,100 5 π 2 9,8 1 25 8Tubería 14: f 14 = = 0,023 K 14 = 0,023 = 14528,83 4 log 2 ((0,15 / 80) / 3,7 ) 5 0,080 π 9,82Se hace un reparto inicial de caudales, que cumplan las condiciones de que en cada nudo la suma de caudales seanula. Para cada malla, se determina el caudal corrector: ∑k ij Q ij Q ij (∆Q )i =− j 2 ∑k j ij Q ijLos calculos de las iteraciones, se resumen en la siguiente tabla. En los cálculos de las columnas de KQ y hp, hayque poner el caudal en m3/s_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05
  20. 20. Flujo en conductos 20 iteración malla tubería K (S.I.) Q (L/s) K|Q| hp = KQ|Q| ∆Q L/s) 12 11626,06 +70 813,82 56,97 malla 1 23 13229,02 -20 264,58 -5,29 13 5391,20 -40 215,65 -8,626 Σ =1294,05 Σ=+43,054 -16,64 1 13 5391,20 +56,64 305,36 17,30 malla 2 34 7931,41 -30 237,94 -7,14 14 14528,83 -90 1307,60 -117,68 Σ =1294,05 Σ=-107,53 41,55 12 11626,06 +53,36 620,37 33,10 malla 1 23 13229,02 -36,64 484,71 -17,76 13 5391,20 -98,19 529,36 -51,98 Σ =1634,44 Σ=-36,64 11,2 2 13 5391,20 86,99 468,98 40,80 malla 2 34 7931,41 11,55 91,61 1,06 14 14528,83 -48,55 705,38 -34,25 Σ =1265,97 Σ=7,61 -3,0 12 11626,06 64,56 750,58 48,46 malla 1 23 13229,02 -25,44 336,55 -8,56 13 5391,20 -83,99 452,807 -38,03 Σ =1539,94 Σ=1,87 -0,61 3 13 5391,20 84,60 456,10 38,59 malla 2 34 7931,41 8,55 67,81 0,58 14 14528,83 -51,45 747,51 -38,46 Σ =1271,42 Σ=0,71 -0,28 12 11626,06 63,95 743,49 47,55 malla 1 23 13229,02 -26,05 344,62 -8,98 13 5391,20 -84,32 455,586 -38,42 Σ =1542,67 Σ=-0,15 +0,05 4 13 5391,20 84,27 455,32 38,37 malla 2 34 7931,41 8,27 65,59 0,54 14 14528,83 -51,73 751,58 -38,88 Σ =1272,49 Σ=0,03 -0,01 Qq2=90 L/sREPARTO FINAL DE CAUDALES: 2 Q23 = 26,00 L/s Q12 = 64,00 L/s Q13 = 84,26 L/s Q=200 L/s 1 3 Qq3=50 L/s Q34 = 8,26 L/s Q14 = 51,74 L/s 4 Qq4=60 L/sLa PERDIDA DE CARGA MÁXIMA se da en la tubería 12, y es de 47,55 metros, con lo que la presiónmanométrica mínima a la salida del regulador debe ser:pregulador = ρghp + pquemador = 900·9,8·47,55*10-5+0,200 = 4,394 bar_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecánica de Fluidos JMC 05

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