• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Matrix (Alin 1.3 1.5, 1.7)
 

Matrix (Alin 1.3 1.5, 1.7)

on

  • 842 views

 

Statistics

Views

Total Views
842
Views on SlideShare
842
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
18
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Matrix (Alin 1.3 1.5, 1.7) Matrix (Alin 1.3 1.5, 1.7) Presentation Transcript

    •   Chapter 1  1.1. Systems of Linear Equation 1.2. Gaussian Elimination 1.3. Matrices and Matrix Operations 1.4. Inverses, Rules of Matrix Arithmetic 1.5. Elementary Matrices and a Method for Finding A –1 1.6. Further Results 1.7. Diagonal-, Triangular-, Symmetric-Matrices
      • Matriks:
      • Suatu kumpulan nilai bentuk empat-persegi-panjang
      • Terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom
      • Tiap nilai dalam matriks disebut entri ; cara menyebutkan entri adalah dengan subskrip / indeks (baris, kolom)
      • Contoh:
      • Matriks A = 1 5 9 semua entri: real
      • 7 3 0
      • Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom
        • A 1,1 = 1 A 1,2 = 5 A 1,2 = 9
        • A 2,1 = 7 A 2,2 = 3 A 2,3 = 0
      • Definisi-definisi:
      • Matriks A = matriks B jika ukuran baris A & baris B dan ukuran kolom A & kolom B sama; dan entri A i,j = entri B i,j
      • C = A  B, maka C i,j = A i,j  B i,j
      • M = cA ( c = real / skalar), maka M i,j = cA i,j
      • Jika A 1 , A 2 , …, A n adalah matriks-matriks berukuran sama, dan c 1 , c 2 , …, c n adalah bilangan-bilangan skalar, maka c 1 A 1 + c 2 A 2 + …+ c n A n disebut kombinasi linier dari A 1 , A 2 , …, A n dengan koefisien c 1 , c 2 , …, c n .
      • Suatu matriks dapat di-partisi menjadi beberapa submatriks dengan “menarik” garis horisontal dan/atau garis vertikal.
        • Contoh:
      A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 A 11 A 21 A 21 A 22 A = a 11 a 12 a 13 a 14 r 1 a 21 a 22 a 23 a 24 r 2 a 31 a 32 a 33 a 34 r 3
      • Definisi-definisi (lanjutan):
      • Matriks A dikalikan dengan matriks B; syaratnya adalah banyaknya kolom A = banyaknya baris B.
        • Catatan: perhatikan bahwa perkalian matriks (kedua matriks bujursangkar dengan ukuran sama) tidak komutatif (AB ≠ BA)
        • Contoh: A = -1 0 B = 1 2
      • 2 3 3 0
      • AB = -1 -2 BA = 3 6
      • 11 4 -3 0
      •   kesimpulan : AB ≠ BA
      • Transpos(A) = matriks A dengan baris-kolom ditukar tempatnya
      • Trace(A) = jumlah semua entri diagonal A = A 11 + A 22 + … + A nn
      • Sifat perkalian matriks:
      • Jika A matriks bujur sangkar, maka
        • (A r ) (A s ) = A ( r+s )
        • (A r ) s = A ( rs )
      • Sifat-sifat matriks transpos:
          • (A T ) T = A
          • (kA) T = k (A T )
          • (A  B) T = A T  B T
          • (AB) T = B T A T
      • Matriks-matriks khusus:
      • Matriks O = matriks nol; semua entrinya nol
      • Matriks I n = matriks identitas berukuran (n x n);
      • semua entri diagonalnya = 1, entri lain = 0
      • Matriks (vektor) baris adalah matriks dengan 1 baris.
      • Matriks (vektor) kolom adalah matriks dengan 1 kolom.
      • Teorema: A, B, C merepresentasikan matriks
      • a, b merepresentasikan bilangan skalar
          • A +B = B +A
          • A + (B + C) = (A + B) + C
          • A(BC) = (AB)C
          • A(B  C) = AB  AC
          • (B  C)A = BA  CA
          • a(B  C) = aB  aC
          • (a  b)C = aC  bC
          • a(bC) = (ab)C
          • a(BC) = (aB)C = B(aC)
      • Teorema: A, O merepresentasikan matriks
      • O adalah matriks nol (semua entrinya = nol)
          • A + O = O + A = A
          • A – A = O
          • O – A = – A
          • AO = O; OA = O
    • Teorema: A adalah matriks bujur sangkar berukuran (n x n) R adalah bentuk eselon-baris-tereduksi dari A. Maka R berisi (satu/lebih) baris dengan entri nol seluruhnya, atau R adalah matriks identitas I n . Contoh: A = 2 3 4 1 3/2 2 1 6 7 1 6 7 8 0 9 1 0 9/8 baris-1 x (1/2); baris-3 x (1/8)
    • Invers dari sebuah matriks: A adalah matriks bujur sangkar Jika AB = BA = I maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B. (invers matriks A dinotasikan dengan A – 1 ) Jika B adalah invers dari A dan C adalah invers dari A maka B = C A = a b dan D = ad – bc  0, maka invers A c d dapat dihitung dengan A – 1 = (1/D) d – b – c a
      • Sifat-sifat matriks Invers:
      • Matriks A, B adalah matriks-matriks invertibel
      • (A – 1 ) – 1 = A
      • A n invertibel dan (A n ) – 1 = (A – 1 ) n
      • (kA) adalah matriks invertibel dan (kA) – 1 = (1/k) A – 1
      • A T invertibel dan (A T ) – 1 = ( A – 1 ) T
      • A dan B keduanya matriks invertibel, maka AB invertibel dan (AB) – 1 = B – 1 A – 1
    • Algoritma untuk mencari invers sebuah matriks A (n x n) ubah menjadi matrix identitas dengan menggunakan OBE . Contoh: 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 matriks A matriks identitas I
    • 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 dengan OBE dihasilkan 1 0 0 -40 16 9 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1 matriks A invers A
      • 1 2 3 -40 16 9
      • 2 5 3 13 -5 -3
      • 1 0 8 5 -2 -1
          • jika kedua matriks ini dikalikan, akan didapat
      matriks A invers A – 40 + 26 +15 16 – 10 – 6 9 – 6 – 3 – 80 + 65 + 15 32 – 25 – 6 18 – 15 – 3 – 40 + 0 + 40 16 – 0 – 16 9 – 0 – 8
    • Aplikasi: jika A = matrix ( nxn ) yang punya invers (invertible / dapat dibalik), maka dalam sebuah Sistem Persamaan Linier: Ax = B  x = A -1 B Contoh : dalam mendapatkan solusi dari Sistem Persamaan Linier x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 8x 3 = 1 matriks A berisi koefisien-koefisien dari x 1 , x 2 , x 3 vektor x = (x 1 , x 2 , x 3 ) yang dicari vektor B = (1, 1, 1) T
    • Contoh: Akan dicari solusi dari Ax = b, di mana A = 1 2 3 b = 1 2 5 3 1 1 0 8 1 x = A –1 b = -40 16 9 1 = -15 13 -5 -3 1 5 5 -2 -1 1 2
    • Solusi dari Ax = b adalah x sbb.: A = 1 2 3 b = 1 2 5 3 1 1 0 8 1 x = -15 Cek: apakah benar A x = b ? 5 2 – 15 + 10 + 6 – 30 + 25 + 6 – 15 + 0 + 16
    • Matriks Elementer: Matriks A(nxn) disebut elementer jika A dihasilkan dari matriks identitas I n dengan satu Operasi Baris Elementer. Contoh: I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 1 = 1 0 1 A 1 = 1 0 1 0 1 0 0 6 0 0 0 1 0 0 1
      • Teorema:
      • A (nxn) matriks bujur sangkar.
      • Maka yang berikut ini ekivalen (semuanya benar, atau semuanya salah)
      • A invertibel
      • Ax = 0 punya solusi trivial saja
      • Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I n
      • A dapat dinyatakan dalam perkalian matriks-matriks elementer
    • Bab 1.7 Matriks-matriks dengan bentuk khusus
      • Matriks A(n  n) bujur sangkar, artinya
      • banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A.
      • Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar antara lain:
          • Matriks diagonal D
          • Matriks segi-3 atas
          • Matriks segi-3 bawah
          • Matriks simetrik
      • Matriks diagonal D: a ij = 0 untuk i  j
      a 11 0 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 0 a 33 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 a nn d 1 0 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 0 d 3 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 d n
      • Matriks segi-3 atas: a ij = 0 untuk i > j
      a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 ………… a 1n 0 a 22 a 23 a 24 a 25 ………… a 2n 0 0 a 33 a 34 a 35 ..……..… a 3n …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . 0 0 0 0 0 …………… a nn
      • Matriks segi-3 bawah: a ij = 0 untuk i < j
      a 11 0 0 0 0 …………… 0 a 21 a 22 0 0 0 …………… 0 a 31 a 32 a 33 0 0 …………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 a n1 a n2 a n3 a n4 a n5 …………… a nn
      • Matriks simetrik: a ij = a ji
      a 11 a 12 a 13 ………………………. a 1n a 21 a 22 a 23 …………………………..… a 31 a 32 a 33 ………………..…………… …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . a n1 ………………………………………………… a nn
      • Teorema:
      • Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah.
      • Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas.
      • Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol.
      • Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah.
      • Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 atas.
      • Teorema:
      • A dan B matriks simetrik, k adalah skalar
      • A T simetrik
      • A + B = A – B
      • Matriks kA simetrik
      • Jika A invertibel, maka A –1 simetrik
      • Teorema:
      • Jika A matriks invertibel, maka AA T dan A T A juga invertibel.