Alin 1.3 1.5, 1.7
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Like this? Share it with your network

Share

Alin 1.3 1.5, 1.7

on

  • 776 views

 

Statistics

Views

Total Views
776
Views on SlideShare
766
Embed Views
10

Actions

Likes
0
Downloads
15
Comments
0

1 Embed 10

http://helmysatria.web.id 10

Accessibility

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Alin 1.3 1.5, 1.7 Presentation Transcript

  • 1.   Chapter 1  1.1. Systems of Linear Equation 1.2. Gaussian Elimination 1.3. Matrices and Matrix Operations 1.4. Inverses, Rules of Matrix Arithmetic 1.5. Elementary Matrices and a Method for Finding A –1 1.6. Further Results 1.7. Diagonal-, Triangular-, Symmetric-Matrices
  • 2.
    • Matriks:
    • Suatu kumpulan nilai bentuk empat-persegi-panjang
    • Terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom
    • Tiap nilai dalam matriks disebut entri ; cara menyebutkan entri adalah dengan subskrip / indeks (baris, kolom)
    • Contoh:
    • Matriks A = 1 5 9 semua entri: real
    • 7 3 0
    • Matriks A terdiri dari 2 baris dan 3 kolom
      • A 1,1 = 1 A 1,2 = 5 A 1,2 = 9
      • A 2,1 = 7 A 2,2 = 3 A 2,3 = 0
  • 3.
    • Definisi-definisi:
    • Matriks A = matriks B jika ukuran baris A & baris B dan ukuran kolom A & kolom B sama; dan entri A i,j = entri B i,j
    • C = A  B, maka C i,j = A i,j  B i,j
    • M = cA ( c = real / skalar), maka M i,j = cA i,j
    • Jika A 1 , A 2 , …, A n adalah matriks-matriks berukuran sama, dan c 1 , c 2 , …, c n adalah bilangan-bilangan skalar, maka c 1 A 1 + c 2 A 2 + …+ c n A n disebut kombinasi linier dari A 1 , A 2 , …, A n dengan koefisien c 1 , c 2 , …, c n .
    • Suatu matriks dapat di-partisi menjadi beberapa submatriks dengan “menarik” garis horisontal dan/atau garis vertikal.
      • Contoh:
    A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 A 11 A 21 A 21 A 22 A = a 11 a 12 a 13 a 14 r 1 a 21 a 22 a 23 a 24 r 2 a 31 a 32 a 33 a 34 r 3
  • 4.
    • Definisi-definisi (lanjutan):
    • Matriks A dikalikan dengan matriks B; syaratnya adalah banyaknya kolom A = banyaknya baris B.
      • Catatan: perhatikan bahwa perkalian matriks (kedua matriks bujursangkar dengan ukuran sama) tidak komutatif (AB ≠ BA)
      • Contoh: A = -1 0 B = 1 2
    • 2 3 3 0
    • AB = -1 -2 BA = 3 6
    • 11 4 -3 0
    •   kesimpulan : AB ≠ BA
    • Transpos(A) = matriks A dengan baris-kolom ditukar tempatnya
    • Trace(A) = jumlah semua entri diagonal A = A 11 + A 22 + … + A nn
  • 5.
    • Sifat perkalian matriks:
    • Jika A matriks bujur sangkar, maka
      • (A r ) (A s ) = A ( r+s )
      • (A r ) s = A ( rs )
  • 6.
    • Sifat-sifat matriks transpos:
        • (A T ) T = A
        • (kA) T = k (A T )
        • (A  B) T = A T  B T
        • (AB) T = B T A T
  • 7.
    • Matriks-matriks khusus:
    • Matriks O = matriks nol; semua entrinya nol
    • Matriks I n = matriks identitas berukuran (n x n);
    • semua entri diagonalnya = 1, entri lain = 0
    • Matriks (vektor) baris adalah matriks dengan 1 baris.
    • Matriks (vektor) kolom adalah matriks dengan 1 kolom.
  • 8.
    • Teorema: A, B, C merepresentasikan matriks
    • a, b merepresentasikan bilangan skalar
        • A +B = B +A
        • A + (B + C) = (A + B) + C
        • A(BC) = (AB)C
        • A(B  C) = AB  AC
        • (B  C)A = BA  CA
        • a(B  C) = aB  aC
        • (a  b)C = aC  bC
        • a(bC) = (ab)C
        • a(BC) = (aB)C = B(aC)
  • 9.
    • Teorema: A, O merepresentasikan matriks
    • O adalah matriks nol (semua entrinya = nol)
        • A + O = O + A = A
        • A – A = O
        • O – A = – A
        • AO = O; OA = O
  • 10. Teorema: A adalah matriks bujur sangkar berukuran (n x n) R adalah bentuk eselon-baris-tereduksi dari A. Maka R berisi (satu/lebih) baris dengan entri nol seluruhnya, atau R adalah matriks identitas I n . Contoh: A = 2 3 4 1 3/2 2 1 6 7 1 6 7 8 0 9 1 0 9/8 baris-1 x (1/2); baris-3 x (1/8)
  • 11. Invers dari sebuah matriks: A adalah matriks bujur sangkar Jika AB = BA = I maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B. (invers matriks A dinotasikan dengan A – 1 ) Jika B adalah invers dari A dan C adalah invers dari A maka B = C A = a b dan D = ad – bc  0, maka invers A c d dapat dihitung dengan A – 1 = (1/D) d – b – c a
  • 12.
    • Sifat-sifat matriks Invers:
    • Matriks A, B adalah matriks-matriks invertibel
    • (A – 1 ) – 1 = A
    • A n invertibel dan (A n ) – 1 = (A – 1 ) n
    • (kA) adalah matriks invertibel dan (kA) – 1 = (1/k) A – 1
    • A T invertibel dan (A T ) – 1 = ( A – 1 ) T
    • A dan B keduanya matriks invertibel, maka AB invertibel dan (AB) – 1 = B – 1 A – 1
  • 13. Algoritma untuk mencari invers sebuah matriks A (n x n) ubah menjadi matrix identitas dengan menggunakan OBE . Contoh: 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 matriks A matriks identitas I
  • 14. 1 2 3 1 0 0 2 5 3 0 1 0 1 0 8 0 0 1 dengan OBE dihasilkan 1 0 0 -40 16 9 0 1 0 13 -5 -3 0 0 1 5 -2 -1 matriks A invers A
  • 15.
    • 1 2 3 -40 16 9
    • 2 5 3 13 -5 -3
    • 1 0 8 5 -2 -1
        • jika kedua matriks ini dikalikan, akan didapat
    matriks A invers A – 40 + 26 +15 16 – 10 – 6 9 – 6 – 3 – 80 + 65 + 15 32 – 25 – 6 18 – 15 – 3 – 40 + 0 + 40 16 – 0 – 16 9 – 0 – 8
  • 16. Aplikasi: jika A = matrix ( nxn ) yang punya invers (invertible / dapat dibalik), maka dalam sebuah Sistem Persamaan Linier: Ax = B  x = A -1 B Contoh : dalam mendapatkan solusi dari Sistem Persamaan Linier x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 8x 3 = 1 matriks A berisi koefisien-koefisien dari x 1 , x 2 , x 3 vektor x = (x 1 , x 2 , x 3 ) yang dicari vektor B = (1, 1, 1) T
  • 17. Contoh: Akan dicari solusi dari Ax = b, di mana A = 1 2 3 b = 1 2 5 3 1 1 0 8 1 x = A –1 b = -40 16 9 1 = -15 13 -5 -3 1 5 5 -2 -1 1 2
  • 18. Solusi dari Ax = b adalah x sbb.: A = 1 2 3 b = 1 2 5 3 1 1 0 8 1 x = -15 Cek: apakah benar A x = b ? 5 2 – 15 + 10 + 6 – 30 + 25 + 6 – 15 + 0 + 16
  • 19. Matriks Elementer: Matriks A(nxn) disebut elementer jika A dihasilkan dari matriks identitas I n dengan satu Operasi Baris Elementer. Contoh: I 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A 1 = 1 0 1 A 1 = 1 0 1 0 1 0 0 6 0 0 0 1 0 0 1
  • 20.
    • Teorema:
    • A (nxn) matriks bujur sangkar.
    • Maka yang berikut ini ekivalen (semuanya benar, atau semuanya salah)
    • A invertibel
    • Ax = 0 punya solusi trivial saja
    • Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah I n
    • A dapat dinyatakan dalam perkalian matriks-matriks elementer
  • 21. Bab 1.7 Matriks-matriks dengan bentuk khusus
  • 22.
    • Matriks A(n  n) bujur sangkar, artinya
    • banyaknya baris A sama dengan banyaknya kolom A.
    • Bentuk-bentuk khusus sebuah matriks bujur sangkar antara lain:
        • Matriks diagonal D
        • Matriks segi-3 atas
        • Matriks segi-3 bawah
        • Matriks simetrik
  • 23.
    • Matriks diagonal D: a ij = 0 untuk i  j
    a 11 0 0 0 0 0 a 22 0 0 0 0 0 a 33 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 a nn d 1 0 0 0 0 0 d 2 0 0 0 0 0 d 3 0 0 ……………………………………… 0 0 0 0 d n
  • 24.
    • Matriks segi-3 atas: a ij = 0 untuk i > j
    a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 ………… a 1n 0 a 22 a 23 a 24 a 25 ………… a 2n 0 0 a 33 a 34 a 35 ..……..… a 3n …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . 0 0 0 0 0 …………… a nn
  • 25.
    • Matriks segi-3 bawah: a ij = 0 untuk i < j
    a 11 0 0 0 0 …………… 0 a 21 a 22 0 0 0 …………… 0 a 31 a 32 a 33 0 0 …………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 ……………………………………………………… 0 a n1 a n2 a n3 a n4 a n5 …………… a nn
  • 26.
    • Matriks simetrik: a ij = a ji
    a 11 a 12 a 13 ………………………. a 1n a 21 a 22 a 23 …………………………..… a 31 a 32 a 33 ………………..…………… …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . …………………………………………………………… . a n1 ………………………………………………… a nn
  • 27.
    • Teorema:
    • Transpos dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 atas; transpos dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 bawah.
    • Perkalian dua matriks segi-3 bawah menghasilkan matriks segi-3 bawah; perkalian dua matriks segi-3 atas menghasilkan matriks segi-3 atas.
    • Matriks segi-3 invertibel jika dan hanya jika semua entri diagonalnya tidak nol.
    • Invers dari matriks segi-3 bawah adalah matriks segi-3 bawah.
    • Invers dari matriks segi-3 atas adalah matriks segi-3 atas.
  • 28.
    • Teorema:
    • A dan B matriks simetrik, k adalah skalar
    • A T simetrik
    • A + B = A – B
    • Matriks kA simetrik
    • Jika A invertibel, maka A –1 simetrik
    • Teorema:
    • Jika A matriks invertibel, maka AA T dan A T A juga invertibel.