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Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones   m. braun
 

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    Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones   m. braun Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones m. braun Document Transcript

    • ECUACIONES DIFERENCIALES Y Sus Aplicaciones M. Braun TRADUCTOR: Dr. Ignacio Barradas Bribiesca REVISORES EDITORIALES: Ing. Francisco Paniagua Bocanegra Dr. Miguel De Guzmán Grupo E ditorial Iberoamérica
    • Versión en español de la obra Differential Equations and Their A pplications por Martín Braun Edición original en inglés publicada por Springer-Verlag N ew York, Inc. C opyright © 1983, en Estados U nidos de Am érica. ISBN 0-387-90806-4 D .R . © 1990 por Grupo Editorial Iberoamérica, S .A . de C .V . y / o W adsworth Intem ational/Iberoam érica, Belmont, California 94002. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o m ediante algún sistem a, ya sea electrónico, mecánico, de fotorreproducción, de alm acenam iento en mem oria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica y / o W adsworth International/Iberoam érica, división de W adsw orth Inc. ISBN 968-7270-58-6 Impreso en M éxico Editor: N icolás Grepe P. Productor: Enrique Fradera T. Cubierta: Kooji N ishi, Ernesto N akam ura Grupo Editorial Iberoamérica, S .A . de C .V . Río Ganges N o . 64, C ol. C uauhtém oc, 06500 M éxico, D .F. A pdo. 5-192, Tels. 511 25 17, 208 77 41, FAX 514 70 24 Reg. CNIEM 1382
    • Prólogo A la Primera Edición Este libro presenta una combinación de la teoría de las ecuaciones diferenciales y de sus interesantes aplicaciones en los problemas del “ mundo real” . Primero, y sobre todo, es un estudio riguroso de las ecuaciones diferenciales ordinarias y puede ser comprendi­ do com pletam ente por quien haya llevado un curso completo de un año en Cálculo. Además de las aplicaciones tradicionales, el texto incluye muchos problemas fascinan­ tes de la “ vida real” . Estas aplicaciones son totalmente autosuficientes. Primero se plan­ tea claramente el problema, y se formulan una o más ecuaciones difrenciales como mode­ lo. Se encuentra la solución, y se com paran los resultados con los datos reales. En el texto se abarcan las siguientes aplicaciones: 1. En la Sección 1.3 se prueba que el hermoso cuadro “ Los discípulos de Em aús” , com prado por la Sociedad Rem brandt de Bélgica en 170000 dólares es una m oder­ na falsificación. 2. En la Sección 1.5 se deducen ecuaciones diferenciales que rigen el crecimiento poblacional de varias especies, y se com paran los resultados provenientes de los mode­ los, con los valores conocidos de las poblaciones. 3. En la Sección 1.6 se deducen ecuaciones diferenciales que gobiernan la tasa de varia­ ción según la cual los agricultores adoptan innovaciones. Sorprendentem ente, las mismas ecuaciones diferenciales rigen la tasa de cambio o rapidez con la cual se adoptan innovaciones tecnológicas en industrias tan diversas como la del carbón, la el hierro y del acero, la de la cerveza y la del transporte por ferrocarril. 4. En la Sección 1.7 se trata de determ inar si recipientes herméticamente sellados y llenos con material concentrado de desecho radiactivo, se dañan al sufrir un cho­ que con el fondo del m ar.E n esta sección sedescriben'tam bién algunas alternativas v ii
    • viii 5. 6. 7. . 8. 9. 10. PRÓLOGO para obtener inform ación sobre las soluciones de una ecuación que no se puede resolver explícitamente. En la Sección 2.7 se deduce un modelo muy sencillo del sistema regulador de la glucosa en la sangre, y se obtiene un criterio suficientemente confiable para el diag­ nóstico de diabetes. En la Sección 4.5 se describen dos aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a la evolución de la carrera arm am entista y de la guerra. En la subsección 4.5.1 se dis­ cute la teoría de L.F. Richardson y se ajusta su modelo a la carrera arm am entista que precedió a la Prim era G uerra M undial. Esta parte transm ite tam bién al lector una idea adecuada del concepto de estabilidad. En la Sección 4.5.2 se deducen dos modelos lanchesterianos del com bate, y se ajusta uno de ellos con sorprendente exactitud a la batalla de Iwo Jim a durante la Segunda G uerra M undial. En la Sección 4.10 se m uestra por qué se increm entó notablem ente la proporción de depredadores marinos (tiburones, m antarrayas, etc.) en las pesquerías en el puerto de Fiume, Italia, durante los años correspondientes a la Prim era G uerra M undial. La teoría que se desarrolla aquí tam bién tiene aplicación espectacular en la rociadura de insecticidas. En la Sección 4.1 se deduce el “ principio de exclusión com petitiva” , el cual afirm a esencialmente que dos espacios no pueden cubrir sus necesidades vitales de idénti­ ca m anera. En la Sección 4.12 se estudia el sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna la diseminación de una epidemia en una población. Este modelo permite probar el famoso “ teorem a del um bral en epidem iología” , el cual asegura que una epide­ mia ocurrirá solam ente si el núm ero de personas susceptibles a la enferm edad en cuestión excede un cierto valor. Se com paran tam bién las predicciones del modelo con valores reales de una epidem ia en Bombay. En la Sección 4.13 se obtiene un modelo para la diseminación de la gonorrea y se prueba que uno de dos casos es posible: la enferm edad desaparece o bien el núm e­ ro de personas que padece el mal se aproxim a a un valor fijo. Este texto se distingue tam bién por las siguientes características im portantes: 1. En la Sección 1.10 se da una dem ostración com pleta del teorem a de existencia y unicidad para la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, la dem os­ tración está basada en el m étodo de iteración de Picard y puede ser com prendida por quien haya llevado un curso com pleto de un año en Cálculo. 2. En la Sección 1.11 se m uestra cóm o resolver ecuaciones por iteración. Este m ate­ rial tiene la ventaja adicional de reforzar la com prensión de la dem ostración del teorem a de existencia y unicidad. 3. Se dan program as en F ortran y A PL para cada uno de los ejemplos numéricos del texto. Los problem as numéricos se encuentran en las secciones 1.13 a 1.17, los cua­ les tratan de la aproxim ación num érica para soluciones de ecuaciones diferencia­ les: en la Sección 1.11 se trata la resolución de las ecuaciones x - f ( x ) y g(*) = 0, y en la Sección 2.8 se indica cóm o obtener una solución de una ecuación diferen­ cial en series de potencias, aun cuando no es posible resolver explícitamente la for­ m ula de recurrencia para determ inar los coeficientes. 4. En el Apéndice C, se presenta una introducción integral del lenguaje de program a­ ción A PL . M ediante este apéndice se ha enseñado A PL a estudiantes en sólo dos lecciones.
    • Prólogo ix 5. M odestia aparte, la Sección 2.12 contiene un tratam iento sobresaliente y único de la función delta de Dirac. Estoy orgulloso de esta sección porque elimina todas las ambigüedades inherentes a la exposición tradicional del tema. 6. Toda el álgebra lineal necesaria para el estudio de sistemas de ecuaciones se presen­ ta en las Secciones 3.1 a 3.7. Una ventaja del enfoque em pleado aquí es que el lec­ tor adquiere una idea clara de conceptos muy im portantes, pero extremadamente abstractos, como son: independencia lineal, generadores y dimensión. De hecho, muchos estudiantes de álgebra lineal se inscriben en nuestro curso de ecuaciones diferenciales para entender m ejor lo que se expone en el suyo. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones puede utilizarse en un curso de ecua­ ciones diferenciales ordinarias de uno o dos semestres. Está dirigido a estudiantes que hayan cursado dos semestres de Cálculo. Tradicionalmente los autores de un texto señalan una “ secuencia sugerida” para el uso de su material. En nuestro caso no se da ninguna sugerencia, ya que hay una gran variedad de secuencias o planes. Únicamente baste men­ cionar que este libro puede servir para una gran variedad de cursos de ecuaciones dife­ renciales ordinarias. Agradezco de manera especial la ayuda de las siguientes personas en la preparación del manuscrito: Douglas Reber, quien escribió los program as en Fortran; Eleanor Addison, quien dibujó las ilustraciones y Kate MacDougall, Sandra Spinacci y Miriam Green, quienes m ecanografiaron partes del m anuscrito. Estoy muy agradecido con W alter Kaufm ann-Bühler, el supervisor editorial gene­ ral del departam ento de m atem áticas de Springer-Verlag, y con Elizabeth Kaplan, la supervisora editorial de producción, por su amplia ayuda y am abilidad durante la ela­ boración del original del libro. Es un placer trabajar con profesionales como ellos. Por últim o, agradezco de m anera especial a Joseph P. LaSalle por el apoyo y la ayuda que me brindó. Gracias nuevamente, Joe. M A R T I N BRAUN Nueva York Julio de 1976
    • C ontenido Prólogo ............................................................................................................... 1 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r vii ORDEN.............................................................. 1 Introducción ........................................................................................................ 1 1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden .................................................. 2 1.3 La falsificación de obras de arte por Van Meegeren ............................. 11 1.4 Ecuaciones separables ...................................................................................... 19 1.5 Modelos poblacionales .................................................................................... 26 1.6 Diseminación de innovaciones tecnológicas .............................................. 39 ................ 45 1.8 Dinámica del desarrollo de tumores, problemas de mezclado y trayectorias ortogonales ......................................................................... 51 1.9 Ecuaciones diferenciales exactas y ecuaciones diferenciales que no es posible re s o lv e r........................................................................................ 57 1.10 Teorem a de existencia y unicidad; iteraciones de Picard ...................... 67 1.11 Cálculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones ......................... 80 1.12 Ecuaciones en diferencias y cálculo de los intereses en préstamos para estudiantes .......................................................................................... 90 1.1 1.7 Un problem a de alm acenam iento de desperdicios atómicos xi
    • XÜ CONTENIDO 1.13 Aproximaciones numéricas; método de Euler ........................................ 94 1.14 Método de los tres términos de la serie de Taylor ................................ 105 1.15 Método de Euler modificado ...................................................................... 107 1.16 Método de R u n g e -K u tta ................................................................................. 110 1.17 Qué hacer en la práctica 113 ............................................................................... 2 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s l in e a l e s 2.1 Propiedades algebraicas de las so lu c io n e s................................................. 123 2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes ...................................... 134 2.3 La ecuación no hom ogénea .......................................................................... 147 2.4 M étodo de variación de parám etros ......................................................... 149 2.5 El método de la conjetura sensata .............................................................. 153 2.6 Vibraciones mecánicas ................................................................................... 161 2.7 Un modelo para la detección de diabetes ................................................. 174 2.8 Soluciones en s e r ie s ......................... 181 2.9 M étodo de la transform ada de Laplace DE SEGUNDO ORDEN ................................... 123 ................................................... 220 2.10 Algunas propiedades útiles de la transform ada de L a p la c e ................. 229 2.11 Ecuaciones diferenciales con térm ino no homogéneo discontinuo . . . 234 2.12 Función Delta de Dirac ................................................................................. 239 2.13 Integral de convolución ................................................................................. 247 2.14 M étodo de eliminación para sistemas ....................................................... 252 2.15 Ecuaciones de orden superior ...................................................................... 254 3 Sistem as de e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s . . 201 3.1 Propiedades algebráicas de soluciones de sistemas lineales ................. 261 3.2 Espacios v e c to ria le s.......................................................................................... 270 3.3 Dimensión de un espacio vectorial .............................................................. 276 3.4 Aplicaciones del álgebra lineal a las ecuaciones diferenciales ............. 287 3.5 Teoría de los d e te rm in a n te s.......................................................................... 293
    • Contenido 3.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales ....................................... 305 3.7 Transform aciones lineales ........................................................................... 316 3.8 M étodo de valores y vectores característicos para obtener soluciones ....................................................................................................... 328 3.9 Raíces complejas ............................................................................................. 336 3.10 Raíces iguales ................................................................................................... 340 3.11 La m atriz fundam ental de soluciones; e Kt .............................................. 350 3.12 La ecuación no hom ogénea; variación de parám etros ........................ 355 3.13 Resolución de sistemas m ediante la transform ada de Laplace ......... 362 4 Te o r í a c u a l it a t iv a d e l a s e c u a c i o n e s 4.1 Introducción ..................................................................................................... 367 4.2 Estabilidad de sistemas lin e a le s .................................................. 373 4.3 Estabilidad de las soluciones de equilibrio .............................................. 380 4.4 El plano fase ................................................................................................... 388 4.5 Teorías matem áticas de la g u e r r a ............................................................... 393 4.6 Propiedades cualitativas de las órbitas .................................................... 408 4.7 Retratos fase de sistemas lineales ......................................................... 412 4.8 C om portam iento de las soluciones para tiempos grandes; teorema de P oincaré-B endixson ............................................................................... 422 Introducción a la teoría de bifurcaciones ................................................ 431 4.10 Problem as presa-depredador, o porqué aum entó notablem ente el número de tiburones capturados en el M editerráneo durante la primera guerra m undial ....................................................................... 437 4.11 Principio de exclusión com petitiva en biología de poblaciones 444 4.12 Teorem a del um bral en epid em io lo g ía...................................................... 451 4.13 M odelo para la propagación de la gonorrea 458 5 S e p a r a c i ó n d e v a r ia b l e s y s e r ie s d e 5.1 Problem as de valores a la frontera en dos puntos .............................. 469 5.2 Introducción a las ecuaciones diferenciales no ordinarias .................. 474 4.9 DIFERENCIALES ............................................... 367 ... .......................................... FOURIER .......................................................... 469
    • x iv CONTENIDO 5.3 La ecuación de calor; separación de variables ........................................ 476 5.4 Series de Fourier ............................................................................................. 480 5.5 Funciones pares e impares ............................................................................ 486 5.6 Regreso a la ecuación de calor .................................................................... 491 5.7 La ecuación de o n d a ....................................................................................... 496 5.8 La ecuacióin de L a p la c e ................................................................................. 501 A péndice a ...................................................... 507 Observaciones acerca de las funciones de varias variables ................. 507 A péndice b ........................................................ 509 Sucesiones y s e r ie s ............................................................................................ 509 Apéndice c ..................................................... 512 Introducción al lenguaje A P L ....................................................................... 512 Respuestas a los ejercicios de nüm ero IMPAR .............................................................. 521 ÍNDICE .............................. 539
    • /I 1 .1 Ecuaciones diferenciales de primer orden In t r o d u c c i ó n Este libro esun estudio de las ecuaciones diferenciales ysusaplicaciones. Una ecuación diferencial es larelación que hay entre una función deltiempo y susderivadas. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales dy — = 3y2sen (t+ y) (i) d*y _ d2 y _ = e y+t+ — dr dr (n) y El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas de la función y que aparece en la ecuación. Así pues, (i) es una ecuación diferencial de pri­ mer orden y (ii) es una ecuación diferencial de tercer orden. Por solución de una ecua­ ción diferencial se entenderá una función y(i) que, junto con sus derivadas, satisface la relación. Por ejemplo, la funcióm >-(r) = 2 s e n r - ^ cos2r es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden d2 y — —+ y = cos2r dt2 i
    • 2 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ya que d2 — ( 2 s e n /- |c o s 2 / ) + ( 2 s e n /- } c o s2 /) = ( - 2sen/ + | eo s2 /) + 2sen/ - j eos2/ = eo s2/. Las ecuaciones diferenciales aparecen de m anera natural en muchas áreas de las ciencias y de las hum anidades. En este libro se presentan análisis serios sobre las aplica­ ciones de las ecuaciones diferenciales a problemas tan diversos y fascinantes como la detección de falsificaciones en artículos de arte, diagnóstico de diabetes, incremento en el porcentaje de tiburones presentes en el Mar Mediterráneo durante la Primera Guerra Mundial y diseminación de la gonorrea. El propósito es m ostrar cómo los investigado­ res han resuelto o tratado de resolver problemas de la vida real usando ecuaciones dife­ renciales. Al estudiar la utilidad de las ecuaciones diferenciales, se destacan también sus limitaciones y docum entan algunos de sus fracasos. 1 .2 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n Se iniciará estudiando ecuaciones diferenciales de primer orden suponiendo que la ecua­ ción tiene la form a o puede ser llevada a % -J M - O El problem a es entonces el siguiente: dada f ( t , y) encontrar todas las funciones y(t) que satisfacen la ecuación diferencial (1). Este problem a puede ser atacado de la siguiente manera. Un principio fundam ental de las matem áticas es que la manera de resolver un nuevo problem a es reducirlo, de alguna m anera, a un problem a que ya ha sido resuelto. En la práctica se hace esto repetidas veces hasta llegar a un problem a que tiene las carac­ terísticas de uno que ya se resolvió. D ado que por el m om ento el problem a es resolver ecuaciones diferenciales, es recom endable hacer una lista de las ecuaciones diferencia­ les que pueden resolverse. Si se parte de la suposición de que los antecedentes m atem á­ ticos consisten solamente en Cálculo elemental se verá que la triste realidad es que la única ecuación diferencial de prim er orden que es posible resolver es f= S (0 « donde g es una función integrable del tiem po. P ara resolver la ecuación (2), simplemen­ te se integran am bos lados con respecto a t y se obtiene y ( ‘) = f s i O d t + c. Aquí c es una constante arbitraria de integración y por j g ( t ) d t se representa una antide­ rivada de g en otras palabras, una función cuya derivada es g. Por esto,para resolver cualquier otra ecuación diferencial hay que reducirla de alguna m anera a la form a (2).
    • 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden 3 Como se verá en la Sección 1.9, esto es imposible de hacer en la m ayoría de los casos. De aquí que no puedan resolverse la m ayoría de las ecuaciones diferenciales sin la ayu­ da de una com putadora. Todo esto hace parecer razonable que para encontrar aquellas ecuaciones diferenciales que es posible resolver, hay que empezar con ecuaciones sim­ ples, y no con una de la form a _ e s e n (í-3 7 V b l ) di (la cual, incidentalmente, no tiene solución exacta. La experiencia ha m ostrado que las ecuaciones más simples son lineales con respecto a la variable dependiente y. D e f in ic ió n . La ecuación diferencial lineal general de primer orden es •¿¡ + a ( t ) y = b(t). (3) A menos que se indique lo contrario, se supone que las funciones a(t) y b(t) son continuas en el tiempo. Esta ecuación se particulariza y se llama lineal porque la varia­ ble dependiente y aparece sola; es decir, no aparecen en la ecuación términos de la for­ ma e~y, y 3, sen.y, etc. Por ejemplo, d y /d t = y 1 + sen t y d y/d t = eos y + t son ecua­ ciones no lineales debido a los términos .y2 y eos .y, respectivamente. P or el m om ento no es claro cómo resolver la ecuación (3). Así pues, se simplifica aún más al hacer b(t) = 0. DEFINICIÓN. La ecuación ~ ^+ a (t)y = 0 (4) se llama ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, y la ecuación (3) se denom ina ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden si b(t) no es idén­ ticam ente igual a cero. Por fortuna, la ecuación homogénea (4) puede resolverse fácilmente. Prim ero se dividen am bos lados de la ecuación entre y, y se esribe en la form a dy_ di = -* (/). y Después se observa que A 3 | , n b (()|
    • 4 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN donde ln | v(0l significa el logaritm o natural de |.y (0 l- De aquí que la ecuación (4) puede escribirse en la forma J^ ln | y ( t ) = - a ( t ) . (5) Pero ésta es esencialmente la ecuación (2), ya que se pueden integrar ambos lados de la ecuación (5) para obtener l n |/ ( / ) |= - J a ( t ) d t + c, donde c, es una constante arbitraria de integración. Al aplicar exponenciales en ambos miembros se obtiene 1/(01 = exp^ - J a ( t ) d t + = cexp^ - J a ( t ) d t ^ o bien y ( í ) e x p ^ f a {t)dt^ = c. (6) Ahora y(t) ex.p^J~a(t)dt>es una función continua en el tiem po, y la ecuación (6) asegura J que su valor absoluto es constante. Pero si el valor absoluto de una función y es cons­ tante, entonces la misma función g debe ser constante. Para dem ostrarlo obsérvese que si g no es constante, entonces existen dos tiempos diferentes í¡ y t2 para los cuales g (/j) = c, g (t2) - - c . Por el teorem a del valoi^medio del Cálculo, g debe tom ar todos los valores entre - c y c, lo cual es imposible si g{t) = c. De aquí se sigue que y ( t ) e x p ^ j a ( t ) d t j = c, o bien, y ( t ) = cexp(^~ f a i t j d t ' j . (7) La ecuación (7) se llama solución general de la ecuación homogénea, ya que toda solución de (4) tiene esa form a. Obsérvese que en (7) aparece una constante arbitraria c. Er,to no debe sorprender. En realidad, se espera que aparezca siempre una constante en la solución general de cualquier ecuación de primer orden. De hecho, si se da d y /d t y se desea recuperar y(t), entonces es necesario realizar una integración y esto necesa­ riamente involucra una constante arbitraria. Obsérvese también que la ecuación (4) tie­ ne un número infinito de soluciones; para cada valor de c se obtiene una solución y(t) diferente. Eje m p l o 1 Obtener la solución general de la ecuación {dy/dt) + 2ty = 0. S o l u c i ó n . En este caso, a{t) = 2/, así que y(t) = c ex p í — f 2 t d t = ce ' • Eje m p l o 2 Determ inar el com portam iento para t -* o° de todas las soluciones de lq ecuación (dy/dt) + ay = 0, siendo a constante.
    • 5 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden S o l u c i ó n . La solución general es y(t) - cexp - / • * = ce at. De aquí que, si a < 0, todas las soluciones con excepción de .y = 0 tienden a infinito. Si a > 0, todas las soluciones tienden a cero cuando t -* oo. En las aplicaciones, usualmente no interesan todas las soluciones de (4). Más bien se busca una solución específica y(t), que para un instante inicial t0 tom a el valor de y 0. Así pues, se desea determ inar una función y(t) tal que dy f t +a{t)y = 0, y { to)=yo- (8 ) La ecuación (8) se conoce como un problema de valor inicial por la razón obvia de que de la totalidad de las soluciones de la ecuación diferencial, se busca una que inicialmen­ te (en el instante t0) tome el valor y 0. Para encontrar tal solución se integran ambos miembros de (5) de t0 a t, obteniendo f l d_ ln|>,(j)|í/s = ds f a(s)ds y, por otro lado, y{<) — - J a(s)ds. y(* o) Al aplicar exponenciales en am bos lados de la ecuación se obtiene y ( ‘) —exp —j a(s)ds ^ ('o ) o bien y (0 ( 7ó¡¡) w (v La función dentro del signo de valor absoluto es una función continua en el tiempo. Por eso, y por el argum ento antes mencionado, debe ser igual a + 1 o a - 1 . Para deter­ minar cuál de los dos valores es el correcto, se evalúa la expresión en el punto t0: se observa que y de aquí se sigue que
    • 6 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 3 Obtener la solución del problem a de valor inicial ^ + (sent)y = 0, y(0) = f. S o l u c i ó n . Aquí a(t) = sen t, así que y { () ~ 1 exp | “ f sen5í¿sj —| e (cosí)_1. EJEMPLO 4 H allar la solución del problem a de valor inicial § SOLUCIÓN. Aquí a ( 0 = e e + e'!v = o , 7 ( i ) = 2- así que ,y(/) = 2 e x p | — e^ds A hora bien, a prim era vista parecería que este problem a representa una dificultad muy seria, ya que no es posible integrar directam ente e 5 Sin em bargo, esta solución es tan válida e igualmente útil que la solución del Ejem plo 3. Esto por dos razones: primero, hay métodos numéricos muy simples para calcular el valor de la integral con cualquier grado de precisión con ayuda de una com putadora. Segundo, a pesar de que la solución del Ejem plo 3 está dada explícitamente, aún no es posible evaluarla para un tiempo arbitrario t sin la ayuda de una tabla de funciones trigonom étricas o algún otro tipo de apoyo para hacer cálculos, como son una calculadora electrónica o una com putadora digital. A hora es posible regresar a la ecuación no homogénea ^ + a ( t ) y = b(t). A partir del análisis de la ecuación homogénea es claro que el camino que hay que seguir para resolver la ecuación no hom ogénea es expresarla en la form a ^ ( “ aIgo” ) = M 0 y después integrar ambos lados para despejar ese “ algo” . Sin em bargo, la expresión (dy/dO + a (0 y no parece ser la derivada de alguna expresión simple. Es por ello que el siguiente paso lógico en el análisis debe ser preguntarse: ¿Es posible hacer que el lado izquierdo de la ecuación sea la derivada, con respecto a /, de “ algo” ? Dicho con más precisión, al multiplicar am bos lados de (3) por una función continua n (0 se obtiene una ecuación equivalente. (9)
    • 7 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden (Por ecuaciones equivalentes se entiende que toda solución de (9) es una solución de (3), y viceversa). Así pues, ¿es posible elegir de manera que p.(t){dy/dt) a(t)n(t)y sea la derivada de alguna expresión simple? La respuesta a esta pregunta es sí, y se obtiene mediante la siguiente observación + d , x . dy dpi De aquí que fi(t)(dy/dt) + a(t)p.(t)y será igual a la derivada de fi{t)y, si y sólo si dpi(t)/dt — a(t)pi(t). Pero ésta es una ecuación lineal homogénea de primer orden con respecto a es decir, (dp./dt) - a(t)pi = 0, la cual ya se sabe resolver. Además, dado que se requiere solamente una función puede darse el valor de 1 a la constante c en (7) y P ara esta ¡í(t), la ecuación (9) puede escribirse como ^ /* (0 .V = /* (0 * (0 - (10) Para obtener la solución general de la ecuación no homogénea (3), es decir, para encon­ trar todas las soluciones de la ecuación no homogénea, se integran ambos miembros de (10), o sea, se sacan antiderivadas, y se obtiene H(t)b(t)dt + c o bien y = JÍ7){f (‘(')*(')‘* + c) =exp(-/a(0‘*)(/(.('W 0* + 4 O') Por otro lado, si se quiere la solución específica de (3) que satisface lacondición inicial y ( t 0) = y 0, es decir, si se desea resolver el problem a de valor inicial dy + a ( * ) y - b(t), y ( t 0) = y 0 entonces se tom a la integral definida en am bos lados de (10) de t0 a t, para obtener l i { t ) y - i i { t o ) y Q= f i i {s)b{s)ds o bien + (12) O b s e r v a c i ó n i . Nótese la utilidad de conocer la solución de la ecuación homogé­ nea para encontrar la función ¡x(t) que permitió resolver la ecuación no homogénea. Este es un magnífico ejemplo de cómo usar la solución conocida de un problem a senci­ llo para resolver un problem a difícil.
    • 8 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN O b s e rv a c ió n 2. La función n(t) = expí fa(t)d tse conoce con el nom bre de f a c ­ tor integrante de la ecuación no hom ogénea, ya que después de multiplicar am bos lados de la ecuación por n(t) puede integrarse inmediatamente para obtener todas las soluciones. O b s e r v a c i ó n 3 . El lector no debe memorizar las fórmulas (11) y (12). Más bien tratará de resolver la ecuación no homogénea m ultiplicando prim ero ambos lados por n(t), escribiendo el lado izquierdo como la derivada de n(t)y(t), y finalm ente integran­ do ambos miembros de la ecuación. O b s e r v a c i ó n 4. O tra m anera de resolver el problem a de valor inicial (d y / d t ) + a(t)y = b( t), 7 (^0) - yo es encontrar la solución general (11) de (3) y después usar la condición inicial y ( t 0) = y 0 para calcular el valor constante c. Si la función n (t ) b ( t ) no puede integrarse directamente entonces hay que obtener la integral definida de (10) para obtener (12) y aproxim ar numéricam ente esta ecuación. Ej e m p l o 5 Obtener la solución general de la ecuación (dy/dt) - 2ty = t. S o l u c i ó n . Aquí a(t) - - 2 t , así que Al multiplicar ambos lados de la ecuación por ¡i(t) se obtiene la siguiente ecuación equi­ valente e ,J | ^ —2tyj * te , o bien, -^e = De aquí se sigue que y > > ( , ) = - i + c e ' Ej e m p l o ó Hallar la solución del problem a de valor inicial dy f t + 2 ty - u y( l) - 2 . So l u c ió n . Aquí a(t) = 2t, así que M ultiplicando ambos lados de la ecuación por n(t) se obtiene + 2 f y ) “ te ‘2 » ° bien, --L^e^y)* te*.
    • 9 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden De modo que / r * ' A ,e sy ( s ) d s = I se52 s2 ds ds J asi pues e “y ( s ) Como consecuencia e ' y —2e — I , -v== 2 Ej e m p l o 7 e_ £ 2 2 _,2 T e i,3 2 i _ ,j íe Encontrar la solución del problem a de valor inicial. dy _ SOLUCIÓN. Aquí a(t) = i + , = T_ _ . , (2 ), 3. 1, así que /x(í) = e x p ^ J a ( í ) d / ^ j = e x p ^ J 1d t ^ = e'. M ultiplicando am bos lados de la ecuación por ¡i(t) se obtiene e -r + y)= dt ) i+ e‘ ~ d -y o bien, — e 'l y = dt 7 i + ¡2 m Por lo tanto, asi que e'y —3e2= f —-— ds J 2 1 + •* y =e ' f- J j 1+. ds Ej e r c i c io s En cada uno de los problem as 1 a 7 encuentre la solución general de la ecuación dife­ rencial dada.
    • 10 i 3. CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dyr j. 2/ - + di 1 r y = ------- + t2 ^ d> . 4. — ' + y = * t e ' i + t2 dt dy , , 6. - y- + t 2y - t 2 dy 5. ~t* "P í v = I dt * 7. d> , ' t 1+ í2 * dt , f3 1+ /4 -j- + ---- - y = I ---------- t y En cada uno de los problem as 8 a 14 halle la solución de valor inicial dado. 8. ^ + V i +”/ 2 y = 0, y ( 0 ) = V 5 9. ^ + V T + 7 2 10. ~ + V T + -/ 2 e~'y = 0, 11. 12. ^ + / y = l+ I. y ()-0 14. ^ - 2 ,y ~ . y (0 t= 1 y(0) = 0 , e~'y = 0, ^ - 2 f y = f, j . | y(0)=l y(0)=l i , ( 1, - 2 15. Obtenga la solución general de la ecuación (1 + /J) ^ + ( v = (l + /!)s/!. (Sugerencia: Divida ambos lados de la ecuación entre 1 + t 2). 16. Halle la solución del problem a de valor inicial (1 + í 2) ^ + 4 r y = / . y ( l ) = í- 17. Encuentre una solución continua del problem a de valor inicial y ’+y - g ( 0 - y (0) = 0 donde 18. Demuestre que toda solución de la ecuación (dy/dt) + ay = be~ct, donde a y c son constantes positivas y b es cualquier número real, tiende a cero cuando t tiende a infinito. 19. Dada la ecuación diferencial (dy/dt) + a(t)y = f ( t ) con a(t) y f ( t ) funciones con­ tinuas en -oo < t < oo, a(t) > c > 0, y lím /(/) = 0, demuestre que toda soluí— *00 ción tiende a cero cuando t tiende a infinito. AI buscar la solución de la ecuación no hom ogénea se supuso tácitam ente que las fun­ ciones a(t) y b(t) eran continuas, de tal form a que se pudieran llevar a cabo las integra­ ciones necesarias. Si alguna de estas funciones fuera discontinua en el punto t , enton­ ces se esperaría que las soluciones pudieran ser discontinuas para t — t. Los problemas del 20 al 23 ilustran la variedad de cosas que pueden ocurrir. En los problem as 20 a 22 determine el com portam iento de todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales
    • 1.3 • La falsificación de obras de arte por Van M eegeren 11 dadas cuando t -* 0, y en el problem a 23 determine el com portam iento de todas las soluciones cuando t -* 7r/2: v7 ™ ^¡—I 1 20. — —1y — — di t t 22. ^ dt 1 .3 + — >' = t cos/+ . 21. -^r H 1 — dt t = e Vt/i 23. ^r- +>>tan/ = se n dt /eos/. La f a l s i f i c a c i ó n d e o b r a s de a r t e p o r V a n M eeg eren Después de la liberación de Bélgica durante la Segunda G uerra M undial, el departa­ mento holandés de seguridad inició una cacería de colaboradores de los nazis. En los archivos de una com pañía que había vendido numerosas obras de arte a los alemanes descubrieron el nom bre de un banquero que había actuado como interm ediario en la venta a Herm ann Goering del cuadro Mujer en Adulterio del famoso pintor holandés de siglo xvii Jan Veermer. El banquero resultó ser representante de un pintor holan­ dés de tercera, H .A . Van Meegeren. El 29 de mayo de 1945 este últim o fue arrestado bajo el cargo de colaboración con el enemigo. El 12 de julio de 1945 Van Meegeren sorprendió al mundo anunciando que él no había vendido Mujer en Adulterio a Goe­ ring. Más aún, afirm ó que ese cuadro y el bello y famoso Los Discípulos en Emaús, así como otros cuatro supuestos Vermeers y dos Hoogs (pintor holandés del siglo xvii) eran obras suyas. Mucha gente creyó, sin em bargo, que Van Meegeren estaba mintien­ do únicamente para librarse del cargo de traición. P ara dem ostrar su afirmación Van Meegeren inició una falsificación del cuadro de Vermeer Jesús entre los Doctores, para dem ostrar a los escépticos cuán buen falsificador de Vermeer era. El trabajo estaba casi term inado cuando Van Meegeren recibió la noticia de que el cargo de falsificación había sido sustituido por el de colaboración. Fue por eso que se rehusó a term inar y envejecer su cuadro con la esperanza de que los investigadores no descubrieran su secreto para envejecer las pinturas. P ara resolver la pregunta se llamó a un grupo internacional de distinguidos químicos, físicos e historiadores de arte. El grupo tom ó placas de rayos X del cuadro para determ inar si había otros cuadros debajo. Además, se analizaron los pigmentos (materias colorantes) usados en la pintura y se exam inaron los cuadros respecto a ciertos signos de envejecimiento. Pero, Van Meegeren conocía bien esos métodos. Para evitar la detección había ras­ pado la pintura de otros cuadros antiguos de m enor valor para obtener los lienzos y había tratado de usar los pigm entos que emplearía Vermeer. Van Meegeren sabía tam ­ bién que la pintura vieja era extrem adam ente dura e imposible de disolver. Por eso, inteligentemente mezcló fenoform aldehído con la pintura. Esta sustancia química se endurecía como baquelita, al calentar en un horno el cuadro term inado. Sin em bargo, Van Meegeren fue descuidado con algunas de sus falsificaciones y el grupo de expertos encontró restos de un pigmento m oderno, cobalto azul. Además detectaron en varios de sus cuadros el fenoform aldehído, el cual fue descubierto a prin­ cipios del siglo x ix . Con base en la evidencia, Van Meegeren fue declarado culpable
    • 12 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN de falsificación el 12 de octubre de 1947 y sentenciado a un año de prisión. Estando en reclusión sufrió un ataque cardíaco y murió el 30 de diciembre de 1947. A pesar de la evidencia reunida por el grupo de expertos, mucha gente se rehusaba a creer que el famoso cuadro Los Discípulos de Emaús fuera una falsificación de Van Meegeren. Su objeción se basaba en el hecho de que las otras falsificaciones y el cuadro casi concluido Jesús entre los Doctores de Van Meegeren eran de una calidad muy infe­ rior. A firm aban que el creador del hermoso cuadro L os Discípulos de Emaús no podría producir obras de tan poca calidad. De hecho, este cuadro fue certificado como un Vermeer auténtico por el distinguido historiador del arte A. Bredius y com prado por la Sociedad Rem brandt en 170 000 (dólares). La respuesta del grupo para los escépticos fue que debido a que Van Meegeren estaba profundam ente disgustado por la falta de reconocimiento en el m undo artístico, trabajó entonces en Los Discípulos de Emaús con la firme determ inación de probar que era más que un pintor de tercera. Después de producir esa obra maestra, su determinación desapareció. Más aún, después de advertir cuán fácilmente logró el éxito con Los Discípulos de Em aús, dedicó menos esfuerzo a sus posteriores falsificaciones. Esta explicación no dejó satisfechos a los escépticos, quienes exigían una dem ostración científica y contundente de que la obra citada era realmente una falsificación. Eso hicieron recientemente, en 1967, un grupo de científi­ cos de la Carnegie University M ellon, su trabajo se describe a continuación. El punto clave en la determ inación de la edad de una pintura u otros materiales tales como rocas y fósiles es el fenómeno de la radiactividad, descubierto a principios de siglo. El físico R utherford y sus colaboradores m ostraron que los átom os de ciertos elementos “ radiactivos” son inestables y que, en un intervalo de tiempo dado, una frac­ ción fija de los átom os se desintegra espontáneam ente para form ar un nuevo elemento. Ya que la radiactividad es una propiedad del átom o, R utherford mostró que la radiac­ tividad de una sustancia es directam ente proporcional al número de átom os presentes en la misma. De modo que si N (t) denota el núm ero de átom os existentes en el tiempo /, entonces d N /d t, el núm ero de átom os que se desintegra por unidad de tiempo es pro­ porcional a N, es decir, dt ——A¿V. (1) La constante X, que es positiva, se conoce como constante de decaimiento o decreci­ miento de la sustancia. Cuanto mayor sea X, obviamente la sustancia decrecerá más rápi­ damente. Una m edida de la rapidez de desintegración de una sustancia es su semivida (o vida media) * la cual se define com o el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átom os iniciales de una sustancia radiactiva. P ara calcular la semivida de una sustancia en térm inos de X, supóngase que en un tiem po /0» N (/0) = ^o- E nton­ ces, la solución al problem a de valor inicial es N ( t ) = iV0e x p | — ¿frj = iV0e - x ( ,- 'o) o bien, N / N 0 = exp(-X (r - /0)). T om ando logaritm os en am bos lados se obtiene = (2) * (N. del R.) El término “ vida media” es una traducción incorrecta del inglés half-life. El nombre correcto ya acepta­ do es semivida.
    • 1.3 • La falsificación de obras de arte por Van M eegeren 13 De modo que, si N / N 0= /2 , entonces - ( t - t0) = ln¿ , así que , , ln2 0.6931 = (3 ) En consecuencia, la semivida de una sustancia es ln 2 dividido entre la constante de decai­ miento X. La dimensión de X, que se omitió para simplificar la notación, es el recíproco del tiempo. Si t se mide en años, entonces X es el recíproco de años, y si ( se mide en m inutos, entonces X es el recíproco de minutos. Se ha determ inado y registrado la semi­ vida de muchas sustancias. Por ejemplo, la semivida del carbono 14 es de 5568 años, y la del uranio 238, 4500 millones de años. A hora bien, la base de la determ inación de edades por medio de material radiactivo es la siguiente: de la ecuación (2) se puede despejar t - t0 = 1/X ln (N0/ N ) . Si t0 es el tiempo en el que la sustancia se formó o elaboró, entonces la edad de la misma es 1/X ln (N q/ N ) . La constante de decaimiento se conoce o puede calcularse en la mayo­ ría de los casos. Más aún, usualmente es posible calcular N con facilidad. Así pues, si se conociera N 0 podría calcularse la edad de la sustancia. Esto claram ente represen­ ta un problema, ya que por lo común no se conoce N 0. En algunos casos, sin embargo, es factible calcular a N 0 indirectamente o al menos algún intervalo confiable en el que se deba encontrar. Tal es el caso de las falsificaciones de Van Meegeren. Los siguientes hechos de la química elemental son bien conocidos. Casi cualquier roca de la corteza terrestre contiene una pequeña cantidad de uranio. El uranio en las rocas decae en otro elemento radiactivo y éste en otro, y así sucesivamente (Fig. 1) has­ ta llegar al plom o, el cual ya no es radiactivo. El uranio (cuya semivida es superior a los cuatro mil millones de años) sum inistra los elementos que le siguen en la cadena, de manera que tan pronto como decaen son reemplazados por los elementos precedentes. A hora bien, todas las pinturas contienen pequeñas cantidades del elemento radiac­ tivo plomo 210 (P b 210) y cantidades aún menores de radio 226 (R a 226), ya que estos elementos están contenidos en el plomo blanco (óxido de plomo) que es un pigmento que los artistas han usado por más de 2000 años. Para el análisis que se llevará a cabo a continuación, es im portante notar que el plomo blanco se obtiene de plomo metálico, el cual a su vez se extrae de una roca llam ada mineral o mena de plom o, mediante un proceso conocido como fundición. En este proceso el plomo 210 en el mineral va junto en el plomo metálico. Sin em bargo, entre 90% y 95% del radio y sus derivados se elimi­ nan junto con otros productos secundarios en un material llamado escoria. Así pues, la mayor parte de la fuente de plomo 210 queda eliminada y éste empieza a decaer muy rápido, con una semivida de 22 años. Tal proceso continúa hasta que el plomo 210 en el plomo blanco se encuentra una vez más en equilibrio radiactivo con la peque­ ña cantidad presente de radio; es decir, la desintegración del plom o 210 se equilibra exactamente con la desintegración del radio. A hora se usará esta inform ación para calcular la cantidad de plom o 210 presente en una muestra, en términos de la cantidad original presente en el momento de la m anu­ factura. Sea y(t) la cantidad de plomo 210 po¡ gram o de plomo blanco en el tiempo t, y sea y 0 la cantidad de plom o 210 por gram o de plom o blanco en el tiempo de la m anufactura /0; así mismo, sea r(t) el número de desintegraciones de radio 226 por m inuto y por gramo de plomo blanco en el tiempo t. Si X es la constante de decaimiento del plomo 210, entonces. _ = _Xy + r ( 0 , y{h)= yo- (4)
    • CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES D PRIMER ORDEN E F ig u r a 1. La serie del uranio. (Los tiempos sobre las flechas corresponden a la semivida de cada etapa.)
    • 15 1.3 • La falsificación de obras de arte por Van Meegeren D ado que sólo interesa un periodo de por lo menos 300 años, se supondrá que la cantidad de radio 226, cuya semivida es de 1800 años, permanece constante, de modo que r(t) es una constante r. M ultiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrante /x(0 = e X se obtiene l De aquí se sigue ex,y ( t) - ex‘°y0 = f ( eX - eX l t°) o bien y ( t ) ~ - r 0 — e~ X ~ to^)+ y0e ~ x(-l ~ l° ('t (5) Por lo tanto, y(t) y r pueden medirse fácilmente. De modo que si se conociera y 0 podría usarse la ecuación (5) para calcular (r —/0) y con ello determ inar la edad de la pintura. Sin em bargo, com o ya se mencionó, no es posible medir y 0 directamente. Un camino para salir de esta dificultad es el hecho de que la cantidad original de plomo 210 se encontraba en equilibrio radiactivo con la cantidad aún m ayor de radio 226 en la mena de la cual se extrajo el metal. Una opción es tom ar muestras de diferentes mine­ rales y contar el núm ero de desintegraciones de radio 226. Esto fue hecho en una varie­ dad de menas y los resultados se describen en la Tabla 1. Tales cifras varían de 0.18 a 140. En consecuencia, el núm ero de desintegraciones de plomo 210 por m inuto y por gram o de plom o blanco en el m om ento de la m anufactura variará de 0.18 a 140. Esto implica que y 0 variará tam bién en un intervalo grande, ya que el núm ero de desinte­ graciones de plomo 210 es proporcional a la cantidad presente. Así pues, no se puede usar la ecuación (5) para obtener una aproxim ación exacta o siquiera una aproxim a­ ción burda de la edad de la pintura. T a b l a 1 . M uestras de mineral y mineral concentrado. La desintegración está dada por gramo de plom o blanco Descripción y Procedencia M ineral Mineral M ineral M ineral Mineral Mineral Mineral M ineral Mineral Mineral concentrado en bruto triturado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado (Oklahoma-Kansas) (S.E. Missouri) (S.E. Missouri) (Idaho) (Idaho) (W ashington) (Colum bia Británica) (Colum bia Británica) (Bolivia) (Australia) D esintegraciones por m inuto de R a 226 4.5 2.4 0.7 2.2 0.18 140.0 1.9 0.4 1.6 1.1 Sin em bargo, es posible usar la ecuación (5) para distinguir entre una pintura del Siglo xvii y una falsificación m oderna. La base para esta afirm ación es la sencilla ob­ servación de que si la pintura es muy antigua com parada con la semivida de 22 años del plom o, entonces la radiactividad del plomo 210 en la pintura será casi igual a
    • 16 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN la del radio en la pintura. Por otra parte, si la pintura es m oderna (alrededor de 20 años antigüedad) entonces la radiactividad del plomo 210 será mucho mayor que la del radio. Este argum ento se precisa de la siguiente m anera: supóngase que la pintura en cues­ tión es muy reciente o de hace aproxim adam ente 300 años. Hágase t - t0 = 300 en (5). Entonces, después de un poco de álgebra se ve que y o = y ( t ) e 300X - r ( e 300K - (6) Si la pintura realmente es una falsificación m oderna, entonces .y0 será extrem a­ dam ente grande. P ara determ inar cuán grande es una tasa de desintegración se observa (Ejercicio 1) que si el plomo 210 decae originalm ente (en el momento de la m anufactu­ ra) a una tasa o rapidez de 100 desintegraciones por m inuto por gramo de plomo blan­ co, entonces el m ineral del que se extrajo tenía una concentración de uranio de aproxi­ m adam ente 0.014% . Esta es una concentración muy alta de uranio, ya que la cantidad promedio de uranio en las rocas de la corteza terrestre es aproxim adam ente de 2.7 p ar­ les por millón. Por otro lado, existen muestras muy extrañas, encontradas en el hemis­ ferio norte, cuyo contenido de uranio es de 2 a 3% . P ara tener seguridad se dirá que la tasa de desintegración del plom o 210 es absurda si excede de 30 000 desintegraciones por minuto por gram o de plomo blanco. Para evaluar y 0 hay que calcular la tasa de desintegración actual, y (t), del plo­ mo 210, la tasa de desintegración del radio 226 y e 300X Dado que la tasa del polonio . 210 (P o 210) es igual a la del plom o 210 después de varios años y la tasa de desintegra­ ción del polonio 210 es más fácil de medir, se sustituyen los valores del plomo 210 por los del polonio. Para calcular e m x se observa de (3) que X = (ln 2/22). De aquí se sigue que ^300* _ e (3 0 0 /2 2 )ln 2 _ 2(150/11) Las tasas de desintegración del polonio 210 y del radio 226 se midieron en el casó de Los Discípulos de Emaús y de varias otras supuestas falsificaciones; los valores apare­ cen en la T abla 2. T a b l a 2 . Pinturas de procedencia dudosa. La desintegración está dada en minutos, por gramo de plomo blanco ja Desintegración de R a226 Descripción Desintegración del P o“ Los Discípulos de Emaús El Lavado de Pies Mujer Leyendo Música Mujer Tocando Mandolina Tejedora de Encaje Mujer Sonriente 8.5 12.6 10.3 8.2 1.5 5.2 0.8 0.26 0.3 0.17 1.4 6.0 Si ahora se calcula .y0 a partir de (6) para el plom o blanco en la pintura Los Discípu­ los de Emaús se obtiene V o = (8-5)2150/11 - 0.8(2 150/11 - 1) = 98.050
    • 1.3 • La falsificación de obras de arfe por Van Meegeren 17 lo cual no puede ser aceptado en absoluto. Así que dicha pintura debe ser una falsifica­ ción m oderna. Por medio de un análisis similar (Ejercicios del 2 al 4) se demostró irre­ futablemente que las pinturas El Lavado de Pies, Mujer Leyendo Música y Mujer Tocan­ do Mandolina eran falsos Vermeers. P or otro lado, los cuadros Tejedora de Encaje y Mujer sonriente no pueden ser falsificaciones recientes de Vermeer, como afirman algu­ nos expertos, ya que para estas dos pinturas, el polonio 210 está casi en equilibrio ra­ diactivo con el radio 226, cosa que no se ha observado en ninguna m uestra de cuadros de los siglos XIX y XX. Bib l io g r a f ía Corem ans, P ., Van Meegerer’s Faked Vermeers and De Hoogs, M aulenhoff, Amsterdam , 1949. Keisch, B., Feller, R.L., Levine, A.S., Edwards, P .R ., Dating and Authenticating Works o f A rt by M easurement o f N atural A lpha Em m iter, Science (155), pág. 1238-1241, m arzo, 1967. Keisch, B., Dating W orks o f A rt through their N atural Radioactivity: Improvements and Applications, Science (160), pág. 413-415, abril, 1968. EJERCICIOS 1. En este ejercicio se m uestra cómo calcular la concentración de uranio en un mine­ ral a partir de las desintegraciones por m inuto y por gramo de plom o [dpm /(g Pb)] del plom o 210 en el m ineral. (a) La semivida del uranio 238 es de 4.51 x 109 años. Dado que esta semivida es tan larga, puede suponerse que la cantidad de uranio en la mena es constan­ te durante un periodo de doscientos o trescientos años. Denote por N(t) el núm ero de átomos de U238 por gramo de plomo común en la mena en el tiem­ po t. Como el plom o 210 está en equilibrio radiactivo con el uranio en el mine­ ral, se sabe que d N / d t = — N = - lO O dpm /gPb en el tiem po t0• {Sugeren­ cia: 1 año = 525 600 m inutos.) (b) A partir del hecho de que un mol de uranio 238 pesa 238 gramos y que hay 6.02 x 1023 átom os en un mol, dem uestre que la concentración de uranio en la mena es de aproxim adam ente 0.014% . En cada una de las pinturas 2, 3 y 4 use los datos de la Tabla 2, para calcular la activi­ dad en desintegraciones por m inuto de la cantidad original de plom o 210 por gramo de plom o blanco y concluya que todas estas pinturas son falsos Vermeers. 2. El Lavado de Pies. 3. M ujer Leyendo Música. 4. M ujer Tocando Mandolina. 5. El siguiente problem a describe una deducción muy precisa de la edad del uranio, (a) Denote por N 238{0 y N 23 5(/) el núm ero de átom os de U238 y U 235 en el tiem­
    • 18 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN po t en una m uestra de uranio, y tome com o t = 0 el instante en el que esta m uestra fue creada. P or la ley de decaim iento radiactivo ¿7^235 ( 0 ~ 9^235 ( 0 dt 0.707(10) Resuelva estas ecuaciones para evaluar N 2js(í) y ^235 (0 en térm inos de los núm eros iniciales N $ s y N $ 5 . (b) En 1949 la relación de U 238 y U 235 en una m uestra era de 137 a 8. Suponien­ do que, en el m om ento de la creación de una m uestra, aparecieron iguales can­ tidades de U238 y U235, dem uestre que la edad del uranio es de 5.96 x 109 años. Este valor es universalm ente aceptado com o la edad de dicho elemento. 6. En una m uestra de sam arskita descubierta recientemente había 3 gramos de torio (Th232). El torio decae a plomo 208 (P b 208) mediante la reacción T h 232 -»• P b 208 + 6(4He4). Se determinó que se producían 0.0376 gramos de plomo 208 por la desin­ tegración del torio original en la m uestra. Sabiendo que la semivida del torio es de 13 900 millones de años, calcule la edad de esta m uestra de sam arskita. (Suge­ rencia: 0.0376 gramos de P b 208 son el producto del decaim iento de (232/208) x 0.0376 gram os de Torio.) Uno de los m étodos más precisos para determ inar la edad de restos arqueológicos es el método del carbono 14 (C 14) descubierto por W illard Libby alrededor de 1949. El principio de este método es m aravillosamente simple: La atm ósfera de la Tierra es bom ­ bardeada constantemente por los rayos cósmicos. Éstos producen neutrones en la atm ós­ fera, los cuales se com binan con nitrógeno para producir C 14, que se conoce como radiocarbono, ya que declina radiactivamente. A hora bien, dicho radiocarbono se incor­ pora al dióxido de carbono y se desplaza así en la atm ósfera para ser absorbido por los vegetales. Los animales, a su vez, incorporan radiocarbono a sus tejidos al comer las plantas. En los tejidos vivientes, la tasa de ingestión de C 14 está exactamente en equilibrio con la tasa de desintegración de C 14. Sin em bargo, cuando un organism o muere, deja de incorporar C 14 y, así la concentración de C 14 presente comienza a decre­ cer. A hora bien, una suposición fundam ental de la física es que la tasa de bom bardeo de la atm ósfera terrestre por los rayos cósmicos ha perm anecido constante. Esto impli­ ca que la tasa original de desintegración del C 14 en una m uestra como el carbón vege­ tal es igual a la tasa medida hoy en día.* Esta suposición permite determ inar la edad de una muestra de carbón vegetal. Denótese por N ( t ) la cantidad de carbono 14 presente en una m uestra en el tiem po t, y por N 0 la cantidad existente en tiem po / = 0, cuando la m uestra se form ó. Si X denota la constante de desintegración del C 14 (la semivida * Desde mediados de la década de 1950 los ensayos de armas nucleares han incrementado notablemente la cantidad ' de carbono radiactivo en la atmósfera. Irónicamente esta situación permite otro método muy eficiente de detección de falsi­ ficaciones. De hecho, muchos materiales que usan los artistas, tales como el aceite de linaza y los lienzos, provienen de plan­ tas y animales y, por lo tanto, contienen la misma concentración de carbono 14 que la atmósfera en el momento en que muere la planta o el animal. Así pues, el aceite de linaza (que es un derivado del lino) producido en los últimos años contiene concentraciones mucho más altas de carbono 14 que el producido antes de 1950.
    • 19 1.4 • Ecuaciones separables del carbono 14 es de 5 568 años) entonces d N (t)/d t = N ( t ) , N(0) = N 0. Como con­ secuencia, N (t) = N 0e~Xt. A hora bien, R(t), la tasa actual de desintegración del C 14 en la m uestra, está dada por R (t) = N ( t ) = N 0e~Xt, y la tasa original de desinte­ gración es i?(0) = N ( t ) = N 0. A sí pues, R ( t ) / R ( 0) = e~Xt, de modo que / = (1/X)ln [/?(0)//?(/)]. Por esto, si se mide R(t), la tasa actual de desintegración del C 14 en el carbón vegetal, y se observa que i?(0) debe ser igual a la tasa de desintegración de una cantidad igual de m adera viva, entonces puede calcularse la edad t del carbón vegetal. Los siguientes dos problemas son ilustraciones reales de este método. 7. El nivel de carbón vegetal después que estuvieron habitadas las famosas grutas de Lascaux en Francia dio una medida de 0.91 desintegraciones por minuto por gra­ mo en 1950. La m adera viva da 6.68 desintegraciones. Calcule la época en que estu­ vieron habitadas, y por tanto la edad probable de las sorprendentes pinturas que se hallan en las grutas de Lascaux. 8. En la excavación de 1950 en Nippur, una ciudad de Babilonia, el carbón vegetal de la viga de un techo dio una cuenta o m edida de 4.09 desintegraciones por minu­ to y por gramo. La m adera viva da 6.68 desintegraciones. Suponiendo que este carbón vegetal se form ó durante la época de H am urabi, realice una estimación de la fecha probable de la sucesión de H am urabi. 1 .4 Ec u a c io n e s sepa r a b les La ecuación diferencial lineal homogénea de prim er orden ^ + a(t)y = 0 (l) se resolvió dividiendo am bos lados de la ecuación entre y(t) para obtener la ecuación equivalente 1 <b{ 0 y ( t ) dt aW (2) y observando que la ecuación (2) puede escribirse en la forma j¡n y (l) - - a ( t ) . (3) Al integrar ambos lados de (3) se encontró ln |>>(r) | y, por lo tanto, y(t). De manera totalm ente análoga puede resolverse la ecuación diferencial más general ^ = < . f(y) * (4 ) ’ donde f y g son funciones continuas de .y y /. Esta ecuación, y cualquier otra que pueda escribirse de tal form a, se llama ecuación separable. P ara resolver (4) semultiplican
    • 20 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN prim ero am bos lados por f ( y ) para obtener la siguiente ecuación equivalente f ( y ) - ¿ ¡ = g ( t )- (5) Después, se observa que (5) puede escribirse en la form a j¡F ( y { < ) )= g { ‘) (6) donde F (y ) es una antiderivada de f ( y ) , es decir, F (y ) = J f ( y ) d y . P or lo tanto, F ( y ( t ) ) = f g(t )d* + c (?) donde c es una constante arbitraria de integración. P ara encontrar la solución general de (4) se despeja y = y(t) de (7). Eje m p l o i O btener la solución general de la ecuación d y / d t = t 2/ y 2. SOLUCIÓN. M ultiplicando am bos lados de la ecuación por y 2 resulta 2dy 2 > — = / , » J dt ,. d >,3( / ) 2 o bien, — --— = t . dt 3 P or lo tanto, y 3{t) = t 3 + c donde C 3 + c)l/3. t Ejem plo 2 c esuna constante arbitraria. Así pues, ,y(0 = Encontrar la solución general de la ecuación dt S o l u c i ó n . Esta ecuación puede escribirse en la form a £ eyM = t + ,i dt por lo tanto, ey{t) = t 2/ l + / 4/4 + c. Al sacar logaritm os en am bos lados de la ecua­ ción se obtiene >^(0 = n ( t 2/ l + / 4/4 + c). Además de la ecuación diferencial (4) se impone m uchas veces una condición ini­ cial a y{t) de la form a y ( t 0) = y 0. La ecuación diferencial (4) junto con la condición inicial .y(ío) = yo es un problem a de valor inicial. Un problem a de esta clase puede resolverse de dos m aneras. U na form a es utilizar la condición inicial y(to) = yo para encontrar el valor de la constante c en (7), y otra es integrando am bos lados de (6) de tQ 2l t para obtener F ( y ( t ) ) ~ F ( y 0)= f g(s)ds. J ‘o (8 )
    • 21 1.4 • Ecuaciones separables Observando que (9) F ( y ) - r ( y 0) = { * f i ñ d r , J yo la ecuación se puede escribir en form a más sencilla ( 10) í yf { r ) d r = í g(s)ds. * yo Vn / * r~ So l u c ió n . M étodo (i). Del Ejemplo 2 se sabe que la solución general de esta ecua­ ción es y = l n ( /2/2 + t 4/ 4 + c). Tom ando t = 1 y y = 1 se obtiene 1 = ln ( 3 + c), /¿ o bien c = e - Y*. De aquí se sigue que y(t) = ln(e - 3 + t 2/ l + t 4/ 4. A M étodo (ii). De (10) resulta P or lo tanto, j-j, Ej e m p l o 4 y y(/) = ln (f-3 /4 + (V2 + /4/4). Resolver el problem a de valor inicial d y / d t = 1 + y 2, >>(0) = 0. S o l u c i ó n . Al dividir am bos miembros de la ecuación entre 1 + y 2 se obtiene la ecuación equivalente 1/(1 + y 2)d y /d t = 1. Entonces, de (10) se sigue P or lo tanto, are tan y = /, e y = ta n /. La solución y = tan t tiene la inconveniencia de que tiende a ±°° en / = ± r / 2 . Y lo que es más problem ático es el hecho de que no hay nada en el problem a de valor inicial que sugiera la posibilidad de dificultades en / = ± t / 2 . Pero la realidad es que las soluciones de ecuaciones diferenciales perfectas pueden tender a infinito en un tiem­ po finito. Así pues, las soluciones no pueden ser calculadas para todo valor de /, sino sólo para un intervalo finito abierto a < t < b. Más aún, como el siguiente ejemplo lo m uestra, diferentes soluciones de una misma ecuación diferencial tienden a infinito p ara distintos valores de tiem po. Ejem plo 5 Resolver el problem a de valor inicial d y / d t = 1 + y 2, _y(0) = 1.
    • 22 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN S o l u c i ó n . De (10) se obtiene Por lo tanto, are tany - are tan 1 = t, o bien y = tan (t + en el intervalo abierto -3 ir /4 < t < -rr/4. Eje m p l o tt/4). Esta solución existe ó E ncontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial dy y — + (1 + y 2)sen/ = 0, >>(0)=1. S o l u c i ó n . Al dividir am bos lados de la ecuación diferencial entre 1 + y 2 se tiene que y dy 1 + y 2 dt y, por lo tanto, í " rdr I J, 1+ r 2 = — t. sen C ¿ — I - s e n sds, Jo asi que }ln(l + y 2) - }ln2 = cos/ - 1. Despejando y(t) en esta ecuación se obtiene y ( t ) = ± ( 2 e ' 4seni,/2- 1)'/2. Para determ inar si se tom a la raíz negativa o la positiva, se observa que.y(0) es positi­ vo. Por lo tanto, y ( í ) — (2 e ~ 4ienl‘/ 2 — 1)1/2 Esta solución está definida solam ente para 2 e _4senJ,/2> 1 o bien e4senJr/2 < 2 . ( 11) Dado que la función logaritm o es m onótona creciente, es posible tom ar el logaritmo en ambos lados de (11) conservando la desigualdad. Así pues 4sen2//2 < ln 2 , lo cual implica V lñ2 < are sen2 Por lo tanto, y (t) existe sólo en el intervalo abierto ( - a , a), donde a = 2arcsen [ V ln2 / 2 ] .
    • 23 1.4 • Ecuaciones separables A hora bien, esto parece ser una nueva dificultad asociada a las ecuaciones no lineales, ya q u e y ( 0 simplemente “ desaparece” para t = ±a sin tender a infinito. Sin embargo, esta aparente dificultad puede explicarse con facilidad e incluso anticipar si se escribe la ecuación diferencial en la form a estándar dy _ dt (1 + y 2)sen/ y Nótese que esta ecuación diferencial no está definida para y = 0. Por lo tanto, si una solución y(t) tom a el valor de cero para algún valor t = t*, entonces no puede esperar­ se que esté definida para t > t*. Esto es exactamente lo que ocurre aquí, ya que y{±a) = 0. Ej e m p l o 7 Resolver el problem a de valor inicial d y /d t = (1 + y)t, y(0) = -1 . SOLUCIÓN. En este caso no es posible dividir ambos lados de la ecuación diferencial entre 1 + y, ya que y (0) = - 1 . Sin em bargo, es fácil ver que y(t) = -1 es una solución del problem a de valor inicial, y en la Sección 1.10 se m ostrará que es la única solución. Más en general, considérese el problem a de valor inicial d y /d t = /(y )g (0 > y ( lo) - -V o» dond? /( y o ) = 0- Ciertam ente y(t) = y 0 es una solución del problem a de valor ini­ cial, y en la Sección 1.10 se m ostrará que es la única solución si d f/dy existe y es continua. Ejem plo s Resolver el problem a de valor inicial (1 + ey ) d y /d t = eos t, y (7 t/2 ) = 3. S o l u c i ó n . De (10) se obtiene f y( I + e r) d r — f eossds J3 Jtr/2 de modo que y + e y = 2 + e 2 + sen t. No es posible resolver esta ecuación explíci­ tam ente para y como función de t. De hecho en la m ayoría de las ecuaciones separables no puede resolverse para y como función de t. Así pues, la afirm ación de que y + ey = 2+ c3 + sent es la solución del problem a de valor inicial significa en realidad que es una solución im plícita más que explícita. Esto no representa ninguna dificultad en las aplicaciones, ya que siempre es posible encontrar y (t) numéricamente con la ayuda de una com puta­ dora digital. (Sección 1.11.) Ej e m p l o 9 Encontrar todas las soluciones de la ecuación diferencial d y /d t = —t/y. SOLUCIÓN.M ultiplicando am bos lados de la ecuación diferencial por y seobtiene y d y / d t = —t. De lo anterior y 2+ r2 = c 1. ( 12)
    • 24 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN A hora bien, las curvas descritas por (12) son cerradas, y no se pueden resolver para determ inar y com o una función de valor único de t. El origen de esta dificultad, por supuesto, es-el hecho de que la ecuación diferencial no está definida para y - 0. Sin em bargo, las circunferencias t 2 + y 2 = c 2 están perfectam ente definidas incluso par y = 0. Las circunferencias t 2 + y 2 = c 2 se llam an curvas soluciones de la ecuación diferencial dy ¡ dt — — t / y . Más en general, se dice que toda curva definida por (7) es una curva solución de (4). Ej e r c i c io s En cada uno de los problem as 1 a 5, obtenga la solución general de la ecuación diferen­ cial dada 1. , dy , ta n x + tanv (1 + 1 ) - r = 1 + y • Sugerencia: tan(x + y ) = -¡— :------. ' dt 1 - tan x tan y v 2. ^ - ( 1 + iXl+y) 3. ^ - 1 4. dy ,, ~¿f = e dy 5. c o s y s e n t-j^ = s e n y c o s t - l + y 2- l y 2 En cada uno de los problem as 6 a 12 resuelva el problem a de valor inicial dado y deter­ mine el intervalo de existencia de cada solución. 6. /2( l + ^ 2) + 2 ^ ^ - 0 , t 7. & ~r — 21 ,,, 7(0)= 1 , r , v(2) = 3 y +yt 8. (l + / 2) 1/ 2^ = /v 3(l + / 2) - ‘/ 2, 7 ( 0 ) = 1 3/2+ 4/ + 2 dt 2 (7 -1 ) dy 10. eosy - ^ 11. ’ n — tseny dy -jr = k ( a - y ) ( b - y ) , ) ym -"/2 y(0) = 0 , a , b > 0 dy 12. 3/^-=7C O s /, 7(1) = 0 13. Toda ecuación de la form a d y / d t - f ( y ) es separable. Así pues, es posible resol­ ver todas las ecuaciones diferenciales de prim er orden en las cuales no aparece el tiempo en form a explícita. A hora suponga que se tiene una ecuación diferencial de la form a d y / d t = f ( y / t ) . P or ejemplo, la ecuación d y / d t = sen ( y / t ). Las ecua­ ciones diferenciales de esta form a se llam an ecuaciones homogéneas. Com o el lado
    • 25 1.4 • Ecuaciones separables derecho de la ecuación depende solamente de y / t se sugiere hacer la sustitución y / t = v, o bien y = tv. (a) Demuestre que esta sustitución transform a la ecuación d y / d t = f ( y / t ) en la ecuación equivalente t d v / d t + v = f ( v ) , la cual es separable. (b) Encuentre la solución general de la ecuación d y /d t = 2( y / t ) + ( y / t )2. 14. Determine cuáles de las siguientes funciones de / y de y pueden expresarse como funciones de la variable y / t . y 2 + 2ty (a) ------ ;— _y3+ / 3 (b) ^ ----- y t 2+ y 3 (e) (d) l n ^ - l n / + - ~ l iv (c) (f) n V " t + y - l n V t - y t+ y <*) «"737 (>» y3+ / 3 t2+ y 3 e y ( ' ¡ + 7ly + 9 y * ) wl 3l + 5y 15. Resuelva el problem a de valor inicial t(dy/dí) — y + Vr 2 + y = 0. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. 16. 2 t v - j - = 3 v2- ( 2 is. ± = 19. e ' ^ ( y - t ) ^ +>-(1 + e ' / y) = 0 dt ' a i t —y Sugerencia: f — J ve 20. 17. ( / - /~tv ) -y- —y ai /l + f 2 dv =ln( 1+ v e l / l ) Considere la ecuación diferencial dy t+ y + 1 dt t-y +3 n Esta ecuación podría resolverse si no estuvieran presentes las constantes 1 y 3. Para elim inar estas constantes haga la sustitución t = T + h, y = Y + k. (a) Determine h y k de modo que la ecuación (*) se pueda escribir en la forma d Y / d T = (T + Y ) / ( T - Y). (b) Encuentre la solución general de (8). (Ejercicio 18.) 21. (a) Pruebe que la ecuación diferencial dy dt ai + by + m et + dy + n donde ¿ , b, c, d, m y n son constantes. Siempre se puede reducir a la form a 7 d y / d t = (at + by)/{ct + dy) si ad - be í 0. (b) Resuelva la ecuación anterior en el caso especial ad = be. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones. 22. { + t - 2 y ) + { 4 t - 3 y - ( > ) < f y / d t - Q 23. { t + 2 y + 3) + ( 2 t + 4y - ) dy / dt = 0
    • 26 1 .5 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN M o d e l o s p o b l a c io n a l e s En esta sección se estudiarán ecuaciones diferenciales de primer orden que rigen el cre­ cimiento de varias especies. A prim era vista parece imposible describir el crecimiento de una especie por medio de una ecuación diferencial, ya que el tam año de una pobla­ ción se mide siempre en números enteros. Por ello, el tam año de una población no pue­ de ser una función diferenciable con respecto al tiem po. Sin em bargo, si el tam año de una población es grande y se increm enta en uno, entonces el cambio es muy pequeño com parado con el tam año de la población. Así pues, se tom a la aproxim ación de que poblaciones grandes cambian continuam ente, e incluso de manera diferenciable, con respecto al tiempo. Denótese por p(t) la población de una especie dada en el tiempo t y represéntese por r(t, p) la diferencia entre sus tasas de natalidad y de m ortalidad. Si esta población está aislada, es decir, si no existe emigración o inm igración, entonces d p / d t , la tasa de variación o cambio de la población es igual a rp (t). En el modelo más simple se supone r constante, es decir, que no depende ni del tiempo ni de la población. Entonces puede escribirse la siguiente ecuación diferencial que gobierna el crecimiento de la población dp(0 , . — : = ap(t), — dt w a = constante. Esta es una ecuación lineal y se conoce como la ley de Malthus para el crecimiento de una población. Si la población de una especie dada es po en el tiempo t0, entonces p(t) satisface el problema de valor inicial d p { t)/d t = ap(t), p (t0) = Po - La solución de-este problem a de valor inicial es p(t) = p 0e a{!~to). De aquí que toda especie que satisface la ley de crecimiento de M althus crece exponencialmente con el tiempo. A hora bien, sólo se propuso un modelo sencillo para el crecimiento de una pobla­ ción, tan sencillo que fue posible resolverlo com pletam ente en pocas líneas. Por lo tan ­ to, es im portante ver si este m odelo, con su sencillez, tiene alguna relación con la reali­ dad. Denótese por p(t) la población hum ana de la Tierra en el tiempo t. Se estim a que la población hum ana del planeta aum entó con una tasa promedio de 2°7o anual durante el periodo 1960-1970. Al empezar la mitad de la década, el 1 de enero de 1965, cuando el Departam ento de Comercio del gobierno de Estados Unidos estimaba la población de la Tierra en 3 340 millones de personas, entonces t0 = 1965, P0 - 3.34 x 109 y a = 0.02, de modo que p ( t ) = (3.34)10V O -,965). 2(' Una m anera de com probar la precisión de esta fórm ula es calcular el tiempo requerido para que se duplique la población del planeta y com pararlo con el valor observado de 35 años. La fórmula predice que la población de la Tierra se duplica cada T años, donde e 02T= 2 . Sacando logaritmos en ambos lados de la ecuación se obtiene 0.02 T = ln 2, de modo que T = 501n2 - 34.6 años
    • 27 1.5 • M odelos poblacionales Esto constituye una excelente concordancia con el valor observado. P or otro lado, sin em bargo, viendo hacia el futuro distante, la ecuación predice que la población de la Tierra será de 200 billones en el año 2515, de 1 800 billones en 2625, y de 3 600 billones en 2660. Estas son cifras astronómicas cuyo significado es difícil de imaginar. La super­ ficie total del planeta es de aproxim adam ente 1 860 billones de pies cuadrados (1 pie cuadrado es igual a 929 cm2). El 80% de la superficie está cubierta por agua. Supo­ niendo que se está dispuesto a vivir en botes al igual que en tierra firme, puede verse fácilmente que para el año 2515 habrá solamente 9.3 pies cuadrados por persona; en el año 2625 cada persona dispondrá de solamente un pie cuadrado en el cual estar de pie y para el año 2660 las personas estarán unas en los hom bros de otras. Parecerá, por lo tanto, que el modelo no es razonable y debería ser descartado. Sin em bargo, no puede ignorarse el hecho de que lo pasado ofreció concordancias exce­ lentes. Más aún, existe evidencia adicional de que las poblaciones efectivamente crecen exponencialm ente. Considérese el caso del Microtus Arvallis Pall, un pequeño roedor que se reproduce rápidamente. Considérese como unidad de tiempo el mes y que la pobla­ ción crece con una tasa de 40% mensual. Si hay dos roedores presentes en el momento inicial / = 0, entoncesp (t), el número de roedores en el tiempo t, satisface el problema de valor inicial d p ( t ) / d t = 0Ap, p ( 0) = 2. Por lo tanto, p ( , ) = 2e°M. (1) En la Tabla 1 se com paran las poblaciones observadas con las poblaciones calculadas de la ecuación (1) Ta b l a i . Crecimiento del Microtus Arvallis Pall M eses 0 2 6 10 p observada p calculada 2 2 5 4.5 20 22 109 109.1 Como puede verse, la concordancia es excelente. O b s e r v a c i ó n i . En el caso del Microtus Arvallis Pall, la p observada es muy preci­ sa, ya que el periodo de gestación es de tres semanas y el tiempo que se requiere para medir la población es mucho m enor. Si el periodo de gestación fuera muy corto enton­ ces la p observada podría ser inexacta, ya que muchos de los roedores en preñez darían a luz antes de que el censo se term inara. La solución al dilema es observar que los modelos lineales para el crecimiento de poblaciones son satisfactorios siempre que la población no sea demasiado grande. Cuan­ do la población es dem asiado grande, estos modelos no pueden ser exactos ya que no reflejan el hecho de que los individuos compiten entre sí por el limitado espacio vital, por recursos naturales y por el alim ento disponible. Así pues, hay que agregar un térm i­ no de com petición a la ecuación diferencial lineal. U na elección adecuada del término
    • 28 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN competitivo es - b p 2, donde b es una constante, ya que el prom edio estadístico del número de encuentros por unidad de tiempo es proporcional a p 1. Considérese enton­ ces la ecuación m odificada dp_ = ap — bp1. dt Esta ecuación se conoce como la ley logística del crecimiento de una población y los números a y b se llaman coeficientes vitales de la población. La introdujo por prim era vez el matemático y biólogo holandés Verhulst, en 1837. A hora bien, en general la cons­ tante b es muy pequeña com parada con a, de tal m odo que si p no es dem asiado gran­ de, entonces el térm ino - b p 1 es insignificante com parado con ap, por lo que la pobla­ ción crece exponencialmente. Sin em bargo, si p es grande entonces el térm ino - b p 2 debe tom arse en cuenta ya que disminuye la tasa de crecimiento de la población. No es necesario mencionar que cuanto más industrializado es un país, tanto más espacio disponible tiene, y cuanto más alim ento posee, entonces es más pequeño el coeficiente b. Considérese ahora la ecuación logística para predecir el crecimiento futuro de una población aislada. Si p 0 es la población en el tiem po t0 , entonces p(t), la población en el tiempo /, satisface el problem a de valor inicial dP . 2 P ( (o)=Po- 4 - w - b p . Esta es una ecuación diferencial separable, y de la ecuación (10) en la Sección 1.4, se tiene J p 0 a r ~ br¿ J ‘0 Para integrar la función / { a r - b r 2) se recurre a fracciones parciales. Se hace 1 _ a r-b r2 1 = A r(a — br) { B r a —b r ' Para encontrar A y B se observa que r * a —br A ( a —b r )+ B r Aa + (B — bA)r r ( a —br) r(a —br) Por lo tanto, A a + (B - bA )r = 1. Ya que esta ecuación es cierta para todo valor de r, se ve que A a = 1 y B - bA - 0. Por lo tanto, A = 1/a , B - b /a y / J Po r(a-br) v ’ a / r J Po a -b r) a — bp0 = - ln — + ln a —bp * Po a -b p 0 = —ln — a Pq a - b p Así pues, a ( t - t 0) = n — Po a — bp0 a —bp (2)
    • 29 1.5 • Modelos poblacionales Ahora bien, es fácil dem ostrar (Ejercicio 1) que la siguiente expresión siempre es positiva a-bPo a-bp(t) De aquí se sigue que bPo a(t - t0) = ln -jPo a - bp ' Al aplicar el exponencial en ambos lados de esta ecuación se obtiene p a ~ bPí Po o — bp ' o bien p Q{ a - bp)ea(,~'o) = ( a - bpQ )p. Al pasar al lado izquierdo todos los términos que tienen a p, se ve que [ a - b p 0 + bp0e a{,~ ‘o) ]p (t) = ap0e a(,~ '0K Por lo tanto, ap0e a(!~'o) ) ap0 a - b p 0 + bpQ a{‘~ ^ e bp0 + (a - bp0) e ~ a{l~ ‘o) ^^ A hora se examinará la ecuación (3) para ver qué tipo de poblaciones predice. Obsér­ vese que cuando t -* 00 ,, aPo _ a bp0 b ' Es decir, independientemente del valor inicial, la población siempre tiende al valor límite a/b. Además, nótese que p{t) es una función m onótona creciente respecto del tiempo si 0 < p 0 < a /b . Más aún, dado que d2 p dp dp - ^ = a — -2 b p — ={a~2bp)p{a-bp), se ve que d p / d t es creciente si p(t) < a /2 b , y d p /d t es decreciente si p(t) > a /2b . Por ello la gráfica de p{t) debe tener la form a que aparece en la Figura 1 si p 0 < a/2b. Una curva así se llama curva logística o en “ S” . A partir de su form a se concluye que el tiem po antes de que la población alcance la m itad de su valor límite es un periodo de crecimiento acelerado. Después de este punto, la tasa de crecimiento disminuye has­ ta llegar a cero. Este es un periodo de crecimiento reducido. Estas predicciones se confirm an en experimentos con el protozoario Paramecium caudatum llevados a cabo por el biólogo y matem ático G .F. Gause. Se colocaron cinco ejemplares de Paramecium en un tubo de ensaye con 0.5 cm3 de medio nutriente y se contó el núm ero diario de individuos durante seis días. Se encontró que los Param e­ cium se reproducían con una tasa de 230.9% diario cuando la población era pequeña. El número de individuos aum entaba inicialmente con rapidez y posteriormente con más
    • 30 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN P O b a 2b t t o F ig u r a 1 . G ráfica de p(t). lentitud hasta alcanzar un nivel máximo de 375 hacia el cuarto día, saturando el tubo de ensayo. A partir de esta información se concluye que si el Paramecium crece de acuer­ do con la ley logística d p /d t = ap - b p 2, entonces a = 2.309 y b = 2.309/375. Por lo tanto, la ley logística predice que (2.309)5 P ( í) = 375 1 + 1 4 e ~ 2 3091 ' (4) (El tiempo inicial t0 se tomó igual a cero.) En la Figura 2 se com para la gráfica de p(t) dada por la ecuación (4) contra los valores experimentales, los cuales se indican con un pequeño círculo. Como puede verse, la concordancia es muy buena. Para aplicar estos resultados y predecir en el futuro la población hum ana de la Tierra es necesario calcular los coeficientes vitales a y b en la ecuación logística que gobierna el crecimiento. Algunos ecólogos estiman que el valor natural de a es 0.029. Se sabe tam bién que la población hum ana crecía con una tasa de 2°7o cuando su tam año era de (3.34)109. Dado que ( l / p ) ( d p / d t ) = a — b p , se ve que 0.02 = a - b (3.34)109. Por lo tanto, b = 2.695 x 10 12. Así pues, de acuerdo con la ley logística de creci­ miento de poblaciones, la población hum ana tenderá al valor límite a_ 0.029 = 10 760 millones de personas 2.695 X 10“ 1 2 Nótese que de acuerdo con esta predicción, la población hum ana se encontraba en 1956
    • 31 1.5 • M odelos poblacionales aún en la fase de crecimiento acelerado de la curva logística, ya que aún no había alcan­ zado la m itad de la población límite predicha. O b s e r v a c i ó n . En una ocasión, un estudiante sugirió utilizar la ecuación (3) para encontrar el instante en que p(t) = 2 y así deducir hace cuánto tiempo apareció el ser hum ano en la Tierra. A prim era vista, esto parece una idea fabulosa. Sin embargo, no es posible ir tan atrás en el pasado, ya que el modelo pierde su exactitud si la población es pequeña. Com o o tra verificación de la validez de la ley logística de crecimiento de poblacio­ nes, considérese la siguiente ecuación 197 273 0 0 0 J + e - 0 . 0 3 l 3 4 U - 1 9 1 3 .2 5 ) (5 . ' ' la cual fue introducida por Pearl y Reed como modelo para el crecimiento de la pobla­ ción de Estados Unidos. Prim ero, utilizando los censos de los años 1790, 1850 y 1910, Pearl y Reed encontraron con base en la ecuación (3) que a = 0.03134 y b = (1.5887)10"“!0. Después (Ejercicio 2b), Pearl y Reed calcularon que la población de Esta­ dos Unidos alcanzó la m itad de su población límite de a / b = 197 273 000 en abril de 1913. P or lo tanto, (Ejercicio 2c) la ecuación (3) puede escribirse en form a simplificada como (5). La Tabla 2 com para las predicciones de Pearl y Reed con los valores observados de la población de Estados Unidos. Estos resultados son sorprendentes ya que no se han considerado las grandes inmigraciones hacia Estados Unidos ni el hecho de que el país participó en cinco guerras durante ese periodo.
    • 32 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN T a b l a 2 . Población de los Estados Unidos de 1970 a 1950. (Las últimas cuatro cifras fueron añadidas por el grupo “ D arthm outh College W riting G roup” .) Real Predicha Error % 1790 3 929 000 3 929 000 0 0.0 1800 5 308 000 5 336 000 28,000 0.5 1810 7 240 000 7 228 000 - 12,000 -0 .2 1820 9 638 000 9 757 000 119,000 1.2 1830 12 866 000 13 109 000 243,000 1.9 1840 17 069 000 17 506 000 437,000 2.6 1850 23 192 000 23 192 000 0 1860 31 443 000 30 412 000 -1,031,000 -3 .3 1870 38 558 000 39 372 000 814,000 2.1 1880 50 156 000 50 177 000 21,000 0.0 1890 62 948 000 62 769 000 -179,000 -0 .3 1900 75 995 000 76 870 000 875,000 1.2 1910 91 972 000 91 972 000 1920 105 711 000 107 559 000 1,848,000 1.7 1930 122 775 000 123 124 000 349,000 0.3 1940 131 669 000 136 653 000 4,984,000 3.8 -1,644,000 -1.1 1950 150 697 000 149 053 000 0 0.0 0.0 En 1845, Verhulst pronosticó una población m áxim a para Bélgica de 6 600000 y una población máxima para Francia de 40000000. A hora bien, en 1930 la población de Bélgica había alcanzado 8 092 000. Esta discrepancia tan grande parecía indicar que la ley logística de crecimiento de poblaciones es poco precisa, por lo menos en lo que se refiere a la población este último país. Sin em bargo, la discrepancia puede explicarse por el sorprendente crecimiento industrial en Bélgica y por la adquisición del territorio del Congo, en África, lo cual aseguró suficientes recursos adicionales para el país como para atender a la población adicional. Así pues, después del crecimiento industrial tan sorprendente y la adquisición del Congo, Verhulst debió haber disminuido el coeficien­ te vital b. Por otro lado, la población de Francia en 1930 concordaba en forma sorprendente con las predicciones de Verhulst. De hecho, parecía que había respuesta a la siguiente paradoja: ¿Por qué aum entaba tan lentam ente la población de Francia en 1930, mien­ tras que la población francesa de C anadá aum entaba con rapidez? Después de todo se trata de la misma gente. La solución a la paradoja, claro está, es que la población de Francia en 1930 se encontraba muy cerca de su valor límite y, por ello, en un periodo de crecimiento reducido, mientras que la población de Canadá en 1930 se encontraba ■aún en el periodo de crecimiento acelerado.
    • 33 1.5 • M odelos poblacionales O b s e r v a c ió n 1 . Es claro que los desarrollos tecnológicos, la reflexión sobre la con­ tam inación am biental y las tendencias sociológicas han tenido una influencia significa­ tiva sobre los coeficientes vitales a y b. Por consiguiente, éstos deben ser reevaluados cada cierto núm ero de años. O b s e r v a c ió n 2 . Para lograr modelos más precisos de crecimiento poblacional, deben considerarse las poblaciones como constituidas por grupos no homogéneos de indivi­ duos. Más bien, hay que subdividir la población en diferentes grupos de edades. Tam ­ bién se debe subdividir la población en hombres y mujeres, ya que la tasa de reproduc­ ción de ésta depende usualmente más del número de mujeres que del de hombres. O b s e r v a c ió n 3 . Posiblemente la crítica más severa en contra de la ley logística de crecimiento de poblaciones es la observación de que algunas poblaciones fluctúan perió­ dicam ente entre dos valores, y una curva logística excluye cualquier fluctuación perió­ dica. Sin em bargo, algunas de estas fluctuaciones pueden explicarse por el hecho de que cuando ciertas poblaciones alcanzan una densidad suficientemente alta, se vuelven susceptibles a epidemias. La epidemia reduce el nivel de la población a un valor, a par­ tir del cual vuelve a crecer hasta que vuelve a ser afectada por una epidemia cuando alcanza un nivel suficientemente alto. En el Ejercicio 10 se deduce un modelo para des­ cribir este fenómeno. Este m odelo se aplica en el Ejercicio 11 para explicar la aparición y desaparición repentina de grupos de roedores. E p í l o g o . El siguiente artículo, escrito por Nick Eberstadt, apareció en el New York Times el 26 de marzo de 1978. El punto central del artículo es que resulta muy difícil efectuar, sólo con métodos estadísticos, predicciones exactas de poblaciones, incluso para 30 años hacia el futuro. En 1970, dem ógrafos de Estados Unidos proyectaron una población de 6 500 millones de personas para el año 2000. Tan sólo seis años más tarde este pronóstico se corrigió a 5 900 millones. A hora, usando la ecuación (3) para predecir la población de la Tierra en el año 2000, tómese a = 0.029, b = 2.695 x 10~n , p Q = 3.34 x 109, t0 = 1965 y / = 2000. Con esto se obtiene p(200Qj ~ í-029^ - 34) 109 } .009 + (.0 2 )e ~ ( 029)35 = 29(3.34) 9 + 20e-1 015 = ¡5 960 millones de personas! Esta es o tra aplicación espectacular de la ecuación logística.
    • 34 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ----------------------------------------------------------------------------------------------Las im ágenes de la población mundial son engañosas La tasa de crecim iento de la p o b lació n m u n d ial se ha in crem entado c o n tin u a m e n te d u ra n te la m ay o r parte de la historia de la h u m a n id a d , p ero en la ú lti­ ma décad a alcanzó un m áxim o y a h o ra parece d ecre­ cer. ¿C óm o o currió esto y p o r qué? El “ có m o ” es b astan te sencillo. N o se debe a que la falta de alim ento o las catá stro fes ecológicas hayan elevado las tasas de m o rta lid a d . M ás bien, ha h a b id o u n a no tab le e inesperada d ism in u ció n de la fecu n d i­ d ad en los países su b d esarro llad o s. E n tre 1970 y 1977 la tasa de n atalid ad en los países en vías de d esarro llo (excluyendo C hina) b ajó a p ro x im a d a m e n te de 42, a cerca de 36 por mil. Esto es to d av ía m ucho m ay o r que el 17 p o r m il en los países d e sa rro lla d o s, pero la d is­ m inución de la tasa de n a ta lid a d parece ser a celera­ da: la b a ja de seis p u n to s en los siete años a n terio res co ntrasta con una baja de dos puntos en los veinte años an terio res. La dism inución de la fecu n d id ad ha sido un p ro ­ ceso desigual. La dism inución p ro m ed io en la ta sa de n a talid ad de 13% desde 1970 refleja u n a reducción rápida en ciertos países, m ientras que en m uchos otros la situación perm anece casi sin cam bios. P o r qué ha dism inuido tan ráp id am en te la fecu n ­ didad en la últim a d écada y p o r qué ha d ism in u id o con m ás n o to ried ad en algu n o s lugares p ero n o en o tro s, es aún m ás difícil de explicar. D em ó g rafo s y sociólogos proponen explicaciones que tienen q u e ver con el cam bio social en el m u n d o p o b re. D e sa fo rtu ­ n a d am e n te, estas explicaciones parciales son m uch as veces m ás teoría que hechos c o m p ro b ad o s y parece h a b er siem pre una excepción p a ra c ad a regla. El deb ate sobre la planea ció n fam iliar es c a ra c ­ terístico. A lgunas reseñas m u e stra n que en alg u n o s países al m enos la m itad de los hijos “ no estab an p la ­ n ead o s” y p ro bablem ente no h a b ría n n acid o si los p adres h ubieran tenido m ejo res m éto d o s a n tic o n ce p ­ tivos. E xpertos en plan ificació n fam iliar, co m o P a r ­ ker M auldin del C onsejo de Población de E stados U ni­ d o s, h an destacado que nin g ú n país p o b re sin un p ro g ram a activo de plan ificació n fam iliar ha ten id o d ism inuiciones significativas en la fecu n d id ad de su p o b lació n . P o r o tro lad o , sociólogos co m o W illiam P etersen de O hio S tate U niversity atrib u y en esta d is­ m inución en la población de d ichos países al d e sa rro ­ llo económ ico y social, m ás q u e al uso de a n tic o n ce p ­ tivos, arg u m en tan d o que los p ro g ra m as de co n tro l ________________________ p o b lacio n al usualm ente han sido im p ro p io s e insen­ sibles (o p eo r aú n ), y que incluso en el caso de acep ­ tació n de la “ tec n o lo g ía ” a n tico n cep tiv a, no necesa­ riam en te influye eso p a ra que los p ad res deseen tener m enos h ijo s. Los efectos de la d istrib u ció n del ingreso no son o b je to de ta n to d eb ate , pero si al m enos son difíciles de ex plicar. Jam es K ocher y R o b ert R ep etto , am bos de la U n iversid ad de H a rv ard , a firm a n que u n a dis­ trib u ció n m ás ju s ta de los ingresos c o n trib u y e al des­ censo de la fecu n d id ad poblacio n al en los países su b ­ d esa rro llad o s. Señalan que países com o C eilán (Sri L an k a), C o rea del S ur, C u b a y C h in a han ab atid o sus tasas de fertilid ad al lo g rar u n a d istrib u ció n e q u ita ti­ va del ingreso. Sin e m b arg o , el m ejo ram ien to en la rep a rtic ió n del ingreso en un país no parece ser una co n d ició n necesaria ni tam p o co suficiente p a ra in d u ­ cir u n a b a ja en la fecu n d id ad . L a d istrib u ció n del ingreso en B irm ania, por ejem plo, se ha vuelto supues­ ta m en te e q u ilib rad a en 30 añ o s de socialism o local, p ero las tasas de n atalid ad difícilm ente han b ajad o , m ientras q u e M éxico y C o lo m bia, con u n a d istrib u ­ ción m uy desigual del ingreso, h an reducido sensible­ m ente las tasas de n a ta lid ad en los últim os años. U n p u n to clave p a ra cam b iar los núcleos de fer­ tilid ad p u ed e ser la relación costo-beneficio económ i­ co de los hijos. En sociedades agrícolas, d onde los des­ cendientes no reciben m uchas com odidades y empiezan a tra b a jar desde jóvenes, éstos púeden convertirse muy p ro n to en un cap ital. U n estudio reciente p o r Mead C ain , del C on sejo de P o b lació n , fijó la edad de los hijos p a ra em pezar a tra b a ja r en B angladesh, en 12 años. M ás a ú n , los hijos (o más precisam ente los hijos varones) pueden servir tam bién com o seguridad social y seguro de desem pleo cu an d o los padres envejecen y no p ueden la b o ra r o no hay tra b a jo disponible. Al d ism in uir las tasas de n ata lid a d en los países pobres, puede ser que el d esarro llo económ ico y social haga a los h ijo s m enos necesarios com o fuentes de ingre­ sos y seg u rid ad , pero es tan poco el tra b a jo realizado en estas áreas que esto sólo es u n a especulación razo­ n able. A lg u n o s de to d o s los facto res, cuyos efectos han sido e stu d iad o s con respecto a la fecu n d id ad , son la u rbanización, la educación, la estructura ocupacional, la salud p ú b lica y el estatu s de la m u je r. U n área que, sin em b a rg o , los expertos parecen h a b e r pasado por
    • 1.5 • Modelos poblacionales alto en población, es el terreno no cuantificable de las actividades, creencias y valores que pueden haber teni­ do que ver con los recientes cam bios en las decisiones de cientos de m illones de parejas. Las diferencias cul­ turales, los conflictos étnicos, los cam bios psicológi­ cos, ideológicos, e incluso, políticos pueden claram ente haber tenido efectos en la fecu n d id ad . C om o expresó Maris V onovskis de la C om isión P arlam en taria E spe­ cial p ara la P o b lació n , sim plem ente p orque algo no se pueda m edir ello no significa que deje de ser im p o r­ tante. ¿Q ué significado tiene la dism inución de la fecun­ didad en los futuros niveles poblacionales? O b viam en­ te si la dism inución co n tin ú a, el crecim iento de la población será m ás lento que lo previsto y la p o b la ­ ción m undial se estabilizará alred ed o r de un nivel m ás bajo al previsto. H ace tan sólo cinco años el p ro n ó s­ tico de “ desviación m edia’’ fo rm u lad o por las N acio ­ nes U nidas p ara la población m undial en el añ o 2000 era de 6 500 m illones; el últim o añ o tal predicción d is­ m inuyó en m ás de 200 m illones, y un tra b a jo reciente de G ary L ittm aan y N ath an K eyfitz, del C en tro de E studios P oblacionales de H a rv a rd , m uestra que en base a los cam bios recientes se p odría am inorar el p ro ­ nóstico fácilm ente en 400 m illones m ás. Los p ro n ó s­ ticos de poblaciones son, sin em b arg o , un asu n to d eli­ cado. P a ra em pezar, los cálculos de la po b lació n actual, sobre los que se basan los pro n ó stico s del m añana, tienen un am plio m argen de error. P o r ejem ­ plo, las estim aciones de la po b lació n de C hina varían de 750 a m ás de 950 m illones. Según cálculos de Jo h n D urand, de la U niversidad de P ennsylvania, los m á r­ genes de error para la población m undial ascienden a más de 200 m illones. El h isto ria d o r F ern an d B raudel calcula en 10% el m argen de e rro r, lo cual, d ad a la población m undial presente, significa m ás de 400 m illones de personas. Los pron ósticos de p oblaciones inspiran a ú n menos confianza que los cálculos de poblaciones, p o r­ que requieren predicciones de las tasas de n a ta lid a d , y m o rtalid ad en el fu tu ro . D ichas tasas pueden c a m ­ biar rápida e inesperadam ente; dos ejem plos extrem os son C eilán (Sri L anka), con u n a dism inución de 34% en la tasa de m o rtalid ad en un p erio d o de dos añ o s, y Ja p ó n , con un descenso en la tasa de n a ta lid a d de 35 50% en un periodo de 10 años. Pronósticos de la ONU realizados 17 años antes de 1975, sobreestim aron la p oblación de la U RSS entre 10 y 20 m illones, y subvaluaron la población de la India en 50 millones. Inclu­ so pronósticos para los Estados Unidos hechos en 1966 sobreestim aron su población p ara nueve años más ta r­ de, en m ás de 10 m illones. Este e rro r puede parecer enorm e; sin em bargo, resulta pequeño com parado con los errores en los cálculos realizados en la década de 1930, en los cuales se ex tra p o la b a las bajas tasas de n atalid ad de la época de la depresión para predecir un m áxim o en la p oblación estadounidense de 170 m illones p ara finales de los años 70 (la población actual es de 220 m illones), que descendería p o sterio r­ m ente. ¿Es posible que las tasas de n atalid ad en los países subdesarrollados, que por el m om ento parecen dism i­ nuir aceleradam ente, se estabilicen de repente o incluso aum enten de nuevo? T eó ricam en te esto podría ocu­ rrir. A co n tin u ació n se m encionan cu atro de las razo­ nes más im p o rtan tes: 1) M uchos países en los que la fecundidad poblaciona! no se ha visto afectada por el descenso p o d rían sim plem ente co n tin u ar sin expe­ rim en tar cam bios en el fu tu ro p róxim o. 2) Ya que es­ terilidad e infertilidad están am pliam ente difundidas en m uchas de las regiones más pobres y afectadas por en­ ferm edades, las tasas de n atalid ad en dichas regiones p o d rán elevarse m ejo ra n d o los servicios de salud y la alim entación. 3) El sistem a G an d h i de esterilización m asiva fría y a rb itra ria puede h ab er afectado a esa región del m undo, de tal form a que se opongan a futu­ ras m edidas de lim itación fam iliar. 4) Si Jo h n A ird, del D epartam ento de Com ercio de Estados Unidos, y o tro s autores tienen razón en que las técnicas de m o­ vilización política y persuación social han llevado a m uchos padres a tener m enos hijos de los deseados, entonces una m odificació n de estas reglas por el m o ­ tivo que fuera p o d ría a u m e n ta r la tasa de n atalidad de la enorm e po b lació n china. U na de las reglas a lar­ go plazo acerca de los p ro n ó stico s poblacionales que aú n se m antiene es que d en tro de los límites de preci­ sión (alrededor de cinco años hacia el futuro) no se puede afirm a r n ad a interesante, y cu an d o se em pieza a decir algo im p o rtan te los resu ltad o s ya no son precisos. y
    • 36 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Bib l io g r a f ía Gause, G.F. The Struggle f o r Existence, Dover Publications, New York, 1964. PearI and Reed, Proceedings o f the National A cad e m y o f Sciences, 1920, p. 275. Ej e r c i c io s 1. Demuestre que (a - bp0)/(a - bp(t)) es positivo para t0 < t < 00. Sugerencia: Use la ecuación (2) para dem ostrar que p(t) no puede ser igual a a /b si p 0 ^ a/b. 2. (a) Considere 3 instantes t0 , t¡ y t2 con t¡ - t0 = t2 ~ t¡ . Demuestre que <3) deter­ mina a a y b de m anera única en térm inos de t0, p ( t 0), , p { t x), t2 y p ( t 2). (b) Demuestre que el periodo de crecimiento acelerado para los Estados Unidos term inó en abril de 1913. (c) Considere una población p{t) que aum enta de acuerdo con la ley logística (3) y denote por t el tiempo para el cual se alcanza la m itad de la población límite. Pruebe que 3. En 1879 y 1881 se pescó un cierto núm ero de percas de un año en Nueva Jersey, y se llevaron al otro lado del continente en vagones tanque de ferrocarril, para ser liberadas en la bahía de San Francisco. Solam ente un total de 435 percas sobrevi­ vió a los rigores del viaje. Sin em bargo, en 1899, la sola pesca comercial capturó 1 234 000 libras de percas. Dado que el crecimiento de la población fue tan acelera­ do, es razonable suponer que obedeció a la ley de M althus d p /d t = ap. Suponien­ do que el peso prom edio de una perca es de tres libras, y que en 1899 se capturó una de cada diez percas, determine un límite inferior para a. 4. Suponga que una población duplica su tam año original en 100 años y la triplica en 200. Demuestre que para dicha población no es aplicable la ley m althusiana de crecimiento poblacional. 5. Suponga que p ( t ) satisface la ley de Malthus de crecimiento de poblaciones. Demues­ tre que los incrementos de p en intervalos sucesivos de tiempo de igual duración, son los térm inos de una progresión geométrica. Esto dio origen a la famosa frase de Thomas M althus: “ Una población no controlada se incrementa en proporción geométrica. Los medios de subsistencia aum entan en proporción aritm ética. Una habilidad mínima con los números hace ver la enorm idad de la prim era potencia en com paración con la segunda’’. 6. Una población crece de acuerdo con la ley logística, y tiene un límite de 5 x 108 individuos. Cuando la población es baja se duplica cada 40 minutos. ¿Qué valor tendrá la población después de 2 horas si inicialmente era de (a) 108, (b) 10 ? 7. Una familia de salmones que habita en las costas de Alaska se rige por la ley multhusiana de crecimiento de población dp(t)/dt = 0.003p(r), donde / se mide en minu­ tos. En el tiem po t = 0 un grupo de tiburones se establece en esas aguas y empieza a atacar a los peces. La tasa a la cual el tiburón m ata a los salmones es de
    • 37 1.5 • M odelos poblacionales 0.001 p 2(t), donde p(t) es la población de salmones en el tiempo t. Más aún, dado que un elemento indeseable se incorporó a su hábitat 0.002 salmones por minuto abandonan las aguas en Alaska. (a) M odifique la ley de Malthus de crecimiento de población para tom ar en cuen­ ta estos dos factores. (b) Suponga que en el tiempo t = 0 hay un millón de salmones. Calcule la pobla­ ción p(t). ¿Qué pasa cuando t -* °°? (c) Demuestre que el modelo anterior es absurdo. Sugerencia: demuestre que, de acuerdo con este modelo, la población de salmones decrece de un millón a cer­ ca de mil en un m inuto. 8. Despreciando las altas tasas de emigración y de homicidios, la población de la dad de Nueva York satisface la siguiente ley logística ^ = dt 1 25 p 2 (25)106 donde t se mide en años. (a) M odifique la ecuación para tom ar en cuenta el hecho de que 9000 personas se m udan anualm ente a las afueras de la ciudad, y de que 1000 personas s asesinadas en el mismo periodo. (b) Suponga que la población de Nueva York en 1970 era de 8 000 000. Calcu la población para el futuro. ¿Qué sucede cuando t °°? 9. Una población inicial de 50 000 habitantes vive en un microcosmos con una capa­ cidad de transporte para 100000. Después de cinco años la población se ha incre­ m entado a 60 000. Demuestre que la tasa natural decrecimiento deesta población es (l/5 )ln 3/2. 10. De la siguiente m anera, es posible representar una población que es susceptible a una epidemia. Suponga que la población se controla originalmente por la ley logística ap-bp2 (i) y que se desata una epidemia tan pronto como Q alcanza un cierto valor, con Q m enor que la población límite a/b. A ese nivel los coeficientes vitales se modifican com o sigue A < a, B < b y la ecuación (i) se reemplaza por — = A p - Bp2. (ii) Suponga que Q > A / B . Entonces la población comienza a disminuir. En algún m om ento se alcanza un punto inferior a un cierto valor q > A / B . En ese punto la epidemia cesa y la población vuelve a crecer de acuerdo con la ecuación (i) hasta la aparición de una nueva epidemia. De esta m anera hay fluctuaciones periódicas de p entre q y Q. A continuación, se indica cómo calcular el periodo T de estas fluctuaciones. (a) Demuestre que el tiempo T { requerido para la prim era parte del ciclo, cuan­ do p crece de q a Q, está dado por
    • 38 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (b) Pruebe que el tiempo T2 requerido para la segunda parte del ciclo, cuando p decrece de Q a q, está dado por . 2 g(Q B-A) A n Q (qB -A ) Así pues, el tiem po requerido para el ciclo com pleto está dado por T x + T2. 11. Se ha observado que aparecen plagas en las poblaciones de ratones tan pronto éstas crecen dem asiado. Más aún, un incremento local de la densidad atrae a los depre­ dadores en grandes cantidades. Estos dos factores aunados destruyen del 97% al 98% de la población de los pequeños roedores en un lapso de dos o tres semanas, y la densidad baja a un nivel en el cual la enferm edad no se puede diseminar. La población, reducida al 2% de su máximo, encuentra com ida abundante y refugio suficiente contra los depredadores. Por ello, la población crece de nuevo hasta alcan­ zar un nivel favorable para otro brote de enferm edad y depredación. A hora bien, la velocidad de reproducción de los ratones es tan grande que es posible tom ar b 0 en la ecuación (i) del Ejercicio 7. En la segunda parte delciclo, por lo contrario, A es muy pequeña com parada con B y puede omitirse en la ecuación (ii). (a) Demuestre que con estas consideraciones se tiene t — T 1i a Q„ ln y q -r Q r— T 1 = —7~ q . q QB (b) Suponiendo que T x es aproximadamente cuatro años y Q /q es de casi cincuen­ ta, dem uestre que a es casi igual a 1. Este valor de a corresponde por casuali­ dad muy bien a las tasas de reproducción observadas en ratones en condicio­ nes naturales. 12. Hay muchas clases im portantes de organismos cuya tasa de natalidad no es pro­ porcional al tam año de la población. Suponga, por ejemplo, que cada miembro de la población requiere una pareja para la reproducción y que cada miembro tie­ ne una cierta probabilidad de encontrar pareja. Si el núm ero esperado de encuen­ tros es proporcional al producto del número de hembras y machos, y si éstos están igualmente distribuidos en la población, entonces el núm ero de encuentros, y por tanto la tasa de natalidad tam bién, es proporcional a p. P or lo tanto, el tam año de la población p(t) satisface la siguiente ecuación diferencial dp , - j j = bp ‘- - a p , a , b > 0. Demuestre que p(t) tiende a cero cuando t -► oo si p 0 < a/b. Así pues, una vez que el tam año de la población se encuentra por debajo del tam año crítico a/b, la población tiende a extinguirse. P or ello, se dice que una especie está en peligro de extinción si su tam año se encuentra demasiado cercano al valor crítico.
    • 39 1.ó • Diseminación de innovaciones tecnológicas 1 .6 D i s e m i n a c ió n d e i n n o v a c i o n e s t e c n o l ó g i c a s Econom istas y sociólogos se han ocupado desde hace tiempo de cómo un cambio tecnológico o una innovación se disemina en una industria. Una vez que cierta innova­ ción es introducida por una com pañía, interesa saber qué tan rápido lo hacen otras compañías y qué factores determ inan la rapidez con la que lo hacen. En esta sección se construye un modelo para la diseminación de una innovación entre granjeros, y des­ pués se pone de manifiesto que el modelo también describe la diseminación de una inno­ vación en industrias tan diversas como la del carbón mineral o hulla, la del fierro y el acero, la de la cerveza y la de los ferrocarriles. Supóngase que una innovación se introduce en el tiempo t = 0 en una comunidad fija de N granjeros. Sea p (t) el número de granjas que la han adoptado en el tiempo t. Como en la sección anterior se hace el cálculo de que p{t) es una función continua del tiem po, aunque sus cambios ocurren obviam ente en cantidades enteras. La suposi­ ción realista más simple que se puede hacer es que un agricultor adopta una innovación sólo después de haber hablado con un granjero que la haya adoptado previamente. Enton­ ces el núm ero de granjeros A p que adoptan la innovación en un intervalo de tiempo pequeño A t , es directam ente proporcional al núm ero de ellos p que ya la adoptaron y al núm ero de granjeros que aún no lo hacen N - p . Por lo tanto, A p = c p (N - p)At, o bien A p / A t = cp {N - p) para alguna constante positiva c. Si A t -* 0 se obtiene la ecuación diferencial dp — — c p ( N —p). (1) Ésta es la ecuación logística de la sección anterior si se tom an a = c N y b = c. Supo­ niendo que p ( 0) = 1, es decir, que un granjero ha adoptado la innovación en el tiempo t - 0, se ve que p(t) satisface el siguiente problem a de valor inicial = c p { N - p ), /?(0) = 1. (2) La solución de (2) es Nt>cNt p ( t ) = — — -------N — + e cNt (3) la cual es la función logística (Sección 1.5). Por lo tanto, el modelo predice que el pro­ ceso de adopción se acelera hasta el punto en el cual la m itad de la com unidad está inform ada de la innovación. Después de este punto, el proceso de adopción se desacele­ ra hasta alcanzar el valor de cero. Es posible com parar las predicciones del modelo con datos acerca de la disemina­ ción de dos innovaciones en Estados Unidos, en comunidades de granjeros a mediados de la década de 1950. La Figura 1 presenta el total acum ulado de granjeros en Iowa durante el periodo de 1944 a 1955 que adoptaron el herbicida 2,4-D, y la Figura 2 seña­ la el porcentaje acum ulado de superficie de cultivo de grano, específicamente de grano híbrido, en tres de los estados de la Unión A m ericana durante los años 1934-1958. Los círculos en las Figuras indican las mediciones realizadas y las gráficas se obtuvieron unien­ do dichos puntos con segmentos. Com o puede verse, todas estas gráficas tienen las pro­ piedades de las curvas logísticas y, en general, m uestran una concordancia muy buena
    • 40 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN TIEMPO EN AÑOS F ig u r a i . T otal acum ulado de granjeros que adquirieron el herbicida 2, 4D en Iowa AÑOS FIGURA 2. Porcentaje acumulado de superficie cultivada con grano híbrido en tres esta­ dos de la Unión A m ericana
    • 41 1.6 • Diseminación de innovaciones tecnológicas con el modelo. Sin em bargo, hay dos discrepancias. Prim ero, el punto en el cual el pro­ ceso de adopción deja de ser acelerado no siempre es cuando 50% de la población ya adoptó la innovación. Com o puede verse en la Figura 2, el proceso de adopción de gra­ no híbrido empezó a desacelerarse en Alabam a sólo después de que aproximadamente 60% de los granjeros habían adoptado la innovación. Segundo, la concordancia con el modelo es mucho m ejor en las etapas avanzadas del proceso que en las iniciales. La razón de la segunda discrepancia es el supuesto de que un granjero sólo se ente­ ra de la existencia de la innovación por la comunicación con otros granjeros. Esto no es com pletam ente cierto. Algunos estudios han m ostrado que los medios masivos de com unicación, como por ejemplo: radio, televisión, periódicos y revistas para agricul­ tores desempeñan un papel muy im portante en las primeras etapas del proceso de adop­ ción. P or lo tanto, es necesario agregar un térm ino a la ecuación diferencial (1) para tom ar esto en cuenta. P ara calcular este término supóngase que el número de granjeros Ap que se enteran de la existencia de la innovación a través de los medios de comunica­ ción masiva en un periodo corto A t es proporcional al número de granjeros que aún no saben de la innovación, es decir Ap = c'{N —p)A t para alguna constante positiva c . Cuando A t -* 0 se ve que c'(N - p) granjeros se enteran ■ de la existencia de la innovación a través de los medios de comunicación masiva por unidad de tiem po. Así pues, si p { 0) = 0, entonces p(t) satisface el siguiente problema de valor inicial ^ = c p ( N - p ) + c ' ( N - p ), /K0) = 0. (4) La solución de (4) es p(t )= jVcT e{c’+cN)t- 11 ----------------------i L (5) cN + c'e{e+eN)‘ y en los Ejercicios 2 y 3 se indica cómo determ inar la form a de la gráfica (5). La curva corregida (5) tiene una concordancia sorprendente con las Figuras 1 y 2 para una elección adecuada de c y c'. Sin em bargo, (Ejercicio 3c) no explica por qué la adopción del grano híbrido en A labam a empezó a desacelerarse solamente después de que 60% de los granjeros habían adoptado la innovación. Esto indica por supuesto que otros factores como el tiem po que transcurre entre el m om ento en que un agricul­ tor se entera de la existencia de un producto y el m om ento en el que lo adquiere, pueden desempeñar un papel im portante en el proceso de adopción y deben, por tanto, ser tom a­ dos en cuenta en cualquier m odelo. A continuación se m uestra que la ecuación diferencial d p / d t = c p ( N —p ) tam bién gobierna las tasas con las cuales com pañías en industrias diversas como la del carbón m ineral, la siderúrgica, la de la cerveza y la ferroviaria adoptaron varias inno­ vaciones im portantes en la prim era parte de este siglo. Esto es muy sorprendente, ya que se esperaría que el núm ero de com pañías que adoptan una innovación en una de estas industrias, depende con seguridad de la rentabilidad de la innovación y de la inver­ sión que se requiere para ponerla en práctica. Sin em bargo, estos factores no se men­ cionaron al deducir la ecuación (1). A pesar de todo se verá que estos factores están incorporados en la constante c.
    • 42 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sea n el núm ero total de empresas en una industria particular que han adoptado la innovación en el tiempo t. Es claro que el número de compañías Ap que adoptan la innovación en un periodo corto de tiem po A t es proporcional al número de empresas n - p que aún no lo han hecho; es decir, Ap = (/z - p)A t. Si A t -* 0, se ve que dp El factor de proporcionalidad X depende de la rentabilidad ir relativa a inversiones, de la inversión s requerida para utilizar la innovación como porcentaje del activo total de la empresa y del porcentaje de com pañías que ya adquirieron la innovación. Así pues, = f(ir,s,p /n ). Desarrollando / e n una serie de Taylor y sin tom ar en cuenta los términos de grado superior a dos, se obtiene A fines de la década de 1950 Edvvin Mansfield de la Universidad Carnegie Mellon inves­ tigó la diseminación de doce innovaciones en cuatro industrias im portantes. De estu­ dios completos, Mansfield concluyó que a X = 0 y que Q a + a 2T + a ys + a bn l + a 6s2 + a i rrs = 0. T Así pues, si se tom a k = a4 + a% + a^s, ir ( 6) resulta que (Ésta es la ecuación obtenida anteriorm ente para la diseminación de innovaciones entre los granjeros, cuando k / n = c. Se considera que la innovación fue adquirida inicial­ mente por una com pañía en el año /0- Entonces p(t) satisface el siguiente problem a de valor inicial (7) lo cual implica Mansfield estudió con qué rapidez se generalizó el uso de doce innovaciones de una empresa a otra en cuatro industrias im portantes: carbonera, siderúrgica, cervecera y ferroviaria. Las innovaciones son el vagón para viajes cortos, la cargadora locomóvil sin vía, la m áquina excavadora minera de trabajo continuo (en la industria del carbón); el horno de coque de subproductos, el molino lam inador continuo de tira ancha, línea continua de recocido para hoja lata (en la industria del hierro y el acero), el carro mon­ tacargas de horquilla, los recipientes de lata (o botes) y la llenadora de alta velocidad (en la industria de la cerveza); la locom otora Diesel, el control centralizado de tránsito y los retardadores de vagones o carros (en la industria de los ferrocarriles). Sus resulta­ dos se describen gráficam ente en la Figura 3. Exceptuando el horno de coque secunda-
    • 43 1.6 • Diseminación de innovaciones tecnológicas 5 1890 t900 '10 '20 '3 0 *4 0 *50 AÑOS (a) (b) AÑOS (c) F i g u r a 3 . Aum ento en el porcentaje de empresas im portantes que introdujeron doce innovaciones; empresas del carbón mineral bituminoso, fierro y acero, cervecera y ferro­ carrilera, entre 1890 y 1958; (a) horno para subproductos del coque (OC), locomotora diesel (LD), recipiente de lata (RL) y carro para viajes cortos (VC); (b) retardador de carros (RC), cargadora sin vía (CV), excavadora de minado continuo (EC) y m ontacar­ gas de horquilla (MU); (c) lam inador continuo de tira ancha (LA), control central de tráfico (CCT), recocido continuo (RC) y llenadora de alta velocidad (RAV).
    • 44 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN rio y los envases de introducción inicial. mente, de seis años, todas estas gráficas T a b la lata, los porcentajes dados son para cada dos años a partir de la La m agnitud del intervalo para el horno de coque es, aproxim ada­ y para los recipientes o botes de lám ina, de seis meses. Nótese que tienen la form a de una curva logística. 1. Innovación L ocom oto ra Diesel C o n tro l central de trán sito R etard a d o res de vagones L a m in ad o r c o n tin u o de tira an ch a H o rn o p ara su b p ro d u cto s del coque R ecocido co n tin u o V agón p ara viajes cortos C a rg a d o ra sin vía E x cav ad o ra de m inado c o n tin u o R ecipiente de lám ina L len ad o r de alta velocidad M o n tacarg as de h o rq u illa n h ^4 *8 a9 ir s 25 1925 —0.59 0.530 - 0 .0 2 7 1.59 0.015 24 25 1926 1924 —0.59 - 0 .5 9 0.530 0.530 - 0 .0 2 7 - 0 .0 2 7 1.48 1.25 0.024 0.785 12 1924 - 0 .5 2 0.530 - 0 .0 2 7 1.87 4.908 12 9 1894 1936 - 0 .5 2 - 0 .5 2 0.530 0.530 - 0 .0 2 7 - 0 .0 2 7 1.47 1.25 2.083 0.554 15 1937 - 0 .5 7 0.530 - 0 .0 2 7 1.74 0.013 15 1934 - 0 .5 7 0.530 - 0 .0 2 7 1.65 0.019 17 1947 - 0 .5 7 0.530 - 0 .0 2 7 2.00 0.301 22 1935 - 0 .2 9 0.530 - 0 .0 2 7 5.07 0.267 16 1951 - 0 .2 9 0.530 - 0 .0 2 7 1.20 0.575 19 1948 - 0 .2 9 0.530 - 0 .0 2 7 1.67 0.115 P ara una com paración más detallada de las predicciones del modelo con los resul­ tados observados, es necesario calcular las constantes n, k y t0 para cada una de las doce innovaciones. La Tabla 1 da los valores de n, t0, a4, a5, cr9, x y 5 para cada una de las doce innovaciones. La constante k puede entonces calcularse a partir de la ecua­ ción (6). Com o indican las respuestas a los Ejercicios 5 y 6, el modelo predice con exac­ titud razonable las tasas de adopción de estas doce innovaciones. Bib l io g r a f ía M ansfield, E ., “ Technical change and the rate o f im itation” , Econometrica, Vol. 29, No. 4, oct. 1961. Ej e r c i c io s 1. Resuelva el problem a de valor inicial (2). 2. Tome c = 0 en (5). Demuestre que p(t) crece m onótonam ente de 0 a N , y que no tiene puntos de inflexión.
    • 1.7 • Un problem a de alm acenam iento de desperdicios atómicos 45 3. Este es un argum ento heurístico para determ inar el com portam iento de la curva (5). Si c = 0, entonces se tiene una curva logística, y si c = 0, entonces se tiene el com portam iento descrito en el Ejercicio 2. Así pues, si c es grande com parada con c', entonces se tiene una curva logística, y si c es pequeña en comparación con c entonces se tiene el com portam iento ilustrado en el Ejercicio 2. (a) Suponga que p(t) satisface la ecuación (4). Demuestre que d 2p — - = ( N —p) ( cp + c ' ) ( c N — 2cp — c'). dr (b) M uestre que p(t) tiene un punto de inflexión en el cual d p / d t alcanza un máxi­ mo, si y solam ente si c c < N. (c) Suponga q u ep (/) tiene un punto de inflexión en t Demuestre quep(t*) N /2 . = /*. < 4. Resuelva el problem a de valor inicial (7). 5. Parece razonable tom ar el intervalo de tiempo entre el m om ento en que 20% de las empresas han introducido la innovación y el momento en que 80% de las empre­ sas han introducido la innovación como la tasa de imitación. (a) Demuestre a partir del modelo, que la magnitud del intervalo es de 4(ln 2)/k. (b) A partir de los datos de la Tabla 1 calcule dicha duración para cada una de las doce innovaciones, y compare la Figura 3 con los valores observados. 6. (a) Demuestre a partir del modelo, que transcurren (1 /Ar)ln {n — 1) años antes de que el 50% de las compañías introduzcan una innovación. (b) Calcule dicho periodo para cada una de las doce innovaciones y compare la Figura 3 con los valores observados. 1 .7 U n p r o b l e m a de a l m a c e n a m ie n t o DE DESPERDICIOS ATÓMICOS Durante varios años, la Comisión de Energía Atóm ica (AEC) (conocida ahora como la Comisión Reguladora de la Energía Nuclear de Estados Unidos ha asumido el con­ trol del concentrado de m aterial radiactivo de desperdicio colocándolo en recipientes herméticamente sellados, los cuales son depositados en el mar a cincuenta brazas (300 pies o 90 metros) de profundidad. Al ser cuestionado este procedim iento por un grupo de ecologistas y científicos, la AEC aseguró que en estos recipientes nunca se presenta­ rían fugas. Pruebas exhaustivas dem ostraron que la AEC tenía razón. Sin embargo, algunos ingenieros se preguntaron entonces si los recipientes se rom perían al sufrir el impacto contra el fondo m arino. La AEC respondió que no sucedería nunca tal cosa y los ingenieros trataron de investigar más en detalle. Después de realizar numerosos experimentos, encontraron que los recipientes se podrían romper si su velocidad en el momento del choque fuera 40 pie/s (o 12 m /s). El problem a consiste, por lo tanto, en calcular la velocidad de los recipientes en el instante en que chocan contra el fondo del mar. Con este propósito es necesario revisar brevemente algunos conceptos de mecáni­ ca newtoniana.
    • 46 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN La mecánica newtoniana es el estudio de las famosas leyes de movimiento de Newton y sus consecuencias. La prim era ley del movimiento establece que un cuerpo per­ manecerá en reposo o en movimiento con velocidad constante si ninguna fuerza actúa sobre él. Una fuerza puede considerarse como una atracción o una repulsión. La acción puede ser ejercida directamente por algo que esté en contacto con el cuerpo, o indirec­ tamente, como es el caso de la fuerza de gravedad de la Tierra. La segunda ley de Newton describe el movimiento de un objeto sobre el que actúan varias fuerzas. Denótese por ,y(0 la posición del centro de gravedad de un objeto. (Se supone que el cuerpo se mueve solam ente en una dirección.) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y que tienden a increm entar y se consideran positivas, mientras que las que tienden a dism inuir^ se consideran negativas. La fuerza resultante F q u e actúa sobre un objeto se define como la suma de todas las fuerzas positivas menos la suma de todas las fuerzas negativas. La segunda ley del m ovimiento establece que la aceleración d 2y / c l t 2 de un objeto es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre él, es decir, d 2y i — j = — F. dt2 m (1 ) La constante m es la masa del objeto. Se relaciona con el peso del mismo por medio de la expresión W = m g , donde g es la aceleración de la gravedad. A menos que se indique lo contrario, se supone que el peso de un objeto y la aceleración de la gravedad son constantes. También se utilizará aquí el sistema inglés de unidades, de modo que t se mide en segundos (s), y en pies (pie), y F en libras (fuerza) (Ib). La unidad de m es entonces el s l u g o geolibra y la aceleración gravitacional g es igual a 32.2 pie/s2. O b s e r v a c i ó n 1 . Sería preferible utilizar el Sistema Internacional de Unidades (SI), donde y se mide en metros (m) y F en newtons (N). La unidad de m es entonces el kilo­ gramo (kg), y la aceleración gravitacional es igual a 9.8 m /s 2. En la Sección 2.6 de la tercera edición de este libro se cambió del sistema inglés de unidades al sistema mks (o ahora, SI). Sin embargo, cam biar el sistema métrico mks en esta sección causaría una confusión innecesaria a los usuarios de la prim era y segunda ediciones. Esto se debe a los errores de truncam iento numérico que conlleva convertir pies a metros y libras a newtons.* Ahora se vuelve al problem a de alm acenam iento de desechos atómicos. AI descen­ der un recipiente o envase hermético en el agua son tres las fuerzas que actúan sobre él: Wy B y D. La fuerza W es el peso del recipiente que lo hace caer o moverse hacia abajo y su magnitud es 527.436 Ib. La fuerza B es la fuerza hidrostática de empuje del agua que actúa sobre el recipiente. Esta acción, tiende a mover el recipiente hacia arri­ ba y su m agnitud es el peso del agua desplazada por el volumen del contenedor. Ahora bien, la Comisión de Energía Atóm ica usó recipientes de 55 galones cuyo volumen es de 7.35 pie3. El peso de un pie cúbico de agua salada es de 63.99Ib. Así pues, B (63.99)(7.35) = 470.327 Ib. La fuerza D es la fuerza de resistencia hidrodinám ica que actúa sobre el recipiente, y se opone a su movimiento a través del agua. Los experimentos han indicado que todo * (N. del R.) En esta versión se aplican las normas metrológicas modernas, en simbologia y definiciones, aunque se ■han conservado las unidades inglesas del original.
    • 1.7 • Un problem a de alm acenam iento de desperdicios atómicos 47 fluido, como por ejemplo: agua, aceite y aire, se opone al movimiento de un objeto a través de él. Esta fuerza de resistencia actúa en dirección opuesta al movimiento y por lo com ún es directam ente proporcional a la velocidad V del cuerpo. De modo que, D = cV, para una constante positiva c. Nótese que la fuerza de resistencia del agua aum enta si L io hace y disminuye si V se reduce. Para calcular D los ingenieros realiza­ ron muchos experimentos de remolque. Concluyeron que la orientación del recipiente tiene poco efecto sobre dicha fuerza de resistencia, y que D - 0.081' <lbMS> pie A hora bien, al tom ar y - 0 al nivel del mar y consideran positiva la dirección hacia abajo se tiene que W es una fuerza positiva, y que B y D son fuerzas negativas. Por lo tanto, de (1) se obtiene W -B -cV )-± (W -B -'V ). Esta expresión puede escribirse como una ecuación diferencial lineal de primer orden en V = d y /d t, es decir, f + < 2> Al inicio, cuando se suelta el contenedor en la superficie del mar, su velocidad es cero. Así pues, la velocidad del recipiente V{t) satisface el siguiente problem a de valor inicial ^ r + w y = w { w ~ B)- y(0> = 0- (3) y de aquí se deduce que V( t ) = (4) La ecuación (4) expresa la velocidad del recipiente como una función del tiempo. P ara calcular la velocidad de impacto del envase es necesario calcular el tiempo t en el cual el recipiente toca el fondo del océano. D esafortunadam ente, sin embargo, es imposible evaluar t explícitamente como una función de .y (Ejercicio 2). Por lo tanto, no puede usarse la ecuación (4) para determinar la velocidad del recipiente en el momento del im pacto. No obstante, la AEC usó esta ecuación para dem ostrar que los recipientes no se destruyen con el golpe. De hecho, se observa de (4) que V(t) es una función m onó­ tona creciente del tiem po, y que tiende al valor límite cuando t tiende a infinito. La cantidad VT se conoce como velocidad terminal del reci­ piente. Claram ente, V(t) < VT, de modo que la velocidad de im pacto del recipiente con el fondo del m ar es con seguridad menor que ( W - B )/C . A hora bien, si esta velo­
    • 48 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN cidad term inal fuera menor que 40 pie/s, entonces los recipientes no se rom perían con el golpe. Sin em bargo, se tiene que W -B 527.436-470.327 or c. , c = M8 = 7 1 3 '86 ft/s> y este valor es dem asiado grande. En este m om ento debe ser claro que la única m anera de dirim ir las diferencias entre la AEC y los ingenieros es calcular v ( y) , la velocidad del recipiente como función de la posición. La función v( y) es muy diferente de la función V(t), la velocidad del conte­ nedor como función del tiem po. Sin em bargo, si se expresa y como función de t, ambas funciones están relacionadas por la siguiente ecuación V( l ) = v ( y ( t ) ) y aplicando la regla de la cadena para la diferenciación, d V / d t = (d v /d y )(d y /d t), se obtiene “g 7T 7T = W - B - c V . dy dt pero d y /d t = V(t) = v(y(t)). Así pues, elim inando la dependencia de y en / se ve que v( y) satisface la siguiente ecuación diferencial de prim er orden W . di■_ u/ g V dy 0 , v dv _ S W - B - c v dy W' Más aún t(0 ) = f ( y ( 0 ) ) = K ( 0 ) = 0. Por lo tanto, f L rdr J0 W - B - c r f yA d J0 W 5 gy w Ahora bien, f l rdr r vr - ( W - B ) / c Jn W - B - c r *U I «/Q W-B-cr w _ B p r c dr ' L W - B - cr u ^ dr - i r dr+ E ^ £ r C Jo c J0 W - B - c r v (W-B) w-B-cv, •ln c c2 W-B ' Ya se tenía que v < ( W — B ) / c ; por lo tanto, W — B c v siempre es positivo y además gy v l v = ~7 (W-B) ^ w-B-cc <) 5 En este punto parecería no haber solución al problem a, pues no es posible expresar a v como una función explícita de y a partir de (5). Sin em bargo, esta dificultad aparen­ temente insalvable tiene solución. Com o se m uestra en la Sección 1.11, es muy simple evaluar t-(300) a partir de (5) con una com putadora digital. Solamente se requiere sumi-
    • 49 1.7 • Un problem a de alm acenam iento de desperdicios atómicos nistrar a la m áquina una buena aproxim ación de v (300), lo cual se hace de la siguiente m anera. La velocidad v ( y) del recipiente satisface el siguiente problem a de valor inicial — v ^ = W-B-cc, g dy (6) u(0) = 0. Considerando por un momento c = 0 en (6) se obtiene un nuevo problema de valor inicial g 1/(0) = 0. dy (6 ') (v se reemplazó por « para evitar confusiones). Es posible integrar (6') directamente para obtener que W ir _ — ( W — B )y, g 2 o u( y ) = 2g W 1/2 (W-B)y En particular, -|1/2 2(32.2)(57.109)(300) ] 1/2 u(300) = [ ^ ( ^ - 5 ) 3 0 0 = V2Ó92 s 527.436 45.7 ft/s . La afirm ación ahora es que «(300) es una buena aproxim ación de v(300). La dem ostra­ ción es com o sigue: Prim ero obsérvese que la velocidad del recipiente siempre es mayor si no existe la fuerza de resistencia que se opone al movimiento. P or lo tanto, u(300) < «(300). Segundo, la velocidad v aum enta si y lo hace, de modo que v(y) < i>(300) paraje < 300. Por lo tanto, la fuerza D de resistencia del agua que actúa sobre el recipiente es siempre m enor que 0.08 x «(300) = 3.7 Ib. A hora bien, la fuerza resultante W - B que atrae el recipiente hacia abajo es de aproxim adam ente 57.1 Ib, la cual es muy grande com pa­ rada con D. P or lo tanto, es razonable que u( y) sea una buena aproxim ación de v(y). Y de hecho así es, ya que num éricam ente se ve que (Sección 1.11) u(300) = 45.1 pie/s. Así pues, los recipientes pueden dañarse con el impacto y los ingenieros tenían razón. E p í l o g o . Las reglas de la Comisión de Energía Atómica (AEC) (la actual NRC, de Nuclear Regulatory Comission) prohíben expresamente en la actualidad arrojar al mar desperdicios atómicos de bajo nivel. El autor no está seguro de si los países de Europa Occidental tam bién han prohibido esta práctica. O b s e r v a c i ó n . El m étodo presentado en esta sección puede servir para calcular la velocidad de cualquier objeto que se mueve a través de un medio fluido que se opone a su m ovimiento. Simplemente se hace caso omiso de la fuerza de resistencia si el medio no es agua. P o r ejemplo, denótese por V(t) la velocidad de un paracaidista que descien­ de hacia tierra bajo la influencia de la gravedad. Entonces se tiene que
    • 50 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN donde W es el peso de la persona y del paracaídas, y D es la fuerza de resistencia que ejerce la atm ósfera sobre el paracaidista en descenso. La fuerza de resistencia de un objeto en el aire o en cualquier fluido de viscosidad baja es usualmente casi proporcio­ nal a V 2. La proporcionalidad estricta con V es más bien el caso excepcional y ocurre sólo a velocidades muy bajas. El criterio para aplicar la ley cuadrática o la lineal es el número de Reynolds: R = pVL/¡±. L es la dimensión de la longitud representativa del objeto; q y n son la densidad y la viscosidad del líquido, respectivamente. Si R < 10 entonces D ~ V, y si R > 103 entonces D — V 2. P ara 10 < R < 103 ninguna de las leyes es exacta. Ej e r c i c io s 1. Resuelva el problem a de valor inicial (3). 2. Despeje y = y (t) de (4) y dem uestre que la ecuación y — y (t) no puede resolverse explícitamente para t = t (y). 3. Demuestre que los recipientes con desperdicios atómicos no se destruyen con el impacto si son arrojados L pies de profundidad de agua con (2g ( W - B ) L / W ) V < 40. 4. Fat Richie, un m atón obeso del bajo m undo que pesaba 4001b, fue arrojado por la ventana de un departam ento a 2 800 pies de altura sobre el suelo en la ciudad de Nueva York. Sin tom ar en cuenta la resistencia del aire, halle (a) la velocidad con la cual Fat Richie llegó al piso; (b) el tiem po transcurrido antes del choque con el suelo. 5. Un objeto que pesa 300 Ib es arrojado a un río que tiene una profundidad de 150 pie. El volumen, del objeto es de 2 pie3, y la fuerza de resistencia que el agua opone a éste es de 0.05 veces su velocidad. La resistencia se considera despreciable si no excede al 5% de la fuerza resultante que impulsa al recipiente hacia abajo. Pruebe que la fuerza de resistencia es despreciable en este caso. (Aquí B = 2(62.4) = 124.8.) 6. A partir de la posición de reposo, se dejan caer al mismo tiempo dentro de un río una esfera de 4001b y volumen igual a 4 t / 3 y un cilindro de 300 Ib y volumen t . Las fuerzas de resistencia ejercidas por el agua sobre la esfera y el cilindro son X Vs y X Vc, respectivamente, donde Vs, Vc son las velocidades respectivas de la esfera y el cilindro, y X es una constante positiva. Determ ine cuál de los dos objetos llega prim ero al fondo del río. 7. Un paracaidista desciende a partir del reposo en dirección a tierra. El peso total del hom bre y el paracaídas es de 161 Ib. Antes de que se abra el paracaídas la resis­ tencia del aire es igual a V/ 2. El artefacto se abre 5 s después de iniciado el descen­ so y la resistencia del aire es entonces K2/2 . Determine la velocidad V(t) del para­ caidista después que se abre el paracaídas.
    • I.8 • Dinámica del desarrollo de tumores 51 8. Un paracaidista salta desde gran altura. El peso total de la persona y el paracaídas es de 161 Ib. Denótese por V(t) su velocidad t segundos después de haber iniciado el descenso. Durante los primeros 10 s la resistencia del aire es V/2. Después, al estar abierto el paracaídas la resistencia del aire es 10 V. Obtenga una fórmula explí­ cita para V(t) si t es m ayor que o igual a 10 s. 9. Un objeto de masa m se deja caer verticalmente con una velocidad inicial V0 en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la raíz cuadrada de la magni­ tud de la velocidad. (a) Determine la relación que hay entre la velocidad V y el tiempo t si la resisten­ cia es igual a cV'V. (b) Encuentre la velocidad final del objeto. Sugerencia: Es posible evaluar la velo­ cidad final aun cuando no se pueda despejar V(t). 10. Un cuerpo de masa m desciende a partir de una posición de reposo en un medio que ofrece una resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad, es decir D = c V 2. Obtenga V(t) y calcule la velocidad final V(t). I I . Un cuerpo de masa m es lanzado hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial V0 . Tome como eje .y la dirección vertical siendo, y positiva hacia arriba, y sitúese el origen en la citada superficie. Suponiendo que no hay resis­ tencia del aire, pero tom ando en cuenta las variaciones en el campo gravitacional debidas a las diferentes altitudes se obtiene dV m-T- dt rngR1 = --------------- r (y + R ) donde R es el radio de la Tierra. (a) Considere V(t) = v(>’(/)). Encuentre una ecuación diferencial que se cumpla para v(y). (b) Determine la velocidad inicial mínima V0 para la cual el cuerpo no regresa a la Tierra. Ésta es la llam ada velocidad de escape. Sugerencia: La evaluación de la velocidad de escape requiere que v(.y) permanezca positiva. 12. En realidad no es necesario calcular v{y) explícitamente para probar que v(300) es superior a 40 pie/s. Aquí se presenta una demostración alternativa. Primero nótese que v(>9 crece si y aum enta. Esto implica que y es una función m onótona creciente de v. P or lo tanto, si y es m enor que 300 pie cuando v es 40 pie/s, entonces v debe ser m ayor que 40 pie/s cuando y vale 300 pie. Sustituya v = 40 pie/s en la ecua­ ción (5) demuestre que y es m enor que 300 pie. Se concluye, por lo tanto, que los recipientes pueden destruirse con el impacto. 1 .8 D in á m ic a d el d e s a r r o l l o de t u m o r e s , PROBLEMAS DE MEZCLADO Y TRAYECTORIAS ORTOGONALES En esta sección se presentan tres aplicaciones sencillas, pero extrem adam ente útiles, de las ecuaciones de primer orden. La prim era aplicación trata del crecimiento de tumores sólidos; la segunda trata del problem a de mezclado o análisis com partim ental, y la ter­
    • 52 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN cera aplicación indica cóm o encontrar una familia de curvas que es ortogonal a una familia dada de curvas. a) Dinámica del Desarrollo de Tumores Se ha observado experim entalm ente que ciertas células “ libres” como las bacterias, se desarrollan o crecen a una tasa proporcional al volumen de las células en proceso de división en ese m om ento. Denótese por V(t) el volum en de las células en el tiem po t. Entonces se tiene o para alguna constante positiva X. La solución de (1) es K ( r ) = K 0ex(|- |o) (2) donde V0 esel volumen de las células en división en el tiempo inicial /0- Así pues, las células libres crecen exponencialmente en el tiem po. U na consecuencia im portante de (2) es que el volumen celular se duplica continuam ente (Ejercicio 1) cada intervalo de tiempo de m agnitud l n 2 / . P or otro lado, los tum ores endurecidos no crecen exponencialmente en el tiempo. Al crecer un tum or de este tipo, continuam ente se increm enta el tiem po de duplicación del volumen total. Varios investigadores han señalado que los datos para muchos tumores se ajustan bastante bien, durante un desarrollo a casi 1 000 veces el volumen inicial, a la ecuación K ( ,) = K 0e x p ( £ ( l —e x p ( - a , ) ) ) (3) donde exp (x) = ex X y a son constantes positivas. La ecuación (3) se designa usualm ente como una relación gom pertziana. Expresa que el tum or crece cada vez más y más lento y que su volumen tiende al valor K0e x/“. Durante m ucho tiem po, investigadores médicos han tratado de explicar esta desviación del simple crecimiento exponencial. La m anera de obtener una m ejor perspectiva del problem a es encontrar una ecuación diferencial que tenga a V(t) como solución. Deri­ vando (3) se obtiene dV_ - L0Aexp( — at) exp| dt 1- e x p ( - a ( r ) ) ) j = e ~ a,V. (4) Dos teorías antagónicas han sido propuestas para explicar la dinámica del crecimiento tumoral y corresponden a cada uno de los siguientes arreglos de la ecuación diferencial (4) ^ = ( X e - ') K ^ = A (e -"K ). (4a) (4b) De acuerdo con la prim era teoría, el efecto de retardo en el crecimiento del tum or se debe al aum ento del tiempo medio de generación de las células que se reproducen, sin
    • 53 1.8 • Dinámica del desarrollo de tumores un cam bio en la proporción de reproducción de las células. Con el correr dél tiempo las células reproductivas m aduran o envejecen, por lo que se dividen más lentamente. Esta teoría corresponde a la ecuación (4a). La ecuación (4b) sugiere que el tiem po medio de generación de las células en proce­ so de división es constante, y que el retraso en el crecimiento se debe a la pérdida de células reproductoras en el tum or. Una posible explicación de esto es que se desarrolla una región necrótica en el centro del tum or. Esta necrosis aparece para un tam año críti­ co en un tipo particular de tum or, y después el núcleo necrótico aum enta rápidamente a medida que crece la masa total del tum or. Según esta teoría, el núcleo necrótico se desarrolla debido a_qu.e en m uchos tum ores el sum inistro de sangre, y por tanto de oxí­ geno y nutrientes, se restringe casi por completo a la superficie tum oral y a regiones cercanas a ella. Conforme el tum or aumenta, el suministro de oxígeno por difusión hacia el núcleo se dificulta más, lo que trae consigo la form ación de un núcleo necrótico. b) Problemas de Mezclado Muchos problem as im portantes en biología e ingeniería química pueden enmarcarse en el siguiente contexto. Una solución que contiene una concentración fija de una sustan­ cia x fluye con un cierto gasto a un tanque o com partim iento, el cual contiene la sustan­ cia x y posiblemente otras sustancias. La mezcla se homogeniza rápidam ente y después sale del recipiente a un gasto determ inado. Se desea hallar la concentración de la sustancia x en el tanque para todo tiempo t. Problem as de este tipo se conocen por lo general com o “ problem as de mezclado” o “ análisis compartimental” . T 1 siguiente ejemplo ilustra cómo resolver este tipo de casos. E Ej e m p l o 1 Un tanque contiene So Ib de sal disueltas en 200 galones de agua. En el tiempo t = 0 entra agua que contiene Vi Ib de sal por galón, con un gasto de 4 gal/min, y la solución hom ogenizada sale del depósito con la misma intensidad. Determinar la concentración de sal en el tanque para todo tiem po t > 0. S o l u c i ó n . Denótese por S (0 la cantiad de sal en el tanque en el tiem po t que debe ser igual al gasto con el cual entra la sal en el tanque, menos el gasto con el cual sale del tanque. Obviamente la rapidez con la cual entra la sal al tanque es i Ib /g al veces 4 g al/m in —2 lb /m in . Tras reflexionar un m om ento tam bién es obvio que el gasto con el cual efluye la sal del tanque es 4 g al/m in veces S { t) . Así pues, S ( /) S '( / ) = 2 - - ^ . S (0 )-S o. y esto implica que S S 0e ~ osat + 100(1 — é ~ 002í). (5)
    • 54 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por lo tanto, la concentración c(/) de sal en el tanque está dada por ^ 200 200 ^— 0.02/ i l / i —0.02/ + 5 ( '- c > • (f W O b s e r v a c i ó n . El primer térm ino que aparece en el lado derecho de (5) representa la proporción de la cantidad original de sal que permanece en el tanque en el tiempo /. Tal térm ino se vuelve cada vez más pequeño con el paso del tiem po, conform e la solución original sale del depósito. El segundo término del segundo miembro de (5) repre­ senta la cantidad de sal en el tanque en el tiempo /, debida a la acción del flujo. C lara­ mente la cantidad de sal en el tanque debe tender al valor límite de 100 Ib, lo cual puede verificarse haciendo que t teniendo a infinito en (5). c) Trayectorias Ortogonales En muchas aplicaciones físicas, con frecuencia, es necesario determinar trayectorias orto­ gonales a una familia dada de curvas. (Una curva que interseca en ángulo recto a cada uno de los miembros de una familia de curvas se llam a trayectoria ortogonal a la fam i­ lia dada.) P or ejemplo, una partícula con carga eléctrica que se mueve bajo la influen­ cia de un campo magnético describe siempre una curva que es perpendicular a cada una de las líneas del campo m agnético. El problem a de encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas puede resolverse de la siguiente manera. Considérese que la fami­ lia de curvas está descrita por la siguiente relación F { x , y , c ) = Q. (7) Derivando esta ecuación se tiene Fx + Fyy ’ = 0, o bien y'= - — . (8) y Después se despeja c = c( x, y) en (7), y se sustituye c en (8) por tal valor c(x, y). Final­ mente, y dado que las pendientes de las curvas que se intersecan ortogonalm ente son recíprocas negativas, se ve que las trayectorias ortogonales a (7) son curvas solución de la ecuación Eje m p l o 2 Determ inar las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas x = cy2. S o l u c i ó n . Derivando la ecuación x - c y 2 se obtiene 1 = 2c y y ' . Dado que c = x / y 2t se ve que y = y / 2 x . Así pues, las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas x = cy 2 son las curvas solución de la ecuación y'-- y - (10)
    • 55 1.8 • D inám ica del desarrollo de tumores y F i g u r a i . Las parábolas jc = c y 2 y sus trayectorias ortogonales. Esta ecuación es separable, y su solución es y 2 + 2 x 2 = k 1. (11) De m odo que la familia de elipses (11) (Figura 1) son las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas x = c y2. Bib l io g r a f ía Burton, Alan C ., “ Rate o f growth o f solid tum ors as a problem o f diffusion” . Growth, 1966, Vol. 30, pág. 157-176. Ej e r c i c i o s 1. U na sustancia dada satisface la ley de crecimiento exponencial (1). Demuestre que la gráfica de ln V en función de í es una recta.. 2. U na sustancia x se multiplica exponencialmente, y una cantidad dada de la sustan­ cia se duplica cada 20 años. Si se tienen ahora 3 Ib de dicha sustancia, ¿cuántas Ib se tendrán en 7 años? 3. U na sustancia decae o decrece exponencialmente, y después de 2 años sólo queda la m itad de la cantidad inicial. ¿Cuánto tiempo es necesario para que 5 Ib decaigan a 1 Ib? 4. Se propone la ecuación p = apa, con a > 1, como modelo para el crecimiento poblacional de una cierta especie. Demuestre que p(t) —■oo en tiempo finito. Con-
    • 56 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN cluya que, por lo tanto, este modelo no es exacto para intervalos de tiem po de m ag­ nitud razonable. 5. Un tum or canceroso satisface la relación gom pertziana (3). Inicialmente, cuando contenía 104 células, el tum or crecía a una tasa de 20% por unidad de tiem po. El valor num érico de la constante de retardo es 0.02. ¿Cuál es el valor límite de las células en este tum or? 6. Se inyecta una dosis trazadora o señaladora de yodo radiactivo I 131 en el flujo o torrente sanguíeno en el tiem po t = 0. Suponga que la cantidad inicial Q0 de yodo se distribuye hom ogéneamente en el flujo antes de cualquier pérdida. Denótese por Q(t) la cantidad de yodo en la sangre en el tiem po t > 0. Una parte del yodo es eliminado de la sangre y pasa a la orina a una tasa k Q. O tra parte del I 1 1 es rete­ 3 nido en la glándula tiroides a una tasa k 2Q. Calcule Q(t). 7. En un tanque que tiene 1000 galones (gal) de agua se vierten por bom beo desperdi­ cios industriales a un gasto de 1 gal/m in, y la solución bien mezclada sale del tan ­ que con la misma rapidez, (a) Halle la concentración del desperdicio en el tanque en el tiem po t. (b) ¿C uánto tiem po es necesario para que la concentración alcance el 20%? 8. Un depósito contiene 300 gal de agua y 100 gal de contam inantes. Se vierte agua fresca en el tanque a un gasto de 2 gal/m in y la mezcla homogénea sale del reci­ piente con la misma intensidad. ¿C uánto tiem po es necesario para que la concen­ tración de contam inantes dism inuya a 1/10 de su valor original? 9. Considere un tanque que en el tiempo t = 0 contiene Qo^b de sal disueltas en 150 gal de agua. Supóngase que a un gasto de 3 gal/m in entra agua al tanque con un contenido de 1/2 Ib de sal por galón y que, a la misma rapidez, sale el agua bien mezclada del tanque. Halle una expresión para la concentración de sal en el tanque en el tiem po t. 10. Una habitación que contiene 1000 pie3 de aire se encuentra inicialmente libre de m onóxido de carbono (CO). En el tiem po / = 0 entra al cuarto hum o de cigarri­ llos con un contenido de 4% de m onóxido de carbono y un gasto de 0.1 pie3/m in . La mezcla hom ogenizada sale del local a la m isma tasa. Calcule el tiem po para el cual la concentración de CO en el aire alcanza 0.012% . (Una exposición prolon­ gada a esta concentración de m onóxido de carbono es peligrosa.) 11. Un tanque de 500 gal de capacidad contiene inicialmente 100 gal de agua pura. En el tiem po / = 0 fluye en el tanque agua con un contenido de 50% de contam i­ nantes a un gasto de 2 gal/m in. La mezcla hom ogénea sale del tanque a un gasto de 1 gal/m in. Calcule la concentración de contaminantes en el tanque en el momento en que éste se derram a. En los Ejercicios 12 a 17 encuentre-las trayectorias ortogonales a la familia dada de curvas. 12. y — ex2 14. ^ - e s e n x 13. 15. y 2- x 2= c x2+ y 2 = cx (Véase el Ejercicio 13 de la Sección 1.4.)
    • 1.8 • D inám ica del desarrollo de tumores 16. y = c e x 57 17. y —e cx 18. La presencia de toxinas en un cierto medio destruye una capa de bacterias a una tasa proporcional al núm ero de bacterias presentes y a la cantidad de toxina. Llá­ mese a a la constante de proporcionalidad. Si no hubiera toxinas, las bacterias se reproducirían con una tasa proporcional al número de las que están presentes. Desíg­ nese por b a esta constante de proporcionalidad. Suponga que la cantidad de toxi­ na T se increm enta a una tasa constante c; es decir, d T / d y = c, y que su produc­ ción se inicia en el tiem po t - 0. Denótese por y(t) el número de bacterias vivas que están presentes en el tiempo /. (a) O btenga una ecuación diferencial que sea válida para y(t). (b) Resuelva dicha ecuación para evaluar y(t). ¿Qué ocurre con y(t) cuando t tiende a °°? 19. M uchos bancos de ahorro ofrecen tasas de interés compuesto continuos. Esto sig­ nifica que el m onto de dinero P(t) que se deposita en el tiempo t satisface la ecua­ ción diferencial d P{ t) /dt = rP(t), donde r es el tipo de interés anual y t se mide en años. Denótese por P Q el m onto inicial de la inversión. (a) Demuestre que P ( 1) = P Q r. e (b) Tómese r = 0.0575, 0.065, 0.0675 y 0.075. Pruebe que e r = 1.05919, 1.06716, 1.06983 y 1.07788, respectivamente. Así pues los tipos anuales de interés efec­ tivos (en % ) de 5 V*, 6Vi, 6V* y IVz deben ser 5.919, 6.716, 6.983 y 7.788%, respectivamente. Sin embargo, la m ayoría de los bancos anuncian rendimien­ tos anuales efectivos de 6, 6.81, 7.08 y 7.9% , respectivamente. La razón de esta diferencia es que los bancos calculan una tasa diaria de interés basada en 360 días y pagan réditos por cada día que el dinero está depositado. En un año se tienen 3 días extra. Así pues, multiplicando los valores 5.919, 6.716, 6.6983 y 7.788% por 365/360 se obtienen los valores anunciados. (c) Es interesante notar que un banco, el Oíd Colony Cooperative Bank, en Rhode Island, ofrece un rendim iento anual efectivo de 6.72% , con un tipo de inte­ rés anual de 6*/2% (el valor inferior) y un rendim iento anual efectivo de 7.9% con un tipo de interés anual de 7 '/2% . De modo que, dichos tipos de interés no son congruentes. 1 .9 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s e x a c t a s y ECUACIONES DIFERENCIALES QUE NO ES POSIBLE RESOLVER C uando iniciamos el estudio de las ecuaciones diferenciales, solam ente se podía resol­ ver la ecuación d y / d t = g(t). Posteriorm ente se incluyeron las ecuaciones lineales y las separables. Pero, en general, es posible resolver todas las ecuaciones diferenciales que están, o puedan estar escritas, en la form a siguiente j t < ‘,y)=o K (i)
    • 58 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN para una función </>(T y). De hecho integrando en am bos miembros de (1) se obtiene , < V y) = constante Í> , (2) y de aquí se despeja y como función de t. Ejem p lo La ecuación 1 + eos (t + y) + eos (t + y)(dy/dt) = 0 puede expresarse en la forma (d/dt)[t + sen(T + y)] = 0. P or lo tanto, <p(/,y) = / + s e n ( t+ y ) = c, and y = —/ + arcsen(c —t). Ejem plo 2 La ecuación eos (/ + y) + [1 + co s(/ + y)](dy/dt) birse en la form a {d/dt)[t + sen (t + .y)] = 0. Por tanto, = 0 puede escri­ <t> y) - y + sen(í + y ) = c. (t> Es necesario dejar la solución en esta form a, ya que no es posible despejar y com o una función explícita del tiempo. Claram ente la ecuación (1) es la ecuación más general de primer orden que se puede resolver. De m anera que, es im portante poder reconocer cuándo una ecuación diferen­ cial puede expresarse en esta form a. Esto no es tan simple como podría esperarse. Por ejemplo, no es nada evidente que la siguiente ecuación diferencial pueda escribirse en la form a (d / d t ) ( y } + t 2 + ty + sen ^ + eos t) = 0: dy 2 t + y —sen í + (3^ +cos.y + / ) — = 0 P ara encontrar todas las ecuaciones diferenciales que pueden ser expresadas en la fo r­ ma (1), obsérvese que a partir de la regla de la cadena para derivación parcial se tiene dt^ y ( 0 ) a, + dy dt • Por lo tanto, la ecuación diferencial M( t , y) + N ( t, y)(dy/dt) = 0 puede escribirse en la forma (d/dt)<f>(t, y) = 0, si y sólo si existe una función </>(/, y) tal que M ( t , y) = d<t>/dt y N(t , y) = d(j>/dy. Esto lleva entonces a la siguiente pregunta. Dadas dos funciones M { t , y) y N ( t , y), ¿existe una función y) tal que M (/, y) = d <j>/dt y N (/, y) = d <j>/dyl D esafortunadam ente, y como se pone de manifiesto en el siguiente teorem a, la respuesta casi siempre es que no. T E O R E M A 1 . Sean M( t, y) y N (t , y) funciones continuas y con derivadas parciales continuas con respecto a / y a y en el rectángulo R form ado por los puntos (/, y), con a < t < b y c < y < d. Entonces existe una función <£(/, y) tal que M ( t , y ) = d<j>/dt y N ( t , y ) = d<f>/dy si y sólo si d M / d y = dN / d t en R.
    • 59 1.9 • Ecuaciones diferenciales exactas D e m o s t r a c ió n . Obsérvese que M(t, y) = d < /d t para una función 4>(t, y) si y sola­ j> mente si (3) 4>(t,y) = j M ( t , y ) d t + h ( y ) donde h ( y ) es una función arbitraria de.y. Derivando parcialmente ambos lados de (3) con respecto a y se obtiene que d f> _ /• 3M (t,y) < 9y J 9y dt + h'(y). Por lo tan to , d < / d y es igual a N(t, y) si y sólo si j> N(t,y dM ( t ,y) ) = Jr ---^--- dí + h '( y) dy o bien ,9 M(t,y) h '( y) = N ( t , y ) ~ J ---- ^ ---- dt. (4) A hora bien, h y ) es una función sólo de y mientras que el lado derecho de (4) pareciera ser una función tanto de t como de y. Pero una función de y solam ente no puede ser igual a una función de / y de y. Así pues, la ecuación (4) tiene sentido únicamente si su segundo miembro es función de y. Esto sucede si y sólo si r dM(t,y) ] _ 3N dt dM _ fí dy dN Por lo tanto, si — — ^ d M / d y , entonces no existe una función </>(í, y) tal que M = dt d<j>/dty N = d4>/dy. Por otro lado, si d N / d t = d M / d y , entonces es posible resol­ ver para determ ina »M(t,y) h(y)~ f dy 1 dt dy. Como consecuencia, M = d <f>/dt y N = d<f>/dy con C DEFINICION. 0 r <t>(t,y) = J M ( t , y ) d t + J N (t,y) — j í ,_y ) « dy dt dy. □ (5) La ecuación diferencial dy M (t,y) + N ( t , y ) - ^ = 0 (6) se dice que es exacta si d M / d y = d N / d t . La razón de ser de esta definición es, por supuesto, que el lado izquierdo de (6) es la derivada exacta de una función conocida de / y de y si d M / d y = d N / d t .
    • 60 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN O b s e r v a c ió n i . No es esencial en el enunciado del Teorema 1 el hecho de que d M / d y = d N / d t en un rectángulo. Es suficiente si d M / d y - d N / d t en una región R que no contiene “ hoyos” . Es decir, si c es una curva cerrada que está conteni­ da completamente en R, entonces su interior también está por completo contenido en R. O b s e r v a c ió n 2 . La ecuación diferencial d y / d t = f ( t , y) puede escribirse siempre en la form a M ( t, y) + N(t , y) { dy /d t) = 0, al hacer M( t, y) = - / ( / , y) y N ( t, y) = I. O b s e r v a c ió n 3 . Es costumbre decir que la solución de una ecuación diferencial exacta está dada por < (t, y) = constante. Lo que se quiere decir, en realidad, es que hay que j> despejar y de la ecuación como una función de t y de c. Desafortunadam ente, la mayoría de las ecuaciones diferenciales exactas no pueden resolverse explícitamente para ev alu ar^ como función de t. A unque esto podría parecer molesto, es pertinente m en­ cionar que con ayuda de una com putadora es muy sencillo calcular y(t) con cualquier grado de precisión (Sección 1.11). No se recom ienda en la práctica tratar de m em orizar la ecuación (5). Más bien se sugiere seguir alguno de los tres m étodos siguientes para obtener 4>(t, y). Primer Método: La ecuación M( t , y) = d <¡>/dt determ ina ción arbitraria de y únicam ente, es decir, y) salvo por una fun­ = f M ( {’y ) d t + h ( y ) . La función h ( y ) se determ ina a partir de la ecuación f dM(t,y) dt. h ' ( y ) = N ( t , y ) - j --- ^ Segundo Método: Si N(t , y) = d<j>/dy, entonces necesariamente se tiene (t>y)<b + k ( t ) donde k{ t) es una función arbitraria sólo de t. Dado que 3 f> < r dN(t,y) -gj- « / — gj— * + *'(<) se ve que k ( t ) se determ ina a partir de la ecuación r 3N ( t , y ) k' (t ) = M (t, y) — J — dy. Nótese que el lado derecho de esta ecuación (Ejercicio 2) es una función solam ente de t si d M / d y = d N / d t . Tercer Método: Las ecuaciones V <£/ V t = M( t, y) y V < / V y = N(t , y) implican que j> <t>(t,y) = f M ( t, y )d t + h ( y ) y<$>(t,y) = j N (t, y)dy + k( t) . P o r lo general, es posible determ inar h ( y ) y k(t) por simple inspección.
    • 61 1.9 • Ecuaciones diferenciales exactas Ej e m p l o 3 Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial dy 3y + e { + (3t + c o s y ) ~ = 0 . S o l u c i ó n . En este caso M( t , y) - 3y + e' y N(t, y) = 3t + eos .y. Esta ecuación es exacta ya que d M / d y = 3 y d N / d t = 3. Por lo tanto, existe una función < {t, y) t> tal que d< p (i) 3y + e = — y dó (u) 3 t + cosy = — . A continuación se calcula < (t, y) con cada uno de los tres métodos descritos anterior­ ¡> mente. Primer Método: De (i) se sigue que < (t, y) - e' + 3ty + h( y) . Derivando esta ecua­ í> ción con respecto a y, y usando (ii) se obtiene que h' ( y) + 3/ = 3/ + cos> Así pues, h ( y ) - sen^ y tam bién 0(f, y) = e' + 3ty + sen y. (Estrictamente hablan­ do, h ( y ) = sen y + constante. Sin em bargo, esta constante de integración se incorpo­ ró ya a la solución al escribir 4>(t, y) = c.) Es necesario dejar la solución general de la ecuación diferencial en la form a e' + 3 ty + sen .y = c, ya que en esta ecuación no se puede despejar y explícitamente como una función de t. Segundo Método: De (ii) se sigue que $(f, y) = 3ty + sen .y + k(t). Derivando esta expresión con respecto a t y usando (i) se obtiene que 3y + k' (t) = 3y + e'. Así pues, k(t) - e ’ y 4>{t, y) = 3ty + sen .y + e r. Tercer Método: De (i) y (ii) se sigue que 4>(t,y) —e ‘ + 3ty + h ( y ) y ${t,y) = 3fy + sen .y + k(t). C om parando estas dos expresiones para la misma función 4>{t, y) es obvio que h ( y ) = sen.y y k{t) = e r. Por lo tanto, <t>(t,y) = e ‘ + 3ty -l-seny. Ej e m p l o 4 Obtener la solución del siguiente problem a de valor inicial 3t 2y + Sty2 + ( t 3 + S t2y + I2y2) dv =0, y ( 2 )= l. SOLUCIÓN. En este caso M (/, y) = 3r.y + 8t y 2 y N(t, y) = t 2+ 8t 2 y ecuación es exacta, ya que 3 A /_ ^ . 2 ^ .. 3^ + 12y 2. Esta
    • 62 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por lo que, existe una función 4>{t, y ), tal que (i) 3 t 2 + 8/y2= y .y (ii) / 3 + 8 /2>- + 12y2= ^ . Una vez más, se encontrará <£(/, .y) con cada uno de los tres métodos siguientes: Primer Método: De (i) se sigue que < (t, y) = t zy + 4t 2 2 + h( y) . Derivando esta }> y ecuación con respecto a y, y usando (ii) resulta que t 3 + 8 t 2 + h ' ( y ) = t 3 + 8 t zy + 12y 2. y Por lo tanto, h ( y ) = 4>>3, y la solución general de la ecuación diferencial es </>(r, y) = t^y + At2 2 + 4 y 3 = c. Tom ando t = 2 y y = 1 en esta ecuación se ve que c = 28. y Así pues, la solución del problem a de valores iniciales está definida im plícitamente por la ecuación t 3 + 4t 2 2 + 4>>3 = 28. y y Segundo Método: De (ii) se sigue que < (t, y) - t 3 + 4 t 2 2 + 4>’3 + k{t). Derivan­ t> y y do esta expresión con respecto a t y usando (i) se obtiene que 3 t 2 + 8 ty2+ k'( t) = 3 t 2 + 8 ty2. y y En consecuencia, k(t) = 0 y <¿>(/, y) = t }y + 4t 2 2 + 4 y 3. y Tercer Método: De (i) e (ii) se obtiene que $( t, y ) = v y + 4 t 2 2+ h ( y ) y y <t>(t,y) = t*y + 4 t 2 2+ 4 y ’ + k( t) . y i Al com parar estas dos expresiones con respecto a la misma función 4>(t, y) se ve que h { y ) = 4>'3 y k(t) = 0. Por lo tanto, </>(/, y) = t*y + 4 /2 >-2 + 4>'3. Como se ve en los Ejemplos 3 y 4, en la mayoría de los casos el m étodo de aplica­ ción más sencillo es el tercero. Sin em bargo, si es más fácil integrar N con respecto a y que integrar M con respecto a t se preferirá el segundo m étodo, y viceversa. Eje m p l o 5 Encontrar la solución del siguiente problem a de valor inicial 4 r V +' + / V +' + 2r + ( / V +> + 2 > ') ^ = 0 , ' >-(0)= 1. S o l u c i ó n . Esta ecuación es exacta pues ( 4 / V + t*e‘+- + 2 1) = ( t A+ 4 t 3) e ‘+>= v Por lo tanto, existe una función < (t, y) tal que i> (tA r e + 2y).
    • 1.9 • Ecuaciones diferenciales exactas 63 Dado que es más sencillo integrar t 4e t+y + 2y con respecto a y que integrar 4 t2e ,+y + t 4e l+y + 2t con respecto a /, se elige el segundo m étodo. De (ii) se obtiene y) = t 4e t+y + y 2 + k(t). Derivando esta expresión con respecto a t, y usando (i) resulta ( t 4 + 4 t 3) e ' +y + k ’(t) = 4 t 3e ' +y + t4e ' +y + 2t. Así pues, k(t) = t 2, y la solución general de la ecuación diferencial es y) = t 4e ,+y + y 2 + t 2 = c. Tom ando t = 0 y y = 1, esta ecuación implica que c = 1. Así pues, la solución del problem a de valores iniciales está definida implícitamente por la ecuación t 4e t+y + t 2 + y 2 = 1. Supóngase ahora que se tiene una ecuación diferencial que no es exacta M(i,y) + N ( l , y ) ^ = 0 (7) ¿Se puede transform ar la ecuación en exacta? Dicho con más precisión: ¿Se puede encon­ trar una función /x(í, y ), tal que la siguiente ecuación ¡i (t ,y)M (t,y) + ¡ x ( t , y ) N ( t , y ) ^ = 0 (8) equivalente a (7) sea exacta? Esta pregunta es, en principio, fácil de contestar. La condición para que (i) sea exacta es que o bien (Para simplificar la notación se ha om itido aquí la dependencia de ¡i, M y N con respec­ to a / y a y en (9). Así pues, la ecuación (8) es exacta si y sólo si y) satisface la ecuación (9). DEFINICION. La función n(t, y) que satiface la ecuación (9) se llama f a c ­ tor integrante de la ecuación diferencial (7). La razón de ser de esta definición es, por supuesto, que si ¡i satisface (9), entonces es posible escribir (8) en la form a (d/dt)4>(t, y) = 0 y tal ecuación puede integrarse direc­ tam ente para obtener la solución <£(/, y) = c. P or desgracia hay sólo dos casos en los que es posible encontrar una solución explícita de (9). Se trata de aquéllos en los que la ecuación (7) tiene un factor integrante que es únicam ente función de /, o bien sólo función de y. Obsérvese que si /z es función únicam ente de /, entonces la ecuación (9) se reduce ar
    • 64 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Pero esta ecuación no tiene sentido a menos que la expresión dM dN dy dt N sea una función solamente de t, es decir si dM dy N dN dt = R(t) Si tal es el caso, entonces fi(t) = e x p íJ R (O ^ je s un factor integrante para la ecuación diferencial (7). O b s e r v a c ió n . Es importante notar que la expresión dM dN dy dt N es casi siempre una función tanto de t como de> Sólo para parejas muy especiales de funciones M{t, y) y N(t, y) es dicha expresión una función únicamente de t. Un caso análogo ocurre si ¡i es una función sólo de .y (Ejercicio 17). Ésta es la razón por la que no es posible resolver muchas ecuaciones diferenciales. EJEMPLO 6 H allar la solución general de la siguiente ecuación diferencial: y2 dy - Y + 2 y e ‘ + {y + e ‘) ~ = 0 . S o l u c i ó n . En este caso M{t , y) = (y 2/ 2 ) + 2y e 1 y N(t , y) = y + e'. Esta ecua­ ción no es exacta, ya que d M / d y = y + 2e’ y d N / d t - e ‘. Sin em bargo, se tiene que 1 ¡dM N d y dN y + e‘ d t) y- + e‘ L y Por lo tanto, la ecuación tiene un factor integrante de la form a n(t) = exp I I d t y e r. Esto significa, por supuesto, que la ecuación diferencial equivalente ' ‘ y2 dy — e ‘ + 2ye2t + ( y e ‘ + e2t) — = 0 2 * dt es exacta. Por lo tanto, existe una función < (t, y) tal que f> <i>
    • 65 1.9 • Ecuaciones diferenciales exactas y , dó (n) y e ' + e 2t= — . De las ecuaciones (i) y (ii) se obtiene ^ ~ e ‘ + y e 2, + h ( y ) y y2 ^ - e ' + y e 2t + k{t). De modo que, h ( y ) - 0 y k(t) = 0, y la solución general de la ecuación diferencial es y 2 ~2 ~e‘ + y e 2t = c. Despejando y como función de t en esta ecuación resulta y ( t ) = - e ' ± [ e 2t + 2c e ~l] 1/2. EJEMPLO 7 Aplicar los métodos de esta sección para obtener la solución general de la ecuación lineal (dy/dt) + a(t)y = b(t). S o l u c i ó n . Primero se escribe la ecuación en la forma M(t, y) + N ( t , y)(dy/dt) = 0, con M(t, y) = a(t)y - b(t) y N(t, y) = 1. Esta ecuación no es exacta, ya que d M / d y = a(t) y d N / d t = 0. Sin em bargo, se tiene ( ( d M / d y ) - ( d N / d t ) ) / N = a(t). Por tanto fi(t) = exp^ j a( t ) d t ^ es un factor integrante para la ecuación lineal de primer orden. De modo que existe una función < (t, y) tal que t> (i) n(t)[a(t)y-b(t)] = ^ y oo m( 0 d j> < = 0jr- A hora bien, obsérvese de (ii) que < (t, y) = n(t)y + k(t). Al derivar esta ecuación con j> respecto a t, y usar (i) se ve que H'(t)y + k'(t) = #i(0« ( 0 ^ “ /l ( 0 ¿ (0Pero /x'(/) = a(t)n(t). Por lo tanto, Ar'(r) = ~n(t)b(t) y < P(^y) = ^ ( 0 y ~ f n( t)b( t) dt. De aquí se sigue que la solución general de la ecuación lineal de primer orden es p ( t ) y - j Á t ) b ( t ) dt = c, y éste es el resultado que se obtuvo en la Sección 1.2.
    • 66 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ej e r c i c io s 1. Use el teorem a de igualdad de las derivadas parciales mixtas para dem ostrar que d M / d y = d N / d t si la ecuación M( t, y) + N (t , y)(dy/dt) = 0 es exacta. 2. Demuestre que la expresión M ( t , y) - J ( d N ( t , y ) / d t ) d y es una función solam en­ te de t si d M / d y = d N / d t . En cada uno de los Problem as 3 a 6 encuentre la solución general de la ecuación dife­ rencial dada. 3. 2/seny + yV + (/2cosy + i dy 3 y 1e t ) - ^ =0 dy 4. l+Cl + ó O ^ + O + í e ° ' ) ^ = 0 > 5. y sec t -I- sec t tan t -I- (2y -I- tan /) y 2 dy =0 dy 6. / L - - 2 y e ' + { y - e ' ) ^ = 0 En cada uno de los Problem as 7 a 11 resuelva el problem a de valor inicial dado. 7. 2ty3 + 3 t 2y 2^ = 0 , 8. 2tcosy + 3 t 2y > (1 )- 1 + (t* —t 2seny - y ) - ^ dy 9. 3/2+ 4ry+ (2.y + 2/2) ^ - =0, =0, y ( 0) = 2 ^ (0)= ! dy 10. >'(cos2/)e°' —2(sen2/)e0' + 2/ + (/(cos20<?°' —3)-^-=0, 11. 3 t y + y 2 + ( t 2 + t y ) ^ =0 , >-(0)=3 y ( 2)=1 En cada uno de los Problem as 12 a 14 determine el valor de la constante a para que la ecuación sea exacta, y resuelva la ecuación resultante. 12. / + y e 2ly + ate2ty - ^- —0 dt ,3. I + -L + /2 y2 yl dt 14. e a,+y + 3 t 2y 2 + (2yt3 + e al+y) ^ = 0 15. Demuestre que toda ecuación separable de la form a M(t) + N ( y ) d y / d t = 0 es exacta. 16. Halle todas las funciones / ( / ) tales que la siguiente ecuación diferencial > »2sen/ + y f ( t ) ( d y / d t ) = ^ 0 sea exacta. Resuelva la ecuación diferencial para determ inar dichas f ( t ) .
    • 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard 17. Demuestre que si ( ( d i y / d t ) - ( d M / d y j ) / M = 67 Q(y ), entonces la ecuación M ( t, y) + N(t , y ) d y / d t - 0 tiene un factor integrante n ( y ) = exp Q(y)dy')- 18. Suponga que la ecuación diferencial f(t)(dy/dt) + t 2 + y = 0 tiene un factor inte­ grante fi(t) = t. Encuentre todas las posibles funciones /( /) . 19. Considere que la ecuación diferencial e 's e c y - tan.y + (dy/dt) = 0 tiene un fac­ tor integrante de la form a e~al eos y para a constante. Determine a y resuelva la ecuación diferencial. 20. La ecuación diferencial de Bernoulli es (dy/dt) + a(i)y = b ( t) yn. M ultiplicándo­ la por n(t) = e p^J a(t )dt j se puede escribir en la forma d/dt(n(t)y) = b(t)n(t)yn. Obtenga la solución general de esta ecuación hallando un factor integrante apro­ piado. Sugerencia: Divida ambos miembros de la ecuación entre una función apro­ piada de y. 1 .1 0 Te o r e m a d e e x is t e n c ia y u n ic id a d ; ITERACIONES DE PlCARD Considérese el siguiente problem a de valor inicial y ( ' 0) = yo (0 donde / e s una función dada de t y de y. Como se indicó en las observaciones de la Sección 1.9, es posible que no pueda resolverse (1) explícitamente. Esto lleva a plan­ tearse las siguientes preguntas: 1. ¿Cóm o es posible saber si el problem a de valores iniciales (1) tiene realmente solución, si no se la puede exhibir? 2. ¿Cóm o puede saberse si (1) tiene una solución única.y(/‘ Es posible que exis­ )? tan una, dos, tres o incluso un número infinito de soluciones. 3. ¿P or qué molestarse en plantear las preguntas 1 y 2? Después de todo, ¿qué sentido tiene determ inar si (1) tiene una solución única si no es posible exhi­ birla explícitamente? La respuesta a esta últim a pregunta consiste en la observación de que en las aplica­ ciones no es necesario conocer la solución de (1) con más de un núm ero finito de cifras decimales. En la mayoría de los casos es más que suficiente encontrar y ( t ) con una pre­ cisión de cuatro cifras. Com o se verá en las Secciones 1.13 a 1.17, esto puede hacerse fácilmente con la ayuda de una com putadora digital. De hecho, se calculará y(t) con una precisión de ocho e incluso dieciséis cifras decimales. Así pues, el hecho de saber que (1) posee una solución única es simultáneamente una “ autorización” para buscarla. P ara resolver la prim era pregunta es necesario establecer la existencia de una fun­ ción y(t) cuyo valor en í = r0 es Y cuya derivada en cualquier tiempo t es igual
    • 68 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN a f(t> y(tj)- P ara lograr esto se necesita un teorem a que nos perm ita garantizar la exis­ tencia de una función con ciertas propiedades sin necesidad de tener que expresarla explí­ citamente. Buscando a través del Cálculo se ve que tal situación se presenta una vez, a saber, en el contexto de la teoría de límites. Com o se m uestra en el Apéndice B, es posible m ostrar que una sucesión de funciones y n(t) tiene un límite y(t), sin necesidad de expresar .y(T). Por ejemplo, puede probarse que la sucesión de funciones , N senu/ , sen2fl7 , . sennnt tiene un límite y{t) aunque no se pueda expresar explícitam ente. Esto sugiere el siguien­ te algoritm o para probar la existencia de una solución y(t) de (1). (a) C onstruir una sucesión de funciones y n{!) que se hagan cada vez más peque­ ñas para resolver el problem a 1. (b) M ostrar que la sucesión de funciones y„(t) tiene un límite y(t) en un interva­ lo adecuado t0 < t < t0 + a. (c) P robar que y{t) es solución de (1) en dicho intervalo. A continuación se indica cómo form ular este algoritm o (a) Obtención de la sucesión aproximatoria y n(t) El problema de encontrar una sucesión de funciones que se hace cada vez más peque­ ña para resolver una cierta ecuación se presenta muy a menudo en matem áticas. La experiencia ha dem ostrado que con frecuencia es m ucho más fácil resolver el problem a si la ecuación puede escribirse en la form a especial y ( t ) = L{t,y(t)), (2) donde L puede depender explícitamente de y y de integrales de funciones de y. Por ejem­ plo, puede desearse hallar una función y(t) que satisfaga y ( t ) = + sen[t+y(t)], o bien y ( 0 = 1 + y 2( 0 + f y s ) d s . Jo En estos dos casos, L(t, y(t)) es una form a abreviada de 1 + sen[ t + y ( t ) ] + y 2( 0 + f y 3(s)<&> Jo respectivamente. La clave para entender qué tiene de especial la ecuación (2) es ver L(t, y(t)) como una “ m áquina” que recibe una función y devuelve otra. Por ejemplo, tómese £ (* .> '(0 )a a l + >'2( 0 + •'o f
    • 69 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard Si la función y(t) = t entra a la m áquina, es decir, si se calcula 1 + t 2 + f ‘s 3ds, Jo entonces la m áquina devuelve la función 1 + t 2 + t 4/ 4. Si se introduce la función y(t) = eos t en la m áquina, entonces devuelve la función l + c o s 2/ + f eos25ds = 1 4- eos2t + senr — ■■ ■. Jo 3 De acuerdo con este enfoque puede caracterizarse a todas las solucionesy(t) de (2) como aquellas funciones que la m áquina L no cambia. En otras palabras, si introducimos una función y( t) en la m áquina y ésta devuelve la misma función, entonces y(t) es una solución de (2). El problem a de valor inicial (1) puede escribirse en la form a especial (2), integran­ do am bos lados de la ecuación diferencial y ' - f ( t , y) con respecto a t. Concretamente, si y(t) satisface (1), entonces se tiene de tal m odo que 3 '( 0 - J 'o + f f(s,y(s))ds. (3) Recíprocam ente, si y(t) es continua y satisface (3), entonces d y / d t = f {t , .y(O)- Más aún, y ( t 0) es obviam ente y 0. Por lo tanto, y(t) es una solución de (1) si y sólo si es una solución continua de (3). La ecuación (3) es una ecuación integral, y está en la forma especial (2) si se toma L ( t , y ( t ) ) = y 0+ f f ( s , y ( s ) ) d s . J ‘o Esto sugiere el siguiente m étodo para obtener una sucesión de “ soluciones aproxim a­ das” y n(t) de (3). Se inicia proponiendo una solución tentativa y 0(t) de (3). La elec­ ción más sencilla es y 0(t) = y 0. Para com probar si ^ 0(0 es una solución de (3) se calcula y 0 ) = yo+ f f ( s , y 0(s))ds, J ‘o Si ^ 1(0 = ^ 0» entonces .y (0 = y 0 es de hecho una solución de (3). Si no, se utiliza y ^ t ) como siguiente opción. P ara com probar si y(t) es una solución de (3) se calcula >'2 ( /)=>'o+ f / (s ,y l (s))ds, y así sucesivamente. De esta m anera se define una sucesión de funciones y¡(t), yi(t)> . . . , donde J‘o Las funciones y n{t) se llam an aproximaciones sucesivas o iteraciones de. Picard, en
    • 70 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN honor al m atem ático francés que las descubrió. Sorprendentem ente, las iteraciones (o iteradas) de Picard siempre convergen, en un intervalo adecuado, a una solución y(í) de (3). Ej e m p l o 1 Calcular las iteraciones de Picard para el siguiente problem a de valor inicial y m ostrar que convergen a la solución y(t) = e ‘ y'=y> y ( 0 ) = i, S o l u c i ó n . La ecuación integral correspondiente al problem a de valor inicial es >>(0= 1+ f y ( s ) d s . Jo Por lo tanto, J qÍO = 1 y r 'i * _ i + , Jo f y ( s ) d s = + f ( + s ) d s = l + t +^rr Jo jo y en general , n —1 ^ ( 0 = 1+ ^ - i ( - s) ¿¿s=1 + J Í | (n -1 )! ds n 2! Dado que e l = 1 + t + / 2/2! + • • •, se ve que las iteraciones de Picard y n(t) conver­ gen a la solución y(í) del problem a de valor inicial. Eje m p l o 2 inicial y Calcular las iteraciones de Picard y¡(t), y 2{t) para el problem a de valor = 1 + y 2, >>(1) = 1. Solución . La ecuación integral correspondiente a este problema de valores iniciales es + [ 1 + >'3(j ) ] £¿s- Por lo tanto, y 0(t) = 1 + f '( l + l ) ¿ s = l + 2 ( / - l ) J y ^ w = i+ ( ' { í + t i + ^ - i ) ] 3} ^ = 1 + 2(/ —l) + 3(/ —l ) 2 + 4 (/ — l) 3 + 2(/ —l)4. Nótese que calcular y 3(t) resulta ya muy difícil.
    • 71 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard (b) Convergencia de las iteraciones de Picard Com o se mencionó en la Sección 1.4, las soluciones de ecuaciones diferenciales no lineales pueden no existir para todo valor del tiempo t. Por lo tanto, no es posible espe­ rar la convergencia de las iteraciones de Picard y n(t) de (3) para todo t. Para darse una idea de dónde convergen las iteraciones de Picard, puede tratarse de encontrar un inter­ valo en el cual las iteraciones y n(t) están uniformemente acotadas (es decir, y„(t) < K para alguna constante K ) . De manera equivalente puede buscarse un rectángulo R que contenga las gráficas de todas las iteraciones de Picard y n(t). El Lema 1 muestra cómo encontrar un rectángulo así. Lema 1 . Elíjanse dos números positivos cualesquiera a y b y considérese el rectángulo R : t0 < t < t0 + a , y - y 0 < b. Calcúlese M — máx |/(/,.y)l> y hágase a = m in ia, ( l , y ) en R M f Entonces yn{ t ) - y 0 < M ( t - t 0) (5) para t0 < t < t0 + a. El Lema l afirm a que lagráfica de y n(t)está contenida entre las rectas y = y 0 + M ( t - t0) y y = ~ M ( t ~ t0) para /0 < t < t0 + a . Estas rectas salen del rectán­ gulo R para / = t0 + a si a < b / M y para t = /0 + b / M si b / M < a (Eigs. la y Ib). En estos casos, por lo tanto, la gráfica d e y n(t) está contenida en R para /0 < / < t0 + o¿. (a) (b) FIGURA 1. (a )a = a; (b)a = b / M D e m o s t r a c ió n d el Lema 1 . La dem ostración de la relación (5) se hará por induc­ ción para n. Obsérvese prim ero q^ue (5) obviam ente se cumple para n - 0, ya que
    • 72 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN y 0(í) = yo- A hora es necesario que (5) se cum pla para n = j + 1 si se cumple para n = j. Esto se deduce de inm ediato, ya que si |yj(t) - y 01 < M {t - t0) entonces yj+ 1 ( 0 -^ o l = I f'o f(s> s))* I yA <f para t0 < t < lf(s,y/s))¡ds< t0 + a . Por lo tanto, por inducción, (5) se cumple para toda n. □ Ahora es posible dem ostrar que las iteraciones de Picard y„(t) de (3) convergen para toda / en el intervalo tQ < t < t0 + a si d f / d y existe y es continua. El prim er paso consiste en transform ar el problem a de indicar que la sucesión de funciones y„{t) con­ verge a un problem a más sencillo que consiste en probar que converge una cierta serie infinita. Esto se logra escribiendo y„(t) de la siguiente m anera >’n ( 0 = > ,o ( 0 + [> ,i ( 0 - > ,o ( 0 ] + ••• + [ > ' n ( 0 - ^ - i ( 0 ] - Claram ente la sucesión y n(t) converge si y sólo si la siguiente serie converge [y (0 ~ ^o(0] + [ ^ ( 0 -^ i (0] + ■ + •• [yM ~y*- ( ' ) ] + ••• (6) Para probar que la serie infinita (6) converge basta con dem ostrar que 2 b „ ( 0 1 (01 < ° ° /!= ] (7) Esto se logra de la siguiente m anera. Obsérvese que f [f(s>yn-l(s))-f(s>yn-2(s))]¿s Jto < / f f ( s , y „ - l ( s ) ) ~ / ( s , y n_ 2(s))ds J ‘o dy donde £(s) se encuentra entre y rt-i(5) y >V-2(5)- (Recuérdese que f { x x) - f ( x 2) = / ( £ ) ( * ] — x 2), donde £ es algún núm ero entre x x y x 2). Del Lema 1 se deduce inme­ diatam ente que todos los puntos (5, £(s)) se encuentran en el rectángulo R para s < t0 + a . Por lo tanto, b „(0 yn— (01 < Lf y*-1 ( 0 ~ ^ - 2 ( 0 l ^ 1 'o <1< '<>+ «> (8) donde V(t,y) dy ( t,y ) en R L — máx ( 9)
    • 73 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard La ecuación (9) define a la constante L. Tom ando n = 2 en (8) se obtiene y i(t)-y i(t) < ¿ f l J‘o f J‘6 m L M (c — /0)2 (s —t0)ds ” Esto implica a su vez que M L 2 J ¡q — 2 ^ ~ ds < Lfr M L 2(t — /0)3 3! Procediendo de m anera inductiva se ve que y . ( i ) - y . - i(')l ri: para í0 < t < t0+ a. ( 10) Por lo tan to , para /0 < / < t0 + o; se tiene b i ( / ) - > ,o(OI + l> '2 (0 -> 'i(O I+ ••• M L ( t — iQ )2 M L 2( , - , 0f M ( t - t0) + -------— --------+ 2! 3! < Ma + L W L a 2 A/L2 3 a + fr + 2! 3! ( a L ) 2 (a L )3 aL+ — —— + + 2! 3! Esta cantidad es obviam ente m enor que infinito. Por lo tanto, las iteraciones de Picard y n(t) convergen para / en el intervalo tQ < t < /0 + a . (Un argum ento similar mues­ tra que y n(t) converge para toda t en el intervalo t0 - (3 < t < t0, donde B = mín (a, b / N ) y N es el valor máximo de f(t , y) para (t , y) en el rectángulo t0 - a < / < /0, y — y 0 < ¿>|). Se denotará con y(t) al límite de y n(t). □ (c) Demostración de que y (t) satisface el problema de valor inicial (1) Se pondrá de relieve que y(t) satisface la ecuación integral ^ (0 = ^ 0 + / J{^y{s))ds (H) y que y(t) es continua. P ara esto recuérdese que las iteraciones de Picard y n(t) se defi­ nen en form a recurrente por medio de la ecuación y n + i( 0 = > 'o + ( 12)
    • 74 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Tom ando límites en am bos lados de (12) se obtiene f T ( 0 = T o + línl (13) f ( s , y H(s))ds. Para m ostrar que el lado derecho de (13) es igual a T o + / f(s>y(s))d?, ‘o (esto es, para justificar el paso del límite a través del signo de integral) hay que dem os­ trar que f f ( s , y ( s ) ) d s - f f ( s , y n(s))ds J ‘o J ‘o tiende a cero cuando n tiende a infinito. Esto se logra de la siguiente m anera. Obsérvese primero que la gráfica de y(t) se encuentra en el rectángulo R para t + « , ya que es el límite de funciones y n(t) cuyas gráficas se encuentran en R. Por lo tanto, / f(s,y(s))ds- l0 j f ( s , y n(s))ds l0 < f ¡ f ( s , y ( s ) ) - / ( s , y /t( s ) )¡ ds< L f y(s)-y„(s) ds J ‘o J ‘o donde L está definido en la ecuación (9). A hora obsérvese que y (s)-y M ) = É j —n + 1 [ y A s ) ~ y j - i(j )] pues y { s ) = y 0+ 2 [T /O O -T z-iO r)] 1 T „(í)= > 'o + 2 j - 1 Por lo tanto, se tiene que (10) j~ n + m 2 /-n+l (aL)¡ 2 J j-n +1 r> f } { s , y ( s ) ) d s - í f(s,y„(s))ds < M J ‘o j =n+ , J ‘o (aL> C J — y ~ J ds J ' J‘o ( ccL)j < j ^ n + r- (¡4)
    • 75 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard Esta sum atoria tiende a cero cuando n tiende a infinito, ya que es el residuo del desa­ rrollo de la serie de Taylor convergente de e aL. Por lo tanto, f f ( s ' - y M ) ds= f f ( s ^ ( s ) ) ds’ Jr0 'o e y(t) satisface (11). P ara poner de manifiesto que.y(0 es continua hay que m ostrar que para toda ¿ > 0 puede encontrarse 5 > 0 tal que y(t + h ) - y ( t ) < e si |/z| < 5 A hora bien, no es posible com parar y ( t + h) con y{t) directamente, ya que no se co­ noce >^(0 de modo explícito. Para salvar esta dificultad se elige un entero N o bastante grande y se observa que y ( t + h ) - y ( t ) = [ y { t + h ) - y s {t + h)] + [ y N( ' + h) - y j v ( 0 ]+ [y* ( 0 - y ( 0 ]• Con más detalle se elige N suficientemente grande como para que M _ L V' ^ 7 =/V+ 1 (aLY < e 'J j " 3 J Entonces se sigue de (14) que y ( t + h ) - y „ { t + h) | < { y yN { t ) -.K O I < | , para / < t0 + a y h suficientemente pequeña (tal que t + h < t0 + a). Luego ob­ sérvese que y¡si{t) es continua, pues se obtiene después de N integraciones sucesivas de funciones continuas. Por lo tanto, puede elegirse 5 > 0 lo bastante pequeña de modo que l> v ( ' + ^ ) - > v ( ') l < f para h < 8. Por consiguiente, y{t + h ) - y { t ) < y { t + h ) - y N(t + h) + y„(t + h ) - y N (t) + l>V( 0 - > '( 0 l < ' | + ' | + ' | = e para h < 5 . Por lo tanto, y(t) es una solución continua de la ecuación integral (11) y esto com pleta la dem ostración de que y(t) satisface (1). □ Resumiendo, lo que se ha probado es el siguiente teorema: TEOREMA 2. Sean f y d f / d y continuas en el rectángulo R t0 + a , y - y 0 < b. Calcúlese M - máx (f.X ) en R : t0 < t < y hágase a = m ín ( a ,- M . M } Entonces, el problema de valores iniciales y ' = / ( / , y), y ( t 0) = y 0 tiene al menos una solución y(t) en el intervalo t0 < t < t0 + a . Un resultado simi­ lar se cumple para t < t0.
    • 76 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN O b s e r v a c ió n . El núm ero a en el Teorem a 2 depende directam ente de la elección de a y b . Una elección distinta de a y b lleva a un valor diferente de a . Más aún, a no necesariamente crece si a y b lo hacen, ya que un increm ento en a o en b produce tam bién un increm ento en M. Por últim o, es posible avocarse al problem a de la unicidad de las soluciones de (1). Considérese el siguiente problem a de valor inicial — = (se n 2/) 7 1/3, 7 ( 0) = 0. (15) Una solución de (15) es y (t) = 0. Pueden obtenerse soluciones adicionales si se hace caso omiso del hecho de que .y(O) = 0, y se escribe la ecuación diferencial en la form a siguiente o bien 3 d d t = sen2/. 2 Entonces, 3^ 2/3 j _ CQS 2( = sen2 1 ~ z — = -----y - ±V 8/27 sen3 t son dos soluciones adicionales de (15). A hora bien, los problem as de valor inicial que poseen más de una solución son cla­ ramente indeseables en las aplicaciones. Por lo tanto, es im portante encontrar cuál es exactamente la razón por la cual el problem a de valor inicial (15) tiene más de una solu­ ción. Si se observa con cuidado el segundo m iem bro de la ecuación diferencial se ve que no tiene derivada parcial con respecto a y e n y = 0. De hecho, este es precisamente el problem a, como lo m uestra el siguiente teorem a. y TEO REM A 2 y ~ yo ^ E n to n c e s , S ea n f b . y d f / d y c o n tin u a s e n tie n e u n a tQ < y e l p r o b le m a t ú n ic a z t so n < tQ + R : t0 < t < to + C a lc ú le s e d e v a lo r in ic ia l y '= f( t,y ) , si y (t) e l r e c tá n g u lo s o lu c ió n en e l in te r v a lo d o s s o lu c io n e s d e (16) y ( t 0)= y o t0 < t < t0 + a . E n o tr a s p a la b r a s , (1 6 ), e n to n c e s y (t) d e b e s e r ig u a l a z { t ) p a r a a . D e m o s t r a c ió n . El Teorem a 2 garantiza la existencia de al menos una solución y ( t ) de (16). Supóngase que z ( t ) es una segunda solución de (16). Entonces, y
    • 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; ¡nteraciones de Picard 77 Restando estas dos ecuaciones se obtiene f [/(*</(*))-/(*•*(*))]* < / V C ^ C O W C ^ C 5) ) ! ^ *lo < L Í |^ (j) - 2 ( j) |¿ ¿ S donde L es el máximo de los valores de d f / d y para (/, y) en R. ElLema 2, que se enuncia a continuación, indica que esta desigualdad implica que _y(/) = z(t). Por lo tanto, el problem a de valor inicial (16) tiene una solución única y(t). □ Lema 2. Sea w(t) una función no negativa, con w (r )< L Í " w(s)ds. (17) Entonces, w(r) es idénticamente igual a cero. D e m o s t r a c ió n erró n ea . ^ Derivando ambos lados de (17) se obtiene < Lw(t), o bien ^ - - L w ( / ) < 0. Al multiplicar ambos miembros de esta desigualdad por el factor integrante e~L(,~h se )) obtiene A_e - L(t -t 0)w ( tj < o, de modo que e ~ L(l~ lo)w(t) < w (/0) para ( > tQ. Pero w(/0) debe ser nula si w(t) es no negativa y satisface (17). Por lo tan­ to, w(t) < 0 y esto implica que w(t) es idénticamente igual a cero. El error en esta dem ostración consiste, por supuesto, en que al derivar ambos miem­ bros de una desigualdad no es posible esperar que la desigualdad se conserve. Por ejem­ plo la fu n ció n /¡(f) = 2t - 2 es menor q u e /2(/) = t en el intervalo [0, 1] y, sin em bar­ go, f ( t ) es m ayor q u e / 2(0 en ese intervalo. Esta dem ostración puede corregirse con ayuda del siguiente artificio. Tómese £/(/)= f ‘w (s )ds. J‘o Entonces ^ —w(t)< l J' w (s ) d s = L V ( t ) . Por lo tanto, e-¿('-,,,)£/(/) < U(t0) = 0 para t > /0, y por ello U(t) = 0. Esto a su vez implica que w(/) = 0, pues 0 < w(r) < lJ w(s)ds = L U ( t ) = 0. □
    • 78 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Eje m p l o 3 D em ostrar que la solución y(t) del problem a de valor inicial dy = > + i y ( 0) = 0 existe para 0 < í < Vi, y que en este intervalo se cumple |7 ( 0 l < 1. SOLUCIÓN. Sea R el rectángulo 0 < t < Vi, y | < 1. Calculando M= máx r2 + e~y l = 1 + ( l ) 2 = 4, V,y)'*R 4 se ve que y(t) existe para y que en este intervalo se cumple y(t) | < 1. Eje m p l o 4 D em ostrar que la solución y(t) del problem a de valor inicial 7 (0 )= 1 existe para 0 < t < SOLUCIÓN. y que en este intervalo se tiene 0 < y < 2. Sea R el rectángulo 0 < / < | , 0 < 7 < 2 . M= máx Al calcular e ~ ‘2+ y 3= 1 + 2 3= 9, (/,_y) en R se ve que y(t) existe para 0< t < m í n ( |,|) y que en este intervalo se cumple 0 < y < 2. Eje m p l o 5 ¿Cuál es el máximo intervalo para el que el Teorem a 2 garantiza la exis­ tencia de la solución del problem a de valor inicial y ' = 1 + y 2, 7 (0) = 0? So l u c ió n . Sea R elrectángulo 0 < / < a, y < b. Calculando M= máx l+ 7 2= l + ¿> 2, ( t , y ) en R se ve que y(t) existe para 0 < t < a = m íní a , — V 1+ b 2 ) Claram ente el máximo valor de a que puede encontrarse es el valor para el cual la fun­ ción b/( 1 + b 2) alcanza su m áximo. Dicho valor máximo es Vi. Por lo tanto, el Teo­ rema 2 asegura que 7 (0 existe para 0 < t < Vi. El hecho de que 7 (0 = tan t existe para 0 < / < tv/ 2 destaca las limitaciones del Teorem a 2. Eje m p l o 6 Hay que suponer que f{t, y) ^ K en el semiplano t0 < t < <», < 7 < oo. Demostrar que la solución 7 (0 del problema de valor inicial 7 ' = f ( t , 7), 7(^o) = Tu existe para toda / > /0. -o o
    • 79 1.10 • Teorema de existencia y unicidad; interaciones de Picard S o l u c i ó n . Sea R el rectángulo t0 < t < t0 + a, y - _y0| ^ b. La cantidad A/ = máx f( t, y) ( t , y ) en R es a lo más A . Por lo tanto, y(t) existe para T t0 < / < t0 + m ín (a,b / K). A hora bien, la cantidad mín (a, b/ K) puede tom arse tan grande com o se desee, eligien­ do a y b suficientemente grandes. De modo que y(t) existe para t > t0. Ej e r c i c i o s 1. Obtenga las iteraciones de Picard para el problem a de valor inicial^' = 2 t ( y + 1), .y(O) = 0 y demuestre que convergen a la solución y(t) = e r' ~ l . 2. Calcule las primeras dos iteraciones de Picard para el problema de valor inicial y ' = I2 + y 2, y ( 0) = 1. 3. Calcule las primeras tres iteraciones de Picard para el problem a de valor inicial y ’ = e ‘ + y 2, y ( 0) = 0. En cada uno de los Problem as 4 a 15 demuestre que la solución y(t) del problema de valor inicial dado existe en el intervalo indicado. 4. y = y 2+ cos/2, y(0) = 0; 5. y = 1 + y + y 2cost, 0</<^ y ( 0) = 0; 0</<j 6. y = / + y 2, y (0) = 0; 0 < t < ( |) 2/3 7. y = e ~ ‘1+ y 2, y ( 0) = 0; 8. y 0</<t = e _,í + y 2, y ( O = 0; i < / < 9. y = e 1 + y , y (0 ) = l; 10. y 11. y 0</< = y + e ~ y + e ~ ‘, y( 0) = 0; = y 2+ e ~ Sr, y( 0) = 0.4; 12. y = e ^ - ^ , y(0) = 1; 1+ V é /2 V2 1+0 + V 2 )2 0</<l 0</<^ 0 < t < ^ L = I e -((i + vsyzP 13. y = (4y + e ~ ‘2)e2y, y ( 0) = 0; w .14. y ' = e - , + ln(l + y 2), y (0 ) = 0; 0 < / <o _^ -----8 Ve 0</<oo 15. y ' = i ( l + c o s 4 / ) > ' - g ¿ 5( l - c o s 4 / ) > ' 2, y ( 0 ) = 1 0 0 ; 0< /< 1 16. Considere el problema de valor inicial y' = t2+ y 2, y ( 0) = 0, Sea R el rectángulo 0 < t < a, - b < y < b. (*)
    • 80 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (a) Demuestre que la solución y(t) de (*) existe para 0 < / < mi nf a, — —- V — V a +b ) (b) Demuestre que el valor máximo de b / ( a 2 + b 2), para a fija, es Via. (c) Demuestre que a - m ín (a, Via) alcanza su máximo para a = 1/V2. (d) Concluya que la solución y(t) de (*) existe para 0 < t < 1/V2. 17. Pruebe que y(t) = -1 es la solución única del problem a de valor inicial / = t ( l +y) , >'(0) = - 1. 18. Halle una solución no trivial del problem a de valor inicial y ' - t y u, j'(O) = 0, a > 1. ¿Contradice dicha solución al Teorem a 2'? Explique. 19. Encuentre una solución al problem a de valor inicial = t¡ 1 - y~, y ( 0) = 1, que no sea y(t) = 1. ¿Contradice dicha solución al Teorem a 2'? Explique. 20. Aquí se presenta una dem ostración alternativa del Lema 2. Sea w(t) una función nesativa con w(t) < L f w(s)ds (*) en el intervalo /0 < t < t0 + a . Dado que w(t) es continua, es posible encontrar una constante A tal que 0 < w(t) < A , para tQ < / < /0 + a. (a) Demuestre que w(/) < L A ( t - tQ ). (b) Use esta estimación de w(/) en (*) para obtener A L 2(t - í0)2 w ( / ) < -------=-------- . (c) Procediendo inductivam ente demuestre que para todo entero n, w(t) < A L n(t - t0)n/ n (d) Concluya que w(r) = 0 para /0 < / < t0 + a . 1 .1 1 C á l c u l o de la s r a íc e s de l a s e c u a c io n e s __________POR ITERACIONES______________________________________ Supóngase que se desea encontrar las raíces de una ecuación de la siguiente forma * = /(* ). Por ejemplo, se podría desear encontrar las raíces de la ecuación x = senx + . (I)
    • 81 1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones Los m étodos descritos en la sección anterior sugieren el siguiente algoritm o para resol­ ver el problem a: 1. P robar con un prim er valor x 0 y usar este número para construir una suce­ sión de valores x lf x 2, x 3, . . . , donde x¡ = f ( x 0), x 2 = f ( x¡ ) , x 3 = f ( x 2), etcétera. 2. M ostrar que esta sucesión de iteraciones x n tiene un límite 7 cuando n tiende 7 a infinito. 3. P ro b ar que 7 es una raíz de (1), es decir, que 7 = f(r]). 7 7 El siguiente teorem a responde a la pregunta de cuándo es aplicable el algoritmo. 3 . Sean f ( x ) y f x ) continuas en el intervalo a < x < b, con f'{x) | < X < 1 en ese intervalo. Más aún, supóngase que todas las iteracio­ nes x n, definidas en f o r m a recurrente por la ecuación Teorem a x n+ = /( * „ ) (2) se encuentran en el intervalo [a, b]. Entonces, las iteraciones x n convergen a un único valor t que satisface (1). j D e m o s t r a c i ó n . Puede cambiarse el problema de probar que la sucesión x n con­ verge, por el problem a más simple de probar que converge una serie infinita. Esto se hace escribiendo x n en la form a x „ ^ x 0 + ( x l - x Q + ( x 2- x l) + . . . + ( x n - x n_ l). ) Claram ente, la sucesión x n converge si y solamente si la serie infinita 00 n» 1 lo hace. Para dem ostrar que la serie infinita converge basta con dem ostrar que 00 |* l - * o l + l* 2- * l l + ••• = 2 n■ 1 « Esto se logra de la siguiente manera. Por definición, x n = /(x „ - i) y x n- = f ( x n- 2). Restando estas dos ecuaciones se obtiene X n - X n - = f ( Xn - ) - f ( Xn - 2 ) = f ' ( £ ) ( Xn - - X n - 2) ’ donde £ es un núm ero entre x„-¡ y x n- 2. En particular, £ se encuentra en el intervalo [a, b. P o r lo tanto, | / ( £ ) | < X, y IXn Iterando esta desigualdad n — x n_ 11^ X| Xn _ 1 Xn _ 2I• 1 veces resulta < X2k - 2 - * „ - 3 l < X n- l|*i —* 0|- (3)
    • 82 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Por lo tanto, n— 1 n=1 * = i * i _jicoi[i + ^ + ^ 2 + • • • ] " ' ; _ xo • 1 Esta cantidad es obviam ente m enor que infinito. P or lo tanto, la sucesión de iteracio­ nes x n tiene un límite . cuando n tiende a infinito. Tom ando límites en am bos lados de (2) se obtiene 7 = n — oo *"+i = n — / ( * " ) = / ( r?)1 } inL Jí™ ► >oo Por lo tanto, 7 es una raíz de (1). 7 Finalmente, supóngase que 17 no es única, es decir, que existen dos soluciones y. 17 de (1) en el intervalo [a, b]. Entonces 2 17L Vi ~ Vi = / ( T - / ( t ) 2) = / ' ( 0 ( t?i ~ Vi)> ?i) donde £ es un núm ero entre rji y r)2 - Esto implica que 71 = rj2, o bien que / ' ( £ ) = 1. 7 Pero / ' ( £ ) no puede ser igual a la unidad, ya que £ se encuentra en el intervalo [a , b]. Por lo tanto, 7 , = 172. 7 □ E je m p lo 1 D em ostrar que para todo valor inicial x 0, la sucesión de iteraciones x Q x i = 1 + j a r e ta n x 0, , converge a un único núm ero 7 que 7 x 2— 1 + ja r c i a n * ,,... satisface 7 = 1+ ) ^arc tanrj S o lu c ió n . S e a /fx ) = 1 + Vi are tan x. Al calcular f '(x) = Vi 1/(1 + .x2) se ve que f x ) | siempre es m enor o igual que Vi. Por lo tanto, por el Teorema 3, la sucesión de iteraciones x 0 , x x, x 2, . . . converge a la raíz única rj de la ecuación .x = 1 + Vi are tan x , para cualquier elección de x 0. Hay muchas situaciones en las que a priori se sabe que la ecuación x = f ( x ) tiene una solución única 7 en un intervalo dado [a, b ]. En esos casos es posible utilizar el 7 Teorem a 3 para obtener una muy buena aproxim ación de 7 De hecho, el trabajo es /. especialmente simple en estos casos, ya que no es necesario controlar que todas las ite­ raciones x n se encuentren en el intervalo especificado. Si x Qestá suficientemente cerca de 77 entonces las iteraciones x n siempre convergen a 77 como se verá a continuación. , , T E O R E M A 4 . Supóngase que f ( y - 77 y que | / (.x)| < X < 1 en el inter­ , valo x - 77 < a . Elíjase un número x Qen dicho intervalo. Entonces la suce­ 1 sión de iteraciones x n, definidas recurrentemente p or la ecuación x n+l = f ( x n) convergen siempre a 7. 7
    • 83 1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones D e m o s t ra c ió n . Denótese por / al intervalo |x - 171 < a. . Por el Teorema 3, es sufi­ ciente m ostrar que todas las iteraciones x n se encuentran en /. P ara esto, obsérvese que xj+ j - v = f ( x j ) —f(r¡) = /'(£ )(* , donde £ es algún número entre Xj y 17. En 17) particular, £ está en / si Xj está en I. Así pues, | ^ + I -T)| <X|x/. - t í| < | ^ . - 17 | (4) si Xj está en /. Esto implica que xJ+ 1 está en / siempre que Xj esté en /. Por lo tanto, por inducción, todas las iteraciones x n están en I. □ La ecuación (4) también señala que x n +l está más cerca de 17 que x n . Concretamen­ te, el error que se comete al aproxim ar 7 con x n decrece, al menos en un factor X, cada 7 vez que se incrementa n. Así pues, si X es muy pequeña, entonces la convergencia de x„ a 7 es muy rápida, mientras que si X es aproxim adam ente uno, entonces la conver­ 7 gencia es muy lenta. Ejem plo 2 (a) Dem ostrar que la ecuación x = sen x + j tiene una raíz única 7 en 7 el intervalo (5) [ x / 4 , x /2 ]. (b) Dem ostrar que la sucesión de números Xq, converge a 7 si 7 x l =s enx0+ x 2= senjr 1 + J , . . . x 54 < „v < x /2 . 0 (c) Escribir un program a de com putadora para calcular las primeras N iteraciones x lf x 2, . . . x N. So l u c ió n . (a) Tómese g(jc) = x - sen x - X y obsérvese que g (x /4 ) es negativa, mientras que A g ( 7 / 2) es positiva. Más aún, g(x) es una función m onótona creciente en x para x /4 < r .v < x /2 , ya que su derivada es estrictamente positiva en dicho intervalo. Por lo tanto, la ecuación (5) tiene una raíz única jc = 7 en el intervalo x /4 < x < x/2. 7 (b) Denótese por / el intervalo 7 - x /4 < jc < 7 + x /4 . El extremo izquierdo del inter­ 7 7 valo es mayor que cero, mientras que el extremo derecho es m enor que 3 x /4 . Por lo tanto, existe un número X, con 0 < Xt< 1, ^al que COS Jt = d_ - ^ ( s e n x + 1) dx < para x en /. El intervalo [x /4 , x /2 ] está claram ente contenido en I. P or lo tanto, por el Teorem a 4, se tiene que la sucesión de números Xq, converge a 7 para 7 x l =s en x0 + x 2=sen.x, + j , . . . toda x'o en el intervalo [x/4, x/2].
    • 84 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Programa en APL (C) V IT E R A T E [1] X^-NpO [2] X[1 ]^ -0 .2 5 + 1 O X 0 [3] K<— 1 [4] X [K + 1 ]* -0 .2 5 + lO X [ K ] [5] K ^ -K + 1 X ¿K < N [6] —>4 [7] $ ( 2 ,pX )p(tp X ),X V O b s e r v a c i ó n . Si x es un vector con N com ponentes, entonces ¿pX es el vector 1, 2, . . N. Así pues, la instrucción [7] indica a la com putadora que debe imprimir los dos vectores 1, 2, . . . , N y X , x 2, . . . , x N en colum nas adyacentes. Programa en Fortran D I M E N S I O N X (2 0 0 ) R E A D (5 ,1 0 ) X 0 , N 10 F O R M A T ( F 1 5.8,15) C O M P U T E X (1 ) F IR S T X (1 ) = 0 .25 + S IN (X O ) KA = 0 KB = 1 W R I T E (6 ,2 0 ) K A , X0, K B , X (1 ) 20 F O R M A T (1 H 1 , 4 X, ‘N ’, 10X , ‘X ’/ ( 1 H, 3 X , 13,4X, F 1 5.9)) C O M P U T E X (2 ) T H R U X ( N ) DO 40 K = 2 ,N X (K ) = 0.25 + S IN ( X ( K — 1)) W R I T E (6 ,3 0 ) K , X ( K ) 30 F O R M A T (1 H ,3 X , 13,4 X, F 1 5.9) 40 C O N T IN U E C A L L E X IT END Los resultados de correr estos program as con .v0 = 1 y N = 15 se muestran en la Tabla 1. Esta inform ación implica que 7 = 1.17122965 hasta ocho cifras después del punto 7 Ta b l a i . n 0 1 2 3 4 5 6 7 n 1 8 1.09147099 1.13730626 1.15750531 1.16580403 1.16910543 1.17040121 1.17090706 9 10 11 12 13 14 15 1.17110411 1.17122962 1.17122964 1.17122965 1.17122965 1.17122965 1.17122965 1.17122965
    • 85 1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones decimal. Más aún, se necesitaron solamente once iteraciones para encontrar 17con una precisión de ocho cifras decimales. En muchos casos se desea calcular una raíz de la ecuación x = f ( x ) con una cierta precisión. La manera más fácil y eficaz de hacerlo es dando a la com putadora la ins­ trucción de term inar el program a para k = j si x) + ] coincide con Xj dentro de la preci­ sión prescrita. Ej e r c i c i o s 1. Sea 17 la raíz única de la ecuación (5). (a) Sea x0 = ir/4. Demuestre que se requieren 20 iteraciones para encontrar 8 cifras significativas. (b) Sea x 0 = x /2 . Demuestre que se requieren 20 iteraciones para obtener 8 cifras significativas. (c) Sea x 0 = 37r / 8. Pruebe que se requieren 16 iteraciones para encontrar 8 cifras significativas. 17con 17 con 17 con 2. (a) Determine valores adecuados de Xq para que las iteraciones x n, definidas por la ecuación x n + i ~ x n - ( x n2 - 2 ) converjan a 4 l . (b) Tómese xr0 = 1.4 y demuestre que se requiren 14 iteraciones para encontrar V2 con 8 cifras decimales significativas. (V2 = 1.41421356 a 8 cifras significa­ tivas.) 3. (a) Determine valores adecuados de Xq para que las iteraciones x n definidas por la ecuación Xn + - xn - T s( xn2- 2 ) (b) converjan a V2. Tómese xr0 = 1.4 y demuestre que se requieren 30 iteraciones para evaluar y¡2 con 6 cifras significativas. 4. (a) Determine un valor adecuado de a para que las iteraciones x ny definidas por la ecuación x n + l m x n - < * ( x n2-3)> (b) converjan a V3. Encuentre V3 con 6 cifras significativas. 5. Sea 17 la raíz única de la ecuación x = 1 + 'A arctanx:. O btenga nificativas. 6. 17con 5 cifras sig­ (a) Demuestre que la ecuación 2 - x = (lnx:)/4 tiene una raíz única x = intervalo 0 < x < (b) Sea x„ + 1= 2 -(ln x „ )/4 , Pruebe que 1 < x„ < 2 si 1 < x 0 < 2. n = 0 ,1,2,... 17 en el
    • 86 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (c) Demuestre que x„ — 7 com o n -*• 7 si 1 < x 0 < 2. (d) Calcule con 5 cifras significativas. 7. (a) Demuestre que la ecuación x = eos x tiene una raíz única x = 17en el intervalo 0 < x < 1. (b) Sea x „ +) = cosx„, n - 0, 1, 2, . . . con 0 < x 0 < 1. Demuestre que 0 < x n < 1. Concluya que, por lo tanto, x n -» 17 cuando /7 -* °°. ■ (c) O btenga 17 con 5 cifras significativas. 1.11.1 Método de Newton El método de iteraciones que sirvió para resolver la ecuación x = /(x ) tam bién puede usarse para resolver la ecuación g(x) = 0. De hecho, cualquier solución x = 7 de 7 g(x) = 0 es tam bién solución de la ecuación x = /(x ) = x -g (x ), y viceversa. Más aún, cualquier solución x = ecuación 17 de g(x) (1) = 0 es también solución de la x = / r,x )x = x - — — ( (2) h{ x) para cualquier función h(x). Por supuesto que h{x) no debe ser cero para xcercanas a 7. 7 La ecuación 2 contiene una función arbitraria h{x). Así pues, es posible intentar elegir h{x) de tal m anera que: (i) se cumplan las condiciones del Teorem a 4 de la Sec­ ción 1.11 y (ii) que las iteraciones x0, converjan a la raíz deseada calcular g ( x 0) X, = x 0- — — h{x0) 17 tan x 2= x , - g ( x ) /z(x,) rápido como sea posible. Para tal fin, es conveniente g(x) g ' ( x) h( x ) h (x ) h'(x)g(x) + h 2(x) y observar que g' ( v) h( v ) Esto sugiere tom ar h(x) = g'(x), ya que entonces f r /) = 0. Por lo tanto, las iteradas x„, definidas en form a recurrente por medio de la ecuación = - - 7/ - . . « = 0 ,1 ,2 ,... (3) convergen a 17si el valor inicial x 0está suficientemente cerca de 77 (S í/'( t 7 = 0, enton­ . ) ces |/ '( x ) | < X < 1 para |x — 7 ¡ lo bastante pequeño.) De hecho, la elección de h(x) = 7 f x ) es ópt ima, ya que la convergencia de x„ a 7 es en extremo rápida. Esto se sabe 7
    • 1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones 87 del hecho de que el núm ero X en la ecuación (4) de la Sección 1.11 puede tomarse arbi­ trariam ente pequeño al aproxim arse x n a 77 . El método de iteración (3) se conoce como método de Newton para resolver la ecua­ ción g(;t) = 0. Es posible m ostrár que si # ( 17 = 0, y x 0 está suficientemente cerca de ) 77, entonces K +i - l < c x n - r ¡ para una constante positiva c. En otras palabras, el error cometido al aproximar 7 con 7 x n +¡ es proporcional al cuadrado del error cometido al aproxim ar tj con x„. Este tipo de convergencia se llama convergencia cuadrática e implica que las iteraciones x n con­ vergen extrem adam ente rápido a 77 En muchos casos se requiere sólo de cinco a seis . iteraciones para encontrar 7 con ocho o más cifras decimales significativas. 7 Ej e m p l o i Usar el m étodo de Newton para calcular V2. SOLUCIÓN. La raíz cuadrada de 2 es una raíz de la ecuación g ( x ) = x 2- 2 = 0. Por lo tanto, la fórmula de Newton para este problem a es g ( Xn) Xn + ' ~ Xn ( Xn2~ 2) 2*„ g ' M ' Xn - T + ” ’ ¿ Xn rt = 0 , 1,2,— (4) A continuación se presentan program as en A PL y F ortran para calcular las primeras N iteraciones de un valor inicial x0. Programa en APL V NEW TON [1] [2] X *-N p 0 X [ 1 ] * - ( X 0 h- 2 ) + -í-X O [3] K ^ -1 [4] X [K + 1 ]« -(X [K ] + 2 ) + + X [ K ] [5] K«— K + 1 [6] —>4 [7] <5(2 ,p X )p (tp X ) , X X iK < N V Tab la 1 . n n 0 1 2 1.4 1.41428571 1.41421356 3 4 5 1.41421356 1.41421356 1.41421356 Programa en Fortran
    • 88 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Solamente se necesita cam biar las instrucciones en el program a en F ortran de la Sec­ ción 1.11, para calcular X(1) y X(K), por X (1 ) = ( X 0 / 2 ) + 1 / X 0 y X (K ) = (X (K - 1 )/2 ) + 1 /X (K - 1 ) En la Tabla 1 se m uestran los resultados obtenidos en corridas de estos program as con jc0 = 1.4 y N = 5. Nótese que el m étodo de Newton requiere solamente de dos itera­ ciones para evaluar V2 con 8 cifras decimales significativas. Ej e m p l o 2 Usar el método de Newton para encontrar la velocidad de im pacto de los recipientes de la Sección 1.7. S o l u c i ó n . La velocidad de choque o im pacto de los recipientes satisface la siguiente ecuación: , 300cg x W - B , g ( v ) = v + — w ~ + — — In W -B -cv W -B =0 (5) donde c= 0.08, g= JK= 527.436, 32.2, Tom ando a - ( W - B ) / c y d = la siguiente m anera: 300 y c g / W , la ecuación 5 = (5) 470.327. se simplifica y queda de ( 6) g ( v ) = v + d + al n( l —v / a ) —0. La fórm ula de Newton para este problem a es la siguiente: g(On) Vn +' ~ Vn { - V n / a ) [ v n+ d + a n ( - v J a ) ] S 'K ) ~ Vn+ vn / a = u„+ —- ^ - [ v n + d + an( - v j á)}, n = 0 ,1 ,2 ,.... A continuación, se presentan program as en A PL y F ortran para calcular las primeras N iteraciones de t> 0. Programó en APL V NEW TON {1] V<— NpO [2] V 1 < -V 0 + D + A X ® 1 - V 0 + A [3] V[1 ]« -V 0 + (A - V 0 ) X V 1 - V 0 [4] K « -1 [5] VK < — V [K ] + D + A X ® 1 - V [ K ] A [6] V [ K + 1 ]<— V [K ] + (A — V [K ]) X V K V [K ]
    • 89 1.11 • C álculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones [7] K<— K + 1 [8] — 5 Xi K<N » [9] 0 ( 2 , p V ) p ( £p V )I V V Programa en Fortran Cámbiese X por V en el program a en Fortran de la Sección ciones para X(1) y X (K ), tómense 1.11 y e n vez de las instruc­ V(1) = V 0 + ((A — V 0 ) / V 0 ) * ( V 0 + D + A * A L O G (1 - ( V O / A ) ) ) y V (K ) = V (K — 1) + ((A — V (K — 1))/ V ( K — 1 ))* ( V ( K - 1 ) + D + A * A L O G (1 — (V (K — 1) / A ))) (Por supuesto que antes de correr estos programas hay que dar instrucciones a la compu­ tadora para evaluar a = ( W - B)/ c, y d = 300cg/fV.) Com o se m ostró en la Sección 1.7, c 0 = 45.7 es una muy buena aproximación de v. Haciendo t > = 45.7 en los program as anteriores se ve que las iteraciones v„ conver­ 0 gen muy rápidam ente a t ' = 44.51 pie/s. Así pues, los recipientes realmente pueden que­ dar dañados con el im pacto. En general no es posible determ inar a priori cuántas iteraciones se requieren para lograr una cierta precisión. En la práctica N se tom a bastante grande, y se dan instruc­ ciones a la com putadora para term inar el program a si alguna de las iteraciones coincide con la anterior con la precisión deseada. EJERCICIOS 1. Demuestre que las iteraciones x n definidas por (4) convergen a v^2 si V 2 7 3 < x 0< V 2 + ( V 2 - V l / 3 ) . 2. Use el m étodo de Newton para encontrar los siguientes núm eros con males significativas: (a) V3, (b) V5, (c) V7. 8 cifras deci­ 3. El núm ero x es una raíz de la ecuación tan 4 - c o 4 í =0. t 4 Aplique el método de Newton para encontrar x con 8 cifras decimales significativas. Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones tiene una solución única en el in­ tervalo dado, y use el m étodo de Newton para encontrarla con 5 cifras decimales signi­ ficativas 4. 2x — ta n x * 0 ; v < x <3x/2 5. — x + ysenjr=0; ^ < x < l 6. ln x + (jc+ 1)3 = 0; 0 < jc < 1 7. 2Vx = cos^p; 0 < x < l 8. 9. x - e ~ x2= l ; (x-lf-le'^O ; 0<x<l 0<x<2.
    • 90 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1 .1 2 E c u a c i o n e s en d if e r e n c ia s y c á l c u l o d e LOS INTERESES EN PRESTAMOS PARA ESTUDIANTES En las Secciones 1.13 a 1.16 se desarrollarán varias aproximaciones de la solución del problem a de valor inicial d y / d t = / ( / , y ), y{t0) = y 0. Al tratar de determ inar cuán buenas son tales aproximaciones se presenta el siguiente problem a: ¿Qué tam año pue­ den tener los números E x, . . . , £ jV si n= E n+ l < A E n + B, 0 ,,...,N - 1 (1) para un par de constantes positivas A y B y £0= 0?. Este es un problem a muy difícil ya que involucra desigualdades más que igualdades. Sin embargo, afortunadam ente puede transform arse el problem a de resolver las desigualdades ( 1) en otro problem a más sen­ cillo consistente en resolver un sistema de igualdades. Eso es el contenido del lema siguiente. LEM A 1 . Supóngase que E x, . . . , £ „ satisfacen las siguientes desigualdades E „ + < A E n + B, £ 0= 0 para un par de constantes positivas A y B. Entonces E n es menor que o igual a y „ , donde ^ + 1= ^ +^ 7o = 0- (2) D e m o s t r a c i ó n . La dem ostración del Lema 1 se hará por inducción para n. Enton­ ces, obsérvese que dicho Lema 1 es obviamente válido para n = 0. A hora, supóngase que el lema es válido para n = j . Entonces es necesario m ostrar que el Lema 1 es válido para n = j + 1. Es decir, hay que probar que Ej < yj implica que E j T |< yJJr!. De aquí se sigue inm ediatam ente, que si Ej < yj, entonces ej + 1 < A Ej + B < ¿y j + B = yj + 1. Por lo tanto, por inducción, se tiene E n < y n, n - 0, 1, . . . , N. □ El siguiente objetivo es resolver la ecuación (2), la cual se denom ina, frecuentemen­ te, ecuación en diferencias. Esto se hará en dos partes. Prim ero se resolverá la sencilla ecuación en diferencias + 7 o = 7 o- (3 ) Después se reducirá la ecuación en diferencias (2) a la ecuación en diferencias (3) por medio de un hábil cambio de variables. La ecuación (3) se resuelve fácilmente. Obsérvese que 7 i~ 7 o 7 2- 7 1 = Bo =5, 7/i— 7/i-2= Bn - 2 l 7 „ - 7 „ - i = 5 „ -i-
    • 91 1.12 • Ecuaciones en diferencias y cálculo de intereses Sum ando estas ecuaciones se obtiene i. y» y»— 2)'^' y»— ) ( y » — Por lo tanto, ••• + { y ~ y o ) = Bo+ B + ••• + B„-i- n— 1 y n - y Q + BQ+ ••• + Bn - = y o + 2 Br y -0 A hora se reducirá la ecuación en diferencias (2) a la ecuación más sencilla (3), de la siguiente m anera: Hágase Zn yn A n’ « = 0, 1,. .. , N. Entonces z„ + = y n+ / A n+K Pero y n+l = A y n + B. Por tanto, y" Z„. i = -r-r + B - z m+ B n+ l y como consecuencia, n— 1 A, = ¿o + y=o :.Vo + y 1 - B A - 1' - ( i ) y„ = A = A y 0+ - ^ j { A ' - l ) . (4) Finalmente, volviendo a las desigualdades (1) se ve que E- < Á Z T Í-4 " - 1 )’ n = l 2 ......N ■ W AI estar reuniendo m aterial para este libro, un amigo presentó al autor el siguiente problem a. A cababa de recibir una nota del banco para el primer pago de un préstamo de estudiante de su esposa. Dicho préstamo debía ser pagado en 10 años en 120 men­ sualidades iguales. De acuerdo con sus estimaciones, el banco le estaba cargando al me­ nos 20% más de lo correcto. Sin embargo, antes de acudir al personal bancario quería calcular con precisión los pagos mensuales del préstamo. Este problem a puede considerarse en el siguiente contexto general. Supóngase que se obtiene un préstamo de valor P de un banco, con un tipo anual de interés de /?% . Dicho préstamo debe ser pagado en n años en mensualidades iguales de valor x. Deter­ m inar x. El primer paso hacia la solución del problem a es encontrar el m onto de los intere­ ses sobre el préstamo. Para esto, obsérvese que el interés que se debe en el momento del primer pago es I { - (r / 2 ) P , donde r - R / 100. El saldo insoluto durante el segun­ do mes del préstamo es (jr - I x) menos el saldo insoluto del primer mes. Por lo tanto el interés f 2 que se debe en el segundo mes del préstamo es
    • 92 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN De manera similar, el interés 7y+1 que se debe en el mes j + 1 es («) donde /y es el interés que se debe en el mes j. La ecuación (6) es una ecuación en diferencias para los números Su solución (Ejercicio 4) es y -i Por lo tanto, el m onto total de los intereses pagados por el préstamo es 2n I = I { + I 2+ ... + / 12„ = 2 !j j= i = t 2 /,S j -1 ( i ' + i i ) 7 y -i Ahora bien, 12 /» Por lo tanto, I=P 12/» Pero I 2 nx - P debe ser igual a /, ya que 12«xes la cantidad de dinero pagada al banco, y P era el m onto del préstam o. P or lo tanto, 12 /» '('♦ n f - T H O + n r - 1 = 0 y esta ecuación implica que x= rA'+-k)a (7) E p í l o g o . Usando la ecuación (7), el autor calculó x para el préstam o que adeudaban su amigo y la esposa de su amigo. En ambos casos, el banco tenía razón hasta el último centavo.
    • 93 1.12 • Ecuaciones en diferencias y cálculo de intereses Ej e r c i c io s 1. Resuelva la ecuación en diferencias y n +l - ~ l y n + 2, y 0 = 1. 2. Encuentre y }1 si y n +x = 3y„ + 1, y 0 = 0, n - 0, 3. Calcule los números E q , E , . . . , E s si (a) £„ + 1 < 3 £„ + 1, n —0 , , .. ., N — ; (b) E„ + < 2£„ + 2, n = 0 , , . . . , N —. E q 1,. . . , 36. = 0 y 4. (a) Demuestre que la tra n sfo rm a c ió n ^ = íJ+l lleva la ecuación en diferencias /;+ 1= ( l + T 2 )/' - T2JC ’ / i " 7 2 /> a la ecuación en diferencias ñ ) yj~ ñ x ' (b) Use la ecuación (4) para yQ~ ñ P' encontrar y j - x = /,. 5. Resuelva la ecuación en diferenciasy n +x = any n + bn, y x = a. Sugerencia: Haga Z - y y z„ = y „ / a x, . . a„-x para n > 2. Observe que .V/i+l ^/i Zn+' ~ a x...a„ ~ a x. . . a n = 2 -+ | b- a ,...a ,, a x. . . a n . Concluya que, por lo tanto, z„ = z x+' 2j Z bj / a x...aJ. 6. Resuelva la ecuación en diferencias y„ +x - nyn = 1- n, y x - 2. 7. Encuentre y 15 si y x — 1 y (n + l ^ + i — ny„ = 2", n = 8. 1, . . . , 24. Un estudiante obtiene un préstam o de m onto P con un tipo de interés anual de R^Io. Dicho préstamo debe ser pagado en n años en mensualidades iguales de valor x. Determine x si (a) P = 4 250, R = 3 y n = 5. (b) P = 5 000, R = 7 y n = 10. 9. El com prador de una casa obtiene un préstam o hipotecario de 30 000 (dólares) con un tipo de interés anual de 9% . El préstamo tiene que ser pagado en 20 años en 240 m ensualidades iguales con valor x. (a) Calcule x. (b) Encuentre x si el tipo de interés anual es 10%. 10. La cantidad de un producto ofrecida en una sem ana dada es obviamente una-fun­ ción creciente de su precio en la semana anterior, mientras que la cam idad solicita­ da en una determ inada sem ana, es función de su precio actual. Denote por Sj y Dj las cantidades ofrecida y solicitada en la semana j , respectivamente, y por Pj el precio del articulo en la semana j . Suponga que existen constantes positivas a, b y c, tales que Sj = aPj - 1 Y Dj = b —cPj.
    • 94 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (a) Demuestre que P} = b / ( a + c) + { - a / c ) x ] ( P0 - b / { a + c)) si la oferta y la dem anda son iguales. (b) Demuestre que Pj tiende a b ( a + c ) cuando j tiende a infinito si a / c < 1. (c) Pruebe que P = b / { a + c) representa una situación de equilibrio. Es decir, si la oferta es igual a la demanda y si el precio alguna vez llega al nivel b / ( a + c ), entonces se m antendrá dicho nivel. 1 .1 3 A p r o x i m a c i o n e s n u m é r i c a s ; MÉTODO DE EULER En la Sección 1.9 se m ostró que en general no es posible resolver el problem a de valor inicial > '(/o)=>'o- (0 Por lo tanto, para que las ecuaciones diferenciales puedan tener valor práctico, es nece­ sario descubrir maneras de obtener buenas aproxim aciones de la solución y(t) de ( 1). En las Secciones 1.13 a 1.16 se deducirán algoritmos que pueden ser aplicables en una com putadora digital para obtener buenas aproximaciones de y(t). Ahora bien, una com putadora obviamente no puede aproximar una función en todo un intervalo i0 < / < /0 + a, ya que requeriría una cantidad infinita de inform ación. A lo más puede calcular valores aproxim ados y , . . ., y s de y(t) en un número finito de puntos t, t2, ■- ., t.. Sin embargo, esto es suficiente para efectos prácticos, ya que usando los números y | , . . . , y puede obtenerse una buena aproximación y(t) en todo el intervalo tQ < t < t0 + a. De hecho, tómese y(t) como la función cuya gráfica en cada intervalo [ry, es una recta que une los puntos (ry, yj) y ,yy+i) (Fig. 1). La función ^ ( 0 se puede expresar analíticam ente por medio de la ecuación ^ (1 0 = yj + } ( 1~ ['¡){yj + 1-yj)> FIGURA i . Com paración de y(t) y y(t) ‘ < t < tj + 1j
    • 95 1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler Si y{t) está cerca de y(t) en t = ty, es decir, si yj está cerca de y{tj), y si tJ +x está cer­ ca de tj, entonces y(t) está cerca de y(t) en todo el intervalo fy < f < tj+ x. Esto se sigue inm ediatam ente de la continuidad de ambas funciones y(t) y y(t). Así pues, sólo se requiere de un método para obtener buenas aproximaciones de.y(/) en un número dis­ creto de puntos t ¡ , . . . , tN en el intervalo t0 < t < t0 + a. Para simplificar los cálcu­ los se pide que los puntos / j , . . . , t y estén igualmente espaciados. Esto se logra tom an­ do N suficientemente grande y haciendo t k = t 0 + k ( a / N ) , k ~ 1, . . . , N . O tra m anera de hacerlo es escribir tk+l = tk + h, donde h = a / N. A hora bien, lo único que se sabe de y(t) es que satisface una ecuación diferencial y que su valor en t - tQ es y 0. Esta inform ación se usará para obtener un valor apro­ ximado y¡ de y en t - t¡ = t0 + h. Luego puede usarse este valor aproxim ado^) para calcular un valor aproxim ado y 2 de y en t = t2 = t + h, y así sucesivamente. Para lograr esto se necesita un teorem a que permita calcular el valor de y en / = tk + h a partir de la inform ación de y en / = tk . Tal teorema es, por supuesto, el Teorema de Taylor, el cual establece que dy{t¿) + + h2 d 2 y{tk) + (2) Así pues, si se conoce el valor de y y de sus derivadas en t - tk , entonces es posible calcular el valor de y en t = tk + h. A hora bien, y(t) satisface el problema de valor inicial (1). P or lo tanto, su derivada evaluada en t = tk debe ser igual a f ( t k , y{tk)). Más aún, usando repetidas veces la regla de la cadena para derivación parcial (Apéndi­ ce A) es posible calcular d 2y ( t k) dt2 di J dy y todas las derivadas de orden superior de y(t) en t = tk . Por lo tanto, se puede escri­ bir ( 2) en la siguiente form a y ( tk + i ) ssy ( Q + h f i ^ y O k ) ) h2 + '2! dt J dy ( ík>y(tk))+ ••• • (3) La aproxim ación más sencilla de y ( t k+{) se obtiene truncando la serie de Taylor (3) después del segundo térm ino. Esto lleva al siguiente método numérico yi^yo+ hfi^yo), + y en general y k +i =y k + W(tk*yk)’ yo^yM - (4) Nótese cóm o se usa el valor inicial y 0 y el hecho de que y(t) satisface la ecuación dif .rencial d y / d t = / ( / , y) para calcular un valor aproxim ado y x de ^ ( 0 en t - ty. Des­ pués se emplea este valor aproxim ado de y¡ para calcular un valor aproxim ado y 2 de y(t) en t = t2, y así sucesivamente. La ecuación (4) se conoce com o el método de Euler. Es el procedimiento numérico más sencillo para obtener valores aproxim ados y ¡ , . . . , y N de la solución y{t) en los tiempos /¡, . . . , t y . Por supuesto que es también el método más inexacto, ya que se
    • 96 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN conservarán solam ente dos térm inos del desarrollo de la serie de Taylor de j'(í). Como se verá a continuación, el m étodo de Euler no es lo suficientemente preciso para ser utilizado en muchos problem as. Sin em bargo, constituye una introducción excelente a métodos más com plicados que se expondrán a continuación. Ejem plo 1 Sea y(t) la solución al problem a de valor inicial d y / d t = + ( y - t ) 2, 7 (0 ) = í- Usar el m étodo de Euler para calcular valores aproxim ados y u . . . , y N de y(t) en los puntos = / N , t2 = 2 / N , . . ., /íV = 1S o l u c i ó n . La fórm ula de Euler para este problem a es y ^ ^ y k + h [ ^ + ( y k - t kf f t « o ,i n - i, h - i / N con y Q = Vi. A continuación se dan ejemplos de program as en APL y F ortran para calcular y¡, . . . , y N. Estos program as, al igual que los subsiguientes, tienen valores variables para /0, y Q, a y N, de m odo que pueden usarse para resolver el problem a de valor inicial d y / d t = 1 + ( y - t)2, y ( t 0) = y 0 en cualquier intervalo. Más aún, los mis­ mos program as funcionan bien cam biando la ecuación diferencial; si se cam bia la fun­ ción f ( t , y) entonces sólo es necesario m odificar las líneas 5 y 8 del program a en APL, y las expresiones para T(l ) y Y(k) en la Sección B del program a en F ortran. La Tabla 1 m uestra los resultados de estos cálculos con a = 1, N = 10, t0 = 0 y = Vi. Todos ellos y los que les siguen se hicieron en una com putadora IBM 360 usando doble precisión (16 cifras). Los resultados se redondearon a 8 cifras decimales significativas. 70 Ta b l a 1. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 7 / 0.5 0.625 0.7525625 0.88309503 1.01709501 1.15517564 0.6 0.7 0.8 0.9 1 7 1.29810115 1.44683567 1.60261202 1.76703063 1.94220484 La solución exacta de este problem a de valor inicial (Ejercicio 7) es 7 ( 0 = ' + 1 / ( 2 —0Así pues, el error que se comete al aproxim ar el valor de la solución en t = 1 con ^ es aproxim adam ente de 0.06, ya que 7(1) = 2. Si se corre el program a con N = 20 y /v = 40 se obtiene que 720 = 1.96852339 y 7 40 = 1.9835109. Por lo tanto, el error que se comete al aproxim ar ^(1) con y 4ü es ya m enor que 0.02.
    • 97 1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler Programa en APL V [1] [2] EULER T<— NpO Y<— NpO [3] H<— A + N [4] T[1]<— T 0 + H [5] Y[1 ]<— YO + H X1+ [6] [7] T [K + 1]<— T [K ] + H [8] Y [K + 1 ]<— Y [K ] + H (Y O - T 0 ) * 2 K — >1 [9] [10] [11] [12] S > (2 ,p Y )p T ,Y (Y [K ] - T[K ]) * 2 T<— T 0 ,T [13] X1+ K<— K + 1 < 7 — X tK < N Y<— YO, Y V Programa en Fortran Sección A Lectura d e datos ■ D I M E N S I O N T (1 0 0 0 ), Y (1 0 0 0 ) R E A D (5 ,1 0 ) T0, YO, A , N 10 F O R M A T (3 F 2 0 .8 ,15) H= Sección B Cálculos r A /N T (1 ) = T 0 +H H *(1 Y (1 ) = Y 0 + + (Y 0 — T 0 )* *2 ) DO 2 0 K = 2, N T (K ) = T ( K - 1 ) Y (K ) = Y (K 1 +H 1) + H * (1 + ( Y ( K — 1) — T ( K — 1 ))* * 2 ) C O N T IN U E . 20 Sección C Impresión d e los resultados - W R IT E 30 (6,3 0) T0, YO, (T(J), Y (J), J = 1 , N) F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1 H T, 4X, 1 H Y , / ( 1 H , 1 X, 1 F 1 0 .7 .2 X .F 2 0 .9 / )) CALL E X IT END Ej e r c i c i o s Usando el m étodo de Euler con incrementos h = 0.1, determine un valor aproximado de la solución en t - 1 para cada uno de los problem as de valor inicial 1 a 5. Repita los cálculos con h = 0.025 y com pare los resultados con el valor dado de la solución.
    • 98 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3. ^ - 1 y(0)-0;(y(i)-0 4. % - * - ' + - ! — , ^ ( O Í - O ^ ^ M - ln d + í2)) dt 1 + 12 5. ” = —1 + 2 / + — —— d‘ 0 + ' 2) 6. A y-U CríO -l + ñ Usando el método de Euler con h = 7r/40, determ ine un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial ^ = 2sec2/ —(1 + y 2), y ( 0) = 0 en / = 7 / 4. Repita los cálculos con h = 7r/160 y compare los resultados con el r número 1, el cual es el valor de la solución y( t) = tan / en / = 7 / 4. t 7. (a) Demuestre que la sustitución y = t + z reduce el problema de valor inicial y ' = 1 + ( y - /)2, ^(0) = 0.5 al problem a de valor inicial más sencillo z = z 1, ¿(0) = 0.5. (b) Demuestre que z ( 0 = 1/(2 - /). Por lo tanto, y(t) = t + 1/(2 - /). 1.13.1 Análisis de error en el Método de Euler Una de las características precisas del procedim iento de Euler es que es relativamente fácil estimar el error cometido al a p ro x im a ra is ) con y k . Sin embargo, esto sucede sólo bajo la rigurosa restricción de que S , . . ., ts no son mayores que t0 + a , donde a es el número definido en el teorem a de existencia y unicidad de la Sección 1.10. Más preci­ samente, sean a y b dos números positivos y supóngase que las funciones / , d f / d t y d f / d y están definidas y son continuas en el rectángulo t0 < t < t0 + a, y 0 - b < y < y 0 + b. Denótese este rectángulo con R. Sea M e 1 valor máximo de |f ( t , >’)| para (t, y) en R y hágase a = mín (cr, b / M ) . A continuación se calcula el error com etido al apro­ ximar y ( í k ) con y k para tk < t0 + a . Para esto, obsérvese que los núm eros y Q y {, . . . , y s satisfacen la siguiente ecua­ i ción en diferencias yk +i =y k + hf ( tk'yk)' mientras que los números 7 (/0), y ( t i), . . ., *=o,i 7 (/v) y { ‘k-n)=y('k) + hf { ‘k-y('k)) + v donde £* es un número entre tk y tk +. La ecuación (2) se deduce de la identidad n - i (i) satisfacen la ecuación en diferencias *± dt + ? - L dv
    • 99 113 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler y del hecho que dv{t) fji d 2 ( t) y ( t + h) = y ( t ) + h — -— + — ----------- — di dt2 2 para algún número r entre / y / -t- h. Restando la ecuación (1) de la ecuación (2) se obtiene y(tk+)-yk +=y(tk)-yk +h[fitk'y{tk))-f(tk'yk)] h2 + d¿ .d¿ dt A hora, obsérvese que d í ( t k ’Vk) r 1 / ( 'a A '( 'a ) ) -/('*■ >*) = — ^ — [ y ( i k) ~ y k ] donde rjk es algún número entre y ( t k ) y y k . Por lo tanto, d/( y ( tk + ) - y k + i < y { lk ) - y k + h + dy h2 dt y { t k ) - y k (tkJitk)) J dv Antes de continuar es necesario estimar las cantidades ( d f ( t k , y x ) ) / d y y { d f / d t ) + f ( d f / d y ) ] ( $ i k , y ( £k )). Para ello, obsérvese que los puntos (& > >'(&•)) y ■ (fk ^}'k) están en el rectángulo R. [En la Sección 1.10 se mostró que los puntos (sa >> (£; )) se hallan en R. Además, un sencillo argumento de inducción (Ejercicio 9) muestra que todos los puntos (t k , y k ) están en /?.] Por lo tanto, los puntos (t k . rjk ) tam­ bién están en R. Sean L y D dos números positivos tales que max K ( t . y ) en R max ( t . y ) en R dy < L d¿ d¿ < D. dt + dy Dichos números siempre existen si / , d f / d t y d f / d y son continuas en R. Entonces y ( ‘k + i ) - y k + i < y ( tk ) - y k + h L y ( tk ) - y k + Dh2 (3) Ahora bien, tómese Ek = y ( t k) - y k , k = 0, 1, . N. El número Ek es el error que se comete en el paso k al aproxim ar y ( t k ) con y k . De (3) se sigue E k + 1 <( l + h L)Ek + Dh7 k = 0, 1. (4) Más aún, £ 0 = 0, ya que y ( t 0) = y Q. Así pues, los números E0, £ , , .. ., Es satisfa­ cen el siguiente conjunto de desigualdades Ek +{ < A E k + B, E0 = 0
    • 100 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN con A = + h L y B = Dh / 2. Por lo tanto, (Sección 1.12) £ *< j r y í - ' * * - •)= [(> + * * • ) * - >]• (5) También es posible obtener una estimación para Ek que es independiente de k. Obsérvese que 1 + hL < e hL. Esto proviene del hecho que ( hL ) 2 ( h L f e hL= + h L + —^ H ---- 2!— + ■“ = (l + /zL) + “ algo positivo” Por lo tanto, se tiene que Dh r / hL^k .1 Dh Finalmente, dado que kh < a , entonces E^ T t { e' L - ^ * =1 N- (6) La ecuación (6) dice que el error que se comete al aproxim ar la solución y ( t ) en el tiempo t = tk es a lo más una constante fija m ultiplicada por h. Esto sugiere, como regla práctica, que el error debería dism inuir aproxim adam ente en '/: si se reduce h en Esto puede verificarse directam ente en el Ejem plo 1 de la sección anterior, donde el error en / = 1 para h = 0.1, 0.05 y 0.025 es 0.058, 0.032 y 0.017, respectivamente. Eje m p l o i Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial (a) Dem ostrar que.y(0 existe al menos para 0 < / < 1, y que en este intervalo se cumple - 1 < y(t) < 1 . (b) Sea N un entero positivo grande. Aplicar el método de Euler para encontrar valores aproxim ados de y en los puntos tk = k / N , k = 0, 1 , . . . , N. (c) Determ inar un incremento h = / N tal que el error que se comete al aproxi­ mar y ( t k) con y k no sea mayor que 0. 0001. So l u c ió n . (a) Sea R el rectángulo 0 < í < 1 , - 1 < y < 1. El valor máximo de (t 2 + y 2) / l con (/, y) en R es 1. Por lo tanto, por el teorem a de existencia y unicidad de la Sección 1.10, y(t) existe al menos para 0< t < a = min ( 1, j ) = 1, y en este intervalo se cumple, (b) -1 < y < 1. t 2+ y 2 1 y k +=yk + h — j — ) = y ^ + 2 Ñ con y'0 = 0. El entero k va de 0 a N - 1.
    • 101 1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler (c) Hágase f ( t , y) - (t 2 + y 2) / 2 y calcúlese M. ay at J dy De (6) se sigue y{tk) ~ yk ^ ( D h / 2 L )( eL - 1), donde L y D son dos números positi­ vos, tales que máx |_y| < L ( t , y ) en R max { t , y ) en R < + j ( ' 2+ y 2) < D. Ahora bien, los valores máximos de las funciones y y t + ( y / 2 ) ( t 2 + ,v: )¡ para (t, y) en R son claramente 1 y 2, respectivamente. Por lo tanto, Esto implica que el incremento h debe ser menor que 0.0001 /(e - 1). De manera equi­ valente, A'debe ser mayor que (e - 1)I04 = 17 183. Así pues, se debe iterar la ecuación 1 y k + = y k + 2(17,183) 17,183 17 183 veces para estar seguro de que el valor de,v(l) es correcto con cuatro cifras deci­ males. Ej e m p l o 2 Sea y{t) la solución del problema de valor inicial ^ - l 2+ e - ' y(0)=¡. (a) Demostrar que y(t) existe al menos para 0 < t < 1, y que en este intervalo se cumple' -1 < y < 3. (b) Sea A 'un entero positivo grande. Aplicar el método de Euler para encontrar valores aproxim ados de y{t) en los puntos tk = k / N , k = 0, 1, . . . , N. (c) Determinar un incremento h, tal que el error cometido al aproximar y{(k) con y k no sea mayor que 0.0001. So l u c ió n . (a) Sea R el rectángulo 0 < f < 1, |.y - 11 < 2 . El valor máximo de t 2 + e~r con (/, 7) en R es 2. Por lo tanto, y(t) existe al menos para 0 < t < mí n ( l , 2/2) = 1 y en ese intervalo se cumple -1 < y < 3. (b) y k ^ i = y k + h Uk2 + e ~ ykl) = y k + ( W ^ ) [ ( k / N ) 2- ¥ e - ^ 2 c o n . y o = l . EI eníero ] k tom a valores de 0 a iV - 1 . (c) Hágase / ( / , y) = t 2 + é~r y calcúlese | = - 2 y | +/ | = 2 I- 2 ^ + e - V ' ’.
    • 102 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN De (6) se sigue que | ( / a - ) ~ yk — (D h / 2 L ) { e L - 1), donde L y D son dos números positivos tales que máx - l y e ~ y2< L ( t , y ) en R y máx 2t —2 y ( t 2 + e ~ y2)e~y2 < D. ( t , y ) en R Ahora bien, se ve fácilmente que el valor máximo de 2ye~-v' para -1 < y < 3 es ^2/e. Así pues, se toma L = f2/e. Desafortunadam ente, es muy difícil calcular el valor máximo de la función 2t — 2y ( t 2 + e~ y2)e~y2 con que (/, y) enR. A pesar de ello es posible encontrar un valor aceptable D observando para (/, y) en R m áx|2/ —2 v ( / 2 + e ~ y2)e~y2¡ < m áx|2/| + máx¡2_y(/2+ e~y2)e~y2 < m áx|2/| + mé.x2ye~y2 Xmá x( / 2+ e ~yl) —2 + 2 ^ 2 / e = 2 ( l + V 2 / 7 ) . Por lo tanto, se puede tom ar D = 2(1 + í2/e) y, como consecuencia, se tiene 2(1 + V 2 / e ) h e V ^ re - y ( tk ) - y k < ----------------------------- 7 = -2V 2/e Esto implica que el incremento h debe ser menor que V 2A 1+ V y ~ e w 0.0001 X 1 . - 1 Los Ejemplos 1 y 2 m uestran que el método de Euler no es muy preciso, ya que se requieren aproxim adam ente 20000 iteraciones para lograr una precisión de cuatro cifras decimales. La desventaja obvia de un m étodo que requiere tantas iteraciones es el costo. Los precios actuales del uso de la com putadora son de alrededor de 1200.00 dólares por hora. Una segunda desventaja aún más seria es q u e ^ puede estar muy lejos d e s i N es dem asiado grande. De hecho, una com putadora digital no puede reali­ zar los cálculos con precisión, ya que conserva solam ente un número finito de cifras decimales. Por lo tanto, cada vez que se realiza una operación aritmética en la com pu­ tadora hay que introducir un error de “ redondeo” . Por supuesto que tal error es pequeño. Sin embargo, si se realizan muchas operaciones entonces el error de redondeo acum ula­ do puede ser tan grande que los resultados obtenidos sean inservibles. El Ejercicio 8 muestra un ejemplo de esto para la aplicación del método de Euler.
    • 103 1.13 • Aproxim aciones numéricas; m étodo de Euler Ej e r c i c io s 1. Determine una cota superior para el error que se comete al usar el método de Euler con un incremento h, con objeto de encontrar un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial dy T t . *2+ y 2 2“ • ^(0)“ l Sugerencia: Tómese R como el rectángu­ en cualquier punto del intervalo [0, 2/5]. lo 0 < / < I, 0 < .y < 2. 2. Determine una cota superior para el error que se comete al usar el método de Euler en un incremento h para encontrar un valor aproxim ado de la solución del valor inicial y ( o )-o en cualquier punto / del intervalo [0, 1]. 0 < t < 1, -1 < y < 1. Sugerencia: Tómese R como el rectángulo 3. Halle una cota superior para el error que se comete al usar el m étodo de Euler con ün increm ento h> a fin de encontrar un valor aproxim ado de la solución del proble­ ma de valor inicial + en cualquier punto / en el intervalo [0, el rectángulo 0 < / < 1 , - 1 < >' < 1. 7(0) = 0 l/(e + 1)]. Sugerencia: Tómese R como 4. Halle un valor adecuado de h, de modo que el error que se comete al usar el méto­ do de Euler con incremento h para obtener un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial % = e ' ~ y 2' y ( 0) ^0 en cualquier punto / en el intervalo [0, l/e] sea, a lo más, 0.0001. R com o el rectángulo 0 < / < 1 , - 1 < >' < 1. 5. Determine un valor adecuado de h, de modo que el error que se comete alusar el m étodo de Euler con un incremento h para encontrar un valor aproximado de la solución del problem a de valor inicial ^ = / 2+ tan2.y, >,(0) = 0 en cualquier punto t en el intervalo [0, Vi] sea, a lo más, 0.00001. se R com o el rectángulo 0 < t < Vi, —r / A < y < ir/4. 6. Sugerencia: Tómese Sugerencia: Tóme­ Determine un valor adecuado de h, de modo que el error que se comete alusar el m étodo de Euler con un incremento h para hallar un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial l = ' < )= 0 0
    • CAPITULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN en cualquier punto t en el intervalo [0, 1] sea a lo sumo 0.0001. Sugerencia: Tóm e­ se R como el rectángulo 0 < t < 1 , - 1 ^ y < 1. 7. Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial dy dt = / 0 , v ) , -v(0) = 0. Suponga que f(t, y) < 1, d f / d y < 1 y | d f / d t ) + f ( d f / d y )| < 2 en el rec­ tángulo 0 < t < 1 , - 1 < > < 1.A1 usar la fórm ula de Euler ■ yk+x^yk + V i t k ’ykX ii ' 5 - 1 , y el valor de y 6 es con N = 10, el valor de y 5 es -0 .1 5 11 0.12 . 1Q ' 6- 8 . 1 10 Demuestre que y( t) es cero, al menos una vez, en el intervalo (Vi, 3'/5). Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial y ,s=J ( t , y ) , yOo)=yo- La fórm ula de Euler para encontrar valores aproxim ados de y( t) es y k+i = y k + h f ( t k , y k). Sin em bargo, la cantidad y k + h f ( t k , y k ) nunca se calcula exac­ tamente; siempre se introduce un error ek con | e*. | < e. Es decir, la com putadora calcula núm eros y x , y 2 , . . . , tales que 9k + 1 = /* + h f ( t k ^ k ) + ek con y 0 = y 0. Suponga que d f / d y < L y | ( d f / d t ) + f ( d f / d y ) < D para toda / e y. (a) Demuestre que Ek+i = y ( l k + i ) - y k+ < ( + h L ) E k + ^ h 2 + e (b) Concluya de (a) que Ek < (c) 9. Dh_ , £ 2 h ,aL - i para kh < a . Elija h de m odo que se minimice el error E k . Nótese que el error E k puede ser muy grande si h es muy pequeño. Sea y x, y 2, . . . , tales que satisfacen la relación de recurrencia yk+i=yk + hf ( tk’yk)Sea R el rectángulo /0 — í — (o + a> yo ~ b — y — yo + b y suponga que | / ( / , >^)| < M para (t, y) en R. P or último haga a - mín (a, b/ m) . (a) Demuestre que yj ~ yo ^ j h M siempre que j h < a. Sugerencia: Aplique inducción. (b) Concluya de (a) que todos los puntos (/j, yj) están en R siempre que j < a/ h
    • 105 1.14 • M étodo de los tres términos de la serie de Taylor 1 .1 4 M é t o d o d e l o s t r es t é r m in o s DE LA SERIE DE TAYLOR El m étodo de Euler se obtuvo truncando la serie de Taylor r v y i dt dy + ••• (l ) después del segundo término. La manera más obvia de obtener mejores métodos de apro­ ximación numérica es conservar más términos de la ecuación (l). Si se trunca la serie de Taylor después de tres términos se obtiene la siguiente fórmula y k ^ = y k + hf {t k,yk) + dt J dy Ok^kl £ = 0,...,A-l ( 2) con = y ( t 0). La ecuación (2) se conoce como método de los tres términos de la serie de Taylor, el cual es obviamente más preciso que el método de Euler. Por lo tanto, se esperaría que, para h fija, los números y k generados por la ecuación (2) fueran mejores aproxi­ maciones de y ( t k) que los números y k generados por el método de Euler. De hecho, tal es el caso, pues se puede dem ostrar que y{tk ) = y k es proporcional a h 1, mien­ tras que el error que se cometió al usar el método de Euler es sólo proporcional a h. La cantidad h 1 es mucho más pequeña que h si h es pequeña. Así pues, el método de los tres términos de la serie de Taylor constituye una notoria m ejora sobre el método de Euler. EJEMPLO 1 Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial dy ■ > -£ = l + ( y ~ t) 1 y{0 ) - I . Emplear el m étodo de los tres términos de la serie de Taylor para calcular valores apro­ ximados de y(t) en los plintos tk = k / N , k = 1, . . . , N. SOLUCIÓN. Sea f ( t , y ) = 1 + ( y - o 2. Entonces • f + / |£ = - 2 ( y - t ) + 2 ( y - t) [ + ( y - t f = 2 ( y - t f . Así que la fórm ula de los tres términos de la serie de Taylor es -V*+ 1 = y k + h[ 1+ (yk - lk)2] + h2(yk - tkf .3 con h - / N y _0 = Vi. El entero k tom a valores de 0 a N - 1. A continuación, se y dan ejemplos de programas en APL y Fortran para calcular y lt . . . , y N. Una vez más, los program as tienen valores variables para t$, y< a y N. ¿,
    • 106 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Programa en APL V TAYLOR [1] T<— NpO [2J [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Y<— NpO H<— -5 N A +H H X (YO — T 0 ) * 3 ]< YO + H X D 2 Y + 1 + — T[1 ]<— T 0 D 2 Y< — Y[1 *2 H H X (Y [K ] — T [K ]) * 3 1]<— Y [K ] + H X D 2 Y + + 1 tK < N T [K + 1 ]<— T [K ] + D2Y<— [10] Y [K + [11] K<— K [12] [13] [14] [15] (YO - T 0 ) K<— 1 —* 8 X 1 + (Y [K ] - T [K ]) * 2 T<— T 0 ,T Y<— YO, Y U2,pY)pT,Y V Programa en Fortran Sustituir la sección B del program a en Fortran en la Sección 1.13 por lo siguiente: 20 T(1) = T0 + H D2Y = H * (YO —T0) * *3 Y(1) = Y0 + H*( D2Y+1 +(Y 0 —T0)* *2) DO 20 K = 2, N T(K) = T ( K - 1 ) + H D2Y = H *(Y(K —1) —T(K —1))* *3 Y(K) = Y(K —1) + H * (D2Y + 1 + ( Y ( K - 1 ) - T ( K - 1))* *2) CONTINUE La Tabla 1 m uestra los resultados de estos cálculos para a = 1, N = 10, t0 = 0 e y 0 = 0.05. Ta b l a 1. t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 y 0.5 0.62625 0.7554013 0.88796161 1.02456407 1.1660084 t 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 1.31331931 1.4678313 1.63131465 1.80616814 1.99572313 El método de Euler con N = 10 predecía un valor de l .9422 para.y(l). Nótese cuánto rpás cercano está el núm ero 1.9957 al valor correcto 2. Si se corre este program a para
    • 107 1.15 • M étodo de Euler m odificado N = 20 y N = 40 se obtiene q u e y 20 = 1.99884247 y = 1.99969915. Estos núme­ ros son también mucho más precisos que los valores 1.96852339 y 1.9835109 predichos por el método de Euler. EJERCICIOS Aplique el método de los tres términos de la serie de Taylor con h - 0.1 para determi­ nar un valor aproxim ado de la solución en t = 1 en cada uno de los problemas de valor inicial 1 a 5. Repita los cálculos con h = 0.025 y com pare los resultados con los valores dados de la solución. 1. d y / d t — + t —y , >'(0) = 0; >-(0) = 2; ( y ( 0 —0 2. dy/dt^lty, ( y ( t ) = 2 e ‘2 ) 3. d y / d t — + y 2 — t 2, 4. d y / d t = t e - y + t / ( + t 2l 5. d y / d t — — 1 + 2 t + y 2/ ( l + / 2)2, > -( 0 )= l; (y(t)~ 0 y ( 0) = 0; (>'(r) = Ln(l + 12)) ( y ( t ) = + t 2) 6. Use el método de los tres términos de la serie de Taylor con h = 7t/40 para deter­ minar un valor aproxim ado de la solución del problem a de valor inicial ^ = 2 s e c 2/ - ( l + y 2), y (0) = 0 en f = 7t / 4 . Repita los cálculos con h - t/1 6 0 y com pare los resultados con el núm ero 1, que es el valor de la solución y ( 0 = tan t en t = 7t / 4 . 1 .1 5 M é t o d o d e E u l er m o d i f i c a d o El método de los tres términos de la serie de Taylor es una notoria mejora sobre el método de Euler. Sin embargo, tiene la seria desventaja de requerir el cálculo de las derivadas parciales de f ( t , y) y esto puede ser difícil si la función y( t, y) es muy complicada. Por esta razón, es deseable obtener métodos numéricos que no requieran calcular las deri­ vadas parciales de f ( t , y). Un m odo de abordar el problem a es integrando en ambos lados de la ecuación diferencial y ' - f ( t , y) entre tk y tk + h, para obtener que ( ‘k+hf { ^ y U ) ) d t . (1) Esto reduce el problema de encontrar un valor aproxim ado d e ^ ^ ^ . i) al problema más sencillo de aproxim ar el área bajo la curva f ( t , y ( 0 ) entre tk y tk + h. Una aproxim a­ ción burda de tal área es h f ( t k , y ( t k)), que es el área del rectángulo R en la Figura la. Esto da origen a la fórm ula numérica que es, por supuesto, el m étodo de Euler.
    • 108 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Una aproxim ación aún m ejor de esta área es que es ladel trapecio T en la Figura Ib. Esto lleva a la siguiente fórmula numérica y'k +1~ y ' k + t f ^ k ' y ' k ) f ( lk + + 1)]• (2) Sin embargo, no es posible usar esta fórm ula para determ inar y k r a partir de y k , ya que y k + también aparece en el lado derecho de (2). Una manera muy ingeniosa de sal­ var esta dificultad es sustituir y k ± i en el segundo miembro de (2) por el valor y k + hf((k , y k ) predicho por el m étodo de Euler. Esto lleva al siguiente procedimiento numérico: y +i=yk + 'k y [f((k'yk)+f(lk+h,yk +hf(lk'yk))}'yo=y(ío)- P) La ecuación (3) se conoce com o método de Eider modificado. Se puede mostrar que | v(tk ) ~ y k es a lo más una constante fija por h 2. Por lo tanto, con el método de Euler m odificado se obtiene la misma precisión que con el de los tres términos de la serie de Taylor, y eso sin requerir del cálculo de las derivadas parciales. Eje m p l o 1 Sea y(t) la solución del problem a de valor inicial ^ = 1+ ( y - i ) y(0 ) = j . Usar el método de Euler m odificado para obtener valores aproxim ados de y(t) en los puntos tk = k / N , k = 1, . . . , N. S o l u c i ó n . La fórm ula para el m éiodo de Euler modificado de este problem a es y k + i =y k + y { 1 + (.v*_ '*)2+ 1 + [>>* + + ( y k ~ {k)2) ~ r*+i] } con h = / N y y 0 - 0.05. El entero k toma valores de 0 a N - l . A continuación se
    • 109 1.15 • M étodo de Euler m odificado dan ejemplos de program as en APL y en Fortran para calcular y {, . . más, los program as consideran valores variables para t0, y 0, a y N. y s . Una vez Programa en APL V IM P R O V E D [1 T<— NpO [2 Y < -N p 0 [3 [4 [5 T[1 ]<— T 0 + H [6 Y[1 ]< -Y 0 + (H + 2) X R + 1 + (YO + (H X R ) - T[1 ]) * 2 H < -A -N R<— 1 + (YO — T 0 ) * 2 [7 K<— 1 [8 T [K + 1 ]«— T [K] + H [9 R<— 1 + ( Y [ K ] - T [ K ] ) * 2 [10 [11 [12 [13 [14 [15 Y [K + 1 ]«— Y [K ] + ( H - 2 ) X R + 1 + ( Y [ K ] + ( H X R ) - T [ K + 1 ])* 2 K « -K + 1 — >8 X iK < N T < -T 0 ,T Y<— YO, Y ^ (2 ,p Y )p T ,Y V Programa en Fortran Sustituir la sección B del program a en Fortran del Ejemplo 1 de la Sección 1.13 por las siguientes instrucciones 20 T(1) = T0 + H R = 1 + (Y0 —T0)* *2 Y(1) = YO + (H /2 ) * (R +1 + (YO + (H * R) —T(1)) * *2) DO20 K = 2,N T(K) = T(K —1) + H R = 1 + (Y(K —1) —T(K —1))* *2 Y(K) = Y ( K - 1 ) + (H /2)*(R + 1 + (Y (K -1 ) + (H *R )-T (K ))* *2) CONTINUE La T abla 1 muestra los resultados de los cálculos con a - 1, N = 10, tQ = 0 y y 0 = 0.5. Si se corre el program a con N = 20 y N = 40 se obtiene que y 2o = 1.99939944 y y w = 1.99984675. Por lo tanto, los valores ^ 10, yio y calculados con el método de Euler m ejorado están aún más cerca del valor correcto 2 que los valores T a b la t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1. y 0.5 0.62628125 0.75547445 0.88809117 1.02477002 1.16631867 * 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 1.31377361 1.46848715 1.63225727 1.80752701 1.99770114
    • CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN c o r r e s p o n d i e n t e s 1 . 9 9 57 2 3 1 3 , 1 . 9 9 8 8 4 2 4 6 y 1 . 99 9 6 9 9 1 5 c a l c u l a d o s c o n el m é t o d o d e los t res t é r m i n o s d e la s e r i e d e T a y l o r . Ej e r c i c io s U s a n d o el m é t o d o d e E u l e r m o d i f i c a d o c o n h - 0.1, dete rm ine un valor a p r o x i m a d o d e la s o l u c i ó n e n t - 1 p a r a c a d a u n o d e los p r o b l e m a s d e v a l o r ini cial 1 a 5. R e p i t a los c á l c u l o s c o n h - 0 . 0 2 5 y c o m p a r e los r e s u l t a d o s c o n el v a l o r d a d o d e la s o l u c i ó n . . d y / d t — + t —y , 2. dy / dt = 2ty, y ( 0) ==0; _y(0) = 2; (y(t) ( y ( 0 = í) = 2 e f2) 3. d y / d t = 1 + y 2— t 2, y( 0 ) = 0; 4. d y / d t = t e ~ y + t / { + r2), ( y ( t ) — ¿) y(0) = 0; ( y ( t ) = ln(l + t 2)) 5. d y / d t = - + 2 t + y 2/ ( + 1 2)2, y ( 0 ) = l ; 6. (y ( t ) = + t 2) A p l i q u e el m é t o d o d e E u l e r m o d i f i c a d o c o n h = t t / 4 0 p a r a d e t e r m i n a r u n v a l o r a p r o x i m a d o d e la s o l u c i ó n del p r o b l e m a d e v a l o r inicial ~ = 2 s e c 2/ - ( l + y 2). >-(0) = 0 e n / = 7 r / 4 . R e p i t a los c á l c u l o s c o n h = 7r/ 160 y c o m p a r e los r e s u l t a d o s c o n el n ú m e r o 1, q u e es el v a l o r d e la s o l u c i ó n v(r) = t a n t e n t = x / 4 . 1 .1 6 M é t o d o d e R u n g e -K u tta A continuación se presenta, sin demostraciones, un método numérico muy poderoso que fue desarrollado alrededor de 1900 por los m atemáticos Runge y Kutta. Debido a su sencillez y gran precisión, el método de Runge-Kutta es uno de los procedimientos numéricos más ampliamente utilizados para resolver ecuaciones diferenciales. Está defi­ nido por la siguiente ecuación + donde + [4.,+ 2 4 ,; + 2 £ „ + A - 0 , l , . . . , / V - l = y ( t 0), y ^k, i = f 0 k ^ k l L k'2—f { t k "b h , y k + h L k ,) ^k .3 = f { lk "b h , y k + 2 ^ ^ , 2)’ Lk 4 — ( t k + h, yk + hLk 3). f En la fórmula se usa un prom edio ponderado de los valores d e /(r , y) tom adas en dife­ rentes puntos. Por lo tanto, la sum a 1/611*. 1 + 2 ¿* i2 + 2 L k¿ + L kA] puede inter­ pretarse com o una pendiente prom edio. Es posible m ostrar que el error y{t k ) - y k es a lo más una constante fija multiplicada por h 4. Así pues, el método de Runge-Kutta es mucho más preciso que el m étodo de Euler, que el de los tres térm inos de la serie -de Taylor y que el de Euler m odificado.
    • 111 1.16 • M étodo de Runge-Kutta Ejem plo 1 S e a y ( t ) la s o l u c i ó n del p r o b l e m a d e v a l o r inicial y( 0 ) = k. A p l i c a r el m é t o d o d e R u n g e - K u t t a p a r a e n c o n t r a r v a l o r e s a p r o x i m a d o s y x, . . . , y, d e y e n los p u n t o s (k = k / N , k = l, . . . . /V. S o lu c ió n . A c o n t i n u a c i ó n se d a n e j e m p l o s d e p r o g r a m a s en A P L y en F o r t r a n p a r a c a l c u l a r y x, . . . , y s c o n el m é t o d o d e R u n g e - K u t t a . L o s p r o g r a m a s di f i e r e n d e los a n t e ­ r i or e s e n el h e c h o d e q u e n o e v a l ú a n y¡ p o r s e p a r a d o , s i n o q u e la c a l c u l a n en el m i s m o ci cl o en el q u e d e t e r m i n a n y 2 , . . . , v.v- E s t o se l o g r a d e n o m i n a n d o los n ú m e r o s /0 e y 0 co m o / 1 e y ¡ , respectivamente. Programa en APL V RUNKUT [1] [2] T « -,T 0 Y<— , YO [3] H *-A -N [4] K<— 1 [5] T *-T ,T [K ] + H [6] LK1<— 1 + (Y [K ] — T [K ]) * 2 [7] LK2<—1 + (Y[K] + (H x LK1 + 2) - T[K] + H i- 2) * 2 [8] LK3<— 1 + (Y [K ] + (H X L K 2 [9] LK4<— 1 + (Y [K ] + (H X L K 3 ) - T[K] + H ) * 2 2) — T[K] + H 2) * 2 [1 o] Y<— Y, Y[KJ + (H - 6) X LK1 + L K 4 + 2 X L K 2 + L K 3 [11] K<— K + 1 [12] — >5 X íK < N [13] ^ (2 ,p Y )p T ,Y V Programa en Fortran D I M E N S I O N T (1 000), Y ( 1 000) R E A D (5 ,1 0 ) T (1 ).Y (1 ),A ,N 10 F O R M A T (3 F 2 0 .8 ,15) H = A /N DO 20 K = 1, N T ( K - M ) = T (K ) + H REAL LK1, LK2, LK3, LK4 LK1 = 1 + ( Y ( K ) — T ( K ) ) * * 2 L K 2 = 1 + ((Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 1 ) - (T (K ) + H / 2 ) ) * * 2 L K 3 = 1 + ( (Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ) - (T (K ) + H / 2 ) ) * * 2 L K 4 = 1 4- (( Y ( K ) + H * L K 3 ) - (T (K ) + H )) * * 2 Y ( K + 1 ) = Y ( K ) + ( H / 6 ) * (LK 1 + L K 4 + 2 * (L K 2 + L K 3 )) 20 C O N T IN U E NA = N + 1 W R IT E (6 ,3 0 ) (T(J), Y (J), J = 1, N A ) 30 F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1 H T, 4X, 1 H Y ,/ (1 H, 1X, F 1 0 .7 ,2X, F 2 0 .9 / )) C A L L E X IT END
    • 112 CAPÍTULO 1 • tCUACkjNES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN La Tabla 1 m uestra los resultados de los cálculos con a = 1, N = 10, t0 = 0 y yo = 0.5. T a b la t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1. y 0.5 0.62631578 0.75555536 0.88823526 1.02499993 1.16666656 t 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 1.31428555 1.4692305 1.6333329 1.8090902 1.9999988 Nótese cuánto más cerca del valor correcto 2 está el número y {0 = 1.999998$ calculado por el método de Runge-Kutta, que los números v10 = 1.94220484, y l0 = 1.99572312 y y [0 = 1.997701 14 evaluados con el método de Euler, con el de los tres térm inos de la serie de Taylor y con el de Euler m odificado, respectivamente. Si se corre este pro­ gram a con N = 20 y N = 40 se obtiene que_y2o = 1.99999992 y y w - 2. Así pues, la aproxim ación d e ^ ( l ) ya es correcta a ocho cifras decimales cuando h = 0.025. De manera equivalente, sólo se necesita elegir N > 40 para obtener una precisión de ocho decimales. Para captar la precisión de los diversos métodos en la perspectiva correcta, se pue­ de decir que se tienen tres procedim ientos numéricos para resolver el problem a de valor inicial d y / d t = f ( t , y ) , y ( 0) = 0 en el intervalo 0 < t < 1, y que el error que se comete al usar dichos m étodos es 3h, 11 h 1 y 42/t4, respectivamente. Si el problem a es tal que se requieren ocho cifras decimales de precisión, entonces los incrementos h lt h2 y h} para los distintos métodos deben satisfacer las desigualdades 3h { < 10~8, 1 h ^ 10-8 y 42 hj < 1 0 '8. Por lo tanto, el núm ero de iteraciones , N 2 y /V3 para los diferentes procedimientos debe satisfacer las desigualdades N, > 3 X 108 = 300,000,000, N2> V u X 104% 34,000 y A3 > (4 2 )1/4x l 0 2^ 2 6 0 . Este es un ejemplo im presionante de la diferencia que hay entre el m étodo de RungeKutta y el de Euler, el de Euler m odificado y el de los tres términos de la serie de Taylor. O b s e r v a c ió n . Nótese que en cada paso del método de Runge-Kutta se realizan cuatro evaluaciones funcionales, m ientras que en cada paso del método de Euler se realiza sola­ mente una evaluación. Sin em bargo, el método de Runge-Kutta supera claramente al de Euler, al de Euler m odificado y al de los tres térm inos de la serie de Taylor. Ej e r c i c io s Utilice el m étodo de Kimge-Kutta con h = 0.1 para determ inar un valor aproximado de la solución en t = t para cada uno de los problem as de valor inicial 1 a 5. Repita los cálculos cor n - 0.025 y com pare los resultados con el valor dado de la solución.
    • 1.17 • Qué hacer en la p rá ctica 1. cf y/ dt = + t - y , 2. d y / d t = 2ty, y{ 0 ) - 2 ; 3. d y / d t = + y 2- t 2, y(0)=*0; 4. d y / d t = t e ~ y + t / ( + t 2), 5. d y / d t = - 1 + 2 / + > ' 2/ ( ( l + f2)2). 6. >(0) = 0; 113 (>'(/) = /) (y(t) = 2 e ') (y ( t ) = t ) >'(0) = 0; ( > ( / ) - l n ( l + 12)) ^ (0) = 1; ( y ( f ) = l + f2) Use el método de Runge-Kutta con h = 7r/40 para determinar un valor aproxim a­ do de la solución del problem a de valor inicial ^ = 2sec2r - ( l + y 2), y (0 ) = 0 en t - 7 / 4. Repita los cálculos con h - 7r/160 y compare los resultados con el r núm ero 1, que es el valor de la solución y(t) = tan í en / = x /4 . 1 .1 7 Q ué h a c e r en l a p r á c t i c a En esta sección se analizan algunos problemas prácticos que surgen cuando se intenta resolver ecuaciones diferenciales en com putadora. Prim ero y sobre todo está la estima­ ción del error que se comete. No es muy difícil señalar que el error que se cometió al usar el método de Euler, el de los tres términos de la serie de Taylor, el de Euler modifi­ cado y el de Runge-Kutta con increm ento h es, a lo más, c,/i, c2h 2, c2h 2 y c4/i4, res­ pectivamente. Sin em bargo, con una excepción, es prácticam ente imposible determinar las constantes c¡, c2, c3 y c4. La excepción es el método de Euler donde puede calcu­ larse de modo explícito el error com etido al a p r o x im a ra is ) c o n y k (Sección 1.13). Sin embargo, la estimación no es muy útil ya que sólo es válida para tk suficientemente cer­ cana a t0, y norm alm ente uno se interesa por valores de y en tiempos t bastante mayo­ res que t0. Así pues, por lo general no se sabe de antem ano qué tan pequeño hay que elegir el incremento h para lograr la precisión buscada. Lo único que se sabe es que los valores aproxim ados y k que se calculan tienden a y ( t k) conform e h se hace más pequeña. Una m anera de resolver el problem a es la siguiente: Usando uno de los métodos de la sección anterior se elige un incremento h y se calculan números y¡, . . . , y yv- Des­ pués se repiten los cálculos con un incremento h/2, y se com paran los resultados. Si los cambios son mayores que lo que se está dispuesto a aceptar, entonces se necesita un increm ento menor. Este procedim iento continúa hasta alcanzar la precisión desea­ da. Por ejem plo, supóngase que se busca la solución del problema de valor inicial y ' = / ( L 7 )> 7(0) = 7o en t - 1 con precisión de cuatro cifras decimales. Se elige un incre­ mento h = 1/100 y se calcula y x, . . . , y X 0. Después se repiten los cálculos con h = Q 1/200 y se obtienen nuevas aproximaciones z ¡, . . . , Z200• Si 7100 y ^20 coinciden en sus 0 prim eras cuatro cifras decimales, entonces se tom a z2oo como aproximación de 7 ( 1)*. * Esto no garantiza que ; :oo coincida con y{ I) a cuatro cifras decimales. Como precaución adicional se podría dividir este incremento nuevamente entre 2. Si las primeras cuatro cifras decimales permanecen igual, entonces es razonable suponer que z;oo coincide con v(l) en cuatro cifras decimales.
    • 114 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sí^kx) y £20 n0 coinciden en sus cuatro primeras cifras decimales, se repiten entonces 0 los cálculos con un incremento h = 1/400. Ejemplo a Obtener la solución del problem a de valor inicial + e - y ) + e', en t = 1 con y(0) = 0 una precisión de cuatro cifras decimales. S o l u c i ó n . Se ilustrará cómo plantear y resolver el problema con el método de Euler, con el de los tres términos de la serie de Taylor, con el de Euler m odificado y con el método de Runge-Kutta. i. Método de Euler. Program a en APL V EULER [1] [2] T<— ,T 0 [3] H<— A + N Y<— , YO [4] K<— 1 [5] T<— T ,T [K ] + H [6] Y < - Y , Y [K ] + H X (Y [K ] X 1 + * - Y [K ]) + * T [K ] [7] K<— K + 1 [8] - * 5 X iK < N [9] N , H , Y [ N + 1] V Program a en Fortran Sección A Lectura d e los Datos 10 DIMENSION T(1000), Y(1000) READ (5,10) T(1), Y(1),A,N, FORMAT (3F20.8.I5) H= A/N • Sección B Cálculos D020 K= 1,N T(K + 1) = T(K) + H Y(K + 1) = Y(K) + H *(Y(K) *(1 + EXP( - Y(K))) 1 + EXP(T(K))) .20 CONTINUE r Sección C Impresión d e los resultados 30 WRITE (6,30) N, H, Y(N +1) FORMAT (1H, 1X, 15,2X, F10.7,4X, F20.9) CALL EXIT END Se tomó A = 1, T0 ~ 0, YO = 0 (en el program a en F ortran, 7X1) = T (l) = 0) y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 80, 160, 320 y 640. Los resultados de los cálculos aparecen en la Tabla 1. Nótese que incluso con un incremento h tan peque-
    • 115 1.17 • Qué hacer en la práctica T a b la N 10 20 40 80 160 320 640 1. h yn 0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 0.0015625 2.76183168 2.93832741 3.03202759 3.08034440 3.10488352 3.11725009 3.12345786 ño como 1/640, puede garantizarse precisión solamente en la prim era cifra decimal. Esto subraya las limitaciones del método de Euler. Como /V es dem asiado grande, es recom endable usar un m étodo más preciso en vez de continuar con el método de Euler con incrementos cada vez menores. ii) Método de los tres términos de la serie de Taylor. Programa en APL [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] V TAYLOR T T0 <— Y*-, Y O H<-A-N K— < 1 T<— T,T[K] + H DY1 < 1 + (1 — — Y[K]) X * - Y[K] DY2<— (Y[K] X 1 + * — Y[K]) + *T[K] Y Y, Y[K] + (H X DY2) + (H X H - 2) X (* T[K]) + DY1 X DY2 <— K<— K + 1 - ^ 5 X iK < N N, H, Y[N + 1 ] V Programa en Fortran Sustituir la Sección B del program a en Fortran anterior por las siguientes instrucciones D020 K = 1, N T(K + 1) = T(K) + H DY1 = 1 + (1 —Y(K)) * E X P ( - Y(K)) D Y 2 = Y ( K ) * (1 + E X P ( - Y (K ))) + E X P ( T ( K ) ) Y ( K + 1) = Y ( K ) + H * D Y 2 + (H * H / 2 ) * (E X P ( T ( K ) ) + D Y 1 * D Y 2 ) 20 C O N T IN U E Se tom ó A = 1, 7*0 = 0 y YO = 0 (en el program a en F ortran, TO ) = 0, y F (l) = 0), y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 60, 80, 160, 320. Los resultados de los cálculos se muestran en la Tabla 2. Obsérvese que y l60 y y^ 2o coinciden en sus primeras cuatro cifras decimales. Por lo tanto, la aproxim ación ^(1) = 3.12966689 es correcta con cuatro cifras decimales.
    • 116 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN T a b la 2. h ys 0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 N 10 20 40 80 160 320 3.11727674 3.12645293 3.12885845 3.12947408 3.12962979 3.12966689 iii) Método de Euler modificado. Program a en APL V IM P R O V E D [1] [2] [3] 14] [5] [6] [7] T ,T0 <— Y«-,Y0 H A+ N <— K 1 <— T<— T,T[K] + H R<— H X (Y[K] x 1 + * - Y[K]) + *T[K] Y«-Y, Y[K] + (+ 2) X R + H X ((Y[K] + R ) X 1 + * -Y[K] + [8] K < -K + 1 [9] [10] R )+ ^T[K + 1 -+ 5 X iK < N N,H,Y[N + 1] V Program a en Fortran Sustituir la Sección instrucciones B del primer program a en F ortran de esta sección por las siguientes D O 20 K = 1 ,N T (K + 1) = T (K ) + H R1 = Y ( K ) * (1 + E X P ( - Y (K ))) + E X P ( T ( K ) ) R 2 = (Y ( K ) + H * R 1 ) * (1 + E X P ( - ( Y ( K ) + H * R 1 ) ) ) + E X P ( T ( K + 1 ) ) Y ( K + 1) = Y ( K ) + ( H / 2 ) * (R 1 + R 2 ) 20 C O N T IN U E Ta b l a 3. N 10 20 40 80 160 320 h 0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 yn 3.11450908 3.12560685 3.1286243 3.12941247 3.12961399 3.12964943
    • 117 1.17 • Qué hacer en la p rá ctica Se tomó A = 1,71) = Oy 7 0 = 0 (en el program a en Fortran, 7~(1) = Oy 7(1) = 0), y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 80, 160 y 320. Los resultados de los cálculos aparecen en la Tabla 3. Obsérvese que y m y >320 coinciden en las prim e­ ras cuatro cifras decimales. P or lo tanto, la aproxim ación7(1) = 3.12964943 es correc­ ta con cuatro cifras decimales. iv) Método de Runge-Kutta. Program a en APL V RUNKUT [1] T < -,T 0 [2] Y < -,Y 0 [3] H<— A + N [4] K < -1 [5] T<— T ,T [K ] + H [6] LK1 < -(Y [K ] X 1 [7] LK2 <— ((Y [K ] + (H + * —Y [K ]) + * T[K] 2) X L K 1 ) X 1 -I- * — Y [K ] + (H + 2) X L K 1 ) + * T[K] + H + 2 [8] L K 3 « -(( Y [ K ] + (H + 2) X L K 2 ) X 1 + * - Y [K ] + (H + 2 ) X L K 2 ) + * T [K ] + H + 2 L K 4 *-((Y [K ] + H X L K 3 ) X 1 + * - Y [K ] + H X L K 3 ) + * T (K ] + H [9] (10] Y * _ Y , Y [K ] + (H + 6 ) X LK 1 + L K 4 + 2 X L K 2 + L K 3 [11] [12] —>5 X tK < N [13] N , H , Y [ N + 1] K < -K + 1 V Program a en Fortran Sustituir la Sección B del prim er program a en F ortran de esta sección por las siguientes instrucciones D 0 2 0 K = 1 ,N T (K + 1) = T (K ) + H LK1 = Y ( K ) * (1 + E X P ( - Y (K )) + E X P ( T ( K ) ) L K 2 = (Y ( K ) + ( H / 2 ) * L K 1 ) * (1 -I- E X P ( - (Y ( K ) + ( H / 2 ) * L K 1 ))) 1 + E X P ( T (K ) + (H / 2)) L K 3 = (Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ) * (1 + E X P ( - ( Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ))) 1 + E X P (T (K ) + (H /2 )) L K 4 = (Y ( K ) + H * L K 3 ) * (1 + E X P ( - (Y (K ) + H * L K 3 ))) 1 20 + E X P (T (K + 1 )) Y ( K + 1) = Y ( K ) + ( H / 6 ) * (LK 1 + 2 * L K 2 + 2 * L K 3 + L K 4 ) C O N T IN U E Se tomó A = 1, 7~0 = O y 7 0 = 0 (en el program a en Fortran, 7(1) = 0 y 7(1) = 0), y se corrieron los program as para N = 10, 20, 40, 80, 160 y 320. Los resultados de los cálculos se m uestran en la Tabla 4. Nótese que la aproxim ación de 7 ( 1) ya es correc­ ta con cuatro cifras decimales con h = 0.1, y que es correcta con ocho cifras decimales
    • 118 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN con h = 0.00625 ( N = 160). Este ejemplo ilustra una vez más la fuerza del método de Runge-Kutta. Ta b l a 4. N h 10 20 40 80 160 320 0.1 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 ys 3.1296517 3.12967998 3.1296819 3.12968203 3.12968204 3.12968204 La sección concluye con dos ejem plos que ilustran algunas dificultades adicionales que surgen al resolver problem as de valor inicial en com putadoras digitales. Ejemplo 2 Usar el método de Runge-Kutta para obtener valores aproxim ados de la solución del problem a de valor inicial ^ =/ 2+ > '2, ^ (0 ) = 1 en los puntos tk = k / N , k = 1, . . . , N. So l u c ió n . Program a en APL V RUNKUT [1] [2] T<— ,T 0 [3] H<— A ■ ■ N + Y<— , YO [4] K<— 1 [5] T<— T ,T [K ] + H [6] LK1 < (T[K ] * 2) + Y [K ] * 2 — [7] LK2<— ((T [K ] + H + 2 ) * 2 ) + (Y [K ] + H X LK1 -*-2 )*2 [8] LK 3< — ((T [K ] + H + 2 ) * 2) + (Y [K ] + H X L K 2 [9] [10] LK 4< — ((T [K ] + H ) * 2) + (Y [K ] + H X L K 3 ) * 2 [11] [12] K<— K + 1 [13] ^ (2 ,p Y )p T ,Y 2) * 2 Y « - Y , Y [K ] + (H -f- 6) X LK 1 + L K 4 + 2 X L K 2 + L K 3 — >5 X tK < N V
    • 119 1.17 • Qué hacer en la prá ctica Programa en Fortran Sustituir la Secciones B y C del primer program a en Fortran de esta sección por las siguientes instrucciones: D O 20 K = 1 ,N T ( K + 1) = T ( K ) + H LK 1 = T ( K ) * * 2 + Y ( K ) * * 2 Sección B Cálculos LK2 = (T(K) + ( H / 2 ))* * 2 + (Y(K) + ( H / 2 ) * LK1)* * 2 L K 3 = (T (K ) + ( H / 2 ) ) * * 2 + (Y (K ) + ( H / 2 ) * L K 2 ) * * 2 L K 4 = (T (K ) + H ) * * 2 + ( Y (K ) + H * L K 3 ) * * 2 Y ( K + 1 ) = Y ( K ) + ( H / 6 ) * (LK 1 + 2 * L K 2 + 2 * L K 3 + L K 4 ) .20 C O N T IN U E NA = N + 1 W R I T E (6 ,3 0 ) (T(J), Y(J), J = 1, N A ) Sección C Impresión de los resultados 30 F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1HT, 4X, 1 H Y / ( 1 H, 1X, F9.7, 1 2X , F 2 0 .9 / )) C A L L E X IT - END Se trató de correr los program as con A = I, 70 = 0, YO = 1 (en el program a en For­ tran 7(1) = 0 y 7(1) = 1) y N = 10, pero se recibió un mensaje de error consistente en que los números calculados excedían el dominio de la com putadora. Es decir, eran mayores de 1038. Esto indica que la solución y(t) tiende a infinito para algún valor en el intervalo [0, 1]. Esto puede dem ostrarse analíticam ente e incluso es posible obtener, con un artificio ingenioso, una estimación de dónde y(t) tiende a infinito. Obsérvese que para 0 < t < 1, y ( t ) nunca es menor que la solución = 1/(1 - 0 del pro­ blema de valor inicial Y t = >'2’ = Además, y (t) nunca es m ayor que la solución 0 2(0 - ta n (í + tt/4) del problema de valor inicial d y / d t = 1 + y 2, y(0) = 1. Por lo tanto, para 0 < / < 1 se tiene j Z T j < y ( / ) < t a n ( / + 7r/4). Esta situación se describe gráficam ente en la Figura 1. Como (/) y < 2(0 tienden a /> infinito en t = 1 y t = tt/4 , respectivamente, se concluye q u e ^ ( 0 tiende a infinito en algún punto entre tt/4 y 1. Las soluciones de la m ayoría de los problemas de valor inicial que surgen en las aplicaciones de la física y de la biología existen para todo tiempo futuro. Así pues, no es necesario preocuparse dem asiado del problem a de las soluciones que tienden a infi­ nito en tiem po finito o del problem a de soluciones que son excesivamente grandes. Sin em bargo, hay algunos casos en economía en los que el problem a es de im portancia cru­ cial. En esos casos, se desea con frecuencia determ inar si ciertas ecuaciones diferencia­ les pueden m odelar con precisión un fenómeno económico dado. A m enudo, es posible eliminar algunas de estas ecuaciones, dem ostrando que permiten soluciones que son demasiado grandes para ser reales.
    • 120 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN F ig u ra 1. Eje m p l o 3 Utilizar el método de Euler para determ inar valores aproxim ados de la solución del problem a de valor inicial = ^ |^ l -3 /4 + f s e n y , >-(0) = 0 (l) en los puntos 1//V, 2 / N , . . 2 . S o l u c i ó n . La program ación de este problem a se simplifica mucho si se observa que y y 3/4 = ( s g n d o n d e s gny = I, >•>0 0, y = 0 - 1, y < 0 Program a en APL V [1] [2] EULER T<— NpO Y<— NpO [3] H<— 2 ■ ■ N + [4] T [1 ]« -H [5] K < -1 [6] T [K + 1 ]<— T [K ] + H [7] Y [ K + 1 ]<— Y [K ] + H X ( ( X Y [K ]) X ([Y[K]) * 0.25) + T [K ] X 1 0 O + T [K ] [8] K<— K + 1 —>6 X iK < N [9] [10] T<— 0 ,T [11] [12] ^ (2 ,p Y )p T ,Y Y<— 0, Y V
    • 121 1.17 • Qué hacer en la práctica Program a en Fortran D I M E N S I O N T (1 0 00), Y (1 0 0 0 ) R E A D (5 ,1 0 ) N 10 F O R M A T (15) H = 2 /N T (1 ) = H Y (1 ) = 0 DO 20 K = 2, N T (K ) = T (K — 1) + H Y (K ) = Y ( K — 1) + H * ( S I G N ( Y ( K — 1 ) * * 0 . 2 5 , Y ( K - 1 ) ) + T ( K - 1 )* S IN (3 .1 4 1 5 9 2 6 5 4 / T (K — 1)) 20 C O N T IN U E W R IT E ( 6 , 3 0 ) 0,0, (T(J), Y(J), J = 1, N ) F O R M A T (1 H 1 , 3X, 1 H T, 4X, 1 H Y / ( 1 H, 1X, F 1 0 .7 ,2X, F 2 0 .9 / )) 30 C A L L E X IT END Tom ando N = 25 se obtuvo el valor 2.4844172 para >>(2), pero al tom ar N = 27 se obtuvo el valor -0.50244575 p ara^(2 ). Más aún, todos los valores fueron positivos para N = 25 y negativos para N = 27. Se repitieron los cálculos con N = 89 y N = 91, y se obtuvieron los valores 2.64286349 y -0.6318074, respectivamente. Además todas las y k fueron de nuevo positivas para N = 89 y negativas para T = 91. De hecho, es V posible, aunque más bien difícil, probar que todas las y k son positivas si N - 1 ,5 ,9 , 13, 17, . . . , y negativas si N = 3 ,7 , 11,15, . . . . Esto sugiere que la solución del pro­ blema de valor inicial (1) no es única. La afirm ación no puede probarse analíticamente, ya que no es posible resolver la ecuación diferencial de modo explícito. Sin embargo, hay que notar que el teorema de existencia y unicidad de la Sección 1.10 no se aplica aquí ya que la derivada parcial de la función y ~ v*y + t sen ir/t con respecto a y no existe en y = 0. La m ayoría de los problem as de valor inicial que surgen de las aplicaciones tienen solución única. Así pues, no es necesario preocuparse demasiado del problem a de falta de unicidad de las soluciones. Sin em bargo, hay que tener siempre en mente que los problemas de valor inicial que no cumplen las hipótesis del teorem a de existencia y uni­ cidad de la Sección 1.10, pueden tener más de una solución, ya que elegir la solución errónea en uno de estos casos raros puede ser desastroso. Ej e r c i c io s En cada uno de los Problem as 1 a 5, encuentre la solución del problem a de valor inicial dado en t = 1 con una precisión de cuatro cifras decimales. 1. ^ = y + e ~ y + 2 t , 3. ^ dt 5. = 1 1 + 1+y y(0 ) = 0 y(0) = 0 7(0) =1 2. ^ 4. < ^ at = 1 - t + y 2, = e t 2- 2 y , y y ( 0) = 0 7 (0 )= 1
    • 2diferenciales Ecuaciones lineales de undo 2.1 P r o p ie d a d e s a l g e b r a i c a s de l a s s o l u c i o n e s Una ecuación diferencial de segundo orden es una ecuación del tipo d2 y l i 2 Por ejem plo, la ecuación , dy /dV y dt2 =sen' +3'v + ( ^ ) es una ecuación diferencial de segundo orden. Una función y = y(t) es la solución de (1) si y(t) satisface la ecuación diferencial, es decir, d 2 (t) y r¡ dy(t) Así pues, la función y(t) = eos t es la solución de la ecuación de segundo orden d 2y / d t 2 = ~ y , ya que d 2 (eos t ) / d t 2 = -e o s t. En las aplicaciones surgen con frecuencia ecuaciones diferenciales de segundo orden. La ecuación diferencial de este tipo más famosa es la segunda ley de Newton del movi­ miento (véase la Sección 1.7)
    • 124 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN la cual rige el movimiento de una partícula de masa m que se mueve bajo la influencia de una fuerza F. En esta ecuación, m es la masa de la partícula, y = >>(0 es su posición en el tiempo t, d y / d t es su velocidad, y F e s la fuerza total que actúa sobre la partícula. Como ya la notación lo indica, la fuerza F puede depender de la posición y de la veloci­ dad de la partícula, así como tam bién del tiempo. Además de la ecuación diferencial (1), con frecuencia se imponen tam bién condi­ ciones iniciales sobre y(t) de tipo y(to)=yo> 0 ') La ecuación diferencial (1) junto con las condiciones iniciales (1') se conoce como un problem a de valor inicial. Por ejem plo, si y{t)* indica la posición en el tiem po t de una partícula que se mueve bajo la influencia de la gravedad, entonces y{t) satisface el pro­ blema de valor inicial d^y 2 = -g dt . v W - j 'o . yVo)=y'o> donde y 0 es la posición inicial de la partícula y y'0 es su velocidad inicial. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden son muy difíciles de resolver. Lo cual no debiera sorprender a nadie después de la experiencia adquirida con las ecuaciones de primer orden. Solamente se pueden resolver las ecuaciones diferenciales de la form a especial (2) A fortunadam ente, muchas de las ecuaciones diferenciales que surgen en las aplicacio­ nes son de este tipo. La ecuación diferencial (2) se conoce como ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta ecuación se distingue con la denom inación de lineal porque tanto y como d y/ dt aparecen por separado. Por ejemplo, lasecuaciones diferenciales d2 y dy — r + 3 /-J - + (sen/).y = e dt y dt K d2 , td y y dt1 dt . — - + e l— +2y — 1 son lineales, en tanto que las ecuaciones y d2 y -dy -< , d2 y 3— —t + 3 -J +seny = r dt2 dt d2 y dt2 +li t r - son no lineales, debido a la presencia de los términos sen.y y {dy/dt)2, respectivamente. * La dirección positiva de y se toma hacia arriba.
    • 125 2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones Prim ero se analizará la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden d^ y dy + p ( ‘) j ¡ + 9 ( i ) y - o (3 ) la cual se obtiene de (2) haciendo g(t) = 0. En este m om ento, ciertamente, no es fácil encontrar todas las soluciones de (3) o resolver el problem a de valor inicial ^ ¡ + p { t ) c + q{t)y=Q ^ y{to)=yo> y'Oo)=yo- (4) Por ello, antes de tratar de exponer cualquier procedimiento elaborado para resolver la ecuación (4), se necesita determ inar primero si en efecto tiene solución. Lainform a­ ción que se requiere está contenida en el siguiente teorema, cuya demostración se pre­ sentará en el C apítulo 4. TEOREMA 1. (Teorem a de Existencia y Unicidad). Sean p(t) y q(t) f unci o­ nes continuas en el intervalo a < t < (3. Entonces existe una y solamente una fun ci ón y(t) que satisface la ecuación diferencial (3) en todo el intervalo a < t < (3 y las condiciones iniciales prescritas y (t0) = y 0, y ' ( t 0) = y'o- Concreta­ mente, cualquier solución y = y(t) de (3) que satisfaga y ( t 0) = 0 y y' (t 0) = 0 en un t = t0 debe ser idéntica a cero. El Teorem a 1 es muy im portante. Por una parte, constituye la “ autorización” para ir en busca de la solución única y(t) de (4). Por otra, el Teorema 4 también ayudará a encontrar todas las soluciones de (3). El análisis de la ecuación (3) se inicia con la im portante observación de que el lado izquierdo y" + p (t) y ' + q{t)y = de la ecuación diferencial puede considerarse como la definición de “ una función de función” : a cada función y que tiene dos derivadas se le asocia otra función que se lla­ ma L[y], por medio de la relación siguiente: L [ y ] 0 ) = y " ( ‘) + p ( t ) y ' { t ) + q { t ) y (t). En términos matem áticos, L es un operador que actúa sobre funciones, es decir, hay una regla precisa que asocia a cada función y una nueva función L [ y ). EJEMPLO 1 Sea p(t) = 0 y q(t) = t. Entonces L [ y ] { t ) = y " { t ) + ty{t). si y{t) = eos t, entonces ^ [ y ] ( 0 = (cos 1) ” + / cos t — { t - )cos t, y si y(t) = / 3, entonces ¿ [ . y ] ( ') = ( '3r + ' ( ' 3) = ' 4+ 6 '-
    • 126 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Así pues, el operador L asigna la función (t - 1) eos / a la función eos / , y la función 6/ + l 4 a la función / 3. El concepto de un operador que actúa sobre funciones o el de “ función de una fun­ ción” es análogo al de una función de una sola variable /. Recuérdese la definición de la fu n c ió n /e n un intervalo / : donde a cada núm ero / en / se le asocia un núm ero llam a­ do /( /) . De m anera análoga, a cada función y que tenga dos derivadas se le asocia una nueva función llam ada L[ y] . Este es un concepto m atem ático muy com plejo, ya que —en cierto sentido— se trata a la función exactamente como si fuera un punto. Eviden­ temente, ésto es difícil de entender. P or ello, no es extraño que el concepto de “ función de función” haya sido form ulado sólo hasta principios de este siglo, y que muchos de los “ grandes y poderosos teorem as” del análisis m atem ático se hayan dem ostrado úni­ camente después de que surgió dicho concepto. A continuación, se deducen varias propiedades importantes del operador L, las cuales se aplicarán a continuación. L[cy] = c L [ y ] , para toda constante c. D e m o s t r a c ió n . ¿[cy](/)=(cy)"(/)+p(0(o’)'(0 + q o x c y x o = cy " (t) + cp ( t)y'( t) + cq (/ )y ( l ) = c[ >•"(/) + p ( / ) / ( / ) + ?(/)> ’(/)] = cL[y](t). Q El significado de la Propiedad 1 consiste en que el operador L asigna a la función (cy) la función que asigna a y m ultiplicada por c. Por ejemplo, sea L[y](t)= y"(t) + ()yt)-2y{t). Tal operador L asigna la función ( / 2)" + 6 (/2)' —2(r2) = 2 + 12 r —2 / 2 a la función t 1. Por lo tanto, L debe asignar la función 5(2 + 12/ - 212) a la función 512. Pr o p ie d a d 2. D e m o s t r a c ió n . Z ^[Tl+>'2](/) = (>'l+>,2)"(/)-*-/, (0 (T l+ > ’2)'(/) + 7(0(>; l+>;2)(0 sty ”( t ) + y ' ¡ ( t ) + p ( t ) y ( t ) + p(t)y' 2(t) + q ( t ) y l (t) + q ( t ) y 2(t) = [ > 7 ( 0 + / » ( ' ) / ! (/) + <7(/)¿-,(/)] + ( O + ^ Í O ^ i í O + ^ Í O ^ Í O ] [y'í = T [ y , ] ( : i - f L [ y 2]{t). □
    • 127 2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones El significado de la Propiedad 2 consiste en que el operador L asigna a la función y j + y 2 la suma de las funciones asignadas a y¡ y a y 2. Por ejemplo, sea L [ y ] ( t ) = y " { t ) + 2 y ' { ( ) - y ( t ) . El operador L asigna la función (eos/)" + 2(cos/)' —cos/ = —2 eos/ —2sen/ a la función eo s/, y la función (sen/)" + 2(sen/)' —sen/ = 2 co s/ —2sen/ a la función sen /. Por lo tanto, L asigna la función ( - 2 eos / - 2sen/) + 2 eos / —2sen/ = - 4sen/ a la función sen / + eos /. D E F IN IC IO N . Un operador L que asigna funciones a otras funciones y que satisface las Propiedades l y 2 se llama operador lineal. Todos los demás ope­ radores son no lineales. Un ejemplo de un operador no lineal es ^ [ t ](0 = t " ( 0 - 2 / [ > ' ( 0 ] 4- Este operador asigna la función a la función 1//, y la función 2 i ) a la función L [ c y ) * c/t. ti Por lo tanto, como c 2 c4 _ 2 c(l —c3) P P P c ¿ 0, 1, y y (t) = l/í, puede verse que c L [ y . La utilidad de las Propiedades 1 y 2 se basa en la observación de que las soluciones de la ecuación diferencial (3) son exactamente las funciones y para las cuales se cumple y (t) L [ y ] { t ) = y " { t ) + p { t ) y ' { t ) + q { t ) y { t ) ^ Q . En otras palabras, las soluciones y ( í ) de (3) son exactam ente las funciones > a las que > el operador L asigna la función cero*. Por lo tanto, si y ( t ) es una solución de (3), entonces cy(/) tam bién lo es, ya que L [c y ](/) = c E [ > ] ( /) = 0. Si T i(0 y ^2(0 son soluciones de (3), entonces jq (/) + y2Í0 tam bién es una solución de (3), ya que L [ y + T 2 ](0 = ^ [> ’i ] ( 0 + ¿ [ > ,2 ](') = 0 + 0 = 0. * La función cero es la función cuyo valor en todo tiempo t es cero.
    • 128 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Al com binar las Propiedades 1 y 2, se ve que todas las combinaciones lineales c i y i ( 0 + c2y 2(t) de las soluciones de (3) son tam bién soluciones de (3). El razonam iento anterior m uestra que pueden utilizarse las dos soluciones conoci­ das y |(0 y y 2(t) de (3) para generar una infinidad de otras soluciones. Esta afirm a­ ción tiene algunas implicaciones muy interesantes. Considérese por ejemplo la siguiente ecuación diferencial v, (/) = eos /, y y 2(t) = sen (/) son dos soluciones de (5). Por lo tanto, y { t ) — c, cos/ + c2sen/ ( 6) es también una solución de (5) para dos constantes cualesquiera c, y c2. A hora bien, la ecuación (6) contiene dos constantes arbitrarias, por lo que es fácil suponer que la expresión (6) representa la solución general de (5), es decir, que toda solución y(t) de (5) debe ser del tipo (6). De hecho, este es el caso, como se verá a continuación. Sea y(t) cualquier solución de (5). Por el teorem a de existencia y unicidad, y(t) existe para toda t. Sea y(0) = y Q, .y'(O) = y'0, y considérese la función <p(t)=y0cost +y' 0sent. Esta función es una solución de (5) ya que es una com binación lineal de las soluciones de (5). Además, 0(0) = y 0 y 0'(O) = y'0. Así pues, y(t) y 0 (/) satisfacen la misma ecuación lineal homogénea de segundo orden y las mismas condiciones iniciales. Por lo tanto, por la parte que se refiere a la unicidad del Teorem a 1, y(t) debe ser idéntica a 0 , de forma que y ( t ) = y 0cost +y' 0sént. Así pues, la ecuación (6) constituye, en realidad, la solución general de (5). Ahora, volviendo a la ecuación lineal general (3), supóngase que de alguna manera se lograron encontrar dos s o lu c io n e s ^ /) y y 2(t) de (3). Entonces cualquier función del tipo T (0 = ci >'i ( 0 + c2>'2(/) (7) es también una solución de (3). La pregunta es si la expresión (7) representa la solución general de (3). Es decir, si toda solución y(t) de (3) tiene la forma (7). El siguiente teore­ ma da la respuesta. diferente de cero en el mismo intervalo. Entonces, T ( 0 = Cl T l ( 0 + C 2>'2(0 es la solución general de (3).
    • 129 2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones D e m o s t r a c ió n . Sea y ( t ) cualquier solución de (3). Se necesita encontrar las cons­ tantes C] y c2 tales que >>(0 = c xy f t ) + c 2 y 2 ( t ) . P ara ello, elíjase un tiempo t 0 en el intervalo (a , ( 3 ) y denótese por y y ' & a los valores de .y y y ' en t = t 0 . Las constantes C[ y c2, si existen, deben satisfacer las dos ecuaciones siguientes: c i y ( í o) + c 2y'2( t 0) = y , . Q Al m ultiplicar la prim era ecuación por y 2(í0), la segunda por y 2(t0) y restándolas lue­ go se obtiene c [ y y i M - y ( h ) y 2 ^ 0) ] = y Q 2(tQ - y Qy2{tQ y ) ). De manera similar, si se multiplica la primera ecuación por.yí(/0), la segunda p o r 7 ,(/0) y se restan resulta c2[ y ( ‘o yi (to)-yÁ ^y'i ( O ) ] By0 ( 'o) -yby i ( 'o)y Por lo tanto, _ y o y i { to)~ y o y i i h ) y i {h)yi{h) ~ y i (^0)^2 (*o) y yb y M -y o y 'A h ) y A h ) y i { h ) ~ y { tQ) y i { to) S¡ y i W y f t o ) - y (í o)y 2 Íh) * 0. A hora bien, sea para esta elección de las constantes c { y c2. Se sabe que 0(r) satisface a (3) ya que es una com binación lineal de las soluciones de (3). Más aún, por construcción se tiene que 0(¿o) = yo Y - y'o- Así pues, y(t) y 0 (0 satisfacen la misma ecuación lineal hom ogénea de segundo orden y las mismas condiciones iniciales. P or lo tanto, por el enunciado de unicidad del Teorem a 1, >>(0 debe ser idéntica a 0 ( 0 , es decir, y ( t ) sac i y ( t ) + c2y 2(t), ct<t<0. □ El Teorem a 2 es muy útil ya que reduce el problem a de encontrar todas las solucio­ nes de (3), que son una infinidad, al problem a más sencillo de encontrar solamente dos soluciones y f t ) , ^ (O - La única condición que se impone a las soluciones y f t ) y y 2(t) es que la cantidad y x(t)y'2(t) - y ( t ) y 2(t) no sea igual a cero para a < t < /3. En este caso, se dice que_yf (0 y y-ff ) constituyen un conjunto fun da ment al de soluciones de (3), ya que todas las demás soluciones de (3) pueden obtenerse a partir de combinacio­ nes lineales de y f t ) y y 2(t). DEFINICION. La cantidad y¡ (t)y'2(t ) - y (t)y2(l ) se denom ina wronskiano de y { y y 2, y se denota por W(t) = W [ y x, y 2(t). El Teorem a 2 requiere que W[y¡, y 2](t) no sea igual a cero en todos los puntos del intervalo ( a , ( 3 ) . De hecho, como se verá a continuación, el wrons­ kiano de cualesquiera dos soluciones y x(t), y 2(t) de (3) es idéntico a cero o nun­ ca igual a cero.
    • 13ff CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Te o r e m a 3. Sean p(t ) y q{t) continuas en el intervalo a < t < ¡3, y sean y i(0 Y 72(0 dos soluciones de (3). Entonces, W [ y {, y 2](t) es idéntico a cero, o bien, nunca es igual a cero en el intervalo a < t < fi. El Teorem a 3 se dem ostrará con la ayuda del lema siguiente. Lema 1 . Sean y¡ (t) y y 2(t) dos soluciones de la ecuación diferencial lineal y " + p( t) y' + q(t)y = 0. Entonces, el wronskiano W ( t ) = W [ y x, y2] ( t ) = y x{t)y'2( t ) - y { t ) y 1{t) satisface la siguiente ecuación diferencial de primer orden W ' + p ( t ) t V = 0. D e m o s t r a c i ó n . Obsérvese que ^ ( O - i i y ^ - y M ~ y 1y 2 + 7 Í 72 ~ y y'i ~ y ¡y 2 = 7 i 72 — í> 27 Como y x y y 2 son soluciones de y " + p ( t ) y ’ + q(t)y = 0, se sabe que 72 = - P { t ) y ' 2- q { t ) y 2 y 7Í' = - p { t ) y - q { t ) y x. Por lo tanto, W ' { t ) = y x[ - p {t )y' 2- q { t ) y 2 - y 2[ - p ( t ) y - q { t ) y x] = - / > ( 0 [ 7 i 7 2 - 7 ' i 72] = -p(t)W (t). □ A hora es posible presentar una dem ostración sencilla del Teorema 3. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3. Elíjase algún t0 en el intervalo (a, j8 ). Del Lema 1 se deduce que ^ [ 7 i.7 2 ]( 0 “ 7i»72] ( ío)exp | —f ' A hora bien, exp | —£ p ( s ) d s ^ e s diferente de cero para a < t < (3. P or lo tanto, W [ y x, y 2(t) es idéntico a cero o nunca igual a cero. La situación más simple en la que el wronskiano de dos funciones y¡ (t), y 2(t) es idéntico a cero se presenta cuando una de las dos funciones es idéntico a cero. De manera
    • 2.1 • Propiedades aígebraícas de tas soluciones más géneral, el wronskiano de dos funciones y[{t), y 2(t) es idéntica a cero si una de las funciones es un m últiplo de la otra. Por ejemplo, si y 2 = cy ( , entonces Recíprocam ente, supóngase que el wronskiano de dos soluciones y ,(/), y 2(t) de (3) es idéntico a cero. Entonces, una de las soluciones debe ser un múltiplo de la otra, como se verá a continuación. Sean y¡ (t) y y 2(t) dos soluciones de (3) en el intervalo a < t < ¡3 y supóngase que W y ¡ , _y2](/0) = 0 Para alguna tQ en el intervalo. Entonces una de las soluciones es un múltiplo de la otra. TEOREMA 4. DEM OSTRACION 1. Supóngase que W [ y x, y 2](t0) = 0. Entonces, las ecuaciones c i>,i(^o) + c2>'2(ío) = 0 c i y i ( lo) + c2y 2 ( *o)= o tienen una solución no trivial c l5 c2; es decir, una solución q , c2 con |C]| + |c 2| + 0. Sea y(t) = c¡y¡ (t) + c2y 2{t) para esta elección de constantes c {, c2. Se sabe q u e>>(/) es una solución de (3), ya que es una com binación lineal d e y ^ t ) y y 2(t). Más aún, por construcción, y { t Q = 0 y y ' { t 0) — 0. Por lo tanto, por el Teorem a 1, y(t) es idénti­ ) co a cero, así que a<t</3, + Si c¡ ? 0, entonces y t (t) = - ( c 2/ c })y2(t), y si c2 ^ 0, entonces y 2(t) = - ( c¡ /c2)y¡(t). En cualquier caso, una de estas soluciones es un múltiplo constante de la otra. 0. Entonces, por el Teorema 3 W [ y i, y 2] es idéntico a cero. Supóngase que y l (t)y2(t) ^ 0 para a < t < /3. Enton­ ces dividiendo am bos lados de la ecuación DEM OSTRACIÓN 2. Supóngase que W [ y x, ,y2](/o) = -Vi (0-V2 ( 0 — 1 ( O-V2 ( 0 = 0 ^ entre y {t )y2{t) se obtiene ^ 2 (0 yAO Esta ecuación implica que y^{t) = cy2(t) para una constante c. A hora supóngase que y i ( t ) y 2(t) es igual a cero en algún punto t = t* en el inter­ valo a < t < {3. Sin que haya problemas puede suponerse que.y ,^* ) = 0, ya q u e ^ y y 2 pueden expresarse de otra manera. En ese caso se puede dem ostrar fácilmente (véa­ se el Ejercicio 19) q u e y x(t) = 0, o bien.y2(/) = [ yi (t *)/ y (t *) ]y{(t). Con esto finaliza la dem ostración del Teorem a 4. □ DEFINICION. Se dice que las funciones _y¡(/) y y 2{t) son linealmente depen­ dientes en el intervalo I si una de estas funciones es un múltiplo constante de la o tra en I. Se dice que las funciones yi(t) y y 2(t) son linealmente indepen­ dientes en el intervalo I si no son linealmente dependientes en I.
    • CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 132 C o r o l a r io del t e o r e m a 4. Dos soluciones y x(t) y y 2{t) de (3) son linealmente independientes en el intervalo a. < t < (i si y sólo si el wronskiano no es igual a cero en el intervalo. A s í pues, dos soluciones y x{t) y v2(t) consti­ tuyen un conjunto fun da men ta l de soluciones de (3) en el intervalo a < t < fi si y solamente si son linealmente independientes en este intervalo. EJERCICIOS 1. Sea L [>>](/) = y" (t ) - 3ty'(t) + 3y(t). Calcule (a) L{et), (b) L[cosV I /], (c) L(2é>' + 4 c o s V3 /], (d) L [ ( (e) L [ 5 t 2], (0 L[t), (g) L [ t 2 + 3t]. 2. Sea = y" (t ) = 6y ’(t) + 5y(t). Calcule (a) L [ e ‘i (e) L¡), (b) L [ e 2‘, (f) L [ t (c) Z.[e3'), (g) L[rJ + 2/]. (d) L e " , 3. Demuestre que el operador L definido por £ [.y ](0 = f ‘s2 y(s)ds es lineal; es decir, L[ cy] = cL[y] y L [ y x + y 2] = L [ y x + L [ y 2. 4. Sea L[y](t) = y " ( t ) + p { t ) y t ) + q(t)y(t), y suponga que L [ t 2] = t + 1 y L[t] = 2t + 2. Demuestre que y[t] = t - 2 t 2 es una solución de y " + p(t )y ' + qU)y = 0. 5. (a) Demuestre que .>>](/) = 4t y v2(0 = rencial son soluciones de la ecuación dife­ 2t2 + 3ty' — —0 y" y (*) en el intervalo 0 < / < °°. (b) Evalúe W { y x, y 2]t. ¿Qué ocurre cuando t tiende a cero? (c) Demuestre q u e ^ í O y y 2(t) constituyen un conjunto fundam ental de solucio­ nes de (*) en el intervalo 0 < t < (d) Resuelva el problema de valor inicial 2 t 2y " + 3ty - y = 0; j^(l) = 2 , / ( l ) = 1. 6. (a) Pruebe q u e jq íO = e- 'v2 y y 2{f) =>e~‘2/2j ^ ^ d s son soluciones de >'" + ry'+>' = 0 (*) en el intervalo < t < °°. (b) Evalúe W [ y x, y 2](t). (c) Pruebe que y¡ y y 2 constituyen un conjunto fundam ental de soluciones de (*) en el intervalo < / < °o. (d) Resuelva el problem a de valor inicial y " + ty' + y = 0; v(0) = 0, / ( 0 ) = 1. 7. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones (a) sen at, eos bt (b) sen2/, 1 - eos 2/
    • 2.1 • Propiedades algebraicas de las soluciones (c) e al, e bt (d) e at, tea‘ (e) t, t nt 133 (0 e at sen bt, e al eos bt 8. Sean y x(t) y y 2(t) soluciones de (3) en el intervalo < t < 00 con ^(O ) = 3, y ( 0 ) = 1, ^ 2(0) = 1, y ^ 2(0) = Vi. Demuestre q u e y¡(t) y y 2(t) son linealmente dependientes en el intervalo </<<». 9. (a) Sean y x(t) y y 2(t) soluciones de (3) en el intervalo a < t < (3, con y x(t0) = 1, yUo) = 0 , y 2(tQ = 0 , y y ' 2(t0) = 1. Demuestre que y, (t) y y 2(t) constituyen ) un conjunto fundam ental de soluciones de (3) en el intervalo a < ( < (3. (b) Demuestre que y (t) = (0 + 0 es la solución de (3) que satisface y ( ‘o) = yo, y y k ) = y'o- 10. Demuestre q u e ^ íO = t 2 no puede ser una solución de (3) si las funciones p(t) y q(t) son continuas en / = 0. 11. Sean .^(O = t 1, y y 2(t) = / | / | . (a) Pruebe q u e ^ ! y y 2 son linealmente dependientes en el intervalo 0 < i < 1. (b) P ru eb e que y x y y 2 son linealm ente independientes en el intervalo - 1 < / < 1. (c) Demuestre que W [ y x, y 2]{t) es idéntico a cero. (d) Demuestre que y¡ y y 2 nunca pueden ser dos soluciones de (3) en el intervalo —1 < / < 1 si tanto p como q son continuas en dicho intervalo. 12. Supóngase q u e ^ j y y 2 son linealmente independientes en el intervalo I. Demues­ tre que Z = y x + y 2 y z 2 = y x - y 2 son también linealmente independientes en I. 13. Sean y¡ y y 2 soluciones de la ecuación de Bessel í2 " + ty' + (í2- n 2)y = 0 y en el intervalo 0 < / < °°, con O btenga W [y ¡, y 2(t)- (1) = 1, .y j(l) = 0, j^ O ) = 0 y ^ ^ (l) = 1. 14. Suponga que el w ronskiano de cualesquiera dos soluciones de (3) es constante con respecto al tiem po. Demuestre que p(t ) = 0. En los Problem as 15-18 suponga que p y q son continuas y que las funciones y x y y 2 son soluciones de la ecuación diferencial -V"+ / > ( ' ) / + <7(0>' = 0 en el intervalo a < t < 15. Demuestre que si y¡ y y 2 se anulan en un mismo punto del intervalo a < t < /3; entonces no pueden form ar un conjunto fundam ental de soluciones en dicho intervalo. 16. Demuestre que si y x y y 2 alcanzan un máximo o un mínimo en un mismo punto del intervalo a < t < entonces no pueden constituir un conjunto fundamental de soluciones en dicho intervalo. 17. Demuestre que si y x y y 2 form an un conjunto fundam ental de soluciones, enton­ ces no pueden tener un punto de inflexión com ún en a < t < /3, a no ser que/? y q se anulen sim ultáneam ente en dicho punto.
    • 134 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 18. Suponga que y x y y 2 constituyen un conjunto ‘ undam ental de soluciones en el f intervalo — < / < °°. Pruebe que hay un cero d e ^ , y sólo uno, entre ceros con­ 00 secutivos de y 2. Sugerencia: Derive la expresión y 2/ y , y aplique el Teorem a de Rolle. 19. Suponga que W [ y x , y 2 ] ( t * ) = 0, y además que y x ( t * ) = 0. Demuestre que, y x ( t ) = 0, o bien y 2 ( t ) = [ y ' i ( t * ) / y ( / *)LVi(/“ Sugerencia: Si W { y x , y 2 ] ( t * ) = 0 )y y{t*) - 0» entonces y 2 ( t * ) y ( t * ) = 0. 2 .2 E c u a c i o n e s l in e a l e s c o n COEFICIENTES CONSTANTES En esta sección se estudiarán ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes cons­ tantes d 2y dy L i >' ] = a - t f + b - ¿ ¡ +cy = 0 o donde a, b y c son constantes y a ¿ 0. El Teorem a 2 de la Sección 2.1 afirm a que es necesario encontrar sólo dos soluciones linealmente independientes.^ y y 2 de (1). Todas las demás soluciones de (1) se obtienen haciendo combinaciones lineales de y x y y 2. D esafortunadam ente el Teorem a 2 no dice cómo encontrar dos soluciones de (1). Por lo tanto, se intentará proponer algo sensato. P ara ello, obsérvese que una función y(t) es solución de (1) si una constante m ultiplicada por la segunda derivada más otra cons­ tante m ultiplicada por la prim era derivada, más una tercera constante m ultiplicada por la propia función es idéntico a cero. En otras palabras, los tres términos a y " , by' y cy tienen que anularse entre sí. En general, esto sólo'ocurre si las tres funciones y(t), y ( 0 y y " ( 0 son del “ mismo tip o ” . Por ejemplo, la función y(t) = / ' no puede ser solución de (1) pues los tres térm inos 20a t 3, 5bt* y c /5 son polinomios en / de distinto grado y por lo tanto no pueden cancelarse entre sí. Por otro lado, la función y(t) = e rt, con r constante, tiene la propiedad de que tanto y'(t) como y" (t ) son múltiplos de y(t). Esto sugiere tom ar y(t) = e rt com o solución de (1). Al calcular L [ e r,} = a ( e r,y + b ( e r,y + c { e rt) — (ar2+ br+ c) ert, se ve que y(t) = e rt es una solución de (1) si y sólo si ar2 + br + c = 0. (2) La ecuación (2) se conoce como ecuación característica de (1) y tiene dos raíces r x y r2 que están dadas por la fórm ula cuadrática _ —b + V¿>2 —4ac r'~ 2a ’ _ —b — y / b 2- 4 a c r>~ 2a Si b - 4ac es positiva, entonces y r2 son reales y distintos. En ese caso _y; (/) = e r'! y y i ( 0 = e r‘ son dos soluciones distintas de (1). Dichas soluciones son en verdad
    • 135 2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes linealmente independientes (en cualquier intervalo I), puesto que e 12 obviamente no es "' múltiplo de e r'1 si r x ^ r2. (Si el lector aún no se convence de ello: calcule W [ e r'{, e r2' ] = ( r 2- r x)e ( r , + r7)[ y observe que W nunca es cero. Por lo tanto, e r'( y e r2‘ son linealmente independien­ tes en cualquier intervalo I). Ej e m p l o i O btener la solución general de la ecuación § +5| + 4 , = 0. (3 ) S o l u c i ó n . La ecuación característica r 2 + 5r + 4 = (r + 4)(r + 1) = 0 tiene dos raíces diferentes o, = - 4 y r2 = - 1 . Así pues, y x(t) = e~A y y 2(t) = é~l forman un t conjunto fundam ental de soluciones de (3) y cualquier solución y(t) de (3) es del tipo y ( t ) = c xe - 4l + c2e ~ l para cualesquiera constantes c x, c2. Ejem plo 2 E ncontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial d2 y dy y ( 0 )= 1 , - l + 4 ? L - 2 y = 0- / ( 0) = 2. SOLUCIÓN. La ecuación característica r 2 + 4r - 2 = 0 tiene dos raíces r ,= ^ i ± ^ H ± l = _ 2 + V6 ~ 4 - V . 16_+ 8_ = _ 2 _ v g Por lo tanto, y x(t) = e r'r y y 2(0 = e ri‘ form an un conjunto fundam ental de solucio­ nes de y " -1 4y" - 2y = 0, de modo que > .(0 = c,e< -:!* V‘ )' + c2e< -2- v 5 >' para cualquier par de constantes Cj, c2. Tales constantes c¡ y c2 se determinan a partir de las condiciones iniciales 0 , 4- 0 2 = 1 y ( — 2+ V6 )c, + ( - 2 - V6 ) c 2 = 2. De la prim era ecuación se obtiene que c2 = 1 - c ¡. Sustituyendo el valor de c2 en la segunda ecuación se obtiene ( - 2 + V 6 je, —(2 + V ó )(1 —o ,) = 2, o bien 2 V ó c, = 4 + V ó .
    • 136 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Por lo tanto, c {= 2 / V ó + c2 = 1 - c, = ¿ - 2 / V ó , y e j e r c ic io s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. i d *y —y = n 1. —0 dt2 * ■ ¿ —- —n — + y = 0 > n 2. 6 dly 7 & dt2 dt 7 - d 2 ^dy y 3. — - 3 -r- +y = 0 7 dt 7 dt2 d2 y dy 4 . 3 —- + 6 - ; - + 2 y = 0 dt 2 dt 7 Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial 5. ,(0 ) - l,/( 0 ) = 0 d2 y dy 6. 2 ^ + ^ - 1 0 y = 0; > ( l ) - 5 , / ( l ) - 2 d2 y dy ~d^ + 5 ^ ~ y ~ 0' ’ d2 y dy 8* ' d ¿ ~ 6 7 ¡ + y ~ 0; ^ (2) - , « / ( 2) - 1 N ota. Al resolver los Problem as 6 y 8 observe que es tam bién una solución de la ecuación diferencial a y " + b y' + cy - 0 si ar2 + br + c = 0. Así pues, para encontrar la solución >>(0 del problem a de valor inicial a y " + by' + cy = 0; y ( t 0) = yo y y ’Uo) = y ’ t se escribe y (t) = c xe rx(t~‘¿ + c2e ri(t~t¿ y se despejan Cj y c2 a partir o de las condiciones iniciales. 9. Sea y( t) una solución del problem a de valor inicial Í Z + S ^ + ó y -O ; y (0 )-l, / ( 0 ) - K ¿P ara qué valores de V perm anece y{t) no negativa para toda t > 0? 10. La ecuación diferencial L[y]** t2y ” + aty' + fty = 0 (•) se conoce com o ecuación de Euler. Obsérvese que l 2y " , ty' y y son m últiplos de t r si y = t r. Esto sugiere que y = t r es solución de (* ). Demuestre que y = í r es una solución de (*) si r 1 + (a - l)r + /S = 0. 11. Encuentre la solución general de la ecuación t2y* + 5ty' - 5 y —0, t> 0
    • 137 2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 12. Resuelva el problem a de valor inicial / y - 0 > '~ 2 y - O ; .K l) - 0 , / ( 1 ) - 1 en el intervalo 0 < t < °°. 2 .2 .1 Raíces complejas Si b 2 - 4ac es negativo, entonces la ecuación característica ar2 + br + c = 0 tiene raíces com plejas ‘ b + i V 4 a c —b2 2a Sería conveniente poder decir que ' 2 — —/V 4 a c —b2 2a y e r' como soluciones de la ecuación diferencial J a ^ + b ^ - + c y = 0. dt1 <* (1) Sin em bargo, esto presenta dos dificultades serias. Por un lado, la función e rl no ha sido definida hasta ahora para r com pleja y, por el otro, aun si se tuviera éxito defi­ niendo e r,/ y e r2‘ como soluciones de valores complejos de (1), quedaría todavía el pro­ blema de encontrar dos soluciones con valores reales de (1). Prim ero se resolverá la segunda dificultad, ya que de otro modo no tendría sentido tratar de resolver la prim era. Supóngase que.y(/) = u(t) + iv(t) es una solución con valores com plejos de (1). Lo que significa, por supuesto, que a [ u"(t) + /u " (í)] + ¿>[ u'(t) + ú / ( 0 ] + c [ u ( 0 + ,ü ( 0 ] = 0. (2) Esta solución con valores com plejos de (1), da lugar a dos soluciones con valores rea­ les, com o se verá a continuación. Lema 1 . Sea y (í) = u{t) + iv(t) una solución con valores complejos de (1) con a, b y c reales. Entonces, y {(t) = u(t) y y 2(t) = v(t) son dos soluciones con valores reales de ( 1). En otras palabras, tanto la parte real como la parte imaginaria de la solución con valores complejos de ( 1) son soluciones reales de ( 1). (La parte imaginaria del número complejo a + //3 es (3. De manera simi­ lar, la parte imaginaria de la f unci ón u(t) + iv(t) es v(t).) D e m o s t r a c i ó n . De la ecuación (2) se tiene que [au"(t) + bu'(t) + c u ( t ) ] + i [av" (t ) + bv'(t) + c v ( t ) ] = 0 . (3) A hora bien, si un núm ero com plejo es igual a cero, entonces tanto su parte real como su parte im aginaria deben ser nulas. P or lo tanto, a u ”{t) + b u f t ) * cu(t) = 0 y av"(t ) + bv'{t) + cv{t) —0, y con esto concluye la dem ostración del Lema 1. El problem a de definir e rt para r complejo tam bién puede resolverse fácilmente. Sea r = a + i(3. Según la regla de los exponentes, se tiene (4)
    • 138 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Así pues, se necesita definir solam ente la cantidad e 1 ' para P real. Para ello, recuérde­ ® se que " X=1 + ;C + f í + f í + - - (5) La ecuación (5) tiene sentido form alm ente incluso para .v complejo. Esto sugiere hacer < m 2 e * = + ; / } ,+ ^ p ( //? /)3 + i 3 r + .... Después, obsérvese que 1 + i/?r + (ifr)2 — -... = + ifit P 2t 2 i p 3t 3 P 4t4 i p st 5 --------_ + _ + _ + — « p 2,2 2t 2 p 4 ,4 t 1 - —— + —— + ... 2! 4! T r « 3 ,3 o 5,5 +/ = cos pt + i sen P¡. Por lo tanto, e (a + ¡P)t _ g ate >Pt — e al ( q q S f$[ + / s e n / ? / ) . (6 ) Volviendo a la ecuación diferencial (1) se ve que y ( t ) = e [ - b+i^ Aac~ bl ]‘/ 2a = e bt/2a^cos / 4 a F - ^ t / 2 a ^ i s e n V 4 a c - b ^ t / 2 a j es una solución con valores com plejos de (1) si b 2 - 4ac es negativo. Por lo tanto, por el Lema 1 se tiene que y x{t) — e b,/2aeos Pt y >,2 (0 = e 6,/2asén pt, P= ^ ac ^ 2a son dos soluciones con valores reales de 1. Las dos funciones son linealmente indepen­ dientes en cualquier intervalo /, ya que su wronskiano (véase el Ejercicio 10) nunca es igual a cero. Por lo tanto, la solución general de (1) para b 2 ~ 4ac < 0 es y ( t ) — e ~ bt/2a[ c xco spt + c2sen/fr], O b s e rv a c ió n 1. P= — ^ En sentido riguroso, debe verificarse que la fórmula 4 - e rt = rert dt también es válida para r com plejo, antes de poder afirm ar que e r'‘ y e r- son solucio­ nes con valores complejos de (1). P ara ello, calcúlese j L e (a +ip)t= j L e al[ Co s p t + /sen/Sr] = e a/[(acosy8r - PsenPt) + i(asenPt + yScosySr)]
    • 2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 139 y esto es igual a (a + i(3)e{c +‘íi)l, ya que 't ( a + //?)e(a + ,/3)' = (a + i/3 ) e a‘[eos¡3t + isen/3t] = e a'[ ( a eos fit — fisenfit)+ /(asen/fr + /?cos/fr)]. Así pues, (d / d t ) e rí = rerl, incluso para r compleja. O b s e r v a c i ó n 2 . A prim era vista podría pensarse que er- daría lugar a dos solu­ ciones más de (1). Sin em bargo, tal no es el caso, ya que £= V 4ac-b2J2a er,t=e-(b/2 ),e-ip,^ a _ e - b,/ 2a[cos( - fit) + /s e n (- /?r)] = e ~ b,/2a[cos fit — /sen/3r]. Por lo tanto, R e{e''JÍ} = e ~ bl/2a eos j3t = y {(t) y Im { e r2' } = —e ~ b,/2asen/3t = —y 2(t)- Eje m p l o i Encontrar dos soluciones con valores reales y linealmente independien­ tes de la ecuación diferencial d2 y 4^ dy + 4f +s' - a (7) SOLUCIÓN. La ecuación característica 4r 2 + Ar + 5 = 0 tiene raíces complejas r x = - V i + / y r2 = —Vi - i. Por lo tanto, e r,t = 1/ 2+ 0' —e ~ '/2cos t + i e~ l/'2sent es una solución con valores complejos de (7). Por ello, con base en el Lema 1 R e{e'', í } = e ~ ,/2cost y Im { e/’1 } = e _,/2sent ' son dos soluciones con valores reales, linealmente independientes de (7). Ej e m p l o 2 Encontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial d2 y — dt2 dy +2-r dt + 4y = 0; > '(0 )= 1, / ( 0 ) = 1 . SOLUCIÓN. La ecuación característica r 2 + 2r + 4 - 0 tiene raíces complejas r { = -1 + y¡3i y r2 = -1 - V3/. P or lo tanto, e r>= e( ~ 1+ ^3 •)'= e - ' c o s V 3 t + i e~ 'sen V J t ' es una solución con valores complejos de .y" + 2y ' + 4y = 0. Por lo tanto, con base en el Lema 1, tanto R e{e'',í } = e - 'cos V J t como Im {e'v } = e~ 'sén V3 /
    • 140 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN son soluciones con valores reales y, como consecuencia, y ( t ) = e '[ c , eos V 3 t + c2sin V 3 t ] para cualquier par de constantes q , c2. Las constantes C] y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales l =_y(0) = c, y i = y ( 0 ) = —Cj + V3 c2. Esto implica que c, = l,c 2 = V3 y y(t) = * ' •y eos V3 t H senV3 t V3 EJERCICIOS Obtenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones: í ^ + £ +, - 0 di1 3. dt dt2 dt ' + 3 ,-0 ' 2 .2 4 + 3 £ + 4 ,- 0 di2 dt 4. 4 ^ - % dt2 dt +y - 0 Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial 5. d2 y dy ^ í + ^ + 2 > -0 ; <• ^ + 2 ^ + 5 y - 0 ; 7. J'(O)* 1, .y'(0)= —2 y ( 0 ) = 0 ,/ ( 0 ) - 2 Suponga que ¿>2 - 4ac < 0. Demuestre que y i (/) “ e( “ í,/ 2fl)ú ~ '<)eos f$(t —t0) > y .y2(/) = <( /,/ 2a><'-'o>seny8(/-/0), ? = son soluciones de (1) para todo núm ero t0. Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial. d2 y dy 8. 2 ¿ - - Í :+ 3 >'“ 0; ^ ( 0 - L / ( ! ) - ! 9. 3 ^ - 2 ^ + 4 , - 0 ; 10. ^ ( 2 ) - l , / ( 2 ) ----- 1 Verifique que W[ea‘cosfit, e a,senfit]-/He2 . *1
    • 141 2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 11. Demuestre que e ‘w es una solución con valores complejos de la ecuación diferen­ t cial y " + w 2 = 0. Encuentre dos soluciones con valores reales. y 12. Demuestre que (eos / + /s e n /)'- = cos/7 + / sen rt. Use este resultado para obte­ ner las fórmulas para el doble de un ángulo sen 2/ = 2 s e n / e o s / y eos 2/ = eos2 / - sen2 /. 13. Demuestre que (e o s /, + i sen /,) ( c o s /2 + /sen /2) = c o s ( /( + /2) + / se n (/, + t2). Use este resultado para obtener las siguientes igualdades trigonométricas. c o s (/| + / 2) = c o s / ,c o s /2 —s e n /,s e n /2, s e n ( /| + / 2) = s e n / ,c o s /2 + c o s / ,s e n / 2. 14. Demuestre que todo número complejo a + ib puede escribirse en la forma A e ' e, donde A = y/a2 + b 2 y tan 6 - b/a. 15. Defina las dos posibles raíces cuadradas de un número complejo A e ,e como ± S Á e'e/2 y calcule las raíces cuadradas de /', 1 + /, - / , '/T. 16. Aplique el Ejercicio 14 para encontrar las tres raíces cúbicas de /. 17. (a) Sea r x = X + //x una raíz compleja de r 2 + (ct - l)r + /3 = 0. Demuestre que ( + < _ ( ( ¡n _ t e (nt)ip _ n n jn i 4. ¡ s e n u In /] es una solución con valores complejos de la ecuación de Euler (b) Demuestre que / xc o s/¿ ln / y / xsen /¿ln / son soluciones con valores reales de (*)• Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. ,d2 y dy dt2 di 18. /2— - + t ~ 19. , d2 y dy t 2~ + 2 / - f + 2 ^ = 0. dt2 dt + y = 0, t >0 /> 0 2.2.2 Raíces iguales; reducción de orden Si ¿r = 4ac, entonces la ecuación característica ar2 + br + c = 0 tiene raíces reales iguales r { = r2 = - b / 2 a . En este caso se obtiene solamente una solución y Á t ) = c - h' ^ de la ecuación diferencial
    • 142 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN El problema es encontrar una segunda solución que sea independiente d e ^ j . Una mane­ ra de abordar este problem a es proponer alguna otra solución. O tro m odo, quizá más sensato, es utilizar la solución conocida y i(r) para tratar de hallar una segunda solu­ ción independiente. De manera más general, supóngase que se tiene una solución y = ^[(r) de la ecuación lineal de segundo orden d 2v dy :2) La pregunta es si es posible utilizar esta solución para encontrar una segunda solución independiente. La respuesta es sí. Una vez que se conoce una solución y = y¡(t) de (2), puede reducirse el problem a de encontrar todas las soluciones de (2) al de resolver una ecuación lineal homogénea de primer orden. Esto se logra definiendo una nueva variable dependiente v por medio de la sustitución Entonces dy = V = L ' d2 x y dt2 :— dr dy{ +.V dv dü&± d 2v h 2 — —j i — Py | ~ dt dt dt2 Por lo tanto, d 2 i t ^ d v dy i y d2 , v dy i r- + 2 — + y ,— - +p(t) v ~dF dt2 dt dt ' ' d t2 d 2v dr + q(t)vy] d2 y dy i +<!{>) y , +/>(')>' i dt = > 'lT T + d 2v + ~y~7i + d t2 dv yxTt dy i 2~ ¡- +p(<)yi ¿ dv dt ’ ya q u e >»,(/) es una solución de L[ y] = 0. Por ello, y{t) - y(t)v{t) es solución de (2) si v satisface la ecuación diferencial dv, d 2c _u > 'i 7 T + 2 - ¿ + p ( ‘) y dt 2 dv dt = 0. (3) Ahora obsérvese que la ecuación (3) es realmente una ecuación lineal de prim er orden para dv/ dt . Su solución es r dv — = cexp - / dt ~ /i(0 yi( 0 = «xp(-/p(0<*)exp cexp( - f p ( O d ' ) yf(') dt (4)
    • 143 2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes Ya que se necesita solamente una solución v(í) de (3), se tom a c = 1 en (4). Al integrar la ecuación con respecto a í y hacer que la constante de integración sea igual a cero, se obtiene que v(t) = j u { t ) d t , donde exp “ ( ') = TT yw) • (5) Por lo tanto, > ' 2 ( 0 = ü ( 0 > ’ i ( 0 = > ' i ( 0 f “(0 dt (6) es una segunda solución de (2). Esta solución es independiente de y¡, porque si y 2(t) fuera un m últiplo de y(t), entonces v(r) sería constante y, por lo tanto, su derivada sería igual a cero. Sin em bargo, de (4) se tiene que exp / P(Odt) de di y}(t) y esta cantidad nunca se anula. O b s e rv a c ió n 1. Al escribir v(t) = J u ( t ) d t se está tom ando la constante de inte­ gración igual a cero. Si se elige una constante diferente de cero sólo se le suma a y 2(t) un m últiplo de y(t). De la misma m anera, elegir una constante diferente de uno en la ecuación (4) tendría como efecto m ultiplicar y 2(t) por c. O b s e r v a c i ó n 2 . El m étodo que acaba de presentarse para resolver la ecuación (2) se conoce com o m étodo de reducción de orden, ya que la sustitución, y(t) = y(t)v(t) reduce el problem a de resolver la ecuación de segundo orden (2) al de resolver una ecua­ ción de primer orden. Aplicación al caso de raíces iguales: En el caso de raíces iguales se encontró que y¡ {t) = e ~bt/2a es una soiución de la ecuación d2 y dy ^ a — - + b — + cy —0. dt2 dt (7) Puede encontrarse una segunda solución a partir de lasecuaciones (5) y (6). Sin em bar­ go, es im portante resaltar que las ecuaciones (5) y (6) se obtuvieron bajo la suposición de que la ecuación diferencial estaba escrita en la form a d^y dy es decir, el coeficiente de y " es uno. En la ecuación (7) el coeficiente de y " es a. Por ello, se necesita dividir la ecuación entre a para obtener la ecuación equivalente d2 , b dy y c
    • 144 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN A hora, es posible sustituir p(t) = b / a en (5) para obtener exp( - / ! A) « ( ') = ---------------------- r e -t</2a i 2 = —— 7*7“ = 1- e /a Por lo tanto, -V / ) = > 'i( 0 j dt = tyx{t) 2( es una segunda solución de (7). Las funciones y¡ (/) y y 2(,t) son en verdad linealmente independientes en el intervalo < t < °°. Por lo tanto, la solución general de (7), en el caso de raíces iguales, es y { t ) = c xe ~ b,/2a + c1t e ~ b,/la = [c , + c2t ] e ~ bí/2a Eje m p l o Encontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial ¿ k + 4 ^ + 4 y = 0; dt2 dt >>(0)=1, / ( 0 ) = 3. S o lu c ió n . La ecuación característica r 2 + 4r -h 4 = (r iguales r x - r2 = -2. Por lo tanto, + 2)2 = 0 tiene dos raíces y ( t ) = c xe ~ 2t + c2t e ~ 2' para cualquier par de constantes Cj, c2. Las constantes q y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 1=y (0) = c x y Esto implica que Cj = 1 y c2 = 5, de modo Ejem plo 2 Obtener 3 = > ',(0 )= - 2 c , + c2. que y(t) = (1 + 5t)e~2'. la solución y( t) delproblem a de valor inicial (1 - ñ ^ j + 2 t ^ - - 2 y = 0; di2 at y ( 0) = 3, / ( 0 ) = - 4 en el intervalo -1 < í < 1. SOLUCIÓN. E s evidente que >^(0 = t es una solución de la ecuación diferencial (8 ) Se aplicará el m étodo de reducción de orden para encontrar una segunda solución y 2{t) de (8). Para ello se dividen am bos lados de (8) entre 1 - t 2 con objeto de obtener la ecuación equivalente d2 , y 2 t dy 1 ---------dt 2 - t 2 dt 2 n y =0. i_ /2
    • 2.2 • Ecuaciones lineales con coeficientes constantes 145 Entonces, de (5) se tiene que exp( - / tV ' ) “(,)= — M ) — es una segunda solución de (8). Por tanto, y ( t ) = c lt - c 2( + t 2) para cualquier par de constantes q , c2. (Nótese que todas las soluciones de (9) son con­ tinuas en t = ±1 aun cuando la ecuación diferencial no está definida en esos puntos. Así pues, no necesariamente resulta que las soluciones de una ecuación diferencial sean discontinuas en un punto donde la ecuación diferencial no está definida aunque muchas veces tal es el caso). Las constantes q y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 3 = y (0 )= - c 2 y - 4 = / ( 0 ) = q. Por lo tanto, y(t) = - 4 / + 3(1 + t 2). Ej e r c i c io s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. i . f y - 4 dt2 dt +9, _ 0 * 2. 4 ^ - 1 2 ^ + 9 , - 0 dt2 dt Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. 3. 9 ^ + 6 ^ + > ' ” 0; / < o ) - i . / ( 0) - o d2 y dy 4- 4-j^f -4 ^ -+ > > = 0; y(0) = 0 ,/( 0 ) = 3 5. Suponga que b 2 = 4ac. Demuestre que y (t ) = e - b«-'o)/i<’ y y 2(/) = ( /- r o ) * - 6(' _ 'o)/2a son soluciones de (1) para cualquier t0. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. d2 y dy 6* ~ ¿ + 2 í ¡ +y = 0' > '( 2 ) = L / ( 2 ) * - l 7. — 2 ~ +4y=0] y(ir)=0, / ( t t ) = 2
    • 146 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 8. Sean a, b y c números positivos. Pruebe que cualquier solución de la ecuación diférencial ay" + by' + cy = 0 tiende a cero cuando t tiende a infinito. 9. Aquí se presenta un método alterno y com pleto para encontrar una segunda solu­ ción y 2{t) de (1). (a) Suponga que b 2 = 4ac. Pruebe que L[ert ] = a (e r')" + b (e rl)’+ cerl = a ( r - r ,) V ' para r x = ~b/2a. (b) Demuestre que ( d / d r ) L [ e " ] = L [ ( d / d r ) e r,] = L [ i e rl ] = 2 a ( r - r i ) e rl + a t ( r - r r f e " . (c) Concluya de (a) y (b) que L [ te ri‘) = 0. Por lo tanto y 2(0 = r e '1 es una ' segunda solución de (1). Use el método de reducción de orden para encontrar la solución general de las siguien­ tes ecuaciones diferenciales. 10. U. d2 y dt 2 2 ( r + 1) r— — ( t 2+ 2 t - l ) dy 2 + - r —^------->-=0 (>-,(/)=/+ 1) ( t 2 + 2t - 1) ^ - 4 ( ^ + ( 4 l J -2 )> .= 0 ( ,,( /) = e '!) 12. ( l - / ; ) ^ - 2 ( ^ + 2 / = 0 ( / , « ) = ') 13. (1 + ,!) ^ - 2 ( ^ + 2 / - 0 (>•,(')=') 14. ( l - / J) ^ - 2 / ^ + 6 / = 0 •(3>,(/)-3»j -1 ) 15. (2/ + 1 ) ^ - 4 ( I + l ) ^ + 4 , = 0 O-,(<)=<+!) *■ 'jS +4 +('2 > -° ( * « - ^ ) « -5 17. Sabiendo que la ecuación d2 y dy , - 2 - < 1+3 , ) £ + 3, = 0 tiene una solución de la form a e a , para cualquier constante c, encuentre la solu­ ción general. 18. (a) Demuestre que t r es una solución de la ecuación de Euler t2y " + <xty'+ fiy = 0, f> 0 si r2+ ( a —l)r + /?“ 0. (b) Suponga que (a - l) 2 = 4/3. Use el método de reducción de orden para m os­ trar que (ln t)t(X ~a)/2 es una segunda solución de la ecuación de Euler.
    • 147 2.3 • La ecuación no hom ogénea Halle la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. 2 .3 La e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a Considérese ahora la ecuación no homogénea donde las funciones p(t), q (t ) y g(t) son continuas en un intervalo abierto a < t < ¡3. La siguiente ecuación lineal de primer orden ofrece una noción conveniente de la naturaleza de las soluciones de (l) La solución general de esta ecuación es y { t ) = ce,2+ . A hora bien, obsérvese que la solución es la suma de dos términos: el primero, c e ' es la solución general de la ecuación homogénea Í-2 0 --0 (3) mientras que el segundo, Vi, es solución de la ecuación no hom ogénea (2). En otras palabras, toda solución y{t) de (2) es la suma de una solución particular, ¡/(t) = Vi, con una solución ce1 de la ecuación homogénea. En el caso de las ecuaciones de segun­ ' do orden, com o se verá a continuación, ocurre algo similar. Te o r e m a 5. Sean y {(t) y y 2(t) dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea L [ y ] = Í Z + p (t^ + q ( t) y = 0 (4) y sea p(t) cualquier solución particular de la ecuación no homogénea (1). Enton­ ces, toda solución y(t) de (1) debe ser de la f o r m a ■y(0 = c i> 'i(0 + c2>,2 (0 + »K0 para cualquier par de constantes c it c2. La dem ostración del Teorem a 5 se basa, sobre todo, en el lema siguiente. LEMA La diferencia de cualesquiera dos soluciones de la ecuación no homogénea (1) es una solución de la ecuación homogénea (4).
    • 148 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN D e m o s t r a c i ó n . Sean i¿i (0 y 0 2(O dos soluciones de (1). Por la linealidad de L se tiene que £ [ V ',- 'f c ] ( ') = q > M ( 0 - q * 2 ] ( 0 - x ( 0 - y ( ' ) - o . Por lo tanto, 0 |(O - 02(0 es una solución de la ecuación homogénea (4). C A hora es posible presentar una dem ostración muy sencilla del Teorem a 5. D e m o s t r a c ió n del Te o re m a 5 . Sea y(t) una solución cualquiera de (1). Por el Lema 1 se tiene que la función 0 (/) = y ( t ) - 0(0 es una solución de la ecuación hom o­ génea (4). Sin em bargo, toda solución 0 ( 0 de la ecuación homogénea (4) es de la forma 0 (/) = c , 7 ,(/) + c2yi(t) para dos constantes cualesquiera c j , c2. Por lo tanto, > '(0 = <H0 + 'M 0 = c 1>'i ( 0 + c2> '2 (0 + '/'(')• □ O b s e r v a c i ó n . El Teorem a 5 es extrem adam ente útil, ya que reduce el problem a de hallar todas las soluciones de ( 1) al problem a mucho más sencillo de encontrar sola­ mente dos soluciones de la ecuación homogénea (4) y una solución de la ecuación no homogénea ( 1). E j e m p l o 1 Encontrar la solución general de la ecuación d2 y (5) S o l u c i ó n . Las funciones y {(t) = e o s/ y y 2(t) - sen / son dos soluciones linealmen­ te independientes de la ecuación hom ogénea .y” + y - 0. Más aún, 0 (/) = / es obvia­ mente una solución particular de (5). Por lo tanto, por el Teorem a 5 toda solución y{t) de (5) debe ser del tipo y ( t ) = c i cos/ + c 2sen/ + t. Ej e m p l o orden son 2 Tres soluciones de una cierta ecuación lineal no homogénea de segundo = l ^ 2(t ) = í + e ‘ y 'M / ) = i + * + e ‘- Obtener la solución general de la ecuación. S o l u c i ó n . Por el Lema 1, las funciones ^ 2( 0 - ^ i ( 0 = e r y 0 3 (0 -^ 2 1 0 = 1 son soluciones de la correspondiente ecuación hom ogénea. Más aún, estas funciones son en verdad linealmente independientes. Por lo tan to , por el Teorem a 5 se tiene que toda solución y(t) de la ecuación debe ser del tipo y { t ) = c le , + c2+t .
    • 149 2.4 • M étodo de variación de parámetros Ej e r c i c io s 1. Tres soluciones de una cierta ecuación lineal de segundo orden no homogénea son 0 i(O “ ' 2>0 :( 0 - f 2+ *2' ^ 0 j ( O “ 1 + t 2 + 2 e 2'. Encuentre la solución general de la ecuación. 2. Tres soluciones de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea son 0 i(O = 1 + e ‘ 0 2( O = 1 + te>1 y 03(O=(r+l)e'J+l Halle la solución general de la ecuación. t x( t ) = 3e, + e , $ l {t) = l e ‘ + e'1 y 03(/) = 5e' + e - '3+ e ' 3. Tres soluciones de una ecuación lineal de segundo orden L [y] = g(t) son L[y] = g 7 ( 0 ) = 1, /0)(= 2. Encontrar la solución del problem a de valor inicial 4. Sean a, b y c constantes positivas. Demuestre que la diferencia de dos soluciones cualesquiera de la ecuación ay" + by' + cy = g ( t ) tiende a cero cuando t tiende a infinito. 5. Sea 0 (0 una solución de la ecuación no homogénea (1), y sea 0 ( 0 una solución de la ecuación homogénea (4). Demuestre que 0 (0 + 0 (0 también es solución de (1). 2.4 M é t o d o de v a r i a c i ó n de p a r á m e t r o s En esta sección se explica un m étodo muy general para encontrar una solución particu­ lar 0 (0 de la ecuación no hom ogénea una vez que se conocen las soluciones de la ecuación homogénea = 0 0 + ? ( >' = (2) El principio básico de este m étodo es usar la inform ación que se tiene sobre las solucio­ nes de la ecuación hom ogénea para tratar de encontrar una solución de la ecuación no homogénea. Sean >^(0 y 72(0 dos soluciones linealmente independientes de la ecuación hom o­ génea (2). Se tratará de encontrar una solución particular 0 (0 de la ecuación no hom o­ génea (1) del tipo M O = u i ( 0 y t( 0 + u2( t ) y 2(t); (3)
    • 150 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN es decir, se intentará encontrar funciones zqíO y u2(t) tales que la combinación lineal Ui(t)y(t) + u2(Oy2U) sea una solución de (1). A prim era vista esto podría parecer una idea mala, ya que se está cam biando el problem a de encontrar una función desconocida iJ/(t) por el problem a aparentem ente más difícil de encontrar dos funciones desconoci­ das W](0 y u2(t). Sin em bargo, si se hace la elección adecuada, será posible encontrar a u¡(t) y u2(/) com o las soluciones de dos ecuaciones muy sencillas de primer orden. Esto se hará de la siguiente m anera. Obsérvese que la ecuación diferencial (1) impone solamente una condición sobre las dos funciones desconocidas w,(r) y u2(t). Por lo tan­ to, se tiene una cierta “ libertad” para seleccionar w,(r) y u2(t). El objetivo es imponer una condición adicional sobre u x(t) y u2(t) que simplifique la expresión L [uy{ + u2y 2] lo más posible. Al calcular j y ( ' ) = j t [ u y + u iy i] = [ M + “2>'2] + O i > 'l + “2^2] l>'i se ve que d 2p/dt2, y por lo tanto L [t/'j no contiene derivadas de segundo orden de u , y «2 si y ( t )u ( t ) + y 2 ( t)u2(t ) = °- (4) Esto sugiere im poner la condición (4) a las funciones « j(0 y u2(t). En tal caso se obtiene ¿ M - [ M + U2>'2]/ + /J( 0 ( > i > ' i + W l>'í 2>'2] + <7(0Ol>'l + U2>'2] = u y + u2y 2+ u x[ y r + p { t ) y + q { t ) y x + u2[ y 2 + p ( t ) y 2+ q ( t ) y 2] ; ’ = «'1/1 + u2y 2 ya que ta n to y x(t) como y 2(t) son soluciones de la ecuación homogénea L [ y ] = 0. Por lo tanto, + u2y 2 es una solución de la ecuación no homogénea (1) si u {(t) y u2(t) satisfacen a las dos ecuaciones > 'l ( 0 W ( 0 + > '2 ( 0 M ( 0 = 0 í 2 > 'i ( 0 wi ( 0 + > '2 ( 0 u2 (0 = ^ (0 M ultiplicando la prim era ecuación por y'2(t), la segunda por y 2(t) y restándolas luego se obtiene [-^1 (O -viíO —-ví (0 -V 2 (0 ]“ í ( 0 = —^ (0 ^ 2 (0 * “ en tanto que m ultiplicando la prim era ecuación p o r^ jíO , la segunda por y^(t) y res­ tándolas luego se tiene, y ( t ) y , ( < ) - y ' { < ) y Á t ) } u i ( t ) = g ( t ) y x{ty 2 Por lo tanto, ¿(O M O 2] ( 0 ,,, y “ g(')y,(0 » ' [ y l,y! ] ( o ' Finalmente, u¡{t) y u2{t) se obtienen al integrar los miembros derechos de (5). (5)
    • 151 2.4 • M étodo de variación de parámetros O b s e r v a c ió n . La solución general de la ecuación homogénea (2) es y ( 0 = c l y l { t ) + c 2y 2{t). Al permitir que c { y c2 varíen en el tiempo se obtiene una solución de la ecuación no homogénea. P or eso se conoce como m étodo de variación de parám etros. Ejem plo 1 (a) E ncontrar una solución particular de la ecuación d 2y — +.y = ta n / dt1 (6) en el intervalo - x / 2 < t < x /2 . (b) Hallar la solucióny(t) de (6) que satisfaga la condición inicial.y(O) = l,.y'(0) = 1. So l u c ió n . (a) Las funciones y l (/) = eos t y y 2(t) = sen(/) son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación hom ogénea y " + y = 0, con ^ 1^2 ] ( 0 i /2 " / í ^2 = (cos Ocos / - ( -se n /)sen / = 1. Así pues, de (5) se sigue que u ( / ) = - tan/sen/ « 2(0 = tan reos/. y (7) Integrando la prim era ecuación de (7) se obtiene u ,(/) = — J tan/sen t d t = — J*sei? 1 dt eos/ eos2/ — l •dt =sen / —lnjsec / + tan /|. cos / 7 r = sen / —ln(sec / + tan /), —— < / < y - / m ientras que al integrar la segunda ecuación de (7) se obtiene w2(/) = j ta n / co s/ dt — j s e n t d t = - eos/. P or lo tanto, p(t) = cos /[sen / - ln(sec / + tan /) ] + sen / ( —cos /) = —cos / ln(sec / + tan /) (b) es una solución particular de (6) en el intervalo -7 r/2 < t < x /2 . Del Teorem a 5 de la Sección 2.3, se deduce que y (/) = q cos / + c2sen/ —cos / ln(sec / + tan /) p ara constantes c lt c2. Las constantes c, y c2 se determ inan a partir de las condiciones iniciales 1 = ^ (0 ) = c, y l = / ( 0 ) = c2- 1.
    • 152 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Por lo tanto, C| = 1, c2 = 2 y y ( t) = eos / + 2sen/ - eos / ln(sec / + tan /). O b s e r v a c i ó n . La ecuación (5) determ ina u x{t) y u2{t) salvo por dos constantes de integración. Éstas se consideran usualm ente iguales a cero, ya que el efecto que supone tomar constantes diferentes de cero equivale a sum ar una solución de la ecuación hom o­ génea a EJERCICIOS Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones: .. — 1 , + y - S ' CI, 7T. 7 7 4. ^ - 3 ^ + 2 , - „ * + l dt2 dt Resuelva cada uno de los siguientes problem as de valor inicial. 5. 3>'" + 4 /+ > ' = (sen/)e~,; y(0)= 1, y'(0) = 0 6. y" + 4y’+ 4y = ts/2e~21; y(0)=>''(0) = 0 7* y " - 3 y ' + 2y —V /+ 1 ; y (0 )= y '(0 ) = 0 8. y " - y = f { t ) y(0)=>-'(0) = 0 Advertencia: Al resolver los Problem as 3 y 5 es necesario recordar que la ecuación (5) se obtuvo con el supuesto de que el coeficiente de y " era igual a 1. 9. Halle dos soluciones linealm ente independientes de r y " - 2 y = 0 de la forma y(t) = t r. Use las soluciones para encontrar la solución general de t 2 " —2y - t 2. y 10. (1 + t)z es una solución de la ecuación y" + p ( t ) y ' + < i ( t ) y =o (*) y el wronskiano de cualesquiera dos soluciones de (*) es constante. Encuentre la solución general de y “ + p ( t ) y ’ + q( t )y = 11. 1+ /. Obtenga la solución general de y ” + ( V*t2)y = / e o s / , / > 0, sabiendo que = vT es una solución de la ecuación hom ogénea.
    • 153 2.5 • El m étodo de la conjetura sensata 12. Halle la solución general de la ecuación di2 1+ l2 ¿I 1+ I2 13. Demuestre que sec t + tan / es positivo para -7r/2 < t < ir/2. 2.5 El m é to d o de l a c o n j e t u r a s e n s a t a Una desventaja seria que tiene el método de variación de parám etros es que las integra­ ciones que se requieren son, con frecuencia, muy difíciles. En ciertos casos es a veces más sencillo conjeturar una solución particular. En esta sección se presentará un méto­ do sistemático para conjeturar soluciones de la ecuación d2 y dy ü ~dt2 +t>~dt + c y z = g ( t) donde a, b y c son constantes, y g(í) tiene una de varias formas especiales. Prim ero se considerará la ecuación diferencial L [ y ] =za~ ^ + b ~¡¡ + O ' = tfo + fli ' + ... +a„t n. (2) Se busca una función p(t) tal que sumadas las tres funciones ap", bj/' y cp sean iguales a un polinom io de grado n. La elección obvia para es un polinom io de grado n. Así pues, se propone 'P(t ) = A o + A t + . . . + A nt n (3) y se calcula + H '( 0 + r f i O = a [ 2 A 2+ ... + n { n - ) A nt n- 2] + b [ A {+ ... + n A nt n~ l ] + c [ A 0 + A xt + ... + A nt n] — cAnt n + (cAn_ + nbAn) t n~ l + ... + ( c A 0+ b A , + 2a A 2) . Al igualar los coeficientes de las potencias de t iguales de la ecuación L [ ^ ] { t ) = a0+ a xt + ... +a„ tn se obtiene cAn= a n>cAn_ x4-n6An= a n_ v ...,c A 04-6A x-t-2aA.1= a 0. (4j La prim era ecuación determ ina A„ = an/ c , para c # 0, y luego las ecuaciones restan­ tes determ inan sucesivamente A n- i , . . . , A 0. Así pues, la ecuación (1) tiene una solu­ ción particular ¡/(t) de la form a (3), para c # 0. P ara el caso c = 0 hay problem as, ya que la prim era ecuación de (4) no tiene solu­ ción A„. Sin em bargo, esto es de esperar para c = 0, pues L[p] = a¡/" + bj/' es un polinomio de grado n - 1, mientras que el lado derecho de (2) es un polinomio de gra­
    • 154 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN do n. Para garantizar que a ^ " + b es un polinom io de grado n es necesario tom ar a p como un polinom io de grado n + 1. Así pues, se propone ^ { t ) = t [ A o + A t + . . . + A nt n}. (5) En (5) se om iten los términos constantes, ya que y = constante es una solución de la ecuación hom ogénea ay" + by' = 0, y por ello puede ser restada de ¡/(t). Los coefi­ cientes A 0, A ¡ , . . . , A n están determ inados de m anera única (Ejercicio 19) a partir de la ecuación axp " + bp'= aQ+ £7¡/+ ... + aní n si b ¥■0. = Por últim o, el caso b = c = 0 es fácil de resolver, ya que la ecuación diferencial (2) puede integrarse directam ente para.obtener una solución particular ^(O.de la forma * (/)- 1 ¿V 1*2 a j n+ 2 ___________ at 2-3 (n + 1)(/? + 2) Resumen: La ecuación diferencial (2) tiene una solución p(t) del tipo: A q+ A |/ + ... + A nt n, c^O ¡,(t) = l t { A 0+ A xt + . . . + A nt n), t 2( A 0 + A |/ + ... + A nt n), Eje m p l o 1 c = 0, b ^ O . c= b=0 E ncontrar una solución particular ¡/(í) de la ecuación d2y dy L [ y } = -¿pr + ~di + > = r ■ -r ’ SOLUCIÓN. Hágase p(t) ( 6) = A 0 + A xí + A l t 2 y calcúlese —2 A 2 + (A ¡ + 2 A 2t) + A 0A- A — ( A q+ A | + 2/4 2) + A 2t 2 {A | --2A2)í + A 2t 2. Al igualar los coeficientes de potencias iguales de t en la ecuación L[¡/](t) = t 2, se obtiene A . + 2A-, = 0 y A 0+ A , + 2 A 2 —0. De la prim era ecuación se sabe que A 2 = 1, de la segunda se obtiene que A x = - 2 y de la tercera ecuación se tiene que A 0 = 0. Por lo tanto, ip(r) = - 2 í + t 2 es una solución particular de (6). A hora se resolverá el mismo problem a usando el m étodo de variación de paráme­ tros. Es fácil com probar que y i ( t ) = e ~ ‘/ 2 c o s V 3 t / 2 y y 2(t) = e ~ t/2senV3 t / 2
    • 155 2.5 • El m étodo de lo conjetura sensata son dos soluciones de la ecuación homogénea L[y] - 0. Por lo tanto, p(t) = u {( t ) e ~ 1/2 eos V 5 t / 2 + u2( t ) e ~ ,/2senÍ3 t / 2 es una solución particular de (6), donde r - t 2e ~ ‘/ 2 senV3 t / 2 - 2 f - ,/-> > r~ , u, (t ) = f dt = ------- [ t e 12senV y t 2dt y í t 2e ~ ‘/ 2 COS VT t / 2 2 C ■ ,n > r~ , u2( t ) = I ------- :-----------------dt = —— ( t e /2 cos V3> t 2dt. J 0 V3 ■ > Estas integrales son muy difíciles de calcular. Así pues, el m étodo de la conjetura es preferible sin duda, al menos en este problem a, al m étodo de variación de parámetros. Considérese ahora la ecuación diferencial = + 6 ^ + O ' = (a 0+ < V + ■■■+ant n) e at. (7) Sería deseable poder eliminar el factor e ar del segundo miembro de (7) para reducir la ecuación a la form a (2). Esto se logra definiendo y(t) = e°“v(t), pues entonces se tie­ ne que y ' = e°“ ( v r + av) y y " = e at ( u " + 2 a v ' + a 2v) de modo que L [ y ] = e°“ a v" + (2 aa + b) o' + ( a a 2 + ba + c)v j. Por lo tanto, y ( t ) = enl v(/) es una solución de (7) si y sólo si a ^ ~ +{2aa + b ) ~ + ( a a 2 + ba -I- c)u = a0+ a xt -I-... + a nt n. dt (8) Al buscar una solución particular v(/) de (8) hay que distinguir entre los siguientes casos: (i) a a 2 + ba + c ¿ 0; (ii) a a 2 + ba + c = 0, pero 2aa + b ^ 0; y (iii) tanto a a 2 + ba + c = 0 como 2aa + b = 0. El primer caso significa que a no es raíz de la ecuación característica ar2 + br + c = Q . (9) En otras palabras eat no es solución de la ecuación homogénea Ly] = 0. La segunda condición significa que a es una raíz simple de la ecuación característi­ ca (9). Eso implica que a al es solución de la ecuación homogénea, pero te**1 no lo es. Por últim o, la tercera condición significa que a es una raíz doble de la ecuación carac­ terística (9), de modo que, tanto e at como teat, son soluciones de la ecuación homogé­ nea. Por lo tanto, la ecuación (7) tiene una solución particular ^(í) de la form a (i) £(0 = ( A0 + • • • + A nt n)eat si e at no es solución de la ecuación homogénea; (ii) ¡/{t) = t(A0 + • • • + A nt n)eat si e at es solución de la ecuación hom ogénea, pero teal no lo es; y (iii) ^ (/) = t 2( A0 + • • • + A nt n)eat si tanto e at como te°“ son soluciones de la ecuación homogénea.
    • 156 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN O b s e r v a c i ó n . Hay dos maneras de calcular una solución particular ¡/(t) de (7). O bien se hace la sustitución y = e n‘ v y se encuentra v(t) a partir de (8), o se conjetura una solución p{() del tipo e al por un polinomio adecuado en t. Si a es una raíz doble de la ecuación característica (9), o si n > z, entonces es recomendable hacer y = e (*'v, y luego encontrar v(/) a partir de (8). De otro m odo se conjetura ¡/(t) directam ente. Eje m p l o 2 Encontrar la solución general de la ecuación —7 - 4 “T + 4y = (l + / + ... + t 21)e2‘ dt2 dt ( 10) S o l u c i ó n . La ecuación característica r 2 - 4r + 4 = 0 tiene raíces iguales r x = r2 = 2. Por lo tanto, y x{t) = e 2í y y 2(t) = t e 2 son soluciones de la ecuación homogénea 1 y " - 4y ' + 4y = 0. Para hallar una solución particular ¡/(t) de (10) se propone y = e~l v. Entonces se cumple necesariamente que ^ £ = 1+ , + , ! + . . . + , ^ di2 Al integrar esta ecuación dos veces e igualar las constantes de integración a cero se obtiene , , t3J t2 9 ‘ + ... + 1-2 + 2-3 ' " 28-29 ‘ ,2 V Por lo tanto, la solución general de (10) es y ( t ) = c xe 2' + c2te2' + e 2‘ -£ L + ... + - £ Ü 1-2 28-29 #29 t2 = e 2í C i + C->t + 1 - 2 .............28-29 Sería un absurdo (y un desperdicio terrible de papel) sustituir la expresión p(t) = t 2( A 0+ A xt + ... + A 21t 21)e2‘ en (10) y después despejar los coeficientes A 0t A ¡ , . . . , A 27. Eje m p l o 3 E ncontrar una solución particular ¡/{t) de la ecuación: d 2y dy ¿ [>’] = ^ ? _ 3 d r + 2 >, = ( 1 + ' > '• S o l u c i ó n . En este caso e 3/ no es una solución de la ecuación hom ogénea y " 3 y + 2y = 0. Así pues, se tom a ¿(t) = (A 0 + A xt)el1. Al calcular L[¡>](t) = + 2> = e3í£(9/40 + 6 A j + 9 A xt) —3 { 3 A 0 + A x-- 3A xt) --2( A q + A xt)^ ^ e 2t[ ( 2 A 0 + 3 A l ) + 2 A lt ]
    • 157 2.5 • El m étodo de la conjetura sensata y cancelar el factor e 3/ de ambos lados de la ecuación ¿ | > ] ( 0 = (l + 0 * 3'< se obtiene 2A ]t -f- (2/1o + 3A | ) = l + t. Esto implica que 2 A X = 1 y 2 A Q + 3/1 1 = 1. Por lo tanto, A ¡ = V i , A 0 = - y i¿ (0 = (-*/4 + r/2)<?3'. Considérese por último la ecuación diferencial L [ y ] m a t Z + b É¡. + t y . (a ° + f l | / + . . . + fl, , - ) x { ^ . ( ||) El problem a de hallar una solución particular ^(r) de (11) puede reducirse al problema más simple de encontrar una solución particular de (7). La ayuda necesaria la aporta el siguiente lema que, aunque sencillo, es extremadamente útil. L E M A 1 . Sea y{t) = u{() + iv{t) una solución con valores complejos de la ecuación L ^y } = a ~ ¿ + b ^ t + c y = 8 ( 0 = 8 i ( t) + ig2(t ) ( l2) donde a, b y c son reales. Esto significa, por supuesto, que a[ « " (') + it>"(0] + b[ u' (i ) + iV (í)] + c [ u{l) + iv(t) ] = g , ( l ) + ig2(t). (13) Entonces, L[u](t) = g x{t) y I[v ](/) = g2(t). D e m o s t r a c i ó n . Al igualar las partes reales e imaginarias en (13) se obtiene au"{t) + b u ( t ) + cu(t) = g, (/) y av"(t) + bv'(t) + cv{t) = g2(t). □ A hora bien, sea ó(t) = u(t) + iv(t) una solución particular de la ecuación a í f + b ^ + cy = (a0+ . . . + a „ r ) e ‘“‘. (14) La parte real del lado derecho de (14) es (a0 + . . . + ant n) cos ut, mientras que la ima­ ginaria es (a0 + . . . + a„tn)sen ut. Por lo tanto, por el Lema 1, u(r) = Re{<í>(r)} es una solución de ay" + by’ + cy = (a 0+ ... + ant n) cos ut
    • 158 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN mientras que u (r) = Im{<í>(í)} es una solución de ay " + by' + cy = (a0 + ... + a/I/ ', )seno?/. Ejem plo a Encontrar una solución particular ip(t) de la ecuación L y ] ~ —7 + 4 y = s e n 2 /. L J dt 2 (15) S o l u c i ó n . Se hallará que p(t) es la parte im aginaria de la solución con valores com­ plejos < (t) de la ecuación t> ¿ [ .y ] = 3 7 + 4 y = <2''. ? dr (16) Para ello obsérvese que la ecuación característica r 2 + 4 = 0 tiene raíces complejas r = ±2/. Por lo tanto, la ecuación (16) tiene una solución particular < (t) del tipo 0 (/) = t> A 0t e2l!. Al calcular <p'(t) = A Q( + 2 i t ) e 2“ y <*>"(/) = A 0( 4 i - 4 t ) e 2“ se ve que L [ < ] ( 0 = <”( 0 + 4< 0 = 4i/4 oe2uí> t> í>( De aquí que A 0= 1/ 4i = - i / 4 y ó (t) = — l j e 2“ — — ^ ( e o s 2 1+ isen2t) = -jsen2t — i-j cos2r. v 4 4 4 4 Por lotanto, y/(0 = Im{0(O} = -(T /4 )co s2 r esuna solución particular de (15). Eje m p l o 5 Encontrar una solución particular ip(t) de la ecuación d2 y — - +4>> = cos2/. dt2 (17) S o l u c i ó n . A partir del Ejem plo 4 se tiene que 4>{t) = (//4)sen2r - /(r/4)cos 2t es una solución con valores com plejos de (16). Por lo tanto, p(/) = Re{<í>(/)} = ^-sen2/ es una solución particular de (17). Eje m p l o 6 Encontrar una solución particular y'/(t) de la ecuación dy d2 y 4y - 4 + 24 ^ [ y ] - ~7T + ^~dt + y ~ t e ' c os t' dt dt 08)
    • 159 2.5 • El m étodo de la conjetura sensata S o l u c i ó n . Obsérvese que t e 1 cos t es la parte real de te(X*1 . Por lo tanto, es posi­ )1 ble hallar p(t) como la parte real de una solución con valores com plejos de 0 (0 de la ecuación L [ y ] = Q - + 2 ^ - + y = te(' +‘)'. L 1 dt2 dt (19) Para ello, obsérvese que 1 + i no es raíz de la ecuación característica r 2 + 2r + 1 = 0. Por lo tanto, la ecuación (19) tiene una solución particular 0(/) de la forma ó (0 = (Ao + A {t)e(]+i)l. Calculando L[< ] = 0 " + 20' + 0 y usando la identidad t> (1 + i)2 + 2(1 + /) + 1 = [(1 + / ) + 1] = ( 2 + /)2 se ve que £(2 + i)2A j / + (2 + i)2A o + 2(2 + /) + j j = /. Por igualación delos coeficientes de las potencias iguales en t de la ecuación se obtiene (2 + i)1A , = 1 y (2 + i)AQ+ 2A | = 0 . Esto implica que A¡ = 1/(2 + i)1 y A 0 = - 2 /( 2 + O3, de modo que -2 0 (/) = [ ( 2 + /)3 ( 2 + i)2 y después de un poco de operaciones algebraicas se encuentra que 0 (/)= { [ ( 1 5 /- 4 ) c o s / + (2 0 /-2 2 )se n /] + /[ (22 —20/)cos/ + (15/ —4)sent] j. Por lo tanto, 0 (/) = Re {0( /)} = O b s e r v a c ió n . [ (151- 4)cos t + (20¿- 22)sen / ]. El m étodo de la conjetura sensata también se aplica a la ecuación y- 1 (20) donde j = 1, . . n son polinomios en t. Sea 07(O una solución particular de la ecuación
    • 160 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN n Entonces, p(t) - S i pÁt) es una solución de (20), ya que j=i n n n Así pues, para encontrar una solución particular de la ecuación y " + y ' + y = e' + ¿sen/ se buscan soluciones particulares ^ ( 0 y y" +y' +y = e ‘ de las ecuaciones y y " + y ' + y = tsent respectivamente, y después se sum an. Ej e r c i c io s Halle una solución particular de cada una de las siguientes ecuaciones. 1. y " + 3y = / 3 — 1 2. y " + 4y' + 4y = te°“ 3. y " - y = t 2e' 4. y " + y' + y = 1+ / + / 2 5. y " + 2y' + y = e ~ ' 6. y " + 5y ' + 4y — t V 7. y " + 4y = /sen 2/ 8. y" 9. _ y "-2 > '' + 5>' = 2 c o s 2/ 10. y " — 2y' + 5y = 2 (co s2/) e ' 11. y " + y ' - 6y = sen/ + te1' 12. y " + y ' + 4y = t 2 + (2/ + 3)(1 + e o s/) 13. y " - 3 y ' + 2y = e , + e 2' 14. y " + 2 y ’ = 1 + t 2+ e ~ 2‘ 15. y " + y = c o s /c o s 2 / 16. y " + y = c o s /c o s 2 /c o s 3 /. 17. (a) Demuestre que co s 3cj/ — 6y' + 9y = ( 3t 1 — 5t*)e3' = ^ R e { e 3'“ ' + 3 e ‘u l }. Sugerencia: e o s u t = ( e' “‘ + e ~ iul) / 2 . (b) Encuentre una solución particular de la ecuación 10y" + 0.2>,' + lOOOy = 5 + 2 0 c o s3 10/ 18. (a) Sea L [ y = y ” - Ir^y' + r y . M uestre que L [ e r',v { t ) ] = e r'‘v "{ t ) . (a) O btenga la solución general de la ecuación y " — 6y' + 9y = / 3/2e 3'. 19. Sea ip(t) = t (A0 + . .. + A nt n) y suponga que b ap" + bp' = a0 + . . . + ant n determine A 0, . . 0. Pruebe que la eci A n de m anera única.
    • 2.6 • V ibraciones m ecánicas 2.6 V 161 ib r a c io n e s m e c á n ic a s Considérese el caso de un objeto pequeño de masa m que está sujeto al extremo libre de un resorte flexible de longitud /, el cual se halla suspendido de un soporte rígido hori­ zontal (Fig. 1). (Un resorte elástico tiene la propiedad de que si es estirado o comprimi­ do una distancia A/, la cual es pequeña com parada con su longitud natural, ejerce enton­ ces una fuerza de restitución de magnitud k Al. La constante k se conoce como la constante de f uerza del resorte y es una medida de la rigidez del mismo.) Además la masa y el resorte pueden estar sumergidos en un medio, como por ejemplo aceite, el cual se opone al movimiento del cuerpo a través de él. Con frecuencia, los ingenieros se refieren a un conjunto de este tipo como sistema masa-resorte-am ortiguador, o como sistema sismom étrico, ya que es similar en principio a un instrum ento sismográfico que se usa para detectar un movimiento de la superficie terrestre. F ig u r a 1. Los sistemas m asa-resorte-amortiguador tienen aplicaciones muy diversas; por ejem­ plo, los am ortiguadores de los automóviles son sistemas de esta clase. La mayoría de los emplazamientos de cañones pesados contienen tales sistemas para minimizar el efecto de retroceso del arm a. La utilidad de estos dispositivos se verá más claramente después de plantear y resolver la ecuación diferencial que describe el movimiento de la masa m. Al evaluar el movimiento de m es conveniente medir las distancias desde su posi­ ción de equilibrio, y no desde el soporte horizontal. La posición de equilibrio de la masa es el punto en el cual pende en reposo si no actúan fuerzas externas sobre ella. En la citada posición, el peso mg es com pensado exactamente con la fuerza de restitución del resorte. Así pues, en su posición de equilibrio, el resorte ha sido alargado una longitud A/, donde k A/ = mg. Se denotará por .y = 0 a esta posición inicial y se tom ará como positiva la dirección hacia abajo. Se denotará por>>(z) la posición de la masa en el tiem­ po t. Para calcular y(t) se necesita la fuerza total que actúa sobre la masa m. Ésta es la suma de las cuatro fuerzas independientes W, R, D y F. (i) La fuerza W = mg es el peso de la masa y tira de ella hacia abajo. Esta fuerza es positiva, ya que la dirección hacia abajo es la dirección positiva para y. (ii) La fuerza R es la fuerza de restitución del resorte, que es proporcional al alar­ gam iento o al acortam iento Al + y del resorte. Actúa siempre para restituir la longitud natural del resorte. Si A/ + y > 0, entonces R es negativa, así que R = - k ( A l + y),
    • 162 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN y si Al + y < 0 entonces R es positiva, de m odo que R = - k ( A l + y). De cualquier modo R = -k(M + y). (iii) La fuerza D constituye el am ortiguam iento o efecto de fricción, y la ejerce el medio sobre la masa m. (La m ayoría de los fluidos, tales como aceite, agua y aire, tien­ den a oponerse al movimiento de un objeto a través de ellos.) Esta fuerza actúa siempre en dirección opuesta a la de m ovimiento y es, con frecuencia, proporcional a la magni­ tud de la velocidad d y /d t . Si la velocidad es positiva, es decir, si la m asa se mueve en dirección hacia abajo, entonces D = —c d y/ dt , y si la velocidad es negativa, entonces D - — d y /d t . En cualquier caso, c D = —cdy / dt. (iv) La fuerza F e s la externa que se aplica sobre la masa. Esta acción se dirige hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si la fuerza es positiva o negativa. En general, tal fuerza dependerá explícitam ente del tiempo. De la segunda ley de Newton del movimiento se tiene que (Sección 1.7) d2 y m —^ = W + R + D + F dt2 dy = m g - k ( M + y ) - c — + F(t) dy = - k y - c - ^ + F(t), ya que mg = k Al. P o r lo tanto, la posición >>(0 de la masa satisface la ecuación dife­ rencial lineal de segundo orden d 2y dy m ~dP--+c j ¡ + ky = F ( 0 0) donde m, c y k son constantes no negativas. En este caso se usará el Sistema Internacio­ nal de Unidades SI, de m odo que F se medirá en new tons, y en m etros, y t en segundos. En tal caso, la unidad de k es N /m ; la unidad de c es N • s/m y la unidad de m es el kilogramo (N • s2/m ). (a) Vibraciones libres. Se considerará prim ero el caso más sencillo de m ovim iento libre, no am ortiguado. En tal caso la ecuación (1) se reduce a d 2y d 2y m — - + ky = 0, o bien, — - + <¿ly = 0 dt2 dt2 (2) donde uo = k / m . La solución general de (2) es >>(/) = a eos co0/ + ¿ sen > Pf-ra analizar las coseno. Esto se ío0/. (3) soluciones de (3) es conveniente escribir la ecuación como una función logra con ayuda del siguiente lema.
    • 163 2.ó • Vibraciones m ecánicas LEMA 1. Toda función y(t) de la f o r m a (3) puede expresarse en la f or ma más sencilla y { t ) = R cos(co0/ —5) donde R = Va 2+ b 2 (4) y 5 = tan 1b / a . D e m o s t r a c i ó n . Se com probará que las expresiones (3) y (4) son iguales. Para ello se calcula R cos(coQ — 8 ) = R eos c eos 8 + R sen u 0t sen 8 t c0t y de la Figura 2 se tiene que R e o s 8 = a y /?sen5 = b. De m anera que R cos(u0/ — 8) = a eo su 0/ + bsenw0t. □ b a F ig u ra 2. En la Figura 3 se gráfico la función y = Rcos(ptít - 8). Hay que notar que y{t) siempre está entre —R y + /?, y que el movimiento de la masa es periódico (se repite en cualquier intervalo de m agnitud I tt/ üjq). Este fenómeno es conocido como movi­ miento armónico si mpl e; R se denom ina amplitud del movimiento; 8 es el ángulo de f ase del movimiento, T0 = 2-k/ wq es el período natural del movimiento y u 0 = -4k/m es la frecuencia natural del sistema. (b) Vibraciones libres amortiguadas. Si se incluye el efecto de am ortiguam iento, entonces la ecuación diferencial que descri­ be el movimiento de la masa es ( 5) Las raíces de la ecuación característica m r 2 + cr + k = 0 son —c+ Vc 2—Akm y —c — V c 2 —Akm r2 = ---------- ^ ---------
    • 164 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN y 2lj/ % R t -R F ig u r a 3 . Gráfica de y(t) = R cos(oo0/ - 5) Así pues, hay tres casos que considerar, dependiendo de si c 2 - 4k m es positivo, negativo o igual a cero. (i) c 2 - 4km > 0. En este caso, tanto r { como r2 son negativos y toda solución y(t) de (5) tiene la forma y ( t ) = a er'‘ + be rC (ii) o2 - 4km = 0. En este caso, toda solución y(() de (5) es del tipo y ( t ) = (a + b t )e ~cl/2m. (iii) c 2 - 4k m < 0. En este caso, toda solución y(t) de (5) es del tipo Los primeros dos casos se conocen como sobreamortiguamiento y críticamente amor­ tiguado, respectivamente, y representan movimientos en los cuales la masa, en una posi­ ción diferente de la de equilibrio, regresa lentam ente a ella. Dependiendo de las condi­ ciones iniciales, es posible pasar una vez por la posición de equilibrio, pero no en más de una ocasión (Ejercicios 2 y 3). El tercer caso, que se conoce como movimiento subamortiguaclo, ocurre con frecuencia en sistemas mecánicos y corresponde a una vibra­ ción am ortiguada. Con objeto de considerar esto, se aplica el Lema 1 para escribir la función y(t)~ e c'//2m[acoSjiií + ¿>sen/ií] en la forma y { t ) = R e - ct/2mc o s ( ( x t - S ) . El desplazamiento y oscila entre las curvas y = ±Re~a/lm, y representa una curva cose­ no con am plitud decreciente, com o se ve en la Figura 4. Ahora bien, obsérvese que el movimiento de la masa siempre tiende a decrecer si existe am ortiguam iento en el sistema. En otras palabras, cualquier perturbación inicial
    • 165 2.6 • Vibraciones m ecánicas y v t FIGURA 4. G ráfica de Re cl/2ml eos (^ r - 5) del sistema se disipa debido al térm ino de am ortiguam iento en el sistema. Ésta es la razón por la que los sistemas m asa-resorte-am ortiguador son tan útiles en los sistemas mecánicos; pueden servir para am ortiguar cualquier perturbación indeseable. Por ejem­ plo, el golpe que se transm ite a un automóvil debido a una irregularidad del camino es am inorado por los am ortiguadores del vehículo, y el ímpetu del retroceso del cañón de un arm a se disipa m ediante un sistema m asa-resorte-am ortiguador incorporado al dispositivo. (c) Vibraciones forzadas amortiguadas. Si ahora se introduce una fuerza externa F(t) = F0co sut , entonces la ecuación dife­ rencial que regula el movimiento de la masa es d2 y áy m — - + c —Hky — Fncosu)t. dt2 dt ( 6) Con el m étodo de la conjetura sensata, es posible obtener una solución particular J/(t) de (6) de la forma [ (k — m u 2) cos ío/ + cwsenw/j ( k — mu)2)2 + c2u)2 f'o ( k — m u 2)2 + c2u)2 F0cos(u)t —ó ) ( 7)
    • 166 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN donde tañ ó = coj(k — mor). Por lo tanto, toda solución y(t) de (6) debe ser del tipo F0cos(u>¡ — 8) >'(O = 0(O + 'K 0 - 0 ( 0 + ( 8) donde 0 ( 0 es una solución de la ecuación hom ogénea (9) Sin embargo, se ha visto que la solución 0 (0 de (9) tiende a cero cuando / tiende a infi­ nito. Así pues, para t grande, la ecuacióny(t) - J/(t) describe con alta precisión la posi­ ción de la masa m, independientemente de su velocidad y posición iniciales. Por tal razón se denom ina a 0 (0 la parte estacionaria de la solución (8), mientras que 0 ( 0 es conoci­ da como la parte transitoria de la solución. (d) Vibraciones libres forzadas. A hora se considerará el caso sin am ortiguam iento y con una fuerza externa que es perió­ dica y tiene la form a F ( t ) = F 0 cos oj í (vibración libre forzada). En este caso, la ecua­ ción diferencial que describe el movimiento de la masa m es ( 10) El caso o) i* <q no tiene interés; toda solución de y ( t) de (10) tiene la form a jú y es, por tanto, la suma de dos funciones periódicas con periodos distintos. Se expone un caso interesante cuando o> = cj0; es decir, cuando la frecuencia u de la fuerza exter­ na es igual a la frecuencia natural del sistema. Este caso se conoce como el de resonan­ cia, y la ecuación diferencial del movimiento si la masa es m es: d2 y + dt2 2 F0 C nV = ----- C O S lOnt. O ™ (11) Se encontrará una solución particular 0 (0 de (11) com o la parte real de una solución con valores com plejos 0 ( 0 de la ecuación ( 12) Dado que e lu°{ es una solución de la ecuación homogénea y " + coly = 0, se sabe que (12) es una solución particular 0 (0 = A t e iU para cualquier constante A . Calculando [yl,
    • 167 2.6 • Vibraciones m ecánicas Por lo tanto, - í F qí <í>(0= = (cosw0/ + zsenw0/) 2mu0 sen u nt — i cos u Q t u 2mu0 es una solución particular de (12), y F0t iP(/) = Re {<>(,)) = — — sen u 0t ffl C q Ú es una solución particular de (11). Por lo tanto, toda solución y{t) de (11) es del tipo F0t y ( t ) = c, cosw0/ + c2sena30/ + — — senw0t (13) para las constantes c it c2. A hora bien, la suma de los prim eros dos términos en (13) es una función periódica del tiem po. Sin em bargo, el tercer térm ino representa una oscilación con amplitud cre­ ciente, como se ve en la Figura 5. Así pues, si la fuerza externa F0 cos ut está en reso­ nancia con la frecuencia natural del sistema, entonces provocará siempre oscilaciones no acotadas. Un fenómeno de esa naturaleza fue responsable del colapso del Puente de Tacom a (Sección 2.6.1.) y de muchas otras catástrofes mecánicas. y F ig u r a 5. G ráfica de / ( / ) = >l/senoj0í- Ej e r c i c io s 1. Se ha encontrado experim entalm ente que una masa igual a 1 kg estira un resorte (49/320) m. Encuentre la am plitud, el periodo y la frecuencia del movimiento resul­ tante si se desprecia la resistencia del aire y la masa es llevada a una posición (14) m más abajo de su posición de equilibrio y luego se suelta (úsese g = 9.8 m /s2).
    • 168 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 2. S eaj'ÍO = A e r'1 + B e ri‘, con A + |¿?| # 0. (a) Demuestre que y(t) es igual a cero a lo más una vez. (b) Com pruebe que y' (t) es igual a cero cuando m ucho una vez. 3. Sea ^ ( 0 = (A + Bt )erl, con |/1 | + |¿?| # 0. (a) Pruebe que y{t) es igual a cero a lo más una vez. (b) Demuestre que y t ) es igual a cero cuando mucho una vez. 4. Un pequeño objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con cons­ tante de restitución igual a 2 N /m . El sistema masa-resorte está inmerso en un medio viscoso con constante de am ortiguam iento igual a 3 N • s/m . En el tiem po t = 0, la m asa se encuentra l m por abajo de la posición de equilibrio, desde donde es A soltada. Demuestre que la masa regresará a la posición de equilibrio conform e t tiende a infinito. 5. Un pequeño objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con cons­ tante de restitución igual a 1 N /m y sum ergido en un medio viscoso con constante de am ortiguam iento igual a 2 N * s/m . En el tiem po / = 0, la masa es lanzada con una velocidad de 1 m /s en dirección hacia arriba desde una posición inicial l m por abajo de la posición de equilibrio. Demuestre que la m asa sobrepasará A una vez la posición de equilibrio para volver después lentam ente a dicha posición. 6. Un pequeño objeto de mas a iguala a 4 kg se encuentra sujeto a un resorte con constante de restitución igual a 64 N /m , y es afectado por una fuerza externa F(t) = A eos3 o)t. Calcule todos los valores de para los cuales hay resonancia. 7. El cañón de un tanque M60 (vehículo de com bate) se encuentra sujeto a un sistema con una constante de restitución de 100a2, y una constante de am ortiguam iento de 200a en las unidades apropiadas. La masa del cañón es igual a 100 kg. Suponga que el desplazam iento y(t) de dicho cañón con respecto a su posición de equilibrio satisface el siguiente problem a de valor inicial después de haber sido accionado en el tiem po / = 0. 1 0 0 / ' + 20 0a y ’ + 100a 2y = 0 ; y ( 0 ) = 0 , y ' ( 0 ) = 100 m / s . Se desea que un segundo más tarde, la cantidad y 2 + ( y ' ) 2 sea m enor que 0.01. ¿Qué tam año debe tener a para garantizar que pase tal cosa? (Los sistemas masa-resorte-am ortiguador en tales tanques M60 que Estados Unidos surtió a Israel están críticam ente am ortiguados; por ello son los preferidos para combates en el desierto, donde se desea repetir los disparos lo más pronto posible. 8. Un sistema m asa-resorte-am ortiguador tiene la propiedad de que su constante de restitución k es nueve veces su m asa m , y su constante de am ortiguam iento c es 6 veces su masa. Al estar la m asa en la posición de equilibrio en el tiem po / = 0, actúa sobre ella una fuerza externa descrita por F{t) = (3 sen 30- El resorte se rompe si es estirado 5 m a partir de su posición de equilibrio. Demuestre que el resorte no se rom pe si m > 1/5 kg. 9. Un sistema m asa-resorte-am ortiguador con m = 1, k = 2 y c = 2 (en sus unida­ des respectivas) se halla en equilibrio. En el tiempo / = 0, una fuerza externa F(J) = t - t N actúa sobre el sistema durante un intervalo de tiem po igual a ir. Halle la posición de la masa para todo tiem po t > ir.
    • 2.6 • Vibraciones m ecánicas 169 10. Una masa de 1 kg está sujeta al extremo de un resorte con constante de restitución k - 64 N /m . Al hallarse la masa en la posición de equilibrio en el tiempo t - 0, se le aplica una fuerza externa F(t) = ( Vit) N durante un intervalo de tiempo t x = 77r/16 segundos. Suponiendo que no hay am ortiguam iento, calcule la frecuencia y la am plitud de las oscilaciones resultantes. 11. Una masa de 1 kg se halla sujeta a un resorte con constantes de restitución k = 4 N /m . Al estar la m asa en la posición de equilibrio en el tiempo / = 0, se le aplica una fuerza externa F{t) = (1 + / + sen 2t) N. Si el muelle es estirado en una lon­ gitud ('A + 7r/4) m o más, desde su posición de equilibrio, se rom perá. Suponien­ do que no hay am ortiguam iento, halle el tiem po en el cual se rompe el resorte. 12. Un pequeño objeto de masa igual a 1 kg se encuentra sujeto a un resorte con una constante de restitución k = 1 N /m . El sistema masa-resorte se halla en un medio viscoso que tiene una constante de am ortiguam iento c. Además se aplica sobre el sistema una fuerza externa F(t) = (3 - eos t) N. Determine el mínimo valor positi­ vo de c, tal que la m agnitud de la solución de estado estacionario no exceda de 5 m. 13. Determine una solución particular ¡/(t) de m y " + cy' + ky = F0 eos w/ de la for­ ma ¡/{t) = A eos (o;/ - (/> Demuestre que la am plitud A es máxima cuando w2 = ). u)q — Vz(c/m)2. Dicho valor se conoce como la frecuencia de resonancia del siste­ ma. ¿Qué ocurre cuando coq < l ( c / m ) 2l A 2.6.1 El desastre del Puente de Tacoma El prim ero de julio de 1940 se term inó y abrió al público el Puente del Estrecho de Tacom a, en Puget Sound, W ashington, Estados Unidos. Desde el día de su inaugura­ ción el puente empezó a presentar oscilaciones verticales, y muy pronto fue bautizado como la “ yegua galopante” . Aunque parezca extraño, debido a su comportamiento tan peculiar, el tránsito sobre el puente aum entó considerablemente. La gente viajaba cien­ tos de millas en sus vehículos para disfrutar de la curiosa emoción de transitar sobre un puente que se estremecía. El puente fue un gran negocio por un lapso de cuatro meses. C onform e pasaban los días, las autoridades responsables iban adquiriendo más con­ fianza acerca de la seguridad del puente, hasta llegar a pensar, incluso, en la cancela­ ción de su póliza de seguro. Aproximadamente a las 7 de la m añana del 7 de noviembre de 1940, el puente comen­ zó a vibrar en form a persistente durante tres horas. Algunas partes de la construcción presentaban m ovimientos verticales de hasta 1 m (o 3 pie). Alrededor de las 10 de la m añana algo pareció dispararse y el puente comenzó a oscilar con furia. En un mismo instante una parte de la superficie del puente se encontraba más de 8 m más alto que otra; en el m om ento siguiente, la prim era se encontraba más de 8 m por abajo de la segunda. A las 10:30 de la m añana el puente empezó a crujir, antes de derrumbarse finalmente a las 11:10 de la m añana. Por fortuna, sólo se encontraba un automóvil sobre el puente en el m om ento del siniestro. Era el del reportero de un periódico local que tuvo que abandonar el vehículo con su único ocupante, un perro m ascota, al momento en que el puente iniciara sus violentas sacudidas. Aunque con algunas lesiones, el repor­ tero logró alcanzar un lugar seguro, arrastrándose de rodillas y asiéndose fuertemente
    • 170 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN a la guarnición del puente. Su perro y el autom óvil cayeron al vacío junto con la estructrua. Esa fue la única vida que cobró el desastre. H ubieron m uchos incidentes irónicos y hum orísticos relacionados con el colapso del puente de Tacom a. C uando empezó a vibrar violentam ente, las autoridades notifi­ caron al profesor F.B. Farquharson, de la Universidad de W ashington. Dicho investi­ gador había realizado muchas simulaciones con un modelo del puente y aseguraba a todos que se trataba de un sistema estable. El profesor fue la última persona en aban­ donar el puente. Incluso cuando la estructura oscilaba más de 8 m hacia arriba y hacia abajo, él se hallaba realizando observaciones científicas, probablem ente sin percatarse del colapso inm inente de la estructura. C uando los movimientos increm entaron su vio­ lencia, el profesor se dirigió a un lugar seguro, siguiendo científicamente la línea am ari­ lla que se encontraba en el centro del cam ino. El fue una de las personas que más se sorprendieron cuando la estructura cayó al agua. Una de las pólizas de seguro que am paraban al puente había sido suscrita por un agente viajero local, quien se em bolsó el dinero de la prim a y no reportó la póliza por 800000 dólares a su com pañía. Al recibir, más adelante, su sentencia, señaló irónica­ mente que su fraude no hubiera sido descubierto nunca de haber aguantado el puente una semana más, ya que las autoridades que controlaban éste, tenían pensado cancelar todas las pólizas de seguro. Cerca del puente se encontraba un gran anuncio de un banco local, con la frase: “ Tan seguro com o el puente de T ac o m a". Inm ediatam ente después del colpaso, varios empleados del banco se apresuraron a quitar el rótulo. Después del derrum be del puente de Tacom a, el gobernador del estado pronunció un discurso muy emotivo en el cual declaró: “ Volveremos a construir exactam ente el mismo puente, y de la misma m anera que an tes". Al escucharlo el famoso ingeniero von Karman envió al citado gobernador un telegram a que decía: “ Si construyen exac­ tam ente el mismo puente, y exactam ente de la m isma m anera que antes, entonces se desplom ará exactam ente en el mismo río, y exactam ente del mismo modo que antes". El colapso del puente de Tacom a se debió a un fenóm eno aerodinám ico conocido como golpeteo vibrante, el cual puede explicarse brevem ente de la siguiente manera. Si se tiene un obstáculo frente a una corriente de aire o líquido, entonces se form a una “ cauda de vórtices" después del obstáculo. Dichos remolinos fluyen con una periodici­ dad determ inada que depende de la form a y el tam año de la estructura, así como de la velocidad de la corriente (Fig. 1). Debido a que los vórtices se separan en form a alter­ nada hacia cada uno de los lados del obstáculo, éste se ve afectado por una fuerza perió­ dica perpendicular a la dirección de la corriente y de una m agnitud igual a F0 cosco/. El coeficiente F0 depende de la form a de la estructura. C uanto menos “ aerodinám i­ ca " sea ésta, tanto m ayor será el coeficiente F0 y, por lo tanto, la am plitud de la fuer­ za. Por ejemplo, el flujo de aire alrededor de un ala de avión con ángulo de ataque F ig u r a 1.
    • 171 2.ó • Vibraciones m ecánicas pequeño es muy regular, de modo que la cauda de vórtices no está bien definida y el coeficiente F 0 es muy pequeño. La estructura nada aerodinám ica de la suspensión de un puente es otra cosa, y es de esperar que actúe una fuerza de m ayor amplitud. Así pues, una estructura suspendida en una corriente de aire sufré los efectos de dicha fuer­ za y pasa, por lo tanto, a un estado de vibraciones forzadas. El grado de peligrosidad del m ovimiento, dependerá de lo cerca que se encuentre la frecuencia natural del siste­ ma de la frecuencia respecto de la fuerza externa (recuérdese que los puentes están hechos de acero, un material altam ente elástico). Si las dos frecuencias coinciden, se presenta el fenómeno de resonancia y las oscilaciones destruirán el sistema, si éste no está sufi­ cientemente am ortiguado. Ya se ha visto el tipo de oscilaciones que fueron las respon­ sables del colapso del puente de Tacoma. También se ha observado resonancia produ­ cida por la separación de los vórtices en las chimeneas industriales de acero y en los periscopios de subm arinos. El fenómeno de resonancia fue también responsable del colapso del puente colgan­ te de Broughton, cerca de M anchester, Inglaterra, en el año de 1831. El derrumbe ocu­ rrió cuando una formación de soldados m archaba con ímpetu sobre el puente, aplican­ do una fuerza periódica de am plitud bastante grande. La frecuencia de dicha fuerza resultó ser igual a la frecuencia natural del puente, y se indujeron grandes oscilaciones que llevaron al puente al colapso. Esa es la razón por la cual ahora todos los soldados interrum pen la cadencia del paso al cruzar sobre un puente. E p í l o g o . El padre de uno de mis alumnos es un ingeniero que trabajó en la construc­ ción del puente Bronx W hitestone, en la ciudad de Nueva York. El me informó que los planos de este puente eran muy similares a los del de Tacom a. Inm ediatamente des­ pués del colapso del puente de Tacom a, los planos fueron modificados inmediatamente. 2 .6 .2 . Redes eléctricas A hora se analizará brevemente un circuito eléctrico simple, en serie, com o el que apare­ ce en la Figura 1. El símbolo E representa la tensión de una fuente de fuerza electromo- AAAAA R F ig u r a 1 . Un circuito simple en serie
    • 172 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN triz. Puede tratarse de una batería o de un generador que produce una diferencia de potencial eléctrico (en volts), que hace fluir por el circuito una corriente / (en amperes) cuando se cierra el interruptor 5. El símbolo R (un resistor) representa una resistencia al flujo, como la que se produce en una lám para incandescente o en un tostador. Al pasar la corriente a través de una bobina L se produce un campo magnético que se opo­ ne a cualquier cambio en la corriente que circula a través de ella. El cambio en el voltaje inducido en la bobina es proporcional a la rapidez de variación de la corriente, y la constante de proporcionalidad se conoce como la inductancia L del citado elemento. Un capacitor C consiste norm alm ente en dos placas metálicas separadas por un m ate­ rial aislante que permite un flujo pequeño de corriente. Un capacitor tiene el efecto de detener el flujo de corriente cuando alguna de las placas se carga. Sea Q(í) la carga del capacitor en el tiempo t. P ara obtener una ecuación diferen­ cial que se cum pla para Q(t) se usará la siguiente inform ación: Segunda Ley de Kirchoff. En un circuito cerrado, la tensión aplicada es igual a la suma de las caídas de potencial en cada uno de los com ponentes del circuito. A hora bien: (i) La caída de tensión (en volts) a través de una resistencia de R ohms es igual a R I (ley de Ohm). (ii) La caída a través de una inductancia de L henrys es igual a L{dl/ dt ). (iii) La caída a través de una capacitancia de C farads es igual a Q / C . Por lo tanto, £ (0 = l f + « /+ § , y, dado que I{t) = dQ(t)/dt> se ve que d 2Q L ^ dQ Q - + R - £ +!é = E M - <■> Nótese la semejanza de la ecuación (1) con la ecuación de una masa en vibración. Entre las semejanzas de los circuitos eléctricos con las vibraciones mecánicas se tiene la pro­ piedad de resonancia. Sin em bargo, contrariam ente a lo que pasa en los sistemas mecá­ nicos, la resonancia tiene aplicaciones deseables en los sistemas eléctricos. Por ejemplo, la perilla de sintonía de un radio se utiliza para variar la capacitancia en el circuito res­ pectivo. De tal modo se cam bia la frecuencia de resonancia (Ejercicio 13 de la Sección 2.6) hasta que coincide con la frecuencia de alguna de las señales de radio que se están recibiendo. La am plitud de la corriente producida por dicha señal será m ucho mayor que la de otras señales. De esta m anera, el circuito de sintonía selecciona la estación deseada. Ej e r c i c io s 1. Suponga que en un circuito simple en serie no hay resistencia ni se ha aplicado ten­ sión. Demuestre que la carga Q en el capacitor es periódica en el tiem po con fre­
    • 173 2.6 • Vibraciones m ecánicas cuencia a> = VT/LC. La cantidad V i/ L C se conoce como frecuencia natural del 0 circuito. 2. Suponga que está abierto un circuito simple en serie que consta de un inductor, un resistor y un capacitor, y que hay una carga inicial de Q0 = 1CT8 coulombs (C) en el capacitor. Halle la carga en el capacitor y la corriente que fluye en el circuito, después de que el interruptor se cierra en cada uno de los siguientes casos. (a) L = 0.5 henrys, c = 1CT5 farads, R = 1000 ohms. (b) L = 1 henrys, c = 10~4 farads, R = 200 ohms. (c) L - 2 henrys, c = 1CT6 farads, R = 2000 ohms. 3. Un circuito simple en serie tiene un inductor de 1 henry (H), un capacitor de 10~6 farads (F) y un resistor de 1000 ohms (fi). La carga inicial del capacitor es cero, si se conecta el circuito a una batería de 12 volts (V) y se cierra su interruptor en el tiempo t - 0, halle la carga del capacitor un segundo más tarde, y también la carga de estado estacionario. 4. Un capacitor de 10~3 F está en serie con una tensión inductor de 1 H. En el tiempo t = 0, tanto Q como (a) Calcule la frecuencia natural y el período de las (b) Halle la carga máxima del capacitor y la corriente cuito. aplicada de 12 V y con un I son cero. oscilaciones eléctricas. máxima que fluye en el cir­ 5. Demuestre que si no hay resistencia en un circuito y si la tensión que se aplica es de la forma E0 sen cw, entonces la carga en el capacitor será no acotada para / -* si cj = v l / ¿ C . Este es el fenómeno de resonancia. 6. Considere la ecuación diferencial L Q + R Q + Q ^ E o Co s u i . (i) Es posible obtener una solución particular ip(t) de (i) como la parte real de una solución particular <p{t) de L Q + R Q + Q = E 0e iu‘. (ii) (a) Demuestre que iux*> = ------- -— -------7~Te,u‘(() R + - -j.) (b) La cantidad Z = R + /(co¿ - 1/u C ) se conoce como im pedancia compleja del circuito. El reciproco de Z es conocido como adm itancia, y a las partes real e imaginaria de 1/Z se la llama conductancia y susceptancia. Determine la adm itancia, la conductancia y la susceptancia de dicho circuito. 7. Considere un circuito simple en serie con valores dados de L, R y C, y una tensión Z^sen cd/. ¿Para qué valores de será máxima la corriente de estado estacionario?
    • 174 2 .7 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN U n m o d e lo p a r a l a d e t e c c ió n de l a d iab etes La diabetes mellitus es un trastorno del m etabolism o que se caracteriza por el exceso de azúcar tanto en la sangre como en la orina. Un cuerpo con diabetes es incapaz de consumir los azúcares, almidones y carbohidratos debido a una insuficiencia en la can­ tidad de insulina disponible. La diabetes se diagnostica usualmente por medio de una prueba de tolerancia a la glucosa (PTG). P ara dicha prueba, el paciente se presenta des­ pués de un ayuno de toda la noche y recibe una dosis grande de glucosa (azúcar en la form a en que aparece norm alm ente en la corriente sanguínea). Se realizan mediciones durante las siguientes tres a cinco horas para determ inar la concentración de glucosa en la sangre de la persona. Dichas mediciones sirven para el diagnóstico de diabetes. Una seria dificultad que tiene que ver con este m étodo de diagnosis es la falta de crite­ rios universalmente aceptados para la interpretación de los resultados de la prueba de tolerancia a la glucosa. Tres médicos que interpreten los resultados de una PTG pueden dar tres diagnósticos diferentes. Recientemente un médico de la región de Rhode Island diagnosticó un caso de diabetes tras haber revisado los resultados de una PTG. Un segun­ do médico declaró que se trataba de una persona sana. P ara aclarar las dudas, se envia­ ron los resultados de la PTG a un especialista de Boston. Después de examinar los resul­ tados el especialista concluyó que el paciente tenía un tum or en la pituitaria. A mediados de la década de 1960, los doctores Rosevear y M olnar de la Clínica M ayo, y Ackerm an y Gatewood de la Universidad de M innesota, descubrieron un cri­ terio bastante confiable para interpretar los resultados de una PTG. Su descubrimiento surgió de un m odelo muy sencillo que desarrollaron para el sistema regulatorio de la glucosa en la sangre. Dicho modelo se basa en los siguientes principios sencillos y bien conocidos de biología elemental. 1. La glucosa desempeña un papel im portante en el metabolism o de todos los ver­ tebrados, ya que es una fuente de energía para todos los órganos y tejidos. En cada individuo hay una concentración glucósica óptim a en la sangre, y una desviación exce­ siva de dicho valor óptim o lleva a condiciones patológicas severas y, potencialmente, incluso a la muerte. 2. Los niveles de glucosa en la sangre tienden a constituir un proceso autorregulado, aunque tam bién influye en ellos una gran variedad de horm onas y otros metabolitos. Entre ellos se encuentran los siguientes: (i) Insulina. H orm ona secretada por las células (3 del páncreas. Después de haber ingerido carbohidratos en alguna form a, el tracto gastrointestinal envía un mensaje al páncreas para secretar más insulina. Además, la glucosa que está en nuestro cuerpo esti­ mula directam ente las células ¡3 del páncreas para que secrete insulina. Se cree que la insulina ayuda a que los tejidos reciban la glucosa fijándola en las m em branas celulares impermeables y perm itiendo así que la glucosa pase a través de la m em brana hacia el centro de la célula, lugar donde se llevan a cabo la m ayor parte de los procesos quími­ cos y biológicos. Sin la insulina necesaria el cuerpo no puede proveerse de la energía requerida. (ii) Glucagón. H orm ona secretada por las células a del páncreas. Cualquier exceso de glucosa se alm acena en el hígado en form a de glucógeno. C uando hace falta, esta sustancia se transform a nuevamente en glucosa. La horm ona glucagón aum enta la tasa de degradación de glucógeno en glucosa. La evidencia acum ulada hasta ahora indica que, tanto la hipoglucemia (bajo nivel de azúcar en la sangre) com o el ayuno, promue-
    • 2.7 • Un m odelo para la detención de la diabetes 175 ven la secreción de glucagón, mientras que un alto nivel de glucosa en la sangre interrum ple su secreción. (iii) Epinefrina (adrenalina). H orm ona secretada por la médula adrenal. La epinefrina es parte de los mecanismos de emergencia para increm entar rápidam ente la con­ centración de glucosa en la sangre en momentos de hipoglucemia extrema. Al igual que el glucagón, la epinefrina acrecienta la tasa de degradación de glucagón en glucosa. Además inhibe la asimilación de glucosa por parte de los tejidos musculares; actúa direc­ tam ente sobre el páncreas para inhibir la secreción de insulina, y ayuda a la conversión de lactasa a glucosa en el hígado. (iv) Glucocorticoides. H orm onas como el cortisol que son secretadas por la corte­ za adrenal. Los glucocorticoides desempeñan un papel muy im portante en el metabolis­ mo de los carbohidratos. (v) Tiroxina. H orm ona secretada por la glándula tiroides. Esta horm ona ayuda al hígado a form ar glucosa a partir de fuentes distintas a los carbohidratos, tales como glicerol, lactasa y am inoácidos. (vi) Hormona del crecimiento (somatotropina). H orm ona secretada por la glándula pituitaria en la región denom inada anterior. La horm ona de crecimiento no sólo afecta directam ente a los niveles de glucosa, sino que también tiende a bloquear a la insulina. Se cree que la horm ona de crecimiento disminuye la sensibilidad de los músculos y las m em branas adiposas a la insulina, reduciendo así la efectividad de ésta para aum entar la captación de glucosa. El objetivo de Ackerm an y su equipo era construir un modelo que describiera con precisión el sistema regulador de la glucosa en la sangre durante una prueba de toleran­ cia a la glucosa, y en el cual uno o dos parám etros sum inistraron inform ación, para distinguir entre individuos sanos, casos leves de diabetes y prediabetes. Su modelo es muy simple y requiere solam ente un número limitado de m uestras de sangre durante una PT G . La atención se centra en dos concentraciones, la de glucosa en la sangre, denotada por G y la concentración horm onal de la red, denotada por H. Esta última se entiende com o el efecto acum ulado de todas las horm onas pertinentes. Hormonas como la insulina, que abaten las concentraciones de glucosa en la sangre, se consideran horm onas que incrementan / / , mientras que las que intensifican la concentración de glucosa, com o el cortisol, se consideran hormonas que hacen disminuir H. Hay dos razo­ nes por las cuales un modelo simplificado puede todavía constituir una descripción pre­ cisa del sistema regulador de glucosa en la sangre. Prim eram ente, algunos estudios han dem ostrado que en condiciones normales, o cercanas a ellas, la interacción de una sola horm ona, la insulina por ejem plo, con la glucosa de la sangre predom ina de tal manera que el uso de un modelo simple con parám etro globalizado es muy adecuado. Además, hay evidencia de que la normoglicemia no necesariamente depende de la normalidad de cada uno de los mecanismos cinéticos del sistema regulador de la glucosa en la san­ gre. Más bien, depende de cóm o responde el conjunto del sistema regulador de glucosa en la sangre y de si dicho sistema está dom inado por las interacciones insulina-glucosa. El m odelo básico se describe con las siguientes ecuaciones 4 £ - F , ( G . H ) + J(t) (1) ™ = F 2 (G,H). (2) La dependencia de F { y F 2, con respecto a G y H significa que los cambios en G y en H están determ inados por los valores tanto de G como de H. La función J(t) es la
    • 176 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SECUNDO ORDEN rapidez externa a la cual aum enta la concentración de glucosa en la sangre. A hora bien, supóngase que al llegar el paciente en ayunas al hospital, G y H han alcanzado valores óptimos G0 y H q. E so implica que F (G0, H 0) = 0 y que F2(g0, 7/0) = 0. Dado que interesan las desviaciones de los valores de G y H respecto de los valores óptim os, se hace la siguiente sustitución g = G - G 0, Entonces h = H — H 0. , - £ = F ¡ (G0 + g , H 0+ h ) + J ( t ) , f = F , ( G 0 + g , H 0 + h). Ahora obsérvese que F , ( G 0 + g , H 0 + h) = F l ( G0, H 0 ) + 0 F ,(G o, H 0 ) dF¡(G0, H 0) ¿G g + ------- 3H ----- h + e ' 3 F2 ( G q, H 0 ) 3 F2 (G0, H 0 ) S+~ ^ H H + e2 F2 (G0 + g , H 0 + h) = F2( G0, H 0 ) + ----- ^ donde e¡ y e2 son muy pequeñas com paradas con g y h. Por lo tanto, suponiendo que G y H no difieren mucho de G0 y H 0 y, por consiguiente, om itiendo los térm inos e¡ y e2, se ve que dg dt 3F ,( C 0.W0 ) 3 f , ( C 0. / / 0 ) 3G S+ 3H h + J (' ) dh 3 F2 (G0, H 0 ) T , 3C (3) SF2 ( G0, H 0 ) g + ----- 3H ------- *' W Ahora bien, a priori no es claro cóm o determ inar los números 3 F , ( G 0, H 0 ) ac 3 F .ÍG o ./ío ) ’ dH 3/r2 (C „ ,//„ ) ’ 0G 3 F2 (G0, H 0 ) y dH Sin embargo, es posible determ inar sus signos. Al referirse a la Figura 1 se ve que dg/dt es negativo para g > 0 y h = 0, ya que la concentración de glucosa en la sangre dismi­ nuirá debido a la acumulación de tal sustancia en los tejidos, así como al alm acena­ miento en el hígado de un exceso de glucosa en form a de glucógeno. Com o consecuen­ cia 3 F j(G 0,H 0) / d G debe ser negativa. De m anera similar, 3 F j(G 0, H 0) / d H es negativa, ya que un valor positivo de h tiende a dism inuir los niveles de glucosa en la sangre, lo que facilita la asimilación de la misma por parte de los tejidos e incrementa la tasa con la que la glucosa se convierte en glucógeno. El núm ero d F 2(G0, H 0) / d G debe ser positivo, ya que un valor positivo de g lleva a las glándulas endocrinas a secre­ tar aquellas horm onas que tienden a increm entar H. Por últim o, d F 2(G0, H 0) / d H debe ser negativa, ya que la concentración de horm onas en la sangre decrece mediante el metabolismo horm onal. Así pues, las ecuaciones (3) y (4) pueden escribirse en la forma -Jt = ~ m g ~ m 2h + J (t) = - m 3h + m4g (5) (6)
    • 177 2.7 • Un m odelo para la detención de la diabetes Tracto gastro intestinal Acumulación de glucosa Hígado G -7 ^ y" Fondo común de hormonas Órganos endocrinos Absorción por los tejidos H Metabolismo hormonal t i F ig u r a 1. M odelo simplificado del sistema regulador de la glucosa en la sangre donde m 2t m 3 y m4 son constantes positivas. Las ecuaciones (5) y (6) son dos ecua­ ciones de prim er orden para g y h. Sin embargo, dado que se mide únicamente la con­ centración de glucosa en la sangre, sería deseable eliminar la variable h. Eso se puede hacer de la siguiente m anera: derivando (5) con respecto a t se obtiene d2 g d t2 dg dt dh ^ d J 2 dt dt — r = - m , — - w 2— + - r - . Sustituyendo d h / d t a partir de (6) se tiene d2% dg ~d¡i = ~ mi-di -L. m2 i. + myh-m2 ^ d J m4g+~¿¡- V) Obsérvese ahora que a partir de (5) se obtiene que m 2h = ( - d g/ d t) - m xg + J{t). Por lo tanto, g(t) satisface la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden d2g , ^ — — + K + w 3) dg + ( m ]mi + m 2m 4) g = m 3Jj + d J . Esta ecuación puede reescribirse de la siguiente forma: ^ ? +2a -¡¡¡+ u o g s s S ( t ) W donde ce = (m, + m3) / 2, uq = m ,m 3 + m 2m 4 y S{t) = m3y + dJ/ dt . Nótese que el segundo miembro de (8) es idéntico a cero, excepto por un corto inter­ valo de tiem po en el que se ingiere la dosis de glucosa. En la Sección 2.12 se verá cómo se m aneja ese tipo de funciones. Para los propósitos del análisis, supóngase que / = 0 es el tiem po en el cual la dosis de glucosa se ingirió com pletam ente. Entonces, para t > 0, g(t) satisface la siguiente ecuación lineal homogénea de segundo orden
    • 178 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Esta ecuación tiene coeficientes positivos. Por tanto, a partir del análisis de la Sección 2.6 (y el Ejercicio 8 de la Sección 2.2.2), g(t) tiende a cero cuando t tiende a infinito. Así pues, el modelo ciertamente concuerda con la realidad al predecir que las concen­ traciones de glucosa tienden a regresar en algún m om ento a sus niveles óptim os. Las soluciones g(t) de (9) son de tres tipos, dependiendo de si a 2 - wq es positivo, negativo o igual a cero. Por supuesto que estos tres tipos corresponden a los casos de oscilaciones sobream ortiguadas, críticam ente am ortiguadas y subam ortiguadas que se estudiaron en la Sección 2.6. Para el siguiente análisis se supondrá que a 2 - wq es nega­ tivo; los otros dos casos pueden analizarse en form a sim ilar. Si a 2 - u i < 0, entonces la ecuación característica de (9) tiene raíces com plejas. En este caso puede verificarse fácilmente (Ejercicio 1) que cualquier solución g(t) de (9) es del tipo g ( t ) ~ Ae~°“ cos(ut - 8), co2 = W —a 2. q (10) Por lo tanto, G ( t ) = G0 + A e ~ atcos(ul — 8). ( 11) En la ecuación (11) hay cinco incógnitas G0, / l , a , o j 0 y 5. Una m anera de determ inar­ las es la siguiente: La concentración de glucosa en la sangre del paciente un momento antes de recibir la dosis de glucosa es G0. Por ello, es posible determ inar G0 midiendo la concentración de glucosa en la sangre del individuo inm ediatam ente después de su llegada a la clínica. Además, si se tom an cuatro mediciones adicionales G i, G2, G3 y G4 de la concentración de glucosa en la sangre del paciente en los tiempos /), /2, y r4, es posible determ inar A , a, üj0 y 8, a partir de las cuatro ecuaciones siguientes: Gj = G0 + A e ~ a‘ cos(<¡¿tj-8 j ), , 2 , 3, 4 . j —1 Un método mejor para determinar G0, A , a, u 0 y 8 es tom ar n mediciones G |, G2, . . . , Gn de la concentración de glucosa en la sangre del paciente en los tiempos t {, t2, . . . , tn. Un valor característico de n es de 6 ó 7. Después se encuentran valores óptimos para G(), A , a, ü)0 y 8, de modo que se minimice el error de mínimos cuadrados n £ = 2 Gj - G0- A e - a,' c o s ( u t j - 8 ) f El problem a de minimizar E puede resolverse en una com putadora digital, y Ackerman y su grupo (véase la referencia al final de la sección) ofrecen un program a en Fortran para determ inar los valores óptim os para G0, -4, a , u 0 y 5. Este m étodo es preferible al primero, ya que la ecuación (11) es solamente una fórm ula aproxim ada para G(t). Consecuentemente, es posible encontrar valores G0, A , a, u 0 y 8, tales que satisfagan exactamente la ecuación (11) en cuatro puntos t lt t2, (} y í4> Pefo son una mala apro­ ximación de los datos para otros valores del tiempo. El segundo método ofrece, en gene­ ral, una mejor aproxim ación de los datos en el intervalo com pleto, ya que implica más mediciones. Ackerman y su grupo observaron en un gran número de experimentos que un peque­ ño error de medición en G podía producir un error muy grande en a. Por ello no es confiable cualquier criterio de diagnosis de diabetes que involucre al parám etro a. Sin embargo, el parám etro oj0» es decir, la frecuencia natural del sistema, fue relativam en­ te insensible a errores experimentales en las mediciones de G. Así pues, puede conside­ rarse a o como el descriptor básico de la respuesta a una prueba de tolerancia a la glu­ jq
    • 2.7 • Un m odelo para la detención de la diabetes 179 cosa o PTG . P ara los fines del análisis, es más conveniente usar el periodo natural correspondiente TQ = 27r/aj0. El hecho im portante es que los datos obtenidos de un gran núm ero de fuentes indican que un valor de menos de cuatro horas para T0 indica normalidad, mientras que un valor apreciablemente mayor de cuatro horas implica dia­ betes leve. O b s e r v a c i ó n 1 . En nuestra cultura, el periodo usual entre tom as de alimentos es de aproxim adam ente de 4 horas. Esto hace interesante y posible que algunos factores sociológicos puedan desempeñar tam bién un papel im portante en el sistema regulador de la glucosa en la sangre. O b s e r v a c i ó n 2 . Es im portante insistir en que el modelo descrito puede ser usado sólo para diagnosticar casos leves de diabetes o casos de prediabetes, pues se supuso en el análisis que era pequeña la desviación g que presentaba G con respecto a su valor óptim o G0. Desviaciones grandes de G con respecto a G0 indican normalmente casos severos de diabetes, o de diabetes insipidus, la cual es un trastorno del lóbulo posterior de la glándula pituitaria. Un grave inconveniente que tiene el modelo simplificado es que en ocasiones no se ajusta bien a los valores obtenidos en el periodo de tres a cinco horas después de la ingestión de la dosis de glucosa. Esto indica, por supuesto, que algunas variables como la epinefrina y el glucagón desempeñan un papel im portante en ese tiempo, de modo que dichas variables deberían ser incluidas por separado en el modelo, y no globalizadas ju n to con la insulina. De hecho, la evidencia indica que los niveles de epinefrina pueden aum entar fuertem ente durante la fase de recuperación de la respuesta a la PTG, una vez que los niveles de glucosa disminuyen más allá de los niveles en el periodo de ayuno. Esto tam bién puede verse directamente de la ecuación (9). Si a 2 - uq > 0, entonces g(t) puede tener la form a que se muestra en la Figura 2. Nótese que g(t) des­ ciende muy rápidam ente desde un valor bastante grande hasta tom ar valores negativos. Por ello, es posible que el cuerpo interprete la situación como emergencia y secrete enton­ ces grandes cantidades de epinefrina. F ig u ra 2. G ráfica de g(t) si a 2 - oj20 > 0.
    • 180 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Los investigadores médicos reconocieron desde hace mucho la necesidad de incluir a la epinefrina com o una variable, por sí sola, en cualquier modelo del sistema regula­ dor de glucosa en la sangre. Sin em bargo, se vieron frenados por el hecho de que no había m étodos confiables para m edir la concentración de epinefrina en el fluido san­ guíneo, así que, para fines prácticos, suponían que el nivel de dicha sustancia permane­ cía constante durante una prueba de tolerancia a la glucosa. El autor fue inform ado recientemente de que algunos investigadores del Rhode Island Hospital han estructura­ do un método preciso para medir la concentración de epinefrina en la sangre. De modo que será posible en un futuro inm ediato desarrollar y probar modelos más extensos del sistema regulador de glucosa en la sangre. O jalá que esto lleve a criterios más confia­ bles para el diagnóstico de la diabetes. Bib l io g r a f ía E. Ackerm an, L. Gatew ook, J. Rosevear y Gl. M olnar, Blood glucose regulation and diabetes, Concepts an d Models o f Biomathematics, F. Heinmets (cap. 4), Marcel Dekker (com p.), 1969, págs. 131-156. Ej e r c i c io s 1. Deduzca la ecuación (10). 2. Un paciente que llegó al hospital después de una noche de ayuno presenta una con­ centración de glucosa en la sangre de 70 m g/100 mi (miligramos de glucosa por 100 mililitros de sangre). Sus concentraciones glucósicas en la sangre 1, 2 y 3 horas des­ pués de haber ingerido una cantidad grande de glucosa son 96, 65 y 75 m g/100 mi, respectivamente. Demuestre que el paciente es una persona sana. Sugerencia: En el caso subam ortiguado, el intervalo de tiem po entre dos ceros sucesivos de G G0 es m ayor que un medio del periodo natural. Según un fam oso especialista en diabetes, las concentraciones de glucosa en la sangre de un paciente no diabético que ingirió una gran cantidad de glucosa se encontraron en los niveles de ayuno, o más bajos, en un m áximo de 2 horas. Los Ejercicios 3 y 4 com paran sus diagnósticos con los de Ackerm an y su grupo. 3. Inm ediatam ente después de haber absorbido por com pleto una gran cantidad de glucosa, la desviación g(í) del nivel de glucosa en la sangre de un paciente con res­ pecto a la concentración óptim a, satisface la ecuación diferencial (d 2 / d t 2) + g 2a(dg/dt) + a 2 = 0. El tiem po se mide en m inutos, de modo que la unidad de g a es el inverso de m inuto. Demuestre que el paciente es normal de acuerdo con Ackerm an y su grupo, si a > ir/120(m in), y que el paciente es norm al según el famoso especialista si j'(O) < - ( & + «)*(<>).
    • 181 2.8 • Soluciones en series 4. La co n c en tració n de glucosa en la sangre de un paciente, después de haber absor­ bido por completo una gran cantidad de glucosa, satisface el problem a de valor inicial d 2G , 1 dG { 1 c dt2 20 (min) dt 2500 (min)2 r75 mg gluc./lOO mi sang. = ------2500 (min) G(0) = 150 mg gluc./lOO mi sang. i G'(0) - - a G (0 )/(min); a | 4 18/5 2ÓÓ “JT ^IiT r La concentración óptim a del paciente es de 75 mg gluc./lOO mi sangre. Muestre que dicho paciente es diabético de acuerdo con Ackerm an y su grupo, pero normal según el famoso especialista. 2 .8 S o l u c i o n e s en s e r ie s Se retom a ahora la ecuación lineal homogénea general de segundo orden L [ y ] - r ( 0 ^ + Q (t)% + R (t)y - o 0) con P( t ) diferente de cero en el intervalo a < t < 0. En la Sección 2.1 se mostró que toda solución y (í) de (1) puede escribirse en la form a y ( t ) = C | ^ , ( 0 + c2^ 2( 0 » donde y i(0 y y 2(0 son d ° s soluciones linealmente independientes de (1). Así pues, el proble­ m a de hallar todas las soluciones de (1) se reduce al problem a de encontrar solamente dos soluciones. En la Sección 2.2 se trató el caso especial donde P, Q y R son constan­ tes. El siguiente caso más simple es cuando P(t), Q( t ) y R{t) son polinomios en t. Por lo tanto, la form a de la ecuación diferencial indica que se trata de una solución polinomial y ( t ) de (1). Si y( t ) es un polinomio en /, entonces las tres funciones P(t)y"(t), Q(t)y'(t) y R(t )y( t ) son tam bién polinomios en t. Así pues, es posible determinar en principio una solución p o lin o m ial^(0 de (1), igualando a cero la sum a de los coeficien­ tes de las potencias iguales de t en la expresión L [y t . En el siguiente ejemplo se ilustra el m étodo. Ej e m p l o 1 Encontrar dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (2 ) S o l u c i ó n . Se tratará de hallar dos soluciones polinomiales de (2). A hora bien, no es evidente de antem ano cuál deba ser el grado de las soluciones polinomiales de (2).
    • 182 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ni siquiera es claro que pueda resolverse el problem a con un polinomio de grado finito. Por ello se propone y { t ) = a0+ a xt + a2t 2+ ... = ' Z ant n. n » 0 Derivando dy 00 - j - =a¡ + 2 a 2/ + 3 a 3t 2 + ... = Z dt "¿V" 1 n -0 = 2a2 + 6a3t + ... = Z n ( n - ) a„[n 2> n—0 de donde y( t) es solución de (2) si ¿ |> ](')= 2 « ( « - 1 ) ^ t ' * ~ 2- 2 / Z /t — 0 = I n nant n~ [ - 2 f /t «O n(rt - )al1rn~2 —2 f —0 v " /»— o na„ / - - 2 f n — 0 a,t*-0. (3) /«««O El paso siguiente es escribir los térm inos de la prim era sum atoria en (3) de modo que el exponente del térm ino general sea n y no n - 2. Esto se hace sum ando 2 a las n en la sum atoria, y restando 2 al límite inferior, es decir, Z n ( n - ) a nt n' 2 = Z ( n + 2 )(n n— 0 n■ - 2 » + )a„ +2t ñ. (Esto se puede com probar escribiendo los primeros térm inos de cada una de las dos sum atorias. Una dem ostración más rigurosa es hacer m = n - 2. C uando n es cero, m es - 2 , y cuando n es infinito, m es también infinito. Por lo tanto, Z n ( n - ) a n‘ n 2= n—0 2 m » (m + 2)(m + )am+2t m, — 2 y dado que m es una variable ficticia o m uda, se puede sustituir por n. Más aún, obsér­ vese que la contribución de esta sum a desde n = - 2 y n - -1 es cero, ya que el factor (n + )(n + 1) es igual a cero en am bos casos. Por lo tanto, 2 n— 0 n { n - ) a nt H~ 2= Z {n + 2 ) ( n + ) a n+2t n /T— 0 y puede escribirse (3) en la form a | n «0 (* + 2 ) ( * + l ) W - 2 f /» —0 na./"-2 f (4 ) /«“ 0 Igualando a cero la suma de los coeficientes de las potencias iguales de t en (4) se obtiene (n + 2 ) ( n + ) a n +2- 2 n a H- 2 a „ = 0
    • 183 2.8 • Soluciones en series de m odo que = = a" +1 (n + 2)(n + 1) n + 2' (C, U La ecuación (5) es una fórm ula de recurrencia para los coeficientes a0, , a2, a3, El coeficiente a„ determ ina al coeficiente a„ +2. Así pues, a0 determ ina a2 con la rela­ ción a2 = 2a0/ 2 = a0 a2, a su vez, determ ina cr4 mediante la relación 2a2(2 + 2) = í7q/2; y así sucesivamente. De m anera similar, a { determ ina a3 por medio de la relación a3 = 2ax/{2 + l) = 2ax/2> a 3, a su vez, determ ina a5 por la relación a5 = 2 aj /(3 + 2) = 4fl|/3 * 5; y así sucesivamente. Por lo tanto, todos los coeficientes que­ dan determ inados de m anera única, una vez que se asignen valores para a0 y a¡. Los valores de a0 y a, son com pletam ente arbitrarios. Sin em bargo, eso era de esperar, ya que si y ( t ) = a0 + a lt + a2t 2+ ... entonces los valores de y y y ' en t = 0 son a0 y , respectivamente. Así pues, los coe­ ficientes a0 y serán arbitrarios hasta el m om ento en que se especifiquen condiciones iniciales para y. P ara encontrar dos soluciones de (2), se eligen dos valores diferentes para a0 y a ¡ . Las elecciones más sencillas son (i) a0 = 1, a¡ = 0, y (ii) a0 = 0 y a¡ = 1. (i) a0= 1, a¡=0. En este caso todos los coeficientes impares a¡, a3, a5, . . . son iguales a cero, ya que a3 = 2a¡/3 = 0, a5 = 2a3/5 = 0, etcétera. Los coeficientes pares se determinan a par­ tir de las relaciones y así sucesivamente. Procediendo por inducción, se encuentra que Ü 2n 1 ^1 2*3' - - n ni' Por lo tanto, y l ( í ) - + t 2+ ^ -e 1 es una solución de (2). (ii) tfo * 0» En este caso, todos los coeficientes pares son iguales a cero, y los coeficientes impares se determ inan a partir de las relaciones ü3 _ 2a _ 2 3 3’ °s _ 2a3 _ 2 2 5 5 3’ ° 7= 2ai 2 2 2 7 “ 7 5 3’ y así sucesivamente. Procediendo por inducción, se encuentra que
    • CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Asi pues, se tiene que . , 2 /3 , 22/ 5 , V ^ (0 = < + 1 - + 3 ^ + - = 2 2nt 2ñ +l 1 3.5 . : . (2 n + I) n —0 es una segunda solución de (2). Obsérvese ahora q u e ^ íO y y 2(0 son polinomios de grado infinito, a pesar de que los coeficientes P(t) = 1, Q(t) = - 2 t y R(t) = - 2 son polinomios de grado finito. Este tipo de polinom ios se conoce com o series de potencias. Antes de continuar se repa­ sarán, brevem ente, algunas de las propiedades de las series de potencias. 1. Una serie infinita de la form a y { t ) = aQ+ a x{ t - t Q + a2{ t - t Q + . . . = ^ a n{ t - t Q ) f )n /i — 0 (6) se conoce com o serie de potencias alrededor de t = t0. 2. Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia. Es decir, existe un número p no negativo tal que la serie infinita (6) converge para | / — /01 < p y diverge para | / — /01 > p . El núm ero p se denom ina radio de conver­ gencia de la serie de potencias. 3. La serie de potencias (6) puede ser derivada o integrada térm ino por térm ino, y la serie resultante tiene el mismo intervalo de convergencia. 4. El m étodo más sencillo (si es que es aplicable) para determ inar el intervalo de convergencia de la serie de potencias (6) es el criterio de Cauchy de la razón. Supóngase que el valor absoluto de an+/an tiende a un límite X cuando n tiende a infinito. Entonces, la serie de potencias (6) converge para t - /0| < 1/X y diverge para t - t0 > 1/X. o o o o 5. El producto de dos series de potencias ^L¿a„(t - t0)n y ]C bn(t - /0)" da n =0 n =0 por resultado una serie de potencias de la form a n— 0 - t0)n, con c„ = atíbn + a xbn- + . . . + anb0. El cociente a n + a ,t + a ,t2+ ... ¿ 0 + b^t + b^t2 + . . . > de dos series de potencias es también una serie de potencias, para toda b0 ^ 0. 6. M uchas de las funciones f ( t ) que surgen en las aplicaciones pueden desarro­ llarse en series de potencias, es decir, es posible encontrar coeficientes a0, a{, a2, . . . tales que 00 f ( t ) = a0+ a ( t - t 0) + a2( t - t 0)2+ ... = 2 'o)”(7) n» 0 Se dice que estas funciones son analíticas en t = t0, y la serie (7) se denomi­ na serie de Taylor de /a lre d e d o r de t - tQ. Es posible dem ostrar fácilmente que si / a d m i te un desarrollo tal, entonces necesariamente an = f {n)(to)/nl, donde f (n t ) = d n ( t ) / d t n. f
    • 185 2.8 • Soluciones en series 7. El intervalo de convergencia de la serie de Taylor de una función/( /) alrede­ dor de t0, puede determinarse directamente por medio del criterio de la razón de Cauchy y otros m étodos similares, o bien, indirectamente por el siguiente teorem a de análisis complejo. TEOREMA 6. Supóngase que la varióle t toma valores complejos, y sea Zq el p u n to más cercano a t0 para el cual no existe f o alguna de sus derivadas. Calcúlese en el plano complejo la distancia p entre t0 y Zq . Entonces la serie de Taylor de f alrededor de t0 converge para | / - /01 < p y diverge para U -to > P- C om o ejemplo del Teorem a 6, considérese la función f ( t ) = 1/(1 + t 2). La serie de Taylor de / alrededor de / = 0 es — = i - / 2+ í4 - í 6+ i+ f2 ..., y dicha serie tiene un radio de convergencia igual a 1. Aunque la función (1 + t 2)~l está definida para t real, tiende a infinito cuando t = ±/, y la distancia de cada uno de estos puntos en relación con el origen es igual a 1. Una segunda aplicación del Teorem a 6 consiste en que el radio de convergencia de la serie de Taylor alrededor de t = 0, del cociente de dos polinomios a(t) y b(t), es el valor del m enor de los ceros de b{t). Cabe m encionar que no fue realmente necesario suponer que eran polinomios las funciones P(t), Q(t) y R(t) en (1). El m étodo que se usa para resolver el Ejemplo 1 debe poderse aplicar tam bién a la ecuación diferencial más general L i y ] “ p ( ' ) ^ í + <2 ( ') % + R 0 ) y = o donde P(t), Q(t) y R(t) son series de potencias alrededor de t0. (Por supuesto que para este caso, las operaciones algebraicas son más complicadas.) Si P (t)= P o + P (‘ - t o ) + R ( t ) = r0+ r l ( t - t y •••> 0)+ ... £?(') = <7o+ <7i('-'o)+ •••. ..., y(t) - a0 + a x(t - t0) + entonces L [y](t) será la suma de tres series de poten­ cias alrededor de t = t0. Por lo tanto, será posible encontrar una fórm ula de recurren­ cia para los coeficientes an igualando a cero la sum a de los coeficientes de potencias iguales en la expresión L[y{t). Este es el contenido del siguiente teorem a, el cual se enunciará sin dem ostración. ) TEOREMA 7. Supóngase que las funciones Q(t)/P(t) y R (t )/P(t tienen series de Taylor convergentes alrededor de t = t0 para t - /0| < P - Entonces toda solución y(t) de la ecuación diferencial d 2y dy P O ) - ¿ + Q ( ‘) % + R ( ‘) y ~ o (8)
    • 186 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN es analítica en t = t0, y el radio de convergencia de la serie de Taylor alrede­ dor de t = t0 es como mí ni mo p . Los coeficientes a2, ait . . . en la serie de Taylor y { t ) = aQ+ a f t - t 0) + a2( t - t0)2 + ... (9) se determinan sustituyendo las series (9) en la ecuación diferencial (8) e igua­ lando a cero la suma de los coeficientes de potencias iguales de t en la expre­ sión resultante. O b s e r v a c i ó n . El intervalo de convergencia del desarrollo la serie de Taylor de cual­ quier solución y (t) de (8) está determ inado, usualm ente, por el intervalo de convergen­ cia de las series de potencias Q(t ) /P( t) y R(t )/ P( t) , más que por los intervalos de con­ vergencia de las series de potencias P(t), Q(t) y R(t). Esto se debe a que, siempre que se examina la cuestión de existencia y unicidad, la ecuación (8) debe estar expresada en la form a estándar. Ejemplo 2 E ncontrar dos soluciones linealmente independientes de ( 10) (b) Hallar la solución y(t) de (10) que satisface las condiciones iniciales/(O) = 2, /( O ) = 3. So l u c ió n . (a) La m anera equivocada de resolver este problem a es desarrollar la función 3 //(l + t 2) y 1/(1 + t 2) en series de potencias alrededor de t = 0. La mane­ ra correcta es m ultiplicar por 1 + t 2 am bos lados de (10) para obtener la ecuación equivalente d 2y dy L [ y ] = ( + t )— + 3 t— +y=0. Esto se hace debido a que el álgebra resulta mucho más simple cuando son polinomios los coeficientes de la ecuación diferencial (8), que cuando son se­ ries de potencias. Al hacer y(t) = Y l a nt nt se calcula O O 00 L [ r ] ( ( ) - ( I + ' 2) 00 00 * 2 2 « ( « - l K < " - 2 + 3< 2 00 n a . t ' - ' + 2 a,!' 00 00 (« + 2 ) ( f l + l K + I/" + 2 {n + l f antn-
    • 187 2.8 • Soluciones en series Igualando a cero la suma de los coeficientes de potencias iguales de t se obtie­ ne (n + 2)(n + l)an +2 + (n + 1)2an = 0. Por lo tanto, ( n + ) 2a„ 0,1+ 2 (ai.+ (n + 2)(n + 1) , i|X 1K n+2 ' { ’ La ecuación (11) es una fórmula de recurrencia para los coeficientes a2, a^, . . . en términos de a0 y a ¡ . Para encontrar dos soluciones linealmente inde­ pendientes de (10), se eligen los dos casos más sencillos (i) a0 = 1, = 0 y (ii) a0 = 0, o, = 1 (i) a0= h a¡=0. En este caso, todos los coeficientes impares son iguales a cero, ya que a3 = —2a¡/3 = 0, a5 = -Aa^/5 = 0, etcétera. Los coeficientes pares se determi­ nan a partir de las relaciones Ü1 2 2’ 3a2 _ 1 -3 4 2 -4 ’ °4 °6 _ _ ^ 4 _ _ 1-3-5 6 2-4-6 y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva se ve que “2" * ^ 2 - 4 - --2 n ^ ^ 2"n ASÍpUeS' .2 | .3 I -3- • • (2n — i) 2 ' . ( ' ) = l - y + y ^ ' 4+ - = E ( - > ) --------2^1--------' 2" n=0 (12) es una solución de (10). La razón del térm ino (n + l)-ésimo al término nésimo de y x(t) es 1 - 3 • • • (2/2 — )(2n + ) t 2n +2 2nn ~{2n+)t2 2n + x( n + 1)! 1-3-• • ( 2 n - l ) t 2n 2(n+) y el valor absoluto de esta cantidad tiende a t 2 cuando n tiende a infinito. Por lo tanto, a partir del criterio de Cauchy de la razón, la serie infinita (12) converge para t ( < 1 y diverge para |/ | > 1 . < = 0, 30 (ii) a¡= 1. En este caso, todos los coeficientes pares son iguales a cero y los coeficientes impares están determ inados por las relaciones. _ "3 2a, 3 j J. _ “i 4a) _ 2 - 4 T _ 3 -5 ’ “7~ 2-4-6 3 -5 -7 ’ 7 y así sucesivamente. Por inducción se encuentra que a2n+l~( 0 2-4- • • 2n 3 -5 ---(2 /i+ l) ( - O 'Z W 3 -5 ---(2 /i+ l) Por consiguiente, 2-4 < ^ n »0 ( - )n2nn v ' (,3)
    • 188 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN es una segunda solución de (10) y puede verificarse fácilmente que esta solución tam ­ bién converge para |f | < 1 y diverge para |f | > 1. Esto, por supuesto, no es sorprendente, ya que el desarrollo en series de Taylor alrede­ dor de t = 0 de las funciones 3 f/(l + t 2) y 1/(1 + t 2) converge solamente para u i < i. (b) La solucióny x(t) satisface las condiciones iniciales>>(0) = 1 ,^ (0) = 0, mien­ tras q u e > 2(0 satisface las condiciones iniciales .y(O) = 0, .y'(0) = 1. P or lo tan to , y( t) = 2 y ,(0 + 3^2(0- Ej e m p l o 3 Resolver el problem a de valor inicial i M “ ^ + ' 2| r + 2 9 '“ 0i S o l u c i ó n . Al hacer y ( t ) = l U a nt n n- 0 '( O ) ” 1- / ( 0 ) - 0 . se calcula ¿ M Í O » 2 n{n — )aHt H 2+ t2 2 naHt n~ x+ 2t 2 aH * ~ t «■0 /i “ 0 #i»0 = 2 n ( n - ) a ñt H~2+ 2 «■O - nant n* x+ 2 2 a**”* 1 /i" * 0 /»“ o 2 n ( / i - l ) a „ í ”- 2+ f (» + 2 )a ,r* + l. /i“ 0 «“ 0 El siguiente paso es escribir la prim era sum atoria de m odo que el exponente del término general sea n + 1 en vez de n - 2. Esto se logra sum ando 3 a las n de la sumatoria, y disminuyendo el límite inferior en 3; es decir: 2 «■0 ( '• + 3 ) ( n + 2 ) W -1 « “ —3 oo 2 (/. + 3 ) ( n + 2 ) < W +l. «“ - I Por lo tanto, ¿ M (0 - 2 * --1 (» + 3)(n + 2)a„+,r"+l + 2 (« + 2 K ' ’*' «— 0 oo =2a¡+ 2 ('>+3)(n+2)<w”'fl+ «*0 (»+2)«.'"' 1 «■O Al igualar a cero las sumas de los coeficientes de las potencias iguales de t se obtiene 2a2 = 0, y (n + 3)(n + 2)an +i + (n + 2)an = 0; n = 0, 1, 2, . . . Por lo tanto, a2 = 0, y an+3= - ; n > 0. (14) La fórm ula de recurrencia (14) determ ina a en térm inos de aQ a fl4,e n términos de f l,;a f f 5 en términos de a 2, y así sucesivamente. Dado que a2 = 0, entonces a5t a% a1I( ,
    • 189 2.8 • Soluciones en series . . . son iguales a cero, independientemente de los valores de aQ y a . Para cumplir con las condiciones iniciales, se tom a a0 = 1 y crj = 0. Entonces a partir de (14) cr4, cr7, cr10, . . . son iguales a cero, mientras que a = _ 3 = _ I 3 a = - — = — 3’ 6 6 a = - — = 3 -6 ’ 9 9 1 3-6-9 y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva, resulta que (-ir Ü3n (- ir (-o " 3 -6 * * * 3/i 3" 1 •2• - • n 3 V ' P or lo tanto, 3 . /6 3 3-6 3-6 -9 '*• n »0 3V Según el Teorema 7, estas series convergen para toda /, ya que las series de potencias t 2 y 2/ convergen obviam ente para toda /. (Este hecho puede verificarse también más directo usando el criterio de Cauchy de la razón). Ej e m p l o 4 Resolver el siguiente problem a de valor inicial ¿ [ , ] = ( / 2- 2 / ) ^ + 5 ( / - l ) ^ + 3 y = 0; /(l)-3 . (15) S o l u c i ó n . Dado que las condiciones iniciales están dadas para / = 1, los coeficien­ tes de la ecuación diferencial (15) se expresan com o polinomios en (/ - 1) y entonces se h allaráy{t) como una serie de potencias alrededor de t = 1. P ara ello, obsérvese que r2 - 2 r = r ( r - 2 ) = [ ( r - l ) + l ] [ ( r - l ) - l ] = ( r - l ) J - I . P or lo tan to , la ecuación diferencial (15) puede escribirse en la form a t k H ( ' - l ) 2- l ] ^ + 5 ( f - l ) f + 3 , = 0 . co Haciendo y( t) = 1 2 a„(t - 1)", se calcula n =0 ¿ | > ] ( 0 = [ ( ' - l ) 2- l ] 2 n ( n - ) a n( t - ) n~2 n —0 + 5 ( / - l ) 2 /Iúr/i(/ — l) " ~ 1+ 3 2 n” 0 = - 2 an( t - 1)'* n —0 ' » ( ' » - O" -2 n —0 + 2 /i —0 = ~ 2 n —0 n ( n - ) a ¿ t - ) n+ 2 (5'* + 3 K ( / ~ l)" n“0 ( 'i + 2)('»+ 1 K + 2( / - i ),,+ 2 «"0 ( n 2 + 4n + 3)am - 1)". (t
    • 190 CAPITULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Igualando a cero las sumas de los coeficientes de potencias iguales de t, se obtiene ~(n + 2)(n +1)an +2 + ( n2 + 4n + ?> )an = 0, de m odo que n 2+ 4n + 3 an +2= (/7 + 2)(/7 + 1 ) ; n+3 /7 + Z ^ ^ 'I > 0 - ( 16) Para satisfacer las condiciones iniciales, se tom a a0 = 7 y o, = 3 . Entonces, a partir de (16) _ 3 3 Ü2~ 2 a° ~ 2 ’ 4 4 , _ 5 _ 5 - 3 ^ ° 4'~ 4 fl2“ 4-2 ’ _ 6 6-4 , a3 a5 3 al ^ ’ 5^ 5.3 7 7-5-3 ú'6 _ 6 ° 4~ 6-4-2 8 8-6-4 , 7 a5 ’ 7 -5-3 y así sucesivamente. Procediendo dem anera inductiva, se encuentra que 3 -5 -• • (2/7+1) a 2n = ^ r - Á---- 77T “ ’7 2-4- • • (2/7) 4 -6 -•• (2/7 + 2) a 2 + i = T-7-7 , , 'i"V3 , 3-5- • • (2/7+ 1) y (p a ra /7 > l) Por lo tanto, r (l) = 7 + 3 ( / - l ) + | - 7 ( / - l ) 2+ j - 3 ( l - l ) 3+ . . . ^ 3-5- • • ( 2 / 7+ 1 )(/—1)2 /T ~ 2/7! =7 +7 V v ■ n—l E je m p lo - + 3( / - l ) v ^ 2 /t ( / 7+ 1 ) ! ( / - 1)2,i + 1 + 3 V — i--—e ----- n *• l 3 -5 -•• (2/7+1) v 7 5 Resolver el problema de valor inicial L[y] = ( - t ) ^ + ^ + ( - t ) y = 0-, y ( 0 ) = l, OO SOLUCIÓN. Haciendo y (t) = 1 2 a nt n , n=0 2 « (h - O /i*=0 +2 n = 2 naH n t v 2 /i = 0 « (/i- 1 K /" -2 - /I ” 0 / t ** 0 '1' ' + (1-0 2 V" «*0 + 2 se calcula 2 /I= 0 « - . / * - '+ 2 /1 a* 0 v " - f /i = 0 = /12 '. («+2)(/7+ 1)^ +2^ - n2 0 n ( n - 2 ) a ñt" - 1 a*1 = / ( 0 ) = 1.
    • 191 2.8 • Soluciones en series + 2 ant n ~ 2 an*H+ = 2 (« + 2 )(/i+ 1 )^ + 2^ - 2 ( n + ) ( n - ) a n+xt n n=Q n=0 + 2 °„ r- 2 /i=»0 /i = 1 —2 a2 + a l + a0 + 2 { ( n + V { ^ + ^ ) a n +2- { n + ) { n - ) a n +l + an - a n_ l } t n. n= Igualando a cero los coeficientes de cada una de las potencias se obtiene a i + ao — l y ( / i + l ) ( w - l ) an +l - a n + an_ i an +2= ---------------------- 1 (n + 2)( n+ ) „> ]. 17) Para satisfacer las condiciones iniciales se tom a aQ = 1 y a { = 1. Entonces a partir de (17) — a |+ a 2- - l , o3- - 8a 4- a 3 + a 2 ° 5= 20 -0 , i = 60 ’ a4- 3 a 3 — a 2 + a, I5as - a4+ a3 ° 6= i - 30 j 360 y así sucesivamente. Sin em bargo, no es posible hallar una fórmula general para los coeficientes an, como en los ejemplos anteriores. (Ello se debe a que el coeficiente an +2 depende de los valores de an+ ,, an y an- , mientras que en los ejemplos anteriores el coeficiente an +2 dependía únicamente de uno de sus antecesores.) Sin em bargo, el pro­ blema no es tan serio, ya que pueden encontrarse los coeficientes an fácil y rápido con la ayuda de una com putadora digital. A continuación, se dan ejemplos de programas A PL y F ortran para calcular los coeficientes a2, en términos de a0 y , y así calcular en cualquier punto t la solución “ aproxim ada” y ( t ) ^ a 0+ a it + . . . + a nt n en cualquier punto t se dan a continuación. Estos program as tienen distintos valores para a0 y a¡, de modo que pueden emplearse también para resolver el problema de valor inicial más general ( - t ) ^ + ^ + { - t ) y = Q; y ( 0) = ao, / ( 0 ) = a,. Programa en APL V S E R IE S [1] A «— NpO [2] A[1]«— A1 [3] A[2]«— — (A1 + A 0 ) 2
    • 192 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN [4] A[3]<— (A O — A 1 ) + 6 [5] S U M « - A 0 + (A1 X T ) + (A[2J X T * 2) + A[3] X T * 3 [6] K<— 2 [7] A [ K + 2 M ( A [ K - 1 ] - A [ K ] ) + ( K - 1 ) X ( K + 1 ) X A [ K + 1]) + (K + 1 ) X [8 ] S U M < — S U M + A [K + 2 ] X T * K + 2 [9] K<— K + 1 K + 2 [10] -*7 X tK < N — 2 [11] SUM V Programa en Fortran D I M E N S I O N A (2 0 0 ) R E A D (5, 10) A 0 , A (1 ), T, N 10 F O R M A T (3 F15 .8 , 15) A (2 )= — 0 .5 *(A (1 ) + A 0 ) A (3 ) = (A 0 — A(1 ) ) / 2 . * 3 . SU M = A0 + A (1 )* T + A (2 )* T * *2 + A (3 )*T * *3 NA = N - 2 D O 20 K = 2 , N A A ( K + 2 ) = ( A ( K — 1) — A ( K ) + (K + 1 . ) * (K — 1.) * A ( K + 1 ) ) / ( K + 1 . ) * ( K + 2.) S U M = S U M + A ( K + 2 ) * T * * ( K + 2) 20 C O N T IN U E W R I T E (6 ,3 0 ) N .T , S U M 30 F O R M A T (1 H 1 , ‘F O R N = ', 13, AND T = F 1 0 .4 /1 H, T H E S U M I S F 2 0 .9 ) C A L L E X IT END Si en los program as A0 = 1,A1 = 1, (se tiene que A (l) = 1 para el program a en For­ tran), T = 0.5 y N = 20 resulta , ( i ) = ao + a , ( i ) + ... + a2„ ( i ) 2° “ 1-26104174. Esto es correcto hasta ocho cifras decimales, ya que cualquier valor m ayor que A con­ duce al mismo valor. Ej e r c i c io s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. ty' + y = 0 (2 + t2)y* —ty' —3y = 0 1. y" + 3. y " —ty = 0 4. y " —t3y = 0 2.
    • 193 2.8 • Soluciones en series Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial 5. t ( 2 - t ) y " - 6 ( t - l)y'-4 y= 0 ; 6. y " + t 2y = 0; y(0) = 2, / ( O ) - - 1 7. y"-py = 0; y (0) = 0, y'(fi) ~ — 2 8. y " + ( t 2 + 2 t + ) y ' — (4 + 4t) y 9. y ( l ) - I, /( 1 ) = 0 y ( - 1) = 0, / ( - 1 )= 1 La ecuación y " - 2y t ' + Xy = 0, con X constante, se conoce como ecuación dife­ rencial de Hermite y se presenta en muchas áreas de lasmatem áticas y de la física. (a) Obtenga dos soluciones linealmente independientes para la ecuación de Hermite. (b) Demuestre que la ecuación mencionada tiene una solución polinomial de gra­ do n si X = 2/7. Si el polinomio se norm aliza adecuadam ente, es decir, si se multiplica por una constante apropiada, entonces se conoce como polinomio de Hermite H n(t). 10. La ecuación diferencial (1 - t 2) y ” - 2ty' + a (a + 1)y = 0, con a constante, es conocida como ecuación diferencial de Legendre y se presenta en muchas áreas de las m atem áticas y de la física. (a) Encuentre dos soluciones linealmente independientes para la ecuación de Legendre. (b) M uestre que la ecuación diferencial de Legendre tiene una solución polinomial de grado n si a = n. (c) Se define al polinomio de Legendre Pn(t) como la solución polinomial de la ecuación de Legendre con a = n que satisface Pn{ 1) = 1. Encuentre P0(t), P ¿ 0 . p ¿ 0 y P 3 (0* 11. A la ecuación (1 - t 2) y " — ty' + oc2 ( )= 0, con a constante, se le conoce como y la ecuación diferencial de Chebyshev (o Tchebycheff) y se presenta en muchas áreas de las matem áticas y de la física. (a) Halle dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Chebyshev. (b) M uestre que la ecuación de Chebyshev tiene una solución polinomial de grado n si a = n. Estos polinomios, con una normalización adecuada, se llaman poli­ nomi os de Chebyshev. 12. (a) O btenga dos soluciones linealmente independientes de y " + t 3 ' + 3 t 2 = 0. y y (b) Halle los prim eros cinco términos del desarrollo en series de Taylor alrededor de t = 0 de la solución y(t) del siguiente problem a de valor inicial y" + Py' + 3t2 = e‘; y y ( 0) = 0, / ( 0 ) = 0. En cada uno de los Problem as 13 a 17, (a) obtenga los primeros cinco términos del 00 desarrollo en serie de Taylor '12ant n para la solución y{t) del problem a de valor inin =0 cial dado, (b) Redacte un program a para que una com putadora halle los primeros N + 1 coeficientes a0, a {, . . . , aNf y evalúe el polinomio a0^+ a {t + . . . + aNt N. P or últirpo, obtenga una aproxim ación de y(Vi) calculando ^ an(Vi)n n=0
    • 194 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 13. (1 — t ) y " + t y' + y = 0; 14. y " + y ' + t y = 0; y ( 0 ) = I, / ( 0 ) = 0 .v(0) = - 1, y ' ( 0 ) = 2 15. y " + ty' + e ‘y = * 0; ,y(0)= 1, y ( 0 ) = 0 16. y " + y ' + e ‘y = : 0 ; .y(0) = 0 , >>'(())= —1 17. y " + y ' + e ~ ‘y = 0 - , y ( 0 ) - 3 , y'(0) = 5 O b s e r v a c i ó n . La instrucción !N en A PL indica a la com putadora que calcule el factorial N!. 2.8.1 Puntos singulares — Ecuaciones de Euler Se dice que la ecuación diferencial ( 1) es singular en / = t0 si P(t 0) = 0. Las soluciones de (1) con frecuencia, se hacen muy grandes, o bien, oscilan muy rápidam ente en un entorno del punto singular tQ. Así que las soluciones de (1) pueden incluso no ser continuas, ni mucho menos analíticas en t0, de modo que el método de solución en series de potencias, por lo general no se podrá aplicar. El objetivo es encontrar una clase de ecuaciones singulares que se pueda resolver para t cercano a t0 . Para ello, se iniciará con el estudio de una ecuación muy sencilla conocida como la ecuación de Euler, la cual, aunque es singular, puede resolverse fácil­ mente. Después se utilizará la ecuación de Euler para introducir una clase más general de ecuaciones singulares que tam bién es posible resolver en la vecindad de un punto singular. D e f in ic ió n . La ecuación diferencial (2) donde a y son constantes, se conoce como la ecuación de Euler. Para simplificar el problem a se supondrá inicialmente que / > 0. Obsérvese que tanto t 2y " com o t y ’ son m últiplos de t r si y = t r. Esto sugiere que se utilice a y = t r como solución de (2). Calculando
    • 195 2.8 • Soluciones en series se ve que L [ t r] = r ( r — ) t r + a r t r + f3tr = [r{r - ) + < + f } ] t r xr (3) = F(r)tr donde F ( r ) = r ( r - ) + ar + fi (4) = r 2 + ( a — ) r + p. Por lo tanto y - t r es una solución de (2) si y sólo si r es solución de la ecuación cua­ drática (5) r 2 + ( a - l ) r + /? = 0. Las soluciones r x y r2 de (5) son r t = - { [ { a - ) + ] [ { a - ) 2- 4 p = - í[(a - ! ) - / ( « - y ~ 4 P Al igual que en el caso de coeficientes constantes, se deben examinar por separado los casos donde (a - l)2 - 4p es positivo, negativo o igual a cero. C a s o 1 . (<* - i)2 - 4/3 > 0. En este caso la ecuación (5) tiene dos raíces reales y dis­ tintas, y por ende la ecuación (2) tiene dos soluciones de la forma y¡(t) = t r' y y 2(t) = t r'. Por supuesto que t r' y t r- son linealmente independientes si # r2. Así que la solu­ ción general de (2) (para / > 0) es y { t ) = c xt ' x+ c2t r-. Ejem plo 1 Encontrar la solución general de L [ y ] = t 2^ - + 4 t ^ f + 2 y = 0, dt2 dt SOLUCIÓN. Al sustituir y = t r en (6) se obtiene L [ t r] = r ( r - ) t r + 4rtr + 2tr — [r(r — ) + 4r + 2]tr = ( r 2+ 3 r + 2 ) t r = ( r + l ) ( r + 2 )/' Por lo tan to , = - , r2 = - 2 y , ( 0 = < y - + c2r ’ = ^ + í f es la solución general de (6). t > 0. (6)
    • 196 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN C A S O 2. (a - l)2 - 4/3 = 0. En este caso r, = r-, 1 —a y se tiene solam ente una solución y = / r' de (2). Es posible encontrar una segunda solución por el método de reducción de orden (Ejercicio 11). Sin em bargo se presentará aquí otro método para obtener y 2, el cual se generalizará explícitamente en la Sección 2.8.3. Obsérvese que en el caso de raíces iguales F(r) = (r - r {)2. Por lo tanto, L [ l ' ) = ( r - r , ) 2l'. (7) Al derivar parcialmente am bos lados de (7) con respecto a r, se obtiene é ‘; = Tr[(r - ^ ‘ Dado que d ( t r) / d r = t r nt , se ve que L [ r rln r ] = (r — rl )2t r n t + 2(r — r }) t r. (8) El lado derecho de (8) se anula para r = r¡. Por lo tanto, L [ r r,ln r] = 0 lo cual implica que y 2(0 = í r' ln t es una segunda solución de (2). Además, dado que t r' y t r' ln t son linealmente independientes, se tiene entonces que la solución general de (2) en el caso de raíces iguales es y ( í ) = ( c l + c2ln ( ) r r, EJEMPLO 2 <>0. E ncontrar la solución general de = + 9 y = 0, (> 0 . S o l u c i ó n . AI sustituir y = t r en (9) se obtiene que L [ t r] = r ( r — ) t r — 5rtr + 9t r = [r(r-)-5 r+ 9 ]tr = (r2- 6 r + 9 ) t r = ( r - 3 ) 2< r. La ecuación (r - 3)2 = 0 tiene una raíz doble r - 3. Por lo tanto, y ,(0 - v2( 0 = ' 3In t y la solución general de (9) es y (r ) = (c, + c2l n / ) r 3, /> 0 . (9)
    • 197 2.8 • Soluciones en series C A S O 3. (a - l)2 - 4/3 < O. En este caso r, = X + ip y r2 = X — ip con son raíces com plejas. P or lo tanto, <f>(/) = /x+'>= /Y> = íx(<?ln')''1= /Y'lln' = íA [cos(juln í) + /sen(juln í)] es una solución de (2) con valores complejos. Pero entonces (Sección 2.2.1) >>,(/) = Re{<>(/)} = / A o s (p ln í) c y y 2( t ) = lm{<t>(t)} = t xsen(¡xnt) son dos soluciones reales de (2) linealmente independientes. De modo que la solución general de (2), en el caso de raíces complejas, es y{t) = /A [c,cos(/iln /) + c2sen(juln f )] con X y p dados por (10). Ej e m p l o 3 E ncontrar la solución general de la ecuación L [ y ] — t 2y " —5ty' + 25y = 0, /> 0 . SOLUCIÓN. Sustituyendo y = t r en 11 se obtiene L [ t r] = r{r — ) t r —5rtr + 25tr = [r{r-)-5r+ 25]tr = [r2- 6 r + 2 5 ] t r Las raíces de la ecuación r 2 - 6/- + 25 = 0 son 6 ± /3 6 —100 -------= 3±4/ de m odo que = í 3e (Ui/)4í = í 3e i(41n /) = / 3[cos(41n /) + /sen(41n /)] es una solución de (11) con valores complejos. P or lo tanto, > ,(r) = Re{<>(/)} = r 3 cos(41ní) (11)
    • 198 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN y 2{t ) = Im{<í>(r)} = r 3sen(4ln /) son dos soluciones linealmente independientes de ( l l ) , y la solución general es y { t ) = / 3[c,cos(4ln r) + c->sen(4In /) ] , / > 0. De nuevo se analizará el caso t < 0. Una dificultad es que t r puede no estar defi­ nido si t es negativa. Por ejemplo (—1)'/: es igual a /, que es imaginaria. Una segunda dificultad es que In t no está definido si t es negativa. Aplicando el siguiente cambio de variable se pueden evitar am bos problemas. Se define t= -x, x>0, y sea y = u(x), x > 0. A partir de la regla de la cadena dy _ du dx _ dt dx dt d2 _ y d dtt 2 / du _ _d_ ( dt dx) dx du dx d u dx _ d 2u d x ) dt d x 2 Así, la ecuación (2) puede reescribirse en la forma dhx dx‘ o bien d 2u du . + a x — + (5u = 0, dx2 dx jc > 0 ( 12 ) Sin embargo, la ecuación (12) es exactamente la misma que la ecuación (2) con t susti­ tuida por x y y reem plazada por u. Por lo tanto, la ecuación (12) tiene soluciones de la forma C,JCr ' u(x) = + c2x ri (c, + c2ln Jt).xr' (13) [c,cos(/iln x ) + c £e n (n n x ) ] x x dependiendo de si (a - l)2 - 4/3 es positivo, igual a cero o negativo. Obsérvese ade­ más que JC=-/ = |f| para t negativa. Así, para t negativa, las soluciones de (2) tienen alguna de las formas c .i/p + c z i/r [c, + c2l n | / | ] | / p [c ,c o s(/i.ln |/|) + c2s e n (/x ln |/|)] | / | x
    • 199 2.8 • Soluciones en series O b s e r v a c ió n . La ecuación ( ' “ O 2“ ^ + « ( ' - ' o ) ^ | + 0 > ' = O (14) es tam bién una ecuación de Euler con una singularidad en t = í0, en vez de en / = 0. En este caso se buscan soluciones de la forma (/ - tQ O tra manera de resolver el pro­ )r. blema es reducir la ecuación (14) a la form a (2), con el cambio de variable x = t - t0. Ej e r c i c i o s En los Problem as 1 a 8, halle la solución general de la ecuación dada. 1. t 2y " + 5 t y ' - 5 y = 0 2. 2 t 2y " + Z t y ' - y = 0 3. (/ —)2y ' ' ~ 2(t — ' + 2 y = 0 l)^ 4. t zy " + 3 t v ' + y = 0 5. t 2y ” - t y ’ + y = 0 6. ( t - 2) 1y ” + 5( / - 2) y ' + 4 v = 0 7. t 2y " + t y ' + y = 0 8. t 2y " + 3rv' + 2 y = 0 9. Resuelva el problem a de valor inicial t 2y ” — t y ' — 2 y — Q _y( 1) = 0, en el intervalo 0 < t < 10. Resuelva el problem a de valor inicial t 2y " —3ty' + 4y = 0; >’(1) = 1, y'( 1 )= 0 en el intervalo 0 < t < 11. Use el m étodo de reducción de orden para m ostrar que, en el caso de raíces igua­ les, y 2{t) = t r' ln /. 2 .8 .2 Puntos singulares regulares —el método de Frobenius El objetivo ahora es encontrar una clase de ecuaciones diferenciales singulares que sea más general que la ecuación de Euler o pero que tam bién puedan resolverse con técnicas analíticas. P ara ello se escribe (1) en la form a
    • 200 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Una generalización norm al de (2) es la ecuación ¿Lvl = ^ f + / > ( ') $ + 9(0> = o (3) donde p(t ) y q(t) pueden desarrollarse en series de la form a /> (/) = ~ + Pi + p 2t + P i ‘ 2 + ••• <( t ) = 7 + Í2 + <3 t + Í Í4r 2+ ' •• (4) DEFINICIÓN. Se dice que la ecuación (3) tiene un p un to singular regular en t = 0, si p(t ) y (t) tienen desarrollos en serie del tipo (4). De m anera equiva­ lente, t = 0 es un punto singular regular de (3) si las funciones tp(t) y t 2q ( t ) son analíticas en / = 0. Se dice que la ecuación (3) tiene un punto singular regular en t = íq si las funciones ( t - to)p(t) y (t - to)2q(t) son analíticas en t = t0. Un punto singular de (3) que no es regular se llam a irregular. Ej e m p l o 1 Clasificar los puntos singulares de la ecuación de Bessel de orden v d2 y dt 2 . dy dt donde v es una constante. S o lu c ió n . En este caso P(t) = t 2 se anula en t = 0. Por lo tanto, t =0 esel único punto singular de (5). Al dividir am bos lados de (5) entre t 2 se obtiene dt2 Obsérvese que tanto , , tp{t) = t dt y )r , , . , t2 q{t) = t2 - v 2 son analíticas en / = 0. P or lo tanto, la ecuación de Bessel de orden singular regular en / = 0. Eje m p l o 2 v tiene un punto Clasificar los puntos singulares de la ecuación de Legendre + o ( « + 1)y = 0 (6) donde a es una constante. S o l u c i ó n . Dado que 1 - t 1 se anula para / = 1 y / = - 1 , entonces (6) es singular en / = ±1. Al dividir am bos lados de (6) entre 1 - t 2 resulta
    • 201 2.8 • Soluciones en series Obsérvese que tanto como (t - 1 )2q ( t) = a ( a + 1 ) i j - - í y - - a (a + 1 ) y y y son analíticas en / = 1. De m anera similar, (/ + 1)/?(/) y (t + l )2q(t) son analíticas en t = - 1 . Por lo tanto, t = 1 y t = -1 son puntos singulares regulares de (6). Ej e m p l o 3 M ostrar que / = 0 es un punto singular irregular de la ecuación ' l f £ + 3 £ + 9- = 0. dt2 dt (7) S o l u c i ó n . Al dividir entre t 2 se obtiene d 2y 3 dy 1 d t 2 + t 2 dt + t y °- En este caso, la función < p(o= »(£H no es analítica en / = 0. Por lo tanto, t - 0 es un punto singular irregular de (7). A hora se vuelve a la ecuación L{y] = ^ + p ( t ) % + q(t)y = o (8) donde t = 0 es un punto singular regular. P ara simplificar el problem a, considérese solamente el intervalo t > 0. Multiplicando (8) por t 2 se obtiene la ecuación equivalente Puede decirse que la ecuación (9) se obtuvo de (1) al sum ar potencias mayores de t a los coeficientes a y /3. Ello sugiere que tal vez es posible obtener soluciones de (9) al sum ar térm inos de la form a t r+ / r+2, . . . , a las soluciones t r de (1). Concretamente se tratarán de obtener soluciones de (9) del tipo y(‘ )= 1 n= 0 Ej e m p l o ecuación: 4 = 1 a,f. n —0 E ncontrar dos soluciones linealmente independientes de la siguiente L [y ] = 2 * ~ y + + ty = 0> 0 < /< o o . (10)
    • 202 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN S o lu c ió n , sea y(>)= 2 °o*o- rt —0 Derivando /(/)= /'(/) = 1 2 ( » + ') « / * '" n= 0 ( n + r ) ( n + r - l ) a „ , " +' -2 n=0 entonces L [ y ] = ( ' 2 2 (n + r)(n + r-l)a„/" -1 n = 0 n=0 n =0 2 2 ( n + r ) ( n + r - ) a nt n~' n = 0 + 2 ( n + r ) a „ / " - 1+ n= 0 2 n= 2 = [ 2 r ( r — l ) a 0 + ra0 t r~ l + [2(1 + r ) r a x + (1 + r ) a l] r r O C + 2 [2(n + r ) ( n + r - l ) a „ + (n + r ) o „ + a „ _ 2] » "+' -1 n = 2 AI igualar a cero los coeficientes de cada una de las potencias de t, se obtiene (i) 2 r ( r - l ) a 0 + r a 0 = r(2r - l)fl0 = 0, (ii) 2(r + l)ra , + ( r + l)a , = (r + 1)(2r + l)a , = 0, y (üi) 2(/f + r)(/i + r - )a n + ( n + r ) a n = (/i + r)[2(n + r ) - ] a n = - a n_ 2, n>2. La prim era ecuación determ ina a r ; de hecho implica que r = 0, o bien r = '/2. La segunda ecuación implica, entonces, a, = 0, y la tercera ecuación determ ina a an para n > 2. (i) r = 0. En este caso, la fórm ula de recurrencia (iii) es — a.n —2 a_ = " n{2n — 1) ’ /i 3* 2. Dado que a x - 0, resulta que tocaos los coeficientes impares son iguales a cero. Los coeficientes pares quedan determ inados por las relaciones -a c 2-3 , a4 = u2 _ u0 4-7 “ 2 -4 -3 -7 _ ~ a4 _ 6-11 2 -4 -Ó -3 -7 -11
    • 203 2.8 • Soluciones en series y así sucesivamente. T om ando a0 = 1, se ve que ,2 «4 t" 1- . . . = 1-|- V ------- (-----1-----—Ytln 2 1-3-7 2 V !3 -7 ---(4 « ~ es una solución de (10). Es fácil verificar, si se usa el criterio de Cauchy de la razón, que esta serie converge para toda t. (ii) r = Vi. En este caso la fórm ula de recurrencia (iii) es ~ = a n- 2 _ (n + i)[2 (/i + í ) ~ l] ~ a n - 2 n(2n + 1) ’ w >2. Una vez más todos los coeficientes impares son iguales a cero. Los coeficientes pares quedan determ inados por las relaciones = °2 a 2 -4 -5 -9 ’ , __ ~ ° 2 2-5 ’ ° 4 4-9 6 613 a 2 -4 -6 5 -9 * 1 3 y así sucesivamente. Al hacer a0 = 1, se encuentra que t 2( 0 + •• ' 2 -4 -5 -9 ^ = ' ,/2 1 - 2-5+ ( — l ) " / 2" 2"a7 !5 -9 - • - (4/i + 1) = ,»/2 es una segunda solución de (10) en el intervalo 0 < t < °°. O b s e r v a c i ó n . Si se m ultiplican ambos lados de (10) por t se obtiene 2, ^ + 4 di2 ^ = 0. dt A esta ecuación se le puede considerar como una generalización de la ecuación de Euler La ecuación (11) tiene soluciones de la forma t r, donde 2 r ( r - ) + r = 0. Esta expresión m atem ática equivale a la ecuación (i) que determ inó a r para las solucio­ nes de (10). A continuación, se verá si la técnica expuesta, conocida com o método de FrobeniuSy funciona también para la ecuación más general (9). (En el resto de la sección se supondrá que t > 0). De acuerdo con el supuesto, la ecuación puede escribirse en la forma L[y] = t2 ¡ + t[po + Pd + Pit2+ •• • ] ^ í + [?o + ‘7i' + ‘72'2 + ••■]y = 0^ Hágase O O y i 1) — 2 a n{n+r, con a 0 ¥= 0. n= 0
    • 204 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Derivando / ( ') = 2 ( n + r ) a n, " +' - ' n =0 n= 0 de donde resulta = n 2 (n + r)(n + r - n= 0 l)flní"+ 2 PJ' m = 0 Al realizar la multiplicación y reagrupar térm inos se obtiene que L [ y ] = [ r ( r - ) + p 0r + q0] a 0t r r+ l + {[(! + r ) r + /?0( 1 + /•) + <0] * i + ('P i + 7 + |[ ( « + '•)('* + ' • - 0 + Po(n + r ) + % a n + 2 [{k + r ) p n- k + qñ- k] a t H r + k= 0 + ••• J . Esta expresión puede simplicarse haciendo F ( r ) = r { r - ) + p 0r + q0. (12) Entonces L [ y ] = a o F { r ) t r + [ a xF{ + r ) + {rpx + q x) a ¿ [ t ' +r + ••• + a nF (n + r ) t n+r + j + r ) p „ . k + q n_k] a ^ t n+r Igualando a cero los coeficientes de cada una de las potencias de /, se obtiene que F ( r ) = r ( r - ) + p 0r + q0 = 0 y F(n + r)a„ = - n —l 2 l ( k + r ) p H k + q „ , k] a kt . k=0 (13) n> . (14)
    • 205 2.8 • Soluciones en series A la ecuación (13) se la conoce como ecuación indicia! de (9). Se trata de una ecua­ ción cuadrática en r, y sus raíces determ inan los dos valores posibles r { y r2 de r, para los que puede haber soluciones de (9) de la form a I n =0 <V "+'. Nótese que la ecuación indicial (13) es la ecuación que se obtendría al buscar soluciones del tipo t 2 para la ecuación de Euler. , d 2y , dy La ecuación (14) m uestra que, en general, an depende de r y de todos los coeficien­ tes que le preceden: aQ, a {, . . . , an. Es posible resolver la ecuación recurrentemente para despejar an suponiendo que F{ + r), F( 2 + r), . . . , F ( n + r) son diferentes de cero. Sin em bargo, obsérvese que si F(n + r) = 0 para algún entero positivo n, enton­ ces n + r es una raíz de la ecuación indicial (13). De aquí, se tiene que si (13) tiene dos raíces reales r , , r2 con r { > r2, y r x - r2 no es un núm ero entero, entonces la ecua­ ción (9) tiene dos soluciones de la form a y M = t r' 2 a n( r l ) t n, y 2{t) = t r' 2 a ñ(r2) t n= 0 n —0 y es posible dem ostrar que dichas soluciones convergen en el mismo intervalo, donde convergen tanto tp{t) como t 2q(t). O b s e r v a c i ó n 1 . La notación an{rx) y an(r2) se introdujo para destacar que an que­ da determ inado al elegir r — r ( , o bien r = r2. Ej e m p l o 5 Encontrar la solución general de la ecuación ¿ [> ’] = ‘* í ^ : + 3 ^ + 3 > - = 0. (15) SOLUCIÓN. La ecuación (15) tiene un punto singular regular en / = 0, ya que tanto tp(‘) = l y(t)= 2 y / 2í ( * ) = i f a0* 0. n =0 Derivando y 0 = 2 n =0 {n + r ) a nt n+r 1
    • 206 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN / '( 0 = 2 (n + r ) ( n + r - l ) a nt n+r 2 n =0 entonces H y ) = 4 1 (/i + r) (/i + r - - l ) a # ' +' - 1 / n= 0 oc 00 + 3 2 (n + r ) a „ í”+ r- ' + 3 2 < V "+r /i = 0 /i = o 2 oo = oc [4(n + r ) ( n + r — l) + 3(n + r ) ] a „ t n+r~ l + 2 3 a „ _ l/ " +' - ‘. n = O n= l Igualando a cero las sumas de los coeficientes de potencias iguales de t se obtiene 4 r ( r — 1) + 3r = 4 r 2 —r — r(4r — l) = O (16) y [4(« + r ) ( n + r - l ) + 3(n + r ) ] a „ = ( n + r) [4 (n + r ) - l ] a n = - 3 a n_ ,, n > . (17) La ecuación (16) es la ecuación indicial e implica que r = O, o bien r ='/a. Dado que la diferencia de las raíces no es un núm ero entero, entonces es posible encontrar dos soluciones de (15) de la forma I n = O con a„ determ inada a partir de (17). r - 0. En este caso la fórmula de recurrencia (17) se reduce a a = —3 4ai(/i —1) -h 3/7 Haciendo tf0 = 1 se obtiene _ -3 flt a, 1, a2 2-7 n(4n — 1) 1 2 -7 ’ 3 1.1 i 4 ~ 3 a 3 _ . 3, ______ 1 _ 4-15 2 - 3 - 4 - 7 - 11•15 ’ y en general ( — l ) n3,,~ l Qn~ n ! 7 - l M 5 - - * ( 4 / i - l ) ' Por lo tanto, / V ( —l ) w 3”~' = o « Í7• 11 • 15 • • ■(4/i —I ) (18)
    • 207 2.8 • Soluciones en series es una solución de (15). Además, es fácil notar, usando el criterio de Cauchy de la razón, que >>|(0 converge para toda t. Por lo tanto, y {(t) es una solución analítica de (15). r = Vi. En este caso, la fórm ula de recurrencia (17) se reduce a 1 _ (rt + ¿ ) [ 4 ( / i - $ ) + 3] n(4n + ) ' Haciendo a0 = 1, resulta -3 5 ’ W 2 32 2 -5 -9 ’ ° 3 —33 2• 3-5*9-13 ’ 34 2 -3 - 4 -5 -9 -13*17 Procediendo de manera inductiva se ve que a_ — (-1 )"3 " /H 5 - 9 - 1 3 - - ( 4 /i + l) ' Por lo tanto, (_ 1 )"3 « yÁ,) ' l/4 J o n !5 -9 -13 • - - (4n + 1) es una segunda solución de (15). Además puede dem ostrarse fácilmente, usando el criterio de Cauchy de la razón, que esta solución converge para toda t positiva. Nótese, sin em bargo, que no es diferenciable en t = 0. El m étodo de Frobenius encuentra obstáculos en dos casos diferentes. El primer caso ocurre cuando la ecuación indicial (13) tiene raíces iguales r x = r2. Aquí, puede hallarse solam ente una solución de (9) de la form a y,(‘ ) = ir' 1 «„»” • n —0 En la siguiente sección se dem ostrará que (9) tiene una segunda solución y 2(t) de la forma y 2( t ) = y , 0 ) 1 n r + r-' 2 b„t" y se expondrá cómo calcular los coeficientes bn . El cálculo de las bn es, por lo general, un problem a muy difícil. Sin embargo, cabe señalar que para muchas aplicaciones en física se rechaza la solución y 2(t)> con la explicación de que es singular. Así en muchos casos basta encontrar y x(t) solamente. También es posible hallar una segunda solución y 2(t) por el m étodo de reducción de orden, pero esto pesenta mucha dificultad. El segundo caso ocurre cuando las raíces r {, r2 de la ecuación indicial difieren en un núm ero entero. Supóngase que r x = r2 + N, donde N es un entero positivo. Aquí es posible encontrar una solución de la forma y M => '• I n= 0 “nt
    • 208 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Sin em bargo, puede que no sea posible hallar una segunda solución y 2(t) de la forma * ( ') = ''• 2 v n —0 Esto es porque F(r2 + n) = 0, cuando n = N. Así el prim er miembro de (14) es iV— i 2 [(* + *2) P s - k + 4 s - k a k *= o ° ' aN = - (19) cuando n = N. Esta ecuación no se satisface para ninguna elección de aN, si ¿v — i 2 [( ^ + rl ) P N - k + í! s - k ] a k ^ 0. k= 0 En este caso (Sección 2.8.3), la ecuación (9) tiene una segunda solución de la forma y2 = (t) + 2 V ” n= 0 donde, una vez más, el cálculo de las bn es difícil. Por otro lado, si se anula la sum a en el segundo miembro de (19), entonces es arbitrario, y puede obtenerse una segunda solución del tipo *(0=''* i v n= 0 A continuación se ilustra un caso así con el siguiente ejemplo. Ejem plo ó Encontrar dos soluciones de la ecuación de Bessel de orden t 2^ + t & + ( t 2 - / 4 ) y = 0, 0 < / < oo. Vi (20) S o l u c i ó n . Esta ecuación tiene un punto singular regular en / = 0, ya que tanto tp {t) son analíticas en t — and t 2q (t) = t 2 — - 0. Hágase y(0 = 2 a„tn+r, a0J 0. = H= 0 Derivando / ( ') = 00 2 (n + r ) a nf * r- ' n= 0 y « / '( ') = 2 n= 0 (n + r ) ( n + r — ) a nt n+r~ 2
    • 209 2.8 • Soluciones en series por lo que £ [> > ]= 2 (n + r ) ( n + r - ) a „ t n+r+ f ( « + r ) a nt nJhr n =0 n— 0 + f a ,l"+r* 2- i 1 n= 0 n= 0 = 2 [('* + '')('* + ' ' - l ) + ('* + ' ' ) - i W n— 0 ,, +,'+ 2 a n -2tn +rn —2 Igualando a cero las sumas de los coeficientes de potencias iguales de t, se obtiene ^ ( 0 * 0 = [ ' ( ' ' - l ) + ' ' “ ¿ K = ('-2 - 4)00 = ° / ’(l + r)fli = [(l + r ) r + ( l + r ) - | ] a , = [(1 + r f - ] a x = 0 y F(n + r ) a n = [(n + r f ~ ] a n - - an_ 2, n > 2 (0 (ü) (Ui) La ecuación (i) es la indicial, e implica que r, = Vi, r2 = - V i . r { - V2 :Hágase a0 = 1. La ecuación (ii) exige que a¡ sea igual a cero, y la fórmula de recurrencia (iii) implica que - — - d i n l .— F (n + j) dn — l i* 7 * w> 9 w(/i + 1) ’ Esta ecuación, a su vez, implica que todos los coeficientes impares o3, a5, . . . son igua­ les a cero y que los coeficientes pares están determ inados por las relaciones _ ~ 2-3 _ ~a2_ ° 4 ~ 4-5 ~ _ - a4 _ ° 6 ~ 6-7 ~ °2 - 1_ 1 2-3 3! 1 1 2-3*4-5 ~ 5! -1 _ 2-3-4-5-Ó -7 ~ 1 7! y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva, resulta 2” ( 2 n ) ! ( 2 n + l) P o r lo tanto, es una solución de (20). D icha solución puede escribirse como
    • 210 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN r = - V i : Hágase aQ = 1. Dado que 1 + r2 = Vi tam bién es una raíz de la ecuación indicial, se podría pensar que tal vez haya problem as si se trata de despejar . Sin em bargo, la ecuación (ii) se satisface por sí misma sin im portar qué valor tom e . En lo sucesivo, se tom ará a ¡ = 0. [Un valor de cr¡ diferente de cero daría com o resultado un múltiplo de y x(r).] La fórm ula de recurrencia (iii) tom a la form a „ — n ~ ü n-2 _ ~ Qn - 2 _ ~~ü n-2 ^ j j ( 1 1 ^ — (n -i) - í " " n ( n ~ ') Los coeficientes impares son, una vez más, todos iguales a cero, y los coeficientes pares son °2 __ ~ aQ _ i 2-1 2! a, = 6 ~ a2 _ 1 4-3 4! - aá 1 6-5 6! y así sucesivamente. Procediendo de m anera inductiva, se ve que «2» = (-ir (2 b )! • Por lo tanto, 1 — eos t V es una segunda solución de (20). O b s e r v a c ió n 1 . Si r es una raíz com pleja de la ecuación indicial, entonces y(t) = ‘r 2 “X n= 0 es una solución de (9) con valores com plejos. Es posible verificar fácilmente que para este caso tanto la parte real como la im aginaria d e ^ (/) son soluciones de (9) con valores reales. O b s e r v a c ió n 2 . Si se desea resolver (9) en un intervalo donde t es negativa, enton­ ces es necesario hacer y ( ‘ ) = ‘ V 2 a,r n= 0 La dem ostración es com pletam ente análoga a la indicada para la ecuación de Euler en la Sección 2.8.1, y se deja al lector com o ejercicio.
    • 211 2.8 • Soluciones en series Los resultados obtenidos hasta ahora se resumen en el siguiente teorema: TEOREMA 8. Considérese la ecuación diferencial (9) con t = 0 un punto singular regular. Entonces las f unciones tp(t) y t 2q(t) son analíticas en t = 0, con desarrollo en series de potencias. = Po + P f + P i t 2 + " • > '2<7(0 = < o + ? i ' + ? 2 '2 + 7 la cual es convergente para 11 < p. Sean r x y r2 las dos raíces de la ecuación indicial r { r - ) + p 0r + q0 = Q con r, > r2 si son reales. Entonces la ecuación (9) tiene dos soluciones y {(t) y y i ( 0 linealmente independientes en el intervalo 0 < t < q de la siguiente f o rma: (a) Si r, - r2 no es un entero positivo, entonces * ( ' ) = ''■ 2 »„t", * ( / ) = / '■ 1 v " . rt — 0 n=0 (b) Si r¡ = r2, entonces y M = > 2 a .t r' rt = 0 y1U ) = y M ^ > + > 2 V " r' n —0 (c) Si r¡ - r2 = N, N entero positivo, entonces >,i ( 0 = í r' 2 y 2( t ) = a y f t ) n t + t r> f rt — 0 rt = 0 donde la constante a podría ser igual a cero. Ej e r c i c i o s En cada uno de los Problem as 1 a 6, determine si el valor especificado de t es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. t ( t — 2) 2y " + ty' + y = 0; t = 0 2. t ( t — 2)2y ” + ty' + y = 0; t = 2 3. ( s e n / ) ^ " + ( c o s t ) y ' + y y = 0; t — 0 4. ( e l — l ) y " + e ' y ' + y = 0; / = 0 1. 5- ( , - , V ' + s W ^ ) / + ^ = 0 ; ' = _ 1 6. t 3y ” + ( s e n t 2) y ' + t y = 0; t = 0 O btenga la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. 7. 2 t 2y ” + 3 t y ' - ( + t ) y = 0 8. 2ry" + ( l - 2 / ) y '- > ' = 0
    • CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 212 9. 11. 2 t y " + { + t ) y ' - 2 y = Q 4 t y " + 3 y ' — 3y = 0 10. 12. 2 t 2y " ~ ty' + { + t ) y = 0 2 t 2y ” + ( t 2 ~ t ) y ' + y = 0 En cada uno de los Problem as 13 a 18, encuentre dos soluciones linealmente indepen­ dientes de la ecuación dada. En cada uno de los problem as las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero positivo; sin em bargo, existen dos soluciones de la forma 13. 15. 17. t y" — ( t 2 + 2 ) y ' + ty = 0 19. Considere la ecuación t2 ”— ty' — (t2 + $)y = y t 2y " + t ( t + ) y ’— y 0 =0 14. 16. 18. t2 " + (t — t2)y' — y = y 0 t 2y ” + (3t — t 2) y ' ~ ty = 0 t y " -(4 -+ / ) / + 2y = 0 t 2y " + ( t 2 — 3 t ) y ' + 3 y = 0 (*) (a) Demuestre que r = 1 y r - 3 son dos raíces de la ecuación indicial de (*). (b) Encuentre una solución en series de potencias para (*) de la form a .Vi(0 = ' 3 1 a nt a Q= 1. n~ 0 (c) Demuestre que y(t) = (d) Pruebe que (*) no tiene solucione de la form a 00 1 1 bn, n= 0 (e) Halle una segunda solución para (*) usando el m étodo de reducción de orden. Exprese la respuesta en form a integral. 20. Considere la ecuación t 2y " + t y ’- ( + t ) y = 0. (a) Demuestre que r = -1 y r = 1 son dos raíces de la ecuación indicial. (b) Encuentre una solución de la form a y M = * ! a ¿ H- n= 0 (c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden. 21. Considere la ecuación t y " + t y ’+ 2 y = 0. (a) (b) Demuestre que r = 0 y r = 1 son dos raíces de la ecuación indicial. Encuentre una solución de la form a =/ 1 <V"- n= 0 (c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden.
    • 213 2.8 • Soluciones en series 22. Considere la ecuación t y ” + ( - t 2) y ' + 4 t y = 0. (a) Demuestre que r = 0 es una raíz doble de la ecuación indicial. (b) Encuentre una solución de la form a (c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden. 23. Considere la ecuación de Bessel de orden cero. t 2y " + t y ' + t 2y = 0. (a) (b) Demuestre que r = 0 es una raíz doble de la ecuación indicial. Encuentre una solución de la form a Esta solución se designa como (c) Halle una segunda solución usando el m étodo de reducción de orden. 24. Considere la ecuación de Bessel de orden v t 2y " + ty' + ( t 2 — y 2) y = 0 donde v es real y positivo. (a) Encuentre una solución en serie de potencias. = 2 ¿ v% n- 0 *o = l - La función J f t ) se conoce como f unción de Bessel de orden v. (b) Halle una segunda solución si 2v no es un entero. 25. La ecuación diferencial t y" + ( - t ) y ' + y = 0, X es una constante se conoce com o ecuación diferencial de Laguerre. (a) Demuestre que la ecuación indicial es r 2 = 0. (b) Encuentre una solución y(t) de la ecuación de Laguerre de la forma (c) Demuestre que dicha solución se reduce a un polinomio si X = n. 26. La ecuación diferencial t( - t)y"+ [y ~( + a + P ) t ] y f- a f t y = 0 donde a, 0 y y son constantes se denom ina ecuación hipergeométrica. (a) Dem uestre que t = 0 es un punto singular regular, y que las raíces de la ecua­ ción indicial son 0 y 1 - 6. (b) Demuestre que t = 1 tam bién es un punto singular regular, y que las raíces de la ecuación indicial, en este caso, son 0 y y - a - 0. (c) Suponga que y no es un entero. Encuentre dos soluciones y^(t) y ^ ( 0 de la ecuación hipergeom étrica de la form a ^ i(0 = 2 rt = 0 <nt * y 2( t ) = t ' - y 2 n— 0 V "-
    • 214 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 27. (a) Pruebe que la ecuación 2(senr)>',' + ( í —( ) y ' ~ 2>, = 0 tiene dos soluciones de la form a y M = 1 a nt y 2( t ) = t i / 2 1 n —0 (b) bnt n= 0 Encuentre los primeros cinco términos en estos desarrollos en serie suponien­ do que üq = bg = 1. 28. Sea y(t) = u(t) + iv(t) una solución de (3) con valores complejos, siendo p(t ) y <7(0 funciones con valores reales. M uestre que tanto u(t) como v(0 son soluciones de (3) con valores reales. 29. (a) Demuestre que la ecuación indicial de t l y " + ty' + ( 1 + t ) y — 0 (b) (*) tiene raíces complejas r — ±i. Demuestre que (*) tiene dos soluciones ^ ( 0 linealmente independientes de la form a y { t ) =sen(lnf) 2 ^„tn + cos(ln/) 2 bní n. n —0 2 .8 .3 n=0 Raíces iguales y raíces que difieren por un número entero Raíces iguales. El problem a que se presenta si la ecuación indicial tiene raíces iguales r, = r2 es que la ecuación diferencial P ( t ) ^ + Q ( t ) & + R(t)y = 0 (1) tiene solam ente una solución de la form a y(t) = (2) tr 2 n= 0 El método para encontrar una segunda solución es muy similar al que se emplea para encontrar una segunda solución de la ecuación de Euler, para el caso de racies iguales. Escríbase la ecuación (2) de la siguiente m anera, y{t) = y(t,r) = tr 2 n= 0 a„(r)tn
    • 215 2.8 • Soluciones en series para hacer notar que la solución y{t) depende de la elección de r. Entonces (Sección 2.8.2). 2 . 8 . 2 ). L [ y ] { t , r ) = aQF { r ) t r n— 1 a n{ r ) F {n + r ) + 2 [ ( k + r ) p n- k + qH ^ a k t n+r. - + 2 n —1 [ k=0 J A hora es posible considerar a r como una variable continua, y determ inar a an como una función de r, con la condición de que los coeficientes de t n +r sean nulos para n > 1. Así pues, n —1 On( r ) 2 k =0 [(k + r )Pn-k + Cln-kak F(rt + r) Con esta elección de an(r), se encuentra que L [ y ] { t , r ) = aQF { r ) t r. (3) En el caso de raíces iguales, F(r) = (r — r {)2, de modo que se pueda escribir (3) en la forma L [ y ] ( F r ) = a 0( r - f ) 2t r. Puesto que L[y](t, r,) = 0, se obtiene la solución O0 + 2 n —l Obsérvese ahora que _a_ L[y]{t,r) = L 9r ( C ') = ^ flo ( r " r i ) 2/r = 2 a 0( r - r j ) / r + a Q - r , ) 2( l n / ) / ' (r se anula cuando r = r¡. A hora bien y 2( 0 = j9zry i ( í >r )lr=rl _9_ 9r = r = r, 2 2 n= 0 = >■,(,) l n r + n=0 2 n= 0 es una segunda solución de (1).
    • 216 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ejem plo 1 E ncontrar dos soluciones de la ecuación de Bessel de orden cero ¿[>,] = '2^7 + '¿jr+<V=0. <>0- (4) S o l u c i ó n . Hágase Derivando y’(0 = 2 (n+ r)o„tn+r ‘ n= 0 / ' ( » ) = 2 (n + r ) ( n + r - l ) a „ í " +' - 2 n= 0 entonces £ [ > - ] = 2 (n + r)(n+ r-)a,t"*r + 2 ( " + < -K < "+ , + 2 < V " +' +2 n=0 n= 0 n= 0 = 2 (n+ r)2 ,’ +'+ 2 an n= 0 n=2 Igualando a cero las sumas de potencias iguales de t, (i) r 2a 0 = F ( r ) a 0 = Q (ii) (1 + r ) 2a x = F (1 4- r ) a x — 0 y (iii) ( n + r ) 2a n = F(n + r ) a H- - a n_ 2y n > 2 . La ecuación (i) es la ecuación indicial y tiene raíces iguales r x = r2 = 0. La ecuación (¡i) exige que a x sea igual a cero, y la relación de recurrencia (iii) implica " (n + r f C laram ente a 3 = a5 = a-¡ = . . . = 0 . Los coeficientes pares están dados por <4(r) = * -a 0 -1 (2 + r f a 2( r ) = (2 + r f ~ a2 _ (4 + r)2 ( 2 + r ) 2( 4 + r ) 2 De donde a3 = a5 = a-¡ = . . . = 0 . Los coeficientes pares están dados por a2n(r) = ~ S ,. ^ — — 7 • 'J 1 ( 2 + r ) ( 4 + r ) • • • (2n + r )
    • 217 2.8 • Soluciones en series P ara determ inar y (t ) se hace r = 0. Entonces, " 2(0) = ^ a 4(0) = - = — ——r 22-42 2 (2!) ~ 22-42*62 ~~ 26(3!)2 y en general (0) = ,( r U’ = 22-42* • • (2 n )2 22" (n !)2 Por lo tanto, y x{t ) = 1 = £ f2 /4 f6 H ---------- - ------------ r + • • • 2 24*(2!) 26(3!) 2 "(*!)2 ( - 1 ) " / 2" ni o2 es una solución de (4). C on frecuencia, se hace referencia a esta solución como función de Bessel del primer tipo de orden cero y se denota por J0(t). P ara obtener una segun­ da solución de (4), hágase .V2(0 = .Vi(0ln í + 1 a'2n( 0) t ln. n= 0 P ara calcular ffL(O). obsérvese que ^ = ¿ ' n K ^ ) i = ¿ ' " ( 2 + r r 2- - - ( 2 » + , r 2 = ~ 2 ^ [ln (2 + r ) + ln (4 + r ) + • • • + ln (2 n + r) ] = - 2 (2Tr + 4 T r+ + Iñ T r)' P or lo tanto, “ 2»(°) = _ 2 ( T + T + ••• + ¿ ) o 2 . ( ° ) = - ( i+ í + " 4 K < 0> Al hacer
    • 218 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN se encuentra que ,(0) = ------ “ — T~ = ----- ------ r 1 2 2n( n ) 2 2n( n ) y por ende, 00 / y 2( t ) = y Á ‘ ) l n < + 2 „=o ■ 1 2 + ' /■ / ( n !) . V " es una segunda solución de (4) con H n dada por (5). Raíces que difieren por un entero positivo. Supóngase que las raíces de la ecuación indi­ cial son r 2 y r , = r2 + N, N e s un entero positivo. Entonces es posible encontrar una solución de (1) de la form a y A t) = t r' E a n{ r x) t n. n* 0 = Como ya se dijo, tal vez no sería posible encontrar una segunda solución de la forma ción de la form a > n 1 n —0 K>n• En ese caso, la ecuación (1) tendrá una segunda solución de la form a ^(0= d_ _ 4 :y (^ r) dr- = a y , ( / ) l n / + £ a'n(r2) t n+r> n =0 donde a es una constante, y y { t , r ) = t r 2 a„(r)tn n —0 con “o = a o(r) = r - r2 . La dem ostración de este resultado puede encontrarse en textos más avanzados de ecua­ ciones diferenciales. En el Ejercicio (5) se plantea una dem ostración sencilla, usando el método de reducción de orden para m ostrar por qué está presente un térm ino con logaritmo. O b s e r v a c i ó n . P or lo general es muy difícil y problem ático obtener una segunda solución y(t) cuando hay un térm ino con logaritm o. P or ello, no se acostum bra pedir a estudiantes de cursos básicos o intermedios que realicen estos cálculos. Se han inclui­ do algunos ejercicios para los estudiantes interesados. En problem as de este tipo y en otros similares que se presentan en las aplicaciones, con frecuencia basta encontrar sólo los primeros términos del desarrollo en serie d e y 2(t), lo cual se logra, usualm ente, con el método de reducción de orden.
    • 219 2.8 • Soluciones en series Ej e r c i c io s En los Problem as 1 y 2 demuestre que las raíces de la ecuación indicial son iguales y encuentre dos soluciones linealmente independientes de la ecuación dada. 1. t y ” + y ’— 4 y = 0 2. t 2y " — /(I 4- t ) y ' + y = 0 3. (a) Demuestre que r = -1 y r = 1 son las raíces de la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden 1 que sigue: (b) Encuentre una solución: 00 = 2 aH " , a 0 = . t n=O J x(/) se denom ina f unci ón de Bessel de orden 1. (c) Obtenga una segunda solución: I- 2 „t I t — T -----2 rt !(/> — !)! 4. Considere la ecuación (y" + 3y/ —3_y = O, />0. (a) Demuestre que r = O y r = - 2 son las raíces de la ecuación indicial. (b) Encuentre una solución -V l(0= 2 «n*"- n —O (c) Halle una segunda solución * ( ( ) = >.,(O ta í + J j - 7 + 3 + ] ¿ ' + ^ ' 2+ • 5. El presente ejercicio ofrece una dem ostración alternativa para algunos de los resul­ tados de esta sección, usando el método de reducción de orden. (a) Sea / = O un punto singular regular de la ecuación t 2y " + t p ( t ) y ’+ q ( t ) y = 0 (i) Demuestre que la sustitución y = t rz reduce (i) a la ecuación t 2z " + [ l r + p ( t ) ] t z ' + [ r ( r - ) + r p ( t ) + q ( t ) ] z = 0. (ii) (b) Sea r una raíz de la ecuación indicial. Demuestre que (ii)tiene una solución analítica z ]( t ) = 2 % 0a nt n. (c) Sea z2(0 = Z ( t ) v ( t ) . Pruebe que z 2( t ) = z x( t ) v ( t ) . . v ( t) = [u(t)dt, J g ~ íZr+p(t)/tdt donde u ( t ) = ----------— ------- . ¿ i ( 0
    • 220 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (d) Suponga que r = r0 es una raíz doble de la ecuación indicial. Demuestre que 2ro + Po = i y Que por lo tanto, / “o «(/ ) —— ■■U| 4" + “F **• (e) Aplique el resultado de (d) para m ostrar que, en el caso de raíces iguales, y 2(t) tiene un térm ino de la form a ln t. (f) Suponga que las raíces de la ecuación indicial son r0 y r0 - N , siendo N un número entero positivo. Demuestre que 2r0 + p 0 = 1 + N y que por lo tanto por lo tanto donde u(t) es analítica en t = 0. (g) Use el resultado de (f) para m ostrar que y 2(0 tiene un térm ino de la forma ln t si el coeficiente de t N en el desarrollo de u(t) es diferente de cero. Demues­ tre, además que si el coeficiente es igual a cero, entonces tK/) = - ^ - + • • • + — + t>,/ + t?2/ 2 + ••• y ^ 2(0 no tiene el térm ino de la form a ln t. 2 .9 M é t o d o d e l a t r a n s f o r m a d a d e La p l a c e En esta sección se describe un método muy simple y extraordinariam ente ingenioso para resolver el problem a de valor inicial = /(0 ; ,(0 )-* (1) donde a, b y c son constantes. Este procedim iento, que se conoce como método de la transformada de Laplace, es muy útil en dos casos que se presentan con frecuencia en las aplicaciones. El prim er caso es cu an d o / ( / ) es una función discontinua en el tiempo. El segundo caso ocurre cuando / ( / ) es igual a cero, excepto que en un intervalo peque­ ño tom a valores muy grandes. P ara tener una apreciación correcta del m étodo de la transform ada de Laplace se considerará la siguiente situación hipotética. Supóngase que se desean m ultiplicar los números 3.163 y 16.38, pero se ha olvidado por com pleto cómo hacer una multiplica­ ción. Supóngase que solamente se recuerda cómo sum ar. Com o buen m atem ático, uno se plantea la siguiente cuestión. Pregunta. ¿Es posible transform ar el problem a de multiplicar los números 3.163 y 16.38 al problem a más simple de sum ar dos números? La respuesta a esta pregunta es por supuesto que sí; y se procede de la siguiente m anera. Prim ero se consulta una tabla de logaritm os y se encuentra que ln 3.163 =
    • 221 2.9 • M étodo d e la transform ada de Laplace 1.15152094 y In 16.38 = 2.79606108. Después se sum an estos dos números para obte­ ner 3.94758202. P or últim o se consulta la tabla de antilogaritm os y se encuentra que 3.94758202 = ln 51.80994. Se concluye, por lo tanto, que 3.163 X 16.38 = 51.80994. El punto clave en el análisis del problem a es que al trabajar con logaritmos, la ope­ ración de m ultiplicación es reemplazada por la operación más sencilla de la adición. Esto se representa esquemáticamente en la Tabla 1. En el método que se discute en segui­ da, la función que se desconoce ^ ( 0 es reemplazada por una nueva función Y(s), que se llam a transformada de Laplace* de y(t). Dicha asociación tendrá la propiedad de que y(t) será sustituida por sY(s) - y(0). Así pues, la operación de derivación (o dife­ renciación) con respecto a t será reemplazada en especial por la operación de multipli­ cación por s. De esta m aenra, se sustituirá el problem a de valor inicial (1) por una ecua­ ción algebraica que puede ser resuelta explícitamente para T(s). Una vez que se conoce Y(s), puede consultarse una tabla de “ antitransform adas de Laplace” (o ‘‘inversas de transform adas de Laplace” ) y así recuperar y(t). Ta b l a 1. —^ —^ —* a b ab ln a ln b lna + ln& En principio se da la definición de transform ada de Laplace. DEFINICIÓN. Sea /(O una función definida para 0 < / < °°. La tra n sfo r-. m ada de Laplace d e / ( / ) , la cual se denota por FCs) o por £ { /(/)} , está dada por la fórm ula F(s)-Z{f(t)}- re-*f(t)dt Jo (2) donde f J EJEMPLO 1 0 e ~ s,f ( t ) d t = lím f e ~ slf ( t ) d t . A-*oo J o Obtener la transform ada de Laplace de la fu n c ió n / ( / ) = 1. SOLUCIÓN, a partir de la ecuación (2) £ { / ( , ) } = lím [ Ae ~sld t — lím 1 ~ - - A-*oa J q - Í7 * [oo, A-*oo S ,> 0j <0 • (N. del R.) También se denomina más brevemente transformada laptaciana.
    • 222 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ejemplo 2 H allar la transform ada de Laplace de la función e l S o l u c i ó n . De la ecuación (2) e (a-s)A _ | £ { e a'} = lím f e s,e a,dt — lím --------/4—0Jq * 0 A— *00 ü —S _ J ------- , —j s — a [ oo, Ejem plo 3 s>a s<a H allar las transform adas de Laplace de las funciones c o s u t y sentó/. S o l u c i ó n . De la ecuación (2) se tiene que r oo £ { co s« /} = I Jo r oo e "e o sutdt y £{senío/} = I •'o e "sen utdt. Obsérvese además que £ (c o s « /} + /£fsento/} = í e ~ 3,e iutd t — lím f e ^ ~ s)tdt Jq A-+oqJq e U»-s)A_ j = lim A-*oo l(t! — S 1 10} s + íw j> 0 S ¿ + 0}¿ . no definido s<O Al igualar las partes reales e im aginarias en esta ecuación se tiene £{ costo/) = - -- - 1 j S 0} y £ {sentó/} = K s2 s > 0. +u 2 La ecuación (2) asocia cada función/ ( / ) con una nueva función, que se llama F{s), Como lo sugiere la notación £ { /(/)} , la transform ada de Laplace es un operador que actúa sobre las funciones. Se tra ta además de un operador lineal, ya que £ { c i / i ( 0 + C 2 /2 (0 } = / ° ° ^ " " [ c , / i ( 0 + C 2 /2 ( 0 ] ^ = c, f V " / , ( / ) ¿ / + c2 r ° e - s,f 2(t )dt Jo •'O = c , e { / , ( i ) } + c 2e { / 2 ( 0 }. Sin em bargo, hay que notar que m ientras/ ( / ) está definida para O < / < °°, su trans­ form ada de e 8t está definida en el intervalo abierto 8 < s < °°. Esto se debe a que en general la integral (2) existe solam ente si s es lo bastante grande. Una dificultad m u y seria que tiene la definición (2) es que la integral podría no existir para cualquier valor d e s. Esto sucede si / ( / ) = e / (Ejercicio 13).Para garantizar que la transform ada de Laplace de / ( / ) existe al menos en un intervalo s > s0,se exigirá a / ( / ) la siguiente condición.
    • 223 2.9 • M étodo de la transform ada de Laplace garantizar que la transform ada de Laplace d e / ( / ) existe al menos en un intervalo s > s0, se exigirá a f ( t ) la siguiente condición. (i) La función f ( t ) es continua por secciones. Esto significa que f{t) tiene a lo sum o un núm ero finito de discontinuidades en cualquier intervalo 0 < t < A , y tanto el límite por la derecha, como por la izquierda d e / , existe en todos los puntos de discontinuidad. En otras palabras,/(O tiene solamente un número finito de discontinuidades “ de salto” en cualquier intervalo finito. En la Figura 1 se describe la gráfica de una función continua clásica por secciones. F ig u r a i . G ráfica de una función continua clásica por secciones. (ii) La función / ( / ) es de orden exponencial, es decir, existen constantes M y c, tales que | / ( / ) | < M e ct, 0 < / < co. L e m a 1. Sea / ( / ) una f unci ón continua p o r secciones y de orden exponen­ cial, entonces su transformada de Laplace existe para toda s lo bastante gran­ de. Específicamente, si f ( t ) es continua p o r secciones y |/ ( / ) | < M e ct, enton­ ces F{s) existe para s > c. Se dem ostrará el Lema 1 con ayuda del siguiente lema de cálculo integral, el cual se enuncia, a continuación, sin dem ostrar. L e m a 2. Sea g(t) una f unci ón continua p o r secciones. Entonces la integral impropia / o g(t)dt existe si f o g { t ) d t existe. Para demostrar que esta última integral existe, basta probar que hay una constante K tal que para toda A .
    • 224 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN O b s e r v a c i ó n . Nótese la similitud del Lema 2 con el teorem a de la serie infinita (Apéndice B), el cual establece que la serie infinita La„ converge si E |a „ | converge, y que E|<7„| converge si existe una constante K, tal que |<7i| + . . . + an < K para toda n. A hora es posible dar la dem ostración del Lema 1. D e m o s t r a c ió n d el Lema 1 . Dado que f ( t ) es continua por secciones, entonces la integral / Qé~slf ( t ) d t existe para toda A . A fin de dem ostrar que la integral tiene un límite para toda s suficientemente grande, obsérvese que h L . e u - s ) A _ i-i < —j l -I c —i para s > c. Entonces con base en el Lema 2, se tiene que la transform ada de Laplace de / ( / ) existe para s > c. Así pues, a partir de ahora se supondrá tácitam ente que |/ ( 0 l ^ M e cty y s > c. La utilidad real de la transform ada de Laplace para resolver ecuaciones diferencia­ les reside en el hecho de que la transform ada de Laplace de / '( / ) está muy relacionada con la transform ada de f ( t ) . Ese es el contenido del siguiente lema im portante. LEMA 3. Sea F(s) = .£ {/(/)}• Entonces £ { n t ) ) = s £ { f { t ) ) - m = s F { 5) - m - D e m o s t r a c i ó n . La dem ostración del Lema 3 es muy elemental; simplemente hay que escribir la fórm ula para la transform ada de Laplace de / '( / ) , e integrar por partes. De hecho se tiene £ { / '( / ) } = lím f Ae ~ s,f ' ( t ) d t A -*oo J q - - / ( 0 ) + j F ( j ). □ El siguiente paso es encontrar una relación entre la transform ada de Laplace de f " ( t ) y la de /( / ) . El Lema 4 se refiere a lo anterior.
    • 225 2.9 • Método de la transformada de Laplace LEMA 4. Sea F(s) = £ { /(/)} . Entonces, e ( / " ( O) = - ^/(o) -/'( O ). D e m o s t r a c i ó n . Al aplicar dos veces el Lema 3 se encuentra que £ { / ' « } - * £ { / ( ' ) } -/"(O ) = s[sF (s)-m ]-m o ) - / '( 0 ) . □ Se cuenta ahora con los elementos necesarios para pasar del problem a de resolver a un problem a de valor inicial + £ ^ + o '= / ( 0 : >>(oW o, y' (0) =y' 0 (3) al de resolver una ecuación algebraica. Sean Y(s) y F(s) las transform adas de Laplace dey (t ) y/(O » respectivamente. Aplicando eloperador de transform ación en ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene que £ { ay " ( t ) + by'(t) + cy(t )} = F(s). Al aplicar la linealidad del opeador de transform ación se obtiene que £ { a y " ( t ) + &'(*) + cy(t)} = a £ { y " ( t ) } + b £ { y ' ( t ) } + c £ { y ( t ) } , y de acuerdo con los Lemas 3 y 4, se sigue que £ { / ( 0 } = s Y (s ) ~ y o » £ { y " { t ) } = s 1Y (¿ )-jry 0~-.V Ó Por lo tanto, a [ s 2Y (5) - + b [ s Y ( s ) - y 0 + c Y ( s ) = F ( s ) y esta ecuación algebraica implica que as + bs + c as + bs + c as +bs + c La ecuación (4) describe la transform ada de Laplace de la solución y(t) de (3). Para evaluar >>(0 es necesario consultar las tablas de antitransform adas de Laplace. A hora bien, así como L(s) se expresa explícitamente en términos de y(t), es decir L(s) = í o ó ~ sty{t)dt, también es posible dar una fórmula explícita para >>(/). Sin embargo, esta fórm ula, que se escribe simbólicamente co m o y (j) = £ - , { LCs)}, implica una integra­ ción con respecto a una variable compleja, cosa que va más allá del tema tratado en este libro’ Por ello, en vez de aplicar la fórmula, se deducirán en la siguiente sección . algunas propiedades funcionales del operador transform ada de Laplace. Las propieda-
    • 226 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN des permitirán invertir por simple inspección muchas transform adas de Laplace, es decir, perm itirán reconocer Je qué funciones son transform adas. Ej e m p l o 4 Resolver el problem a de valor inicial df _ 2y- 3 ^dy 2 y = e 3'; + / ( 0 ) = o. S o l u c i ó n . Sea Y(s) = £ {y ( t ) } . Aplicando la transform ada de Laplace a ambos miembros de la ecuación diferencial, se obtiene y esto implica que ------------- + - s ~- — T ( j ) = ------------1 (5 —3)(5 —35 + 2) s 2—35 + 2 1 + -— ~~ 3 - - . y i (s-)(s-2)(s-3) ( s — l)(s — 2) (5) Para hallar y(t), se desarrolla en fracciones parciales cada uno de los términos del segundo miembro de (5), obteniéndose 1 (i-l)(i-2 )(i-3 ) .4 + _ B ^ + C 1 -1 1 -2 1-3' Esto implica que i4 ( í - 2 ) ( í - 3 ) + 5 ( í - 1 ) ( í - 3 ) + C ( j - 1 ) ( í - 2 ) = 1. (6) Al hacer 5 = 1 en (6) se obtiene A = Vi haciendo 5 = 2 se obtiene B = 1 y con 5 = 3 se obtiene c - Vi. Por lo tanto, 1 1 1 (5 -1 )(í-2 )(j-3 ) 2 s 1 1 s-2 + 1 1 2s-3' De m anera similar, s-3 ( s — 1)(j —2) D + £ s- s-2 y de aquí Z>(j - 2 ) + £ ( j - 1 ) = j -3 . (7) Al hacer 5 = 1 en (7) se obtiene D = 2, m ientras que con 5 = 2 se obtiene E = -1. Por lo tanto, w x 1 1 1 , 2 í - 1 T - T —2 + sTÍ 5 1 2 + 2 5 —1 5 —2 1 1 , 2 Í Ts T 3 + 5 —1 2 —Í I 1 2 5 —3 ’ 1 5 —2
    • 227 2.9 • M étodo de la transform ada de Laplace A hora, el prim er térm ino es la transform ada de Laplace de 5 /2 e'. De manera similar, el segundo y el tercer términos son las transform adas de - 2 e 2' y ló e 3', respectivamen­ te. P or consiguiente, de m odo que y { t ) = e ‘ —2e 2t+ ¿e3r. O b s e r v a c i ó n . En realidad se ha hecho algo de tram pa al resolver el problema, ya que hay una infinidad de funciones cuyas transform adas de Laplace constituyen una función dada. P or ejem plo, la transform ada de Laplace de las funciones * ( , ) _ ( ! * ' - 2 * í' + 5<f5'. lo , '*1. 2y3 (= 1 ,2 ,3 es tam bién Y(s), ya que z(t) difiere de y ( t ) solamente en tres puntos.* Sin embargo, sólo hay una función continua y (t) cuya transform ada de Laplace es una función dada 7(5), y es este el sentido en el que se escribe y( t) - £ - , { 7(5)}. Es necesario hacer notar que el Ejemplo 4 se presentó con el fin de ilustrar el método de la transform ada de Laplace, a fin de resolver problemas de valor inicial. El mejor procedimiento para resolver este problema particular de valor inicial es el méto­ do de la conjetura sensata. Sin em bargo, a pesar de que el camino para resolver este problem a particular mediante la transform ada de Laplace es más largo, aún conserva algo “ bello y satisfactorio” como método de resolución. Si se hubiera resuelto este pro­ blema por el m étodo de la conjetura sensata, se habría calculado prim ero una solución particular yp(t) - Vze3t. Después se habrían encontrado dos soluciones linealmente independientes e ‘ y e 2t para la ecuación homogénea, y se habría escrito y ( t ) = c ,e ' + c2e2t + e 3t com o la solución general de la ecuación diferencial. Por último, se habrían calculado C| = 5 /2 y c2 = - 2 a partir de las condiciones iniciales. Lo que no es satisfactorio acerca del m étodo es que es necesario calcular prim ero todas las soluciones de la ecua­ ción diferencial antes de poder encontrar la solución específica y ( t) que se busca. En contraste con eso, el m étodo de la transform ada de Laplace permite calcular y(t) direc­ tam ente, sin tener que encontrar antes todas las soluciones de la ecuación diferencial. Ej e r c i c io s Determine la transform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. 1. t 2. /" * Si / ( /) = £(/), excepto en un número finito de puntos, entonces =. íl g{t )dt .
    • 228 3. CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 4. e 0,sen bt eoíc o s b t 5 . eos2at 6 . sen 2a t 7. sen a t eos b t 8 . f 2sen/ 9. Sabiendo que j Q e ~ x2d x = variable u = V7en (2). v^r/2, obtenga Sugerencia: Haga el cambio de Demuestre que cada una de las siguientes funciones es de orden exponencial. 13. Demuestre que e 1 no tiene una transform ada de Laplace. Sugerencia: Pruebe que ' e l'~sl > e ‘ para t > s + 1. 14. Suponga que / ( / ) es de orden exponencial. Demuestre que F(s) = £ { /(0 } tiende a cero si s -* °°. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. 15. 16. 1, y (0 ) = - 1 y ( 0 ) = 2, y'(0) = 0 y " - S y ' + 4y — e2, y(0)= 2 y " + y ' - y = e2, Determine la transform ada de Laplace para las soluciones de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial: 17. 18. 19. 20. y ” + 2 y ' + y = e~l; >>(0)= l, / ( 0 ) = 3 y(0)=>',(0) = 0 y " + 3y' + 7y = cost y(0) = 0,>»,(0) = 2 y " + y — t 2sent; y " + / + y = t 2 y ( 0 ) = 2 , y ' ( 0) = 0 21. Demuestre que todas las soluciones y(t) de a y " + b y ' + cy = / ( / ) son de orden exponencial si / ( / ) lo es tam bién. Sugerencia: Demuestre que todas las soluciones de la ecuación homogénea son de orden exponencial. Obtenga una solución parti­ cular usando el método de variación de parám etros, y pruebe que dicha solución también es de orden exponencial. 22. Sea F(s) = £{/(/)} . Demuestre que ,P M dtn J = s nF ( s ) - s n f ( 0 ) v 7 7 0) d t- 1 Sugerencia: Intente mediante inducción. 23. Resuelva el problema de valor inicial y " ’- 6 y " + l l y ' - 6 y = e4‘; 24. y(0)=y' (0)=y"(0)=0 Resuelva el problem a de valor inicial y" - 3 y ’ + 2y = e~ ‘; y(r0) = l , / ( ^ 0) = 0 por el método de la transform ada de Laplace. Sugerencia: Haga - y ( t + t0).
    • 229 2.10 • Algunas propiedades útiles de la transform ada de Laplace 2 .1 0 A lg u n a s propiedades útiles de la TRANSFORMADA DE LAPLACE En esta sección se obtendrán algunas propiedades im portantes de las transform adas de Laplace. U sando dichas propiedades, será posible calcular la transform ada de la mayo­ ría de las funciones sin tener que realizar integraciones tediosas. Además se podrán inver­ tir m uchas transform adas Iaplacianas por simple inspección. P r o p ie d a d 1. sí {/(/)} = f ( s ) , entonces DEMOSTRACIÓN. Por definición, F(s) = / “ e stf(t )dt . Al derivar ambos lados de la ecuación con respecto a s, se obtiene La Propiedad 1 establece que la transform ada de Laplace de la función - t f ( t ) es la derivada de la transform ada de Laplace de f (t ). Así pues, si se conoce la transform a­ da F(s) de /(O , entonces no es necesario realizar una integración tediosa para encontrar la transform ada de //(/): solamente se necesita derivar F(s) y multiplicar por -1 . Ej e m p l o i Obtener la transform ada de Laplace de t e1. SOLUCIÓN. La transform ada de e ‘ es 1/(5 - 1). Por lo tanto, por la Propiedad 1 la transform ada de Laplace de t e 1 es £ { « '} = - Ej e m p l o 2 d 1 1 Obtener la transform ada de Laplace de t n . S o l u c i ó n . Usando la Propiedad 1 trece veces consecutivas se obtiene w 13 z/13 1 (13)! La utilidad principal de la Propiedad 1 es invertir transform adas, como se muestra en los siguientes ejemplos.
    • 230 CAPÍTULO 2 Ejem plo 3 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace -1 /(5 - 2)2? S o l u c i ó n . Obsérvese que 1 = A. . 1 (j-2 )2 Por lo tanto, por ds s-2 y . -L y 5 -2 1 > ' la Propiedad 1 se tiene que e - ' í ------- - te2< . I ( í - 2) i Ejem plo 4 ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace - 4 5 / (52 + 4)2? S o l u c i ó n . Obsérvese que 4j d 2 52+ 4 (52 + 4)2 2 52 + 4 £{sen2/}. Por lo tanto, por la Propiedad 1 resulta £ -1 í ——- { ( j 2 + 4) i Ej e m p l o 5 — tsen2t. ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace l/(5 /4 )3? S o l u c i ó n . Se reconoce fácilmente que 1 (5 -4 )3 m d2 1 ds2 2 1 5 —4 Por lo tanto, al aplicar la Propiedad 1 dos veces, se encuentra que (5 -4 )3 P ro p ie d a d 2. sí f (s ) = 12 > £ {/(o }, entonces £ { e “f ( t ) } = F ( s - a ) . D e m o s t r a c i ó n . Por definición e { e " / ( r ) } - JÍ ” « - " « " / ( ( ) í/ í = - f ° ° e - (J- ^ ' / ( l ) d l = F ( s - a ) . Jo □ La Propiedad 2 establece que la transorm ada de Laplace de e a,f { t) evaluada en el punto 5 es igual a la transform ada d e/ ( / ) evaluada en el punto (5 - a). De este modo, si
    • 231 2.10 • Algunas propiedades útiles de la transform ada de Laplace se conoce la transform ada F(s) de f (t ), entonces no es necesario evaluar la integral para encontrar la transform ada de Laplace de e a lf{t); basta con sustituir s por s - a en F(s). Ej e m p l o 6 Determ inar la transform ada de Laplace de e 3sen t. S o l u c i ó n . La transform ada de sen t es 1/ ( s 2 + 1). Por lo tanto, para obtener la transform ada de Laplace de e 3tsen /, basta sustituir s por 5 - 3, es decir £ ( e3'se n r} = --------. ( 5 - 3 ) +1 La utilidad real de la Propiedad 2 se pone de m anifiesto al invertir las transform a­ das laplacianas, como lo m uestran los siguientes ejemplos. Ej e m p l o 7 ¿Qué función g(t ) tiene la transform ada de Laplace f ~ 72 5+ (5 —7) S o l u c i ó n . Obsérvese que F ( j ) = - ^ = e { c°s5r} y que G(s) se obtiene de F(s) al sustituir s por 5 — 7. Por lo tanto, por la Propiedad 2, (5 —7) EJEMPLO 8 J = £ { e 7ícos5/}. + 25 ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace l/( 5 2 — 45 + 9)? SOLUCIÓN. Una m anera de resolver el problem a es desarrollar l/(5 2 —45 + 9) en fracciones parciales. Una m anera mucho mejor es completando cuadrados en s 2 - 45 + 9, de m odo que 1 52 —45 + 9 1 52 —45 + 4 + (9 —4) 1 (5 —2)2+ 5 A hora bien, -5T+— = £ 5 — senV5 t . V3> Por lo tan to , por la Propiedad 2 se tiene _ ! ____________!______ e í -4 í + 9 Ejem plo 9 ( í —2)J + 5 - —í 2'senV 5 t l V5 ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace 5/(52 - 45 + 9)1
    • 232 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN S o l u c i ó n . Obsérvese que s s-2 s 2- 4 s + 9 (5 —2)2 + 5 + (5 —2)2+ 5 La función s / ( s 2 + 5) es la transform ada de eos /5 t. P or lo tanto, por la Propiedad 2 se tiene que 5-2 (5 —2) s 2 —4 í + 9 = £ { e 2'c o s /5 /}, +5 = £ | e 2'c o s /5 / + e2'senV 5 / J. En la sección anterior se m ostró que la transform ada de Laplace es un operador lineal, es decir, que ^ { Cl / l ( 0 " b C2 / 2 ( 0 } ==cl^ { /|( 0 } " * ‘ c2 ^ { /2 (0 } Entonces, si se conocen las transform adas F x(s) y F2(s) d e f x(t) y f 2{t), no es necesa­ rio realizar ninguna integración para encontrar la transform ada de Laplace de una com­ binación lineal de f x(t) y sólo se necesita tom ar la misma com binación lineal de F x{s) y F 2 (s ). Por ejem plo, dos funciones que se presentan con m ucha frecuencia en el estudio de las ecuaciones diferenciales son el coseno y el seno hiperbólicos. Estas fun­ ciones se definen por medio de las ecuaciones coshaf = e a, + e 2 ’ senha/ = e —e 2 Por lo tanto, según la linealidad de la transform ada de Laplace, resulta que £{cosha/} = £ { e a í} + ] r t { e ~ at} 1 s —a 1 s+a 1 s —a 1 s+a e{senh^/} = s 2 —a 2 e j e r c ic io s Aplique las Propiedades 1 y 2 para encontrar la transform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. 1. /" 5. 2. t neM 3. /sena/ t s/2 (Ejercicio 9 de la Sección 2.9). 4. /2cosat
    • 2.10 • Algunas propiedades útiles de la transform ada de Laplace 233 6. Sea F(s) = {/(O} y suponga que f { í ) / t tiene un límite cuando t tiende a cero. Demuestre que £ { / ( o / '} - r n « ) d u . (•) JS (La suposición de que f ( t ) / t tiene un límite cuando t -*• 0 garantiza la existencia de la integral en el segundo miembro de (*)). 7. Use la ecuación (*) del Problem a 6 pra hallar la transform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. . x sen/ cosaí— 1 . . ea, —ebt (a) — (b) (c)--------------------- ----------- ----------Halle la antitransform ada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. En varios de los problem as puede ser útil escribir las funciones a xs 2 + /Sls 2F y ls + Si Pi(s) ~ " T --------------(as2 + bs + c)(ds2 + es + f ) a , j 2+ 0 , j + y yp 2(s) = (as + b)(cs2 + ds + e) en la form a más sencilla. ( x Plis) . 8 As + B as2 + bs + c , Cs + D .. ... - ds2 + e s + f s 12. — :--- J — z ii. - 13. ( s 2 + a 2) ( s 2 + b 2) !---- r 5 12 s 2 —3 í — 3j U + l)* 15. s(s + 4 f 16. ( ^ A , Cs+ D />2( J ) = — —r + as + b cs2 + ds + e s2- 5 j 3 + 4 j2 + 3 j (s + a)2+ b 2 io. —j4 + 4) — j( 2 14. y (í+ 1 )V + 1 ) 1 (*2+ D 2 17. Sea F(s) = {/(O}- Demuestre que /(<)-- je-'tf'W }. Así pues, si se sabe com o invertir F'(s), se sabrá tam bién como invertir F(s). 18. Use el resultado del Problem a 17 para hallar la inversa de cada una de las siguien­ tes transform adas de Laplace. 00 ln( ~ f ) (b) are tan j (c)ln^l-^-j Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial mediante el uso del método de la transform ada de Laplace. 19. y " + y — sent ^(0)= 1,>>'(0) = 2 20. y " + y as /sen/; >>(0)= 1,>>'(0) = 2 21. y" - 2 y ' + y - t e ' - , y ( 0)=° 0 , y '( 0) = 0
    • 234 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 22. y" —2y' + 7y=sent; ^(O j^O ,y'(0)~0 23. = l + e - í ; y(0) = 3,y'(0)= —5 y * » - 0- ' * » - 0 2 .1 1 Ec u a c io n e s diferenciales c o n térm ino NO HOMOGÉNEO DISCONTINUO En muchas aplicaciones, el segundo m iem bro de la ecuación diferencial a y " + by' + cy = / ( / ) tiene una o más discontinuidades de salto. P or ejem plo, una partícula puede encontrarse en movimiento bajo la influencia de una fuerza f ( t ) y, repentinamente, en el tiem po t sufrir los efectos de una fuerza adicional Estas ecuaciones son, con frecuencia, muy difíciles de resolver con los m étodos estudiados en las Secciones 2.4 y 2.5. En la presente sección se describirá cóm o tratar el problem a con el método de la transform ada de Laplace. Se iniciará obteniendo prim ero las transform adas de Laplace de algunas funciones discontinuas sencillas. El ejemplo más sencillo de una función con una sola discontinuidad de salto es la función //(r)=[0> c W l 1, 0</<c t> c Esta función, cuya gráfica aparece en la Figura 1, se conoce como fu nci ón escalín o función de Heaviside. Su transform ada de Laplace es E {» « ( /) } - C e - ' H c( t ) d t = C e - " d t J0 Jc Considérese ahora una función /d e f in id a en el intervalo 0 < t < °°, y sea g la función que se obtiene de / al trasladar la gráfica de / c unidades hacia -L C FIGURA 1. G ráfica de H c(t) t
    • 2.11 • Ecuaciones diferenciales con término no hom ogéneo discontinuo 235 la derecha, com o se m uestra en la Figura 2. Dicho con más precisión, g(t) = 0 para 0 < t < c, y g(t) = f ( t - c) para t > c. Por ejemplo, si c = 2, entonces el valor de g en t = 7 es el valor d e / e n t = 5. U na expresión analítica conveniente para g{t) es g ( 0 = Hc{ t ) f { t - c ) . El factor H c(t) hace a g igual a cero para 0 < t < c y al cam biar el argumento t de / por t - c , f se mueve c unidades hacia la derecha. Dado que g(t) se obtiene a partir de / en una form a sencilla, se esperaría entonces que su transform ada de Laplace se pudiera obtener en form a sencilla a partir de la transform ada de f (t ). A continuación se dem ostrará que efectivamente eso ocurre. F ig u r a 2. PROPIEDAD 3. Sea F(s) = £{/(/)}. Entonces £ {tf c( 0 / ( f - c ) } - e - “F ( 4 D e m o s t r a c i ó n . P or definición, e ( H A M O - c)} = ( / ) / ( / - c)dt •'0 = / e ~ síf ( t — c)dt. Jc P ara resolver la integral conviene hacer la sustitución í= t-c. Entonces -V -'o = e-“ fV * /(í)rfí •'o Por lo tanto, e { 4 ( 0 / ( r - c ) ) = « ’ “ e { / W } - □
    • 236 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ejem plo 1 ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace e s/ s 2l S o l u c i ó n . Se sabe que I / 52 es la transform ada laplaciana de la función t , y por la Propiedad 3 resulta entonces s La gráfica de - 1) se m uestra en la Figura 3. FIGURA 3. G ráfica de Ejem plo 2 (/)(/ - 1) ¿Qué función tiene la transform ada de Laplace e }s/ ( s 2 - 2s - 3)? S o l u c i ó n . Obsérvese que 1 ^ s2—2s — 3 1 í 2—2j + 1 —4 ^ 1 (5 —l)2—22 Dado que l / ( 52 - 2) = £{ Vi sen /i2 í}, se concluye entonces de la Propiedad 2 que ( 5 _ n 2_o2 —1) —2 = £ ( -^•e,se n h 2 í). 12 i y según la Propiedad 3 se tiene entonces - í f g _ - e ( i / / J( /) e'- 3 « n h 2 ( / - 3 ) } . Ejem plo 3 Sea /(/) la función que vale t para 0 < t < 1, y vale 0 para trar la transform ada de Laplace de / sin realizar ninguna integración. SOLUCIÓN. Obsérvese que / ( / ) puede escribirse en la form a / > 1. Encon­
    • 2.11 • Ecuaciones diferenciales con término no hom ogéneo discontinuo 237 P o r lo ta n to , por la Propiedad 1, _ . d e s ds s í2 _ J c2 _ £_J c2 e s 5 Ejem plo 4 Resolver el problem a de valo r inicial d2 y f 1, 0 < f < 1 dy 0, 1 < r < 2 ; , < / < 4; — - 3 ¿ + 2 , - / ( ,)- 1 ,2 < « 3 u , 4 < r< 5 at >>(0) = 0, / ( 0) = 0 0 3 0, 5 < / < oo. Sean Y(s) = £{.y(0} y F ( s ) - £{/(0}- A l aplicar la transform ada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene que (s2 - 3 5 + 2) Y(s) = F(s), de m odo que SOLUCIÓN. F (s) s2- 3 s + 2 U na m anera de calcular F(s) F (s) (s ~ l ) ( 5 - 2 ) ----------------- = ----------------------- . Y (s) — es escribir f{t) en la fo rm a / ( O = [ t f 0 ( O - t f i ( O ] + [ t f 2 ( O - t f 3 ( O ] + [ " 4 ( ' ) - t f s ( ') ] P o r lo ta n to , basados en la linealidad de la transform ad a de Laplace, se tiene que 1 í>~s p ~ ls f ( s ) = ± - l — + £ ---------- £— s s U na segunda m anera de calcular f ° V J7 ( / ) ¿ / = Jo s F(s) I 0~*S p ~ 5s + £-------------£— . s s s es evaluar la integral /*3 r5 f e ~ s' d í + f e ~ s'dt + f e ~ st dt Jo J2 J4 1 — e~J | e - ^ - g " 3* | e ~ 4s — e ~ 5 s C om o consecuencia, se obtiene l - e ~ s + e - 2s- e - 3s + e - 4s- e - 5 ^ v (S) s(s-l)(s-2 ) E l paso siguiente ahora, es desarrollar 1 / 5(5 - 1)(5 — 2) en fracciones parciales; es decir, se escribirá 1 ( — l) ( í —2) 5 5 A + - ^ 5 5—1 + c 5 —2 Esto im p lica que A (s — 1)(5 — 2) + B s (5 — 2) + C s (5 — I) —L 0)
    • 238 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Tom and o 5 = 0 en (1) im plica que A = Vi si se tom a 5 = 1 se obtiene que y con 5 = 2 se obtiene c = Vi. A sí pues, s(s — 1 1 )(j — 2) - 11 2 s s B = -1 , 1 +1 1 —1 2 í-2 = £ 1 T - e ' + T e 2' ! . P or lo tan to , a p a rtir de la Propiedad 3 > ( / ) - [ i - e' + i * 2'] - # , ( ' ) [ * - i 0 - :“ + 1* * - 1 ] > + ( / ) [ i - e < - 2>+ ie !<'-22] - H , ( r ) [ | - «<'-’)+ ie 2 <'-«] + H 4 ( í ) [ i - e < ' - 4>+ i e 2< ' - 4> ] - / / 5 ( í ) [ i - e < ' - 5>+ i e 2< ' - 5>]. O b s e r v a c ió n . Puede verificarse fácilm ente que la función j _ * < /-») + £ e2(/-«) y sus derivadas se anulan en t - n. P o r ello, ta n to y { t ) com o.y'ÍO son funciones conti­ nuas en el tiem po, a pesar de q u e / ( / ) es discontinua en t = 1, 2, 3, 4 y 5. En forma más general, tan to la solución y ( t ) del problem a de valo r inicial a^ + b% + c sf( t)‘ y(h)-y» y'M-y'o ys > com o su derivada de y ' ( t ) son siempre funciones continuas en el tiem po, si f ( t ) es conti­ nua por secciones. En la Sección 2.12 se explicará la dem ostración de este resultado. E J E R C IC IO S Encuentre la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. 1. y" + 2 /+ y = 2(<-3)//,(r); t-(0)-2,/(0)-l 2. y(0)-l,/(0 )-0 3. y - + 4 y - { ^ 4. y - + v _ / se"' cosr, ^ • - { r ^(0)-3./(0)--2 0< /< rr y(0)= l,/(0)-0 tt< r < o o “/ 2 < , < Í ; 6. r + 2 Z + y - [ ™ 2'' ‘ - ^(0 )-l./(0 )-0
    • 239 2.12 • Función delta de Dirac 10. Obtenga la transformada de Laplace de |sen /1. O C S u g e ren c ia : |sent| = sen/ + 2 2 Observe que mr) . 11. Resuelva el problema de valor inicial del Ejemplo 4 por el método de la conjetura sensata. S u g e r e n c i a : Halle la solución general de la ecuación diferencial en cada uno de los intervalos 0 < t < 1 , 1 < t < 2 , 2 < / < 3 , 3 < / < 4 , 4 < t < 5, 5 < t < °°, y elija las constantes de modo que tanto>^(0 como y ' { t ) sean conti­ nuas en los puntos t = 1, 2, 3, 4 y 5. 2 .1 2 F u n c ió n D e lt a de D i r a c En muchas aplicaciones físicas y biológicas aparece a menudo el problema de valor inicial inicial d^ a ~ ^ dv + b — + c y = f( t ) ; ,( 0 ) - * . y ( 0 ) = y 'Q (O donde no se conoce /(O explícitamente. Estos problemas se presentan por lo común cuando se trabaja con fenómenos de naturaleza impulsiva. En tales casos, la única infor­ mación con la que se cuenta acerca de/(/) es que es igual a cero, excepto por un interva­ lo muy corto de tiempo t Q < t < t x , y que su integral sobre dicho intervalo es un núme­ ro dado I q # 0. Si 70 no es muy pequeño, entonces f ( t ) será muy grande en el intervalo t 0 < t < t x . Tales funciones se conocen como f u n c i o n e s d e i m p u l s o , y en la Figura 1 se muestra la gráfica de una función /(/) típica. f(t) tO Fig u r a i t . La gráfica de una función típica de impulso/(/)
    • 240 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN A principios de la década de 1930 el físico P .A .M . Dirac, ganador del premio Nobel, elaboró un método muy controvertido para trabajar con funciones de impulso. Su méto­ do se basa en el siguiente razonamiento. Sea t { cada vez más cercano a t 0 . Entonces la función f ( t ) / I 0 tiende a la función que es 0 para / ¥- t 0 , e igual a oo para t = t 0 , y c u y a i n t e g r a ) s o b r e cualquier intervalo que contiene a t 0 vale 1. Esta función, que es conocida como f u n c i ó n d e l t a d e D i r a c , se denotará por b ( t - t 0 ) . Por supuesto que 5(t t Q ) no es una función en el sentido usual. Sin embargo, decía Dirac, puede ope­ rarse formalmente con 5 ( t - t 0 ) como si en efecto fuera una función. Entonces, si se hace /( /) = I 0 5 ( t - t 0 ) en ( 1) y se impone la condición g(/0) 0 para toda función continua g (t), si (2) a < t 0 < b en caso contrario se obtendrá siempre la solución correcta y (t). O b s e r v a c i ó n . Ciertamente es muy razonable imponer como condición la ecuación (2) a ó ( t - t 0 ) . Para una mejor comprensión, supóngase que f { t ) es una función de impulso que resulta positiva para t 0 < t < t x , igual a cero en cualquier otro punto, y cuya integral sobre el intervalo [í0, / J es igual a 1. Para cualquier función continua g (0 , Como consecuencia, se sigue que o bien, A sí pues, cuando t¡ - * t0 , g ( 0 f ( 0 d t - + g ( t o) . Ahora bien, por supuesto que la mayoría de los matemáticos usualmente se burlan de este método. “ ¿Cóm o es posible considerar a 5 ( t — t 0 ) como una función en el sen­ tido usual si obviamente no lo es?’ ’, cuestionaban los matemáticos. Sin embargo, nun­ ca se rieron muy fuerte, ya que Dirac y sus seguidores siempre obtenían la respuesta correcta. A fines de la década de 1940, en una de las historias de mayor éxito en las matemáticas, el matemático francés Laurent Schwartz logró ubicar la función delta de Dirac sobre un fundamento matemático firme. Lo logró ampliando la clase de todas las funciones de modo que pudiera quedar incluida la función delta de Dirac. En la presente sección se presenta primero una justificación física del método de Dirac. Des­ pués se indica cómo resolver el problema de valor inicial (1 ) por el método de la trans­ formada de Laplace. Por último, se señala brevemente el “ germen” de la brillante idea de Laurent Schwartz. J u stific a c ió n fís ic a del m é to d o d e D ira c. se escribe usualmente en la forma d La segunda ley de Newton del movimiento
    • 241 2.12 • Función delta de Dirac donde m es la masa de la partícula, v es su velocidad, y /( /) es la fuerza total que actúa sobre la partícula. La cantidad mv se denomina ímpetu (o moméntum o cantidad de movimiento)* de la partícula. A l integrar la ecuación (3) entre tQ y t, se obtiene Esta ecuación dice que el cambio en el ímpetu de la partícula entre el tiempo t0 y el tiempo ¿i es igual A sí pues, la cantidad importante desde el punto de vista físico es la integral de la fuerza respecto al tiempo, la cual se conoce como el impulso ejercido p o r la fuerza, más que la fuerza misma. Ahora bien, puede suponerse en la ecuación (1) que a > 0, ya que de otro modo se pueden multiplicar ambos lados de la ecuación por — para obtener a > 0. En ese caso (Sección 2.6), puede considerarse 1 y (t), para t t0, como la posición de una partícula de masa a, en el tiempo t, moviéndose bajo la influencia de la fuerza - b ( d y /d t) cy. En el tiempo t0 se aplica sobre la partícula una fuerza f(t); dicha fuerza actúa durante un intervalo de tiempo muy corto t0 t . Dado que dicho lapso es extremadamente corto, puede enton­ ces suponerse que la posición de la partícula no cambia mientras la fuerza actúa. De modo que el resultado es que la fuerza de impulso / ( /) provoca un salto de magnitud IQ/a en la velocidad de la partícula en el tiempo t0. En otras palabras, y(f) satisface el problema de valor inicial a < - < < /] para 0 < t < t0, y 0 y U o ) * 2» y V o ) = z ' 0+ — (4) para t > t0 , donde Zq y Zq son la posición y la velocidad de la partícula, un instante antes de que actúe la fuerza de impulso. Por lo tanto, es evidente que cualquier método que utilice correctamente el ímpetu I 0 transferido a la partícula en el tiempo tQpor la fuerza de impulso /(/)» debe dar la respuesta correcta. También es claro que se obtiene continuamente la información del ímpetu 70 transmitido a la partícula p o r/(í) si se sus­ tituye f ( t) por I 0 5 ( t - tQ y se cumple la ecuación (2). Por lo tanto, el método de Dirac ) siempre dará la respuesta correcta. O b s e r v a c ió n . Ahora es posible entender por qué cualquier solución y ( t ) de la ecua­ ción diferencial d 2y dy a—- + b ~ dt 2 + cy —f( t) , f(t) una función continua por secciones, es una función continua en el tiempo aun cuando/(O sea discontinua. De hecho, dado que la integral de una función continua también lo es, se ve entonces que y t ) debe variar de manera continua con respecto al tiempo. En consecuencia, y ( t ) debe variar también continuamente en el tiempo. Solución d e la ecuación (1) por el método de la transformada de Laplace. Para resol­ ver el problema de valor inicial ( 1) por el método de la transformadas laplacianas, sólo
    • 242 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN se necesita saber cuál es la transformada de Laplace para 5 ( t - t0). Esto puede obte­ nerse directamente a partir de la definición de la transformada y de la ecuación (2) £ { S ( / - / 0) } = [ e s,8 ( t - t 0) d t = e s,° Jo Eje m p l o (para t0 0) ^ Obtener la solución del problema de valor inicial ± l-4^+4y=S- )+ 0 2 y0~, / ( 3U S-); ( ) 0)= I. SOLUCIÓN. Sea Y { s ) = £ { 7 ( 0 } - a i aplicarla transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación diferencial, se obtiene j2y - j - i - 4 ( í y - i ) + 4 y = 3 e ~ f+e - 2s o bien (s Y por lo tanto — + 4)y(j) = j - 3 + 3e s + e 2s. 4í je (s- I f Ahora bien 1/(5 - 2)2 = (5-2) (s~ 2f (s- If {te2í}. Entonces, ( (5-2) ' ) ( ' - H 2 ( ‘ K ‘ - 2 ) e 2(' - 2>}. Para invertir el primer término de Y(s) obsérvese que J ~ -2(5-2) Así pues, (i-2 )2 l— - = t { e 2 t ) - £ { t e 2‘ } . ( 5 -2 ) 2 7 ( 0 = (1 —t ) e 21 + 3 H x( t ) ( t - l)e 2 (í-,)+ H 2( t ) ( t — 2 ) e 2 ( t ~ 2 Es ilustrativo resolver este problema por el camino largo, es decir, encontrar y (t ), por separado, en cada uno de los intervalos 0 < / < 1, 1 < t < 2 y 2 < t < ° ° . Para 0 < t < 1 se tiene que y ( t ) satisface el problema de valor inicial d 2y dy dt2 dt —y - 4 - r + 4 v = ° ; y ( 0) = l, / ( 0) = 1 . La ecuación característica de la diferencial es r 2 - 4r + 4 = 0, cuyas raíces son r, = 2. Por lo tanto, cualquier solución y { t ) debe ser de la form a7 (0 = (tfj + a 2t ) e 21. Las constantes a { y a 2 se determinan a partir de las condiciones iniciales r2 - 1 = ^ ( 0) = a , y 1 = y ' ( 0 ) = 2a ¡ + a 2- Por lo tanto, a { = 1, a 2 = - 1 y 7 (0 = (1 - t ) e 2r para 0 < t < 1. Ahora 7 (1) = 0 y 7 '(i) = - e 2. En el instante t = 1 la derivada de 7 (0 se incrementa repentinamente en 3. Por lo tanto, para 1 < t < 2 se tiene que7 ( 0 satisface el problema de valor inicial ^ -7 + 4 7 = °; >>(1) = 0, y ' { ) = 2 > - e 1.
    • 243 2.12 • Función delta de Dirac Dado que las condiciones iniciales están dadas en t = 1 , se escribirá la solución en la forma y ( t ) ~ [¿?, + b 2(t l)]e2(/-1) (Ejercicio 1). Las constantes b y b 2 se determi­ nan a partir de las condiciones iniciales 0 = y () = bl y 3 —e2= / ( l ) = 2¿>, + ¿>2. A sí pues, b¡ = 0, b 2 = 3 e 2 y y ( t ) = (3 - e2)(/ - ) e 2(c~ { con 1< t < 2. Ahora se tiene y (2) = (3 - e 2) e 2 yy ' ( 2) = 3(3 - e 2) e 2. En el instante t = 2, la derivada de y ( t ) se incrementa repentinamente en 1. Por consecuencia, para 2 < / < oo se tiene que y ( t ) satisface el problema de valor inicial ~ 4 7 t + 4 y = 0; y ( 2 ) = e 2( 3 - e 2), / ( 2 ) = 1 + 3 e 2( 3 - e 2). Por lo tanto, y ( t ) = [c, + c 2(t - ) e 2(t~2). Las constantes C| y c 2 se determinan a par­ tir de las ecuaciones e 2(3 —e2) = c, y 1 + 3e2(3 —e 2) = 2 c ] + c 2. A sí que c, = e2( 3 - ^ 2), c 2 = 1 + 3 ^ 2( 3 - ^ 2) - 2 e 2( 3 - ^ 2) = 1 + e 2( 3 - e 2) y y ( t ) = [e2(3 - e 2 ) + (1 + e2(3 - e 2))(t - 2)]e2(/-2>, t > 2. El lector debe verificar que esta expresión coincide con la expresión que se obtiene para y ( t ) por el método de la transformada de Laplace. Ej e m p l o 2 Una partícula de masa igual a 1 se encuentra sujeta al extremo libre de un sistema masa-resorte-amortiguador. La constante de restitución del resorte es 1 N /m y la resistencia que el mecanismo opone al movimiento de la partícula es igual al doble de su velocidad. En el instante t = 0, cuando la partícula se encuentra en reposo, se aplica al sistema una fuerza externa e~l . En el instante t = 1 se aplica a la partícula una fuerza adicional f { t ) de muy corta duración. Dicha fuerza imprime a la partícula un impulso de valor 3 N • s. Determinar la posición de la partícula en cualquier instan­ te t mayor que 1 . S o l u c i ó n . Sea y ( t ) la distancia de la partícula con respecto a su posición de equili­ brio. Entonces y ( t ) satisface el problema de valor inicial + 2 ^ + y = e - ' + 3 8 ( t - 1); y { 0 )= 0 , / ( 0 ) = 0. Sea Y ( s ) = {7 (0 }- A l aplicar la transformada de Laplace en ambos lados de la ecua­ ción diferencial, se obtiene ( j 2 + 2 í + 1) ^ ( 5) = —^ r + 3 e ~ st — *+> o bien ^ ( .s ) = — -— - + — — ;• ^ — ( i + i )3 ( i + o !
    • 244 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Dado que se ve entonces que y(0y, por consecuencia, se tiene y ( t ) = ¿ t 2e ~ l + 3 ( t — l) e -( ,-t ) p a r a f > l. L a presente sección concluye con una descripción breve del método de Laurent Schwartz para ubicar la función delta sobre un fundamento matemático riguroso. La etapa principal en el método es reconsiderar el concepto de “ función” . E n cálculo se enseña al estudiante a reconocer una función por su valor para cada valor de t. Una manera más refinada (y mucho más difícil) de reconocer una función es mediante lo que hace a otras funciones. Dicho con más precisión, sea/ una función continua por secciones, definida para -oo < t < oo. a cada función < infinitamente diferenciable t> que se anula para | / 1 lo bastante grande se le asigna un número K[<i> de acuerdo con la fórmula M *M =J *(')/(')<*• O O (5) Como lo indica la notación, K es un operador que actúa sobre las funciones. Sin embargo, difiere de los operadores expuestos con anterioridad en el sentido de que asocia a < f> un número en vez de una función. Ahora obsérvese que la asociación < - * ÁT[0 ] es una f> asociación lineal, pues + £2^ 2] = f = 0 0 (c i< + C2< 2)(0 / ( 0 ^í í>i í> f 0 <í>i(0 / ( 0 < * + c2 0 • 0 '“ 0 —0 0 = Cl * í > l ] + C2 * [> 2 ]- Por lo tanto, toda función continua por secciones define mediante (5) una funcional lineal sobre el espacio de funciones infinitamente diferenciables que se anulan para |/| lo bastante grande. Considérese ahora la funcional K[<t>] definida por la relación K[<t>] = Se tiene que K es una funcional lineal, ya que + ^^ 2] = ci<i(ío)+ ^ 2(^0 ~ ci^[<i] + ^^[^ 2]* í> ) í> Para imitar la forma de (5), se expresa a K simbólicamente en la forma * [ * ] -f % ( /) í( /--/o ) < * . 0 0 (6) En este sentido 5 (í - tQ) es una “ función generalizada” . Sin embargo, es importante notar que no se puede hablar del valor de 5 (t ~Vo) en cualquier instante t. La única cantidad que tiene significado es la expresión - t o) dt , y a esta expresión hay que asignarle siempre el valor de <t>Vo).
    • 245 2.12 • Función delta de Dirac Es muy difícil pensar en una función en términos de la funcional lineal (5)que induce. Sin embargo, la ventaja de esta manera de considerar es que ahora esposible asignar una derivada a toda función continua por secciones y a toda “ función generalizada” . De hecho, supóngase que/ ( / ) es una función diferenciable. Entonces f ' ( t ) induce la fun­ cional lineal * ' ! > ] - / "00 <■(')/'(')*• (7) A l integrar por partes y usar el hecho de que <f>(t) se anula para 11 ¡ suficientemente grande, se encuentra que * 'M = P o[ - * ' ( ' ) ] / ( ' ) < * - * [ - * ' ] • o (8) Nótese que la fórmula = K [-</>'] tiene sentido aun cuando f ( t ) no es diferenciable. Este hecho sugiere la definición siguiente: DEFINICION. A toda funcional lineal K[<t>] se le asigna una nueva funcio­ nal lineal K'[<t> por medio de la fórmula K'[4>] = K [-</>']. La funcional lineal K'[<t>] se denomina d e r i v a d a de K[4>], ya que si K[<t> es inducida por una fun­ ción diferenciable /(O , entonces K ’[4>] es inducida por f Obsérvese, por último, a partir de (8), que la derivada de la función delta b { t - t0) es la funcional lineal que asigna a toda función < el número -</>'(í0)> ya Que si K[<j>] = f> 4>(t0 ) entonces K'[4>] = K[-<t>'] = ~4>'(t0). De modo que í ” <t>(t)8V-to)dt=*-<t>Vo) 0 0 para todas las funciones diferenciables <¡>(t). Ej e r c i c i o s 1. Sea a una constante fija . Demuestre que toda solución de la ecuación diferencial (id 1y / d t 2) + 2a ( d y / d t ) + a 2y = O puede escribirse en la forma 2. Resuelva el problema de valor inicial (d 2y / d t 2) + 4 ( d y / d t ) + 5y = f { t ) .y(O) = l t j f ( 0) = O, donde f ( t ) es una fuerza de impulso que actúa durante un intervalo de tiempo extremadamente corto 1 ^ t ^ 1 + r, y f + T ( t ) d t = 2 . f 3 . (a) Resuelva el problema de valor inicial (d 2y / d t 2) - 3( d y / d t ) + 2y - /(O í ^ ( 0) = 1 , ^ '(0) = O, donde / ( /) es una fuerza de impulso que actúa durante un lapso extremadamente corto 2 < í < 2 + r, y $ + T ( t ) d t = - 1 . f
    • 246 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (b) Resuelva el problema de valor inicial ( d 2y / d t 2) - 7>{dy/dt) + 2y = 0; y ( 0 ) = 1, /( O ) = 0 en el intervalo 0 < / < 2. Calcule Zo = y ( 2) y z'o = y 2). Resuelva luego el problema de valor inicial ~ ¿ ~ 3 l t + 2 y s s °'' y ( 2 ) = z °' y ’(2) = z ó - l > 2 < / < oo. Compare la solución con la solución de la parte (a) 4. Una partícula de masa igual a 1 se encuentra sujeta a un sistema masa-resorte-amor­ tiguador. La constante de restitución del resorte es 3 N /m y la resistencia que el sistema opone al movimiento de la partícula es igual a 4 veces su velocidad. En el instante / = 0, la partícula se encuentra a 0.25 m de su posición de equilibrio. En el instante t - 3 s (segundos) se aplica al sistema una fuerza de impulso de muy corta duración. Dicha fuerza imparte un impulso de 2 N • s sobre la partícula. Cal­ cule el desplazamiento de la partícula con respecto a su posición de equilibrio. En los Ejercicios 5 a 7, resuelva el problema de valor inicial dado. 5. d2 y — + > '= s e n / + 6 ( / - 7 r ) ; dr 6. ^ .y(0) = 0 , / ( 0 ) = 0 + ^ + y = 28(i-l)-S (t-2); 7. ^ + 2 ^ + . v - e - ' + 3 í ( / - 3 ) ; >.(0) = l,/ ( 0 ) > 0 > -( 0 ) -0 ,/( 0 ) -3 8. (a) Resuelva el problema de valor inicial d2 y ,2 + y= 2 dt o ^ ( 0) - / ( 0) - 0, y muestre que y ( f ) = / seiu> 0, n es par n es impar en el intervalo m r < t < (n + 1 >7r. (b) Resuelva el problema de valor inicial d2 y +y= 2 5 ( ' - 2» , y-o .y(0) = / ( 0) = 0, y muestre que y ( t ) = (n + l)sen/* en el intervalo 2 m r < t < 2 (n + l)ir. Este ejemplo indica por qué se ordena a los soldados romper la cadencia al marchar a través de un puente. De hecho, si los solados marcharan rítmicamente con la frecuen­ cia natrual del material férreo (acero) del puente, puede presentarse una situación de resonancia del tipo (b).
    • 247 2.13 • Integral de convolución 9. Sea / ( / ) una función que es igual a Vi para t > a —‘/2 para t < t0 . Sea K[<t>] la funcional lineal t0 , igual a 0 para t = t0 , e igual * [ * ] - í 00 J— 0 0 Demuestre que K'[<$ >] = A'f— '] = 0 identificar como la derivada de f ( t ) . 2 .1 3 De modo que 5 (t - t0 ) se puede I ntegral de c o n v o l u c ió n Considérese el problema de valor inicial + b ^t + ( y s s f ( t) ; y ( ° ) = y o > /( o ) = ^ ó . 0 ) Sea 5^(5) = £ { / ( / ) } y FCs) = £ { / ( 0 } - A l aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ecuación diferencial se obtiene que a [ 5 2Y ( s ) - s y 0 - y Q] + b [ j Y ( s ) - y 0] + c Y (5) = F ( s ) ' y esto implica que v/ ^ Y (s)= , a , , s) — y 0+ -- — y 0 + as2+ b s + c as2+ b s + c as2+ b s + c as + b Ahora hágase as + b s + c ) y t as + bs + c ) A l tomar f ( t ) = O, y 0 = 1 y y ’ = O, se encuentra que y¡ (/) es la solución de la ecua­ 0 ción homogénea que satisface las condiciones iniciales y ¡ (0) = , y (0) = 0. De manera similar, tomando f ( ( ) = 0, y 0 = 0 y y'0 - 1 , resulta q u e ^ íO es la solución de la ecua­ ción homogénea que satisface las condiciones iniciales .^(O) = 0, y'2(0) = Y Todo esto implica que « O - » - ' ' W a s 2+ bs + c es la solución particular de la ecuación no homogénea que satisface las condiciones in i­ ciales p(0) = 0, ^'(0) = 0. A sí pues, el problema de hallar una solución particular de la ecuación no homogénea se reduce al problema de encontrar la inversa de la trans­ formada de Laplace para la función F ( s ) / ( a s 2 + b s + c). Si se observa esta función con detenimiento, se encuentra que es el producto de dos transformadas de Laplace; es decir> F(s) L - , £ ( / ( / ) ) x£ a s + bs + c y 2(t) a .
    • 248 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Resulta natural preguntarse si existe una relación sencilla entre y las funciones f ( t ) y Por supuesto que sería más fácil si fuera el producto d e /( /) y y i i t ) / a , pero eso obviamente no ocurre. Sin embargo, hay una manera muy interesante de com­ binar dos funciones / y g para formar una nueva función f * g que es semejante a la multiplicación y para la cual se cumple £ { ( /* « ) (') } = £ { / ( ') } x £ { * ( ') } • Esta combinación d e / y g aparece con frecuencia en las aplicaciones y se conoce como la convolución de / con g. DEFINICIÓN. La c o n v o l u c i ó n (/ * g ) { í ) de / con g se define por medio de la ecuación (f*g)(0 =f • 'o f{t-u )g{u )du . Por ejemplo, si f ( t ) = sen2f y g ( t ) = (f*g)(t)— (2) entonces sen2(/ —u ) e ^ d u . f Jo E l operador convolución * guarda claramente alguna semejanza con el operador multi­ plicación, ya que se multiplica el valor de / en el punto t - u por el valor de g en el punto w, para después integrar el producto con respecto a u. Es por ello que no debe sorprender que el operador convolución satisfaga las siguientes propiedades. P r o p ie d a d i . E l operador convolución cumple la ley conmutativa de la multiplica­ ción, es decir, ( / * g)(0 = (g */)(/)• D e m o s t r a c i ó n . Por definición se tiene que ( / * £ ) ( ') = f f ( t - u ) g ( u ) d u . • 'o A l introducir la sustitución t - u = 5 en la integral se obtiene (/* s )(0 * “ / Jt f{s)g (t-s)ds g(t-s)f(s)ds= (g*f)(t). □ Jo P ro p ie d a d 2 . E l operador convolución satisface la ley distributiva de la multiplica­ ción, es decir, f* (g + h)=f*g+f*h.
    • 249 2.13 • Integral de convolución DEMOSTRACIÓN. Véase el Ejercicio 19. P ro p ie d a d 3 . E l operador convolución satisface la ley asociativa de la multiplica­ ción, es decir ( / * g ) * h = / * (g * h). D e m o s t r a c i ó n . Véase el Ejercicio 20. P r o p ie d a d 4. L a convolución de cualquier función / con la función cero es igual a cero. DEMOSTRACIÓN. Resulta obvio. Por otro lado, el operador convolución difiere del operador multiplicación en que /* 1 f * f * f 2- De hecho, la convolución de una función / con ella misma pue­ de incluso ser negativa. Ej e m p l o i Calcular la convolución de /( /) = t 2 con g ( t ) = 1. SOLUCIÓN. A partir de la Propiedad 1 se tiene que 2 Calcular la convolución de/( /) = eos / consigo misma y demostrar que no siempre es positiva. Ejem plo SOLUCIÓN. Se tiene por definición que o f (cosíeos2M+senrsenueos o T t sen2 / 1 sen3/ = cos/| — + [2 4 J 2 t eos t +sen t eos2/ +sen3/ 2 / eos í + sen t (eos2 1 + sen2 1) 2 /eos/ + sen/ 2
    • 250 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN esta función claramente es negativa para (2/7 + 1 )ir < t < (2/7 + 1 )7 + ¿7r, r n = 0 ,1 ,2 ,.... Ahora se demostrará que la transformada d e / * g es el producto de la transforma­ da de Laplace de f y la transformada de Laplace de g. TEOREMA 9. e ((/.*)(/)} = e {/(»)}x £ {g(0}. D e m o s t r a c i ó n . Se tiene por definición que J /»0O I r e-* f o f(t-u )g(u )du dt. 0 Esta integral iterativa es igual a la integral doble / / e ~ s,f { t - u ) g ( u ) d u d t R donde R es la región triangular descrita en la Figura 1. F ig u r a a . Integrando primero con respecto a t, en vez de w, se obtiene £{(/*g)(0 }= f fu es(t—d ~ ut , ) f g(“) Jq A l hacer t - u = £. Se encuentra que = r e -* j(t-u )d t= Ju r Jo e-" * * m d t du.
    • 251 2.13 • Integral de convolución Por lo tanto, se cumple £ { ( /* « ) ( ') } = f g ( u) e ~ ‘“ ~ ‘(f ( í ) d í du e e‘( ( -/(()d = [ jf = e {/(r)}x e {g (í)}. Ej e m p l o 3 □ Encontrar la transformada de Laplace de la función 52(52 + a 2) S o l u c i ó n . Obsérvese que "T = £ { / ) y - y — - = £ {sena/}. 2 ~2 s> + a Por lo tanto, por el Teorema 9 se sabe que s e' l 7 í ^ ) = /o,(' ~ “) s e , w “ a t —s e n a t a2 Ej e m p l o 4 Encontrar la transformada de Laplace inversa para la función l 5 ( s 2 ■■2 s ■■2 ) + + S o l u c i ó n . Obsérvese que - = £{1 } * y— — í = 5 ■■2 s ■■2 + + í- = £{e-'senr). ( 5 + 1) + 1 Por lo tanto, por el Teorema 9 1 s ( s 2 + 2 s + 2) = Jo /' e U enudu s = ~ 5 [ * ~ ^ ~ í (co s/+ se n 0 ]2 O b s e r v a c ió n . S e a72(0 Ia solución de la ecuación homogénea a y " + b y ' 0 que satiface las condiciones iniciales 7 2(0) = 0, ^ 2(0) = 1 . .Entonces y 7( t ) * ( ,) = /( ,) .- A i + cy = (3) es la solución particular de la ecuación no homogénea a y " + b y ' + c y = / ( / ) que satis­ face las condiciones iniciales ¡/(0) = ^ (0 ) = 0. Con frecuencia, la ecuación (3) es mucho más fácil de usar que la fórmula de variación de parámetros obtenida en la Sección 2.4.
    • 252 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Ej e r c i c i o s Determine la convolución de cada uno de los siguientes pares de funciones: 1. e a,, e b‘, a ^ b 2. e", e at 3. cosa/, eos bt 4.sena/, sen¿>/, 5. sena/, sena/ 6. /, sen/ a¥*b Utilice el Teorema 9 para invertir cada una de las transformadas de Laplace siguientes. 7 1 j 2( j2+ 1 ) g_ £_________ ’ ( j + 1 ) ( j2 + 4) 10. —~y — r * (j2+ l ) 11. j 2( j + 1) j 9 s ( j 2+ l )2 12.------( j 2+ l ) Utilice el Teorema 9 para encontrar la solución y ( t ) de cada una de las ecuaciones integrodiferenciales siguientes. 13. y(/) — —3 f y(u)sen(/—u)du 4/ Jo 14. y (/) —4 / - 3 f Jo y ( t — u)senudu 15. / ( / ) =sen/ + ( ‘y ( t - u ) e o s udu, y (0)=>»0 Jo 16. y(/) = 4/2- f ,y ( u ) e ~ {t~ u)du Jo 17. y t ) + 2 y + f y ( u ) d u = sent, y ( 0 ) = 1 'o 18. y ( / ) = / ~ e' f ‘y ( u ) e ~ udu Jo 19. Demuestre que f * ( g + h ) = f * g + f * h. 20. Demuestre que ( / * g ) * h = / * (g * h). 2 .1 4 M é t o d o d e e l i m i n a c i ó n p a r a s is t e m a s La teoría de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden puede servir también para encontrar las soluciones de un sistema de ecuaciones simultáneas de primer orden de la forma * = ~dt = a^ X+ b^ y
    • 253 2.14 • M étodo de elim inación para sistemas La idea clave es eliminar una de las variables, por ejemplo y , y luego encontrar x como la solución de una ecuación diferencial de segundo orden. Esta técnica se conoce como m é t o d o d e e l i m i n a c i ó n , y se ilustra en los dos ejemplos siguientes. Ej e m p l o i Determinar todas las soluciones de las ecuaciones simultáneas x' = 2 x + y + t y f;= x + 3 y + 1. ^ y = x ' —2 x — t (3) S o l u c i ó n . Se obtiene primero a partir de la primera ecuación en (2). Derivando esta ecuación se obtiene y ' = x " —2 x ' — 1 = x + 3 y + 1. A l sustituir luego la y de (3) se obtiene x " — 2 x ' — 1 = x + 3(jc' — 2 x — t ) + de modo que x" —5 x' + 5 x = 2 —3t. (4) La ecuación (4) es una ecuación lineal de segundo orden y su solución es x ( t ) = e 5‘/ 2 ^ c ie V^ '/2 + c2e - v ^ ' /2 j - - — ^—- para un par de constantes y ( t ) = e 5l/2 EJEMPLO 2 y c 2 . Por último, sustituyendo esta expresión en (3), 1+y * c ,ev 5 , ' 2+ - - ~ - c , e - V i ' / 2 Encontrar la solución del problema de valor inicial x ' = 3 x —y , x(0) = 3 y ’= x + y , _y(0) = 0. (5) S o l u c i ó n . De la primera ecuación en (5) se obtiene y — 3 x — x ‘. La derivación de esta ecuación da y' = 3 x ’- x " = x + y . Sustituyendo la y de (6) se llega a 3x'-x" = x + 3 x -x ' de manera que x " - 4 x ' + 4 x = 0. Esto implica que x ( t ) = ( c ¡ + c 2t ) e 2' (6)
    • 254 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN para un par de constantes c x y c2 . A l sustituir esta expresión en (6) se obtiene >’( 0 = 0 i - c 2 + c20 e2'. Las constantes C] y c2 se determinan a partir de las condiciones iniciales x(0) = 3 = c 1 ^(O) - 0 = Cj —c 2. Por lo tanto, c j = 3 y c2 = 3, de modo que jc ( /) = 3( 1 + t)e2l,y (t) = 3te2 f es la solución de (5). O b s e r v a c ió n . El sistema de ecuaciones simultáneas (1) se conoce usualmente como un s i s t e m a de ecuaciones de primer orden. Los sistemas de ecuaciones se tratan con detalle en los Capítulos 3 y 4. Ej e r c i c io s Encuentre todas las soluciones para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. 1. x ’ ’* 6 x - 3 y 2. x ' = - 2 x + y + t y' — - 4 x + 3 y - 1 y'-2 x + y 3. 4. x ' = x + y + e ‘ 3 x + 2y x' ■ x-y y' y ' = x —y — e 1 X -x -y, y = 5x — 3_y, 9. 8. x(0 ) = 0 x(0) = 0 y = x - 2 y + tant, y ( 0) = 10 . o II o ^ ' — 1 1 x <N II X * =2x — 5 y +senr, 2 .1 5 1 ii X y = - 2 x + 2y, x(0)= 1 y ( 0) = 2 X = 4x + 5>' + 4 e, cosr, y 11. 6. 0 —3x —2y, y = 4x - y , X X = 12. X y x ( 0) = 0 y( 0 = 5 ) x (0 ) = 1 y ( 0) = 5 3x — 4 y + e , y = x —y + e ‘, = > '+ /i(0 » X + 7. x (0) = 2 y ( 0) = 3 X x+y, y = 4x + y , 1 X = II 5. V* Encuentre la solución de cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. x ( 0) = 1 y ( 0) = l * ( 0) = 0 y (0)= o E c u a c i o n e s d e o r d e n s u p e r io r ________________ En la presente sección se estudiarán brevemente las ecuaciones diferenciales de orden superior. DEFINICIÓN . La ecuación ¿ | > ] = ^ ( ') ^ p r + a n - i ( t ) ~ r r [ + + tfO(')> ’ ==0, an( t ) ^ 0 (1)
    • 255 2.15 • Ecuaciones de orden superior se conoce como la ecuación lineal homogénea general de orden n. La ecuación diferencial ( 1) junto con las condiciones iniciales y(to)**yo, y'Oo)=yo,---,y(n~1 = )(to)=yon~l) 0 ') constituyen un problema de valor inicial. La teoría para la ecuación ( 1) es com­ pletamente análoga a la teoría para ecuaciones lineales homogéneas de segun­ do orden que se estudiaron en las Secciones 2.1 y 2.2. Por ello, los teoremas importantes se enunciarán sin demostración. Es posible obtener demostracio­ nes completas de estos resultados generalizando los métodos usados en las Sec­ ciones 2.1 y 2.2, o los métodos que se expondrán en el Capítulo 3. TEOREMA 10. S e a n y x(/), y n(t) n s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n ­ tes d e ( 1), es decir, n i n g u n a y j ( t ) e s c o m b i n a c i ó n l i neal d e l as d e m á s s o l u c i o ­ nes. E n t o n c e s t o d a s o l u c i ó n y { t ) d e (1) es d e la f o r m a >'(0 = c ,> ',(0 + •• + c ny n{ t ) • (2) p a r a a l g u n a e l e c c i ó n d e c o n s t a n t e s C j, . . ., cn. Por tal razón, se dice que (2) e s la s o l u c i ó n g e n e r a l d e (1). Para encontrar n soluciones linealmente independientes de (1) cuando los coeficientes a0 , a ¡ , . . . , a n no dependen de t, se determina L [ e ' ' ] = ( V ’' + a „ _ ¡r - ' + . . . + a oy . (3 ) Esto implica que e rt es solución de (1) si y sólo si r es una raíz de la ecuación caracte­ rística anr ’ + a „ _ l r " - ' + . . . + a o- 0 . (4 ) Así pues, si la ecuación (4) tiene n raíces distintas r , , . . . , rn , entonces la solución gene­ ran de (1) es y ( t ) = c1er,í + .. . + c ne r"‘. Si rj = ctj + i(3j es una raíz compleja de (4), entonces w(/) = R e {e r' } = e ajle o s fijt ' y u (/) = Im {e r ' } = e aj,sen/3jt ' son dos soluciones de (1) con valores reales. Por último, si r, es una raíz de multiplici­ dad k , es decir, si anr n + . . . + a 0 = ( r - r l ) kq ( r ) donde q ( r x) í 0, entonces e r,lt t e r'!, . . . , t k~xe rl’ son k soluciones linealmente indepen­ dientes de (1). Esta última afirmación se demuestra de la siguiente manera. Obsérvese a partir de (3) que L [ e " ] = ( r - r , ) ‘í( r ) e"
    • 256 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN si r | es una raíz de multiplicidad k. Por lo tanto, 3y L [ í V ' f] = L or = 0, para 1 < j < k Ej e m p l o i Encontrar la solución general de la ecuación - +„-a (5) SOLUCIÓN. La ecuación característica de (5) es r 4 + 1 = 0. Las raíces de esta ecua­ ción se hallan al observar que - ! = <?" = e*w = e5 = elwi. i ™ Por lo tanto, , _ e* / 4_ cos 4 + /sen^p = — 4 (l + i), V2 3ir 1 r2 « e3#,/4 = eos ~ + i sen . 4 4 r = 3 Svi / 4 5? , . —eos —r + /sen— 4 4 r4 = e 1'tti,A = eos ^ + i sen-^p = 4 ( 1- 0 . V 2 1 / l ------- — (1i i+* /), x /? v 7 V2 4 — V 2 (1 - /) son 4 raíces de la ecuación r 4 + 1 = 0. Las raíces r3 y r4 son las complejas conjuga­ das de /"i y r 2 t respectivamente. A sí pues, t , . f eos ——- + 1 sen V2 V2 eos h i senV2 V2 son dos soluciones de (5) con valores complejos y eso implica que y l (t) = e ,/V * c o s - ^ r , v^ cos — ^ 3(/) = #»- f, // V 2 c o s —-—-,. = e V2 y 2( v y = s e n -~ -, >>4(0 = * = — sen- * V2
    • 257 2.15 • Ecuaciones de orden superior son cuatro soluciones de (5) con valores reales. Dichas soluciones son, en verdad, lineal­ mente independientes. Por lo tanto, la solución general de (5) es y( 0 = í '/^ a, eos . z. 1- b , sen— t— t V2 + e -t/V i V2 t a? eos V2 Ej e m p l o 2 LL t h o, sen-------2 VI Encontrar la solución general de la ecuación d y d y d2 y _ *Z _ 3 _ 3¿ + 3_ Z dt4 í//3 í//2 . . ' =0. (6) dy ^ S o l u c i ó n . La ecuación característica de (6) es 0 = r 4 —3 r3 + 3 r2 —r = r ( r 3 —3 r2 + 3 r —1) = r ( r - l ) 3. Sus raíces son r { = 0, r2 = 1, con r 2 = 1 una raíz de multiplicidad tres. Por lo tanto, la solución general de (6) es >'(0 = ci + ( c2+ c 3/ + c4/2)e 'La teoría para la ecuación no homogénea Ly =Á + ... + a0(')>-= / ( ' ) . “ ')*0 [] “ ‘)^ A (7) también es completamente análoga a la teoría para la ecuación no homogénea de segundo orden. Los resultados siguientes son los análogos del Lema 1 y del Teorema 5 de la Sección 2.3. L e m a 1. L a d i f e r e n c i a d e d o s s o l u c i o n e s c u a l e s q u i e ra d e la e c u a c i ó n n o h o m o g é n e a (7) e s u n a s o l u c i ó n d e la e c u a c i ó n h o m o g é n e a (1). TEOREMA 11 . S e a p(t) u n a s o l u c i ó n p a r t i c u l a r d e la e c u a c i ó n n o h o m o g é ­ n e a (7), y s e a n y f t ) , . . . , y n{t) n s o l u c i o n e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e la e c u a c i ó n h o m o g é n e a (1). E n t o n c e s , t o d a s o l u c i ó n y ( t ) d e (7) e s d e a l f o r m a > '(0 =='H0 + c1>'I( 0 + •••+^>'«(0 p a r a a l g u n a e l e c c i ó n d e c o n s t a n t e s C j, c2, . . . , c„. E l método de la conjetura sensata también se aplica a la ecuación de orden n + ••+ ao>'==[ ¿,o+ V + ••+ bk t k ] e a‘. • •' (8)
    • 258 CAPÍTULO 2 • ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Puede verificarse fácilmente que la ecuación (8) tiene una solución particular ip ( t ) de la forma ' K 0 = [ co + < V + •• + C* ' * K ' • si e at no es solución de la ecuación homogénea, y ^ (r) = r'[c 0+ c ,r + ... + ck t k ] e a* si t i ~ l e al es solución de la ecuación homogénea, pero t ’ e * ' no lo es. E je m p lo 3 Encontrar una solución particular ¡/(í) de la ecuación rr i dXy ^ t LW = l ¿ + il ¿ + i T ,+y = e - (9) S o l u c i ó n . L a ecuación cacteristica r 3+ 3 r 2+ 3 r + l = ( r + l ) 3 = tiene a r —1 como raíz triple. Por lo tanto, e ( no es solución de la ecuación homo­ génea, y la ecuación (9) tiene una solución particular yp(t) de la forma A l evaluar L[}/)(t) = S A e 1 se encuentra que A = 1/8 . Por lo tanto, p(t) = l / 8ef es una solución particular de (9). También hay una fórmula de variación de parámetros para la ecuación no homo­ génea (7). Sea v(/) la solución de la ecuación homogénea (1) que satisface las condicio­ nes iniciales v(f0) = 0, v'(f0) = 0, . . . , v(/r_2)(/0) = 0, v (/l-,)(/0) = 1 . Entonces J ‘o es una solución particular de la ecuación no homogénea (7). En la Sección 3. h2 se demos­ trará esta afirm ación. (También puede demostrarse usando el método de la transfor­ mada de Laplace; véase la Sección 2 .13 .) Ej e r c i c i o s Encuentre la solución general de cada una de las siguientes ecuaciones. 1. /" -2 y ”- y ' + 2 y - 0 2. y"' - 6 y ” + 5 / + 12y - 0 3. y (iv)- 5 / " + 6y* + 4 / - 8.y — 0 4. y " ' - y ” + y ' - y - 0 Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial. 5. y ^ + A y " ' + M.y*— 20y' + 25y— 0; y (0)-/(0 )-y "(0 )- 0 ,/"(0)- 0 6. y ^ - y - 0; ^(0) - l , / ( 0) -^ " ( 0) - 0, / " ( 0) - - 1
    • 259 2.15 • Ecuaciones de orden superior 7. y (v) —2>»(iv) + y " ' —0; y ( 0 ) = y 0 ) = y ”( 0 ) ~ y " ' ( 0 ) = 0 , y ^ O ) * * - 8. Sabiendo que y¡ (t) = e r cos t es una solución de y ( iv)- 2 y ' " + y " + 2 y ' - 2 y = 0 , (*) determine la solución general de (*). S u g e r e n c i a: Use esta información para encon­ trar las raíces de la ecuación característica de (*). Obtenga una solución particular para cada una de las siguientes ecuaciones: 9. y ’” + y ' = tan / 10. 11. y (iv)+ y —g ( 0 12. / " + / = 2 f 2 + 4senf 13. y " ’ — 4 y ' = t + c o s t + 2 e ~ 2‘ 14. y (,v)—y — / +sen / 15. y (,v) + 2 y " + y = t 2sent 16. y (v,)+ y " = t 2 17. y " ' + y " + y ' + y — t + e ~ l y = g(t) 18. y (-,^ + 4 y '" + 6y" + 4 y ' + y = t 3e~* S ug er e n c i a p a r a (18): Haga la sustitución y = e~‘v y despeje v. De otra manera, tomará muchísimo tiempo resolver este problema.
    • 3 Sistemas de ecuaciones diferenciales 3.1 Propiedades a lg e b ra ic a s de s o lu c io n e s de SISTEMAS LINEALES Este capítulo trata de las ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden de va­ rias variables; es decir, ecuaciones de la forma dxx d x2 ~di = /2 (i) dxn Una solución de (1) consiste en n funciones x ¡ ( t ) , . . . , x „ ( t ) , tales que d x j { t ) / d t = n. Por ejemplo, x ,(0 = t y x 2{t) = d e s u n a solu­ ción del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden f j ( t , x , (/), . . . , x n{ t ) ) , j = 1 , 2 , dx. i r =1 dx, * ü T - 2 * ' ya que d x ( t ) / d t = 1 y d x 2( t ) / d t = 2 t = 2 x x(t). Además de la ecuación (1) se imponen con frecuencia condiciones iniciales sobre las funciones ^ ( O . ••• x n{t). Dichas condiciones serán de la forma » *1 (^o) = x l> X 2 (^o) = X 2’ ' ’ - ’ Xn ( í o ) ~ x n- (O 261
    • 262 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES La ecuación (1), junto con las condiciones iniciales (1'), se conocen como p r o b l e m a d e v a l o r inicial. La solución de tal problema consiste en n funciones x x(t), • • x n ( 0 Que » satisfacen (1 ) y las condiciones iniciales * i('o ) = *?>•• •>*„('<)) = * íPor ejemplo, ^ ( í) = e ‘ y x 2(t) = 1 + e 2t/ l son una solución del problema de valor inicial dx{ ~dF * 2 - 2 3 ya que d x x( t ) / d t = e l = x x(t), d x 2( t ) / d t = e 2t = x 2 (t), x-,(0) = 1 y a-2(0) = 3/2. La ecuación (1) se conoce también como sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Este tipo de ecuaciones se presenta con frecuencia en aplicaciones bioló­ gicas y físicas, las cuales muchas veces describen sistemas muy complicados, ya que la tasa o rapidez decambio de la variable Xj depende no solamente de t y de Xj, sino tambjén de losvalores de todas las otras variables. Un ejemplo particular es el modelo para la glucosa de la sangre, que se estudió en la Sección 2.7. En dicho modelo, las tasas de variación g y h (las desviaciones de la cantidad de glucosa en la sangre y la concen­ tración hormonal neta, respecto de los valores óptimos, respectivamente) están dadas por las ecuaciones ^8 i , r / 1 — = - m g - m 2h + J ( t ) , dh i , — = — m 2h + m 4 g. E l anterior es un sistema de dos ecuaciones de primer orden para las funciones g ( t ) y h ( t ) . Algunos sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden provienen de ecua­ ciones de orden superior para una variable y { t ) . Toda ecuación diferencial de orden n en la variable y , puede expresarse como un sistema de n ecuaciones de primer orden para las variables dy d n~ x y Los Ejemplos 1 y 2 ilustran cómo opera esto. Ej e m p l o 1 Transform ar la ecuación diferencial d ny d n~ x y en un sistema de n ecuaciones de primer orden. SOLUCIÓN. S e a n x ^ /) = y , x 2(t) dxx = d y / d t , . . . , y x n (t) dx2 d x n_ , = d n~ xy / d t n~x. Entonces,
    • 263 3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales Ejem plo 2 Transformar el problema de valor inicial y"(°)=o + 3 y = e '; en un problema de valor inicial para las variables y , d y / d t , d 2y / d t 2. SOLUCIÓN. Sean Xx(t) = y , x 2(t) = d y / d t y x3(f) = d 2y / d t 2. Entonces, dx{ dx2 ir dx3 I i Más aún, las funciones x l , x 2 y x 3 satisfacen las condiciones iniciales *i(0), x 2(0 ) = 0 y *3(0) = 0. Si cada una de las funciones f ¡ , en (1) es función lineal de las variables dependientes x lf . . . , x „ , entonces se dice que el sistema de ecuaciones es lineal. E l sis­ tema más general de ecuaciones lineales de primer orden tiene la forma dxx - j f - « 1 1 ( 0 * i + — + ‘*lH( t ) x H+ g l ( t ) ( 2) = «ni (')* 1 + • •+ «nn(0 *^ + g«(0 • n Si cada función g ¡ , . . . , g n es igual a cero, entonces el sistema (2) se llama h o m o g é ­ n e o ; de otro modo se denomina n o h o m o g é n e o . Este capítulo sólo analiza el caso en que los coeficientes a¡j no dependen de t. Ahora bien, incluso el sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes dx, Ii ln-*n (3) ¿Xn dt a „ i* ,+ . . . + a „ x „ es muy d ifícil de tratar, en especial si n es muy grande. Por eso se busca una manera más concisa de escribir las ecuaciones. Con este fin se introducirán los conceptos de vectores y matrices. DEFINICIÓN. Un v e c t o r es una notación abreviada para la sucesión de números x x, . . . , x n * Los núme­ * (N. del R.) Esta definición de un vector matemático se relaciona con la del vector físico usual, considerando las componentes-ortogonales (escalares) de este último como una sucesión ordenada de números, que pueden ser de tres en el concepto matricial de vector.
    • 264 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ros X , . . . , x n se llaman c o m p o n e n t e s de x. Si x x = X (r), . . . , y x n = x n(t), entonces *1 ( 0 x(t)> se conoce como una función vectorial o con valores vectoriales. Su derivada d x ( t ) / d t es la función vectorial DEFINICIÓN. Una m a t r i z *n A= *22 *21 hn m2 mI es una notación o representación abreviada para el arreglo o disposición rec­ tangular de números los cuales se distribuyen en m renglones y n colum­ nas. E l elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j se denota por a¡j. E l primer subíndice identifica el renglón, y el segundo identifica la columna. Se dice que A es c u a d r a d a si m = n . A continuación, se define el producto de una matriz A y un vector x. DEFINICION. Sea A una matriz de n x n con elementos a iJy y sea x un vec­ tor con componentes x it . . . , x „ . Se define el producto de A por x, y se deno­ ta por A x, como el vector cuya componente (o cuyo componente) i es £7 ,*, + £7 2 + ... + a inx n, , (2* i = 1 ,2 ,..., n. En otras palabras, el componente i de Ax es la suma de los productos de térmi­ nos que corresponden al renglón i de A con el vector x. A sí pues, Ax = *21 ‘ 12 *22 *n *nl £ 7 , , * , + £ 7 2 ,*X , + . . . + £ 7 n*n l ,„ * . , ’2 £72 , * , + £* 22 - **2, + 7 „ . . . + £ 7 2/ft ,.* , a n x x + a nlx 2 + . . . + a nnx n
    • 265 3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales Por ejemplo, 1 1 1 2 4 0 6 1 1 '3' 2 = 1 ir 3 + 4 + 4' 3 -3 + 0 + 6 = 3+ 2+1 l 6j Por último, obsérvese que el lado izquierdo de (3) son los componentes del vector d x / d t , mientras que el lado derecho de (3) son las componentes del vector Ax. Por lo tanto, la Ecuación (3) puede escribirse en forma concisa como sigue *11 x=^r dt = Ax, donde y x= A= a x2 a 2 f y, #22 • xn m °n . ; • «„2 • •• alH' *2 * • • • • (4) a nn_ Más aún, si x x(t), . . . , x „ ( t ) satisfacen las condiciones iniciales ■*1 ('o) = *1 >••‘ — entonces x(/) satisface el problema de valor inicial x = Ax, x (/0) = x°, donde x° = Por ejemplo, el sistema de ecuaciones dx j ~dt dx2 — dx3 ~dt = 3x, - 7 x 2+ 9x 3 = 15*, + * 2- * 3 ■ l x { + 6x 3 puede escribirse en forma abreviada como X= r 3 15 7 -7 1 0 9] - 1 x, 6 X — *2 ■X 3 y el problema de valor inicial dx. dt = x , - x 2 + x 3, x ,(0) = l —3 x 2 —x y * 2(0) = 0 = x, + 7 x 3, x 3(0) = - l dx2 ~dt dx3 ~dt (5)
    • 266 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES se puede expresar en forma abreviada como 1 x— 0 1 -1 3 0 1 x, -1 f 0 x(0) = 7 -1 Después de haber logrado escribir la Ecuación (3) en la forma más sencilla (4) es posible abocarse al problema de encontrar todas sus soluciones. Dado que las ecuacio­ nes son lineales, se tratará de seguir la misma estrategia que tanto éxito tuvo en el caso de las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. De hecho, se demostrará que tanto el producto de una solución y una constante, como la suma de dos soluciones, es también una solución de (4). Después se hará ver que tomando todas las combinacio­ nes lineales de un número finito de soluciones, es posible encontrar todas las soluciones de (4). Por supuesto que primero debe definirse qué significa una constante multiplica­ da por x y la suma de x y y si x y y son vectores de n componentes. D e f in ic ió n . Sea c un número y x un vector con n componentes x x, . . . , x n. Se define ex como el vector cuyas componentes son e x t, . . . , c x n, es decir ' c x x' cx2 * i' *2 . c x ». Por ejemplo, si c= 2 y ’ 3' 1 , entonces 7 x= ’3 ' 6 2x = 2 1 = 2 14 17 , E l proceso de multiplicar un vector x por una constante c se conoce como m u l ­ t i p l i c a c i ó n p o r u n escal ar. DEFINICION. Sean x y y vectores con componentes x x x„ c y ¡ , , y n, respectivamente. Se define x + y como el vector cuyas componentes son x x + y x, . . . , * „ + es decir X2 x+ y= y 1' yi y„ + Xn *1 + > V * 2+^2 x* + y n Por ejemplo, si x= 1 6 3 2 y y= -1 -6 7 9.
    • 267 3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales entonces 1 6 + 3 2 '- 1 -6 7 9 ss 0 0 10 II. E l proceso de sumar dos vectores se conoce como adición vectorial. Habiendo definido el proceso de multiplicación por un escalar y el de adición vec­ torial, puede enunciarse el siguiente teorema: TEOREMA 1 . S e a n x ( t ) y y (/) d o s s o l u c i o n e s d e (4). E n t o n c e s (a ) c x ( t ) e s u n a s o l u c i ó n p a r a c u a l q u i e r c o n s t a n t e c , y ( b) x ( t ) + y (t) e s t a m b i é n u n a solución. E l Teorema 1 puede demostrarse fácilmente con ayuda del siguiente lema: LEMA. S e a A u na m a t r i z d e n x n. P a r a c u a l e s q u i e r a v e c t o r e s x y y y una c o n s t a n t e c u a l q u i e r a c. (a) A (ex) = cA x y ( b ) A (x + y) = Ax + A y. D e m o s t r a c ió n d el l e m a . (a) Se probará que los dos vectores son iguales haciendo ver que tienen las mismas com­ ponentes. Para ello, obsérvese que la componente i del vector cA x es can x x+ ca< 2x2 + ... + cainx n = c(u(1*, + ... + a inx n), y la componente i del vector A (ex) es an (c * ,)+ ai2( c x 2) + ... + ain( c x n) = c { a n x l + ... + ainx„). y la componente i del vector A (ex) = cAx. (b) L a componente i del vector A (x + y) es <*¡(*i +.Vi) + •••+ a¡Ax* + y n) = (0,1*1 + • . + ainx n) + ( a i l y l + ... + ainy „) . • Pero esta también es la componente i del vector A x + A y, ya que la componente i de A x es a i l x l + . . . + a inx n y la componente / de A y es a,-^) + . . . + a iny n . Por lo tanto, A (x + y) = A x + A y . □ D e m o s t r a c ió n del T e o re m a 1 . (a) Si x(T) es una solución de (4), entonces d d(t) — cx(r) = c —^ ~ = cAx(r) = A(cx(r)). Por lo tanto, c x { t ) también es una solución de (4). (b) Si x(/) y y ( t ) son soluciones de (4), entonces M 0 + y(0 )= “ p + = A x (r) + A y (0 = A (x(/) + De modo que, x ( t ) + y (O también es una solución de (4). y(0)□
    • 268 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Un corolario inmediato del Teorema 1 es que cualquier combinación lineal de solu­ ciones de (4) también es una solución de (4). Es decir, si x'(r), •• xy(r) son j solucio­ nes de (4), entonces q x V ) + . . . + también es solución para cualquier elec­ ción de constantes c j , c2, . . c¡. Por ejemplo, considérese el sistema de ecuaciones dxK dx2 -dT = x » -dF = ~ A x" dx bien' T t =(-4 ó )x’ x=(£ )' < 6> Este sistema proviene de la ecuación escalar de segundo orden (d 2y / d t 2) + 4 y t = 0, al hacer jc, = y y x 2 = d y / d t . Dado q u e y ¡ ( t ) = eos 2 1 e y 2{t) = sen2r son dos solu­ ciones de la ecuación escalar, se sabe entonces que x ( , ) J x ' ( ' ) L C|( x i { t) J cos2 ' ) + c2 ( —2 sen2 t j sen2r) 2cos2t j c 1cos2 / + c2sen2 / —2c,sen2 / + 2 c2cos2 / J es una solución de (6) para cualquier elección de constantes c 1 y c2. E l siguiente paso en la estrategia es mostrar que toda solución de (4) puede expre­ sarse como una combinación lineal de un número finito de soluciones. De manera equi­ valente, se tratará de determinar cuántas soluciones es necesario encontrar para gene­ rar todas las soluciones de (4). H ay una rama de las matemáticas, conocida como álgebra lineal, que se ocupa principalmente de esta cuestión, por lo que se considerará ahora dicha área. Ej e r c i c io s En cada uno de los Ejercicios 1 a 3 transforme la ecuación diferencial dada con variable y a un sistema de ecuaciones de primer orden. . 1. d 2y (d y2 —T + - t t ) = 0 dt3 Vd t ) , d *y , 2. — r +cos^ = ^f dt¡ ' , d 4y d 2y 3. —- + —- = 1 dí2 4. Cambie la siguiente pareja de ecuaciones de segundo orden d 2y , 0 dz , 0 n —- + 3 -j - + 2y - 0, dt2 dt d2 z dt2 ~d y dt —— 3 - j- + 2 z = 0 + ' a un sistema de 4 ecuaciones de primer orden en las variables x=y, * 2= / , * 3= z y x 4= z'. 5. (a) Sea y ( t ) una solución de la ecuación y " + y ' + y = 0. Demuestre que X(., = es una solución del sistema M /<
    • 269 3.1 • Propiedades algebraicas de soluciones de sistemas lineales (b) Sea wo una solución del sistema de ecuaciones * - ( - ? -!)> Demuestre que y = * ,(í) es una solución de la ecuación .y" + y ' + y = 0. En cada uno de los Ejercicios 6 a 9 escriba el sistema dado de ecuaciones diferenciales y valor inicial, en la forma x = Ax, x(/0) = x°. 6. Xj = 3 * | —7 x 2, x 2 = 4 x ,, 8. x,(0)= l x, = x, + x 2 — x 3, x x x , — x 2+ 4 x 3, x 1= x 2= x,(0) = 0 2= 3 x 3= — x, — x 2, 10. 7. x 2(0)=1 5 x , + 5 x 2, —x , + 7 x 2, 9. Xj = — x 3, 2( 0 ) = 1 x x 3(0 )= — 1 2= x Xj(3) = 0 x 2(3) = 6 x , ( — 1) — 2 ,, x x 3= — x 2, 2( — 1) = 3 x 3( - 1) = 4 Sean x —I 3 I 2/ y y= [ 0 4 Calcule x + y y 3x - 2y. 11. Sea 1 2 - 1 A—I 3 0 4 -1 -1 2 Calcule A x si (a)x= |oJ, (b )x = |^j, (c) x - 1 0 12. Sea A cualquier matriz de n x n, y sea ey el vector cuya componente y es 1 y cuyas componentes restantes son igual a cero. Verifique que el vector A e y es la columna j de A . 13. Sea / -1 A=I 2 -l 30 13 0 2 Calcule A x si (a) 14. x= | 2^ (b) x = | —i |, Sea A una matriz de 3 x 3 con la propiedad de que
    • 270 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Calcule S u g e r e n c i a : Escriba Como una combinación lineal de y 15. Sea A una matriz de 2 x 2 con la propiedad de que Determine A . S u g e r e n c i a : E l camino fácil es usar el Ejercicio 12. 3 .2 Es p a c i o s v e c t o r ia l e s En la sección anterior se definió de manera natural un proceso de adición de dos vecto­ res x y y para originar un nuevo vector z = x + y, y un proceso de multiplicación de un vector x por un escalar c para producir un nuevo vector u = e x . E l primer proceso se llamó adición vectorial, y el segundo, multiplicación por un escalar. El presente estu­ dio del álgebra lineal comienza con la premisa más general de que se tiene un conjunto V de elementos x, y, z, . . . , y un proceso que combina dos elementos x y y de V para formar un tercer elemento z en V , y también se tiene un segundo proceso que combina un número c y un elemento x en V para formar un nuevo elemento u en V . E l primer proceso se denotará como suma, es decir, se escribirá z = x + y, y el segundo se deno­ tará como multiplicación por un escalar, o sea, se escribirá u = ex, siempre y cuando ambos satisfagan los axiomas de la adición y la multiplicación, los cuales son: (i) x + y = y + x (ley conmutativa) (ii) x + ( y + z) = (x + y) + z (ley asociativa) (iii) Existe un elemento único en V , llamado e l e m e n t o c e r o , y denotado por 0, con la propiedad de que x + 0 = x para toda x enV . (iv) Para todo elemento x enV hay un elementoúnico, denotado por - x y denomina­ do n e g a t i v o de x, o menos x, tal que x + (— = 0 x) (v) 1 • x = x para toda x en V (vi) (a b ) x = a ( b x ) para todo par de números a y b , y para todo elemento x en V (vii) o(x + y) = a x + a y (viii) (a + b ) x = a x + b x . E l conjunto V , asociado en los procesos de adición y multiplicación que satisfacen las condiciones (i) a (viii}, se llama e s p a c i o v e c t o r i a l , y sus elementos se denominan vec­
    • 271 3.2 • Espacios vectoriales t o r e s . Usualmente, los números a y b son números reales, excepto en casos especiales en los que se les considera como números complejos. O b s e r v a c ió n 1 . En los axiomas del (i) al (viii) está implícito el hecho de que si x y y están en V , entonces la combinación lineal a x + b y también está en V para cual­ quier elección de constantes a y b. O b s e r v a c ió n 2 . En la sección anterior se definió un vector x como una sucesión de n números. En el contexto más general de esta sección se llama vector a una cantidad x por el hecho de estar en un espacio vectorial. Es decir, una cantidad x es un vector si pertenece a un conjunto de elementos V con dos procesos (adición y multiplicación por un escalar) que satisfacen las condiciones (i) a (viii). Como se verá más adelante en el Ejem plo 3, el conjunto de sucesiones x= de n números reales es un espacio vectorial (con las operaciones usuales de adición vec­ torial y multiplicación por un escalar definidas en la Sección 3.1). A sí pues, las dos defi­ niciones son compatibles. E J E M P L O 1 Sea V el conjunto de funciones x ( t ) que satisfacen la ecuación diferencial 4 t -* = 0 dr ( 1) con la suma de dos funciones y el producto de una función por un número, definido en la forma usual. Es decir, ( / . + / 2)( 0 - / . ( 0 + / 2 W y (c /)(0 -c /(0 . Es fácil verificar que V es un espacio vectorial. Observar primero que si jt1 y x 2 están en V , entonces toda combinación lineal C jX 1 + c 2x 2 está en V , ya que la ecuación dife­ rencial (1) es lineal. Más aún, los axiomas (i), (ii), y del (v) al (viii), se satisfacen auto­ máticamente, ya que para cualquier tiempo t, la adición de funciones y la multiplica­ ción de una función por un número, se convierte en la adición y la multiplicación de dos números. E l vector cero en V es la función que toma el valor nulo para todo tiempo /; dicha función está en V , ya que x ( t ) s 0 es una solución de (1). Por último, en negati­ vo de cualquier función en V está también en V , ya que el negativo de cualquier solu­ ción de ( 1) es también una solución de ( 1). Ej e m p l o 2 Sea V el conjunto de todas las soluciones x ( t ) de la ecuación diferencial (d 2x / d t 2) —6 x 2 = 0, con la suma de dos funciones y el producto de una función por
    • 272 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES un número, definidos en la forma usual. V no es un espacio vectorial, ya que aunque la suma de dos soluciones cualesquiera está bien definida, no se encuentra necesaria­ mente en V. De manera similar, el producto de una solución por una constante no nece­ sariamente está en V . Por ejemplo, la función x ( t ) = / t 2 está en V , pues satisface la ecuación diferencial; sin embargo, la función 2 x { t ) = 2 / t 2 no está en V ya que no satis­ face la citada ecuación diferencial. Eje m p l o 3 Sea V el conjunto de las sucesiones x= de n números reales. Definir x + y y ex como la adición vectorial y la multiplicación por un escalar que se definieron en la Sección 3.1. Es fácil verificar que V es un espacio vectorial ante estas operaciones. E l vector cero es la sucesión y el vector - x es el vector Este espacio se conoce usualmente como el e s p a c i o e u c l i d i a n o de dimensión n y se denota por R”. Eje m p l o 4 Sea V el conjunto de todas las sucesiones x— de n números complejos x ly . . . , x n . Definir x + y y ex, para cualquier número com­ plejo c, como la adición vectorial y la multiplicación por un escalar que se definieron en la Sección 3 .1. Una vez más es fácil verificar que V es un espacio vectorial ante estas operaciones. Este espacio se denomina usualmente como el e s p a c i o c o m p l e j o de dimen­ sión n , y se denota por C n. Eje m p l o 5 Sea V el conjunto de todas las matrices A de n x n. Definir la suma de matrices A y B como la matriz que resulta de sumar los elementos correspondientes
    • 273 3.2 • Espacios vectoriales de A y de B , y definir la matriz c A como la que se obtiene al multiplicar por c todos los elementos de A. En otras palabras, ■«11 «21 «12 «22 • • «!*' • • « 2* ü n a n2 ■• «„„, ’¿n + b x2 . • bi/ b 2i ¿22 • ¿2 n b-i bn2 ■ V a,, + b u «12 «22 •■ • a 22+ b 21 « 2,. + ¿ 2n «„i + ¿ n 1 «11 a n + b n a 2 + b 2i «21 a 12+ b ]2 a n2 + b„2 + b„ «!„' can ca 12 «2* c a 21 c a 21 . • •• cau ' c a 2n c«„2 •• ™ nn =B .««1 a n2 • «**. Los axiomas (i), (ii) y (v) a (viii) se satisfacen automáticamente, ya que lo que se hace al sumar dos matrices o multiplicar una matriz por una constante es sumar o multipli­ car dos números. El vector cero, o la matriz 0, es aquella cuyos elementos son todos nulos, y el negativo de una matriz A es ln Por lo tanto, V es un espacio vectorial ante las operaciones de adición de matrices y multiplicación por un escalar. Ej e m p l o 6 Ahora se presentará un ejemplo del conjunto de elementos que tiene semejanza con un espacio vectorial, aunque no lo es. E l propósito del ejemplo es hacer notar que los elementos de V pueden ser casi de cualquier índole, y que la operación de adición puede ser un proceso muy extraño. Sea V el conjunto formado por tres ani­ males: un gato (C, de c a t ) , un perro (D , de d o g ) y un ratón (M, de m o u s é ) . Siempre que dos animales se encuentran, uno de ellos devora al otro y se transforma en un ani­ mal diferente. Las reglas para que se devoren son las siguientes: (1) Si un perro encuentra a un gato, entonces el perro devora al gato y se transforma en ratón. (2) Si un perro encuentra a otro perro, entonces uno de ellos devora al otro y se trans­ forma en gato. (3) Si un perro encuentra a un ratón, entonces el perro devora al ratón y permanece sin cambio.
    • 274 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (4) Si un gato encuentra a otro gato, entonces uno de ellos devora al otro y se trans­ forma en un perro. (5) Si un gato encuentra a un ratón, entonces el gato devora al ratón y permanece sin cambio. (6) Si un ratón encuentra a otro ratón, entonces uno de ellos devora al otro y perma­ nece sin cambio. Por supuesto que “ devorar” es un proceso para combinar dos elementos de V y formar un tercer elemento en V . Este proceso de devoración se llamará adición y se denotará por + , de modo que las reglas 1 a 6 pueden escribirse en forma abreviada como 1. D + C = M 4. C + C = D 2. D + D — C 5. C + M = C 3. D + M — D 6. M + M = M . Esta operación de devorar satisface todos los axiomas de la suma. Para verlo, nótese que el axioma (i) se satisface porque las reglas de la devoración no dependen del orden en que aparecen los animales. Es decir, D + C = C + D , etcétera. Más aún, el resul­ tado de cualquier suma es, una vez más, un animal en V . Eso no pasaría, por ejemplo, si un perro devorara a un gato y se transformara en un hipopótamo. La ley asociativa (ii) también se satisface, aunque su verificación debe hacerse explícitamente. Supónga­ se, por ejemplo, que se encuentran dos gatos y un perro. A priori, no es obvio que no haya diferencia si los dos gatos se encuentran primero y el resultado encuentra al perro, o si un gato encuentra primero al perro y el resultado encuentra al otro gato. Para veri­ ficarlo considere ( C + C ) + Z) = Z) + Z) = C (C+Z)) + C = A / + C = C . Análogamente es posible demostrar que el resultado de cualquier encuentro entre tres animales es independiente del orden en que se encuentran. Ahora bien, obsérvese que el elemento cero en V es el ratón, ya que ningún animal cambia después de devorar un ratón. Por último, “ menos un perro” es un gato (ya que D + C = A /); “ menos un gato” es un perro, y “ menos un ratón” es un ratón. Sin embargo, V n o es un espa­ cio vectorial, ya que no se definió una operación de multiplicación escalar. Más aún, es clara la imposibilidad de definir las cantidades a C y a D , para todos los números rea­ les a , de modo que satisfagan los axiomas (v) a (viii). Eje m p l o 7 Sea V el conjunto de todas las soluciones * i(0 x(0 = con valores vectoriales de la ecuación diferencial vectorial 'i* ■ x = Ax, (2) A= *nl
    • 275 3.2 • Espacios vectoriales V es un espacio vectorial ante las operaciones usuales de adición vectorial y multiplica­ ción por escalares. De hecho, obsérvese que los axiomas (i), (ii) y (v) a (viii) se satisfa­ cen automáticamente. Por lo tanto, sólo se necesita verificar que (a) L a adición de dos soluciones cualesquiera de (2) es también una solución. (b) Una constante multiplicada por una solución de (2) también es una solución. (c) La función con valores vectoriales •o *.(0 ' •• o es una solución de (2), axioma (iii). (d) E l negativo de cualquier solución de (2) es también una solución, axioma (iv). Ahora bien, (a) y (b) son exactamente el Teorema 1 de la sección anterior, mientras que (d) es un caso especial de (b). Para verificar (c) obsérvese que 0 0 a 0' — ... o y ... o — ... o o ••• 0' Por lo tanto, la función con valores vectoriales x ( t ) = 0 es siempre una solución de la ecuación diferencial (2). Ej e r c i c i o s En cada uno de los problemas del 1 al 6, determine si el conjunto dado de elementos forma un espacio vectorial de acuerdo con las propiedades de adición vectorial y multi­ plicación por un escalar definidas en la Sección 3.1. Í X' 1. E l conjunto de todos los elementos x = I x 2 1 donde 3*! - l x 2 = 0 t X' 2. E l conjunto de todos los elementos x = I x 2 1 donde Xi + x 2 + x¡ = 0 ¡ x i 3. E l conjunto de todos los elementos x = j x2 j donde x + x + x 3 = 1 l Xl 4. E l conjunto de todos los elementos x = I x 2 * 3 donde Aq + x 2 + x¡ = 1
    • 276 5. CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES E l conjunto de todos los elementos x = í a j para todo número real a y b b l 6. El conjunto de todos los elementos x = X| + X2 + *3 = 0, X—*2+ 2 x 3= 0, donde 3*! — x 2+ 5 x 3= 0 En cada uno de los Problemas 7- 1 1 , determine si el conjunto dado de funciones consti­ tuye un espacio vectorial de acuerdo con las operaciones usuales de adición de funcio­ nes y multiplicación de una función por una constante. 7. E l conjunto de todos los polinomios de grado < 4 . 8. El conjunto de todas las funciones diferenciables. 9. El conjunto de todas las funciones diferenciables cuya derivada en t = 1 es tres. 10. 11 . E l conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial y " + y = cosT. El conjunto de todas las funciones y ( t ) que tienen periodo 2 tt,es decir, que y ( t + 2 tt) = y ( t ) . 12. Demuestre que el conjunto de soluciones con valores vectoriales del sistema de ecuaciones diferenciales no es un espacio vectorial. 3 .3 D im e n s ió n d e un e s p a c i o v e c t o r i a l Sea V el conjunto de soluciones y ( t ) de la ecuación lineal homogénea de segundo orden (d 2y / d t 2) + p ( t ) ( d y / d t ) + q ( t ) y = 0. Recuérdese que toda solución y ( t ) puede expre­ sarse como combinación lineal de cualesquiera dos soluciones linealmente independien­ tes. A sí pues, si se conocieran dos funciones “ independientes” y l (t) y y 2(t) en V, entonces se podrían encontrar todas las funciones en V al tomar todas las combinacio­ nes lineales c xy t ) + c 2y 2(t) de .y1 y y 2. Sería deseable poder deducir una propiedad similar para las soluciones de la ecuación x = A x. Para ello, se define la noción de un conjunto finito de vectores que generan el espacio total, y la noción de independen­ cia de vectores en un espacio vectorial arbitrario V . DEFINICION. Se dice que un conjunto de vectores x 1, ^ 2, . . . , x" g e n e r a a V si el conjunto de todas las combinaciones lineales c^x1 + c2x2 + . . . + c„x" agota a V . Es decir, los vectores x 1, x2, . . . , x" generan V si todo elemento de V puede expresarse como una combinación lineal de x1, x2, . . . , x".
    • 277 3.3 • Dimensión de un espacio vectorial 1 Ejem plo Sea V el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial ( d 2x / d t 2) x = 0. Sea x l la función cuyo valor en cualquier tiempo t es e y sea x 2 ía función cuyo valor en cualquier tiempo t es é~l . Las funciones x l y x 2 están en V , ya que satis­ facen la ecuación diferencial. Más aún, estas funciones también generan a V , ya que toda solución at( í ) de la ecuación diferencial puede escribirse en la forma x ( t ) = c le ‘ + c 2e ‘ de modo que c,x + c-,x . Ejem plo 2 Sea V = R" y denótese por ey al vector con un 1 en el lugar j y ceros en las demás posiciones; es decir, ' 1 0 e1 = 0 r ° 1 e2 = 1 0 ' 0 ' 0 , •. •, 6* == ^ 0 1 . 0 . 0 El conjunto de vectores e1, e2, . . . , e" genera a R", ya que todo vector x= puede escribirse en la forma x= 0 . 0 . + ■0 ' *2 +... + 0 ' 0 = x {e l + x 2e2 + ... + xnen. . 0 . D e f in ic ió n . Se dice que un conjunto de vectores x1, x2, . . . , x" es li neal­ m e n t e d e p e n d i e n t e si uno de los vectores es una combinación lineal de los otros. Una manera de expresarlo con precisión matemática es la siguiente. Se dice que un conjunto de vectores x 1, x2, . . . , x" es linealmente dependiente si existen constantes c ¡ , c 2 , . . . , c„, n o t o d a s i g u a l e s a c e r o y tales que c,x' + c 2x 2 + ... + cnx n = 0. Estas dos definiciones son equivalentes, porque si x j es una combinación lineal de x 1, . . . , x j ~ x j + *, . . . , x", es decir, si Xj = CjX1 + ... + Cy_ ,x '_ 1 + cj + ,x; + 1 + ... + cnx",
    • 278 Capítulo 3 • sistemas de ecuaciones diferenciales entonces la combinación lineal ¿^x1 + ... + cy _ ,x' ~ 1 - x j + cj + ,xy+ ' + . . . + cnx n es nula y no todas las constantes son iguales a cero. Recíprocamente, si Cj X1, + c2x2 + . . . + c nx n = 0 y Cj # 0 para alguna j , entonces es posible dividir entre Cj y despejar x y como una combinación lineal de x 1, . . . , x 7 -1, x J + ', . . . , x". Por ejemplo, si C] ^ 0 entonces puede dividirse entre q para obtener X I C2 = c, x 2 c, x 3 c* — . . . c, n X . DEFINICION. Si los vectores x 1, x2, . . . , x" no son linealmente dependien­ tes, es decir, si ninguno de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los otros, entonces se dice que son l i n e a l m e n t e i nd e p e n d i en t e s . La expre­ sión matemática precisa significa que los vectores x x2, . . . , x" son linealmen­ te independientes si la ecuación c,x' + c2x2+ ••+ c nx" = 0 • implica necesariamente que todas las constantes c { , c2, . . . , cn son iguales a cero. Para determinar si un conjunto de vectores x 1, x2, . . . , x" es linealmente depen­ diente o independiente, se escribe la ecuación CjX1 + c2x2 + . . . + c nx n = 0, y se ve qué implica la igualdad acerca de las constantes C j, c2, . . . , c n . Si todas las consantes deben ser nulas, entonces x1, x2, . . . , x" son linealmente independientes. Por otro lado, si no todas las constantes c { , c2, . . . , c n deben ser iguales a cero, entonces x 1, x2, . . . , x" son linealmente dependientes. EJEMPLO 3 Sea V = R3 y sean x 1, x2 y x3 los vectores 1 x1= -1 X2= 1 T 2 3 y x3 = 3 0 5 Para determinar si los vectores son linealmente dependientes o linealmente inde­ pendientes, se escribe la ecuación q x 1 + c2x2 + c3x3 = 0, es decir, ' '3 1 + c2 2 + c3 0 = 3 5 1 f -1 E l primer miembro de esta ecuación es el vector 0' 0 0
    • 279 3.3 • Dimensión de un espacio vectorial Por lo tanto, las constantes C j, c2 y c3 deben satisfacer las ecuaciones + 3 c 3 = 0, ( i) —c, + 2 c2 = 0, (ii) c l + 3c2 + 5c3 = 0. (iii) c, + c2 La ecuación (ii) afirma que c, = 2c2. Sustituyendo esto en las ecuaciones (i) y (iii) se obtiene 3 c2+ 3 c3= 0 y 5 c 2 + 5 c 3 = 0. Estas ecuaciones tienen un número infinito de soluciones c2, c3 puesto que se redu­ cen a la ecuación c2 + c3 = 0. Una solución particular es c2 = - 1 , c3 = 1. Entonces, a partir de la ecuación (ii) se tiene c { = - 2 . Por lo tanto, ’ 1 2 -1 1 t 2 + 3 '3' 0 = 5 0' 0 0 y x l, x2 y x3 son vectores linealmente dependientes en R3. Ejem plo 4 Sea V = R" y sean e 1, e2, . . . , e", los vectores ■ 1 0 0 0 1 0 e 2= 0 '0 ' 0 e" = . 01 , 0 Para determinar si e1, e2, . . . , e" son linealmente dependientes o independientes, se escribe la ecuación q e 1 + . . . + c„e" = 0, es decir, 1 0 0 0 1 0 + c2 .0 ' 0 0 .0 + ... + c„ 0 1 ' '0 ' 0 0 ! .0 E l primer miembro de esta ecuación es el vector ¿i ' ¿2 Por lo tanto, c¡ = 0, c2 = 0, . . . , y c„ = 0. Como consecuencia, e1, e2, . . ., e" son vectores linealmente independientes en R".
    • 280 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICION. La d i m e n s i ó n de un espacio vectorial V , que se denota por dim V , es el número mínimo de vectores linealmente independientes que genera a V . Se dice que V es un espacio de dimensión finita si su dimensión lo es. Por otra parte, se dice que V es un espacio de dimensión infinita si ningún conjunto finito de elementos genera a V . La dimensión de un espacio V puede caracterizarse como el número mínimo de ele­ mentos que hay que encontrar para conocer todos los elementos de V. En este sentido, la definición de dimensión refleja la idea intuitiva sobre el tema. Sin embargo, a partir de esta definición únicamente, es muy difícil calcular la dimensión de un espacio V. Por ejemplo, sea V = R". En los Ejemplos 2 y 4 se mostró que los vectores e1, e2, e" son linealmente independientes y generan a V . Más aún, se tiene la idea intuitiva de que no es posible generar a R" con menos de n vectores. A sí pues, la dimensión de R" debe ser igual a n. Pero, ¿cómo es posible demostrarlo rigurosamente? De hecho, ¿cómo es posible demostrar la imposibilidad de encontrar un conjunto de (n - 1) vec­ tores linealmente independientes que generen a R "? A sí pues, la definición considera­ da de dimensión no es muy útil. Sin embargo, será de muchísima utilidad después de demostrar el siguiente teorema. TEOREMA 2. Si n v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s g e ne r a n a V , e n t o n ­ c e s d i m V = n. Se necesitarán dos lemas para demostrar el Teorema 2. E l primero trata de las solu­ ciones de los sistemas de ecuaciones lineales y puede motivarse de la siguiente manera. Supóngase que se tiene interés en determinar de manera única n números desconocidos x x, x 2 , . . . , x n . Parece razonable que deberían tenerse n ecuaciones que se satisfagan con estas incógnitas. Si se tienen muy pocas ecuaciones entonces podría haber muchas soluciones diferentes, es decir, muchos conjuntos distintos de valores x l t x 2 , . . . , x n satisfarían las ecuaciones dadas. E l Lema 1 demuestra especialmente el caso de que se tengan m ecuaciones lineales homogéneas para n > m incógnitas. LEMA 1. U n c o n j u n t o d e m e c u a c i o n e s l i ne a l e s h o m o g é n e a s p a r a n i n c ó g n i ­ t as X ! , x 2 , . . . , * „ a d m i t e s i e m p r e u n a s o l u c i ó n n o t r i v i al s i m < n. E s decir, el c o n j u n t o d e m e c u a c i o n e s c o n n i n c ó g n i t a s a llx l + a l2x 2+ . . . + a lnx n = 0 <*2lX l + a 22X 2 + + flm 2+ 2* + a 2»X n = Q + ^ ^ =0 tiene s i e m p r e una sol ución x lt x 2 , . . . , x n difer en te d e x { = . . . = x„ = 0, s i m < n. OBSERVACIÓN. Nótese que x¡ = O, x 2 = O, . . . , x„ = O ciertamente es una solu­
    • 281 3.3 • Dimensión de un espacio vectorial ción del sistema de ecuaciones (1). A sí pues, el Lema 1 asegura que las ecuaciones tie­ nen más de una solución. D e m o s t r a c ió n d el Lema 1 . Se demostrará el lema por inducción sobre m . Para ello, obsérvese que el lema es verdadero si m = 1, ya que en caso se tiene únicamente una ecuación de la forma ¿7,,*, + a x2x 2 + . . . + a lnx n = 0, con n > 2. Si a n = 0, entonces es posible encontrar una solución no trivial de esta ecuación tomando *, = 1, x 2 — 0, . . . , x n = 0. Si a¡i # 0, entonces es posible una solución no trivial de esta ecuación tomando x 2 = 1, . . . , x n = 1 y *, = -( ¿ 7,2 + . . . + a ln) / a u . Para el siguiente paso en la demostración por inducción, supóngase que el Lema 1 es verdadero para algún entero m = k . Se demostrará que ello implica que el Le­ ma 1 es verdadero para m = k + 1 y A + 1 < n. Para tal fin, considérense las siguientes k + 1 ecuaciones para las n incógnitas * ,, x 2 , . . . , x n ¿711*1 + ¿7,2* 2 + . . . + a Xnx n = 0 ¿72 , * i + ¿72 2 * 2 +•••+ C¡2„*„ =0 (2) ak + 1, 1* 1 + ^ + i.2 * 2 + ••• + a k + l'H H= 0 x con A- + 1 < n. Si a xl, a 2x, . . . , a k + ^ , son todas iguales a cero, entonces x x = l , x 2 = 0, . . . , x n = 0 es claramente una solución no trivial. Por lo tanto, es posible suponer que al menos uno de los coeficientes es distinto de cero. Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que a u ^ 0 , ya que de otra manera se toma la ecuación con el coefi­ ciente para x x distinto de cero y se remarca con índices como la primera ecuación. Entonces a 2 ^ _ g 13 A l sustituir este valor de x ¡ en las ecuaciones segunda hasta la (A + 1) se obtienen las siguientes ecuaciones equivalentes ¿2H * ,+ ¿Z,2*2 + ¿7,3*3 +•••+ *!„*„ = 0 b 22x 2 + ¿>23*3 + . . . + b lnx n = 0 (3) bk2X2 *■ ^3*3 * +•••+ bknXn donde ¿>,y = a¡j - a ixa x a xx. Ahora bien, las últimas k ecuaciones de (3) son k ecua­ / ciones lineales homogéneas para las (n — 1) incógnitas *2, . . . , *„. Más aún, k es menor que n - 1, ya que k + 1 es menor que n . Por lo tanto, por la hipótesis de inducción,
    • 282 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES estas ecuaciones tienen una solución no trivial x 2 , . . . , x n . Una vez que se conocen x 2, se tiene entonces como antes x x = - ( ^ 12*2 + ••• + a nx n)/'a a partir de la primera ecuación en (3). Esto demuestra el Lema 1 para m = k + 1, y como conse­ cuencia, por inducción, par toda m . O Si un espacio vectorial V tiene dimensión m , entonces tiene m vectores linealmente independientes x 1, . . . , x m, y todo vector en el espacio puede expresarse como una com­ binación lineal de m vectores x 1, x2, . . . , x m. En este caso se tiene la impresión de que no puede haber más de m vectores linealmente independientes en V . Ese es el contenido del Lema 2. lem a 2. E n un e s p a c i o d e d i m e n s i ó n m , c u a l q u i e r c o n j u n t o d e n > m vec­ tores deb e ser linealmente d ependiente. En otras palabras, el número m á xim o d e v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en u n e s p a c i o d e d i m e n s i ó n f i n i t a e s la d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o. D e m o s t r a c ió n . Dado que V tiene dimensión m , entonces existen m vectores lineal­ mente independientes x 1, x2, . . . , x m que generan a V . Sean y 1, y2, . . . , y n un conjun­ to de n vectores en V con n > m . Puesto que x 1, x2, . . . , x m generan a V , entonces todas las y 7 se pueden escribir como combinaciones lineales de estos vectores. Es decir, existen constantes a,y, 1 < / < n, 1 < j < m , tales que y , = a 11x , + a 12x2+ . . . + a lmxm y2 = a2lx ‘ + a22x2 + ... + a 2mx m (4) f 1= anlx ' + an2x 2 + ... + anmx m. Para determinar si y 1, y2, . . . , y" son linealmente dependientes o linealmente indepen­ dientes, considérese la ecuación C|y' + c2y2+ ... + < ^ = 0. (5) Usando (4), la ecuación (5) puede escribirse en la forma 0 = c ,y1 + c2y2 + ... + c „ f = { c l a i 1 + ... + c„an]) x x + (c ,a í2 + ... + c„a„2) x 2 - K . . + ( c , a i m+ . . . + c „ O x m. Esta ecuación establece que una combinación lineal de x 1, x2, . . . , x m es igual a cero. Dado que x 1, x2, . . . , x m son linealmente independientes, entonces todos los coeficien­ tes deben ser iguales a cero. Por lo tanto, c ia n + c2a 2i + ••+ cnan • Ca 2 + C2a 22 + ••+ cnan2 • C<*m + C2° 2 m + • •+ Cnanm= ^ • (6)
    • 283 3.3 • Dimensión de un espacio vectorial Ahora bien, obsérvese que el sistema de ecuaciones (6) es un conjunto de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas c ,, c2, . . c„ con n > m . Por el Lema 1, estas ecuaciones tienen una solución no trivial. Así pues, existen constantes C j, c2, . . . , c„, no todas iguales a cero y tales que y 1 + c2 y2 + . . . + c n y" = 0. Como consecuen­ cia, y 1, y2, . . . , y" son linealmente dependientes. □ Ahora es posible demostrar el Teorema 2. D e m o s t r a c ió n d e l T e o re m a 2 . Si n vectores linealmente independientes gene­ ran a V , entonces por la definición de dimensión, dim V < n. Por el Lema 2 se tiene que n < d im V . Por lo tanto, dim V = n. □ Ejem plo 5 La dimensión de R" es n, dado que e1, e2, . . . , e ”, son n vectores lineal­ mente independientes que generan a R". EJEMPLO 6 Sea V el conjunto de todas las matrices de 3 x 3 ’« ii «12 «13' «21 «22 «23 «31 «32 «33 A* y denótese por E,y la matriz con un 1 en el renglón i y la columna j , y ceros en los ele­ mentos restantes. Por ejemplo, 0 0 o £23 = 01 1 o Para determinar si estas matrices son linealmente dependientes o independientes, consi­ dérese la ecuación siguiente (7) 2 <A =o= íj-l Ahora bien, debe observarse que el lado izquierdo de (7) es la matriz 1 0 ' 0 1 0 0 0 0 0 0 0 C ll 0 0 0 0 0 0 . 0 . + C 33 0 0 0 0 1 «II 0 0 0 0 + c 12 + = C 12 « 13' C 21 C 22 «23 C 31 «32 «33. A l igualar esta matriz con la matriz cero se obtiene cu = 0, c12 = 0, . . . , c33 = 0. Por lo tanto, las 9 matrices E ¡j son linealmente independientes. Más aún, estas 9 matrices también generan a V , ya que cualquier matriz A= a 31 “ 32 puede escribirse, por supuesto, en la forma A = 2 / j = i a u £ y •Por 1 ° tant0> dim V = 9.
    • 284 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICIÓN. Si un conjunto de vectores linealmente independientes gene­ ra a un espacio vectorial V , entonces se dice que dicho conjunto constituye una b a s e de V . Una base se llama también un s i s t e m a c o o r d e n a d o . Por ejemplo, los vectores 1 0 , 0 .0 [0 ] 1 , e2 = 0 0 e3 = 0 0 1 0 y e4= 0' 0 0 1. . son una base para R4. Si *4 entonces x = jc1eI + x 2e 2 + jc3e3 + jc4e4, y los números x¡ se denominan componentes o coordenadas relativas a esta base. COROLARIO. E n un e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i ó n f i n i t a , t o d a b a s e t i e­ n e el m i s m o n ú m e r o d e v e c t o r e s , y d i c h o n ú m e r o e s la d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o. E l siguiente teorema es de extrema utilidad para determinar si un conjunto de vec­ tores es una base de V . TEOREMA 3. C u a l e s q u i er a n v e ct o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e nd i e n t e s en un e s p a ­ ci o V d e d i m e n s i ó n n, d e b e n g e n e r a r a . E s decir, c u a l e s q u i e r a n v e c t o r e s lineal­ m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en un e s p a c i o V d e d i m e n s i ó n n s o n u n a b a s e d e V. D e m o s t r a c ió n . Sean x 1, x2, . . . , x" n vectores linealmente independientes en un espacio V de dimensión n. Para demostrar que generan a V , es necesario hacer ver que cualquier x en V puede escribirse como combinación lineal de x 1, x2, . . . , x n. Para ello, tómese cualquier x en V y considérese el conjunto de vectores x, x1, x2, . . . , x". Dichos vectores forman un conjunto de (n + 1) elementos en un espacio vectorial V de dimen­ sión n por el Lema 2 los vectores deben ser linealmente dependientes. En consecuen­ cia, existen constantes c, c j, c2, . . . , cn , no todas iguales a cero, y tales que c x + c , x ' + c 2x 2 + . . . + c „ x /, = 0. ( 8) Es claro que c ^ 0, porque de otro modo el conjunto de vectores x 1, x2, . . . , x" sería linealmente dependiente. Por lo tanto, es posible dividir ambos lados de (8) entre c, para obtener que Por lo tanto, cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio V de dimensión n también deben generar a V .
    • 285 3.3 • Dimensión de un espacio vectorial Eje m p l o 7 Demostrar que los vectores x'= (!) y x2=( - ¡ ) forman una base para R 2. S o l u c i ó n . Para determinar si x1 y x2 son linealmente dependientes o independien­ tes, considérese la ecuación c,x' + c2x> = c , ( ¡ ) + c2( _ ¡ ) = ( ° ) . (9) La ecuación (9) implica que c l + c2 = 0 y C - c2 = 0. A l sumar estas dos ecua­ ciones se obtiene C = 0, y al restarlas resulta c2 = 0. Como consecuencia, x1 y x2 son dos vectores linealmente independientes en el espacio R 2, de dimensión 2. Por lo tan­ to, deben generar a V. Ej e r c i c i o s i}(-i) ’ (.!) "(i) (!)' (: En cada uno de los Ejercicios del 1 al 4, determine si el conjunto dado de vectores es linealmente dependiente o independiente. 4 0 2. 4/ M 5. i)- H ) - !) U- í /I 1 o 4. ( í 6 ‘ i, H ' i M : ¡ Sea V el conjunto de las matrices 2 x 2 . Determine si los siguientes conjuntos de matrices son linealmente dependientes o independientes en V . 6 . Se aN e espacio dt polinomios txv t dt £adc> -<2 . (a) Muestre que d im V = 3. (b) Sean p , P i y Pz los polinomios cuyos valores en cualquier tiempo / son (/ - l) 2, (/ - 2)2, y {t - l)(í - 2), respectivamente. Demuestre que P , p 2 y p 2 son linealmente independientes. Concluya que, por lo tanto, según el Teo­ rema 3, p , P 2 y Pz forman una base para V . 7. Sea V el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial d 2y / d t 2 - y — 0. (a) Demuestre que V es un espacio vectorial. (b) Encuentre una base para V .
    • 286 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 8. Sea V el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial ( d 3y / d t 3) + y = 0 que satisfacen que >>(0) = 0. Demuestre que V es un espacio vectorial y halle una base para él. 9. Sea V el conjunto de polinomios p ( t ) = a 0 + a { t + a 2t 2 que satisfacen />(0) + 2/>'(0) + 3/>"(0) = 0. Demuestre que V es un espacio vectorial y encuentre una base para él. 10. Sea V el conjunto de soluciones * i(0 x= * i ( ‘) de la ecuación diferencial 1 o 0 11 0 x= | 0 6, 1 |X . Pruebe que II II c-i X _e‘ . l e 2' >> e‘ ' e2í' Xj V 4 e 2‘ . e 3í' 3 e 3' ,9 e 3'. forman una base para V. 11 . Sea V un espacio vectorial. Se dice que VV es un subespacio de V si W es un subconjunto de V , el cual es también espacio vectorial. Sea W el subconjunto de R" for­ mado por los vectores y que satisfacen las ecuaciones x¡ + x 2 + 2;t3= 0 2x , - x 2+ *3 = 0 6x, + 6x3 = 0. Pruebe que W es un subespacio de R3 y halle una base para él. 12. Demuestre que cualesquiera n vectores que generan un espacio vectorial V de dimen­ sión n, deben ser linealmente independientes. S u g e re n c i a : Muestre que todo con­ junto de vectores linealmente dependientes contiene un subconjunto linealmente independiente que también genera a V . vl, v2, v2, ..., v". v" 13. Sean ..., n vectores en un espacio vectorial V . Sea W el subconjunto de V formado por las combinaciones lineales + + . . . + c n n de v1, Demuestre que W es un subespacio de V y que d im W < n. qv1 c2v2 14. Sea V el conjunto de funciones / ( / ) que son analíticas para |í| < 1; es decir, f(t) tiene un desarrollo en series de potencias / ( / ) = a 0 + a { t + a 2t 2 + . . . , el cual
    • 3.4 • A plicaciones del á lg e b ra lineal a las ecuaciones diferenciales 287 converge para |í| < 1. Demuestre que V es un espacio vectorial y que su dimen­ sión es infinita. S u g e re n c i a : V contiene a todos los polinomios. 15. Sean v 1, v2, . . y m m vectores linealmente independientes en un espacio vecto­ rial V de dimensión n , con n > m. Demuestre que es posible encontrar vectores v"' + l , . . . , n tales que v 1, v2, . . . , v w, . . . , y n forman una base para V. Es decir, todo conjunto de m vectores linealmente independientes en un espacio V de dimen­ sión n , puede ser completado para formar una base para V. 16. Encuentre una base para R 3 que incluya los vectores i) ’ (i 17. (a) Demuestre que y2=^ ( ! ) y v3=w ( - i son linalmente independientes en R 3. (b) Sea ¡ x ' x 2 1 = jc,e* + ;t2e2 + x 3e3. x=I Dado que v1, v 2 y v 3 son linealmente independientes, entonces son una base y x = ^ 1v I + y 2y 2 + ^ v 3. ¿Cu ál es la relación entre las coordenadas origi­ nales x, y las nuevas coordenadas y p (c) Exprese la relación entre las coordenadas en la forma x = By. Pruebe que las columnas de B son v 1, v 2 y v 3. 3 .4 A p l i c a c i o n e s d e l á l g e b r a l in e a l a l a s ECUACIONES DIFERENCIALES Recuérdese que el Teorema de existencia y unicidad, enunciado en la Sección 2.1 fue un medio importante para resolver la ecuación lineal homogénea de segundo orden (id 2y / d t 2) + p ( t ) ( d y / d t ) + q ( t ) y = 0. De manera similar, se hará uso extensivo del Teorema 4, que se enuncia a continuación, para resolver el sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales dx . — =Ax, dt •*r x= a •• • a rt 0) A= .V an "’ ^nn La demostración de este teorema se indicará en la Sección 4.6.
    • 288 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES TEOREMA 4. (Teorema de existencia y unicidad). E x i s t e una, y s o l a m e n t e una, s o l u c i ó n al p r o b l e m a d e v a l o r inicial ^=Ax, x (/0) = x° = x 2 (2) Más aún, dicha solución existe para -< » < t < oo. El Teorema 4 es muy poderoso y tiene muchas aplicaciones. En particular, si x{t) es una solución no trivial, entonces x(r) ^ 0 para toda t. (Si x(r*) = 0 para alguna t*, entonces x ( t ) debe ser igual a cero, ya que ésta y la trivial satisfacen la misma ecuación diferencial y tienen el mismo valor en / = t * . ) Ya se mostró (Ejercicio 7 de la Sección 3.2) que el espacio V de las soluciones de (1) es un espacio vectorial. E l siguiente paso es determinar la dimensión de V. TEOREMA 5. L a d i m e n s i ó n d e l e s p a c i o V d e l as s o l u c i o n e s d e l s i s t e m a li ne­ a l h o m o g é n e o d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s ( 1) e s n. D e m o s t r a c ió n . Se exhibirá una base para V que contiene n elementos. Para ello, sea 4>J(t), j = 1 , . . . , / / la solución del problema de valor inicial ^ Por ejemplo ción inicial = Ax, x(0) = e J = -renglón j . (3) es la solución de la ecuación diferencial (1) que satisface la condi­ <£l (0) = e' = 0 0 Nótese que, según el Teorema 4, <f>j {t) existe para toda t y es única. Para determinar si 0 1, 0 2, . . . , < n son vectores linealmente dependientes o independientes en V, consi­ t> dérese la ecuación C<t>l + c 2< 2 + ... + c„£,, = 0 t> (4) donde el cero en el segundo miembro dé (4) representa al vector nulo en V (es decir,
    • 3.4 • A plicaciones del á lg e b ra lineal a las ecuaciones diferenciales 289 aquel cuyas componentes son iguales a la función cero). Se desea mostrar que (4) im pli­ ca c x = c 2 = . . . = c„ = 0. A l evaluar ambos lados de (4) en / = 0 se obtiene c,0 , (O) + c20 2(O) + ... + cn0 "(O) = =0 o bien c,e' + c2e2 + ... + cne n = 0. Dado que se sabe e1, e2, . . . , e" son linealmente independientes en R", entonces c¡ = c2 = . . . - cn = 0. Se concluye, por lo tanto, que 0 1, 0 2, . . . , 0 ” son vectores lineal­ mente independientes en V . La afirmación ahora es que 0 1, 0 2, . . . , 0" también generan a V . Para demostrar­ lo es necesario que cualquier vector x en V (es decir, cualquier solución x(0 de (1)) pue­ da escribirse como combinación lineal de 0 1, 0 2, . . . , 0 ”. Para ello, tómese cualquier x en V , y denótese por al valor de x en t = 0 (x(0) = c). Con las constantes c x, c 2 , . . . , c n , constrúyase la función con valores vectoriales 0 (/) = c10 ,(/) + c20 2( / ) + ... +cn<¡>n(t)se sabe que 0 (0 satisface (1), ya que es una combinación lineal de soluciones. Más aún, 0 (O) = c,0 l (O) + c20 2(O)+ ... + cn<f>n ( 0) '1 1 + c2 = C1 0 '0 '0 0 . + ...+c„ 0 0 1 ’ Cl C2 — 5 ' = x(0). Cn Ahora obsérvese que x(0 y 0 (0 satisfacen el mismo sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales, y que x(0 y 0 (0 tienen el mismo valor en t = 0. En conse­ cuencia, por el Teorema 4, x(0 y 0 (0 deben ser idénticas, es decir = + . . . + c n$ n {t). A sí pues, 0 1, 0 2, . . . , 0" también generan a V . Por lo tanto, por el Teorema 2 de la Sección 3.3, dim V = n. E l Teorema 5 establece que el espacio V de soluciones de (1) tiene dimensión n. Por lo tanto, sólo se necesitan conjeturar o hallar de otra manera n soluciones lineal-
    • 290 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES mente independientes de (1). E l Teorema 6, que se enuncia a continuación, aporta un criterio para determinar la independencia lineal de las soluciones. Eso reduce el proble­ ma de determinar si n soluciones x 1, x2, . . x" son linealmente independientes, al problema más simple de determinar si sus valores x '(/0), x2(/0), . x"(/ 0) en un tiempo apropiado t0 , son vectores linealmente independientes en R". T e o r e m a 6 . (Criterio de independencia lineal). S e a n x 1, x2, . . . , x k, k s o ­ l u c i o n es d e x = Ax. E l í j a s e t0 c o n v e n i e n t e m e n t e . E n t o n c e s x 1, . . . , x k s o n s o ­ l u c i o n es l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i y s ó l o s i x 1 (t 0 ), x2(/0), ••• x*(T0) s o n , v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s en R". D EM O STR A CIÓ N . Supóngase que x 1, X2, . . . , x* son soluciones linealmente depen­ dientes. Entonces existen constantes c lf c2, q , no todas cero, tales que CjX' + CjX2-»- ... + c k x k = 0. A l evaluar esta ecuación en / = t0 , se obtiene que CVx1( *o) + c 2x t 0) + ... + ck x k ( /0) = 0 Por lo tanto, x'^o), x2(/0), . . . , x k (t 0 ) son vectores linealmente dependientes en R". Inversamente, supóngase que los valores de x 1, x2, . . . , x* para algún tiempo t0 son vectores linealmente dependientes en R". Entonces, existen constantes q , c2, . . . , c k , no todas cero, tales que C i x ’í / q ) + c 2x 2( / 0 ) + ... + ckx k ( t 0) = = 0. 0 Determínese la siguiente función con valores vectoriales usando las constantes c x, c2, . . . , ck <#>(/) = c ,x '(/) + c 2x 2( t ) + ... + c*x*(/). Esta función satisface (1), ya que es combinación lineal de soluciones. Más aún, <j>(t0) = 0. Por lo tanto, por el Teorema 4, tj>(t) — 0 para toda t. Esto im plica que x1, x , . . . , x son soluciones linealmente dependientes. □ ejem plo 1 Considerar el sistema de ecuaciones diferenciales dt dx-i dt = -x, obien f =( - ? 2x, - l ) x- x=f i) - (5)
    • 3.4 • Aplicaciones del á lg e b ra lineal a las ecuaciones diferenciales 291 Este sistema de ecuaciones proviene de la ecuación de segundo orden d 2y ^ dy + 2| +,= ° (6) al tomar *, = y y x 2 = d y / d t . Dado q u e j^ íO = e~‘ y y 2(t) = té~l son dos solucio­ nes de (6), entonces x '( 0 "' ‘ " ■ ( ( i - * son dos soluciones de (5). Para determinar si x1 y x2 son linealmente dependientes o independientes, se verificará si sus valores iniciales < » > -(!) son vectores linealmente dependientes o independientes en R2. A sí pues, se considera la ecuación c , x ' ( 0 ) + c 2x 2( 0 ) = ( _ ^ ' + c2) = ( o ) ' Esta ecuación implica que tanto c x como c 2 son iguales a cero. Por lo tanto, x^O) y x 2(0) son vectores linealmente independientes en R 2. En consecuencia, por el Teore­ ma 6, x '(0 y x 2(t) son soluciones linealmente independientes de (5) y cualquier solu­ ción x(í) de (5) puede escribirse en la forma x<0 “ ( J c o ) “ '■(= / ( c , + c 2t ) e ~ ‘ + C l( ci - / ) « ^ ( c2 - c l ~ c 2t ) e ~ ‘ I Ejem plo 2 Resolver el siguiente problema de valor inicial dx dt S o l u c i ó n . Por el Ejem plo 1 se sabe que toda solución x(t) debe ser de la forma (7). Las constantes c x y c 2 se determinan a partir de las condiciones iniciales
    • 292 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Por lo tanto, c { = 1 y c 2 = 1 + c x = 2, y como consecuencia (t I X ( , H , ,< 0 - í (l+ 2 0 e ' 0 - 20*". A l estudiar la ecuación (1) han sido de utilidad hasta este momento algunos con­ ceptos de álgebra lineal, como espacio vectorial, dependencia, dimensión, base, así como las notaciones vectorial y matricial. Cabe, sin embargo, preguntarse si todo esto es algo más que un lenguaje útil y conveniente. Valdría la pena introducirlo aunque no fuera nada más que un lenguaje, pues una buena notación es esencial para expresar ideas mate­ máticas. Sin embargo, es más que eso, constituye una teoría propia con muchas aplica­ ciones. En las Secciones 3.8-3.10 la tarea de encontrar todas las soluciones de (1) se reduci­ rá al problema algebraico más sencillo de resolver ecuaciones lineales simultáneas de la forma a u x x + a n x 2 + . . . + a Xnx n = b x a 2lx x + a 22x 2 + . . . + a 2nx n = b 2 <*nlXl + “n2X 2 + . . . + a nnX n = b n Por lo tanto, se pasará ahora a estudiar la teoría de las ecuaciones lineales simultá­ neas. También se verá que función desempeña el álgebra lineal. Ej e r c i c io s En cada uno de los Ejercicios del 1 al 4, halle una base para el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial dada. 1. x = ^ _ j)x : (S u g e r e n c i a Encuentre una ecuación diferencial de segundo orden que se satisfaga para x { (t ). ) 1 0 0 1 p ¡0 2. x= 2 0 -1 2/ que se satisfaga para 3.i-(¿ ( S u g e r e n c i a : Halle una ecuación diferencial de tercer orden (/).) °)x 4. x = ( j | ojx Determine para cada una de las ecuaciones diferenciales de la 5 a la 9 si las soluciones dadas son una base para el conjunto de todas las soluciones. s.x=(_o / 6. x = 4 -1 V 1 - > ) * : *■<«)-( -2 2 3 1 x; - 1 5 / x '( 0 = ' 0 0 , x 2( 0 = e4' . x 3(/) = e 2' 0 y'. y'.
    • 293 3.5 • Teoría de los determinantes 3 1 1 -2 0 -2 3i - 3 x; -1 V 2'' x '( 0 - e~2' , x2(r) = .e~2/. 8. x - 5 1 1 2 -4 1 - 2' - 1 x; -6 ’ 0 ' e ~ y‘ x '( 0 - e ~* ‘ . x2(/) = e "5' 0 * " 5' 9. x = 5 1 1 2 -4 1 - 2' - 1 U; — ! 6 x‘( 0 - 7. x —i II e " 5' X e ' 5' . e " 7' . . e ~* ‘ e "4'. 2e~7t . A<) = e “ 3' e 2t , e 3, + e 7 1 0 x2(í) = e~3' 0 e2' - e 2' . x3(')= e ~ 5' e - i ‘ + 2 e - 71. 10. Determine las soluciones <t> < 2, . . < n (véase la demostración del Teorema 5) t> j> para el sistema de ecuaciones diferenciales en (a) Problema 5; (b) Problema 6; (c) Problema 7. 1 1 . Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas de ( - < » , oo) en R " (los valo­ res de x ( t ) están en R". Sean x 1, x2, .. n funciones en V. (a) Demuestre que si x'^o). . . x n(t 0) son vectores linealmente independientes en R" para algún t Q, entonces x 1, x2, . . . , x" son funciones linealmente inde­ pendientes en V . (b) ¿E s cierto que si x x(t 0), . . . , x n(t0) son vectores linealmente dependientes en R fl para algún t0 , entonces x l , x2, . . x n son funciones linealmente depen­ dientes en V ? Justifique la respuesta. 1 2 . Sea (a) (b) (c) u un vector en R"(u ^ 0). ¿E s x(/) = / u una solución de la ecuación diferencial homogénea x = A x ? ¿L o es x(r) = e Xlu7 ¿L o es x(r) = (e ‘ - e~‘) u 7 ¿L o es x ( t ) = (e ‘ + e~l ) u 7 (d) (e) ¿L o es x(0 = (e 1 + e 2 )u? (0 ¿Para qué funciones </>(0 puede ser x(/) = </>(/)u una solución de alguna ecua­ ción de la forma x = A x ? 3 .5 T e o r í a d e l o s d e t e r m in a n t e s En esta sección se estudiarán ecuaciones simultáneas de la forma a n x i + a n x 2 + ... + a ]nx n — b x a 2l X + a 22x 2 + . . . + a 2nx f) = b 2 0) anX + an2X 2 + • •+ annXn “ K •
    • 294 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES E l objetivo es determinar una condición necesaria y suficiente para que el sistema de ecuaciones ( 1) tenga solución única x x, x 2 , . . . , x n . Para comprender mejor el problema, se empieza con el caso más simple n = 2. Si se multiplica por a 2¡ la primera ecuación a u x x + a xlx 2 = b x; la segunda ecuación a i X + < 22*2 = b 2, por a , y se resta la primera de la segunda, resulta que * ( a l l a 2 2 ~ a 2a 2 ) x 2 ~ a b l ~ a 2 b ' De manera similar, si se multiplica la primera ecuación por a 22, la segunda por a l2, y se resta la segunda de la primera, se obtiene que ( a ila 22 —fl12a 2l)*l = a 22^1 —a 12^2- Como consecuencia, el sistema de ecuaciones (1) tiene solución única 55 ^ 1 a 2lb —— —— <*12^2— —— . ■ a Ua 22—a 12a 21 sSt 2 a tl^2-■ 1 a21^1 . — ...... ■ a lla 22 —a 12a 21 si el número a n a 22 ~ <*i2< 2i es diferente de cero. Si este número es igual a cero, enton­ * ces puede haber soluciones o no. Por ejemplo, el sistema jc, —jc2= 1, 2 x x —2 x 2 = 4 obviamente no tiene soluciones, mientras que el sistema jc, — jc2 = 0 , 2 x x— 2 x 2 = 0 posee un número infinito de soluciones x x = c, x 2 = c para cualquier número c. En ambos sistemas se tiene que a a 2 2 ~ a 2a 2 i ~ H — ^ ) — ( — 1 ) 2 = 0. E l caso de tres ecuaciones ' 1 1 * 1 + * 12 * 2 + a 3 X 3 '2 1 * 1 + « 2 2 * 2 + a 2 3 X 3 !3 1 * 1 + a 32* 2 + a 33X 3 con tres incógnitas x x, x 2, x¿ puede resolverse también fácilmente. A l eliminar una de las variables en dos de las ecuaciones (2) y reducir por ende el problema al caso n = 2, es posible mostrar (Ejercicio 1) que el sistema (2) tiene una solución única x { , x 2, x3 si y sólo si el número 0 11 ^ 2 2 ^ 3 3 a 2 a 2 3a 3l a l 3 a 2 a 32 ~ a 3 a 2 2 a 3 ~ a 2 a 2 a 33 ~ a a 23a 32 0 ) es diferente de cero. Ahora es posible suponer que el sistema de ecuaciones (1), el cual puede abreviarse en la forma
    • 295 3.5 • Teoría d e los determ inantes tiene solución única x, si y sólo si un cierto número que depende de los elementos 0,y de la matriz A , es distinto de cero. Para n = 4 puede determinarse este número elimi­ nando una de las variables de dos de las ecuaciones (1). Sin embargo, el álgebra es tan complicada que el número resultante es ininteligible. En vez de eso, se generalizará el número (3), de modo que a cada sistema de ecuaciones Ax = b se le asociará un sólo número llamado d e t e r m i n a n t e d e A (simbolizado por det A), el cual depende de los ele­ mentos de la matriz A . Se mostrarán algunas propiedades útiles de dicha asociación y se usarán estas propiedades para hacer ver que el sistema de ecuaciones (4) tiene solu­ ción única x si y sólo si det A ^ 0. Si se analiza la expresión (3) con cuidado, se ve que puede describirse de la siguien­ te manera. Primero se toma un elemento 01;i del primer renglón de la matriz «21 «12 «22 «23 .« 3 1 «32 «33. « n A= «13' E l elemento puede ser flu , o bien a 12 o a l3. Se multiplica 0ly| por un elemento 02y-, dd segundo renglón de A . Sin embargo, j 2 no debe ser igual a . Por ejemplo, si se elije o12 del primer renglón de A , entonces hay que elegir a 2 o bien a23 del segundo renglón de A . Después se multiplican los dos números por el elemento en el tercer renglón de A eri la columna restante. Esto se hace para todas las posibles elecciones de elementos de cada renglón de A sin tomarlos nunca dos veces de la misma columna. De esta manera, se obtienen 6 distintos productos de tres elementos de A , ya que hay tres maneras de elegir un elemento del primer renglón de A , dos modos para escoger entonces un ele­ mento del segundo renglón de A y sólo una manera de elegir un elemento del tercer renglón de A . Cada uno de estos productos a j a 2jia 3j se multiplica por ± 1 dependien­ do del orden específico j j z j 3 . Los productos «iy,«2; 2«3y, con U h h ) = (123), (231) y (312) se multiplican por + 1, mientras que los productos a X a 2jia 3j ^ con ü j i h ) ~ j (321), (213) y (132), se multiplican por - 1 . Por último, se suman los resultados. Los seis conjuntos de números (123), (231), (312), (321), (213) y (132) se llaman p e r m u t a c i o n e s de los enteros 1 , 2 y 3. Obsérvese que cada una de las tres permutaciones que corresponden a los términos positivos requiere de un número par de intercambios entre números adyacentes para reordenarlos, es decir, para llevar los enteros a su orden natural. De manera sim ilar, cada una de las tres permutaciones correspondientes a los términos negativos requiere de un número impar de intercambios entre números para reordenarlos. Para verificarlo, obsérvese que 231 — >-213— 123 > (2 intercambios) 3 12 — 132-» 123 > (2 intercambios) 3 2 1 -» 3 1 2 -» 13 2 -» 123 2 1 3 -» 123 and (3 intercambios) 13 2 -» 123 (1 intercambio cada una) Esto motiva la siguiente definición del d e t e r m i n a n t e de una matriz A de n x n. DEFINICIÓN. (5)
    • 296 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES donde ey y,...yB = 1 si la permutación ( j j 2 . . . j n ) es par, es decir, si se pue­ den reordenar los enteros según su orden natural en un número par de inter­ cambios de enteros adyacentes, ej j z. . j n — ~ 1 si la permutación es impar. En otras palabras, elíjase un elemento a j del primer renglón de la matriz A . Multipliqúese por un elemento a 2j del segundo renglón de A , con j 2 j . Es­ te proceso continua pasando una vez por cada renglón y tomando cada vez un elemento de una columna diferente. Por último, multipliqúese el producto a X a 2j, a nj n por + 1 si la permutación ( j j 2 . . . j n ) es par, y por - 1 si la per­ j mutación es impar. Lo anterior para todas las posibles elecciones de un ele­ mento de cada renglón de A , sin tomar dos veces de la misma columna. Después se suman todas estas contribuciones y se denota el número resultante por det A . OBSERVACIÓN. H ay muchas maneras de reordenar una permutación de los enteros 1 , 2, . . . , n a su orden natural por medio de intercambios sucesivos de enteros adyacen­ tes. Por ejemplo, 4312 -> 4 132— >1432— 14 2 3 -> 12 4 3 -» 1234 > y 4 3 12 -> 3 4 12 — >3142— >3124 -> 1324— 1234. > Sin embargo, es posible mostrar que el número de intercambios de enteros adyacentes que se necesita para reordenar la permutación j j 2 . . . j n es siempre impar o siempre par. Por lo tanto, queda perfectamente definido el número ej j 2. . . j n. e je m p l o i sea En este caso, hay solamente dos productos ^ 11^22 y a 2 a 2 i Que satisfacen la definición de det A . Dado que la permutación (12) es par y la permutación (21) es impar, el término an a22 se multiplica por + 1 y el término 012^21 P ° r Por 1 ° tanto, det A = a l l a 22 ~ a l2a 2 • ejem plo 2 Calcular 1 3 det -1 1 2 -1 f 1 2 S o l u c i ó n . Un método sencillo para evaluar el determinante de una matriz de 3 x 3 es escribir las primeras dos columnas a un lado de la matriz y luego tomar los productos a lo largo de las diagonales, como se muestra a continuación:
    • 297 3.5 • Teoría de los determinantes Si A es una matriz de n x n, entonces en general det A consta de n i productos de n elementos. E l determinante de una matriz de 4 x 4 consta, en general, de 24 tér­ minos, mientras que el de una matriz de 10 x 10 consta del enorme número de 3 628 800 términos. A sí pues, resulta impráctico calcular el determinante de una matriz grande A usando sólo la definición (5). La manera inteligente, y la única posible, de calcular determinantes es (i) encontrar matrices especiales cuyos determinantes puedan calcularse con facilidad, y (ii) reducir el problema de hallar cualquier determinante al problema más sencillo de evaluar el que corresponde a alguna de estas matrices. Para ello, obsérvese que hay tres clases especiales de matrices cuyos determinantes son fáci­ les de evaluar. 1. M a t r i c e s d i a g o n a l e s : Una matriz 0 «n 0 ‘ 22 0 o A= cuyos elementos fuera de la diagonal son todos ceros, se llama m a t r i z d i a g o n a l . Su deter­ minante es el producto de los elementos de la diagonal a n , a 22, . . . , a nn. Esto es el resultado inmediato de la observación de que la única manera de poder elegir un ele­ mento diferente de cero del primer renglón de A es eligiendo a n . De manera similar, la única forma de poder seleccionar un elemento distinto de cero del renglón j de A es eligiendo ajj . Así pues, el único producto diferente de cero que entra en la defini­ ción de det A es ■ •«™> Y dicho término se multiplica por + 1 ya que la permu­ tación (1 , 2 . . . ai) es par. 2. M a t r i c e s t r i a n g u l a re s i n f e r i o r e s : Una matriz « ii «21 «22 «*1 A= 0 «*2 . . 0 0 •• ann cuyos elementos arriba de la diagonal son todos ceros, se denomina m a t r i z t r i angul ar i n f e r i o r , y su determinante es también el producto de los elementos de la diagonal a n , . . . , a nn. Para demostrarlo, obsérvese que la única manera de poder elegir un elemen­ to diferente de cero del primer renglón de A es eligiendo a n . E l segundo renglón de A tiene dos elementos distintos de cero, pero, dado que ya se eligió de la primera columna, entonces se está forzado a elegir a 22 del segundo renglón. De manera similar, la elec­ ción obligada es a„ del renglón j de A . A sí pues, det A = a n a 22 . . . a nn. 3. M a t r i c e s t r i a n g u l a re s s u p e r i o r e s : Una matriz
    • 298 CAPÍTULO 3 • SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES cuyos elementos abajo de la diagonal son todos ceros, se llama m a t r i z t r i a n g u l a r s u p e ­ r i o r y su determinante es también el producto de los elementos de la diagonal a { ! a u . . . a nn. Para demostrarlo es posible proceder en dirección inversa. L a única for­ ma de seleccionar un elemento diferente de cero del último renglón de la matriz A es eligiendo a nn. Esto obliga entonces a elegir a n- Xn- { del renglón n - 1 de A . Igualmen­ te, está obligado a elegir ajj del renglón y de A . Por lo tanto, det A = a nn . . . a 22a n . a nn • • • ^22^11 • A continuación se deducen algunas propiedades sencillas, aunque muy útiles, de los determinantes. P r o p ie d a d 1 . Si se intercambian dos renglones adyacentes de A , entonces cambia el signo del determinante. D e m o s t r a c ió n . Sea B la matriz que se obtiene de A al intercambiar los renglones k y k + 1. Obsérvese que todos los productos que aparecen en la definición de det B son los mismos que aparecen en la definición de det A . La única diferencia es que se cambia el orden en el que se elijan de las columnas de A y de B. Por ejemplo, sean A= 1 2 .1 3 -1 2 4' 0 - 1. B= 1 1 2 3 2 4' -1 0, -1 E l producto 4 x 2 x 2 aparece en det A al elegir primero del primer renglón, tercera columna; después del segundo renglón, primera columna y, por último, del tercer ren­ glón, segunda columna. E l mismo producto aparece en det B al seleccionar primero del primer renglón, tercera columna; después del segundo renglón, segunda columna y, por último, del tercer renglón, primera columna. De manera más general, el término a j x ' ••ü kjka k + + , •••a njñ en det A corresponde al término y, • b k j k+lb k + 1j k ' " en det B. E l signo del primer término está dado por la permutación (y, . . . y * Á +1 . . . y*), y el signo del segundo término lo está por la permutación U .. . j/c + jjc ••• )• Dado Jn que la segunda se obtiene de la primera al intercambiar los elementos k y k + 1 , se ve que los dos elementos tienen signos contrarios. Por lo tanto, detB = -d e t A . P r o p ie d a d 2 . Si se intercambian cualesquiera dos renglones de A , entonces cambia el signo del determinante. D e m o s t r a c ió n . Se mostrará que el número de intercambios de renglones adyacen­ tes que se requiere para alternar los renglones i y y de A es impar. A sí la Propiedad
    • 3.5 • Teoría de los determinantes 299 2 será una consecuencia de la Propiedad 1. Para ello, supóngase que j es m ayor que /. Se necesitan j - i intercam bios sucesivos de renglones adyacentes para llevar el ren­ glón j a la posición /, y después j - / - 1 intercam bios sucesivos de renglones adyacen­ tes para llevar a la posición j el renglón que se encontraba originalm ente en la posición i. A sí pues, el núm ero to ta l de intercam bios que se requieren es 2 ( j — i) - 1, y este nú­ m ero siem pre es im par. P ro p ie d a d 3 . Si cualesquiera dos renglones de A son iguales, entonces det A = 0. DEMOSTRACIÓN. Supóngase que los renglones / y y de A son iguales, y llámese B a la m a triz que se obtiene de A al intercam biar los renglones i y j . O bviam ente, B = A , aunque por la Propiedad 2, se tiene que det B = -d e t A . P o r lo tan to , det A = -d e t A si dos renglones de A son iguales, y esto solamente es posible si det A = 0. P r o p ie d a d 4. d e tc A = crtd e tA . Es obvia. D e m o s t r a c ió n . Sea B la m a triz que se obtiene de A al m u ltip lic a r su renglón i por una Entonces det B = c d e tA . PROPIEDAD 5 . constante c. Es obvia. DEMOSTRACIÓN. P r o p ie d a d ó. Sea A r la m a triz que se obtiene de A al intercam biar renglones por colum nas. La m atriz A r se conoce como la transpuesta de A . P o r ejem plo, si A= 1 3 6 -1 9 2 2' 4 7. 1 entonces U na m anera concisa de decirlo es (A 7 )// = ay¡. A 7= 3 2 6 9 4 - f 2 7. Entonces det A r = d e t A. Es claro que los productos que aparecen en la d efinición de det A y det A 7 son los m ismos, ya que siempre se elige un elemento