Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones m. braun

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Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones m. braun

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES Y Sus Aplicaciones M. Braun TRADUCTOR: Dr. Ignacio Barradas Bribiesca REVISORES EDITORIALES: Ing. Francisco Paniagua Bocanegra Dr. Miguel De Guzmán Grupo E ditorial Iberoamérica
  2. 2. Versión en español de la obra Differential Equations and Their A pplications por Martín Braun Edición original en inglés publicada por Springer-Verlag N ew York, Inc. C opyright © 1983, en Estados U nidos de Am érica. ISBN 0-387-90806-4 D .R . © 1990 por Grupo Editorial Iberoamérica, S .A . de C .V . y / o W adsworth Intem ational/Iberoam érica, Belmont, California 94002. Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o m ediante algún sistem a, ya sea electrónico, mecánico, de fotorreproducción, de alm acenam iento en mem oria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamérica y / o W adsworth International/Iberoam érica, división de W adsw orth Inc. ISBN 968-7270-58-6 Impreso en M éxico Editor: N icolás Grepe P. Productor: Enrique Fradera T. Cubierta: Kooji N ishi, Ernesto N akam ura Grupo Editorial Iberoamérica, S .A . de C .V . Río Ganges N o . 64, C ol. C uauhtém oc, 06500 M éxico, D .F. A pdo. 5-192, Tels. 511 25 17, 208 77 41, FAX 514 70 24 Reg. CNIEM 1382
  3. 3. Prólogo A la Primera Edición Este libro presenta una combinación de la teoría de las ecuaciones diferenciales y de sus interesantes aplicaciones en los problemas del “ mundo real” . Primero, y sobre todo, es un estudio riguroso de las ecuaciones diferenciales ordinarias y puede ser comprendi­ do com pletam ente por quien haya llevado un curso completo de un año en Cálculo. Además de las aplicaciones tradicionales, el texto incluye muchos problemas fascinan­ tes de la “ vida real” . Estas aplicaciones son totalmente autosuficientes. Primero se plan­ tea claramente el problema, y se formulan una o más ecuaciones difrenciales como mode­ lo. Se encuentra la solución, y se com paran los resultados con los datos reales. En el texto se abarcan las siguientes aplicaciones: 1. En la Sección 1.3 se prueba que el hermoso cuadro “ Los discípulos de Em aús” , com prado por la Sociedad Rem brandt de Bélgica en 170000 dólares es una m oder­ na falsificación. 2. En la Sección 1.5 se deducen ecuaciones diferenciales que rigen el crecimiento poblacional de varias especies, y se com paran los resultados provenientes de los mode­ los, con los valores conocidos de las poblaciones. 3. En la Sección 1.6 se deducen ecuaciones diferenciales que gobiernan la tasa de varia­ ción según la cual los agricultores adoptan innovaciones. Sorprendentem ente, las mismas ecuaciones diferenciales rigen la tasa de cambio o rapidez con la cual se adoptan innovaciones tecnológicas en industrias tan diversas como la del carbón, la el hierro y del acero, la de la cerveza y la del transporte por ferrocarril. 4. En la Sección 1.7 se trata de determ inar si recipientes herméticamente sellados y llenos con material concentrado de desecho radiactivo, se dañan al sufrir un cho­ que con el fondo del m ar.E n esta sección sedescriben'tam bién algunas alternativas v ii
  4. 4. viii 5. 6. 7. . 8. 9. 10. PRÓLOGO para obtener inform ación sobre las soluciones de una ecuación que no se puede resolver explícitamente. En la Sección 2.7 se deduce un modelo muy sencillo del sistema regulador de la glucosa en la sangre, y se obtiene un criterio suficientemente confiable para el diag­ nóstico de diabetes. En la Sección 4.5 se describen dos aplicaciones de las ecuaciones diferenciales a la evolución de la carrera arm am entista y de la guerra. En la subsección 4.5.1 se dis­ cute la teoría de L.F. Richardson y se ajusta su modelo a la carrera arm am entista que precedió a la Prim era G uerra M undial. Esta parte transm ite tam bién al lector una idea adecuada del concepto de estabilidad. En la Sección 4.5.2 se deducen dos modelos lanchesterianos del com bate, y se ajusta uno de ellos con sorprendente exactitud a la batalla de Iwo Jim a durante la Segunda G uerra M undial. En la Sección 4.10 se m uestra por qué se increm entó notablem ente la proporción de depredadores marinos (tiburones, m antarrayas, etc.) en las pesquerías en el puerto de Fiume, Italia, durante los años correspondientes a la Prim era G uerra M undial. La teoría que se desarrolla aquí tam bién tiene aplicación espectacular en la rociadura de insecticidas. En la Sección 4.1 se deduce el “ principio de exclusión com petitiva” , el cual afirm a esencialmente que dos espacios no pueden cubrir sus necesidades vitales de idénti­ ca m anera. En la Sección 4.12 se estudia el sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna la diseminación de una epidemia en una población. Este modelo permite probar el famoso “ teorem a del um bral en epidem iología” , el cual asegura que una epide­ mia ocurrirá solam ente si el núm ero de personas susceptibles a la enferm edad en cuestión excede un cierto valor. Se com paran tam bién las predicciones del modelo con valores reales de una epidem ia en Bombay. En la Sección 4.13 se obtiene un modelo para la diseminación de la gonorrea y se prueba que uno de dos casos es posible: la enferm edad desaparece o bien el núm e­ ro de personas que padece el mal se aproxim a a un valor fijo. Este texto se distingue tam bién por las siguientes características im portantes: 1. En la Sección 1.10 se da una dem ostración com pleta del teorem a de existencia y unicidad para la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden, la dem os­ tración está basada en el m étodo de iteración de Picard y puede ser com prendida por quien haya llevado un curso com pleto de un año en Cálculo. 2. En la Sección 1.11 se m uestra cóm o resolver ecuaciones por iteración. Este m ate­ rial tiene la ventaja adicional de reforzar la com prensión de la dem ostración del teorem a de existencia y unicidad. 3. Se dan program as en F ortran y A PL para cada uno de los ejemplos numéricos del texto. Los problem as numéricos se encuentran en las secciones 1.13 a 1.17, los cua­ les tratan de la aproxim ación num érica para soluciones de ecuaciones diferencia­ les: en la Sección 1.11 se trata la resolución de las ecuaciones x - f ( x ) y g(*) = 0, y en la Sección 2.8 se indica cóm o obtener una solución de una ecuación diferen­ cial en series de potencias, aun cuando no es posible resolver explícitamente la for­ m ula de recurrencia para determ inar los coeficientes. 4. En el Apéndice C, se presenta una introducción integral del lenguaje de program a­ ción A PL . M ediante este apéndice se ha enseñado A PL a estudiantes en sólo dos lecciones.
  5. 5. Prólogo ix 5. M odestia aparte, la Sección 2.12 contiene un tratam iento sobresaliente y único de la función delta de Dirac. Estoy orgulloso de esta sección porque elimina todas las ambigüedades inherentes a la exposición tradicional del tema. 6. Toda el álgebra lineal necesaria para el estudio de sistemas de ecuaciones se presen­ ta en las Secciones 3.1 a 3.7. Una ventaja del enfoque em pleado aquí es que el lec­ tor adquiere una idea clara de conceptos muy im portantes, pero extremadamente abstractos, como son: independencia lineal, generadores y dimensión. De hecho, muchos estudiantes de álgebra lineal se inscriben en nuestro curso de ecuaciones diferenciales para entender m ejor lo que se expone en el suyo. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones puede utilizarse en un curso de ecua­ ciones diferenciales ordinarias de uno o dos semestres. Está dirigido a estudiantes que hayan cursado dos semestres de Cálculo. Tradicionalmente los autores de un texto señalan una “ secuencia sugerida” para el uso de su material. En nuestro caso no se da ninguna sugerencia, ya que hay una gran variedad de secuencias o planes. Únicamente baste men­ cionar que este libro puede servir para una gran variedad de cursos de ecuaciones dife­ renciales ordinarias. Agradezco de manera especial la ayuda de las siguientes personas en la preparación del manuscrito: Douglas Reber, quien escribió los program as en Fortran; Eleanor Addison, quien dibujó las ilustraciones y Kate MacDougall, Sandra Spinacci y Miriam Green, quienes m ecanografiaron partes del m anuscrito. Estoy muy agradecido con W alter Kaufm ann-Bühler, el supervisor editorial gene­ ral del departam ento de m atem áticas de Springer-Verlag, y con Elizabeth Kaplan, la supervisora editorial de producción, por su amplia ayuda y am abilidad durante la ela­ boración del original del libro. Es un placer trabajar con profesionales como ellos. Por últim o, agradezco de m anera especial a Joseph P. LaSalle por el apoyo y la ayuda que me brindó. Gracias nuevamente, Joe. M A R T I N BRAUN Nueva York Julio de 1976
  6. 6. C ontenido Prólogo ............................................................................................................... 1 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r vii ORDEN.............................................................. 1 Introducción ........................................................................................................ 1 1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden .................................................. 2 1.3 La falsificación de obras de arte por Van Meegeren ............................. 11 1.4 Ecuaciones separables ...................................................................................... 19 1.5 Modelos poblacionales .................................................................................... 26 1.6 Diseminación de innovaciones tecnológicas .............................................. 39 ................ 45 1.8 Dinámica del desarrollo de tumores, problemas de mezclado y trayectorias ortogonales ......................................................................... 51 1.9 Ecuaciones diferenciales exactas y ecuaciones diferenciales que no es posible re s o lv e r........................................................................................ 57 1.10 Teorem a de existencia y unicidad; iteraciones de Picard ...................... 67 1.11 Cálculo de las raíces de las ecuaciones por iteraciones ......................... 80 1.12 Ecuaciones en diferencias y cálculo de los intereses en préstamos para estudiantes .......................................................................................... 90 1.1 1.7 Un problem a de alm acenam iento de desperdicios atómicos xi
  7. 7. XÜ CONTENIDO 1.13 Aproximaciones numéricas; método de Euler ........................................ 94 1.14 Método de los tres términos de la serie de Taylor ................................ 105 1.15 Método de Euler modificado ...................................................................... 107 1.16 Método de R u n g e -K u tta ................................................................................. 110 1.17 Qué hacer en la práctica 113 ............................................................................... 2 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s l in e a l e s 2.1 Propiedades algebraicas de las so lu c io n e s................................................. 123 2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes ...................................... 134 2.3 La ecuación no hom ogénea .......................................................................... 147 2.4 M étodo de variación de parám etros ......................................................... 149 2.5 El método de la conjetura sensata .............................................................. 153 2.6 Vibraciones mecánicas ................................................................................... 161 2.7 Un modelo para la detección de diabetes ................................................. 174 2.8 Soluciones en s e r ie s ......................... 181 2.9 M étodo de la transform ada de Laplace DE SEGUNDO ORDEN ................................... 123 ................................................... 220 2.10 Algunas propiedades útiles de la transform ada de L a p la c e ................. 229 2.11 Ecuaciones diferenciales con térm ino no homogéneo discontinuo . . . 234 2.12 Función Delta de Dirac ................................................................................. 239 2.13 Integral de convolución ................................................................................. 247 2.14 M étodo de eliminación para sistemas ....................................................... 252 2.15 Ecuaciones de orden superior ...................................................................... 254 3 Sistem as de e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s . . 201 3.1 Propiedades algebráicas de soluciones de sistemas lineales ................. 261 3.2 Espacios v e c to ria le s.......................................................................................... 270 3.3 Dimensión de un espacio vectorial .............................................................. 276 3.4 Aplicaciones del álgebra lineal a las ecuaciones diferenciales ............. 287 3.5 Teoría de los d e te rm in a n te s.......................................................................... 293
  8. 8. Contenido 3.6 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales ....................................... 305 3.7 Transform aciones lineales ........................................................................... 316 3.8 M étodo de valores y vectores característicos para obtener soluciones ....................................................................................................... 328 3.9 Raíces complejas ............................................................................................. 336 3.10 Raíces iguales ................................................................................................... 340 3.11 La m atriz fundam ental de soluciones; e Kt .............................................. 350 3.12 La ecuación no hom ogénea; variación de parám etros ........................ 355 3.13 Resolución de sistemas m ediante la transform ada de Laplace ......... 362 4 Te o r í a c u a l it a t iv a d e l a s e c u a c i o n e s 4.1 Introducción ..................................................................................................... 367 4.2 Estabilidad de sistemas lin e a le s .................................................. 373 4.3 Estabilidad de las soluciones de equilibrio .............................................. 380 4.4 El plano fase ................................................................................................... 388 4.5 Teorías matem áticas de la g u e r r a ............................................................... 393 4.6 Propiedades cualitativas de las órbitas .................................................... 408 4.7 Retratos fase de sistemas lineales ......................................................... 412 4.8 C om portam iento de las soluciones para tiempos grandes; teorema de P oincaré-B endixson ............................................................................... 422 Introducción a la teoría de bifurcaciones ................................................ 431 4.10 Problem as presa-depredador, o porqué aum entó notablem ente el número de tiburones capturados en el M editerráneo durante la primera guerra m undial ....................................................................... 437 4.11 Principio de exclusión com petitiva en biología de poblaciones 444 4.12 Teorem a del um bral en epid em io lo g ía...................................................... 451 4.13 M odelo para la propagación de la gonorrea 458 5 S e p a r a c i ó n d e v a r ia b l e s y s e r ie s d e 5.1 Problem as de valores a la frontera en dos puntos .............................. 469 5.2 Introducción a las ecuaciones diferenciales no ordinarias .................. 474 4.9 DIFERENCIALES ............................................... 367 ... .......................................... FOURIER .......................................................... 469
  9. 9. x iv CONTENIDO 5.3 La ecuación de calor; separación de variables ........................................ 476 5.4 Series de Fourier ............................................................................................. 480 5.5 Funciones pares e impares ............................................................................ 486 5.6 Regreso a la ecuación de calor .................................................................... 491 5.7 La ecuación de o n d a ....................................................................................... 496 5.8 La ecuacióin de L a p la c e ................................................................................. 501 A péndice a ...................................................... 507 Observaciones acerca de las funciones de varias variables ................. 507 A péndice b ........................................................ 509 Sucesiones y s e r ie s ............................................................................................ 509 Apéndice c ..................................................... 512 Introducción al lenguaje A P L ....................................................................... 512 Respuestas a los ejercicios de nüm ero IMPAR .............................................................. 521 ÍNDICE .............................. 539
  10. 10. /I 1 .1 Ecuaciones diferenciales de primer orden In t r o d u c c i ó n Este libro esun estudio de las ecuaciones diferenciales ysusaplicaciones. Una ecuación diferencial es larelación que hay entre una función deltiempo y susderivadas. Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales dy — = 3y2sen (t+ y) (i) d*y _ d2 y _ = e y+t+ — dr dr (n) y El orden de una ecuación diferencial es el mayor de los órdenes de las derivadas de la función y que aparece en la ecuación. Así pues, (i) es una ecuación diferencial de pri­ mer orden y (ii) es una ecuación diferencial de tercer orden. Por solución de una ecua­ ción diferencial se entenderá una función y(i) que, junto con sus derivadas, satisface la relación. Por ejemplo, la funcióm >-(r) = 2 s e n r - ^ cos2r es una solución de la ecuación diferencial de segundo orden d2 y — —+ y = cos2r dt2 i
  11. 11. 2 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ya que d2 — ( 2 s e n /- |c o s 2 / ) + ( 2 s e n /- } c o s2 /) = ( - 2sen/ + | eo s2 /) + 2sen/ - j eos2/ = eo s2/. Las ecuaciones diferenciales aparecen de m anera natural en muchas áreas de las ciencias y de las hum anidades. En este libro se presentan análisis serios sobre las aplica­ ciones de las ecuaciones diferenciales a problemas tan diversos y fascinantes como la detección de falsificaciones en artículos de arte, diagnóstico de diabetes, incremento en el porcentaje de tiburones presentes en el Mar Mediterráneo durante la Primera Guerra Mundial y diseminación de la gonorrea. El propósito es m ostrar cómo los investigado­ res han resuelto o tratado de resolver problemas de la vida real usando ecuaciones dife­ renciales. Al estudiar la utilidad de las ecuaciones diferenciales, se destacan también sus limitaciones y docum entan algunos de sus fracasos. 1 .2 E c u a c i o n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n Se iniciará estudiando ecuaciones diferenciales de primer orden suponiendo que la ecua­ ción tiene la form a o puede ser llevada a % -J M - O El problem a es entonces el siguiente: dada f ( t , y) encontrar todas las funciones y(t) que satisfacen la ecuación diferencial (1). Este problem a puede ser atacado de la siguiente manera. Un principio fundam ental de las matem áticas es que la manera de resolver un nuevo problem a es reducirlo, de alguna m anera, a un problem a que ya ha sido resuelto. En la práctica se hace esto repetidas veces hasta llegar a un problem a que tiene las carac­ terísticas de uno que ya se resolvió. D ado que por el m om ento el problem a es resolver ecuaciones diferenciales, es recom endable hacer una lista de las ecuaciones diferencia­ les que pueden resolverse. Si se parte de la suposición de que los antecedentes m atem á­ ticos consisten solamente en Cálculo elemental se verá que la triste realidad es que la única ecuación diferencial de prim er orden que es posible resolver es f= S (0 « donde g es una función integrable del tiem po. P ara resolver la ecuación (2), simplemen­ te se integran am bos lados con respecto a t y se obtiene y ( ‘) = f s i O d t + c. Aquí c es una constante arbitraria de integración y por j g ( t ) d t se representa una antide­ rivada de g en otras palabras, una función cuya derivada es g. Por esto,para resolver cualquier otra ecuación diferencial hay que reducirla de alguna m anera a la form a (2).
  12. 12. 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden 3 Como se verá en la Sección 1.9, esto es imposible de hacer en la m ayoría de los casos. De aquí que no puedan resolverse la m ayoría de las ecuaciones diferenciales sin la ayu­ da de una com putadora. Todo esto hace parecer razonable que para encontrar aquellas ecuaciones diferenciales que es posible resolver, hay que empezar con ecuaciones sim­ ples, y no con una de la form a _ e s e n (í-3 7 V b l ) di (la cual, incidentalmente, no tiene solución exacta. La experiencia ha m ostrado que las ecuaciones más simples son lineales con respecto a la variable dependiente y. D e f in ic ió n . La ecuación diferencial lineal general de primer orden es •¿¡ + a ( t ) y = b(t). (3) A menos que se indique lo contrario, se supone que las funciones a(t) y b(t) son continuas en el tiempo. Esta ecuación se particulariza y se llama lineal porque la varia­ ble dependiente y aparece sola; es decir, no aparecen en la ecuación términos de la for­ ma e~y, y 3, sen.y, etc. Por ejemplo, d y /d t = y 1 + sen t y d y/d t = eos y + t son ecua­ ciones no lineales debido a los términos .y2 y eos .y, respectivamente. P or el m om ento no es claro cómo resolver la ecuación (3). Así pues, se simplifica aún más al hacer b(t) = 0. DEFINICIÓN. La ecuación ~ ^+ a (t)y = 0 (4) se llama ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, y la ecuación (3) se denom ina ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden si b(t) no es idén­ ticam ente igual a cero. Por fortuna, la ecuación homogénea (4) puede resolverse fácilmente. Prim ero se dividen am bos lados de la ecuación entre y, y se esribe en la form a dy_ di = -* (/). y Después se observa que A 3 | , n b (()|
  13. 13. 4 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN donde ln | v(0l significa el logaritm o natural de |.y (0 l- De aquí que la ecuación (4) puede escribirse en la forma J^ ln | y ( t ) = - a ( t ) . (5) Pero ésta es esencialmente la ecuación (2), ya que se pueden integrar ambos lados de la ecuación (5) para obtener l n |/ ( / ) |= - J a ( t ) d t + c, donde c, es una constante arbitraria de integración. Al aplicar exponenciales en ambos miembros se obtiene 1/(01 = exp^ - J a ( t ) d t + = cexp^ - J a ( t ) d t ^ o bien y ( í ) e x p ^ f a {t)dt^ = c. (6) Ahora y(t) ex.p^J~a(t)dt>es una función continua en el tiem po, y la ecuación (6) asegura J que su valor absoluto es constante. Pero si el valor absoluto de una función y es cons­ tante, entonces la misma función g debe ser constante. Para dem ostrarlo obsérvese que si g no es constante, entonces existen dos tiempos diferentes í¡ y t2 para los cuales g (/j) = c, g (t2) - - c . Por el teorem a del valoi^medio del Cálculo, g debe tom ar todos los valores entre - c y c, lo cual es imposible si g{t) = c. De aquí se sigue que y ( t ) e x p ^ j a ( t ) d t j = c, o bien, y ( t ) = cexp(^~ f a i t j d t ' j . (7) La ecuación (7) se llama solución general de la ecuación homogénea, ya que toda solución de (4) tiene esa form a. Obsérvese que en (7) aparece una constante arbitraria c. Er,to no debe sorprender. En realidad, se espera que aparezca siempre una constante en la solución general de cualquier ecuación de primer orden. De hecho, si se da d y /d t y se desea recuperar y(t), entonces es necesario realizar una integración y esto necesa­ riamente involucra una constante arbitraria. Obsérvese también que la ecuación (4) tie­ ne un número infinito de soluciones; para cada valor de c se obtiene una solución y(t) diferente. Eje m p l o 1 Obtener la solución general de la ecuación {dy/dt) + 2ty = 0. S o l u c i ó n . En este caso, a{t) = 2/, así que y(t) = c ex p í — f 2 t d t = ce ' • Eje m p l o 2 Determ inar el com portam iento para t -* o° de todas las soluciones de lq ecuación (dy/dt) + ay = 0, siendo a constante.
  14. 14. 5 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden S o l u c i ó n . La solución general es y(t) - cexp - / • * = ce at. De aquí que, si a < 0, todas las soluciones con excepción de .y = 0 tienden a infinito. Si a > 0, todas las soluciones tienden a cero cuando t -* oo. En las aplicaciones, usualmente no interesan todas las soluciones de (4). Más bien se busca una solución específica y(t), que para un instante inicial t0 tom a el valor de y 0. Así pues, se desea determ inar una función y(t) tal que dy f t +a{t)y = 0, y { to)=yo- (8 ) La ecuación (8) se conoce como un problema de valor inicial por la razón obvia de que de la totalidad de las soluciones de la ecuación diferencial, se busca una que inicialmen­ te (en el instante t0) tome el valor y 0. Para encontrar tal solución se integran ambos miembros de (5) de t0 a t, obteniendo f l d_ ln|>,(j)|í/s = ds f a(s)ds y, por otro lado, y{<) — - J a(s)ds. y(* o) Al aplicar exponenciales en am bos lados de la ecuación se obtiene y ( ‘) —exp —j a(s)ds ^ ('o ) o bien y (0 ( 7ó¡¡) w (v La función dentro del signo de valor absoluto es una función continua en el tiempo. Por eso, y por el argum ento antes mencionado, debe ser igual a + 1 o a - 1 . Para deter­ minar cuál de los dos valores es el correcto, se evalúa la expresión en el punto t0: se observa que y de aquí se sigue que
  15. 15. 6 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 3 Obtener la solución del problem a de valor inicial ^ + (sent)y = 0, y(0) = f. S o l u c i ó n . Aquí a(t) = sen t, así que y { () ~ 1 exp | “ f sen5í¿sj —| e (cosí)_1. EJEMPLO 4 H allar la solución del problem a de valor inicial § SOLUCIÓN. Aquí a ( 0 = e e + e'!v = o , 7 ( i ) = 2- así que ,y(/) = 2 e x p | — e^ds A hora bien, a prim era vista parecería que este problem a representa una dificultad muy seria, ya que no es posible integrar directam ente e 5 Sin em bargo, esta solución es tan válida e igualmente útil que la solución del Ejem plo 3. Esto por dos razones: primero, hay métodos numéricos muy simples para calcular el valor de la integral con cualquier grado de precisión con ayuda de una com putadora. Segundo, a pesar de que la solución del Ejem plo 3 está dada explícitamente, aún no es posible evaluarla para un tiempo arbitrario t sin la ayuda de una tabla de funciones trigonom étricas o algún otro tipo de apoyo para hacer cálculos, como son una calculadora electrónica o una com putadora digital. A hora es posible regresar a la ecuación no homogénea ^ + a ( t ) y = b(t). A partir del análisis de la ecuación homogénea es claro que el camino que hay que seguir para resolver la ecuación no hom ogénea es expresarla en la form a ^ ( “ aIgo” ) = M 0 y después integrar ambos lados para despejar ese “ algo” . Sin em bargo, la expresión (dy/dO + a (0 y no parece ser la derivada de alguna expresión simple. Es por ello que el siguiente paso lógico en el análisis debe ser preguntarse: ¿Es posible hacer que el lado izquierdo de la ecuación sea la derivada, con respecto a /, de “ algo” ? Dicho con más precisión, al multiplicar am bos lados de (3) por una función continua n (0 se obtiene una ecuación equivalente. (9)
  16. 16. 7 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden (Por ecuaciones equivalentes se entiende que toda solución de (9) es una solución de (3), y viceversa). Así pues, ¿es posible elegir de manera que p.(t){dy/dt) a(t)n(t)y sea la derivada de alguna expresión simple? La respuesta a esta pregunta es sí, y se obtiene mediante la siguiente observación + d , x . dy dpi De aquí que fi(t)(dy/dt) + a(t)p.(t)y será igual a la derivada de fi{t)y, si y sólo si dpi(t)/dt — a(t)pi(t). Pero ésta es una ecuación lineal homogénea de primer orden con respecto a es decir, (dp./dt) - a(t)pi = 0, la cual ya se sabe resolver. Además, dado que se requiere solamente una función puede darse el valor de 1 a la constante c en (7) y P ara esta ¡í(t), la ecuación (9) puede escribirse como ^ /* (0 .V = /* (0 * (0 - (10) Para obtener la solución general de la ecuación no homogénea (3), es decir, para encon­ trar todas las soluciones de la ecuación no homogénea, se integran ambos miembros de (10), o sea, se sacan antiderivadas, y se obtiene H(t)b(t)dt + c o bien y = JÍ7){f (‘(')*(')‘* + c) =exp(-/a(0‘*)(/(.('W 0* + 4 O') Por otro lado, si se quiere la solución específica de (3) que satisface lacondición inicial y ( t 0) = y 0, es decir, si se desea resolver el problem a de valor inicial dy + a ( * ) y - b(t), y ( t 0) = y 0 entonces se tom a la integral definida en am bos lados de (10) de t0 a t, para obtener l i { t ) y - i i { t o ) y Q= f i i {s)b{s)ds o bien + (12) O b s e r v a c i ó n i . Nótese la utilidad de conocer la solución de la ecuación homogé­ nea para encontrar la función ¡x(t) que permitió resolver la ecuación no homogénea. Este es un magnífico ejemplo de cómo usar la solución conocida de un problem a senci­ llo para resolver un problem a difícil.
  17. 17. 8 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN O b s e rv a c ió n 2. La función n(t) = expí fa(t)d tse conoce con el nom bre de f a c ­ tor integrante de la ecuación no hom ogénea, ya que después de multiplicar am bos lados de la ecuación por n(t) puede integrarse inmediatamente para obtener todas las soluciones. O b s e r v a c i ó n 3 . El lector no debe memorizar las fórmulas (11) y (12). Más bien tratará de resolver la ecuación no homogénea m ultiplicando prim ero ambos lados por n(t), escribiendo el lado izquierdo como la derivada de n(t)y(t), y finalm ente integran­ do ambos miembros de la ecuación. O b s e r v a c i ó n 4. O tra m anera de resolver el problem a de valor inicial (d y / d t ) + a(t)y = b( t), 7 (^0) - yo es encontrar la solución general (11) de (3) y después usar la condición inicial y ( t 0) = y 0 para calcular el valor constante c. Si la función n (t ) b ( t ) no puede integrarse directamente entonces hay que obtener la integral definida de (10) para obtener (12) y aproxim ar numéricam ente esta ecuación. Ej e m p l o 5 Obtener la solución general de la ecuación (dy/dt) - 2ty = t. S o l u c i ó n . Aquí a(t) - - 2 t , así que Al multiplicar ambos lados de la ecuación por ¡i(t) se obtiene la siguiente ecuación equi­ valente e ,J | ^ —2tyj * te , o bien, -^e = De aquí se sigue que y > > ( , ) = - i + c e ' Ej e m p l o ó Hallar la solución del problem a de valor inicial dy f t + 2 ty - u y( l) - 2 . So l u c ió n . Aquí a(t) = 2t, así que M ultiplicando ambos lados de la ecuación por n(t) se obtiene + 2 f y ) “ te ‘2 » ° bien, --L^e^y)* te*.
  18. 18. 9 1.2 • Ecuaciones diferenciales de primer orden De modo que / r * ' A ,e sy ( s ) d s = I se52 s2 ds ds J asi pues e “y ( s ) Como consecuencia e ' y —2e — I , -v== 2 Ej e m p l o 7 e_ £ 2 2 _,2 T e i,3 2 i _ ,j íe Encontrar la solución del problem a de valor inicial. dy _ SOLUCIÓN. Aquí a(t) = i + , = T_ _ . , (2 ), 3. 1, así que /x(í) = e x p ^ J a ( í ) d / ^ j = e x p ^ J 1d t ^ = e'. M ultiplicando am bos lados de la ecuación por ¡i(t) se obtiene e -r + y)= dt ) i+ e‘ ~ d -y o bien, — e 'l y = dt 7 i + ¡2 m Por lo tanto, asi que e'y —3e2= f —-— ds J 2 1 + •* y =e ' f- J j 1+. ds Ej e r c i c io s En cada uno de los problem as 1 a 7 encuentre la solución general de la ecuación dife­ rencial dada.
  19. 19. 10 i 3. CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dyr j. 2/ - + di 1 r y = ------- + t2 ^ d> . 4. — ' + y = * t e ' i + t2 dt dy , , 6. - y- + t 2y - t 2 dy 5. ~t* "P í v = I dt * 7. d> , ' t 1+ í2 * dt , f3 1+ /4 -j- + ---- - y = I ---------- t y En cada uno de los problem as 8 a 14 halle la solución de valor inicial dado. 8. ^ + V i +”/ 2 y = 0, y ( 0 ) = V 5 9. ^ + V T + 7 2 10. ~ + V T + -/ 2 e~'y = 0, 11. 12. ^ + / y = l+ I. y ()-0 14. ^ - 2 ,y ~ . y (0 t= 1 y(0) = 0 , e~'y = 0, ^ - 2 f y = f, j . | y(0)=l y(0)=l i , ( 1, - 2 15. Obtenga la solución general de la ecuación (1 + /J) ^ + ( v = (l + /!)s/!. (Sugerencia: Divida ambos lados de la ecuación entre 1 + t 2). 16. Halle la solución del problem a de valor inicial (1 + í 2) ^ + 4 r y = / . y ( l ) = í- 17. Encuentre una solución continua del problem a de valor inicial y ’+y - g ( 0 - y (0) = 0 donde 18. Demuestre que toda solución de la ecuación (dy/dt) + ay = be~ct, donde a y c son constantes positivas y b es cualquier número real, tiende a cero cuando t tiende a infinito. 19. Dada la ecuación diferencial (dy/dt) + a(t)y = f ( t ) con a(t) y f ( t ) funciones con­ tinuas en -oo < t < oo, a(t) > c > 0, y lím /(/) = 0, demuestre que toda soluí— *00 ción tiende a cero cuando t tiende a infinito. AI buscar la solución de la ecuación no hom ogénea se supuso tácitam ente que las fun­ ciones a(t) y b(t) eran continuas, de tal form a que se pudieran llevar a cabo las integra­ ciones necesarias. Si alguna de estas funciones fuera discontinua en el punto t , enton­ ces se esperaría que las soluciones pudieran ser discontinuas para t — t. Los problemas del 20 al 23 ilustran la variedad de cosas que pueden ocurrir. En los problem as 20 a 22 determine el com portam iento de todas las soluciones de las ecuaciones diferenciales
  20. 20. 1.3 • La falsificación de obras de arte por Van M eegeren 11 dadas cuando t -* 0, y en el problem a 23 determine el com portam iento de todas las soluciones cuando t -* 7r/2: v7 ™ ^¡—I 1 20. — —1y — — di t t 22. ^ dt 1 .3 + — >' = t cos/+ . 21. -^r H 1 — dt t = e Vt/i 23. ^r- +>>tan/ = se n dt /eos/. La f a l s i f i c a c i ó n d e o b r a s de a r t e p o r V a n M eeg eren Después de la liberación de Bélgica durante la Segunda G uerra M undial, el departa­ mento holandés de seguridad inició una cacería de colaboradores de los nazis. En los archivos de una com pañía que había vendido numerosas obras de arte a los alemanes descubrieron el nom bre de un banquero que había actuado como interm ediario en la venta a Herm ann Goering del cuadro Mujer en Adulterio del famoso pintor holandés de siglo xvii Jan Veermer. El banquero resultó ser representante de un pintor holan­ dés de tercera, H .A . Van Meegeren. El 29 de mayo de 1945 este últim o fue arrestado bajo el cargo de colaboración con el enemigo. El 12 de julio de 1945 Van Meegeren sorprendió al mundo anunciando que él no había vendido Mujer en Adulterio a Goe­ ring. Más aún, afirm ó que ese cuadro y el bello y famoso Los Discípulos en Emaús, así como otros cuatro supuestos Vermeers y dos Hoogs (pintor holandés del siglo xvii) eran obras suyas. Mucha gente creyó, sin em bargo, que Van Meegeren estaba mintien­ do únicamente para librarse del cargo de traición. P ara dem ostrar su afirmación Van Meegeren inició una falsificación del cuadro de Vermeer Jesús entre los Doctores, para dem ostrar a los escépticos cuán buen falsificador de Vermeer era. El trabajo estaba casi term inado cuando Van Meegeren recibió la noticia de que el cargo de falsificación había sido sustituido por el de colaboración. Fue por eso que se rehusó a term inar y envejecer su cuadro con la esperanza de que los investigadores no descubrieran su secreto para envejecer las pinturas. P ara resolver la pregunta se llamó a un grupo internacional de distinguidos químicos, físicos e historiadores de arte. El grupo tom ó placas de rayos X del cuadro para determ inar si había otros cuadros debajo. Además, se analizaron los pigmentos (materias colorantes) usados en la pintura y se exam inaron los cuadros respecto a ciertos signos de envejecimiento. Pero, Van Meegeren conocía bien esos métodos. Para evitar la detección había ras­ pado la pintura de otros cuadros antiguos de m enor valor para obtener los lienzos y había tratado de usar los pigm entos que emplearía Vermeer. Van Meegeren sabía tam ­ bién que la pintura vieja era extrem adam ente dura e imposible de disolver. Por eso, inteligentemente mezcló fenoform aldehído con la pintura. Esta sustancia química se endurecía como baquelita, al calentar en un horno el cuadro term inado. Sin em bargo, Van Meegeren fue descuidado con algunas de sus falsificaciones y el grupo de expertos encontró restos de un pigmento m oderno, cobalto azul. Además detectaron en varios de sus cuadros el fenoform aldehído, el cual fue descubierto a prin­ cipios del siglo x ix . Con base en la evidencia, Van Meegeren fue declarado culpable
  21. 21. 12 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN de falsificación el 12 de octubre de 1947 y sentenciado a un año de prisión. Estando en reclusión sufrió un ataque cardíaco y murió el 30 de diciembre de 1947. A pesar de la evidencia reunida por el grupo de expertos, mucha gente se rehusaba a creer que el famoso cuadro Los Discípulos de Emaús fuera una falsificación de Van Meegeren. Su objeción se basaba en el hecho de que las otras falsificaciones y el cuadro casi concluido Jesús entre los Doctores de Van Meegeren eran de una calidad muy infe­ rior. A firm aban que el creador del hermoso cuadro L os Discípulos de Emaús no podría producir obras de tan poca calidad. De hecho, este cuadro fue certificado como un Vermeer auténtico por el distinguido historiador del arte A. Bredius y com prado por la Sociedad Rem brandt en 170 000 (dólares). La respuesta del grupo para los escépticos fue que debido a que Van Meegeren estaba profundam ente disgustado por la falta de reconocimiento en el m undo artístico, trabajó entonces en Los Discípulos de Emaús con la firme determ inación de probar que era más que un pintor de tercera. Después de producir esa obra maestra, su determinación desapareció. Más aún, después de advertir cuán fácilmente logró el éxito con Los Discípulos de Em aús, dedicó menos esfuerzo a sus posteriores falsificaciones. Esta explicación no dejó satisfechos a los escépticos, quienes exigían una dem ostración científica y contundente de que la obra citada era realmente una falsificación. Eso hicieron recientemente, en 1967, un grupo de científi­ cos de la Carnegie University M ellon, su trabajo se describe a continuación. El punto clave en la determ inación de la edad de una pintura u otros materiales tales como rocas y fósiles es el fenómeno de la radiactividad, descubierto a principios de siglo. El físico R utherford y sus colaboradores m ostraron que los átom os de ciertos elementos “ radiactivos” son inestables y que, en un intervalo de tiempo dado, una frac­ ción fija de los átom os se desintegra espontáneam ente para form ar un nuevo elemento. Ya que la radiactividad es una propiedad del átom o, R utherford mostró que la radiac­ tividad de una sustancia es directam ente proporcional al número de átom os presentes en la misma. De modo que si N (t) denota el núm ero de átom os existentes en el tiempo /, entonces d N /d t, el núm ero de átom os que se desintegra por unidad de tiempo es pro­ porcional a N, es decir, dt ——A¿V. (1) La constante X, que es positiva, se conoce como constante de decaimiento o decreci­ miento de la sustancia. Cuanto mayor sea X, obviamente la sustancia decrecerá más rápi­ damente. Una m edida de la rapidez de desintegración de una sustancia es su semivida (o vida media) * la cual se define com o el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átom os iniciales de una sustancia radiactiva. P ara calcular la semivida de una sustancia en térm inos de X, supóngase que en un tiem po /0» N (/0) = ^o- E nton­ ces, la solución al problem a de valor inicial es N ( t ) = iV0e x p | — ¿frj = iV0e - x ( ,- 'o) o bien, N / N 0 = exp(-X (r - /0)). T om ando logaritm os en am bos lados se obtiene = (2) * (N. del R.) El término “ vida media” es una traducción incorrecta del inglés half-life. El nombre correcto ya acepta­ do es semivida.
  22. 22. 1.3 • La falsificación de obras de arte por Van M eegeren 13 De modo que, si N / N 0= /2 , entonces - ( t - t0) = ln¿ , así que , , ln2 0.6931 = (3 ) En consecuencia, la semivida de una sustancia es ln 2 dividido entre la constante de decai­ miento X. La dimensión de X, que se omitió para simplificar la notación, es el recíproco del tiempo. Si t se mide en años, entonces X es el recíproco de años, y si ( se mide en m inutos, entonces X es el recíproco de minutos. Se ha determ inado y registrado la semi­ vida de muchas sustancias. Por ejemplo, la semivida del carbono 14 es de 5568 años, y la del uranio 238, 4500 millones de años. A hora bien, la base de la determ inación de edades por medio de material radiactivo es la siguiente: de la ecuación (2) se puede despejar t - t0 = 1/X ln (N0/ N ) . Si t0 es el tiempo en el que la sustancia se formó o elaboró, entonces la edad de la misma es 1/X ln (N q/ N ) . La constante de decaimiento se conoce o puede calcularse en la mayo­ ría de los casos. Más aún, usualmente es posible calcular N con facilidad. Así pues, si se conociera N 0 podría calcularse la edad de la sustancia. Esto claram ente represen­ ta un problema, ya que por lo común no se conoce N 0. En algunos casos, sin embargo, es factible calcular a N 0 indirectamente o al menos algún intervalo confiable en el que se deba encontrar. Tal es el caso de las falsificaciones de Van Meegeren. Los siguientes hechos de la química elemental son bien conocidos. Casi cualquier roca de la corteza terrestre contiene una pequeña cantidad de uranio. El uranio en las rocas decae en otro elemento radiactivo y éste en otro, y así sucesivamente (Fig. 1) has­ ta llegar al plom o, el cual ya no es radiactivo. El uranio (cuya semivida es superior a los cuatro mil millones de años) sum inistra los elementos que le siguen en la cadena, de manera que tan pronto como decaen son reemplazados por los elementos precedentes. A hora bien, todas las pinturas contienen pequeñas cantidades del elemento radiac­ tivo plomo 210 (P b 210) y cantidades aún menores de radio 226 (R a 226), ya que estos elementos están contenidos en el plomo blanco (óxido de plomo) que es un pigmento que los artistas han usado por más de 2000 años. Para el análisis que se llevará a cabo a continuación, es im portante notar que el plomo blanco se obtiene de plomo metálico, el cual a su vez se extrae de una roca llam ada mineral o mena de plom o, mediante un proceso conocido como fundición. En este proceso el plomo 210 en el mineral va junto en el plomo metálico. Sin em bargo, entre 90% y 95% del radio y sus derivados se elimi­ nan junto con otros productos secundarios en un material llamado escoria. Así pues, la mayor parte de la fuente de plomo 210 queda eliminada y éste empieza a decaer muy rápido, con una semivida de 22 años. Tal proceso continúa hasta que el plomo 210 en el plomo blanco se encuentra una vez más en equilibrio radiactivo con la peque­ ña cantidad presente de radio; es decir, la desintegración del plom o 210 se equilibra exactamente con la desintegración del radio. A hora se usará esta inform ación para calcular la cantidad de plom o 210 presente en una muestra, en términos de la cantidad original presente en el momento de la m anu­ factura. Sea y(t) la cantidad de plomo 210 po¡ gram o de plomo blanco en el tiempo t, y sea y 0 la cantidad de plom o 210 por gram o de plom o blanco en el tiempo de la m anufactura /0; así mismo, sea r(t) el número de desintegraciones de radio 226 por m inuto y por gramo de plomo blanco en el tiempo t. Si X es la constante de decaimiento del plomo 210, entonces. _ = _Xy + r ( 0 , y{h)= yo- (4)
  23. 23. CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES D PRIMER ORDEN E F ig u r a 1. La serie del uranio. (Los tiempos sobre las flechas corresponden a la semivida de cada etapa.)
  24. 24. 15 1.3 • La falsificación de obras de arte por Van Meegeren D ado que sólo interesa un periodo de por lo menos 300 años, se supondrá que la cantidad de radio 226, cuya semivida es de 1800 años, permanece constante, de modo que r(t) es una constante r. M ultiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrante /x(0 = e X se obtiene l De aquí se sigue ex,y ( t) - ex‘°y0 = f ( eX - eX l t°) o bien y ( t ) ~ - r 0 — e~ X ~ to^)+ y0e ~ x(-l ~ l° ('t (5) Por lo tanto, y(t) y r pueden medirse fácilmente. De modo que si se conociera y 0 podría usarse la ecuación (5) para calcular (r —/0) y con ello determ inar la edad de la pintura. Sin em bargo, com o ya se mencionó, no es posible medir y 0 directamente. Un camino para salir de esta dificultad es el hecho de que la cantidad original de plomo 210 se encontraba en equilibrio radiactivo con la cantidad aún m ayor de radio 226 en la mena de la cual se extrajo el metal. Una opción es tom ar muestras de diferentes mine­ rales y contar el núm ero de desintegraciones de radio 226. Esto fue hecho en una varie­ dad de menas y los resultados se describen en la Tabla 1. Tales cifras varían de 0.18 a 140. En consecuencia, el núm ero de desintegraciones de plomo 210 por m inuto y por gram o de plom o blanco en el m om ento de la m anufactura variará de 0.18 a 140. Esto implica que y 0 variará tam bién en un intervalo grande, ya que el núm ero de desinte­ graciones de plomo 210 es proporcional a la cantidad presente. Así pues, no se puede usar la ecuación (5) para obtener una aproxim ación exacta o siquiera una aproxim a­ ción burda de la edad de la pintura. T a b l a 1 . M uestras de mineral y mineral concentrado. La desintegración está dada por gramo de plom o blanco Descripción y Procedencia M ineral Mineral M ineral M ineral Mineral Mineral Mineral M ineral Mineral Mineral concentrado en bruto triturado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado concentrado (Oklahoma-Kansas) (S.E. Missouri) (S.E. Missouri) (Idaho) (Idaho) (W ashington) (Colum bia Británica) (Colum bia Británica) (Bolivia) (Australia) D esintegraciones por m inuto de R a 226 4.5 2.4 0.7 2.2 0.18 140.0 1.9 0.4 1.6 1.1 Sin em bargo, es posible usar la ecuación (5) para distinguir entre una pintura del Siglo xvii y una falsificación m oderna. La base para esta afirm ación es la sencilla ob­ servación de que si la pintura es muy antigua com parada con la semivida de 22 años del plom o, entonces la radiactividad del plomo 210 en la pintura será casi igual a
  25. 25. 16 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN la del radio en la pintura. Por otra parte, si la pintura es m oderna (alrededor de 20 años antigüedad) entonces la radiactividad del plomo 210 será mucho mayor que la del radio. Este argum ento se precisa de la siguiente m anera: supóngase que la pintura en cues­ tión es muy reciente o de hace aproxim adam ente 300 años. Hágase t - t0 = 300 en (5). Entonces, después de un poco de álgebra se ve que y o = y ( t ) e 300X - r ( e 300K - (6) Si la pintura realmente es una falsificación m oderna, entonces .y0 será extrem a­ dam ente grande. P ara determ inar cuán grande es una tasa de desintegración se observa (Ejercicio 1) que si el plomo 210 decae originalm ente (en el momento de la m anufactu­ ra) a una tasa o rapidez de 100 desintegraciones por m inuto por gramo de plomo blan­ co, entonces el m ineral del que se extrajo tenía una concentración de uranio de aproxi­ m adam ente 0.014% . Esta es una concentración muy alta de uranio, ya que la cantidad promedio de uranio en las rocas de la corteza terrestre es aproxim adam ente de 2.7 p ar­ les por millón. Por otro lado, existen muestras muy extrañas, encontradas en el hemis­ ferio norte, cuyo contenido de uranio es de 2 a 3% . P ara tener seguridad se dirá que la tasa de desintegración del plom o 210 es absurda si excede de 30 000 desintegraciones por minuto por gram o de plomo blanco. Para evaluar y 0 hay que calcular la tasa de desintegración actual, y (t), del plo­ mo 210, la tasa de desintegración del radio 226 y e 300X Dado que la tasa del polonio . 210 (P o 210) es igual a la del plom o 210 después de varios años y la tasa de desintegra­ ción del polonio 210 es más fácil de medir, se sustituyen los valores del plomo 210 por los del polonio. Para calcular e m x se observa de (3) que X = (ln 2/22). De aquí se sigue que ^300* _ e (3 0 0 /2 2 )ln 2 _ 2(150/11) Las tasas de desintegración del polonio 210 y del radio 226 se midieron en el casó de Los Discípulos de Emaús y de varias otras supuestas falsificaciones; los valores apare­ cen en la T abla 2. T a b l a 2 . Pinturas de procedencia dudosa. La desintegración está dada en minutos, por gramo de plomo blanco ja Desintegración de R a226 Descripción Desintegración del P o“ Los Discípulos de Emaús El Lavado de Pies Mujer Leyendo Música Mujer Tocando Mandolina Tejedora de Encaje Mujer Sonriente 8.5 12.6 10.3 8.2 1.5 5.2 0.8 0.26 0.3 0.17 1.4 6.0 Si ahora se calcula .y0 a partir de (6) para el plom o blanco en la pintura Los Discípu­ los de Emaús se obtiene V o = (8-5)2150/11 - 0.8(2 150/11 - 1) = 98.050
  26. 26. 1.3 • La falsificación de obras de arfe por Van Meegeren 17 lo cual no puede ser aceptado en absoluto. Así que dicha pintura debe ser una falsifica­ ción m oderna. Por medio de un análisis similar (Ejercicios del 2 al 4) se demostró irre­ futablemente que las pinturas El Lavado de Pies, Mujer Leyendo Música y Mujer Tocan­ do Mandolina eran falsos Vermeers. P or otro lado, los cuadros Tejedora de Encaje y Mujer sonriente no pueden ser falsificaciones recientes de Vermeer, como afirman algu­ nos expertos, ya que para estas dos pinturas, el polonio 210 está casi en equilibrio ra­ diactivo con el radio 226, cosa que no se ha observado en ninguna m uestra de cuadros de los siglos XIX y XX. Bib l io g r a f ía Corem ans, P ., Van Meegerer’s Faked Vermeers and De Hoogs, M aulenhoff, Amsterdam , 1949. Keisch, B., Feller, R.L., Levine, A.S., Edwards, P .R ., Dating and Authenticating Works o f A rt by M easurement o f N atural A lpha Em m iter, Science (155), pág. 1238-1241, m arzo, 1967. Keisch, B., Dating W orks o f A rt through their N atural Radioactivity: Improvements and Applications, Science (160), pág. 413-415, abril, 1968. EJERCICIOS 1. En este ejercicio se m uestra cómo calcular la concentración de uranio en un mine­ ral a partir de las desintegraciones por m inuto y por gramo de plom o [dpm /(g Pb)] del plom o 210 en el m ineral. (a) La semivida del uranio 238 es de 4.51 x 109 años. Dado que esta semivida es tan larga, puede suponerse que la cantidad de uranio en la mena es constan­ te durante un periodo de doscientos o trescientos años. Denote por N(t) el núm ero de átomos de U238 por gramo de plomo común en la mena en el tiem­ po t. Como el plom o 210 está en equilibrio radiactivo con el uranio en el mine­ ral, se sabe que d N / d t = — N = - lO O dpm /gPb en el tiem po t0• {Sugeren­ cia: 1 año = 525 600 m inutos.) (b) A partir del hecho de que un mol de uranio 238 pesa 238 gramos y que hay 6.02 x 1023 átom os en un mol, dem uestre que la concentración de uranio en la mena es de aproxim adam ente 0.014% . En cada una de las pinturas 2, 3 y 4 use los datos de la Tabla 2, para calcular la activi­ dad en desintegraciones por m inuto de la cantidad original de plom o 210 por gramo de plom o blanco y concluya que todas estas pinturas son falsos Vermeers. 2. El Lavado de Pies. 3. M ujer Leyendo Música. 4. M ujer Tocando Mandolina. 5. El siguiente problem a describe una deducción muy precisa de la edad del uranio, (a) Denote por N 238{0 y N 23 5(/) el núm ero de átom os de U238 y U 235 en el tiem­
  27. 27. 18 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN po t en una m uestra de uranio, y tome com o t = 0 el instante en el que esta m uestra fue creada. P or la ley de decaim iento radiactivo ¿7^235 ( 0 ~ 9^235 ( 0 dt 0.707(10) Resuelva estas ecuaciones para evaluar N 2js(í) y ^235 (0 en térm inos de los núm eros iniciales N $ s y N $ 5 . (b) En 1949 la relación de U 238 y U 235 en una m uestra era de 137 a 8. Suponien­ do que, en el m om ento de la creación de una m uestra, aparecieron iguales can­ tidades de U238 y U235, dem uestre que la edad del uranio es de 5.96 x 109 años. Este valor es universalm ente aceptado com o la edad de dicho elemento. 6. En una m uestra de sam arskita descubierta recientemente había 3 gramos de torio (Th232). El torio decae a plomo 208 (P b 208) mediante la reacción T h 232 -»• P b 208 + 6(4He4). Se determinó que se producían 0.0376 gramos de plomo 208 por la desin­ tegración del torio original en la m uestra. Sabiendo que la semivida del torio es de 13 900 millones de años, calcule la edad de esta m uestra de sam arskita. (Suge­ rencia: 0.0376 gramos de P b 208 son el producto del decaim iento de (232/208) x 0.0376 gram os de Torio.) Uno de los m étodos más precisos para determ inar la edad de restos arqueológicos es el método del carbono 14 (C 14) descubierto por W illard Libby alrededor de 1949. El principio de este método es m aravillosamente simple: La atm ósfera de la Tierra es bom ­ bardeada constantemente por los rayos cósmicos. Éstos producen neutrones en la atm ós­ fera, los cuales se com binan con nitrógeno para producir C 14, que se conoce como radiocarbono, ya que declina radiactivamente. A hora bien, dicho radiocarbono se incor­ pora al dióxido de carbono y se desplaza así en la atm ósfera para ser absorbido por los vegetales. Los animales, a su vez, incorporan radiocarbono a sus tejidos al comer las plantas. En los tejidos vivientes, la tasa de ingestión de C 14 está exactamente en equilibrio con la tasa de desintegración de C 14. Sin em bargo, cuando un organism o muere, deja de incorporar C 14 y, así la concentración de C 14 presente comienza a decre­ cer. A hora bien, una suposición fundam ental de la física es que la tasa de bom bardeo de la atm ósfera terrestre por los rayos cósmicos ha perm anecido constante. Esto impli­ ca que la tasa original de desintegración del C 14 en una m uestra como el carbón vege­ tal es igual a la tasa medida hoy en día.* Esta suposición permite determ inar la edad de una muestra de carbón vegetal. Denótese por N ( t ) la cantidad de carbono 14 presente en una m uestra en el tiem po t, y por N 0 la cantidad existente en tiem po / = 0, cuando la m uestra se form ó. Si X denota la constante de desintegración del C 14 (la semivida * Desde mediados de la década de 1950 los ensayos de armas nucleares han incrementado notablemente la cantidad ' de carbono radiactivo en la atmósfera. Irónicamente esta situación permite otro método muy eficiente de detección de falsi­ ficaciones. De hecho, muchos materiales que usan los artistas, tales como el aceite de linaza y los lienzos, provienen de plan­ tas y animales y, por lo tanto, contienen la misma concentración de carbono 14 que la atmósfera en el momento en que muere la planta o el animal. Así pues, el aceite de linaza (que es un derivado del lino) producido en los últimos años contiene concentraciones mucho más altas de carbono 14 que el producido antes de 1950.
  28. 28. 19 1.4 • Ecuaciones separables del carbono 14 es de 5 568 años) entonces d N (t)/d t = N ( t ) , N(0) = N 0. Como con­ secuencia, N (t) = N 0e~Xt. A hora bien, R(t), la tasa actual de desintegración del C 14 en la m uestra, está dada por R (t) = N ( t ) = N 0e~Xt, y la tasa original de desinte­ gración es i?(0) = N ( t ) = N 0. A sí pues, R ( t ) / R ( 0) = e~Xt, de modo que / = (1/X)ln [/?(0)//?(/)]. Por esto, si se mide R(t), la tasa actual de desintegración del C 14 en el carbón vegetal, y se observa que i?(0) debe ser igual a la tasa de desintegración de una cantidad igual de m adera viva, entonces puede calcularse la edad t del carbón vegetal. Los siguientes dos problemas son ilustraciones reales de este método. 7. El nivel de carbón vegetal después que estuvieron habitadas las famosas grutas de Lascaux en Francia dio una medida de 0.91 desintegraciones por minuto por gra­ mo en 1950. La m adera viva da 6.68 desintegraciones. Calcule la época en que estu­ vieron habitadas, y por tanto la edad probable de las sorprendentes pinturas que se hallan en las grutas de Lascaux. 8. En la excavación de 1950 en Nippur, una ciudad de Babilonia, el carbón vegetal de la viga de un techo dio una cuenta o m edida de 4.09 desintegraciones por minu­ to y por gramo. La m adera viva da 6.68 desintegraciones. Suponiendo que este carbón vegetal se form ó durante la época de H am urabi, realice una estimación de la fecha probable de la sucesión de H am urabi. 1 .4 Ec u a c io n e s sepa r a b les La ecuación diferencial lineal homogénea de prim er orden ^ + a(t)y = 0 (l) se resolvió dividiendo am bos lados de la ecuación entre y(t) para obtener la ecuación equivalente 1 <b{ 0 y ( t ) dt aW (2) y observando que la ecuación (2) puede escribirse en la forma j¡n y (l) - - a ( t ) . (3) Al integrar ambos lados de (3) se encontró ln |>>(r) | y, por lo tanto, y(t). De manera totalm ente análoga puede resolverse la ecuación diferencial más general ^ = < . f(y) * (4 ) ’ donde f y g son funciones continuas de .y y /. Esta ecuación, y cualquier otra que pueda escribirse de tal form a, se llama ecuación separable. P ara resolver (4) semultiplican
  29. 29. 20 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN prim ero am bos lados por f ( y ) para obtener la siguiente ecuación equivalente f ( y ) - ¿ ¡ = g ( t )- (5) Después, se observa que (5) puede escribirse en la form a j¡F ( y { < ) )= g { ‘) (6) donde F (y ) es una antiderivada de f ( y ) , es decir, F (y ) = J f ( y ) d y . P or lo tanto, F ( y ( t ) ) = f g(t )d* + c (?) donde c es una constante arbitraria de integración. P ara encontrar la solución general de (4) se despeja y = y(t) de (7). Eje m p l o i O btener la solución general de la ecuación d y / d t = t 2/ y 2. SOLUCIÓN. M ultiplicando am bos lados de la ecuación por y 2 resulta 2dy 2 > — = / , » J dt ,. d >,3( / ) 2 o bien, — --— = t . dt 3 P or lo tanto, y 3{t) = t 3 + c donde C 3 + c)l/3. t Ejem plo 2 c esuna constante arbitraria. Así pues, ,y(0 = Encontrar la solución general de la ecuación dt S o l u c i ó n . Esta ecuación puede escribirse en la form a £ eyM = t + ,i dt por lo tanto, ey{t) = t 2/ l + / 4/4 + c. Al sacar logaritm os en am bos lados de la ecua­ ción se obtiene >^(0 = n ( t 2/ l + / 4/4 + c). Además de la ecuación diferencial (4) se impone m uchas veces una condición ini­ cial a y{t) de la form a y ( t 0) = y 0. La ecuación diferencial (4) junto con la condición inicial .y(ío) = yo es un problem a de valor inicial. Un problem a de esta clase puede resolverse de dos m aneras. U na form a es utilizar la condición inicial y(to) = yo para encontrar el valor de la constante c en (7), y otra es integrando am bos lados de (6) de tQ 2l t para obtener F ( y ( t ) ) ~ F ( y 0)= f g(s)ds. J ‘o (8 )
  30. 30. 21 1.4 • Ecuaciones separables Observando que (9) F ( y ) - r ( y 0) = { * f i ñ d r , J yo la ecuación se puede escribir en form a más sencilla ( 10) í yf { r ) d r = í g(s)ds. * yo Vn / * r~ So l u c ió n . M étodo (i). Del Ejemplo 2 se sabe que la solución general de esta ecua­ ción es y = l n ( /2/2 + t 4/ 4 + c). Tom ando t = 1 y y = 1 se obtiene 1 = ln ( 3 + c), /¿ o bien c = e - Y*. De aquí se sigue que y(t) = ln(e - 3 + t 2/ l + t 4/ 4. A M étodo (ii). De (10) resulta P or lo tanto, j-j, Ej e m p l o 4 y y(/) = ln (f-3 /4 + (V2 + /4/4). Resolver el problem a de valor inicial d y / d t = 1 + y 2, >>(0) = 0. S o l u c i ó n . Al dividir am bos miembros de la ecuación entre 1 + y 2 se obtiene la ecuación equivalente 1/(1 + y 2)d y /d t = 1. Entonces, de (10) se sigue P or lo tanto, are tan y = /, e y = ta n /. La solución y = tan t tiene la inconveniencia de que tiende a ±°° en / = ± r / 2 . Y lo que es más problem ático es el hecho de que no hay nada en el problem a de valor inicial que sugiera la posibilidad de dificultades en / = ± t / 2 . Pero la realidad es que las soluciones de ecuaciones diferenciales perfectas pueden tender a infinito en un tiem­ po finito. Así pues, las soluciones no pueden ser calculadas para todo valor de /, sino sólo para un intervalo finito abierto a < t < b. Más aún, como el siguiente ejemplo lo m uestra, diferentes soluciones de una misma ecuación diferencial tienden a infinito p ara distintos valores de tiem po. Ejem plo 5 Resolver el problem a de valor inicial d y / d t = 1 + y 2, _y(0) = 1.
  31. 31. 22 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN S o l u c i ó n . De (10) se obtiene Por lo tanto, are tany - are tan 1 = t, o bien y = tan (t + en el intervalo abierto -3 ir /4 < t < -rr/4. Eje m p l o tt/4). Esta solución existe ó E ncontrar la solución y(t) del problem a de valor inicial dy y — + (1 + y 2)sen/ = 0, >>(0)=1. S o l u c i ó n . Al dividir am bos lados de la ecuación diferencial entre 1 + y 2 se tiene que y dy 1 + y 2 dt y, por lo tanto, í " rdr I J, 1+ r 2 = — t. sen C ¿ — I - s e n sds, Jo asi que }ln(l + y 2) - }ln2 = cos/ - 1. Despejando y(t) en esta ecuación se obtiene y ( t ) = ± ( 2 e ' 4seni,/2- 1)'/2. Para determ inar si se tom a la raíz negativa o la positiva, se observa que.y(0) es positi­ vo. Por lo tanto, y ( í ) — (2 e ~ 4ienl‘/ 2 — 1)1/2 Esta solución está definida solam ente para 2 e _4senJ,/2> 1 o bien e4senJr/2 < 2 . ( 11) Dado que la función logaritm o es m onótona creciente, es posible tom ar el logaritmo en ambos lados de (11) conservando la desigualdad. Así pues 4sen2//2 < ln 2 , lo cual implica V lñ2 < are sen2 Por lo tanto, y (t) existe sólo en el intervalo abierto ( - a , a), donde a = 2arcsen [ V ln2 / 2 ] .
  32. 32. 23 1.4 • Ecuaciones separables A hora bien, esto parece ser una nueva dificultad asociada a las ecuaciones no lineales, ya q u e y ( 0 simplemente “ desaparece” para t = ±a sin tender a infinito. Sin embargo, esta aparente dificultad puede explicarse con facilidad e incluso anticipar si se escribe la ecuación diferencial en la form a estándar dy _ dt (1 + y 2)sen/ y Nótese que esta ecuación diferencial no está definida para y = 0. Por lo tanto, si una solución y(t) tom a el valor de cero para algún valor t = t*, entonces no puede esperar­ se que esté definida para t > t*. Esto es exactamente lo que ocurre aquí, ya que y{±a) = 0. Ej e m p l o 7 Resolver el problem a de valor inicial d y /d t = (1 + y)t, y(0) = -1 . SOLUCIÓN. En este caso no es posible dividir ambos lados de la ecuación diferencial entre 1 + y, ya que y (0) = - 1 . Sin em bargo, es fácil ver que y(t) = -1 es una solución del problem a de valor inicial, y en la Sección 1.10 se m ostrará que es la única solución. Más en general, considérese el problem a de valor inicial d y /d t = /(y )g (0 > y ( lo) - -V o» dond? /( y o ) = 0- Ciertam ente y(t) = y 0 es una solución del problem a de valor ini­ cial, y en la Sección 1.10 se m ostrará que es la única solución si d f/dy existe y es continua. Ejem plo s Resolver el problem a de valor inicial (1 + ey ) d y /d t = eos t, y (7 t/2 ) = 3. S o l u c i ó n . De (10) se obtiene f y( I + e r) d r — f eossds J3 Jtr/2 de modo que y + e y = 2 + e 2 + sen t. No es posible resolver esta ecuación explíci­ tam ente para y como función de t. De hecho en la m ayoría de las ecuaciones separables no puede resolverse para y como función de t. Así pues, la afirm ación de que y + ey = 2+ c3 + sent es la solución del problem a de valor inicial significa en realidad que es una solución im plícita más que explícita. Esto no representa ninguna dificultad en las aplicaciones, ya que siempre es posible encontrar y (t) numéricamente con la ayuda de una com puta­ dora digital. (Sección 1.11.) Ej e m p l o 9 Encontrar todas las soluciones de la ecuación diferencial d y /d t = —t/y. SOLUCIÓN.M ultiplicando am bos lados de la ecuación diferencial por y seobtiene y d y / d t = —t. De lo anterior y 2+ r2 = c 1. ( 12)
  33. 33. 24 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN A hora bien, las curvas descritas por (12) son cerradas, y no se pueden resolver para determ inar y com o una función de valor único de t. El origen de esta dificultad, por supuesto, es-el hecho de que la ecuación diferencial no está definida para y - 0. Sin em bargo, las circunferencias t 2 + y 2 = c 2 están perfectam ente definidas incluso par y = 0. Las circunferencias t 2 + y 2 = c 2 se llam an curvas soluciones de la ecuación diferencial dy ¡ dt — — t / y . Más en general, se dice que toda curva definida por (7) es una curva solución de (4). Ej e r c i c io s En cada uno de los problem as 1 a 5, obtenga la solución general de la ecuación diferen­ cial dada 1. , dy , ta n x + tanv (1 + 1 ) - r = 1 + y • Sugerencia: tan(x + y ) = -¡— :------. ' dt 1 - tan x tan y v 2. ^ - ( 1 + iXl+y) 3. ^ - 1 4. dy ,, ~¿f = e dy 5. c o s y s e n t-j^ = s e n y c o s t - l + y 2- l y 2 En cada uno de los problem as 6 a 12 resuelva el problem a de valor inicial dado y deter­ mine el intervalo de existencia de cada solución. 6. /2( l + ^ 2) + 2 ^ ^ - 0 , t 7. & ~r — 21 ,,, 7(0)= 1 , r , v(2) = 3 y +yt 8. (l + / 2) 1/ 2^ = /v 3(l + / 2) - ‘/ 2, 7 ( 0 ) = 1 3/2+ 4/ + 2 dt 2 (7 -1 ) dy 10. eosy - ^ 11. ’ n — tseny dy -jr = k ( a - y ) ( b - y ) , ) ym -"/2 y(0) = 0 , a , b > 0 dy 12. 3/^-=7C O s /, 7(1) = 0 13. Toda ecuación de la form a d y / d t - f ( y ) es separable. Así pues, es posible resol­ ver todas las ecuaciones diferenciales de prim er orden en las cuales no aparece el tiempo en form a explícita. A hora suponga que se tiene una ecuación diferencial de la form a d y / d t = f ( y / t ) . P or ejemplo, la ecuación d y / d t = sen ( y / t ). Las ecua­ ciones diferenciales de esta form a se llam an ecuaciones homogéneas. Com o el lado
  34. 34. 25 1.4 • Ecuaciones separables derecho de la ecuación depende solamente de y / t se sugiere hacer la sustitución y / t = v, o bien y = tv. (a) Demuestre que esta sustitución transform a la ecuación d y / d t = f ( y / t ) en la ecuación equivalente t d v / d t + v = f ( v ) , la cual es separable. (b) Encuentre la solución general de la ecuación d y /d t = 2( y / t ) + ( y / t )2. 14. Determine cuáles de las siguientes funciones de / y de y pueden expresarse como funciones de la variable y / t . y 2 + 2ty (a) ------ ;— _y3+ / 3 (b) ^ ----- y t 2+ y 3 (e) (d) l n ^ - l n / + - ~ l iv (c) (f) n V " t + y - l n V t - y t+ y <*) «"737 (>» y3+ / 3 t2+ y 3 e y ( ' ¡ + 7ly + 9 y * ) wl 3l + 5y 15. Resuelva el problem a de valor inicial t(dy/dí) — y + Vr 2 + y = 0. Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. 16. 2 t v - j - = 3 v2- ( 2 is. ± = 19. e ' ^ ( y - t ) ^ +>-(1 + e ' / y) = 0 dt ' a i t —y Sugerencia: f — J ve 20. 17. ( / - /~tv ) -y- —y ai /l + f 2 dv =ln( 1+ v e l / l ) Considere la ecuación diferencial dy t+ y + 1 dt t-y +3 n Esta ecuación podría resolverse si no estuvieran presentes las constantes 1 y 3. Para elim inar estas constantes haga la sustitución t = T + h, y = Y + k. (a) Determine h y k de modo que la ecuación (*) se pueda escribir en la forma d Y / d T = (T + Y ) / ( T - Y). (b) Encuentre la solución general de (8). (Ejercicio 18.) 21. (a) Pruebe que la ecuación diferencial dy dt ai + by + m et + dy + n donde ¿ , b, c, d, m y n son constantes. Siempre se puede reducir a la form a 7 d y / d t = (at + by)/{ct + dy) si ad - be í 0. (b) Resuelva la ecuación anterior en el caso especial ad = be. Encuentre la solución general de las siguientes ecuaciones. 22. { + t - 2 y ) + { 4 t - 3 y - ( > ) < f y / d t - Q 23. { t + 2 y + 3) + ( 2 t + 4y - ) dy / dt = 0
  35. 35. 26 1 .5 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN M o d e l o s p o b l a c io n a l e s En esta sección se estudiarán ecuaciones diferenciales de primer orden que rigen el cre­ cimiento de varias especies. A prim era vista parece imposible describir el crecimiento de una especie por medio de una ecuación diferencial, ya que el tam año de una pobla­ ción se mide siempre en números enteros. Por ello, el tam año de una población no pue­ de ser una función diferenciable con respecto al tiem po. Sin em bargo, si el tam año de una población es grande y se increm enta en uno, entonces el cambio es muy pequeño com parado con el tam año de la población. Así pues, se tom a la aproxim ación de que poblaciones grandes cambian continuam ente, e incluso de manera diferenciable, con respecto al tiempo. Denótese por p(t) la población de una especie dada en el tiempo t y represéntese por r(t, p) la diferencia entre sus tasas de natalidad y de m ortalidad. Si esta población está aislada, es decir, si no existe emigración o inm igración, entonces d p / d t , la tasa de variación o cambio de la población es igual a rp (t). En el modelo más simple se supone r constante, es decir, que no depende ni del tiempo ni de la población. Entonces puede escribirse la siguiente ecuación diferencial que gobierna el crecimiento de la población dp(0 , . — : = ap(t), — dt w a = constante. Esta es una ecuación lineal y se conoce como la ley de Malthus para el crecimiento de una población. Si la población de una especie dada es po en el tiempo t0, entonces p(t) satisface el problema de valor inicial d p { t)/d t = ap(t), p (t0) = Po - La solución de-este problem a de valor inicial es p(t) = p 0e a{!~to). De aquí que toda especie que satisface la ley de crecimiento de M althus crece exponencialmente con el tiempo. A hora bien, sólo se propuso un modelo sencillo para el crecimiento de una pobla­ ción, tan sencillo que fue posible resolverlo com pletam ente en pocas líneas. Por lo tan ­ to, es im portante ver si este m odelo, con su sencillez, tiene alguna relación con la reali­ dad. Denótese por p(t) la población hum ana de la Tierra en el tiempo t. Se estim a que la población hum ana del planeta aum entó con una tasa promedio de 2°7o anual durante el periodo 1960-1970. Al empezar la mitad de la década, el 1 de enero de 1965, cuando el Departam ento de Comercio del gobierno de Estados Unidos estimaba la población de la Tierra en 3 340 millones de personas, entonces t0 = 1965, P0 - 3.34 x 109 y a = 0.02, de modo que p ( t ) = (3.34)10V O -,965). 2(' Una m anera de com probar la precisión de esta fórm ula es calcular el tiempo requerido para que se duplique la población del planeta y com pararlo con el valor observado de 35 años. La fórmula predice que la población de la Tierra se duplica cada T años, donde e 02T= 2 . Sacando logaritmos en ambos lados de la ecuación se obtiene 0.02 T = ln 2, de modo que T = 501n2 - 34.6 años
  36. 36. 27 1.5 • M odelos poblacionales Esto constituye una excelente concordancia con el valor observado. P or otro lado, sin em bargo, viendo hacia el futuro distante, la ecuación predice que la población de la Tierra será de 200 billones en el año 2515, de 1 800 billones en 2625, y de 3 600 billones en 2660. Estas son cifras astronómicas cuyo significado es difícil de imaginar. La super­ ficie total del planeta es de aproxim adam ente 1 860 billones de pies cuadrados (1 pie cuadrado es igual a 929 cm2). El 80% de la superficie está cubierta por agua. Supo­ niendo que se está dispuesto a vivir en botes al igual que en tierra firme, puede verse fácilmente que para el año 2515 habrá solamente 9.3 pies cuadrados por persona; en el año 2625 cada persona dispondrá de solamente un pie cuadrado en el cual estar de pie y para el año 2660 las personas estarán unas en los hom bros de otras. Parecerá, por lo tanto, que el modelo no es razonable y debería ser descartado. Sin em bargo, no puede ignorarse el hecho de que lo pasado ofreció concordancias exce­ lentes. Más aún, existe evidencia adicional de que las poblaciones efectivamente crecen exponencialm ente. Considérese el caso del Microtus Arvallis Pall, un pequeño roedor que se reproduce rápidamente. Considérese como unidad de tiempo el mes y que la pobla­ ción crece con una tasa de 40% mensual. Si hay dos roedores presentes en el momento inicial / = 0, entoncesp (t), el número de roedores en el tiempo t, satisface el problema de valor inicial d p ( t ) / d t = 0Ap, p ( 0) = 2. Por lo tanto, p ( , ) = 2e°M. (1) En la Tabla 1 se com paran las poblaciones observadas con las poblaciones calculadas de la ecuación (1) Ta b l a i . Crecimiento del Microtus Arvallis Pall M eses 0 2 6 10 p observada p calculada 2 2 5 4.5 20 22 109 109.1 Como puede verse, la concordancia es excelente. O b s e r v a c i ó n i . En el caso del Microtus Arvallis Pall, la p observada es muy preci­ sa, ya que el periodo de gestación es de tres semanas y el tiempo que se requiere para medir la población es mucho m enor. Si el periodo de gestación fuera muy corto enton­ ces la p observada podría ser inexacta, ya que muchos de los roedores en preñez darían a luz antes de que el censo se term inara. La solución al dilema es observar que los modelos lineales para el crecimiento de poblaciones son satisfactorios siempre que la población no sea demasiado grande. Cuan­ do la población es dem asiado grande, estos modelos no pueden ser exactos ya que no reflejan el hecho de que los individuos compiten entre sí por el limitado espacio vital, por recursos naturales y por el alim ento disponible. Así pues, hay que agregar un térm i­ no de com petición a la ecuación diferencial lineal. U na elección adecuada del término
  37. 37. 28 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN competitivo es - b p 2, donde b es una constante, ya que el prom edio estadístico del número de encuentros por unidad de tiempo es proporcional a p 1. Considérese enton­ ces la ecuación m odificada dp_ = ap — bp1. dt Esta ecuación se conoce como la ley logística del crecimiento de una población y los números a y b se llaman coeficientes vitales de la población. La introdujo por prim era vez el matemático y biólogo holandés Verhulst, en 1837. A hora bien, en general la cons­ tante b es muy pequeña com parada con a, de tal m odo que si p no es dem asiado gran­ de, entonces el térm ino - b p 1 es insignificante com parado con ap, por lo que la pobla­ ción crece exponencialmente. Sin em bargo, si p es grande entonces el térm ino - b p 2 debe tom arse en cuenta ya que disminuye la tasa de crecimiento de la población. No es necesario mencionar que cuanto más industrializado es un país, tanto más espacio disponible tiene, y cuanto más alim ento posee, entonces es más pequeño el coeficiente b. Considérese ahora la ecuación logística para predecir el crecimiento futuro de una población aislada. Si p 0 es la población en el tiem po t0 , entonces p(t), la población en el tiempo /, satisface el problem a de valor inicial dP . 2 P ( (o)=Po- 4 - w - b p . Esta es una ecuación diferencial separable, y de la ecuación (10) en la Sección 1.4, se tiene J p 0 a r ~ br¿ J ‘0 Para integrar la función / { a r - b r 2) se recurre a fracciones parciales. Se hace 1 _ a r-b r2 1 = A r(a — br) { B r a —b r ' Para encontrar A y B se observa que r * a —br A ( a —b r )+ B r Aa + (B — bA)r r ( a —br) r(a —br) Por lo tanto, A a + (B - bA )r = 1. Ya que esta ecuación es cierta para todo valor de r, se ve que A a = 1 y B - bA - 0. Por lo tanto, A = 1/a , B - b /a y / J Po r(a-br) v ’ a / r J Po a -b r) a — bp0 = - ln — + ln a —bp * Po a -b p 0 = —ln — a Pq a - b p Así pues, a ( t - t 0) = n — Po a — bp0 a —bp (2)
  38. 38. 29 1.5 • Modelos poblacionales Ahora bien, es fácil dem ostrar (Ejercicio 1) que la siguiente expresión siempre es positiva a-bPo a-bp(t) De aquí se sigue que bPo a(t - t0) = ln -jPo a - bp ' Al aplicar el exponencial en ambos lados de esta ecuación se obtiene p a ~ bPí Po o — bp ' o bien p Q{ a - bp)ea(,~'o) = ( a - bpQ )p. Al pasar al lado izquierdo todos los términos que tienen a p, se ve que [ a - b p 0 + bp0e a{,~ ‘o) ]p (t) = ap0e a(,~ '0K Por lo tanto, ap0e a(!~'o) ) ap0 a - b p 0 + bpQ a{‘~ ^ e bp0 + (a - bp0) e ~ a{l~ ‘o) ^^ A hora se examinará la ecuación (3) para ver qué tipo de poblaciones predice. Obsér­ vese que cuando t -* 00 ,, aPo _ a bp0 b ' Es decir, independientemente del valor inicial, la población siempre tiende al valor límite a/b. Además, nótese que p{t) es una función m onótona creciente respecto del tiempo si 0 < p 0 < a /b . Más aún, dado que d2 p dp dp - ^ = a — -2 b p — ={a~2bp)p{a-bp), se ve que d p / d t es creciente si p(t) < a /2 b , y d p /d t es decreciente si p(t) > a /2b . Por ello la gráfica de p{t) debe tener la form a que aparece en la Figura 1 si p 0 < a/2b. Una curva así se llama curva logística o en “ S” . A partir de su form a se concluye que el tiem po antes de que la población alcance la m itad de su valor límite es un periodo de crecimiento acelerado. Después de este punto, la tasa de crecimiento disminuye has­ ta llegar a cero. Este es un periodo de crecimiento reducido. Estas predicciones se confirm an en experimentos con el protozoario Paramecium caudatum llevados a cabo por el biólogo y matem ático G .F. Gause. Se colocaron cinco ejemplares de Paramecium en un tubo de ensaye con 0.5 cm3 de medio nutriente y se contó el núm ero diario de individuos durante seis días. Se encontró que los Param e­ cium se reproducían con una tasa de 230.9% diario cuando la población era pequeña. El número de individuos aum entaba inicialmente con rapidez y posteriormente con más
  39. 39. 30 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN P O b a 2b t t o F ig u r a 1 . G ráfica de p(t). lentitud hasta alcanzar un nivel máximo de 375 hacia el cuarto día, saturando el tubo de ensayo. A partir de esta información se concluye que si el Paramecium crece de acuer­ do con la ley logística d p /d t = ap - b p 2, entonces a = 2.309 y b = 2.309/375. Por lo tanto, la ley logística predice que (2.309)5 P ( í) = 375 1 + 1 4 e ~ 2 3091 ' (4) (El tiempo inicial t0 se tomó igual a cero.) En la Figura 2 se com para la gráfica de p(t) dada por la ecuación (4) contra los valores experimentales, los cuales se indican con un pequeño círculo. Como puede verse, la concordancia es muy buena. Para aplicar estos resultados y predecir en el futuro la población hum ana de la Tierra es necesario calcular los coeficientes vitales a y b en la ecuación logística que gobierna el crecimiento. Algunos ecólogos estiman que el valor natural de a es 0.029. Se sabe tam bién que la población hum ana crecía con una tasa de 2°7o cuando su tam año era de (3.34)109. Dado que ( l / p ) ( d p / d t ) = a — b p , se ve que 0.02 = a - b (3.34)109. Por lo tanto, b = 2.695 x 10 12. Así pues, de acuerdo con la ley logística de creci­ miento de poblaciones, la población hum ana tenderá al valor límite a_ 0.029 = 10 760 millones de personas 2.695 X 10“ 1 2 Nótese que de acuerdo con esta predicción, la población hum ana se encontraba en 1956
  40. 40. 31 1.5 • M odelos poblacionales aún en la fase de crecimiento acelerado de la curva logística, ya que aún no había alcan­ zado la m itad de la población límite predicha. O b s e r v a c i ó n . En una ocasión, un estudiante sugirió utilizar la ecuación (3) para encontrar el instante en que p(t) = 2 y así deducir hace cuánto tiempo apareció el ser hum ano en la Tierra. A prim era vista, esto parece una idea fabulosa. Sin embargo, no es posible ir tan atrás en el pasado, ya que el modelo pierde su exactitud si la población es pequeña. Com o o tra verificación de la validez de la ley logística de crecimiento de poblacio­ nes, considérese la siguiente ecuación 197 273 0 0 0 J + e - 0 . 0 3 l 3 4 U - 1 9 1 3 .2 5 ) (5 . ' ' la cual fue introducida por Pearl y Reed como modelo para el crecimiento de la pobla­ ción de Estados Unidos. Prim ero, utilizando los censos de los años 1790, 1850 y 1910, Pearl y Reed encontraron con base en la ecuación (3) que a = 0.03134 y b = (1.5887)10"“!0. Después (Ejercicio 2b), Pearl y Reed calcularon que la población de Esta­ dos Unidos alcanzó la m itad de su población límite de a / b = 197 273 000 en abril de 1913. P or lo tanto, (Ejercicio 2c) la ecuación (3) puede escribirse en form a simplificada como (5). La Tabla 2 com para las predicciones de Pearl y Reed con los valores observados de la población de Estados Unidos. Estos resultados son sorprendentes ya que no se han considerado las grandes inmigraciones hacia Estados Unidos ni el hecho de que el país participó en cinco guerras durante ese periodo.
  41. 41. 32 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN T a b l a 2 . Población de los Estados Unidos de 1970 a 1950. (Las últimas cuatro cifras fueron añadidas por el grupo “ D arthm outh College W riting G roup” .) Real Predicha Error % 1790 3 929 000 3 929 000 0 0.0 1800 5 308 000 5 336 000 28,000 0.5 1810 7 240 000 7 228 000 - 12,000 -0 .2 1820 9 638 000 9 757 000 119,000 1.2 1830 12 866 000 13 109 000 243,000 1.9 1840 17 069 000 17 506 000 437,000 2.6 1850 23 192 000 23 192 000 0 1860 31 443 000 30 412 000 -1,031,000 -3 .3 1870 38 558 000 39 372 000 814,000 2.1 1880 50 156 000 50 177 000 21,000 0.0 1890 62 948 000 62 769 000 -179,000 -0 .3 1900 75 995 000 76 870 000 875,000 1.2 1910 91 972 000 91 972 000 1920 105 711 000 107 559 000 1,848,000 1.7 1930 122 775 000 123 124 000 349,000 0.3 1940 131 669 000 136 653 000 4,984,000 3.8 -1,644,000 -1.1 1950 150 697 000 149 053 000 0 0.0 0.0 En 1845, Verhulst pronosticó una población m áxim a para Bélgica de 6 600000 y una población máxima para Francia de 40000000. A hora bien, en 1930 la población de Bélgica había alcanzado 8 092 000. Esta discrepancia tan grande parecía indicar que la ley logística de crecimiento de poblaciones es poco precisa, por lo menos en lo que se refiere a la población este último país. Sin em bargo, la discrepancia puede explicarse por el sorprendente crecimiento industrial en Bélgica y por la adquisición del territorio del Congo, en África, lo cual aseguró suficientes recursos adicionales para el país como para atender a la población adicional. Así pues, después del crecimiento industrial tan sorprendente y la adquisición del Congo, Verhulst debió haber disminuido el coeficien­ te vital b. Por otro lado, la población de Francia en 1930 concordaba en forma sorprendente con las predicciones de Verhulst. De hecho, parecía que había respuesta a la siguiente paradoja: ¿Por qué aum entaba tan lentam ente la población de Francia en 1930, mien­ tras que la población francesa de C anadá aum entaba con rapidez? Después de todo se trata de la misma gente. La solución a la paradoja, claro está, es que la población de Francia en 1930 se encontraba muy cerca de su valor límite y, por ello, en un periodo de crecimiento reducido, mientras que la población de Canadá en 1930 se encontraba ■aún en el periodo de crecimiento acelerado.
  42. 42. 33 1.5 • M odelos poblacionales O b s e r v a c ió n 1 . Es claro que los desarrollos tecnológicos, la reflexión sobre la con­ tam inación am biental y las tendencias sociológicas han tenido una influencia significa­ tiva sobre los coeficientes vitales a y b. Por consiguiente, éstos deben ser reevaluados cada cierto núm ero de años. O b s e r v a c ió n 2 . Para lograr modelos más precisos de crecimiento poblacional, deben considerarse las poblaciones como constituidas por grupos no homogéneos de indivi­ duos. Más bien, hay que subdividir la población en diferentes grupos de edades. Tam ­ bién se debe subdividir la población en hombres y mujeres, ya que la tasa de reproduc­ ción de ésta depende usualmente más del número de mujeres que del de hombres. O b s e r v a c ió n 3 . Posiblemente la crítica más severa en contra de la ley logística de crecimiento de poblaciones es la observación de que algunas poblaciones fluctúan perió­ dicam ente entre dos valores, y una curva logística excluye cualquier fluctuación perió­ dica. Sin em bargo, algunas de estas fluctuaciones pueden explicarse por el hecho de que cuando ciertas poblaciones alcanzan una densidad suficientemente alta, se vuelven susceptibles a epidemias. La epidemia reduce el nivel de la población a un valor, a par­ tir del cual vuelve a crecer hasta que vuelve a ser afectada por una epidemia cuando alcanza un nivel suficientemente alto. En el Ejercicio 10 se deduce un modelo para des­ cribir este fenómeno. Este m odelo se aplica en el Ejercicio 11 para explicar la aparición y desaparición repentina de grupos de roedores. E p í l o g o . El siguiente artículo, escrito por Nick Eberstadt, apareció en el New York Times el 26 de marzo de 1978. El punto central del artículo es que resulta muy difícil efectuar, sólo con métodos estadísticos, predicciones exactas de poblaciones, incluso para 30 años hacia el futuro. En 1970, dem ógrafos de Estados Unidos proyectaron una población de 6 500 millones de personas para el año 2000. Tan sólo seis años más tarde este pronóstico se corrigió a 5 900 millones. A hora, usando la ecuación (3) para predecir la población de la Tierra en el año 2000, tómese a = 0.029, b = 2.695 x 10~n , p Q = 3.34 x 109, t0 = 1965 y / = 2000. Con esto se obtiene p(200Qj ~ í-029^ - 34) 109 } .009 + (.0 2 )e ~ ( 029)35 = 29(3.34) 9 + 20e-1 015 = ¡5 960 millones de personas! Esta es o tra aplicación espectacular de la ecuación logística.
  43. 43. 34 CAPÍTULO 1 • ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ----------------------------------------------------------------------------------------------Las im ágenes de la población mundial son engañosas La tasa de crecim iento de la p o b lació n m u n d ial se ha in crem entado c o n tin u a m e n te d u ra n te la m ay o r parte de la historia de la h u m a n id a d , p ero en la ú lti­ ma décad a alcanzó un m áxim o y a h o ra parece d ecre­ cer. ¿C óm o o currió esto y p o r qué? El “ có m o ” es b astan te sencillo. N o se debe a que la falta de alim ento o las catá stro fes ecológicas hayan elevado las tasas de m o rta lid a d . M ás bien, ha h a b id o u n a no tab le e inesperada d ism in u ció n de la fecu n d i­ d ad en los países su b d esarro llad o s. E n tre 1970 y 1977 la tasa de n atalid ad en los países en vías de d esarro llo (excluyendo C hina) b ajó a p ro x im a d a m e n te de 42, a cerca de 36 por mil. Esto es to d av ía m ucho m ay o r que el 17 p o r m il en los países d e sa rro lla d o s, pero la d is­ m inución de la tasa de n a ta lid a d parece ser a celera­ da: la b a ja de seis p u n to s en los siete años a n terio res co ntrasta con una baja de dos puntos en los veinte años an terio res. La dism inución de la fecu n d id ad ha sido un p ro ­ ceso desigual. La dism inución p ro m ed io en la ta sa de n a talid ad de 13% desde 1970 refleja u n a reducción rápida en ciertos países, m ientras que en m uchos otros la situación perm anece casi sin cam bios. P o r qué ha dism inuido tan ráp id am en te la fecu n ­ didad en la últim a d écada y p o r qué ha d ism in u id o con m ás n o to ried ad en algu n o s lugares p ero n o en o tro s, es aún m ás difícil de explicar. D em ó g rafo s y sociólogos proponen explicaciones que tienen q u e ver con el cam bio social en el m u n d o p o b re. D e sa fo rtu ­ n a d am e n te, estas explicaciones parciales son m uch as veces m ás teoría que hechos c o m p ro b ad o s y parece h a b er siem pre una excepción p a ra c ad a regla. El deb ate sobre la planea ció n fam iliar es c a ra c ­ terístico. A lgunas reseñas m u e stra n que en alg u n o s países al m enos la m itad de los hijos “ no estab an p la ­ n ead o s” y p ro bablem ente no h a b ría n n acid o si los p adres h ubieran tenido m ejo res m éto d o s a n tic o n ce p ­ tivos. E xpertos en plan ificació n fam iliar, co m o P a r ­ ker M auldin del C onsejo de Población de E stados U ni­ d o s, h an destacado que nin g ú n país p o b re sin un p ro g ram a activo de plan ificació n fam iliar ha ten id o d ism inuiciones significativas en la fecu n d id ad de su p o b lació n . P o r o tro lad o , sociólogos co m o W illiam P etersen de O hio S tate U niversity atrib u y en esta d is­ m inución en la población de d ichos países al d e sa rro ­ llo económ ico y social, m ás q u e al uso de a n tic o n ce p ­ tivos, arg u m en tan d o que los p ro g ra m as de co n tro l ________________________ p o b lacio n al usualm ente han sido im p ro p io s e insen­ sibles (o p eo r aú n ), y que incluso en el caso de acep ­ tació n de la “ tec n o lo g ía ” a n tico n cep tiv a, no necesa­ riam en te influye eso p a ra que los p ad res deseen tener m enos h ijo s. Los efectos de la d istrib u ció n del ingreso no son o b je to de ta n to d eb ate , pero si al m enos son difíciles de ex plicar. Jam es K ocher y R o b ert R ep etto , am bos de la U n iversid ad de H a rv ard , a firm a n que u n a dis­ trib u ció n m ás ju s ta de los ingresos c o n trib u y e al des­ censo de la fecu n d id ad poblacio n al en los países su b ­ d esa rro llad o s. Señalan que países com o C eilán (Sri L an k a), C o rea del S ur, C u b a y C h in a han ab atid o sus tasas de fertilid ad al lo g rar u n a d istrib u ció n e q u ita ti­ va del ingreso. Sin e m b arg o , el m ejo ram ien to en la rep a rtic ió n del ingreso en un país no parece ser una co n d ició n necesaria ni tam p o co suficiente p a ra in d u ­ cir u n a b a ja en la fecu n d id ad . L a d istrib u ció n del ingreso en B irm ania, por ejem plo, se ha vuelto supues­ ta m en te e q u ilib rad a en 30 añ o s de socialism o local, p ero las tasas de n atalid ad difícilm ente han b ajad o , m ientras q u e M éxico y C o lo m bia, con u n a d istrib u ­ ción m uy desigual del ingreso, h an reducido sensible­ m ente las tasas de n a ta lid ad en los últim os años. U n p u n to clave p a ra cam b iar los núcleos de fer­ tilid ad p u ed e ser la relación costo-beneficio económ i­ co de los hijos. En sociedades agrícolas, d onde los des­ cendientes no reciben m uchas com odidades y empiezan a tra b a jar desde jóvenes, éstos púeden convertirse muy p ro n to en un cap ital. U n estudio reciente p o r Mead C ain , del C on sejo de P o b lació n , fijó la edad de los hijos p a ra em pezar a tra b a ja r en B angladesh, en 12 años. M ás a ú n , los hijos (o más precisam ente los hijos varones) pueden servir tam bién com o seguridad social y seguro de desem pleo cu an d o los padres envejecen y no p ueden la b o ra r o no hay tra b a jo disponible. Al d ism in uir las tasas de n ata lid a d en los países pobres, puede ser que el d esarro llo económ ico y social haga a los h ijo s m enos necesarios com o fuentes de ingre­ sos y seg u rid ad , pero es tan poco el tra b a jo realizado en estas áreas que esto sólo es u n a especulación razo­ n able. A lg u n o s de to d o s los facto res, cuyos efectos han sido e stu d iad o s con respecto a la fecu n d id ad , son la u rbanización, la educación, la estructura ocupacional, la salud p ú b lica y el estatu s de la m u je r. U n área que, sin em b a rg o , los expertos parecen h a b e r pasado por
  44. 44. 1.5 • Modelos poblacionales alto en población, es el terreno no cuantificable de las actividades, creencias y valores que pueden haber teni­ do que ver con los recientes cam bios en las decisiones de cientos de m illones de parejas. Las diferencias cul­ turales, los conflictos étnicos, los cam bios psicológi­ cos, ideológicos, e incluso, políticos pueden claram ente haber tenido efectos en la fecu n d id ad . C om o expresó Maris V onovskis de la C om isión P arlam en taria E spe­ cial p ara la P o b lació n , sim plem ente p orque algo no se pueda m edir ello no significa que deje de ser im p o r­ tante. ¿Q ué significado tiene la dism inución de la fecun­ didad en los futuros niveles poblacionales? O b viam en­ te si la dism inución co n tin ú a, el crecim iento de la población será m ás lento que lo previsto y la p o b la ­ ción m undial se estabilizará alred ed o r de un nivel m ás bajo al previsto. H ace tan sólo cinco años el p ro n ó s­ tico de “ desviación m edia’’ fo rm u lad o por las N acio ­ nes U nidas p ara la población m undial en el añ o 2000 era de 6 500 m illones; el últim o añ o tal predicción d is­ m inuyó en m ás de 200 m illones, y un tra b a jo reciente de G ary L ittm aan y N ath an K eyfitz, del C en tro de E studios P oblacionales de H a rv a rd , m uestra que en base a los cam bios recientes se p odría am inorar el p ro ­ nóstico fácilm ente en 400 m illones m ás. Los p ro n ó s­ ticos de poblaciones son, sin em b arg o , un asu n to d eli­ cado. P a ra em pezar, los cálculos de la po b lació n actual, sobre los que se basan los pro n ó stico s del m añana, tienen un am plio m argen de error. P o r ejem ­ plo, las estim aciones de la po b lació n de C hina varían de 750 a m ás de 950 m illones. Según cálculos de Jo h n D urand, de la U niversidad de P ennsylvania, los m á r­ genes de error para la población m undial ascienden a más de 200 m illones. El h isto ria d o r F ern an d B raudel calcula en 10% el m argen de e rro r, lo cual, d ad a la población m undial presente, significa m ás de 400 m illones de personas. Los pron ósticos de p oblaciones inspiran a ú n menos confianza que los cálculos de poblaciones, p o r­ que requieren predicciones de las tasas de n a ta lid a d , y m o rtalid ad en el fu tu ro . D ichas tasas pueden c a m ­ biar rápida e inesperadam ente; dos ejem plos extrem os son C eilán (Sri L anka), con u n a dism inución de 34% en la tasa de m o rtalid ad en un p erio d o de dos añ o s, y Ja p ó n , con un descenso en la tasa de n a ta lid a d de 35 50% en un periodo de 10 años. Pronósticos de la ONU realizados 17 años antes de 1975, sobreestim aron la p oblación de la U RSS entre 10 y 20 m illones, y subvaluaron la población de la India en 50 millones. Inclu­ so pronósticos para los Estados Unidos hechos en 1966 sobreestim aron su población p ara nueve años más ta r­ de, en m ás de 10 m illones. Este e rro r puede parecer enorm e; sin em bargo, resulta pequeño com parado con los errores en los cálculos realizados en la década de 1930, en los cuales se ex tra p o la b a las bajas tasas de n atalid ad de la época de la depresión para predecir un m áxim o en la p oblación estadounidense de 170 m illones p ara finales de los años 70 (la población actual es de 220 m illones), que descendería p o sterio r­ m ente. ¿Es posible que las tasas de n atalid ad en los países subdesarrollados, que por el m om ento parecen dism i­ nuir aceleradam ente, se estabilicen de repente o incluso aum enten de nuevo? T eó ricam en te esto podría ocu­ rrir. A co n tin u ació n se m encionan cu atro de las razo­ nes más im p o rtan tes: 1) M uchos países en los que la fecundidad poblaciona! no se ha visto afectada por el descenso p o d rían sim plem ente co n tin u ar sin expe­ rim en tar cam bios en el fu tu ro p róxim o. 2) Ya que es­ terilidad e infertilidad están am pliam ente difundidas en m uchas de las regiones más pobres y afectadas por en­ ferm edades, las tasas de n atalid ad en dichas regiones p o d rán elevarse m ejo ra n d o los servicios de salud y la alim entación. 3) El sistem a G an d h i de esterilización m asiva fría y a rb itra ria puede h ab er afectado a esa región del m undo, de tal form a que se opongan a futu­ ras m edidas de lim itación fam iliar. 4) Si Jo h n A ird, del D epartam ento de Com ercio de Estados Unidos, y o tro s autores tienen razón en que las técnicas de m o­ vilización política y persuación social han llevado a m uchos padres a tener m enos hijos de los deseados, entonces una m odificació n de estas reglas por el m o ­ tivo que fuera p o d ría a u m e n ta r la tasa de n atalidad de la enorm e po b lació n china. U na de las reglas a lar­ go plazo acerca de los p ro n ó stico s poblacionales que aú n se m antiene es que d en tro de los límites de preci­ sión (alrededor de cinco años hacia el futuro) no se puede afirm a r n ad a interesante, y cu an d o se em pieza a decir algo im p o rtan te los resu ltad o s ya no son precisos. y

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