Ecuaciones diferenciales ordinarias, una introducción fernando mesa, acosta, granada

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Ecuaciones diferenciales ordinarias, una introducción fernando mesa, acosta, granada

  1. 1. FERNANDO MESA Licenciado en matemáticas, graduado de la Universidad Tecnológica de Pereira con honores. Tiene estudios de posgrado en Matemáticas, Instrumentación Física y Docencia Universitaria. Con experiencia de más de 20 años, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira en donde se ha destacado como directivo e investigador. E-mail: femesa@utp.edu.co ALEJANDRO MARTÍNEZ ACOSTA Licenciado en Educación, Especialidad Matemática de la Universidad del Cauca. Candidato a magíster en Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira. Actualmente, se desempeña como docente asociado en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Tecnológica de Pereira; es investigador en las áreas de Ecuaciones diferenciales y Educación matemática. E-mail: amartinez@utp.edu.co. JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA Matemático, con Maestría en Matemáticas y doctorado en Matemáticas. Investigador en matemáticas puras y aplicadas con resultados originales en la teoría de bifurcación, deformación y deducción de la teoría de micro-deformación. Investigador en ecuaciones diferenciales parciales. Profesor asociado de la Universidad Tecnológica de Pereira. mail: jorodryy@gmail.com.
  2. 2. Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia Mesa, Fernando Ecuaciones diferenciales ordinarias : una introducción / Fernando Mesa, Alejandro Martínez Acosta, José Rodrigo González Granada. – 1ª. ed. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012. 2 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas) Incluye bibliografía e índice alfabético ISBN 978-958-648-774-0 1. Ecuaciones diferenciales I. Martínez Acosta, Alejandro II. González Granada, José Rodrigo III. Título IV. Serie CDD: 515.352 ed. 20 CO-BoBN– a802301 Colección: Ciencias Exactas Área: Matemáticas Primera edición: Bogotá, D.C., 2012 ISBN: 978-958-648-774-0 © Fernando Mesa e-mail: femesa@utp.edu.co © Alejandro Martínez Acosta e-mail: amartinez@utp.edu.co. © José Rodrigo González Granada e-mail: jorodryy@gmail.com. Universidad Tecnológica de Pereira Vereda La Julita - Pereira - Risaralda © Ecoe Ediciones Ltda. E-mail: correo@ecoeediciones.com www.ecoeediciones.com Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, Fax. 3461741 - Bogotá D.C. Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero Carátula: Edwin Penagos Palacio Impresión: Imagen Editorial Impresores e-mail: imagenimvega@yahoo.com Impreso y hecho en Colombia.
  3. 3. Contenido Presentaci´n o iv 1 Introducci´n a las ecuaciones diferenciales o 1 1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1 1.2 Definiciones y terminolog´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa 5 1.3 Soluciones y problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Ecuaci´n diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12 o 1.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 19 2.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Ecuaci´n diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48 o 2.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.1 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.2 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 i
  4. 4. CONTENIDO 3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Introducci´n: sistema masa-resorte . . . . . . . . . . o 3.1.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´neas . e 3.1.4 Reducci´n de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Teor´ b´sica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa a 3.2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . 3.2.3 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Operadores anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Variaci´n de los par´metros . . . . . . . . . . . . . . o a 3.3 Ecuaci´n de Cauchy–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.4 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Transformada de Laplace 4.1 Definici´n y transformadas o 4.2 Propiedades . . . . . . . . 4.3 Transformada inversa . . . 4.4 Los teoremas de traslaci´n o 4.5 Funciones peri´dicas . . . o 4.6 Funci´n delta de Dirac . . o 4.7 Funci´n de transferencia . o 4.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 . 115 . 118 . 127 . 133 . 140 . 145 . 148 . 152 . . . . . 155 . 155 . 158 . 165 . 165 . 170 b´sicas a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sistemas de ecuaciones diferenciales 5.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2 Teor´ preliminar . . . . . . . . . . . . ıa 5.3 M´todos de soluci´n . . . . . . . . . . e o 5.3.1 M´todo de eliminaci´n . . . . . e o 5.3.2 Soluci´n mediante transformada o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 59 60 63 66 71 71 75 83 87 89 95 98 107
  5. 5. CONTENIDO 5.4 5.5 5.6 5.7 Sistemas lineales homog´neos con coeficientes constantes e Sistemas lineales no homog´neos . . . . . . . . . . . . . . e 5.5.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Variaci´n de los par´metros . . . . . . . . . . . . o a Matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Soluci´n de ecuaciones diferenciales mediante series o 6.1 Introducci´n y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.2 Soluci´n mediante series de potencias . . . . . . . . . . . . . o 6.2.1 Soluci´n en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . o 6.2.2 Soluci´n en torno a puntos singulares: m´todo de Froo e benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ecuaciones y funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Ecuaci´n de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.3.2 Ecuaci´n de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.3.3 Ecuaci´n hipergeom´trica . . . . . . . . . . . . . . . o e 6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 181 181 182 185 191 193 . 193 . 197 . 198 . . . . . . 202 207 208 212 214 217 Respuestas 219 Bibliograf´ ıa 229 ´ Indice alfab´tico e 230 iii
  6. 6. Presentaci´n o Esta obra ha sido realizada para que sea usada como texto gu´ en los curıa sos de ecuaciones diferenciales, que se ofrecen en las diferentes universidades en los distintos programas de ingenier´ y tecnolog´ En particular, en la ıas ıas. Universidad Tecnol´gica de Pereira en su programa de licenciatura en mao tem´ticas y f´ a ısica. Esta edici´n es el resultado de varios a˜os de trabajo y dedicaci´n, lo que o n o permiti´ basados en la experiencia, mejorar los distintos borradores que fueo ron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores. Se desarrollaron seis cap´ ıtulos, en los que sin perder de vista la formalidad de los contenidos, el lector podr´ encontrarse con una presentaci´n sencia o lla, pr´ctica y amena haciendo posible un primer acercamiento al estudio de a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Es as´ como en los cap´ ı ıtulos 1 y 2 se presentan los aspectos relacionados a las ecuaciones diferenciales de primer orden, tema que corresponde a la unidad I del programa oficial del curso de matem´ticas IV que se orienta en la Universidad Tecnol´gica de Pereira. El a o siguiente cap´ ıtulo coincide con la unidad II del programa de matem´ticas a IV en el que se desarrollan los elementos m´s importantes de las ecuaciones a diferenciales de orden superior. En el cap´ ıtulo 4 se lleva a cabo el desarrollo de la transformada de Laplace y sus diferentes usos en la soluci´n de siso temas de ecuaciones y otras aplicaciones. Por ultimo en el cap´ ´ ıtulo final de v
  7. 7. ´ Presentacion esta obra est´ dedicado a desarrollar lo referente a la soluci´n de ecuaciones a o diferenciales mediante el m´todo de Series de Potencias. e Es de anotar que en cada uno de estos cap´ ıtulos nos preocupamos por entregar una gran variedad de ejemplos, los que le permiten al estudiante desarrollar los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su respuesta. Por ultimo, queremos manifestar que junto con el prop´sito inicial, tambi´n ´ o e deseamos hacer un aporte para que la complejidad de las matem´ticas se prea sente sin perder rigurosidad pero estando cada vez m´s al alcance de todos. a Nos hacemos responsables de los errores que pueden llegarse a filtrar en esta primera edici´n, y agradecemos de antemano las sugerencias y observaciones o que pudieran hacernos llegar. Los autores. vi
  8. 8. Cap´ ıtulo 1 Introducci´n a las ecuaciones o diferenciales 1.1 Introducci´n o En las ciencias y en la ingenier´ se desarrollan modelos matem´ticos para ıa a entender mejor los fen´menos f´ o ısicos. A menudo, estos modelos conducen a una ecuaci´n que contiene algunas derivadas de una funci´n desconocida. o o Esta ecuaci´n se denomina una ecuaci´n diferencial. o o Comenzamos esta secci´n con unos ejemplos, los cuales dan origen a ecuao ciones diferenciales. t = 0, v = 0 Ejemplo 1.1 (Ca´ libre). Un obıda jeto de masa m se deja caer desde una altura h (por encima del suelo) y cae por la fuerza de gravedad, (Fig. 1.1). Determine la ecuaci´n diferencial que o describe la trayectoria del objeto. y h mg Nivel del suelo Figura 1.1. Cuerpo en ca´ libre ıda 1
  9. 9. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Soluci´n. o Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleraci´n es igual a la fuerza total que o act´a sobre ´l. Esto conduce a la ecuaci´n u e o m d2 y = −mg, dt2 2 y donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre el suelo, d 2 es su aceleradt ci´n, g es la aceleraci´n gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debida o o a la gravedad. Esta es una ecuaci´n diferencial que contiene la segunda derivada de la alo tura desconocida y como funci´n del tiempo. Al hacer v = dy , se obtiene la o dt ecuaci´n diferencial de primer orden en la inc´gnita v: o o dv = −mg dt Ejemplo 1.2 (Vaciado de un tanque). La ley de Torricelli establece que la rapidez v de flujo (o salida) del agua a trav´s de un agujero de bordes agudos e en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h, es igual a la rapidez de un objeto que cae libremente desde una altura √ h, en este caso v = 2gh, donde g es la aceleraci´n de la gravedad, (figura o 1.2). Deduzca una ecuaci´n diferencial que exprese la altura h en cualquier o momento t, que hay en el tanque. m V (t) h A0 Figura 1.2. Vaciado de un tanque 2 h
  10. 10. ´ 1.1. INTRODUCCION Soluci´n. Si el ´rea transversal del agujero es A0 , y la rapidez del agua que o a √ sale del tanque es v = 2gh, el volumen del agua que sale por unidad de √ ı, tiempo est´ dado por A0 v = A0 2gh. As´ si V (t) representa el volumen del a agua en el tanque a una profundidad h en cualquier instante t, entonces dV = −cA0 2gh, 0 < c < 1 (1.1) dt donde el signo menos indica que V est´ disminuyendo. Si no se tiene en a cuenta la fricci´n en el agujero, lo cual causar´ una reducci´n en la tasa de o a o flujo, entonces c = 1. Si el tanque es tal que el volumen en cualquier instante t se expresa como V = V (h) con h = h(t) donde h es la profundidad en el instante t, entonces por la regla de la cadena, dV = dV dh . Al sustituir esta dt dh dt ultima ecuaci´n en (1.1) y despejar, se obtiene ´ o A0 dh = −c dt dV /dh 2gh. Ejemplo 1.3 (Circuito RLC). Determine la ecuaci´n diferencial para el o circuito LRC dado en la figura 1.3. L R E C Figura 1.3. Circuito RLC Soluci´n. Los principios f´ o ısicos que rigen los circuitos el´ctricos fueron ese tablecidos por G. R. Kirchhoff en 1859. Los principios son los siguientes: 1. Ley de la corriente de Kirchhoff. La suma algebraica de las corrientes que fluyen en cualquier punto de uni´n (nodo) debe ser cero. o 3
  11. 11. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 2. Ley del voltaje de Kirchhoff. La suma algebraica de los cambios instant´neos del potencial (ca´ a ıdas de voltaje) en torno a cualquier lazo cerrado (bucle) debe ser cero. Para aplicar la ley del voltaje, se debe conocer la ca´ de voltaje a trav´s ıda e de cada elemento del circuito. (a) De acuerdo con la ley de Ohm, la ca´ de voltaje ER a trav´s de un ıda e resistor es proporcional a la corriente i que pasa por el resistor: ER = Ri. La constante de proporcionalidad R se conoce como resistencia. (b) Se puede mostrar mediante las leyes de Faraday y Lenz que la ca´ de ıda e o voltaje EL a trav´s de un inductor es proporcional a la raz´n de cambio instant´nea de la corriente i: a EL = L di . dt La constante de proporcionalidad L se conoce como inductancia. (c) La ca´ de voltaje E a trav´s de un capacitor es proporcional a la carga ıda e el´ctrica q que aparece en las placas del capacitor: e EC = 1 q. C La constante C se llama capacitancia. Suponemos que una fuente de voltaje, suma voltaje o energ´ potencial al ıa circuito. Si E(t) indica el voltaje que se proporciona al circuito en el instante t, entonces la ley de Kirchhoff implica EL + ER + EC = E(t). (1.2) Al sustituir en (1.2) las expresiones para EL , ER y EC se tiene L 1 di + Ri + q = E(t) dt C 4 (1.3)
  12. 12. 1.2. DEFINICIONES Y TERMINOLOG´ IA La corriente es la raz´n de cambio instant´nea de la carga, es decir i = o a Por lo tanto, podemos expresar (1.3) como L dq 1 d2 q + R + q = E(t) dt dt C dq . dt (1.4) En la mayor parte de las aplicaciones interesa determinar la corriente i(t). Al derivar (1.3) con respecto a t, suponiendo que E es diferenciable, y sustituyendo i en lugar de dq , se obtiene: dt L 1.2 di 1 dE d2 i +R + i= dt dt C dt (1.5) Definiciones y terminolog´ ıa Definici´n 1.2.1. Una ecuaci´n que contiene las derivadas de una o m´s o o a variables dependientes con respecto a una o m´s variables independientes es a una ecuaci´n diferencial. o Ejemplo 1.4. En la ecuaci´n o dx d2 x + a + kx = 0, 2 dt dt (1.6) t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Las constantes a k se llaman coeficientes de la ecuaci´n. o Ejemplo 1.5. En la ecuaci´n o ∂u ∂u − = x − 2y, ∂x ∂y (1.7) x y y son las variables independientes, mientras que u es la variable dependiente. Clasificaci´n o 1. Seg´ n el tipo: Una ecuaci´n que s´lo contiene derivadas ordinarias con u o o respecto de una sola variable independiente, es una ecuaci´n diferencial o 5
  13. 13. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ordinaria (EDO). Una ecuaci´n diferencial que contiene derivadas parciao les con respecto de m´s de una variable independiente, es una ecuaci´n a o diferencial parcial (EDP). La ecuaci´n (1.5) es una EDO, mientras que la o ecuaci´n (1.7) es una EDP. o 2. Seg´ n el orden: El orden de una ecuaci´n diferencial es el orden de las u o derivadas de orden m´ximo que aparecen en ella. Las ecuaciones (1.5) y a (1.6) son ecuaciones de segundo orden. La ecuaci´n (1.7) es una EDP de o primer orden. 3. Seg´ n la linealidad o no linealidad: Una ecuaci´n diferencial ordinaria u o de orden n es lineal si tiene la forma an (x) dn y dn−1 y dy + an−1 (x) n−1 + · · · + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). n dx dx dx (1.8) Si una ecuaci´n diferencial no es lineal, entonces se dice que es no lineal. o Ejemplo 1.6. Las ecuaciones (2x − y)dx + 4xdy = 0, y − 3y + 2y = 0 y dy d3 x3 dxy − 2x dx + 6y = 0 son ecuaciones lineales de primero, segundo y tercer 3 orden respectivamente. 2 d Ejemplo 1.7. Las ecuaciones (1 + y)y + 2y = ex , dxy + (sen y)y = 0 y 2 d4 y 2 + y = 0 son ecuaciones no lineales de primero, segundo y cuarto orden dx4 respectivamente. 1.3 Soluciones y problemas de valor inicial Una ecuaci´n diferencial ordinaria general de orden n se representa mediante o cualquiera de las expresiones F x, y, y , . . . , y (n) = 0 y (n) = f x, y, y , . . . , y (n−1) 6 (1.9a) (1.9b)
  14. 14. 1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Definici´n 1.3.1 (Soluci´n expl´ o o ıcita). Una funci´n φ tal que al sustituirla o en lugar de y en la ecuaci´n (1.9a) o en (1.9b) satisface la ecuaci´n para toda o o x en un intervalo I es una soluci´n expl´cita de la ecuaci´n en I. Una soluci´n o ı o o expl´ ıcita que es id´ntica a cero en I, se llama soluci´n trivial. e o o ıcita de Ejemplo 1.8. Muestre que φ(x) = x2 − x−1 es una soluci´n expl´ d2 y x2 dx2 = 2y en (0, ∞). Soluci´n. Las funciones o φ(x) = x2 − x−1 , φ (x) = 2x + x−2 y φ (x) = 2 − 2x−3 est´n definidas para toda x > 0. Al sustituir φ(x) y sus derivadas en la a ecuaci´n se tiene o x2 (2 − 2x−3 ) = 2(x2 − x−1 ) = 2φ(x). Como esto es v´lido para cualquier x = 0, la funci´n φ(x) = x2 − x−1 es una a o soluci´n expl´ o ıcita en (0, ∞) y tambi´n en (−∞, 0). e Ejemplo 1.9. Muestre que para cualquier elecci´n de la constante c ≥ 0, la o √ y 2 o ıcita de la ecuaci´n dx = x en o dy funci´n y = ( x + c) es una soluci´n expl´ o (0, ∞). √ x+c dy a Soluci´n. Calculamos dx = √x , la cual est´ definida para toda x > 0. Al o sustituir en la ecuaci´n se tiene o √ √ x+c ( x + c)2 √ , = x x la cual es una igualdad v´lida para toda x > 0. a Definici´n 1.3.2 (Soluci´n impl´ o o ıcita). Se dice que una relaci´n G(x, y) = o 0 es una soluci´n impl´ o ıcita de la ecuaci´n (1.9a) o (1.9b) en el intervalo I o si define una o m´s soluciones expl´ a ıcitas en I. o ıcita de Ejemplo 1.10. Muestre que xy 2 − x3 y = 8 es una soluci´n impl´ dy 3x2 y−y 2 = 2xy−y3 en el intervalo (0, ∞). dx 7
  15. 15. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES √ x Soluci´n. Al despejar y se tiene y = x ± 2x +32x , obteni´ndose dos funcioo e √ √ 3 + x6 +32x 3 − x6 +32x x x y φ2 (x) = en (0, ∞). La sustituci´n de la o nes, φ1 (x) = 2x 2x ı a funci´n φ1 (x) o φ2 (x) y su derivada es un poco tediosa, as´ que se usar´ deo rivaci´n impl´ o ıcita. Al derivar impl´ ıcitamente con respecto a x la ecuaci´n o 2 3 xy − x y = 8 se tiene 3 y 2 + 2xy Al despejar dy dx 6 dy dy − 3x2 y − x3 = 0. dx dx se obtiene 3x2 y − y 2 dy = . dx 2xy − y 3 En muchos casos, no es posible despejar y en t´rminos de x. Sin embargo, e para cada cambio en x se requiere un cambio en y, de modo que se espera que la relaci´n defina de manera impl´ o ıcita al menos una funci´n y(x). Esto es o dif´ de demostrar directamente, pero puede verificarse con rigor mediante ıcil el teorema de la funci´n impl´ o ıcita del c´lculo avanzado, el cual garantiza a la existencia de tal funci´n y(x) y que adem´s es diferenciable. Una vez que o a se sabe que y es una funci´n diferenciable de x, se puede usar la t´cnica de o e derivaci´n impl´ o ıcita. Familia de soluciones. Al resolver una ecuaci´n diferencial de primer oro o den, F (x, y, y ) = 0, por lo general se obtiene una soluci´n con una constante arbitraria, o par´metro c. Una soluci´n con una constante arbitraria represena o ta un conjunto G(x, y, c) = 0 de soluciones y se llama familia uniparam´trie ca de soluciones. Al resolver una ecuaci´n diferencial de orden n (1.9a) o o (1.9b), se busca una familia n−param´trica de soluciones y = φ(x, c1 , . . . , cn ) e o o o G(x, y, c1 , . . . , cn ) = 0. Una soluci´n de una ecuaci´n diferencial que no tiene par´metros arbitrarios se llama soluci´n particular. a o Ejemplo 1.11. Verificar que x2 +4y 2 = c, donde c ≥ 0 es una constante, proporciona una familia uniparam´trica de soluciones impl´ e ıcitas de la ecuaci´n o dy 4y dx + x = 0 y graficar varias soluciones. 8
  16. 16. 1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Soluci´n. Al derivar impl´ o ıcitamente con respecto a x la expresi´n x2 +4y 2 = c o dy dy se tiene 8y dx + 2x = 0, que es equivalente a 4y dx + x = 0. Algunas curvas se muestran en la figura 1.4. y c=4 c=1 x c=9 c = 16 Figura 1.4. Familia de curvas x2 + 4y 2 = c Soluciones singulares. En algunos casos, una ecuaci´n diferencial tiene una o soluci´n que no puede obtenerse particularizando alguno de los par´metros o a en una familia de soluciones. Esa soluci´n se llama soluci´n singular . o o e Ejemplo 1.12. Verifique que y = cx + c2 es una familia uniparam´trica x2 2 de soluciones de la ecuaci´n y = xy + (y ) . Muestre que y = − 4 es una o soluci´n singular. o o Soluci´n. Derivando y = cx + c2 se tiene y = c. Al sustituir en la ecuaci´n o diferencial se obtiene cx + c2 = xc + c2 , que es v´lida para toda x . a y 1 x −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 −2 −3 −4 Figura 1.5. Curvas y = cx + c2 y soluci´n singular y = − o 9 x2 4
  17. 17. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 2 Ahora se deriva y = − x para obtener y = − x . Al reemplazar en la ecuaci´n o 4 2 se tiene −x x2 x2 + , − =x 4 2 4 2 que es verdadera para toda x. Adem´s, y = − x no se puede obtener de la a 4 2 familia de soluciones asignando alg´n valor al par´metro c. Luego, y = − x u a 4 es una soluci´n singular, (ver figura 1.5). o Problema de valor inicial (PVI) Definici´n 1.3.3. Un problema de valor inicial (PVI) consiste en: o Resolver F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 Sujeto a y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 (1.10) donde x0 ∈ I y y0 , y1 , . . . , yn−1 son constantes dadas. Ejemplo 1.13. Muestre que y = c1 ex + c2 e−2x es una familia de soluciones o de y + y − 2y = 0. Halle una soluci´n particular que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = 1, y (0) = 2. Soluci´n. Dejamos al lector la verificaci´n. Para hallar las constantes c1 y c2 , o o calculamos y para obtener y = c1 ex −2c2 e−2x . Al sustituir en las condiciones iniciales obtenemos el sistema de ecuaciones c1 + c2 = 1 c1 − 2c2 = 2. Al resolver este sistema se obtiene c1 = 4 , c2 = − 1 . Por lo tanto, la soluci´n o 3 3 4 x 1 −2x a ınea continua. del PVI es y(x) = 3 e − 3 e , gr´fica en l´ 10
  18. 18. 1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL y 3 2 y= y= −3 −2 1 4 x e 3 4 x e 3 − 1 e−2x 3 x −1 1 2 3 −1 y = − 1 e−2x 3 Figura 1.6. Algunos miembros de la familia y = c1 ex + c2 e−2x Teorema 1.3.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Dado el problema de valor inicial dy = f (x, y); y(x0 ) = y0 , dx sup´ngase que f (x, y) y ∂f (x, y) son funciones continuas en un rect´ngulo o a ∂y R = {(x, y) | a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x0 , y0 ). Entonces el problema de valor inicial tiene una unica soluci´n φ(x) en alg´n intervalo ´ o u u I tal que x0 − h < x < x0 + h, donde h es un n´mero positivo, (Fig. 1.7). y d y = φ(x) (x0 , y0 ) y0 c a x0 − h x0 x0 + h b Figura 1.7. Existencia y unicidad de soluciones 11 x
  19. 19. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Ejemplo 1.14. Para el problema de valor inicial dy = 3x − dx 3 y − 1; y(1) = 1, ¿implica el teorema (1.3.1) la existencia de una soluci´n unica? o ´ Soluci´n. En este caso, f (x, y) = 3x − o √ 3 y−1 y dy dx = − 3 √1 . 3 y−1 dy 1 a Por desgracia, dx = − √y−1 no es continua, ni siquiera est´ definida en y = 1. 3 Luego, no hay un rect´ngulo que contenga al punto (1, 1) donde f y ∂f sean a ∂x continuas. Como no se cumplen las hip´tesis del teorema (1.3.1), no podemos o usarlo para determinar si el problema con valor inicial tiene o no una soluci´n o unica. ´ Ejemplo 1.15. Determine una regi´n R del plano xy para la cual la ecuaci´n o o diferencial y dy = (x − 1)e x−1 dx tenga una soluci´n unica que pase por un punto (x0 , y0 ) en la regi´n. o ´ o y a Soluci´n. f (x, y) = (x − 1)e x−1 no est´ definida para x = 1 y tampoco lo o est´ ∂f /∂y. Por lo tanto, el problema de valor inicial tendr´ soluci´n unica a a o ´ o para cualquier punto (x0 , y0 ) en una regi´n R tal que x0 < 1 o x0 > 1. 1.4 Ecuaci´n diferencial de una familia de o curvas En esta secci´n se determinar´ una ecuaci´n diferencial para una familia n o a o param´trica de curvas F (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0 para n = 1, 2, . . . , n. Empee zamos con una familia uniparam´trica F (x, y, c) = 0. e 1. Dada una familia uniparam´trica de curvas F (x, y, c) = 0, donde c es e una constante, se puede determinar una ecuaci´n diferencial para dicha o familia de cualquiera de las siguientes maneras: 12
  20. 20. ´ 1.4. ECUACION DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS M´todo 1. Se deriva impl´ e ıcitamente la expresi´n F (x, y, c) = 0 con reso pecto a x, se despeja y = dy/dx y se elimina la constante c para obtener y = f (x, y) o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. M´todo 2. Se despeja la constante c en la forma G(x, y) = c y se usa la e regla de derivaci´n impl´ o ıcita Gx dy =− o Gx dx + Gy dy = 0. (1.11) dx Gy En la figura 1.8 se muestran algunas curvas de la familia F (x, y, c) = 0 y una recta tangente a una de dichas curvas. Recu´rdese que la pendiente e a de la recta tangente a una curva en un punto P (x0 , y0 ) est´ dada por la dy derivada m = . dx (x0 ,y0 ) y P x Figura 1.8. Familia de curvas F (x, y, c) = 0 Ejemplo 1.16. Encuentre una ecuaci´n diferencial para la familia de o 2 2 2 c´ ırculos (x − h) + y = h − 1, |h| ≥ 1. Soluci´n. Despejando la constante se tiene o x2 + y 2 + 1 = 2h. x Al usar la expresi´n dada por (1.11) y simplificar se obtiene la ecuaci´n o o diferencial de primer orden G(x, y) = (x2 − y 2 − 1) dx + 2xy dy = 0. 13
  21. 21. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES y 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 x −1 1 2 3 4 5 6 −1 −2 −3 Figura 1.9. Familia (x − h)2 + y 2 = h2 − 1, |h| ≥ 1 2. Dada una familia n param´trica de curvas F (x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) = 0, donde e c1 , c2 , . . . , cn son constantes, se deriva n veces y se eliminan todas las constantes para obtener una ecuaci´n diferencial de orden n. o Ejemplo 1.17. Encuentre una ecuaci´n diferencial para la familia de o 2x −2x curvas y = c1 e + c2 e . Soluci´n. Como hay dos constantes, derivamos dos veces y eliminamos o las constantes. y = c1 e2x + c2 e−2x , y = 2c1 e2x − 2c2 e−2x , y = 4c1 e2x + 4c2 e−2x . Ahora procederemos a eliminar las constantes. y + 2y = 4c1 e2x (A) y + 2y = 8c1 e2x (B) Restando dos veces la ecuaci´n (A) de la ecuaci´n (B) se obtiene o o y − 4y = 0, que es la ecuaci´n diferencial para la familia de curvas. o 14
  22. 22. 1.5. EJERCICIOS 1.5 Ejercicios En los ejercicios 1 a 8, clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales como ordinaria (EDO), parcial (EDP), proporcione el orden e indique las variables independientes y dependientes. Si la ecuaci´n es ordinaria, indique o si es lineal o no lineal. 1. 3 d2 x dx a + 4 + 9x = 2 cos 3t, Vibraciones mec´nicas dt2 dt 2. d2 y dy o − 2x + 2y = 0, Ecuaci´n de Hermite 2 dx dx 3. y(2 − 3x) dy = , Especies en competencia dx x(1 − 3y) 4. ∂ 2u ∂ 2u + = 0, Ecuaci´n de Laplace o ∂x2 ∂y 2 5. dx = (a − x)(b − x), Reacciones qu´ ımicas dt 6. 7. 8. √ 1−y d2 y dy = 0, Ecuaci´n de Kidder o + 2x dx2 dx ∂N ∂ 2N 1 ∂N = + kN , Fisi´n nuclear o + 2 ∂t ∂t r ∂r d2 y dy o − 0.1(1 − y 2 ) + 9y = 0, Ecuaci´n de Van der Pol 2 dx dx En los ejercicios 9 y 10, escriba una ecuaci´n diferencial que se ajuste a o la descripci´n f´ o ısica. 9. La raz´n de cambio de la poblaci´n N de bacterias en el instante t es o o proporcional a la poblaci´n en el instante t. o 10. La raz´n de cambio en la temperatura T del caf´ en el instante t es o e proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante t y la temperatura del caf´ en el instante t. e 15
  23. 23. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 11. Alison y Kevin participan en una carrera de “piques”. Parten del reposo y luego aceleran a una raz´n constante. Kevin cubre la ultima cuarta parte o ´ del recorrido en 3 segundos, mientras que Alison cubre la ultima tercera ´ parte de la distancia en 4 segundos. ¿Qui´n gana la carrera y por cu´nto e a tiempo? 12. Muestre que φ(x) = x|x| es una soluci´n expl´ o ıcita de (−∞, ∞). dy dx = 2 |y| en o ıcita en (−∞, ∞) de la 13. Muestre que φ(x) = ex − x es una soluci´n expl´ dy 2 2x x ecuaci´n diferencial dx + y = e + (1 − 2x)e + x2 − 1. o o ıcita en 0, π de la 14. Muestre que xy 3 − xy 3 sen x = 1 es una soluci´n impl´ 2 (x cos x+sen x−1)y dy ecuaci´n dx = 3x(1−sen x) o En los ejercicios 15 a 18, determine si la funci´n o relaci´n es una soluci´n o o o expl´ ıcita o impl´ ıcita de la ecuaci´n dada. o d2 y + y = x2 + 2 dx2 15. y = sen x + x2 ; 16. e xy e−xy − y dy = −xy dx e +y + y = x − 1; 17. y − ln y = x2 + 1; 18. x = 2e3t − e2t , 2xy dy = dx y−1 d2 x dx − 4 + 3x = e2t dt2 dt 19. Verifique que x2 + cy 2 = 1, donde c es una constante no nula, es una dy xy familia uniparam´trica de soluciones impl´ e ıcitas de dx = x2 −1 y grafique varias curvas soluci´n usando los mismos ejes. o o 20. Si c > 0 demuestre que la funci´n φ(x) = (c2 − x2 )−1 es una soluci´n del o dy 1 2 problema de valor inicial dx = 2xy , y(0) = c2 en (−c, c). Analice esta soluci´n cuando x tiende a ±c. o 16
  24. 24. 1.5. EJERCICIOS 21. Muestre que la ecuaci´n o reales. dy 2 dx + y 2 + 3 = 0 no tiene soluci´n con valores o 22. Determine los valores de m para los cuales la funci´n φ(x) = emx es una o d2 y dy soluci´n de la ecuaci´n dx2 + 6 dx + 5y = 0. o o 23. Determine los valores de m para los cuales la funci´n φ(x) = xm es una o dy d2 y soluci´n de la ecuaci´n x2 dx2 − x dx − 3y = 0. o o 2 d dy o 24. Verifique que φ(x) = c1 ex + c2 e−2x es una soluci´n de dxy + dx − 2y = 0 2 para cualquier elecci´n de las constantes c1 y c2 . Determine de c1 y c2 de o modo que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = 2, y (0) = 1. dy 25. Para el problema de valor inicial dx = 3y 2/3 , y(2) = 0, muestre que e φ1 (x) = 0 y φ2 (x) = (x − 2)3 son soluciones. Explique por qu´ esto no contradice el Teorema 1.3.1, p´gina 11. a 26. El movimiento de un conjunto de part´ ıculas a lo largo del eje x est´ dado a 3 3 o ıcula en el por dx/dt = t − x , donde x(t) denota la posici´n de la part´ instante t. a) Si una part´ ıcula est´ en x = 1 cuando t = 2, ¿cu´l es su velocidad a a en ese instante? b) Muestre que la aceleraci´n de una part´ o ıcula est´ dada por a d2 x 2 3 2 5 = 3t − 3t x + 3x . dt2 c) Si una part´ ıcula est´ en x = 2 cuando t = 2.5, ¿puede llegar a la a posici´n x = 1 en un instante posterior? o 27. Muestre que la ecuaci´n diferencial |y | − 1 = 0 no tiene una familia o uniparam´trica de soluciones en (−∞, ∞). e 28. Considere la ecuaci´n diferencial y = 1 + y 2 . o a) Halle una regi´n R del plano xy, para la cual la ecuaci´n diferencial o o tenga soluci´n unica que pase por un punto (x0 , y0 ) en R. o ´ 17
  25. 25. ´ CAP´ ITULO 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES b) Muestre que y = tan x satisface el PVI y = 1 + y 2 , y(0) = 0; pero explique por qu´ no es soluci´n del problema de valor inicial y = e o 1 + y 2 , y(0) = 0 en el intervalo (−2, 2). c) Determine el mayor intervalo I de validez, para el que y = tan x sea soluci´n del problema de valor inicial en la parte b). o 29. Muestre que y = diferencial singular. dy dx 2(1+c1 e4x ) 1−c1 e4x 2 es una familia de soluciones de la ecuaci´n o = y − 4. Mediante simple inspecci´n, halle una soluci´n o o 30. Determine una ecuaci´n diferencial para cada una de las familias de curo vas. Dibuje algunas curvas para los casos c) y d). a) x2 + (y − k)2 = k 2 + 1 c) y = c1 e2x + c2 e−x b) x2 − 2kxy + y 2 = 4 d ) y = c1 x2 + c2 x2 ln x y y 4 4 k>0 3 k>0 3 1 1 = 2 k 2 0 x −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 x −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 2 3 −2 −3 −3 k<0 −4 k<0 −4 −5 2 1 −5 2 2 2 (b) x − 2kxy + y 2 = 4 (a) x + (y − k) = k + 1 Figura 1.10. Gr´ficas ejercicio 30 a 18 4 5
  26. 26. Cap´ ıtulo 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden Con frecuencia, para resolver las ecuaciones diferenciales se tendr´ que intea grar y quiz´ la integraci´n requiera alguna t´cnica especial. Es conveniente a o e que el estudiante dedique un poco de su tiempo al repaso de dichas t´cnicas e antes de empezar a estudiar este cap´ ıtulo. Una ecuaci´n diferencial de primer orden se puede escribir en cualquiera de o las siguientes formas: F (x, y, y ) = 0, dy = f (x, y) y = dx M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 2.1 Forma general (2.1a) Forma est´ndar a (2.1b) Forma diferencial (2.1c) Ecuaciones de variables separables En esta secci´n se considera un caso especial de la ecuaci´n (2.1b), en la que o o f (x, y) = g(x)/h(y), y una de las m´s f´ciles de resolver (por lo menos en a a teor´ Al escribir p(y) = 1/h(y) se tiene la siguiente: ıa). 19
  27. 27. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Definici´n 2.1.1. La ecuaci´n (2.1b) es separable si f (x, y) = g(x)p(y). Es o o decir, una ecuaci´n de primer orden es separable si se puede escribir en la o forma g(x) dy = g(x)p(y) = . (2.2) dx h(y) M´todo para resolver ecuaciones separables. e Para resolver la ecuaci´n (2.2), se multiplica por h(y) en ambos lados, obteo ni´ndose e h(y)dy = g(x)dx. Luego se integra en ambos lados para obtener h(y)dy = g(x)dx H(y) = G(x) + C, en donde H(y) es una antiderivada particular de h(y), G(x) es una antiderivada particular de g(x) y C es una constante. La ultima expresi´n proporciona ´ o una familia uniparam´trica de soluciones de la ecuaci´n diferencial. e o Ejemplo 2.1. Resolver dy dx = 1 xy 3 Soluci´n. De acuerdo con el m´todo, se separan las variables para escribir o e la ecuaci´n diferencial en la forma o y 3 dy = 1 dx x Al integrar se tiene y 3 dy = 1 dx x y4 = ln x + C, 4 si x > 0 obteniendo una soluci´n impl´ o ıcita de la ecuaci´n diferencial, que es v´lida en o a cualquier intervalo que no contenga al origen. 20
  28. 28. 2.1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES Ejemplo 2.2. Resolver el PVI dy = (1 + y 2 ) tan x; dx y(0) = √ 3 Soluci´n. Separando variables e integrando se tiene o dy = 1 + y2 tan xdx arctan y = ln(sec x) + C, −π/2 < x < π/2 −π/2 < x < π/2 y = tan(ln(sec x) + C), Para determinar C se usa la condici´n inicial y(0) = o √ 3 = tan(ln(sec 0) + C), √ 3. de donde C = π/3. Entonces, la soluci´n del PVI es o y = tan(ln(sec x) + π/3); − π π <x< . 2 2 Ejemplo 2.3. Un objeto que pesa 4 lb cae desde una gran altura partiendo del reposo. Si el aire ejerce una resistencia de 1 v lb, donde v es la velocidad 2 en pies/seg, figura 2.1. Hallar la velocidad v(t) y la distancia recorrida y(t) a los t segundos. Soluci´n. Tomamos la direcci´n positiva hacia abajo. o o De acuerdo con la segunda Ley de Newton se tiene m pero m = w g = 4 32 dv = F1 − F2 , dt = 1 , F1 = 4, F2 = 1 v. 8 2 Reemplazando se obtiene la ecuaci´n diferencial o 1 1 dv =4− v 8 dt 2 o La condici´n inicial obvia es v(0) = 0. o 21 dv = 32 − 4v. dt
  29. 29. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN t = 0, v = 0 y F2 h F1 = mg Nivel del suelo Figura 2.1. Ca´ de un cuerpo ıda Al separar variables e integrar se tiene dv = 4dt 8−v dv = 8−v ⇒ ⇒ 4dt − ln(8 − v) = 4t + C1 . Al usar la condici´n inicial se obtiene C1 = − ln 8. Luego, al sustituir este o valor de C1 y despejar v se tiene v = v(t) = 8(1 − e−4t ). Para hallar y se resuelve el PVI dy = 8(1 − e−4t ); dt y(0) = 0. Al separar variables e integrar se obtiene 1 y(t) = 8(t + e−4t ) + C0 4 La condici´n inicial y(0) = 0 proporciona C0 = −2. Por lo tanto o 1 y = y(t) = 8(t + e−4t ) − 2. 4 22
  30. 30. 2.2. ECUACIONES LINEALES Observaci´n. La t´cnica de separaci´n de variables conlleva a reescribir la o e o ecuaci´n diferencial efectuando ciertas operaciones algebraicas en ella. Eso dy cribir dx = g(x)p(y) como h(y)dy = g(x)dx equivale a dividir ambos lados entre p(y). Se deben tener en cuenta los ceros o ra´ de p(y) en la ecuaci´n ıces o dy separable dx = g(x)p(y), ya que estos proporcionan soluciones constantes de la ecuaci´n diferencial. o 2.2 Ecuaciones lineales Una ecuaci´n lineal de primer orden en forma normal o can´nica es una o o ecuaci´n de la forma o dy + p(x)y = q(x) dx (Lineal en y) (2.3a) (Lineal en x) (2.3b) o ´ tambi´n e dx + p(y)x = q(y) dy Factor Integrante Para resolver (2.3a) se multiplica en ambos lados por un factor μ = μ(x), de modo que el lado izquierdo se transforme en una expresi´n que sea la o derivada de un producto: dy dμ d (μy) = μ + y . dx dx dx (2.4) dy + μ(x)p(x)y = μ(x)q(x). dx (2.5) De esta manera se tiene μ(x) Igualando el lado izquierdo de (2.5) con (2.4) se tiene μ(x) dy dy dμ + μ(x)p(x)y = μ(x) + y . dx dx dx 23
  31. 31. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN De donde dμ = μ(x)p(x). dx Al separar variables e integrar se tiene μ = μ(x) = e p(x)dx . (2.6) De este modo (2.5) se convierte en d μ(x)y(x) = μ(x)q(x), dx cuya soluci´n es o y = y(x) = [μ(x)]−1 μ(x)q(x)dx + C . (2.7) Puesto que C es una constante arbitraria, la expresi´n (2.7) proporciona una o familia uniparam´trica de (2.3a), la cual se llama soluci´n general. e o Ejemplo 2.4. Resuelva la ecuaci´n diferencial o sen x dy + 2y cos x = 4x sen x. dx Soluci´n. Reescribiendo la ecuaci´n en la forma normal se tiene o o dy 2 cos x + y = 4x. dx sen x Identificando p(x) = 2 cos x , sen x μ(x) = e se obtiene el factor integrante p(x)dx = sen2 x; 0 < x < π. Al multiplicar la ecuaci´n por este factor se tiene o sen2 x dy + 2y sen x cos x = 4x sen2 x = 2x − 2x cos 2x dx d (y sen2 x) = 2x − 2x cos 2x. dx Integrando y despejando se obtiene y = y(x) = x2 − 1 2 csc2 x − 2x cot x + 1 + C csc2 x; 24 0 < x < π.
  32. 32. 2.2. ECUACIONES LINEALES Ejemplo 2.5. Resolver 1 dy l´ y(x) = 0. ım 3x − (x2 − 9)y = − ; x→∞ dx x Soluci´n. La forma normal de la ecuaci´n es o o 1 dy x 3 − − y = − 2. dx 3 x 3x x 3 Se tiene que p(x) = − 3 + x , un factor integrante es μ(x) = e p(x)dx = x3 e−x 2 /6 . Luego, x3 e−x 2 /6 1 dy x 3 2 2 − x3 e−x /6 − y = − xe−x /6 dx 3 x 3 1 d 3 −x2 /6 2 (x e y) = − xe−x /6 , dx 3 de donde C 2 1 + 3 ex /6 . 3 x x Al usar la condici´n l´ y(x) = 0 se obtiene C = 0. La soluci´n es o ım o y = y(x) = x→∞ y = y(x) = 1 . x3 Problemas de mezclas En los problemas de mezclas se desea calcular la cantidad de una sustancia x(t) que hay en un recipiente (o en un recinto cerrado) en cualquier instante t. La tasa de cambio de la sustancia presente en la mezcla satisface la relaci´n o dx = R 1 − R2 , (2.8) dt donde R1 = Tasa de entrada de la sustancia R2 = Tasa de salida de la sustancia. Estas cantidades est´n dadas por a R 1 = q1 c 1 y R 2 = q2 c 2 , 25
  33. 33. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN siendo o q1 = velocidad de flujo entrante, c1 = concentraci´n de entrada q2 = velocidad de flujo saliente, c2 = concentraci´n de salida = o x , V donde x = x(t) y V = V (t) son la cantidad de sustancia presente y el volumen en el tiempo t, respectivamente. Se distinguen tres casos 1. q1 = q2 . El volumen es constante 2. q1 > q2 . El volumen aumenta V, q1 > q2 V, q1 = q2 V, q1 < q2 V0 3. q1 < q2 . El volumen disminuye El volumen en el tanque est´ dado por a V = V0 + (Δq) t, donde Δq = q1 − q2 . x(t) x(0) = x0 Ejemplo 2.6 (Mezclas). Un tanque con capacidad de 400 litros contiene inicialmente 200 litros de una mezcla de sal y agua (salmuera) con 30 gramos de sal disueltos. Le entra una soluci´n con 1 gramo de sal por litro a una tasa o de 4 l/min; la mezcla se mantiene uniforme mediante agitaci´n y de ´l sale o e a una tasa de 2 l/min. Calcule la cantidad de gramos de sal en el tanque al momento de desbordarse. Soluci´n. Sea A(t) la cantidad de sal (en gramos) en el tanque en cualquier o momento t antes de desbordarse. La rapidez con que cambia A(t) es: dA = R 1 − R2 , dt donde, R1 = (4l/min)(1gr/l) = 4gr/min; R2 = (2l/min)(A gr/min) = 2A/V gr/min, 26
  34. 34. 2.3. ECUACIONES EXACTAS donde V es el volumen del tanque en el instante t. Como al tanque le entran 4 l/min y le salen 2 l/min, hay una ganancia neta de 2 l/min. Luego, el tiempo que tarda en llenarse el tanque es tf = 200 Diferencia de volumen = min = 100 min. Ganancia neta en el flujo 2 Pero V = V (t) = 200 + 2t = 2(100 + t), luego R2 = A . t + 100 Al sustitur R1 y R2 se obtiene el siguiente PVI A dA =4− ; dt t + 100 A(0) = 30. Resolviendo por ecuaciones lineales se tiene A(t) = 2(t + 100) + C , 0 ≤ t ≤ 100. t + 100 La condici´n inicial da C = −17000. Por lo tanto, la soluci´n al PVI es o o A(t) = 2(t + 100) − 17000 . t + 100 La cantidad de sal al momento de desbordarse es A(100) = 315 gramos. 2.3 Ecuaciones exactas Recordemos que si z = F (x, y) es una funci´n de dos variables que tiene o primeras derivadas parciales en una regi´n R del plano xy, la diferencial o total de F es ∂F ∂F dx + dy dz = ∂x ∂y Sabemos que la gr´fica de z = F (x, y) es una superficie y z = C, donde C a es una constante, representa una curva de nivel para aquellos valores en que est´ definida z = C. En realidad, tenemos una familia de curvas en las cuales e 27
  35. 35. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN dz = 0, de donde podemos hallar la pendiente a dichas curvas en cualquier punto Fx dy = f (x, y) = − dx Fy pero esta es una ecuaci´n diferencial de primer orden, la cual puede escribirse o en la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.9) llamada forma diferencial. Ahora, si el lado izquierdo de (2.9) se puede identificar con una diferencial total ∂F ∂F dx + dy = dF (x, y) M (x, y)dx + N (x, y)dy = ∂x ∂y entonces sus soluciones est´n dadas (de manera impl´ a ıcita) por las curvas de nivel F (x, y) = C para una constante “arbitraria” C. A continuaci´n se dan algunas diferenciales usadas frecuentemente. o 1. d(xy) = ydx + xdy 3. d x y = 5. d tan−1 2. d ydx − xdy y2 xdy − ydx x = y x2 + y 2 x y xdy − ydx x2 ydx − xdy y = x x2 + y 2 = 4. d tan−1 Ejemplo 2.7. Resolver la ecuaci´n diferencial o 2xy 2 + 1 dy =− . dx 2x2 y Soluci´n. Algunas de las opciones diferenciales que corresponden a esta o ecuaci´n son o (2xy 2 + 1)dx + 2x2 ydy = 0 28
  36. 36. 2.3. ECUACIONES EXACTAS 2xy 2 + 1 dx + dy = 0 2x2 y 2x2 y dx + dx = 0 2xy 2 + 1 De todas estas opciones, la primera forma es mejor, pues es una diferencial total de la funci´n F (x, y) = x2 y 2 + x. en efecto, o (2xy 2 + 1)dx + 2x2 ydy = d(x2 y 2 + x) ∂ 2 2 ∂ x2 y 2 + x dx + x y + x dy. = ∂x y De este modo, las soluciones est´n dadas de manera impl´ por la f´rmula a ıcia o 2 2 x y + x = C. Ejemplo 2.8. Resuelva 3x2 y + x2 y + y2 dx + x3 + 2y − x2 x + y2 dy = 0 Soluci´n. El lado izquierdo de la ecuaci´n se puede reacomodar de la sio o guiente forma ydx − xdy 3x2 ydx + (x3 + 2y)dy + , x2 + y 2 el cual se puede ver como la suma de dos diferenciales totales d x3 y + y 2 + d tan−1 x y . As´ las soluciones est´n dadas de manera impl´ ı, a ıcita por x3 y + y 2 + tan−1 x y = C. Definici´n 2.3.1. La forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy es exacta en o un rect´ngulo R si existe una funci´n F (x, y) tal que a o ∂F (x, y) = M (x, y) ∂x 29 (2.10a)
  37. 37. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ∂F (x, y) = N (x, y) ∂y (2.10b) para toda (x, y) ∈ R. Es decir, la diferencial de F satisface dF (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy. Si M (x, y)dx+N (x, y)dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuaci´n o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una ecuaci´n exacta. o Como es de esperarse, en las aplicaciones es poco usual que una ecuaci´n o diferencial est´ en la forma diferencial exacta. Para identificar este tipo de e ecuaciones se requiere de • un criterio para determinar si una forma diferencial M dx + N dy es exacta, y en tal caso • un procedimiento para determinar la funci´n F (x, y). o El criterio de exactitud surge de la siguiente observaci´n. Si o M (x, y)dx + N (x, y)dy = ∂F ∂F dx + dy, ∂x ∂y entonces el teorema del c´lculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales a mixtas continuas ∂ 2F ∂ 2F = ∂y∂x ∂x∂y indica una condici´n de compatibilidad sobre las funciones M y N . El siguieno te teorema indica que la condici´n de compatibilidad es tambi´n suficiente o e para que una ecuaci´n sea exacta. o Teorema 2.3.1. Suponga que las primeras derivadas parciales de M (x, y) y N (x, y) son iguales en un rect´ngulo R. Entonces a M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 30 (2.11)
  38. 38. 2.3. ECUACIONES EXACTAS es exacta si y s´lo si la condici´n de compatibilidad o o ∂N ∂M (x, y) = (x, y) ∂y ∂x (2.12) se cumple para toda (x, y) en R. A continuaci´n se describe el m´todo de soluci´n el cual hace parte de la o e o demostraci´n del teorema 2.3.1 o M´todo de soluci´n. e o (a) Si (2.11) es exacta, en virtud de (2.10a), existe una funci´n F tal que o ∂F = M (x, y). ∂x Para determinar F se puede integrar con respecto a x para obtener F (x, y) = M (x, y)dx + g(y). (2.13) (b) Para determinar g(y) calcule la derivada parcial con respecto de y en ∂F ambos lados de (2.13) y sustituya N por (por (2.10b)) y despeje ∂x g (y). e (c) Integre g (y) para obtener g(y) sin constante num´rica. Al sustituir g(y) en (2.13) se obtiene F (x, y). (d) Una familia de soluciones de (2.11) est´ dada por F (x, y) = C. a En forma alternativa, partiendo de ∂F/∂x = N (x, y), la soluci´n impl´ o ıcita se puede obtener integrando primero con respecto a y. Ejemplo 2.9. Resolver (yexy + 2x)dx + (xexy − 2y)dy = 0 31
  39. 39. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Soluci´n. En este caso, o M (x, y) = yexy + 2x (∗) N (x, y) = xexy − 2y. (∗∗) Como ∂N ∂M = xyexy = , d∂y ∂x la ecuaci´n es exacta. Integrando con respecto a x la ecuaci´n (∗) se tiene o o F (x, y) = (yexy + 2x)dx = exy + x2 + g(y). Derivando con respecto a y esta ultima expresi´n y usando la ecuaci´n (∗∗) ´ o o se tiene xyexy + g (y) = xexy − 2y, de donde g (y) = −2y. Luego, g(y) = −y 2 . Por lo tanto, F (x, y) = exy + x2 − y 2 y una familia de soluciones de la ecuaci´n est´ dada de manera impl´ o a ıcita por exy + x2 − y 2 = C. 2.4 Factores integrantes especiales Retomando la ecuaci´n diferencial lineal en forma normal o dy + p(x)y = q(x) dx y escribi´ndola en la forma diferencial e [p(x)y − q(x)] dx + dy = 0, (2.14) M (x, y) = p(x)y − q(x) y N (x, y) = 1. Como ∂M = p(x) = 0 = ∂N , entonces ∂y ∂x la ecuaci´n (2.14) no es exacta. Ahora multiplicamos por un factor μ(x) la o Ec. (2.14) de modo que la ecuaci´n resultante sea exacta o μ(x) [p(x)y − q(x)] dx + μ(x)dy = 0 32
  40. 40. 2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES y la condici´n de compatibilidad implica o μ(x)p(x) = μ (x), de donde se obtiene el factor integrante μ(x) = e p(x)dx . Definici´n 2.4.1. Si la ecuaci´n en forma diferencial o o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.15) μ(x, y)M (x, y)dx + μ(x, y)N (x, y)dy = 0 (2.16) no es exacta, pero es exacta, se dice que μ(x, y) es un factor integrante de la Ec. (2.15) Ejemplo 2.10. Muestre que μ(x, y) = x1y es un factor integrante de la 2 ecuaci´n o −y 2 dx + (x2 + xy)dy = 0 y resuelva la ecuaci´n resultante. o Soluci´n. Sean M (x, y) = −y 2 y N (x, y) = x2 + xy = x(x + y). Como o ∂M/∂y = −2y = ∂N/∂x = 2x + y, la ecuaci´n no es exacta. al multiplicar por μ(x, y) = o − y dx + x2 1 1 + x y 1 x2 y se obtiene dx = 0. y 1 1 Para esta ecuaci´n se tiene P (x, y) = − x2 y Q(x, y) = x + y . Como o ∂P 1 = − x2 = ∂Q , la nueva ecuaci´n es exacta. Luego, existe una funci´n o o ∂y ∂x F (x, y) tal que y 1 1 ∂Q ∂F =− 2 y = + . ∂x x ∂y x y 33
  41. 41. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Luego, F (x, y) = − y y dx = + g(y). 2 x x Al derivar con respecto a y e igualar con Q(x, y) = 1 1 1 + g (y) = + x x y o 1 x + g (y) = 1 y se tiene 1 y Integrando, salvo constantes, se tiene g(y) = ln y. Por lo tanto, una famila de soluciones impl´ ıcitas est´ dada por a y + ln y = C. x ¿C´mo hallar un factor integrante? o Caso I: μ(x, y) = xn y m , donde n y m se encuentran usando (2.12) aplicada a P = μM y Q = μN . Ejemplo 2.11. Encuentre un factor integrante de la forma μ(x, y) = xn y m y resuelva la ecuaci´n diferencial resultante si (xy + y 2 ) dx − x2 dy = 0. o o Soluci´n. Se tiene que M (x, y) = xy + y 2 y N (x, y) = −x2 . La ecuaci´n o diferencial no es exacta porque My = x + 2y = Nx = −2x. Ahora, sean P (x, y) = μM = xn y m (xy + y 2 ) = xn+1 y m+1 + xn y m+2 Q(x, y) = μN = xn y m (−x2 ) = −xn+2 y m Luego Py = (m + 1)xn+1 y m + (m + 2)xn y m+1 Qx = −(n + 2)xn+1 y m La condici´n de compatibilidad implica que o −(n + 2)xn+1 y m = (m + 1)xn+1 y m + (m + 2)xn y m+1 . 34
  42. 42. 2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES Al igualar coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones lineales −(n + 2) = m + 1 Coeficientes de xn+1 y m : n m+1 Coeficientes de x y : 0=m+2 cuya soluci´n es n = −1, m = −2. Se deja como ejercicio para el lector o resolver la ecuaci´n diferencial resultante. o Caso II: Ahora consideramos el caso general. Si μ(x, y) es un factor integrante de la ecuaci´n (2.15) con primeras derivadas parciales continuas, para o verificar la exactitud de la ecuaci´n (2.16) se debe tener o ∂ ∂ (μ(x, y)M (x, y)) = (μ(x, y)N (x, y)) ∂y ∂x ∂μ ∂M ∂μ ∂N M +μ =N +μ . ∂y ∂y ∂x ∂x Es decir, N ∂μ ∂μ −M = ∂x ∂y ∂N ∂M − ∂x ∂y μ. (2.17) Resulta que para encontrar un factor integrante de la ecuaci´n (2.12) o tenemos que resolver una ecuaci´n en derivadas parciales, que en general es o m´s dif´ a ıcil. Como el caso general es un problema dif´ consideraremos la siguiente susıcil, tituci´n o μ = μ(z), z = h(x, y) para alguna funci´n h dada. o Para hallar dicho factor integrante, se usa la condici´n (2.12) y la regla de la o cadena: dμ ∂z ∂μ = ∂x dz ∂x dμ ∂z ∂μ μy = = ∂y dz ∂y μx = 35 (2.18a) (2.18b)
  43. 43. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Al reemplazar (2.18a) y (2.18b) en (2.17) y despejar N dμ , se obtiene μ dμ dμ zx − M zy = (My − Nx )μ dz dz dμ My − Nx = R(z) dz donde R(z) = , z = h(x, y). μ zx N − zy M As´ un factor integrante para (2.12) tiene la forma ı, μ(z) = e R(z)dz donde R(z) = My − N x , z = h(x, y) zx N − zy M Algunos casos especiales para z son: (i) z = x, (ii) z = y, (iii) z = x + y, (iv) z = x − y, (v) z = ax + by, a = 0 o b = 0, (vi) z = xy, (vi) z = x2 + y 2 , (vii) z = x2 − y 2 y (viii) z = ax2 + by 2 , a = 0 o b = 0. A continuaci´n se consideran los casos especiales (i) – (iii). o (i) μ = μ(z), z = x; μ depende s´lo de x. En este caso zx = 1, zy = 0. o As´ ı, μ(z) = μ(x) = e R(x)dx ; donde R(x) = My − Nx . N (ii) μ = μ(z), z = y; μ depende s´lo de x. En este caso zx = 0, zy = 1. o As´ ı, My − Nx . μ(z) = μ(y) = e R(y)dy ; donde R(x) = −M (iii) μ = μ(z), z = x + y. En este caso, zx = 1, zy = 1. As´ ı, μ(z) = e R(z) dz ; donde R(z) = Los casos que restan se proponen como ejercicio. 36 My − Nx . N −M
  44. 44. 2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES Ejemplo 2.12. Resuelva (x2 +2xy −y 2 )dx+(y 2 +2xy −x2 )dy = 0 encontrando un factor integrante de la forma μ = μ(z), z = h(x, y). Soluci´n. Se tiene o M (x, y) = x2 + 2xy − y 2 y N (x, y) = y 2 + 2xy − x2 . La ecuaci´n no es exacta, puesto que o ∂N ∂M = 2x − 2y = 2y − 2x = . ∂y ∂x Ahora ∂N ∂M − = 4x − 4y = 4(x − y). ∂y ∂x Es claro que Ahora, ∂M/∂y−∂N/∂x N no depende de x, ni ∂N/∂x−∂M/∂y M depende de y. −4(x − y) −4(x − y) ∂M/∂y − ∂N/∂x = = −2(x + y)−1 = G(z), = 2 − y2 M −N 2x 2(x − y)(x + y) el cual depende de z = x + y. Un factor integrante es μ(z) = e G(z)dx = e−2 zdz = e−2 ln z = z −2 = (x + y)−2 . Al multiplicar la ecuaci´n por este factor se obtiene o y 2 + 2xy − y 2 x2 + 2xy − y 2 dx + dy = 0, (x + y)2 (x + y)2 la cual ahora es exacta. Luego, x2 + 2xy − y 2 ∂F = ∂x (x + y)2 y 2 + 2xy − x2 ∂F = ∂y (x + y)2 ( ) ( ) Integrando parcialmente con respecto a x la ecuaci´n ( ) se tiene o F (x, y) = x2 + 2xy − y 2 dx = (x + y)2 37 1− 2y 2 dx (x + y)2
  45. 45. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN =x+ 2y 2 + g(y). (x + y) Derivando con respecto a y y usando la ecuaci´n ( ) se tiene o y 2 + 2xy − x2 2y 2 + 4xy + g (y) = , (x + y)2 (x + y)2 de donde g (y) = −1. Integrando, salvo constantes, se obtiene g(y) = −y. Luego, 2y 2 x2 + y 2 F (x, y) = x + . −y = (x + y)2 x+y Por lo tanto, una familia de soluciones est´ dada de manera impl´ a ıcita por x2 + y 2 = C. x+y Observaci´n. En el proceso de multiplicar por un factor integrante, puede o ocurrir que se pierdan o ganen soluciones. En el Ejemplo (2.10), Sec. (2.4), y = 0 es una soluci´n de la ecuaci´n original que se perdi´ al multiplicar por o o o 1 el factor integrante μ(x, y) = x2 y . 2.5 Transformaciones y sustituciones Puede ocurrir, y con mucha frecuencia, que la ecuaci´n (2.11) no sea sepao rable, ni lineal, ni exacta, por lo que los m´todos estudiados hasta ahora e no funcionan, pero se podr´ transformar, mediante alg´n procedimiento, ıa u en una ecuaci´n que se pueda resolver. Esto es lo que se ha hecho en las o dos secciones precedentes cuando se utiliza un factor integrante para resolver una ecuaci´n lineal o para transformar una ecuaci´n no exacta en una exacta. o o En esta secci´n, se consideran algunas transformaciones o sustituciones que o permiten llevar una ecuaci´n a una separable o a una lineal. Por ejemplo, o suponga que se quiere transformar la ecuaci´n diferencial dy/dx = f (x, y) o con la sustituci´n y = g(x, u), donde u se considera como funci´n de x. Si o o 38
  46. 46. 2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES g tiene primeras derivadas parciales, entonces, por la regla de la cadena se tiene ∂g ∂g du dy = (x, u) + (x, u) . dx ∂x ∂u dx Al sustituir dy/dx, teniendo en cuenta que y = g(x, u) se tiene ∂g du ∂g (x, u) + (x, u) = f (x, g(x, u)), ∂x ∂u dx la cual se puede escribir como du = h(x, u) dx Si es posible encontrar una soluci´n u = φ(x) de esta nueva ecuaci´n, entonces o o una soluci´n de la ecuaci´n original es y = f (x, φ(x)). De manera similar se o o puede encontrar una soluci´n en la forma x = F (ϕ(y), y) para una ecuaci´n o o dx/dy = F (x, y). Ejemplo 2.13. Resolver la ecuaci´n o 2y y dy = + x tan 2 dx x x mediante la sustituci´n y = x2 u. o Sol Sea y = x2 u. Por la regla de la cadena, d 2 ∂ 2 ∂ 2 du dy = (x u) = (x u) + (x u) = 2xu + x2 . dx dx ∂x ∂u dx Luego, du = 2xu + x tan u dx Al separar variables e integrar se tiene 2xu + x2 du = tan u o x du = tan u. dx dx x ln(sen u) = ln(cx) sen u = cx, Al reemplazar u = y/x2 y despejar se tiene y = x2 sen−1 (cx). 39
  47. 47. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ecuaciones con coeficientes homog´neos e Cuando una funci´n f tiene la propiedad f (tx, tx) = tα f (x, y), para alg´n o u n´mero real α, se dice que f es una funci´n homog´nea de grado α. u o e Ejemplo 2.14. f (x, y) = f (tx, ty) = √ x + y es homog´nea de grado e 1 2 pues √ √ tx + ty = t1/2 x + y = t1/2 f (x, y). Definici´n 2.5.1. La ecuaci´n diferencial o o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.19) es homog´nea si M y N son funciones homog´neas del mismo grado. e e Ejemplo 2.15. La ecuaci´n o x dy =y+ dx x2 + y 2 es una ecuaci´n homog´nea. o e Una forma alternativa para determinar si una ecuaci´n diferencial de primer o orden es homog´nea, es escribirla en la forma dy/dx = f (x, y) y expresar e f (x, y) como una funci´n del cociente y/x o x/y. Es decir, f (x, y) es una o funci´n homog´nea de grado cero. Cuando esto ocurre se dice que (2.19) es o e homog´nea. La sustituci´n y = ux o x = vy transforma a (2.19) en una e o ecuaci´n separable. En efecto, sea y = ux, entonces o du dy =u+x dx dx Al sustituir dy/dx, y = ux se obtiene u+x du = f (x, ux) = x0 f (1, u), dx que se puede escribir como x du = F (u), dx F (u) = f (1, u) − u, con 40
  48. 48. 2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES la cual es separable. Al separar variables e integrar se tiene du = ln(cx) F (u) De manera similar, x = vy transforma la ecuaci´n dx/dy = g(x, y) en o y dv = G(v), dy G(v) = g(v, 1) − v. con dy Ejemplo 2.16. Resuelva el PVI (x2 + 2y 2 ) dx = xy; y(−1) = 1. Soluci´n. Escribiendo la ecuaci´n en forma est´ndar se tiene o o a x2 + 2y 2 x 2y dx = = + dy xy y x dv dx =v+y , dy dy Al hacer la sustituci´n x = vy, o v+y 2 dv =v+ dy v o y dv 2 = dy v Al separar variables e integrar se tiene vdv = 2dy y v2 = 2 ln y + C. 2 Regresando a las variables originales se tiene que x2 = 4 ln y + 2C. y2 Usando la condici´n inicial y(−1) = 1 nos da 1 = 4 ln 1 + 2C , de donde o 2C = 1. Despejando x, teniendo en cuenta que x < 0, y > 0 por la condici´n o inicial, se obtiene x = −y 4 ln y + 1, la cual es v´lida para y > e−1/4 . a 41
  49. 49. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ecuaci´n de Bernoulli o Una ecuaci´n de la forma o dy + p(x)y = f (x)y n dx (2.20) es una ecuaci´n de Bernoulli. Cuando n = 1, la ecuaci´n (2.20) es separable, o o mientras que si n = 0, la Ec. (2.20) es lineal. Si n = 0 y n = 1, la sustituci´n o 1−n transforma la Ec. (2.20) en una ecuaci´n lineal. Al derivar con o z = y respecto a x y usando regla de la cadena se tiene dz dy = (1 − n)y −n dx dx Multiplicando en ambos lados de (2.20) por (1 − n)y −n se tiene (1 − n)y −n Al sustituir dz dx dy + (1 − n)p(x)y −n = (1 − n)f (x). dx (2.21) dy por (1 − n) dx y z por y 1−n en (2.21) se tiene dz + (1 − n)p(x)z = (1 − n)f (x), dx la cual es una ecuaci´n lineal. o dy Ejemplo 2.17. Resuelva la ecuaci´n x dx + y = x4 y 2 . o Soluci´n. Escribiendo la ecuaci´n es forma est´ndar o o a dy y + = x3 y 2 , dx x (2.22) vemos que es una ecuaci´n de Bernoulli con p(x) = 1/x, f (x) = x3 y n = 2. o Sean z = y 1−2 = y −1 , (2.22) se tiene dz dx dy = −y −2 dy . Multiplicando por −y −2 la ecuaci´n o −y −2 dy y −2 − = −x3 dy x 42
  50. 50. 2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES z dz − = −x3 dx x La ultima ecuaci´n es lineal, dejamos al lector los detalles para encontrar la ´ o soluci´n o 3 . y= C1 − x4 Ecuaciones de la forma dy = G(ax + by), b = 0 dx En este caso, la sustituci´n z = ax + by, dz/dz = a − bdy/dx transforma la o ecuaci´n en una separable. Al sustituir en la ecuaci´n y simplificar se obtiene o o dz = a + bG(z) dx Ejemplo 2.18. Resolver dy dx = sen2 (x − y) Soluci´n. Sea z = x − y , entonces o dy dz =1− dx dx o ´ dy dz =1− . dx dx Al sustituir en la ecuaci´n y reacomodar se tiene o dz = 1 − sen2 z = cos2 z. dx Seaparando variables, integrando y despejando y se tiene y = x − tan−1 (x + C). Ecuaciones con coeficientes lineales En este apartado consideramos ecuaciones de la forma (a1 x + b1 y + c1 )dx + (a2 x + b2 y + c2 )dy = 0 con a1 b2 = a2 b1 . (2.23) e o Si c1 = c2 = 0 , la Ec. (2.23) es homog´nea. Si c1 = c2 , se busca una traslaci´n de ejes x = u + h, y = v + k, 43
  51. 51. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN de modo que a1 x + b1 y + c1 y a2 x + b2 y + c2 se transformen en a1 u + b1 v y o a1 u + b1 v respectivamente. Para hallar tal transformaci´n se debe resolver el sistema de ecuaciones lineales a1 h + b1 k + c1 = 0 a 2 h + b2 k + c 2 = 0 (2.24) El sistema (2.24) tiene soluci´n unica puesto que a1 b2 = a2 b1 . o ´ Ejemplo 2.19. Resolver (2x + y + 4)dx + (x − 2y + 2)dy = 0. Soluci´n. Se tiene que 2 · (−2) = 1 · 1. Sean x = u + h, y = v + k, donde h o y k se hallan resolviendo el sistema 2h + k + 4 = 0 h − 2k + 2 = 2 La soluci´n es h = −2, k = 0. Al sustituir x = u − 2, y = v se tiene o (2u + v)du + (u − 2v)dv = 0 2v − u 2 − u/v du = = dv v + 2u 1 + 2u/v La sustituci´n u = vz, du/dv = z + vdz/dv transoforma la ecuaci´n en o o z+ 2−z dz = . dv 1 − 2z Al separar variables, integrar, recuperar variables y simplicar se tiene (x + 2)2 + (x + 2)y − y 2 = C. 2.6 Trayectorias ortogonales y oblicuas En esta secci´n se estudian las trayectorias ortogonales y oblicuas a una o familia de curvas dadas F (x, y, c) = 0, donde c es una constante. 44
  52. 52. 2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS Definici´n 2.6.1 (Trayectorias ortogonales). Dos familias uniparam´trio e cas de curvas C1 : F (x, y, c1 ) = 0 y C2 : G(x, y, c2 ) = 0 son ortogonales si todas las curvas de C1 cortan perpendicularmente a todas las curvas de C2 . Recordemos: si m1 es la pendiente de la recta L1 y m2 es la pendiente de la recta L2 , y L1 y L2 son perpendiculares, ver figura 2.2, entonces m1 m2 = −1. y F (x, y, c1 ) = 0 G(x, y, c2 ) = 0 x Figura 2.2. Trayectorias ortogonales Asi, si m1 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de la familia C1 y m2 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de la familia C2 en los puntos de corte con la familia C1 , entonces dy dx C2 =− dx dy C1 Para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparam´trie ca F (x, y, c1 ) = 0 se procede de la siguiente manera: 1. Se halla la ecuaci´n diferencial para la familia dada C1 , para obtener o dy = f (x, y) dx 2. A continuaci´n se resuelve la ecuaci´n diferencial de la familia C2 . o o 1 dy =− dx f (x, y) 45
  53. 53. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ejemplo 2.20. Determine las trayectorias ortogonales para la familia de curvas x2 + 4y 2 = c2 . 1 Soluci´n. Primero encontramos la ecuaci´n diferencial para la familia dada o o 2 2 2 C1 : x + 4y = c1 . Tomando diferenciales totales se tiene d(x2 + 4y 2 ) = d(c2 ) 1 2xdx + 4ydy = 0. De ah´ se obtiene ı x dy =− dx 4y La ecuaci´n diferencial para la familia ortogonal es o 4y dy = . dx x Al separar variables e integrar se obtiene la familia y = c2 x4 . En la figura 2.3 se muestran varios miembros de la familia dada y de la familia ortogonal. y y = c 2 x4 , c2 > 0 x2 + 4y 2 = c2 1 x y = c2 x4 , c2 < 0 Figura 2.3. Trayectorias ortogonales del ejemplo 2.20 Nota. En un campo electrost´tico, las l´ a ıneas de fuerza son ortogonales a las l´ ıneas de potencial constante. 46
  54. 54. 2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS Definici´n 2.6.2 (Trayectorias obl´ o ıcuas). Dos familias uniparam´tricas e de curvas C1 : F (x, y, c1 ) = 0 y C2 : G(x, y, c2 ) = 0 son oblicuas o isogonales ´ si todas las curvas de C1 se cortan formando un angulo φ = π/2, con todas las curvas de C2 . y tan α = − Fx Fy tan β = − Gx Gy F (x, y, c1 ) = 0 G(x, y, c2 ) = 0 φ α β x Figura 2.4. Trayectorias oblicuas Si F (x, y, c1 ) = 0 es la familia dada, entonces la pendiente a sus rectas tangentes es m1 = tan α = f (x, y) y las pendientes de las curvas buscadas es m2 = tan β. De la figura 2.4, β + φ = α. Luego, tan β = tan(α − φ) = f (x, y) − tan φ tan α − tan φ = 1 + tan α tan φ 1 + tan φf (x, y) Por lo tanto, una ecuaci´n diferencial para una familia de trayectorias oblio cuas es f (x, y) − tan φ dy = . (2.25) dx 1 + tan φf (x, y) Ejemplo 2.21. Determine la familia oblicua con angulo de 45◦ a la familia ´ y = c1 x2 , c1 = 0. Soluci´n. En primer lugar determinamos la ecuaci´n diferencial de la familia o o dada. Al derivar se tiene dy = 2c1 x. dx 47
  55. 55. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Al eliminar la constante c1 se obtiene 2y dy = = f (x, y). dx x Sustituyendo en (2.25) se obtiene la ecuaci´n diferencial de la familia buscada o 2y − x dy = , dx x + 2y la cual es de coeficientes homog´neos. Usando la sustituci´n y = ux, se tiene e o du 2ux − x 2u − 1 = = dx x + 2ux 1 + 2u 2 u − 1 − 2u du = x dx 1 + 2u u+x Al separar variables e integrar se obtiene ln(2u2 − u + 1) + 6 √ 7 arctan 4u−1 √ 7 = −2 ln |x| + c2 . Al reemplazar u = y/x y simplificar se llega a ln 2y 2 − xy + x2 + 2.7 6 √ 7 arctan 4y−x √ 7x = c2 . Ecuaci´n diferencial de primer orden en o coordenadas polares En muchas ocasiones puede resultar m´s conveniente trabajar en coordenadas a polares debido a las condiciones del problema o a la forma de la ecuaci´n de o una familia de curvas. Las cordenadas polares de un punto P del plano est´n dadas por a x = r cos θ, y = r sen θ, donde r es el radio polar y θ es el ´ngulo polar. a 48 (2.26)
  56. 56. ´ 2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN EN COORDENADAS POLARES y F (x, y, c0 ) = 0 ψ =α−θ α R io ad po lar P θ x Figura 2.5. Un miembro de F (x, y, c) = 0 y la recta tangente en P Sea F (x, y, c) = 0 una familia de curvas en coordenadas cartesianas. Fijando un valor de c y haciendo el cambio a coordendas polares dadas por (2.26), se obtiene una nueva expresi´n de la forma o H(r, θ, c) = F (r cos θ, r sen θ, c) = 0. Si F (x, y, c) = 0 define impl´ ıcitamente a y como funci´n de x, y = φ(x), en o e un entorno de los puntos P donde Fy = 0, entonces H(r, θ, c) = 0 tambi´n define impl´ ıcitamente a r como una funci´n de θ, r = f (θ), en una vecindad o de aquellos puntos en donde Hr = 0. Derivando impl´ ıcitamente y aplicando regla de la cadena se obtiene. Hθ dr −Fx r sen θ + Fy r cos θ =− . =− dθ Hr Fx cos θ + Fy sen θ De donde resulta Fx sen θ − Fy cos θ 1 dr = r dθ Fx cos θ + Fy sen θ Ahora, si α es el angulo de inclinaci´n de la recta tangente en el punto P ´ o entonces y = tan α, α = α(x). Como y = −Fx /Fy , obtenemos 1 + tan α tan θ 1 1 dr = = . r dθ tan α − tan θ tan(α − θ) 49
  57. 57. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Haciendo ψ = α − θ, ver figura 2.27, el ´ngulo entre el radio polar y la recta a tangente, se llega a 1 dθ 1 dr = o r = tan ψ. (2.27) r dθ tan ψ dr Ejemplo 2.22. Encuentre una familia de curvas en coordenadas polares si tan ψ = k, k constante, k = 0 Soluci´n. Al sustituir tan ψ = k en (2.27), separar variables e integrar, se o tiene 1 1 dr = r dθ k dr 1 = dθ r k θ ln r = + ln c, c > 0 k Al exponenciar se obtiene r = f (θ) = ceθ/k , c > 0. Cambiar M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 a polares En este caso se usan las expresiones dadas por (2.26) y dx = cos θ dr − r sen θdθ, dy = sen θdr + r cos θdθ, para obtener [M1 cos θ + N1 sen θ] dr + r [N1 cos θ − M1 sen θ] dθ = 0, (2.28) donde M1 (r, θ) = M (r cos θ, r sen θ) y N1 (r, θ) = N (r cos θ, r sen θ). Ejemplo 2.23. Transforme la ecuaci´n diferencial (x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0 o a coordenadas polares. Soluci´n. Al reemeplazar x = r cos θ, y = r sen θ, dx = cos θ dr − r sen θdθ o y dy = sen θdr + r cos θdθ se tiene r2 (cos θdr − r sen θdθ) − 2r2 sen θ cos θ(sen θdr + r cos θdθ) = 0 cos θ(1 − 2 sen2 θ)dr − r sen θ(1 + 2 cos2 θ)dθ = 0. 50
  58. 58. 2.8. EJERCICIOS 2.8 2.8.1 Ejercicios Ecuaciones de primer orden Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales 1. sec2 y dy = dx 1 + x2 3. yecos x sen x dx + y −1 dy = 0 2. x 1 − 4v 2 dv = dx 3v 4. (1 + e−y )dx + (1 + e−x )dy = 0 5. (e−y + 1) sen x dx + (1 + cos x)dy = 0; y(0) = 0 6. dx = (a − x)(b − x) dt 8. (ex + e−x ) 10. dy = y2 dx 7. √ 4 + y 2 dx − y 4 − x2 dy = 0 9. (x + √ x) dy √ =y+ y dx √ dy 3x2 + 4x + 2 dy = (1 + y 2 ) tan x; y(0) = 3 11. = ; y(0) = 1 dx dx 2y + 1 12. (x2 + 1) dy dy = x2 + 2x − 1 − 4xy 13. (t2 + 1) = t(y + 1) dx dt 14. (x2 + 1) √ dy + xy = (1 − 2x) x2 + 1 dx 15. x sen x 16. sen x 17. dy + (sen x + x cos x)y = xex dx π dy + y cos x = x sen x; y dx 2 =2 dy 1 = dx 2x + e4y ⎧ ⎨ 3, dy 2 + y = f (x), y(2) = 0; donde f (x) = 18. ⎩−3, dx x 51 si 0 < x ≤ 1 si x > 1
  59. 59. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ⎧ ⎨ 1/x, dy + p(x)y = x, y(1) = 1, donde p(x) = 19. ⎩−1/x, dx si 0 < x ≤ 1 si x > 1 20. y(ln y − e−xy )dx + x(1 + ln y − e−xy )dy = 0 21. y sen(2x) − y + y 2 exy dy = dx x − sen2 x − 2xyexy2 2 22. Determine el valor de k para (6xy 3 + cos y)dx + (kx2 y 2 − x sen y)dx = 0 sea exacta y resuelva la ecuaci´n resultante o 23. Determine la funci´n m´s general que falta para que la ecuaci´n sea exacta o a o y resu´lvala e a) M (x, y)dx + (sec2 y − x/y)dy = 0 b) (yexy − 4x3 y + 2)dx + N (x, y)dy = 0 24. Resuelva 6xy dx + (9x2 + 4y)dy = 0 buscando un factor integrante de la forma μ = μ(y) 25. Halle las expresiones para los factores integrantes para las casos μ = μ(z) con z = x−y, z = ax+by, z = xy, z = x2 +y 2 , z = x2 −y 2 y z = ax2 +by 2 . 26. Si xM (x, y) + yN (x, y) = 0, determine la soluci´n de la ecuaci´n difereno o cial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0. 27. Considere la ecuaci´n diferencial o (5x2 y + 6x3 y 2 + 4xy 2 )dx + (2x3 + 3x4 y + 3x2 y)dy = 0. a) Muestre que la ecuaci´n no es exacta. o b) Multiplique la ecuaci´n por un factor μ(x, y) = xn y m y determine o valores de n y m que hagan exacta la ecuaci´n resultante y resu´lvala o e o 28. Resuelva xy = 2y + x2 cos (y/x2 ) mediante la sustituci´n y = ux2 . 29. Resolver el PVI 2x2 yy + 2xy 2 = tan(x2 y 2 ); y(1) = sustituci´n z = x2 y 2 . o 52 π/2, mediante la
  60. 60. 2.8. EJERCICIOS 30. 2y − 3xy dy = dx x − 3xy 31. (xy − y) cos(2y/x) = −3x4 32. y dy √ + = (x − 2) y dx x − 2 33. dy = sen(x − y) dx 34. dy x+y−2 = dx x+y+2 35. dy = (x + y + 2)2 dx 36. (2x − y)dx + (4x + y − 3)dy = 0 dy = p(x)y 2 + q(x)y + r(x), se llama ecuaci´n 37. Una ecuaci´n de la forma o o dx de Ricatti generalizada a) Muestre que si u(x) es una soluci´n conocida entonces la sustituci´n o o y = u + 1/z reduce la ecuaci´n de Ricatti a una lineal en z. o b) Dado que u = x es una soluci´n de dy/dx = x3 (y − x)2 + y/x, use la o parte a) para encontrar todas las soluciones. 38. Resolver mediante reducci´n de orden o a) x2 y − 2y = 3x2 2.8.2 b) y − k 2 y = 0 Modelado 1. La poblaci´n de una comunidad crece con una tasa proporcional a la o poblaci´n en cualquier instante. Su poblaci´n inicial es 500 y aumenta el o o 15 % en 10 a˜os. ¿Cu´l ser´ la poblaci´n dentro de 30 a˜os? n a a o n 2. El Pb-209, is´topo radiactivo del plomo, se desintegra con una raz´n proo o porcional a la cantidad presente en cualquier instante y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio hab´ 1 gramo de plomo, ¿cu´nto tiemıa a po debe pasar para que se desintegre el 90 %? 3. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´rea bajo a la curva desde (0, 0) a (x, y) es un tercio del ´rea del rect´ngulo que tiene a a a esos puntos como v´rtices opuestos. Hallar la curva. e 53
  61. 61. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 4. Un estudiante despistado olvid´ la regla del producto para derivadas y o o crey´ que (f g) = f g . Sin embargo cont´ con suerte y obtuvo la respueso 2 o ta correcta. Si una de las funciones es g(x) = ex , halle la otra funci´n. 5. Un term´metro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior o e o donde la temperatura es de 5o F . Despu´s de un minuto el term´metro o o e indica 55 F y despu´s de cinco minutos marca 30 F . A los nueve minutos se introduce nuevamente al recinto. ¿Cu´l es la temperatura que marca a el term´metro a los quince minutos? o 6. Por razones obvias un anfiteatro se mantiene a una temperatura constante ıctima de un de 5o C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la v´ crimen, el forense es asesinado y el cuerpo de la v´ ıctima robado. A las 10 a.m. el ayudante del forense descubre su cad´ver a una temperatura de a o o ıa 23 C . A medio d´ su temperatura es 18.5 C. Suponiendo que en vida, e el forense ten´ una temperatura de 37o C, ¿a qu´ hora fue asesinado? ıa 7. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) = ⎧ ⎨120 si 0 < t < 20 ⎩0 si t > 20 , a un cir- cuito en serie LR, en que la inductancia es L = 20 henrios y la resistencia es R = 2 Ohms. Determine la corriente i(t) si i(0) = 0. 8. Una medicina se inyecta en el torrente sangu´ ıneo de un paciente a un flujo constante de r gr/seg. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con una raz´n proporcional a la cantidad x(t) presente en cualquier instante o t. Halle x(t) si x(0) = 0 y encuentre l´ x→∞ x(t). ım 9. Un tanque est´ parcialmente lleno con 100 galones de salmuera con 10 lb a de sal disueltas. Le entra salmuera con 0.5 libras de sal por gal´n a un o flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque est´ bien mezclado y de ´l a e sale a un flujo de 4 gal/min. a) Halle la cantidad de libras de sal A(t) a los 30 minutos. 54
  62. 62. 2.8. EJERCICIOS b) Si el tanque tiene una capacidad de 300 galones, ¿cu´ntas libras de a sal habr´ cuando empieza a desbordarse? a c) Suponga que el tanque se desborda, que la salmuera contin´ a enu trando al flujo de 6 gal/min, que el contenido est´ bien mezclado a y que la soluci´n sigue saliendo a un flujo de 4 gal/min. Determine o un m´todo para hallar cantidad de libras de sal A(t) que habr´ en el e a tanque cuando t = 150 minutos. ¿Su respuesta coincide con lo que cabr´ esperar? ıa 10. Los rayos luminosos chocan con una curva C en el plano, de tal manera que todos los rayos L paralelos al eje x se reflejan y van a un punto unico, ´ O. Suponga que el ´ngulo de incidencia es igual al ´ngulo de reflexi´n, a a o deduzca una ecuaci´n diferencial que describa la forma de la curva y o resu´lvala, (Fig. 2.7(a)). e 11. Un dep´sito contiene 10 galones de salmuera con 2 libras de sal disueltas o en ella. Se introduce en el dep´sito salmuera que contiene disuelta una o libra de sal por gal´n a raz´n de 3 gal/min, y la mezcla bien revuelta, sale o o a raz´n de 4 gal/min. Hallar la cantidad de sal x = x(t) en el dep´sito en o o un instante t arbitrario. ¿Cu´l es la cantidad m´xima de sal en el tanque? a a 12. A un recinto de 8000 pie3 de volumen entra aire con 0.06 % de CO2 . El flujo de entrada es de 2000 pie3 /min y sale con el mismo flujo. Si hay una o concentraci´n inicial de 0.2 % de CO2 , determine la concentraci´n en el o recinto en cualquier instante posterior. ¿Cu´l es la concentraci´n a los 10 a o minutos? ¿Cu´l es la concentraci´n del estado estable? a o 13. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a raz´n de 3 gal/min en o un tanque, de 60 galones de capacidad lleno con una soluci´n salina. La o mezcla resultante se desborda con la misma raz´n en un segundo tanque de o 60 galones que inicialmente conten´ s´lo agua pura, y de ah´ se derrama ıa o ı al piso. Suponiendo una mezcal perfecta en ambos tanques. a) ¿En qu´ momento ser´ m´s salada el agua del segundo tanque? e a a 55
  63. 63. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN b) ¿Y qu´ tan salada estar´, comparada con la soluci´n original? e a o 14. Un gran tanque de capacidad 500 galones est´ parcialmente lleno con 300 a o galones de una soluci´n salina. Le entra salmuera con 1 lb de sal por gal´n o 2 a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque est´ bien mezclado y de a ´l sale a un flujo de 4 gal/min. Si la cantidad m´ e ınima de sal es a los 13 minutos, halle la cantidad inicial de sal en el tanque y la cantidad de sal al momento de desbordarse. 15. Determine las trayectorias ortogonales para las familias de curvas. a) c) e) g) i) 2x2 + 3y 2 = c1 y 2 = c1 x x2 + y 2 = c 1 x x2 − 2c1 x + 2y 2 = 0 x2 + (y − k)2 = k 2 + 1 b) d) f) h) j) (x − y − 1)ex = c1 (1 + c1 x)y = x ey = tan x + c1 x 2 − y 2 = c1 y 2 = c1 (c1 − 2x) 16. Las rectas tangentes a una curva desconocida y = f (x) forman con los ejes coordenados en el primer cuadrante un tri´ngulo de ´rea fija k. Demuestre a a que la ecuaci´n diferencial que describe este tipo de curvas est´ dada por o a o (xy )2 +2(k −xy)y +y 2 = 0. Resuelva la ecuaci´n derivando parcialmente con respecto a y . y y nte nge Ta θ φ = 2θ y = f (x) y = f (x) x (x0 , y0 ) A=k x Tangente Figura 2.6. Gr´ficas problemas 10 y 16 a 17. Curva de persecuci´n. Suponga que un perro P que viaja con velocidad o v parte del punto (a, 0) en el instante t = 0 persiguiendo a un conejo C 56
  64. 64. 2.8. EJERCICIOS que huye con velocidad w, en la direcci´n positiva del eje y, y que parte o del origen en el mismo instante. a) Demuestre que la ecuaci´n diferencial que describe la trayectoria del o perro persiguiendo el conejo es d2 y x 2 =k dx 1+ 2 dy dx con k= w . v b) Haciendo z = dy/dx, mediante separaci´n de variables y con la cono dici´n inicial z(a) = 0, muestre que o 1 dy =z= dx 2 x a k − x a −k c) Halle la posici´n y = y(x) del perro para el caso k < 1 y determine o la posici´n donde el perro alcanza al conejo. La condici´n inicial es o o y(a) = 0. d ) Determine la posici´n y = y(x) del perro para el caso k = 1. Muestre o que el perro no alcanza al conejo. 18. Un avi´n que vuela bajo la gu´ de un faro no direccional (NDB) se mueve o ıa de modo que su eje longitudinal apunte siempre hacia el faro. Un piloto que se encuentra en el punto (a, 0) con a > 0 se dirige con velocidad constante v, hacia un NDB que est´ en el origen. El viento sopla de sur a a norte con velocidad constante w y mantiene su direcci´n. o a) Determine la ecuaci´n diferencial que describe la trayectoria del o avi´n sobre el suelo. o b) Haga una sustituci´n adecuada y resuelva dicha ecuaci´n. o o c) Use el hecho que x = a, y = 0 cuando t = 0 para determinar el valor adecuado de la constante arbitraria en la familia de soluciones. d ) Exprese su soluci´n en t´rminos de funciones hiperb´licas o e o e) Haciendo k = w/v, analice los casos k < 1, k = 1 y k > 1. 57
  65. 65. CAP´ ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN y y Q(0, wt) Viento P (x, y) P (x, y) s x O A(a, 0) x A(a, 0) Figura 2.7. Gr´ficas problemas 17 y 18 a 19. Encuentre las trayectorias oblicuas con un ´ngulo de 45◦ a a a) la par´bola y = x2 , a b) la familia de curvas y = Aex . 20. Encuentre una familia de soluciones para la ecuaci´n diferencial dada por o (2.27) para cada uno de los siguientes casos. a) ψ = θ b) ψ = θ/2 58
  66. 66. Cap´ ıtulo 3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 3.1 3.1.1 Ecuaciones lineales de segundo orden Introducci´n: sistema masa-resorte o Un oscilador masa – resorte amortiguado est´ formado por una masa m unida a a un resorte fijo en un extremo, como se muestra en la figura 3.1. l l s Posici´n de o equilibrio m x m Movimiento l+s Figura 3.1. Sistema masa-resorte amortiguado Al aplicar la segunda ley de Newton F = ma y recordando que a = 59 d2 x dt2 se
  67. 67. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR tiene d2 x F = m 2 = m¨. x dt Al desplazar la masa m con respecto del equilibrio, el resorte se estira o se comprime y ejerce una fuerza que resiste al desplazamiento. Para la mayor´ ıa de los resortes, esta fuerza es directamente proporcional al desplazamiento y, por lo general est´ dada por a Fresorte = −kx, (3.1) donde la constante positiva k es la rigidez y el signo negativo refleja su naturaleza de oposici´n de la fuerza. La ley de Hooke, como se conoce a la o ecuaci´n (3.1) s´lo es v´lida para desplazamientos suficientemente peque˜os. o o a n En la pr´ctica, todos los sistemas mec´nicos experimentan fricci´n o amora a o tiguamiento; para el movimiento de vibraci´n, esta fuerza se modela por lo o general mediante la ecuaci´n o Ffricci´n = −b o dx = −bx = −bv, ˙ dt (3.2) donde b es el coeficiente de amortiguamiento y el signo negativo tiene la misma intenci´n que en la ecuaci´n (3.1). Las otras fuerzas que act´an sobre o o u el oscilador se consideran por lo general como externas al sistema. Al aplicar la segunda ley de Newton se tiene m¨ = −bx − kx + Fexterna x ˙ 3.1.2 o m¨ + bx + kx = Fexterna . x ˙ Operadores diferenciales lineales Una ecuaci´n lineal de segundo orden que se puede escribir en la forma o a2 (x) d2 y dy + a1 (x) + a0 (x)y = g(x). 2 dx dx (3.3) Vamos a suponer que a0 (x), a1 (x), a3 (x) y g(x) son funciones continuas en o un intervalo I. Cuando a0 , a1 y a2 son constantes se dice que la ecuaci´n tiene coeficientes constantes; en caso contrario, tiene coeficientes variables. 60
  68. 68. 3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN En esta secci´n nos interesan las ecuaciones lineales en las que a2 nunca se o anula en I. En esta caso, (3.3) se puede escribir en la forma normal o can´nica o dy d2 y (3.4) + p(x) + q(x)y = f (x), dx2 dx donde p(x) = a1 (x)/a2 (x), q(x) = a0 (x)/a2 (x) y f (x) = g(x)/a2 (x) son continuas en I. Asociada a (3.4) se tiene la ecuaci´n o dy d2 y (3.5) + p(x) + q(x)y = 0 2 dx dx llamada ecuaci´n homog´nea asociada a (3.4). Por conveniencia escribiremos o e (3.5) como y + py + qy = 0. (3.6) Dada cualquier funci´n y con segunda derivada continua en el intervalo I, o (3.6) define una nueva funci´n que llamaremos operador diferencial y que o denotamos por L, tal que L[y] = y + py + qy. (3.7) El operador diferencial L definido en (3.7) es un operador lineal (transformaci´n lineal). Es decir, o L[y1 + y2 ] = L[y1 ] + L[y2 ] y L[cy] = cL[y]. Teorema 3.1.1. Sean y1 y y2 soluciones de la ecuaci´n homog´nea (3.6). o e Entonces, cualquier combinaci´n lineal c1 y1 + c2 y2 de y1 y y2 donde c1 y c2 o son constantes, tambi´n es una soluci´n de (3.6). e o Demostraci´n. L[c1 y1 + c2 y2 ] = c1 L[y1 ] + c2 L[y2 ] = c1 0 + c2 0 = 0. o dy d2 y y D2 y = Notaci´n. Usando la notaci´n Dy := o o , (3.7) se puede dx dx2 escribir en la forma L[y] = D2 y + pDy + qy = (D2 + pD + q)[y], As´ el operador lineal L es L := D2 + pD + q. ı, 61 (3.8)
  69. 69. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Definici´n 3.1.1. Sean L1 y L2 dos operadores diferenciales lineales de seo gundo orden. Se define la suma L1 + L2 y el producto L1 L2 como (L1 + L2 )[y] = L1 [y] + L2 [y] y (L1 L2 )[y] = L1 [L2 [y]]. Se dice que dos operadores L1 y L2 son iguales si L1 [y] = L2 [y] para todas las funciones y con las derivadas necesarias. Ejemplo 3.1. Calcule L1 L2 [y] y L2 L1 [y] en cada caso, donde: a) L1 := D − 2 y L2 := D + 3. c) L1 := xD − 2 y L2 := xD + 3 b) L1 := xD − 3 y L2 := D + 2 Soluci´n. o a) L1 L2 [y] = L1 [(D + 3)[y]] = L1 [y + 3y] = L1 [y ] + 3L1 [y] = (D − 2)[y ] + 3(D − 2)[y] = y − 2y + 3y − 6y = y + y − 6y = (D2 + D − 6)[y] L2 L1 [y] = L2 [(D − 2)[y]] = L2 [y − 2y] = L2 [y ] − 2L2 [y] = (D + 3)[y ] − 2(D + 3)[y] = y + 3y − 2y − 6y = y + y − 6y = (D2 + D − 6)[y] Es decir, (D − 2)(D + 3) = D2 + D − 6 = (D + 3)(D − 2). b) L1 L2 [y] = L1 [(D + 2)[y]] = L1 [y + 2y] = L1 [y ] + 2L1 [y] = (xD − 3)[y ] + 2(xD − 3)[y] = xy − 3y + 2xy − 6y = xy + (2x − 3)y − 6y = xD2 + (2x − 3)D − 6 [y] L2 L1 [y] = L2 [(xD − 3)[y]] = L2 [xy − 3y] = (D + 2)[xy ] − 3(D + 2)[y] = D[xy ] + 2xy − 3y − 6y = xy + y + 2xy − 3y − 6y = xy + (2x − 2)y − 6y = xD2 + (2x − 2)D − 6)[y] En este caso se tiene: (xD−3)(D+2) = xD2 +(2x−3)D−6 y (D+2)(xD−3) = xD2 +(2x−2)D−6. 62
  70. 70. 3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN c) L1 L2 [y] = L1 [(xD + 3)[y]] = L1 [xy + 3y] = L1 [xy ] + 3L1 [y] = (xD − 2)[xy ] + 3(xD − 2)[y] = xD[xy ] − 2xy + 3xy − 6y = x2 y + xy + xy − 6y = x2 D2 + 2xD − 6 [y] L2 L1 [y] = L2 [(xD − 2)[y]] = L2 [xy − 2y] = (xD + 3)[xy ] − 2(xD + 3)[y] = xD[xy ] + 3xy − 2xy − 6y = x2 y + xy + xy − 6y = x2 y + 2xy − 6y = x2 D2 + 2xD − 6)[y] Luego, (xD − 2)(xD + 3) = x2 D2 + 2xD − 6 = (xD + 3)(xD − 2). En el ejemplo anterior se observa que para los casos a) y c) los operadores conmutan, mientras que en el literal b) no. Algunas propiedades de los operadores diferenciales lineales Sean L1 , L2 y L3 operadores diferenciales lineales de segundo orden. Entonces Leyes conmutativas: L1 + L2 = L2 + L1 L1 L2 = L2 L1 si L1 y L2 tienen coeficientes constantes L1 L2 = L2 L1 si L1 = a1 x2 D2 + b1 xD + c1 y L2 = a2 x2 D2 + b2 xD + c2 Leyes asociativas: (L1 + L2 ) + L3 = L1 + (L2 + L3 ) y (L1 L2 )L3 = L1 (L2 L3 ). Leyes distributivas: L1 (L2 + L3 ) = L1 L2 + L1 L3 y (L1 + L2 )L3 = L1 L3 + L2 L3 . 3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homog´neas e Teorema 3.1.2. Sean y1 y y2 dos soluciones de (3.6), donde p y q son continuas en un intervalo (a, b). Suponga que en cierto punto x0 en (a, b), 63
  71. 71. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR estas soluciones satisfacen y1 (x0 )y2 (x0 ) + y1 (x0 )y2 (x0 ) = 0. (3.9) Entonces toda soluci´n de (3.6) en (a, b) se puede expresar como o y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x)y2 (x), donde c1 y c2 son constantes. Definici´n 3.1.2 (Wronskiano). Para cualquiera de las funciones difereno o ciables y1 y y2 , la funci´n W [y1 , y2 ](x) = y1 (x) y2 (x) = y1 (x0 )y2 (x) − y1 (x)y2 (x) y1 (x) y2 (x) (3.10) se llama el wronskiano de y1 y y2 . Definici´n 3.1.3 (Conjunto fundamental de soluciones). Una pareja de o soluciones {y1 , y2 } de (3.6) en (a, b) es un conjunto fundamental de soluciones u si W [y1 , y2 ](x0 ) = 0 para alg´n x0 ∈ (a, b). Ejemplo 3.2. Dado que y1 (x) = e2x y y2 (x) = xe2x son soluciones de la o ecuaci´n diferencial y − 4y + 4y = 0 en (−∞, ∞) y determine la soluci´n o general. Soluci´n. Primero verificamos que {e2x , xe2x } es un conjunto fundameno tal de soluciones. Dejamos como ejercicio verificar que son soluciones de la u ecuaci´n. Verifiquemos que W [y1 , y2 ](x0 ) = 0 para alg´n x0 en (−∞, ∞). Al o sustituir tenemos W = W [y1 , y2 ](x) = xe2x e2x = e4x + 2xe4x − 2xe4x = e4x = 0, 2x 2x 2x 2e e + 2xe para toda x ∈ R. Luego, {e2x , xe2x } forma un conjunto fundamental de soluciones en (−∞, ∞) y la soluci´n general es o y(x) = c1 e2x + c2 xe2x . 64
  72. 72. 3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Se puede ver f´cilmente que existe un conjunto fundamental de soluciones a para (3.6). De hecho, sea x0 ∈ (a, b) y sean y1 y y2 las soluciones que satisfacen las condiciones iniciales y1 (x0 ) = 1, y2 (x0 ) = 0 y1 (x0 ) = 0, y2 (x0 ) = 1. Entonces W [y1 , y2 ](x0 ) = 1 = 0, de manera que {y1 , y2 } es un conjunto fundamental de soluciones. Definici´n 3.1.4 (Dependencia e independencia lineal). Dos funciones o y1 y y2 son linealmente dependientes (LI) en un intervalo I si existen escalares c1 y c2 no nulas tales que c1 y1 (x) + c2 y2 (x) = 0 para toda x en I. Si dos funciones no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. La definici´n anterior es equivalente a: dos funciones son linealmente depeno dientes en un intervalo I, si ninguna es m´ltiplo constante de la otra. u Teorema 3.1.3. Sean y1 y y2 soluciones de (3.6) en (a, b) y sea x0 cualquier punto de (a, b). Entonces y1 y y2 son linealmente independientes en (a, b) si y s´lo si los vectores o y1 (x0 ) y1 (x0 ) y y2 (x0 ) y2 (x0 ) son linealmente independientes. Corolario 1. Si y1 y y2 son soluciones de (3.6) en (a, b), entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) {y1 , y2 } es un conjunto fundamental de soluciones en (a, b). b) Las funciones y1 y y2 son linealmente independientes en (a, b). 65
  73. 73. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR c) El wronskiano W [y1 , y 2 ](x) nunca se anula en (a, b). Los anteriores conceptos se extienden de manera natural para ecuaciones de orden superior. Identidad de Abel: Si y1 y y2 son soluciones de (3.6) en (a, b), entonces W (x) = W (x0 )e − x x0 p(x)dx (3.11) para alg´n x0 en (a, b). u 3.1.4 Reducci´n de orden o Como se ha visto en la secci´n anterior, una soluci´n general de la ecuaci´n o o o diferencial lineal homog´nea de segundo orden, est´ dada por una combinae a ci´n lineal de dos soluciones linealmente independientes. En esta secci´n se o o describe un m´todo para determinar una segunda soluci´n linealmente indee o pendiente a partir de una soluci´n particular conocida de la homog´nea, y o e tambi´n para hallar una soluci´n particular de la ecuaci´n no homog´nea. e o o e Este procedimiento se conoce como reducci´n de orden. o 1. Si y = f (x, y ), es decir, no aparece la variable dependiente y, entonces o la sustituci´n u = y , con u = g(x) la reduce a una ecuaci´n diferencial o du de primer orden: = f (x, u). dx Ejemplo 3.3. Resolver xy = 1 + (y )2 . Soluci´n. Como no aparece la variable “y”, hacemos la sustituci´n o o u = y = dy/dx. As´ u = y y al reemplazar se tiene ı, √ xu = 1 + u2 . Al separar variables e integrar se tiene √ du = 1 + u2 dx x 66
  74. 74. 3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN arcsenh u = ln x + ln c1 , c1 > 0 1 u = senh(ln(c1 x)) = eln(c1 x) − e− ln(c1 x) 2 1 1 u= c x− 2 1 c1 x Como u = y , al integrar nuevamente, se tiene y= 1 x2 ln x c1 − + c2 2 2 c1 2. Si y = f (y, y ), es decir, no aparece la variable independiente x, entonces o la sustituci´n z = y , con z = h(y) la reduce a una ecuaci´n diferencial o dz de primer orden: z = f (y, z). dy 3. Ecuaci´n diferencial lineal homog´nea. Consideremos la ecuaci´n lineal o e o homog´nea de segundo orden e y + py + qy = 0 (3.12) o Sea y1 una soluci´n no trivial de (3.12), es decir, y1 + py1 + qy1 = 0. Para hallar una segunda soluci´n LI de (3.12), buscamos una soluci´n de la o o forma y2 (x) = u(x)y1 (x) = uy 1 (3.13) donde u es una funci´n no constante por determinar. Al derivar tenemos o y2 = u y1 + uy1 y y2 = u y1 + 2u y1 + uy1 . Al sustituir estas expresiones en (3.12) y agrupar, se tiene u y1 + 2u y1 + uy1 + pu y1 + puy1 + quy1 = 0 X $$ 0 u[y1$$$1 + qy1 ] + y1 u + [2y1 + py1 ]u = 0 + py $$ $ y1 u + [2y1 + py1 ]u = 0 67 (3.14)
  75. 75. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al hacer la sustituci´n w = u y dividir por y1 , (3.14) se reduce a o w + 2 y1 + p w = 0. y1 (3.15) La ecuaci´n (3.15) es separable y tambi´n es lineal. Al separar variables o e e integrar se tiene dw =− w 2 y1 + py1 dx y1 ln |w| = −2 ln |y1 | + ln c2 − p(x)dx ln |w| = ln(y1 )−2 + ln c2 − w(x) = c2 [y1 (x)]−2 e− −2 p(x)dx = ln[c2 y1 ] − p(x)dx , p(x)dx ←− Exponenciando donde c2 = 0 es una constante adecuada. Como w = u , entonces u(x) = w(x)dx = c2 [y1 (x)]−2 e− p(x)dx dx. Por lo tanto y2 (x) = c2 y1 (x) [y1 (x)]−2 e− p(x)dx dx, (3.16) para alguna constante c2 = 0 adecuada que puede ser 1. 4. Ecuaci´n diferencial lineal no homog´nea. Ahora tomemos la ecuaci´n o e o diferencial lineal no homog´nea e y + py + qy = f (x) (3.17) Para obtener una soluci´n particular yp (x) de (3.17) se procede de manera o similar. Se supone una soluci´n conocida y1 de (3.12) y se busca yp = y1 u. o La ecuaci´n (3.14) cambia a o y1 u + [2y1 + py1 ]u = f (x). 68
  76. 76. 3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN Al dividir en ambos lados por y1 se tiene u + 2 y1 f (x) +p u = y1 y1 (3.18) Al hacer la sustituci´n w = u y dividir por y1 , (3.18) se reduce a o w + 2 y1 f (x) +p w = , y1 y1 la cual es lineal. Al resolverla por el m´todo estudiado en la secci´n (2.2) e o se obtiene w(x) = e− p(x)dx [y1 (x)]2 y1 (x)e p(x)dx f (x)dx + c1 . Como w = u , entonces u= = w(x)dx e− p(x)dx [y1 (x)]2 y1 (x)e p(x)dx f (x)dx + c1 dx + c0 (3.19) Como estamos interesados en una soluci´n particular, hacemos c1 = c0 = 0 o en (3.19) para obtener yp (x) = y1 (x) e− p(x)dx [y1 (x)]2 y1 (x)e p(x)dx f (x)dx dx (3.20) Observaci´n. La f´rmula (3.20) para encontrar una soluci´n particuo o o lar de la ecuaci´n no homog´nea (3.17) es un poco dif´ de memorizar, o e ıcil as´ que se sugiere hacer todo el procedimiento para hallarla en cada ecuaı ci´n que se resuelva. La f´rmula (3.16) se puede memorizar m´s f´cilo o a a mente, pero tambi´n se podr´ hacer todo el procedimiento para llegar a e ıa ella. Para aplicar directamente las f´rmulas (3.16) y (3.20) se debe tener o cuidado que las ecuaciones est´n escritas en la forma normal o can´nica. e o o Ejemplo 3.4. Dado que y1 (x) = e−x es soluci´n de y + 2y + y = 0, halle la general soluci´n y encuentre una soluci´n particular de y + 2y + y = 2e−x . o o 69
  77. 77. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Soluci´n. Primero hallamos una segunda soluci´n linealmente independiente o o de la ecuaci´n homog´nea. Partiendo de la ecuaci´n (3.15) y como y1 = e−x , o e o entonces y1 = −e−x . Luego w + 2 y1 +p w =0 y1 −e−x w + 2 −x + 2 w = 0 e w = 0, de donde w = c2 = 1. Pero w = u , luego u = x. As´ la soluci´n general de ı, o la ecuaci´n homog´nea est´ dada por o e a y(x) = c1 e−x + c2 xe−x . Para encontrar una soluci´n particular yp de la ecuaci´n no homog´nea o o e partimos de (3.18) y1 f (x) +p w = y1 y1 −x −e 2e−x w + 2 −x + 2 w = −x e e w + 2 w = 2, o de donde w = 2x. Pero w = u , luego u = x2 ; por lo tanto, una soluci´n particular de la ecuaci´n no homog´nea es o e yp (x) = x2 e−x . o Ejemplo 3.5. Dado que x1 (t) = et es una soluci´n, halle una segunda soluci´n linealmente independiente para tx + (1 − 2t)x + (t − 1)x = 0, t > 0. o Soluci´n. Escribiendo la ecuaci´n en la forma normal tenemos o o x + 1 1 −2 x + 1− t t 70 x=0
  78. 78. 3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR Para aplicar la ecuaci´n (3.15) tenemos que x1 = et , x1 = et y p(t) = o Luego w + 2 1 t − 2. y1 +p w =0 y1 1 w + w=0 t Al separar variables e integrar se tiene 1 dt t dw =− w ln |w| = − ln |t| = ln t−1 , de donde w = t−1 . Como w = u , entonces u = ln t. As´ una segunda ı, soluci´n linealmente independiente para t > 0 es x2 (t) = et ln t. Luego, la o soluci´n general es o y(t) = c1 et + c2 et ln t; t > 0. 3.2 Ecuaciones de orden superior 3.2.1 Teor´ b´sica ıa a Una EDO lineal de orden n se puede escribir en la forma an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y + a0 (x)y = g(x). (3.21) Vamos a suponer que a0 (x), a1 (x), . . . , an (x) y g(x) son funciones continuas o en un intervalo I. Cuando a0 , a1 , . . . , an son constantes se dice que la ecuaci´n tiene coeficientes constantes; en caso contrario, tiene coeficientes variables. Vamos a considerar las ecuaciones lineales en las que an (x) nunca se anula en I. En esta caso, se podemos escribir (3.21) en la forma normal o can´nica o y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y + pn (x)y = f (x), 71 (3.22)
  79. 79. CAP´ ITULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR donde p1 (x) = an−1 (x)/an (x), . . . , pn (x) = a1 (x)/an (x) y f (x) = g(x)/an (x) son continuas en I. Asociada a (3.22) tenemos la ecuaci´n o y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y + pn (x)y = 0, (3.23) llamada ecuaci´n homog´nea asociada. o e Si definimos el operador L := Dn + p1 Dn−1 + · · · + pn−1 D + pn , (3.24) entonces, las ecuaciones (3.22) y (3.23) se pueden escribir en la forma L[y] = f (x) (3.25) L[y] = 0 (3.26) Teorema 3.2.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Suponga que p1 , p2 , . . . , pn y f (x) son continuas en un intervalo (a, b) que contiene al punto o x0 . Entonces para cualquier elecci´n de los valores iniciales y0 , y1 , . . . , yn−1 , existe una unica soluci´n y(x) en todo el intervalo (a, b) del problema con ´ o valores iniciales L[y] = f (x), donde L est´ definido por la expresi´n (3.24) a o y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 (3.27) Ejemplo 3.6. Determine el intervalo (a, b) m´s grande para el que el Teoa rema 3.2.1 garantice la existencia de una unica soluci´n en (a, b) para el ´ o problema con valores iniciales (x2 − 1)y + ex y = ln x; y(3/4) = 1, y (3/4) = y (3/4) = 0 Soluci´n. Al escribir la ecuaci´n en la forma normal, se tiene que o o p1 (x) = 0, p2 (x) = 0, p3 (x) = 72 ln x ex y f (x) = 2 . 2−1 x x −1 (3.28)
  80. 80. 3.2. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR Ahora, p1 (x) y p2 (x) son continuas en todos los reales, p3 (x) es continua en cualquier intervalo que no contenga a x = 1 y ni a x = −1, mientras que f (x) no est´ definida para x < 0 y x = 1, pero es continua en los intervalos (0, 1) y a a (1, ∞). Luego, las funciones p1 (x), p2 (x), p3 (x) y f (x) son simult´neamente continuas en los intervalos (0, 1) y (1, ∞). El teorema 3.2.1 garantiza que si ´ o elegimos x0 ∈ (0, 1), entonces existe una unica soluci´n del problema con valores iniciales (3.28) en todo el intervalo (0, 1). De manera similar, para ´ o x0 ∈ (1, ∞), existe una unica soluci´n en (1, ∞). Teorema 3.2.2 (Primer principio de superposici´n). Sean y1 , y2 , . . . , yk o soluciones de la ecuaci´n homog´nea (3.26), donde x est´ en un intervalo I. o e a Entonces la combinaci´n lineal o c 1 y1 + c 2 y2 + · · · + c k yk , e o donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes, tambi´n es una soluci´n para todo x ∈ I. Definici´n 3.2.1 (Wronskiano). Sean f1 , f2 , . . . , fn funciones (n−1) veces o diferenciables, la funci´n o W (x) = W [f1 , f2 , . . . , fn ](x) = f1 (x) f1 (x) . . . f2 (x) f2 (x) . . . ... ... ... fn (x) fn (x) . . . (n−1) (x) f1(n−1) (x) f2(n−1) (x) . . . fn es el wronskiano de f1 , f2 , . . . , fn . o Teorema 3.2.3. Sean y1 , y2 , . . . , yn soluciones de la ecuaci´n (3.26) en un intervalo (a, b), donde p1 , p2 , . . . , pn son continuas en (a, b). Si en un cierto punto x0 ∈ (a, b) estas soluciones satisfacen W (x0 ) = 0, entonces toda soluci´n de (3.26) en (a, b) se pueden escribir en la forma o y(x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + · · · + cn yn (x) donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes. 73 (3.29)

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