Ecuaciones diferenciales 4ta edición - r. nagle, e. saff & a. snider

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Ecuaciones diferenciales 4ta edición - r. nagle, e. saff & a. snider

  1. 1. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera está diseñado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teoría básica, así como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Esta nueva edición incluye capítulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville. Es un texto flexible que proporciona al profesor un amplio panorama para diseñar un temario del curso haciendo énfasis en teoría, metodología, aplicaciones y métodos numéricos. Cuarta edición CAMBIOS EN ESTA EDICIÓN El tema de ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones con coeficientes constantes Nuevos proyectos de grupo Introducción a los sistemas y al análisis del plano fase Nuevo tratamiento de los coeficientes indeterminados Ejercicios revisados Aplicaciones tempranas a los circuitos eléctricos El texto incluye un CD interactivo de ecuaciones diferenciales Visítenos en: www.pearsoneducacion.net Cuarta edición CourseCompass es una plataforma para administración de cursos en línea que combina los contenidos de Pearson Educación con la tecnología de punta de Blackboard®. Este libro incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual puede personalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor información, revise el prefacio de este libro.
  2. 2. CAPITULO RESPUESTAS 20-34 12/6/08 10:50 Página B-34
  3. 3. FORROS NAGLE 9/5/08 13:58 Página B TABLA BREVE DE INTEGRALES* * Nota: Se debe añadir una constante arbitraria a cada fórmula.
  4. 4. FORROS NAGLE 9/5/08 13:58 Página C TABLA BREVE DE INTEGRALES* (continuación) si n es un entero positivo. ALGUNAS EXPANSIONES DE SERIES DE POTENCIA (series de Taylor) *Nota: Se debe añadir una constante arbitraria a cada fórmula.
  5. 5. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página iii ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA cuarta EdiciÓn R. Kent Nagle University of South Florida Edward B. Saff Vanderbilt University Arthur David Snider University of South Florida TRADUCCIÓN: Óscar Alfredo Palmas Velazco Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autonóma de México REVISIÓN TÉCNICA: Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Instituto Politécnico Nacional Ma. Merced Arriaga Gutiérrez Profesora del Departamento de Matemáticas Universidad de Guadalajara Gerardo Tole Galvis Facultad de Ingeniería y Ciencias Básicas Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, Colombia Oswaldo Rodríguez Díaz Universidad Autónoma de Occidente Cali, Colombia
  6. 6. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página vi
  7. 7. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página iv Datos de catalogación bibliográfica NAGLE, R. KENT Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a. ed. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2005 ISBN: 970-26-0592-X Área: Universitarios Formato: 20 × 25.5 cm Páginas: 816 Authorized translation from the English language edition, entitled Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4th ed., by R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff and Arthur David Snider, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright ©2004. All rights reserved. ISBN 0-321-14571-2 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4a ed., de R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff y Arthur David Snider, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright ©2004. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com Editor de desarrollo: Jorge Bonilla Talavera Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Edición en inglés: Publisher: Greg Tobin Managing Editor: Karen Guardino Acquisitions Editor: William Hoffman Project Editor: Rachel S. Reeve Production Supervisor: Cindy Cody Marketing Manager: Pamela Laskey Marketing Coordinator: Heather Peck Media Producer: Lynne Blaszak Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Prepress Supervisor: Caroline Fell Media Buyer: Ginny Michaud Cover Designer: Barbara Atkinson Cover Illustration: George V. Kelvin Compositor: Nesbitt Graphics, Inc. CUARTA EDICIÓN, 2005 D.R. © 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0592-X Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05
  8. 8. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página v Dedicado a R. Kent Nagle Él dejó su huella no sólo en estas páginas, sino en todos aquellos que lo conocieron. Era de esa rara clase de matemáticos que podrían comunicarse con eficiencia a todos los niveles, impartiendo su amor por la materia con la misma facilidad a estudiantes de licenciatura, posgrado, bachillerato, maestros de escuelas públicas y colegas en la Universidad del Sur de Florida. Kent vivió en paz, una paz emanada de la profundidad de su comprensión de la condición humana y la fuerza de sus ideas acerca de las instituciones familiares, religiosas y educativas. Fue investigador, autor destacado, maestro de escuela elemental cada domingo, esposo y padre dedicado a su familia. Kent era también mi estimado amigo y compañero de ejercicio, se fue luchando por mantener el paso con sus altos ideales. E. B. Saff
  9. 9. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página vii Prefacio NUESTRO OBJETIVO Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera está diseñado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teoría básica, así como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Con este fin, aumentamos nuestro breve texto anterior, incluyendo capítulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville. Hemos tratado de crear un texto flexible que proporcione al instructor un amplio panorama para diseñar un temario del curso (en este prefacio damos ejemplos de tales temarios), para el énfasis del curso (teoría, metodología, aplicaciones y métodos numéricos) y para usar el software comercial. INNOVACIONES PARA ESTA EDICIÓN En respuesta a las solicitudes de usuarios y revisores, y en reconocimiento de los recientes desarrollos en enseñanza y aprendizaje, ofrecemos lo siguiente: Iniciación guiada a las ecuaciones diferenciales El capítulo 4, Ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones con coeficientes constantes. Esta situación predomina en las aplicaciones. Al restringir la primera exposición al lector a una situación en que las soluciones se pueden construir fácilmente, podemos exhibir de manera explícita casi todos los aspectos de la teoría lineal. La visión general de esta teoría, que aparece en el capítulo 6 para quienes quieran aprenderla, es mucho más fácil de comprender cuando el lector ha logrado dominar los cálculos concretos en el caso de coeficientes constantes. En el capítulo 4 hemos mantenido una sección cualitativa, la cual guía al lector para especular de manera inteligente sobre el comportamiento aproximado de tipos más generales de ecuaciones (con coeficientes variables y no lineales). vii
  10. 10. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS viii 9/5/08 13:52 Página viii Prefacio Nuevo tratamiento de los coeficientes indeterminados Ahora se introduce el método de coeficientes indeterminados en la sección 4.4 para no-homogeneidades con un solo término, lo cual motiva mejor el método y simplifica el procedimiento. Los coeficientes indeterminados se revisan en la sección 4.5, donde se amplían a la suma de términos no homogéneos por medio del principio de superposición. En la guarda posterior de este texto se reproduce un bosquejo simplificado del procedimiento. Aplicaciones tempranas a los circuitos eléctricos Las ecuaciones diferenciales que describen a circuitos RL y RC sencillos son de primer orden, de modo que esta aplicación se introduce ahora en el capítulo 3. El análisis de circuitos RLC más complejos permanece en el capítulo 5. Un nuevo proyecto al final del capítulo 3 describe el amplificador operacional ideal y muestra cómo un pequeño razonamiento físico permite a los ingenieros tratar un comportamiento no lineal sin dolor. Nuevos proyectos de grupo Al final de los capítulos adecuados aparecen nuevos proyectos que modelan la oferta y la demanda, el crecimiento de tumores y los amplificadores operacionales (ya mencionados). Introducción a los sistemas y al análisis del plano fase: Capítulo 5 Este capítulo ha sido reorganizado para dotar rápidamente al lector de la capacidad para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales mediante el método de eliminación. Los métodos numéricos se introducen antes de las descripciones del plano fase y los sistemas dinámicos, lo que facilita la comprensión y anima a realizar experimentos computacionales relativos a estos temas. Ejercicios revisados Para conveniencia de los profesores, algunos de los ejercicios básicos para “construir habilidades” han sido modificados (para cambiar las respuestas anteriores obsoletas) y se ha agregado una selección de ejercicios con un grado mayor de desafío. PRERREQUISITOS Aunque en algunas universidades el curso de álgebra lineal es un prerrequisito para el curso de ecuaciones diferenciales, muchas escuelas (en especial las de Ingeniería) sólo usan el cálculo. Con esto en mente, hemos diseñado el texto de modo que sólo el capítulo 6 (Teoría de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) y el capítulo 9 (Métodos matriciales para sistemas lineales) requieran algo más que el álgebra lineal de bachillerato. Además, el capítulo 9 contiene secciones de repaso sobre matrices y vectores, así como referencias específicas para los resultados más profundos de la teoría del álgebra lineal que se utilizan en esta obra. También escribimos el capítulo 5 para dar una introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo los métodos de solución, análisis de plano fase, aplicaciones, procedimientos numéricos y transformaciones de Poincaré, que no requieren fundamentos de álgebra lineal. EJEMPLOS DE TEMARIOS Como una guía “en bruto” para el diseño de un curso en dos semestres que está relacionado con este texto, damos dos ejemplos que pueden servir para una serie de dos cursos de 15 semanas cada uno, con tres horas de clase por semana: el primero enfatiza las aplicaciones y los cálculos junto con el análisis del plano fase; el segundo está diseñado para cursos que enfatizan la teoría. Como en el texto más breve, los capítulos 1, 2 y 4 son el núcleo del curso del primer semestre. El resto de los capítulos es, en su mayor parte, independiente de lo demás. Para los estudiantes que tienen conocimientos de álgebra lineal, el instructor podría reemplazar el capítulo 7 (Transformadas de Laplace) o el capítulo 8 (Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series) por secciones del capítulo 9 (Métodos matriciales para sistemas lineales).
  11. 11. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página ix ix Prefacio Primer semestre Métodos, cálculos y aplicaciones Teoría de métodos Segundo semestre Ambos cursos Semana Secciones Secciones Semana Secciones 1.1,1.2,1.3 1.4, 2.2 2.3, 2.4, 3.2 3.4, 3.5, 3.6 3.7, 4.1 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 4.8, 4.9 5.1, 5.2, 5.3 5.4, 5.5, 5.6 6.1, 6.2 6.3, 7.2, 7.3 7.4, 7.5, 7.6 7.7, 8.1, 8.2 8.3, 8.4 1.1,1.2,1.3 1.4, 2.2, 2.3 2.4, 2.5 2.6, 3.2, 3.4 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 5.1, 5.2 5.3, 5.4 5.5, 6.1 6.2, 6.3, 6.4 7.2, 7.3, 7.4 7.5, 7.6 7.7, 8.1 8.2, 8.3, 8.4 8.5, 8.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.1, 1.2, 1.3 1.4, 2.2 2.3, 2.4 3.2, 3.4 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 5.1, 5.2 7.1, 7.2, 7.3 7.4, 7.5 7.6, 7.7 7.8, 8.2 8.3, 8.5, 8.6 10.2, 10.3 10.4, 10.5 10.6, 10.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 CARACTERÍSTICAS ÚNICAS DE ESTA OBRA Organización flexible La mayor parte del material tiene una naturaleza modular que permite diversas configuraciones y énfasis en el curso (teoría, aplicaciones, técnicas o conceptos). Uso opcional de software La disponibilidad de paquetes de cómputo como MATHCAD®, MATHEMATICA®, MATLAB® y MAPLE® proporciona una oportunidad para que el estudiante realice experimentos numéricos y enfrente aplicaciones realistas que proporcionen una mejor idea de la materia. En consecuencia, hemos insertado varios ejercicios y proyectos en todo el texto, diseñados para que el estudiante utilice el software disponible en el análisis del plano fase, el cálculo de valores propios y las soluciones numéricas de varias ecuaciones. Elección de aplicaciones Debido a las restricciones de tiempo, es posible que en ciertos cursos no se aborden las secciones que tratan casi exclusivamente de aplicaciones (como las de los capítulos 3 y 5). Por tanto, hemos logrado que las secciones de estos capítulos sean casi completamente independientes entre sí. Para que el profesor tenga más flexibilidad, hemos incorporado varias aplicaciones en los ejercicios de las secciones teóricas. Además, hemos incluido muchos proyectos que trabajan con tales aplicaciones. Proyectos de grupo Al final de cada capítulo aparecen los proyectos de grupo que están relacionados con el material del capítulo. Un proyecto puede implicar una aplicación más desafiante, profundizar en la teoría, o presentar temas más avanzados de ecuaciones diferenciales. Aunque estos proyectos pueden ser enfrentados por los estudiantes en forma individual, su utilización en el salón de clase ha mostrado que el trabajo en grupo le otorga una mayor dimensión a la experiencia de aprendizaje. De hecho, simula la interacción que tendrá lugar en el terreno profesional.
  12. 12. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS x 9/5/08 13:52 Página x Prefacio Ejercicios de escritura técnica La habilidad de comunicación es, por supuesto, un aspecto esencial de las actividades profesionales. Aún así, pocos textos proporcionan la oportunidad para que el lector desarrolle tal habilidad. Es por ello que hemos agregado al final de la mayor parte de los capítulos un conjunto de ejercicios de escritura técnica, claramente identificados, que invitan al estudiante a crear respuestas documentadas a preguntas que están relacionadas con los conceptos del capítulo. Al hacer esto, se pide a los estudiantes que comparen varios métodos y presenten ejemplos que apoyen su análisis. Notas históricas En todo el texto aparecen notas históricas que se identifican con dagas (†). Estas notas al pie proporcionan por lo general el nombre de la persona que desarrolló la técnica, la fecha y el contexto de la investigación original. Problemas de motivación La mayor parte de los capítulos inicia con el análisis de un problema de la física o la ingeniería que motiva al tema que se presenta, se incluye además la metodología. Resumen del capítulo y problemas de repaso Todos los capítulos principales contienen un conjunto de problemas de repaso, junto con un resumen de los principales conceptos que se presentan. Gráficos por computadora La mayor parte de las figuras del texto fueron generadas mediante una computadora. Los gráficos por computadora no sólo garantizan una mayor precisión en las ilustraciones, sino que demuestran el uso de la experimentación numérica en el estudio del comportamiento de las soluciones. Demostraciones Aunque los estudiantes más pragmáticos podrían eludir las demostraciones, la mayoría de los profesores consideran a estas justificaciones como un ingrediente esencial en un libro de texto de ecuaciones diferenciales. Como en cualquier otro texto de este nivel, hay que omitir algunos detalles de las demostraciones. Cuando esto ocurre, señalamos el hecho y hacemos referencia a un problema en los ejercicios o a otro texto. Por conveniencia, el final de una demostración se señala mediante el símbolo ■ . Teoría lineal Hemos desarrollado la teoría de ecuaciones diferenciales lineales en forma gradual. En el capítulo 4 (Ecuaciones lineales de segundo orden) presentamos la teoría básica para las ecuaciones lineales de segundo orden y analizamos varias técnicas para resolver tales ecuaciones. Las ecuaciones de orden superior se mencionan brevemente en este capítulo. En el capítulo 6 (Teoría de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) se da un análisis más detallado de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Para un primer curso que enfatice los métodos de solución, basta la presentación del capítulo 4 y se puede omitir el capítulo 6. Algoritmos numéricos Se presentan varios métodos numéricos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales, junto con bosquejos de programas que se pueden ejecutar con facilidad en una computadora. Estos métodos se presentan de manera temprana en el texto, de modo que los maestros y los estudiantes puedan usarlos para la experimentación numérica y para enfrentar aplicaciones complejas. La mayor parte de los algoritmos analizados se implantan en el sitio en Internet para este texto. Ejercicios Los ejercicios son abundantes, con diferentes grados de dificultad, desde los problemas rutinarios más directos, hasta los más desafiantes. Algunas preguntas teóricas más profundas, junto con aplicaciones aparecen por lo general en la parte final de los conjuntos de ejercicios. En todo el texto hemos incluido problemas y proyectos que requieren una calculadora o una computadora. Estos ejercicios se indican mediante el símbolo !. El software del sitio en
  13. 13. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página xi Prefacio xi Internet especialmente diseñado para su uso con este texto facilita la solución de estos problemas numéricos. Secciones opcionales Estas secciones se pueden omitir sin afectar el desarrollo lógico del material. Están señaladas con un asterisco en la tabla de contenido. Como hemos dicho, las secciones de los capítulos 3 y 5 son completamente independientes entre sí. Transformadas de Laplace Proporcionamos un capítulo detallado sobre transformadas de Laplace (capítulo 7), pues éste es un tema recurrente para los ingenieros. Nuestro tratamiento enfatiza los términos de forzamiento discontinuo e incluye una sección sobre la función delta de Dirac. Series de potencias Las soluciones en serie de potencias son un tema que en ciertas ocasiones causa ansiedad a los estudiantes. Es probable que esto se deba a una preparación inadecuada en el cálculo, donde el sutil tema de las series convergentes se estudia (con frecuencia) rápidamente. Nuestra solución consiste en proporcionar una introducción suave y atractiva a la teoría de soluciones en serie de potencias, con una exposición de las aproximaciones a las soluciones mediante polinomios de Taylor, posponiendo los aspectos sofisticados de la convergencia para secciones posteriores. A diferencia de muchos textos, el nuestro proporciona una amplia sección sobre el método de Frobenius (Sección 8.6), así como una sección sobre la determinación de una solución linealmente independiente. Aunque hemos dedicado un espacio considerable a las soluciones mediante series de potencias, también hemos tenido cuidado en adecuarnos al profesor que sólo desea dar una introducción básica del tema. Puede lograrse una introducción al tema de solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y el método de Frobenius abarcado los materiales de las secciones 8.1, 8.2, 8.3 y 8.6. Ecuaciones diferenciales parciales Se proporciona una introducción a este tema en el capítulo 10, abarcando el método de separación de variables, series de Fourier, la ecuación del calor, la ecuación de onda y la ecuación de Laplace. Se incluyen ejemplos en dos y tres dimensiones. Plano fase El capítulo 5 describe la forma en que puede obtenerse información cualitativa para las solu- ciones a sistemas de dos dimensiones con ecuaciones autónomas intratables, observando sus campos de direcciones y los puntos críticos en el plano fase. Con la ayuda del software adecuado, este punto de vista proporciona una alternativa refrescante, casi recreativa, a la metodología tradicional analítica al analizar las aplicaciones a la mecánica no lineal, las ecuaciones no lineales y la epidemiología. Vibraciones Se proporciona una motivación para el capítulo 4, sobre ecuaciones diferenciales lineales, mediante una sección introductoria que describe el oscilador masa-resorte. Aprovechamos la familiaridad del lector con los movimientos vibratorios comunes para anticipar la exposición de los aspectos teóricos y analíticos de las ecuaciones lineales. Este modelo no sólo proporciona una base para el discurso sobre las ecuaciones con coeficientes constantes, sino que también una interpretación libre de sus características nos permite predecir el comportamiento cualitativo de las ecuaciones con coeficientes variables o no lineales. Repaso de las ecuaciones algebraicas lineales y las matrices El capítulo sobre métodos matriciales para los sistemas lineales (capítulo 9) comienza con dos secciones introductorias (opcionales) que repasan la teoría de los sistemas algebraicos lineales y el álgebra matricial.
  14. 14. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS xii 9/5/08 13:52 Página xii Prefacio SUPLEMENTOS Guía de recursos para el instructor (para la edición en inglés de esta obra) Contiene respuestas cortas de todos los ejercicios y proyectos de grupo adicionales. ISBN 0-321-17318-X CD-ROM interactivo de ecuaciones diferenciales (para esta edición en español) Por Beverly West (Universidad de Cornell), Steven Strogatz (Universidad de Cornell), Jean Marie McDill (California State Polytechnic University-San Luis Obispo), John Cantwell (Universidad de San Luis) y Hubert Hohn (Massachussetts College of Art). Versión revisada de un popular software directamente ligado al texto. Se centra en la ayuda a los estudiantes para visualizar conceptos. Se extraen aplicaciones de ingeniería, física, química y biología. Se puede utilizar en ambientes Windows o Macintosh y se incluye gratuitamente en cada ejemplar. Guía del instructor basada en MAPLE (para la edición en inglés de esta obra) Por Kenneth Pothoven (Universidad del Sur de Florida). Una colección de hojas de trabajo y proyectos de MAPLE® para ayudar a los profesores a integrar MAPLE a sus cursos. También disponible mediante nuestro sitio en Internet. ISBN 0-321-17320-1 CourseCompass CourseCompass es una plataforma para administración de cursos en línea que combina los contenidos de Pearson Educación con la tecnología de punta de Blackboard (R). CourseCompass proporciona a los estudiantes y los profesores un punto central de acceso a los recursos multimedia disponibles para el libro de texto. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual usted puede personalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor información, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com o contacte a su representante de ventas de Pearson Educación
  15. 15. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página xiii Prefacio xiii AGRADECIMIENTOS La aparición en escena de este libro implicó una actividad considerable tras bambalinas. Primero queremos agradecer a las personas que contribuyeron con nuevos proyectos (crecimiento de tumores) y ejercicios (entrega del Tecnecio) para la nueva edición: Glenn Webb (Universidad Vanderbilt) y Wilfredo Colón (Moffitt Cancer Center, Universidad del Sur de Florida). Damos una nota especial de gratitud a Alar Toomre (Massachusetts Institute of Technology), quien no sólo proporcionó dos proyectos de grupo y una amplia gama de nuevos problemas desafiantes, sino que también generó el gráfico que aparece en la página 278. Queremos agradecer a Frank Glaser (California State Polytechnic University, Pomona) por muchas de las notas históricas. También estamos en deuda con Herbert E. Rauch (Lockheed Research Laboratory) por su ayuda en la sección 3.3 sobre calentamiento y enfriamiento de edificios, el proyecto A del capítulo 3 sobre acuacultura y otros problemas de aplicación. Nuestro agradecimiento a Richard H. Elderkin (Pomona Collage), Jerrold Marsden (Universidad de California, Berkeley), T. G. Proctor (Universidad de Clemson) y Philip W. Schaefer (Universidad de Tennessee), quienes leyeron y volvieron a leer el manuscrito del texto original, haciendo numerosas sugerencias que mejoraron en gran medida este libro. También estamos en deuda con todas las personas que revisaron el manuscrito de esta nueva edición: Amin Boumenir, Universidad del Oeste de Georgia Karen Clark, Colegio de Nueva Jersey Patrick Dowling, Universidad de Miami Sanford Geraci, Northern Virginia Community Collage Scott Gordon, Universidad Estatal del Oeste de Georgia Bonita Lawrence, Universidad Marshall Richard Rubin, Universidad Internacional de Florida Shu-Yi Tu, Universidad de Michigan, Flint E. B. Saff, A. D. Snider E. B. Saff, A. D. Snider
  16. 16. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS 9/5/08 13:52 Página xiv