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  • 1. µ UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MESSINA µ FACOLTA DI SCIENZE MM.FF.NN. Corso di Laurea in Matematica TEOREMI FONDAMENTALI SUGLI OPERATORI LINEARI E RICERCA DELLE LORO APPLICAZIONITesi di Laurea di:Santi Caltabiano Relatore: Ch.ma Prof.ssa C. Vitanza ANNO ACCADEMICO 1998-1999
  • 2. Indice GeneraleIntroduzione 11 Nozioni e strumenti propedeutici 5 1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nozioni topologiche propedeutiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4 Teoria di base degli operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 Teoremi fondamentali sugli operatori lineari 69 2.1 Operatori a gra¯co convesso. Operatori a±ni. Teorema di Deutsch-Singer 69 2.2 Criteri di continuitµ per operatori e funzionali lineari . . . . . . . . . . . a 76 2.3 Criteri per operatori e funzionali lineari aperti . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4 Prolungamento per continuit¶ ad operatori lineari. Teorema di Nachabin. a Teoremi di Hahn-Banach. Teoremi di separazione . . . . . . . . . . . . . 91 2.5 Spazio degli operatori lineari e continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.6 Anello degli operatori lineari e continui. Criteri sullinversa di un operatore lineare. Teorema di Banach. Metodo delle approssimazioni successive . . 126 i
  • 3. 2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema dellinversa continua. Teorema del gra¯co chiuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 2.8 Teorema di Banach-Steinhaus. Principio delluniforme limitatezza . . . . 146 2.9 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert e teorema di rappresentazione di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Bibliogra¯a 154Indice Analitico 155 ii
  • 4. Introduzione Un numero considerevole di procedimenti matematici concreti puµ essere incluso oin uno schema astratto descritto con laiuto degli operatori lineari. Tra i problemidi tal genere vanno annoverati in particolare, lo studio delle soluzioni di sistemi diequazioni di®erenziali, lo studio della convergenza delle serie di Fourier e dei polinomiinterpolabili, delle formule di quadrature meccaniche, la teoria degli integrali singolari,eccetera. In questi casi lo studio del problema, in forma astratta, si riconduce solitamentealla dimostrazione della convergenza di una successione di operatori lineari, o alladimostrazione della limitatezza di tali operatori, o ad altri problemi analoghi. Nella presente trattazione ci proponiamo di esporre e di approfondire i principaliteoremi sugli operatori lineari. Di alcuni teoremi non diamo la dimostrazione originale,in quanto nel corso del lavoro di tesi si µ trovata una dimostrazione piµ attinente a e uquesto contesto, un esempio in questo senso µ dato dalla dimostrazione del teorema edi rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare e continuo. Facciamo inoltreosservare che alcuni risultati sono stati estrapolati da un contesto di analisi multivocae precisamente dalla teoria delle multifunzione a gra¯co convesso, per i quali µ stato enecessario costruire la dimostrazione adatta al caso, esempi di tali risultati sono: ilteorema di Deutsch-Singer [4], criteri di continuitµ, criteri per mappe aperte, eccetera. a 1
  • 5. Elenchiamo qui di seguito i risultati piµ salienti presenti nella nostra trattazione: uteorema di Deutsch-Singer, teorema di Nachabin, teoremi di Hahn-Banach, teorema suglioperatori lineari nel caso di ¯nito dimensionaliµ, teorema di Banach per linversa di un aoperatore lineare e continuo, teorema della mappa aperta in forma generale, teorema delledue norme, teorema di Banach-Steinhaus, principio delluniforme limitatezza, teorema dirappresentazione di Riesz. Il capitolo uno µ di carattere introduttivo. Vi sono esposte le nozioni algebriche e etopologiche propedeutiche, ed i fondamenti della teoria degli spazi vettoriali topologici edella teoria degli operatori lineari. Limpostazione di tale capitolo µ stata fatta ricalcando elimpostazione di base data dal professore B. Ricceri nel corso di Analisi funzionale [1]. Il capitolo due µ suddiviso in paragra¯. Nel primo paragrafo si mettono in evidenza ei legami che intercorrono tra gli operatori lineari, gli operatori a±ni e gli operatori agra¯co convesso. Di particolare interesse µ un risultato estrapolato da un contesto di eanalisi multivoca e precisamente dal teorema di Deutsch-Singer [4], il quale a®erma checondizione necessaria e su±ciente a±nch¶ un operatore de¯nito tra spazi vettoriali reali esia lineare µ che sia a gra¯co convesso e che si annulli nellorigine. Nel paragrafo due e nel eparagrafo tre sono esposti dei risultati riguardanti rispettivamente gli operatori linearicontinui e gli operatori lineari aperti; tali risultati giocano un ruolo fondamentale nellapresente trattazione, sono inoltre presenti interessanti conseguenze. La costruzione diquesti due paragra¯ µ stata fatta adoperando sia gli appunti di analisi funzionale [1] che egli appunti di analisi superiore [2], piµ precisamente da questi ultimi si µ sfruttata la u eparte conclusiva del corso inerente la trattazione delle multifunzione a gra¯co convesso.Nel paragrafo quattro si µ a®rontato il problema dellestendibilitµ di un operatore lineare e a 2
  • 6. e continuo. Sicuramente degni di attenzione sono il teorema di Nachabin ed i teoremidi Hahn-Banach. Inoltre vengono esposti come applicazione notevole di questi ultimii cosidetti teoremi di separazione. Per la stesura di questo paragrafo si µ utilizzato il etesto Kantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo cinque µ dedicato allo studio delle proprietµ e adello spazio degli operatori lineari e continui e piµ precisamente si dimostra che tale uspazio µ di Banach rispetto alla norma operatoriale se lo µ lo spazio darrivo ed inoltre e esi dimostra che se lo spazio vettoriale topologico di partenza ha dimensione ¯nita edµ di Hausdor® allora lo spazio degli operatori lineari e continui coincide con lo spazioedegli operatori lineari ovvero ogni operatore lineare µ continuo. Per la stesura di tale eparagrafo sono stati utilizzati gli appunti di analisi funzionale [1]. Nel paragrafo seisi a®ronta il problema dellinvertibilitµ di un operatore lineare e continuo. Spicca tra ai risultati il noto teorema di Banach. Inoltre vengono esposti come conseguenza deiteoremi inerenti la convergenza del cosiddetto metodo delle approssimazioni successive.La trattazione esposta in questo paragrafo µ stata fatta seguendo limpronta del testo eKantarovic-Akilov [6]. Il paragrafo sette µ tra i piµ importanti se non il piµ importante e u uparagrafo della presente tesi. In esso µ trattato il teorema della mappa aperta in forma eclassica che costituisce uno dei capisaldi di tutta lanalisi funzionale. Le conseguenzedi questo teorema sono ragguardevoli essendo queste il teorema dellinversa continua, ilteorema del gra¯co chiuso ed il teorema delle due norme. Il tutto viene compendiatograzie a laiuto di un lemma fondamentale nel cosiddetto teorema della mappa apertain forma generale. Per la costruzione di tale paragrafo si µ fatto ricorso agli appunti edi analisi funzionale [1], agli appunti di analisi superiore [2] ed al testo H. Brezis[5]. Nel paragrafo otto viene trattato il fondamentale teorema di Banach-Steinhaus e 3
  • 7. come applicazione notevole di questo un altrettanto fondamentale teorema noto comeprincipio delluniforme limitatezza. Di questultimo viene data unapplicazione notevoleriguardante la convergenza di una successione di operatori lineari. Per la costruzione ditale paragrafo sono stati adoperati gli appunti di analisi funzionale [1], il testo H. Brezis[5] ed il testo Kantarovic-Akilov [6]. Il capitolo nove conclude la tesi ed in esso vieneesposto il fondamentale teorema di rappresentazione di Riesz di un funzionale lineare econtinuo di uno spazio di Hilbert. Una prima applicazione di questo teorema consente diindividuare lespressione analitica di un funzionale lineare nel caso dello spazio euclideon-dimensionale. Ed in conclusione facendo uso del noto Lemma di Ascoli si ottiene laformula per la stima della distanza di un punto da un iperpiano dello spazio euclideoreale n-dimensionale. La trattazione di questo paragrafo si appoggia sulla trattazionedegli spazi di Hilbert esposta nel corso di analisi funzionale [1]. 4
  • 8. Capitolo 1Nozioni e strumenti propedeutici1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutichePropriet¶ 1.1.1 aSia E un IK-spazio vettoriale; siano A,BµE due sottoinsiemi; sia 0 2ETs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se A 6= ; e B 6= ; allora A B = ; , (0 + A) (0 + B) = ;() Se A B 6= ; allora 0 + A B = (0 + A) (0 + B)De¯nizione 1.1.1Sia E un IK-spazio vettoriale e siano F e G s.sp.vett. di E. Diciamo allora che la sommadei sottospazi F+G µ somma diretta e scriviamo F © G se ogni vettore della somma eF+G, si puµ scrivere in modo unico come somma di un vettore di F e di un vettore di G. oTeorema 1.1.1Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di ETs: F+G µ somma diretta , FG=fE g e 5
  • 9. De¯nizione 1.1.2Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE insieme, diciamo che S µ una varit¶ a±ne se: e a 9F µ E sottospazio vettoriale e x0 2 E tc S = x0 + FBanalmente i traslati di variet¶ a±ni sono variet¶ a±ni. Si osserva che i punti sono delle a avariet¶ a±ni poich¶ li possiamo rigurdare come traslati del s.sp.vett. banale fE g. a ePropriet¶ 1.1.2 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶ a±ne e siano quindi FµE aun sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0 +FTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() S µ un sottospazio vettoriale , E 2S e() 8G µE sottospazio vettoriale e 0 2E t.c. S=0 +G allora F=G() 80 2 S allora S ¡ 0 =FDe¯nizione 1.1.3Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ convesso se: e  + (1 ¡ ) 2 A 8  2 A e 8 2 [0 1]Si veri¯ca facilmente che i punti sono convessi, che il prodotto di uno scalare per unconvesso µ un convesso, che la somma di convessi µ un convesso (e che quindi in particolare e eil traslato di un convesso µ un convesso) e che lintersezione di convessi un convesso. eDe¯nizione 1.1.4Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ equilibrato se: e  2 A 8 2 A e 8 2 IK con jj · 1 6
  • 10. Ovviamente E 2 A. Si veri¯ca facilmente che il prodotto di uno scalare per un equilibratoµ un equilibrato, che lintersezione e lunione di equilibrati µ un equilibrato.e eDe¯nizione 1.1.5Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE un insieme, diciamo allora che A µ eassolutamente convesso se µ convesso ed equilibrato. eDe¯nizione 1.1.6Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE insieme, diciamo allora che A µ simmetrico se: e A = ¡ASi osserva immediatamente che ogni insieme equilibrato µ simmetrico. eDe¯nizione 1.1.7Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme non vuoto e sia 0 2E,diciamo allora che A µ radiale nel punto 0 se: e 8 2 E 9  0 tc 0 +  2 A 8 2 [0 ]Chiamiamo nucleo radiale di A e lo denotiamo con A0 linsieme punti di E in cui A µ eradiale. Ovviamente A0 µ A. Inoltre se BµE con AµB allora evidentemente A0 µ B0 .Propriet¶ 1.1.3 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme; sia 0 2ETs: 0 2 A0 , 8 2 E 9  0 tc 0 +  2 A 8 2 [¡ ]Propriet¶ 1.1.4 aSia E uno spazio vettoriale su IK; sia AµE con A0 6= ;; siano 0 2E e  2 IK n f0gTs: (A + 0 )0 = A0 + 0 7
  • 11. Propriet¶ 1.1.5 aSia E un IK-spazio vettoriale; sia 0 2E; sia FµE un s.sp.vett; sia AµE radiale in 0Ts: Se 0 2F allora AF µ radiale in 0 in F ePropriet¶ 1.1.6 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un sottoinsieme convesso con A0 6= ;Ts: A0 µ convesso e A0 = (A0 )0 eDe¯nizione 1.1.8Sia E un IK-spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allorainviluppo lineare di A e lo denotiamo con (A), lintersezione di tutti i s.sp.vett.di E che contengono A, ovvero il piµ piccolo s.sp.vett. di E contenente linsieme A. uEvidentemente linviluppo lineare di un sottospazio vettoriale coincide con se stesso.Teorema 1.1.2Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuotoTs: span(A)=f11 + ¢ ¢ ¢ + n n : 1      n 2 IK e 1     n 2 AgCorollario 1.1.1Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme con A0 6= ;Ts: span(A)=ECorollario 1.1.2Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia FµE un sottospazio vettoriale con F0 6= ;Ts: F=E 8
  • 12. Propriet¶ 1.1.7 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE sottoinsiemi non vuotiTs: (A [ B) = (A) + (B)De¯nizione 1.1.9Sia E un IK-spazio vettoriale e sia AµE non vuoto, diciamo allora che A µ linearmente eindipendente (brevemente l.i.) se ogni parte ¯nita di A costituisce un insieme di vettoril.i. cioµ se 1      n 2A a due a due distinti e 1       2 IK t.c. 1 1 + ¢ ¢ ¢ + n n = E eallora necessariamente 1 =    = n = 0.Teorema 1.1.3Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuotoTs: A µ linearmente indipendente , 8 2 (A) ammette rappresentazione unica eDe¯nizione 1.1.10Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuoto, diciamoallora che A µ una base di Hamel per E se µ linearmente indipendente e se span(A)=E. e eTeorema 1.1.4 (Massimalit¶ di una base di Hamel) aSia E un IK-spazio vettoriale e sia DµE un sottoinsieme l.i.Ts: 9A µ E base di Hamel t.c. D µ ATeorema 1.1.5Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano A,BµE due basi di Hamel per ETs: (A) = (B)De¯nizione 1.1.11Sia E un IK-spazio vettoriale, per il teorema 1.1.4 tale spazio ammette almeno una 9
  • 13. base di Hamel e per il teorema 1.1.5 tutte le basi di Hamel di E hanno la medesimacardinalit¶. Tenendo conto della premessa fatta si de¯nisce allora dimensione algebrica adi E e la si denota con (E), la cardinalit¶ di una qualsiasi base di Hamel di E. aFacciamo osservare subito che (IKn ) = n, infatti basta considerare le n n-uple(1 0     0)     (0 0     1) che costituiscono una base per IKn , detta base canonica.De¯nizione 1.1.12Sia E un IK-spazio vettoriale e sia SµE una variet¶ a±ne, per la proprietµ 1.1.2 il s.sp. a adi cui S µ il traslato µ univocamente determinato e quindi ha senso dare la seguente e ede¯nizione. Si de¯nisce dimensione algebrica di S e la si denota con (S), ladimensione del s.sp. di cui S µ il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2 S eallora per la proprietµ 1.1.2 la dimensione di S µ la dimensione del s.sp.vett. S ¡ 0. a ePropriet¶ 1.1.8 aSia E un IK-spazio vettoriale; sia DµE insieme l.i.Ts: (D) · (E)DimConseguenza immediata del teorema 1.1.4.Lemma 1.1.1Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia n 2 IN n f0gTs: (E) ¸ n , 91      n 2 E liTeorema 1.1.6Siano E ed F IK-spazi vettorialiTs: Sono allora equivalenti: 10
  • 14. (1) (E) = (F)(2) 8m 2 IN 91      m 2 E li , 91      m 2 F liDim (1))(2)Conseguenza immediata del lemma 1.1.1.Dim (2))(1)Proviamo che (E) · (F). Si puµ presentare il caso in cui (E)  +1 ed oil caso in cui (E) = +1. Se (E)  +1 ) 9n 2 IN tc (E) = n segueallora dallipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ n = (E). Sia adesso il caso incui (E) = +1 e quindi comunque ¯ssato m 2 IN esisteranno m vettori di E l.i.segue allora dallipotesi e dal lemma 1.1.1 che (F) ¸ m 8m 2 IN cioµ (F) = +1. eAnalogamente scambiando il ruolo di E con quello di F si ottiene che (F) · (E).De¯nizione 1.1.13Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F e G due sottospazi vettoriali di E.Diciamo allora che F e G sono complementari se: E=F©GPropriet¶ 1.1.9 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: 9G µ E sottospazio vettoriale complementare ad FDe¯nizione 1.1.14Sia E IK-spazio vettoriale e sia  : E ! IR un funzionale (si ricorda che per una funzionede¯nita su uno sp.vett. a valori in IK si riserva il nome di funzionale). Diciamo che: ²  µ sub-additivo se ( + ) · () + () 8  2 E e 11
  • 15. ²  µ positivamente omogeneo se () = () 8 2 E e 8  0. e ²  µ assolutamente omogeneo se () = jj() 8 2 E e 8 2 IK e ²  µ una seminorma se µ sub-additivo e assolutamente omogeneo e e ²  µ una norma se µ una seminorma e se () = 0 ,  = E . Usualmente per e e denotare il funzionale norma si riserva il simbolo k ¢ kE .Propriet¶ 1.1.10 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia  : E ! IR una seminorma su ETs:  µ non negativa ed inoltre j() ¡ ()j · ( + ) 8  2 E eDe¯nizione 1.1.15Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in E . Fissato unvettore  2E consideriamolinsieme f  0 :  2 Ag che µ non vuoto per la radialit¶ di e aA in E . Posto ciµ de¯niamo allora il seguente funzionale non negativo: o A : E ! IR con A () := inff  0 :  2 Ag 8 2 Eche prende il nome di funzionale di Minkowsky associato ad A.Propriet¶ 1.1.11 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in ETs: Valgono allora i seguenti fatti:() A µ positivamente omogeneo e() Se A µ equilibrato allora A µ assolutamente omogeneo e e() Se A µ convesso allora A µ sub-additivo e e() Se A µ assolutamente convesso allora A µ una seminorma e e 12
  • 16. Propriet¶ 1.1.12 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un insieme radiale in ETs: Valgono allora i seguenti fatti:() A µ ¡1([0 1]) A() Se A µ equilibrato o convesso allora ¡1 ([0 1[) µA e A() Se A µ convesso allora A0 = ¡1 ([0 1[) e ATeorema 1.1.7Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia AµE un insieme radiale in E ; sia  : E ! IRun funzionale positivamente omogeneoTs: j()j · 1 8 2 A , j()j · A () 8 2EPropriet¶ 1.1.13 aSiano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano XµE e YµF non vuoti; sia  : X ! Y unafunzione; sia 0 2F e consideriamo  : X ! Y + 0 con () = () + 0 8 2 XTs: () = () + (E  0)Propriet¶ 1.1.14 aSia E uno spazio vettoriale su IK; siano A,BµE sottoinsiemi non vuoti e sia  2 IK n f0gTs: maxf(A) (B)g · (A + B) e (A) = (A)1.2 Nozioni topologiche propedeutiche Diamo qui di seguito de¯nizioni e proprietµ di natura topologica, propedeutiche ai a¯ni della presente tesi. Per un resoconto piµ dettagliato si veda D.C. Demaria [3]. u 13
  • 17. De¯nizione 1.2.1Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X. Diciamo allora che latopologia 1 µ meno ¯ne o piµ grossolana della topologia 2 e scriviamo 1 · 2 se e uvale linclusione 1 µ 2 . Diciamo che 1 e 2 sono equivalenti se 1 = 2.De¯nizione 1.2.2Sia X uno spazio topologico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X e sia  2X.Diciamo allora che la successione fn gn2IN converge a  se: 8U µ X intorno di  9 2 IN tc n 2 U 8n ¸ Si fa osservare che una successione puµ avere piµ punti di convergenza cioµ non µ detto o u e eche valga lunicit¶ del limite. Denotiamo allora con: a lim n n!1linsieme dei punti di convergenza della successione fn gn2IN . La circostanza che  2limn!1 n si esprime anche con le scritture: lim n =  oppure  = n!1 n lim n!1facendo attenzione al fatto che questa µ solo una simbologia, nel senso che se 1 2 2 elimn!1 n cioµ sfruttando la notazione ora introdotta 1 = limn!1 n = 2 , allora non µ e edetto che 1 = 2 poich¶ come suddetto il limite non µ necessariamente unico. e eDe¯nizione 1.2.3Diciamo che uno spazio topologico µ di Hausdor® se per ogni coppia di punti distinti eesistono due rispettivi intorni disgiunti. Banalmente sottospazi topologici di uno spaziodi Hausdor® sono di Hausdor®. 14
  • 18. Teorema 1.2.1 (Unicitµ del limite in uno spazio di Hausdor® ) aSia X uno spazio topologico di Hausdor® e sia fn gn2IN una successione ordinaria in XTs: se fn gn2IN ammette limite in X allora questo µ unico eDe¯nizione 1.2.4Sia T un insieme non vuoto; sia X uno spazio topologico di Hausdor®; sia ffn gn2IN in XTe sia f 2 XT . Diciamo allora che la successione ffn gn2IN converge puntualmente ad fse per ogni ¯ssato  2T la successione ffn ()gn2IN converge al punto f().De¯nizione 1.2.5Sia X un insieme non vuoto e sia F una famiglia di parti di X. Diciamo allora che lafamiglia F µ un ricoprimento di X se lunione dei suoi membri µ tutto X. Se G µ una e e esottofamiglia di F diciamo allora che µ un sottoricoprimento di F se a sua volta µ un e ericoprimento di X. Un ricoprimento si dice ¯nito se contiene un numero ¯nito di insiemi.Nel caso in cui X µ munito di una struttura topologica allora diremo che il ricoprimento eF µ aperto se i suoi elementi sono degli aperti. eDe¯nizione 1.2.6Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X µ compatto se ogni suo ricoprimento eaperto ammette un sottoricoprimento ¯nito. Se AµX µ un insieme, diciamo allora che A eµ compatto se µ compatto nella relativizzazione ad esso della topologia di X. Si veri¯cae efacilmente che i punti di uno spazio topologico sono compatti.Teorema 1.2.2Sia (X, ) uno spazio topologico; sia AµX un insieme [ n [Ts: A µ compatto , 8fAi gi2I in  tc A µ e Ai 9i1     in 2 I tc A µ Aij i2I j=1 15
  • 19. Propriet¶ 1.2.1 aSia X uno spazio topologico e sia AµX un insiemeTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se X µ compatto e A µ chiuso allora A µ compatto e e e() Se X µ di Hausdor® e A µ compatto allora A µ chiuso e e eDe¯nizione 1.2.7Diciamo che uno spazio topologico µ -compatto se si puµ scrivere come unione al piµ e o unumerabile (cioµ ¯nita o numerabile) di compatti. eDe¯nizione 1.2.8Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice denso se la sua chiusura coincide conlintero spazio.Teorema 1.2.3Sia X uno spazio topologico e sia DµX un sottoinsiemeTs: D µ denso , 8­ µX aperto non vuoto D­ 6= ; eDe¯nizione 1.2.9Sia X uno spazio topologico; sia 0 2X e sia U una famiglia di intorni di 0, diciamoallora che tale famiglia µ una base o un sistema fondamentale di intorni di 0 se: e 8U µ X intorno di 0 9V 2 U tc V µ UDe¯nizione 1.2.10Diciamo che uno spazio topologico µ I-numerabile se in ogni punto ammette una base efondamentale di intorni al piµ numerabile. Il vantaggio principale che o®rono gli spazi u 16
  • 20. topologici I-numerabili µ che si puµ lavorare con successioni ordinare invece che con e osuccessioni generalizzate, cioµ si puµ fare uso di criteri sequenziali. e oTeorema 1.2.4Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsieme e sia 0 2XTs: 0 2 A , 9fn gn2IN successione ordinaria in A convergente verso 0Corollario 1.2.1Sia X uno spazio topologico I-numerabile; sia AµX sottoinsiemeTs: A µ chiuso , Ogni successione ordinaria in A convergente ha limite in A eDe¯nizione 1.2.11Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice raro se la sua chiusura ha interno vuoto.De¯nizione 1.2.12Un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice di I-categoria se si puµ scrivere come ounione al piµ numerabile di insiemi rari. Banalmente linsieme ; µ di I-categoria. Diciamo u eche un sottoinsieme di uno spazio topologico µ di II-categoria se non µ di I-categoria. e eEssendo ; di I-categoria allora necessariamente ogni insieme di II-categoria µ non vuoto. eDe¯nizione 1.2.13Diciamo che uno spazio topologico µ di Baire se ogni aperto non vuoto µ di II-categoria. e eDe¯nizione 1.2.14Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2X diciamo allorache f µ continua in 0 se: e 8V µ Y intorno di f(0) 9U µ X intorno di 0 tc f(U) µ V 17
  • 21. Diciamo che f µ continua se µ continua in ogni punto di X. Si denota con  0 (X Y) e elinsieme di tutte le funzioni continue da X in Y. Si veri¯ca facilmente che restrizioni ecomposizioni di funzioni continue sono ancora funzioni continue.Teorema 1.2.5Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2XTs: f µ continua in 0 , 8VµY intorno di f(x0 ) allora f ¡1(V) µ un intorno di 0 e eTeorema 1.2.6Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzioneTs: Sono allora equivalenti:(1) f µ continua e(2) 8AµY aperto allora f ¡1 (A) µ aperto e(3) 8CµY chiuso allora f ¡1 (C) µ chiuso eTeorema 1.2.7Siano X ed Y spazi topologici con X I-numerabile; sia f:X!Y una funzione e sia 0 2XTs: f µ continua in 0 , 8fn gn2IN in X tc !1 n = 0 allora !1 f(n ) = f(0 ) e lim limPropriet¶ 1.2.2 aSiano X ed Y due spazi topologici; sia AµX compatto; sia f:X!Y una funzione continuaTs: f(A) µ un compatto eDe¯nizione 1.2.15Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione bigettiva, diciamo allora che fµ un omeomor¯smo se µ continua assieme alla sua inversa. In tal caso X ed Y si diconoe eomeomor¯. Una proprietµ  si dice topologica se µ invariante per omeomor¯smo (ad a e 18
  • 22. esempio la compattezza). Si veri¯ca facilmente che linversa di un omeomor¯smo µ un eomeomor¯smo e che la composizione di omeomor¯smi µ un omeomor¯smo. eDe¯nizione 1.2.16Siano X ed Y due spazi topologici e sia f:X!Y una funzione. Diciamo allora che f µ eaperta se ¶ mappa di aperti. Analogamente diciamo che f µ chiusa se ¶ mappa di chiusi. e e eTeorema 1.2.8Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzione biettiva e continuaTs: Sono allora equivalenti:(1) f µ un omeomor¯smo e(2) f µ aperta e(3) f µ chiusa eTeorema 1.2.9Siano X ed Y due spazi topologici; sia f:X!Y una funzioneTs: f µ aperta , 80 2X e 8U µ X intorno di 0 allora f(U) µ un intorno di f(0) e ePropriet¶ 1.2.3 aSiano X ed Y due insiemi non vuoti; sia AµX insieme; sia f:X!Y una funzioneTs: f(A) = f 2 Y : f ¡1 () A 6= ;g e Y n f(X n A) = f 2 Y : f ¡1 () µ AgTeorema 1.2.10Siano (X,X ) ed (Y,Y ) due spazi topologici; sia f:X!Y una funzioneTs: Sono allora equivalenti:(1) f µ aperta e(2) 80 2 Y 8­ 2 X tc f ¡1 (0 )­ 6= ; 9V µ Y intorno di 0 tc f ¡1 ()­ 6= ; 8 2 V 19
  • 23. Dim (1))(2)Sia 80 2 Y e ­ 2 X tc f ¡1 (0 ) ­ 6= ; allora per la proprietµ 1.2.3 scegliamo V=f(­). aDim (2))(1)Sia AµX aperto e proviamo quindi che f(A) µ intorno di ogni suo punto. Sia 0 2f(A) esegue allora dalla proprietµ 1.2.3 che f ¡1 (0 ) A 6= ; segue allora dallipotesi che a9V µ Y intorno di 0 tc f ¡1 () ­ 6= ; 8 2 V segue dalla proprietµ 1.2.3 che Vµf(A) ae pertanto essendo V un intorno di 0 allora anche f(A) lo µ. eTeorema 1.2.11Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y funzione chiusa t.c. f ¡1 () compatto 8 2 YTs: 8K µ Y compatto allora f ¡1 (K) µ compatto. eDimSia fAi gi2I un ricopr. aperto di f ¡1(K). Fissiamo un  2K ed osserviamo che in particolarela famiglia fAi gi2I µ un ricopr. aperto di f ¡1 () che µ compatto per ipotesi e quindi: e e [ 9I µ I ¯nito tc f ¡1 () µ Ai (1.1) i2I Sponiamo B := i2I Ai che µ un aperto di X in quanto unione di aperti. Consideriamo eadesso linsieme ­ := Y n f(XnB ) che µ un aperto essendo per ipotesi f chiusa. E quindi eal variare di  in K otteniamo la famiglia di aperti f­ g2K di F che µ un ricoprimento di eK, infatti preso ad arbitrio  2K allora per la 1.1 segue che f ¡1 () µ B e quindi seguedalla proprietµ 1.2.3 che  2 Y n f(X n B ) =: ­ . E quindi essendo K compatto allora: a n [ 91      n 2 K tc K µ ­j (1.2) j=1Vogliamo veri¯care che: n [ f ¡1 (K) µ Bj j=1 20
  • 24. Sia  2 f ¡1 (K) ) f() 2 K segue allora dalla 1.2 che 9j = 1     n tc f() 2 ­j )f() 2 Y n f(XnBj ) ) f() 62 f(XnBj ) )  62 X n Bj )  2 Bj . E si concludeessendo banalmente per costruzione fB1      Bn g un sottoricopr. ¯nito di fAi gi2I .Teorema 1.2.12Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su XTs: Sono allora equivalenti:(1) 1 · 2(2) 80 2X e 8U µX 1 -intorno di 0 ) U µ un 2-intorno di 0 e(3) ldentit¶ X : (X 2 ) ! (X 1 ) µ continua a eCorollario 1.2.2Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su XTs: Sono allora equivalenti:(1) 1 = 2(2) 80 2X e 8U µX allora U µ un 1-intorno di 0 , U µ un 2 -intorno di 0 e e(3) ldentit¶ X : (X 2 ) ! (X 1 ) µ un omeomor¯smo a eDe¯nizione 1.2.17Sia X un insieme non vuoto e sia  una famiglia di parti di X. Si veri¯ca facilmente chein generale data una famiglia di topologie su X allora lintersezione di queste topologieµ ancora una topologia su X. Tenendo conto di quanto detto si de¯nisce topologiaegenerata dalla famiglia  e la si denota con  , lintersezione di tutte le topologie suX, contenenti la famiglia  (ovviamente di queste topologie ne esiste almeno una, poich¶ ebasta considerare ad esempio la topologia discreta). E quindi per de¯nizione  altro non 21
  • 25. µ che la topologia meno ¯ne su X contenente la famiglia . Considerate le famiglie:e 8 9 < n = G := :G µ X : 9A1      An 2 a tc G = Aj ; j=1 ( ) [ H := H µ X : 9fGi gi2I in G tc H = Gi i2Isi puµ dimostrare che la topologia  puµ essere espressa nel seguente modo: o o  = f; Xg [ HSi osserva che nel caso in cui  µ chiusa rispetto allintersezione ¯nita allora a=G e quindi ein tal caso i membri della topologia  si riducono allunione di membri della famiglia .De¯nizione 1.2.18Siano X1      Xn spazi topologici. Si considera allora sul prodotto cartesiano X1 £¢ ¢ ¢£Xn ,la topologia generata dalla famiglia: fA1 £ ¢ ¢ ¢ £ An : Ai µ Xi aperto 8i = 1     ngdetta topologia prodotto. Si veri¯ca facilmente che la famiglia generante µ chiusa erispetto allintersezione ¯nita. Una proprietµ  si dice produttiva se il prodotto di aspazi godenti della proprietµ  µ ancora uno spazio godente della proprietµ  . a e aTeorema 1.2.13Siano X ed Y due spazi topologici; sia WµX£Y e sia (0  0 ) 2X£YTs: W µ un intorno di (0  0 ) , 9U µ X e V µ Y risp. intorni di 0 e 0 t.c. U£VµW eTeorema 1.2.14Siano X ed Y due spazi topologiciTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni: 22
  • 26. () X£Y µ di Hausdor® , X ed Y sono di Hausdor® e() X£Y µ I-numerabile , X ed Y sono I-numerabili eTeorema 1.2.15Siano X ed Y due spazi topologici di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN successionirispettivamente in X ed in Y convergenti µ ¶Ts: n!1(n  n ) = lim lim n  n!1 n lim n!1De¯nizione 1.2.19Siano X ed Y due insiemi non vuoti, chiamiamo allora proiezione su X, la funzione: X : X £ Y ! X con X ( ) =  8( ) 2 X £ YAnalogamente si de¯nisce la proiezione su Y.Propriet¶ 1.2.4 aSiano X ed Y due spazi topologiciTs: La proiezione X µ continua, aperta e surgettiva eTeorema 1.2.16Siano X, Y e Z spazi topologici; siano f:X!Y e g:X!Z due funzioni e sia h:X! Y £ Zcon h() = (f() g()) 8 2XTs: h µ continua , f e g sono continue eTeorema 1.2.17 (della diagonale)Siano X, Y, W e Z spazi topologici; siano f:X!W e g:Y!Z due funzioni e sia h:X £ Y !W £ Z con h( ) = (f() g()) 8( ) 2 X £ Y detta funzione diagonaleTs: h µ continua , f e g sono continue e 23
  • 27. Teorema 1.2.18Siano X, Y e Z spazi topologici; sia f:X £ Y !Z e una funzione continuaTs: f µ continua separatamente cioµ ¯ssati  2X e  2Y allora f( ¢) e f(¢ ) sono continue e eTeorema 1.2.19Sia X spazio topologico; sia Y spazio topologico di Hausdor®; sia f:X!Y continuaTs: (f) µ chiuso eTeorema 1.2.20Siano X ed Y spazi topologici; sia f:X!Y una funzione a gra¯co chiusoTs: f ¡1 () µ chiuso 8 2Y eDe¯nizione 1.2.20Sia X un insieme non vuoto, e sia  : X £ X ! IR una funzione. Diciamo allora che  µ euna metrica su X se soddisfa alle seguenti tre proprietµ: a(1) ( ) = ( ) 8  2X(2) ( ) · ( ) + ( ) 8   2X(3) ( ) = 0 ,  = La coppia (X ) prende il nome di spazio metrico. Si verifca facilmente che la metrica µ una funzione non negativa. Se A µX µ un insieme non vuoto allora si veri¯ca facilmentee eche la restrizione jA£A µ una metrica su A e si chiama metrica indotta. eDe¯nizione 1.2.21Sia (X,d) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e   0 allora linsieme: (0  ) := f 2 X : (0 )  gµ detto sfera (aperta) di centro 0 e raggio .e 24
  • 28. De¯nizione 1.2.22Sia (X,d) uno spazio metrico. La topologia generata dalla famiglia di sfere: f( ) :  2 X e   0gµ detta topologia indotta dalla metrica ed µ la topologia che si considera su (X,).e eSe A µ X µ un insieme non vuoto allora si dimostra facilmente che la topologia indotta edalla metrica indotta su A coincide con la relativizzazione ad A della topologia di X.Teorema 1.2.21Sia (X,) uno spazio metrico; sia UµX insieme non vuoto e sia 0 2XTs: U µ un intorno di 0 , 9  0 t.c. (0  ) µU eCorollario 1.2.3Sia (X,) uno spazio metrico; sia AµX insieme non vuoto [Ts: A µ aperto , 9f g2A in ]0 +1[ t.c. A= e ( ) 2ADe¯nizione 1.2.23Sia (X,) uno spazio metrico. Fissati 0 2X e   0 allora linsieme: (0  ) := f 2 X : (0  ) · gµ detto sfera chiusa di centro 0 e raggio . Si veri¯ca facilmente che ogni sfera chiusaeµ un chiuso. Ovviamente (0 ) µ (0 ) e passando alle chiusure si ha (0  ) µe(0  ), linclusione inversa non µ sempre vera. eDe¯nizione 1.2.24Un sottoinsieme di uno spazio metrico si dice limitato se esiste una sfera che lo contiene. 25
  • 29. De¯nizione 1.2.25Sia (X,) uno spazio metrico e siano 0 2X e AµX insieme non vuoto. Si de¯nisce alloradistanza del punto 0 dallinsieme A, il numero non negativo: (0  A) := inf (0 ) 2ADe¯nizione 1.2.26Sia (X,) uno spazio metrico. Diciamo che una succ. fn gn2IN in X µ di Cauchy se: e 8  0 9 2 IN tc (n  m )   8n m  Si osserva immediatamente che equivalentemente una succ. fn gn2IN µ di Cauchy se: e 8  0 9 2 IN tc (n+p  n )   8n   e 8p 2 INPropriet¶ 1.2.5 aSia (X,) uno spazio metrico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in XTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se fn gn2IN µ convergente allora µ di Cauchy e e() Se fn gn2IN µ di Cauchy allora µ limitata e e() Se fn gn2IN µ convergente allora µ limitata e ePropriet¶ 1.2.6 aSia (X,) uno spazio metrico; sia fn gn2IN una successione ordinaria in X; sia fn gn2INuna successione ordinaria in IR+ := [0 +1[ in¯nitesima t.c. (n+p  n ) · n 8n p 2 INTs: fn gn2IN µ una successione di Cauchy ePropriet¶ 1.2.7 aSia (X,d) uno spazio metricoTs: X µ di Hausdor® e I-numerabile e 26
  • 30. De¯nizione 1.2.27Diciamo che uno spazio metrico µ completo se ogni succ. di Cauchy µ convergente. e ePropriet¶ 1.2.8 aSia (X,d) uno spazio metrico; sia AµX insiemeTs: Valgono allora le seguenti a®ermazini:() Se A µ completo allora A µ chiuso e e() Se X µ completo e A µ chiuso allora A µ completo e e eTeorema 1.2.22Sia (X,d) uno spazio metrico completoTs: X µ di Baire ePropriet¶ 1.2.9 aSia X uno spazio topologico; sia (Y,) uno spazio metrico; sia 0 2X; sia f:X!Y funzioneTs: Se f µ continua in 0 allora f µ limitata su un intorno di 0 e eDe¯nizione 1.2.28Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ lipschitziana se: e 9L  0 tc (f() f()) · L( ) 8  2 Xla costante L prende il nome di costante di lipschitz.Propriet¶ 1.2.10 aSiano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y una funzione lipschitzianaTs: f µ continua e 27
  • 31. De¯nizione 1.2.29Siano (X,) e (Y,) spazi metrici; sia f:X!Y funzione. Diciamo che f µ unisometria se: e (f() f()) = ( ) 8  2 Xcio¶ f preserva le distanze- Nel caso in cui la f µ anche surgettiva allora gli spazi X ed Y e esi dicono isometrici. Banalmente unisometria puµ essere rigurdata come una funzione olipschitziana con costante di lipschitz 1.Propriet¶ 1.2.11 aSiano (X,) e (Y,) due spazi metrici e sia f:X!Y unisometriaTs: Valgono allora i seguenti fatti:() f µ iniettiva e() f ¡1 : f(X) ! X µ unisometria e() f µ un omeomor¯smo tra X ed f(X) e() se f µ surgettiva allora X ed Y sono omeomor¯ ePropriet¶ 1.2.12 aSia X uno spazio topologico; sia 0 ; sia f : X ! C una funzione ITs: f µ continua in 0 , f e f sono continue in 0 eDe¯nizione 1.2.30Sia X uno spazio topologico; sia f:X! IR una funzione. Diciamo allora che la funzione fµ semicontinua inferiormente (brevemente s.c.i.) se per ogni  2 IR il sottolivello:e f 2 X : f() · gµ un chiuso. Banalmente se f µ continua allora f µ s.c.i..e e e 28
  • 32. Propriet¶ 1.2.13 (s.c.i dellinviluppo superiore) aSia X uno spazio topologico; sia ffi gi2I famiglia di funzioni de¯nite da X in IR s.c.i.Ts: La funzione f() := sup fi () 8 2X µ s.c.i. e i2I1.3 Cenni sugli spazi vettoriali topologici Nella maggioranza dei casi in cui si considera uno spazio vettoriale concreto E, inesso vi µ gi¶ una certa convergenza naturale che determina la topologia in E, la quale e ain generale risula compatibile con le operazioni algebriche dello spazio. In questa tesi ciinteressa soprattutto il caso in cui tale topologia puµ essere assegnata a mezzo di una onorma, cioµ il caso in cui E µ uno spazio normato. Noi tuttavia, considereremo dapprima e eil caso piµ generale degli spazi vettoriali topologici. Ciµ µ motivato, da una parte, dal u oefatto che molte questioni relative agli spazi normati vengono risolti per via naturale gi¶ aa questo livello generale. Lintroduzione che qui o®riamo alla teoria elementare deglispazi vettoriali topologici persegue soltanto gli scopi necessari ai ¯ni della presente tesi epertanto non pretende di essere integrale e completa. Per una esposizione piµ dettagliata udegli spazi vettoriali topologici si veda N. Bourbaki [7].De¯nizione 1.3.1Sia E un IK-spazio vettoriale; sia  una topologia su E e consideriamo le seguenti funzioni:  : E £ E ! E con s( ) :=  +  8   2 E  : IK £ E ! E con p( ) :=  8  2 E e 8 2 IKDiciamo allora che  µ una topologia vettoriale se le funzioni somma  e prodotto , esono continue. In tal caso si dice che E munito della topologia vettoriale  , µ uno spazio e 29
  • 33. vettoriale topologico. Se F µ E µ un s.sp.vett. allora si veri¯ca facilmente che la erelativizzazione ad esso della topologia vettoriale di E µ ancora una topologia vettoriale. eUna particolarit¶ degli spazi vettoriali topologici µ che nella maggior parte dei casi i a eprocedimenti dimostrativi si possono sempli¯care mediante opportune traslazioni.Teorema 1.3.1Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  una proprietµ topologica; sia AµE insieme agodente della proprietµ  ; siano 0 2E e  2 IK aTs: Gli insiemi 0 +A e A godono della proprietµ  aDimConsideriamo f:E!E con f() = 0 +  8 2E che µ un omeomor¯smo essendo E euno spazio vettoriale topologico, e quindi essendo  una proprietµ topologica, segue che alinsieme f(A)=0 +A gode della proprietµ  . Analogamente si veri¯ca che linsieme A agode della proprietµ  infatti basta considerare loperatore g:E!E con g() =  8 2E. aTeorema 1.3.2Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  una proprietµ invariante per continuit¶ e a aproduttiva; siano A,BµE due sottoinsiemi godenti della proprietµ  aTs: A+B gode della proprietµ  aDimConsideriamo f:E £ E ! E con f( ) =  +  8( ) 2 E £ E che µ continuo essendo E euno spazio vettoriale topologico e quindi per la produttivit¶ e linvarianza rispetto alla acontinuit¶ della proprietµ  segue che linsieme f(A£B)=A+B gode della proprietµ  . a a aPropriet¶ 1.3.1 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE; sia 0 2E 30
  • 34. Ts: U µ intorno di 0 , 9W µ E intorno di E tc U =0 + W eCorollario 1.3.1Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia 0 2E e sia UµE intorno di 0Ts: U¡0 µ un intorno di E ePropriet¶ 1.3.2 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di E ; sia  2 IKTs: U µ un intorno di E ePropriet¶ 1.3.3 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di ETs: U µ radiale in E eCorollario 1.3.2Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insiemeTs: (A) µ A0DimConseguenza della proprietµ 1.3.1, della proprietµ 1.3.3 e della proprietµ 1.1.4. a a aCorollario 1.3.3Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme apertoTs: A = A0Corollario 1.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un s.sp.vett. con interno non vuotoTs: E=F 31
  • 35. DimConseguenza immediata del corollario 1.3.2 e del corollario 1.1.2.Propriet¶ 1.3.4 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia UµE intorno di ETs: 9VµE intorno di E t.c. V+VµUTeorema 1.3.3Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia F la famiglia degli intorni di E equilibratiTs: F µ una base fondamentale di intorni di E eTeorema 1.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un sottoinsieme; sia H una basefondamentale di intorni di E Ts: A = (A + V) V2HCorollario 1.3.5Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia WµE intorno di ETs: W µ W + WPropriet¶ 1.3.5 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia H una base fondamentale di intorni di ETs: Le famiglie fW + WgW2H e fWgW2H sono basi fondamentali di intorni di EDimPer la proprietµ 1.3.4 segue immediatamente che la famiglia fW + WgW2H µ una base a efondamentale di intorni di E , e da ciµ assieme al corollario 1.3.5 segue che anche la ofamiglia fWgW2H µ una base fondamentale di intorni di E . e 32
  • 36. Propriet¶ 1.3.6 aSia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; siano fn gn2IN e fn gn2IN duesuccessioni in E convergenti; siano fn gn2IN e fn gn2IN due successioni in IK convergentiTs: n!1[n n + n n ] = n!1 n n!1 n + n!1 n n!1 n lim lim lim lim limPropriet¶ 1.3.7 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE insieme; sia 0 2E e sia  2 IKTs: 0 + A = 0 + A e (0 + A) = 0 + (A)Propriet¶ 1.3.8 aSia X uno spazio topologico; sia E uno spazio vettoriale topologicoTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() 8f g 2  0 (X E) e 8 2  0 (X IK) allora f + g f 2  0 (X E)()  0(X E) µ un sottopazio vettoriale di EX eDe¯nizione 1.3.2Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fn gn2IN una succ. in E. Diciamoallora serie associata ad fn gn2IN la somma degli in¯niti termini di fn gn2IN . Fissatok 2 IN diciamo ridotta k-esima o somma parziale k-esima il vettore: k X k := n n=1La succ. fk gk2IN µ detta succ. delle ridotte associata alla serie data. Diciamo che la eserie µ convergente se la succ. delle ridotte ad essa associata µ convergente ed il limite e eprende il nome di somma della serie.Propriet¶ 1.3.9 aSia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia fn gn2IN una successione ordinaria 33
  • 37. P1in E e supponiamo che la serie n=1 n sia convergenteTs: La successione fn gn2IN converge a EPropriet¶ 1.3.10 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: F µ un sottospazio vettoriale eCorollario 1.3.6Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia SµE una variet¶ a±ne aTs: S µ una variet¶ a±ne e aDimConseguenza immediata della proprietµ 1.3.7 e della proprietµ 1.3.10. a aDe¯nizione 1.3.3Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia AµE un insieme non vuoto, diciamo allorachiusura lineare di A e la denotiamo con (A), lintersezione di tutti i s.sp.vett.chiusi di E che contengono A, ovvero il piµ piccolo s.sp.vett. chiuso di E contenente A. uPropriet¶ 1.3.11 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia AµE un sottoinsieme non vuotoTs: (A) = (A)De¯nizione 1.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico. Diciamo che un insieme AµE µ limitato se: e 8U µ E intorno di E 9  0 tc A µ UBanalmente sottoinsiemi di limitati sono limitati. 34
  • 38. Propriet¶ 1.3.12 aSia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE insiemi limitati; sia 0 2E; sia  2 IKTs: Gli insiemi f0 g, A+B, 0 +A, A, A B, A [ B sono limitatiTeorema 1.3.5Sia E uno spazio vettoriale topologico; siano A,BµE non vuoti con A compatto e B chiusoTs: A+B µ chiuso eTeorema 1.3.6Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia VµE un intorno di E convesso; Sia V :E ![0 +1[ il funzionale di Minkowsky associato a VTs: Valgono allora i seguenti fatti:() (V) = ¡1 ([0 1[) V() V = ¡1 ([0 1]) V() V = ¡1 (1) VTeorema 1.3.7Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia AµE un insieme convesso con (A) 6= ;Ts: Valgono allora i seguenti fatti:() A = (A)() (A) = A0() A = A0De¯nizione 1.3.5Diciamo che uno spazio vettoriale topologico E µ localmente convesso se ammette una ebase fondamentale di intorni E convessi. 35
  • 39. Teorema 1.3.8Sia E uno spazio vettoriale topologico e sia UµE un intorno di E convessoTs: 9V µE intorno di E assolutamente convesso t.c. VµUCorollario 1.3.7Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convessoTs: E ammette una base fond. di intorni di E assolutamente convessiDe¯nizione 1.3.6Sia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0 +1[ una seminorma su E; siano  2E e r 0.Si de¯nisce semisfera relativa alla seminorma , di centro 0 e raggio r linsieme: ( 0  r) := f 2  : ( ¡ 0 )  rgPropriet¶ 1.3.13 aSia E un IK-spazio vettoriale; sia :E! [0 +1[ una seminorma su E; siano 0 2E e r 0Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() ( 0 r) = 0 + r( E  1)() ( E  r) µ un equilibrato e() ( 0  r) µ un convesso e() 80 2 E 9  0 t.c. ( 0  ) µ ( 0  )De¯nizione 1.3.7Sia E un IK-spazio vettoriale; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E. Si de¯niscetopologia indotta dalla famiglia figi2I , la topologia generata dalla famiglia: f(i   r) : i 2 I  2 E r  0g 36
  • 40. Si puµ veri¯care che tale topologia su E µ vettoriale. Se F µ E µ un sottospazio o e evettoriale e consideriamo la famiglia di seminorme fijF gi2I , allora si veri¯ca facilmenteche la topologia indotta su F da tale famiglia, coincide con la relativizzazione ad F dellatopologia di E. Diciamo che una famiglia di seminorme ¶ meno ¯ne di unaltra famiglia edi seminorme se la topologia da essa indotta µ meno ¯ne della topologia indotta dallaltra efamiglia. Diciamo che due famiglie di seminorme su E sono equivalenti se inducono allamedesima topologia. Nel caso in cui la famiglia di seminorme sia costituita da una solaseminorma  allora lo spazio si dice seminormato e lo si denota con la coppia (E ). Inparticolare se tale seminorma µ pure una norma k ¢ kE allora lo spazio si dice normato. eTeorema 1.3.9Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su Einducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2E n Ts: U µ un intorno di 0 , 9i1     in 2 I e r 0 t.c. e (ij  0  r) µU j=1De¯nizione 1.3.8Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su E,diciamo allora che tale famiglia µ saturata se: e 8i1  i2 2 I 9i3 2 I tc i3 () ¸ maxfi1 () i2 ()g 8 2 ETeorema 1.3.10Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su ETs: 9 una famiglia di seminorme su E saturata equivalente a fi gi2ITeorema 1.3.11Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia saturata di seminorme su 37
  • 41. E inducente la topologia di E; sia UµE e sia 0 2ETs: U µ un intorno di 0 , 9i 2 I e r 0 t.c. (i 0  r) µU ePropriet¶ 1.3.14 aSia E uno spazio vettoriale topologico; sia fi gi2I una famiglia di seminorme su Einducente la topologia di ETs: Le seminorme della famiglia fi gi2I sono continueTeorema 1.3.12Sia (E  ) uno spazio vettoriale topologicoTs: E µ localmente convesso , 9figi2I famiglia di seminorme su E inducente  eTeorema 1.3.13Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famigliadi seminorme su E, inducente la topologia di ETs: E µ di Hausdor® , 8 2 E n fE g 9i 2 I tc i()  0 eTeorema 1.3.14Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famigliadi seminorme su E, inducente la topologia di E; sia fn gn2IN una succ. in E e sia 0 2ETs: fn gn2IN converge a 0 , n!1 i(n ¡ 0 ) = 0 8i 2 I limTeorema 1.3.15Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famigliadi seminorme inducente la topologia vettoriale di E; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato , i (A) µ limitato in IR 8i2I e e 38
  • 42. Corollario 1.3.8Sia (E,) uno spazio seminormato; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato , 9M  0 tc () · M 8 2 A eDe¯nizione 1.3.9Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e consideriamo la funzione:  : E £ E ! [0 +1[ con ( ) = k ¡ kE 8  2 Esi veri¯ca facilmente che tale funzione µ una metrica su E, che prende il nome di metrica eindotta dalla norma. Si evince dalle de¯nizioni 1.2.22 e 1.3.7 che la topologia indottadalla metrica  coincide con quella indotta dalla norma k ¢ kE . E pertanto uno spazionormato puµ essere sempre riguardato come un particolare spazio metrico. oDe¯nizione 1.3.10Uno spazio normato di dice di Banach se µ completo. eTeorema 1.3.16Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia fn gn2IN una successione ordinaria in E e sia 0 2ETs: fn gn2IN converge a 0 , n!1 kn ¡ 0 kE = 0 limDimConseguenza immediata del teorema 1.3.14.Propriet¶ 1.3.15 aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia AµE un sottoinsiemeTs: A µ limitato nel senso degli sp. vett. top. , A µ limitato nel senso degli sp. metrici e eDimConseguenza immediata del corollario 1.3.8. 39
  • 43. Propriet¶ 1.3.16 aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 2E e   0Ts: (0  ) = (0  )Propriet¶ 1.3.17 aSia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e siano 0 0 2E e    0Ts: (0  ) (0  ) 6= ; ,  +  · k0 ¡ 0 kETeorema 1.3.17Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su ETs: Valgono allora i seguenti fatti:() k ¢ k1 µ meno ¯ne di k ¢ k2 , 9 k0 t.c. kk1 · kkk2 8 2E e() k ¢ k1 µ equivalente a k ¢ k2 , 9 c,k0 t.c. ckk2 · kk1 · kkk2 8 2E eTeorema 1.3.18Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E equivalentiTs: E µ k ¢ k1 -di Banach , E µ k ¢ k2-di Banach e eDe¯nizione 1.3.11Siano (E1 k ¢ kE1 )     (En  k ¢ kEn ) n spazi normati, si de¯niscono allora sul prodottocartesiano E := E1 £ ¢ ¢ ¢ £ En i seguenti tre funzionali: kk1 := max ki kEi 8 = (1      ) 2 E 1·i·n v u n uX kk2 := t k k2 i 8 = (1      ) 2 E E i=1 n X kk3 := k kEi 8 = (1       ) 2 E i=1 40
  • 44. si veri¯ca agevolmente che tali funzionali sono tre norme sul prodotto E, dette normecanoniche. Si veri¯ca inoltre facilmente che: k ¢ k1 · k ¢ k2 · k ¢ k3 · nk ¢ k1 · nk ¢ k2 · nk ¢ k3e tale s¯lza di disuguaglianze per il teorema 1.3.17 ci dice che le tre norme canoniche sonoequivalenti cioµ inducono alla medesima topologia e si puµ provare che tale topologia µ e o eproprio la topologia prodotto su E. Inoltre per il teorema 1.3.18 e per il teorema 1.3.17la s¯lza di disuguaglianza ci dice che se lo spazio prodotto E µ di Banach rispetto ad una edelle norme canoniche allora lo µ anche rispetto alle altre due. eTeorema 1.3.19Siano (E k ¢ kE ) ed (F k ¢ kF ) due spazi normatiTs: E£F µ di Banach , E ed F sono di Banach eDe¯nizione 1.3.12Sia (E k ¢ kE ) uno spazio normato, diciamo allora che tale spazio µ di tipo M se ogni efamiglia di sfere chiuse a due a due non disgiunte ha intersezione non vuota. Si puµ odimostrare che ogni spazio di tipo M µ di Banach. Esempi di spazi di tipo M sono la eretta reale oppure lo spazio funzionale di misura 1 ( § ) se la misura  µ -¯nita. Il ecorpo C rigurdato come spazio vettoriale reale (identi¯cabile quindi con il piano IR2 ), non Iµ di tipo M poich¶ µ facile costruire un sistema di tre cerchi sul piano, due qualunquee eedei quali si intersecano, ma la cui intersezione comune µ vuota. La maggior parte degli espazi funzionali noti non µ di tipo M. Per un approfondimento piµ dettagliato di tali e uspazi si rimanda al Kantarovic-Akilov [6]. Da quanto detto si evince che la classe deglispazi di tipo M µ abbastanza ristretta. e 41
  • 45. Teorema 1.3.20 (di Kolmogorov)Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® e supponiamo che esista VµE intornodi E assolutamente convesso e limitatoTs: Il funzionale di Minkowsky V µ una norma su E, inducente la topologia di E eTeorema 1.3.21 (di Heine-Pincherle-Borel)Sia Aµ IKn insiemeTs: A µ compatto , A µ chiuso e limitato e eDe¯nizione 1.3.13Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e sia fn gn2IN una successione in E, diciamo allora chela serie ad essa associata converge assolutamente se converge la serie reale a termininon negativi associata alla successione fkn kE gn2IN .Teorema 1.3.22Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio di Banach; sia fn gn2IN una successione ordinaria in E esupponiamo che la serie ad essa associata converga assolutamente 1 XTs: La serie n µ convergente e n=1De¯nizione 1.3.14Sia H un IK-spazio vettoriale. Diciamo allora che la funzione (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ un eprodotto scalare o un prodotto interno, se soddisfa alle seguenti proprietµ: a (1) ( +  )H = ( )H + ( )H 8   2 H e 8  2 IK (2) ( )H = ( )H 8  2 H (3) ( )H ¸ 0 8 2 H (4) ( )H = 0 ,  = H 42
  • 46. Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice spazio pre-hilbertiano o spazioa prodotto scalare e si indica con la coppia (H,(¢ ¢)H ). Dalle precedenti si veri¯cafacilmente che vale anche la seguente proprietµ: a (  + )H = ( )H + ( )H 8   2 H e 8  2 IKquindi il prodotto scalare µ lineare rispetto alla prima variabile ma non lo µ rispetto alla e eseconda variabile. Si puµ dimostrare che vale la seguente disuguaglianza: o q q j( )H j · ( )H ( )Hdetta disuguaglianza di Schwarz-Cauchy. Consideriamo adesso il funzionale: q k ¢ kH : H ! [0 +1[ con kkH := ( )H 8 2 Hallora facendo uso della disuguaglianza di Schwarz-Cauchy, si veri¯ca facilmente che talefunzionale µ una norma su H. La topologia che si considera su H µ quella indotta dalla e enorma appena introdotta, che µ pertanto una topologia vettoriale. Uno spazio a prodotto escalare si dice di Hilbert se µ completo rispetto alla norma suddetta. Un esempio notevole edi prodotto scalare su IKn µ dato dal prodotto scalare euclideo: e n X ( )IKn := i 8 = (1     n )  = (1     n ) 2 IKn i=1infatti si veri¯ca facilmente che questo µ un prodotto scalare. Si osserva inoltre che ela norma indotta dal prodotto scalare euclideo ¶ una delle tre norme canoniche su IKn ee precisamente quella euclidea. Essendo come noto il corpo IK completo, allora per ilteorema 1.3.19 segue che lo spazio IKn risulta essere completo rispetto ad ognuna delletre norme canoniche. E quindi dal ragionamento fatto si desume che lo spazio IKn munitodel prodotto scalare euclideo µ uno spazio di Hilbert. e 43
  • 47. Propriet¶ 1.3.18 aSia H uno spazio a prodotto scalareTs: (¢ ¢)H : H £ H ! IK µ continuo eDe¯nizione 1.3.15Due vettori di uno spazio a prodotto scalare si dicono ortogonali se il loro prodottoscalare nullo.De¯nizione 1.3.16Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AµH un insieme non vuoto. Diciamocomplemento ortogonale di A e lo indichiamo con A? , linsieme dei vettori di Hortogonali ad ogni vettore di A. Si dimostra facilmente che A? µ un s.sp.vett. chiuso. eTeorema 1.3.23 (fondamentale degli spazi di Hilbert)Sia H uno spazio di Hilbert; sia FµH un sottospazio vettoriale chiusoTs: H=F©F? e F = (F? )?1.4 Teoria di base degli operatori lineariDe¯nizione 1.4.1Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T:E!F un operatore, diciamo che T µ lineare se: e (1) T( + ) = T() + T() 8  2 E (2) T() = T() 8 2 IK e 8 2 EDenotiamo con (E F) linsieme di tutti gli operatori lineari da E in F. Nel caso F = IKsi denota con E0 := (E IK) e prende il nome di duale algebrico di E. Si osserva che 44
  • 48. se E ed F sono due sp.vett. su C allora in particolare E ed F saranno due sp.vett. su IR Ie quindi se T:E!F µ un operatore lineare con E ed F considerati come C-sp.vett. allora e Ibanalmente T sar¶ un operatore lineare anche con E ed F considerati come IR-sp.vett.. aTeorema 1.4.1Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia T:E!F un operatoreTs: Sono allora equivalenti:(1) T µ lineare e(2) T( + ) = T() + T() 8  2 IK e 8  2 E(3) T¡1 () + T¡1() µ T¡1( + ) 8  2 IK e 8  2 T(E)(4) gr(T) µ un sottospazio vettoriale di E£F ePropriet¶ 1.4.1 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IKTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() 8S T 2 (E F) e 8 2 IK allora S + T S 2 (E F)() (E F) µ un sottospazio vettoriale di FE eDe¯nizione 1.4.2Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia T 2 (E F). Chiamiamo nucleo di T linsieme: (T) := T¡1 (F ) = f 2 E : T() = F gPropriet¶ 1.4.2 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (E F)Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() T µ iniettivo , (T) = fE g e 45
  • 49. () (T) µ un sottospazio vettoriale di E e() Preso 0 2T(E) e 0 2 T¡1(0 ) allora T¡1 (0) = 0 + (T)() Preso 0 2T(E) allora T¡1 (0) µ una variet¶ a±ne di E e aPropriet¶ 1.4.3 aSiano E ed F due IK-spazi vettoriali; siano T1      Tn 2 (E F); siano 1     n 2 IK n à n ! XTs: (Ti ) µ  i Ti i=1 i=1Propriet¶ 1.4.4 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia T 2 (E F)Ts: T¡1 ( + ) = T¡1 () + T¡1 () 8  2 IK n f0g e 8  2 T(E)DimFissati   2 IK n f0g e   2 T(E), siano  2 T¡1 () e  2 T¡1 () ed osserviamo cheT( + ) = T() + T() =  + . Per la proprietµ 1.4.2 segue che: a T¡1 () + T¡1() = [ + (T)] + [ + (T)] = =  + (T) +  + (T) = =  +  + (T) = T¡1 ( + )Propriet¶ 1.4.5 aSiano E, F e G IK-spazi vettoriali; siano S 2 (E F) e T 2 (F G)Ts: T ± S 2 (E G) ed inoltre se T µ iniettivo allora (S) = (T ± S) ePropriet¶ 1.4.6 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)Ts: T(G) µ un sottospazio vettoriale di E e 46
  • 50. Propriet¶ 1.4.7 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia T 2 (E F)Ts: TjG : G ! F µ un operatore lineare ed inoltre (TjG ) = (T) G ePropriet¶ 1.4.8 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE un insieme; sia T 2 (E F)Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se A µ convesso allora T(A) µ convesso e e() Se A µ equilibrato allora T(A) µ equilibrato e e() Se A µ assolutamente convesso allora T(A) µ assolutamente convesso e ePropriet¶ 1.4.9 aSiano (E,k ¢ kE ) (F,k ¢ kF ) due spazi normati; sia : E ! F un operatore lineareTs:  µ unisometria , k()kF = kkE 8 2 E ePropriet¶ 1.4.10 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE t.c. (A)=E; sia T 2 (E F)Ts: Se T µ nullo su A allora T µ identicamente nullo e eDimConseguenza della proprietµ 1.4.2. aCorollario 1.4.1Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE con A0 6= ;; sia T 2 (E F) non nulloTs: 90 2A t.c. T(0) 6= FDimSupponiamo per assurdo che T sia nullo su A segue allora dal corollario 1.1.1 e dallaproprietµ 1.4.10 che T µ identicamente nullo e siamo ad un assurdo. a e 47
  • 51. Propriet¶ 1.4.11 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia AµE un sottoinseme non vuoto; sianoS T 2 (E F) t.c. S() = T() 8 2 ATs: S() = T() 8 2 (A)Propriet¶ 1.4.12 aSiano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme; sia T 2 (E F)Ts: T(span(A))=span(T(A))Propriet¶ 1.4.13 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE insieme l.i.; sia T 2 (E F) iniettivoTs: T(A) µ l.i. ePropriet¶ 1.4.14 aSiano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE una base di Hamel; sia T 2 (E F) iniettivoTs: T(A) µ una base di Hamel per T(E) eDimConseguenza immediata della proprietµ 1.4.13 e della proprietµ 1.4.12. a aDe¯nizione 1.4.3Siano E ed F due IK-spazi vettoriali e sia T 2 (E F). Diciamo allora che T µ un eisomor¯smo se µ bigettivo. In tal caso E ed F si dicono isomor¯. Si veri¯ca facilmente eche linversa di un isomorf. µ un isomorf. e che la composizione di isomorf. µ un isomorf.. e eDe¯nizione 1.4.4Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e sia F un sottospazio vettoriale di E. De¯niamo 48
  • 52. la seguente relazione su E che si veri¯ca facilmente essere di equivalenza: 8  2 E  »  ,  ¡  2 FTale relazione di equivalenza induce quindi ad una partizione di classi di elementiequivalenti, denotiamo allora con EF linsieme quoziente cioµ la famiglia di tutte le eclassi di equivalenza. Se in EF si considerano le seguenti operazioni: (1) [] + [] = [ + ] 8  2 E (2) [] = [] 8 2 E e 8 2 IKallora si prova che rispetto ad esse EF risulta essere un IK-spazio vettoriale. Detta [] laclasse nulla allora si veri¯ca facilmente che [] = [E ] = F. De¯niamo inoltre loperatore: ¦F : E ! EF con ¦F () = [] 8 2 Edetto proiezione canonica.Teorema 1.4.2Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: La proiezione canonica ¦F soddisfa le seguenti proprietµ: a() ¦F µ un operatore lineare e() (¦F ) = F() Se GµE s.sp.vett. complem. ad F allora ¦FjG : G ! EF µ un isomor¯smo eDimVeri¯chiamo la (). Conseguenza immediata delle operazioni sullo spazio EFVeri¯chiamo la (). Sia  2 (¦F ) , ¦F () = F , [] = F ,  2 F.Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 1.4.7 e per la () segue che ¦FjG µ lineare. Inoltre a e 49
  • 53. sempre per la proprietµ 1.4.7, per la () e per il fatto che F e G sono complementari aosserviamo che (¦FjG ) = (¦F ) G = F G = fE g e quindi segue dalla proprietµ a1.4.2 che ¦FjG µ iniettivo. Ci rimane da provare la suriettivit¶ di ¦FjG . Sia [] 2 EF , e aessendo F e G complementari allora  =  +  per opportuni  2F e  2 G )  ¡  = 2 F )  2 [] ) [] = [] cioµ ¦F () = [] come volevasi. eTeorema 1.4.3Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia AµE base di Hamel per E; sia f:A!F unapplicazioneTs: 9!T:E!F operatore lineare t.c. TjA ´ f ed inoltre:() se f µ iniettiva e f(A) µ linearmente indipendente allora T µ iniettivo e e e() se (f(A))=F allora T µ surgettivo e() se f µ iniettiva e f(A) µ una base di Hamel per F allora T µ un isomor¯smo e e eDimEssendo A una base di Hamel per il teorema 1.1.3 segue che: n X 8 2 E 9!       2 A con  6=  se i 6= j e 9x      x 2 IK tc  = 1 n i j 1 n  (1.3) i i i=1scegliamo allora: n X T : E ! F con T() =  f( ) 8 2 E i i i=1che µ ben posto per lunicit¶ di scrittura dei vettori di E assicurata dalla 1.3 e proviamo e aquindi che µ una buona scelta. Come prima cosa veri¯chiamo che T µ lineare: e e 0 1 0 1 n X m X Xn m X T( + ) = T @   +  i i  j A = T @   + j i i  j A = j i=1 j=1 i=1 j=1 n X m X n X Xm =  f( ) + i i  f( ) =  j j  f( ) +  i i  f( ) = j i i=1 j=1 i=1 j=1 = T() + T() 8  2 E e 8  2 IK 50
  • 54. Il fatto che T()=f() 8 2A µ evidente, infatti ¯ssato  2A allora essendo un vettore edi A, necessariamente per lunicitµ di scrittura lunica rappresentazione che ammette µ a e = 1 e quindi per costruzione T()=f(). Veri¯chiamo luncit¶ di T, sia quindi S:E!F aun operatore lineare che ristretto ad A coincide con f e proviamo che coincide con T sututto E. Poich¶ TjA = f = SjA segue allora dalla proprietµ 1.4.11 che S=T. e aVeri¯chiamo adesso la (). Adoperiamo la proprietµ 1.4.2. Sia  2 (T) allora: a n X F = T() =  f( ) i i i=1per liniettivitµ della f gli f( ) sono a due a due distinti ed inoltre appartengono a iallinsieme f(A), segue allora dalla lineare indipendenza di questo che  =    =  = 0 1 ne pertanto per la 1.3 otteniamo che  = E .Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 1.4.12 segue che: a T(E) = T((A)) = (T(A)) = (f(A)) = FOvviamente la () µ conseguenza immediata della () e della (). eCorollario 1.4.2Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IK; sia DµE l.i.; sia f:D!F unapplicazioneTs: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjD ´ fDimPer il teorema 1.1.4 9A µ E base di Hamel tale che D µ A. Fissato un qualunque 0 2Fconsideriamo la funzione: 8 < f() se  2D g : A ! F con g() = : 8 2 A 0 se  2 A n Dsegue allora dal teorema 1.4.3 che 9!T 2 (E F) t.c. TjA ´ g e quindi TjD ´ gjD ´ f. 51
  • 55. Corollario 1.4.3Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia GµE un s.sp.vett.; sia S:G!F un operatore lineareTs: 9T:E!F operatore lineare t.c. TjG ´ SDimPer il teorema 1.1.4 9A µ G base di Hamel per G. Per il corollario 1.4.2 9T:E!Foperatore lineare t.c. TjA ´ SjA e quindi segue dalla proprietµ 1.4.11 che TjG ´ S. aTeorema 1.4.4Siano E ed F due spazi vettoriali sul corpo IKTs: E ed F sono isomor¯ , (E)=(F)Dim )Dobbiamo dimostrare che due rispettive basi di Hamel degli spazi vettoriali E ed F,hanno la medesima cardinalit¶ e cioµ che tra le due basi esiste una biezione. Per ipotesi a e9T:E!F operatore lineare e biunivoco e quindi detta A una base di Hamel per E, per laproprietµ 1.4.14 segue che T(A) µ una base di Hamel per T(E)=F. E poich¶ banalmente a e ela restrizione TjA : A !T(A) µ pure una biezione, per quanto suddetto si ha la tesi. eDim (Per ipotesi esiste una bigezione tra due basi di Hamel rispettivamente per E ed F epertanto segue di peso dal teorema 1.4.3 che tali spazi sono isomor¯.Teorema 1.4.5Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano F,GµE due s.sp.vett. complementariTs: (G) = (EF )DimConseguenza del teorema 1.4.2 e del teorema 1.4.4. 52
  • 56. Teorema 1.4.6Sia E un IK-spazio vettoriale; siano F,G,HµE s.sp.vett. con G ed H complementari ad FTs: (G) = (H)DimSegue dal teorema 1.4.5 che (G) = (EF ) = (H).De¯nizione 1.4.5Sia E un IK-spazio vettoriale e sia FµE un s.sp.vett., per la proprietµ 1.1.9 tale sottospazio aammette almeno un sottospazio complementare e per il teorema 1.4.6 tutti i sottospazicomplementari ad F hanno la medesima dimensione e quindi ha senso dare la seguentede¯nizione. Si de¯nisce codimensione di F la dimensione di un qualsiasi s.sp.vett. di Ecomplementare ad F. Banalmente se F=E allora F ha codimensione 0 cioµ la dimensione edi fE g, mentre se F = fE g allora la codimensione di F µ (E). eDe¯nizione 1.4.6Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶ a±ne. a De¯niamocodimensione della variet¶ a±ne S la codimensione del sottospazio vettoriale di cui aS µ il traslato. Equivalentemente ¯ssato un qualunque 0 2  allora per la proprietµ e a1.1.2 la codimensione di S µ la codimensione del sottospazio S ¡ 0 . ePropriet¶ 1.4.15 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia :E! IK un funzionale lineareTs:  µ surgettivo oppure µ identicamente nullo e eDimIl corpo IK si puµ riguardare come uno sp.vett. su se stesso ed evidentemente gli unici o 53
  • 57. s.sp. che ammette sono quello banale f0g e se stesso. E quindi poich¶ per la proprietµ e a1.4.6  manda s.sp. in s.sp. allora puµ accadere che (E) = f0g oppure che (E) = IK. oPropriet¶ 1.4.16 aSia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE equilibrato con A0 6= ;; sia :E! IR unfunzionale lineare non identicamente nulloTs: 9  2A t.c. ()  0 e ()  0DimConseguenza del corollario 1.4.1 e della linearitµ di . aPropriet¶ 1.4.17 aSia E un IK-spazio vettoriale con (E) ¸ 2Ts: 8 2 E0 non µ iniettivo eDimSia ad arbitrio  2 E0 allora per la proprietµ 1.4.15 segue che  µ surgettivo oppure µ a e eidenticamente nullo. Scartiamo il caso in cui  µ identicamente nullo poich¶ in tal caso e eµ banalmente non iniettivo. Sia quindi il caso in cui  µ surgettivo e supponiamo pere eassurdo che sia iniettivo e pertanto  risulta essere un isomor¯smo tra E e IK e questoper il teorema 1.4.4 equivale ad a®ermare che (E) = (IK) = 1 assurdo.Propriet¶ 1.4.18 aSia E uno spazio vettoriale reale; sia 0 2E; sia AµE radiale in 0; sia  : E ! IRfunzionale lineare non identicamente nulloTs: (A) µ un intorno di (0 ) in IR eDimPer la proprietµ 1.4.15 9 2 E tc () = 1. Per la proprietµ 1.1.3 si ha che 9  a a 54
  • 58. 0 tc 0 +  2 A 8 2 [¡ ] applicando  otteniamo (0) + () 2 (A) 8 2[¡ ] ) (0 ) +  2 (A) 8 2 [¡ ] ) [(0 ) ¡  (0 ) + ] µ (A) e pertantoessendo [(0 ) ¡  (0 ) + ] un intorno di (0) in IR allora lo µ anche (A). eCorollario 1.4.4Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE insieme; sia  : E ! IR funz. lineare non nulloTs: Se A0 = A allora (A) µ aperto in IR eCorollario 1.4.5Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE insieme; sia  : E ! IR funz. lineare non nulloTs: Se A µ convesso e A0 6= ; allora (A0 ) µ aperto in IR e eDimConseguenza della proprietµ 1.1.6 e del corollario 1.4.4. aCorollario 1.4.6Sia E uno spazio vettoriale topologico reale; sia  : E ! IR funzionale lineare non nulloTs:  µ aperto eDimConseguenza del corollario 1.3.3 e del corollario 1.4.4.Propriet¶ 1.4.19 aSia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia f:E! IR un funzionale lineareTs: sup f() = ¡ inf f() 2A 2¡ACorollario 1.4.7Sia E un IR-spazio vettoriale; sia AµE non vuoto e simmetrico; sia f:E! IR lineareTs: sup f() = ¡ inf f() 2A 2A 55
  • 59. Propriet¶ 1.4.20 aSia E un IR-spazio vettoriale; sia AµE non vuoto e simmetrico; sia f:E! IR lineareTs: sup f() = sup jf()j e inf f() = inf ¡jf()j 2A 2A 2A 2APropriet¶ 1.4.21 aSia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia f:E! IR un funzionale lineareTs: f µ limitato inferiormente su A , f µ limitato superiormente su ¡A e eCorollario 1.4.8Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE sottoinsieme non vuoto e simmetrico; siaf:E! IR un funzionale lineare limitato inferiormente su A o limitato superiormente su ATs: f µ limitato ePropriet¶ 1.4.22 aSia E spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia 0 2E; sia f:E! IR funzionale lineareTs: sup f() = f(0) + sup f() e inf f() = f(0 ) + inf f() 20 +A 2A 20 +A 2ACorollario 1.4.9Sia E spazio vettoriale reale; sia AµE non vuoto; sia 0 2E; sia f:E! IR funz. lineareTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se f µ limitato sup. (risp. inf.) su A allora f µ limitato sup. (risp. inf.) su 0 + A e e() Se f µ limitato su A allora f µ limitato su 0 + A e eTeorema 1.4.7Sia E spazio vettoriale reale; sia AµE convesso con A0 6= ;; sia f:E! IR funzionale lineareTs: sup f() = sup f() 2A0 2A 56
  • 60. DimPer ipotesi A0 6= ; ) 90 2 A0 consideriamo allora linsieme B := A¡x0 che ovviamenteun convesso in quanto traslato di un convesso ed inoltre per la proprietµ 1.1.4 si ha: a B0 = (A ¡ 0 )0 = A0 ¡ 0 (1.4)e poich¶ 0 2 A0 ) E 2 B0 ) B0 6= ;. Ci proponiamo di provare a monte la etesi per tale insieme B. Poich¶ B0 µ B allora banalmente sup2B0 f() · sup2B f(). eProviamo quindi la disuguaglianza inversa cioµ che sup2B f() · sup2B0 f(). Sia ad earbitrio  2B segue allora dalla proprietµ 1.1.12 che B () · 1, distinguiamo allora i adue casi B ()  1 e B () = 1. Se B ()  1 )  2 ¡1([0 1[) segue allora dalla Bproprietµ 1.1.12 che  2 B0 e pertanto f() · sup2B0 f(). Sia adesso il caso in cui aB () := inff  0 :  2 Bg = 1 e quindi per la IIa proprietµ dellinf sicuramente: a 9f gn2IN tc n  1  2 n B 8n 2 IN e n!1 n = 1 limpoich¶ B () = 1 ) B ()  n 8n 2 IN segue allora dalla positiva omogeneit¶ del e a ³ ´funzionale di Minkowsky B che B  n  1 8n 2 IN )  n 2 ¡1 ([0 1[) 8n 2 IN segue B allora dalla proprietµ 1.1.12 che a n 2 B0 8n 2 IN e quindi per la linearit¶ di f si ha: a µ ¶ 1  f() = f · sup f() 8n 2 IN n n 2B0e pertanto passando al limite n che tende ad in¯nito si ha f() · sup2B0 f(). E quindiin de¯nitiva per larbitrariet¶ di  2B abbiamo ottenuto che f() · sup2B0 f() 8 2 B ae passando al sup su B si ottiene quanto voluto. E pertanto: sup f() = sup f() (1.5) 2B0 2B 57
  • 61. In de¯nitiva per la linearit¶ di f, per la 1.4, per la 1.5 e per la proprietµ 1.4.22 si ha: a a sup f() = f(0 ) ¡ f(0 ) + sup f() = f(0 ) + f(¡0 ) + sup f() = 2A0 2A0 2A0 = f(0 ) + sup f() = f(0 ) + sup f() = f(0 ) + sup f() = 2A0 ¡0 2B0 2B = f(0 ) + sup f() = f(0 ) + f(¡0 ) + sup f() = 2A¡0 2A = f(0 ) ¡ f(0 ) + sup f() = sup f() 2A 2ADe¯nizione 1.4.7Sia E un IK-spazio vettoriale; IµE insieme. Diciamo allora che I µ un iperpiano di E se: e 9 : E ! IK funzionale lineare non nullo e 9 2 IK tc I = ¡1 ()Ovviamente I ½ E ed inoltre I 6= ;, poich¶ per la proprietµ 1.4.15  µ surgettivo. Se I µ e a e eun iperpiano passante per lorigine allora evedentemente µ il nucleo di un certo funzionale elineare non identicamente nullo.Propriet¶ 1.4.23 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia 0 2E; sia  2 IK n f0g; sia IµE un iperpianoTs: Valgono allora i seguenti fatti:() I µ una variet¶ a±ne e a() 0 + I µ un iperpiano e() Se I non passa per lorigine allora 8 2 IK n f0g 9 2 E0 n fE0 g t.c. I = ¡1 ()Propriet¶ 1.4.24 aSia C il corpo dei numeri complessi riguardato come IR-spazio vettoriale ITs:   : C ! IR sono funzionali lineari reali I 58
  • 62. Propriet¶ 1.4.25 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo C; sia :E! C un funzionale lineare I ITs:  e  sono funzionali lineari realiDimConseguenza della proprietµ 1.4.24 e dalla proprietµ 1.4.5. a aPropriet¶ 1.4.26 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo C; sia :E! C un funzionale lineare complesso I ITs: () = () ¡ () 8 2EPropriet¶ 1.4.27 aSia E un C-spazio vettoriale; sia :E! C funz. t.c. () = () ¡ () 8 2E I ITs:  µ un funzionale lineare complesso ,  µ un funzionale lineare reale e eCorollario 1.4.10Sia E uno spazio vettoriale sul corpo C; sia :E! IR un funzionale reale e consideriamo I :E! C con () := () ¡ () 8 2E ITs:  µ un funzionale lineare complesso ,  µ un funzionale lineare reale e ePropriet¶ 1.4.28 aSia E uno spazio vettoriale sul corpo C; sia :E! IR un funzionale lineare reale e Iconsideriamo  :E! C con () := () ¡ () 8 2E; sia  2 (E) ITs: ¡1() = ¡1(()) ( ¡1 (()))Corollario 1.4.11Sia E uno spazio vettoriale sul corpo C; sia IµE un iperpiano reale ITs: I (I) µ un iperpiano complesso e 59
  • 63. DimEssendo I un iperpiano reale, per de¯nizione esiste  : E ! IR funzionale lineare realenon nullo e  2 IR tale che I = ¡1(), consideriamo allora  : E ! C con () := I() ¡ () 8 2 E che per il corollario 1.4.10 µ un funzionale lineare complesso, ed µ e ebanalmente non nullo. Segue allora dalla proprietµ 1.4.28 che ¡1 ( + ) = I (I). aTeorema 1.4.8 (Caratterizzazione dei s.sp.vett. di codimensione uno)Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettorialeTs: Sono allora equivalenti:(1) F ha codimensione 1(2) 9 2 E0 n fE0 g t.c. () = F(3) F µ un sottospazio proprio massimale di E eDim (1))(2)Dallipotesi e dal teorema 1.4.5 segue che (EF ) = 1 e quindi per il teorema 1.4.49 : EF ! IK funzionale lineare bigettivo. Scegliamo allora  :=  ± ¦F che µ lineare per ela proprietµ 1.4.5. Per il teorema 1.4.2 e per la proprietµ 1.4.5 segue che F = (¦F ) = a a(). Sicuramente  µ non nullo infatti se per assurdo fosse () =E allora si eavrebbe che F=E cio¶ F avrebbe codimensione 0 assurdo. eDim (2))(3)Ovviamente F½E infatti se per assurdo F=E allora seguirebbe dallipotesi che () =Eassurdo. Dimostriamo adesso che F µ un s.sp.vett. proprio massimale. Sia G ½ E un es.sp.vett. t.c. F µ G e proviamo quindi che F=G. Poch¶ vale FµG bisogna provare solo eche G µ F. Sia  2 G e supponiamo per assurdo che  62 F = () ) () 6= 0.Poich¶ G ½ E ) 90 2 E n G si osserva allora banalmente che il funzionale lineare e 60
  • 64. (0 ) calcolato su 0 ¡ ()  vale zero e cio¶ tale vettore appartiene a ()=F e poich¶ e eFµG allora appartiene anche a G. Il vettore 0 lo possiamo scrivere come: " # (0) (0 ) 0 = 0 ¡  +  () ()siamo quindi riusciti a scrivere 0 come combinazione di due vettori di G e pertantoessendo G un s.sp.vett. segue che 0 2G e siamo ad un assurdo poich¶ 0 2 E n G. eDim (3))(1)Per ipotesi 90 2 E n F, consideriamo allora il s.sp.vett. G := (f0 g) che percostruzione ha dimensione uno. Ovviamente F G = fE g segue allora dal teorema 1.1.1che la somma F+G µ diretta. Inoltre F+G µ un s.sp.vett. di E che contiene propriamente e eF e quindi per la massimalitµ di F deve necessariamente essere che F+G=E. aCorollario 1.4.12Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia FµE un sottospazio vettoriale concodimensione uno; sia 0 2E e 0 62F; sia  2 IK n f0gTs: 9 : E ! IK funzionale lineare non nullo t.c. () =F e (0 ) = DimPer il teorema 1.4.8 segue che 9 2 E0 n fE0 g tc () = F. Osserviamo che 0 62 F = () e pertanto (0 ) 6= 0 e quindi evidentemente basta scegliere  = (0 ) .Teorema 1.4.9 (Caratterizzazione delle variet¶ a±ni di codimensione uno) aSia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia SµE una variet¶ a±ne aTs: Sono allora equivalenti:(1) S ha codimensione 1(2) S µ un iperpiano di E e 61
  • 65. (3) S µ una variet¶ a±ne propria massimale di E e aDim (1))(2)Fissato 0 2S allora il s.sp.vett. S¡0 ha codimensione 1 e quindi per il teorema 1.4.8segue che S¡0 µ un iperpiano e pertanto segue dalla proprietµ 1.4.23 che S µ un iperpiano. e a eDim (2))(3)Fissiamo 0 2S allora per la proprietµ 1.4.23 S¡0 µ un iperpiano passante per E ovvero a eµ il nucleo di un funzionale lineare non nullo e quindi segue dal teorema 1.4.8 che S¡0eµ un s.sp.vett. proprio massimale. Proviamo adesso che S µ una variet¶ a±ne propriae e amassimale. Sia S0 ½ E una variet¶ a±ne t.c S µ S0 e proviamo quindi che S = S0 . Poich¶ a eS0 ½ E e S µ S0 ) S0 ¡ 0 ½ E e S ¡ 0 µ S0 ¡ 0 e quindi essendo S¡0 un s.sp.vett.proprio massimale allora necessariamente deve essere che S ¡ 0 = S0 ¡ 0 ) S = S0 .Dim (3))(1)Fissiamo 0 2S e proviamo quindi che il s.sp.vett. S¡0 ha codimensione 1 e per fare ciµ oadoperiamo il teorema 1.4.8 e dimostriamo che S¡0 µ un s.sp.vett. proprio massimale. eSia F½E s.sp.vett. t.c. S ¡ 0 µ F ) S µ 0 + F e pertanto per la massimalit¶ di S adeve necessariamente essere che S = 0 + F ) S ¡ 0 = F come volevasi.Corollario 1.4.13Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia IµE un iperpianoTs: I µ un insieme denso oppure µ chiuso e eDimSe I = E in tal caso I µ denso in E, consideriamo quindi il caso in cui I ½ E. Per il ecorollario 1.3.6 I µ una variet¶ a±ne ed inoltre vale sempre I µ I e quindi essendo per il e ateorema 1.4.9 I una variet¶ a±ne propria massimale allora necessariamente I = I. a 62
  • 66. Teorema 1.4.10Sia E uno spazio vettoriale su IK; siano 1      n 2 E0 ( n ) 0 Ts: (f1      n g) =  2 E : (i ) µ () i=1DimProcediamo per doppia inclusione. Sia  2 (f1     n g) segue allora dalla Tn Tnproprietµ 1.4.3 che a i=1 (i ) µ (). Viceversa sia  2 E0 t.c. i=1 (i ) µ() e proviamo quindi che  2 (f1      n g). Procediamo con il metodoinduttivo e proviamo che lasserto µ vero per n=1. Per ipotesi abbiamo quindi che: e (1 ) µ () (1.6)Escludendo il caso banale in cui 1 µ identicamente nullo (cioµ (1 )=E), poich¶ in e e etal caso per la 1.6, lo sarebbe anche , possiamo allora considerare un 0 2E tale che  ()1 (0 ) 6= 0. Per la linearit¶ si veri¯ca facilmente che per ogni  2E il vettore  ¡ 11(0 ) 0 asta nel nucleo di 1 e quindi per la 1.6 sta anche nel nucleo di  e pertanto applicandoad esso il funzionale , per la linerarit¶ di questo si ottiene immediatamente che () = a(0 ) (0 )  ().1 (0 ) 1 E pertanto basta scegliere 1 := 1 (0 ) e si ottiene () = 1 1 () 8 2 E.Supponiamo adesso che lasserto sia vero per n=k e proviamo che µ vero per n=k+1. ePoniamo F:=(+1 ) che µ quindi un s.sp.vett. e consideriamo: e  : F ! IK con  = jF e i : F ! IK con  = ijF 8= 1    kche essendo restrizioni di funzionali lineari ad un sottospazio vettoriale, per la proprietµ a1.4.7 sono anchessi lineari. Per la proprietµ 1.4.7 e per lipotesi osserviamo che: a k k k+1 (i) = [F (i)] = F (i ) µ F () = () i=1 i=1 i=1 63
  • 67. segue allora dallipotesi induttiva che: k X 91      k 2 IK tc () = i i() 8 2 F (1.7) i=1Consideriamo allora il funzionale: k X  : E ! IK con () := () ¡ i i() 8 2 E (1.8) i=1che µ lineare in quanto combinazione di funzionali lineari. A questo punto si osserva che: e (k+1) µ () (1.9)infatti se  2 (k+1 ) =:F allora per costruzione delle i e per la 1.7 segue che: k X k X () := () ¡ i i () = () ¡ i i () = () ¡ () = 0 i=1 i=1cioµ  2 (). E quindi considerati i funzionali lineari  e k+1 , per la 1.9 si ricade enel caso n=1 del ragionamento induttivo, che ci dice esiste k+1 2 IK t.c.  = k+1 k+1 Pk+1e quindi sostituendo la 1.8 si conclude che  = i=1 i i cioµ  2 (f1      k+1 g). eCorollario 1.4.14Sia E spazio vettoriale su IK; sia A µ E0 insieme non vuoto Ts: () = () 2A 2(A)Dim T TPoich¶ A µ (A) allora banalmente e 2(A) () µ 2A (). Veri¯chiamoquindi linclusione inversa. Per il teorema 1.1.2 osserviamo che: 8 2 (A) 9       2 A tc  2 (f       g) 1 n 1 ne quindi per il teorema 1.4.10 segue che: n () µ ( ) µ () 8 2 (A) i 2A i=1 T Tpassando allintersezione su (A) otteniamo 2A () µ 2(A) (). 64
  • 68. De¯nizione 1.4.8Sia E un IK-spazio vettoriale; siano 1     n 2E e siano 1      n 2 E0 . Diciamo che ivettori 1      n costituiscono un sistema biortogonale rispetto a 1      n se: 8 <0 se i6=j i(j ) = : 8i j = 1     n 1 se i=jcioµ i (j) = ij 8i j = 1     n dove ovviamente ij µ il delta di Kronecker. e eTeorema 1.4.11Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1     n 2 E0Ts: 1      n l.i. , 91      n 2E sistema biortogonale rispetto a 1     nDim )Lesistenza del sistema biortogonale richiesta sar¶ dimostrata per induzione. aDimostriamo lasserto nel caso n=2. A®ermiamo e dimostriamo che: 9~ 2 E tc 1 (~) 6= 0 e 2(~) = 0    (1.10)cioµ che (2 ) n (1 ) 6= ;. Supponiamo per assurdo che (2 ) n (1 ) = ; ecioµ (2) µ (1 ) segue allora dal teorema 1.4.10 che 1 2 (f2 g) e siamo ead assurdo per la lineare indipendenza di 1 e 2 . E quindi resta veri¯cata la 1.10,  ~allora evidentemente basta scegliere 1 := 1 (~)  infatti per la linearit¶ di 1 e 2 si ha ache 1 (1 ) = 1 e 2 (1 ) = 0. In maniera identica scambiano il ruolo deglindici 1 e 2 sidimostra che 92 2 E tc 1 (2 ) = 0 e 2 (2) = 1. E quindi in de¯nitiva 1 e 2 formanoappunto il sistema biortogonale cercato. Supponiamo adesso che lasserto sia vero pern=k e dimostriamo che µ vero per n=k+1. Evidentemente µ su±ciente dimostrare che: e e 9~ 2 E tc 1 (~) =    = k (~) = 0 e k+1 (~) 6= 0     65
  • 69.  ~poich¶ in tal caso per la linearitµ dei 1      k  k+1 baster¶ scegliere k+1 := e a a k+1 (~)  . Tk TkSupponiamo per assurdo che i=1 (i ) n (k+1 ) = ; cioµ e i=1 (i ) µ(k+1) segue allora dal teorema 1.4.10 che k+1 2 (f1     k g) e siamo adun assurdo per lindipendenza lineare dei 1     k  k+1 .Dim (Siano 1      n 2 IK tali che 1 1 + ¢ ¢ ¢ + n n = E0 cioµ 1 1() + ¢ ¢ ¢ + n n () = e0 8 2 E e quindi ¯ssato ad arbitrio i = 1     n in corrispondenza ad i otteniamo: 0 = 1 1 (i ) + ¢ ¢ ¢ + i i (i ) + ¢ ¢ ¢ + n n (i ) = 10 + ¢ ¢ ¢ + i 1 + ¢ ¢ ¢ + n 0 = iCorollario 1.4.15Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1      n 2 E0 linearmente indipendentie siano quindi 1     n 2E biortogonali rispetto ad essi n XTs:  = (i )i 8 2 (f1     n g) i=1Dim PnSia  2 (f1      n g) segue che 91      n 2 IK tc  = i=1 i i e quidi ¯ssato Pnun j = 1     n ed applicando  ad j otteniamo (j ) = i=1 i i (j ) = j .Teorema 1.4.12Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1      n 2ETs: 1      n l.i. , 91     n 2 E0 t.c. 1      n sono biortogonali rispetto ad essiDim )Posto A:=f1      n g allora per ogni ¯ssato i = 1     n consideriamo la funzionefi : A ! IK con fi(j ) = ij 8j = 1     n e quindi in corrispondenza ad ¯ssato i = 1     nper il corollario 1.4.2 segue che 9i : E ! IK lineare tc ijA = fi e quindi per costruzione1      n costituiscono un sistema biortogonale rispetto a 1      n . 66
  • 70. Dim (Siano 1      n 2 IK tali che 11 + ¢ ¢ ¢ + n n = E e quindi ¯ssato i = 1     n edapplicando il funzionale lineare i otteniamo:0 = i (11 + ¢ ¢ ¢ + ii + ¢ ¢ ¢ + n n ) = 1 i(1 ) + ¢ ¢ ¢ + ii (i ) + ¢ ¢ ¢ + n i (n ) = = 1 0 + ¢ ¢ ¢ + i 1 + ¢ ¢ ¢ + n 0 = iCorollario 1.4.16Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; siano 1      n 2E linearmente indipendenti esiano quindi 1      n 2 E0 t.c. 1     n sono biortogonali rispetto ad essi n XTs:  = i ()i 8 2 (f1     n g) i=1Dim PnSia  2 (f1     n g) segue che 91      n 2 IK tc  = i=1 i i e quindi ¯ssato Pnun j = 1     n ed applicando j otteniamo j () = i=1 i j (i ) = j .Teorema 1.4.13Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK; sia n 2 IN n f0gTs: 91     n 2E l.i. , 91     n 2 E0 l.i.Dim )Conseguenza del teorema 1.4.11 e del teorema 1.4.12.Teorema 1.4.14Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IKTs: (E) = (E0 )DimConseguenza immediata del teorema 1.4.13 e del teorema 1.1.6. 67
  • 71. De¯nizione 1.4.9Sia E IK-spazio vettoriale e sia A µ E0 non vuoto. Diciamo che A µ totale su E se: e () = fE g 2ATeorema 1.4.15Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IKTs: E0 µ un sottospazio vettoriale totale su E eDimSia  2E t.c. () = 0 8 2 E0 . Per il teorema 1.1.4 9A µ E base di Hamel per E e quindi91      n 2A a due a due distinti t.c.  2 (f1     n g). Poich¶ 1     n 2A eallora sono l.i. segue allora dal teorema 1.4.12 che 91      n 2 E0 tc 1      n sonobiortogonali rispetto ad essi. Per il corollario 1.4.16 segue che  = E .Teorema 1.4.16Sia E un IK-spazio vettoriale di dimensione ¯nita; sia F µ E0 un s.sp.vett. totale su ETs: F = E0DimPer il teorema 1.4.14 (E0 )  +1 ) (F)  +1 e pertanto esiste A µ F base diHamel per F con cardinalitµ ¯nita. Essendo F totale su E allora per il corollario 1.4.14 aanche linsieme A µ totale su E e quindi per il teorema 1.4.10 segue che E0 = (A) = F. e 68
  • 72. Capitolo 2Teoremi fondamentali sugli operatorilineari2.1 Operatori a gra¯co convesso. Operatori a±ni. Teorema di Deutsch-Singer Nel teorema 1.4.1 abbiamo osservato che un operatore lineare µ caratterizzato dal efatto di avere il gra¯co che µ un sottospazio vettoriale. In questo paragrafo tratteremo gli eoperatori a gra¯co convesso e gli operatori a±ni che come vedremo hanno il gra¯co cheµ una variet¶ a±ne, e metteremo in evidenza i legami che intercorrono tra tali operatorie ae gli operatori lineari.Teorema 2.1.1Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; siano XµE e YµF insiemiconvessi e non vuoti; sia  : X !Y una funzione 69
  • 73. Ts: Sono allora equivalenti:(1) () µ convesso e(2) (1 + (1 ¡ )2 ) = (1 ) + (1 ¡ )(2 ) 81  2 2 X e 8 2 [0 1](3) ¡1(1 ) + (1 ¡ ) ¡1 (2 ) µ ¡1 (1 + (1 ¡ )2 ) 81  2 2 (X) e 8 2 [0 1]Propriet¶ 2.1.1 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; siano XµE e YµF insiemiconvessi e non vuoti; sia  : X ! Y una funzione a gra¯co convesso; sia 0 2F econsideriamo la funzione  : X ! Y + 0 con () = () + 0 8 2 XTs:  µ a gra¯co convesso eDimConseguenza immediata della proprietµ 1.1.13. aTeorema 2.1.2Siano E ed F IK-spazi vettoriali; sia XµE non vuoto e convesso; sia  : X ! Funapplicazione a gra¯co convesso e surgettivaTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() (¡1(1 )) = (¡1 (2 )) 81  2 2 F() Se 90 2F t.c. ¡1 (0) µ un singoletto allora  µ iniettiva e eDimVeri¯chiamo la (). Fissati ad arbitrio 1 2 2 F, consideriamo il vettore  0 = 22 ¡ 1 ,allora per il teorema 2.1.1 osserviamo che: µ ¶ 1 ¡1 1 ¡1 1 1 1 ¡1 0 ( (1 ) + ¡1( 0 )) =  (1 ) + ¡1( 0 ) = ¡1 (1 ) + 1 ¡  ( ) µ 2 2 2 2 2 µ µ ¶ ¶ µ ¶ ¡1 1 1 0 ¡1 1 1 0 µ  1 + 1 ¡  = 1 +  = ¡1 (2) 2 2 2 2 70
  • 74. da ciµ, assieme alla proprietµ 1.1.14 segue che: o a ³ ´ n ³ ´ ³ ´o ³ ´ ¡1 (1) · max  ¡1 (1 )   ¡1 (0 ) ·  (¡1(1 ) + ¡1 (0 )) = µ ¶ ³ ´ 1 =  (¡1(1 ) + ¡1 (0 )) ·  ¡1(2 ) 2Scambiando il ruolo di 1 con quello di 2 si ottiene la disuguaglianza inversa.Veri¯chiamo la (). Siano 1 2 2X t.c. (1) = (2) e proviamo quindi che 1 =2 . Posto  := (1) = (2) allora 1  2 2 ¡1(). Segue dalla () e dallipotesiche  (¡1()) =  (¡1 (0)) = 1 cioµ ¡1 () µ un singoletto e pertanto essendo e e1  2 2 ¡1 () allora necessariamente deve essere che 1 = 2 . Il seguente risultato µ unestrapolazione di un risultato di teoria multivoca dovuto a eDeutsch-Singer [4].Teorema 2.1.3 (di Deutsch-Singer)Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia XµE assolutamente convesso; sia  : X ! Funapplicazione a gra¯co convesso e supponiamo che (E ) = FTs: Valgono allora i seguenti fatti:() () = () 8 2 X e 8 2 IR tc  2 X() ( + ) = () + () 8  2 X tc  +  2 XDimVeri¯chiamo la (). Fissati  2X e  2 IR t.c.  2X si presentano i seguenti tre casi: () 0··1 () 1 ()   0 71
  • 75. Supponiamo che valga la (). Per il teorema 2.1.1 segue che: (0 + (1 ¡ ) 0 ) = (0 ) + (1 ¡ )(0 ) 80  0 2 X e 8 2 [0 1] (2.1)E quindi dalla 2.1 e dallipotesi segue che: () = ( + (1 ¡ )E ) = () + (1 ¡ )(E ) = () + (1 ¡ )F = ()Supponiamo che valga la (). Per il caso () segue che: µ ¶ 1 1 () =  () =  () = ()  Supponiamo che valga la (). Facciamo osservare che: (¡) = ¡() (2.2) 1infatti dalla 2.1 in per 0 =  0 = ¡ e  = 2 e dallipotesi otteniamo: µ ¶ µ µ ¶ ¶ 1 1 1 1 1 1 () + (¡) = () + 1¡ (¡) =  + 1¡ (¡) = 2 2 2 2 2 2 µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 =  + (¡) =   ¡  = (E ) = F 2 2 2 2E quindi per la (), per la () e per la 2.2 segue che: () = ((¡)(¡)) = (¡)(¡) = (¡)(¡()) = ()Veri¯chiamo la (). Fissati   2X t.c.  +  2X, per la () e per la 2.1 segue che: µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 ( + ) = 2 ( + ) = 2 ( + ) = 2  +  = 2 2 2 2 µ µ ¶ ¶ · µ ¶ ¸ 1 1 1 1 = 2  + 1 ¡  = 2 () + 1 ¡ () = 2 2 2 2 · ¸ 1 1 = 2 () + () = () + () 2 2Ed il teorema µ completamente dimostrato. e 72
  • 76. Corollario 2.1.1Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatoreTs: © µ lineare , (©) µ convesso e ©(E ) = F e eDimConseguenza immediata del teorema 2.1.3.Corollario 2.1.2Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatore surgettivoTs: © µ un isomor¯smo , (©) µ convesso e ©¡1 (F ) = fE g e eDimConseguenza del corollario 2.1.1 e della proprietµ 1.4.2. aDe¯nizione 2.1.1Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia © : E ! F un operatore,diciamo allora che © µ un operatore a±ne se: e 9T 2 (E F) e 90 2 F tc ©() = T() + 0 8 2 Ecioµ se µ il traslato di un oper. lineare. Banalmente ogni oper. lineare µ a±ne. Si evince e e einoltre dalla de¯nizione che tutte le proprietµ di tipo algebrico o topologico invarianti per atraslazione, che sono valide per gli oper. lineari si possono estendere agli oper. a±ni.Propriet¶ 2.1.2 aSiano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia © : E ! F un operatorea±ne e siano quindi T2 (E,F) e 0 2F t.c. © = T + 0Ts: T = © ¡ ©(E ) e 0 = ©(E ) 73
  • 77. Corollario 2.1.3Siano E ed F due IK-spazi vettoriali; sia © : E ! F un operatore a±neTs: © µ lineare , ©(E ) = F eTeorema 2.1.4Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo IK; sia © : E ! F un operatoreTs: Sono allora equivalenti:(1) © µ a±ne e(2) (©) µ una variet¶ a±ne e a(3) © ¡ ©(E ) µ lineare e(4) ©(1 ) + (1 ¡ )©(2 ) = ©(1 + (1 ¡ )2) 81  2 2 E e 8 2 IK(5) ©¡1 (1) + (1 ¡ )©¡1 (2 ) µ ©¡1 (1 + (1 ¡ )2 ) 81  2 2 ©(E) e 8 2 IKDim (1))(2)Conseguenza immediata del teorema 1.4.1 e della proprietµ 1.1.13. aDim (2))(3)Facciamo uso del teorema 1.4.1 e dimostriamo quindi che (© ¡ ©(E )) µ un s.sp.vett.. eOsseviamo che banalmente (E  ©(E )) 2 (©)) e quindi poich¶ per la proprietµ 1.1.13 e a(© ¡ ©(E )) = (©) ¡ (E  ©(E )) segue allora dallipotesi che (© ¡ ©(E )) µ una evariet¶ a±ne che contiene (E  F ) e pertanto dalla proprietµ 1.1.2 segue la tesi. a aDim (3))(1)Banalmente basta osservare che © = [© ¡ ©(E )] + ©(E ).Dim (1))(4)Di facile veri¯ca.Dim (4),(5) 74
  • 78. Di facile veri¯ca.Dim (4))(3)Poniamo T := © ¡ ©(E ) e dimostriamo quindi che: () T() = T() 8 2 E e 8 2 IK () T(1 + 2) = T(1 ) + T(2) 81  2 2 EVeri¯chiamo la (). Segue dallipotesi che: T() = T( + (1 ¡ )E ) = ©( + (1 ¡ )E ) ¡ ©(E ) = = ©() + (1 ¡ )©(E ) ¡ ©(E ) = ©() ¡ ©(E ) = = [©() ¡ ©(E )] = T() 8 2 E e 8 2 IKVeri¯chiamo la (). Per la () e dallipotesi segue che: µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1T(1 + 2 ) = 2 T(1 + 2) = 2T (1 + 2 ) = 2© 1 + 2 ¡ 2©(E ) = 2 2 2 2 µ µ ¶ ¶ · µ ¶ ¸ 1 1 1 1 = 2© 1 + 1 ¡ 2 ¡ 2©(E ) = 2 ©(1) + 1 ¡ ©(2 ) ¡ 2©(E ) = 2 2 2 2 · ¸ 1 1 = 2 ©(1 ) + ©(2 ) ¡ 2©(E ) = ©(1 ) + ©(2) ¡ 2©(E ) = 2 2 = [©(1 ) ¡ ©(E )] + [©(2) ¡ ©(E )] = T(1 ) + T(2 ) 81 2 2 ECorollario 2.1.4Siano E ed F due spazi vettoriali su IK; sia © : E ! F un operatore a±neTs: © µ a gra¯co convesso eTeorema 2.1.5Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatoreTs: © µ a±ne , (©) µ convesso e e 75
  • 79. Dim )Conseguenza immediata del corollario 2.1.4.Dim (Consideriamo loperatore T = © ¡ ©(E ) e dimostriamo che µ lineare, seguir¶ quindi dal e ateorema 2.1.4 che © µ a±ne. Per ipotesi (©) µ convesso e quindi segue dalla proprietµ e e a2.1.1 che (T) µ convesso. Inoltre osserviamo che T(E ) = ©(E ) ¡ ©(E ) = F e quindi esegue dal corollario 2.1.1 che loperatore T µ lineare. eCorollario 2.1.5Siano E ed F due spazi vettoriali reali; sia © : E ! F un operatore surgettivoTs: © µ una bigezione a±ne , (©) µ convesso e 90 2F t.c. ©¡1 (y0) µ un singoletto e e eDimConseguenza del teorema 2.1.5 e del teorema 2.1.2.2.2 Criteri di continuitµ per operatori e funzionali a lineari In questo paragrafo ci proponiamo di dare e di ricercare le condizioni a±nch¶ un eoperatore lineare sia continuo, a seconda degli spazi in cui esso µ de¯nito. eTeorema 2.2.1Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia 0 2E; sia T2 (E,F) continuo in 0Ts: T µ continuo eDimFissato un  2E ed un intorno VµF di T() dobbiamo provare che esiste UµE intorno 76
  • 80. di  tale che T(U)µV. Per il corollario 1.3.1 linsieme V ¡ T() µ un intorno di F e eper la proprietµ 1.3.1 linsieme [V ¡ T()] + T(0 ) µ un intorno di T(0 ) e quindi per a ela continuit¶ di T in 0 segue che 9WµE intorno di 0 t.c. T(W) µ [V ¡ T()] + aT(0 ) ) T(W) ¡ T(0 ) + T() µ V e per la linearit¶ delloperatore T segue che aT([W ¡ 0 ] + ) µ V. E quindi evidentemente basta scegliere U := [W ¡ 0 ] + , essendoquesto per il corollario 1.3.1 e per la proprietµ 1.3.1 un intorno di . aTeorema 2.2.2Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T 2 (E F) e supponiamo che 9AµEinsieme con (A) 6= ; t.c. T(A) µ limitato eTs: T µ continuo eDimPreliminarmente facciamo osservare che esiste un intorno dellorigine in E che vienetrasformato da T in un limitato. Sia 0 2 (A) e consideriamo U:=A ¡ 0 cheper il corollario 1.3.1 µ un intorno di E e poich¶ per la linearit¶ di T si ha che e e aT(U)=T(A)¡T(0) allora per la proprietµ 1.3.12 segue che T(U) µ un limitato di a eF. Possiamo dimostrare adesso che T µ continuo. Per il teorema 2.2.1 µ su±cienete e edimostrare che T µ continuo nellorigine, sia quindi VµE un intorno di F e proviamo eche esiste WµE intorno di E tale che T(W)µV. Per la limitatezza di T(U) 9  0 t.c. 1 1 1T(U)µ V )  T(U)µV e per la linearit¶ di T segue che T(  U) e quindi scelto W:=  U ache per la proprietµ 1.3.2 µ un intorno di E , si ha quanto voluto. a eCorollario 2.2.1Sia E uno spazio vettoriale topologico reale; sia  : E ! IR funz. lineare e supponiamoche 9AµE con (A) 6= ; t.c.  µ limitato inferiormente o superiormente su A e 77
  • 81. Ts:  µ continuo eDimMettiamoci nel caso in cui  µ limitato superior. su A. Ci proponiamo di trovare un eintorno di E su cui  µ limitato seguirµ quindi dal teorema 2.2.2 la continuitµ di . Per e a aipotesi 90 2 (A) consideriamo allora A¡0 che per il corollario 1.3.1 µ un intorno di eE ed inoltre per il corollario 1.4.9, su di esso  µ ancora limitato superior.. Per il teorema e1.3.3 si ha che 9U µ E intorno di E equilibrato tc U µ A¡0. Ovviamente  µ limitato esuperior. anche su U segue allora dal corollario 1.4.8 che  µ limitato su U, come volevasi. eSia adesso il caso in cui  µ limitato inferior. su A. Banalmente ¡ µ limitato superior. e esu A e quindi per il caso giµ trattato segue che ¡ µ continuo e pertanto segue dalla a eproprietµ 1.3.8 che  µ continuo. a ePropriet¶ 2.2.1 aSiano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T 2 (E F) continuoTs: Per ogni sottoinsieme A limitato in E linsieme T(A) µ limitato in F eDimSia AµE limitato e proviamo quindi che T(A) µ limitato. Preso quindi VµF intorno di eF , poich¶ per ipotesi T µ continuo allora per il teorema 1.2.5 T¡1 (V) µ un intorno di E e e ee quindi essendo A limitato ) 9  0 t.c. Aµ T¡1 (V) e quindi applicando loperatorelineare T ad ambo i membri si ha T(A)µT(T¡1(V))=T(T¡1 (V)) µ V.Teorema 2.2.3Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T 2 (E F); supponiamo che esista in Eun insieme limitato con interno non vuotoTs: Sono allora equivalenti: 78
  • 82. (1) T µ continuo e(2) Per ogni sottoinsieme A limitato in E linsieme T(A) µ limitato in F e(3) 9AµE insieme con (A) 6= ; t.c. T(A) µ limitato eDim (1))(2)Conseguenza immediata della proprietµ 2.2.1. aDim (2))(3)Per ipotesi 9A µ E limitato con (A) 6= ; segue allora dallipotesi che T(A) µ limitato. eDim (3))(1)Immediata per il teorema 2.2.2.Teorema 2.2.4Siano E ed F due spazi vettoriali topologici localmente convessi e siano quindi P1 e P2due famiglie di seminorme rispettivamente su E ed F, inducenti le rispettive topologie diE ed F; sia T 2 (E F) n XTs: T µ continuo , 8 2 P2 9k  0 e 91     n 2 P1 tc (T()) · k e i () 8 2E i=1Dim )Assegniamo unarbitraria seminorma  2 P2 e consideriamo la semisfera ( E  1) che µ eun intorno di F ed essendo per ipotesi T continuo allora per il teorema 1.2.5 segue cheT¡1 (( E  1)) µ un intorno di E e quindi per il teorema 1.3.9 si ha che: e n 9  0 e 1      n 2 P1 tc (i  0  ) µ T¡1(( E  1)) (2.3) i=1Consideriamo 1     n e proviamo che assieme ad unopportuna costante k sono leseminorme richieste dalla tesi. Consideriamo un generico  2E, ed osserviamo che essendo 79
  • 83. per de¯nizione le seminorme non negative, si possono allora veri¯care i seguenti due casi: n X (a) i () = 0 i=1 Xn (b) i ()  0 i=1Supponiamo che valga il caso (a) e quindi i () = 0 8= 1     n, segue alloradallomegeneit¶ delle seminorme che i (r) = 0 a 8i = 1     n e 8r 2IN ) r 2T i=1 (i  E  ) 8r 2 IN e quindi per la 2.3 segue che r 2 T¡1 (( F  1)) 8r 2IN ) (T(r))  1 8r 2 IN, segue dalla linearit¶ di T e dalla omogeneit¶ di  che a a 1(T())  r 8r 2 IN e quindi passando al limite per r! 1 otteniamo che (T()) = 0.E quindi in questo caso la tesi vale per ogni costante k 0. Supponiamo adesso chevalga il caso (b). In queste condizioni tenendo presente la linearit¶ delloperatore T ae lomogeneit¶ della seminorma , la nostra tesi equivale a provare che esiste k 0 a µ µ ¶¶ µ ¶apportuno tale che  T Pn  · 1 cioµ T e Pn  2 ( F  1) ovvero k i=1 i () k i=1 i () T Pn  2 T¡1(( F  1)) e questo per la 2.3 µ vero se k Pn  i () 2 n (i  E  ) ek  () i=1 i=1 i i=1 µ ¶ Pn cioµ se j e k  ()   8j = 1    n e per lomogeneit¶ delle j questo µ vero se e solo a e i=1 ise k Pj () i ()   8j = 1    n ed a±nch¶ tale a®ermazione sia vera, evidentemente basta n  e i=1 1scegliere k 0 tale che k  .Dim (Per il teorema 2.2.1 µ su±ciente a provare che T µ continuo nellorigine. Sia VµF un e eintorno di F e proviamo quindi che esiste UµE intorno di E t.c. T(U)µV. Per il teorema1.3.10 possiamo supporre che P2 sia saturata e pertanto segue dal teorema 1.3.11 che: 9 2 P2 e   0 tc ( F  ) µ V (2.4) 80
  • 84. Per ipotesi in corrispondenza alla seminorma  si ha che: n X 9k  0 e 1     n 2 P1 tc (T()) · k i () 8 2 E (2.5) i=1scegliamo: n µ ¶  U :=  i  E  i=1 nke proviamo che T(U)µ ( F  ) seguir¶ allora dalla 2.4 che T(U)µV. Sia  2 T(U) ) a 9 2 U tc  = T(). Poich¶  2 U ) i ()  e nk 8i = 1     n e quindi per la 2.5segue che: n X n X  kn () = (T()) · k i()  k = = i=1 i=1 nk nkcioµ  2 ( F  ) come volevasi. eTeorema 2.2.5Siano (E,k ¢ kE ) ed (F,k ¢ kF ) due spazi normati; sia T 2 (E F)Ts: Sono allora equivalenti:(1) T µ continuo e(2) 9k ¸ 0 tc kT()kF · kkkE 8 2E(3) T µ lipschitziano eDim(1))(2)Conseguenza immediata del teorema 2.2.4.Dim(2))(3)Conseguenza della linearitµ di T e dellipotesi. aDim(3))(1)Conseguenza della proprietµ 1.2.10. a 81
  • 85. Teorema 2.2.6Sia E spazio vettoriale topologico; sia F spazio vettoriale topologico localmente convesso esia quindi fi gi2I famiglia di seminorme su F inducente la topologia di F; sia T 2 (E F)Ts: T µ continuo , 9f­i gi2I in F t.c. i (­i ) limitato in IR e (T¡1 (­i )) 6= ; 8i 2 I eDim )Fissato un i2I, scegliamo ­i := (i  F  1). Per costruzione i ()  1 8 2 ­i ) i(­i )limitato in IR. Linsieme T¡1 (­i ) µ non vuoto, poich¶ almeno E 2 T¡1 (­i ), inoltre à e eessendo T continuo allora T¡1(­i) µ un aperto e quindi (T¡1(­i )) = T¡1(­i ) 6= ;. eDim (Teniamo presente che per il teorema 1.3.10 µ lecito supporre che la famiglia di seminorme einducente la topologia di F sia saturata. Per il teorema 2.2.1 µ su±ciente dimostrare che eloperatore T µ continuo nellorigine, sia quindi VµE un intorno di F e proviamo che eesiste UµE intorno E tale che T(U)µV. Per la proprietµ 1.3.5 segue che: a 9W µ F intorno di F equilibrato tc W + W µ V (2.6)Per il teorema 1.3.11 segue che: 9i 2 I e   0 tc (i  F  ) µ W (2.7)Per ipotesi i (­i ) µ limitato e quindi 9M  0 tc i ()  M e 8 2 ­i cioµ ­i µ e(i  F  M), per la proprietµ 1.3.13, per la 2.7 osserviamo che: a µ ¶ M M M ­i µ (i  F  M) =  i  F   = (i  F  ) µ W (2.8)   Per ipotesi 90 2 (T¡1(­i)) segue allora dal corollario 1.3.1 che T¡1 (­i ) ¡ 0 µ un eintorno di E . Per la proprietµ 1.3.3 W µ radiale in F e quindi sicuramente: a e  90   · 1 tc ¡  T(0 ) 2 W (2.9) M 82
  • 86. Scegliamo:  ¡1   U :=  (T (­i ) ¡ 0 ) =  T¡1 (­i ) ¡  0 M M Mche per la proprietµ 1.3.2 µ un intorno di E . E quindi in de¯nitiva per la 2.6, per la 2.8, a eper la 2.9 e per la linearit¶ di T si ha: a     T(U) =  T(T¡1 (­i )) ¡  T(0) µ  ­i ¡  T(0 ) µ W + W µ W + W µ V M M M MCorollario 2.2.2Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia (F,) uno spazio seminormato; sia T 2 (E F)Ts: T µ continuo , 9­ µF limitato t.c. (T¡1 (­)) 6= ; eDimConseguenza immediata del teorema 2.2.6 e del teorema 1.3.15.Teorema 2.2.7Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia  : E ! IK un funzionale lineare non nullo esupponiamo che 9 2 IK t.c. ¡1 () µ chiuso eTs:  µ continuo eDimFacciamo uso del corollario 2.2.2. Scegliamo ­ := f 2 IK : jj  1g che µ banalmente elimitato. Evidentemente () µ un chiuso infatti ¯ssato 0 2 ¡1 () allora per la eproprietµ 1.4.2 segue che ¡1() = 0 +() ) () = ¡1 () ¡ 0 e quindi per il ateorema 1.3.1 segue che () µ chiuso. Osserviamo che ¡1 (­) = f 2 E : j()j  1g ee quindi () µ ¡1(­). Per la proprietµ 1.4.15 90 2 E tc (0) = 1 ) a 0 62¡1 (­) ) 0 62 () che µ chiuso e pertanto segue che 0 non µ di aderenza per e e() e da questo assieme alla proprietµ 1.3.1 ed al teorema 1.3.3 segue che: a 9U µ E intorno di E equilibrato tc (0 + U) () = ; (2.10) 83
  • 87. Ci proponiamo di provare che U µ ¡1 (­) da cui seguir¶ che ¡1 (­) µ un intorno di E a ee che quindi (¡1(­)) 6= ;. Sia  2U e supponiamo per assurdo che  62 ¡1(­) )j()j ¸ 1. Consideriamo allora il vettore: 1 0 =  0 ¡  ()essendo U equilibrato allora 0 2 0 +U ed inoltre per la linearitµ di  segue che 0 2 a() e quindi 0 2 (0 + U) () in contraddizione con la 2.10.Teorema 2.2.8Sia (E, ) spazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia F spazio vettoriale topologicolocalmente convesso e -compatto; sia T 2 (E F) chiuso e t.c. T¡1 () compatto 8 2 FTs: 8 0 topologia vettoriale su E t.c.  ·  0 e (E, 0 ) µ di Baire allora T µ  0 -continuo e eDimPer il teorema 1.3.12 9figi2I famiglia di seminorme su E inducente la topologia di F. Peripotesi esiste fKn gn2IN famiglia di compatti di F che ricopre F, osserviamo allora che: Ã ! ¡1 ¡1 [ [ E = T (F) = T Kn = T¡1 (Kn ) (2.11) n2IN n2INFissato n2 IN allora per il teorema 1.2.11 linsieme T¡1(Kn ) µ un compatto ed essendo eper ipotesi E di Hausdor® allora per la proprietµ 1.2.1 T¡1 (Kn ) µ un chiuso e poich¶ a e e ·  0 allora µ anche  0 -chiuso. Inoltre osserviamo che ¯ssato i2I e un n2 IN per la eproprietµ 1.2.2 e per la proprietµ 1.3.14 segue che i (Kn ) µ compatto in IR e quindi per a a eil teorema 1.3.21 µ in particolare limitato. Per ipotesi E µ  0 -di Baire e quindi per la e e2.11 deve necessariamente esistere un n 2 IN tc  0 (T¡1(Kn )) 6= ;. Per ogni i2Iponiamo ­i = Kn , si ottiene cosµ una famiglia f­i gi2I in F t.c. i (­i ) limitato in IR e ³ 0 (T¡1 (­i )) 6= ; 8i 2 I segue allora dal teorema 2.2.6 che T µ  0 -continuo. e 84
  • 88. De¯nizione 2.2.1Siano E ed F spazi vettoriali topologici, denotiamo allora con L(E,F) linsieme di tuttigli operatori lineari e continui da E in F. Per la proprietµ 1.4.1 e per la proprietµ 1.3.8 a alinsieme L(E,F) µ un s.sp.vett. di FE . Nel caso particolare in cui F=IK allora L(E,F) eusualmente si denota con il simbolo E¤ , e prende il nome di duale topologico di E.De¯nizione 2.2.2Siano (E,k ¢ kE ) ed (F,k ¢ kF ) spazi normati, vogliamo allora veri¯care che L(E,F) si puµ origuardare come spazio normato. Fissato un T2 L(E,F) per il teorema 2.2.5 segue che: 9k  0 tc kT()kF · kkkE 8 2 E (2.12)e quindi: kT()kF · k 8 2 E n fE g kkEpassando al sup otteniamo la quantitµ: a kT()kF T := sup ·k 2EnfE g kkEe pertanto il numero T per costruzione µ il piµ piccolo valore che puµ assumere la costante e u ok a±nchµ sia valida la relazione 2.12 ovvero sempre per il teorema 2.2.5 T µ la piµ piccola e e ucostante di lipschitz, per loperatore lineare e continuo T. Si veri¯ca facilmente che: kT()kF T := sup = sup kT()kF = sup kT()kF 2EnfE g kkE kkE ·1 kkE =1Inoltre si veri¯ca agevolmente che al variare di T in L(E,F) le quantitµ T costituisce auna norma su L(E,F) che denotiamo con k ¢ kL(EF) , che prende il nome di normaoperatoriale. 85
  • 89. 2.3 Criteri per operatori e funzionali lineari aperti In questo paragrafo ci proponiamo di dare e di ricercare le condizioni a±nch¶ un eoperatore lineare sia aperto, a seconda degli spazi in cui esso µ de¯nito. eTeorema 2.3.1Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T:E!F un operatore lineareTs: T µ aperto , 8U µE intorno di E allora T(U) µ un intorno di F e eDim )Conseguenza immediata del teorema 1.2.9.Dim (Preso AµE aperto dobbiamo provare che T(A) µ intorno di ogni suo punto. Sia quindi e0 2T(A) ) 90 2A t.c. 0 = T(0 ). Poich¶ 0 2A allora essendo A aperto ) che eA µ intorno di 0 e quindi segue dalla proprietµ 1.3.1 che esiste UµE intorno di E t.c. e a0 + U = A, per la linearit¶ di T si ha T(A)=T(0 )+T(U)=0 +T(U) e poich¶ per ipotesi a eT(U) µ un intorno di F segue allora dalla proprietµ 1.3.1 segue che T(A) µ intorno di 0 . e a eTeorema 2.3.2Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T:E!F un operatore lineare; supponiamoche 9A µE limitato t.c. (T(A)) 6= ;Ts: T µ aperto eDimPreliminarmente facciamo osservare che esiste un limitato di E che viene trasformato daT in un intorno di F . Poich¶ (T(A)) 6= ; ) 90 2 A t.c. T(A) µ intorno di T(0 ) e esegue allora dal corollario 1.3.1 e dalla linearitµ di T che T(A) ¡ T(0 ) = T(A ¡ 0 ) aµ un intorno di F . Scegliamo allora V:=A¡0 che per la proprietµ 1.3.12 µ limitato.e a e 86
  • 90. Possiamo dimostrare adesso che T µ aperto. Facciamo uso del teorema 2.3.1 e proviamo eche T trasforma intorni dellorigine in intorni dellorigine. Sia quindi UµE un intorno di 1E . Per la limitatezza di V in corrispondenza ad U si ha che 9  0 t.c. Vµ U)  VµUe quindi applicando loperatore T, tenendo conto della sua linearitµ otteniamo: a 1 T(V) µ T(U) (2.13)  1Essendo T(V) intorno di F , per la proprietµ 1.3.2 segue che  T(V) µ un intorno di F e a equindi per la 2.13 anche T(U) µ un intorno di F . eTeorema 2.3.3Siano E ed F due spazi vettoriali topologici e supponiamo che esista un sottoinsieme diE limitato con interno non vuoto sia T:E!F un operatore lineareTs: T µ aperto , 9A µE limitato t.c. (T(A)) 6= ; eDim )Per ipotesi esiste AµE limitato con (A) 6= ;. Poich¶ (A) µ A allora: e T((A)) µ T(A) (2.14)Osserviamo che (A) µ un aperto ed µ non vuoto per ipotesi e quindi essendo T aperto e esegue che T((A)) µ un aperto non vuoto e pertanto passando allinterno nella 2.14 eotteniamo ; 6= T((A)) µ (T(A)) ) (T(A)) 6= ;.Dim (Conseguenza immediata del teorema 2.3.2.Teorema 2.3.4Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e sia quindi fi gi2I una famiglia 87
  • 91. di seminorme su E, inducente la topologia di E; sia F uno spazio vettoriale topologico;sia T:E!F operatore lineareTs: T µ aperto , 9f­i gi2I famiglia in E t.c. i(­i ) limitato in IR e (T(­i )) 6= ; 8i 2 I eDim )Fissato i2I, scegliamo ­i := (i  E  1). Per costruzione i ()  1 8 2 ­i cioµ i (­i ) µ e elimitato in IR ed inoltre linsieme T(­i ) µ non vuoto, poich¶ almeno F 2 T(­i ). Essendo e eper ipotesi T aperto allora T(­i ) µ un aperto e quindi (T(­i )) = T(­i ) 6= ;. eDim (Per provare che T µ aperto, facciamo uso del teorema 2.3.1 e proviamo quindi che etrasforma intorni dellorigine in intorni dellorigine. Facciamo osservare che per il teorema1.3.10 non µ restrittivo supporre che la famiglia di seminorme fi gi2I sia saturata. Sia equindi UµE un arbitrario intorno di E , segue allora dal teorema 1.3.11 che: 9  0 e i 2 I tc (i  E  ) µ U (2.15)Essendo per ipotesi i (­i ) limitato in IR ) 9  0 t.c. i ()   8 2 ­i cioµ: e ­i µ (i  E  ) (2.16)Inoltre per ipotesi (T(­i )) 6= ; ) 90 2 (T(­i)) ) T(­i ) intorno di 0 segueallora dal corollario 1.3.1 che T(­i ) ¡ 0 µ un intorno di E . Poich¶ 0 2 (T(­i )) µ e eT(­i ) ) 90 2 ­i t.c. 0 = T(0). Per la proprietµ 1.3.13 segue che: a 9  0 tc (i  ¡0  ) µ (i  E  ) (2.17)E quindi per 2.15, 2.16, 2.17 e per la proprietµ 1.3.13, si osserva che: a ­i ¡ 0 µ (i  E  ) ¡ 0 = (i  ¡0  ) µ (i  E  ) = Ã !    =  i  E   = (i  E  ) µ U    88
  • 92. e pertanto applicando loperatore lineare T otteniamo che T(­i ) ¡ 0 µ  T(U) e quindi  essendo T(­i) ¡ 0 un intorno di F segue che  T(U) µ un intorno di F , segue allora edalla proprietµ 1.3.2 che T(U) µ un intorno di F . a eTeorema 2.3.5Sia (E,E ) uno spazio vettoriale topologico e supponiamo che esista in E un insiemelimitato con interno non vuoto; sia (F,F ) uno spazio vettoriale topologico; sia T:E!Foperatore lineare e supponiamo che 9© : E ! F operatore surgettivo e chiuso tale che:() 90 2 F tc ©¡1(0 ) µ limitato e() ©¡1 () µ T¡1() 8 2 FTs: T µ aperto eDimPer ipotesi esiste AµE limitato con (A) 6= ;, allora ¯ssato 0 2 (A) poniamo U:=(A)¡0 che per il corollario 1.3.1 e per la proprietµ 1.3.12 µ un intorno aperto e limitato a edi E . Poich¶ per lipotesi () la ¯bra ©¡1 (0 ) µ un limitato allora in corrispondenza e edellintorno U di E 9  0 t.c. ©¡1 (0 ) µ U e quindi posto ­ := U per il teorema1.3.1 e per la proprietµ 1.3.12 µ un aperto limitato ed µ tale che ©¡1(0 ) µ ­. Ci a e eproponiamo di dimostrare che (T(­)) 6= ; e quindi seguir¶ dal teorema 2.3.2 che T µ a eaperto. Consideriamo W := F n ©(E n ­) che µ aperto essendo per ipotesi © chiuso ed µ e enon vuoto poichµ per la proprietµ 1.2.3 almeno 0 2 W. Veri¯chiamo adesso che: e a W µ T(­) (2.18)Sia  2 W segue allora dalla proprietµ 1.2.3 che ©¡1() µ ­ e poich¶ per lipotesi a e() ©¡1 () µ T¡1() allora ©¡1 () µ ­ T¡1() e quindi essendo per la suriettivit¶ di © alinsieme ©¡1 () 6= ; segue che ­T¡1 () 6= ; ) 9 2 ­T¡1 () )  = T() 2 T(­). 89
  • 93. E quindi in conclusione essendo W un aperto non vuoto di F allora passando allinternonella 2.18 otteniamo ; 6= W µ (T(­)) ) (T(­)) 6= ; come volevasi.Teorema 2.3.6Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso e -compatto; sia (F, ) unospazio vettoriale topologico di Hausdor®; sia T:E!F lineare continuo e surgettivoTs: 8 0 topologia vettoriale su F t.c.  ·  0 e (F, 0 ) µ di Baire allora T µ  0 -aperto e eDimPer il teorema 1.3.12 esiste fi gi2I famiglia di seminorme su E, inducente la topologia diE. Per ipotesi esiste fKn gn2IN famiglia di compatti di E che ricopre E e quindi: Ã ! [ [ F = T(E) = T Kn = T(Kn ) (2.19) n2IN n2INFissato n2 IN allora per la proprietµ 1.2.2 linsieme T(Kn ) µ un compatto ed essendo per a eipotesi F di Hausdor® allora per la proprietµ 1.2.1, T(Kn ) µ un chiuso e poich¶  ·  0 a e eallora µ anche  0 -chiuso. Inoltre osserviamo che ¯ssato i2I e un n 2 IN per la proprietµ e a1.2.2 e per la proprietµ 1.3.14 segue che i (Kn ) µ compatto in IR e quindi per il teorema a e1.3.21 µ in particolare limitato. Per ipotesi F µ  0 -di Baire e quindi dalla 2.19 segue che e eesiste n 2 IN tc  0 (T(Kn )) 6= ;. Per ogni i2I poniamo ­i = Kn , si ottiene cosµ una ³famiglia f­igi2I in E tale che i (­i ) limitato in IR e  0 (T(­i ) 6= ; 8i 2 I segue alloradal teorema 2.3.4 che T µ  0 -aperto. e 90
  • 94. 2.4 Prolungamento per continuit¶ ad operatori a lineari. Teorema di Nachabin. Teoremi di Hahn- Banach. Teoremi di separazioneTeorema 2.4.1Siano (E k ¢ kE ) ed (F k ¢ kF ) spazi normati; sia ­ µE non vuoto; sia U 2 F­ continuoTs: Sono allora equivalenti:(1) 9!T : (­) ! F operatore lineare e continuo tc Tj­ ´ U ° n ° ° n ° °X ° °X °(2) 9k  0 tc ° i U(i )° · k ° i i ° ° ° ° ° 81      n 2 ­ e 81      n 2 IK ° ° ° ° i=1 F i=1 EDim (1))(2)Per comodit¶ poniamo G := (­). Fissati ad arbitrio 1      n 2 ­ e 1      n 2 IK aallora per la linearit¶ di T e per il teorema 2.2.5 segue che: a ° n ° ° n ° ° Ã n !° ° n ° °X ° °X ° ° X ° °X ° ° ° ° ° ° i i ° · kTkL(GF) ° i i ° ° ° ° i U(i )° = ° i T(i )° = °T ° ° ° ° ° ° ° ° ° i=1 F i=1 F i=1 F i=1 Ee quindi posto k := kTkL(GF) si ha quanto voluto.Dim (2))(1)Per comodit¶ poniamo G := (­). Per il teorema 1.1.4 9A µ G base di Hamel per G aed ovviamente A µ ­. E quindi teniamo presente che preso ad arbitrio  2G allora: n X 9       2 A e 9       2 IK tc  = 1 n 1 n    i i (2.20) i=1Se consideriamo UjA allora per il teorema 1.4.3 segue che: 9T : G ! F operatore lineare tc T() = U() 8 2 A (2.21) 91
  • 95. Veri¯chiamo che T µ un prolungamento di U, cioµ che T coincide con U su tutto ­. Sia e e 2 ­ allora per la 2.20, per la linearit¶, per la 2.21 e dallipotesi osserviamo che: a ° Ã n ! ° ° n ° ° X ° °X ° ° i i ¡ U()° = ° i T(i ) ¡ U()° =   ° °   kT() ¡ U()kF = °T ° ° ° ° ° i=1 i=1 ° n ° F ° n ° F °X ° °X ° = °  U( ) ¡ U()° · k °   ¡ ° = ° i i ° ° i i ° ° ° ° ° i=1 F i=1 E = kk ¡ kE = kkE kE = k0 = 0e quindi kT() ¡ U()kF = 0 ) T() ¡ U() = F ) T() = U(). Veri¯chiamo cheT µ continuo. Per la 2.20, per la linearit¶ di T, per la 2.21 e dallipotesi segue che: e a ° Ã n !° ° n ° ° n ° ° X   ° °X ° °X ° ° ° °   ° °   ° kT()kF = °T i i ° = ° i T(i )° = ° i U(i )° · ° ° ° ° ° ° i=1 F i=1 F i=1 F ° n ° °X ° · k °  ° = kkkE 8 2 G ° i i° ° ° i=1 Esegue allora dal teorema 2.2.5 che T µ continuo. e Ci rimane da veri¯care lunicit¶ adelloperatore lineare T. Supponiamo quindi che 9S 2 L(G F) t.c. Sj­ ´ U essendoTj­ ´ U e Sj­ ´ U ) Tj­ ´ Sj­ segue allora dalla proprietµ 1.4.11 che T ´ S. aTeorema 2.4.2Sia (E k ¢ kE ) uno spazio normato; sia (F k ¢ kF ) uno spazio di Banach; sia GµE unsottospazio vettoriale; sia S:G!F un operatore lineare e continuoTs: 9!T : G ! F operatore lineare e continuo tc TjG ´ S e kTkL(GF) = kSkL(GF)Dim Fissato  2 G allora per il teorema 1.2.4 esiste fn gn2IN in G convergente ad . Per la proprietµ 1.2.5 la successione fn gn2IN µ di Cauchy e quindi per la linearit¶ di S e per il a e ateorema 2.2.5 osserviamo che:       kS(n ) ¡ S(m )kF = kS(n ¡ m )kF · kSkL(GF) kn ¡ m kE 8n m 2 IN 92
  • 96. segue allora immediatamente che fS(n )gn2IN µ una succ. di Cauchy in F che µ completo e e per ipotesi e quindi 9 limn!1 S(n ). Veri¯chiamo che tale limite non dipende dalla scelta  della succ. in G convergente ad . Siano quindi fn gn2IN e fn gn2IN due succ. in Gconvergenti ad , osserviamo allora per la linearit¶ di S e per il teorema 2.2.5 che: a       kS(n ) ¡ S(n )kF = kS(n ¡ n )kF · kSkL(GF) kn ¡ n kE 8n 2 IN  di conseguenza passando al limite per n ! 1 otteniamo limn!1 kS(n ) ¡ S(n )kF = 0  e questo per il teorema 1.3.16 signi¯ca che limn!1 [S(n ) ¡ S(n )] = F abbiamo giµ a osservato che esiste il limite della successione fS(n )gn2IN ed analogamente si veri¯ca che esiste il limite della successione fS(n )gn2IN e quindi per la proprietµ 1.3.6 vale che il a limite della somma µ uguale alla somma dei limiti e pertanto segue che limn!1 S(n ) = e limn!1 S(n ) come volevasi. Consideriamo allora loperatore:  T : G ! F con T() := n!1 S(n ) 8 2 G lim (2.22)che per quanto suddetto risulta essere ben posto. Veri¯chiamo la linearit¶ di T. Siano a  2 G e   2 IK segue allora della linearit¶ di S e dalla proprietµ 1.3.6 che: a a     T( + ) = lim S(n + n ) = n!1[S(n ) + S(n ] = lim n!1   =  n!1 S(n ) +  n!1 S(n ) = T() + T() lim limVeri¯chiamo che T µ continuo. Essendo S continuo allora per il teorema 2.2.5 segue che e  kS(n )kF · kSkL(GF) kn kE 8n 2 IN e 8 2 G e quindi per la proprietµ 1.3.14 e per il ateorema 1.2.7 passando al limite per n ! 1 otteniamo: kT()kF · kSkL(GF)kkE 8 2 G (2.23)segue dal teorema 2.2.5 che loperatore T µ continuo. Veri¯chiamo adesso che T µ un e eprolungamento di S. Fissato  2G, essendo S continuo segue allora dal teorema 1.2.7 93
  • 97. che limn!1 S(n ) = S() e pertanto dalla 2.22 e dal teorema 1.2.1 segue che T() =S(). Veri¯chiamo adesso che kTkL(GF) = kSkL(GF). Dalla 2.23 in particolare sulla sferaunitaria si ha che kT()kF · kSkL(GF) 8 2 G con kkE · 1 e quindi passando al sup anorma di de¯nizione si ha kTkL(GF) · kSkL(GF) . La diseguaglianza inversa µ immediata, einfatti avendo gi¶ osservato che T µ un prolungamento di S allora si ha che: a e kT()kF kT()kF kS()kF kTkL(GF) := sup ¸ sup = sup =: kSkL(GF) 2GnfE g kkE 2GnfE g kkE 2GnfE g kkEIn¯ne dobbiamo veri¯care lunicit¶ del prolungamento T. Supponiamo quindi che esista aU : G ! F operatore lineare e continuo tale che UjG ´ S. Fissato  2 G allora per il  teorema 1.2.7 osserviamo che limn!1 S(n ) = limn!1 U(n ) = U() e pertanto dalla 2.22e dal teorema 1.2.1 segue che T() = U().Corollario 2.4.1Sia (E k ¢ kE ) uno spazio normato; sia (F k ¢ kF ) uno spazio di Banach; sia­ µE un sottoinsieme non vuoto; sia U:­ !F un operatore continuo t.c. Pn Pn9k  0 tc k i=1 i U(i )kF · k k i=1 i ikE 81      n 2 ­ e 81     n 2 IKTs: 9T : (­) ! F operatore lineare e continuo tc Tj­ ´ U Il risultato seguente dovuto al matematico Nachabin [6], ci assicura che un operatorelineare e continuo de¯nito su un s.sp.vett. di un dato spazio normato ed a valori in unospazio di tipo M ammette un prolungamento lineare e continuo che preserva la norma.Tuttavia ci si accorge che tale teorema presenta scarsi riscontri vista la ristrettezza dellaclasse degli spazi di tipo M. Un esempio di tale inconveniente si ottiene considerandocome spazio di arrivo il corpo C, che come gia osservato in precedenza non µ di tipo M e I equindi in tal caso il teorema di Nachabin non puµ essere applicato, ma la tesi continua a ovalere grazie al teorema di Hahn-Banach per gli spazi normati, che µ trattato di seguito. e 94
  • 98. Lemma 2.4.1Siano (E k ¢ kE ) ed (F k ¢ kF ) due spazi normati; sia GµE un s.sp.vett. proprio; sia quindi0 2 E n G e poniamo W := (G [ f0 g); sia S:G!F un operatore lineare e continuoTs: Sono allora equivalenti:(1) 9T : W ! F operatore lineare e continuo tc TjG ´ S e kTkL(WF) = kSkL(GF) ³ ´(2) La famiglia B := f S() kSkL(GF) k0 ¡ kE :  2 Gg ha intersezione non vuotaDim (1))(2)Poniamo 0 = T(0 ) allora dallipotesi e per il teorema 2.2.5 osserviamo che: k0 ¡ S()kF = kT(0 ) ¡ T()kF = kT(0 ¡ )kF · kTkL(WF) k0 ¡ kE = = kSkL(GF) k0 ¡ kE 8 2 G ³ ´cioµ 0 2  S() kSkL(GF) k0 ¡ kE e 8 2 G ovvero 0 2 2B  ) 2B  6= ;.Dim (2))(1)Poich¶ 0 62 G segue che G f0 g = ; e quindi essendo G un sottospazio vettoriale allora enecessariamente deve essere che G (f0g) = fE g segue allora dal teorema 1.1.1che W = G © (f0 g) e quindi ogni vettore di W si puµ esprimere univocamente come osomma di un vettore di G e uno di (f0g) cioµ: e 8 2 W 9! 2 G e 9! 2 IK tc  =  +  0 (2.24) TPer ipotesi 2B  6= ; e quindi: 90 2 E tc k0 ¡ S()kF · kSkL(GF) k0 ¡ kE 8 2 G (2.25)Consideriamo allora loperatore: T : W ! F tc con T() = S( ) +  0 8 2 W 95
  • 99. che ovviamente µ ben posto per lunivocit¶ di rappresentazione 2.24. Veri¯chiamo che T e aµ lineare. Siano   2W e   2 IK e quindi per lunivocit¶ di rappresentazione 2.24 ee aper la linearit¶ di S segue che: aT( + ) = T(( +  0 ) + ( +  0 )) = T( +  0 +  +  0 ) = = T(( +  ) + ( +  )0 ) = S( +  ) + ( +  )0 = = S( ) + S( ) +  0 +  0 = [S( ) +  0 ] + [S( ) +  0 ] = = T() + T()Veri¯chiamo la continuit¶ di T e per fare ciµ dimostriamo che: a o kT()kF · kSkL(GF) kkE 8 2 W (2.26)e quindi seguir¶ dal teorema 2.2.5 che T µ continuo. Fissato  2W allora per la 2.24 µ a e edel tipo  =  +  0 per opportuni  2G e  2 IK, consideriamo allora il caso in cui = 0 ed il caso in cui  6= 0. Se  = 0 allora per il teorema 2.2.5 segue che: kT()kF = kS( ) +  0 kF = kS( )kF · kSkL(GF) k kE = = kSkL(GF) k +  0 kE = kSkL(GF) kkESe  6= 0 allora per la linearit¶ di S, per la 2.25 e per il teorema 2.2.5 segue che: a ° ° ° µ ¶ ° ° S( ) ° ° ° kT()kF ° = kS( ) +  0kF = j j °  ° °S  + 0 ° = + 0 ° = j j ° °  ° ° F  F ° µ ¶° ° µ ¶° °  ° °  ° = j j °0 ¡ S ¡ ° ° · j j °0 ¡ ¡ ° =  °F °  °E ° ° °  ° °0 +  ° = kSkL(GF) k 0 +  kE = = j jkSkL(GF) ° °  E = kSkL(GF) kkEProviamo che T µ un prolungamento di S. Sia  2G e quindi per la 2.24 µ del tipo e e =  +  0 per opportuni  2G e  2 IK ed osservando che banalmente  =  + 00 96
  • 100. allora per lunicit¶ di rappresentazione deve necessariamente essere che  = 0 e quindi: a T() = S( ) + 00 = S( ) = S( + 00) = S()Ci rimane da provare che kTkL(WF) = kSkL(GF). Dalla 2.26 in particolare sulla sferaunitaria si ha che kT()kF · kSkL(GF) 8 2 W con kkE · 1 e quindi passando al supsulla sfera unitaria a norma di de¯nizione si ha kTkL(WF) · kSkL(GF) . Viceversa avendogiµ osservato che T µ un prolungamento di S si ha allora che: a e kT()kF kT()kF kS()kF kTkL(WF) := sup ¸ sup = sup =: kSkL(GF) 2WnfE g kkE 2GnfE g kkE 2GnfE g kkETeorema 2.4.3 (di Nachabin)Sia (E k ¢ kE ) uno spazio normato; sia (F k ¢ kF ) uno spazio normato di tipo M; sia GµEun sottospazio vettoriale; sia S:G!F un operatore lineare e continuoTs: 9T : E ! F operatore lineare e continuo tc TjG ´ S e kTkL(EF) = kSkL(GF)DimConsideriamo la famiglia: A := fU 2 L(GU  F) : GU µ E sspvett G µ GU  UjG = S kUkL(GU F) = kSkL(GF) gche ovviamente µ non vuota poich¶ almeno S2 A. Introduciamo in A la seguente relazione e eche si veri¯ca facilmente essere di ordine parziale: 8U V 2 A U · V , GU µ GV e VjGU = UVogliamo veri¯care che A con questo ordinamento ammette elemento massimale e quindifacendo uso del lemma di Zorn dobbiamo provare che ogni catena ammette maggiorante.Sia C una catena in A e proviamo quindi che ammette maggiorante. Poniamo [ ~~ GU := GU U2C 97
  • 101. poich¶ di due s.sp.vett. e qualsiasi che intervengono nellunione in questione uno µ e ~~ enecessariamente contenuto nellaltro, allora si desume agevolmente da ciµ che GU µ un os.sp.vett.. Consideriamo: ~ ~~ ~ ~~ U : GU ! F con U() = U() 8 2 GU e 8U 2C ~eVeri¯chiamo che U µ ben posto. Supponiamo che 9U V 2 C t.c.9 2 GU GV e proviamoquindi che U() = V(). Poich¶ U V 2 C allora U · V oppure V · U cioµ V µ un e e eprolungamento di U oppure U µ un prolungamento di V e quindi necessariamente deve e µ ~essere che U() = V(). E altrettanto immediato stabilire che U 2 A ed inoltre µ evidente e ~ e ~che U µ un prolungamento di qualunque U2 C cioµ che U · U 8U 2 C. Sono quindi esoddisfatte le ipotesi del lemma di Zorn e pertanto 9T 2 A elemento massimale. Vogliamoprovare che T µ proprio loperatore promesso dalla tesi e quindi evidentemente bisogna eprovare che GT = E. Supponiamo per assurdo che 90 2 E n GT 6= ; consideriamoallora il s.sp.vett. GV := (GT [ f0 g) ed ovviamente GT ½ GV per il fatto che0 62 GT . Ci proponiamo di costruire un prolungamento di T, de¯nito su GV e che stain A, e per fare ciµ adoperiamo il lemma 2.4.1. Fissato  2 GT poniamo per comoditµ o a := T() e r := kTkL(GT F)k0 ¡ kE . Consideriamo la famiglia di sfere chiuse di FB := f(  r ) :  2 GT g e proviamo quindi che ha intersezione non vuota e poich¶ eF µ uno spazio di tipo M, µ su±ciente provare che i membri di B sono a due a due e enon disgiunti. Presi   2 GT facciamo vedere quindi che (  r ) (  r ) 6= ;.Osserviamo che: r + r = kTkL(GTF) k0 ¡ kE + kTkL(GTF) k0 ¡ kE = = kTkL(GTF) (k0 ¡ kE + k0 ¡ kE ) ¸ ¸ kTkL(GTF) k(0 ¡ ) ¡ (0 ¡ )kE = 98
  • 102. = kTkL(GTF) k ¡ kE ¸ kT( ¡ )kF = = kT() ¡ T()kF = k ¡  kFcioµ la somma dei raggi non µ minore della distanza tra i centri delle sfere, di conseguenza e eper la proprietµ 1.3.17 le sfere (  r ) e (  r ) hanno intersezione non vuota. Segue aallora dal lemma 2.4.1 che 9V : GV ! F operatore lineare e continuo tc VjGT ´ T e kVkL(GV F) = kTkL(GT F)Osserviamo che V2 A infatti essendo G µ GT e VjGT ´ T allora VjG ´ TjG = S edinoltre kVkL(GV F) = kTkL(GTF) = kSkL(GF) . Poich¶ VjGT ´ T ) T · V e quindi per la emassimalit¶ di T deve necessariamente essere che T=V segue che GT = GV e siamo ad aun assurdo poich¶ GT era contenuto propriamente in GV . Ed il teorema µ dimostrato. e e Trattiamo adesso i fondamentali teoremi di Hahn-Banach [6] sul prolungamento deifunzionali lineari e continui. Tali teoremi hanno numerose applicazioni nella teoria deglispazi vettoriali topologici e normati.Lemma 2.4.2Sia E uno spazio vettoriale su IR; sia F½E un sottospazio vettoriale proprio; sia 0 2EnFe poniamo W:=(F [ f0g); sia :F! IR un funzionale lineare; sia  : E ! IR unfunzionale sub-additivo e positivamente omogeneo t.c. () · () 8 2FTs: 9 : W ! IR lineare t.c. jF ´  e () · () 8 2WDimOsserviamo che:() + () = ( + ) · ( + ) = ( ¡ 0 + 0 + ) · ( ¡ 0) + (0 + ) 8  2 F 99
  • 103. e quindi: () ¡ ( ¡ 0) · (0 + ) ¡ () 8  2 Fcioµ A:=f() ¡ ( ¡ 0 ) :  2 Fg e B:=f(0 + ) ¡ () :  2 Fg sono sottoinsiemi edi IR separati nel senso dellAnalisi I, e quindi per lassioma della completezza esiste unelemento separatore che separa A e B cioµ: e 9r 2 IR tc () ¡ ( ¡ 0 ) · r · (0 + ) ¡ () 8  2 F (2.27)Osserviamo che 0 62F e quindi essendo F un s.sp.vett., tutta la retta passante per loriginee per il punto 0 non µ contenuta in F, eccetto lorigine, cioµ F (f0 g) = fE g e e equindi essendo banalmente W = F + (f0 g), segue allora dal teorema 1.1.1 che ogni¯ssato  2W si puµ scrive in modo unico come  =  +  0 per un opportuno  2F oed un opportuno  2 IR, de¯niamo allora il funzionale: : W ! IR con () = ( ) + r 8 2 Wovviamente tale  µ ben posta per lunicit¶ di scrittura di ogni  2W. Vogliamo veri¯care e ache tale  µ il funzionale promesso nella tesi. Veri¯chiamo che  µ lineare. Fissati   2W e ee   2 IR, per costruzione della  e per la linearit¶ della f, si ha: a ( + ) = (( +  0 ) + (( +  0 )) = ( +  0 +  +  0) = = ( +  + ( +  )0 ) = ( +  ) + r( +  ) = =    = [( ) +  0 ] + [( ) +  0 ] = () + ()Veri¯chiamo che  ristretta ad F coincide con . Fissato un arbitrario  2F allora perlunicit¶ di rappresentazione necessariamente deve essere che  =  + 00 e pertanto a() = () + r0 = (). Per ¯nire veri¯chiamo che () · () 8 2W. Fissiamo un 100
  • 104.  2W che µ quindi del tipo  =  +  0 per opportuni  2F e  2 IR, e distinguiamo ei seguenti tre casi:  = 0   0 e   0. Nel caso  = 0 allora  =  + 00 =  2Fe quindi segue dallipotesi che () = () · (). Nel caso   0, osserviamo che() · () se e solo se ( ) + r · ( +  0 ), per la linearit¶ di  e per la positiva a ³ ´ ³ ´  omogeneit¶ di , dividendo ambo i membri per   0 si ha  a  +r ·   + 0 ³ ´ ³ ´   cioµ r ·  e  + 0 ¡   e questultima segue dalla 2.27, per  2F in luogo di z.Nel caso   0, osserviamo che () · () se e solo se ( ) + r · ( +  0), perla linearit¶ di f e per la positiva omogeneit¶ di , dividendo ambo i membri per ¡  0 a a ³ ´ ³ ´ ³ ´ ³ ´    si ha  ¡  ¡ r ·  ¡  ¡ 0 cioµ  ¡  ¡  ¡  ¡ 0 · r e questultima segue   e   dalla 2.27, per ¡  2F in luogo di y. Come volevasi dimostrare. Teorema 2.4.4 (di Hahn-Banach)Sia E uno spazio vettoriale su IR; sia FµE s.sp.vett.; sia :F! IR un funzionale lineare; sia : E ! IR un funzionale subadditivo e positivamente omogeneo t.c. () · () 8 2FTs: 9 : E ! IR lineare t.c. jF ´  e () · () 8 2EDimAssegnato un funzionale lineare  2 E0 allora denoteremo in seguito con Dom() ildominio di , che µ quindi un sottospazio vettoriale di E. Consideriamo la famiglia: e E := f 2 E0 : F µ Dom() jF =  e () · () 8 2 Dom()gche µ non vuota poich¶ almeno  2 E. Introduciamo in E la seguente relazione: e e 1 · 2 , Dom(1 ) µ Dom(2 ) e 2jDom(1 ) = 1si prova facilmente che tale relazione µ una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo everi¯care che (E ·) ammette elemento massimale e quindi facendo uso del lemma di Zorn 101
  • 105. dobbiamo provare che ogni catena ammette maggiorante. Sia C una catena arbitraria inE e proviamo quindi che C ammette maggiorante. Consideriamo linsieme: [ W := Dom() 2Cdimostriamo allora che tale insieme assieme ad un opportuno funzionale lineare costituisceun elemento di E e che µ il maggiorante della catena C cercato. Veri¯chiamo che W µ un e es.sp.vett. di E. Siano   2 IR e   2W ) 91  2 2 C t.c.  2 Dom(1 ) e  2 Dom(2 )ed ovviamente Dom(1 ) Dom(2) µ W ed inoltre essendo 1 e 2 confrontabili in quantoelementi della catena C, allora Dom(1 ) µ Dom(2 ) oppure che Dom(2 ) µ Dom(1 ),supponiamo ad esempio che Dom(1 ) µ Dom(2 ) ) x  y 2 Dom(2 ) ed essendoDom(2) un s.sp.vett. allora  +  2 Dom(2 ) µW come volevasi. De¯niamo quindiil funzionale: h : W ! IR con h() = () 8 2 Dom() e 8 2 Cche µ certamente ben de¯nito dal momento che se esistono 1  2 2 C tali che Dom(1) e eDom(2) contengono un  2W, allora per la confrontabilitµ di 1 e 2 dovrµ essere che a aDom(1) contiene Dom(2 ) o viceversa, supponiamo ad esempio che Dom(1) µ Dom(2 )allora per come µ stata de¯nita la relazione dordine dovrµ essere 2jDom(1 ) = 1 e quindi e aessendo  2 Dom(1 ) µ Dom(2) ) 1 () = 2 (). Il funzionale h2 E, infatti percostruzione FµW, h µ lineare, h ristretta ad F coincide con  e sempre per lo stesso emotivo h µ maggiorato su W da . Ci rimane da veri¯care che h µ un maggiorante per e ela catene C. Consideriamo un arbitrario  2 C e quindi per costruzione deve essereDom() µW e hjDom() =  )  · h ) h maggiorante per la catena C. Per illemma di Zorn possiamo dunque a®ermare che E ammette elemento massimale  2 E.Veri¯chiamo che Dom() = E e che quindi  µ il funzionale lineare promesso nella tesi. e 102
  • 106. ~Supponaimo per assurdo che 90 2 E n Dom() allora detto W := (Dom() [ f0 g) ~si ha chiaramente che Dom() ½ W, siamo quindi nelle ipotesi del lemma 2.4.2, che ~ ~ ~ eci assicura che 9 : W ! IR lineare t.c. jDom() coincide con  e che su tutto W µ ~ ~maggiorato da  e quindi  ·  e per la massimalit¶ di  deve essere  =  ) W = a e e ~Dom() che µ un assurdo poich¶ Dom() ½ W.Teorema 2.4.5 (di Hahn-Banach nella forma analitica classica)Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia FµE un sottospazio vettoriale; sia :F! IK unfunzionale lineare; sia  : E ! IR una seminorma t.c. j()j · () 8 2FTs: 9 : E ! IK lineare t.c. jF ´  e j()j · () 8 2EDimDistinguiamo rispettivamente il caso in cui IK = IR ed il caso in cui IK = C. Nel caso IIK = IR osserviamo che vale sempre () · j()j · () 8 2 F e quindi evidentementesono veri¯cate le ipotesi del teorema 2.4.4 che ci dice che: 9 : E ! IR lineare tc jF =  e () · () 8 2 Esegue allora da questa, dalla linearit¶ di  e dallomogeneitµ di , che: a a ¡() = ¡(¡) · ¡(¡) = () · () 8 2 Ee quindi ¡() · () · () 8 2 E ) j()j · () 8 2E e si ha la tesi. Siaadesso il caso in cui IK = C. In tale situazione consideriamo il funzionale  :=  che Iµ lineare per la proprietµ 1.4.25, ed inoltre osserviamo che:e a j()j = j()j · j()j · () 8 2 Fsiamo ricaduti nel caso precedente cioµ nel caso IK = IR e quindi possiamo sfruttare il erisultato gi¶ ottenuto e pertanto esiste  : E ! IR funzionale lineare t.c. jF =  e a 103
  • 107. j()j · () 8 2 E, consideriamo allora il funzionale complesso:  : E ! C con () := () ¡ () 8 2 E Iche per il corollario 1.4.10 µ lineare ed inoltre ristretto ad F coincide con , infatti per la eproprietµ 1.4.26 segue che: a () = () ¡ () = () ¡ () = () ¡ () = () 8 2 FCi rimane da veri¯care che  µ maggiorato da  su tutto lo spazio E. Si ricorda che dato eun numero complesso  2 C lo possiamo scrivere come  = jj = jj(cos  +  sin ) dove I µ largomento principale del complesso z. Ed inoltre si ricorda che j j = () 8 2 C. e IFissato ad arbitrio  2E allora per quanto detto () =  j()j e quindi: ³ ´ ³ ´ ¯ ³ ´¯ ³ ´ j()j = ¡ () =  ¡  =  ¡  · ¯ ¡  ¯ ·  ¡  = ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯¡ ¯ () = (¡)() = 0() = 1() = () ¯ ¯Corollario 2.4.2Sia E uno spazio vettoriale su IK; sia FµE un sottospazio vettoriale; sia AµE radiale in Ee assolutamente convesso; sia :F! IK un funzionale lineare t.c. j()j · 1 8 2 A FTs: 9 : E ! IK lineare t.c. jF ´  e j()j · 1 8 2ADimPer il corollario 1.1.11 il funzionale di Minkowsky A µ una seminorma. Per la proprietµ e a1.1.5 linsieme AF µ radiale in E in F (non in E) allora se andiamo a considerare in eF il funzionale di Minkowsky AF : F ! IR, questo altro non µ per de¯nizione che il efunzionale di Minkowsky in E associato ad A, ristretto F cioµ in simboli AF = AjF . Per eipotesi j()j · 1 8 2 A F e per la proprietµ 1.1.5 questo equivale ad a®ermare che a 104
  • 108. j()j · A () 8 2 F, sono quindi soddisfatte le ipotesi del teorema 2.4.5, che ci assicurache esiste un funzionale lineare  : E ! IK tale che jF =  e j()j · A () 8 2 E equindi per la proprietµ 1.1.5 questultima a®ermazione µ equivalente a j()j · 1 8 2 A. a eCorollario 2.4.3Sia E un IK-spazio vettoriale; sia  : E ! IR una seminorma; sia 0 2 E n fE gTs: 9 : E ! IK lineare t.c. (0 ) = (0 ) e j()j · () 8 2EDimAndiamo a considerare la retta che unisce 0 e E cioµ consideriamo F := (f0 g) che eµ un s.sp.vett. di E. Facciamo osservare che ogni vettore  2F si puµ scrivere in modoe ounico come  =  0 per un opportuno  2 IK. Andiamo adesso a de¯nire il funzionale:  : F ! IK tc () =  (0 ) 8 2 Fche µ chiaramente lineare. Facciamo osservare che (0) = 1(0) = (0 ). Tenendo econto della de¯nizione di  e del fatto che  µ una seminorma si ha: e j()j = j (0 )j = j j(0 ) = (0 ) = () 8 2 Fe quindi il modulo di  µ maggiorato sulla retta F da una seminorma , segue allora dal eteorema 2.4.5 che esiste  : E ! IK funzionale lineare t.c. jF =  e j()j · () 8 2E. Ed ovviamente (0) = (0 ) essendo jF =  e (0 ) = (0 ).Teorema 2.4.6 (di Hahn-Banach in forma geometrica)Sia E uno spazio vettoriale topologico; sia SµE una vartiet¶ a±ne; sia AµE un asottoinsieme non vuoto aperto e convesso t.c. A S = ;Ts: 9H µ E iperpiano chiuso t.c. SµH e A H = ; 105
  • 109. DimFacciamo osservare che un iperpiano H di E tale che H A = ;, deve essere chiuso infattise per assurdo non lo fosse allora necessariamente per il corollario 1.4.13 dovrebbe esseredenso e quindi per il teorema 1.2.3 si avrebbe che H A 6= ; assurdo. Sia dapprima Euno spazio vettoriale topologico reale. Fissato 0 2A consideriamo linsieme V:=A¡0che µ un aperto per il teorema 1.3.1 ed inoltre per costruzione E 2V e quindi V µ un e eintorno di E aperto e convesso. Poniamo inoltre T:=S¡0 che ovviamente µ ancora una evariet¶ a±ne e per la proprietµ 1.1.1 segue che: a a VT= ; (2.28)Nel caso considerato proviamo a monte lasserto per i traslati V e T. Consideriamo ilfunzionale di Minkowsky V associato a V che per la proprietµ 1.1.11 e per la proprietµ a a1.1.11 risulta essere rispettivamente positivamente omogeneo e sub-additivo. Fissato0 2T allora per la proprietµ 1.1.2 linsieme T¡0 µ un sottospazio vettoriale di E, a econsideriamo allora il sottospazio vettoriale F := ((T ¡ 0 ) [ f0g). Poich¶ E 2 V eallora per la 2.28 segue che E 62 T e quindi 0 62 T ¡ 0 infatti se per assurdo 0 2T ¡ 0 allora essendo T ¡ 0 un sottospazio vettoriale si avrebbe che ¡0 2 T ¡ 0 equindi E = 0 ¡ 0 2 0 + T ¡ 0 = T e siamo ad un assurdo. Quindi 0 62 T ¡ 0 epertanto essendo T ¡ 0 un sottospazio vettoriale deve necessariamente essere che (T ¡0 )) (f0 g) = fE g e quindi per il teorema 1.1.1 e per la proprietµ 1.1.7 segue che aF = (T ¡ 0) © (f0g) e questo per de¯nizione signi¯ca che il sottospazio T ¡ 0 hacodimensione 1 in F segue allora dal corollario 1.4.12 che: 9 : F ! IR funzionale lineare non nullo tc () = T ¡ 0 e (0 ) = 1 (2.29)Vogliamo provare che () · V () 8 2 F. Sia  2 F = (T¡0 )©(f0g) ) 9! 2 106
  • 110. T¡0 e 9! 2 IR tc  =  + 0 , dobbiamo provare che ( + 0 ) · V ( + 0 ) equesto per la linearit¶ di  equivale a provare che ( ) +  (0) · V ( +  0 ) ovvero aessendo  2 T¡0 = () e (0 ) = 1 che  · V ( + 0), se  · 0 allora essendoper de¯nizione il funzionale V non negativo, tale disuguaglianza µ evidente, mentre se e ³ ´   0 essa per la positiva omogeneit¶ di V µ equivalente a V a e  + 0 ¸ 1 e tale disuguaglianza per il teorema 1.3.6 µ vera se e solo se e  + 0 62 V e questa µ sicuramente e  vera, infatti essendo T¡0 un s.sp.vett. allora  2 T ¡ 0 ) 0 +  2 T e quindi per la 2.28 0 +  62 V. Siamo allora nelle ipotesi del teorema 2.4.4 che ci assicura che: 9 : E ! IR lineare tc jF ´  e () · V () 8 2 E (2.30)Ovviamente  µ non nullo infatti (0 ) = (0 ) = 1 6= 0. Consideriamo quindi liperpiano ereale ~ := ¡1(1) e veri¯chiamo che contiene T ed µ disgiunto da V. E evidente che T µ ~ I e µ Iinfatti per la 2.29, e per la proprietµ 1.4.7 e per la proprietµ 1.4.2 segue che: a a T = 0 + T ¡ 0 = 0 + () µ 0 + () = ¡1(1) =: ~ IE altrettanto evidente che V ~ = ; infatti se  2V allora per il teorema 1.3.6 segue cheµ IV ()  1 e quindi segue dalla 2.30 che ()  1 e pertanto  62 ~ Trasliamo adesso ad I.A ed S quanto ottenuto per V e T. Consideriamo I := ~ + 0 che per la proprietµ 1.4.23 I aµ ancora un iperpiano, veri¯chiamo quindi che tale iperpiano contiene S ed µ disgiuntoe eda A. Poich¶ T µ ~ ) S ¡ 0 µ ~ ) S µ ~ + 0 ) S µ I. Poich¶ V ~ = ; ) e I I I e I(A ¡ 0 ) ~ = ; segue allora dalla proprietµ 1.1.1 che A (~ + 0) = ; ) A I = ;. E I a Iquindi lasserto resta dimostrato nel caso IK = IR. Sia adesso il caso in cui E µ uno spazio e ~vettoriale topologico complesso. Fissato 0 2S poniamo S = S ¡ 0 che per la proprietµ a e ~1.1.2 µ un s.sp.vett.. Poniamo inoltre A := A ¡ 0 che µ un aperto per il teorema 1.3.1 e 107
  • 111. ed µ un convesso in quanto traslato di un convesso. Per la proprietµ 1.1.1 segue che: e a ~ ~ AS =; (2.31) ~ ~Nel caso considerato proviamo a monte lasserto per i traslati S e A. Se consideriamo E ~come spazio reale ed S come sottospazio reale allora a seguito di quanto dimostrato: ~ ~ 9I µ E iperpiano reale tc S µ I e A I = ; (2.32) ~Consideriamo allora H := I (I) che per il corollario 1.4.11 µ un iperpiano complesso e e ~ ~veri¯chiamo quindi che contiene S e che µ disgiunto da A. Per la 2.32 ed osservando che e~eS µ un s.sp.vett. segue che: ~ ~ S = S µ I (2.33) ~ ~ ~E quindi dalla 2.32 e dalla 2.33 segue che S µ H. Essendo H := I (I) µ I allora a ~ ~fortiori per la 2.32 segue che A H = ;. Trasliamo adesso ad A ed S quanto ottenuto ~ ~ ~per A e S. Consideriamo H := H + 0 che per la proprietµ 1.4.23 µ ancora un iperpiano a e e~ ~ ~e veri¯chiamo che contiene S ed µ disgiunto da A. Poich¶ S µ H ) S ¡ 0 µ H ) S µ e~ e ~ ~ ~H + 0 ) S µ H. Poich¶ A H = ; ) (A ¡ 0 ) H = ; segue allora dalla proprietµ a ~1.1.1 che A (H + 0) = ; ) A H = ;. Ed il teorema µ dimostrato. eTeorema 2.4.7 (di Hahn-Banach per gli spazi localmente convessi)Sia E spazio vettoriale topologico localmente convesso; sia FµE s.sp.vett.; sia  2 F¤Ts: 9 2 E¤ t.c. jF ´ DimPer ottenere la tesi adoperiamo il corollario 2.4.2 e quindi vogliamo costruire un insiemeA assolutamente convesso e radiale in E t.c. j()j · 1 8 2 A F. Consideriamolinsieme f 2 F : j()j · 1g che per la continuit¶ di  µ un intorno di E in F e a e 108
  • 112. quindi µ del tipo V F = f 2 F : j()j · 1g con V opportuno intorno di E in E. ePer il corollario 1.3.7 esiste WµE intorno assolutamente convesso di E contenuto in V,scegliamo allora A:=W. E quindi A µ un intorno assolutamente convesso di E e per la eproprietµ 1.3.3 µ pure radiale in E ed µ t.c. j()j · 1 8 2 A F. Ci troviamo allora a e enelle ipotesi del corollario 2.4.2 e quindi: 9 : E ! IK lineare tc jF =  e j()j · 1 8 2 Aed essendo  limitato in un intorno dellorigine per il teorema 2.2.2 segue che  µ continuo. eTeorema 2.4.8 (di Hahn-Banach per gli spazi normati)Sia E uno spazio normato; sia FµE un sottospazio vettoriale; sia  2 F¤Ts: 9 2 E¤ t.c. jF ´  e kkE¤ = kkF¤DimPer il teorema 2.2.5 segue che j()j · kkF¤ kkE 8 2 F e quindi il modulo delfunzionale  ¶ maggiorato su F dalla norma kkF¤ k ¢ kE (banalmente il prodotto di una enorma per una costante positiva µ ancora una norma), segue allora dal teorema 2.4.5 che: e 9 : E ! IK lineare tc jF =  e j()j · kkF¤ kkE 8 2 E (2.34)per il teorema 2.2.5 il funzionale  µ anche continuo. Ci rimane da provare che kkE¤ = ekkF¤ . Per la 2.34 sulla sfera unitaria si ha j()j · kkF¤ 8 2 E con kkE = 1 equindi passando al sup otteniamo kkE¤ · kkF¤ . Viceversa osserviamo che: j()j j()j j()j kkF¤ := sup = sup · sup =: kkE¤ x2FnfE g kkE x2FnfE g kkE x2EnfE g kkETeorema 2.4.9Sia E uno spazio normato; sia 0 2 E n fE g 109
  • 113. Ts: 9 2 E¤ t.c. (0 ) = k0 kE e kkE¤ = 1DimPer il corollario 2.4.3 segue che: 9 2 E0 tc (0) = k0kE e j()j · kkE 8 2 E (2.35)per il teorema 2.2.5 il funzionale  µ anche continuo. Ci rimane da provare che kkE¤ = 1. eDalla 2.35 sulla sfera unitaria si ha che j()j · 1 8 2 (E  1) e quindi passando al supsulla sfera unitaria otteniamo kkE¤ · 1. Viceversa sempre per la 2.35 osserviamo che: k0 kE j(0 )j 1= = · kkE¤ k0 kE k0kE Concludiamo il presente paragrafo con i cosiddetti teoremi di separazione [6] cherappresentono unapplizazione notevole dei teoremi di Hahn-Banach. Tali teoremitrovano numerose applicazioni nellanalisi convessa e nelleconomia matematica.De¯nizione 2.4.1Sia E uno spazio vettoriale reale; siano A,BµE insiemi non vuoti; sia f:E! IR unfunzionale lineare non nullo, sia  2 IR e consideriamo I := f ¡1 (). Diciamo allorache liperpiano I che prende il nome di iperpiano separatore, separa A e B se: f() ·  · f() 8 2 A e 8 2 BDiciamo che liperpiano I separa strettamente A e B se: 9  0 tc f() ·  ¡    +  · f() 8 2 A e 8 2 BPropriet¶ 2.4.1 aSia E uno spazio vettoriale reale; siano A,BµE due insiemi non vuoti 110
  • 114. Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() 9I µ E iperp. che separa A e B , 9f 2 E0 n fE0 g t.c. sup f() · inf f() 2A 2B() 9I µ E iperp. che separa strett. A e B , 9f 2 E0 n fE0 g t.c. sup f()  inf f() 2A 2BPropriet¶ 2.4.2 aSia E uno spazio vettoriale topologico reale; siano A,BµE due insiemi non vuotiTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() 9I µ E iperp. chiuso che separa A e B , 9f 2 E¤ n fE¤ g t.c. sup f() · inf f() 2A 2B() 9I µ E iperp. chiuso che separa strett. A e B , 9f 2 E¤ nfE¤ g t.c. sup f()  inf f() 2A 2BPropriet¶ 2.4.3 aSia E uno spazio vettoriale topologico reale; siano A,BµE due insiemi non vuoti; sia IµE iperpiano che separa A e BTs: Se (A) 6= ; o (B) 6= ; allora I µ chiuso eDimSupponiamo che (A) 6= ;. Poich¶ I µ un iperpiano che separa A e B allora esiste e ef 2 E0 n fE0 g e  2 IK tale che I = f ¡1 () e f() ·  · f() 8 2 A e 8 2 B ) f() · 8 2 A cio¶ f µ limitata superiormente su A, segue allora dal corollario 2.2.1 che f µ e e econtinuo. Analogamente si procede nel caso (B) 6= ;.Lemma 2.4.3Sia E uno spazio vettoriale reale; sia AµE convesso, A0 6= ; e E 62 A0Ts: 9f : E ! IR funzionale lineare, f6´ 0 t.c. f() · 0 8 2ADimPer la proprietµ 1.1.6 linsieme A0 µ un convesso. Poich¶ A0 6= ; a e e ) 90 2 A0consideriamo allora linsieme V := 0 ¡ A0 che µ un convesso in quanto traslato di e 111
  • 115. un convesso ed inoltre 0 62V infatti se per assurdo 0 2 V ) 0 2 0 ¡ A0 ) E 2 A0assurdo. Inoltre per la proprietµ 1.1.4 e la proprietµ 1.1.6 osserviamo che: a a V0 = (0 ¡ A0 )0 = 0 ¡ (A0 )0 = 0 ¡ A0e poich¶ 0 2 A0 ) E 2 V0 ) V radiale in E . E quindi in de¯nitiva linsieme eV µ convesso e radiale in E . Possiamo allora considerare il funzionale di Minkowsky eV : E ! [0 +1[ associato a V che per la proprietµ 1.1.11 µ positivamente omogeneo a ee subadditivo. Consideriamo F := (f0 g) che µ un sottospazio vettoriale di E. eFacciamo osservare che ogni vettore  2F si puµ scrivere in modo unico come  =  0 oper un opportuno  2 IK. Andiamo adesso a de¯nire il funzionale:  : F ! IK tc () =  V (0) 8 2 Fche µ chiaramente un funzionale lineare. Proviamo che il funzionale  µ maggiorato sulla e eretta F dal funzionale di Minkowsky associato a V cioµ che () · V () 8 2 F. Fissato eun arbitrario  2F allora puµ accadere che  · 0 oppure che   0. Nel caso  · 0 oallora essendo per de¯nizione il funzionale di Minkowsky non negativo si ha: () =  V (0 ) · V (0)Nel caso   0 segue subito dalla de¯nizione di  e dalla positiva omogeneitµ di V che: a () =  V (0 ) = V ( 0 ) = V ()E quindi essendo il funzionale lineare  maggiorato sulla retta F dal funzionale Vsubadditivo e positivamente omogeneo allora per il teorema 2.4.4 si ha: 9 : E ! IR lineare tc jF ´  e () · V () 8 2 E (2.36) 112
  • 116. Teniamo presente che per la proprietµ 1.1.12 V contiene linsieme dei punti in cui V µ a estrettamente minore di 1 e quindi essendo 0 62 V allora necessariamente V (0 ) ¸ 1 epoich¶ per la 2.36 (0) = (0) = V (0 ) segue che: e (0 ) ¸ 1 (2.37)e questa in particolare ci dice che  non µ identicamente nullo. Per la proprietµ 1.1.12 e aV µ contenuto nellinsieme dei punti in cui il funzionale di Minkowsky associato a V µ e eminore o uguale ad 1 e quindi dalla 2.36 segue che () · V () · 1 8 2 V e poich¶ eV :=0 ¡ A0 = f0 ¡  :  2 A0 g si ha: (0 ¡ ) · 1 8 2 A0 (2.38)segue allora dalla linearit¶ di , dalla 2.37 e dalla 2.38 che: a ¡() = ¡( ¡ 0 + 0) = ¡( ¡ 0 ) ¡ (0 ) = = (0 ¡ ) ¡ (0) · 1 ¡ 1 = 0 8 2 A0e quindi scegliamo f:=¡ che µ un funzionale lineare non nullo t.c. f() · 0 8 2 A0 ecioµ sup2A0 f() · 0, segue dal teorema 1.4.7 che sup2A f() · 0 cioµ f() · 0 8 2 A. e eTeorema 2.4.10 (di separazione in forma algebrica)Sia E uno spazio vettoriale reale; siano A,BµE insiemi convessi con A0 6= ; e B non vuotoTs: 9I µ E iperpiano che separa A e B , A0 B = ;Dim )Per la propriet¶ 2.4.1 segue che: a 9f : E ! IR funzionale lineare f 6´ 0 tc sup f() · inf f() (2.39) 2A 2B 113
  • 117. Supponiamo per assurdo che A0 B = ; 9 2 A0 B )  2 A0 e  2 B. Poich¶ e 2 A0 ) f() 2 f(A0) ed essendo per il corollario 1.4.5 f(A0 ) un aperto di IR segue chef(A0 ) µ un intorno di f() e quindi 9  0 tc ]f() ¡  f() + [µ f(A0 ) segue: e · ¸   f() ¡  f() + µ]f() ¡  f() + [µ f(A0 ) (2.40) 2 2e quindi per la 2.40, per la 2.39 ed osservando inoltre che A0 µ A, si ha:  f()  f() + · sup f() · sup f() · inf f() 2 2A0 2A 2Be questo evidentemente ci dice che f() 62 f(B) )  62 B assurdo.Dim (Consideriamo A0 ¡ B che µ un convesso in quanto somma algebrica di convessi, ci eproponiamo allora di veri¯care che per tale insieme valgono le ipotesi del lemma 2.4.3. Ilnucleo radiale di A0 ¡ B µ non vuoto infatti per ipotesi 9 2 A0 e 9 2B, allora per la eproprietµ 1.1.6 e per la proprietµ 1.1.4 osserviamo che: a a  ¡  2 A0 ¡  = (A0)0 ¡  = (A0 ¡ )0 µ (A0 ¡ B)0e quindi (A0 ¡ B)0 6= ;. Per ipotesi A0 B = ; ) E 62 A0 ¡ B e quindi essendo(A0 ¡ B)0 µ A0 ¡ B ) E 62 (A0 ¡ B)0 . E quindi A0 ¡ B µ un convesso con nucleo eradiale non vuoto e non contenente E , segue allora dal lemma 2.4.3 che esiste f : E ! IRfunzionale lineare non nullo t.c f() · 0 8 2 A0 ¡ B segue che f( ¡ ) · 0 8 2A0 e 8y 2 B e per la linearit¶ di f segue che f() ¡ f() · 0 8 2 A0 e 8y 2 B ) f() · af() 8 2 A0 e 8y 2 B ) sup2A0 f() · inf 2B f() segue allora dal teorema 1.4.7 chesup2A f() · inf 2B f() e da questo per la propriet¶ 2.4.1 otteniamo la tesi. aTeorema 2.4.11 (di separazione in forma topologica)Sia E spazio vettoriale topologico reale; siano A,BµE convessi con (A) 6= ; e B 6= ; 114
  • 118. Ts: 9I µ E iperpiano chiuso che separa A e B , (A) B = ;DimConseguenza del teorema 1.3.7, del teorema 2.4.10 e della proprietµ 2.4.3. aTeorema 2.4.12 (di stretta separazione)Sia E uno spazio vettoriale topologico reale localmente convesso; siano A,BµEsottoinsiemi convessi e non vuotiTs: 9I µ E iperpiano chiuso che separa strettamente A e B , E 62 B ¡ ADim )Dobbiamo provare che esiste un intorno di E che non interseca B ¡ A. Per la proprietµ a2.4.2 esiste f:E! IR lineare e continuo non nullo t.c. sup2A f()  inf 2B f() e questocome sappiamo signi¯ca che: 9  0 tc f() +  · f() 8 2 A e 8 2 B (2.41)Andiamo adesso a considerare linsieme V := f ¡1 (] ¡ 1 [) = f 2 E : f()  g che perla continuitµ di f µ un aperto ed inoltre osserviamo che E 2V poich¶ per la linearit¶ di f a e e asi ha che f(E ) = 0  . E quindi V µ un intorno aperto di E ed ovviamente non interseca eB¡A infatti per la 2.41 e per la linearit¶ di f osserviamo che  · f( ¡) 8 2 A e 8 2 B ae quindi in B¡A la f µ maggiore o uguale a  e pertanto essendo per costruzione V linsieme edei punti di E in cui f µ strettamente minore di  allora necessariamente V (B ¡ A) = ;. eDim (Consideriamo B ¡ A che µ un convesso essendo somma algebrica di convessi. Poich¶ e eE 62 B ¡ A allora esiste V intorno di E che per il corollario 1.3.7 possiamo supporreassolutamente convesso t.c. V (B ¡ A) = ;. Ovviamente essendo V (B ¡ A) = ; alloraa fortiori (V) (B ¡ A) = ;. Segue allora dal teorema 2.4.11 che esiste un iperpiano 115
  • 119. chiuso che separa V e B ¡ A e questo per la proprietµ 2.4.2 equivale ad a®ermare che aesiste f:E! IR lineare e continuo non nullo tale che sup2V f() · inf 2B¡A f() cioµ ef() · f( ¡ ) 8 2 V 8 2 B e 8 2 A e quindi per la linearit¶ di f segue che: a f() · f() ¡ f() 8 2 V 8 2 B e 8 2 A (2.42)poich¶ in particolare V µ radiale e simmetrico segue allora dalla proprietµ 1.4.16 che 9 2V e e at.c. f()  0, e quindi posto  := f() dalla 2.42 segue che  · f() ¡ f() 8 2 B e 8 2A )  + f() · f() 8 2 B e 8 2 A e questo signi¯ca che  + sup2A f() · inf 2B f()cioµ sup2A f()  inf 2B f() e quindi per la proprietµ 2.4.2 otteniamo la tesi. e aCorollario 2.4.4Sia E uno spazio vettoriale topologico reale localmente convesso; siano A,BµEsottoinsiemi convessi, disgiunti e non vuoti con A compatto e B chiusoTs: 9I µ E iperpiano chiuso che separa strettamente A e BDimPer la proprietµ 1.3.5 B ¡ A µ un chiuso ed inoltre per ipotesi A B = ; ) E 62 B ¡ A. a eIn de¯nitiva E 62 B ¡ A = B ¡ A e quindi per il teorema 2.4.12 si ha la tesi.Corollario 2.4.5Sia E uno spazio vettoriale topologico reale localmente convesso; sia AµE un sottoinsiemeconvesso, chiuso e non vuoto; sia 0 2 E n ATs: 9I µ E iperpiano chiuso che separa strettamente A ed il singoletto f0gDimIl singoletto f0 g µ compatto e convesso ed essendo 0 2 E n A allora f0 g A = ; e equindi applicando di peso il corollario 2.4.4 si ha la tesi. 116
  • 120. Corollario 2.4.6Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso; sia AµE un sottoinsiemeassolutamente convesso, chiuso e non vuoto; sia 0 2 E n ATs: 9 : E ! IK funzionale lineare continuo t.c. j()j  1 8 2 A e (0 )  1DimPer il corollario 2.4.5 e per la proprietµ 2.4.2 segue che: a 9f : E ! IR funzionale lineare continuo f 6´ 0 tc sup f()  f(0 ) (2.43) 2APer lassioma della completezza: 9  0 tc 0    f(0 ) ¡ sup f() (2.44) 2AOsserviamo che: f(0) ¡   sup f() ¸ f(E ) = 0 2AConsideriamo allora il funzionale: f() ¡ f()  : E ! IK con () := 8 2 E f(0 ) ¡ che per il corollario 1.4.10 e per la proprietµ 1.4.1 µ lineare ed inoltre per la proprietµ a e a1.2.12 µ continuo. Si osserva subito che e f(0 ) (0 ) = 1 f(0) ¡ Per la linearit¶ di , per la 2.43 e per la 2.44 segue che: a ³ ´ ³ ´ f ¡  sup f() ¡ ¡ 2A f(0 ) ¡  j()j =  () =    = ·  = 1 8 2 A f(0) ¡  f(0 ) ¡  f(0 ) ¡ Corollario 2.4.7Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso; sia F½E un s.sp.vett. chiuso 117
  • 121. Ts: 9 : E ! IK funzionale lineare continuo non nullo t.c. () = 0 8 2 FDimBanalmente F µ assolutamente convesso ed inoltre essendo essendo F un sottospazio eproprio allora 90 2 E n F e quindi per il corollario 2.4.6 segue che: 9 2 E¤ tc j()j  1 8 2 F e (0 )  1 (2.45)Poich¶ (0 )  1 allora (0) 6= 0 segue che (0 ) 6= 0 e pertanto  non µ e eidenticamente nullo. Per la proprietµ 1.4.6 il funzionale  trasforma sottospazi vettoriali ain sottospazi vettoriale e quindi puµ accadere che (F)=IK oppure che (F)=f0g, ma per ola 1.4.9  µ limitato su F e quindi deve necessariamente essere che (F)=f0g. e2.5 Spazio degli operatori lineari e continui Nella de¯nizione 2.2.1 µ stato introdotto lo spazio degli operatori lineari e continui. eVogliano adesso dare i risultati piµ salienti inerenti il suddetto spazio. Per linearizzare la utrattazione dimostriamo dapprima alcune semplici proprietµ. aPropriet¶ 2.5.1 aSia E uno spazio vettoriale; sia F uno spazio vettoriale topologico; sia T 2 FE ; siafTn gn2IN una succ. di operatori lineari in FE convergenti puntualmente a TTs: T µ lineare eDimConseguenza della linearitµ dei Tn e della propriet¶ 1.3.6. a aPropriet¶ 2.5.2 aSiano (E,k ¢ kE ) ed (F,k ¢ kF ) spazi normati; sia T2 FE ; sia fTn gn2IN in L(E,F) limitata 118
  • 122. Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazi:() Se fTn gn2IN converge a T in L(E,F) allora essa converge punt. a T() Se fTn gn2IN µ di Cauchy in L(E,F) allora fTn ()gn2IN µ di Cauchy in F 8 2F e e() Se fTn gn2IN converge punt. a T allora T2 L(E,F) e kTkL(EF) · lim inf kTn kL(EF) n!1() Se fTn gn2IN µ di Cauchy in L(E,F) e converge punt. a T allora T2 L(E,F) e fTn gn2IN e converge a T in L(E,F). n o() Se T2 L(E,F) allora D =  2 E : n!1 Tn () = T() µ chiuso lim eDimPer quanto riguarda la () e la () basta esplicitatre la nozione di convergenza rispettoalla norma operatoriale k ¢ kL(EF).Veri¯chiamo la (). Per la proprietµ 2.5.1 T µ lineare. Proviamo che T µ continuo. a e ePer ipotesi 9M  0 tc kTn kL(EF) · M 8n 2 IN da questa e dal teorema 2.2.5 segueche kTn ()kF · MkkE 8 2 E e 8n 2 IN per la proprietµ 1.3.14 e per il teorema a1.2.7 passando al limite per n ! 1 otteniamo kT()kF · MkkE 8 2 E e quindisegue dal teorema 2.2.5 che T µ continuo. Veri¯chiamo la disuguaglianza della tesi. eEssendo i Tn continui per il teorema 2.2.5 sulla sfera unitaria si ha che kTn ()kF ·kTn kL(EF) 8 2 E con kkE · 1 e 8n 2 IN e pertanto passando al minimo limite pern ! 1 e successivamente passando al sup sulla sfera unitaria otteniamo quanto voluto.Veri¯chiamo la (). Segue dalla () che T µ lineare e continuo. Ci rimande da provare eche fTn gn2IN converge verso T in L(E,F) e quindi ¯ssato un   0 dobbiamo provare che9 2 IN t.c. kTn ¡ TkL(EF) ·  8n ¸ . Per ipotesi fTn gn2IN µ di Cauchy e quindi in ecorrispondenza ad , esplicitando al solito la de¯nizione di norma opertoriale si ha: kTn () ¡ Tm ()kF 9 2 IN tc ·  8 2 E n fE g e 8n m ¸  kkE 119
  • 123. per la continuit¶ della norma, tenendo ¯sso n e facendo il limite per m! 1, e asuccessivamente passando al sup su E n fE g otteniamo quanto voluto.Veri¯chiamo la (). Facciamo uso del corollario 1.2.1 e quindi presa una succ. fk gk2INin D convergente ad un  2E proviamo che  2D. Dobbiamo provare che la succ.fTn ()gn2IN converge a T() e quindi ¯ssiamo un   0 dobbiamo provare che 9 2 INt.c. kTn () ¡ T()kF ·  8n ¸ . Per ipotesi la succ. fTn gn2IN µ limitata e quindi: e 9M  0 tc kTn kL(EF) · M 8n 2 IN (2.46)Osserviamo che: kTn () ¡ T()kF = kTn () ¡ Tn (k ) + Tn (k ) ¡ T(k ) + T(k ) ¡ T()kF · (2.47) · kTn () ¡ Tn (k )kF + kTn (k ) ¡ T(k )kF + kT(k ) ¡ T()kF = = kTn ( ¡ k )kF + kTn (k ) ¡ T(k )kF + kT(k ¡ )kF 8n k 2 INAndiamo a maggiorare separatamente le tre quantit¶. Essendo i Tn continui, per il ateorema 2.2.5 e per la 2.46 segue che: kTn ( ¡ k )kF · kTn kL(EF) k ¡ k kE · Mk ¡ k kE 8n k 2 IN (2.48)poich¶ per ogni k 2 IN k 2 D ) che per ogni k 2 IN la successionefTn (k )gn2IN µ e e convergente verso T(k ) e quindi in corrispondenza della quantit¶ a 2  0 si ha che:  8k 2 IN 9k 2 IN tc kTn (k ) ¡ T(k )k · 8n ¸ k (2.49) 2Per ipotesi T 2 L(E F), e quindi segue dal teorema 2.2.5 che: kT( ¡ k )kF · kTkL(EF) k ¡ k kE 8k 2 IN (2.50) 120
  • 124. E quindi maggiorando la 2.47 con 2.48, 2.49 e 2.50 si ha:  kTn () ¡ T()kF · Mk ¡ k kE + + kTkL(EF)k ¡ k kE = (2.51) 2  = (M + kTkL(EF) )k ¡ k kE + 8k 2 IN e 8n ¸ k 2poniamo la C:=M+kTkL(EF) e osserviamo che la successione fk gk2IN µ convergente ad e  e quindi in corrispondenza della quantit¶ a 2C  0: ~  ~ 9k 2 IN tc k ¡ k kE · 8k ¸ k 2Ce da quasta possiamo maggiorare la 2.51 e otteniamo:   kTn () ¡ T()kF · C + =  8k ¸ ~ e 8n ¸ k k 2C 2¯ssato un k ¸ ~ evidentemente basta scegliere  := k ed otteniamo quanto voluto. kTeorema 2.5.1Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato e sia (F,k ¢ kF ) uno spazio di BanachTs: (L(E F) k ¢ kLEF ) µ di Banach eDimSia fTn gn2IN una succ. di Cauchy in L(E,F), e dimostriamo quindi che converge ad unoperatore di L(E,F). Per la proprietµ 1.2.5 fTn gn2IN µ limitata. Segue dalla proprietµ a e a2.5.2 che per ogni ¯ssato  2E la succ. fTn ()gn2IN µ di Cauchy in F che µ per ipotesi e ecompleto e quindi esiste un vettore di F che indichiamo con T() che µ il limite di tale esucc.. E pertanto resta de¯nito loperatore T : E ! F che ad ogni  2E associa il limiteT() della succ. fTn ()gn2IN . Loperatore T µ ben de¯nito, poich¶ lo spazio darrivo F e eµ di Hausdor® e quindi in esso vale lunicit¶ del limite. Quindi per costruzione la succ.e afTn gn2IN converge puntualmente a T, e pertanto segue direttamente dalla proprietµ 2.5.2 ache T2 L(E,F) e che fTn gn2IN converge a T nello spazio normato L(E,F). 121
  • 125. Corollario 2.5.1Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normatoTs: E¤ µ di Banach eTeorema 2.5.2Sia E uno spazio vettoriale topologico localmente convesso di Hausdor® e E 6= fE gTs: E¤ µ un sottospazio totale di E non banale eDimPreliminarmente facciamo osservare che: 8 2 E n fE g 9 2 E¤ tc () 6= 0 (2.52)Fissiamo un qualunque  2 E n fE g. Per il teorema 1.3.12 9G famiglia di seminorme su Einducente la topologia di E che per la proprietµ 1.3.14 sono pure continue. Per il teorema a1.3.13 9 2 G t.c. ()  0 e quindi per il corollario 2.4.3 segue che 9 2 E0 tc () =()  0 ed µ maggiorato in modulo da  su tutto E e questo ci dice che il funzionale e µ continuo, infatti per la proprietµ 1.2.9 la semniorma  µ sicuramente limitata su un e a eintorno dellorigine e quindi anche  µ limitato su tale intorno e pertanto per il teorema e2.2.2 si ottiene quanto voluto. Essendo per ipotesi E 6= fE g la 2.52 ci dice imediatamenteche E¤ 6= fE¤ g. Proviamo che E¤ µ totale su E. Sia  2E t.c. () = 0 8 2 E¤ , allora eper la 2.52 deve necessariamente essere che  = E .Lemma 2.5.1Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® con (E)=nTs: Esiste una norma su E inducente la topologia di EDim 122
  • 126. Facciamo uso del teorema 1.3.20 e dimostriamo quindi che esiste un intorno dellorigineassolutamente convesso e limitato. Consideriamo IKn munito della norma canonica: n X k(1     n )kIKn := ji j 8(1      n ) 2 IKn i=1Sia 1  n 2E una base di Hamel per E e consideriamo loperatore: n X © : IKn ! E con ©(1      n ) := i i 8(1      n ) 2 IKn i=1che si veri¯ca facilmente essere lineare. Veri¯chiamo che © µ continuo. Fissato un e 2E a tale scopo dimostriamo preliminarmente che loperatore f : IK ! E conf() :=  8 2 IK µ continuo. Consideriamo la funzione g : IK ! IK £ E con eg() := ( ) 8 2 IK che µ continua per il teorema 1.2.16. Consideriamo inoltre eloperatore continuo prodotto  : IK £ E ! E con ( ) :=  8( ) 2 IK £ E. Siosserva allora che f =  ± g e quindi f µ continuo in quanto composizione di funzioni econtinue. Per ogni ¯ssato i = 1     n consideriamo loperatore fi : IK ! E conf() := i 8 2 IK che per quanto suddetto µ continuo e andiamo a de¯nire loperatore eh : IKn ! En con h(1      n ) := (f1(1 )     fn (n )) 8(1      n ) 2 IKn che µ continuo eper il teorema 1.2.17 e quindi se consideriamo loperatore continuo somma  : En ! E Pncon (1      n ) := i=1 i 8(1       ) 2 IKn allora risulta evidente che © :=  ± he pertanto © µ continuo in quanto composizione di funzioni continue. Poniamo A := e(IKn  1) che µ quindi un limitato di IKn . Ci proponaimo di dimostrare che ©(A) µ un e eintorno di  limitato e assolotamente convesso. Per la proprietµ 2.2.1 e per la proprietµ a a1.4.8 segue che ©(A) µ limitato e assolutamente convesso. Chiaramente E 2 ©(A), infatti eIKn 2A segue allora dalla linearit¶ di © che ©(IKn ) = E ) E 2 ©(A). Ci rimane ada dimostrare che ©(A) µ un intorno di E e quindi dobbiamo dimostrare che 9V µ E e 123
  • 127. intorno di E t.c. Vµ ©(A). Consideriamo la frontiera A che µ un chiuso ed µ pure e elimitato essendo A limitato ed inoltre tenendo conto dell proprietµ 1.3.16 osserviamo che: a ( n ) n X A = An(A) = (IKn  1) n (IKn  1) = (1      n ) 2 IK : ji j = 1 i=1Per il teorema 1.3.21 la frontiera A µ un compatto e quindi essendo loperatore e© continuo, segue allora dalla proprietµ 1.2.2 che linsieme ©(A) µ un compatto. a e PnBanalmente il vettore E 62 ©(A) poich¶ per de¯nizione ©(A) = f e i=1 i i : Pn(1      n ) 2 IKn tc i=1 ji j = 1g e quindi essendo per ipotesi E di Hausdor® allora: 8 2 ©(A) 9U int aperto di  e 9V int di E equil tc U V = ;Se andiamo a considerare la famiglia fU g2©(A), questa µ chiaramente per costruzione eun ricoprimento aperto di ©(A) che µ compatto e quindi: e m [ 91     m 2 ©(A) tc ©(A) µ Ui (2.53) i=1 TnPoniamo V = i=1 Vi che µ quindi un intorno equilibrato di E ed ha la proprietµ che e anon interseca il trasformato della frontiera di A cioµ: e V ©(A) = ; (2.54)infatti per costruzione si ha Vi Ui = ; 8i = 1     m ) VUi = ; 8i = 1     m ) SmV i=1 Ui = ; e quindi per la 2.53 si ha la 2.54. A questo punto vogliamo fare vedereche Vµ ©(A). Supponiamo per assurdo che 90 2V t.c. 0 62 ©(A). Tale vettore 0 avr¶ auna sua rappresentazione rispetto alla base di Hamel 1      n , cioµ: e n X 91     n 2 IK tc 0 = i i i=1 124
  • 128. Si osserva che essendo 0 62 ©(A) allora necessariamente: n X jij ¸ 1 (2.55) i=1Vogliamo trovare una contraddizione con la 2.54, cioµ vogliamo trovare un punto  2E et.c.  2V e  2 ©(A). Andiamo a costruire tale punto. Scegliamo: n X i  := Pn i i=1 j=1 jj j ¯ ¯ ¯Pn ¯µ ovvio che ¯e ¯ i=1 Pni ¯ = 1 e quindi  2 ©(A). Osserviamo adesso che: jj j ¯ j=1 n X n X i 1 1  := Pn i = Pn i i = Pn 0 i=1 j=1 jj j j=1 jj j i=1 j=1 jj jper la 2.55 e ricordando che 0 2V e che V µ equilibrato si ha che  2V. E quindi e 2 V ©(A) che come suddetto µ una contraddizione da cui segue che Vµ ©(A). eTeorema 2.5.3Sia E uno spazio vettoriale topologico di Hausdor® di dimensione ¯nitaTs: L(E F) = (E F)DimDobbiamo dimostrare che (E F) µ L(E F) e a tale proposito vogliamo fare osservarepreliminarmente che ogni funzionale lineare su E µ continuo. Per il lemma 2.5.1 in eparticolare lo spazio E µ localmente convesso segue allora dal teorema 2.5.2 che E¤ µ e eun sottospazio totale su E e pertanto segue dal teorema 1.4.16 che E0 = E¤ . Fissiamoun qualunque T2 (E F) e siano 1     n 2 E una base di Hamel per E allora per ilteorema 1.4.12 sappiamo che esistono 1      n funzionali lineari su E che per quantosuddetto sono pure continui che ammettono 1     n come sistema biortogonale. Per il 125
  • 129. corollario 1.4.16 e per la linearitµ di T osserviamo che: a à n ! n X X T() = T i ()i = i ()T(i ) 8 2 E i=1 i=1e pertanto segue dalla proprietµ 1.3.8 che T2 L(E F). a2.6 Anello degli operatori lineari e continui. Criteri sullinversa di un operatore lineare. Teorema di Banach. Metodo delle approssimazioni successiveDe¯nizione 2.6.1Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato. Presi S,T2 L(E,E) allora per la proprietµ 1.4.5 asegue che S±T,T±S2 L(E,E). Per comodit¶ scriveremo ST in luogo di S±T. Si veri¯ca aallora immediatamente che lo spazio L(E,E) munito delloperazione usuale di somma traoperatori lineari e delloperazione di prodotto de¯nita dalla composizione risulta essereun anello cioµ (L(E,E),+,±) µ un anello. Osserviamo che banalmente E µ un operatore e e elineare e continuo e che per de¯nizione TE = E T = T e quindi evidentemente Eµ lelemento unitario di L(E,E) che pertanto risulta essere un anello unitario. FissatoeT2 L(E,E) e n 2 IN n f0g denotiamo allora con Tn il prodotto n volte di T e perconvenzione poniamo T0 = E . Fissato T2 L(E,E) e m n 2 IN n f0g da quanto dettosegue immediatamente che Tm Tn = Tm+n .Propriet¶ 2.6.1 a 126
  • 130. Sia (E,k ¢ kE ), (F,k ¢ kF ) e (G,k ¢ kG ) tre spazi normati; siano S2 L(E,F) e T2 L(F,G)Ts: kT ± SkL(EG) · kTkL(FG)kSkL(EF)Propriet¶ 2.6.2 aSiano (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia T2 L(E,E); sia n2 INTs: kTn kL(EE) · kTkn L(EE)DimConseguenza immediata della proprietµ 2.6.1 e del principio dinduzione. aTeorema 2.6.1 qSia (E,k ¢ kE ) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E) e poniamo T = inf n kTn kL(EE) n2INnf0g q 1 XTs: 9 n!1 lim n kTn kL(EE) = T e se T  1 allora Tn µ convergente in (L(E,E),k ¢ kL(EE) ) e n=0DimFissato un   0 dobbiamo provare che: q 9 2 IN tc T ¡   n kTn kL(EE)  T +  8n ¸ Per la seconda propriet¶ dellestremo inferiore in corrispondenza ad   0 segue che: a q  9m 2 IN n f0g tc m kTm kL(EE)  T + (2.56) 2Poniamo: M := maxfkT0 kL(EE)  kTkL(EE)      kTm¡1 kL(EE)gSappiamo che: 8n ¸ m 9kn  ln interi con kn ¸ 1 e 0 · ln · m ¡ 1 tc n = kn m + ln (2.57) 127
  • 131. si fa osservare che per costruzione la successione fln gn2IN µ limitata. Per la 2.57, per la epropriet¶ 2.6.1, per la propriet¶ 2.6.2 e per la 2.56 osserviamo che: a a q q q n kTn kL(EE) = n kTkn m+ln kL(EE) = n kTkn m Tln kL(EE) · (2.58) q q q · n kTkn m kL(EE) kTln kL(EE) = n kTkn m kL(EE) n kTln kL(EE) = 1 1 1 1 = kTkn m kL(EE) kTln kL(EE) = k(Tm )kn kL(EE) kTln kL(EE) · n n n n µ ¶ kn m µ ¶ n¡ln kn 1  n 1  n 1 · kTm kL(EE) M n  T + n M n = T + M n 8n ¸ m 2 2Banalmente: µ ¶ n¡ln µ ¶ n¡ln µ ¶  n 1  n 1   lim T + M n = n!1 T + lim lim M n = T + 1 = T + n!1 2 2 n!1 2 2 e quindi in corrispondenza alla quantit¶ a 2  0 si ha che: µ ¶ µ ¶ n¡ln µ ¶    n 1   9 ¤ 2 IN tc T + ¡  T + M n  T + + 8n ¸  ¤ 2 2 2 2 2segue: µ ¶ n¡ln  n 1 T + M n  T +  8n ¸  ¤ (2.59) 2In de¯nitiva posto  := maxfm  ¤g per la 2.58 e per la 2.59 otteniamo che: q q µ ¶ n¡ln  n 1 T ¡   T = inf n kTn k L(EE) · n kTn kL(EE) · T + Mn  n2INnf0g 2  T +  8n ¸ come volevasi. Supponiamo adesso che T  1 segue allora dal criterio della radice che P1la serie reale a termini non negativi n=0 kTn kL(EE) µ convergente e quindi dal teorema e P12.5.1 e dal teorema 1.3.22 segue che la serie n=0 Tn µ convergente. eCorollario 2.6.1Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E) 128
  • 132. 1 XTs: Tn µ convergente in (L(E,E),k ¢ kL(EE) ) , 9m 2 IN n f0g tc kTm kL(EE)  1 e n=0Dim )Per il teorema 1.3.16 e per la proprietµ 1.3.9 segue che limn!1 kTn kL(EE) = 0 e quindi in acorrispondenza ad 1 si ha che esiste  2 IN n f0g tale che ¡ 1  kTn kL(EE)  1 8n ¸ e pertanto per un qualunque m ¸  si ottiene la tesi.Dim (Tenendo conto dellipotesi osserviamo che: q q p m inf n kTn kL(EE) · m kTm kL(EE)  1=1 n2INnf0ge quindi per il teorema 2.6.1 segue la tesi. A®rontiamo il problema dellinversione di un operatore lineare.Teorema 2.6.2Siano (E,k ¢ kE ) e (F,k ¢ kF ) due spazi normati; sia T2 (E,F) surgettivoTs: 9T¡1 2 L(F E) , 9k  0 tc kkkE · kT()kF 8 2 EDim ) 1Preso un k  0 tale che kT¡1 kL(FE) · k allora per il teorema 2.2.5 segue che: kkkE = kkT¡1 (T())kE · kkT¡1 kL(FE)kT()kF · kT()kF 8 2 EDim (Ovviamente T µ biunivoco infatti per ipotesi µ surgettivo ed inoltre: e e kT(1) ¡ T(1 )kF = kT(1 ¡ 1 )kF ¸ kk1 ¡ 2 kE  0 81  2 2 E con 1 6= 2e quindi µ anche iniettivo. Ci rimane da provare che T¡1 µ continuo. Dallipotesi si ha: e e 1 1 1 kT¡1 ()kE = kkT¡1 ()kE · kT(T¡1 ())kF = kkF 8 2 F k k k 129
  • 133. e quindi applicando il teorema 2.2.5 otteniamo la continuit¶ di T¡1. aTeorema 2.6.3 (di Banach)Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E)Ts: Valgono allora le seguenti a®ermazioni: 1 X() Se 9m 2 IN t.c. kTm kL(EE)  1 allora 9(E ¡ T)¡1 2 L(E E) e (E ¡ T)¡1 = Tn n=0 1() Se kTkL(EE)  1 allora k(E ¡ T)¡1 kL(EE) · 1 ¡ kTkL(EE)Dim P1Veri¯chiamo la (). Per il corollario 2.6.1 esiste S 2 L(E E) tc n=0 Tn = S. Vogliamoprovare che loperatore somma S µ linverso di E ¡ T cioµ che S=(E ¡ T)¡1 e quindi e edobbiamo provare che S(E ¡ T) = (E ¡ T)S = E . Osserviamo che: Ã 1 ! X S(E ¡ T) = Tn (E ¡ T) = (E + T + ¢ ¢ ¢ + Tn + ¢ ¢ ¢)(E ¡ T) = n=0 = (E + T + ¢ ¢ ¢ + Tn + ¢ ¢ ¢) ¡ (T + T2 + ¢ ¢ ¢ + Tn+1 + ¢ ¢ ¢) = EAnalogamente si dimostra che (E ¡ T)S = E .Veri¯chiamo la (). Essendo kTkL(EE)  1 allora sappiamo che la serie geometrica: 1 X 1 kTkn L(EE) = (2.60) n=0 1 ¡ kTkL(EE)Per la (), per il teorema 1.2.7, per la proprietµ 2.6.2 e per la 2.60 segue che: a °1 ° ° ° ° k ° °X ° ° k X ° °X ° ¡1 ° n° ° n° ° n° k(E ¡ T) kL(EE) = ° T ° = ° lim T ° = lim ° T ° · ° ° °k!1 ° k!1 ° ° n=0 L(EE) n=0 L(EE) n=0 L(EE) k X k X 1 X · lim kTn kL(EE) · lim kTkn L(EE) = kTkn L(EE) = k!1 k!1 n=0 n=0 n=0 1 = 1 ¡ kTkL(EE) 130
  • 134. Il teorema di Banach mostra che un operatore E ¡ T che di®erisce pocodalloperatore identit¶ E che ha inverso continuo (¡1 = E ), ha esso stesso un inverso a Econtinuo. Questo fatto µ suscettibile di generalizzazione. eTeorema 2.6.4Siano (E,k ¢ kE ) ed (F,k ¢ kF ) due spazi di Banach; siano S,T2 L(E,F) e supponiamo che9S¡1 2 L(F,E) e che kS¡1 kL(FE)kTkL(EF)  1Ts: Valgono allora i seguenti due fatti:() 9(S + T)¡1 2 L(F E) kS¡1 kL(FE) kS¡1 kL(FE)() k(S + T)¡1 kL(FE) · · 1 ¡ kS¡1TkL(EE) 1 ¡ kS¡1 kL(FE)kTkL(EF)DimVeri¯chiamo la (). Consideriamo loperatore: U = S¡1 (S + T) = E + S¡1T (2.61)per costruzione U2 L(E,E). Per la proprietµ 2.6.1 e per lipotesi osserviamo che: a k ¡ S¡1 TkL(EE) = kS¡1 TkL(EE) · kS¡1 kL(FE)kTkL(EF)  1allora dal teorema 2.6.3 segue che: 1 9U¡1 2 L(E E) tc kU¡1 kL(FE) · (2.62) 1¡ kS¡1Tk L(EE)Consideriamo loperatore: V = U¡1S¡1 (2.63)che per costruzione appartiene a L(F,E), e dimostriamo quindi che: V = (S + T)¡1 (2.64) 131
  • 135. cio¶ che (S + T)V = F e che V(S + T) = E . Per la 2.61 e per la 2.63 segue che: e (S + T)V = F (S + T)V = SS¡1(S + T)V = SUV = SUU¡1 S¡1 = SS¡1 = FPer la 2.63 e per la 2.61 segue che: V(S + T) = U¡1 S¡1 (S + T) = U¡1U = EVeri¯chiamo la (). Per la 2.64, per la 2.63, per la proprietµ 2.6.1 e per la 2.62 segue che: a k(S + T)¡1 kL(FE) = kVkL(FE) = kU¡1 S¡1kL(FE) · (2.65) kS¡1kL(FE) · kU¡1 kL(EE)kS¡1kL(FE) · 1 ¡ kS¡1 TkL(EE)Per la proprietµ 2.6.1 segue che kS¡1 TkL(EE) · kS¡1 kL(FE) kTkL(EF) a ) 1 ¡kS¡1 kL(FE) kTkL(EF) · 1 ¡ kS¡1 TkL(EE) e quindi passando al reciproco e successivamentemaggiorando la 2.65 si ottiene la catena di disuguaglianze promessa dalla tesi.De¯nizione 2.6.2Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato; sia T2 L(E,E) e consideriamo lequazione:  ¡ T() =  (2.66)dove   2E con  assegnato ed  µ lelemento cercato. Uno dei metodi piµ di®usi di e uricerca delle soluzioni dellequazione 2.66 µ il cosiddetto metodo delle approssimazioni esuccessive, il quale consiste nel costruire, prendendo un elemento arbitrario 0 2E dettoapprossimazione iniziale, una successione fn gn2IN con: 1 :=  + T(0 ) 2 :=  + T(1 ) 132
  • 136. 3 :=  + T(2 ) . . . . . . n+1 :=  + T(n )dette soluzioni approssimate. Se si riesce a costruire una successione fn gn2IN disoluzioni approssimative convergente ad un certo ¤ 2E allora evidentemente tale ¤ µ esoluzione dellequazione 2.66, infatti per costruzione: n+1 =  + T(n )e quindi per il teorema 1.2.7 passando al limite per n ! 1 si ottiene: ¤ =  + T(¤ )In tal caso si dice che il metodo delle approssimazioni successive per lequazione 2.66iniziato dallelemento 0 converge verso la soluzione dellequazione 2.66.Propriet¶ 2.6.3 aSia (E,k¢kE ) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E); consideriamo lequazione ¡T() = dove   2E con  assegnato ed  µ lelemento incognito; sia 0 2E eTs: Valgono allora le seguenti a®ermazioni:() Se fn gn2IN µ la successione ordinaria di soluzioni approssimative che inizia da 0 e n¡1 X allora n = Tk () + Tn (0 ) 8n 2 IN n f0g k=0() Se 0 µ una soluzione delleq. data e fn gn2IN µ la successione ordinaria di soluzioni e e approssimative che inizia da 0 allora n = 0 8n 2 IN n¡1 X() Se 0 µ una soluzione delleq. data allora 0 = e Tk () + Tn (0 ) 8n 2 IN n f0g k=0Dim 133
  • 137. Veri¯chiamo la (). Procediamo per induzione. Lasserto µ vero per n=1, infatti: e 1 =  + T(0 ) = T0() + T(0 )Veri¯chiamo che lasserto µ vero per n=2. Per la linearit¶ di T segue che: e a 2 =  + T(1 ) =  + T( + T(0 )) =  + T() + T(T(0)) = 2¡1 X = T0() + T() + T2 (0) = Tk () + T2(0 ) k=0Supponiamo adesso che lasserto sia vero per n e dimostriamo che µ vero anche per n+1. ePer lipotesi induttiva e per la linearit¶ di T segue che: a Ãn¡1 ! n¡1 X X k n n+1 =  + T(n ) =  + T T () + T (0) =  + T(Tk ()) + T(Tn (0)) = k=0 k=0 n¡1 X n X = T0 () + Tk+1 () + Tn+1(0 ) = T0() + Tk () + Tn+1 (0 ) = k=0 k=1 n X = Tk () + Tn+1 (0) k=0Veri¯chiamo la (). Tenuto conto del fatto che 0 µ soluzione e di conseguenza: e T(0 ) = 0 ¡  (2.67)procediamo per induzione. Dimostriamo lasserto nel caso n=1. Per la 2.67 segue che: 1 =  + T(0 ) =  + 0 ¡  = 0Dimostriamo lasserto nel caso n=2. Per il caso n=1 e per la 2.67 segue che: 2 =  + T(1 ) =  + T(0 ) =  + 0 ¡  = 0Supponiamo adesso che lasserto sia vero per n=k e dimostriamo che µ vero anche per en=k+1. Per lipotesi induttiva e per la 2.67 segue che: k+1 =  + T(k ) =  + T(0 ) =  + 0 ¡  = 0Veri¯chiamo la (). Conseguenza immediata della () e dalla (). 134
  • 138. Teorema 2.6.5Sia (E,k¢kE ) uno spazio di Banach; sia T2 L(E,E); consideriamo lequazione ¡T() = dove   2E con  assegnato ed  µ lelemento incognito eTs: Valgonoa allora le seguenti a®ermazioni:() Se 9m 2 IN tc kTm kL(EE)  1 allora quale che si 0 2E approssimazione iniziale, il metodo delle approssimazioni successive converge verso lunica soluzione ¤ 2E ed inoltre vale la stima k¤ ¡ n kE · k(E ¡ T)¡1 kL(EE) kTn kL(EE)k1 ¡ 0kE 8n 2 IN kTknL(EE)() Se kTkL(EE)  1 allora k¤ ¡ n kE · k1 ¡ 0 kE 8n 2 IN 1 ¡ kTkL(EE)DimVeri¯chiamo la (). Evidentemente linsieme delle soluzioni dellequazione:  ¡ T() =  (2.68)µ (E ¡  )¡1 (). Per il teorema 2.6.3 segue che:e 1 X 9(E ¡ T)¡1 2 L(E E) e (E ¡ T)¡1 = Tn (2.69) n=0poich¶ E ¡ T ammette inversa allora µ biunivoco e quindi linsieme (E ¡  )¡1 () µ un e e esingoletto cioµ lequazione 2.68 ammette soluzione unica. E quindi posto: e ¤ := (E ¡ T)¡1 ()che per quanto detto risulta essere soluzione unica dellequazione 2.68. Dobbiamodimostrare che la succ. delle soluzione approssimative fn gn2IN converge verso ¤ . P1Per il corollario 2.6.1 la serie n=0 Tn µ convergente, segue dalla proprietµ 1.3.9 che e ala successione fTn gn2IN converge alloperatore nullo, segue dalla propriet¶ 2.5.2 che la asuccessione fTn gn2IN converge puntualmente alloperatore nullo e quindi in particolare: lim Tn (0 ) = E (2.70) n!1 135
  • 139. E quindi per la 2.69, per la 2.70, per la proprietµ 1.3.6 e per la proprietµ 2.6.3 segue che: a a 1 X n¡1 X n¡1 X ¤ = (E ¡ T)¡1() = Tk () = n!1 lim Tk () = n!1 lim Tk () + E = k=0 k=0 k=0 n¡1 Ãn¡1 ! X X k n k n = lim T () + n!1 T (0 ) = n!1 lim lim T () + T (0 ) = n!1 n lim n!1 k=0 k=0Ci rimande da dimostrare la stima promessa nella tesi. Per la proprietµ 2.6.3 e per il ateorema 2.2.5 segue che: °Ãn¡1 ! Ãn¡1 !° ° X X ° ° ¤ k ¡ n kE = ° k n ¤ T () + T ( ) ¡ T () + T (0) ° = k n ° (2.71) ° ° k=0 k=0 E n ¤ n n ¤ = kT ( ) ¡ T (0 )kE = kT ( ¡ 0 )kE · · kTn kL(EE) k¤ ¡ 0kEPosto  := ¤ ¡ 0 , per la linearit¶ di T, per il teorema 2.2.5 e tenuto conto del fatto che ~ a¤ µ soluzione dellequazione 2.68, osserviamo che: e (E ¡ T)(~) = E (~) + T(~) =  + T(~) = ¤ ¡ 0 ¡ T(¤ ¡ 0 ) =    ~  = ¤ ¡ 0 ¡ T(¤ ) + T(0) = (¤ ¡ T(¤ )) + T(0) ¡ 0 = =  + T(0 ) ¡ 0 = 1 ¡ 0segue che:  = (E ¡ T)¡1 (1 ¡ 0 ) ~ (2.72)E quindi in conclusione per la 2.71, per la 2.72 e per il teorema 2.2.5 otteniamo che: k¤ ¡ n kE · kTn kL(EE) k~kE = kTn kL(EE)k(E ¡ T)¡1 (1 ¡ 0)kE ·  · kTn kL(EE) k(E ¡ T)¡1 kL(EE) k1 ¡ 0kEVeri¯chiamo la (). Conseguenzza della (), del teorema 2.6.3 e della proprietµ 2.6.2. a 136
  • 140. 2.7 Teorema della mappa aperta. Teorema dellinversa continua. Teorema del gra¯co chiuso Trattiamo adesso il fondamentale teorema della mappa aperta dovuto al matematicopolacco Stefan Banach [8] nella sua forma piµ classica, che costituisce uno dei capisaldi di ututta lanalisi funzionale lineare. Propedeutici alla dimostrazione del teorema suddettosono i seguenti due lemmi.Lemma 2.7.1Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia T:E!F un operatore lineare t.c. T(E)di II-categoria; sia VµE un intorno di ETs: T(V) µ un intorno di F eDimPer ipotesi V µ un intorno di E e quindi per la proprietµ 1.3.5 segue che: e a 9W µ E intorno di E equilibrato tc W + W µ V (2.73)Consideriamo la succ. di insiemi fnWgn2IN . Vogliamo allora fare vedere che: [ E= nW (2.74) n2IN SChiaramente linclusione n2I N nW µE µ ovvia. Viceversa sia  2E, poich¶ W µ un e e eintorno di E allora per la proprietµ 1.3.3 W µ radiale in E ) 9  0 t.c.  2W a e 18 2 [0 ] e quindi preso n 2 IN t.c. n   segue che:  [ =n 2 nW µ nW n n2IN 137
  • 141. E pertanto dalla 2.74 e per la linearit¶ di T si ha: a à ! [ [ T(E) = T nW = nT(W) n2IN n2INe questo signi¯ca che T(E) µ unione dei membri della succ. fnT(W)gn2IN . Per ipotesi eil codominio di T µ di II-categoria in F cioµ T(E) non µ unione numerabile di una succ. e e edi insiemi rari ) che 9n 2 IN t.c. linsieme nT(W) non µ raro e questo per la proprietµ e a1.3.7 equivale a dire che linsieme T(W) non µ raro cioµ (T(W)) 6= ;. Osserviamo che e ebanalmente T(W) interseca linterno della chiusura di T(W) infatti essendo (T(W)) µT(W) allora T(W) (T(W)) = (T(W)) 6= ; e quindi ricordando che per unaproprietµ nota di topologia che ci dice che se un aperto interseca la chiusura di un ainsieme allora interseca anche linsieme, segue che T(W) int(T(W)) 6= ;. Sia quindi0 2 T(W) int(T(W)) ) 0 2 T(W) e 0 2 (T(W)). Poich¶ 0 2 (T(W)) ) eche T(W) ¡ 0 µ intorno di F . Per la linearit¶ di T e per la 2.73 osserviamo che: e a T(W) ¡ 0 µ T(W) ¡ T(W) = T(W ¡ W) = T(W + W) µ T(V)allora passando alle chiusure per la proprietµ 1.3.7 otteniamo che T(W) ¡ 0 µ T(V) e apertanto essendo T(W) ¡ 0 un intorno di F segue che T(V) µ intorno di F . eLemma 2.7.2Sia E uno spazio di Banach; sia F uno spazi normato; sia T:E!F un operatore lineare agra¯co chiuso t.c. T((E  1)) µ intorno di F eTs: T((E  1)) µ intorno di F eDimPer ipotesi T((E  1)) µ un intorno di F e quindi: e 9  0 tc (F  ) µ T((E  1)) (2.75) 138
  • 142. Il nostro scopo µ fare vedere che T((E  1)) µ un intorno di F e quindi dobbiamo trovare e euna opportuna sfera centrata in F contenuta in T((E  1)), ci proponiamo allora di ³ ´ ³ ´provare che  F  2 µ T((E  1)). Prendiamo un arbitrario vettore  2  F   e  2facciamo vedere quindi che  2 T(B(E  1)) e per fare ciµ ci proponiamo di costruire per oinduzione una successione ordinaria fn gnIN in E che soddisfa alle seguenti due proprietµ: a 1 () kn kE · 8n 2 IN ° 2n ° ° Xn °  ° () ° ¡ ° T(i )° · n+1 8n 2 IN ° ° i=1 2 FPer la linearit¶ di T, per la proprietµ 1.3.13 e per la proprietµ 1.3.7, moltiplicano ambo a a a 1i membri della 2.75 per 2 si ha: à ! µ µ ¶¶  1  F   µ T  E   (2.76) 2 2 ³ ´ ³ ³ ´´ ³ ³ ´´Dalla 2.76 per n=1 si ha  F   µ T  E  1 2 2 )  2 T  E  1 2 segue che ogni ³ ³ ´´intorno di  interseca linsieme T  E  1 2 e quindi in particolare questo interseca la ³ ´sfera (chiusa)    e pertanto: 4 µ ¶ 1  91 2  E  tc k ¡ T(1 )kF · 2 4 ³ ´segue che il vettore  ¡ T(1) 2  F   4 e poich¶ per la 2.76 con n=2 si ha e ³ ´ ³ ³ ´´ ³ ³ ´´ F   4 µ T  E  1 4 )  ¡ T(1 ) 2 T  E  1 4 e quindi con un discorso identico al precedente, in corrispondenza della quantit¶ a 8  0 si ha che: µ ¶ 1  92 2  E  tc k ¡ T(1) ¡ T(2 )kF · 4 8 ³ ´segue che il vettore  ¡ T(1) ¡ T(2 ) 2  F   8 e poich¶ per la 2.76 con n=3 si e ³ ´ ³ ³ ´´ ³ ³ ´´ha  F   8 µ T  E  1 8 )  ¡ T(1 ) ¡ T(2 ) 2 T  E  1 8 e quindi in 139
  • 143. corrispondenza della quantit¶ a 16  0 si ha che: µ ¶ 1  93 2  E  tc k ¡ T(1) ¡ T(2 ) ¡ T(3)kF · 8 16Supponiamo quindi che lasserto sia vero per n¡1 con n3 (poich¶ per n=1,2,3 elabbiamo provato direttamente) e dimostriamo che µ vero per n. Lipotesi induttiva e Pn¡1 Pn¡1 ³ ´ ¶ k ¡e i=1 T(i )kF · 2n ) che  ¡ i=1 T(i ) 2  F  2n e quindi per il solito discorso, in corrispondenza della quantitµ a 2n+1  0 si ha che: µ ¶ ° ° 1 ° Xn °  ° 9n 2  E  n tc ° ¡ T(i )° · n+1 ° 2 ° ° 2 i=1 FE quindi per induzione abbiamo costruito la successione fn gn2N in E suddetta, Pnsoddisfacente alle proprietµ () e (). Per ogni ¯ssato n2 IN poniamo n := a i=1 ie otteniamo cosµ una successione fn gn2IN in E. Per la sub-additivitµ della norma, per la ³ a() e ricordando che come noto le ridotte della serie geometrica costituiscono una succ.crescente e che quindi possono essere maggiorati con la somma della serie, si ha che: °n+p ° ° ° °X ° n+p ° ° X ° n ° ° X ° n+p X n+p X 1 kn+p ¡ n kE = ° i ¡ ° i ° = ° i ° · ki kE · = ° ° ° i i=1 i=1 E °i=n+1 ° E i=n+1 i=n+1 2 ³ ´n+1 n+p X 1 n X 1 1 n X 1 1 1¡ 1 2 = ¡ · 1 ¡ = 1 ¡ 1 = i=0 2i i=0 2i 1¡ 2 i=0 2i 1¡ 2 1¡ 2 ³ ´n+1 ³ ´n+1 1 1 1¡1+ 2 2 1 = 1 = 1 = 8n p 2 IN 1¡ 2 2 2ne questo essendo la succ. f 21n gn2IN in¯nitesima, per la proprietµ 1.2.6 ci dice proprio ache fn gn2IN µ di Cauchy in E che µ di Banach per ipotesi e quindi esiste  2E t.c. e e ~limnÃ1 n =  . Osserviamo che  2 (E  1) infatti: ~ ~ ° n ° °X ° n X n X 1 n X 1 1 ° °kn kE = ° i ° · ki kE · = ¡1 + · ¡1 + 1 = ¡1 + 2 = 1 8n 2 IN ° ° 2 i 2i 1¡ i=1 E i=1 i=1 i=0 2 140
  • 144. e questo ci dice che la successione fn gn2IN convergente a  , dimora nella sfera unitaria ~chiusa (E  1) che µ un chiuso e quindi necessariamente per il corollario 1.2.1 deve essere eche il vettore  2 (E  1). Adesso per la linearit¶ di T e per la (), osserviamo che: ~ a ° Ã  !° ° ° ° X ° ° X °  ° ° ° k ¡ T(n )kF = ° ¡ T i ° = ° ¡ T(i )° · n+1 8n 2 IN ° ° ° ° ° 2 i=1 F i=1 Fe questo ci dice che passando al limite per n ! 1 la succ. fT(n )gn2IN converge ad .Consideriamo adesso la succ. f(n  T(n ))gn2IN che per costruzione dimora in (T) edinoltre per il teorema 1.2.15 converge a (~ ), ed essendo per ipotesi (T) chiuso segue allora dal corollario 1.2.1 che (~ ) 2 (T) cio¶  = T(~) e pertanto essendo  2 (E  1)  e  ~allora  2 T((E  1)) come volevasi.Teorema 2.7.1 (della mappa aperta)Siano E ed F spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare a gra¯co chiuso e suriettivoTs: T µ aperto eDimPer il teorema 1.2.22 la spazio F=T(E) µ di Baire e quindi in particolare µ di II-categoria, e esegue allora dal lemma 2.7.1 che T((E  1)) µ un intorno di F e quindi per lemma 2.7.2 eanche T((E  1)) ¶ un intorno di F e si conclude per il teorema 2.3.2 che T µ aperto. e e Vediamo adesso alcune conseguenze notevoli del teorema della mappa aperta.Teorema 2.7.2 (dellinversa continua)Siano E ed F due spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare continuo e bigettivoTs: T µ un omeomor¯smo lineare eDim 141
  • 145. Per il teorema 1.2.19 segue che T µ a gra¯co chiuso, segue allora dal teorema 2.7.1 che T eµ aperto, e quindi per il teorema 1.2.8 si conclude che T µ un omeomor¯smo.e eTeorema 2.7.3 (delle due norme)Sia E uno spazio vettoriale sul corpo IK e siano k ¢ k1 e k ¢ k2 due norme su E che lorendono completo e tali che k ¢ k1 meno ¯ne di k ¢ k2Ts: Le due norme k ¢ k1, k ¢ k2 sono equivalentiDimFacciamo uso del corollario 1.2.2 e dimostriamo quindi che loperatore identitµ E : a(E k ¢ k2) ! (E k ¢ k1 ) ¶ un omeomor¯smo. Teniamo presente che banalmente loperatore eE µ lineare e bigettivo. Per ipotesi k ¢ k1 µ meno ¯ne di k ¢ k2 e questo per il teorema e e1.2.12 equivale ad a®ermare che loperatore identit¶ E µ continuo, siamo allora nelle a eipotesi del teorema 2.7.2 che ci assicura che E µ un omeomor¯smo. e Unimportante conseguenza del teorema dellinversa continua µ il seguente teorema edetto del gra¯co chiuso, che µ unaltra pietra miliare dellanalisi funzionale lineare. eTeorema 2.7.4 (del gra¯co chiuso)Siano E ed F due spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare a gra¯co chiusoTs: T µ continuo eDimConsideriamo sullo spazio E£F la norma canonica: k( )kE£F := maxfkkE  kkF g 8( ) 2 E £ FEssendo per ipotesi E ed F di Banach segue allora dal teorema 1.3.19 che lo spazioprodotto (E £ F k ¢ kE£F ) µ di Banach. Poniamo G := (T) che per il teorema 1.4.1 µ un e e 142
  • 146. s.sp.vett. di E£F ed µ chiuso per ipotesi e quindi per la proprietµ 1.2.8 µ anche completo. e a eConsideriamo adesso la proiezione su E E : E £ F ! E con E ( ) =  8( ) 2 E £ Fche µ continua per la proprietµ 1.2.4 e poniamo © := EjG che µ banalmente un operatore e a elineare e bigettivo ed inoltre µ continuo essendo la restrizione di una funzione continua. E equindi segue dal teorema 2.7.2 che loperatore ©¡1 : E ! G con ©¡1 () = ( T()) 8 2E µ un operatore lineare e continuo. E pertanto dal teorema 2.2.5 e tenendo inoltre epresente la costruzione della norma k ¢ kG := k ¢ kE£FjG segue che: kT()kF · maxfkkE  kT()kF g = k( T())kG = k©¡1 ()kG · · k©¡1 kL(EG) kkE 8 2 Ee quindi per il teorema 2.2.5 si conclude che T µ continuo. eLemma 2.7.3Siano E ed F due spazi vettoriali topologici; sia  : E !F funzione surgettiva, a gra¯coconvesso, aperta e  ¡1 () chiuso 8 2FTs: () µ chiuso eDimDobbiamo dimostrare che () µ chiuso, e per fare ciµ dimostriamo che il suo e ocomplementare µ un aperto, cioµ che µ intorno di ogni suo punto. e e e Sia (0 0 ) 2E £ F n () ) 0 62 ¡1 (0 ). Per il teorema 2.1.1 segue che: ¡1 (1 ) + (1 ¡ )¡1(2 ) µ  ¡1 (1 + (1 ¡ )2 ) 81  2 2 F e 8 2 [0 1] (2.77)A®ermiamo e proviamo che: 0 +  9 2 ¡1(0 ) tc 62 ¡1(0 ) (2.78) 2 143
  • 147. Supponiamo per assurdo che: 0 +  2  ¡1 (0 ) 8 2 ¡1 (0 ) (2.79) 2 0 +¤ 0¯ssato ¤ 2  ¡1 (0) allora 2 2 ¡1(0 ) ed ancora riapplicando la 2.79 si ha 2 +0 +¤ 30 +¤ 0 30 +¤ 4 2 ¡1(0 ) cioµ e 4 2 ¡1(0 ) ed ancora riapplicando la 2.79 si ha 2 + 8 2 70 +¤¡1 (0 ) cioµ e 8 2  ¡1 (0 ) e quindi iterando il ragionamento si costruisce la succ.n o (2n ¡1)0 +¤ 2n che per costruzione sta in  ¡1 (0 ), e per la continuitµ della somma e del a n2I Nprodotto converge verso 0. E pertanto poich¶ per ipotesi  ¡1 (0 ) µ chiuso, si conclude e eche 0 2  ¡1 (0 ) e si perviene ad un assurdo. Essendo per ipotesi  ¡1 (0 ) un chiuso allora 0 +per la 2.78 il vettore 2 non µ di aderenza per ¡1 (0 ) e quindi segue dall proprietµ e a1.3.5 che esiste UµE intorno di E aperto ed equilibrato tale che: µ ¶ 0 +  + U + U  ¡1 (0) = ; (2.80) 2Consideriamo linsieme +U, che µ un intorno aperto di  che interseca  ¡1 (0) (poich¶ e e 2 ( + U) ¡1 (0 )) e quindi essendo per ipotesi  aperta, segue allora dal teorema1.2.10, che 9V µF intorno di 0 tale che:  ¡1 () ( + U) 6= ; 8 2 V (2.81)Consideriamo adesso linsieme W := (0 + U) £ (20 ¡  ) che µ ovviamente un intorno di e(0  0), ci proponiamo allora di provare che Wµ E £ F n () e che quindi E £ F n ()µ intorno di (0  0). Supponiamo per assurdo che 9( ) 2 W () e quindi:e  2  ¡1 () con  = 0 +  e  = 20 ¡  per opportuni  2 U e  2 V (2.82)poich¶  2V allora per la 2.81 si che: e 9 2 ¡1 () tc  =  +  per un opportuno u 2 U ~ ~ (2.83) 144
  • 148. Per la 2.77 e per la 2.82, si osserva che: µ ¶ +   1 1 + = + 2  ¡1 () + ¡1() µ ¡1 = ¡1(0 ) 2 2 2 2 2 2Ed ancora per la 2.82, per la 2.83 e tenendo inoltre presente che U µ equilibrato si ha: e + 0 +  +  +  ~ 0 +    0 +  ~ = = + + 2 +U+U 2 2 2 2 2 2 ³ ´ + 0 +per cui 2 2 2 + U + U  ¡1 (0 ) e si perviene ad un assurdo per la 2.80.Teorema 2.7.5 (Teorema della mappa aperta in forma generale)Siano E ed F due spazi di Banach; sia T:E!F un operatore lineare suriettivoTs: Sono allora equivalenti:(1) T µ continuo e(2) (T) µ chiuso e(3) T µ aperto e T¡1 () chiuso 8 2F eDim (1))(2)Conseguenza immediata del teorema 1.2.19.Dim (2))(1)Conseguenza immediata del teorema 2.7.4.Dim (2))(3)Conseguenza immediata del teorema 2.7.1 e del teorema 1.2.20.Dim (3))(2)Essendo per ipotesi T lineare, allora per il teorema 1.4.1 gr(T) µ un s.sp.vett. e quindi ein particolare convesso. E pertanto applicando di peso il lemma 2.7.3 si ha la tesi. 145
  • 149. 2.8 Teorema di Banach-Steinhaus. Principio delluniforme limitatezzaLemma 2.8.1 (di Osgood)Sia X uno spazio topologico; sia ffi gi2I una famiglia di funzione da X in IR, s.c.i. e ½ ¾supponiamo inoltre che linsieme A:=  2 X : sup fi ()  +1 sia di II-categiria in X i2ITs: 9­ µX aperto non vuoto t.c. sup sup fi ()  +1 2­ i2IDimFissato n2 IN consideriamo linsieme An := f 2 X : supi2I fi () · ng che per la proprietµ a S1.2.13 µ un chiuso. Si veri¯ca facilmente che A = e n2IN An e quindi essendo A di II-categoria in X allora 9n 2 IN t.c. (An ) 6= ; e poich¶ An = An e ) (An ) 6= ;.Scegliamo allora ­ := (An ) e si ha supi2I fi () · n 8 2 ­ := (An ) µ An e questosigni¯ca che sup2­ supi2I fi() · n  +1.Teorema 2.8.1 (di Banach-Steinhaus)Siano E ed F due spazi normati; sia Hµ L(E,F) non vuoto e supponiamo che linsieme ½ ¾A:=  2 E : sup kT()kF  +1 sia di II-categiria in E T2HTs: H µ limitato in L(E,F) eDimDobbiamo provare che esiste K 0 tale che kTkL(EF) · K 8T 2 H. Consideriamola famiglia di funzioni reali fkT(¢)kF gT2H che sono continue essendo composizione difunizoni continue segue allora dal lemma 2.8.1 che: 9­ µ E aperto non vuoto tc M := sup sup kT()kF = sup sup kT()kF  +1 2­ T2H T2H 2­Poich¶ ­ µ non vuoto 90 2 ­ ed essendo ­ aperto allora sicuramente esiste   0 tale e e 146
  • 150. che (0  ) µ ­. Per la linearitµ di T e per la proprietµ 1.3.13 segue che: a a 1 kTkL(EF) = sup kTkF = sup kT(0 + ) ¡ T(0 )kF = 2(E 1)  2(E 1) 1 1 kT(0 )kF = sup kT() ¡ T(0 )kF · sup kT()kF + ·  2(0 )  2(0 )  1 kT(0 )kF M M 2M · sup kT()kF + · + = 8T 2 H  2­    e quindi posto K:= 2M si ottiene quanto voluto. Teorema 2.8.2 (Principio delluniforme limitatezza)Siano E uno spazio di Banach; sia F uno spazio normato; sia Hµ L(E,F) non vuotoTs: H µ limitato in L(E,F) , H() = fT() : T 2 Hg µ limitato in F 8 2E e eDim )Per ipotesi 9M  0 tc kTkL( ) · M 8T 2 H e quindi per il teorema 2.2.5 segue chekT()kF · MkkE 8 2 E e T 2 H e questa ci dice chiaramente che per ogni ¯ssato 2E, linsieme H() µ limitato in F. eDim (Per ipotesi H() µ limitato in F 8 2 E cio¶ supT2H kT()kF  +1 8 2 E e quindi e ef 2 E : supT2H kTkF  +1g = E e pertanto essendo E per il teorema 1.2.22 uno spaziodi Baire e quindi di II-categ. allora per il teorema 2.8.1 segue che H µ limitato in L(E F). eTeorema 2.8.3Sia E uno spazio di Banach; sia F uno spazio normato; sia T 2 FE ; sia fTn gn2IN in L(E,F)Ts: Sono allora equivalenti:(1) La successione fTn gn2IN converge puntualmente in E verso loperatore T n o(2) D =  2 E : n!1 Tn () = T() µ denso, fTn gn2IN µ limitata, T 2 L(E,F) lim e e 147
  • 151. Dim (1))(2)Banalmente D=E. Proviamo che fTn gn2IN µ limitata e per fare ciµ adoperiamo il teorema e o2.8.2. Poniamo H := fTn : n 2 INg e ¯ssiamo un  2E e proviamo quindi che H() :=fTn () : n 2 INg µ limitato in F. Per ipotesi fTn ()gn2IN µ converge e di conseguenza per e ela proprietµ 1.2.5 µ pure limitata e questo signi¯ca proprio che linsieme H() µ limitato a e ein F. Segue dalla proprietµ 2.5.2 che T 2 L(E,F). aDim (2))(1)Per ipotesi linsieme D µ denso e per la proprietµ 2.5.2 µ chiuso e quindi la tesi. e a eCorollario 2.8.1Siano E ed F due spazi di Banach; sia fTn gn2IN una successione ordinaria in L(E,F)Ts: Sono allora equivalenti:(1) 9T 2L(E, F) t.c. fTn gn2IN converge puntualmente in E verso T(2) D = f 2 E : fTn ()gn2IN convergenteg µ denso e fTn gn2IN µ limitata e eDim (1))(2)Conseguenza immediata del teorema 2.8.3.Dim (2))(1)Per la linearitµ dei Tn e per la proprietµ 1.3.6 segue che D µ un s.sp.vett. di E. Per a a eipotesi per ogni  2D la succ. fTn ()gn2IN converge ad un vettore di F che per comoditµ aindichiamo con S(). Nasce cosµ loperatore S:D!F che per costruzione µ il limite ³ epuntuale della succ. fTnjD gn2IN e quindi per la proprietµ 2.5.2 segue che S 2 L(D F). aPer il teorema 2.4.2 9T 2 L(E F) t.c. TjD = S. E quindi in de¯nitiva la succ. fTn gn2IN µ elimitata e per costruzione linsieme degli  2E t.c. fTn ()gn2IN converge a T() µ linsieme eD segue allora direttamente dal Teorema 2.8.3 che fTn gn2IN converge puntualmente a T. 148
  • 152. 2.9 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert e teorema di rappresentazione di RieszPropriet¶ 2.9.1 aSia H uno spazio a prodotto scalare; sia 0 2H e consideriamo il funzionale (¢) = (¢ 0 )HTs:  2 H¤ e kkH¤ = k0 kHDimLa linearit¶ di  segue dalla de¯nizione 1.3.14 poich¶ la (1) ci dice per lappunto che il a eprodotto scalare µ lineare rispetto alla prima variabile. Per la proprietµ 1.3.18 e per il e ateorema 1.2.18 segue che  µ continuo. Ci rimane da provare che kkH¤ = k0 kH . Se e0 = H allora luguaglianza µ banalmente vera, consideriamo quindi il caso 0 6= H . eProviamo che kkH¤ · k0 kH . Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz segue che: q q j()j = j( 0 )H j · ( )H (0  0)H = kkH k0 kH · k0 kH 8 2 H con kkH · 1e quindi passando al sup sulla sfera unitaria a norma di de¯nizione otteniamo propriola disugaglianza suddetta. Viceversa proviamo che k0kH · kkH¤ . Per il teorema 2.2.5segue che j()j · kkH¤ kkH 8 2 H e da questa per la linearitµ del funzionale  in a 0corrispondenza del versore  := k0 kH otteniamo quanto voluto. Nelle applicazioni della teoria generale riveste grande importanza la conoscenzadella forma generale dei funzionali lineari negli spazi concreti. Per forma generale deifunzionali lineari di una data classe (il piµ delle volte si considera la classe di tutti i ufunzionali lineari e continui in un dato spazio) si intende unespressione analitica checontiene parametri di vario genere (numeri, vettori, funzioni, ecc.) la quale, per valori¯ssati dei parametri, d¶ un funzionale della classe data; inoltre i funzionali cosµ ottenuti a ³ 149
  • 153. esauriscono tutti i funzionali considerati. Qui di seguito µ riportato uno dei piµ noti e uteoremi di rappresentazione dovuto al matematico ungherese Frederic Riesz.Teorema 2.9.1 (di rappresentazione Riesz)Sia H uno spazio di Hilbert; sia  2 H¤Ts: 9!0 2 H tc (¢) = (¢ 0)HDimSe  = H¤ allora banalmente basta scegliere 0 = H . Supponiamo che  6= H¤ . PoniamoF:=() che per la proprietµ 1.4.2 µ un sottospazio vettoriale di H ed µ chiuso per a e ela continuitµ di  segue allora dal teorema 1.3.23 che H = F © F? e quindi essendo per ail teorema 1.4.8 F di codimensione 1 allora necessariamente F? deve avere dimensione 1cioµ 9 2 H n fH g tc F? = (fg). Consideriamo il funzionale (¢) := (¢ )H che eper la proprietµ 2.9.1 µ lineare e continuo. Si osserva che: a e () µ () (2.84)infatti se  2 () ) () = ( )H = 0 ) ( )H = 0 8 2 IK ) ( )H =0 8 2 (fg) = F? )  2 (F? )? segue dal teorema 1.3.23 che  2 F := ().E quindi poich¶ vale la 2.84 allora per il teorema 1.4.10 segue che: e 9 2 IK tc () = () = ( )H = ( )H 8 2 He pertanto basta scegliere 0 := . Ci rimane da provare lunicitµ del vettore arappresentante 0 di . Sia 1 2 H tale che (¢) = (¢ 1 )H e proviamo quindi che0 = 1 . Poich¶ () = ( 0 )H e () = ( 1)H 8 2 H ) ( 0)H = ( 1 )H 8 2 eH ) ( 0 ¡ 1 )H = 0 8 2 H ) 0 ¡ 1 2 H? = fH g ) 0 ¡ 1 = H ) 0 = 1 . 150
  • 154. Teorema 2.9.2 (Identi¯caz. di uno sp. di Hilbert reale con il suo duale)Sia H un IR-spazio di Hilbert e consideriamo loperatore © : (H k ¢ kH ) ! (H¤ k ¢ k¤ ) Htale che ad ogni ¯ssato  2 H fa corrispondere il funzionale reale lineare e continuo©() : H ! IR con ©()(¢) := (¢ )HTs: © µ unisometria lineare surgettiva eDimLa suriettivit¶ di © µ immediata conseguenza del teorema 2.9.1. Veri¯chiamo che © µ a e elineare. Nella de¯nzione 1.3.14 abbiamo osservato che in generale la funzione prodottoscalare non µ lineare rispetto alla seconda variabile, ma per ipotesi H µ uno sp. a prodotto e escalare reale (cioµ IK = IR), e pertanto in tal caso la funzione prodotto scalare µ lineare e eanche rispetto alla seconda variabile, per il fatto che il coniugato di un numero reale µ se estesso. Siano   2 IR e 1  2 2 H si ha allora che:©(1 +2 )() = ( 1 +2 )H = ( 1 )H +( 2)H = ©(1)()+©(2)() 8 2 HCi rimane da provare che © µ unisometria. Per la proprietµ 2.9.1 segue che: e a k©()kH¤ = k(¢ )H kH¤ = kkH 8 2 Hsegue allora dalla proprietµ 1.4.9 che © µ unisometria. a eTeorema 2.9.3 PnPosto H := IKn munito del prodotto scalare euclideo ( )H := i=1 i  8 =(1      n )  = (1      n ) 2 H; sia  : H ! IK un funzionale lineareTs: Valgono allora le seguenti due a®ermazioni:() 9!a1     an 2 IK tc (1      n ) = a1 1 + ¢ ¢ ¢ + an 8(1      n ) 2H q() kkH¤ = ja1j2 + ¢ ¢ ¢ + jan j2 151
  • 155. DimVeri¯chiamo la (). Per il teorema 2.5.3 il funzionale lineare  µ continuo e pertanto esegue direttamente dal teorema 2.9.1 che 9!(c1      cn ) 2 IK tale che: (1     n ) = (1        c1      cn )H = 1 c1 + ¢ ¢ ¢ + n cn 8 2 (1      n ) 2 He quindi evidentemente per ottenere quanto voluto basta scegliere ai := ci 8i = 1    n.Veri¯chiamo la (). Segue allora direttamente dalla proprietµ 2.9.1 che: a q kkH¤ = k(c1      cn )kH = jc1j2 + ¢ ¢ ¢ + jcn j2e quindi per ottenere quanto voluto basta osservare che: jai j2 = ai ai = ci ci = ci ci = jci j2 8i = 1     nLemma 2.9.1 (di Ascoli)Sia (E,k ¢ kE ) uno spazio normato reale; sia  2 E¤ n f ¤ g; sia  2 IR e sia 0 2E j(0 ) ¡ jTs: (0  ¡1 ())= kkE¤DimProviamo che: j(0) ¡ j · inf k ¡ 0 kE (2.85) kkE¤ 2¡1 ()Per la linearit¶ di , e per il teorema 2.2.5 segue che: a j(0 ) ¡ j j(0) ¡ ()j j(0 ¡ )j = = · k0 ¡ kE 8 2 ¡1() kkE¤ kkE¤ kkE¤e quindi passando allinf su ¡1 () otteniamo la 2.85. Viceversa proviamo che: j(0 ) ¡ j inf k ¡ 0 kE · (2.86) 2 ¡1 () kkE¤ 152
  • 156. Fissato un arbitrario   0 allora per la IIa proprietµ del sup si ha che 9 2 E con kkE = a ¯ ¯1 tc j()j  kkE¤ ¡  moltiplicando ambo i membri per ¯ (0 )¡ ¯ otteniamo: ¯ () ¯ ° ° ° ( ) ¡  ° ° ° 0 j(0 ) ¡ j  (kkE¤ ¡ ) ° ° ° () °e quindi posto: (0 ) ¡  0 := 0 ¡  ()otteniamo che j(0 ) ¡ j  (kkE¤ ¡ )k0 ¡ 0 kE e quindi in de¯nitiva osservando chebanalmente per costruzione 0 2 ¡1 () si ha che: j(0) ¡ j inf k ¡ 0kE · k0 ¡ 0 kE  2 ¡1 () kkE¤ ¡ e questa per larbitrariet¶ di   0 ci da la 2.86. aTeorema 2.9.4 (Distanza di un punto da un iperpiano reale)Siano a1      an   2 IR non tutti nulli e consideriamo liperpiano  : a1 1 +¢ ¢ ¢+an n = ;sia 0 = (0     0 ) 2 IRn 1 n 0 ja1 0 + ¢ ¢ ¢ + an 0 ¡ j 1 nTs: (  ) = q ja1 j2 + ¢ ¢ ¢ + jan j2DimSia E:= IRn munito del prodotto scalare euclideo. Consideriamo il funzionale lineare:  : E ! IR con (1      n ) := a1 1 + ¢ ¢ ¢ + an n 8(1      n ) 2 Eche µ continuo per il teorema 2.5.3 ed inoltre per de¯nizione ¡1 () =  segue allora dal elemma 2.9.1 e dal teorema 2.9.3 che: j(0) ¡ j ja1 0 + ¢ ¢ ¢ + an 0 ¡ j (0 ) = = q1 n kkE¤ ja1j 2 + ¢ ¢ ¢ + ja j2 n 153
  • 157. Bibliografia[1] B. Ricceri, Appunti di analisi funzionale, Messina, a.a. 1995/96[2] B. Ricceri, Appunti di analisi superiore, Messina, a.a. 1996/97[3] D.C. Demaria, Topologia generale, vol.2, Editrice Tirrena, Torino (1971)[4] F. Deutsch, I. Singer, On single-valuedness of convex set-valued Maps, Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands (1993), 97-103.[5] H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni, Editore Liguori, Napoli (1986) ·[6] Leonid V. Kantarovic, Gleb P. Akilov, Analisi funzionale, Editori Riuniti, Roma (1980)[7] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Paris (1955)[8] S. Banach, Th¶orie des op¶rations lin¶aires, Warszawa (1932) e e e 154
  • 158. Indice AnaliticoA 129anello degli operatori lineari e continui, caratterizzazione di variet¶ a±ni con a 126 codimensione uno, 61approssimazione iniziale, 132 caratterizzazione operatori a gra¯co convesso, 69B chiusura lineare, 34base canonica, 9 codimensione di un s.sp.vett., 53base di Hamel, 9 codimensione di una variet¶ a±ne, 53 abase fondamentale di intorni, 16 complemento ortogonale, 44C continuit¶ degli operatori lineari a valori aC.N.S a±nchµ un funzionale lineare e in spazi localmente convessi, 81 sia combianazione lineare di continuit¶ degli operatori lineari a volori a assegnati funzionali lineari, 62 in uno spazio seminormato, 83caratterizzazione degli operatori a±ni, 74 continuit¶ degli operatori lineari tra spazi acaratterizzazione degli operatori lineari, localmente convessi, 79 45 continuit¶ degli operatori lineari tra spazi acaratterizzazione dei sottospazi vettoriali normati, 81 con codimensione uno, 60 continuit¶ degli operatori lineari tra spazi acaratterizzazione dellinversa di vettoriali topologici, 77 un operatore lineare e continuo, 155
  • 159. continuit¶ dei funzionali lineari su uno a funzionale sub-additivo, 11 spazio vettoriale topologico, 77 funzione aperta, 19continuitµ degli operatori lineari nel caso a funzione chiusa, 19 di ¯nito dimensionalitµ, 125 a funzione continua, 17convergenza assoluta di una serie, 42 funzione lipschitziana, 27convergenza di una serie, 33 funzione proiezione, 23convergenza di una successione, 14 funzione s.c.i., 28convergenza puntuale, 15 Icostante di lipschitz, 27 insieme assolutamente convesso, 7criterio sequenziale della continuitµ, 18 a insieme compatto, 15D insieme convesso, 6dimensione di una variet¶ a±ne, 10 a insieme dei punti di convergenza, 14dimensione di uno spazio vettoriale, 9 insieme denso, 16distanza di un punto da un insieme, 26 insieme di I-categoria, 17disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, 42 insieme di II-categoria, 17duale algebrico, 44 insieme equilibrato, 6duale topologico, 85 insieme limitato nel senso degli spazi metrici, 25F insieme limitato nel senso degli spazifamiglia di seminorme saturate, 37 vettoriali topologici, 34funzionale assolutamente omogeneo, 11 insieme linearmente indipendente, 9funzionale di Minkowsky, 12 insieme radiale, 7funzionale lineare, 44 insieme raro, 17funzionale positivamente omogeneo, 11 156
  • 160. insieme simmetrico, 7 Oinsieme totale, 68 omeomor¯smo, 18inviluppo lineare, 8 operatore a±ne, 73iperpiani separatori, 110 operatore lineare, 44iperpiano, 58 Pisometria, 28 principio delluniforme limitatezza, 147isomor¯smo, 48 prodotto interno, 42L prodotto scalare, 42lemma di Ascoli, 152 prodotto scalare euclideo, 42lemma di Osgood, 146 proiezione, 23 proiezione canonica, 48M proprietµ degli insiemi limitati, 35 ametodo delle appross. successive, 132 proprietµ del funzionale di Minkowsky, ametrica, 24 12, 13metrica indotta, 24 proprietµ del nucleo di un operatore ametrica indotta dalla norma, 39 lineare, 45N proprietµ delle isometrie, 28 anorma, 11 proprietµ delle semisfere, 36 anorma indotta dal prodotto scalare, 42 proprietµ delle successioni limitate di anorma operatoriale, 85 operatori lineari, 118norme canoniche, 40 proprietµ delle varietµ a±ni, 6 a anucleo di un operatore lineare, 45 proprietµ produttiva, 22 anucleo radiale, 7 proprietµ topologica, 18 a 157
  • 161. R spazi compatti, 15ricoprimento, 15 spazi completi, 27ricoprimento aperto, 15 spazi di Baire, 17ricoprimento ¯nito, 15 spazi di Banach, 39ridotta, 33 spazi di Hausdor®, 14 spazi di Hilbert, 42S spazi di tipo M, 41seminorma, 11 spazi I-numerabili, 16semisfera, 36 spazi isometrici, 28serie, 33 spazi isomor¯, 48sfera aperta, 24 spazi localmente convessi, 35sfera chiusa, 25 spazi metrici, 24sistema biortogonale, 65 spazi normati, 36sistema fondamentale di intorni, 16 spazi omeomor¯, 18soluzioni approssimate, 132 spazi pre-hilbertiani, 42somma di una serie, 33 spazi quoziente, 48somma diretta di sottospazi, 5 spazi seminormati, 36somma parziale k-esima, 33 spazi vettoriali topologici, 29sottoricoprimento, 15 spazio L(E,F), 85sottospazi complementari, 11 spazio E¤ , 85span, 8 spazio E0 , 44span, 34 spazio  0 (X Y), 17spazi -compatti, 16 spazio (E,F), 44spazi a prodotto scalare, 42 158
  • 162. successione convergente, 14 teorema di Kolmogorov, 42successione di Cauchy, 26 teorema di Nachabin, 97 teorema di rappresentazione di Riesz, 150T teorema di separazione in formateorema del gra¯co chiuso, 142 algebrica, 113teorema dellinversa continua, 141 teorema di separazione in formateorema della diagonale, 23 topologica, 114teorema della mappa aperta, 141 teorema di stretta separazione, 115teorema della mappa aperta in forma teorema di unicitµ del limite, 15 a generale, 145 teorema fondamentale degli spazi diteorema delle due norme, 142 Hilbert, 44teorema di Banach, 130 topologia generata, 21teorema di Banach-Steinhaus, 146 topologia indotta da una famiglia diteorema di Deutsch-Singer, 71 seminorme, 36teorema di Hahn-Banach, 101 topologia indotta dalla metrica, 25teorema di Hahn-Banach in forma topologia meno ¯ne, 14 geometrica, 105 topologia piµ grossolana, 14 uteorema di Hahn-Banach nella forma topologia prodotto, 22 analitica classica, 103 topologia vettoriale, 29teorema di Hahn-Banach per gli spazi topologie equivalenti, 14 localmente convessi, 108teorema di Hahn-Banach per gli spazi V normati, 109 variet¶ a±ne, 6 ateorema di Heine-Pincherle-Borel, 42 vettori ortogonali, 44 159

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