Sostituzioni notevoli per l'integrazione [santi caltabiano]
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  • 1. Santi Caltabiano SOSTITUZIONI NOTEVOLI Le seguenti sostituzioni risultano di fondamentale importanza. Infatti nellamaggior parte dei casi, applicandole una o più volte, in un integrale assegnato, lo siriconduce ad un integrale di una funzione razionale.1 SOSTITUZIONE NOTEVOLE1) Integrali del tipo:  R(f(x)) f (x) dxdove R è una funzione dipendente dall’argomento f. Ad esempio: 3 ln 2 ( x )  3 ln( x)  5  dx xLa sostituzione da fare è: t= f (x)2 SOSTITUZIONI PER LA RAZIONALIZZAZIONE D’INTEGRALI IRRAZIONALILa sostituzione da ricercare in un integrale irrazionale è quella che razionalizza ilradicando.2) Integrali del tipo: m m2 mn   ax  b  1  ax  b   ax  b    R  x,    ,   cx  d   ,…,   cx  d    dx   cx  d      con m1,…, mn numeri razionali e a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzionerazionale dipendente dagli n argomenti. Ad esempio: x2 x 5  dx oppure  x sen( x ) dx x 3 x5La sostituzione da fare è: ax  b tN= cx  d 1
  • 2. Santi Caltabianodove N è il m.c.m. dei denominatori di m1,…, mn. Si esplicita la x in funzione di t, sidifferenzia e si sostituisce.3) Integrali del tipo:    R  x, a  x 2   dx   con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Adesempio: x2 3 x2  dx 2 2 5x  2 x  1  3  xLa sostituzione da fare è: x= a sin(t) oppure x= a cos(t)4) Integrali del tipo:    R  x, x 2  a   dx   con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Esempio: x2 x2 3  dx 2 2 5x  2 x  1  x  3La sostituzione da fare è: x= a cosh(t)5) Integrali del tipo:    R  x, x 2  a   dx   con a>0 e dove R è una funzione razionale dipendente dai due argomenti. Adesempio: x2 x2  3  dx 2 2 5x  2 x  1  x  3La sostituzione da fare è: x= a sinh(t) 2
  • 3. Santi Caltabiano6) Integrali del tipo:    R  x, ax 2  bx  c   dx   con a,b,c reali con a0 e tali che se :=b2–4ac0 allora a>0 e dove R è una funzionerazionale dipendente dai due argomenti. Ad esempio: x2  2 x 2  7 x  1  dx 2 2 5x  2 x  1   2x  7 x  1Evidentemente tale tipo d’integrale ingloba gli integrali del tipo: 3), 4), 5). Se :=0allora ax2+bx+c si può scrivere come un quadrato perfetto cioè del tipo a(x–)2, ed intal caso non è necessaria alcuna sostituzione. Mettiamoci quindi nel caso 0.Osservando che:  2 2 2 b     b    ax +bx+c= a  x    2  = sgn(a)|a|  x    2    2a  4a     2a  4a  pertanto facendo la sostituzione: b t= x  2asi ricade in un’integrale del tipo: 3), 4), 5).Vediamo qualche metodo alternativo.Se a>0 (e ovviamente 0) una sostituzione efficace è: ax 2  bx  c = a (x+t)quadrando: ax2+bx+c=a(x+t)2si esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce ax 2  bx  c con a (x+t) ed x con l’espressione di x in funzione di t.Se >0, allora dette  e  le radici (reali e distinte) del polinomio ax2+bx+c,osserviamo che: x  ax 2  bx  c = a ( x   )( x   ) = ( x   ) a x 3
  • 4. Santi Caltabianoe si ricade quindi nell’integrale del tipo 2).7) Integrali del tipo:    R  x, ax  b , cx  d   dx   con a,b,c,d numeri reali e dove R è una funzione razionale dipendente dai treargomenti. Ad esempio: 3x  2  dx 2  2  7xLa sostituzione da fare è: t= ax  bquadrando: t2=ax+bsi esplicita la x in funzione di t, si differenzia, si sostituisce ax  b con t ed x conl’espressione di x in funzione di t. E si ricade così in un integrale del tipo 6).8) Integrali del tipo: (integrali di un differenziale binomio)  xm(axn+b)pdxdove m,n,p razionali. Gli integrale del tipo 3), 4), 5) risultano un caso particolare diquest’ultima tipologia di integrali. Si presentano tre casi: Se p è intero, la sostituzione da fare è: tN=xdove N è il m.c.m. dei denominatori di m ed n. m 1 Se è intero, la sostituzione da fare è: n tN= axn+bdove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e sisostituisce. m 1 Se +p è intero, la sostituzione da fare è: n tN=a+bx–n 4
  • 5. Santi Caltabianodove N è il denominatore di p. Si esplicita la x in funzione di t, si differenzia e sisostituisce.3 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE1) Integrali del tipo:  R(ex)dxdove R è una funzione dipendente dall’argomento ex. Ad esempio: e2x  1  dx 2e xLa sostituzione da fare è: t=ex2) Integrali del tipo:  R(ln(x))dxdove R è una funzione dipendente dall’argomento ln(x). Ad esempio: ln 2 ( x )  1  dx 2 ln( x)La sostituzione da fare è: t=ln(x)4 SOSTITUZIONI PER INTEGRALI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE1) Integrali del tipo:  R(sin(x),cos(x),tg(x))dxdove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio: sin 2 ( x )  cos( x)  1  dx 2 tg ( x)La sostituzione da fare è:  x t= tg  2 5
  • 6. Santi CaltabianoRicordando che: 2t 1 t2 1 t2 sin(x)= ; cos(x)= ; tg(x)= 1 t2 1 t2 2t2) Integrali del tipo:  R(sin2(x),cos2(x),tg(x))dxdove R è una funzione dipendente dai tre argomenti. Ad esempio: sin 2 ( x ) cos 2 ( x)  1  dx 2 tg ( x )La sostituzione da fare è: t=tg(x)Ricordando che: 2 t2 1 sin (x)= e cos2(x)= 1 t2 1 t2Evidentemente quest’ultimo tipo d’integrale è inglobato dall’integrale del tipo 1). 6