Inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]
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Inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano] Inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano] Document Transcript

  • Università Degli Studi di Reggio Calabria Facoltà Di IngegneriaDOCUMENTO REDATTO DAL DOTT. S. Caltabiano
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Definizione 1Sia AR un insieme non vuoto. Se esiste un numero mA. tale che: m  a aAdiciamo che è il minimo per l’insieme A. Usualmente il minimo di A si denota con: min(A):=mOvviamente il minimo se esiste è unico.Se esiste un numero MA tale che: a  M aAdiciamo è il massimo per l’insieme A. Usualmente il massimo di A si denota con: max(A):=MOvviamente il massimo se esiste è unico.Definizione 2Sia AR un insieme non vuoto. Diciamo che un numero hR. è un minorante perl’insieme A se: h  a aANon è detto che ogni insieme ammetta minorante, ad esempio l’intervallo ]–,0[ nonammette minorante.Diciamo che un numero kR. è un maggiornate per l’insieme A se: a  k aANon è detto che ogni insieme ammetta maggiorante, ad esempio l’intervallo ]0,+[non ammette maggiorante.Definizione 3Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato inferiormente se ammette almenoun minorante.Dott. S. Caltabiano 2
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato superiormente se ammette almenoun maggiorante.Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato se è limitato inferiormente esuperiormente.Teorema 1Se AR un insieme non vuotoTs: A è limitato se e solo se >0 t.c. a < aATeorema 2Se AR un insieme limitato inferiormente (rispettivamente superiormente) e BATs: B è limitato inferiormente (rispettivamente superiormente)Definizione 4Sia AR un insieme non vuoto. Se A è limitato inferiormente diciamo estremoinferiore di A il numero: e  =max{hR : ha aA}cioè e  è il più grande dei minoranti. Usualmente l’estremo inferiore di A si denotacon la scrittura: inf(A):= e Ovviamente inf(A) è unico. Se l’insieme A ammette minimo, per l’unicità devenecessariamente essere che inf(A)=min(A).Se A è limitato superiormente diciamo estremo superiore di A il numero: e  =min{kR : ak aA}cioè e  è il più piccolo dei maggioranti. Usualmente l’estremo superiore di A sidenota con la scrittura: sup(A):= e Dott. S. Caltabiano 3
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Ovviamente sup(A) è unico. Se l’insieme A ammette massimo per l’unicità devenecessariamente essere che sup(A)=max(A). Negli esercizi inerenti inf e sup gio0cano un ruolo fondamentali, i seguentisemplici risultati.Teorema 3Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormenteTs: inf(A)=min(A) se e solo se inf(A)ATeorema 4Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormenteTs: sup(A)=max(A) se e solo se sup(A)ATeorema 5Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia s   s  è un minoranteTs: s  =inf(A) se e solo se    0 a  A t.c. a  s   Teorema 6Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia s   s  è un maggiorant eTs: s  =sup(A) se e solo se    0 a  A t.c. a  s   Teorema 7Sia AR un insieme non vuotoDott. S. Caltabiano 4
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:(1) Se l’insieme A è limitato inferiormente allora –A è limitato superiormente e si ha inf(A)=–sup(–A)(2) Se l’insieme A è limitato superiormente allora –A è limitato inferiormente e si ha sup(A)=–inf(–A)Teorema 8Sia AR un insieme non vuotoTs: Valgono allora le seguenti due affermazioni:(1) Se A ammette minimo allora –A ammette massimo e si ha min(A)=–max(–A)(2) Se A ammette massimo allora –A ammette minimo e si ha max(A)=–min(–A)Teorema 9 Sia AR un sottoinsieme non vuoto; sia bR e sia c R0 ; e ricordiamo che B:=b+A:={b+a : aA} e C:=cA:={ca : aA}Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:(1) Se A è limitato inferiormente allora gli insiemi b  A e cA sono limitati inferiormente ed inoltre inf(b+A)=b+inf(A) e inf(cA)=c inf(A)(2) Se A è limitato superiormente allora gli insiemi b  A e cA sono limitati superiormente ed inoltre sup(b+A)=b+sup(A) e sup(cA)=c sup(A)Teorema 10 Sia AR un insieme non vuoto; sia bR; sia c R0Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:(1) Se A ammette minimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono minimo ed inoltre min(b+A)=b+min(A) e min(cA)=c min(A)Dott. S. Caltabiano 5
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)(2) Se A ammette massimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono massimo ed inoltre max(b+A)=b+max(A) e max(cA)=c max(A)Teorema 11Siano A,BR due insiemi non vuoti. Ricordiamo che A+B:={a+b : aA e bB}Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:(1) Se A e B sono limitati inferiormente allora l’insieme A+B è limitato inferiormente e si ha che inf(A+B)=inf(A)+inf(B)(2) Se A e B sono limitati superiormente allora l’insieme A+B è limitato superiormente e si ha che sup(A+B)=sup(A)+sup(B)Teorema 12Siano A,BR due insiemi non vuotiTs: Valgono allora le seguenti affermazioni:(3) Se A e B ammettono minimo allora l’insieme A+B ammette minimo e si ha che min(A+B)=min(A)+min(B)(4) Se A e B ammettono massimo allora l’insieme A+B ammette massimo e si ha che max(A+B)=max(A)+max(B)Teorema 13Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia hR un minorante di ATs: Se hA allora h=min(A)=inf(A)Teorema 14Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia kR un maggiorante di ATs: Se kA allora k=max(A)=sup(A)Dott. S. Caltabiano 6
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Esempio 1Assegnato l’insieme:  1 A:=  x  R : n  N t.c. x    nDeterminare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Per fare ciò possiamo attribuire allan valori crescenti e vedere così l’andamento degli elementi di A: 1 1 1 1 1 1; ; ; ; ;…; 2 3 4 5 10si intuisce che 1 è un maggiorante. Per verificare tale affermazione, dobbiamoprovare che: 1 1 nN novvero che: n1 nNche è palesemente vera. Un altro metodo per la ricerca dei maggioranti è quello diaffidarsi alle maggiorazioni (quest’ultimo metodo nel caso considerato ci diceimmediatamente che 1 è un maggiorante). Abbiamo già osservato che 1 è unmaggiorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA taleche a>1– e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che: 1 n*N t.c. * >1– nSe 1 allora 1–0 e di conseguenza basta scegliere un qualunque n*N. Se 0<<1allora ambo i membri sono strettamente positivi e quindi possiamo passare aireciproci: 1 n*< 1 Dott. S. Caltabiano 7
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)poiché 1–<1 il secondo membro della precedente è >1 e di conseguenza bastascegliere n*=1. In questo caso il ragionamento precedente poteva essere evitato,infatti bastava osservare che per n=1 l’elemento corrispondente x=1/1=1 e quindi1A e di conseguenza per il Teorema 14 max(A)=1.Per quanto riguarda la ricerca dei minoranti di A, si può precedere come nel casoprecedente. Tuttavia si osserva che gli elementi di A sono strettamente positivi e diconseguenza 0 è un minorante per l’insieme A. In questo caso 0A e quindi nonpossiamo fare uso del Teorema 13. Verifichiamo se 0 è candidato ad essere l’estremoinferiore, e per fare ciò adoperiamo il Teorema 5. Abbiamo già detto che 0 è unminorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale chea<0+= e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che: 1 n*N t.c. < n*Si isola n* e si ottiene: 1 n *> al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindibasta scegliere un n*N più grande di tale quantità. Quindi 0 è l’estremo inferiore A.Per il Teorema 3 A non ammette minimo.Esempio 2Assegnato l’insieme:  A:= x  R : n  N t.c. x  n 2  2Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Verifichiamo se l’insieme ammette minorante. Osserviamo che: –1=1–2n–2n2–2 nNe pertanto –1 è un minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che ilcorrispondente elemento x=12–2=1–2=–1 e quindi segue dal Teorema 13 che –1 è ilDott. S. Caltabiano 8
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)minimo di A. Per vedere se A ammette maggiorante attribuiamo alla n valoricrescenti e vediamo così l’andamento degli elementi di A: –1 ;2 ; 7 ; 14 ; 23 ; … ; 98si intuisce che l’insieme A non è limitato e che quindi non ammette maggioranti. Perverificare tale affermazione, dobbiamo provare che: K>0 nN t.c. n2–2>KSi isola n e si ottiene: n> K  2al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindibasta scegliere un nN più grande di tale quantità.Esempio 3Assegnato l’insieme:  2n  3  A:=  x  R : n  N t.c. x    5n Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Attribuendo valori crescenti alla n: 7 3 11 23 1; ; ; ;…; 10 5 20 50si intuisce che 1 è un maggiorante di A. Per verificare che 1 è un maggiorante di A,dobbiamo provare che: 2n  3  1 nN 5nRisolvendo: 2n  3  1  2n+35n  33n  n1 5nDott. S. Caltabiano 9
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)e quest’ultima evidentemente è vera per ogni nN. E pertanto 1 è un maggiorante perA, ed inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente elemento x=1 e quindi seguedal Teorema 14 che 1 è il massimo di A.Ovviamente l’insieme A è limitato inferiormente poiché gli elementi di A sonostrettamente positivi e di conseguenza 0 è un minorante di A. Ma 0 non è l’inf, poichénon è il più grande dei minoranti, infatti un altro minorante è dato da: 2n  3 2 3 2 = +  nN 5n 5 5n 5Ci proponiamo di provare che 2/5 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario>0 dobbiamo provare che esiste un nN tale che: 2n  3 2 < + 5n 5Risolvendo la disequazione rispetto alla n, si trova che: 3 n> 5al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindibasta scegliere un nN più grande di tale quantità. Osserviamo che 2/5A e quindisegue dal Teorema 3 che A non ammette minimo.Facciamo osservare che lo studio degli estremi di A poteva essere semplificatonotevolmente. Infatti osserviamo che:  2 3 1 2 3 A:=  x  R : n  N t.c. x   = + B  5 5 n 5 5dove si è posto:  1 B:=  x  R : n  N t.c. x    nDall’Esempio 1, dal Teorema 9 segue che 2 3 2 3 2 inf(A)= + inf(B)= + 0= 5 5 5 5 5Analogamente dall’Esempio 1, dal Teorema 10 segue cheDott. S. Caltabiano 10
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 2 3 2 3 2 3 2 3 max(A)= + max(B)= + 1= + = + =1 5 5 5 5 5 5 5 5in accordo con quanto suddetto.Esempio 4Assegnato l’insieme:  n  1 A:=  x  R : n  N t.c. x    n Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Osserviamo che:  1 A:=  x  R : n  N t.c. x  1   =1–B  ndove si è posto:  1 B:=  x  R : n  N t.c. x    nPer l’Esempio 1, per il Teorema 8, per il Teorema 10 segue che: min(A)=min(1–B)=1+min(–B)=1–max(B)=1–1=0Per l’Esempio 1, per il Teorema 7, per il Teorema 9 segue che: sup(A)=sup(1–B)=1+sup(–B)=1–inf(B)=1–0=1Esempio 5Assegnato l’insieme:  1 A:=  x  R : n  N t.c. x  n    nDeterminare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Attribuendo valori alla n si intuisce che 2 è un minorante per A. Per verificare taleaffermazione dobbiamo provare che:Dott. S. Caltabiano 11
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1 n 2 nN nRisolviamo rispetto ad n e dimostriamo che la suddetta disequazione vale per ogninN: 1 n 2  n2–2n+10 ne quindi: n= 1  1  1 =1e quindi la disequazione è soddisfatta per nN come volevasi. E pertanto 2 è unminorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondenteelemento x=2 e quindi segue dal Teorema 13 che 2 è il minimo di A.Osserviamo adesso che: 1 n >n nN ne questo evidentemente ci dice che l’insieme A non è limitato superiormente.Esempio 6Assegnato l’insieme:  n  1 A:=  x  R : n  N t.c. x  (1) n   n Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Osserviamo che: n 1 n 1 1 (1) n = = 1  1 nN n n ne quindi segue dal Teorema 1 che l’insieme A è limitato. Esplicitando il modulo nelladisuguaglianza precedente otteniamo: n 1 –1 (1) n 1 nN nDott. S. Caltabiano 12
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)e quindi –1 e 1 sono rispettivamente un minorante ed un maggiorante di A. Vogliamoprovare che 1 è l’estremo superiore per A. Fissato un arbitrario >0 dobbiamoprovare che: n 1 nN t.c. (1) n >1– nConsideriamo gli n pari e quindi: n 1 >1–  n–1>n–n  –1>–n  1<n  n>1/ ne quindi basta scegliere un n pari più grande di 1/. Si osserva che al variare di n1=sup(A)A e di conseguenza per il Teorema 4 l’insieme A non ammette massimo.Vogliamo provare adesso che –1 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario >0dobbiamo provare che: n 1 nN t.c. (1) n <1+ nConsideriamo gli n dispari e quindi: n 1 – <1+  –(n–1)<n+n  –n+1<n+n  1<n(+2)  n>1/(+2) ne quindi basta scegliere un n dispari più grande di 1/(+2). Si osserva che al variare din–1=inf(A)A e di conseguenza per il Teorema 3 l’insieme A non ammette minimo.Esempio 7Assegnato l’insieme:   A:= x ]  90,77[ : n  N t.c. x  n 2  2Determinare se l’insieme è limitato.Poiché A]–90,77[ segue allora dal Teorema 2 che A è limitato.Esempio 8Assegnato l’insieme:Dott. S. Caltabiano 13
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  3m  2n  A:=  x  R : n, m  N t.c. x    nm Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup.Osserviamo che:  3 2 A:=  x  R : n  N t.c. x    =3B–2C  n mdove si è posto:  1  1 B:=  x  R : n  N t.c. x   e C:=  x  R : m  N t.c. x    n  mPer l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che: inf(A)=inf(3B–2C)= inf(3B)+ inf(–2C)=3inf(B)+2inf(–C)= =3inf(B)–2sup(C)=30–21=–2Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che: sup(A)=sup(3B–2C)= sup(3B)+sup(–2C)=3sup(B)+2sup(–C)= =3sup(B)–2inf(C)=31–20=3Esempio 9Assegnato l’insieme:  3n 2  1 A:=  x  R : n  N t.c. x    2n 2 Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di rispostaaffermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.Osserviamo che:  3 1  3 1 A=  x  R : n  N t.c. x   2  = – B  2 2n  2 2Dove si è posto:  1 B:=  x  R : n  N t.c. x  2   n Dott. S. Caltabiano 14
  • UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Procedendo come nei casi precedenti si trova che inf(B)=0 e max(B)=1. Per ilTeorema 9, per il Teorema 7 segue che: 3 1  3 1 3 1 3 1 3 1 inf(A)= inf   B  = + inf(–B)= – sup(B)= – max(B)= – =1 2 2  2 2 2 2 2 2 2 2Per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che: 3 1  3 1 3 1 3 1 3 sup(A)= sup  B  = + sup(–B)= – inf(B)= – 0= 2 2  2 2 2 2 2 2 2EserciziDeterminare se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente, superiormente, ed incaso di risposta affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.  3n  2 (1)  x  R : n  N t.c. x  (1) n   2n   1(2)  x  R : n  N t.c. x     n  1(3) N  x  R : n  N t.c. x     n (4) x  R : n  N t.c. x  n 2  22n  10 (5) x  R : n  N t.c. x  n 2   5n  3  t 1(6)  x  R : t ]2,[ t.c. x    t  2 (7) x  R : n  N t.c. x  n 2  3n  1     (8)  x  R : n  N t.c. x  sin n    8  (9) x  R : x 2 è razionale   (1) n (10)  x  R : n  N t.c. x    n (11) x  R : y  R t.c. y 2  y 2e x  y Dott. S. Caltabiano 15