Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA

AUTORE: S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Indice Generale

1 Funzioni elementari ............................................................................................ 1
1.1 La funzione esponenziale ............................................................................... 1
1.2 La funzione logaritmo .................................................................................... 3
1.3 La funzione potenza ....................................................................................... 5
1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni
trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche .......................... 6
1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche. ......................... 16
1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari ....................................... 23
1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle
funzioni ad esse associate. .................................................................................... 23
2 Richiami di trigonometria ................................................................................. 25
2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio ................................................. 25
2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante ................................................... 26
2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari ......................... 26
2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria 28

Dott. S. Caltabiano i


1 Funzioni elementari

Le funzioni elementari sono: la funzioni esponenziale, la funzione logaritmo, la
funzione potenza, le funzioni trigonometriche, e le funzioni iperboliche. In seguito
denoteremo con R0 l’insieme dei numeri reali meno lo zero, con R+ l’insieme dei

numeri reali non negativi (cioè R+=[0,+[) e con R0 l’insieme dei numeri reali

strettamente positivi (cioè R0 =]0,+[). Ricordiamo che una funzione non
decrescente o non crescente si dice monotona, mentre una funzione strettamente
crescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona.

1.1 La funzione esponenziale

Assegnato un a R0 -{1}, allora si può dimostrare che esiste un'unica funzione da R
 
in R0 che denotiamo con expa:R R0 che soddisfa alle seguenti tre proprietà:

(1) expa(x+y)= expa(x)expa (y) x,yR
(2) expa(1)=a
(3) expa è strettamente monotona
ed è detta esponenziale di base a. Usualmente si adopera anche la notazione:
expa(x)=ax xR
Nel caso a=e l’esponenziale viene detto esponenziale neperiano.
A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzione
esponenziale, di seguito riportate.

Proprietà dell’esponenziale

1) expa(0)=1
2) expa(–x)=( expa(x))–1 xR

3) exp a (xy)  a xy  (a y ) x  (a x ) y x,yR
4) expa è una funzione convessa

Dott. S. Caltabiano 1


5) Se 0<a<1 allora expa è strettamente decrescente e , mentre se a>1 allora expa è
strettamente crescente
6) D(expa(x))=ln(a)expa(x)
1
7)  expa(x)dx= expa(x)+cost.
ln(a)
Vediamo adesso il grafico dell’esponenziale. Nel caso a>1 il grafico è:

y

1

x

Figura 1

Mentre nel caso 0<a<1 il grafico è:

y

1

x

Figura 2



1.2 La funzione logaritmo

Assegnato a R0 -{1}, allora si può dimostrare che esiste un'unica funzione da R in
 
R0 che denotiamo con loga: R0 R che soddisfa alle seguenti tre proprietà:

(1) loga(xy)= loga(x)+loga (y) x,yR
(2) loga(a)=1
(3) loga è strettamente monotona
ed è detta funzione logaritmo in base a. Per dimostrare l’esistenza della funzione

logaritmo si sceglie come loga l’inversa della funzione expa, cioè si pone loga:= exp a 1 ,
e si dimostra che questa soddisfa (1), (2), (3). Nel caso a=e si parla di logaritmo
neperiano.
A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzione
logaritmo, di seguito riportate.

Proprietà del logaritmo

1) loga(1)=0

2) loga(xy)=y loga(x) x R0 e yR

3) loga(x–1)=–loga(x) x R0

4) a log a ( x )  x x R0 e loga(ax)=x xR (per definizione d’inversa)


5) ax= b x log b ( a ) xR con b R0 -{1}


log b (x)  
6) log a (x)  x R0 con b R0 -{1}
log b (a)
log a ( x ) 
7) log a y ( x)  x R0 e con yR0
y
8) Se 0<a<1 allora loga è strettamente decrescente ed è convessa, mentre se a>1
allora loga è strettamente crescente ed è concava
Ricordiamo che assegnata una funzione reale invertibile, allora il grafico
dell’inversa si ottiene ribaltando il grafico della funzione assegnata, attorno alla



bisettrice del I e del III quadrante e successivamente lo si ruota di 45 gradi in senso
antiorario.
Il grafico del logaritmo nel caso 0<a<1 è:

y

1 x

Figura 3

quindi in tal caso expa è strettamente crescente. Mentre nel caso a>1 il grafico è:

y

1 x

Figura 4

Definiamo adesso una funzione, mediante composizione di una funzione

esponenziale, con una funzione logaritmica. Siano f:R R0 e g:RR due funzioni,
si pone allora per definizione:



 f ( x)  g ( x ) : b g ( x ) log  f ( x )
b
xR

dove b R0 -{1} è una qualunque base fissata. Ovviamente la definizione non dipende
dalla base b.

1.3 La funzione potenza
Fissato un numero reale R, allora alla funzione esponenziale è legata la funzione
potenza, che usualmente si denota con il simbolo:
(  )
ed è definita a seconda del valore di , come mostrato nella tabella che segue:

exp x ( )  x  se x  R0 - {1}

Se R-K e 
(  ) : R   R0 con (x ) := 0

se x  0
>0 1 se x  1


Se =0 (  ) :R0{1} con (x ) :=1 xR0
1
Se =–1 (  ) 1 :R0R0 con ( x ) 1 := xR0
x
 exp  x ( )  ( x) se x  0 e x  1

0 se x  0
  
Se I (  ) :RR con (x ) :=  1 se x  1
1 se x  1

exp x ( )  x 
 se x  0 e x  1

exp  x ( )  ( x) se x  0 e x  1

0 se x  0

Se J (  ) :RR con (x ) :=  1 se x  1
1 se x  1

exp x ( )  x 
 se x  0 e x  1

In questo caso la funzione potenza è definita come la composizione
Se <0
delle funzioni potenza (sopra definite) (  )  e (  ) 1 , cioè:



 
(x ) := x 
1
 
xdom (  )  -{0}

Tabella 1

Dove si è posto:
 2m  1 
I:=  : n, m  N 0 : N  {0} con M.C.D.( 2m  1,2n  1 )  1
 2n  1 
 2m 
J:=  : n  N 0 , m  N con M.C.D.( 2m,2n  1 )  1
 2n  1 
K:=IJ
Ricordiamo che due numeri interi m,nN si dicono primi tra loro se M.C.D.(m,n)=1
e questo evidentemente equivale ad affermare che il rapporto m/n è ridotto ai minimi
termini (ovvero m e n non hanno divisori primi in comune diversi da 1). Si osserva
che le funzioni irrazionali sono casi particolari della funzione potenza. Facciamo
osservare inoltre che a partire dalla funzione potenza è possibile definire la funzione
modulo, come composizione della funzione (  )1 / 2 con la funzione (  ) 2 , cioè:

 
x :  x 2
1/ 2
 x 2 xR

Proprietà

Sia b R0 -{1} e R, allora vale la seguente identità:

x= b log b ( x) x R0


1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni
trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche
Si può dimostrare che esiste un'unica coppia di funzioni reali f,g:RR dette funzioni
circolari che soddisfano alle seguenti quattro proprietà:
(1) f2(x)+g2(x)=1 xR
(2) f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) x,yR
(3) g(x+y)=g(x)g(y)–f(x)f(y) x,yR


 f ( x)
(4)  R0 t.c. 0<f(x)<x< x]0,[
g ( x)
Tali funzioni f e g esistono poiché le funzioni sin e cos introdotte in trigonometria
(mediante la circonferenza trigonometrica), soddisfano alle suddette proprietà. Si
dimostra che tali funzioni f e g sono uniche, cioè prese due funzioni h, k che
soddisfano alle quattro proprietà allora necessariamente deve essere che {f,g}={h,k}.
E pertanto le funzioni f e g rimangono univocamente determinate rispettivamente da
sin e cos.

Proprietà

1) sin e cos sono funzioni periodiche, di periodo 2
2) sin è una funzione dispari e cos è una funzione pari
3) sin( x)  1 xR e cos( x)  1 xR

Le ulteriori proprietà delle funzioni sin e cos sono mostrate nel capitolo 2.
Il grafico delle funzione sin nell’intervallo [0,2] è:

y

m

+ 3/2 2– 2
 /2 –  x

–m

Figura 5

Il grafico delle funzione cos nell’intervallo [0,2] è:



y

m

+  –
 /2 3/2 2– 2 x

–m

Figura 6

Definiamo adesso la funzione:
sin( x)
tg:R-{k/2 : kZ}R con tg(x):= xR-{k/2 : kZ}
cos(x)
detta funzione tangente.

Proprietà

1) tg è una funzioni periodica, di periodo 
2) tg è una funzione dispari
Le ulteriori proprietà della funzione tg sono mostrate nel capitolo 2. Il grafico
delle funzione tg in [–/2, /2,] è:



y

m

–/2 –  /2 x
–m

Figura 7

Trattiamo adesso tre funzioni che si definiscono come reciproche
rispettivamente di sin, cos e tg. Consideriamo la funzione:
1
sec:R-{k : kZ}R con sec(x):= x R-{k : kZ}
cos( x)
detta funzione secante.

Proprietà

1) sec è una funzioni periodica, di periodo 2
2) sec è una funzione pari
Le ulteriori proprietà della funzione sec si ottengono a partire dalle proprietà della
funzione cos riportate di seguito e nel capitolo 2.
Consideriamo la funzione:
1
cosec:R-{/2+k : kZ }R con cosec(x):= xR-{/2+k : kZ }
sin( x)
detta funzione cosecante.

Proprietà

1) cosec è una funzioni periodica, di periodo 2
2) cosec è una funzione dispari



Le ulteriori proprietà della funzione cosec si ottengono a partire dalle proprietà
della funzione sin riportate di seguito e nel capitolo 2.
Consideriamo la funzione:
1 cos( x )
cotg:R-{k : kZ }R con cotg(x):=  xR-{k : kZ}
tg ( x ) sin( x)
detta funzione cotangente.

Proprietà

1) cotg è una funzioni periodica, di periodo 
2) cotg è una funzione dispari
Le ulteriori proprietà della funzione cotg si ottengono a partire dalle proprietà
della funzione tg riportate di seguito e nel capitolo 2.

 Relazione fondamentale

sin2()+cos2()=1

 Periodicità delle funzioni trigonometriche

sin(+2k)=sin() ; cos(+2k)=cos() ; tg(+k)=tg()

 Formule di addizione e sottrazione

sin(  )=sin()cos()  sin()cos()
cos(  )=cos()cos()  sin()sin()
tg ( )  tg (  )
tg (   ) 
1  tg ( )tg (  )

 Formule di duplicazione e di n-uplicazione

Facendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:
sin(2)=2sin()cos()
cos(2)=cos2()–sin2()=2cos2()–1=1– 2sin2()



2tg ( )
tg (2 ) 
1  tg 2 ( )
Iterando il ragionamento, si ottengono le formule di n-uplicazione:
sin(n)=2sin((n–1))cos()–cos((n–2))
cos(n)=2cos((n–1))cos()–sin((n–2))
tg ((n  1) )  tg ( )
tg ( ) 
1  tg ((n  1) )tg ( )

 Formule di bisezione

  1  cos( )
sin   
 2 2

  1  cos( )
cos   
2 2

  1  cos( )
tg     con +k
2 1  cos( )

 Formule di prostafersi

       
sin()+sin()=2sin   cos  
 2   2 
       
sin()–sin()=2sin   cos  
 2   2 
       
cos()+cos()=2cos   cos  
 2   2 
       
cos()–cos()=–2sin   sin  
 2   2 
sin(   )
tg()  tg()=
cos( ) cos(  )

 Formule di Werner



Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule:
1
sin()sin()= [cos(–)–cos(+)]
2
1
cos()cos()= [cos(–)+cos(+)]
2
1
sin()cos()= [sin(+)–sin(–)]
2
1
cos()sin()= [sin(+)–cos(–)]
2

 Espressione di una funzione trigonometrica mediante le altre

A partire dalla relazione fondamentale e dalla definizione di tangente ricavano
facilmente le relazioni riportate nella tabella che segue.
sin(x) cos(x) tg (x )
tg ( x )
sin(x) = sin(x)  1  cos 2 ( x ) 
1  tg 2 ( x)

1
cos(x) = 2
 1  sin ( x) cos(x) 
1  tg 2 ( x)

sin( x ) 1  cos 2 ( x)
tg (x ) =   tg (x )
2
1  sin ( x ) cos( x)

Tabella 2

 Espressione delle funzioni trigonometriche mediante tg(x/2)

Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazione
razionale.
 x
2tg  
sin ( x )   2 con x+2k con kZ
2 x 
1  tg  
2



 x
1  tg 2  
cos( x)   2  con x+2k con kZ
 x
1  tg 2  
 2
 x
2tg  
tg ( x )   2 con x+2k con kZ
 x
1  tg 2  
2

Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente delle
funzioni sin, cos e tg opportunamente ristrette.
Consideriamo la funzione sin nell’intervallo [–/2,/2]:

y

–/2
/2 x

Figura 8

Come si osserva dalla Figura 8 in tale intervallo sin è strettamente crescente e di
conseguenza su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcoseno e la
denotiamo con arcsin, che è quindi definita in [–1,1] e a valori in [–/2,/2] cioè:
arcsin:[–1,1][–/2,/2]
Il grafico della funzione arcsin è:
y
/2


x


Figura 9

Consideriamo la funzione cos nell’intervallo [0,]:

y


/2 x

Figura 10

Dalla Figura 10 si osserva che in tale intervallo cos è strett. decresc. e di conseguenza
su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcocoseno e la denotiamo con

arccos, che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [0,] cioè:
arccos:[–1,1][0,]
Il grafico della funzione arccos è:



y


/2

x

Figura 11

Consideriamo la funzione tg nell’intervallo [–/2,/2]. Come si osserva dalla Figura
7 in tale intervallo la funzione tg è strettamente crescente e di conseguenza su di esso
è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcotangente e la denotiamo con arctg,
che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [–/2,/2] cioè:
arctg:[–1,1] [–/2,/2]
Il grafico della funzione arctg è:
y
/2

x

–/2

Figura 12



Posto y:= 1  x 2 e z:= 1  x 2 riportiamo nella seguente tabella le relazioni
che intercorrono tra le inverse delle funzioni trigonometriche:
arcsin(x)= arccos(x)= arctg(x)=
x>0 x<0 x>0 x<0 x>0 x<0
–arcsin(–x) –arcsin(–x) –arcsin(x)+/2 –arcsin(x)+/2 arcsin(x/z) arcsin(x/z
–arcsin(y)+/2 arcsin(y)–/2 arcsin(–x)+/2 arcsin(–x)+/2 –arccos(x/z)+/2 –arccos(x/z)+/2
arccos(–x)–/2 arcccos(–x)–/2 arcsin(y) –arcsin(y)+ arccos(1/z) –arccos(1/z)
–arccos(x)+/2 –arccos(x)+/2 –arccos(–x)+ –arccos(–x)+ –arctg(–x) –arctg(–x)
arccos(y) –arcos(y) –arccos(y)+/2 arccos(y)+/2 –arctg(1/x)+/2 –arctg(1/x)–/2
arctg(x/y) arctg(x/y) –arctg(x/y)+/2 –arctg(x/y)+/2 –arctg(x)+/2 –arctg(x)+/2

1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche.
Consideriamo le seguenti due funzioni reali:
e x  ex
sinh:RR con sinh(x):= xR
2
e x  ex
cosh:RR con cosh(x):= xR
2
che sono dette rispettivamente seno iperbolico e coseno iperbolico. Come si evince
dalle proprietà che seguono e da altre che elencheremo alla fine del paragrafo, le
funzioni iperboliche sinh e cosh,, verificano molte relazioni simili a quelle delle
funzioni circolari sin e cos.

Proprietà

1) cosh2(x)–sinh2(x)=1 xR
2) sinh è una funzione dispari mentre cosh è una funzione pari
3) sinh(0)=0; sinh(x)>0 x>0 e sinh(x)<0 x<0; cod(sinh)=R ;sinh è strett- cresc.
4) cosh(0)=1; cosh(x)>1 xR0 ; cod(cosh)=[1,+[ ; cosh è strett. cresc. per x>0 e
strett. decresc. per x<0
Vediamo i grafici delle funzioni sinh e cosh. Il grafico della funzione sinh è:



y

x

Figura 13

Il grafico della funzione cosh è:

y

x

Figura 14

Definiamo adesso la funzione:
sinh( x) e x  e  x
tgh:RR con tgh(x):=  xR
cosh(x) e x  e  x
detta funzione tangente iperbolica.

Proprietà

1) tgh è una funzione dispari



2) tgh(0)=0; tgh(x)>0 x>0 e tgh(x)<0 x<0; cod(tgh)=]–1,1[ ; tgh è strett. cresc.
Il grafico della tangente iperbolica è:
y
1

x

–1

Figura 15

Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente delle
funzioni sinh, cosh e tgh.
La funzione sinh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.
Chiamiamo allora tale inversa settore seno iperbolico e la denotiamo con settsinh,
che è quindi una funzione definita in R a valori in R cioè:
settsinh:RR
Ci proponiamo di trovare l’espressione analitica del settsinh. Posto y=sinh(x):
e x  ex
y=
2
dobbiamo esprimere la x in funzione delle y. Poniamo t=ex (che è quindi una quantità
strettamente positiva) e otteniamo:
t  t 1
y=
2
segue:
t2–2yt–1=0
e quindi:



ty y2 1
sostituendo t=ex, scartando la soluzione con il segno – (essendo la quantità al primo
membro positiva) e successivamente passando al logaritmo neperiano, otteniamo:


x= ln y  y2 1 
E quindi in definitiva:


settsinh(y)= ln y  
y 2  1 yR

per riferirci al piano Oxy possiamo scambiare x con y:


settsinh(x)= ln x  x 2  1 xR 
Il grafico di settsinh è:

y

x

Figura 16

La funzione cosh è strettamente crescente in R+ e di conseguenza è invertibile

in R0 . Chiamiamo allora tale inversa settore coseno iperbolico e la denotiamo con

settcosh, che è quindi una funzione definita in [1,+[ a valori in R+ cioè:
settcosh:[1,+[R+
Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressione
analitica del settcosh è:

 
settcosh(x)= ln x  x 2  1 x[1,+[



Il grafico di settcosh è:

y

x

Figura 17

La funzione tgh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.
Chiamiamo allora tale inversa settore tangente iperbolico e la denotiamo con
setttgh, che è quindi una funzione definita in ]–1,1[ a valori in R cioè:
setttgh:]–1,1[R
Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressione
analitica del setttgh è:
1 1  x 
setttgh(x)= ln   x]–1,1[
2 1  x 
Il grafico di setttgh è:



y
–1
1 x

Figura 18

Come suddetto le funzioni iperboliche soddisfano a proprietà analoghe a quelle
delle funzioni trigonometriche. In tale contesto ci limiteremo soltanto ad elencare tali
proprietà.

 Formule di addizione e sottrazione per le funzioni iperboliche

sinh(x  y)=sinh(x)cosh(y)  sinh(x)cosh(y)
cosh(x  y)=cosh(x)cosh(y)  sinh(x)sinh(y)

 Formule di duplicazione per le funzioni iperboliche

Facendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione:
sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)
cosh(2x)=cosh2(x)–sinh2(x)=2cosh2(x)–1=1+ 2sinh2(x)

 Formule di bisezione per le funzioni iperboliche

 x cosh( x )  1  x cosh( x)  1  x cosh( x)  1
sinh   ; cosh   ; tgh  
2 2  2 2  2 cosh( x)  1

 Formule di prostafersi per le funzioni iperboliche



x y x y
sinh(x)–sinh(y)=2sinh   cosh  
 2   2 
x y x y
sinh(x)+sinh(y)=2sinh   cosh  
 2   2 
x y x y
cosh(x)+cosh(y)=2cos   cos  
 2   2 
x y x y
cosh(x)–cosh(y)=2sin   sin  
 2   2 

 Formule di Werner per le funzioni iperboliche

Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule:
1
sinh(x)cosh(y)= [sinh(x+y)–sinh(x–y)]
2
1
cosh(x)sinh(y)= [sinh(x+y)+sinh(x–y)]
2
1
cos(x)cos(y)= [cosh(x+y)+cosh(x–y)]
2
1
sin(x)sin(y)= [cosh(x+y)–cosh(x–y)]
2

 Espressione di una funzione iperbolica mediante le altre

sinh(x) cosh(x) tgh(x )
tgh ( x)
sinh(x) = sinh(x) cosh 2 ( x )  1
1  tgh 2 ( x)

1
cosh(x) = 1  sinh 2 ( x) cosh(x)
1  tg 2 ( x)

sinh( x) cosh 2 ( x )  1
tgh(x ) = tgh(x )
1  sinh 2 ( x ) cosh( x )

Tabella 3



 Espressione delle funzioni iperboliche mediante tgh(x/2)

Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazione
razionale.

 x  x  x
2tgh  1  tgh 2   2tgh 
sinh ( x )   2  ; cosh( x)   2  ; tgh( x)   2
 x  x  x
1  tgh 2   1  tgh 2   1  tgh 2  
 2 2 2

1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari
Per la verifica delle seguenti disuguaglianze basta ricordare che se una funzione è
convessa (concava) allora la tangente in un punto sta sempre sotto (sopra) al grafico
della funzione.
1) ln(a)x+1<expa(x) xR
2) Se 0<a<1 allora (x–1)/ln(a)<loga(x) e se a>1 allora (x–1)/ln(a)>loga(x)
3) sin(x)<x x>0 e sin(x)>x x<0
4) tg(x)>x x>0 e tg(x)<x x<0
5) sinh(x)<x x>0 e sinh(x)>x x<0
6) tgh(x)>x x>0 e tgh(x)<x x<0

1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle
funzioni ad esse associate-
f=f(x) Df  f dx

x x ax
a ln(a)a
ln(a )
1 x
loga(x) [ln(x)–1]
ln(a) x ln(a)
sin(x) cos(x) –cos(x)
cos(x) –sin(x) sin(x)



1
tg(x) 2
=1+tg2(x) –ln[cos(x)]
cos ( x)
cos( x)
cosec(x) – ln[cosec(x)–cotg(x)]
sin 2 ( x)
sin( x)
sec(x) ln[sec(x)+tg(x)]
cos 2 ( x )
1
cotg(x) – 2
= –[1+cotg2(x)] ln[sin(x)]
sin ( x)
1
arcsin(x) 2 x arcsin(x)+ 1  x 2
1 x
1
arccos(x) – x arccos(x)– 1  x 2
2
1 x
1 1
arctg(x) x arctg(x)– ln(1+x2)
1 x2 2
sinh(x) cosh(x) cosh(x)
cosh(x) sinh(x) sinh(x)
1
tgh(x) 2
=1–tg2(x) ln(cosh(x))
cosh ( x)
1
settsinh(x) 2 x settsinh(x)– x 2  1
x 1
1
settcosh(x) 2 x settcosh(x)– x 2  1
x 1
1 1
setttgh(x) x setttgh(x)+ ln(1–x2)
1 x2 2



2 Richiami di trigonometria

2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio
Diciamo che un angolo (positivo o negativo) è proprio se non è superiore ad un
angolo giro (angolo d’ampiezza 2), in caso contrario l’angolo è detto improprio. Se
 è un angolo proprio negativo, allora diciamo che l’angolo 2+ è il suo
corrispondente angolo proprio positivo (vedi Figura 19).

2+



Figura 19

Premettiamo che dato un numero kR denotiamo con [k] la sua parte intera (ad
esempio [2.67]=2).
Sia  un angolo improprio, diciamo allora riduzione ad angolo proprio di ,
l’angolo:
=–2m con m:=[/2]

quindi  si può anche scrivere come:
=+2m



2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante
La riduzione al primo quadrante di un angolo è l’angolo compreso tra 0 e /2, in
corrispondenza del quale le funzioni sin e cos assumono in valore assoluto lo stesso
valore rispetto all’angolo dato. E quindi se  è un angolo proprio positivo, in base a
quanto detto la sua riduzione al primo quadrante è:

 
 se 0   
2

   
se  
 2
 : 
   3
se     
 2
 3
2   se     2
 2
Se  è un angolo improprio positivo la sua riduzione al primo quadrante è la
riduzione al primo quadrante, della sua riduzione ad angolo proprio.
Se  è un angolo proprio negativo la sua riduzione al primo quadrante è la riduzione
al primo quadrante del suo corrispondente angolo proprio positivo 2+ (o
equivalentemente del suo opposto –).
Evidentemente se  è un angolo proprio e  è la sua riduzione allora:

 
 se 0   
2

   
se  
 2
 
   3
se     
 2
 3
2   se     2
 2

2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari
Assegnato un angolo  qualunque (proprio, improprio, negativo, …), diamo alcune
definizioni.



Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è , ossia  e –. In
corrispondenza a tali angoli si ha che:
sin(–)=sin()
cos(–)=–cos()
tg(–)=–tg()
In corrispondenza di angoli la cui differenza è , ossia  e +. si ha che:
sin(+)=–sin()
cos(+)=–cos()
tg(+)=tg()
Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è 2, ossia  e 2–. In
sin(2–)=–sin()
cos(2–)=cos()
tg(2–)=–tg()
Si dicono angoli associati ad un dato angolo i seguenti tre angoli: l’angolo
supplementare, l’angolo che differisce di  e l’angolo esplementare. Si osserva che in
corrispondenza degli angoli associati le funzioni sin e cos assumono lo stesso valore a
meno del segno cioè in valore assoluto. Quindi incidentalmente osserviamo che la
riduzione al primo quadrante si un angolo proprio positivo non è altro che il suo
angolo associato compreso tra 0 e /2.
Due angoli si dicono opposti se la loro somma è 0, ossia  e –. In corrispondenza a
tali angoli si ha che:
sin(–)=–sin()
cos(–)=cos()
tg(–)=–tg()
Due angoli si dicono complementari se la loro somma è /2, ossia  e /2–. In



 
sin     cos( )
2 
 
cos     sin( )
2 
 
tg      cotg ( )
2 
In corrispondenza di angoli la cui differenza è /2, ossia  e /2+. si ha che:
 
sin     cos( )
2 
 
cos      sin( )
2 
 
tg      cotg ( )
2 

2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria

F D
G H
B


O A C E

Figura 20

Con riferimento alla Figura 20 valgono le seguenti identità:
sin()= AB ; cos()= OA ; tg()= CD

cosec()= OF ; sec()= OE ; cotg()= GH


Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

Similar to Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano] (20)

More from santi caltabiano

More from santi caltabiano (20)

Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]