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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA         FACOLTÀ DI INGEGNERIA                     AUTORE: DOTT. S. Caltabiano
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  1. 1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA AUTORE: DOTT. S. Caltabiano
  2. 2. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Indice Generale1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni ......................................... 1 1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione. Risoluzione di una equazione per via grafica .......................................................... 1 1.2 Sistemi di equazioni ....................................................................................... 12 Equazioni polinomiali razionali intere ............................................................... 4 2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1 ........................................... 4 2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2 ........................................... 4 2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n ........................................... 63 Equazioni logaritmiche ...................................................................................... 8 3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale ....................................................... 84 Equazioni esponenziali ..................................................................................... 10 4.1 Equazioni esponenziali in forma normale ..................................................... 105 Equazioni trigonometriche ............................................................................... 11 5.1 Equazioni trigonometriche elementari .......................................................... 11 5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari .......................................... 15 5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni trigonometrica 17 5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg ......................................... 18 5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi ............................. 19 5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner.................................. 216 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie. Equazioniirrazionali. Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Equazioni fratte. .. 22 6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n .............................. 22 6.2 Equazioni irrazionali .................................................................................... 24Dott. S. Caltabiano i
  3. 3. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto...................................... 26 6.4 Equazioni fratte ............................................................................................ 327 Complementi sulle equazioni trigonometriche .................................................. 36 7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos ............................................................... 36 7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche ......................................................... 368 Esercizi di vario tipo ........................................................................................ 39Dott. S. Caltabiano ii
  4. 4. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione. Risoluzione di una equazione per via graficaSiano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali. Si dice equazione: f(x)=g(x)Risolvere un’equazione, significa trovare (se esistono) gli intervalli nei cui puntil’equazione è soddisfatta.Diciamo che due equazione sono equivalenti se sono soddisfatte dalle medesimesoluzioni.E’ interessante dare un’interpretazione grafica delle equazioni. Dire che un x0soddisfa a l’equazione f(x)=g(x), evidentemente equivale ad affermare che l’ordinatadella f in x0, coincide con l’ordinata della g in x0 e quindi l’equazione è soddisfatta intutti gli intervalli, in corrispondenza dei quali il grafico della funzione f coincide conquello della funzione g.L’interpretazione grafica appena data, risulta uno strumento validissimo, nei casi incui le funzioni f e g hanno un’espressione analitica molto diversa e di conseguenzamolto difficile da trattare analiticamente.1.2 Sistemi di equazioniSiano f1= f1(x), g1= g1(x), f2= f2(x), g2= g2(x),…, fn= fn(x), gn= gn(x) n coppie difunzioni reali. Si definisce sistema di equazioni:  f1 ( x )  g 1 ( x )  f ( x )  g ( x)  2 2  . . . . . . . . . . . . . . . . .  f n ( x)  g n ( x) la soluzione del sistema è data dall’intersezione delle soluzioni delle singoleequazioni. Due sistemi si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.Dott. S. Caltabiano 1
  5. 5. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) I seguenti quattro principi ci consentono di ottenere un’equazione equivalente apartire da un’assegnata equazione.Teorema 1.1 (Primo principio di equivalenza)Sommando algebricamente ad ambo i membri di un’equazione una stessa espressionealgebrica, che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni della equazionedata, si ottiene una equazione equivalente.Teorema 1.2 (Secondo principio di equivalenza)Moltiplicando ambo i membri di un’equazione, per una stessa espressione algebricache non si annulli e che non perda di significato in corrispondenza di soluzionidell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalenteTeorema 1.3 (Terzo principio di equivalenza)Assegnato n intero positivo. Elevando ambo i membri di un’equazione alla potenza no alla potenza 1/n: se n è dispari si ottiene un’equazione equivalente se n è pari si ottiene un’equazione equivalente se e solo se ambo i membri dell’equazione assegnata sono non negativi In effetti i precedenti tre teoremi possono essere considerati come un casoparticolare del seguente teorema.Teorema 1.4 (Quarto principio di equivalenza)Componendo ambo i membri di un’equazione con una funzione iniettiva, si ottieneun’equazione equivalenteCorollario 1.1Dott. S. Caltabiano 2
  6. 6. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Se ambo i membri di un’equazione non si annullano mai allora passando ai reciprocisi ottiene un’equazione equivalenteDimostrazioneConseguenza del secondo principio. Enunciamo adesso il seguente teorema che ci fornisce le condizioni necessariee sufficiente per passare da un sistema di equazioni ad un sistema equivalente.Teorema 5Assegnato un sistema di equazioni allora esso è equivalente al sistema ottenuto:1. scambiano due equazioni del sistema dato2. moltiplicando un’equazione del sistema dato per una costante non nulla3. sommando ad un’equazione un’altra equazione moltiplicata per una costante reale4. risolvendo un’equazione rispetto ad una variabile e sostituita nelle rimanenti equazioniDott. S. Caltabiano 3
  7. 7. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 2 Equazioni polinomiali razionali intere Il termine “intere” è riferito al fatto che l’incognita compare soltanto con potenzapositiva, cioè non compare al denominatore. L’equazioni razionali non intere, sonodette equazioni razionali fratte e verranno tratte in seguito. Il termine “razionale” èriferito al fatto che non compaiono espressioni sotto il segno di radice. Le equazioninelle quali compaiono espressioni sotto il segno di radice sono dette irrazionale everranno trattate in seguito.2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1Si definisce equazione razionale intera di grado 1: ax+b=0 (1)più precisamente in questo in caso l’equazione si dice in forma normale. Si capisceimmediatamente che grazie al primo principio ci si può sempre ricondurre alla formanormale, ad esempio se abbiamo: ax+b=cx+dallora per il primo principio otteniamo: (a–c)x+b–d=0Per il primo e per il secondo principio la (1) è soddisfatta per: b x aEsercizi1. 5x–3=0 4. 2x+3=12. 2x–3=3–x 5. 3x+1=3–2x3. x+1=0 6. 7x–2=3+5x2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2Si definisce equazione razionale intera di grado 2 (in forma normale):Dott. S. Caltabiano 4
  8. 8. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) ax2+bx+c=0Vogliamo fare osservare a priori che P2(x) si può scrivere come prodotto di duepolinomi di primo grado: 2  2 b c  2 b b2 b2 c P2(x)=ax +bx+c=a  x  x   = a  x  x  2  2   =  a a  a 4a 4a a  2 2 b  b2 c  b  b 2  4ac  =a  x    2   = a  x    =   2a  4a a    2a  4a 2    2  b  2    b  2    =a  x    2  = a  x       2a   =   2a  4a    2a       b   b   b    b  = a x     x    =a  x   x    2a 2a   2a 2a     2a   2a  con :=b2–4ac. Ed inoltre posto: b  b  x1  e x2  2a 2ache sono quindi le radici del polinomio P2(x), e possono essere: reali e distinte se>0, reali e coincidenti se =0 e complesse e coniugate se <0. In definitiva: P2(x):=a(x–x1)(x–x2) (2)Esercizi1. (x–2)(x+2)=0 12. x2–x–1=02. –3(x–2)(x–1)=0 x 2 1 2 2 x 2 13. +(x–2) =3. 4(x+2)(x+3)=0 3 24. x2–1=0 14. x 2  3 x  05. x2+2=0 15. x 2  3 x  2  06. x2–2=0 16.  x 2  5 x  6  07. x2–3x=0 17.  x 2  5 x  6  0 28. x +2x=0Dott. S. Caltabiano 5
  9. 9. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)9. x2–5x+4=0 x2  1 x 1 18.   x10. (x+1)2=3x+3 2 2 211. x2–2x–1=0 19. x 2  5 x  6  02.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado nGeneralizziamo i due casi di equazioni appena trattati. Si definisce equazionerazionale intera di grado n (in forma normale): anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 =0In sostanza si tratta di trovare le radici del polinomio Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0che come noto ammette al più n radici reali. Dette x1,…,xmR dove mn, tali radiciallora facendo uso della regola di Ruffini, sappiamo che si può scrivere: Pn(x)=an(x–x1)(x–x2)…(x–xm)Q(x)dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale (cioè non ammetteradici reali, ad esempio Q(x)=x2+1).Una particolare equazioni di grado n si ha quando: Pn(x)=xn–ae si parla di equazioni binomie di grado n. Se n è dispari per il terzo principio l’unica nradice reale di Pn(x) è a.Se n è pari, nel caso a<0 Pn(x) è sempre strettamente positivo e non ammette radicireali., mentre nel caso a>0, scomponendo Pn(x) si trova facilmente che: Pn(x)=(x– n a )(x+ n a )Q(x)dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale, e quindi in questocaso le radici reali sono  n a .Un’altra particolare equazioni di grado n si ha quando: P2m(x)=ax2m+bxm+cdove m è un numero intero positivo, nel caso m=2 si parla di equazionibiquadratiche. Si pone y=xm e si ottiene ay2+by+c che è un polinomio di secondogrado nella variabile y e quindi dette y1 e y2 le sue radici si ha: P2m(x)= a(y–y1)(y–y2)= a(xm–y1)(xm–y2)Dott. S. Caltabiano 6
  10. 10. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)e pertanto in questo caso le radici del polinomio P2m(x) sono le radici del prodotto didue equazioni binomie.Esercizi1. x3–6x2+11x–6=0 7. x5+2=02. x5–x4–x+1=0 8. x6+2=03. x4+3x3–14x2–48x–32=0 9. x4–16=04. x4+x3–7x2–x+6=0 10. x4–5x2+4=05. x3–3x+2=0 11. x4–10x2+9=06. x4–5x3+5x2+5x–6=0 12. x8–17x4+16=0Dott. S. Caltabiano 7
  11. 11. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 3 Equazioni logaritmiche3.1 Equazioni logaritmiche in forma normaleSiano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e sia a un numero reale compreso tra 0 e 1oppure strettamente maggiore di 1. Un’equazione logaritmica in forma normale èdel tipo: loga f(x)=loga g(x) (3)Il logaritmo ha senso se l’argomento è strettamente positivo e quindi dobbiamoimporre che f(x)>0 e g(x)>0. E quindi in definitiva per il quarto principio, passandoall’esponenziale nella (3), il sistema equivalente alla (3) è:  f ( x)  0   g ( x)  0  f ( x)  g ( x) si osserva che la condizione g(x)>0 è contenuta è implicitamente contenuta nelle altredue e quindi può essere scarta. E in definitiva il sistema equivalente alla (3) è:  f ( x)  0   f ( x)  g ( x)Assegnata una costante bR un caso particolare della (3) è l’equazione: loga f(x)=b (4)infatti per ricadere nel caso della (3) basta porre g(x)=ab e di conseguenza il sistemaequivalente alla (4) è:  f ( x)  0  b  f ( x)  asi scarta la prima condizione, poiché la seconda impone implicitamente che le suesoluzioni siano per f>0. E pertanto l’equazione equivalente alla (4) è: f(x)=abDott. S. Caltabiano 8
  12. 12. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Nella maggior parte dei casi il logaritmo considerato è quello di Neperio, cioè illogaritmo con base e e lo si denota con ln ed è detto per l’appunto logaritmoneperiano.Esercizi1. log3(3x+6)=log3(x–2) 9. log1/3log2(x+1)=12. log1/2(3x–4)=log½(3x–4) 10. log10(x2–7x+11)=03. log½(2x–4)=2 11. 2log3(2–x)–log3(x+4)=log3(3x+14)4. 2ln(x–1)=1 12. ln(x)–2ln(x+3)=ln(x3+15)5. ln(x+1)+ln(x)=2ln(1–x) 13. ln(x2–6x+9)=ln(x)–ln(4)6. log3log2(x+1)=0 14. 3ln(x–2)=ln(x)+ln(x2–14)7. log10(x2–x+98)=2  x  1 x  1 15. ln  28. log10log10(2x-5)=0  5 2 Dott. S. Caltabiano 9
  13. 13. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 4 Equazioni esponenziali4.1 Equazioni esponenziali in forma normaleSiano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, siano a, b numeri reali positivi e siano c,dR.. Un’equazione esponenziale in forma normale è del tipo: caf(x)=dbg(x) (5)Si presentano i seguenti casi:a) Se c>0 e d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (5) si ottiene applicando ad ambo i membri il logaritmo in base h: logh(c)+f(x) logh(a)=logh(d)+g(x)logh (b)b) Se c0 o d0 l’equazione (5) è impossibileUn caso particolare della (5) si ottiene ponendo b=c=1: af(x)=d (6)si presentano i seguenti casi:a) Se d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (6), per la tabella precedente è: f(x)logh(a)   logh(d)b) Se d0 l’equazione (6) è impossibileEsercizi1. 22x–3=5 2 6. (1 / 2) 6 x  (1 / 2) 5 x 12. (1/3)x+1>=5 7. 2x–13x+1=93. 2x+4=–5 8. 52x=87x–24. 32x+7=–5 9. 352(2x–7)–452x–7+1=0 2x x–75. 3 –113 +28=0 10. 52x–65x–7+5=0Dott. S. Caltabiano 10
  14. 14. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 5 Equazioni trigonometriche Per la risoluzione delle Equazioni trigonometriche non esistono norme dicarattere generale. Esiste però una serie di Equazioni trigonometriche tipiche, espostedi seguito, per le quali è possibile dare un criterio di risoluzione. La conoscenza dellarisoluzione delle equazioni tipiche, è necessaria se si vuole impostare la soluzione diuna qualsiasi equazione trigonometrica.5.1 Equazioni trigonometriche elementariSono equazioni trigonometriche elementari (in forma normale): sin(x)=m (7) cos(x)=m (8) tg(x)=m (9)dove mR.. La risoluzione di queste equazione, avviene per via grafica.Esistono due metodi. Il primo metodo consiste nel rappresentare sul piano cartesianocartesiano la funzione trigonometrica considerata e la retta di equazione y=m eprendere le eventuali intersezioni. Descriviamo dettagliatamente il secondo metodo,detto metodo trigonometrico, singolarmente per la (7), per la (8) e per la (9).Metodo trigonometrico per la (7): si disegna la circonferenza trigonometrica (cioè la circonferenza di raggio 1, con origine nel centro degli assi coordinati O=(0,0)) se m<–1 o m>1 la (7) non è mai verificata. Se –1m1 si traccia la retta y=m, e si riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni. si aggiunge la periodicità 2k con kZ..Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con  l’angolo=arcsin(m), e procediamo come suddetto:Dott. S. Caltabiano 11
  15. 15. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) y y=m –  x Figura 1Quindi l’equazione è soddisfatta per: x= e x=–aggiungendo la periodicità: x=+2k e x=–+2kUn’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, chedescrive tutte le soluzioni della (7), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi incui –1m1, denoteremo con  l’angolo arcsin(m) ridotto al primo quadrante: Studio dell’equazione sin(x)=m al variare di m -1<m o m>1 Nessuna soluzione -1m0 x=++2k e x=2–+2k 0 m  1 x=+2k e x=–+2k Tabella 1Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (7) lavorandonell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzionidella (7) sono: x=arcsin(m)+2k e x=– arcsin(m)+2kdove ovviamente –1m1.Metodo trigonometrico per la (8):Dott. S. Caltabiano 12
  16. 16. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) si disegna la circonferenza trigonometrica se m<–1 o m>1 la (8) non è mai verificata Se –1m1 si traccia la retta x=m, e si riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni. si aggiunge la periodicità 2k con kZ..Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con  l’angolo=arccos(m), e procediamo come suddetto: y x=m  x 2– Figura 2Quindi l’equazione è soddisfatta per: x= e x=2–aggiungendo la periodicità: x=+2k e x=2–+2kUn’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, chedescrive tutte le soluzioni della (8), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi incui –1m1, denoteremo con  l’angolo arccos(m) ridotto al primo quadrante: Studio dell’equazione cos(x)=m al variare di m -1<m o m>1 Nessuna soluzione -1m0 x=–+2k e x=++2k 0m<1 x=+2k e x=2–+2k Tabella 2Dott. S. Caltabiano 13
  17. 17. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (8) lavorandonell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzionidella (8) sono: x=  arccos(m)+2kdove ovviamente –1m1.Metodo trigonometrico per la (9): si disegna la circonferenza trigonometrica si disegna la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di coordinate (0,1) (detto origine degli archi) si segna il punto di coordinate M=(1,m), si riporta l’angolo corrispondente all’intersezione si aggiunge la periodicità k con kZ..Consideriamo ad esempio il caso in cui m0. Procedendo come suddetto: y m  x Figura 3Quindi l’equazione è soddisfatta per: x==arctg(m)aggiungendo la periodicità: x=+kDott. S. Caltabiano 14
  18. 18. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, chedescrive tutte le soluzioni della (9), al variare di m. Nella tabella che segue,denoteremo con  l’angolo arctg(m) ridotto al primo quadrante: Studio dell’equazione tg(x)=m al variare di m m0 x=+k (oppure x=++k) m0 x=2–+k (oppure x=–+k oppure x=–+k) Tabella 3EserciziRisolvere nell’intervallo [0,2] le seguenti equazioni, indicando per ciascuno di essila soluzione in R.1. 2sin(x)+1=0 10. sin(4x)cos(2x)=02. 2sin(x)– 3 =0 11. sin(x)cos(x)=03. 5sin(x)+2=0 12. sin(x)cos(x)–2cos(x)=04. 2 cos(x)–1=0 13. sin(x)cos(x)+2cos(x)=0 14. cos(x)tg(x)=05. 2cos(x)+ 3 =0 15. cos(x)tg(x)=06. 3 tg(x)–3=0 16. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x)7. tg(x)–1=0 17. sin(4x)–sin(2x)=sin(x)8. (2sin(x)+1)cos(x)=09. sin(2x)cos(x)=05.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementariSia f=f(x) una funzione reale e mR. Le seguenti equazioni sono riconducibili adequazioni elementari: sin[f(x)]=m cos[f(x)]=m tg[f(x)]=mDott. S. Caltabiano 15
  19. 19. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)dove mR.. Si pone t=f(x) e si ottiene un’equazione trigonometrica elementare, sirisolve questa equazione, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione diquest’ultima, si sostituisce f(x) a t e si ottengono una o due equazioni del tipo: f(x)=a con aRl’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione di partenza.Altri tipi di equazioni riconducibile ad equazioni elementari, sono le seguenti: sin[f(x)]=sin[g(x)] (10) cos[f(x)]=cos[g(x)] (11) tg[f(x)]=tg[g(x)] (12)dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali.Consideriamo la (10). Fissato x e posto m=sin[g(x)] e t= f(x) si ha l’equazioneelementare: sin(t)=mle soluzioni sono: t=arcsin(m)+2k e t=–arcsin(m)+2ke pertanto osservando che arcsin(m)=g(x) si ha che le soluzioni della (10) sono: f(x)=g(x)+2k e f(x)=–g(x)+2kProcedendo in maniera analoga si trova che le soluzioni della (11) sono: f(x)=  g(x)+2kAnalogamente per la (12) le soluzioni sono: f(x)= g(x)+kUn caso particolare della (10) è la seguente: sin[f(x)]=cos[g(x)]infatti quest’ultima può essere scritta come: sin[f(x)]=sin[/2–g(x)]Esercizi1. 2sin(7x)=1 16. 3 cos(x2–2)=–2Dott. S. Caltabiano 16
  20. 20. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)2. 2cos(7x)=1 17. 3 tg(x2–2)=–13. 2tg(7x)=1 18. sin(7x)=sin(3x)   1 19. cos(7x)=cos(3x)4. cos 3 x      3 2 20. tg(7x)=tg(3x)   1 21. sin(7x)=cos(3x)5. sin 3 x      3 2     22. sin 3 x   = sin 5 x     1  3  66. tg  3 x      3 2     2 23. cos 3 x   = cos 5 x  7. sin(x –1)=1/2  3  68. cos(x2–1)=1/2     2 24. tg  3 x   = tg  5 x  9. tg(x –1)=1  3  610. sin(ln(x))=1/2     25. sin 3 x   = cos 5 x  11. cos(ln(x))=–1/2  3  612. tg(ln(x))=1 26. sin(x2–1)=sin(3x2+2)13. cos(cos(x))+2=0 27. cos(x2–1)=cos(3x2+2)14. 2sin(ex+1)+1=0 28. tg(x2–1)=tg(3x2+2)15. 3 sin(x2–2)=–2 29. sin(x2–1)=cos(3x2+2)5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni trigonometricaPer risolvere una qualunque equazione trigonometrica nella quale gli argomenti dellefunzioni trigonometriche, sono multipli o frazioni di x, si procede come segue: si verifica se x= è soluzione o meno dell’equazione applicando le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione, di bisezione e di prostafersi, si ottiene un’equazione in sin(x), cos(x) e tg(x) si esprimo sin(x), cos(x) e tg(x) in funzione di tg(x/2) si pone t=tg(x/2) e si ottiene così un’equazione polinomiale nella variabile t si risolve l’equazione polinomiale nella variabile tDott. S. Caltabiano 17
  21. 21. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) nella scrittura che descrive la soluzione dell’equazione polinomiale, si sostituisce tg(x/2) al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni trigonometriche elementari. L’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione trigonometrica assegnata.Benché questo metodo rappresenti uno strumento validissimo, nella risoluzione delleequazioni trigonometriche, in molti casi esso riconduce a delle equazioni polinomialidi grado elevato e di conseguenza tediose da trattare. Tratteremo in seguito alcuni tipidi equazioni trigonometriche, aventi ognuna un metodo risolutivo opportuno, checonsente di risolvere il tipo d’equazione in questione, in maniera più sbrigativarispetto al metodo standard descritto sopra. I seguenti esercizi non sono finalizzati alla risoluzione, ma servono soltanto atitolo di esempio, per mostrare come il suddetto metodo standard, nella maggior partedei casi, conduca a delle espressioni difficili, se non addirittura impossibili da trattareanaliticamente.Esercizi1. 3sin4(x)=12. 3cos2(x)+sin(x)=03. sin(x)cos(x)=1/25.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tgUn’equazione trigonometrica lineare è del tipo: asin(x)+bcos(x)+ctg(x)+d =0 (13)dove a,b,c,dR. Per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna ricorrere al metododescritto nel paragrafo 5.3. Esiste tuttavia un caso particolare della (13) riconducibileimmediatamente a equazioni di tipo elementare. Se a=1, b=  1, c=0, la (13) diventa: sin(x)  cos(x)+d=0moltiplicando ambo i membri per 2 /2 (ricordando che sin(/4)=cos(/4)= 2 /2),dalle formule di addizione e sottrazione del seno, segue che:Dott. S. Caltabiano 18
  22. 22. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)   d 2 sin x    0  4 2facilmente risolvibile.Esercizi1. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0 10. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=02. sin(x)–cos(x)+1=0 11. 3sin(x)–cos(x)=33. sin(x)+cos(x)–1=0 12. 2 3 cos(x)+2sin(x)= 6 + 24. cos(x)+sin(x)– 2 =0     13. sin x    cos x    1 2  3  35. sin(x)+cos(x)– =0 2  x 14. 2 3 sin 2   +sin(x)+ 3 –2=06. 3 sin(x)–cos(x)=0 27. 4sin(x)–3cos(x)=0  x 15. 2 cos 2   +sin(x)–2=08. sin(x)–cos(x)=0  29. sin(x)+cos(x)– 2 =05.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersiIn molti casi, l’applicazione delle formule di prostafersi consente di trasformareun’equazione trigonometrica complessa, in un’equazione equivalente, facilmenterisolvibile. In genere, la formula di prostafersi si applica fra due termini, in modo chesi ottenga un prodotto contenente una funzione con lo stesso argomento di una giàesistente nell’equazione data.Le seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di prostafersi: a b  sin(ax)  sin(bx)  csin x  2  a b  sin(ax)  sin(bx)  ccos x  2  ab  cos(ax)  cos(bx)  ccos x  2 Dott. S. Caltabiano 19
  23. 23. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) a b  cos(ax)  cos(bx)  csin x  2  sin( x  a )  sin( x  b)  c cos( x  a )  cos( x  b)  cdove a,b,cR. Ad esempio se applichiamo la formula di prostafersi alla primaequazione otteniamo: a b  a  b  a b  sin x cos x   sin x  2   2   2 e quindi:  a  b   a  b   sin  x  cos x   c  0  2   2  che un’equazione che sappiamo risolvere. Analogamente si procede per le rimanentitre equazioni.Esercizi1. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x) 14. cos(8x)–cos(4x)=2sin(6x)2. sin(4x)–sin(2x)=sin(x) 15. cos(2x)+cos(4x)=2cos(x)3. sin(5x)+sin(3x)=–sin(x)     2 16. sin  x   sin  x  4. sin(5x)+sin(3x)=cos(x) 4  4  25. sin(7x)–sin(x)=cos(4x)     17. sin  x   cos  x   16. sin(7x)+sin(x)=sin(4x) 3  4 7. sin(5x)–sin(x)=sin(2x)  5  3 18. sin  x   sin x  8. sin(3x)+sin(5x)=sin(4x)  6  29. sin(3x)+sin(5x)=–cos(x)     6 2 19. cos  x   cos  x  10. sin(5x)–sin(x)=cos(3x) 6  2  411. cos(5x)+cos(x)=cos(3x)      20. 6 cos  x   cos  x  =12. cos(5x)–cos(x)=–sin(3x)  4  4 13. cos(3x)+cos(5x)=–cos(4x) 2sin(2x)Dott. S. Caltabiano 20
  24. 24. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di WernerIn molti casi, l’applicazione delle formule di Werner consente di trasformareun’equazione trig. complessa, in un’equazione equivalente, facilmente risolvibile. Leseguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di Werner: sin(x+a)sin(x+b)=c cos(x+a)cos(x+b)=c sin(x+a)cos(x+b)=cEsercizi1. 2sin(2x+)sin(2x)=0    2 3. cos 3 x   sin(3 x )    1  12  42. sin 2 x   cos(2 x )   6 4Dott. S. Caltabiano 21
  25. 25. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie. Equazioni irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Equazioni fratte.6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado nSia f=f(x) una funzione reale. L’equazione in questione è del tipo: an [f(x)]n+an–1 [f(x)]n–1+…+ a1 f(x)+a0 =0 (14)Si pone t= f(x) e si ottiene la seguente equazione polinomiale: antn+an–1tn–1+…+ a1t+a0=   0 (15)detta equazione ausiliaria. Si risolve questa equazione di grado n nella variabile t,successivamente nella scrittura che descrive la soluzione della (15), si sostituisce f(x)al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni del tipo: f(x)=a dove a Rl’unione delle soluzioni di queste ci da le soluzioni della (14).Vediamo un caso particolare della (14). Ricordiamo che un polinomio si diceomogeneo se tutti i monomi che lo costituiscono hanno lo stesso grado, essendo ilgrado di un monomio la somma degli esponenti delle incognite che lo costituiscono.Un’equazione omogenea di grado n, nella quale le incognite sono due funzioni, di cuiuna non si annulla mai, per il secondo principio, si può ricondurre ad un equazionedel tipo (14), infatti basta dividere ambo i membri per la funzione non nulla elevataad n. A titolo d’esempio consideriamo il caso n=3. Siano f=f(x) e g=g(x) duefunzioni reali e supponiamo che la g e non si annulli mai e consideriamo: af3(x)+bf2(x)g(x)+ cf(x)g2(x)+ dg3(x)=0che è un’equazione omogenea di grado tre, nelle variabili f(x) e g(x), ed è equivalenteall’equazione: ah3(x)+bh2(x)+ ch(x)+ d=0Dott. S. Caltabiano 22
  26. 26. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)dove si è posto per comodità h(x)=f(x)/g(x).Esercizi1. log 2 ( x )  5 log 2 ( x )  6  0 2 24. 2sin2(x)+5cos2(x)–4=0 2 x 2. log 3 ( x )  4 log 3 ( x)  3  0 25. tg 2   1  1  0 2  3 23. log1 / 2 ( x )  log 1 / 2 ( x)  4  0 26. 2tg2(x)+3tg(x)–1=04. 22x–32x+2=0 27. 3tg2(x)–2 3 tg(x)–3=05. 372x+7x–4=0 28. 3 tg3(x)+(4– 3 )tg2(x)–(4– 3 )tg(x)–6. 22x–122x+32=0 3 =07. 2sin2(x)–1=0 29. tg4(x)+2tg2(x)–3=08. 4sin2(x)–2( 3 +1)sin(x)+ 3 =0 30. 3 sin(x)–cos(x)=0 29. 2sin (x)+(2+ 2 )sin(x)+ 2 =0 31. 4sin(x)–3cos(x)=0 4 210. 2sin (x)–3sin (x)+ 1=0 2 32. 6sin2(x)– 3 sin(x)cos(x)–cos2(x)=011. 7sin(x)+2cos (x)–5=0 2 2 33. sin3(x)– 3 sin2(x)cos(x)–cos3(x)=012. cos (x)+5sin (x)–sin(x)=0 2 34. sin4(x)–4sin2(x)cos2(x)+3cos4(x)=013. 3cos(x)+sin (x)–3=0  x 35. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin(x)cos(x)–14. 4 sin 2    3 cos( x )  3  0  2 1=015. 4sin4(x)+cos2(x)–3=0 36. 4sin4(x)+4sin2(x)cos2(x)=116. 2sin3(x)–(3 2 +2)sin2(x)– 37. 3cos2(x)+2 sin(x)cos(x)=3 38. 2sin2(x)–5sin(x)cos(x)–+3cos2(x)=0 (3 2 +2)sin(x)–2=0 2 39. 3 cos2(x)–2sin(x)cos(x)–17. 4cos (x)–2( 3 + 2 )cos(x)+ 6 =018. 8cos4(x)–10cos2(x)+ 3=0 3 sin2(x)=019. 2 cos3(x)–(3– 2 )cos2(x)–(3– 40. 3 sin2(x)–2sin(x)cos(x)– 2 )cos2(x)+ 2 =0 3 cos2(x)=0 x 2 41. sin2(x)–4sin(x)cos(x)+ 3cos2(x)=020. 4 cos    cos( x )  1  2  0  2 42. 2sin2(x)–4sin(x)cos(x)–3cos2(x)=0Dott. S. Caltabiano 23
  27. 27. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  x 43. 2sin2(x)+(3+ 3 )sin(x)cos(x)+3(1–21. 2 3 cos 2   +cos(x)+ 3 –2=0  2 3 )cos2(x)=0  x 44. sin4(x)+3sin2(x)cos2(x)–cos4(x)=022. 2 sin 2   +cos(x)–2=0 2 45. cos(2x)+sin(x)–1=0 2 223. 2cos (x)–sin (2x)+ 2 =06.2 Equazioni irrazionaliUn’equazione irrazionale è del tipo: n f ( x ) =g(x) (15)dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali ed nN. Se n è dispari allora per il 3oprincipio, elevando ambo i membri della (15) ad n otteniamo l’equazioneequivalente: f(x)=gn(x)Se n è pari per l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0 ed inoltre affinchéabbia senso la (15), dobbiamo imporre pure che sia g(x)0. In queste condizioni per ilterzo principio, un’equazione equivalente alla (15), si ottiene elevando ambo imembri della (15) ad n. Pertanto la (15) è equivalente al sistema:  f ( x)  0   g ( x)  0  n  f ( x)  g ( x)Osserviamo che la prima condizione è implicitamente contenuta nella terza e quindiin definitiva la (15) è equivalente al sistema:  g ( x)  0  n  f ( x)  g ( x)Vediamo alcuni casi particolare della (15).Se la funzione g è costante e vale costantemente kR la (15) diventa: n f ( x) =kse n è dispari l’equazione equivalente è:Dott. S. Caltabiano 24
  28. 28. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) f(x)=knSe n è pari l’equazione non è mai soddisfatta se k<0, mentre nel caso k0 l’equazioneequivalente è: f(x)=knUn altro caso particolare della (15) è il seguente: A( x)  B( x)  C ( x ) (16)con A=A(x), B=B(x) e C=C(x) funzioni reali. Posto h(x)=C(x)  B(x ) si ottiene: A(x) =h(x)che è un’equazione del tipo (15), si costruisce quindi il sistema equivalente,successivamente si esplicita la definizione della h=h(x) e di conseguenza siaggiungono le equazioni che essa comporta. Si ottiene così un sistema equivalentealla (16). Nel caso di un’equazione, nella quale compaiono più di due espressionisotto il segno di radice, non esiste un procedimento standard. Quello che bisogna fareè usare i tre principi (soprattutto il terzo principio), per cercare di ricondursi a unsistema equivalente, contenente equazioni del tipo (15), (16).Fissati m,nN un’espressione apparentemente più generale della (15) è la seguente:  f ( x)m / n =g(x)infatti quest’ultima la possiamo scrivere come: n  f ( x)m =g(x)In effetti l’espressione più generale della (15) è: n f ( x)  m g ( x) (17)dove m,nN. Analogamente a quanto visto per la (15), si distinguono i casi n, m pario dispari, si impongono le opportune condizioni d’esistenza e si applica il terzoprincipio d’equivalenza. Risolviamo ad esempio la (17) nel caso n=m=2. Imposte lecondizioni d’esistenza per il terzo principio d’equivalenza possiamo quadrare ambo imembri della (17) e di conseguenza il sistema equivalente è:Dott. S. Caltabiano 25
  29. 29. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  f ( x)  0   g ( x)  0  f ( x)  g ( x) Si osserva che la seconda equazione è implicitamente contenuta nella prima e nellaterza equazione e quindi in definitiva il sistema equivalente è:  f ( x)  0   f ( x )  g ( x)Esercizi1. 2 x  5  x 2  3 x  2 13. cos(2 x)  2sin( x)  1  02. x  3  x 2  2 x 14. 1  2 sin( x)  3  4 cos 2 ( x)3. x  25  x 2  1   15. sin x    sin( x)  cos( x)  2  44. x2  8 x 0 16. 2 x  8  x  5  x  35. 3 2 x  1  x 2  x  0 17. x  1  1  2 x  2  x  26. 5x  4  x  2  0 18. 2 x  8  x  5  x 2  3  x  37. 3x  4  x  28. 2  x  x  0 19. 1  x  2 x 2  x  3  1 20. 2cos(x)–1=9. lg( x )  lg( x 2  1)  lg( x  1) 2 cos( x)  1  1  cos( x) 210. 1+ 2(ln( x))  3 ln( x)  2  ln( x ) 21. ln(x2–1)=11. lg( x 2  1)  lg( x 2  1) ln 2 ( x 2  1)  ln( x 2  1)12. 2 cos( x)  1  1  2sin 2 ( x)6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assolutoRicordiamo che la funzione modulo è così definita:  x se x  0 x   x se x  0Dott. S. Caltabiano 26
  30. 30. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Dalla definizione si evince, che valgono le seguenti identità: x  x 2 =max{–x,x} xR (18) xy  x y x,yRInoltre assegnato un numero reale m0, valgono le seguenti relazioni: x  m se e solo se x=  min particolare: x  0 se e solo se x=0Assegnata un’equazione, in cui compaiono due o più espressioni in valore assoluto, siprocede come segue: si studiano le variazioni di segno di ogni espressione in modulo in corrispondenza ad ogni variazione, si scrive l’equazione data, esplicitando i moduli le soluzioni dell’equazione assegnata, sono date dall’unione delle soluzioni dei sistemi suddetti.Consideriamo ad esempio l’equazione: x 2  4  3  x  x  5  7x  0costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo: –5 –2 2 3     2 x –4 3–x x+5 Figura 4Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni deiseguenti sistemi:Dott. S. Caltabiano 27
  31. 31. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  x  5  2 ( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0  5  x  2 e 2  x  3  2 ( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0  2  x  2  2  ( x  4)  (3  x)  ( x  2)  7 x  0 x  3  2 ( x  4)  (3  x)  ( x  2)  7 x  0Vediamo un altro esempio: x 2  1 sin( x ) =0costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo: –1 0 1    x 2 x –1 Figura 5Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni deiseguenti sistemi:  x  1  2 ( x  1) sin ( x)  0  1  x  0  2  ( x  1) sin( x)  0 0  x  1  2  ( x  1) sin ( x )  0 x  1  2 ( x  1) sin( x)  0Dott. S. Caltabiano 28
  32. 32. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Vediamo un ultimo esempio: x2  4  2 x  x  1  x 1  2 x  3  x2  1si studiano le variazioni di segno, rispettivamente delle funzioni: x2  4 2 x  x 1  x 1 2x 3si costruisce la tabella che descrive le variazioni di segno delle espressioni in modulo: –2 –3/2 –1 0 3/2 2       x2–4 2 x  x  1  x 1 2x 3 Figura 6Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni deiseguenti sistemi:  x  2 e x  2   2  x  4  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1   2  x  3 / 2 e 3 / 2  x  2    ( x 2  4)  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1   3 / 2  x  3 / 2    ( x 2  4)  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1 L’analisi fatta ci mostra che in generale un’equazione contenete espressioni in valoreassoluto, si riconduce alla soluzione di più sistemi.Vediamo un caso particolare. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, econsideriamo l’equazione: f ( x)  g ( x) (19)Dott. S. Caltabiano 29
  33. 33. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Per quanto suddetto segue che le soluzioni della (19) sono date dall’unione dellesoluzioni dei sistemi:  g ( x)  0  g ( x)  0  e   f ( x )  g ( x)  f ( x)   g ( x)E nel caso particolare: f ( x)  mcon m0, le soluzioni sono date da: f(x)=  mConcludiamo facendo osservare, che per l’identità (18), ogni equazione contenenteespressioni in modulo, può essere ricondotta ad un’equazione irrazionale. Tuttaviaquest’ultimo metodo non viene mai usato, poiché esso riconduce a equazioniirrazionali, i cui procedimenti di risoluzione, sono indubbiamente meno standard diquelli adoperati per la risoluzione delle equazioni contenenti espressioni in valoreassoluto.Esercizi1. 3x  2  2 x 35. sin( x )  cos( x )  1  02. x 2  1  3 36. 2 sin 2 x  13. ( x  1) 2  x( x  4)  3( x  1)  2 3 37. sin 2 ( x  1)  –2( 3 +1)sin(x– 24. x 2  2 x  3  0 1)+ 3 =0 25. x  3  x  4  x  ( x  3)( x  1) + x 38. 4 cos 2  cos x  1  2  0 9x=3 26. x 2  3  x 2  4  2 x  x  3( x  1) + 39. x sin x  1  0 9x=3 46. 2tg2 x +3 tg (x) –1=07. x  x  1  x 2  x 40. 3 sinx)– cos(x ) =0 41. 4 sin(x) +cos(x)=0Dott. S. Caltabiano 30
  34. 34. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)8. x 2  3  x  x 2  4  2 x + 42. cos(x ) +2cos(x)=0 x  3 x  1  1  9x  3 43. 6sin2(x)– 3 sin(x) cos(x ) –cos2(x)=0 2 44. sin4 x –4sin2(x)cos2 x +3cos4(x)=09. ( x  1)  x 45. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin x cos x – 210. ( x  1)  x 1=011. ( x  1) 2  ( x  3) 2 + 3 46. x 3  3 x 2  x  27  x  3 ( x 2  16  8 x) 2  x 2  1  x  3 47. x 2  3x  2  2 x  112. 7 x  2 x 48. 2 x  5  x 2  3 x  213. 2 2 x  3  2 x  2 x  0 49. x  25  x 2  114. 2 2 x  3  2 x  2 x  0 50. x 2  8 x 015. 4 x  3  2 x  2 2 x  3  2 x  2 x 1  0 51. 2x  8  x  5  x  3 x x x 116. 4  3  2 x  22x  3  2 2 0 52. x 1 1 2x  2  x2 53. 3 2 x  1  x2  x  017. ln x  018. ln 25  x 2  1 54. 1  x  2 x 2  x  3 119. ln 25  x 2  1 55. 5 x  4   x  2 2 020. ln( x 2  1)  1  2 ln( x) – x2 1 x 1 56.  1  0 2 3 ln( x  3)  1  0 57. 3 x  4  x  2 221. ln( x  x  2)  1  2 ln( x  x ) – 58. 2  x  x 0 ln  x  3  3  1  1 59. lg x  lg( x 2  1)  lg x  122. ln ( x  1) 2  ln x  1  1 60. 1+ 2 ln 2 ( x 2  1)  3 ln( x 2  1)  2 =Dott. S. Caltabiano 31
  35. 35. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)23. ln x  ln( x)  ln x  0 ln x 2  1 124. sin( x)  61. ln( x 2  1)  ln 2 ( x 2  1)  ln x 2  1 2 125. cos( x )  2 62. 4 x  7  2 x  19  7 x  1 126. sin x  2 63. 2 7 x  1  1  7 2 x  7 x  7 127. sin x  1  2 64. 7 x  1  1  7 2 x  7 x  7 128. cos( x )  2 65. 2 cos( x)  1  1  2 sin 2 ( x) 129. cos x  66. 2 sin( x)  1  1  2 sin 2 ( x) 2 3 67. cos 2 x  2 sin x  1  030. cos x 2  1  231. tg ( x)  1 68. 1  2 sin ( x )  3  4 cos 2 ( x) x  32. tg  1 69. sin x    sin x  cos x  2 2  4 70. 2cos(x)–1=33. tg x  1 2 cos( x )  1  1  cos( x ) 2 x34. 2 cos    sin( x )  2 =0  26.4 Equazioni fratteSiano f=f(x)e g=g(x) funzioni reali. Si dice equazione fratta (in forma normale): f ( x) 0 (20) g ( x)per il secondo criteri d’equivalenza tale equazione è equivalente al sistema:  g ( x)  0   f ( x)  0Dott. S. Caltabiano 32
  36. 36. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Se l’equazione fratta non è data in forma normale mediante ovvie operazioni la siriporta in tale forma.Esercizi x 1 1 11. 1 31.  x3 x 2 x x 2  5x  62. 0  x 3  47  2 x  3 x  10 32. ln(1  x)  ln    (2  x )(4  x )    x 2  5x  63. 2 0 33. 2 ln( 2 x  1)  ln( x  2)  ln(5  2 x) x  7x  6 2 34. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14) x  7 x  124. 0 35. ln 3  2 x  ln(3  2 x)  2 ln(3) = x 2  7x  8 1  5x 1  5x 2 ln 2 x  15.  1  5x 1  5 x 36. log(2x–1)+log(3x–8)–log(x)–log(x– x2 1 2)=log(5)–log(3)6. 0 x 1 ln 2 ( x )  1 37. 1 2x  1 ln 2 ( x)  ln( x)  67. 2 x3  2x  1  x3 38. log 2  308. 2  x  x5 39. 2 log( x)  log( x  1)  log x x 2x  19.  1 4 3  x 2  10 x  16  40. log 10    1   x 1  x2 x10.   3x x  1 2x  3  x 2  5x  4  41. log 10  2   x  5x  6   0 2x  1 x 2  1  11.   5x 2z  1 x x2 42. x lg( x 2  1)  012. 1 3 x4 e sin ( x ) x 1 2 x2 43. e x 30Dott. S. Caltabiano 33
  37. 37. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) x 2  2x 1 x3 ( x 2  1)(lg( e x )  2)13. 2   44. 0 x 4 x x e  x 2 2  ex  2 x2  x  2 x  x 114. 1 45. 0 ln x x2 e 3 x 2  1 2x 2  1 x3 x2  415.   2 46. 0 x 1 x 1 x 1 ln( x)  1 2 5 4 3 116.    47. 1 x  3 x  3 x x 1 sin( x) 4  x2 2  x2 48. 1  117.  2 x 4  2x 2  1 x2  1 cos( x) x 8  17 x 4  16 118. 0 49.  1 x 10  242 x 5  243 tg ( x) x4 1 1 50.  cos( x)  1 1 cos( x)19. 25 x2  1 x 5 2 sin( x )  1 2x 51. 0 2 cos( x)  2 120. x   x 1 2 sin( x)  2 x 52. 0 2 cos( x )  1 x21. 1 2 sin ( x)  1 x6 53. 0 3tg ( x)  1 122. x  1  x 1 tg ( x)  3 54. 0 2 sin( x )  123. 3 x  2  x  2 = tg ( x)  2  3 16 55. 0 tg ( x)  1 3x  2  x2 2 sin x  1  cos( x) x 1 56. 024. 1 cos 2 x  1 x 5 x5Dott. S. Caltabiano 34
  38. 38. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) x 1 2 sin x  1  cos( x)25. 3 x  1  5 x  1  57. 0 3 x  1  5x  1 cos 2 x  3sin( x)  1 x2  4 x  326. 0 ln 2 (e x  1)  2 ln( e x  1)  1 2x  3  x 1 58. 0 lg 2 ( sin( x))  3 2 x 1 x 327. 1  sin 2 ( x)  1  x4 x2 59.   sin x  0   e 2  2x  128. 2 sin( x)  cos 2 ( x) x3 60. 0 sin( x) x  1 3x  629.  1 tg 4 ( x )  tg 2 ( x) 2 3 61. 0 25 (x  3) 330. x  2  x   0 tg x 2tg x x e e 62. 0 1  e sin (ln( x ))Dott. S. Caltabiano 35
  39. 39. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 7 Complementi sulle equazioni trigonometriche7.1 Equazioni simmetriche in sin e cosUn’equazione trigonometrica in sin(x) e cos(x) si dice simmetrica, se questa noncambia di forma scambiano sin(x) con cos(x) e viceversa. Per risolvere questo tipo diequazioni si procede come segue:  si pone x  y  4 si applicano le formule di addizione e sottrazione e la formula fondamentale sin2(y)+cos2(y)=1. Si ottiene così un’equazione del tipo (14)  si sostituisce nelle soluzioni di quest’ultima y  x  e si ricavano quindi le 4 soluzioni dell’equazione di partenzaEsercizi1. 2sin(x)+2cos(x)–sin(x)cos(x)=1 7. sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)=12. 2 sin3(x)+ 2 cos3(x)+1=0 8. 2(2 3 –1)[cos(x)+sin(x)+3. 3sin(x)+3cos(x)–5sin(x)cos(x)=3 2sin(x)cos(x)]–11=04. sin(2x)+2 2 (sin(x)+cos(x))=5 9. ( 3 –1)(sin(x)+cos(x))–2sin(2x)=05. sin(x)+cos(x)–sin(x)cos(x)–1=0 10. sin(x)–cos(x)+2 2 sin(x)cos(x)=06. sin(x)+cos(x)–2sin(x)cos(x)=17.2 Equazioni trigonometriche non tipicheAbbiamo già detto che non esistono norme di carattere generale, per la risoluzionedelle equazioni trigonometriche. Gli esercizi esposti qui di seguito sono delleequazioni trigonometriche che non rientrano fra quelle tipiche finora trattate, o per lomeno non vi rientrano direttamente, nel senso che per risolverle, bisogna applicareDott. S. Caltabiano 36
  40. 40. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)opportunamente uno o più volte, le varie formule trigonometriche e cercare così diricondurle a equazioni aventi una forma risolvibile ovvero a equazioni tipiche.Esercizi 3  x1. cos(x)–sin(x)tg(x)= 22. tg ( x)  tg    2 3  2 1  x2. 4sin(x)–cos(x)cotg(x)= 23. sin( x)  2 cos 2   = 2  2 2   x  x 3. sec(x)tg(x)= 3  sin   cos   3   2  2  34. tg2(x)(1–sin2(x))= cos(2 x ) 3 4 24.  cos( x)  sin( x) 25. 3sec2(x)+2tg(x)=3 sin( x) cos( x)6. 2(sin4(x)– cos4(x))=1 25.  1  cos(2 x) 1  cos(2 x) 17. cosec2(x)–3cotg2(x)= 3  2(1  tg 2 ( x))  26. 3 cos ec 2 ( x ) 1  2 =      2  tg ( x) 8. tg  x    6tg  x    3  4  4 5 1 =0   1  cos 2 ( x )9. tg  x    2tg ( x )  3  6 tg (2 x ) 27. 110. 3cos(2x)–5 3 cos(x)+6=0 cot g ( x)11. 1+cos(2x)=3cos2(x)–sin2(x)  sin( x)  2 cos( x )  4 2 2 28. (tg ( x)  1)   =  312. 16sin (2x)+4cos (x)=15  cos( x)   x 1  x13. 3tg    cos( x )  3  3tg    2 2  214. 2cos(x)+3sec(x)=7  x 1  tg 2  15. 2sin(x)+3cosec(x)=4 2 216. cotg2(x)+4cos2(x)=6 29. cos3(x)– 3 cos2(x)–(sin2(x)+sin(x)– 1)cos(x)+ 3 sin(x)=0Dott. S. Caltabiano 37
  41. 41. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1  2 cos( x)  x 1  cos( x )  x17.  tg 2   30.  3tg 2   1  cos( x)  2 1  cos( x)  2 1  cos( x )  x sin( x)  x18.  tg 2   31.  3tg 2   1  cos( x)  2 1  cos( x)  219. 4(sin(x)–2cos(x))2=13–8sin(2x) sin( x)  x 32.  3tg 2    x 1  cos( x)  220. 4 sin( x )  tg    3  2 sin( x)  sin (5 x) sin(3 x) 33.   x cos( x)  cos(5 x)  x 5 21. 4 cos( x )  tg    3 cos sin x  2  2 2 Dott. S. Caltabiano 38
  42. 42. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 8 Esercizi di vario tipo1. x3+x2–2=0 60. tg(x)–tg(2x)=sin(x)2. x4–6x2+8=0 61. tg(x)tg(3x)=13. x  3  x  1  0 62. 3tg 2 ( x)  4tg ( x)  3  04. x  1  x 2  3 63. ln( x)  ln 2 ( x )5. x x  2 x  1  0 64. ln( x  1)  ln x 2  1 36. x  2 x(1  x )  0 ln( x ) 1 65. 7. x 2  1  x  x  1 ln( x)  12 2 x  1 2x  3 x 2  ex8.  66. ln 2 4 3 x 2x  1 ln 2 ( x)  5 ln( x)  69. 3 67. 0 x2 lg 10 ( x  1  x ) 2 7x  3 3 1510.    x 2  10 x  16  7(2 x  3) 4( x  2) 28( x  2) lg 10   1  x 1  68.   0 x2  x ln ln( 2 x  5) 11. 1 x 1 69. lg 10 x  1  lg 10 2  lg 10 ( x  7) x 3 212. 3 x3  x  4 70. ln   x  1   ln(2)  ln 3 x  2 –   x3 1  13.  2x  1 2 ln  x 2  1  2x14. 3 1 x2 71. lg 2 ( x)  lg 2 ( x )  2 3 x2  x2  115. 1 x2  1 2 72. ln(a  1)  ln   2  2   ln (a  1) x     1 con aR16.  2x  1  2 2xDott. S. Caltabiano 39
  43. 43. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)17. x 2  x  1  x  3 ln x  ln( 2) 73. 2 ln(15  4 x )18. 3 x  x 2  2 x  1 74. lg10 (64  2  3 x )  lg 10 (5  3  x ) + x 119.  1 lg 10 (9) x2  420. ( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2) lg 10 ( x 3  56) 75. 3 lg 10 ( x  2) 2x  1 121.  0 x 1 x  3 1 76. lg 1 (4 x)  2 lg x    lg x (4)  x22. 3  4 x  x x x2 1 x 2  3x  1 77. lg 1 (4 x)  2 lg x  lg x (4)23.  x 1 x x2  4 x24. x 1  x  x 1  78. sin tg x 2  1   1 2 x 1   1  325. 5 x 1  1 79. cos tg x 2 x 1 2 126. 5 2x  1 1 80. sin   x 1  2 x  1  x 1 81. sin (2 x)  tg ( x )  tg ( x )   1 27. 3 2   x 1   2 x2  9 82. cos( x)  cos  x  28. 5  1 2  2 16  x 2 83. 2sin(x)–5cos(x)?529. 1  x 2  5 x  6  x 84. 2sin(x)–cos(x)=230. x 2  4 x  5  x 2  4 x  21 85. 8cos(x)+2sin(x)=4+ 3 2 231. x  8 x  15  x  x  2  4 86. 2cos2(x)+sin2(2x)=2 87. cos(x)cos(4x)=cos(2x)cos(3x) x  1  4x  332. 1 88. sin(5x)–sin(2x)=sin(3x) x  1  4x  3 89. sin(6x)–sin(4x)=2sin(x) 90. sin(8x)+sin(4x)=2cos(2x)Dott. S. Caltabiano 40
  44. 44. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1 x 91. sin(7x)–sin(3x)=2sin(2x)33. x 1 x x 92. cos(4x)–cos(2x)=sin(x)34. 6  x  x 1  7 93. cos(5x)–cos(3x)=sin(4x) 94. cos(6x)+cos(2x)=2cos(4x)35. 2 x  1  5  9  4 x 95. 2sin(x)+2cos(x)–4sin(x)cos(x)=1 2x36. x  1  1 x 1 96. cos(x)+sin(x)–2 2 sin(x)cos(x)=0 3 5 97. sin(x)+cos(x)–2( 2 –1)sin(x)cos(x)–37.  2x  3  1 2x  3  1 1=0 2x  1 x3  38.  1 98. sin x    sin( x ) x3 2x  1  3 x7 3 x7 x   x39.  2 99. sin 2     cos 2   x7  x7 2 4  2 2  x  x40. 2 x  1  1  100. 2 sin 2    sin   1  0 2 2 x  2x  1 1 101. 4sin2(x)–2 3 sin(x)cos(x)–41. 1 x x x 2 2cos2(x)–1=0 102. sin2(x)–4 3 sin(x)cos(x)+ 2x x 3 3 642. 2 x x 1 cos2(x)+2=0 2  42  x 2 5 x 1 103. /3+ 3 )sin2(x)+ 2  6443. 0 32 x  5  3 x  6 ( 3  1)sin(x)cos(x)+2cos2(x)–3=0 x 2 1 104. sin(4x)+sin(x)=0 1 2   3  x44. 2 0 105. sin 2 ( x)  cos 2    1 1 1 2 2x  2 2x 106. coa( x)  3sin( x)  1 1 4   x 2 2x 2 x 107. 1  cos( x)  sin 45. 0  2 3 2x  3  2 2 x 1  x 108. 1  cos( x)  2 cos 2   2Dott. S. Caltabiano 41
  45. 45. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 2 2 x  3  2 x 1  8 109. cos(2 x )  cos( x )46. 0 3 x 110. sin(2 x)  cos( x ) z 2x 2 247. x 0 2 sin 2 ( x)  sin ( x )  1 3 3 111. 0 cos( x)  2 sin 2 ( x)  148. (e x  1)(2e 2 x  5e x  3)  0 1 sin( x) 112.  ( 3  1)49. 3 2  x  31 x  21 x  2 2 x cos 2 ( x) cos( x) 2 x  250. x x 1  ( 3  1)  051. (2  3 x ) 2  2  3 x  2(9 x  3 x 1 )  19 113. sin(2 x )  cos x  052. 5 2 x 1  4  2 2 x  2  x  5 x 1 tg ( x)  sin( x)  cos( x)  1 114. 0 tg (2 x)  3tg ( x)53. log 2 ( x)  5 log 2 ( x)  6  0 2 115. tg(x)tg(2x)=1 2 x 454. ln 1 116. tg 2 ( x ) cos 2 ( x)  3sin 2 ( x) – x x2  2 x sin( x ) cos( x)  3 cos 2 ( x )  055. ln 2 2 cos(2 x)  cos( x)  1 117. 256. ln x  2  x  2 cos(2 x) 257. ln x  2  2 tg 2 ( x )  1 cos( x) 2tg ( x) 118. 058. cos( x)  3 cos( x )  sin 2 ( x)  3 1  tg 2 ( x ) 159. 3tg(x)–2cos(x)=0 119.  sin 2 ( x)  sin( x) 2Dott. S. Caltabiano 42

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