• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]
 

Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]

on

  • 1,377 views

Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]

Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]

Statistics

Views

Total Views
1,377
Views on SlideShare
1,377
Embed Views
0

Actions

Likes
0
Downloads
6
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina] Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina] Document Transcript

    • 17-11-95SPAZI VETTORIALI, SOTTOSPAZI VETTORIALI, VARIETÀ AFFINI [1711/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K (R o C), vogliamo allora ricordare brevemente qualchenozione sugli spazi vettoriali. Indichiamo con E l’elemento nullo di E (considerato come gruppoabeliano). Definiamo traslato di un insieme, l’insieme che è definito dalla somma dei puntidell’insieme con un fissato punto dello spazio cioè dato un sottoinsieme A non vuoto di E (cioèAE e A=) e xoAE allora l’insieme x0+A:={x0+y : yA} è un traslato dell’insieme A.Definiamo somma algebrica di due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale, l’insieme definito dallasomma dei vettori appartenenti ai due insiemi, cioè dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di E alloral’insieme A+B=:{x+y : xA e yB} è la somma algebrica dei sottoinsiemi A e B. Definiamoprodotto di uno scalare per un sottoinsieme di uno spazio vettoriale l’insieme definito dalprodotto dei vettori dell’insieme per un fissato scalare di K cioè fissato un K e dato Asottoinsieme non vuoto di E allora l’insiemeA:={x : xA} è il prodotto dello scalare  per A. Sia FE allora F si dice sottospaziovettoriale di E se eredita la struttura di E, ossia se è uno spazio vettoriale rispetto alle operazionidefinite in E cioè se l’insieme F soddisfa alle due seguenti proprietà: x,yF  x+yF K e xF  xFBanalmente dalle definzione si evince che E e {E} sono sottospazi vettoriali di E e vengono dettiripettivamente sottospazio proprio e sottospazio banale. Sia GE diciamo allora che G è unavarietà affine se è il traslato di un qualunque s.sp.vett. di E ossia se x0E e FE sottospaziovettoriale di E t.c. G=x0+F. Si osserva dalla definzione che banalmente i punti sono varietà affini,poiché fissato x0E allora lo possiamo riguardare come {x0}=x0+{E}.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KFEAllora F è un sottospazio vettoriale di E  x,yF e , K  x+yFAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 1
    • Dim ()Siano x,yE e ,K e poiché per Hp F è un sottospazio vettoriale segue allora dalla  che ivettori x,yF segue allora dalla  che x+yF.Dim ()Dobbiamo provare che F è un sottospazio vettoriale di E e quindi dobbiamo provare che F soddisfala  e la . Per ipotesi abbiamo che:x,yF , K  x+yF ()Dalla () per ==1 segue che x,yF x+yF cioè è soddisfatta la .Dalla () per =0 segue che  K e xF xF cioè è soddisfatta la PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KFE s.sp. vett.Valgono allora le seguenti due proprietà:() F+F=F() F=F con  K{0}() F+F=F con ,K{0}Dimostrazione () (esercizio)Proviamo che F+FF:sia zF+F  x,yF t.c. z=x+y e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=x+yF.Proviamo che FF+F:sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che: 1 1x= x+ xF+F c.v.d. 2 2Dimostrazione () (esercizio)Proviamo che FF:sia zF  xF t.c. z=x e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=xF.Proviamo che FF:sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che: xx= F c.v.d. Dimostrazione () (esercizio)F+F=per ()=F+F=per ())=F c.v.d.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 2
    • Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KFE s.sp. vett., x0FTs: x0+F=FDim (esercizio)Proviamo che x0+FF:x0+FF+F=Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=FProviamo che Fx0+F:F=x0-x0+F x0-F+Fper Errore. Largomento parametro è sconosciuto.x0+F c.v.d.ESEMPI [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Evidentemente in R 2 dei sottospazi sono quelli banali cioé R 2 stesso e {(0,0), e come verificatoqui di seguito tutte e sole le rette passanti per l’origine. Fissato quindi m R, consideriamo l’ins.A:={(x,mx) : x R} che è l’ins. definito dai punti della retta y=mx passante per l’origine.Proviamo che A soddisfa alle proprietà  e .Verifichiamo :siano (x1,mx1),(x2,mx2)A e osserviamo che x1+x2 R si ha allora che(x1,mx1)+(x2,mx2)=(x1+x2,m(x1+x2))AVerifichiamo :sia R e (x,mx)A e osserviamo che xR si ha allora che il vettore(x,mx)=(x,m(x))A. R . In maniera analoga si prova che le varietà affini diE quindi A è un sottospazio vettoriale di 2R sono i punti (cioè G=x +{(0,0)} con x R ) e tutte le rette. 2 0 0 2PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KFE sottospazio vettorialeTs: EFDimPer Hp F è sottospazio vettoriale di E  che  K e xF il vettore xF e quindi bastascegliere =0 infatti E=0xF c.v.d.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 3
    • GE sottospazio vettoriale di ETs: G è una varietà affineDimLa tesi è ovvia poiché possiamo scrivere G=E+G  G varietà affinePROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K{Fi}iI famiglia di sottospazi di ETs: F:=  Fi è un sottospazio vettoriale di E. i IDimPer la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. dobbiamo provare che:, K e x,yF  x+yFSiano quindi ,K e x,yF. Poiché x,yF  x,yF i iI e poiché gli Fi è un sottospaziovettoriale  x+yFi iI  x+yF c.v.d.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KGE varietà affineAllora G è sottospazio vettoriale  EGDim ()Poiché G è sottospazio vettoriale allora segue dalla proprietà Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che EG.Dim ()Poiché G è una varietà affine e quindi:x0 E e FE sottospazio vettoriale di E t.c. G=x0+Fper Hp EG  yF t.c. E=x0+y  x0=-y e osservando che yF e che F è un sottospaziovettoriale si ha che x0=-yF segue allora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto. cheG=x0+F=F  G sottospazio vettoriale c.v.d.COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, x ,...,x E 1 n e 1,...,nK (dove chiaramente n Nfinito). Diciamo allora combinazione lineare (brevemente c.l.) dei vettori x1,...,xnE il vettore:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 4
    • n1x1+...+2xn=  ixi i 1dove 1,...,n sono i coefficienti della combinazione lineare. Facendo uso del principio diinduzione e della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. risulta ovvio che un sottospaziovettoriale contiene ogni combinazione lineare dei suoi vettori.INVILUPPO LINEARE [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE non vuoto, diciamo allora inviluppo linearedell’insieme A e lo indichiamo con span(A) (e si legge span di A) l’intersezione di tutti i sottospazidi E contenenti A cioè:span(A):={F : F sottospazio di E e AF}e quindi dalla proprietà Errore. Largomento parametro è sconosciuto. osserviamo chiaramenteche span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A. Ovviamente Aspan(A). Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo linearedi un insieme poiché ci dice che l’inviluppo lineare di un insieme è definito da tutte le possibilicombinazioni lineari dei vettori dell’insieme.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, ATs: span(A)={1x1+...+nxn : n N ; x ,...,x A;  ,..., K} 1 n 1 nDimPoniamo G:={1x1+...+nxn : n N ; x1,...,xnA; 1,...,nK} e proviamo che G=span(A)procedendo per doppia inclusione.Proviamo che Gspan(A):sia zG  che x1,...,xnA e 1,...,n K t.c. z= x +...+ x 1 1 n n e quindi poichè Aspan(A)  chex1+...+xnspan(A) e poichè span(A) è un sottospazio vettoriale di E  z=1x1+...+nxnspan(A) Gspan(A).Proviamo che span(A)G:per dimostrare che span(A)G dobbiamo dimostrare che G è uno sottospazio vettoriale di E checontiene l’insieme A. Dimostriamo che G è un sottospazio vettoriale e quindi facciamo uso dellaproprietà Errore. Largomento parametro è sconosciuto. e proviamo che una combinazionelineare di due arbitrari vettori di G sta ancora in G:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 5
    • siano , K e x,yG si ha allora che: nx ,...,x A e 1,..., K t.c. x=   x 1 n n i i i 1 my1,...,ymA e 1,...,m K t.c. y=  iyi i 1 n me quindi x+y=  ixi+  iyi=1x1+...+nxn+1y1+...+mymG essendo una i 1 i 1combinazione lineare di vettori di A.Chiaramente AG poiché se xA allora nella definizioni dei vettori che appartengono a G bastaconsiderare n=1 e =1 e si ha chiaramente che xG. E quindi G è un sottospazio che contiene A,allora essendo per definizione span(A) il più piccolo sottospazio che contiene A segue chenecessariamente deve essere che span(A)G.ESEMPI [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Dividiamo gli insiemi di R 2 in quelli contenuti in una retta per O=(0,0) e in quelli non contenuti inuna retta per O.Se A R 2 è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è la rettapassante per O.Se A R 2 non è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R.2Consideriamo ora gli insiemi di R. 3Se A R 3 non è contenuto in alcun piano per O=(0,0,0) ( e di conseguenza A non è contenuto innessuna retta per O ) allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R. 3Se A R 3 è contenuto in un piano per O e A non è contenuto in alcuna retta per O allora il suoinviluppo lineare è il piano.Se A R 3 è contenuto in una retta per O allora il suo inviluppo lineare è la retta.INVILUPPO AFFINE [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque non vuoto di E diciamoallora inviluppo affine dell’insieme A e lo indichiamo con aff(A), l’insieme dato dall’intersezionedi tutte le varietà affini che contengono A cioè:aff(A):=  Gi iIdove {Gi}iI è la famiglia delle varietà affini (cioè iI xiE e FiE sottospazio vettoriale t.c.Gi=xi+Fi ) t.c. AGi  iI. Ovviamente Aaff(A).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 6
    • Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo affinedi un insieme poiché ci dice che l’inviluppo affine di un insieme è definito da tutte le combinazionilineari dei vettori dell’insieme che hanno la somma dei coefficienti della combinazione lineareuguale a 1.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A  n Ts: aff(A)=  1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c.  i=1   i 1 DimFissiamo un qualunque x0A allora l’insieme span(A-x0) è un sottospazio vettoriale di E perdefinizione di inviluppo lineare. E quindi x0+span(A-x0) è una varietà affine e chiaramenteAx0+span(A-x0) infatti preso un qualunque vettore xA e tenendo presente che A-x0span(A-x0)si ha che x=x0+x-x0 x0+A-x0x0+span(A-x0 ). Chiaramente aff(A)x0+span(A-x0) infattix0+span(A-x0) è una varietà affine che contiene A e quindi per definizione contiene aff(A).  n Poniamo G=   1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c.  i=1  e proviamo con la  i 1doppia inclusione che x0+span(A-x0)=G.Proviamo che x0+span(A-x0)G: n n n sia xx0+span(A-x0) e quindi x è del tipo x=x0+  i(xi-x0)=x0+  ixi-x0  i= = 1- i 1 i 1 i 1  n  n  n n i x0+  ixi e poichè  1-  i +  i=1  xG.  i 1  i 1  i 1i 1Proviamo che Gx0+span(A-x0): n n nsia xG e quindi x è del tipo x=  ixi con  i=1. Osserviamo che x0=1x0=  ix0 segue che i 1 i 1 i 1 n n n n nx=  ixi=x0-x0+  ixi=x0-  ix0+  ixi=x0+  i(xi-x0)  xx0+span(A-x0). i 1 i 1 i 1 i 1 i 1E quindi G=x0+span(A-x0) e poiché aff(A)x0+span(A-x0) si ha che:aff(A)G (1)Per dimostrare l’inclusione inversa cioé:Gaff(A) (2)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 7
    • facciamo vedere che G è contenuto in tutte le varietà affine che contengono A poiché seguirà da ciòche Gaff(A) essendo per definizione aff(A) l’intersezione di tutte le varietà affini che contengonoA.Sia V una varietà affine t.c. AV e dimostriamo che GV. Sia quindi xG  che x è del tipo n nx=  ixi con gli xiA e  i=1. Osserviamo che V essendo una varietà affine è per definizione i 1 i 1il traslato di uno spazio vettoriale cioè FE sottospazio vettoriale e y0 E t.c. V=y0+F e poichèAV  Ay0 +F e poiché ogni xiA  che ogni xiy0+F  che i vettori xi-y0F  che essendoF un s.sp.vett. contiene ogni combinazione lineare dei vettori xi-y0 e quindi tenendo presente che n i=1 si ha:i 1 n n n n nx=  ixi=y0-y0+  ixi=y0-y0  i+  ixi=y0+  i(xi-y0)y0+F=V i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2Segue allora dalla ( ) e dalla ( ) che G=aff(A) che proprio quello che volevamo dimostrare. Si evince dalla dimostrazione del teorema precedente la seguente altra importantecaratterizzazione dell’inviluppo affine di un insieme, che in particolare ci dice che l’inviluppo affineè una varietà affine.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, Ax0ATs: aff(A)=x0+span(A-x0)CONVESSITÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE diciamo allora che A è convesso se è vuoto, mentrese non è vuoto deve accadere che:x,yA x+(1-)yA [0,1]cioè A è convesso se comunque presi due suoi punti x,yA allora il segmento che li congiunge cheè [x,y]:={x+(1-)yA : [0,1]} è contenuto in A. Chiaramente vista l’arbitrarietà di x,yA èovvio che [x,y]=[y,x]. La seguente semplice proprietà ci dice che i punti sono convessi.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 8
    • PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo Kx0ETs: Il singoltetto {x0} è convessoDim (esercizio)x0+(1-)x0=x0+x0-x0=x0{x0} [0,1] c.v.d.PROPRIETÀ (la somma algebrica di convessi è un convesso ) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KA e B due sottoinsiemi non vuoti di E convessiTs: l’insieme A+B è convessoDim (esercizio)Prendiamo ad arbitrio due vettori z1,z2A+B:={x+y : xA e yB} e quindi:ono x1A e y1 B t.c. z1=x1+y1ono x2A e y2 B t.c. z2=x2+y2Osserviamo inoltre che:essendo x1,x2A e per la convessità di A si ha che x1+(1-)x2A [0,1]essendo y1,y2B e per la convessità di B si ha che y1+(1-)y2A [0,1]segue allora che [0,1] si ha:z1+(1-)z2=(x1+y1)+(1-)(x2+y2)=[x1+(1-)x2]+[y1+(1-)y2]A+BPROPRIETÀ (il traslato di un convesso è un convesso) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAE,A, convessox0ETs: x0+A è convessoDim (esercizio)La dimostrazione di tale proprietà segue direttamente dalla Errore. Largomento parametro èsconosciuto. ponendo B:={x0}APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 9
    • c.v.d.PROPRIETÀ (uno scalare per un convesso è un convesso ) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAE,A, convesso KTs: A un convessoDim (esercizio)Siano x,yA  x,yA e per la convessità di A segue che x+(1-)yA [0,1] (x)+(1-)(y)=[x+(1-)y]A [0,1].z1+(1-)z2=(x0+x)+(1-)(x0+y)=x0+x+x0-x0+(1-)y=x0+[x+(1-)y]x0+A.PROPRIETÀ (l’intersezione di convessi è un convesso) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K{C1}iI famiglia di convessi di ETs:  Ci è un convesso. i IDimSiano x,y  Ci  x,yCi iI e poiché per Hp i Ci sono convessi segue allora che x+(1- i I)yCi [0,1] iI  x+(1-)y  Ci [0,1] c.v.d. i IINVILUPPO CONVESSO [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque di E diciamo allorainviluppo convesso dell’insieme A e lo indichiamo con conv(A), l’insieme dato dall’intersezione ditutti i convessi che contengono A cioè:conv(A):={C : AC e C convesso }La proprietà precedente Errore. Largomento parametro è sconosciuto. ci dice che l’inviluppoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 10
    • convesso conv(A) è un convesso ed essendo per definizione conv(A) l’intersezione di tutti iconvessi che contengono A allora Aconv(A) e quindi conv(A) è il più piccolo sottoinsieme di Econvesso che contiene A. E quindi in particolare se A è convesso allora necessariamente deveessere che conv(A)=A.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E spazio vettoriale su KAE, A convessoTs: conv(A)=ADim (esercizio)Vale sempre Aconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è un convesso ebanalmente AA e quindi poiché per definizone conv(A) è il più piccolo convesso contenente Aallora deve necessariamente essere che conv(A)A c.v.d.COMBINAZIONE CONVESSA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] nSia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,n[0,1] con  i=1 allora il vettore i 11x1+...+nxn si dice combinazione convessa dei vettori x1,...,xn.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAE insieme convessoTs: A contiene ogni combinazione convessa dei suoi vettori.Dim n nDobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n[0,1] con  i=1   ixiA. i 1 i 1Dimostriamo per induzione.Per n=2:siano x1,x2A e 1,2[0,1] con 1+2=1  2=1-1 e quindi tenendo conto di questo del fattoche A è convesso si ha che 1x1+2x2=1x1+(1-1)x2.Supponiamo vera l’espressione per n=k e dimostriamo che è vera per k+1: k 1consideriamo x1,...,xk+1A e 1,...,k+1[0,1] con  i=1 e supponiamo k+10 poiché se i 1k+1=0 allora l’asserto seguirebbe direttamente dall’Hp induttiva. E ovviamente possiamo supporreAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 11
    • k 1anche che k+11 poiché se k+1=1 allora dovendo essere  i=1 allora necessariamente si i 1 k 1avrebbe che 1=2=...=k=0 e quindi  xii=1x1+...+kxk+k+1xk+1=0x1+...+0xk+1xk+1=xk+1A. i 1E quindi se k+10 e k+11 si ha allora che:1x1+...+k+1xk+1= dividiamo e moltiplichiamo i primi k termini per la quantità (1-k+1) = k 1 x1 ... k x k ik+1xk+1+(1-k+1) =k+1xk+1+(1-k+1)  xi 1  k 1 i 1 1  k 1e quindi: k i1x1+...+k+1xk+1=k+1xk+1+(1-k+1)  x () i 1 1  k 1 iTeniamo presente che 1+...+k+1=1  1+...+k=1-k+1 e quindi: k k i 1 1 =  i= 1  k 1 1  k 1 i1 (1-k+1)=1 1  k 1i 1 k isegue allora dall’ipotesi induttiva che il vettore  x A 1  k 1 i i 1E quindi nella () ci siamo ricondotti al caso di due vettori già esaminato (cioè il caso n=2 ) 1x1+...+k+1xk+1A c.v.d. Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppoconvesso di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo convesso di un insieme è definito da tutte lecombinazioni convesse dei vettori dell’insieme.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A  n n Ts: conv(A)=    ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c.  i=1   i 1 i 1Dim  n n Chiamiamo C=    ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c.  i=1  che è l’insieme di  i 1 i 1tutte le combinazioni convesse dei vettori di A.Chiaramente AC (poiché xA basta considerare n=1 e 1=1 e si ha xC). Vogliamo dimostrarecon la doppia inclusione che conv(A)=C.Proviamo che conv(A)C:proviamo che C è convesso, seguirà chiaramente da questo che conv(A)C poiché per definizioneAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 12
    • conv(A) è il più piccolo convesso che contiene A. Siano z1,z2C e proviamo che z1+(1-)z2C[0,1]. n nPoiché z1C è del tipo z1=  ixi con x1,...,xnA, 1,...,n[0,1] con  i=1 i 1 i 1 n npoiché z2C è del tipo z2=  iyi con y1,...,ymA, 1,..., m[0,1] con  i=1 i 1 i 1Si ha allora che [0,1]: n mz1+(1-)z2=  ixi+  (1-)iyi () i 1 i 1Osserviamo che: n m n m i+  (1-)i=  i+(1-)  i=1+(1-)1=1i 1 i 1 i 1 i 1e quindi la () è una combinazione convessa di vettori di A  z1+(1-)z2C  che C èconvesso  conv(A)C.Proviamo che Cconv(A):conv(A) è un convesso segue allora dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che Xcontiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori e quindi essendo Acon(A) allora inparticolare conv(A) contiene le combinazioni convesse dei vettori di A e questo significa proprioche Cconv(A) c.v.d. 20-11-95INSIEME EQUILIBRATO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice equilibrato se valel’inclusione  AA  K  1cioé  K con 1 e xA  xAPROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, A equilibratoTs: EADim (esercizio)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 13
    • Per Hp A è equilibrato  xA xA e  K con 1 e quindi fissato un qualunque xAallora in particolare per =0K si ha E=0KxA c.v.d. Si osserva adesso che la famiglia di tutti gli insiemi equilibrati è chiusa rispetto allaintersezione ed all’unione.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialesia {Ai}iI una famiglia d’insiemi equilibrati di Esi ha allora che valgono: A:=  Ai è equilibrato i I B:=  Ai è equilibrato i IDimotrazione  (esercizio)Dobbiamo provare che: K con 1 e xA  xAFissato quindi K con 1 e xA allora poiché xA  xA i iI e poiché per Hp gli Aisono equilibrati  xAi iI  xA c.v.d.Dimotrazione  (esercizio)Dobbiamo provare che: K con 1 e xB  xBFissato quindi K con 1 e xA allora poiché xB  kI t.c. xA k iI e poiché per Hpgli Ai sono equilibrati  xAkB iI  xA c.v.d.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, A equilibrato KTs: A è equilibratoDim (esercizio)Dobbiamo provare che:zA e  K con ||1  zASia quindi K con ||1 e zA  xA t.c. z=x segue allora che:z=(x)=(x)A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 14
    • INSIEME SIMMETRICO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice simmetrico se coincide colsuo simmetrico cioè A=-A. Chiaramente se A è simmetrico  -A è simmetrico.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, A simmetrico e convessoTs: EADim (esercizio)Sia xA e poiché A è simmetrico  -xA e poiché A è convesso  che il segmento [-x,x]A cioè 1x+(1-)(-x)A [0,1] e quindi in particolare per = 2 si ha che:1 1 x- x=EA c.v.d.2 2 Segue direttamentre dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. la seguentesemplice proprietà.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE e ATs: A equilibrato  -A equilibratoPROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE e ATs: A equilibrato  A simmetricoDimDobbiamo provare che A=-A. Per Hp A è equilibrato  AA  K con ||1 e quindi per =-1otteniamo:-AA (1)Essendo A equilibrato allora per la proprietà precedente anche il suo simmetrico (cioè -A) èequilibrato  (-A)-A  K con ||1 e quindi per =-1 si ha:A-A (2)Segue quindi da (1) e da (2) che A=-A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 15
    • PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo RAE, A, simmetrico e convessoTs: A è equilibratoDimIn queste ipotesi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che EA. E quindiosservando che A è convesso si ha allora che xA il segmento [E,x]=[x,E]A cioè:xA xA e [0,1] ()Dobbiamo provare che  AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A  R  1allora x0A  R con 1 cioè -11.Consideriamo quindi i seguenti tre casi.Caso 01:posto x=x0 e = segue allora dalla () che x0ACaso -10:poichè -10  0-1 allora posto x=x0 e =- nella () che si ha che -x0A e poiché A èsimmetrico  x0A c.v.d.INSIEME ASSOLUTAMENTE CONVESSO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme non vuoto di E allora A si diceassolutamente convesso se è convesso ed equilibrato.TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE, AA è assolutamente convesso  x,yA , K con +1 x+yADim () necessitàConsideriamo x,yA,, K t.c. +1 e supponiamo 0 e 0.Scriviamoci il vettore x+y come:       x+y=  x    y (+)  ()               Osserviamo che e sono due complessi di modulo unitario e quindi essendo A equilibrato si  APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 16
    • ha che i vettori:  x, yA      Poiché chiaramente , [0,1] e + = =1 segue allora     che nella () il vettore tra parentesi quadre è una combinazione convessa che appartiene ad A(poiché A è convesso e quindi contiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori) cioè posto        z=  x   y  si ha zA.                 Teniamo presente che +1 e che A è assolutamente convesso ed in particolare (perdefinizione) equilibrato e quindi z(+)A cioé x+yA.Dim () sufficienzaDobbiamo dimostrare che A è assolutamente convesso cioè che A è convesso ed equilibrato.Proviamo che A è convesso:siano x,yA e [0,1]. Poniamo allora =1- e osserviamo +1-=+1-=1 e quindi perl’Hp si ha che x+(1-)yA [0,1]  A è convesso.Proviamo che A è equilibrato:dobbiamo provare che  AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A e K  1 K con 1 allora il vettore x A, 0 ma questo segue direttamente dall’Hp poiché bastaprendere :=, =0 e x=x0 e si ha subito x0A c.v.d.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KFE sottospazio vettorialeTs: F è assolutamente convessoDim (esercizio)Fissati ad arbitrio x,yF e , K tali che ||+||1 allora per il risultato precedente dobbiamoprovare che x+yF, ma ciò segue banalmente dal fatto che F è un sottospazio vettoriale c.v.d.COMBINAZIONE ASSOLUTAMENTE CONVESSA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 17
    • nSia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,nK con  i1 allora il vettore i 11x1+...+nxn si dice combinazione assolutamente convessa di x1,...,xn.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE, A assolutamente convessoTs: A contiene ogni combinazione assolutamente convessa dei suoi elementiDim n nDobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n K con   1    x A . i i i i 1 i 1Procediamo per induzione .Per n=2:poiché A è assolutamente convesso segue allora direttamente da Errore. Largomento parametroè sconosciuto. che il vettore 1x1+2x2A.Supponiamo che l’asserto sia vero per n=k e proviamo che è vero per k+1: k 1siano x1,...,xk+1A e 1,...,k+1K con  i1 e possiamo supporre k+10. Banalmente i 1possiamo scrivere il vettore 1x1+...+k+1xk+1 come:  k  k    i  i xi   k 1   k 1  k 1  i 1 1x1+...+k+1xk+1=  i  k 1   x k 1  k1  i 1  k  () i 1   i  k 1   i    i    i 1 i 1  i 1   k 1Osserviamo che è un numero complesso di modulo unitario e quindi essendo A in particolare k 1 k 1 1 kequilibrato si ha x k 1A. Osserviamo inoltre che k ++ k =1 segue allora k 1  i  i i 1 i 1 k  i x i i 1dall’ipotesi induttiva che il vettore k A. E quindi nella () il vettore tra parentesi quadre è  i i 1una combinazione convessa di due vettori di A cioè siamo ricaduti nel caso n=2 e quindi:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 18
    •  k  k    i  i xi    k 1   k 1 x k 1  i 1  i 1  k 1   k 1  k  A  i  k 1   i   i  i 1 i 1  i 1   k 1infine osservando che  i1 si ha essendo A equilibrato che: i 1  k  k    i  i xi    k 1  1x1+...+k+1xk+1=  i  k k 1  1   k 1  i 1  i 1 x k 1  k 1  k   A c.v.d. i 1   i  k 1   i   i   i 1  i 1  i 1  PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K{Ci}iI famiglia di sotto insiemi di E assolutamente convessiTs:  Ci è assolutamente convesso i IDimSiano x,y  Ci e ,K t.c. +1. Poiché per Hp i Ci sono assolutamente convessi i Isegue allora che x+yCi iI  x+y  Ci c.v.d. i IINVILUPPO ASSOLUTAMENTE CONVESSO DI UN INSIEME [2011/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia E uno spazio vettoriale su K e AE, allora l’inviluppo assolutamente convesso dell’insiemeA è l’intersezione di tutti gli insiemi assolutamente convessi contenenti A e si indica conabconv(A). E quindi segue chiaramente dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. cheabconv(A) è il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente A.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 19
    • Sia E spazio vettoriale su KAE, A assolutamente convessoTs: abconv(A)=ADim (esercizio)Vale sempre Aabconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è assolutamenteconvesso e banalmente AA e quindi poiché per definizione abconv(A) è il più piccolo insiemeassolutamente convesso contenente A allora deve necessariamente essere che conv(A)A c.v.d. Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppoassolutamente convesso di un insieme, che ci dice che l’inviluppo assolutamente convesso di uninsieme è definito da tutte le combinazioni assolutamente convesse dei vettori dell’insieme.TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A  n n Ts: abconv(A)=    ixi : nN, x1,...,xnA,1,...,nK,  i1   i 1 i 1Dim  n n Poniamo C:=    ixi : n N, x1,...,xnA,1,...,n K,   1   i e proviamo che vale i 1 i 1l’uguaglianza abconv(A)=C.Proviamo che abconv(A)C:Chiaramente AC. Proviamo che C è assolutamente convesso e quindi dobbiamo provare che: K con +1  z +z C.fissati z1,z2C e , 1 2 n nPoiché z C  che x ,...,x A,  ,..., K,   1 t.c. z =   x 1 1 n 1 n i 1 i i i 1 i 1 n nPoiché z2C  che y1,...,ynA, 1,..., n K,  i1 t.c. z2=  iyi i 1 i 1si ha allora che: n n n nz1+z2=  ixi+  iyi =  ixi+  iyi i 1 i 1 i 1 i 1 n ne quindi osservando che evidentemente  i+  i+1 si ha che i 1 i 1z1+z2C.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 20
    • E quindi C è un insieme assolutamente convesso che contiene A allora deve necessariamente essereche abconv(A)C poiché abconv(A) è per definizione il più piccolo insieme assolutamenteconvesso contenente A.Proviamo che Cabconv(A):poiché abconv(A) è assolutamente convesso allora per la Errore. Largomento parametro èsconosciuto. contiene ogni combinazione convessa dei sui vettori e quindi essendo Aabconv(A)allora in particolare abconv(A) contiene ogni combinazione convessa dei vettori di A e questosignifica proprio che Cabconv(V) c.v.d.ESEMPI [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]In E=R 2 consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poichél’inviluppo assolutamente convesso dell’insieme A={(1,1),(-1,1)}(cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), isimmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati ediagonali) e tutti i segmenti che congiungono i punti così ottenuti.Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmento che congiunge i due punti. In E= R 2consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poiché l’inviluppo assolutamente convessodell’insieme A={(1,1),(-1,1)} ( cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), isimmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati e diagonali) e tutti i segmentiche congiungono i punti così ottenuti. Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmentoche congiunge i due punti.INSIEME LINEARMENTE INDIPENDENTE [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, AE e A allora l’insieme A si dice linearmenteindipendente se comunque preso un numero finito di vettori distinti di A questi sono linearmenteindipendenti cioè:x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c.  x +...+ x = 1 i n n E  i=0 i=1,...,nOvviamente EA.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE linearmente indipendenteTs: se BA allora B è linearmente indipendenteAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 21
    • Dim (ovvia)TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE linearmente indipendentesiano x1,...,xnA con xixj se ij, y1,...,ymA con yiyj se ij, 1,...,n, 1,...,mK{0K} tali che n m ixi=  jyji 1 j1Ts: m=n e  una permutazione iji di {1,..,n} t.c. xi= y j e i=  j i=1,...,n i iDimPoniamo I={1,...,n}, J={1,...,m} e consideriamo I*={iI : jiJ t.c. xi= y j }. iConsideriamo inoltre l’applicazione f:I*J con f:iji e sia J* il suo codominio cioé J*=f(I*).Vogliamo provare quindi che f è una permutazione di {1,...,n} (cioé una biezione da I in I) chesoddisfa alle proprietà promesse dalla tesi.Poniamo per convezione  zi=E. i n mOsserviamo che  ixi=  iyi e quindi: i 1 j1 n mE=  ixi-  jyj=  (i-  ji )xi+  ixi-  iyi i 1 j1 i I * i I I * iJ J *che è una combinazione lineare di vettori di A nulla e quindi essendo gli elementi dellacombinazione lineare a due a due distinti, ed essendo A è linearmente indipendente alloracoefficienti di tale combinazione lineare devono essere nulli cioé:i-  ji =0K iI* (si ricorda che iI* !jiJ*), i=0K iII*, i=0K iJJ*e quindi necessariamente (essendo per Hp 1,...,n, 1,...,m non nulli) deve essere che II*= eJJ*=  I=I* e J=J* e quindi f:IJ e poiché J=J*:=f(I)  f surgettiva. Verifichiamo infine chel’applicazione f:IJ è iniettiva cioè se ik allora ji jk. Se ik essendo x1,...,xn a due a due distinti (epoiché I=I*)  xixk ma xi= y j e xk= y j  y j  y j ed essendo y1,...,ym a due a due distinti  i k i kjijk. Ed ovviamente essendo f una biezione tra I e J allora card(I)=cad(J) cioé n=m c.v.d. Facendo uso della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. possiamo dimostrare laseguente semplice caratt. degli insiemi linearmente indipendenti che ci dice che un’insieme èlinearmente indipendente se e solo se ogni combinazione lineare dei vettori dell’insieme ammetterappresentazione unica (ovviamente a meno dell’ordine degli addendi).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 22
    • TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, Asono allora equivalente:(1) A è linearmente indipendente(2) xspan(A) ammette rappresentazione univocaDim (1)(2) (esercizio)Sia xspan(A) ed osserviamo che nel caso x=E la tesi è ovvia, consideriamo quindi il caso xE..Supponiamo che esistano due rappresentazioni del vettore x, cioé: nx1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c. x=   x i i (1) i 1 my1,...,ymA con yiyk ik e 1,...,n K t.c. x=   y j j (2) j1e dimostriamo quindi che le due rappresentazioni di x coincidono. Evidentemente essendo xEallora i i non possono essere tutti nulli ed evidentemente non è restrittivo suppore che tali i sianotutti non nulli, infatti se così non fosse allora basterebbe cosiderare:1:=  i1 con i1:=min{i : 1in e i0}2:= i 2 con i2:=min{i : i1<in e i0}:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r:=  i r con ir:=min{i : ir-1<in e i0} con (ovviamente) rned ovviamente (poiché per i i nulli si ha ixi=0xi=E): n rx=  ixi=  k x i k i 1 k 1E quindi per quanto sopra osservato possiamo supporre che i 1,...,n K{0}, ed analogamentepossiamo supporre che 1,...,m K{0}. n mPer (1) e (2) si ha che  ixi=  jyj segue allora da Errore. Largomento parametro è i 1 j1sconosciuto. che:m=n e iji permutazione di {1,..,n} t.c. xi= y j e i=  j i=1,...,n i ie questo evidentemente ci dice proprio che le due rappresentazioni coincidono.Dim (2)(1) (esercizio)Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c.  x ++ x = 1 1 n n E dobbiamo provare allora che1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:  2   3   n x1= x2+ x3++ xn  1   1   1 APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 23
    • ma ovviamente si può scrivere anche x1=1x1 e quindi x1 ammetterebbe due rappresentazioni distintee siamo ad un assurdo e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente si prova che2=3=...=n=0 c.v.d.COROLLARIO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, Asono allora equivalente:(1) A è linearmente indipendente(2) xA non si può esprimere come combinazione lineare di altri vettori di ADim (1)(2) (esercizio)Teniamo presente che per Hp A è linearmente indipendente e che quindi per il teorema precedenteogni combinazione lineare di vettori di A si può scrivere in modo unico (ovviamente a menodell’ordine degli addendi). Fissato ad arbitrio xAspan(A) osserviamo che banalmente si puòscrivere x=1x e quindi necessariamente per unicità di scrittura x non si può esprimere come c.l. dialtri vettori di c.v.d.Dim (2)(1)Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c.  x ++ x = 1 1 n n E dobbiamo provare allora che1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:  2   3   n x1= x2+ x3++ xn  1   1   1 e siamo ad un assurdo per l’Hp e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente siprova che 2=3=...=n=0 c.v.d. Richiamiamo adesso alcune nozioni già date nel corso di Algebra.RELAZIONE D’ORDINE ED INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI [2011/Errore . Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un qualunque insieme. Diciamo allora che in X è definita una relazione d’ordine (parziale)e si indica con il simbolo (di minore o uguale )  se tale relazione gode delle seguenti tre proprietà:(1) Proprietà riflessiva: xx(2) Proprietà antisimmetrica:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 24
    • se persi x,yX con xy e yx  x=y(3) Proprietà transitiva: se presi x,y,z X con xy e yz  xzIn tal caso l’ins. X si dice parzialmente ordinato (brevemente p.o.) e si indica con la coppia (X,).Diciamo che gli elementi x,yX sono confrontabili se xy o yx. Siano x,yX due elementiconfrontabili allora con la scrittura xy intendiamo yx.CATENA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e X allora un sottoinsieme AX si dice catena o totalmente ordinato se tutti i suoielementi sono confrontabili (cioè (A,) è totalmente ordinato).MAGGIORANTE E MINORANTE DI UN INSIEME [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e AX non vuoto. Se yX t.c. xy xA diciamo che l’elemento y di X è unmaggiorante dell’insieme A. Se yX t.c. yx xA diciamo che l’elemento y di X è unminorante dell’insieme A.INSIEMI LIMITATI SUPERIORMENTE, INSIEMI LIMITATI [2011/Errore.INFERIORMENTE ED INSIEMI LIMITATI Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e AX non vuoto. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette maggiorante.Analogamente diciamo che A è limitato inferiormente se ammette minorante. Diciamo che A èlimitato se è limitato inferiormente e superiormente.MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e AX non vuoto. Se mA t.c. xm xA allora l’elemento m si dice massimo perl’insieme A e si denota usualmente con maxA:=m. Ovviamente se tale elemento m esiste è unico.Se mA t.c. mx xA allora l’elemento m si dice minimo per l’insieme A e si denotausualmente con minA:=m. Ovviamente se tale elemento m esiste è unico.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 25
    • ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) parzialmente ordinato, AX non vuoto e supponiamo che e xX tale che:(1) x maggiorante per A(2) yx yX maggiorante per Adiciamo allora che tale x é l’estremo superiore di A e si denota con supA:=x. Ovviamente postoK:={yX : xy xA} (cioè K è l’insieme dei maggioranti di A) allora supA:=minK cioèsupA è il più piccolo dei maggioranti di A. Ovviamente se tale elemento x esiste è unicoAnalogamente supposto che xX tale che:(1) x minorante per A(2) xy yX minorante per Adiciamo allora che tale x é l’estremo inferiore di A e si denota con infA:=x. Ovviamente postoK:={yX : yx xA} (cioè K è l’insieme dei minorante di A) allora infA:=maxK cioè infA è ilpiù piccolo dei minoranti di A. Ovviamente se tale elemento m esiste è unicoPROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) un insieme p.o.AX, Aallora A ammette massimo  A ammette estremo superiore e supAADim  (esercizio)Per Hp A ammette massimo  mA t.c. xm xA  m maggiorante di A  A ammetteestremo superiore ed ovviamente supA=mA c.v.d.Dim  (esercizio)Per Hp supAA e quindi essendo in particolare supA un maggiorante di A segue che xsupAxA  maxA=supA c.v.d. Analogamente si dimostra la seguente proprietà.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) un insieme p.o.AX, Aallora A ammette minimo  A ammette estremo inferiore e infAAAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 26
    • ELEMENTO MASSIMALE ED ELEMENTO MINIMALE [2011/Errore . Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) (cioè X è parzialmente ordinato). Se x*X tale che preso xX e x*x  x*=x, diciamoallora che tale elemento x* è un massimale rispetto al dato ordine (parziale o totale). Analogamentese x*X tale che preso xX e xx*  x*=x, diciamo allora che tale elemento x* è un minimalerispetto al dato ordine. Si faccia bene attenzione al fatto che dire che x* è elemento massimale perX non significa necessariamente che x* è il massimo dell’insieme poiché se così fosse alloradovrebbe accadere che:xX  xx*cioé si avrebbe che x* confrontabile con ogni elemento di X e questo evidentemente non ènecessariamente vero se x* è un elemento massimale. Chiaramente se x*X è il max dell’insiemeX allora x* chiaramente è un elemento massimale. Analoghe osservazioni valgono per unl’elemento minimale.ESEMPI [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un ins. non vuoto e consideriamo l’ins. delle parti di X che si indica solitamente con P(X)oppure con 2X. Introduciamo allora in P(X) la seguente relazione:dati A,BP(X) allora AB  ABsi verifica banalmente che questa è una relazione d’ordine parziale cioè che soddisfa alle treproprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e viene detta relazione di inclusione.Evidentemente in P(X) con la relazione di ordine parziale sopra definita, una catene è una famiglia{A}iI di sottoinsieme di X tali che A1A2...Ak... e banalmente tale catena ammette maggioranteche come subito si intuisce è dato dal unione dei membri della famiglia. Si verifica banalmente cheanche la relazione d’inclusione inversa cioé:A,BP(X) allora AB  AB (ovvero BA)è una relazione d’ordine parziale in P(X).ASSIOMA DELLA SCELTA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Dato un insieme X  una funzione :P(X)X t.c. (A)A AP(X)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 27
    • Naturalmente in un insieme parzialmente ordinato non è detto che esistano elementiminimali e massimali, né per un suo sottoinsieme elementi minoranti e maggioranti, estremoinferiore e superiore, minimo e massimo. Tuttavia il seguente lemma dovuto a Zorn equivalenteall’assioma della scelta (cioé se assumiamo il lemma di Zorn come assioma fondamentale alloral’assioma della scelta si può dimostrare mediante tale lemma) ci garantisce una condizionesufficiente per l’esistenza di elementi massimali (risp. minimali).LEMMA DI ZORN [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) cioè un insieme parzialmente ordinato. Se ogni catena in X ammette almeno unmaggiorante (risp. minorante) in X allora X possiede almeno un elemento massimale (risp.minimale) La seguente proprietà ci assicura che data una famiglia di insiemi chiusa rispettoall’intersezione finita allora in corrispondenza di una sua sottofamiglia numerabile se ne puòcostruire un’altra non crescente rispetto alla relazione di inclusione e i cui termini sono contenutinei corrispondenti della sottofamiglia di partenza. Ad esempio come abbiamo già osservato lerispettive famiglie degli insiemi convessi, equilibrati ed assolutamente convessi sono chiuse rispettoall’intersezione e quindi banalmente in particolare sono chiuse rispetto all’intersezione finita epertanto a tale famiglie possiamo applicare la proprietà suddetta dimostrata qui di seguita.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia XF famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’intersezione finita{An}nN sottofamiglia (numerabile) di FTs: {Bn}nN sottofamiglia di F t.c. BnAn nN e Bn+1Bn nNDim (esercizio)Fissato n N poniamo: nBn:=  Ai i=1Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promessenella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché percostruzione i Bn sono intersezione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispettoall’intersezione finita). Banalmente BnAn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie{Bn}nN è non crescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 28
    • n+1 nBn+1:=  Ai=  Ai:=Bn c.v.d. i=1 i=1PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia XF famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’unione finita{An}nN sottofamiglia (numerabile) di FTs: {Bn}nN sott.fam. di F t.c. AnBn nN, BnBn+1 nN e  An=  Bn nN nNDim (esercizio)Fissato n N poniamo: nBn:=  Ai i=1Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promessenella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché percostruzione i Bn sono unione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispettoall’unione finita). Banalmente AnBn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie {Bn}nN ènon decrescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti: n n+1Bn:=  Ai  Ai:=Bn+1 i=1 i=1Verifichiamo quindi procedendo per doppia inclusione che l’unione dei membri di {An}nN èuguale all’unione dei membri di {Bn}nN.Proviamo che  An  Bn: nN nNovvio poiché AnBn n . NProviamo che  Bn  An: nN nN n*sia x  Bn  n*N t.c. xB :=  A   A n* i n c.v.d. nN i=1 nN 22-11-95BASE DI HAMEL [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, AE (finito o non finito) e A, diciamo allora che A è una basedi Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E. Dato uno sp. vett. E, allora considerato l‘insieme delle parti di tale spazio cioè P(E),sappiamo che possiamo considerare in esso la relazione di inclusione che come abbiamo giàAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 29
    • osservato è una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo allora dimostrare il seguente teoremache caratterizzare completamente una base di Hamel in un qualunque spazio vettoriale, ed inparticolare esprime la massimalità di una base di Hamel nella famiglia degli insiemi l.i. (cioè seAE è una base di Hamel e BE l.i. tale che AB allora necessariamente deve essere che A=B).TEOREMA [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, Aallora le seguenti affermazioni sono equivalenti:(1) A è una base di Hamel per E(2) A è un insieme l.i. massimale rispetto alla famiglia degli insiemi l.i.Dim (1)  (2)Ovviamente essendo A base di Hamel  A linearmente indipendente. Dimostriamo che A èmassimale nella famiglia degli insiemi linearmente indipendenti. Sia quindi BE linearmenteindipendente tale che AB e facciamo vedere che A=B. Supponiamo per assurdo che AB x0 BA e quindi poiché span(A)=E allora il vettore x0 lo possiamo esprimere come: nx0=  ixi dove x1,...,xnAB con xixj se ij, 1,...,n K i 1Osserviamo che essendo per Hp B l.i. allora ogni combinazione lineare dei suoi vettori ammette unarappresentazione unica e quindi in particolare essendo x0B allora lo possiamo esprimereunicamente come x0=1x0 e quindi: nx0=  ixi=1x0 i 1e pertanto necessariamente j=1,...,n t.c. i=0 se ij , j=1 e xj=x0 e quindi x0=xjA assurdopoiché x0BA. Resta così provata la tesi.Dim (2)  (1)Bisogna provare solo che span(A)=E. Procediamo per assurdo, ovvero supponiamo che siaspan(A)E  che x0Espan(A), ovviamente ciò significa che x0A  AAx0. Vogliamofare vedere che Ax0 è l.i., cioé:x1,...,xn,x0Ax0 t.c. xixj se ij, x0+1x1+...+nxn=E  i=0 i=1,...,n e =0se per assurdo fosse 0 allora x0 sarebbe combinazione lineare dei vettori x1,...,xnA e quindisarebbe un elemento del sottospazio span(A) e ciò non è possibile e pertanto otteniamo che:1x1+...+nxn=EAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 30
    • segue allora da questa e dalla lineare indipendenza dei vettori x1,...,xn che 1=2=...=n=0. E quindiAx0 è un insieme l.i. che contiene propriamente A e ciò è assurdo poiché per Hp A è massimale c.v.d. Diamo ora la dimostrazione di un teorema che garantisce l’esistenza di una base di Hamelper un qualunque spazio vettoriale.TEOREMA [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeDE un insieme l.i.Ts: esiste almeno una base di Hamel che contiene DDimConsideriamo la famiglia:E:=AE : A è l.i. e DAche è ovviamente non vuota poiché almeno DE. Consideriamo quindi su tale famiglia El’ordinamento parziale definito dalla relazione di inclusione, cioè:A1,A2 E, A1A2  A1A2.Ci proponiamo di dimostrare che tale famiglia E ammette elemento massimale e a tale scopofacciamo uso del lemma di Zorn e dimostriamo quindi che ogni catena ammette maggiorante. Siaquindi CE una catena arbitraria in E, e verifichiamo che essa ammette maggiorante.Consideriamo:~A :=  C CC ~e verifichiamo che A è il maggiorante cercato della catena C e quindi dobbiamo verificare che~ ~ ~ ~A E e che C A CC. Affinché A E deve essere D A e A linearmente indipendente. Fissatoun qualunque CC allora per definizione si ha che ~ ~DC A . Ovviamente A è l.i. infatti siano: ~x1,...,xn A t.c. xixj se ij, 1x1+...+nxn=E ~allora dal momento che ogni xi A si ha che i=1,...,n CiC t.c. xiCi e poiché tutti i Ci sonoconfrontabili ne esisterà uno che contiene ogni xi ed essendo tale insieme un membro di C sarà l.i. ~ ~per cui si conclude proprio che i=0 i=1,...,n. Banalmente per come è definito A si ha C A ~CC. E quindi A è un maggiorante della catena C e pertanto dal lemma di Zorn segue che Eammette elemento massimale cioè:A*E t.c. se BE e AB allora A=BAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 31
    • Ovviamente essendo A*E allora DA* e A* linearmente indipendente. Banalmente A* è anchemassimale nella famiglia degli insiemi l.i., infatti preso BE l.i. t.c. A*B allora essendo DA* DB  BE e pertanto essendo A* elemento massimale di E allora A*=B. E quindi segue Errore.Largomento parametro è sconosciuto. che A* è una base di Hamel per E c.v.d. Dimostriamo adesso che due basi di Hamel dello stesso spazio vettoriale hanno la medesimacardinalità cioè sono equipotentiPROPOSIZIONE [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialesiano A,BE due basi di Hamel per ETs: card(A)=card(B)DimDistinguiamo i due casi rispettivamente il caso in cui A e B sono finiti (cioè hanno cardinalitàfinita) ed il caso in cui A e B sono finiti. Consideriamo quindi il caso in caso in cui A e B sono finiticioé m,n N finiti t.c. card(A)=n<+ e card(B)=m<+. In tale situazione A e B sono del tipoA:=x1,...,xne B:=y1,...,ym ed essendo A base di Hamel ogni yj è combinazione lineare dei vettoridi A, ovvero: nj=1,...,m 1j,...,njK t.c. y =   x j ij i (1) i 1Consideriamo il sistema lineare omogeneo nelle incognite 1,...,m:11   12  ...... 1m   0 1 2 m21 1  22 2 ...... 2 m m  0....................................................................................n1 1  n2 2 ......  nm m  0se per assurdo fosse n<m allora tale sistema ammetterebbe una soluzione non nulla che chiamiamo(1,...,m). Moltiplicando ambo i membri della (1) per j e sommando sull’indice j otteniamo:m m n n m n  m  jyj=  j  ijxi=   jijxi=    jij  xi  (2)j1 j1 i 1 i 1 j1 i 1 j1e quindi essendo (1,...,m) soluzione del sistema omogeneo allora:m jij=0 (3)j1segue pertanto dal primo membro della (2) e dalla (3) che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 32
    • m jyj=Ej1ma dal momento che B è l.i., affinché tale scrittura sia vera dovrebbe essere nulla lam-upla (1,...,m) e si perviene ad un assurdo quindi deve essere nm. Ovviamente scambiando ilruolo di A e di B si ottiene nm e quindi n=m.Mettiamoci adesso nel caso in cui A e B non sono finiti. Fissato ad arbitrio un vettore xA,osserviamo che essendo B una base di Hamel di E allora possiamo esprimere xA comecombinazione lineare finita di vettori di B cioè: ny1x,...,ynxB e 1x,...,nxK t.c. x=  ixyix i 1Consideriamo l’insieme finito:F(x):=y1x,...,ynxOvviamente  F(x)B, vogliamo allora verificare che è una base di Hamel di E. xAPer Hp A è una base di Hamel di E  che ogni elemento zE è combinazione lineare di elementi diA cioè: nx1,...,xnA e 1,...,nK t.c. z=  ixi i 1e poiché ogni xi è c.l. di elementi di F(xi), segue allora che zE è c.l. di elementi di  F(x) e xAchiaramente tale insieme è l.i. in quanto è un sottoinsieme di B che è l.i. e quindi  F(x)B è xAuna base di Hamel e per la sua massimalità deve essere  F(x)=B. Un risultato più generale xA  dell’algebra ci garantisce che card   Xi card(I) dove {Xi}iI è una famiglia di insiemi finiti ed  i I  I è un insieme infinito di indici segue allora che card  F(x) card(A) e quindi  xA card(B)card(A). Naturalmente scambiando il ruolo di A e di B si ottiene card(A)card(B) ed ilteorema risulta dimostrato. 24-11-95 Abbiamo visto nella lezione precedente che in uno spazio vettoriale tutte le basi di Hamelhanno la stessa cardinalità e quindi ha senso dare la seguente definizione.DIMENSIONE ALGEBRICA DI UNO SPAZIO VETTORIALE [2411/Error e.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 33
    • Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia E uno spazio vettoriale su K, si definisce dimensione algebrica di E la cardinalità di una suaqualsivoglia base di Hamel. Vi è una notevole differenza tra gli spazi di dimensione finita e quelli didimensione infinita, poiché le proprietà di cui godono sono diverse, ad esempio uno spazio didimensione n si può identificare con K n mentre uno di dimensione infinita no.SPAZIO VETTORIALE QUOZIENTE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, FE sottospazio vettoriale. Introduciamo su E una relazione cosìdefinita:x,yE xy  x-yF.Verifichiamo che tale relazione è di equivalenza: (Riflessività) xx, infatti x-x=EF (Simmetria) xy  yx, infatti se x-yF poiché F è sottospazio vettoriale anche y-xF e quindi yx. (Transitività) xy, yz  xz, infatti se x-yF ed y-zF anche x-y+y-z=x-zF ovvero xz.Ovviamente il fatto che la relazione sia di equivalenza ci garantisce che induce una partizione diclassi di elementi equivalenti, nasce quindi uno sp. quoziente così definito:E/F=[x], [y],... (si legge E modulo F oppure E quozientato F)dove appunto [x]=zE : zx={zE : z-xF}. Se in E/F si considerano le operazioni così definite(viste nel corso di algebra): [x]+[y]=[x+y] [x],[y]E/F [x]=[x] Kallora rispetto a tali operazioni E/F è uno spazio vettoriale. Detta adesso [w] la classe nulla di E/F(cioè [x]+[w]=[x] [x]E/F) vogliamo verificare che [w]=F. Procediamo per doppia inclusione.Verifichiamo che [w]F:[x]+[w]=[x+w] e poiché [w] è la classe nulla  [x]=[x+w]  (x+w)x x+w-x=wF  [w]FVerifichiamo che F[w]:consideriamo un arbitrario xF e y,zE t.c. yz  y-zF ed essendo F un sottospazio vettorialeallora x+y-zF  (x+y)z e quindi:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 34
    • [x+y]=[z] (1)Analogamente poiché y-zF  (x+y)-(x+z)F  (y+x)(x+z) e quindi:[x+y]=[x+z] (2)segue allora dalla (1) e dalla (2) che [z]=[x+z]=[x]+[z]  x[w] F[w]OPERATORI LINEARI [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Si ricorda che data una applicazione (o trasformazione) a questa si riserva il nome di operatore se èdefinita tra spazi vettoriali e in particolare prende il nome di funzionale se è a valori in K. Siano Eed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore, diciamo allora che T è un operatore (ofunzionale se F= K) lineare se:T(x+y)=T(x)+T(y) , K e x,yESi verifica facilmente che la composizione di operatori lineari è un operatore lineare,oppure che la somma di operatori lineari è un operatori lineare, oppure che il prodottodi uno scalare per un operatore lineare è un operatore lineare.NUCLEO RADIALE DI UN OPERATORE LINEARE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore lineare. Diciamoallora nucleo radiale dell’operatore lineare T l’insieme: -Ker(T):=T 1(F)={xE : T(x)=F}cioè l’ins. dei vettori di E che si trasformano tramite T in F. Ovviamente Ker(T) non è mai vuotopoichè per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. almeno EKer(T). Si osserva chebanalmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E, infatti fissati x,yKer(T) e , K si hache:T(x+y)=per la linearità=T(x)+T(y)=F+F=Fovvero x+yKer(T).PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F K-spazi vettorialiT:EF lineareTs: T(E)=FDim (esercizio)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 35
    • Poiché Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E allora necessariamente deve essere che EKer(T) T(E)=F c.v.d. Dimostriamo adesso alcune proprietà degli operatori lineari.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF operatore lineareAllora T è iniettivo  Ker(T)={E}.Dim  (ovvia)Poiché per Hp T è iniettivo  T(x)=E  x=E  Ker(T)={E} c.v.d.Dim Supponiamo per assurdo che T non sia iniettivo cioè che x,yE con xy t.c. T(x)=T(y) e poiché Tè lineare segue che T(x-y)=F  x-yKer(T)={E}  x-y=E  x=y assurdo poiché avevamoscelto xy c.v.d. La seguente proposizione ci dice che l’immagine inversa di un punto tramite un applicazionelineare è una varietà affine.PROPOSIZIONE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore linearey0T(E)Ts.: T-1(y0)=x0+Ker(T) (dove x0 è un punto arbitrario di T-1(y0))DimDimostriamo che T-1(y0)x0+Ker(T):sia xT-1(y0)  T(x)=y0 ,possiamo esprimere x come x=x0+(x-x0) osservando allora che T(x-x0)=T(x)-T(x0)=y0-y0=F  x-x0 Ker(T) segue allora che il vettorex=x0+(x-x0)x0+Ker(T)  T-1(y0)x0+Ker(T)Dimostriamo che x0+Ker(T)T-1(y0):Sia xx0+Ker(T)  x è del tipo x=x0+z con zKer(T) e quindi osservando cheT(x)=T(x0+z)=T(x0)+T(z)=y0+F=y0  xT-1(y0)  x0+Ker(T)T-1(y0) c.v.d. Si tenga presente che generalmente la restrizione di un’applicazione lineare ad un insiemequalunque non è una applicazione lineare ma se l’insieme è un sottospazio allora la linearità siAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 36
    • conserva. Tale risultato si desume agevolmente dalla seguente prop. che ci dice che il trasformato diun sottospazio vettoriale tramite un operatore lineare è un sottospazio.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareGE sottospazio vettorialeTs: T(G) è un sottospazio di FDim (ovvia)Dobbiamo dimostrare che:z,wT(G) e , K  z+wT(G)Siano quindi z,wT(G) e ,K. Poiché z,wT(G)  x,yG t.c. T(x)=z e T(y)=w e quinditenendo presente che T è lineare per Hp si ha:z+w=T(x)+T(y)=T(x+y)ed essendo G un sottospazio  che x+yG  z+w=T(x+y)T(G) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KT:E K funzionale lineareTs: T è surgettivo oppure è identicamente nulloDim (esercizio)Si tenga presente che K si può rigurdare come uno sp. vett. su se stesso ed evidentemente gli unicisott.sp. che ammette sono quello banale cioé {0} e se stesso. E quindi poiché per la proprietàprecedente T manda sott.sp. in sott.sp. allora può accadere che T(E)={0} (cioé T(x)=0 xE)oppure T(E)= K (cioé T surgettivo).PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivo -Ts: T 1:T(E)E è un operatore lineareDim (ovvia)Siano . K e y ,y T(E)  x ,x E t.c. y =T(x ) e y =T(x ) ed ovviamente per l’inettività 1 2 1 2 1 1 2 2 -1 -1x1=T (y1) e x2=T (y2). Segue allora che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 37
    • - - -T 1(y1+y2)=T 1(T(x1)+T(x2))=per la linearità =T 1(T(x1+x2))=per l’iniettività= -1 -1x1+x2=T (y1)+T (y2) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareTs: gr(T):={(x,T(x)) : xE} è un sottospazio vettoriale del prodotto EFDim (ovvia)Dobbiamo provare che:z1+z2gr(T) z1,z2gr(T) e , KSiano , K e z ,z gr(T)  x ,x E t.c. z =(x ,T(x )) e z =(x ,T(x )). Per Hp E è uno spazio 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2vettoriale  x1+x2E  T(x1+x2)T(E) si ha allora che:z1+z2=(x1,T(x1))+(x2,T(x2))=(x1+x2,T(x1)+T(x2))=per la linearità dell’operatoreT=(x1+x2,T(x1+x2))gr(T) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE convessoTs: T(A) è convessoDim (esercizio)Dobbiamo provare che:z1,z2T(A) z1+(1-)z2T(A) [0,1]Siano quindi z1,z2T(A)  x,yA t.c. z1=T(x) e z2=T(y). Tenendo presente che per la convessitàdi A il vettore x+(1-)yA, si ha allora che:z1+(1-)z2=T(x)+(1-)T(y)=per la linearità di T=T(x+(1-)y)T(A) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE equilibratoTs: T(A) è equilibratoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 38
    • Dim (esercizio)Dobbiamo provare che:zT(A) e  K con ||1  zT(A)Sia zT(A) e K con ||1. Poiché zA è del tipo z=T(x) per un opportuno xA. Teniamopresente che per Hp A è equilibrato e quindi xA, si ha allora che:z=T(x)=per la linearità di T=T(x)A c.v.d.COROLLARIO [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE assolutamente convessoTs: T(A) è assolutamente convessoPROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE, ATs: T(span(A))=span(T(A))Dim (esercizio)Proviamo che T(span(A))span(T(A)):Sia yT(span(A))  xspan(A) t.c. y=T(x) e poiché xspan(A)  x1,...,xnA e 1,...,n K nt.c. x=  ixi e quindi osserviamo che: i 1  n  ny=T(x)=T   ixi =per la linearità=  iT(xi)  i 1 i 1cioé siamo riusciti a scrivere y come c.l. di vettori di T(A) e pertanto yspan(T(A)).Proviamo che span(T(A))T(span(A)): nsia yspan(T(A))  y1,...,ynT(A) e 1,...,n K t.c. y=   y i i e poiché y1,...,ynT(A)  i 1x1,...,xnA t.c. y1=T(x1), y2=T(x2), ..., yn=T(xn) e quindi: n n  n y=  iyi=  iT(xi)=per la linearità=T  ixi  i 1 i 1  i 1 cioé siamo riusciti a scrivere y come immagine di un vettore di span(A) e pertanto yT(span(A)) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 39
    • Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoAE, A linearmente indipendenteTs: T(A) è linearmente indipendenteDimProviamo che T(A) è linearmente indipendente, siano quindi: K t.c.  y ++ y =y1,...,ynT(A) a due a due distinti e 1,...,n 1 1 n n Fdobbiamo provare allora che i coefficienti 1,...,n=0K. Poiché yiT(A) i=1,...,n  i=1,...,nxiA t.c. yi=T(xi). Osserviamo allora che:F=1 y1++nyn=1T(x1)++nT(xn)=T(1x1++nxn)e quindi 1x1++nxnKer(T) e poiché per Hp T è iniettiva  Ker(T)={E} e quindi1x1++nxn=E ed essendo x1,...,xnA con A l.i. (e banalmente a due a due distinti) deve alloranecessariamente essere che 1,...,n=0K c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoAE una base di Hamel per ETs: T(A) è base di Hamel per T(E)FDimDobbiamo provare che T(A) è linearmente indipendente e che span(T(A))=T(E). Per Hp A base diHamel  A l.i. segue allora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che T(A) è l.i.. Esempre per il fatto che A è una base di Hamel si ha che span(A)=E e quindi:span(T(A))=per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=T(span(A))=T(E) c.v.d. Facciamo vedere adesso che l’immagine inversa di un’applicazione lineare soddisfa aproprietà analoghe.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBF convesso -Ts: T 1(B) è convessoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 40
    • Dim (esercizio)Dobbiamo provare che: - -x1,x2T 1(B) x1+(1-)x2T 1(B) [0,1]ovvero che: -x1,x2T 1(B) T(x1+(1-)x2)B [0,1] -Sia quindi [0,1] e x1,x2T 1(B)  T(x1)B e T(x2)B. Tenendo presente che per la convessitàdi B il vettore T(x1)+(1-)T(x2)B, si ha allora che:T(x1+(1-)x2)=per la linearità di T=T(x1)+(1-)T(x2)B c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBF equilibrato -Ts: T 1(B) è equilibratoDim (esercizio)Dobbiamo provare che: -xT 1(B) e  K con ||1  xT- (B) 1ovvero che: -xT 1(B) e  K con ||1  T(x)BSia quindi  K con ||1 e xT- (B)  T(x)B. Teniamo presente che per Hp B è equilibrato e 1quindi il vettore T(x)B, si ha allora che:T(x)=per la linearità di T=T(x)B c.v.d.COROLLARIO [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBF assolutamente convesso -Ts: T 1(B) è assolutamente convessoPROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBT(E), B - -Ts: span(T 1(B))T 1(span(B))APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 41
    • Dim (esercizio) n -1 -1Sia xspan(T (B))  x1,...,xnT (B) e 1,...,n K t.c. x=   x e quindi: i i i 1  n  nT(x)=T   ixi =per la linearità=  iT(xi)  i 1 i 1cioé siamo riusciti a scrivere T(x) come c.l. di vettori di B, ovvero come un vettore di span(B) e -pertanto T(x)span(B)  xT 1(span(B)) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoBT(E), B e linearmente indipendente -Ts: T 1(B) è linearmente indipendenteDim (esercizio) -Posto G:=T 1:T(E)E allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. G è unoperatore lineare e quindi segue dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che -G(B)=T 1(B) è lineare c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoBT(E) una base di Hamel per T(E) -Ts: T 1(B) è base di Hamel per EDim (esercizio) -Posto G:=T 1:T(E)E allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. G è unoperatore lineare ovviamente iniettivo e quindi segue dalla Errore. Largomento parametro è - -sconosciuto. che G(B)=T 1(B) è una base di Hamel per G(T(E))=T 1(T(E))=E c.v.d.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F spazi vettoriali su KAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 42
    • AE una base di Hamel per Ef:AF un’applicazioneTs: !T:EF lineare t.c. T(x)=f(x) xA (cioè T|A f)DimDal momento che A è base di Hamel, ogni vettore di E si può scrivere univocamente ne seguentemodo: nx=  ixi con x1,...,xnA e 1,...,n K i 1definiamo quindi T:EF nel seguente modo:  n  nT(x)=T   ixi :=  if(xi) xE  i 1 i 1Proviamo che T è lineare e quindi bisogna provare che:, K e x,yE T(x+y)=T(x)+T(y).Siano x,yE e quindi li possiamo scrivere come: nx=  ixi con x1,...,xnA e 1,...,n K i 1 my= iyi con y1,...,ymA e 1,...,m K i1  n m  n mT(x+y)=T   ixi+ iyi =  if(xi)+  if(yi)=T(x)+T(y)  i 1 i1  i 1 i1Proviamo che T|Af: nxA come già visto x=  ixi con 1,...,n e x1,...,xnA, ma per l’unicità di scrittura deve essere i 1n=1, 1=1, x1=x e quindi proprio T(x)=f(x).Proviamo che T è unica:supponiamo S:EF lineare e t.c. ristretta ad A sia coincidente con f, si ha quindi:  n  n nS(x)=S   ixi =  iS(xi)=  if(xi)=T(x) xE  i 1 c.v.d. i 1 i 1COROLLARIO [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F spazi vettoriali su KAE una base di Hamel per ES,T:EF operatori lineari t.c. S(x)=T(x) xATs: S(x)=T(x) xEISOMORFISMO LINEARE [2411/Errore. Largomento parametro èAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 43
    • sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su K, T:EF operatore, diciamo allora che T è un isomorfismolineare se è lineare e bigettivo. In tal caso gli spazi vettoriali E ed F si dicono linearmenteisomorfi. Banalmente si verifica che la composizione di isomorfismi lineari è ancora unisomorfismo lineare e che l’inversa di un isomorfismo lineare è un isomorfismo lineare.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KAllora sono equivalenti le seguenti condizioni:(1) E ed F sono linearmente isomorfi(2) dim(E)=dim(F)Dim (1)(2)Dobbimo dimostrare quindi che due rispettive basi di Hamel degli spazi vettoriali E ed F hanno lamedesima cardinalità e cioè che tra le due basi esiste una biezione. Per Hp T:EF operatorelineare e biunivoco allora detta A una base di Hamel per E allora essendo per Hp T iniettiva esurgettiva segue dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che T(A) è una base diHamel per F. Ed osservano che banalmente la restrizione T|A:AT(A) è pure una biezione card(A)=card(T(A))  dim(E)=dim(F) c.v.d.Dim (2)(1)Per Hp E ed F hanno uguale dimensione cioè esiste una biezione fra due rispettive basi di Hamel.Siano A e B due basi di Hamel rispettivamente per E ed F ed f:AB biunivoca, per la Errore.Largomento parametro è sconosciuto. esiste un operatore T:EF lineare che ristretto ad Acoincide con f, vogliamo provare allora che tale T è quello promesso dalla tesi cioé vogliamoprovare che T è biunivoco.Proviamo che T è suriettivo:osserviamo che B=f(A)=T(A)T(E) e poiché B è una base di Hamel per F allora essendo T(E) unospazio vettoriale, contiene ogni combinazione lineare dei vettori della base T(A) di F cioèF=span(T(A))T(E)  F=T(E).Proviamo che T è iniettivo:per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. possiamo provare equivalentemente cheKer(T)=E. Sia quindi xKer(T), essendo A una base di Hamel per E allora: n K t.c. x=   xx1,...,xnA con xixk se ik e 1,...,n i i () i 1E quindi osservando che xKer(T) si ha:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 44
    •  n  n nF=T(x)=per ()=T   ixi =per la linearità=  iT(xi)=  if(xi)  i 1 i 1 i 1allora essendo per la iniettività della f gli f(xi) a due a due distinti ed appartenenti inoltre alla base diHamel B=f(A) segue allora dalla lineare indipendenza di questa che 1,...,n=0 e pertanto per la ()otteniamo che x=E c.v.d.SOMMA DIRETTA DI SOTTOSPAZI [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettoriale ed F e G due sottospazi vettoriali di E diciamo allora che la sommaF+G dei sottospazi è somma diretta e scriviamo F G se ogni vettore della somma F+G si puòscrivere in modo unico come somma di un elemento di F e di un elemento di G. Ovviamentediciamo che E è somma diretta di F e G se E=F G. Diamo la seguente caratterizzazione della somma diretta che ci dice che condizionenecessaria e sufficiente affinché la somma algebrica di due sottospazi sia diretta è che l’intersezionedei due sottospazi sia lo spazio banale.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeF,GE sottospazi vettorialeallora F+G è somma diretta (cioè F G)  FG={E}Dim  (necessità)Teniamo presente che per Hp F+G è somma diretta e quindi ogni vettore di F+G si può scrivere inmodo unico come somma di un vettore di F e di un vettore di G. Supponiamo per assurdo cheFG{E}  zFG con zE e chiaramente zF+G.Osserviamo che:z=z+E considerando zF  assurdo per l’unicità di rappresentazione di z.z=E+z considerando zG c.v.d.Dim () (sufficienza)Sia zF+G e supponiamo che abbiamo due rappresentazioni cioè:x1,x2F e y1,y2 G t.c. z=x1+y1=y2+x2dobbiamo dimostrare allora che queste due rappresentazioni del vettore z coincidono. Poichéx1+y1=y2 +x2  x1-x2=y2-y1. Chiaramente x1-x2F e y2-y1 G e quindi essendo x1-x2=y2-y1 si haAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 45
    • allora che x1-x2=y2-y1 FG={E}  x1-x2=y2-y1 =E  x1-x2=E e y2-y1=E  x1=x2 e y1=y2 c.v.d.SOTTOSPAZI VETTORIALI COMPLEMENTARI [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, siano F,GE due sottospazi di E, diciamo allora che F e G sonocomplementari se:(1) E=F+G(2) FG=EOsserviamo che per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. e la Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. dire che F e G sono complementari equivale a dire che E è sommadiretta di F e G cioè E=FG.Ad esempio in R 2 fissato un sistema cartesiano allora gli insiemi X ed Y costituiti rispettivamentedai punti dell’asse x e dell’asse y cioè:X:={(x,0} : xR}Y:={(0,y) : yR}sono complementari poiché (x,y) R 2 si può scrivere univocamente come:(x,y)=(x,0)+(0,y)e chiaramenteXY={(0,0)}PROPOSIZIONE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KFE un sottospazio vettorialeTs:  un sottospazio vettoriale di E che è complementare ad FDimEscudiamo il caso banale in cui FE poiché in questo caso il complementare è {E}, ed escludiamoanche il caso banale in cui F={E} poiché in questo caso il complementare è E. Consideriamoquindi il caso non banale cioè il caso in cui FE. Sia A una base di Hamel per E e si consideriB:=AF. Ovviamente B infatti se per assurdo B=  AF=  AF ed essendo F unsottospazio vettoriale allora F contiene ogni combinazione lineare dei vettori di A cioéE=span(A)F  E=F assurdo. Poniamo adesso G:=span(B). Ovviamente G è sottospazio di E,proviamo che è complementare ad F. Se xE allora lo possiamo esprimere come:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 46
    • nx=  ixi K dove x1,...,xnA e 1,...,n i 1Banalmente si verifica che A=(AF)(AF)=B(AF) e quindi:x=  ixi+  ixi F+G x i AF x i Bsiamo riusciti a scrivere in maniera unica come somma di un elemento  ixiF e un x i AFelemento  ixiG e quindi E=F+G. x i BChe FG=E è ovvio, poiché per definizione G è l’inviluppo lineare di vettori di E che nonstanno in F c.v.d.PROPOSIZIONE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KF,GE due sottospazi vettoriali complementariTs: G è linearmente isomorfo ad E/FDimSia T:EE/F definita dalla legge T(x)=[x], tale applicazione è banalmente lineare, proviamo cheristretta al sottospazio G cioè T|G:GE/F è biunivoca.Proviamo che T|G è surgettiva:dobbiamo provare che [x]E/F zG t.c. T(z)=[x]. Sia [x]E/F allora essendo F e Gcomplementari possiamo esprimere il rappresentante x della classe come x=y+z con yF e zG. Ee quindi osservando che F è un sottospazio vettoriale allora -yF segue che z-x=-yF ovvero z[x] T(z)=[x].Proviamo che T|G è iniettiva:vogliamo provare che Ker(T|G)=E. Si ricordi che l’elemento nullo di E/F è F. Sia xG t.c.T|G(x)=F  [x]=F  xF e quindi xFG e poiché per Hp FG={E} allora devenecessariamente essere che il vettore x=E . c.v.d. Una conseguenza diretta della precedente proposizione è la seguente proposizione che cidice che due sottospazi complementari ad un medesimo sottospazio hanno la stessa dimensione.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K;FE sottospazio di EAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 47
    • G,H sottospazi complementari ad FTs: dim(G)=dim(H)Dim (per esercizio)Essendo G complementare ad F allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. G èlinearmente isomorfo ad E/F e quindi segue dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto.che:dim(G)=dim(E/F) (1)Analogamente essendo H complementare ad F allora:dim(H)=dim(E/F) (2)E quindi da (1) e da (2) segue che dim(G)=dim(H) c.v.d. Tenendo presente i risultati Errore. Largomento parametro è sconosciuto., Errore.Largomento parametro è sconosciuto. possiamo finalmente dare la seguente definizione.CODIMENSIONE DI UNO SPAZIO VETTORIALE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, FE un sottospazio vettoriale, definiamo codimensione di F ladimensione di un qualsiasi sottospazio vettoriale di E complementare ad F.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KF,GE sottospazi vettorialiTs: F+G è un sottospazio vettorialeDim (esercizio)Dobbiamo provare cheu,wF+G e , K  u+wF+GSiano quindi u,wF+G e ,K. Poiché u,wF+G allora:x1,x2F e y1,y2 G t.c. u=x1+y1 e w=x2+y2segue allora che:u+w=(x1+y1)+(x2+y2)=[x1+x2]+[y1+y2]F+G c.v.d. Vogliamo caratterizzare i sottospazi vettoriali di codimensione uno.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 48
    • FE un sottospazio vettoriale di Eallora le seguenti affermazioni sono equivalenti:(1) F ha codimensione 1(2) T:E K funzionale lineare non nullo il cui nucleo è tutto F(3) F è un sottospazio proprio massimaleDim (1)(2)Per Hp F ha codimensione 1 cioè ha un complementare di dimensione 1 che è quindi del tipo {x0 :K} (è una retta passante per x0 e E) perché la sua base è formata da un solo elemento x0 chechiaramente appartiene ad EF, in quanto deve essere F{x0 :  K}={ }. E quindi teniamo Epresente che in particolare essendo x0EF  EF  FE. Si ha pertanto che:E=F+  x0 Ke quindi ogni xE si può scrivere univocamente come somma di un opportuno vettore di F e di{x0 :  K} cioé:y F e  K t.c. x=y + x x x x x 0Sia quindi T:EK definito nel seguente modo:T(x)=x xEche è banalmente un funzionale lineare ed ovviamente è non nullo, infatti se per assurdo T(x)=0xE cioé x=0 xE allora x=yx+0x0=yxF xE  F=E assurdo. Verifichiamo quindi con ladoppia inclusione che Ker(T)=F.Verifichiamo che FKer(T):sia xF, poiché x può essere scritto come x=yx+xx0 con yxF e xK e quindi dovendo esserex=yxF allora deve necessariamente essere x=0 cioè T(x)=0  xKer(T).Verifichiamo che Ker(T)F:sia xKer(T)  T(x)=0  x=0  x=yxFDim (2)(3)Dobbiamo provare che F è un sottospazio proprio massimale di E. Facciamo vedere come primacosa che F è un sotto spazio proprio. Per Hp abbiamo che:T:E K funzionale lineare non identicamente nullo t.c. Ker(T)=FPoiché T non è identicamente nullo allora esistono dei punti di E in cui T è diverso da 0 cioéKer(T)E e pertanto essendo Ker(T)=F si ha che FE. Facciamo vedere adesso che F è unsottospazio proprio massimale, cioè dobbiamo provare che:se GE sottospazio t.c. FG  F=GSupponiamo per assurdo che esista un sottospazio vettoriale proprio di E contenente propriamente Fcioè supponiamo che GE t.c. s.sp.vett. t.c. FG, allora essendo Ker(T)=F  x0 GKer(T) T(x0)0. Poiché GE  xEG, si osserva allora banalmente che T calcolato sul vettore:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 49
    • T( x)x- x T( x0 ) 0vale zero e quindi tale vettore appartiene ad F e poiché FG allora tale vettore appartiene anche aG. Banalmente il vettore x lo possiamo scrivere come: T( x) T( x)x=x- x0+ x T( x0 ) T( x0 ) 0 T( x)e quindi osservando che K, siamo allora riusciti a scrivere il vettore x come somma di un T( x0 ) T( x) T( x)vettore x- x0G e di un vettore x G cioé x è somma di due vettori del sottospazio T( x0 ) T( x0 ) 0vettoriale G e pertanto xG e siamo ad un assurdo poiché x apparteneva a EG c.v.d.Dim (3)(1)Per Hp F è un sottospazio proprio di E  x0 EF, consideriamo allora il sottospazio vettorialeG={x0 :  K} che ha evidentemente dimensione uno ed ovviamente FG={ }. E quindi per Eprovare che F ha codimensione 1 vogliamo provare che E=F+G. Teniamo presente che per laErrore. Largomento parametro è sconosciuto. F+G è un sottospazio vettoriale. ChiaramenteF+G contiene propriamente F, ma F+G non può essere contenuto propriamente in E poiché se cosìfosse per la massimalità di F dovrebbe coincidere con F e quindi deve necessariamente essereF+G=E c.v.d. Sappiamo che una varietà affine è il traslato di un s.sp.vett., allora la seguente prop. cimostra che il s.sp. che individua la varietà affine è univocamente determinato.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE una varietà affineFE sottospazio vettoriale e x0E tali che A=x0+FTs: se GE sottospazio e y0E t.c. A=y0+G allora F=GDimPoiché A=x0+F e A=y0+G  x0+F=y0 +G allora essendo EF  x0+Ey0+G x0-y0 G  -(x0-y0)=y0-x0 G si ha quindi (essendo G s.sp.vett):F=(y0-x0)+G=G c.v.d. E pertanto per il precedente risultato, ha senso dare la seguente nozione.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 50
    • DIMENSIONE E CODIMENSIONE DI UNA VARIETÀ AFFINE [2411/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia E uno sp.vett. su K, AE una varietà affine, definiamo dimensione della varietà affine A ladimensione del sott.sp. di cui A è il traslato. Definiamo codimensione della varietà affine A lacodimensione del sott.sp. di cui A è il traslato.IPERPIANO [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, sia T:EK un funzionale lineare non nullo, sia rK, definiamoiperpiano l’insieme T-1(r):={xE : T(x)=r}. Ovviamente T-1(r) non può essere vuoto poiché T ènon nullo e quindi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. è surgettivo e quindisicuramente esiste x0 E t.c. T(x0)=r  x0T-1(r)  T-1(r). Segue direttamente dalla Errore.Largomento parametro è sconosciuto. che ogni iperpiano è una varietà affine.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettorialeIE iperpianoTs: I è una varietà affine di codimensione 1Dim (esercizio)Dobbiamo dimostrare che la dimensione del sottospazio di cui I è il traslato, ha codimensione 1.Poiché I è un iperpiano allora:T:E K funzionale lineare non nullo e rR t.c. I=T- (r) 1 -Preso x0T 1(r) allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che:I=x0+Ker(T)Posto F:=Ker(T) che è quindi il sottospazio vettoriale di cui I ne è il traslato, osserviamo chebanalmente T è identicamente nullo su F e quindi segue da Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che F ha codimensione 1 c.v.d. 27-11-95APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 51
    • DEFINIZIONI [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, sia p:ER un funzionale (reale), diamo allora le seguentidefinizioni:(1) p è sub-additivo se x,yE p(x+y)p(x)+p(y)(2) p è positivamente omogeneo se p(x)=p(x) xE e >0(3) p è assolutamente omogeneo se p(x)=||p(x) xE e  K(4) p è una semi-norma se è sub-additivo ed assolutamente omogeneo(5) p è una norma se è una semi-norma e p(x)=0  x=EPROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kp:E R assolutamente omogeneoTs: p(E)=0Dim (esercizio)Fissato ad arbitrio xE allora per le proprietà degli spazi vettoriali sappiamo che E=0x, e quinditenendo presente ciò si ha:p(E)=p(0x)=per l’assoluta omogeneità=0p(x)=0 c.v.d.PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kp:E R assolutamente omogeneoTs: p è positivamente omogeneoDim (Banale)PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kp:E R positivamente omogeneo]0,+[ - -Ts: p 1([0,1[)=p 1([0,[)Dim (esercizio)Proviamo che {xE : p(x)<1}{xE : p(x)<}:sia z{xE : p(x)<1}  x{xE : p(x)<1} t.c. z=x segue allora che:p(z)=p(x)=per la positiva omogeneità=p(x)<APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 52
    • e quindi z{xE : p(x)<}.Proviamo che {xE : p(x)<}{xE : p(x)<1}:preso z{xE : p(x)<} dobbiamo provare che z{xE : p(x)<1} ovvero dobbiamo riuscire ascrivere z come prodotto di  per un vettore di {xE : p(x)<1}. Banalmente possiamo scrivere -1z=( z) ed osserviamo allora che: - -p( 1z)=per la positiva omogeneità= 1p(z)< -1=1 -e quindi z=z=( 1z){xE : p(x)<1} c.v.d. In maniera identica si dimostra la seguente altra proprietà.PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kp:E R positivamente omogeneo]0,+[ - -Ts: p 1([0,1])=p 1([0,])PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kp:E R semi-normaTs: p è non negativaDim (esercizio)Dobbiamo dimostrare che xE si ha p(x)0. Per ogni fissato xE si ha:0=per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=p(x-x)p(x)+p(-x)=p(x)+|-1|p(x)=2p(x) p(x)0 c.v.d.PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kp:E R semi-normaTs: |p(x)-p(y)|p(x-y) x,yEDim (esercizio)Fissati ad arbitrio x,yE osserviamo che:p(x)=p(x-y+y)per la sub-additivitàp(x-y)+p(y)=p(x-y)+p(y)  p(x)-p(y)p(x-y)p(y)=p(y-x+x)per la sub-additivitàp(y-x)+p(x)=p(x-y)+p(x)  p(y)-p(x)p(x-y)e quindi dalle precedenti si desume agevolmente che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 53
    • -p(x-y)p(x)-p(y)p(x-y)  |p(x)-p(y)|p(x-y) c.v.d.TEOREMA [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su RFE un sottospazio di Ex0EFW:=span(Fx0)f:F R un funzionale linearep:ER un funzionale sub-additivo e positivamente omogeneo t.c. f(x)p(x) xFTs: g:WR lineare t.c. g =f e g(x)p(x) xW |FDimFissati ad arbitrio y,zF osserviamo che:f(y)+f(z)=f(y+z)p(y+z)=p(y-x0+x0+z)p(y-x0)+p(x0+z)e quindi dalla prima e dall’ultima disuguaglianza si desume che:f(y)-p(y-x0)p(x0+z)-f(z) y,zFovvero A:=f(y)-p(y-x0) : yF e B:=p(x0+z)-f(z) : zF sono sottoinsiemi di R separati nelsenso dell’Analisi I, e quindi per l’assioma della completezza esiste un elemento separatore chesepara A e B cioé:r R t.c. f(y)-p(y-x )rp(x +z)-f(z) y,zF 0 0 (1)Osserviamo che essendo per definizione W:=span(Fx0), allora ogni fissato xW si può scrivein modo unico come x=yx+xx0 per un opportuno yxF ed un opportuno x R, definiamo allora ilfunzionale g:W R nel seguente modo:g(x)=f(yx)+rx xWovviamente tale g è ben posta per l’unicità di scrittura di ogni xW. Vogliamo verificare che tale gè il funzionale promesso nella tesi.Verifichiamo che g è lineare:fissati x,wW e , R si ha allora che:g(x+w)=g((yx+xx0)+(yw+wx0))=g(xx0+yx+wx0+yw)==g((x+w)x0+yx+yw)=f(yx+yw)+r(x+w)=[f(yx)+rx)]+[f(yw)+rw)]= =g(x)+g(w)Verifichiamo che g ristretta ad F coincide con f:Osserviamo che x0F e quindi essendo F un s.sp.vett. allora necessariamente x0F  R, maovviamente x0 W:=span(F{x0}) e quindi FW. E ricordando adesso che xW si può scriverein maniera unica come x=yx+xx0 con yxF e x R segue allora che necessariamente ogni fissatoxF si può rappresentare in modo unico come x=x+0x0 e quindi si ha:g(x)=f(x)+r0=f(x).Verifichiamo che g(x)p(x) xW:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 54
    • xW e quindi è del tipo x=yx+xx0 distinguiamo i seguenti tre casi x=0, x>0 e x<0.Caso x=0:in tal caso x=yx+0x0=yxF e quindi:g(x)=f(x)da Hpp(x)Caso x>0:g(x)p(x)  f(yx)+rxp(yx+xx0) dividendo ambo i membri per x si ha allora che  yx   y f +rp x +x0  e quest’ultima è vera se e solo se:  x   x   yx   yx rp +x0 -f  (2)  x   x  yxe osservando che F allora la disuguaglianza (2) segue dalla (1). xCaso x<0:  yx g(x)p(x)  f(yx)+rxp(yx+xx0) dividendo ambo i membri per -x si ha allora che f - -  x   yx rp - -x0  e quest’ultima è vera se e solo se:  x   yx   yx f - -p - -x0 r (3)  x   x  yxe osservando che - F allora la disuguaglianza (3) segue dalla (1). E pertanto il teorema è xcompletamente dimostrato.TEOREMA DI HAHN-BANACH [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su RFE un sottospazio vettorialef:F R un funzionale linearep:ER un funzionale sub-additivo e positivamente omogeneo t.c. f(x)p(x) xFTs: g:ER lineare e t.c. g e g(x)p(x) xE |FDimConsideriamo la famiglia:E:=(V,) : VE s.sp.vett. e FV, :VR lineare t.c. |F=f e (x)p(x) xVOvviamente tale insieme e non vuota poiché (F,f)E. Introduciamo in tale famiglia E la seguenterelazione:(V1,1)(V2,2)  V1V2 e 2|V1=1APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 55
    • si prova banalmente che tale relazione è una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo verificareche E con questo ordinamento parziale ammette elemento massimale e quindi facendo uso dellemma di Zorn dobbiamo provare che ogni catena ammette maggiorante. Sia quindi C una catenaarbitraria in E, cioè:C=(V,)E tali che tutte le coppie sono confrontabilie proviamo che C ammette maggiorante. Consideriamo:W:=  V  V, CVerifichiamo che W è un sottospazio vettoriale di E:siano , R e x,yW  ono (V , ), (V , )E t.c. xV e yV 1 2 2 2 1 2 ed ovviamente V1, V2W edinoltre essendo (V1,2) e (V2,2) confrontabili (in quanto) elementi della catena C) allora per come èdefinita la relazione di ordinamento parziale dovrà avvenire che V1V2 oppure V2V1, supponiamoad esempio che V1V2  x,yV2 ed essendo V2 un sottospazio vettoriale  che x+yV2W equindi come volevasi W è uno sottospazio vettoriale.Definiamo quindi il funzionale h:W R nel modo seguente:h(x)=(x) xW dove xV per qualche V e  tali che (V,)Cil funzionale h appena introdotto è certamente ben definito dal momento che se ad esempio esistono(V1,2), (V2,2)C tali che V1 e V2 contengono x allora per la confrontabilità di (V1,1) e (V2,2)certamente 1(x)=2(x), infatti per la confrontabilità dovrà essere che V1 contiene V2 o viceversa, sesupponiamo che V1V2 allora per come è stata definita la relazione d’ordine dovrà essere 2|V1=1e quindi essendo xV1V2  1(x)=2(x).Verifichiamo che (W,h)E:ovviamente per costruzione FW, h lineare, h ristretta ad F coincide con f e sempre per lo stessomotivo h è maggiorato su tutto W dal funzionale p e quindi (W,h)E.Verifichiamo che (W,h) è un maggiorante per C:consideriamo un arbitrario (V,)C e quindi per costruzione deve essere VW e h|V= (V,)(W,h)  (W,h) maggiorante per la catena C.Per il lemma di Zorn possiamo dunque affermare che E ammette elemento massimale chechiamiamo (H,), verifichiamo che H=E e che  è la g promessa dalla tesi. Se per assurdo esiste ~ ~x0EH allora detto W =span(Hx0) si ha chiaramente che H W siamo quindi nelle ipotesi del ~ ~teorema Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che ci assicura che   : W  R lineare ~ ~in modo che  |H coincida con  e che su tutto W è maggiorato da p e quindi chiaramente ~ ~ ~ ~ ~(H,)( W ,  ) e per la massimalità di (H,) deve essere ( W ,  )=(H,)  H= W che è un assurdo ~poiché H W e quindi deve necessariamente essere H=E e pertanto posto (per linearità diragionamento) g:= si ha la tesi.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 56
    • PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Cf:E C funzionale lineareTs: Il funzionale reale Ref:E R é lineareDim, R e x,yE si ha:Ref(x+y)=per la linearità di f=Re[(f(x)+f(y)]=Ref(x)+Ref(y) c.v.d.PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Cf:E C funzionale lineareTs: f(x)=Ref(x)-iRef(ix) xEDimRicordiamo che ogni complesso z C si può scrivere come z=Re(z)+iIm(z), e quindi:f(x)=Ref(x)+iImf(x) ()moltiplicando ambo i membri della precedente per i (tenendo presente che questa è lineare per Hp)otteniamo:f(ix)=iRef(x)-Imf(x)e quindi applicano Re ad ambo i membri della precedente otteniamo:Ref(ix)=-Imf(x)che sostituita nella () ci da la tesi.PROPRIETÀ [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Csia f:E C un funzionale (complesso) t.c. f(x)=Ref(x)-iRef(ix) xETs: f è un funzionale lineare in C  Ref:ER è un funzionale lineare realeDim Conseguenza immediata della Errore. Largomento parametro è sconosciuto..Dim Siano x,yE e , C che possiamo scrivere quindi come:=1+i2 dove 1=Re() e 2=Im()=1+i2 dove 1=Re() e 2=Im()Per comodità poniamo :=Ref ed osserviamo che:f(x+y)=(x+y)-i(i(x+y))=...=APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 57
    • =(1x+1 y)+i(2x+2 y))-i(i(1x+1 y)-2x-2y)==1(x)+1(y)+2(ix)+2(iy)-i1(ix)-1(ix)+i2(x)+i2(y)==[1+i2](x)+[2-i1](ix)+[1+i2](y)+[2-i1](iy)==[(x)-i(ix)]+[(y)-i(iy)]=f(x)+f(y) c.v.d.COROLLARIO [2711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Csia :E R un funzionale (reake) e sia f:E C con f(x)=(x)-i(ix) xETs: f è un funzionale lineare in C   è un funzionale lineare realeDimPer costruzione Ref= e quindi applicando di peso la proprietà precedente si ottiene la tesi.TEOREMA DI HAHN-BANACH (nella forma analitica classica) [2711/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia E uno spazio vettoriale su KFE un sottospazio vettorialef:F K un funzionale linearep:ER una semi-norma t.c. |f(x)|p(x) xFTs: g:EK funzionale lineare tale che g =f e |g(x)|p(x) |F xEDimDistinguiamo rispettivamente il caso in cui K=R ed il caso in cui K=C.Caso K=R:in tale situazione osserviamo che vale sempre:f(x)|f(x)|p(x) xFe quindi evidentemente sono verificate le ipotesi del teorema Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che ci dice che:g:E R lineare t.c.g =f e g(x)p(x) xE |F (1)ma p è una semi-norma e quindi in particolare omogenea allora p(x)=p(-x) e si ha:-g(x)=g(-x)p(-x)=p(x) xE  -p(x)g(x) (2)segue allora dalla (1) e dalla (2) che:-p(x)g(x)p(x) xE  g(x)p(x) xE e si ha la tesi.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 58
    • Caso K=C:in tale situazione considerando :=Ref che è lineare per la Errore. Largomento parametro èsconosciuto., e quindi osservando che:(x)=Ref(x)f(x)p(x) xFsiamo ricaduti nel caso precedente cioè nel caso K=R e quindi per questa possiamo sfruttare ilrisultato già ottenuto e si ha che::E R lineare che ristretto ad F coincide con  e che |(x)|p(x) xESia quindi g:EC così definito:g(x)=(x)-i(ix) xEtale funzionale g per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. è lineare ed inoltreristretto ad F coincide con f, infatti fissato un arbitrario xF si ha:g(x)=(x)-i(ix)=(x)-i(ix)=Ref(x)-iRef(ix)=f(x)Ci rimane da verificare che g è maggiorato da p su tutto la spazio E.Si ricorda che dato un numero complesso z C lo possiamo scrivere (facendo uso delle formule diEulero) come z=ei=(cos+isin) dove  è il modulo di z e  è l’argomento principale delcomplesso z. Ed inoltre si ricorda che |ew|=eRe(w) w . CE quindi xE g(x)=ei|g(x)|  |g(x)|=e-ig(x) (quantità positiva) e si ha:|g(x)|=e-ig(x)=g(e-ix)=che coincide con la sua parte reale essendo una quantità reale=(e-ix)|(e-i x)|p(e-ix)=|e-i|p(x)=p(x) xEe pertanto il teorema è completamente dimostrato. 29-11-95DUALE ALGEBRICO [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, definiamo duale algebrico di E e lo indichiamo con E l’insiemecostituito dalla totalità dei funzionali lineari definiti in E cioè:E:={T:E K : T lineare}Si osserva banalmente che, introdotte in E le operazioni di somma e prodotto così definite:(f+g)(x):=f(x)+g(x) f,gE(f)(x):=f(x) fE e  Ksi ha che E è uno spazio vettoriale su K. Diamo ora il criterio per stabilire se un funzionale lineare può essere rappresentato comecombinazione lineare di altri funzionali lineari cioè come combinazione lineare di elementi delduale.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 59
    • TEOREMA [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su Kf,f1,...,fnEle seguenti affermazioni sono equivalenti: n(1) 1,...,n K t.c. f(x)=   f (x) i i xE i 1 n(2)  Ker(fi)Ker(f) i=1Dim (1)  (2)è ovvio infatti: n nx  Ker(fi)  fi(x)=0 i=1,...,n e quindi f(x)=  ifi(x)=0 ovvero xKer(f) i=1 i 1Dim (2)(1)Procediamo con metodo induttivo e proviamo che l’implicazione è vera per n=1:sia dunque Ker(f1)Ker(f), escludendo il caso in cui f1 è identicamente nullo (cioè ker(f1)=E),perché se cosi fosse lo sarebbe anche f, e quindi considerato x0E tale che f1(x0)0, si verificabanalmente che per ogni fissato xE il seguente: f1 (x)x- x f1 (x0 ) 0è un vettore del nucleo di f1 e quindi per la (2) anche del nucleo di f ovvero: f1 (x) f x- x =0 f1 (x0 ) 0 quindi, per la linearità di f si ha: f ( x0 )f(x)= f (x) f1( x0 ) 1 f ( x0 )e pertanto posto 1= si ha la f(x)=1f1(x). f1( x0 )Supponiamo ora che l’asserto sia vero per n=k e proviamolo per n=k+1: k +1siano quindi f1,...,fk+1E t.c.  Ker(fi)Ker(f), e consideriamo: i=1F:=Ker(fk+1) K con g :=fgi:F i i |F i=1,...,kg:FK con g:=f |F kVerifichiamo che nelle ipotesi in cui siamo  Ker(gi)Ker(g). i=1APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 60
    • kSia x  Ker(gi)={xF : gi(x)=0 i=1,...,n}  xF ed inoltre fi|F(x)=gi(x)=0 i=1,...,k cioè i=1 k +1 k +1x  Ker(fi) e poiché per Hp  Ker(fi)Ker(f)  che xKer(f) ovvero xKer(g), segue allora i=1 i=1dall’ipotesi induttiva che: kono 1,...,k K t.c. g(x)=   g (x) i i xF i 1Consideriamo allora un funzionale h:E K così definito: kh(x)=f(x)-  if(xi) i 1Chiaramente h è lineare in quanto combinazione lineare di funzionali lineari cioè hE. Si verificache Ker(fk+1)Ker(h), infatti se xKer(fk+1):=F allora: k kh(x)=f(x)-  if(xi)=g(x)-  igi(x)=g(x)-g(x)=0 i 1 i 1quindi per quanto già visto nel caso n=1 si ha che:k+1 K t.c. h(x)= k+1fk+1(x) xEed in definitiva: k 1f(x)=  if(xi) xE c.v.d. i 1COROLLARIO [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K nf1,...,fnE t.c.  Ker(fi)={E} i=1Ts: span({f1,...,fn})=EDim (ovvia)Dobbiamo dimostrare che ogni funzionale lineare su E cioè fE si può esprimere come c.l. dif1,...,fn. Sia fE, chiaramente {E}Ker(f) segue allora da Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che: nono 1,..,n K t.c. f(x)=   f (x) i i xE i 1e quindi fspan({f1,...,fn}) c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 61
    • TEOREMA [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KTs: E ha dimensione finita se e solo se E ha dimensione finita, E in tal caso si ha dim(E)=dim(E)Dim (necessità)Sia dim(E)=n<+ e dimostriamo quindi che dim(E)=n. Poiché dim(E)=n<+ allora detta A unabase di Hamel di E sarà del tipo A=x1,...,xn, e quindi xE lo possiamo esprimere in modo unicocome:x=1x1++i-1 xi-1+ixi+i+1xi+1++nxn con 1,..,n Kconsideriamo allora i funzionali fi:E K con i=1,...,n definiti nel seguente modo:fi(x)=icioé il funzionale fi ad un vettore di E fa corrispondere la sua coordinata i-esima rispetto alla base diHamel. Ovviamente tali funzionali fi sono ben posti per l’unicità di rappresentazione di un fissatovettore xE rispetto alla base A. E sempre per l’unicità di rappresentazione si tenga presente chef(xi)=1 con i=1,...,n e fi(xj)=0 se ij.Verifichiamo che queste fi sono lineari:siano quindi x,yE e , K si ha allora che:  n n   n fi(x+y)=f    ixi+  ixi =f  (i+i)xi =i+i=f(x)+f(y)  i 1 i 1   i 1 e pertanto f1,...,fnE.Proviamo che A=f1,...,fn costituiscono una base di Hamel per E. n nVerifichiamo che  Ker(fi)=E} e quindi dobbiamo provare che preso un vettore x  Ker(fi) i=1 i=1allora necessariamente deve essere x=E. nSia x  Ker(fi)  fi(x)=0 i=1,...,n, osserviamo che per definizione degli fi possiamo scrivere i=1 nx=  fi(x)xi e quindi si ha x=E. i 1Segue allora dal corollario precedente che span{A}=E. Banalmente A è l.i. cioé:se 1,...,n K t.c.  f (x)++ f (x)=0 1 1 n n xE  i=0 i=1,...,ndal momento che se fissiamo i ad arbitrio e consideriamo xi ovviamente si ha:0=1f1(xi)++ifi(xi)++nfn(xi)=10++i1++n0=i1=iE pertanto A:={f1,...,fn} è una base di Hamel per lo spazio vettoriale E ed ha cardinalità n e quindidim(E)=n=dim(E) c.v.d.Dim  (omessa)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 62
    • INSIEME RADIALE [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, AE, A e sia x E, diciamo allora che A è radiale nel punto 0x0 se:yE >0 t.c. x0+yA [0,]cioè se comunque preso un punto yE >0 tale che il segmento [x0,x0+y]A. Chiaramente ilpunto x0A, basta infatti prendere =0.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A, x0ETs: A è radiale in x0  yE >0 t.c. x0+yA [-,]Dim Fissiamo un yE. Per la radialità di A in x0 in corrispondenza ad y e -y si ha che:>0 t.c. x0+yA [0,]>0 t.c. x0-yA [0,]e quindi evidentemente basta scegliere :=min{.} e si ottiene la tesi.Dim Immediata.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A, x0EA è radiale in x0Ts: span(A)=EDimBanalmente span(A)E, facciamo vedere quindi che vale il viceversa cioè che Espan(A). SiayE, poiché per Hp A è radiale in x0 allora:>0 t.c. x0+yA [0,] ()e petanto fissato un ]0,] allora osservando che: 1 1y= + (x0+y)span(A)  segue che yspan(A) in quanto combinazione di vettori di A c.v.d.COROLLARIO [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 63
    • Sia E un K-spazio vettorialex0EFE sottospazio vettoriale radiale in x0Ts: F=EDim (esercizio)Pioiché F è un sott. sp. vett. allora banalmente span(F)=F ed essendo per Hp F radiale in x0 seguedalla poprietà predente che E=span(F)=F c.v.d.COROLLARIO [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F due K-spazi vettorialix0FT:EF opertore lineare t.c. T(E) radiale in x0Ts: T è suriettivoDim (esercizio)Per una proprietà fatta in precedenza sappiamo che un opertore lineare manda spazi vettoriali inspazi vettoriale e quindi segue da ciò che T(E) è un sott. vettoriale di F, ed essendo per Hp radiale inx0 segue allora dal corollario precedente che T(E)=F c.v.d.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F due K-spazi vettorialiAE radiale in ET:EF operatore lineare identicamente nullo su ATs: T è identicamente nullo su tutto EDim (esercizio)Per Hp T è identicamente nullo sull’insieme A cioé:T(x)=F xA (1)Fissato ad arbitrio un xE, allora poiché A è radiale in E si ha che:>0 t.c. xA [0,] (2)Fissato un ]0,] allora per la (2) il vettore xA e quindi per la (1) si ha:F=T(x)=per la linearità=T(x)e pertanto essendo ]0,] (cioé 0) allora deve necessariamente essere che T(x)=F e quindi perl’arbitrarietà di xE si desume che T(y)=F xE c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 64
    • COROLLARIO [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F due K-spazi vettorialiAE radiale in ET:EF operatore lineare non identicamente nulloTs: x0A t.c. T(x0)FDim (esercizio)Supponiamo per assurdo che T sia identicamente nullo sull’insieme A segue allora dalla proprietàprecedente che T è identicamente nullo su tutto E assurdo c.v.d.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettorialex0EA,BE radiali in x0Ts: AB è radiale in x0Dim (esercizio)Sia quindi yE allora poiché per Hp A e B sono radiali in x0 allora:1>0 t.c. x0+yA [0,1]2>0 t.c. x0+yB [0,2]e quindi scelto :=min{1,2} si ha che:x0+yA [0,]  x0+yAB [0,]x0+yB [0,] c.v.d.PROPRIETÀ [More] [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettorialex0EAE radiale in x0BE t.c. ABTs: B è radiale in x0Dim (ovvia)Sia yE allora poiché A è radiale in x0 si ha:>0 t.c. x0+yAB [0,] c.v.d.PROPRIETÀ [More] [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettorialeAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 65
    • x0AAE radiali in x0Ts: A-x0 è radiale in EDimDobbiamo provare che:yE >0 t.c. yA-x0 [0,]Sia quindi yE allora poiché A è radiale in x0 si ha:>0 t.c. x0+yA [0,]  yA-x0 [0,] c.v.d.PROPRIETÀ [More] [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettorialeAE radiali in Ex0ETs: A+x0 è radiale in x0DimDobbiamo provare che:yE >0 t.c. x0+yA+x0 [0,]Sia quindi yE allora poiché A è radiale in E si ha:>0 t.c. yA [0,]  y+x0 A+x0 [0,] c.v.d.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K-spazio vettorialex0AAE radiali in x0Ts: aff(A)=EDimPer Hp A è radiale in x0 e quindi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. A-x0 èradiale in E e per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. span(A-x0)=E e quindi seguedirettamente dalla [1711/16] che aff(A)=x0+span(A-x0)=x0+E=E c.v.d.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio Vettoriale su Kx0EAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 66
    • AE radiale in x0FE sottospazio vettorialeTs: se x0F allora AF è radiale nel punto x0 in F (non in E)DimDobbiamo provare che:yF >0 t.c. x0+yAF [0,] (1)Fissato yF allora essendo per Hp A radiale in x0 si ha che:>0 t.c. x0+yA [0,] (2)Poiché x0,yF ed essendo F un sottospazio vettoriale si ha:x0+yF [0,] (3)e quindi da (2) e da (3) segue la (1) c.v.d.FUNZIONALE DI MINKOWSKI [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, AE un insieme radiale in  , e quindi fissato un punto xE, Econsideriamo l’insieme:Ax:=>0 : xAchiaramente tale insieme non è vuoto per la radialità di A poiché questa ci assicura che incorrispondenza del fissato punto xE: 1 1>0 t.c. xA [0,]  x A [0,]  A [0,]  Ax   xPosto ciò definiamo allora il funzionale pA:E R nel seguente modo:pA(x):=inf>0 : xAche prende il nome di funzionale di Minkowski (associato ad un insieme radiale nell’origine).Evidentemente dalla definizione si evince che pA(x)0 xE.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE un insieme radiale in E e pA il funzionale di Minkowski associato ad Avalgono allora le seguenti proprietà: A pA ([0,1]) 1 pA(E)=0 se A è anche equilibrato allora pA ([0,1[)A 1Dim APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 67
    • Consideriamo un arbitrario vettore xA si osserva allora che per =1 si ha che xA  che1{>0 : xA} e quindi necessariamente pA(x):=inf{>0 : xA}1  x pA ([0,1])={xE : 1 1pA(x)1}  A pA ([0,1]) c.v.d.Dim  1Poiché A è radiale in E  EA   A >0  EA >0 e quindi:  EpA(E):=inf{>0 : EA}=inf]0,+[=0 c.v.d.Dim Se x pA ([0,1[)  pA(x)=inf{>0 : xA}<1  che 1 non è un minorante dell’ins. {>0 : 1xA} e quindi sicuramente  un elemento dell’insieme strettamente minore di 1, infatti posto:=1-pA(x)>0 allora per la IIa proprietà dell’estremo inferiore si ha:  {>0 : xA} t.c.  <pA(x)+=pA(x)+1-pA(x)=1e pertanto essendo  {>0 : xA} allora x  A e poiché per Hp A è equilibrato   AA  1xA  pA ([0,1[)A c.v.d.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE un insieme radiale in E e pA il funzionale di Minkowski associato ad ABE t.c. ABTs: pB(x)pA(x) xEDim (esercizio)Fissiamo un arbitrario vettore xE e facciamo vedere quindi che pB(x)pA(x). Banalmenteosserviamo che:{>0 : xA}{>0 : xB} ()infatti preso >0 tale che xA allora essendo per Hp AB segue che xAB. E pertantopassando all’inf nella () otteniamo:inf{>0 : xB}inf{>0 : xA}ovvero pB(x)pA(x) c.v.d.PROPOSIZIONE [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KxE AE sottoinsieme>0   Ts:  >0 : x A  =>0 : xA   APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 68
    • Dim   Poniamo F:=  >0 : x A  e G:=>0 : xA e proviamo che F=G procedendo al solito con   la dimostrazione per doppia inclusione.Proviamo che FG:   sia  F  x A  x= y con yA e quindi posto = si ha x=y  G   =G    FG.Proviamo che GF: sia  G   =  con  G  x=  y con yA  x= y   F  GF PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE radiale in ETs: pA:E R è positivamente omogeneo.DimTenendo presente la proposizione precedente allora >0 e xE si ha:   pA(x)=inf>0 : xA=inf  >0: x A  =inf({>0 : xA})=   =inf{>0 : xA}=pA(x) c.v.d.PROPOSIZIONE [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE equilibrato,  K{0}Ts: A=||A (cioè xA  x||A)DimProviamo che A||A:   sia xA e quindi è del tipo x=y con yA e lo possiamo scrivere come x=|| y  ed essendo       A equilibrato  yA  x=|| y ||A  A||A.    Proviamo che ||AA:   sia x||A e quindi è del tipo x=||y con yA e lo possiamo scrivere come x= y  ed       essendo A equilibrato  yA  x= y A  ||AA    APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 69
    • PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE radiale in E ed equilibratoTs: pA è omogeneoDim K dobbiamo provare che p (x)=||p (x). Se =0 allora la tesi segueFissati ad arbitri xE e  A Abanalmente, consideriamo quindi il caso in cui K{0}:   pA(x)=inf>0 : xA=inf  >0 : x A  =per la Errore. Largomento parametro è   sconosciuto.=   =inf  >0 : x A  =per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=||inf>0 :   xA=||pA(x) c.v.d. Dato E spazio vettoriale su K ed AE allora se prendiamo ,>0 si ha che(+)AA+A ed in generale non vale l’inclusione inversa, ma come mostra la seguenteproprietà se A è convesso allora tale inclusione vale.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE convesso,>0Ts: (+)A=A+ADimProviamo che (+)AA+A:sia x(+)A  zA t.c. x=(+)z e quindi si ha:x=(+)z=z+zA+AProviamo che A+A(+)A:sia xA+A  z1,z2A t.c. x=z1+z2 e quindi osserviamo che:    x=z1+z2=(+) z1+ z2     essendo z1,z2A allora il vettore tra parentesi quadre è c.l. di z1 e z2 ed essendo i coefficienti di talecmobinazione lineare compresi tra 0 e 1, e la loro somma è 1 allora tale combinazione lineare èconvessa e quindi essendo A per Hp convesso (e pertanto contiene ogni comb. convessa dei suoiAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 70
    • vettori) il vettore tra parentesi quadre appartiene ad A e quindi segue che x+y(+)A c.v.d.PROPRIETÀ [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E spazio vettoriale su KAE radiale in E (cioè A è radiale nell’origine) e convessopA:E R funzionale di Minkowsky associato ad ATS: pA è sub-additivoDimDevo provare che x,yE si ha pA(x+y)pA(x)+pA(y).Fissati quindi x,yE allora assegnato ad arbitrio >0, per la IIa proprietà dell’inf si ha:  {>0 : xA} t.c.  <pA(x)+/2 con x  A {>0 : xA} t.c. <pA(y)+/2 con y Asommando membro a membro otteniamo:+ <pA(x)+pA(y)+ (1)Osserviamo che banalmente che x+y(  + )A, infatti essendo x  A e y A allora:x+y  A+ A=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=(  + )AE pertanto essendo x+y(  + )A   + {>0 : x+yA} e quindi:pA(x+y):=inf{>0 : x+yA}  +  (2)segue dalla (1) e dalla (2) che:pA(x+y)  + <pA(x)+pA(y)+e questa vale qualunque sia , e quindi data l’arbitrarietà di  si ha la tesi.COROLLARIO [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E spazio vettoriale su KAE radiale in E, assolutamente convesso (cioè convesso ed equilibrato)Ts: il funzionale di Minkowski (cioè pA) è una seminormaDim (ovvia)TEOREMA [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E sp.vett. su KAE radiale in Ef:E K funzionale (essendo a valori in K) positivamente omogeneoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 71
    • Ts: f(x)pA(x) xE  f(x)1 xADim  (implicazione banale)Dalle proprietà di pA sappiamo che pA(x)1 xA e quindi da questo fatto e dall’Hp segue che:f(x)pA(x)1 xA c.v.d.Dim Prendiamo un generico xE e possiamo supporre che xE (poiché nel caso x=E la tesi seguebanalmente essendo f(E)=0). Dobbiamo provare che:f(x)pA(x)=inf{>0 : xA} xConsideriamo un arbitrario {>0 : xA}  xA   A segue allora da Hp che f x   1 ed essendo per Hp f positivamente omogenea f(x) e quindi per l’arbitrarietà di   segue che f(x) è un minorante dell’insieme {>0 : xA}.Ricordando adesso che per definizione l’inf di un insieme è il più grande dei maggioranti segueallora che deve necessariamente essere che:f(x)pA(x) c.v.d. Usando adesso il teorema appena fatto dimostriamo un importante corollario del teorema diHahn-Banach.COROLLARIO DEL TEOREMA DI HAHN-BANACH [2911/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]E sp.vett. su KAE radiale in E e assolutamente convessoFE sottospazio vettorialef:F K funzionale lineare t.c f(x)1 xAFTs:g:EK lineare t.c. g =f e g(x)1 xA FDimPer Hp AE radiale in E e assolutamente convesso allora sappiamo che il funzionale diMinkowski associato ad A cioè pA è una seminorma. Se vado a considerare AF per la [2911/14]risulta essere un insieme radiale in E in F (Non in E) cioè:xF >0 t.c. x AF [0,]Se andiamo a considerare in F il funzionale di Minkowski associato a AF cioè pAF:F R alloraquesto altro non è per definizione che il funzionale di Minkoswski in E associato ad A (cioèAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 72
    • pA:E K) ristretto F cioè in simboli pAF=pAF. Per Hp f(x)1 xAF e per il teoremaprecedente questo equivale ad affermare che f(x)pA(x) xF. Sono quindi soddisfatte le Hp delteorema di Han-Banch, che ci assicura allora che esiste un funzionale lineare g:E K tale che g F =f(cioè è un estensione della funzionale lineare f) e g(x)pA(x) xE e quindi per il teoremaprecedente quest’ultima affermazione è equivalente a g(x)1 xA c.v.d. 01-12-95SPAZI TOPOLOGICI [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuoto (cioè X) e F una famiglia di parti dell’insieme X (cioè FP(X)).Se F soddisfa le seguenti condizioni:(1) ,XF(2) GF sottofamiglia   AF (F è chiusa rispetto all’unione) G(3) GF sottofamiglia finita   AF (F è chiusa rispetto all’intersezione finita) AGallora F è una topologia su X e si indica con  e i suoi elementi (cioè A=F ) si chiamanoaperti. Diciamo spazio topologico (brevemente sp.top.) un insieme X con una assegnata topologiae si indica con la coppia (X, ). Date due topologie  e 1 2 su X si dice che  1 è meno fine (o più grossolana) di 2 e si scrive  1   (o se si vuole equivalentemente si può 2 se 1 2 dire che  2 è più fine (o menogrossolana) di  ). 1Se un dato spazio topologico gode di una certa proprietà P allora tale proprietà si dice espansiva sevale per ogni toplogia più fine, cioé se  1 é una topologia che gode della proprietà P allora ognialtra topologia  2 con   1 2 gode della proprietà P.Vediamo subito qualche esempio di spazio topologico. Se un dato spazio topologico gode di unacerta proprietà P allora tale proprietà si dice contrattiva se vale per ogni toplogia meno fine, cioése 2 é una topologia che gode della proprietà P allora ogni altra topologia 1 con 12 godedella proprietà P.Vediamo subito qualche esempio di spazio topologico.Dato un insieme X qualsiasi non vuoto allora due immediati di topologia sono:(a) la topologia indiscreta: :={,X} (sono banalmente verificati i tre assiomi).(b) la topologia discreta: =P(X) (insieme delle parti di X).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 73
    • Chiaramente si osserva che la topologia discreta è la topologia più fine tra tutte le topologie, mentrela topologia indiscreta è la topologia meno fine tra tutte le topologie.RELATIVIZZAZIONE DI UNO SPAZIO TOPOLOGICO [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) uno spazio topologico (brevemente sp.top.), AX e A. Consideriamo la famiglia: ={YA : Y} AVogliamo provare che A è una topologia su A e quindi dobbiamo provare che  A soddisfa ai treassiomi della topologia.Verifichiamo la (1):posto Y=  =A  . Analogamente posto Y=X  A=XA A AVerifichiamo la (2):Sia G una sottofamiglia di  A quindi ogni ZG è del tipo Z=YA con Y  segue allorabanalmente  che  Z=  AY=A   Y    A ZG AYG AYGVerifichiamo la (3):SiaG una sottofamiglia finita (cioè il numero degli elementi che contiene è finito ) di A quindiogni ZG è del tipo Z=YA con Y segue allora banalmente    Z=  AY=A   Y    AZG AYG AYGE quindi  è una topologia su A cioè la coppia (A, ) è uno spazio topologico e diciamo che tale A Atopologia  su A è la relativizzazione della topologia  all’insieme A e per tale motivo  si A Achiama topologia relativa. Se lo spazio topologico (X,) gode di una certa proprietà P e (A, ) Agode della stessa proprietà P si dice allora che (A, ) ha ereditato la proprietà P da (X,). Se un Adato spazio topologico gode di una certa proprietà P allora tale proprietà si dice eredetaria se ognisuo sottoinsieme non vuoto munito della topologia relativa gode della proprietà P. Vogliamo osservare adesso che la relativizzazione della relativizzazione di una topologiacoincide con la relativizzazione dello spazio di partenza.PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) uno spazio topologicoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 74
    • AX con  :={AY : Y} ABA con  :={BH : H} e  B AB:={BG : G }ATs:  = B ABDim (esercizio)Dobbiamo provare che le due topologie  B (relativizzazione della topologia  a B) e  AB(relativizzazione della topologia  A a B) su B coincidono.   :Verifichiamo che B ABsia H  Y t.c. H=YB e quindi osservando che BA  B=BA e quindi: BH=YB=Y(BA)=(YA)Be pertanto siamo riusciti a scrivere H come intersezione di un aperto di A con B ovvero H AB.   :Verifichiamo che AB Bsia G  W t.c. G=WB e poiché W AB A A   Y t.c. W=YA e quindi:G=WB=(YA)B=Y(AB)=YBe pertanto siamo riusciti a scrivere H come intersezione di un aperto di X con B ovvero H B c.v.d.CONCETTI TOPOLOGICI DI NATURA RELATIVA ED ASSOLUTA [0112/Errore . Largomento parametro è sconosciuto.] Abbiamo visto che dato uno spazio topologico (X, ) ed un suo sottoinsieme A allora possiamoconsiderare A come spazio topologico munito della topologia relativa  , vogliamo allora a tale Aproposito fare qualche importante precisazione. Precisamente vogliamo osservare che i concettitopologici possono essere di natura relativa o assoluta. Un concetto topologico è di natura relativase è strettamente legato allo spazio topologia a cui esso è riferito, cioé se consideriamo unsottoinsieme BA allora lo possiamo considerare come sottoinsieme di tutto lo spazio topologico ambiente (X, ) oppure come sottoinsieme di A con la topologia relativa  A e quindi se siattribuisce al sottoinsieme B una data proprietà allora bisogna sempre distinguere se tale proprietà è riferita a B come sottoinsieme di (X, ) oppure se è riferita a B come sottoinsieme di (A,  ). Ad Aesempio se in queste condizioni diciamo che B è aperto allora dobbiamo specificare se si intende che B è aperto in (X, ) oppure se B è aperto in (A,  ). E’ banale osservare che se l’insieme B è Aaperto in X allora è aperto anche in A cioè in simboli se B  B (infatti B=AB  B ). A AConsideriamo il caso in cui B sia aperto in A, vogliamo sapere allora quale è la condizionesufficiente affinché B sia pure aperto in X, cioè voglio sapere quale è la condizione sufficienteaffinché valga l’implicazione B  A   B . Chiaramente tale condizione sufficiente è che A siaAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 75
    • aperto in X cioè A infatti se supponiamo che A e che B allora B per come è definita A, lo posso scrivere come B=YA per un opportuno Y e poiché A (e ricordando la (3) Aproprietà degli sp.top. cioè che l’intersezione finita di aperti è un aperto o se si vuole che latopologia è stabile rispetto all’intersezione finita) allora B=YA . Vediamo adesso quando un concetto topologica è di natura assoluta. Sia P una proprietà topologica di cui lo spazio topologico (X, ) può o meno godere. Ovviamente se AX alloradiciamo che A gode della proprietà topologica P se riguardato con la topologia relativa A soddisfala P. Risulta allora evidente che la proprietà topologica P risulta essere intrinseca o meglio di naturaassoluta, poiché se BA, allora in questa situazione B lo possiamo pensare come sottospaziotopologico di A munito della topologia relativa della topologia relativa di A cioé di AB oppurecome sottospazio topologico di X munito della topologia relativa  , si ha allora che se diciamo che BB gode della proprietà topologica P non c’è possibilità di equivoco poiché come già osservato nellaErrore. Largomento parametro è sconosciuto. la relativizzazione a B della topologia di X e larelativizzazione a B della topologia di A coincidono cioé  = B AB. Come vedremo in seguito deiconcetti di natura assoluta sono la compattezza, la connessione, la connessione per archi, ecc...PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuoto e  due topologie su X con AX, ATs:   A ADim (esercizio)Dobbiamo provare che   .Sia quindi    aperto di A rispetto a  e quindi per A A A Adefinizione di topologia relativa B t.c. =AB e poiché per Hp  allora B e quindi=ABA c.v.d.PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuoto { i}iI famiglia di topologie su X con I N non necessariamente finitoTs: :=   è ancora una topologia su X i iIDimVerifichiamo i tre assiomi che definiscono la topologia.Verifichiamo la (1):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 76
    • poiché ,X   iI  che ,X   =: i i iIVerifichiamo la (2): G (G è una sottofamiglia di )  Gi iI  { A : AGsia }  i iI  {A :AG}Verifichiamo la (3): G (cioè G è una sottofamigliasia della famiglia ) finita  G i iI  che {A :AG}i iI  {A : AG} c.v.d.TOPOLOGIA GENERATA DA UNA FAMIGLIA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuoto e a famiglia di insiemi di X (cioè’ aP(X)) chiamiamo alloratopologia generata dalla famiglia di insiemi a e la indichiamo con a l’intersezione di tutte letopologie su X che contengono la famiglia a cioè:a:={ topologia su X : a}che è quindi la più piccola topologia su X che contiene la famiglia a.Chiaramente che ci siano topologie su X che contengono la famiglia a non c’è dubbio perché c’èper lo meno la topologia discreta ( cioè =P(X) ).Vogliamo adesso caratterizzare la topologia generata da una famiglia e precisamente vogliamoprovare la seguente uguaglianza:a={}{X}H dove H=  YX : Y=  Bi con BiG      i IcioèH è la totalità dei sottoinsiemi di X che si possono esprimere come unione di membri dellafamiglia G così definita:  n G:=  BX : ono A1,...,Ana con n<+ t.c. B=  Ai   i=1 cioè G è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X che sono esprimibili come intersezione di un numerofinito di membri della famiglia a.Chiamiamo F il membro di destra dell’uguaglianza cioè poniamo F:={}{X}H edimostriamo quindi che:(A) che la famiglia F contiene la famiglia a cioè aF(B) che F è una topologia su X(C) che a=FProviamo la (A):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 77
    • sia B a si ha allora che BG basta infatti considerare il caso n=1 e A 1 =B e quindi a Ganalogamente si dimostra che GH (infatti preso BG basta considerare il caso I={1} con B1:=B equindi si ha che Y=BH ) e quindi per quanto detto si ha che: aGHF.Proviamo la (B):bisogna verificare che F soddisfa i tre assiomi che definiscono una topologia.Verifichiamo la (1):la verifica è banale in quanto dalla definizione di F segue subito che ,XFVerifichiamo la (2) (cioè la stabilità rispetto all’unione di una famiglia qualunque):considerata la famiglia {Yj}jJ dove YjF dobbiamo provare che  YjF. Cosideriamo allora jJd’apprima i due casi banali cioé il caso in cui uno degl’insiemi in questione è il vuoto ed il caso incui uno degl’insiemi in questione è tutto lo spazio. Se qualche Yj=X allora evidentemente  Yj=X jJe quindi banalmente  YjF. Ed ovviamente possiamo supporre che ogni Yj, poiché se jJqualche Yj= allora evidentemente questo non darà nessun contributo nell’unione. E quindi cirimane da considerare il caso in cui {Yj}jJ è in H, vogliamo provare allora che  YjHF (cioé jJvolgliamo dimostrare che H è chiusa rispetto all’unione). Yj{Yj}jJ è del tipo Yj=  Bj,h dove h H jBj,hG hHj e pertanto si ha allora che: Yj=   Bj,h=si prova facilmente che=  Bj,hjJ jJ h H j (j,h)J  H je quindi  YjH poiché siamo risusciti a scrivere  Yj come unione di membri della famiglia G jJ jJ(cioè dei Bj,h).Verifichiamo la (3) (cioè la stabilità rispetto all’intersezione di una qualunque famiglia finita ):dobbiamo verificare che la famiglia F è chiusa rispetto all’intersezione finita cioè se Y1,...,YnFallora Y1....YnF e questo evidentemente equivale a verificare che l’intersezione di due membridi F sta ancora in F cioè se Y1,Y2F  Y1Y2F (infatti banalmente tale caso lo si puòestendere al caso n, facendo uso del principio di induzione). E quindi presi Y1,Y2F, cosideriamoallora d’apprima i due casi banali cioé il caso in cui uno degl’insiemi in questione è il vuoto ed ilcaso in cui uno degl’insiemi in questione è tutto lo spazio. Se Y1 o Y2 è il vuoto allora banalmenteY1Y2=F. Nel caso ad esempio Y1=X allora evidentemente si ha Y1Y2=XY2=Y2F edanalogamente se Y2=X allora Y1Y2=Y1X=Y1F. Mettiamoci quindi nel caso non banale in cuiAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 78
    • Y1,Y2H e facciamo vedere che Y1Y2HF (cioé volgliamo dimostrare che H è chiusa rispettoall’intersezione finita). Poiché Y1,Y2H sono del tipo:Y1=  B1,j e Y2=  B2,h dove B1,jG jH1e B2,jG hH2 j H1 h H 2e come sappiamo fissato jH1 e h n 1, j n 2,hB1,j=  A1,j,k e B2,h=  A2,h,k con A1,j,k a k=1,...,n 1,j a k=1,...,n e A2,h,k 2,h k =1 k =1e quindi si ha:    Y1Y2=   B1,j       B2,h =per la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto  j H1 h H 2all’unione=   B1,jB2,h=  B1,jB2,h= j H1 h H 2 (j,h) H1H 2  nj nh =     A1,j,k   A2,h,k   (j,h) H1H 2 k =1 k =1osserviamo adesso che il termine tra parentesi è intersezione di un numero finito di membri di aequindi per definizione è un elemento di G e questo significa che siamo riusciti ad esprimere Y1 Y2come unione di membri di G ovvero Y1 Y2H.E quindi abbiamo provato che F={}{X}H è una topologia su X.Proviamo la (C):per definizione a è la più piccola topologia che contiene a e quindi certamente aF. Adesso perdimostrare l’uguaglianza bisogna dimostrare l’altra inclusione (cioè che Fa) e per fare questofacciamo vedere che la famiglia F è contenuta in ogni topologia che contiene la famiglia a e chepertanto dovrà stare necessariamente nella loro intersezione cioè in a. Sia quindi  una qualunquetopologia su X che contenga la famiglia a cioè a si ha allora che l’intersezione di un numerofinito di membri di a sta ancora in  (poiché  è una topologia e quindi è stabile rispettoall’intersezione) e questo evidentemente significa che G. Se consideriamo adesso unasottofamiglia di G si ha allora che l’unione dei membri di questa sottofamiglia sta ancora in (poiché  è una topologia e quindi è stabile rispetto all’unione) e questo chiaramente significa cheH, segue quindi che F e come detto questo significa che Fa. Dalle due inclusionidimostrate segue l’uguaglianza a=F. E quindi abbiamo dimostrato quanto volevamo.Si osserva chiaramente che le cose si semplificano notevolmente se la famiglia a è chiusa (cioèstabile) rispetto all’intersezione finita infatti in questo caso si ha chiaramente che a=G e diconseguenza H è la famiglia i cui membri si possono esprimere come unione di membri di a equesto significa che in questo particolare caso a è la topologia i cui membri oltre ad essere ilvuoto e l’intero spazio sono tutti e soli gli insiemi che si possono esprimere come unione di membridi a. Si osserva banalmente che se a oltre ad essere chiusa rispetto all’intersezione finita è anchechiusa rispetto all’unione allora si ha che a=G=H e a={}{X}a.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 79
    • SOTTOBASE DI UNA TOPOLOGIA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Dato uno sp.top. (X, ), ed una famiglia a tale che =a allora tale famiglia a prende il nome difamiglia generante o sottobase della toplogia della . Ovviamente ogni topologia ammette unasottobase poiché basta considerare ad esempioa:=. Inoltre risulta evidente che una data topologiapuò avere più basi cioè può accadere che a,bP(X) t.c. a=b . Ad esempio X={a,b} munitodella topologia discreta =P(X) é evidente che ammette come sottabi a={{a},{b}} e b =P(X) edovviamente ab .TEOREMA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia Xsiano  e 1 2 topologia con le rispettive basi aebTs: se a b allora   1 2Dim (banale)INTORNO DI UN PUNTO [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Dato uno sp.top. (X, ), x0X e VX. Diciamoche l’insieme V un intorno del punto xo se esiste unaperto A che contiene x0 ed è contenuto in V cioè se:A  t.c. x AV 0Chiaramente nel caso in cui lo spazio X sia munito di più topologie allora bisogna distinguererispetto a quale topologia si intende che V sia un intorno di x0. Supponiamo che  e 1 2 siano duetopologie su X allora per dire che V è intorno di x0 rispetto alla topologa  1 diciamo che V è un - 1intorno di x0 ed analogamente per dire che V è un intorno di x0 rispetto alla topologia  2 diciamoche V è un  -intorno di x . 2 0TEOREMA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AXAllora A è aperto  A è intorno di ogni suo puntoDim  (necessità)Fissato un arbitrario xA, prendo come intorno V di x proprio il mio insieme A cioè pongo V=A equindi dalla definizione di intorno segue l’asserto c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 80
    • Dim  (sufficienza)Per Hp A è intorno di ogni xA. Sia xA  che A è intorno di x  che Ax  t.c. xA A. xOsserviamo adesso che chiaramente possiamo scrivere A come:A=  Ax x Ae quindi essendo A unione di aperti è un aperto c.v.d. Il seguente semplice risultato ci dice che due topologie possono essere confrontateequivalentemente confrontando i rispettivi intorni.TEOREMA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuoto e  due topologie su X 1 2allora    x X si ha che ogni  -intorno di x 1 2 0 1 0 è un  -intorno di x 2 0Dim  (esercizio)Fissato x0X, sia allora W un arbitrario  -intorno di x 1 0 e facciamo vedere che W è un  -intorno 2di x0. Poiché W è un  -intorno di x 1 0 allora:A  1 t.c. x0AWe poiché per Hp   1 2 allora A  2  che W è un  -intorno 2 c.v.d.Dim  (esercizio)Dobbiamo provare che   . Sia A  A  -aperto segue allora dalla Errore. Largomento 1 2 1 1parametro è sconosciuto. che A è un  -intorno di ogni suo punto e quindi segue dall’Hp che A è 1un  -intorno di ogni suo punto  A  aperto  A 2 2 2 c.v.d.FAMIGLIA DI INTORNI DI UN PUNTO [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp. top. e xX, si denota allora con U(x) la famiglia degli intorni di x cioè:U(x):={UX : U intorno di x in X}che prende il nome di filtro di intorni di x.Vogliamo dimostrare che la famiglia U(x) gode delle seguenti proprietà: VU(x)  xV VU(x) e UX t.c. VU  UU(x) U,VU(x)  UVU(x) UU(x)  VU(x) t.c. UU(y) yVAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 81
    • Dimostrazione  (ovvia)Dimostrazione  Se VU(x)  A t.c. xAV e poiché VU  xAU  UU(x) c.v.d.Dimostrazione  Se UU(x)  A t.c. xAUse VU(x)  B t.c. xBVe per le proprietà degli aperti si ha che AB  e chiaramente xAB e osservando adesso chexABUV  UVU(x) c.v.d.Dimostrazione U intorno di x  A  t.c. xAU allora per avere l’asserto basta prendere V=A (poiché A èaperto e quindi intorno di ogni suo punto) c.v.d.TEOREMA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X e U:XP(P(X)) (cioè U va da X all’insieme delle parti dell’insieme delle parti di X)funzione che ad ogni fissato xX associa una famiglia U(x) di sottoinsiemi di X che soddisfa leproprietà , ,  e Ts: esiste una e una sola topologia  tale che xX la famiglia U(x) coincide con la  famiglia dei -intorni di xDimostrazioneConsideriamo la seguente famiglia  di insiemi di X, definita in questa maniera::={AX : AU(x) xA}Bisogna provare che  è una topologia su X, cioè dobbiamo verificare che siano soddisfatte le treproprietà della topologia:Verifichiamo ,X : banalmente   infatti posto A= allora chiaramente è verificata la proprietà AU(x) xApoiché A non ha elementi. E quindi l’insieme vuoto sta in .Dimostriamo che X cioè dobbiamo dimostrare sostanzialmente che XU(x) comunqueprendiamo xX:fissiamo un xX e prendiamo UU(x) allora per la  si ha che xUX e per la  si ha cheXU(x) e quindi per l’arbitrarietà di x si ha che XU(x) xX e questo chiaramente significaproprio che X .Verifichiamo che  è stabile rispetto all’unione:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 82
    •  cioè consideriamo {A } dove A  (cioèsupponiamo di avere una famiglia di sottoinsiemi di i iI iA U(x) xA ) iI, dobbiamo fare vedere allora che  A  e quindi dobbiamo fare vedere i i i i Iche fissato ad arbitrio x  Ai allora  AiU(x). i I i ISia quindi x  Ai  kI t.c. xAk e quindi osservando che banalmente Ak  Ai e che i I i IAkU(x) segue allora direttamente dalla proprietà  che  AiU(x) e questo per definizione di i I evidentemente significa proprio che  Ai . i IVerifichiamo che  è stabile rispetto all’intersezione finita:al solito possiamo considerare il caso di due soli insiemi poiché, dimostrato questo caso allora lo sipuò estendere facendo uso del principio di induzione. Siano quindi A1,A2  dobbiamo dimostrare che A1A2 . Fissiamo un arbitrario xA1A2  A1,A2U(x) segue allora dalla  cheA1A2 U(x) e questo vuol dire che A1A2 . Quindi la  è una topologia sullo spazio ambienteX.Adesso dobbiamo verificare che per ogni fissato xX la famiglia U(x) coincide con la famiglia dei-intorni di x, cioè detta V(x)={UX : U è -intorno di x} la famiglia dei -intorni di x alloradobbiamo provare che U(x)=V(x) xX (procediamo quindi per doppia inclusione).Dimostriamo V(x)U(x):prendiamo un U V(x)  U è un -intorno di x  A t.c xAU e quindi essendo Aallora per definizione di  segue che AU(x) ma AU e quindi segue dalla  che UU(x) eper l’arbitrarietà di U si ha che V(x)U(x).Dimostriamo U(x) V(x):sia UU(x) per provare che U V(x) cioè che U è un -intorno di x dobbiamo trovare unopportuno A  tale che xAU. Tenendo presente la  andiamo allora a costruire questoinsieme A nel seguente modo:A:={zU : UU(z)}Verifichiamo se questo insieme A ha i requisiti richiesti affinché U sia -intorno di x cioè sia taleche xAU e A : sicuramente xA infatti essendo UU(x) segue allora dalla  che xU e quindi per comeabbiamo definito A allora chiaramente si ha che xA. E sempre per definizione di A si ha cheAU.Dimostriamo adesso che A  (cioè che A è aperto ) e quindi dobbiamo dimostrare preso ungenerico zA allora AU(z). Sia zA  UU(z) segue allora dalla  che WU(z) t.c.UU(y) yW e questo ci dice (per come è definito A) che WA e per la  si ha che AU(z).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 83
    • E quindi abbiamo provato che A  e poiché si è visto anche che xAU segue allora che U è un-intorno di x cioè UV(x) e per l’arbitrarietà di U segue che U(x)V(x). E quindi dalla provadelle due inclusioni segue l’uguaglianza cioè U(x)= V(x).Ci rimane da provare l’unicità della topologia. Supponiamo che  sia un’altra topologia tale cheU(x)=V(x) xX dobbiamo provare che =. Abbiamo che U(x)=V(x) xX, ma abbiamoanche che U(x)=V(x) xX e quindi V(x)=V(x) xX e questo fissato xX ci dice che ogni -intorno di x è un -intorno di x e viceversa e questo per Errore. Largomento parametro è sconosciuto. significa proprio che =. E il teorema rimane cosi completamente dimostrato. Dimostriamo qui di seguito altre due proprietà della famiglia degli intorni di un punto. Laprima ci dice che la famiglia degli intorno di un punto è stabile rispetto all’unione.PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicox0X{Ui}iI sotofamiglia di U(x0)Ts:  UiU(x0) i IDim (esercizio)Poiché per Hp ogni Ui è un intorno di x0 allora:iI AiX aperto t.c. x0AiUie quindi ricordando che l’unione di aperti è un aperto e osservando che evidentemente Ai  Ui segue allora banalmente la tesi c.v.d.i I i I La seguente altra proprietà ci dice che nel caso ce ne sia bisogno, si può supporre chel’intorno di un punto sia aperto.PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) spazio topologicox0XTs: se UU(x0)  VU(x0) aperto t.c. VUDim (ovvia)Per Hp U intorno di x0 e quindi:A aperto t.c. x0AVAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 84
    • poiché x0 A allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che l’aperto A èun intorno di x0 cioé AU(x0) e quindi per ottenere la nostra tesi basta scegliere V:=A c.v.d.PUNTI INTERNI E INTERNO DI UN INSIEME [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top., AX, x0A allora il punto x0 si dice interno ad A se A è intorno di x0 cioè:se U t.c. x UA 0L’insieme di tutti i punti interni ad A si chiama interno di A e si denota con int(A) oppure Å.Banalmente si osserva che int(A)A. La seguente semplice proprietà ci dice che l’interno di un insieme consiste nell’unione ditutti gli aperti contenuti nell’insieme, e questo in particolare ci dice che l’interno di un insieme èaperto (in quanto unione di aperti) e che è il più grande aperto contenuto nell’insieme.PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AXTs: int(A) è l’unione di tutti gli aperti contenuti in ADimDobbiamo provare che int(A)={B : BA}. Verifichiamo che int(A){B : BA}: sia x0int(A)  B t.c. x0BA  x0B{B : BA}.  Verifichiamo che {B : BA}int(A):  sia x0{B : BA}  B t.c. x0BA  x0int(A) c.v.d.PROPRIETÀ [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoA,BX con ABTs: int(A)int(B)DimPoiché AB  che B è intorno di tutti i punti di cui A è intorno cioè tutti i punti interni ad A sonoanche interni a B  int(A)int(B) c.v.d.TEOREMA [0112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 85
    • Sia X spazio topologicoAXAllora A e aperto  Aint(A)Dim Se A è aperto  A è intorno di ogni suo punto  Aint(A) e poiché vale sempre int(A)A si ha latesi cioè A=int(A) c.v.d.Dim Ovvia poiché si è visto che int(A) è aperto c.v.d. 04-12-95INSIEMI CHIUSI [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] In uno spazio topologico (X, ) un ins. CX si dice chiuso se il suo complementare è un apertocioè CX è chiuso se e solo se XC è aperto (cioè XC ) TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXAllora A è aperto  XA è un chiusoDim (ovvia)TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X e 1 2 due topologie su XAllora  1 2  ogni  -chiuso è un  -chiuso 1 2Dim Sia C un  -chiuso  che XC è un  -aperto e poiché per Hp    XC 1 1 1 2 2  che XC è un -aperto  C  -chiuso 2 2 c.v.d.Dim Dobbiamo provare che  1 2  -aperto è un  -aperto. Sia quindi AX un  - ovvero che ogni 1 2 1aperto, segue allora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che XA è un  -chiuso e 1quindi dall’Hp segue che XA è un  -chiuso  A  -aperto 2 2 c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 86
    • PROPRIETÀ DEGLI INSIEMI CHIUSI [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) spazio topoplogicoAllora gli insiemi chiusi di X godono delle seguenti proprietà:(1) ,X (2) Se {Cj}jJ famiglia di chiusi   Cj è un chiuso j I n(3) Se C1,C2,...,Cn sono chiusi   Cj è un chiuso j=1Dim (per esercizio)Le dimostrazioni di (1),(2) e (3) si ottengono facilmente facendo uso delle tre proprietà dellatopologia e delle formule insiemistiche di De Morgan che come noto sono:  (XCj)=X  Cjj I j I (XCj)=X  Cjj I j IPROPOSIZIONE [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuotoA e B sottoinsiemi di XTs: AB=A(XB)Dim (esercizio)Sia xAB  xA e xB  xA e xXB  xA(XB). Viceversa sia xA(XB)  xA exXB  xA e xB  xAB c.v.d.PROPRIETÀ [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX aperto, CX chiusoValgono allora le seguenti due proprietà: AC è un aperto CA è un chiusoDimostrazione  (esercizio)Per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che AC=A(XC) e pertanto AC èun aperto essendo intersezione di due aperti c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 87
    • Dimostrazione  (esercizio)Per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che CA=C(XA) e pertanto CA èun chiuso essendo intersezione di due chiusi c.v.d.PROPRIETÀ [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX non vuoto, DASono allora equivalenti:(1) D è aperto in A(2) BX aperto in X t.c. D=AB(3) CX chiuso in X t.c. D=ACDim (1)(2) (esercizio)Conseguenza immediata della definizione di topologia relativa.Dim (2)(3) (esercizio)Per Hp BX aperto in X t.c. D=AB. Poniamo C=XB che é un chiuso di X ed osservando cheper la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. AC=A(XC) segue che:D=AB=AX(XB)=AXC=AC c.v.d.Dim (2)(1) (esercizio)Per Hp CX chiuso in X t.c. D=AC=A(XC) e pertanto D è un aperto di A, essendointersezione di A con un aperto di X c.v.d.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme non vuotosiano A,B,CXTs: A(BC)=A(XBC)Dim (esercizio)Sia xA(BC)  xA e xBC  xA e xB o xC  xA e xXB o xC  xA exXBC  xA(XBC) c.v.d.PROPRIETÀ [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX non vuoto, DASono allora equivalenti:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 88
    • (1) D é chiuso in A(2) CX chiuso in X t.c. D=AC(3) BX aperto in X t.c. D=ABDim (1)(2) (esercizio)Poichè D é chiuso in A  AD aperto in A  BX aperto in X t.c. AD=AB D=A(AB)=AAAB=AB=AXB basta allora scegliere C=XB c.v.d.Dim (2)(3) (esercizio)Per Hp CX aperto in X t.c. D=AC. Poniamo B=XC che é un aperto di X ed osservando cheper la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. AB=A(XB) segue che:D=AC=AX(XC)=AXB=AB c.v.d.Dim (3)(1)Per Hp BX aperto in X t.c. D=AB. Proviamo che AD é un aperto di A. Per la Errore.Largomento parametro è sconosciuto. osserviamo che:AD=A(AB)=A(XAC)=(AXA)(AC)=ACsegue allora dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che AD é un aperto di A c.v.d.CHIUSURA DI UN INSIEME [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Dato (X, ) sp.top. e AX diciamo chiusura di A in X e la indichiamo con A o con clX(A),l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono A cioè:A :={AC : C chiuso in X}E quindi osservando dalla proprietà precedenti che l’intersezione di chiusi è un chiuso segue allorache la chiusura di A è il più piccolo chiuso in X che contiene A.TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXAllora A è chiuso  A A (cioè A coincide con la sua chiusura)Dim A è chiuso poiché coincide con la sua chiusura che per definizione è un chiuso c.v.d.Dim Poiché vale sempre A A allora dobbiamo provare solo che A A. Per Hp A è chiuso e quindiessendo per definizione la chiusura il più piccolo chiuso che contiene A deve allora necessariamenteessere che A A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 89
    • PROPRIETÀ DELLA CHIUSURA [More] [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.valgono allora le seguenti proprietà:() Per ogni AX  clX(clX(A))=clX(A) (idempotenza della chiusura)() Se A,BX con AB  clX(A)clX(B) (monotonia della chiusura)Dimostrazione () (esercizio)Essendo clX(A) un chiuso segue allora dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto.clX(A)=clX(clX(A) c.v.d.Dimostrazione () (esercizio)Siano A,BX con AB. Consideriamo clX(B) che è il più’ piccolo chiuso che contiene B si haallora che ABclX(B) e osservando adesso che clX(A) è il più piccolo chiuso che contiene A deveallora necessariamente essere che clX(A)clX(B).PUNTI DI ADERENZA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X sp.top., AX, xoX, diciamo allora che xo è di aderenza per A se:VA VU(x0).Chiaramente tutti i punti di A sono di aderenza per A.TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AXTs: la chiusura dell’insieme A coincide con l’insieme dei punti di aderenza di ADimDimostriamo l’uguaglianza detta usando la solita doppia inclusione. Sia x0X un punto di aderenzaper A, dobbiamo fare vedere che x0 A cioè che x0 sta in ogni chiuso che contiene A. Supponiamoper assurdo che x0  A  cheCX chiuso che contiene A (cioè AC) e x0C  x0XC (ricordando che C è chiuso e quindi il suo complementare è un aperto ed è quindi intorno di ognisuo punto e in particolare è intorno di x0) ma poiché AC  (XC)A= e quindi abbiamo trovatoun intorno di x0 (cioè XC) che non ha punti in comune con A, ma questo è assurdo poiché per Hp ilAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 90
    • punto x0 è di aderenza per A e quindi deve necessariamente essere che x0  A . Viceversa sia x0 Acioè x0 è contenuto in ogni insieme chiuso che contiene A, dobbiamo provare che x0 è di aderenzaper A. Supponiamo per assurdo che x0 non sia di aderenza per A  V intorno di x0 t.c. VA=,teniamo presente che VU(x0)  W  t.c x WV se consideriamo adesso XW è un chiuso 0che contiene A (ricordando che VA= e poiché WV  WA=) cioè AXW  A XW,ma tale chiuso XW non contiene il punto x0 e questo è un assurdo poiché per Hp x0 A , seguequindi dal ragionamento per assurdo che x0 appartiene all’insieme di aderenza di A. E quindi dallaprova delle due inclusioni segue l’uguaglianza detta c.v.d. Dimostriamo la seguente proprietà che ci dice che se un aperto interseca la chiusura di uninsieme allora necessariamente deve intersecare anche l’insieme.PROPRIETÀ [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AX Ts: se B t.c A B  ABDimSia B  t.c. A B  x0 A B  x0 A e x0B allora poiché x0 A per il teoremaprecedente x0 è di aderenza per A  che ogni intorno di x0 interseca A e quindi essendo x0appartenente all’aperto B  AB c.v.d.PUNTI DI ACCUMULAZIONE E DERIVATO DI UN INSIEME [0412/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Siano X sp.top., AX, xoX, diciamo allora che xo è di accumulazione se:V(A{xo}) VU(x)L’ins. dei punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si indica con la scrittura DA. E’ovvio che ogni punto di accumulazione è di aderenza (il viceversa non vale) e per Errore.Largomento parametro è sconosciuto. questo vuol dire che DA A . Si faccia bene attenzione alfatto che se x0A allora non necessariamente x0DA, infatti se consideriamo la retta reale, munitadella topologia usale (gli aperti sono del tipo ]a,b[) e consideriamo l’ins.:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 91
    • A=[2,5]{7}allora chiaramente il punto x0=7A non è di accumulazione per A infatti basta considerare adesempio [7-1,7+1]=[6,8] e si ha [6,8]A{7}=  che 7DA.Chiamiamo quindi punti di singolarità di A i punti che appartengono ad A ma che non sono diaccumulazione per A (cioè xA è di singolarità se xADA). Vogliamo dimostrare adesso il seguente importante teorema che rappresenta un’altracaratterizzazione della chiusura e ci dice che la chiusura di un’insieme consiste nell’unione deipunti dell’insieme e dei punti di accumulazione dell’insieme.TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXTs: A =ADADimProcediamo al solito per doppia inclusione. Sia x0 A ed escludiamo il caso banale in cuixoA A (poiché in questo caso segue banalmente che il punto x0ADA) consideriamo quindi ilcaso in cui x0 A A e pertanto avendo già osservato nella Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che la chiusura di un insieme coincide con l’insieme dei punti di aderenza segue allorada questo che il punto x0 è di aderenza per A cioè VA VU(x0) ma poiché abbiamoconsiderato il caso in cui xoA  A=A{x0} e quindi abbiamo che V(A{x0})=VAVU(x0) e questo significa proprio che x0 è di accumulazione per A cioè x0 DA  x0 ADA A ADA. Viceversa sia x0ADA ed escludiamo il caso banale in cui x0A poiché in questocaso è ovvio che x0  A essendo A A , consideriamo quindi il caso in cui x0 DA dal quale seguesubito (poiché vale sempre l’inclusione DA A ) x0 A  ADA A . Segue dalle due inclusioneprovate, l’uguaglianza c.v.d.COROLLARIO [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicoAXAllora A è chiuso  DAADim A chiuso  A= A e poiché A =ADA  A=ADA  DAA c.v.d.Dim APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 92
    • DAA e poiché A =ADA  A= A  A è chiuso c.v.d.PUNTI DI FRONTIERA E FRONTIERA DI UN INSIEME [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X sp.top., AX, x0X, allora diciamo che il punto x0 è di frontiera per A se:VA e V(XA) VU(x)L’insieme dei punti di frontiera di A si indica con Fr(A) oppure con  A. Si osserva banalmente cheFr(A)=Fr(XA). La seguente caratt. della frontiera che ci dice che la frontiera di un insieme è l’insieme deipunti che sono di aderenza per l’insieme e per il suo complementare.TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicoAXTs: Fr(A)=clX(A)clX(XA)Dim (esercizio)Proviamo che Fr(A)clX(A)clX(XA):sia x0Fr(A)  x0 di aderenza per A e XA segue allora dalla Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che x0 clX(A) e x0 clX(XA)  x0clX(A)clX(XA).Proviamo che clX(A)clX(XA)Fr(A):sia x0clX(A)clX(XA)  x0clX(A) e x0clX(XA) segue allora dalla Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. che x0 è di aderenza per A e XA  x0Fr(A) c.v.d.TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicoAXTs: A =int(A)Fr(A)DimProviamo che A int(A)Fr(A):sia x0 A , allora preso ad arbitrio UU(x0) si possono presentare i seguenti due casi:(a) UXA= e (b) UXAAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 93
    • Se si presenta il caso (a) cioè UXA=  UA  A intorno di x0 cioé x0int(A)int(A)Fr(A).Se si presenta il caso (b) cioè UXA e questo per l’arbitrarietà di U significa che x0  X A epoiché x0 A  x0 A  X A =Fr(A)int(A)Fr(A).Proviamo che int(A)Fr(A) A :sia x0int(A)Fr(A)  x0 A oppure x0Fr(A). Se x0int(A) allora essendo in generaleint(A)A A segue immeditamente che x0 A . Se x0Fr(A)= A  X A segue immeditamenteche x0 A c.v.d.COROLLARIO [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicoAXTs: A =AFr(A)Dim (esercizio)Poichè int(A)A A allora A =A A e A=Aint(A) e quindi:A =A A =A[int(A)Fr(A)]=[Aint(A)]Fr(A)=AFr(A) c.v.d.COROLLARIO [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXAllora A è chiuso se e solo se contiene la sua frontiera (cioè se Fr(A)A)TEOREMA [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AX Ts: int(A)=X X A Dim Proviamo che int(A)X X A : sia xoint(A)  int(A) è intorno di xo ricordando adesso che vale sempre l’inclusione int(A)Asegue allora che int(A)(XA)= e quindi abbiamo trovato un intorno di xo che non interseca XA   e questo significa che xo non è di aderenza per XA ovvero xo X A  xo X X A .   Proviamo che X X A int(A):sia x X  X A  e osserviamo che banalmente  X A  è chiuso  X X A  è un aperto che 0contiene il punto x e quindi è un’intorno x e poiché X  X A  A (poiché X(XA)=A e quindi il o 0APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 94
    •  complementare di qualcosa di più grande cioè di X A sarà ancora contenuto in A) segue allorache A è intorno di x0  che il punto x0 è interno ad A cioè x0int(A) c.v.d.TEOREMA [More] [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AXTs: A =Xint(XA)Dim (esercizio)  Per il teorema precedente si ha che int(A)=X X A e quindi sostituendo XA in luogo di Aotteniamo int(XA)=X A e passando al complementare ad ambo i membri si ha che Xint(XA)= A c.v.d. Dimostriamo la seguente caratt. della frontiera che ci dice che un punto è di frontiera se esolo se non appartiene all’interno dell’insieme e al suo esterno.TEOREMA [More] [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AXTs: Fr(A)=[Xint(A)][Xint(XA)]Dim (esercizio)Per Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha:Fr(A)= A  X A =per Errore. Largomento parametro èsconosciuto.=[Xint(XA)][Xint(X(XA))]==[Xint(XA)][Xint(A)] c.v.d.TEOREMA [More] [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AXTs: Fr(A)= A int(A)Dim (esercizio)Appilicando la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. all’insieme XA otteniamo che:X A =Xint(A) ()APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 95
    • Segue allora che:Fr(A)=per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.= A  X A =per()= A [Xint(A)]=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.= A int(A).TEOREMA] [0412/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) sp.top.AX, aperto non vutotoBX con int(B)=Ts: A = A BDim (esercizio)Poiché ABA  A B A . Dimostriamo quindi l’inclusione inversa ovvero che A  A B. Siaad arbitrio x0  A e proviamo che x0 A B ovvero che preso ad arbitrio UX intorno di x0 chepossioamo supporre aperto, allora UAB. Poicxhé x0 A  UA che è quindi un apertonon vuoto (essendo intersezione di aperti). Afferiamiamo che (UA)B infatti se per assurdo(UA)B=  UAB  int(B) assurdo. Osserviamo quindi che :(UA)B=banalmente=UBAB=banalmente=UAB c.v.d. 06-12-95 Dimostriamo che la chiusura dell’unione di insiemi è uguale all’unione dellechiusure degli insiemi.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoA,BXTs: A  B = A  BDimAl solito per dimostrare l’uguaglianza della tesi usiamo la doppia inclusione.Proviamo che A  B A  B :sappiamo che A A e B B  AB A  B e quindi passando alle chiusure si haA  B A  B.Proviamo che A  B A  B :banalmente AAB e BAB  A  A  B e B A  B  A  B  A  B c.v.d.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 96
    • Sia X spazio topologicoA1,..,AnX  n  nTs: clX  Ai =  clX(Ai)  i=1  i=1Dim (esercizio)Procediamo per induzione.L’asserto è vero per n=2 grazie alla proposizione precedente.Supponiamo adesso l’asserto vero) per n=k e di mostriamo che è vero per n=k+1:  k +1   k   k clX  Ai =clX Ak+1  Ai =per il caso n=2 si ha=clX(Ak+1)clX  Ai =per  i=1   i=1   i=1  k k +1l’Hp induttiva=clX(Ak+1)  clX(Ai)=  clX(Ai) c.v.d. i=1 i=1PROPOSIZIONE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoA,BXTs: A  B  A  BDimSe x0 A  B  che ogni intorno di x0 interseca AB  che ogni intorno di x0interseca sia l’insieme A che l’insieme B  x0 A e x0 B  x0A  B c.v.d.OSSERVAZIONE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]In generale l’inclusione inversa relativa alla tesi del teorema precedente non vale.Infatti consideriamo la retta reale con la topologia usuale (l’intorno di un punto è unsottoinsieme di R che contiene un intervallo aperto di centro il punto) e prendiamoad esempio come A l’insieme dei numeri razionali e come B l’insieme dei numeriirrazionali. Chiaramente AB=  A  B = adesso osserviamo che la chiusura diA e di B è tutto R e quindi segue che = A  B A  B =R. Ricordando adesso la relazione tra interno e chiusura di un ins. cioèint(A)= X (X A) dimostrata nell’ultimo teorema della lezione precedente e facendouso delle formule di De Morgan possiamo allora per dualità dimostrare le formuleriguardanti l’interno.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 97
    • Sia X spazio topologicoA,BXTs: int(AB)=int(A)int(B)DimXint(AB)=per la relazione tra interno e chiusura= X (A  B) =per le formule di DeMorgan= (X A)  (X B) =Errore. Largomento parametro èsconosciuto.= X A  X B =per la relazione tra interno echiusura=(Xint(A))(Xint(A))=per le formule di De Morgan=X(int(A)int(B))e quindi abbiamo ottenuto che Xint(AB)=X(int(A)int(B))  che ilcomplementare del membro di sinistra è uguale al complementare del membro didestra cioè int(AB)=int(A)int(B) e quindi abbiamo ottenuto quanto affermato.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoA1,...,AnX  n  nTs: int  Ai =  int(Ai)  i=1  i=1PROPOSIZIONE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoA,BXTs: int(A)int(B)int(AB)DimXint(AB)=per la relazione tra interno e chiusura= X (A  B) =per le formule di DeMorgan= X A  X B per una proposizione precedente di questa lezione X A  X B =facciamo due volte il complementare dei due membridell’intersezione = X X X A  X X X B =applicando la relazione tra interno echiusura=Xint(A)Xint(B)=per le formule di De Morgan=X(int(A)int(B))e quindi abbiamo ottenuto che:Xint(AB)X(int(A)int(B))passando allora al complementare (chiaramente l’inclusione si inverte) otteniamo:int(A)int(B)int(AB)che proprio quanto affermato nella tesi.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 98
    • OSSERVAZIONE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]In generale l’inclusione inversa relativa alla tesi della Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. non vale. Infatti consideriamo la retta reale con latopologia usuale (l’intorno di un punto è un sott.ins. di R che contiene un intervalloaperto di centro il punto) e prendiamo ad esempio come A l’ins. dei numeri razionalicioè A=Q e come B l’ins. dei numeri irrazionali cioè B=RQ. Sappiamo chel’interno dei razionali e degli irrazionali è l’ins. vuoto cioè int(A)=int(B)= e chel’interno della loro unione è R e quindi segue che =int(A)int(B)in(AB)=R. Dimostriamo adesso a la seguente importante caratterizzazione della chiusurarelativa che ci dice che dato uno sp. top. e un suo sott. ins. non vuoto allora lachiusura relativa di un insi. contenuto nel sott.ins. dello sp. top. è precisamenteuguale alla intersezione della chiusura dell’ins. rispetto alla topologia dello spaziocon il sott. insi.PROPOSIZIONE (Fondamentale formula) [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoAX,A, CATs: (C ) A=CADimProcediamo a solito dimostrando per doppia inclusione.Proviamo che (C ) ACA:sia x0 (C ) A chiaramente x0A poiché (C ) AA e quindi dobbiamo provare che x0Ce cioè che ogni intorno di x0 in X interseca C. Sia V intorno di x0 in X  VA èintorno di x0 in A e poiché x0 (C ) A  (VA)C=V(AC)=VC.Proviamo che CA (C ) A:sia x0CA e quindi dobbiamo provare che x0 (C ) A e cioé che ogni intorno di x0 inA interseca C. Sia W intorno di x0 in A e quindi W è del tipo W=VA con V intornodi x0 in X opportuno. Osserviamo che essendo x0CA  x0C  VC epoiché CA  AC=C  VC=V(AC)=(VA)C=WA c.v.d. Facendo uso della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. vogliamofare qualche osservazione sulla chiusura relativa. La prima cosa che osserviamo dallaErrore. Largomento parametro è sconosciuto. è che in generale la chiusuraAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 99
    • relativa di un insieme è contenuta nella chiusura dell’ins., volgliamo fare vedere nellaseguente proprietà che se si suppone che la chiusura dell’ins. sia contenuta nell’ins. acui si relativazza la topologia allora le due chiusure coincidono.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologicoAX e A chiuso, CA t.c. CATs: C= (C ) ADim (esercizio)Per Hp CA e pertanto si ha che:(C ) A=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=CA=C c.v.d.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologicoAX e A chiuso, CATs: C= (C ) ADim (esercizio)Teniamo presente che per Hp A è chiuso in X  A= A e quindi essendo CA allorapassando alle chiusure si ha che CA segue allora direttamente dalla proprietàErrore. Largomento parametro è sconosciuto. che C= (C ) A c.v.d.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologicoAX e A, CATs: se C è chiuso in X allora C è chiuso in ADim (esercizio)Dobbiamo che C è chiuso in A e quindi dimostriamo che C= (C ) A. Per Hp C è chiusoe quindi C=CA e pertanto si ha:(C ) A=Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=C=C c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 100
    • In generale della proprietà precedente non vale il vicevesa, ma come mostratoqui di seguito vale se si suppone che il sottospazio topologico si suppone chiuso.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologicoAX chiuso e non vuoto, CATs: se C è chiuso in A allora C è chiuso in XDim (esercizio)Dobbiamo provare che C è chiuso in X e quindi dobbiamo dimostrare che C= C.Osserviamo che:C=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.= (C ) A=essendo C chiuso inA=C c.v.d. In generale per l’interno non vale l’analoga della Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. ma vale solo la seguente inclusione.PROPOSIZIONE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologicoAX e A, CATs: int(C)AintA(C)Dim (per esercizio)Osserviamo che int(C) è un aperto di X e quindi per definizione di topologia relativaint(C)A è un aperto di A e poiché int(C)Aint(C)C  C intorno in A di ognipunto di int(C)A  int(C)AintA(C) c.v.d. Premettiamo alla seguente fondamentale nozione le seguenti semplici proprietàdell’immagine diretta e inversa di una funzione.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y insiemi non vuotiA,BX non vuotif:XY funzionevalgono allora le seguenti proprietà f(AB)=f(A)f(B) f(AB)f(A)f(B)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 101
    •  se f è iniettiva allora f(AB)=f(A)f(B) Af -1(f(A)) se f è iniettiva allora A=f -1(f(A)) f(A)f(B)f(AB) se f è iniettiva allora f(AB)=f(A)f(B) se AB allora f(A)f(B) se f è iniettiva e f(A)f(B) allora ABDimostrazione Proviamo che f(AB)f(A)f(B):sia yf(AB)  xAB t.c. y=f(x), allora poiché xAB  xA o xB f(x)f(A) o f(x)f(B)  y=f(x)f(AB)Proviamo che f(A)f(B)f(AB):banalmente AAB e BAB  f(A)f(AB) e f(B)f(AB) f(A)f(B)f(AB) c.v.d.Dimostrazione Sia yf(AB)  xAB  xA e xB  f(x)f(A) e f(x)f(B) y=f(x)f(A)f(B) c.v.d.Dimostrazione Per la  dobbiamo provare solo che f(A)f(B)f(AB). Sia quindi yf(A)f(B) yf(A) e yf(B)  x1A e x2B t.c. y=f(x1)=f(x2) ed essendo f iniettiva  x1=x2e pertanto y=f(x1)=f(x2)f(AB) c.v.d.Dimostrazione Sia xA  f(x)f(A) e quindi xf -1(f(A)):={xX : f(x)f(A)} c.v.d.Dimostrazione Per la  dobbiamo provare solo che f -1(f(A))A. Sia xf -1(f(A)) e quindif(x)f(A):={f(z) : zA}  zA t.c. f(x)=f(z) ed essendo f iniettiva deve essere chex=zA c.v.d.Dimostrazione Sia yf(A)f(B)  yf(A) e yf(B). Poiché yf(A)  xA t.c. y=f(x) ed essendof(x)=yf(B):={f(x) : xB}  xB e quindi xAB  y=f(x)f(AB) c.v.d.Dimostrazione Per la  dobbiamo provare solo che f(AB)f(A)(B). Preso quindi ad arbitrioyf(AB):={f(x) : xAB)}  xAB t.c. y=f(x). Per la  osserviamo che:B=f -1(f(B)):={xX t.c f(x)f(B)}e pertanto essendo xAB  xA e xB  f(x)A e xf(B)  xf(A)f(B).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 102
    • Dimostrazione f(A):={f(x) : xA}{f(x) : xB}=:f(B) c.v.d.Dimostrazione Preso ad arbitrio x0A  f(x0)f(A) ed essendo per Hp f(A)f(B)  che f(x0)f(B) x*B t.c. f(x*)=f(x0) ed essendo per Hp f iniettiva  che x0=x*B c.v.d.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y insiemi non vuotiA,BY non vuotif:XY funzionevalgono allora le seguenti proprietà f -1(AB)=f -1(A)f -1(B) f -1(AB)=f -1(A)f -1(B) f (f -1(A))=Af(X) (in particolare f (f -1(A))A) se f è surgettiva allora f (f -1(A))=A f -1(AB)=f -1(A)f -1(B) se AB allora f -1(A)f -1(B) se f è surgettiva e f -1(A)f -1(B) allora ABDimostrazione  -f 1(AB)={xX : f(x)AB}={xX : f(x)A o f(x)B}= - -={xX : f(x)A}{xX : f(x)B}=f 1(A)f 1(B) c.v.d.Dimostriazione  -f 1(AB)={xX : f(x)AB}={xX : f(x)A e f(x)B}= - -={xX : f(x)A }{xX : f(x)B}=f 1(A)f 1(B) c.v.d.Dimostrazione  -Proviamo che f (f 1(A))Af(X): - - -preso ad arbitrio yf (f 1(A)):={f(x) : xf 1(A)}  xf 1(A):={xX : f(x)A} t.c.y=f(x)A ed essendo banalmente y=f(x)f(X) allora necessariamente yAf(X). -Proviamo che Af(X)f (f 1(A)):preso ad arbitrio yAf(X)  yA e yf(X), essendo yf(X)  xX t.c. y=f(x) - -ed essendo yA allora y=f(x)A  xf 1(A)  y=f(x)f(f 1(A)) c.v.d.Dimostrazione Banalmente essendo f surgettiva allora per definizione f(X)=Y e quindi: -f (f 1(A))=per =Af(X)=AY=A c.v.d.Dimostrazione APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 103
    • - - -Proviamo che f 1(AB)=f 1(A)f 1(B): - - -sia xf 1(AB)  f(x)AB  f(x)A e f(x)B  xf 1(A) e xf 1(B) e questo - -significa che xf 1(A)f 1(B). - - -Proviamo che f 1(A)f 1(B)f 1(AB): - - - -sia xf 1(A)f 1(B)  xf 1(A) e xf 1(B)  f(x)A e f(x)B  f(x)AB questo - -significa che xf 1(A)f 1(B) c.v.d.Dimostrazione  - -f 1(A):={xX : f(x)A}={xX : f(x)B}=:f 1(B) c.v.d.Dimostrazione  - -Poiché f 1(A)f 1(B) allora applicando la f per la Errore. Largomento parametro - -è sconosciuto. si ha f(f 1(A))f(f 1(B)) e quindi essendo per Hp f surgettiva segue da che AB c.v.d.FUNZIONI CONTINUE TRA SPAZI TOPOLOGICI [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X e Y spazi topologici, f:XY funzione, x0X. Diciamo che f è continua nelpunto xo se:V intorno di f(x0) in Y U intorno di x0 in X t.c f(U)VLa funzione f si dice continua se è continua in tutto il suo dominio cioè X. Si osserviche abbiamo dato la nozione di continuità considerando la funzione definita in tuttolo spazio ambiente, nel caso in cui la f è definita in un sottospazio topologico di X ladefinizione di continuità chiaramente non varia bisogna però considerare gli intornirispetto alla topologia relativa di tale sottospazio cioè sia (A, A) sottospaziotopologico di (X,) (quindi AX e dove naturalmente A è la topologia relativa di A)e sia f:AY allora f è continua in xoA (tenendo presente quanto è stato detto) se:V intorno di f(x0) in Y UA A-intorno di x0 t.c f(UA)VRicordando adesso come è definita la topologia relativa di A A={BA : B} si haallora che UA A-intorno di x0 (cioè intorno del punto xo rispetto alla topologiarelativa di A) è del tipo UA=UA con U -intorno di x0 (cioè B t.c x0BU) equindi f è continua nel punto x0 se:V intorno di f(x0) in Y U intorno di x0 in X (cioè U è -intorno) t.c. f(UA)VAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 104
    • PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologiciAX, A, x0Af:XYTs: se f è continua in x0 allora f|A:AY è continua in x0Dim (esercizio)Dobbiamo provare che:V intorno di f(x0) in Y U intorno di x0 in X t.c. f(UA)VSia quindi V un intorno di f(x0) in Y segue allora dalla continuità di f in x0 che:U intorno di x0 in X t.c. f(U)Ve poiché banalmente UAU allora f(UA)f(U)V c.v.d. Il seguente teorema ci mostra che la continuità è una nozione locale (si ricordache in topologia, una proprietà si dice che vale localmente se vale per un intorno).TEOREMA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicisia x0X e UX intorno di x0f:UY funzione continuaTs: Ogni estensione su S della f é continua in x0Dim (esercizio)Sia quindi g:XY tale che g|U=f, e proviamo che:VY intorno di f(x0) WX intorno di x0 t.c. g(x)V xWFissato VY intorno di f(x0), essendo per Hp f:UY continua in x0 allora:U1X intorno di x0 t.c. f(x)V xU1USi osserva allora che banalmente per ottenere la tesi basta scegliere W:=U1U che èun intorno di x0 in quanto intersezione di intorni di x0 c.v.d.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicix0Xf:XY funzioneAllora f è continua in x0  WX intorno di x0 t.c. f|W:WY è continua x0Dim  (esercizio)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 105
    • Conseguenza immediata della prorietà Errore. Largomento parametro èsconosciuto. c.v.d.Dim  (esercizio)Conseguenza immediata del teorema Errore. Largomento parametro èsconosciuto. c.v.d.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicisia AX un aperto non vuotof:AY funzione continuaTs: Ogni estensione su S della f é continua su ADim (esercizio)Basta osserva che A é aperto e che quindi é intorno di ogni suo punto, ed applicare dipeso il corollario Errore. Largomento parametro è sconosciuto. c.v.d.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicisia {Ai} un ricoprimento aperto di Xsia {fi}iI una famiglia di funzioni con fi :AiY continua iIsia f:XY t.c. f |A i =fi iITs: f é continuaCOROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicisia {Ai} un ricoprimento aperto di Xsia f:XY t.c. f |A i continua iITs: f é continua Segue direttamente dal corollario Errore. Largomento parametro èsconosciuto. il seguente risultato, che ci dice che una funzione è continua in un puntofissato se coincide in un intorno di tale punto con una funzione continua nelmedesimo.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 106
    • PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicix0Xf,g:XY funzioni ed Wintorno di x0 t.c. f(x)=g(x) xWAllora f è continua in x0  g è continua in x0 La seguente proprietà ci assicura che una qualunque funzione è continua inogni punto di singolarità.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologiciAXf:AY funzionex0A punto di singolarità (cioé x0ADA)Ts: f è continua in x0Dim (per esercizio)Dobbiamo provare che:V intorno di f(x0) U intorno di x0 in X (cioè U è -intorno) t.c. f(UA)VFissato quindi V intorno di f(x0) Y, allora poiché x0ADA  U intorno di x0 t.cA{x0}U= ed ovviamente AU={x0} e quindi f(AU)=f(x0)V c.v.d.TEOREMA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicix0Xf:XY funzionesono equivalenti le seguenti affermazioni :(1) f è continua in x0(2) V intorno di f(x0) in Y  f -1 (V) è intorno di x0 in XDim (1)(2)Fissato V intorno di f(x0) in Y allora essendo per Hp f continua segue che UU(x0) - -t.c. f(U)V e quindi applicando la f 1 otteniamo Uf 1(V) e da quest’ultima per una -delle proprietà degl’intorni segue che f 1(V) è un intorno del punto x0 c.v.d.Dim (2)(1)Dobbiamo provare che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 107
    • V intorno di f(x0) in Y U intorno di x0 in X t.c f(U)V -ma ciò segue direttamente dall’Hp poiché basta scegliere U:=f 1(V) c.v.d.TEOREMA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X,Y spazi topologicif:XY funzionesono equivalenti le seguenti affermazioni :(1) f è continua(2) AY aperto  f -1 (A) è aperto in X(3) CY chiuso  f -1 (C) è chiuso in XDim (1)  (2)Sia A un aperto di Y dobbiamo provare che f -1(A) è aperto in X cioè che f -1(A) èintorno di ogni suo punto, fissiamo quindi un punto arbitrario x0f -1(A) e proviamoche f -1(A) è intorno di x0. Poiché f(x0)A allora essendo A aperto  A è intorno diogni suo punto e quindi in particolare del punto f(x0) ed essendo per Hp la f continuasu tutto A e quindi in particolare del punto f(x0), segue allora da Errore.Largomento parametro è sconosciuto. che l’insieme f -1(A) è intorno di x0 c.v.d.Dim (2)(3)Prendiamo C chiuso in Y e proviamo che f -1(C) è chiuso in X. Per la Errore.Largomento parametro è sconosciuto. osserviamo che: -f -1 (YC)=f 1(Y)f -1 (C)=Xf -1 (C) ()Essendo C chiuso  YC è aperto in Y segue allora dall’Hp che f -1 (YC) aperto in Xe quindi per la () f -1(C) è il complementare di un aperto in X ovvero f -1(C) è unchiuso in X c.v.d.Dim (3)  (1)Dobbiamo provare che la f è continua cioè che la f è continua in ogni punto x0arbitrario. Sia V un intorno di f(xo) in Y (dobbiamo provare che f -1 (V) è intorno di x0in X)  A aperto di Y t.c. f(x0)AV  x0f -1 (A)f -1 (V), proviamo che f -1(A) èaperto e che quindi f -1(V) è intorno di x0. Poiché A è aperto  YA è chiuso segue daAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 108
    • Hp che f -1(YA)=Xf -1(A) è chiuso  f -1(A) è aperto segue da questo e da quantodetto che f è continua in x0 c.v.d. Il seguente semplice teorema risulta uno strumento utile per stabilire lacontinuità di una data funzione tra spazi topologici, lavorando solo con i membri diuna fissata base dello spazio di arrivo.TEOREMA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano (X,X), (X,Y) spazi topologicisia aP(X) una sottobase della topologia Ysia f:XY funzione -Ts: f é continua  f 1(A)X AaDim  (esercizio)Sia Aa e poiché aY  AY segue allora dal teorema Errore. Largomento -parametro è sconosciuto. che f 1(A)X.Dim  (esercizio)Facciamo uso della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. e proviamoquindi che l’immagine inversa di un aperto é un apeto. Sia AY e poiché a é unabase allora sappiamo che: nj  i1,...,n , jH in a t.c. A= jH i A , A i, j j  1 i jSegue allora che: nj nj -1 -1 f (A)=f    Ai,j =   jH i 1  jH  f -1(Ai,j) i 1e pertanto essendo l’intersezione di un numero finito di aperti un aperto e l’unione di -aperti un aperto segue che f 1(A)X. Il seguente risultato ci garantisce che sotto certe condizione si può costruireuna funzione continua, ottenuta incollando un numero finiti di funzioni continuedefinite su dei chiusi.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 109
    • LEMMA DI INCOLLAMENTO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologicisiano X1,...,XnX chiusi non vuoti di X, che ricoporno Xsiano fi:XiY funzioni continue t.c i,j{1,...,n} con ij se zXiXj  fi(x)=fj(x)sia f:XY con f(x)=fi(x) xX e i=1,...,n t.c. xXiTs: f è continuaDim (esercizio)Ovviamente f é ben posta per l’Hp che i,j{1,...,n} con ij se zXiXj fi(x)=fj(x). Verifichiamo quindi la continuità della f. Adoperiamo il teorema Errore.Largomento parametro è sconosciuto. e quindi fissato un insieme chiuso CY, -facciamo vedere che f 1(C) é chiuso in X. Per Hp fi:XiY continua i=1,...,n segueallora dal teorema Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che f i1(C) échisuo in Xi i=1,...,n e poiché gli Xi sono chiusi di X segue allora dalla proprietàErrore. Largomento parametro è sconosciuto. che gli f i1(C) sono chiusi in X epertanto essendo l’unione finita di chiusi un chiuso ed osservando che:n n - f i1(C)=  {xXi : fi(x)C}=  {xXi : f(x)C}={xX : f(x)C}=f 1(C)i=1 i I i=1 -1segue che f (C) é un chiuso di X c.v.d.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologicisiano X1,...,XnX chiusi non vuoti di X, che ricoporno Xsiano fi:XiY continua i=1,...,nsia f:XY funzione t.c. f|X i =fi i=1,...,nTs: f è continuaCOROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologicisiano X1,...,XnX chiusi non vuoti di X, che ricoporno Xsia f:XY funzione t.c. f|X i continua i=1,...,nTs: f è continuaAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 110
    • Il seguente risutato é ricorrente in analisi e ci dice che assegnata una funzionedefinita su un chiuso allora la possiamo estendere ad un punto se esso é chiuso.COROLLARIO [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologiciAX chiuso e non vuotox0XA tale che {x0} é chiuso e sia y0Ysia f:AY funzione continuaTs: La funzione g:A{x0}Y con g(x)=f(x) xA e g(x0)=y0 é continuaDim (esercizio)Per Hp A e {x0} sono chiusi in X  A e {x0} chiusi in A{x0} segue alloradirettamente dal lemma di incollamento la tesi c.v.d.CONCETTO DI LIMITE TRA SPAZI TOPOLOGICI [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologici, AX, x0DA, y0Y, f:AY funzione diremo che y0è limite della funzione f al tendere di x ad x0 e scriveremo: lim f(x)=y0x  x0se accade che:V intorno di y0 in Y U intorno di x0 in X t.c f(x)V x(A{x0})USi osservi nella definizione di concetto di limite non si è detto “il limite di f” ma“limite di f“ poiché in questo contesto generale una funzione dotata di limite ne puòavere più di uno cioè non è detto che ci sia l’unicità del limite.Un esempio di non unicità è il caso in cui lo spazio Y ha la topologia indiscretaY={,Y}, in cui l’unico aperto non vuoto dello spazio è Y stesso allora in questasituazione data una funzione da A in Y allora i limiti per x tendente a x0DA sonochiaramente tutti i punti di Y (poiché gli intorni dei punti di Y sono Y stesso).SPAZIO TOPOLOGICO DI HAUSDORFF [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologico allora diciamo che X è uno spazio di Hausdorff secomunque presi due punti di X distinti allora esistono due intorni rispettivamente deidue punti la cui intersezione è vuota cioè:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 111
    • x,yX con xy  UU(x) e VU(y) t.c. UV=PROPRIETÀ (l’essere sp. di Hausdorff è una prop. ereditaria) [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologico di HausdorffAX, STs: la relativizzazione ad A della topologia di X è di HausdorffDim (esercizio)Indichiamo con A la relativizzazione ad A della topologia . Fissati quindi x0,y0Adobbiamo fare vedere che esistono due rispettivi A-intorni disgiunti, dei punti x0 ey0. Per Hp X è di Hausdorff e quindi:UX -intorno di x0 e VX -intorno di y0 t.c. UV=allora basta scegliere gli insiemi AU e AV, infatti banalmente per definizione ditopologia relativa questi sono dei A-intorni rispettivamente di x0 e y0 ed ovviamente:(AU)(AV)=A(UV)=A= c.v.d. Vogliamo dimostrare adesso che se il limite di una funzione esiste allora lacondizione sufficiente affinché questo sia unico è che la funzioni sia a valori in unspazio di Hausdorff.TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE IN UNO SP. DI HAUSDORFF [0612/Errore . Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y sp. top. con Y di HausdorffAXx0DA (cioè x0 di accumulazione per A)f:AY funzioneTs: se  lim f(x) è unico x  x0APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 112
    • DimSupponiamo che la funzione f per x tendente a x0 abbia due limiti che indichiamo cony0 e y1 e supponiamo per assurdo che questi siano distinti cioè y0 y1 e scritto insimboli questo significa che: lim f(x){y0,y1} x  x0Poiché per Hp Y è uno spazio topologico di Hausdorff si ha allora che:V intorno di y0 in Y e W intorno di y1 in Y t.c. VW=E poiché si è supposto che esistono due limiti si ha allora dalla def. di limite che:U0 intorno di x0 in X t.c f(x)V x[(A{x0})U0]U1 intorno di x0 in X t.c f(x)W x(A{x0})U1Se consideriamo adesso l’intorno di x0 dato dall’intersezione U0U1 (ché non vuotopoiché contiene almeno x0) allora essendo per Hp il punto x0 di accumulazione per A che (A{x0})U0U1=  x(A{x0})U0U1 e quindi:x(A{x0})U0  f(x)V  VWx(A{x0})U1  f(x)We questa è una contraddizione poiché si aveva che VW= c.v.d. Dimostriamo adesso che c’è una relazione tra continuità in un punto e il fattoche la funzione abbia limite in quel punto.TEOREMA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y sp. top.AXx0ADA (cioè x0 di accumulazione appartenente ad A ovvero x0 non è punto singolare)f :AY funzioneSono equivalenti:(1) f è continua in x0 (chiaramente rispetto alla topologia relativa di A)(2)  lim f(x)=f(x0) x  x0Dim (1)(2)Sia V intorno di f(x0) segue allora dalla continuità della f in x0 che:U intorno di x0 in X tale che f(x)V xUAbanalmente la relazione precedente continua valere se non considero il punto x0 cioèf(x)V xUA{x0} e questo dimostra la (2)Dim (2)(1)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 113
    • Poiché per Hp  il limite di f nel punto x0 si ha allora dalla definizione di limite che:V intorno di f(x0) in Y U intorno di x0 in X t.c. f(x)V xUA{x0}ma noi vogliamo provare che f(x)V xUA e chiaramente questo è vero perché : f(x)  V se x  U  A {x0} per l Hp che esiste il limite in x0 f(x)  V se x  x0 poichè V è intorno di f(x0)e questo dimostra la (1).LIMITE DI UNA SUCCESSIONE ORDINARIA DI PUNTI [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico diciamo allora successione ordinaria in X una funzione deltipo :NX. Una successione ordinaria si indica con la notazione:{xn}nN dove xn :=(n)Si ha allora che il concetto di limite di una funzione in un punto si può estendere inmaniera ovvia al limite di una succ. di punti in uno spazio topologico. E quindidiremo che xX è il limite della succ. {xn}nN o che questa converge verso x escriveremo: lim xn=x (oppure {xn}   x)  nnse accade cheU intorno di x N t.c. xnU n>cioé {xn}nN converge verso x se comunque preso un intorno del punto x allora apartire da un certo indice esistono infiniti termini della successione che cadononell’intorno.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia {nk}kN successione in N crescenteTs: nkk kNDim (ovvia)Procediamo per induzione. Banalmente l’asserto è vero per n=0 poiché n00.Verifichiamo l’asserto per n=1. Supponiamo per assurdo che n1<1 e quindi essendon1N deve necessariamente essere che n1=0  n1n0 e siamo ad un assurdo poichéla successione naturale è {nk}kN crescente. Supponiamo adesso l’asserto vero pern=k e dimostriamo che vale per n=k+1. Osserviamo allora che:nk+1>per la crescenza>nkper l’Hp induttivakAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 114
    • e quindi nk+1>k  (essendo k,nk+1N) nk+1k+1 c.v.d.PROPRIETÀ [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicox*X{xn}nN successione ordinaria convergente verso x*Ts: ogni estratta della successione {xn}nN converge a x*Dim (esercizio)Sia quindi {nk}kN una successione naturale strettamente crescente e consideriamo lacorrispondente estratta { xn }kN e proviamo quindi che converge a x* ovvero che: kUX intorno di x* N t.c. x n k U kFissiamo quindi UX intorno di x*, allora poiché la successione {xn}nN converge ax* si ha che:N t.c. xnU n ()Allora preso k per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. nkk> equindi per la () x n k U c.v.d.ORDINAMENTO FILTRANTE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Premettiamo all’argomento successivo il seguente concetto. Sia D un insiemeparzialmente ordinato cioè sia in D è assegnata una certa relazione d’ordine  (cioèuna relazione riflessiva, transitiva e antisimmetrica ) diciamo allora che tale relazioneè filtrante se:,D D t.c.  e Ad esempio l’usuale relazione d’ordine di  dei reali (o dei razionali o degli interirelativi o dei naturali) è evidentemente filtrante (è ovvio poiché presi due numeri realiesiste sempre un altro numero reale che li maggiora entrambi). Un altro esempio direlazione filtrante si ottiene se prendiamo X insieme non vuoto qualsiasi econsideriamo una famiglia A di insiemi di parti di X (cioé AP(X)) che sia chiusarispetto all’unione finita (cioé se A,BA allora ABA) e come noto su questafamiglia si può definire un ordinamento parziale definito dalla relazione d’inclusione(cioè la relazione d’ordine cosi definita AB  AB). Si ha allora banalmente chetale relazione è pure filtrante infatti se prendiamo due insiemi A,BA allora bastaAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 115
    • considerare l’insieme AB che è contenuto nella famiglia A essendo questa chiusarispetto all’unione finita ed ovviamente AAB e BAB ovvero AAB eBAB. Ancora un altro esempio di relazione filtrante al quale faremo spessoriferimento, si ottiene se prendiamo X insieme non vuoto qualsiasi e consideriamouna famiglia A di insiemi di parti di X (cioé AP(X)) che sia chiusa rispettoall’intersezione finita (cioé se A,BA allora ABA) e come noto su questafamiglia si può definire un ordinamento parziale definito dalla relazione AB AB e banalmente tale relazione è pure filtrante infatti se prendiamo due insiemiA,BA allora basta considerare l’insieme AB che è contenuto nella famiglia Aessendo questa chiusa rispetto all’intersezione finita ed ovviamenteABA eABB ovvero ABA e ABB.SUCCESSIONI GENERALIZZATE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Dato un insieme X intendiamo per successione generalizzata in X una funzione:DX dove D è un insieme parzialmente ordinato e la relazione d’ordine definita inesso è filtrante. Assumiamo la notazione di scrivere x in luogo di () (cioèabbiamo posto x:=()) e quindi in perfetto accordo alla notazione che noiriserviamo per le successioni ordinarie si indica la successione generalizzata conl’usuale scrittura:{x}DIn seguito vedremo che le successioni caratterizzano gli spazi topologici e diremo chetali caratterizzazioni sono caratterizzazioni sequenziali. Si osserva subito che lesuccessioni ordinarie sono un caso particolare di successioni generalizzate cioèrappresenta il caso particolare in cui D=N.LIMITE DI UNA SUCCESSIONE GENERALIZZATA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico, {x}D successione generalizzata, x0X. Diciamo che x0 èil limite della successione generalizzata (o che la successione generalizzata convergea x0) e scriviamo:x0= lim x (oppure {x}   x)  n se accade che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 116
    • U intorno di x0 in X (un indice) D t.c xU  con Dcioé {x}nN converge verso x se comunque preso un intorno del punto x allora apartire da un certo indice esistono infiniti termini della successione che cadononell’intorno. Chiaramente come si osserva la nozione di convergenza per unasuccessione generalizzata è un concetto topologico e quindi nel caso in cui nellospazio X siano presenti più topologie allora bisogna specificare rispetto a qualetopologia la successione generalizzata converge. Cioè ad esempio supponiamo che 1e 2 siano due topologie su X e che la succ. generalizzata {x}D in X convergaverso x0 rispetto alla topologia 2 diciamo allora per esprimere questo fatto che:x0= lim x rispetto alla topologia 2 oppure equivalentemente possiamo dire che {x}D è 2-convergente a x0 e scriviamo (introducendo un nuovo simbolo) {x}  x0. Vogliamo verificare subito che la nozione di convergenza è una nozioneintrinseca cioé se X è uno spazio topologico, AX e x0A allora dire che una datasuccessione generalizzata {x}D in A è convergente ad x0 equivale ad affermare che{x}D converge ad x0 in A munito della topologia relativa.TEOREMA [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) uno spazio topologicoAX, A munito della topologia relativa A:={AY : Y}siano {x}D in A e x0Aallora {x}D converge ad x0 in (X,)  {x}D converge ad x0 in (A,A)Dim  (esercizio)Dobbiamo provare che:WA intorno di x0 in A D t.c.  xWSia quindi WA un intorno di x0 in A, che per definizione di topologia relativa è deltipo W=AU con UX opportuno intorno di x0 e pertanto essendo per Hp {x}Dconvergente ad x0 in X si ha che:D t.c.  xUed essendo {x}D in A segue che xUA=W  c.v.d.Dim  (esercizio)Dobbiamo provare che:UX intorno di x0 in X D t.c.  xUAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 117
    • Sia quindi UX un intorno di x0 in X, consideriamo allora W:=AU che perdefinizione di topologia relativa è un intorno di x0 in A e pertanto essendo per Hp{x}D convergente ad x0 in A si ha che:D t.c.  xW:=AUU c.v.d. Dimostriamo adesso che se X è uno spazio di Hausdorff allora ognisuccessione generalizzata in X che ammette limite ha unicità di limitePROPOSIZIONE [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico di HausdorffDX insieme a cui è assegnata una relazione di ordinamento filtrante{x}D successione generalizzata in XTs: se esiste il limite allora tale limite è unicoDimSupponiamo che esistano due limiti cioè x= lim x e y= lim x e sia per assurdo xy.  Poiché per Hp X è sp. di Hausdorff  U intorno di x e V intorno di y t.c. UV=.Osserviamo che:essendo x limite di {x}D 1D t.c. xU 1 analogamenteessendo y limite di {x}D  2D t.c. xV 2Osserviamo adesso che essendo definita in D una relazione di ordinamenti filtranteallora D t.c. 1 e 2 e quindi per tale  valgono entrambe le relazioniprecedenti cioè xUV  UV e questo è un assurdo c.v.d. Usiamo le successioni generalizzate per caratterizzare il limite delle funzioni.TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DEI LIMITI [0612/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologiciAXx0DA, y0Yf: AY funzioneLe seguenti due condizioni sono equivalenti:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 118
    • (1) lim f(x0)=y0 x  x0(2) {x}D in A{x0} t.c. lim x = x 0  lim f(x) = y 0  Dim (1)  (2)Consideriamo una qualunque successione generalizzata {x}D in A{x0} checonverge al punto x0, e proviamo quindi che la successione generalizzata {f(x)}Dconverge verso y0, cioé:V intorno di y0 in Y D t.c. f(x)V Fissato quindi V intorno di y0 allora segue da Hp che:U intorno di x0 t.c f(x)V xUA{x0} ()e quindi poiché la successione generalizzata {x}D convergente a x0 segue allorache in corrispondenza dell’intorno U di x0:A t.c. xU Osserviamo adesso che essendo {x}D in A{x0} (cioè gli x sono distinti da x0)allora segue che xUA{x0}  segue da () che f(x)V  c.v.d.Dim (2)  (1)Supponiamo per assurdo che non valga la (1) cioè che y0 non è il limite dellafunzione f per x tendente a x0 e questo come sappiamo vuol dire equivale adaffermare che:V intorno di y0 tale che U intorno di x0 xUUA{x0} t.c. f(xU)V ()Consideriamo adesso U(x0) cioè la famiglia di tutti gli intorni del punto x0 eintroduciamo in questa famiglia la seguente relazione che sappiamo essere diordinamente parziale:U,WU(x0) UW  WUchiaramente come già osservato in Errore. Largomento parametro è sconosciuto.tale ordinamento parziale è pure filtrante essendo per una delle proprietà degli intornila famiglia U(x0) chiusa rispetto all’intersezione finita (cioé se U,VU(x0) eUVU(x0)). Scegliamo pertanto D=U(x0) e consideriamo la successionegeneralizzata {xU}UD definita dalla (). Verifichiamo che il limite della successione{xU}UD è il punto x0 e applicando la definizione questo significa che fissato ~ ~ ~WU(x0) dobbiamo trovare un indice U D=U(x0) tale che U U cioè U U allora ~ ~deve accadere che xUW. Prendiamo come U l’intorno W stesso cioè poniamo U =We questa è chiaramente una buona scelta infatti, se consideriamo un UU(x0) t.c ~ ~U U =W cioè U U allora per come abbiamo costruito la successione {xU}UD segue ~che xU sta nel corrispondente U cioè xUU ma essendo U U =W  xUW e quindiAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 119
    • come volevasi dimostrare la successione {xU}UD converge al punto x0. E quindisegue da Hp che: lim f(xU)=y0 Ue pertanto in corrispondenza del intorno V di y0 si ha che:WU(x0) t.c. f(xU)W UWe questo per la () è un assurdo c.v.d. 11-12-95 L’ultimo teorema fatto nella lezione precedente cioè il teorema di caratterizzazione dellimite ci permette dare assieme alla relazione che esiste tra limite e continuità un teorema dicaratterizzazione per la continuità.TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI CONTINUE [1112/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Siano X ed Y spazi topologiciAX, x0ADA (affinché abbia senso parlare di limite e di continuità)f:AY funzioneSono equivalenti le seguenti affermazioni:(1) f è continua in x0(2) Per ogni successione generalizzata {x}D in A{x0} convergente verso x0 si ha che la successione generalizzata {f(x)}D converge verso f(x0) cioè in simboli   questo equivale a scrivere lim f(x)=f  lim x     OSSERVAZIONE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Banalmente osserviamo che A=ADA(ADA) allora nel precedente teorema non è restrittivoprendere x0 ADA poiché se x0ADA  x0 punto di singolarità e quindi come già osservato intal caso la f è banlmente continua in x0. Osserviamo inoltre che chiaramente la (2) si può esprimereequivalentemente anche considerando tutto A (invece di A{x0}) cioè possiamo introdurrenell’enunciato del teorema una terza condizione identica alla (2) in cui però si consideranosuccessioni generalizzate che hanno per corrispondente anche il punto x0.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 120
    • FUNZIONE APERTA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologici e f:XY funzione. Diciamo allora che funzione f è aperta se f èmappa di aperti cioè se:AX aperto  f(A) aperto in YFUNZIONE CHIUSA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologici e f:XY funzione .Diciamo che la funzione f è chiusa se f è mappadi chiusi cioè se:CX chiuso  f(C) chiuso in YPROPRIETÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologicif:XY apertaUX e x0UTs: se U è intorno di x0 allora f(U) è intorno di f(x0 )Dim (esercizio)Poiché U è un intorno di x0 AX aperto t.c. x0AU e quindi applicando la f otteniamo chef(x0)f(A)f(U) e quindi essendo f aperta  f(A) aperto di Y e pertanto f(U) intorno di f(x0) c.v.d.OMEOMORFISMO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologici. Una funzione f:XY si dirà omeomorfismo se essa è una biezionecontinua, con inversa continua (chiaramente ha senso parlare d’inversa per la biettività di f). Se tradue spazio topologici esiste un omeomorfismo allora i due spazi si dicono omeomorfi. Dal punto divista della topologia due spazi omeomorfi si possono identificare, cioé se uno dei due spazi gode diuna certa proprietà topologica allora anche l’altro gode della medesima proprietà. Si verifica chebanalmente la relazione di omeomorfismo è di equivalenza. Un esempio di omeomorfismo notevoleè il seguente, nel quale viene anticipato un certo risultato che per ora prendiamo per buono, poichénon abbiamo ancora gli strumenti adatti per dimostrarlo. Data una funzione continua definita traspazi topologici allora il suo grafo è omeomorfo al suo dominio cioè siano X ed Y sp.top., AX,f:AY continua allora il sottoinsieme G(f):={(x,f(x)) : xA} di XY è omeomorfo ad A. Perrendere di più l’idea possiamo considerare la situazione elementare cioè possiamo considerare unafunzione a valori reali di variabile reale f:]a,b[ R continuaG(f) è un sottoinsieme di R 2 che possiamo yAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 121
    • pensare con la topologia relativa di R 2 (dove latop usuale di R 2 o in generale quella di R n èquella dove gli intorni di punto sono tutti e soliquelli che contengono una palla aperta centrata nelpunto). Sia allora che G(f) R 2 è omeomorfoall’intervallo ]a,b[ di R.ESERCIZIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Consideriamo lo spazio R con la topologia usuale e consideriamo in esso due intervalli I 1 =[a,b] eI2 =[c,d] chiusi e limitati con la relativizzazione della topologia usuale, proviamo allora che questidue spazi sono omeomorfi cioè dobbiamo trovare un omeomorfismo :I1 I2. Chiaramentel’omeomorfismo  cercato essendo definito tra due intervalli di R deve essere una funzionelineare cioè del tipo (t)=t+ (che è chiaramente biettiva, continua e con inversa continua) e deveessere inoltre tale da soddisfare le condizioni (a)=c e (b)=d (quindi  lo scegliamo crescenteinvece se imponiamo (a)=d e (b)=c otteniamo  decrescente) e quindi questo equivale arisolvere il seguente sistema in  e : c 1 a c a +  = c d 1 c-d b d ad - cb risolvendo si ha  =  =  b +  = d a 1 a -b a 1 a-b b 1 b 1 c-d ad - cbe quindi l’omeomorfismo cercato è (t) =  t + a -b a -bSi osserva subito che si è scelta la strada più lunga, poiché basta osservare che i due intervalli I1 e I2sono omeomorfi entrambi all’intervallo [0,1] tramite gli omeomorfismi 1:[0,1][a,b] con1(t):=a+tb e 2:[0,1][c,d] con 2(t):=c+td, e pertanto avendo già osservato che la relazione diomeomorfismo è di equivalenza si ha allora che I1 e I2 risultano omeomorfi.TEOREMA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano (X,  ) ed (Y, ) spazi topologici X Yf:XY bigezione continuasono allora equivalenti le seguenti affermazioni:(1) f è un omeomorfismo(2) f è apertaAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 122
    • (3) f è chiusaDim (1)(2) (esercizio)Per Hp f è una bigezione, diciamo allora g la sua inversa cioèg:YX con g:=f-1che come sappiamo è quell’unica funzione che soddisfa:f(g(y))=y yYe pertanto se prendiamo un qualunque HX sottoinsieme di X allora l’immagine diretta di Htramite f è uguale all’immagine inversa di H tramite la g cioè:f(H)=g-1(H) ()Per Hp g è continua e quindi per il teorema [0612/12] questo è equivalente ad affermare chel’immagine inversa di un aperto di X tramite g è un aperto di Y e questo per la () significaproprio che la funzione f è aperta c.v.d.Dim (2)(3) (esercizio)Sia CX un chiuso e quindi dobbiamo provare che f(C) è un chiuso di Y. Consideriamo XC che èun aperto e quindi essendo f aperta  f(XC) aperto di Y, osserviano allora che:f(XC)=per l’iniettività=f(X)f(C)=per la suriettività=Yf(C)e quindi Yf(C) aperto di  f(C) chiuso di Y c.v.d.Dim (3)(1) (esercizio) -Posto g:f 1:YX, dobbiamo provare che g è continua e questo per una caratterizz. fatta equivale adimostrare che l’immagine inversa di un chiuso di X è un chiuso di Y. In una implicazioneprecedente abbiamo già osservato che se HX allora:f(H)=g-1(H) ()Sia C un chiuso di X e quindi essendo f chiusa  f(C) chiuso di Y e per la () questo significa cheg-1(H) è un chiuso di Y c.v.d.TOPOLOGIA SU UNO SPAZIO DEFINITA DA UNA FUNZIONE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Supponiamo che (X,  X ) sia sp.top. e Y insieme non vuoto (cioè Y) e sia f:XY una funzioneallora c’è una topologia naturale su Y associata ad f ed X dichiarando che BY è aperto in Y  f -1 (B) è aperto in X cioè formalmente questo significa che  :={BY : f Y -1 (B)  X} è una topologiain YDimostrazioneAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 123
    • Dobbiamo provare che la famiglia  Y di insiemi di Y è una topologia di Y e quindi dobbiamoverificare le tre proprietà degli spazi topologici.Verifichiamo che ,Y : Ychiaramente   Y poiché f-1()= X (essendo X spazio topologico). Analogamente Y  Y -1poiché f (Y):={xX : f(x)Y}=X . XVerifichiamo la stabilità rispetto all’unione:dobbiamo provare che la famiglia  Y è chiusa rispetto alla unione qualunque: -1sia {Bi}iI una famiglia dove Bi  Y iI cioè f (Bi) X iI allora dalle proprietà delle -  applicazioni segue che f 1  Bi =  f -1(Bi)X (essendo X sp.top.) e quindi si ha  Bi Y  i I  i I iIVerifichiamo la stabilità rispetto all’intersezione finita:dobbiamo provare che l’intersezione di un numero finito di elementi di  Y sta ancora in  Y e quindicome sappiamo questo equivale a provare che l’intersezione di due elementi di  Y sta ancora in Y(poiché questo caso lo si può estendere al caso n per induzione). Siano quindi B1,B2  Y eosservando che f -1 (B1B2)=f -1 (B1)f -1 (B2)  X segue allora dalla definizione di  Y cheB1B2 . YE quindi  è una top. su Y Y c.v.d. Come dimostra la seguente proprietà nello schema del risultato precedente la f è continua.PROPRIETÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,  ) spazio topologico XY insieme non vuotof:XY funzione :={BY : f (B) } Y -1 XTs: f:(X, )(Y, ) è continua X YDimChiaramente f è continua rispetto alle topologie in questione poiché per costruzione l’immagineinversa di un aperto di Y tramite f è un aperto in X infatti se B è un aperto di Y cioè B  Y allorasegue banalmente dalla definizione di  Y che f -1(B)  X e come sappiamo questa condizioneequivale ad affermare che f è continua c.v.d.COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,  ) spazio topologico XAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 124
    • Y insieme non vuotof:XY biezione :={BY : f (B) } Y -1 XTs: f:(X, )(Y, ) è un omeomorfismo X YDimPer la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. possiamo provare equivalentemente chef:XY è continua ed aperta. La continuità della f segue direttamente dalla proprietà precedente.Dimostriamo adesso che f è aperta e quindi preso A  X e posto B=f(A), bisogna provare cheB  , ma questo è banalmente vero infatti si ha subito che f Y -1 (B)=f-1(f(A))=A  X e quindi seguedalla definizione di  che B  f aperta Y Y c.v.d. Ritorniamo adesso alle successioni generalizzate e vogliamo con queste caratterizzare glispazi topologici Consideriamo quindi il seguente teorema di caratterizzazione dei punti di aderenzache ci dice che dato un sottoinsieme di uno spazio topologico allora condizione necessaria esufficiente affinché un punto appartenga alla chiusura dell’insieme è che esista almeno unasuccessione nell’insieme che converga a questo punto.TEOREMA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoAXx0XSono equivalenti le seguenti affermazioni:(1) x0 A (cioè x0 punto di aderenza per A)(2){x}D successione generalizzata di elementi di A che converge verso il punto x0Dim (1)(2)Sia x0  A e consideriamo la famiglia degli intorni del punto x0 cioè U(x0) che come si è visto nelladimostrazione dell’ultimo teorema della lezione precedente può essere riordinata dalla relazione U1 U2  U2 U1 che è una relazione d’ordine filtrante.Poiché x0 A allora:UU(x0) UA  xUUAe quindi nasce la successione generalizzata {xU}UD indicizzata da D=U(x0).Proviamo che tale succ. generalizzata converge al punto x0 è quindi dobbiamo provare checomunque preso un intorno del punto x0 esiste un indice appartenente a D al di là del quale tutti ipunti della succ. cadono nell’intorno del punto x0 cioè in simboli: ~ ~V intorno di x0  U D t.c xUV U  UAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 125
    • ~Sia quindi V un arbitrario intorno di x0 e scegliamo come U proprio l’intorno V si ha allora che ~ ~ ~preso UU(x0) con U U  U  U  U U =V e quindi essendo per costruzione xUU  xUV.Dim (2)(1)Sia {x}D un succ. generalizzata in A tale che lim x = x 0 dobbiamo provare che x0  A e quindi dobbiamo provare che ogni intorno del punto x0 interseca A, cioè che:UU(x0) UASia U intorno di x0, poiché per Hp {x}D converge a x0   D t.c D con   xUma essendo {x}D in A  xA  xUA  UA  x0 A .COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoAXsono allora equivalente:(1) A è chiuso(2) {x}D in A convergente  lim xA Dim (1)(2) (esercizio)Dobbiamo provare che ogni succ. general. in A convergente ha limite in A. Sia quindi:{x}D in A e x*X t.c. lim x=x* segue allora dal teorema precedente che x* A , ma per Hp A= A  x*A c.v.d.Dim (2)(1) (esercizio)Proviamo che A= A e quindi poiché come sappiamo vale sempre A A dobbiamo provare solo cheA A. Sia x0 A allora per Errore. Largomento parametro è sconosciuto. segue che {x}Din A conv. a x0 e quindi dall’Hp si ha che deve necessariamente essere che x0A c.v.d.COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicox0X{x}D in X convergente a x0Ts: x0 appartiene alla chiusura del sostegno di {x}DDim (esercizio)Indichiamo con A il sostegno di {x}D cioè A={x : D}. Dobbiamo provare che il puntox0 A . Ovviamente per definizione A è un chiuso e quindi per il corollario precedente contiene illimite di ogni successione in esso e quindi osservando che A A allora in particolare A contiene illimite di {x}D ovvero x0 A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 126
    • Vogliamo adesso dimostrare una importante caratterizzazione della topologia. Tale criterioci permette di confrontare due topologie su uno spazio topologico confrontando le convergenzedelle sue successioni generalizzate.TEOREMA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X , 1 2 topologie su XAllora le seguenti due condizioni sono equivalenti :(1) 1 meno fine 2 cioè  1 2 (insiemisticamente   ) 1 2(2) ogni successione generalizzata in X  -convergente è anche  -convergente 2 1Dim (1)  (2)Sia {x}D una successione generalizzata in X  -convergente ad un punto x X, proviamo allora 2 0che tale successione generalizzata è  -convergente a x . Sia U1 0 -intorno 1 di x0 ed essendo per Hp     U  -intorno di x e poiché sempre per Hp 1 2 2 0 {x }   x    D t.c. x U   {x }  x c.v.d.  0   0Dim (2)  (1)Dobbiamo provare che  1  -aperto è un  -aperto e questo come sappiamo 2 cioè che ogni 1 2equivale a provare che ogni  -chiuso è un  -chiuso. Sia quindi C un 1 2 -chiuso, dimostriamo allora che C è un  -chiuso facendo uso del criterio Errore. Largomento 1 2parametro è sconosciuto.. Consideriamo pertanto una arbitraria: {x}D in C e x0 X t.c. {x}   x0     e facciamo vedere che x0C. Poiché {x}   x0 segue allora da Hp che {x}  x0 e poiché  C è  -chiuso 1 segue allora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che x0 C c.v.d.COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X , topologie su X 1 2(1)  = 1 2(2) una successione generalizzata è  -convergente  è  -convergente 1 2BASE FONDAMENTALE DI INTORNI DI UN PUNTO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 127
    • Sia X spazio topologico x0 X. Una famiglia G di intorni del punto x0 (cioè GU(x0)) si dice basefondamentale di intorni del punto x0 se:VU(x0) UG tale che UVBanalmente U(x0) è una base fondamentale di intorni di x0, poiché preso ad arbitrio VU(x0)allora basta scegliere U:=V e si ha ovviamente UV.SPAZIO TOPOLOGICO I-NUMERABILE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Diciamo che uno spazio topologico X soddisfa il I assioma della numerabilità o brevemente che èI-numerabile (si legge primo numerabile) se accade che xX esiste una base fondamentale diintorni di x al più numerabile. Come vedremo in seguito per tali spazi nella eventualità che sidebbano considerare delle successioni si possono considerare allora delle successioni ordinarieanziché successioni generalizzate, o come si dice anche si può fare uso dei criteri sequenziali (cioèquei criteri in cui intervengono le successioni ordinarie). Vedremo che un importante classe di spazitopologici I-numerabili è costituita dagli spazi metrici.SEQUENZIALE CONTINUITÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologici, x0X, f:XY funzione. La funzione f si dice sequenzialmentecontinua in x0 se per ogni successione ordinaria in X convergente verso x0 la successione ordinariain Y definita dalle immagini tramite f della successione di partenza converge a f(x0) cioè f èsequenzialmente continua se:{xn}nNx0 allora {f(xn)}nNf(x0)Ovviamente diciamo che la f è sequezialmente continua in X se lo è in ogni punto di X. Ognifunzione continua in un punto x0 è sequenzialmente continua in x0 ma non vale il viceversa. Lacondizione sufficiente affinché valga il viceversa come si dimostra nella seguente prop. è che lospazio X ammetta una base fondamentale G di intorni di x0 al più numerabile (cioè equipotente aN ovvero :NG biettiva).PROPOSIZIONE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano X ed Y spazi topologicix0X in cui X ammette una base fondamentale di intorni al più numerabilef:XY funzioneAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 128
    • Ts: se f è sequenzialmente continua in x0 allora f continua in x0DimSia H:={Vn}nN base fond. di intorni di x0 al più numerabile che possiamo supporre non crescentecioè n NV n+1 Vn N con jk  V V ) dove chiaramente l’ordinamento  (o se si vuole j,k k jè quello definito dall’inclusione  (cioè VkVj  VkVj). Infatti se la famglia H non èoriginariamente non crescente allora essendo la famiglia degli intorni di x0 che abbiamo denotatocon U(x0), chiusa rispetto all’intersezione finita, sappiamo per una proprietà fatta che:G:={Un}nN in U(x0) t.c. UnVn n NeU n+1Un N n ()ed ovviamente tale famiglia numerabile G è una base fondamentale di intorni di x0 infatti preso unarbitrario UU(x0) allora essendo H una base fondamentale di intorni di x0 si ha che nN t.c.VnU ma per la () UnVn e quindi UnU. Quindi consideriamo G={Un}nN che è per quantovisto una base fond. di intorni di x0 non crescente. Supponiamo per assurdo che f non sia continuain x0, cioé:V intorno di f(x0) t.c. UU(x0) xU t.c. f(x)Ve poiché GU(x0) segue che:n N x U n n tale che f(xn)Vallora la succ. {xn}nN cosi costruita conv. a x0, infatti se prendiamo un qualunque U intorno di x0poiché G={Un}nN è una base fond. di intorni di x0 allora  N t.c UU inoltre essendo G unasucc. non crescente  Un U cioè UnU n  e quindi essendo xnUn si ha allora che xnUnUU n   xnU n   {xn}nN conv. verso x0. Segue allora dalla sequenzialecontinuità di f che la succ. {f(xn)}nN converge a f(x0), ma f(x0)V (poiché V è intorno di f(x0)) equesta chiaramente è un assurdo per il fatto che tutti i termini della succ. {f(xn)}nN stavano al difuori di V.COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico I-numerabileY spazio topologicof:XYAllora f è continua se e solo se è sequenzialmente continuaTEOREMA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXx0X nel quale X ammette una base fondamentale di intorni al più numerabileAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 129
    • Sono allora equivalenti le seguenti affermazioni:(1) x0 A(2) una successione ordinaria {xn}nN in A che converge a x0 cioè lim xn=x0 nDim (1)(2)Sia {Un} (scrittura abbreviata di {Un}nN ) una base fondamentale di intorni di x0 che comesappiamo si può supporre non crescente. Poiché per Hp x0 A e quindi:n N AU   nN x AU n n nproviamo che la {xn}nN così costruita converge a x0 e quindi bisogna provare che comunque N t.c x U n. Sia quindi U intorno di x in X, poiché la {U }fissato U intorno di x0 in X  n 0 nè base fondamentale di intorni di x  N t.c U U ed inoltre essendo {U } non crescente 0  ncioè U n+1U nN  U U n e quindi U U U n e poiché per n n  n costruzione x U nN  x U n c.v.d. n n nDim (2)(1)Evidentemente tale implicazione prescinde dalla I-numerabilità, infatti per Hp {xn}nN in Aconvergente a x0. E quindi osservando che una successione ordinaria è una particolare successionegeneralizzata segue allora dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che x0 ACOROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologico I-numerabileAXsono allora equivalente:(1) A è chiuso(2) {xn}nN in A convergente  lim xnA nDim (1)(2) (esercizio)Evidentemente tale implicazione prescinde dalla I-numerabilità, infatti per Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. ogni successione generalizzata in A convergente ha limite in A e quindiin particolrare questo vale per le successioni ordinarie c.v.d.Dim (2)(1) (esercizio)Poiché vale sempre A A , dobbiamo provare che A A. Sia x0 A allora per Errore.Largomento parametro è sconosciuto. {xn}nN in A convergente ad x0 segue allora dall’Hp chex0A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 130
    • Facendo uso della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. e di Errore.Largomento parametro è sconosciuto. segue direttamente il seguente altro criterio sequenzialeche è un teorema di caratt. della top. ed è l’analogo del Errore. Largomento parametro èsconosciuto. e ci dice che in uno sp. top. X munito di due topo.  e  che lo rendono entrambe 1 2primo numerabile, condizione necessaria è sufficiente affinché la top.  sia meno fine della top.  1 2è che per ogni succ. ordinaria in X che sia  -convergente verso un punto di X sia pure  - 2 1convergente verso tale punto. Si osserva infatti che la differenza tra i due teoremi sussiste solo nelfatto di aver supposto in più che le due topologie rendano lo spazio I-numerabile e questo ciconsente allora di lavorare con succ. ordinarie invece che con succ. generalizzate che sonosicuramente meno agevoli delle ordinarie.TEOREMA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X insieme non vuoto , 1 2 due topologie su X rispetto a ciascuna delle quali lo spazio X è I-numerabileAllora le seguenti due condizioni sono equivalenti:(1)   1 2(2) ogni successione ordinaria {xn}nN in X  -convergente è  -convergente 2 1COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X insieme non vuoto , 1 2 due topologie su X rispetto a ciascuna delle quali lo spazio X è I-numerabileAllora le seguenti due condizioni sono equivalenti :(1)  = 1 2(2) ogni successione ordinaria {xn}nN è  -convergente  è  -convergente 1 2BASE DI APERTI [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] Sia (X, ) spazio topologico diciamo che la famiglia G  (cioè G è una famiglia di aperti di X) èuna base di aperti di X se ogni sottoinsieme di X si può scrivere come unione (nonnecessariamente finita ) di membri di G cioè: B {Ai}iI in G t.c. B=  A i i IBanalmente su osserva che  è una base di aperti di X.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 131
    • SPAZIO TOPOLOGICO II-NUMERABILE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Diciamo che uno spazio topologico X soddisfa il II assioma della numerabilità o brevemente cheè II-numerabile (si legge secondo numerabile) se esiste una base di aperti al più numerabile Dimostriamo adesso che uno spazio topologico II-numerabile è I-numerabile (in generalenon vale il vicecersa).PROPRIETÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicoTs: se X è II-numerabile  X è I-numerabileDimPer Hp esiste {An}nN base di aperti al più numerabile. Preso un punto arbitrario x0X dobbiamoprovare che esiste in X una base fondamentale di intorni di x0. Consideriamo quindi la famigliaG:={An : x0An} (è al più numerabile perché sottofamiglia di una famiglia al più numerabile) che èevidentemente una famiglia di intorni del punto x0 in quanto i suoi membri sono degli aperti checontengono x0. Verifichiamo che G è una base fondamentale del punto x0 ovvero che per ogniintorno di x0 esiste un membro di G contenuto in tale intorno. Sia quindi V intorno di x0  cheesiste un certo aperto di X contenente x0 e che è contenuto in V possiamo considerare ad esempioint(V) che come sappiamo è il più grande aperto contenuto in V e quindi poiché {An} è una base diaperti si ha che:{Ai}iI{An}nN t.c. int(V)=  A i i Ie quindi x0 appartiene a qualche Ai cioè kI t.c. x0Ak  AkG e poiché x0 Akint(V)V c.v.d.INSIEME DENSO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico, AX allora l’insieme A si dice denso in X se A X. Chiaramente se BXe AB dire che A è denso in B significa che A è denso in B rispetto alla topologia relativa di B, equindi se la chiusura di A rispetto alla topologia relativa di B, che indichiamo con ( A ) B, coincidecon B cioè se ( A ) B=B.TEOREMA [More] [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 132
    • AXallora A è denso  int(XA)=Dim Per Hp X= A e quindi (tenendo presente la relazione tra l’interno di un insieme e la sua chiusurache ci dice che l’interno di un insieme è uguale al complementare della chiusura del complementaredell’insieme) si ha:int(XA)=X X X A =X A =XX= c.v.d.Dim Per Hp int(XA)= e quindi (tenendo presente la relazione tra la chiusura di un insieme e il suointerno che ci dice che la chiusura è uguale al complementare dell’interno del complementaredell’insieme) si ha:A =Xint(XA)=X=X c.v.d.TEOREMA [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXSono equivalenti le seguenti affermazioni:(1) A è denso in X (cioè A =X)(2) X aperto non vuoto si ha ADim (1)  (2)Sia A denso cioè A =X, consideriamo un arbitrario  aperto non vuoto di X e proviamo che interseca A. Sia x0X allora x0X= A quindi x0 è di aderenza per A ovvero UU(x0)UA, ma poiché  è un aperto contenente x0 allora ne è intorno e quindi A c.v.d.Dim (2)  (1)Sia per assurdo A X allora X A , inoltre è un aperto in quanto complementare del chiuso A equindi dall’Hp si ha che X A A e pertanto essendo X A XA allora maggior ragione si haXAA c.v.d.INSIEME SEPARABILE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologico, diciamo che X è separabile se esiste AX denso in X al piùnumerabile. Ovviamente dato un insieme DX allora diciamo che tale insieme D è separabile seconsiderato con la topologia relativa è separabile. Ad esempio R è separabile, infatti QR èdenso in R ed è numerabile (cioè equipotente ad N ovvero :NQ biettiva).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 133
    • PROPRIETÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologico II-numerabileTs: X è separabileDimPoiché X è secondo numerabile {An}nN base di aperti non vuoti di X, al più numerabile,scegliamo allora n N un x An n e consideriamo quindi la successione ordinaria {xn}nN cosìottenuta, vogliamo provare allora che il suo sostegno cioè l’insieme A:={xn : n N} è quellopromesso dalla tesi. Banalmente A è numerabile e quindi dobbiamo provare solo che A è denso inX, ovvero per [1112/28] dobbiamo provare che A interseca ogni aperto non vuoto di X, cioé: aperto di X k N t.c. x  kConsideriamo quindi  aperto non vuoto arbitrario in X, e quindi essendo {An}nN una base diaperti di X allora possiamo scrivere  come:=  Ai n Ie per come è costruita la {xn}nN  che nI xnAn.Abbiamo quindi trovato un sottoinsieme A di X denso, al più numerabile, che è proprio quello chevolevamo dimostrare. In generale della proposizione precedente non vale il viceversa, (ma ad esempio per gli spazimetrici vale). Vogliamo fare osservare adesso che dato uno spazio topologico X ed un suosottoinsieme A, può avvenire che tra le proprietà topologiche di X alcune vengano ereditate da A,mentre altre no (ad esempio la separabilità, ma diventa ereditaria negli spazi metrici). La proprietàdi soddisfare al primo e al secondo assioma della numerabilità è ereditaria per i sottoinsiemi, comemostrano le seguente proposizione.PROPRIETÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXTs: se X è II-numerabile allora anche A è II-numerabileDimPer Hp X è secondo numerabile  che {An}nN base di aperti e chiaramente intersecando ogni Ancon A otteniamo aperti rispetto alla topologia relativa su A che formano un base di aperti rispettoalla topologia di A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 134
    • PROPRIETÀ [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAXTs: se X è I-numerabile allora anche A è I-numerabileDimDobbiamo provare che A è I-numerabile e quindi dobbiamo provare che ogni punto di A ammetteuna base fondamentale di intorni al più numerabile. Fissiamo quindi x0 A e osserviamo che per HpX è I-numerabile  {Un}nN base di intorni di x0, consideriamo allora la famiglia {AUn}nNche chiaramente una base fondamentale di intorni di x0 nella topologia relativa di A, al piùnumerabile c.v.d.PROPOSIZIONE [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologico separabileY spazio topologicof:XY una funzione continuaTs: f(X) è separabile (ovviamente in riferimento alla topologia relativa )DimPer Hp X è separabile e quindi {xn} sottoinsieme al più numerabile di X denso. Proviamo che{f(xn)} è denso in f(X) e cioè che ogni aperto nella topologia relativa di f(X) interseca {f(xn)}ovvero che:A aperto non vuoto di f(X) allora k N t.c. f(x )A kSia quindi A aperto non vuoto di f(X) cioè del tipo A=f(X) con  aperto di Y, allora  eper la continuità di f allora f -1() è un aperto non vuoto di X, ma poiché {xn} è denso xkf -1() f(xk) ed ovviamente f(xk)f(X)  f(xk)A=f(X) che è proprio quello che volevamodimostrare.COROLLARIO [1112/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologico separabileY spazio topologicof:XY una funzione continua e surgettivaTs: Y è separabile 13-12-95APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 135
    • ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE DI UN SOTTOINSIEME DELLA [1312/ErrRETTA REALE ESTESA ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia A un sottoinsieme della retta reale estesa cioé A ~ R :=R{-,+}=[-,+]. Definiamoestremo superiore di A la quantità:  aA asup(A) (cioé sup(A) è un maggiorante di A)  <   >0 aA t.c. a>sup(A)- (cioé sup(A) è il più piccolo dei maggioranti)   sup(A ):   +  K>0 aA t.c. a>K (cioé A è illimitato superiormente)   -  a=- aA (essendo A un sottoinsieme della retta reale estesa) Definiamo estremo inferiore di A la quantità:  aA ainf(A) (cioé inf(A) è un minorante di A)  <   >0 aA t.c. a<inf(A)+ (cioé inf(A) è il più grande dei minoranti)   inf(A ):   -  K>0 aA t.c. a<-K (cioé A è illimitato inferiormente)   +  a=+ aA (essendo A un sottoinsieme della retta reale estesa  Propedeutica alla nozione che segue sono le seguenti proprietà.PROPRIETÀ [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano A e B due sottoinsiemi della retta reale (cioé di R)valgono le seguenti proprietà: supA=-inf-A se AB  supAsupB (cioè aA bB t.c. ab)* se AB  infAinfB (cioè aA bB t.c. ab) se rR t.c. r<supA (cioé r non è un maggiorante)  aA t.c. r<a* se rR t.c. infA<r (cioé r non è un minorante)  aA t.c. a<r {n}nN in A t.c. lim n=supA n* {n}nN in A t.c. lim n=infA nAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 136
    •  se A é limitato superiormente allora supAclR(A)* se A é limitato inferiormente allora infAclR(A) se A é chiuso e limitato superiormente maxA* se A é chiuso e limitato inferiormente minADimostrazione Bisogna distinguere i seguenti due casi:(a) supA<+ (cioé A è limitato supertiormente)(b) supA=+ (cioé A è illimitato supertiormente)Consideriamo il caso (a):posto l :=supA, allora per def. di sup si ha:aA  l>a >0 aA t.c. a>l-se consideriamo aA osserviamo che -a-A, e quindi chiaramente moltiplicando ambo i membridelle due disequazioni per -1 otteniamo:-a-A  -l>-a >0 -a-A t.c. -a<-l+che non è altro che la definizione di estremo inferiore dell’ insieme -A, ovvero-l=inf-A ed in definitiva supA=l=-(-l)=-inf-A c.v.d.Consideriamo il caso (b):dobbiamo fare vedere che -inf-A=+ ovvero che inf-A=-. Poiché supA=+  A illimitatosuperiormente  -A illimitato inferiormente  inf-A=-.Dimostrazione Dobbiamo dimostrare che aA bB t.c. ab, supponiamo allora per assurdo che questo non siavero cioè supponiamo che a*A t.c. bB a*>b e questo significa che subB<a*  a*B equesto è un assurdo poichè per Hp AB c.v.d.Dimostrazione *Dobbiamo dimostrare che infAinfB. Poichè AB  che per i rispettivi insiemiinfA=per =-sup-Aper -sup-B=per =infB c.v.d.Dimostrazione *Bisogna distinguere i seguenti due casi:(a) supA<+ (cioé A è limitato supertiormente)(b) supA=+ (cioé A è illimitato supertiormente)Consideriamo il caso (a):posto :=supA-r allora per la seconda proprietà del sup si ha che:aA t.c a>supA-=supA-supA+r=r c.v.d.Consideriamo il caso (b):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 137
    • essendo supA=+  A illimitato superiormente e quindi essendo r<supA allora banalmente incorrispondenza di |r| aA t.c. a>|r|r c.v.d.Dimostrazione *Per la  sappiamo che infA=-sup-A e quindi segue dal Hp che r>-sup-A  -r<sup-A segue dalla che aA -r<-a  r>a c.v.d.Dimostrazione Dobbiamo distinguere i seguenti due casi:(a) supA< (finito)(b) supA=+Consideriamo il caso (a):dobbiamo costruire una successione in A convergente a sup A. Per Hp A è limitato superiormente equindi possiamo ricorrere alla IIa proprietà del sup da cui segue che:n N posto := 1  A t.c.  >supA- 1 n n n n (1)e ovviamente: 1nsupA<supA+ nN (2) nSegue allora dalla (1) e dalla (2) che: 1 1 1 1 1supA- <n<supA+ nN  - <n-supA< nN  |n-supA|< nN n n n n ne quindi passando al limite per n si ottiene proprio che la successione {n}nN così costruitaconverge a supA.Consideriamo il caso (b):per Hp A non è limitato superiormente e quindin N  A t.c.  >n n nBanalmente la successione {n}nN così costruita diverge a +, cioé:K>0 k* N t.c.  >K n>k* ninfatti fissato un K>0 evidentemente basta scegliere k* N t.c. k*>K.Dimostrazione *Considerato l’insieme -A allora per  si ha che {n}nN in -A t.c lim n=sup(-A) e quindi nmoltiplicando la precedente per -1 otteniamo lim -n=-sup(-A) e pertanto posto n=-n n n Nallora per  si ha che lim n=infA c.v.d. nDimostrazione Per la  {n}nN in A convegente a supA che é finito essendo A limitato superiormente, e questoper una caratterizzazione dei punti di aderenza significa proprio che supAclR(A) c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 138
    • Dimostrazione *Per la * {n}nN in A convegente a infA che é finito essendo A limitato inferiormente, e questoper una caratterizzazione dei punti di aderenza significa proprio che infAclR(A) c.v.d.Dimostrazione Per la  supAclR(A)=A  supA=maxA che quindi esiste c.v.d.Dimostrazione *Per la * infAclR(A)=A  infA=minA che quindi esiste c.v.d.MASSIMO LIMITE E MINIMO LIMITE [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Si consideri una successione ordinaria an nN a valori nella retta estesa (cioè ~ R :=R{+,-}),consideriamo allora la successione dei sup:  sup ak  k  n n  Nche è banalmente monotona non crescente, infatti fissato n osserviamo che:{ak : kn+1}{ak : kn}e quindi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. passando al sup su k otteniamo:sup ak sup akk  n+1 knE pertanto essendo la successione dei sup monotona non crescente allora ammette limite che comesappiamo è il suo inf, definiamo allora massimo limite della successione ordinaria reale {an}nN: lim sup an:= lim sup ak= inf sup ak nn kn nN k  nAnalogamente consideriamo la successione degl’inf:  inf ak  k  n n  Nche è banalmente monotona non decrescente, infatti fissato n osserviamo che:{ak : kn+1}{ak : kn}e quindi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. passando al sup su k otteniamo:inf ak inf ak k  n+1k nE pertanto essendo la successione degl’inf monotona non decrescente allora ammette limite checome sappiamo è il suo sup, definiamo allora minimo limite della successione ordinaria reale{an}nN:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 139
    • limlim inf an:= n inf ak= sup inf akn k n nN k  nCome avremo modo di osservare il massimo limite ed il minimo limite di una successione ci dannoinformazioni sulla regolarità della successione (cioé convergenza, divergenza e limitatezza).PROPRIETÀ [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia una successione ordinaria an nN nella retta estesaTs: lim sup an=- lim inf -an n nDim lim sup an:= inf sup ak=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.= inf  - inf - n nN k  n nN k n ak =per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=- sup inf -ak=  nN k  n=:- lim inf -an c.v.d. nPROPRIETÀ [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia una successione ordinaria an nN nella retta estesaTs: lim inf an lim sup an n nDimFissiamo ad arbitrio n,m N e proviamo che:inf ak sup ak ()k n kmDistinguiamo qui di seguito tre casi.(1) Caso m=n: (ovvio)(2) Caso se m<n:poiché m<n  {an}kn{an}km e quindi si ha:inf akvale sempre sup akper l’inclusione osservata sup akk n k n km(3) Caso n<m:poichè n<m  ak kmak kn e quindi si ha:inf akper l’inclusione osservata inf akvale sempre sup akk n km kmAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 140
    • E quindi la () è provata. Si osserva che il primo membro della disuguaglianza () appena provataè indipendente dalla m, mentre il secondo membro è indipendente dalla n, quindi possiamo passareliberamente al sup sugli n al primo membro ed all’inf sugli m al secondo membro, ovvero:sup inf ak inf sup ak  lim inf an lim sup an c.v.d.nN k  n mN km n nPROPRIETÀ [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia una successione ordinaria an nN nella retta estesavalgono allora i seguenti due fatti: lim sup an sup an n nN inf an lim inf an nN nDimostrazione Fissato r N si ha allora che:lim sup an:= inf sup aksup ak sup ann nN k  n kr nNDimostrazione inf an=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=- sup -anper - lim sup -nN nN nan= lim inf an c.v.d. n Dimostriamo adesso che condizione necessaria e sufficiente affinché una successioneordinaria reale sia limitata superiormente è che il massimo limite sia minore di più infinito.TEOREMA [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an nN una successione ordinaria reale (cioé in R)allora sup an<+  lim sup an<+ nN nDim lim sup anper Errore. Largomento parametro è sconosciuto. sup an<+n nN c.v.d.Dim APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 141
    • Sia ora per ipotesi inf sup ak<+, ciò vuol dire che: nN k  nr N sup a <+ k kr  Poniamo allora M:=max  a0,a1,...,ar-1, sup ak  <+ e si ha quindi che anM n   N  che M è un krmaggiorante di {an}nN  sup anM<+ c.v.d. nN Analogamente dimostriamo per dualità il seguente teorema secondo cui an nN è limitatainferiormente se e solo se il minimo limite è maggiore di -, e se la successione non è limitatainferiormente il minimo limite è -.TEOREMA [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an nN una successione ordinaria realeallora -< inf an  -< lim inf an nN nDim  (esercizio)-< inf anper Errore. Largomento parametro è sconosciuto. lim inf an nN n c.v.d.Dim  (esercizio)Per Hp -< lim inf an segue dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che -<- nlim sup -an segue quindi che lim sup -an<+ e per la Errore. Largomento parametro èn nsconosciuto. segue che sup -an<+ e quindi per la Errore. Largomento parametro è nNsconosciuto. segue che - inf an<+  -< inf an nN nN c.v.d. Dimostriamo adesso che condizione necessaria e sufficiente affinché una successioneordinaria reale sia limitata è che il minimo limite e il massimo limite siano finiti.TEOREMA [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an nN una successione ordinaria realeLe seguenti condizioni sono equivalenti :(1) an nN è limitataAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 142
    • (2) il massimo limite e il minimo limite sono finitiDim (1)(2)Se la successione è limitata allora lo è sia inferiormente che superiormente e quindi:poiché è limitata inferiormente per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.  -< lim inf an npoiché è limitata superiormente per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.  lim sup an<+nsegue allora dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che:-< lim inf an lim sup an<+ n ne quindi possiamo concludere che il minimo limite ed il massimo limite sono entrambi finiti c.v.d.Dim (2)(1)Tenendo presente la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. dall’Hp abbiamo che:-< lim inf an lim sup an<+ n ne quindi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. e la Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. si ha:-< inf an sup an<+ nN nNe questo vuol dire che la successione è limitata sia inferiormente che superiormente ovvero èlimitata c.v.d.PROPRIETÀ CARATTERISTICHE DEL MASSIMO LIMITE [1312/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia una succ. reale an nN che ammette limsup finito (ad esempio limitata)R  (1) >0 N t.c. n> an<+allora = lim sup an   (2) >0 N n> t.c. -<anDim  n Verifichiamo la (1):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 143
    • Sappiamo che per Hp il = inf sup ak è finito  che in particolare -<  che l’insieme nN k  n  sup ak : nN  è limitato inferiormente e quindi valgono per tale insieme le due proprietà kn caratteristiche dell’inf, e pertanto fissato ad arbitrio >0 per la seconda proprietà dell’inf si ha: N t.c. sup a <+  a  sup a <+ k> k k k k  k Verifichiamo la (2):poiché = inf sup ak allora per la prima proprietà dell’ inf: nN k  nsup ak N ke quindi essendo in queste Hp < (finito) allora fissato ad arbitrio >0 e un qualunque Nchiaramente si ha:-<sup ak ke quindi - non è un maggiorante dell’insieme {ak : k} e quindi per Errore. Largomentoparametro è sconosciuto.:n> tale che -<an sup ak c.v.d. kDim Dobbiamo dimostrare che:= n lim sup ak kn  ovvero che la successione  sup ak  converge al numero  e quindi bisogna provare che:  kn n  N>0  N t.c. - sup a + n> k (1) knFissato quindi un qualunque >0, poichè per Hp  soddisfa alla proprietà (1) si ha: N t.c. k> a <+ ke questo evidentemente ci dice che sup ak+ e quindi essendo la successione dei sup k monotona non crescente si ha che:sup ak sup ak+ n> (2)kn k Vogliamo provare adesso che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 144
    • - sup ak n N (3) knFissato quindi n N allora per la (2) si ha che: k n t.c. a k >-e quindi abbiamo ottenuto che:-< ak  sup ak knE quindi da (2) ed (3) abbiamo la (1) c.v.d.PROPRIETÀ CARATTERISTICHE DEL MINIMO LIMITE [1312/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia una succ. reale an nN che ammette liminf finito (ad esempio limitata)R  (1) >0 N t.c. n> an>-allora = lim inf an  (2) >0 N n> t.c. a <+Dim  n  nConsideriamo la successione degli opposti della successione data cioè -an nN e sia  il suomassimo limite cioè::= lim sup -an nallora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che:= lim inf an=- lim sup an=-  -= n nPer il limite massimo  sappiamo che valgono:(1) >0 N t.c. n> -an<+(2) >0 N n> t.c. -an>-sostituendo quindi - a  otteniamo:(1) >0 N t.c. n> -an<-+(2) >0 N n> t.c. -an>--quindi moltiplicando ambo i membri per -1 si conclude proprio che:(1) >0 N t.c. n> a >- n(2) >0 N n> t.c. a <+ n c.v.d.Dim APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 145
    • Analogamente per dualità si dimostra questa implicazione. Dimostriamo adesso il seguente fondamentale teorema che caratterizza il limite di unasuccessione tramite massimo e minino limite, e precisamente ci dice che condizione necessaria esufficiente affinché una data successione sia regolare (cioé sia convergente o divergente) è che ilmassimo ed il minimo limite coincidano.TEOREMA [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an nN un successione a valori sulla retta estesa (cioé in ~ R :=[-,+])posto := lim inf an e := lim sup an n nAllora la successione {an}nN è regolare  =ed in queste condizioni si ha che:lim an==nDim Se la successione è regolare allora si presentano i due casi:(a) la successione è convergente(b) la successione è divergente.Consideriamo il caso (a):sia il caso in cui la successione è convergente al numero  e quindi:>0  N t.c. n> -<a <+ n ()Teniamo presente che come sappiamo la convergenza della {an}nN in particolare ci dice che lasuccessione {an}nN è limitata. Vogliamo allora provare che il numero  soddisfa sia le proprietàcaratteristiche del massimo limite che quelle del minimo limite. Proviamo che  soddisfa leproprietà caratteristiche del massimo limite, cioé:(1) >0  N t.c. n> a <+ n(2) >0 e kN t.c. n>k a >- nFissato >0 allora la (1) segue direttamente dalla (). Verifichiamo la (2) e quindi fissati ad arbitrio>0 e k N allora banalmente nella () basta scegliere n>max{,k} e si ottiene quanto voluto.Analogamente si dimostra che  soddisfa alle proprietà caratteristiche del minimo limite. E quindiavendo provato che  soddisfa alle proprietà caratteristiche del massimo ed del minimo limite segueallora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto.e da Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che ==e si ha l’asserto.Consideriamo il caso (b):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 146
    • sia ora il caso in cui la successione diverge a + (trattiamo solo questo caso essendo assolutamenteanalogo alla divergenza a -), allora per ipotesi avremmo che la successione non è limitatasuperiormente e quindi come osservato in precedenza ciò implica che =+, proviamo che anche=+.Dobbiamo provare che:lim inf ak=+n k novvero che:>0  N t.c. inf a  k n> k nFissiamo quindi un arbitrario >0. Poichè per Hp la successione {an}nN diverge + allora incorrispondenza del fissato >0 si ha che: N t.c. a  k> ke questa assieme al fatto che la successione degli inf è monotona non decrescente ci dice che:inf akinf ak n> k  c.v.d.k nDim Osserviamo che banlmente:inf akan sup ak n N ()k n knSia per Hp =, allora si possono presentare tre casi:(a) = finito(b) ==+(c) ==-Consideriamo il caso (a):poniamo :==, in questa situazione abbiamo (ricordando le rispettive definizioni di massimolimite e di minimo limite) che la successione degli inf e dei sup convergono verso il numero finito, cioè:lim inf ak= lim sup ak=n n k n kne quindi passando al limite nella () per il teorema dei due carabinieri deve essere che lasuccessione {an}nN converge anch’essa ad .Consideriamo il caso (b):in questa situazione in particolare abbiamo che:lim inf ak=+n k nAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 147
    • e quindi dalla prima disuguaglianza della () per il criterio del confronto segue che la successione{an}nN diverge a +.Consideriamo il caso (c):in questa situazione in particolare abbiamo che:lim sup ak=-n kne quindi dalla seconda disuguaglianza della () per il criterio del confronto segue che lasuccessione {an}nN diverge a - c.v.d.PROPRIETÀ [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia {an}nN in R= lim inf an nTs: {nk}kN strettamente crescente t.c. lim a n k = kDim (esercizio)Si presentano i seguenti tre casi:()  finito() =+() =-Caso ():In queste Hp per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che:(1) >0 N t.c. n a >-n(2) >0 N n t.c. a <+nDalla (1) per =1 si ha che: N t.c. a >-1 n ( ) n 1Dalla (2) per =1 ed il N fissato si ha che:n1  t.c. a n1 <+1 (2)segue da (1) ed (2) che:-1< a n1 <+1Dalla (1) per =1/2 si ha che: N t.c. a >- 1 n n 2 (3)Dalla (2) per =1/2 ed il *=max{n1+1,} si ha che: 1n2 * t.c. a n 2 <+ (4) 2APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 148
    • segue da (3) ed (4) che: 1 1- 2 < an 2 <+ 2Dalla (1) per =1/3 si ha che: 1 Nt.c. an- n (5) 3Dalla (2) per =1/3 ed il *=max{n2+1,} si ha che: 1n3 * t.c. a n 3 <+ (6) 3segue da (5) ed (6) che:-1 < a n3 <+1 3 3Iterando il ragionamento otteniamo una successione naturale {nk}kN strettamente crescente taleche:-1 < an k <+1 k k k Ne quindi per il criterio del confronto si ha che lim a n k =. kCaso ():  = sup inf ak=+  che la successione degl’inf  ak  è illimitata superiormente, cioè: nN k  n  inf nN k nK>0  N t.c. inf a >K k k novvero:K>0  N t.c. a >K n n ()Dalla () per K=1: Nt.c. an>1 nscegliamo allora n1  e si ha a n1 >1.Dalla () per K=2: Nt.c. an>2 nscegliamo allora n2:=max{n1+1,} e si ha a n 2 >2.Dalla () per K=3: N t.c. a >3 n nscegliamo allora n3:=max{n2+1,} e si ha a n 3 >3.Iterando il ragionamento otteniamo una successione naturale {nk}kN strettamente crescente taleche:a n k >k kNe quindi per il criterio del confronto si ha che lim a n k =+. kCaso ():APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 149
    •  = sup inf ak=-  che la successione degl’inf  ak  è illimitata inferiormente, cioè: nN k  n  inf nN k nK>0  N t.c. inf a <-K k k novvero:K>0  N t.c. a <-K n n ()Dalla () per K=1: Nt.c. an<-1 nscegliamo allora n1  e si ha a n1 <-1.Dalla () per K=2: Nt.c. an<-2 nscegliamo allora n2:=max{n1+1,} e si ha a n 2 <-2.Dalla () per K=3: N t.c. a <-3 n nscegliamo allora n3:=max{n2+1,} e si ha a n 3 <-3.Iterando il ragionamento otteniamo una successione naturale {nk}kN strettamente crescente taleche:a n k <-k kNe quindi per il criterio del confronto si ha che lim a n k =- c.v.d. kPROPRIETÀ [1312/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia {an}nN in R= lim sup an nTs: {nk}kN strettamente crescente t.c. lim a n k = kDim (esercizio)Per lagge di dualità Errore. Largomento parametro è sconosciuto. sappiamo che= lim sup an=- lim inf (-an)  lim inf (-an)=-, segue allora dalla Errore. Largomento n n nparametro è sconosciuto. che {nk}kN strettamente crescente t.c. lim (- a n k )=-  - lim (- k ka n k )=  lim a n k = c.v.d. k 15-12-95 Propedeutiche ai risultati che seguono sono le seguenti proprietà.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 150
    • PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano A e B due sottoinsiemi della retta realevalgono allora le seguenti proprietà: sup(A+B)supA+supB se A è limitato superiormente allora sup(A+B)=supA+supB infA+infBinf(A+B) se A è limitato inferiormente allora infA+infB=inf(A+B) se c[0,+[ allora sup(cA)=csup(A) se c[0,+[ allora inf(cA)=cinf(A) se bR allora sup(b+A)=b+sup A se bR allora inf(b+A)=b+inf ADimostrazione  (esercizio)Ovviamente:a+bsupA+supB aA e bBe quindi passando al sup al primo membro otteniamo la tesi.Dimostrazione  (esercizio)Consideriamo i seguenti due casi:(a) caso supB=+ (cioè B non è limitato superiormente)(b) caso supB<+ (cioè B è limitato superiormente)Caso (a):per Hp supA<+ ed essendo A ~ R (e non in R ) allora -<supA e quindi supA< cioé supAfinito e pertanto banalmente supA+supB=+, dobbiamo allora dimostrare che sup(A+B)=+,cioé che:K>0 aA e bB t.c. a+b>KPoiché A è limitato superiormente allora per la IIa proprietà del sup in corrispondenza del fissato Ksi ha che:aA t.c. a>supA-K (1)ed essendo B illimitato superiormente allora in corrispondenza della quantità 2K-supA sicuramente:bB t.c. b>2K-supA (2)E quindi abbiamo ottenuto che:a+b>per (1) e (2)>(supA-K)+(2K-supA)=KCaso (b):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 151
    • per la  abbiamo che sup(A+B)supA+supB, dobbiamo provare quindi la disuguaglianza inversa,cioé che supA+supBsup(A+B). Fissato >0 essendo per Hp A e B limitati superiormente alloraper la IIa proprietà del sup si ha che: a*A t.c. a*>supA- 2 b*A t.c. b*>supB- 2e quindi segue che:supA+supB-<a*+b*sup(A+B)e pertanto per l’arbitrarietà di >0 segue che supA+supBsup(A+B) c.v.d.Dimostrazione  (esercizio)Tenendo presente la relazione di dualità tra inf e sup si ha:infA+infB=-sup(-A)-sup(-B)=-[sup(-A)+sup(-B)]per -sup[-(A+B)]=inf(A+B)Dimostrazione  (esercizio)Per Hp A e B limitati inferiormente -A e -B limitati superiormente e pertanto tenendo presente larelazione di dualità tra inf e sup si ha:infA+infB=-sup(-A)-sup(-B)=-[sup(-A)+sup(-B)]per =-sup[-(A+B)]=inf(A+B)Dimostrazione  (esercizio)Se c=0 allora la tesi è banalmente vera. Consideriamo quindi il caso c]0,+[.Proviamo che sup(cA)csup(A):si zcA  aA t.c. z=ca e pertanto:z=cacsup(A)e quindi per l’arbitrarietà di z possiamo passare al sup e si ha sup(cA)csup(A).Proviamo che csup(A)sup(cA): -ovviamente essendo c>0 possiamo provare equivalentemente che sup(A)c 1sup(cA). sia aAallora banalmente: - -a=c 1(ca)c 1sup(cA) -e quindi per l’arbitrarietà di a possiamo passare al sup e si ha sup(A)c 1sup(cA).Dimostrazione  (esercizio)Se c=0 allora la tesi è banalmente vera. Consideriamo quindi il caso c]0,+[. Segue allora che:inf(cA)=-sup(-cA)=per =-csup(-A)=kinf(A) c.v.d.Dimostrazione  (esercizio)Proviamo che sup(b+A)b+sup A:sia zb+A  xA t.c. z=b+x segue allora che z=b+xb+sup A e quindi passando al sup su zotteniamo quanto voluto.Proviamo che b+sup Asup(b+A):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 152
    • sia xA segue allora che x=-b+(b+x)-b+sup(b+A) e quindi passando al sup su x otteniamo supA<-b+sup(b+A)  b+sup Asup(b+A).Dimostrazione  (esercizio)inf(b+A)=-sup(-b-A)=-[sup[-b+(-A)]]=per =-[-b+sup(-A)]=b-sup(-A)=b-inf(-A). Prima di procedere richiamiamo qualche altra proprietà di analisi uno relativa alla sommadei limiti di successioni.PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano an e {bn} due successioni nella retta reale, convergentiTs: lim (an+bn)= lim an+ lim bn n n nPROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an successioni nella retta reale, divergente a +bn successioni nella retta reale, limitata inferiormenteTs: lim (an+bn)=+ nPROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an successioni nella retta reale, divergente a -bn successioni nella retta reale, limitata superiormenteTs: lim (an+bn)=- n E quindi segue direttamente dalle tre proprietà precedenti la seguente altra proprietà a noinecessaria.PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an successione nella retta reale convergentebn successioni nella retta reale, regolare (cioé convergente o divergente)Ts: lim (an+bn)= lim an+ lim bn n n n Procediamo quindi con la dimostrazione delle proprietà rispettivamente del massimo e delminimo limite.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 153
    • PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano an successioni sulla retta reale, limitata{bn} successioni sulla retta realeValgono allora le seguenti tre proprietà: lim inf an+ lim inf bn lim inf (an+bn) n  n  n  lim sup (an+bn) lim sup an+ lim sup bn n  n  n  lim inf an+ lim inf bn lim inf (an+bn) lim sup (an+bn) lim sup an+ lim sup bn n  n  n  n  n  n Dimostrazione  (esercizio)Teniamo presente che per Hp {an} è limitata e questo come sappiamo equivale ad affermare che  lim inf an:= n inf ak è finito cioé la succ. degli inf  inf an  lim  k  n n  N è convergente. Teniamon k n  presente inoltre che la succ.  inf bn  è non decrescente e quindi ammette limite finito o  k n n  Ninfinito cioé è regolare. Osserviamo che:inf (ak+bk) inf (ak+br)per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.= inf ak+ inf bkk n k,r  n k n k nn N ()Segue allora che:   lim inf (ak+bk)per () lim  inf ak+ inf bk =per Errore. Largomento parametro èn k  n n  k  n k n sconosciuto.= lim inf ak+ lim inf bk= = lim inf an+ lim inf bn n k  n n k  n n n c.v.d.Dimostrazione  (esercizio)lim sup (an+bn)=- lim inf -(an+bn)=- lim inf (-an-bn)per n  n n      - lim inf -an+ lim inf -bn = - lim inf -an + - lim inf -bn == lim sup an+ lim sup bn  n n   n   n  n  n Dimostrazione  (ovvia)ESEMPIO [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Mostriamo che la disuguaglianza  della proprietà precedente può essere stretta. Consideriamo lesuccessioni:{an}nN dove an:=(-1)n n NAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 154
    • {bn}nN dove bn:=(-1)(n+1) n Nevidentemente che la successione an+bn=0 infatti n N si ha:an+bn=(-1)n+(-1)n+1=(-1)n+(-1)n(-1)=(-1)n-(-1)n=0inoltre osserviamo che: klim inf an= sup inf (-1) =-1n  nN k  n k+1lim inf bk= sup inf (-1) =-1n nN k  nquindi si ha proprio:lim inf (an+bn)=0>-2= lim inf an + lim inf bnn  n  n PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia an una successione sulla retta reale e  R t.c. n a = lim nbn successione qualunque sulla retta realeValgono allora le seguenti due proprietà: +lim inf bn= lim inf (an+bn) n  n  + lim sup bn= lim sup (an+bn) n nDimostrazione  (esercizio)Poiché {an} converge a  {an} limitata ed inoltre essendo convergente ad  allora come sappiamo= lim inf an e quindi segue dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che: n+lim inf bn lim inf (an+bn) n  n Dimostriamo quindi che vale la disuguaglianza inversa cioé che:+lim inf bn lim inf (an+bn) n  n Osserviamo come prima cosa che:an+ inf bk=per Errore. Largomento parametro è sconosciuto.= inf (an+bk) inf (ak+bk) () k n k n k nSegue allora che:+lim inf bn= n an+ n lim lim inf bk=per la Errore. Largomento parametro è n  k n  sconosciuto.= lim  an+ inf bk per la ()  lim inf (ak+bk)=: lim inf (an+bn) n   n n  k n k n c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 155
    • Dimostrazione  (esercizio)+ lim sup bn= lim sup an+ lim sup bn=- lim inf (-an)- lim inf (-bn)= n n n n n  =- lim inf (-an)+ lim inf (-bn) =per =- lim inf -(an+bn)= lim sup (an+bn) c.v.d.  n n  n nMINIMO LIMITE E MASSIMO LIMITE PER UNA SUCC. GENERALIZZ. [1512/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia a D una successione generalizzata nella retta estesa, definiamo minimo limite dellasuccessione:lim inf a:= sup inf a  D Analogamente definiamo massimo limite della successione:lim sup a:= inf sup a  D Valgono per il massimo e minimo limite di una successione generalizzata proprietà analoghe aquelle già viste per le successioni ordinarie.MINIMO LIMITE E MASSIMO LIMITE PER UNA FUNZIONE REALE [1512/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia X uno spazio topologico, AX, x0DA, U(x0) famiglia di intorni de punto x0 in cui definiamola relazione di ordine filtrante V,UU(x0) UV  VU ed infine f:A ~ R , allora definiamominimo limite della funzione in x0:lim inf f(x):= sup inf f(x)x  x0 UU (x 0) x UA{x 0}Analogamente definiamo massimo limite della funzione in x0:lim sup f(x):= inf sup f(x)x  x0 UU (x 0 ) x UA{x 0}APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 156
    • Dimostriamo che il liminf è finito  su  intorno del punto interessato la funz. si mantiene>-. Chiaramente possiamo dimostrare equivalentemente che il liminf vale meno infinito  lafunzione su ogni intorno assume come inf -.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX, x0DAf:A ~ R funzioneAllora lim inf f(x)=-  inf f(x)=- UU(x0) x  x0 x UA{x 0}Dim Per Hp lim inf f(x)=-  sup inf f(x)=-  inf f(x)=- UU(x0) x  x0 UU (x 0) x UA{x 0} x UA{x 0}Dim Per Hp inf f(x)=- UU(x0)  sup inf f(x)=-  lim inf f(x)=-. x UA{x 0} UU (x 0) x UA{x 0} x  x0 Analogamente si dimostra il seguente risultato.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX, x0DAf:A ~ R funzioneTs: lim sup f(x)=+  sup f(x)=+ UU(x0) x  x0 x UA{x 0}PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX, x0DA Rf:A funzioneTs: lim inf f(x) lim sup f(x) x  x0 x  x0Dim (esercizio)Fissati ad arbitrio U,VU(x0) ci proponiamo di fare vedere che: inf f(x) sup f(x) ()x UA{x0} x VA{x 0}APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 157
    • Consideriamo UV che è un intorno di x0 e poiché x0DA  (UV)A{x0} z(UV)A{x0}=(UA{x0})(VA{x0}) e quindi: inf f(x)f(z) sup f(x)x UA{x0} x VA{x 0}E quindi rimane provata la () che vale U,VU(x0) e pertanto passando al sup al Io membro edall’inf al II9 membro otteniamo la disuguaglianza promessa nella tesi.PROPRIETÀ CARATT. DEL MASSIMO LIMITE DI UNA FUNZI. REALE [1512/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia X uno spazio topologicoAX, x0DAf:AR funzioneR  (1) >0 UU(x0) t.c. f(x)<+ xUAx0allora =lim sup f(x)   x  x0  (2) >0 UU(x0) xUAx0 t.c. -<f(x)Dim Verifichiamo la (1):fissiamo un >0 e osserviamo che essendo = inf sup f(x) allora per la seconda UU (x 0 ) x UA{x 0}proprietà dell’inf si ha che:UU(x0) t.c. sup f(x)<+ x UA{x 0}segue allora che:f(x) sup f(x)<+ xUA{x0} c.v.d. x UA{x 0}Verifichiamo la (2):Fissati ad arbitrio >0, ed UU(x0), poiché  è il massimo limite allora per la prima proprietàdell’inf si ha che: sup f(x) x UA{x 0}allora evidentemente:-< sup f(x) x UA{x 0}APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 158
    • e quindi posto *:= sup f(x)-(-) allora per la IIa proprietà del sup si ha che: x UA{x 0}xU t.c. f(x)> sup f(x)-*=- c.v.d. x UA{x 0}Dim La dimostrazione di tale implicazione come la precedente è analoga (con le ovvie modifiche) aquella già trattata per il massimo limite di successioni ordinarie. Analogamente valgono le seguenti proprietà.PROPRIETÀ CARATT. DEL MINIMO LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE [1512/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia X uno spazio topologicoAX, x0DA Rf:AR  (1) >0 UU(x0) t.c. f(x)>- xUAx0allora = lim inf f(x)   x  x0  (2) >0 UU(x0) xUAx0 t.c. +>f(x) Dimostriamo adesso che condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione f ammettalimite in x0 è che minimo e massimo limite coincidano.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAX, x0DAf:A Rsiano  e  il min e il max limite della funzione per x che tende ad x0APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 159
    • sono allora equivalenti:(1)  lim f(x)=: x  x0(2) ==Dim (1)(2)Bisogna considerare due casi distinti:(a)  finito(b)  infinitoConsideriamo il caso (a):Per ipotesi la funzione f:A R tende ad  per x che tende a x 0 e questo come sappiamo significache:>0 UU(x0) t.c. -<f(x)<+ xUAx0allora  soddisfa sia le proprietà di  che quelle di , quindi ==, e si ha quanto voluto.Consideriamo il caso (b):trattiamo il caso =+ (poichè il caso =- è analogo) cioè il caso in cui la funzione f diverge a+ per x tendente a x0 e dimostriamo quindi che ==+.Poiché vale sempre  proviamo allora che =+.Supponiamo per assurdo che lim inf f(x):=<+ cioè sup inf f(x)<+  x  x0 UU (x 0) x UA{x 0} inf f(x)<+ UU(x0)  UU(x0) xUUA{x0} t.c. f(x)<+ consideriamo allorax UA{x 0}la quantità:K:=sup{f(xU) : xUUA{x0} e UU(x0)}e quindi osserviamo che:Kf(xU) xUUA{x0} UU(x0)Per Hp la funzione f diverge a + per xx0 e quindi in corrispondenza di K si ha:UU(x0) t.c. f(x)>K xUA{x0}e in particolare per xUUA{x0} si ha:K<f(xU)K  K<K che è un assurdoDim (2)(1)Distinguiamo i seguenti tre casi:(a) == finito(b) ==+(c) ==-Consideriamo il caso (a):APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 160
    • Se == allora per la prima proprietà rispettivamente del massimo limite e del minimo limitesi ha che in corrispondenza di un arbitrario fissato >0 si ha che:UU(x0) t.c. V>U (cioè VU) f(x)>-, xVAx0WU(x0) t.c. K>W (cioè KW) f(x)<+ xKAx0quindi se si considera l’intorno di x0 UW, che è contenuto sia in U che in W, le due relazioniprecedenti valgono contemporaneamente, e quindi:-<f(x)<+ x(UW)Ax0che altro non è che la definizione di limite di f per x che tende ad x0.Consideriamo il caso (b):Dobbiamo provare che la funzione f diverge a + per xx0.Fissiamo quindi un arbitrario >0 e proviamo che:U intorno di x0 t.c. f(x)> xUA{x0} ()Per Hp ==+  lim inf f(x)= lim sup f(x)=+ e in particolare lim inf f(x)=+  x  x0 x  x0 x  x0 sup inf f(x)=+ e quest’ultima può accadere se:UU (x 0) x UA{x 0}() UU(x0) t.c. inf f(x)=+ x UA{x 0}  ()  inf f(x) : UU(x0)  non è limitato superiormente  x UA{x 0} Nel caso () la () è banalmente soddisfatta, consideriamo quindi il caso () dal quale segue che incorrispondenza del fissato >0:UU(x0) t.c. inf f(x)>  f(x) inf f(x)> xU{x0} x UA{x 0} x UA{x 0}Consideriamo il caso (c):questo caso si tratta in maniera del tutto analoga al caso precedente c.v.d.SEMICONTINUITÀ INFERIORE E SEMICONTINUITÀ SUPERIORE [1512/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia X spazio topologico, x0X e f:X R (funzione reale definita in X). Diciamo che la funzione fè semicontinua inferiormente (brevemente s.c.i.) nel punto x0 se:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 161
    • >0 U intorno di x0 t.c. f(x0)-<f(x) xUDiciamo che la funzione f è semicontinua superiormente (brevemente s.c.s.) nel punto x0 se:>0 U intorno di x0 t.c. f(x)<f(x0)+ xUDiciamo che la funzione f è semicontinua inferiormente (risp. superiormente) se è semicontinuainferiormente (risp. superiormente) in ogni punto di X. Ovviamente se AX, f:A R e x A0allora con le solite osservazioni sulla relativizzazione ad A della topologia di X, si ha che f èsemicontinua inferiormente in x0 se:>0 U intorno di x0 t.c. f(x0)-<f(x) xUAAnalogamente f è semicontinua superiormente in x0 se:>0 U intorno di x0 t.c. f(x)<f(x0)+ xUAConsideriamo adesso il seguente banale esempio di funzione s.c.i. in un punto. Consideriamo la Rfunzione f:I con I:=[0,2[ intervallo di R, così definita: 0 se 0 < x < 1 f(x)= 0 se x = 1  1 se 1< x < 2Verifichiamo che la f è s.c.i in x=1. Sia >0 si ha allora f(1)-=-<f(x) xI. Ma chiaramente la fcosì definita non è s.c.i. in x=1 infatti basta prendere ad esempio 0<<1 si ha allora banalmente chenon esiste nessun intorno di x=1 affinché f(x)<f(1)+=. Se definiamo la f precedente in x=1 con 1(invece che con 0) cioè f(1)=1 allora si verifica banalmente che in x=1 la funzione è s.c.s. ma nons.c.i. Il seguente semplice banale risultato rappresenta una legge di dualità per le funzioni s.c.i. es.c.s. cioè dimostrata una data proprietà per le funzioni s.c.i. allora dualmente si ottiene l’analogaper le funzioni s.c.s. e viceversa.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicof:X R funzionex0Xallora f è s.c.i. (risp. s.c.s.) in x0  -f è s.c.s. (risp. s.c.i.) in x0Dim (ovvia)TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicof:X R funzioneAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 162
    • x0Xallora f è continua in x0  f è s.c.i. e s.c.s. in x0Dim (ovvia)OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO DI FUNZIONI S.C.I. E S.C.S. [1512/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Cominciamo ad osservare con un contresempio che in generale il prodotto di due funzionisemicontinue superiormente (risp. semicontinua inferiormente) non è una funzione semicontinuasuperiormente (risp. semicontinua inferiormente). Sia quindi X uno spazio topologico, f1:X Rfunzione semicontinua superiormente (risp. semicontinua inferiormente) e scegliamo f :XR 2definita da f2(x):=-1 xX, cioé f2 è una funzione costante  f2 continua e quindi in particolare perla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. f2 è semicontinua superiormente (risp.semicontinua inferiormente) e quindi osservando che f1 f2=-f1:X R  f f :XR è semicontinua 1 2inferiormente (risp. semicontinua superiormente). Andiamo a considerare adesso il caso misto cioèconsideriamo il prodotto di una funzione semicontinua inferiormente per una funzione semicontinuasuperiormente. Allora analogamente al caso precedente si può trovare un contresempio che cimostra che tale prodotto misto non è ne una funzione semicontinua superiormente, ne una funzionesemicontinua inferiormente. Consideriamo adesso il seguente teorema di caratterizzazione della funzioni semicontinueinferiormenteTEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicof:X R funzionesono equivalenti le seguenti affermazioni:(1) f è semicontinua inferiormente(2) rRf -1 (]-,r])={xX : f(x)r} è chiuso(3) rR f -1 (]r,+[)={xX : f(x)>r} è apertoDim (1)(2) (esercizio)Fissato r R dobbiamo provare che il sottolivello f -1 (]-,r]) è un chiuso e per fare ciò facciamoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 163
    • uso di una caratterizzazione degli insiemi chiusi e proviamo che ogni successione generalizzata in f -1 (]-,r]) convergente ha limite in f -1(]-,r]). Siano quindi {x}D in f -1(]-,r]) convergente adun certo x0X, dobbiamo provare allora che x0f -1(]-,r]) ovvero che f(x0)r. Fissato un >0allora essendo f s.c.i. si ha che:UU(x0) t.c. f(x0)-<f(x) xU  f(x0)<f(x)+ xU ()ed essendo {x}D conver. ad x0 allora in corrispondenza dell’intorno U di x0 si ha:D t.c. xU e quindi fissato  ed osservando che xf -1(]-,r]) segue dalla () che:f(x0)<f(x)+r+  f(x0)<r+e per l’arbitrarietà di  segue che f(x0)r c.v.d.Dim (2)  (3)Fissato un qualunque r R allora l’asserto segue subito dalla relazione a noi nota: -1Xf -1(]r,+[)=f ( R)f -1 (]r,+[)=f -1( R]r,+[)=f -1 (]-,r])e quindi essendo per Hp f -1(]-,r]) chiuso  Xf -1(]r,+[) chiuso  f -1(]r,+[) aperto c.v.d.Dim (3)(1)Dobbiamo provare che la f è semicontinua inferiormente e quindi fissato un qualunque x0 X eproviamo che la f è semicontinua inferiormente nel punto x0. Fissato un arbitrario >0 prendiamocome numero reale r=f(x0)- e osserviamo che banalmente f(x0)>r  x0f -1(]r,+[)={xX :f(x)>r}={xX : f(x)>f(x0)-} e quindi essendo per ipotesi f -1(]r,+[) aperto  f -1(]r,+[) èintorno di x0 e per come abbiamo scelto r questo intorno è tale che f(x0)-<f(x) xf -1 (]r,+[)segue che la f semicontinua inferiormente in x0 c.v.d. Analogamente per dualità dal teorema precedente si ha il teorema di caratterizzazione dellefunzioni semicontinue superiormente.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicof:X R funzionesono equivalenti le seguenti affermazioni:(1) f è semicontinua superiormente(2) rRf -1 (]-,r[)={xX : f(x)<r} è aperto(3) rR f -1 ([r,+[)={xX : f(x)r} è chiusoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 164
    • PROPOSIZIONE [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicox0X, K Rf:X R funzione s.c.s. in x 0Ts: se f(x0)<K allora UX intorno di x0 t.c f(x)<K xUDim (esercizio)Poiché f(x0)<K  K-f(x0)>0, allora per la s.c.s. in x0 della f, in corrispondenza della quantitàpositiva :=K-f(x0) si ha:UX intorno di x0 t.c. f(x)<f(x0)+=K xU c.v.d.PROPOSIZIONE [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicox0X, M Rf:X R funzione s.c.i. in x 0Ts: se f(x0)>M allora UX intorno di x0 t.c f(x)>M xUDim (esercizio)Poiché f(x0)>M  f(x0)-M>0, allora per la s.c.i. in x0 della f, in corrispondenza della quantitàpositiva :=f(x0)-M si ha:UX intorno di x0 t.c. f(x0)-=M<f(x) xU c.v.d.COROLLARIO [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicox0X, K,M Rf:XR funzione continua in x 0x X, K,MR 0Ts: se M<f(x0)<K allora UX intorno di x0 t.c M<f(x)<K xUDim (esercizio)Per Hp f è continua in x0  f s.c.i. e s.c.s. in x0 segue allora dalla Errore. Largomento parametroè sconosciuto. e dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che:U1X intorno di x0 t.c. M<f(x) xU1U2X intorno di x0 t.c. f(x)<K xU2E quindi evidentemente basta scegliere U:=U1U2 c.v.d. Un’altro importante corollario è il seguente risultato già noto dal coroso di Ananlisi uno.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 165
    • TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicox0Xf:X R funzione continua in x 0 e f(x0)0Ts: UX intorno di x0 in cui la f assume lo stesso segno di f(x0)Dim (esercizio)Caso f(x0)>0:per Hp f continua in x0  f s.c.i. in x0, e quindi per M:=0 segue direttamente dalla Errore.Largomento parametro è sconosciuto. che:UX intorno di x0 t.c f(x)>0 xUCaso f(x0)<0:per Hp f continua in x0  f s.c.s. in x0, e quindi per K:=0 segue direttamente dalla Errore.Largomento parametro è sconosciuto. che:UX intorno di x0 t.c f(x)<0 xU c.v.d.PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicof:X R semicontinua inferiormenteAX, ATs: f|A:A R è semicontinua inferiormenteDim (esercizio)Ovviamente si considera in A la relativizzazione ad esso della topologia relativa. Facciamo uso diErrore. Largomento parametro è sconosciuto. e quindi fissato  R dimostriamo che l’insieme:A:={xA : f(x)>}è un aperto di A. Banalmente osserviamo che:A:=A{xX : f(x)>} ()Per Hp f è semicontinua inferiormente e quindi segue da Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che l’insieme {xX : f(x)>} è un aperto di X e pertanto essendo per la () Aintersezione di A con un aperto di X allora per definizione di top. relativa è un aperto di A c.v.d.PROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X uno spazio topologicoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 166
    • f:X R semicontinua superiormenteAX, ATs: f|A:A R è semicontinua superiormenteDim (esercizio)Per Hp f è semicontinua superiormente segue allora dalla Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che -f è semicontinua inferiormente e quindi per la Errore. Largomento parametroè sconosciuto. -f|A è semicontinua inferiormente e riapplicando la Errore. Largomentoparametro è sconosciuto. si ha che f|A è semicontinua superiormente c.v.d. Consideriamo adesso un altro teorema di caratterizzazione delle funzioni semicontinueinferiormente.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicoAXx0ADA (cioè x0 punto di accumulazione appartenente ad A)f:A R funzionesono equivalenti le seguenti affermazioni:(1) f è semicontinua inferiormente in x0(2) f(x0) lim inf f(x) x  x0(3) {x}D succ. gen. in A{x0} convergente a x0 allora f(x0) lim inf f(x) Dim (1)  (2)Per Hp f è s.c.i. e quindi in corrispondenza di un fissato >0 si ha che:>0 U intorno di x0 f(x0)-<f(x) xUAe quindi in particolare f(x0)-<f(x) xUA{x0}e pertanto passando all’inf si ha:f(x0)- inf f(x) sup inf f(x)=: lim inf f(x) x UA{x 0 } UU (x 0) x UA{x 0 } x  x0e poiché questa relazione vale per ogni >0 si ha allora la tesi.Dim (2)(3)Consideriamo in A{x0} una {x}Dx0 e quindi fissato un arbitrario U intorno del punto x0 si hache:UD t.c. xU UAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 167
    • Tenendo presente l’ipotesi vogliamo provare che lim inf f(x) lim inf f(x). Certamente sappiamo x  x0 che: inf f(x)f(x) Ux UA{x } 0segue allora da questo che: inf f(x) inf f(x) sup inf f(x)=: lim inf f(x)x UA{x }   U D    0e questa vale per ogni U intorno di x0 e quindi possiamo passare al sup nel primo membro eotteniamo: sup inf f(x) lim inf f(x)  lim inf f(x) lim inf f(x)UU ( x0 ) x UA{x 0}  x  x0 Dim (3)  (1)Ragioniamo per assurdo e supponiamo che la f non sia semicontinua inferiormente e questoevidentemente equivale ad affermare che:*>0 t.c. UU(x0) xUUA t.c. f(x0)-*f(xU) (1)si costruisce così la successione generalizzata {xU}UD con D:=U(x0) (in cui si introduce la solitarelazione di ordinamento filtrante UV  VU), che dimora evidentemente in UA{x0} poichése per assurdo esistesse UD t.c. xU=x0 allora per la (1) si avrebbe che f(x0)-*f(x0) assurdo.Abbiamo osservato in precedenza che {xU}x0 segue allora dalla (3) che:f(x0) lim inf f(xU) Ue quindi maggior ragione:f(x0)-*< lim inf f(xU) (2) UOsserviamo adesso da (1) che:f(x0)-*f(xU) inf f(xV)= inf f(xV) UD VU V Ue poiché la precedente relazione vale UU(x0) allora passando al sup otteniamo:f(x0)-* sup inf f(xU)=: lim inf f(xU) (3) UD V U U 2 3segue quindi da ( ) ed ( ) che:lim inf f(xU)< lim inf f(xU) assurdo. U U Per dualità possiamo dare il teorema di caratterizzazione per le funzioni s.c.s.TEOREMA [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 168
    • AXx0ADAf:A R funzioneSono equivalenti(1) f è semicontinua superiormente in x0(2) f(x0) lim sup f(x) x  x0(3) {x}D succ. gen. in A{x0} con {x}x0 allora f(x0) lim sup f(x) MASSIMI E MINIMI [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un insieme qualunque non vuoto e f:X R funzione reale diciamo allora che x X è un 0punto di minimo (rip. di massimo) assoluto se:f(x0)f(x) (risp. f(x0)f(x)) xXSe X ha la struttura di uno spazio topologico allora possiamo parlare di intorni e quindi possiamointrodurre le nozioni di massimo e minimo locale. E quindi sia X uno spazio topologico, f:X Rfunzione diciamo allora che il punto x0X è un punto di minimo (risp. massimo) relativo (olocale) se:U intorno di x0 t.c. f(x0)f(x) (risp. f(x0)f(x)) xUPROPRIETÀ [1512/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicox0X punti di minimo locale (risp. massimo locale)Ts: f è semicontinua inferiormente (risp. semicontinua superiormente) in x0Dim (esercizio)Fissiamo un arbitrario >0 e proviamo quindi che:U intono di x0 t.c f(x0)-<f(x) xUPoiché x0 è punto di minimo assoluto  che U intorno di x0 t.c f(x0)f(x) xU allora a maggiorragione f si ha che f(x0)-f(x) xU c.v.d. 18-12-95INVILUPPO SUPERIORE ED INFERIORE DI UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI [1812/Er rore. Largome ntoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 169
    • parametr oè sconosci uto.]Sia X un insieme non vuoto, {fi}iI una famiglia di funzioni fi:X R diciamo allora invilupposuperiore della famiglia di funzioni, la funzione: Rf:X con f(x):= sup fi (x) i IAnalogamente si definisce inviluppo inferiore della famiglia, la funzione: Rf:X con f(x):= inf fi (x) i IPROPOSIZIONE [1812/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico{fi}iI una famiglia di funzione reali definite in X semicontinue inferiormenteTs: l’inviluppo superiore delle fi è una è una funzione semicontinua inferiormenteDimDobbiamo provare che la f è semicontinua inferiormente e questo per un teorema precedente dicaratterizzazione delle funzioni semicontinue inferiormente equivale a provare che: R l’insieme di livello f (]-,])={xX : f(x) } è chiuso in X. -1Fissato quindi R si ha che:  f -1(]-,])={xX : f(x)}=  xX : sup fi (x)  =banalmente si prova che=  {xX : fi  i I  i I(x)}=  f i-1 (]-,]) i Ie quindi essendo per Hp le fi semicontinue inferiormente segue chegli f i-1 (]-,]) sono chiusi  f -1 (]-,]) chiuso essendo l’intersezione di chiusi Analogamente per dualità otteniamoPROPOSIZIONE [1812/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologico{fi}iI una famiglia di funzione reali definite in X semicontinue superiormenteTs: l’inviluppo inferiore delle fi è una è una funzione semicontinua superiormenteDim (esercizio)f(x):= inf fi (x)=-f(x):=- sup -fi (x) i I i IAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 170
    • osserviamo che per Hp le fi sono semicontinue superiormente  che le -fi sono semicontinueinferiormente segue allora dalla proposizione precedente che il loro inviluppo superiore cioè -f(x)=sup{-fi (x) : iI} è semicontinua inferiormente e quindi f è semicontinua superiormente c.v.d.FUNZIONE CARATTERISTICA [1812/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Un altra categoria importante di funzioni semicontinue è quella delle funzioni caratteristiche. Dovericordiamo che se X è un insieme non vuoto AX allora diciamo funzione caratteristica di A lafunzione A:X{0,1} definita da 1 se x  AA(x):= 0 se x  A Supponiamo adesso che X sia munito di una struttura topologica (cioè X spazio topologico).Chiaramente la funzione caratteristica A è discontinua e per dimostrarlo basta fare uso del teoremadegli zeri di analisi 1 che afferma che una funzione continua assume tutti i valori compresi tra il suominimo (che è chiaramente 0) e il suo massimo (che è chiaramente 1) e questa condizionenecessaria per la continuità non è sicuramente soddisfatta dalla funzione A. Vediamo come deveessere fatto l’insieme A affinché la A sia una funzione semicontinua inferiormente, e quindifacendo uso di una delle caratterizzazioni viste in precedenza, dobbiamo vedere come deve esserefatto A affinché l’insieme di livello A-1 (]-,])={xX : A(x)} sia chiuso  R. X se   1 Osserviamo che A (]-,])={xX : A(x)}=  -1 se  < 0   X A se 0   < 1e quindi da questo deduciamo che affinché la funzione A sia semicontinua inferiormente deveessere che XA chiuso  A aperto. E quindi A semicontinua inferiormente  A è aperto.Vediamo adesso come deve essere fatto A affinché la finzione A sia semicontinua superiormente,dobbiamo quindi vedere come deve essere fatto A affinché l’insieme di livello A-1 (]-,[)={xX:A(x)<} sia aperto  R. X se   1 Osserviamo che A -1 (]-,[)={xX : A(x)<}=  se   0   X A se 0    1e quindi da questo deduciamo che affinché la funzione A sia semicontinua superiormente deveessere che XA aperto  A chiuso. E quindi A semicontinua superiormente  A è chiuso.PROPRIETÀ [1812/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 171
    • X spazio topologicox0Xf,g:X R semicontinua inferiormente in x X 0Ts: f+g:XR semicontinua inferiormente in x 0Dim (per esercizio)Segue dall’Hp che fissato un arbitrario >0 alloraU1 intorno di x0 t.c. f(x0)-/2f(x) xU1U2 intorno di x0 t.c. g(x0)-/2g(x) xU2e quindi se consideriamo U=U1U2 è un intorno di x0 per il quale valgono contemporaneamenteentrambe le precedenti , che sommate membro a membro danno f(x0)+g(x0)-f(x)+g(x) xU (f+g)(x0)-(f+g)(x) xU c.v.d. Analogamente si dimostra la seguente proprietà.PROPRIETÀ [1812/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]X spazio topologicox0Xf,g:X R semicontinua superiormente in x X 0Ts: f+g:XR semicontinua superiormente in x 0DimOsserviamo che:f+g=-[(-f)+(-g)]e quindi ricordando che l’opposta di una funzione semicontinua superiormente è una funzionesemicontinua inferiormente segue allora dalla proprietà precedente che f+g è semicontinuainferiormente c.v.d.PROPRIETÀ [1812/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X spazio topologicof:X R funzione semicontinua inferiormente in x 0R 0Ts: se >0  f:XR è una funzione semicontinua inferiormente in x 0 se <0  f:XR è una funzione semicontinua superiormente in x 0Dim (per esercizio)Caso >0:APPUNTI DI ANALISI F