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Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]
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Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]

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Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]

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  • 1. 17-11-95SPAZI VETTORIALI, SOTTOSPAZI VETTORIALI, VARIETÀ AFFINI [1711/Error e. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K (R o C), vogliamo allora ricordare brevemente qualchenozione sugli spazi vettoriali. Indichiamo con E l’elemento nullo di E (considerato come gruppoabeliano). Definiamo traslato di un insieme, l’insieme che è definito dalla somma dei puntidell’insieme con un fissato punto dello spazio cioè dato un sottoinsieme A non vuoto di E (cioèAE e A=) e xoAE allora l’insieme x0+A:={x0+y : yA} è un traslato dell’insieme A.Definiamo somma algebrica di due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale, l’insieme definito dallasomma dei vettori appartenenti ai due insiemi, cioè dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di E alloral’insieme A+B=:{x+y : xA e yB} è la somma algebrica dei sottoinsiemi A e B. Definiamoprodotto di uno scalare per un sottoinsieme di uno spazio vettoriale l’insieme definito dalprodotto dei vettori dell’insieme per un fissato scalare di K cioè fissato un K e dato Asottoinsieme non vuoto di E allora l’insiemeA:={x : xA} è il prodotto dello scalare  per A. Sia FE allora F si dice sottospaziovettoriale di E se eredita la struttura di E, ossia se è uno spazio vettoriale rispetto alle operazionidefinite in E cioè se l’insieme F soddisfa alle due seguenti proprietà: x,yF  x+yF K e xF  xFBanalmente dalle definzione si evince che E e {E} sono sottospazi vettoriali di E e vengono dettiripettivamente sottospazio proprio e sottospazio banale. Sia GE diciamo allora che G è unavarietà affine se è il traslato di un qualunque s.sp.vett. di E ossia se x0E e FE sottospaziovettoriale di E t.c. G=x0+F. Si osserva dalla definzione che banalmente i punti sono varietà affini,poiché fissato x0E allora lo possiamo riguardare come {x0}=x0+{E}.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KFEAllora F è un sottospazio vettoriale di E  x,yF e , K  x+yFAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 1
  • 2. Dim ()Siano x,yE e ,K e poiché per Hp F è un sottospazio vettoriale segue allora dalla  che ivettori x,yF segue allora dalla  che x+yF.Dim ()Dobbiamo provare che F è un sottospazio vettoriale di E e quindi dobbiamo provare che F soddisfala  e la . Per ipotesi abbiamo che:x,yF , K  x+yF ()Dalla () per ==1 segue che x,yF x+yF cioè è soddisfatta la .Dalla () per =0 segue che  K e xF xF cioè è soddisfatta la PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KFE s.sp. vett.Valgono allora le seguenti due proprietà:() F+F=F() F=F con  K{0}() F+F=F con ,K{0}Dimostrazione () (esercizio)Proviamo che F+FF:sia zF+F  x,yF t.c. z=x+y e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=x+yF.Proviamo che FF+F:sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che: 1 1x= x+ xF+F c.v.d. 2 2Dimostrazione () (esercizio)Proviamo che FF:sia zF  xF t.c. z=x e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=xF.Proviamo che FF:sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che: xx= F c.v.d. Dimostrazione () (esercizio)F+F=per ()=F+F=per ())=F c.v.d.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 2
  • 3. Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KFE s.sp. vett., x0FTs: x0+F=FDim (esercizio)Proviamo che x0+FF:x0+FF+F=Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=FProviamo che Fx0+F:F=x0-x0+F x0-F+Fper Errore. Largomento parametro è sconosciuto.x0+F c.v.d.ESEMPI [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Evidentemente in R 2 dei sottospazi sono quelli banali cioé R 2 stesso e {(0,0), e come verificatoqui di seguito tutte e sole le rette passanti per l’origine. Fissato quindi m R, consideriamo l’ins.A:={(x,mx) : x R} che è l’ins. definito dai punti della retta y=mx passante per l’origine.Proviamo che A soddisfa alle proprietà  e .Verifichiamo :siano (x1,mx1),(x2,mx2)A e osserviamo che x1+x2 R si ha allora che(x1,mx1)+(x2,mx2)=(x1+x2,m(x1+x2))AVerifichiamo :sia R e (x,mx)A e osserviamo che xR si ha allora che il vettore(x,mx)=(x,m(x))A. R . In maniera analoga si prova che le varietà affini diE quindi A è un sottospazio vettoriale di 2R sono i punti (cioè G=x +{(0,0)} con x R ) e tutte le rette. 2 0 0 2PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KFE sottospazio vettorialeTs: EFDimPer Hp F è sottospazio vettoriale di E  che  K e xF il vettore xF e quindi bastascegliere =0 infatti E=0xF c.v.d.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 3
  • 4. GE sottospazio vettoriale di ETs: G è una varietà affineDimLa tesi è ovvia poiché possiamo scrivere G=E+G  G varietà affinePROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K{Fi}iI famiglia di sottospazi di ETs: F:=  Fi è un sottospazio vettoriale di E. i IDimPer la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. dobbiamo provare che:, K e x,yF  x+yFSiano quindi ,K e x,yF. Poiché x,yF  x,yF i iI e poiché gli Fi è un sottospaziovettoriale  x+yFi iI  x+yF c.v.d.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KGE varietà affineAllora G è sottospazio vettoriale  EGDim ()Poiché G è sottospazio vettoriale allora segue dalla proprietà Errore. Largomento parametro èsconosciuto. che EG.Dim ()Poiché G è una varietà affine e quindi:x0 E e FE sottospazio vettoriale di E t.c. G=x0+Fper Hp EG  yF t.c. E=x0+y  x0=-y e osservando che yF e che F è un sottospaziovettoriale si ha che x0=-yF segue allora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto. cheG=x0+F=F  G sottospazio vettoriale c.v.d.COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, x ,...,x E 1 n e 1,...,nK (dove chiaramente n Nfinito). Diciamo allora combinazione lineare (brevemente c.l.) dei vettori x1,...,xnE il vettore:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 4
  • 5. n1x1+...+2xn=  ixi i 1dove 1,...,n sono i coefficienti della combinazione lineare. Facendo uso del principio diinduzione e della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. risulta ovvio che un sottospaziovettoriale contiene ogni combinazione lineare dei suoi vettori.INVILUPPO LINEARE [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE non vuoto, diciamo allora inviluppo linearedell’insieme A e lo indichiamo con span(A) (e si legge span di A) l’intersezione di tutti i sottospazidi E contenenti A cioè:span(A):={F : F sottospazio di E e AF}e quindi dalla proprietà Errore. Largomento parametro è sconosciuto. osserviamo chiaramenteche span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A. Ovviamente Aspan(A). Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo linearedi un insieme poiché ci dice che l’inviluppo lineare di un insieme è definito da tutte le possibilicombinazioni lineari dei vettori dell’insieme.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, ATs: span(A)={1x1+...+nxn : n N ; x ,...,x A;  ,..., K} 1 n 1 nDimPoniamo G:={1x1+...+nxn : n N ; x1,...,xnA; 1,...,nK} e proviamo che G=span(A)procedendo per doppia inclusione.Proviamo che Gspan(A):sia zG  che x1,...,xnA e 1,...,n K t.c. z= x +...+ x 1 1 n n e quindi poichè Aspan(A)  chex1+...+xnspan(A) e poichè span(A) è un sottospazio vettoriale di E  z=1x1+...+nxnspan(A) Gspan(A).Proviamo che span(A)G:per dimostrare che span(A)G dobbiamo dimostrare che G è uno sottospazio vettoriale di E checontiene l’insieme A. Dimostriamo che G è un sottospazio vettoriale e quindi facciamo uso dellaproprietà Errore. Largomento parametro è sconosciuto. e proviamo che una combinazionelineare di due arbitrari vettori di G sta ancora in G:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 5
  • 6. siano , K e x,yG si ha allora che: nx ,...,x A e 1,..., K t.c. x=   x 1 n n i i i 1 my1,...,ymA e 1,...,m K t.c. y=  iyi i 1 n me quindi x+y=  ixi+  iyi=1x1+...+nxn+1y1+...+mymG essendo una i 1 i 1combinazione lineare di vettori di A.Chiaramente AG poiché se xA allora nella definizioni dei vettori che appartengono a G bastaconsiderare n=1 e =1 e si ha chiaramente che xG. E quindi G è un sottospazio che contiene A,allora essendo per definizione span(A) il più piccolo sottospazio che contiene A segue chenecessariamente deve essere che span(A)G.ESEMPI [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Dividiamo gli insiemi di R 2 in quelli contenuti in una retta per O=(0,0) e in quelli non contenuti inuna retta per O.Se A R 2 è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è la rettapassante per O.Se A R 2 non è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R.2Consideriamo ora gli insiemi di R. 3Se A R 3 non è contenuto in alcun piano per O=(0,0,0) ( e di conseguenza A non è contenuto innessuna retta per O ) allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R. 3Se A R 3 è contenuto in un piano per O e A non è contenuto in alcuna retta per O allora il suoinviluppo lineare è il piano.Se A R 3 è contenuto in una retta per O allora il suo inviluppo lineare è la retta.INVILUPPO AFFINE [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque non vuoto di E diciamoallora inviluppo affine dell’insieme A e lo indichiamo con aff(A), l’insieme dato dall’intersezionedi tutte le varietà affini che contengono A cioè:aff(A):=  Gi iIdove {Gi}iI è la famiglia delle varietà affini (cioè iI xiE e FiE sottospazio vettoriale t.c.Gi=xi+Fi ) t.c. AGi  iI. Ovviamente Aaff(A).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 6
  • 7. Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo affinedi un insieme poiché ci dice che l’inviluppo affine di un insieme è definito da tutte le combinazionilineari dei vettori dell’insieme che hanno la somma dei coefficienti della combinazione lineareuguale a 1.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A  n Ts: aff(A)=  1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c.  i=1   i 1 DimFissiamo un qualunque x0A allora l’insieme span(A-x0) è un sottospazio vettoriale di E perdefinizione di inviluppo lineare. E quindi x0+span(A-x0) è una varietà affine e chiaramenteAx0+span(A-x0) infatti preso un qualunque vettore xA e tenendo presente che A-x0span(A-x0)si ha che x=x0+x-x0 x0+A-x0x0+span(A-x0 ). Chiaramente aff(A)x0+span(A-x0) infattix0+span(A-x0) è una varietà affine che contiene A e quindi per definizione contiene aff(A).  n Poniamo G=   1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c.  i=1  e proviamo con la  i 1doppia inclusione che x0+span(A-x0)=G.Proviamo che x0+span(A-x0)G: n n n sia xx0+span(A-x0) e quindi x è del tipo x=x0+  i(xi-x0)=x0+  ixi-x0  i= = 1- i 1 i 1 i 1  n  n  n n i x0+  ixi e poichè  1-  i +  i=1  xG.  i 1  i 1  i 1i 1Proviamo che Gx0+span(A-x0): n n nsia xG e quindi x è del tipo x=  ixi con  i=1. Osserviamo che x0=1x0=  ix0 segue che i 1 i 1 i 1 n n n n nx=  ixi=x0-x0+  ixi=x0-  ix0+  ixi=x0+  i(xi-x0)  xx0+span(A-x0). i 1 i 1 i 1 i 1 i 1E quindi G=x0+span(A-x0) e poiché aff(A)x0+span(A-x0) si ha che:aff(A)G (1)Per dimostrare l’inclusione inversa cioé:Gaff(A) (2)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 7
  • 8. facciamo vedere che G è contenuto in tutte le varietà affine che contengono A poiché seguirà da ciòche Gaff(A) essendo per definizione aff(A) l’intersezione di tutte le varietà affini che contengonoA.Sia V una varietà affine t.c. AV e dimostriamo che GV. Sia quindi xG  che x è del tipo n nx=  ixi con gli xiA e  i=1. Osserviamo che V essendo una varietà affine è per definizione i 1 i 1il traslato di uno spazio vettoriale cioè FE sottospazio vettoriale e y0 E t.c. V=y0+F e poichèAV  Ay0 +F e poiché ogni xiA  che ogni xiy0+F  che i vettori xi-y0F  che essendoF un s.sp.vett. contiene ogni combinazione lineare dei vettori xi-y0 e quindi tenendo presente che n i=1 si ha:i 1 n n n n nx=  ixi=y0-y0+  ixi=y0-y0  i+  ixi=y0+  i(xi-y0)y0+F=V i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 1 2Segue allora dalla ( ) e dalla ( ) che G=aff(A) che proprio quello che volevamo dimostrare. Si evince dalla dimostrazione del teorema precedente la seguente altra importantecaratterizzazione dell’inviluppo affine di un insieme, che in particolare ci dice che l’inviluppo affineè una varietà affine.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, Ax0ATs: aff(A)=x0+span(A-x0)CONVESSITÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE diciamo allora che A è convesso se è vuoto, mentrese non è vuoto deve accadere che:x,yA x+(1-)yA [0,1]cioè A è convesso se comunque presi due suoi punti x,yA allora il segmento che li congiunge cheè [x,y]:={x+(1-)yA : [0,1]} è contenuto in A. Chiaramente vista l’arbitrarietà di x,yA èovvio che [x,y]=[y,x]. La seguente semplice proprietà ci dice che i punti sono convessi.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 8
  • 9. PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo Kx0ETs: Il singoltetto {x0} è convessoDim (esercizio)x0+(1-)x0=x0+x0-x0=x0{x0} [0,1] c.v.d.PROPRIETÀ (la somma algebrica di convessi è un convesso ) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KA e B due sottoinsiemi non vuoti di E convessiTs: l’insieme A+B è convessoDim (esercizio)Prendiamo ad arbitrio due vettori z1,z2A+B:={x+y : xA e yB} e quindi:ono x1A e y1 B t.c. z1=x1+y1ono x2A e y2 B t.c. z2=x2+y2Osserviamo inoltre che:essendo x1,x2A e per la convessità di A si ha che x1+(1-)x2A [0,1]essendo y1,y2B e per la convessità di B si ha che y1+(1-)y2A [0,1]segue allora che [0,1] si ha:z1+(1-)z2=(x1+y1)+(1-)(x2+y2)=[x1+(1-)x2]+[y1+(1-)y2]A+BPROPRIETÀ (il traslato di un convesso è un convesso) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAE,A, convessox0ETs: x0+A è convessoDim (esercizio)La dimostrazione di tale proprietà segue direttamente dalla Errore. Largomento parametro èsconosciuto. ponendo B:={x0}APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 9
  • 10. c.v.d.PROPRIETÀ (uno scalare per un convesso è un convesso ) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAE,A, convesso KTs: A un convessoDim (esercizio)Siano x,yA  x,yA e per la convessità di A segue che x+(1-)yA [0,1] (x)+(1-)(y)=[x+(1-)y]A [0,1].z1+(1-)z2=(x0+x)+(1-)(x0+y)=x0+x+x0-x0+(1-)y=x0+[x+(1-)y]x0+A.PROPRIETÀ (l’intersezione di convessi è un convesso) [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K{C1}iI famiglia di convessi di ETs:  Ci è un convesso. i IDimSiano x,y  Ci  x,yCi iI e poiché per Hp i Ci sono convessi segue allora che x+(1- i I)yCi [0,1] iI  x+(1-)y  Ci [0,1] c.v.d. i IINVILUPPO CONVESSO [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque di E diciamo allorainviluppo convesso dell’insieme A e lo indichiamo con conv(A), l’insieme dato dall’intersezione ditutti i convessi che contengono A cioè:conv(A):={C : AC e C convesso }La proprietà precedente Errore. Largomento parametro è sconosciuto. ci dice che l’inviluppoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 10
  • 11. convesso conv(A) è un convesso ed essendo per definizione conv(A) l’intersezione di tutti iconvessi che contengono A allora Aconv(A) e quindi conv(A) è il più piccolo sottoinsieme di Econvesso che contiene A. E quindi in particolare se A è convesso allora necessariamente deveessere che conv(A)=A.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E spazio vettoriale su KAE, A convessoTs: conv(A)=ADim (esercizio)Vale sempre Aconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è un convesso ebanalmente AA e quindi poiché per definizone conv(A) è il più piccolo convesso contenente Aallora deve necessariamente essere che conv(A)A c.v.d.COMBINAZIONE CONVESSA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.] nSia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,n[0,1] con  i=1 allora il vettore i 11x1+...+nxn si dice combinazione convessa dei vettori x1,...,xn.PROPRIETÀ [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo KAE insieme convessoTs: A contiene ogni combinazione convessa dei suoi vettori.Dim n nDobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n[0,1] con  i=1   ixiA. i 1 i 1Dimostriamo per induzione.Per n=2:siano x1,x2A e 1,2[0,1] con 1+2=1  2=1-1 e quindi tenendo conto di questo del fattoche A è convesso si ha che 1x1+2x2=1x1+(1-1)x2.Supponiamo vera l’espressione per n=k e dimostriamo che è vera per k+1: k 1consideriamo x1,...,xk+1A e 1,...,k+1[0,1] con  i=1 e supponiamo k+10 poiché se i 1k+1=0 allora l’asserto seguirebbe direttamente dall’Hp induttiva. E ovviamente possiamo supporreAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 11
  • 12. k 1anche che k+11 poiché se k+1=1 allora dovendo essere  i=1 allora necessariamente si i 1 k 1avrebbe che 1=2=...=k=0 e quindi  xii=1x1+...+kxk+k+1xk+1=0x1+...+0xk+1xk+1=xk+1A. i 1E quindi se k+10 e k+11 si ha allora che:1x1+...+k+1xk+1= dividiamo e moltiplichiamo i primi k termini per la quantità (1-k+1) = k 1 x1 ... k x k ik+1xk+1+(1-k+1) =k+1xk+1+(1-k+1)  xi 1  k 1 i 1 1  k 1e quindi: k i1x1+...+k+1xk+1=k+1xk+1+(1-k+1)  x () i 1 1  k 1 iTeniamo presente che 1+...+k+1=1  1+...+k=1-k+1 e quindi: k k i 1 1 =  i= 1  k 1 1  k 1 i1 (1-k+1)=1 1  k 1i 1 k isegue allora dall’ipotesi induttiva che il vettore  x A 1  k 1 i i 1E quindi nella () ci siamo ricondotti al caso di due vettori già esaminato (cioè il caso n=2 ) 1x1+...+k+1xk+1A c.v.d. Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppoconvesso di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo convesso di un insieme è definito da tutte lecombinazioni convesse dei vettori dell’insieme.TEOREMA [1711/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A  n n Ts: conv(A)=    ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c.  i=1   i 1 i 1Dim  n n Chiamiamo C=    ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c.  i=1  che è l’insieme di  i 1 i 1tutte le combinazioni convesse dei vettori di A.Chiaramente AC (poiché xA basta considerare n=1 e 1=1 e si ha xC). Vogliamo dimostrarecon la doppia inclusione che conv(A)=C.Proviamo che conv(A)C:proviamo che C è convesso, seguirà chiaramente da questo che conv(A)C poiché per definizioneAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 12
  • 13. conv(A) è il più piccolo convesso che contiene A. Siano z1,z2C e proviamo che z1+(1-)z2C[0,1]. n nPoiché z1C è del tipo z1=  ixi con x1,...,xnA, 1,...,n[0,1] con  i=1 i 1 i 1 n npoiché z2C è del tipo z2=  iyi con y1,...,ymA, 1,..., m[0,1] con  i=1 i 1 i 1Si ha allora che [0,1]: n mz1+(1-)z2=  ixi+  (1-)iyi () i 1 i 1Osserviamo che: n m n m i+  (1-)i=  i+(1-)  i=1+(1-)1=1i 1 i 1 i 1 i 1e quindi la () è una combinazione convessa di vettori di A  z1+(1-)z2C  che C èconvesso  conv(A)C.Proviamo che Cconv(A):conv(A) è un convesso segue allora dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che Xcontiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori e quindi essendo Acon(A) allora inparticolare conv(A) contiene le combinazioni convesse dei vettori di A e questo significa proprioche Cconv(A) c.v.d. 20-11-95INSIEME EQUILIBRATO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice equilibrato se valel’inclusione  AA  K  1cioé  K con 1 e xA  xAPROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, A equilibratoTs: EADim (esercizio)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 13
  • 14. Per Hp A è equilibrato  xA xA e  K con 1 e quindi fissato un qualunque xAallora in particolare per =0K si ha E=0KxA c.v.d. Si osserva adesso che la famiglia di tutti gli insiemi equilibrati è chiusa rispetto allaintersezione ed all’unione.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialesia {Ai}iI una famiglia d’insiemi equilibrati di Esi ha allora che valgono: A:=  Ai è equilibrato i I B:=  Ai è equilibrato i IDimotrazione  (esercizio)Dobbiamo provare che: K con 1 e xA  xAFissato quindi K con 1 e xA allora poiché xA  xA i iI e poiché per Hp gli Aisono equilibrati  xAi iI  xA c.v.d.Dimotrazione  (esercizio)Dobbiamo provare che: K con 1 e xB  xBFissato quindi K con 1 e xA allora poiché xB  kI t.c. xA k iI e poiché per Hpgli Ai sono equilibrati  xAkB iI  xA c.v.d.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, A equilibrato KTs: A è equilibratoDim (esercizio)Dobbiamo provare che:zA e  K con ||1  zASia quindi K con ||1 e zA  xA t.c. z=x segue allora che:z=(x)=(x)A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 14
  • 15. INSIEME SIMMETRICO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice simmetrico se coincide colsuo simmetrico cioè A=-A. Chiaramente se A è simmetrico  -A è simmetrico.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeAE, A simmetrico e convessoTs: EADim (esercizio)Sia xA e poiché A è simmetrico  -xA e poiché A è convesso  che il segmento [-x,x]A cioè 1x+(1-)(-x)A [0,1] e quindi in particolare per = 2 si ha che:1 1 x- x=EA c.v.d.2 2 Segue direttamentre dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. la seguentesemplice proprietà.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE e ATs: A equilibrato  -A equilibratoPROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE e ATs: A equilibrato  A simmetricoDimDobbiamo provare che A=-A. Per Hp A è equilibrato  AA  K con ||1 e quindi per =-1otteniamo:-AA (1)Essendo A equilibrato allora per la proprietà precedente anche il suo simmetrico (cioè -A) èequilibrato  (-A)-A  K con ||1 e quindi per =-1 si ha:A-A (2)Segue quindi da (1) e da (2) che A=-A c.v.d.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 15
  • 16. PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo RAE, A, simmetrico e convessoTs: A è equilibratoDimIn queste ipotesi per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. si ha che EA. E quindiosservando che A è convesso si ha allora che xA il segmento [E,x]=[x,E]A cioè:xA xA e [0,1] ()Dobbiamo provare che  AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A  R  1allora x0A  R con 1 cioè -11.Consideriamo quindi i seguenti tre casi.Caso 01:posto x=x0 e = segue allora dalla () che x0ACaso -10:poichè -10  0-1 allora posto x=x0 e =- nella () che si ha che -x0A e poiché A èsimmetrico  x0A c.v.d.INSIEME ASSOLUTAMENTE CONVESSO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme non vuoto di E allora A si diceassolutamente convesso se è convesso ed equilibrato.TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE, AA è assolutamente convesso  x,yA , K con +1 x+yADim () necessitàConsideriamo x,yA,, K t.c. +1 e supponiamo 0 e 0.Scriviamoci il vettore x+y come:       x+y=  x    y (+)  ()               Osserviamo che e sono due complessi di modulo unitario e quindi essendo A equilibrato si  APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 16
  • 17. ha che i vettori:  x, yA      Poiché chiaramente , [0,1] e + = =1 segue allora     che nella () il vettore tra parentesi quadre è una combinazione convessa che appartiene ad A(poiché A è convesso e quindi contiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori) cioè posto        z=  x   y  si ha zA.                 Teniamo presente che +1 e che A è assolutamente convesso ed in particolare (perdefinizione) equilibrato e quindi z(+)A cioé x+yA.Dim () sufficienzaDobbiamo dimostrare che A è assolutamente convesso cioè che A è convesso ed equilibrato.Proviamo che A è convesso:siano x,yA e [0,1]. Poniamo allora =1- e osserviamo +1-=+1-=1 e quindi perl’Hp si ha che x+(1-)yA [0,1]  A è convesso.Proviamo che A è equilibrato:dobbiamo provare che  AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A e K  1 K con 1 allora il vettore x A, 0 ma questo segue direttamente dall’Hp poiché bastaprendere :=, =0 e x=x0 e si ha subito x0A c.v.d.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KFE sottospazio vettorialeTs: F è assolutamente convessoDim (esercizio)Fissati ad arbitrio x,yF e , K tali che ||+||1 allora per il risultato precedente dobbiamoprovare che x+yF, ma ciò segue banalmente dal fatto che F è un sottospazio vettoriale c.v.d.COMBINAZIONE ASSOLUTAMENTE CONVESSA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 17
  • 18. nSia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,nK con  i1 allora il vettore i 11x1+...+nxn si dice combinazione assolutamente convessa di x1,...,xn.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E un K spazio vettorialeAE, A assolutamente convessoTs: A contiene ogni combinazione assolutamente convessa dei suoi elementiDim n nDobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n K con   1    x A . i i i i 1 i 1Procediamo per induzione .Per n=2:poiché A è assolutamente convesso segue allora direttamente da Errore. Largomento parametroè sconosciuto. che il vettore 1x1+2x2A.Supponiamo che l’asserto sia vero per n=k e proviamo che è vero per k+1: k 1siano x1,...,xk+1A e 1,...,k+1K con  i1 e possiamo supporre k+10. Banalmente i 1possiamo scrivere il vettore 1x1+...+k+1xk+1 come:  k  k    i  i xi   k 1   k 1  k 1  i 1 1x1+...+k+1xk+1=  i  k 1   x k 1  k1  i 1  k  () i 1   i  k 1   i    i    i 1 i 1  i 1   k 1Osserviamo che è un numero complesso di modulo unitario e quindi essendo A in particolare k 1 k 1 1 kequilibrato si ha x k 1A. Osserviamo inoltre che k ++ k =1 segue allora k 1  i  i i 1 i 1 k  i x i i 1dall’ipotesi induttiva che il vettore k A. E quindi nella () il vettore tra parentesi quadre è  i i 1una combinazione convessa di due vettori di A cioè siamo ricaduti nel caso n=2 e quindi:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 18
  • 19.  k  k    i  i xi    k 1   k 1 x k 1  i 1  i 1  k 1   k 1  k  A  i  k 1   i   i  i 1 i 1  i 1   k 1infine osservando che  i1 si ha essendo A equilibrato che: i 1  k  k    i  i xi    k 1  1x1+...+k+1xk+1=  i  k k 1  1   k 1  i 1  i 1 x k 1  k 1  k   A c.v.d. i 1   i  k 1   i   i   i 1  i 1  i 1  PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K{Ci}iI famiglia di sotto insiemi di E assolutamente convessiTs:  Ci è assolutamente convesso i IDimSiano x,y  Ci e ,K t.c. +1. Poiché per Hp i Ci sono assolutamente convessi i Isegue allora che x+yCi iI  x+y  Ci c.v.d. i IINVILUPPO ASSOLUTAMENTE CONVESSO DI UN INSIEME [2011/Err ore. Largomen to parametro è sconosciut o.]Sia E uno spazio vettoriale su K e AE, allora l’inviluppo assolutamente convesso dell’insiemeA è l’intersezione di tutti gli insiemi assolutamente convessi contenenti A e si indica conabconv(A). E quindi segue chiaramente dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. cheabconv(A) è il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente A.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 19
  • 20. Sia E spazio vettoriale su KAE, A assolutamente convessoTs: abconv(A)=ADim (esercizio)Vale sempre Aabconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è assolutamenteconvesso e banalmente AA e quindi poiché per definizione abconv(A) è il più piccolo insiemeassolutamente convesso contenente A allora deve necessariamente essere che conv(A)A c.v.d. Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppoassolutamente convesso di un insieme, che ci dice che l’inviluppo assolutamente convesso di uninsieme è definito da tutte le combinazioni assolutamente convesse dei vettori dell’insieme.TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, A  n n Ts: abconv(A)=    ixi : nN, x1,...,xnA,1,...,nK,  i1   i 1 i 1Dim  n n Poniamo C:=    ixi : n N, x1,...,xnA,1,...,n K,   1   i e proviamo che vale i 1 i 1l’uguaglianza abconv(A)=C.Proviamo che abconv(A)C:Chiaramente AC. Proviamo che C è assolutamente convesso e quindi dobbiamo provare che: K con +1  z +z C.fissati z1,z2C e , 1 2 n nPoiché z C  che x ,...,x A,  ,..., K,   1 t.c. z =   x 1 1 n 1 n i 1 i i i 1 i 1 n nPoiché z2C  che y1,...,ynA, 1,..., n K,  i1 t.c. z2=  iyi i 1 i 1si ha allora che: n n n nz1+z2=  ixi+  iyi =  ixi+  iyi i 1 i 1 i 1 i 1 n ne quindi osservando che evidentemente  i+  i+1 si ha che i 1 i 1z1+z2C.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 20
  • 21. E quindi C è un insieme assolutamente convesso che contiene A allora deve necessariamente essereche abconv(A)C poiché abconv(A) è per definizione il più piccolo insieme assolutamenteconvesso contenente A.Proviamo che Cabconv(A):poiché abconv(A) è assolutamente convesso allora per la Errore. Largomento parametro èsconosciuto. contiene ogni combinazione convessa dei sui vettori e quindi essendo Aabconv(A)allora in particolare abconv(A) contiene ogni combinazione convessa dei vettori di A e questosignifica proprio che Cabconv(V) c.v.d.ESEMPI [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]In E=R 2 consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poichél’inviluppo assolutamente convesso dell’insieme A={(1,1),(-1,1)}(cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), isimmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati ediagonali) e tutti i segmenti che congiungono i punti così ottenuti.Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmento che congiunge i due punti. In E= R 2consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poiché l’inviluppo assolutamente convessodell’insieme A={(1,1),(-1,1)} ( cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), isimmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati e diagonali) e tutti i segmentiche congiungono i punti così ottenuti. Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmentoche congiunge i due punti.INSIEME LINEARMENTE INDIPENDENTE [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, AE e A allora l’insieme A si dice linearmenteindipendente se comunque preso un numero finito di vettori distinti di A questi sono linearmenteindipendenti cioè:x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c.  x +...+ x = 1 i n n E  i=0 i=1,...,nOvviamente EA.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE linearmente indipendenteTs: se BA allora B è linearmente indipendenteAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 21
  • 22. Dim (ovvia)TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE linearmente indipendentesiano x1,...,xnA con xixj se ij, y1,...,ymA con yiyj se ij, 1,...,n, 1,...,mK{0K} tali che n m ixi=  jyji 1 j1Ts: m=n e  una permutazione iji di {1,..,n} t.c. xi= y j e i=  j i=1,...,n i iDimPoniamo I={1,...,n}, J={1,...,m} e consideriamo I*={iI : jiJ t.c. xi= y j }. iConsideriamo inoltre l’applicazione f:I*J con f:iji e sia J* il suo codominio cioé J*=f(I*).Vogliamo provare quindi che f è una permutazione di {1,...,n} (cioé una biezione da I in I) chesoddisfa alle proprietà promesse dalla tesi.Poniamo per convezione  zi=E. i n mOsserviamo che  ixi=  iyi e quindi: i 1 j1 n mE=  ixi-  jyj=  (i-  ji )xi+  ixi-  iyi i 1 j1 i I * i I I * iJ J *che è una combinazione lineare di vettori di A nulla e quindi essendo gli elementi dellacombinazione lineare a due a due distinti, ed essendo A è linearmente indipendente alloracoefficienti di tale combinazione lineare devono essere nulli cioé:i-  ji =0K iI* (si ricorda che iI* !jiJ*), i=0K iII*, i=0K iJJ*e quindi necessariamente (essendo per Hp 1,...,n, 1,...,m non nulli) deve essere che II*= eJJ*=  I=I* e J=J* e quindi f:IJ e poiché J=J*:=f(I)  f surgettiva. Verifichiamo infine chel’applicazione f:IJ è iniettiva cioè se ik allora ji jk. Se ik essendo x1,...,xn a due a due distinti (epoiché I=I*)  xixk ma xi= y j e xk= y j  y j  y j ed essendo y1,...,ym a due a due distinti  i k i kjijk. Ed ovviamente essendo f una biezione tra I e J allora card(I)=cad(J) cioé n=m c.v.d. Facendo uso della Errore. Largomento parametro è sconosciuto. possiamo dimostrare laseguente semplice caratt. degli insiemi linearmente indipendenti che ci dice che un’insieme èlinearmente indipendente se e solo se ogni combinazione lineare dei vettori dell’insieme ammetterappresentazione unica (ovviamente a meno dell’ordine degli addendi).APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 22
  • 23. TEOREMA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, Asono allora equivalente:(1) A è linearmente indipendente(2) xspan(A) ammette rappresentazione univocaDim (1)(2) (esercizio)Sia xspan(A) ed osserviamo che nel caso x=E la tesi è ovvia, consideriamo quindi il caso xE..Supponiamo che esistano due rappresentazioni del vettore x, cioé: nx1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c. x=   x i i (1) i 1 my1,...,ymA con yiyk ik e 1,...,n K t.c. x=   y j j (2) j1e dimostriamo quindi che le due rappresentazioni di x coincidono. Evidentemente essendo xEallora i i non possono essere tutti nulli ed evidentemente non è restrittivo suppore che tali i sianotutti non nulli, infatti se così non fosse allora basterebbe cosiderare:1:=  i1 con i1:=min{i : 1in e i0}2:= i 2 con i2:=min{i : i1<in e i0}:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r:=  i r con ir:=min{i : ir-1<in e i0} con (ovviamente) rned ovviamente (poiché per i i nulli si ha ixi=0xi=E): n rx=  ixi=  k x i k i 1 k 1E quindi per quanto sopra osservato possiamo supporre che i 1,...,n K{0}, ed analogamentepossiamo supporre che 1,...,m K{0}. n mPer (1) e (2) si ha che  ixi=  jyj segue allora da Errore. Largomento parametro è i 1 j1sconosciuto. che:m=n e iji permutazione di {1,..,n} t.c. xi= y j e i=  j i=1,...,n i ie questo evidentemente ci dice proprio che le due rappresentazioni coincidono.Dim (2)(1) (esercizio)Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c.  x ++ x = 1 1 n n E dobbiamo provare allora che1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:  2   3   n x1= x2+ x3++ xn  1   1   1 APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 23
  • 24. ma ovviamente si può scrivere anche x1=1x1 e quindi x1 ammetterebbe due rappresentazioni distintee siamo ad un assurdo e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente si prova che2=3=...=n=0 c.v.d.COROLLARIO [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, Asono allora equivalente:(1) A è linearmente indipendente(2) xA non si può esprimere come combinazione lineare di altri vettori di ADim (1)(2) (esercizio)Teniamo presente che per Hp A è linearmente indipendente e che quindi per il teorema precedenteogni combinazione lineare di vettori di A si può scrivere in modo unico (ovviamente a menodell’ordine degli addendi). Fissato ad arbitrio xAspan(A) osserviamo che banalmente si puòscrivere x=1x e quindi necessariamente per unicità di scrittura x non si può esprimere come c.l. dialtri vettori di c.v.d.Dim (2)(1)Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c.  x ++ x = 1 1 n n E dobbiamo provare allora che1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:  2   3   n x1= x2+ x3++ xn  1   1   1 e siamo ad un assurdo per l’Hp e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente siprova che 2=3=...=n=0 c.v.d. Richiamiamo adesso alcune nozioni già date nel corso di Algebra.RELAZIONE D’ORDINE ED INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI [2011/Errore . Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un qualunque insieme. Diciamo allora che in X è definita una relazione d’ordine (parziale)e si indica con il simbolo (di minore o uguale )  se tale relazione gode delle seguenti tre proprietà:(1) Proprietà riflessiva: xx(2) Proprietà antisimmetrica:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 24
  • 25. se persi x,yX con xy e yx  x=y(3) Proprietà transitiva: se presi x,y,z X con xy e yz  xzIn tal caso l’ins. X si dice parzialmente ordinato (brevemente p.o.) e si indica con la coppia (X,).Diciamo che gli elementi x,yX sono confrontabili se xy o yx. Siano x,yX due elementiconfrontabili allora con la scrittura xy intendiamo yx.CATENA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e X allora un sottoinsieme AX si dice catena o totalmente ordinato se tutti i suoielementi sono confrontabili (cioè (A,) è totalmente ordinato).MAGGIORANTE E MINORANTE DI UN INSIEME [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e AX non vuoto. Se yX t.c. xy xA diciamo che l’elemento y di X è unmaggiorante dell’insieme A. Se yX t.c. yx xA diciamo che l’elemento y di X è unminorante dell’insieme A.INSIEMI LIMITATI SUPERIORMENTE, INSIEMI LIMITATI [2011/Errore.INFERIORMENTE ED INSIEMI LIMITATI Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e AX non vuoto. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette maggiorante.Analogamente diciamo che A è limitato inferiormente se ammette minorante. Diciamo che A èlimitato se è limitato inferiormente e superiormente.MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) e AX non vuoto. Se mA t.c. xm xA allora l’elemento m si dice massimo perl’insieme A e si denota usualmente con maxA:=m. Ovviamente se tale elemento m esiste è unico.Se mA t.c. mx xA allora l’elemento m si dice minimo per l’insieme A e si denotausualmente con minA:=m. Ovviamente se tale elemento m esiste è unico.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 25
  • 26. ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) parzialmente ordinato, AX non vuoto e supponiamo che e xX tale che:(1) x maggiorante per A(2) yx yX maggiorante per Adiciamo allora che tale x é l’estremo superiore di A e si denota con supA:=x. Ovviamente postoK:={yX : xy xA} (cioè K è l’insieme dei maggioranti di A) allora supA:=minK cioèsupA è il più piccolo dei maggioranti di A. Ovviamente se tale elemento x esiste è unicoAnalogamente supposto che xX tale che:(1) x minorante per A(2) xy yX minorante per Adiciamo allora che tale x é l’estremo inferiore di A e si denota con infA:=x. Ovviamente postoK:={yX : yx xA} (cioè K è l’insieme dei minorante di A) allora infA:=maxK cioè infA è ilpiù piccolo dei minoranti di A. Ovviamente se tale elemento m esiste è unicoPROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) un insieme p.o.AX, Aallora A ammette massimo  A ammette estremo superiore e supAADim  (esercizio)Per Hp A ammette massimo  mA t.c. xm xA  m maggiorante di A  A ammetteestremo superiore ed ovviamente supA=mA c.v.d.Dim  (esercizio)Per Hp supAA e quindi essendo in particolare supA un maggiorante di A segue che xsupAxA  maxA=supA c.v.d. Analogamente si dimostra la seguente proprietà.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) un insieme p.o.AX, Aallora A ammette minimo  A ammette estremo inferiore e infAAAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 26
  • 27. ELEMENTO MASSIMALE ED ELEMENTO MINIMALE [2011/Errore . Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) (cioè X è parzialmente ordinato). Se x*X tale che preso xX e x*x  x*=x, diciamoallora che tale elemento x* è un massimale rispetto al dato ordine (parziale o totale). Analogamentese x*X tale che preso xX e xx*  x*=x, diciamo allora che tale elemento x* è un minimalerispetto al dato ordine. Si faccia bene attenzione al fatto che dire che x* è elemento massimale perX non significa necessariamente che x* è il massimo dell’insieme poiché se così fosse alloradovrebbe accadere che:xX  xx*cioé si avrebbe che x* confrontabile con ogni elemento di X e questo evidentemente non ènecessariamente vero se x* è un elemento massimale. Chiaramente se x*X è il max dell’insiemeX allora x* chiaramente è un elemento massimale. Analoghe osservazioni valgono per unl’elemento minimale.ESEMPI [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia X un ins. non vuoto e consideriamo l’ins. delle parti di X che si indica solitamente con P(X)oppure con 2X. Introduciamo allora in P(X) la seguente relazione:dati A,BP(X) allora AB  ABsi verifica banalmente che questa è una relazione d’ordine parziale cioè che soddisfa alle treproprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e viene detta relazione di inclusione.Evidentemente in P(X) con la relazione di ordine parziale sopra definita, una catene è una famiglia{A}iI di sottoinsieme di X tali che A1A2...Ak... e banalmente tale catena ammette maggioranteche come subito si intuisce è dato dal unione dei membri della famiglia. Si verifica banalmente cheanche la relazione d’inclusione inversa cioé:A,BP(X) allora AB  AB (ovvero BA)è una relazione d’ordine parziale in P(X).ASSIOMA DELLA SCELTA [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Dato un insieme X  una funzione :P(X)X t.c. (A)A AP(X)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 27
  • 28. Naturalmente in un insieme parzialmente ordinato non è detto che esistano elementiminimali e massimali, né per un suo sottoinsieme elementi minoranti e maggioranti, estremoinferiore e superiore, minimo e massimo. Tuttavia il seguente lemma dovuto a Zorn equivalenteall’assioma della scelta (cioé se assumiamo il lemma di Zorn come assioma fondamentale alloral’assioma della scelta si può dimostrare mediante tale lemma) ci garantisce una condizionesufficiente per l’esistenza di elementi massimali (risp. minimali).LEMMA DI ZORN [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia (X,) cioè un insieme parzialmente ordinato. Se ogni catena in X ammette almeno unmaggiorante (risp. minorante) in X allora X possiede almeno un elemento massimale (risp.minimale) La seguente proprietà ci assicura che data una famiglia di insiemi chiusa rispettoall’intersezione finita allora in corrispondenza di una sua sottofamiglia numerabile se ne puòcostruire un’altra non crescente rispetto alla relazione di inclusione e i cui termini sono contenutinei corrispondenti della sottofamiglia di partenza. Ad esempio come abbiamo già osservato lerispettive famiglie degli insiemi convessi, equilibrati ed assolutamente convessi sono chiuse rispettoall’intersezione e quindi banalmente in particolare sono chiuse rispetto all’intersezione finita epertanto a tale famiglie possiamo applicare la proprietà suddetta dimostrata qui di seguita.PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia XF famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’intersezione finita{An}nN sottofamiglia (numerabile) di FTs: {Bn}nN sottofamiglia di F t.c. BnAn nN e Bn+1Bn nNDim (esercizio)Fissato n N poniamo: nBn:=  Ai i=1Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promessenella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché percostruzione i Bn sono intersezione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispettoall’intersezione finita). Banalmente BnAn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie{Bn}nN è non crescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 28
  • 29. n+1 nBn+1:=  Ai=  Ai:=Bn c.v.d. i=1 i=1PROPRIETÀ [2011/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia XF famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’unione finita{An}nN sottofamiglia (numerabile) di FTs: {Bn}nN sott.fam. di F t.c. AnBn nN, BnBn+1 nN e  An=  Bn nN nNDim (esercizio)Fissato n N poniamo: nBn:=  Ai i=1Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promessenella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché percostruzione i Bn sono unione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispettoall’unione finita). Banalmente AnBn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie {Bn}nN ènon decrescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti: n n+1Bn:=  Ai  Ai:=Bn+1 i=1 i=1Verifichiamo quindi procedendo per doppia inclusione che l’unione dei membri di {An}nN èuguale all’unione dei membri di {Bn}nN.Proviamo che  An  Bn: nN nNovvio poiché AnBn n . NProviamo che  Bn  An: nN nN n*sia x  Bn  n*N t.c. xB :=  A   A n* i n c.v.d. nN i=1 nN 22-11-95BASE DI HAMEL [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, AE (finito o non finito) e A, diciamo allora che A è una basedi Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E. Dato uno sp. vett. E, allora considerato l‘insieme delle parti di tale spazio cioè P(E),sappiamo che possiamo considerare in esso la relazione di inclusione che come abbiamo giàAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 29
  • 30. osservato è una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo allora dimostrare il seguente teoremache caratterizzare completamente una base di Hamel in un qualunque spazio vettoriale, ed inparticolare esprime la massimalità di una base di Hamel nella famiglia degli insiemi l.i. (cioè seAE è una base di Hamel e BE l.i. tale che AB allora necessariamente deve essere che A=B).TEOREMA [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KAE, Aallora le seguenti affermazioni sono equivalenti:(1) A è una base di Hamel per E(2) A è un insieme l.i. massimale rispetto alla famiglia degli insiemi l.i.Dim (1)  (2)Ovviamente essendo A base di Hamel  A linearmente indipendente. Dimostriamo che A èmassimale nella famiglia degli insiemi linearmente indipendenti. Sia quindi BE linearmenteindipendente tale che AB e facciamo vedere che A=B. Supponiamo per assurdo che AB x0 BA e quindi poiché span(A)=E allora il vettore x0 lo possiamo esprimere come: nx0=  ixi dove x1,...,xnAB con xixj se ij, 1,...,n K i 1Osserviamo che essendo per Hp B l.i. allora ogni combinazione lineare dei suoi vettori ammette unarappresentazione unica e quindi in particolare essendo x0B allora lo possiamo esprimereunicamente come x0=1x0 e quindi: nx0=  ixi=1x0 i 1e pertanto necessariamente j=1,...,n t.c. i=0 se ij , j=1 e xj=x0 e quindi x0=xjA assurdopoiché x0BA. Resta così provata la tesi.Dim (2)  (1)Bisogna provare solo che span(A)=E. Procediamo per assurdo, ovvero supponiamo che siaspan(A)E  che x0Espan(A), ovviamente ciò significa che x0A  AAx0. Vogliamofare vedere che Ax0 è l.i., cioé:x1,...,xn,x0Ax0 t.c. xixj se ij, x0+1x1+...+nxn=E  i=0 i=1,...,n e =0se per assurdo fosse 0 allora x0 sarebbe combinazione lineare dei vettori x1,...,xnA e quindisarebbe un elemento del sottospazio span(A) e ciò non è possibile e pertanto otteniamo che:1x1+...+nxn=EAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 30
  • 31. segue allora da questa e dalla lineare indipendenza dei vettori x1,...,xn che 1=2=...=n=0. E quindiAx0 è un insieme l.i. che contiene propriamente A e ciò è assurdo poiché per Hp A è massimale c.v.d. Diamo ora la dimostrazione di un teorema che garantisce l’esistenza di una base di Hamelper un qualunque spazio vettoriale.TEOREMA [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialeDE un insieme l.i.Ts: esiste almeno una base di Hamel che contiene DDimConsideriamo la famiglia:E:=AE : A è l.i. e DAche è ovviamente non vuota poiché almeno DE. Consideriamo quindi su tale famiglia El’ordinamento parziale definito dalla relazione di inclusione, cioè:A1,A2 E, A1A2  A1A2.Ci proponiamo di dimostrare che tale famiglia E ammette elemento massimale e a tale scopofacciamo uso del lemma di Zorn e dimostriamo quindi che ogni catena ammette maggiorante. Siaquindi CE una catena arbitraria in E, e verifichiamo che essa ammette maggiorante.Consideriamo:~A :=  C CC ~e verifichiamo che A è il maggiorante cercato della catena C e quindi dobbiamo verificare che~ ~ ~ ~A E e che C A CC. Affinché A E deve essere D A e A linearmente indipendente. Fissatoun qualunque CC allora per definizione si ha che ~ ~DC A . Ovviamente A è l.i. infatti siano: ~x1,...,xn A t.c. xixj se ij, 1x1+...+nxn=E ~allora dal momento che ogni xi A si ha che i=1,...,n CiC t.c. xiCi e poiché tutti i Ci sonoconfrontabili ne esisterà uno che contiene ogni xi ed essendo tale insieme un membro di C sarà l.i. ~ ~per cui si conclude proprio che i=0 i=1,...,n. Banalmente per come è definito A si ha C A ~CC. E quindi A è un maggiorante della catena C e pertanto dal lemma di Zorn segue che Eammette elemento massimale cioè:A*E t.c. se BE e AB allora A=BAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 31
  • 32. Ovviamente essendo A*E allora DA* e A* linearmente indipendente. Banalmente A* è anchemassimale nella famiglia degli insiemi l.i., infatti preso BE l.i. t.c. A*B allora essendo DA* DB  BE e pertanto essendo A* elemento massimale di E allora A*=B. E quindi segue Errore.Largomento parametro è sconosciuto. che A* è una base di Hamel per E c.v.d. Dimostriamo adesso che due basi di Hamel dello stesso spazio vettoriale hanno la medesimacardinalità cioè sono equipotentiPROPOSIZIONE [2211/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettorialesiano A,BE due basi di Hamel per ETs: card(A)=card(B)DimDistinguiamo i due casi rispettivamente il caso in cui A e B sono finiti (cioè hanno cardinalitàfinita) ed il caso in cui A e B sono finiti. Consideriamo quindi il caso in caso in cui A e B sono finiticioé m,n N finiti t.c. card(A)=n<+ e card(B)=m<+. In tale situazione A e B sono del tipoA:=x1,...,xne B:=y1,...,ym ed essendo A base di Hamel ogni yj è combinazione lineare dei vettoridi A, ovvero: nj=1,...,m 1j,...,njK t.c. y =   x j ij i (1) i 1Consideriamo il sistema lineare omogeneo nelle incognite 1,...,m:11   12  ...... 1m   0 1 2 m21 1  22 2 ...... 2 m m  0....................................................................................n1 1  n2 2 ......  nm m  0se per assurdo fosse n<m allora tale sistema ammetterebbe una soluzione non nulla che chiamiamo(1,...,m). Moltiplicando ambo i membri della (1) per j e sommando sull’indice j otteniamo:m m n n m n  m  jyj=  j  ijxi=   jijxi=    jij  xi  (2)j1 j1 i 1 i 1 j1 i 1 j1e quindi essendo (1,...,m) soluzione del sistema omogeneo allora:m jij=0 (3)j1segue pertanto dal primo membro della (2) e dalla (3) che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 32
  • 33. m jyj=Ej1ma dal momento che B è l.i., affinché tale scrittura sia vera dovrebbe essere nulla lam-upla (1,...,m) e si perviene ad un assurdo quindi deve essere nm. Ovviamente scambiando ilruolo di A e di B si ottiene nm e quindi n=m.Mettiamoci adesso nel caso in cui A e B non sono finiti. Fissato ad arbitrio un vettore xA,osserviamo che essendo B una base di Hamel di E allora possiamo esprimere xA comecombinazione lineare finita di vettori di B cioè: ny1x,...,ynxB e 1x,...,nxK t.c. x=  ixyix i 1Consideriamo l’insieme finito:F(x):=y1x,...,ynxOvviamente  F(x)B, vogliamo allora verificare che è una base di Hamel di E. xAPer Hp A è una base di Hamel di E  che ogni elemento zE è combinazione lineare di elementi diA cioè: nx1,...,xnA e 1,...,nK t.c. z=  ixi i 1e poiché ogni xi è c.l. di elementi di F(xi), segue allora che zE è c.l. di elementi di  F(x) e xAchiaramente tale insieme è l.i. in quanto è un sottoinsieme di B che è l.i. e quindi  F(x)B è xAuna base di Hamel e per la sua massimalità deve essere  F(x)=B. Un risultato più generale xA  dell’algebra ci garantisce che card   Xi card(I) dove {Xi}iI è una famiglia di insiemi finiti ed  i I  I è un insieme infinito di indici segue allora che card  F(x) card(A) e quindi  xA card(B)card(A). Naturalmente scambiando il ruolo di A e di B si ottiene card(A)card(B) ed ilteorema risulta dimostrato. 24-11-95 Abbiamo visto nella lezione precedente che in uno spazio vettoriale tutte le basi di Hamelhanno la stessa cardinalità e quindi ha senso dare la seguente definizione.DIMENSIONE ALGEBRICA DI UNO SPAZIO VETTORIALE [2411/Error e.APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 33
  • 34. Largoment o parametro è sconosciuto .]Sia E uno spazio vettoriale su K, si definisce dimensione algebrica di E la cardinalità di una suaqualsivoglia base di Hamel. Vi è una notevole differenza tra gli spazi di dimensione finita e quelli didimensione infinita, poiché le proprietà di cui godono sono diverse, ad esempio uno spazio didimensione n si può identificare con K n mentre uno di dimensione infinita no.SPAZIO VETTORIALE QUOZIENTE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su K, FE sottospazio vettoriale. Introduciamo su E una relazione cosìdefinita:x,yE xy  x-yF.Verifichiamo che tale relazione è di equivalenza: (Riflessività) xx, infatti x-x=EF (Simmetria) xy  yx, infatti se x-yF poiché F è sottospazio vettoriale anche y-xF e quindi yx. (Transitività) xy, yz  xz, infatti se x-yF ed y-zF anche x-y+y-z=x-zF ovvero xz.Ovviamente il fatto che la relazione sia di equivalenza ci garantisce che induce una partizione diclassi di elementi equivalenti, nasce quindi uno sp. quoziente così definito:E/F=[x], [y],... (si legge E modulo F oppure E quozientato F)dove appunto [x]=zE : zx={zE : z-xF}. Se in E/F si considerano le operazioni così definite(viste nel corso di algebra): [x]+[y]=[x+y] [x],[y]E/F [x]=[x] Kallora rispetto a tali operazioni E/F è uno spazio vettoriale. Detta adesso [w] la classe nulla di E/F(cioè [x]+[w]=[x] [x]E/F) vogliamo verificare che [w]=F. Procediamo per doppia inclusione.Verifichiamo che [w]F:[x]+[w]=[x+w] e poiché [w] è la classe nulla  [x]=[x+w]  (x+w)x x+w-x=wF  [w]FVerifichiamo che F[w]:consideriamo un arbitrario xF e y,zE t.c. yz  y-zF ed essendo F un sottospazio vettorialeallora x+y-zF  (x+y)z e quindi:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 34
  • 35. [x+y]=[z] (1)Analogamente poiché y-zF  (x+y)-(x+z)F  (y+x)(x+z) e quindi:[x+y]=[x+z] (2)segue allora dalla (1) e dalla (2) che [z]=[x+z]=[x]+[z]  x[w] F[w]OPERATORI LINEARI [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Si ricorda che data una applicazione (o trasformazione) a questa si riserva il nome di operatore se èdefinita tra spazi vettoriali e in particolare prende il nome di funzionale se è a valori in K. Siano Eed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore, diciamo allora che T è un operatore (ofunzionale se F= K) lineare se:T(x+y)=T(x)+T(y) , K e x,yESi verifica facilmente che la composizione di operatori lineari è un operatore lineare,oppure che la somma di operatori lineari è un operatori lineare, oppure che il prodottodi uno scalare per un operatore lineare è un operatore lineare.NUCLEO RADIALE DI UN OPERATORE LINEARE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore lineare. Diciamoallora nucleo radiale dell’operatore lineare T l’insieme: -Ker(T):=T 1(F)={xE : T(x)=F}cioè l’ins. dei vettori di E che si trasformano tramite T in F. Ovviamente Ker(T) non è mai vuotopoichè per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. almeno EKer(T). Si osserva chebanalmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E, infatti fissati x,yKer(T) e , K si hache:T(x+y)=per la linearità=T(x)+T(y)=F+F=Fovvero x+yKer(T).PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E ed F K-spazi vettorialiT:EF lineareTs: T(E)=FDim (esercizio)APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 35
  • 36. Poiché Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E allora necessariamente deve essere che EKer(T) T(E)=F c.v.d. Dimostriamo adesso alcune proprietà degli operatori lineari.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF operatore lineareAllora T è iniettivo  Ker(T)={E}.Dim  (ovvia)Poiché per Hp T è iniettivo  T(x)=E  x=E  Ker(T)={E} c.v.d.Dim Supponiamo per assurdo che T non sia iniettivo cioè che x,yE con xy t.c. T(x)=T(y) e poiché Tè lineare segue che T(x-y)=F  x-yKer(T)={E}  x-y=E  x=y assurdo poiché avevamoscelto xy c.v.d. La seguente proposizione ci dice che l’immagine inversa di un punto tramite un applicazionelineare è una varietà affine.PROPOSIZIONE [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore linearey0T(E)Ts.: T-1(y0)=x0+Ker(T) (dove x0 è un punto arbitrario di T-1(y0))DimDimostriamo che T-1(y0)x0+Ker(T):sia xT-1(y0)  T(x)=y0 ,possiamo esprimere x come x=x0+(x-x0) osservando allora che T(x-x0)=T(x)-T(x0)=y0-y0=F  x-x0 Ker(T) segue allora che il vettorex=x0+(x-x0)x0+Ker(T)  T-1(y0)x0+Ker(T)Dimostriamo che x0+Ker(T)T-1(y0):Sia xx0+Ker(T)  x è del tipo x=x0+z con zKer(T) e quindi osservando cheT(x)=T(x0+z)=T(x0)+T(z)=y0+F=y0  xT-1(y0)  x0+Ker(T)T-1(y0) c.v.d. Si tenga presente che generalmente la restrizione di un’applicazione lineare ad un insiemequalunque non è una applicazione lineare ma se l’insieme è un sottospazio allora la linearità siAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 36
  • 37. conserva. Tale risultato si desume agevolmente dalla seguente prop. che ci dice che il trasformato diun sottospazio vettoriale tramite un operatore lineare è un sottospazio.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareGE sottospazio vettorialeTs: T(G) è un sottospazio di FDim (ovvia)Dobbiamo dimostrare che:z,wT(G) e , K  z+wT(G)Siano quindi z,wT(G) e ,K. Poiché z,wT(G)  x,yG t.c. T(x)=z e T(y)=w e quinditenendo presente che T è lineare per Hp si ha:z+w=T(x)+T(y)=T(x+y)ed essendo G un sottospazio  che x+yG  z+w=T(x+y)T(G) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Sia E uno spazio vettoriale su KT:E K funzionale lineareTs: T è surgettivo oppure è identicamente nulloDim (esercizio)Si tenga presente che K si può rigurdare come uno sp. vett. su se stesso ed evidentemente gli unicisott.sp. che ammette sono quello banale cioé {0} e se stesso. E quindi poiché per la proprietàprecedente T manda sott.sp. in sott.sp. allora può accadere che T(E)={0} (cioé T(x)=0 xE)oppure T(E)= K (cioé T surgettivo).PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivo -Ts: T 1:T(E)E è un operatore lineareDim (ovvia)Siano . K e y ,y T(E)  x ,x E t.c. y =T(x ) e y =T(x ) ed ovviamente per l’inettività 1 2 1 2 1 1 2 2 -1 -1x1=T (y1) e x2=T (y2). Segue allora che:APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 37
  • 38. - - -T 1(y1+y2)=T 1(T(x1)+T(x2))=per la linearità =T 1(T(x1+x2))=per l’iniettività= -1 -1x1+x2=T (y1)+T (y2) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareTs: gr(T):={(x,T(x)) : xE} è un sottospazio vettoriale del prodotto EFDim (ovvia)Dobbiamo provare che:z1+z2gr(T) z1,z2gr(T) e , KSiano , K e z ,z gr(T)  x ,x E t.c. z =(x ,T(x )) e z =(x ,T(x )). Per Hp E è uno spazio 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2vettoriale  x1+x2E  T(x1+x2)T(E) si ha allora che:z1+z2=(x1,T(x1))+(x2,T(x2))=(x1+x2,T(x1)+T(x2))=per la linearità dell’operatoreT=(x1+x2,T(x1+x2))gr(T) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE convessoTs: T(A) è convessoDim (esercizio)Dobbiamo provare che:z1,z2T(A) z1+(1-)z2T(A) [0,1]Siano quindi z1,z2T(A)  x,yA t.c. z1=T(x) e z2=T(y). Tenendo presente che per la convessitàdi A il vettore x+(1-)yA, si ha allora che:z1+(1-)z2=T(x)+(1-)T(y)=per la linearità di T=T(x+(1-)y)T(A) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE equilibratoTs: T(A) è equilibratoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 38
  • 39. Dim (esercizio)Dobbiamo provare che:zT(A) e  K con ||1  zT(A)Sia zT(A) e K con ||1. Poiché zA è del tipo z=T(x) per un opportuno xA. Teniamopresente che per Hp A è equilibrato e quindi xA, si ha allora che:z=T(x)=per la linearità di T=T(x)A c.v.d.COROLLARIO [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE assolutamente convessoTs: T(A) è assolutamente convessoPROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareAE, ATs: T(span(A))=span(T(A))Dim (esercizio)Proviamo che T(span(A))span(T(A)):Sia yT(span(A))  xspan(A) t.c. y=T(x) e poiché xspan(A)  x1,...,xnA e 1,...,n K nt.c. x=  ixi e quindi osserviamo che: i 1  n  ny=T(x)=T   ixi =per la linearità=  iT(xi)  i 1 i 1cioé siamo riusciti a scrivere y come c.l. di vettori di T(A) e pertanto yspan(T(A)).Proviamo che span(T(A))T(span(A)): nsia yspan(T(A))  y1,...,ynT(A) e 1,...,n K t.c. y=   y i i e poiché y1,...,ynT(A)  i 1x1,...,xnA t.c. y1=T(x1), y2=T(x2), ..., yn=T(xn) e quindi: n n  n y=  iyi=  iT(xi)=per la linearità=T  ixi  i 1 i 1  i 1 cioé siamo riusciti a scrivere y come immagine di un vettore di span(A) e pertanto yT(span(A)) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 39
  • 40. Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoAE, A linearmente indipendenteTs: T(A) è linearmente indipendenteDimProviamo che T(A) è linearmente indipendente, siano quindi: K t.c.  y ++ y =y1,...,ynT(A) a due a due distinti e 1,...,n 1 1 n n Fdobbiamo provare allora che i coefficienti 1,...,n=0K. Poiché yiT(A) i=1,...,n  i=1,...,nxiA t.c. yi=T(xi). Osserviamo allora che:F=1 y1++nyn=1T(x1)++nT(xn)=T(1x1++nxn)e quindi 1x1++nxnKer(T) e poiché per Hp T è iniettiva  Ker(T)={E} e quindi1x1++nxn=E ed essendo x1,...,xnA con A l.i. (e banalmente a due a due distinti) deve alloranecessariamente essere che 1,...,n=0K c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoAE una base di Hamel per ETs: T(A) è base di Hamel per T(E)FDimDobbiamo provare che T(A) è linearmente indipendente e che span(T(A))=T(E). Per Hp A base diHamel  A l.i. segue allora da Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che T(A) è l.i.. Esempre per il fatto che A è una base di Hamel si ha che span(A)=E e quindi:span(T(A))=per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto.=T(span(A))=T(E) c.v.d. Facciamo vedere adesso che l’immagine inversa di un’applicazione lineare soddisfa aproprietà analoghe.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBF convesso -Ts: T 1(B) è convessoAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 40
  • 41. Dim (esercizio)Dobbiamo provare che: - -x1,x2T 1(B) x1+(1-)x2T 1(B) [0,1]ovvero che: -x1,x2T 1(B) T(x1+(1-)x2)B [0,1] -Sia quindi [0,1] e x1,x2T 1(B)  T(x1)B e T(x2)B. Tenendo presente che per la convessitàdi B il vettore T(x1)+(1-)T(x2)B, si ha allora che:T(x1+(1-)x2)=per la linearità di T=T(x1)+(1-)T(x2)B c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBF equilibrato -Ts: T 1(B) è equilibratoDim (esercizio)Dobbiamo provare che: -xT 1(B) e  K con ||1  xT- (B) 1ovvero che: -xT 1(B) e  K con ||1  T(x)BSia quindi  K con ||1 e xT- (B)  T(x)B. Teniamo presente che per Hp B è equilibrato e 1quindi il vettore T(x)B, si ha allora che:T(x)=per la linearità di T=T(x)B c.v.d.COROLLARIO [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBF assolutamente convesso -Ts: T 1(B) è assolutamente convessoPROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineareBT(E), B - -Ts: span(T 1(B))T 1(span(B))APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 41
  • 42. Dim (esercizio) n -1 -1Sia xspan(T (B))  x1,...,xnT (B) e 1,...,n K t.c. x=   x e quindi: i i i 1  n  nT(x)=T   ixi =per la linearità=  iT(xi)  i 1 i 1cioé siamo riusciti a scrivere T(x) come c.l. di vettori di B, ovvero come un vettore di span(B) e -pertanto T(x)span(B)  xT 1(span(B)) c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoBT(E), B e linearmente indipendente -Ts: T 1(B) è linearmente indipendenteDim (esercizio) -Posto G:=T 1:T(E)E allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. G è unoperatore lineare e quindi segue dalla Errore. Largomento parametro è sconosciuto. che -G(B)=T 1(B) è lineare c.v.d.PROPRIETÀ [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F due spazi vettoriali su KT:EF un operatore lineare iniettivoBT(E) una base di Hamel per T(E) -Ts: T 1(B) è base di Hamel per EDim (esercizio) -Posto G:=T 1:T(E)E allora per la Errore. Largomento parametro è sconosciuto. G è unoperatore lineare ovviamente iniettivo e quindi segue dalla Errore. Largomento parametro è - -sconosciuto. che G(B)=T 1(B) è una base di Hamel per G(T(E))=T 1(T(E))=E c.v.d.TEOREMA [2411/Errore. Largomento parametro è sconosciuto.]Siano E,F spazi vettoriali su KAPPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 42
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