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  • 1. 1. Definición y elementos2. Clasificación de los ángulos3. Propiedades4. Posiciones relativas de dos rectas en el plano5. Ángulos formados por dos rectas al ser cortadas por una recta secante.
  • 2.  los ángulos son aquellas figuras constituidas por la conjunción de dos líneas en un punto común o vértice. Para que un ángulo se forme, las líneas que forman parte del proceso no pueden ser paralelas entre sí ya que eso implica que no hay contacto entre ambas y por tanto no se forma ninguna superficie común entre ellas. Como es bien conocido, hay diferentes tipos de ángulos y el grado de inclinación o el tamaño del mismo dependerán de la distancia que separe a las dos o más líneas intervinientes en la figura. Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:  Forma geométrica: Se denomina "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.  Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.
  • 3.  Medida de un Ángulo:• Los ángulos se miden en grados sexagesimales (º), la medida de un ángulo se encuentra usando un instrumento llamado transportador.• Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos delplano son:Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional deUnidades)Grado centesimalGrado sexagesimalLos ángulos se pueden medir mediante utensilios tales comoel goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina,el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.
  • 4. En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienenlos lados iguales y el mismo tamaño (o también, estánrelacionados por un movimiento) si existe una isometría que losrelaciona: una transformación que es combinación detranslaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figurasson congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque suposición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes delas figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Símbolo Nombre α Alfa β Beta γ Gamma θ Theta π Pi
  • 5. Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ánguloscongruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuranángulos opuestos por el vértice congruentes. Bisectriz de un Ángulo:La bisectriz de un ángulo formado por dos rectas r y s que se cortanen el punto V se define como el lugar geométrico de los puntos delplano que están a la misma distancia de la recta r que de la recta s.La bisectriz de un ángulo es otra recta concurrente con las dos queforman el ángulo, es decir, que pasa también por el vértice V delángulo.
  • 6. Evidentemente, dos rectas r y s que se cortan dividen al plano encuatro regiones y forman igualmente cuatro ángulos distintos conel mismo vértice. De estos cuatro ángulos los que son opuestos porel vértice son iguales entre sí y los adyacentes soncomplementarios. Los ángulos opuestos por el vértice compartenla misma bisectriz, mientras que las bisectrices de dos ánguloscomplementarios adyacentes son ortogonales (perpendiculares).
  • 7. Para determinar la bisectriz del ángulo determinado por dossemirectas r y s con origen en un vértice común V habrá quedeterminar primero un punto P que equidiste de las dos semirectas.Una vez determinado éste, la semirecta con origen en V que pasapor el punto P será la bisectriz buscada.Una posibilidad es trazar una recta paralela a r a una distancia d dela misma, y otra recta paralela a s que esté a la misma distancia d deella. Ambas paralelas se cortarán en un punto P, que equidista de r ys, siendo por lo tanto la recta VP la bisectriz del ángulo formado por ry s.
  • 8. Dados un punto M sobre la recta r y otro punto N sobre la recta s,ambos a la misma distancia del vértice V, la bisectriz del ánguloformado por las rectas r y s coincidirá con la mediatriz del segmentoMN, lo que nos brinda una construcción alternativa de la bisectriz deun ángulo.Cuando el vértice del ángulo no es accesible (está fuera de loslímites del papel) se dibuja una recta cualquiera que atraviese a lasdos dadas. Se dibujan las bisectrices de los cuatro ángulos que seforman entre las dos rectas dadas y la auxiliar. Uniendo los puntos decorte de las cuatro bisectrices se obtiene la bisectriz de las dosrectas dadas.
  • 9.  Según su medidaa) Ángulo Nulo: El ángulo nulo es un ángulo que mide 0°. Es un caso extremo en ladefinición de ángulos, dado que en realidad las dos semirrectas queforman el ángulo coinciden, no dejando ningún espacio entre ellas.También se puede decir que dos rectas paralelas forman un ángulonulo cuyo vértice está en el infinito. O B A m AOB = 0º д
  • 10. b)Ángulos convexosÁngulos Convexos y Cóncavos: El ángulo convexo es aquel que tienelas prolongaciones de sus lados hacia el exterior y el ángulo cóncavo,es aquel que tiene las prolongaciones de sus lados hacia el interior.
  • 11.  Ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es menor a 90°. Ángulo Recto: Es aquel cuya medida es 90°.
  • 12.  Ángulo Obtuso: Es todo ángulo cuya medida es mayor de 90°, pero menor que 180°
  • 13. Un ángulo llano mide 180 gradosd) Ángulo no convexoSu medida es de mayor que 180º y menor que 360º. B 180º < m AOB < 360º д O A
  • 14. La medida de un ángulo de una vuelta es igual a 360º. m AOB = 360º д
  • 15. a). Ángulos complementariosLos ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidassuman 90º.Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos.Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90° m A+m B = 90º д д
  • 16. Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma de medidas es 180° m A+m B = 180º д д c) Ángulos adyacentes Son dos lados que tienen el vértice y un lado común, el lado común es intermedio. A B Lado común Vértice comúnLos lados AOB y BOC son adyacentes. O C
  • 17. Son dos o mas ángulos adyacentes.e) Ángulos adyacentes suplementariosSon dos ángulos adyacentes y suplementarios. m BOA + m AOC = 180º д д
  • 18. Son dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos, son lasprolongaciones de los lados del otro, estos dos ángulos soncongruentes.Son los ángulos que teniendo el vértice común, los lados de uno sonprolongación de los lados del otro.Los ángulos 1 y 3 son iguales.Los ángulos 2 y 4 son iguales.
  • 19. Propiedad del ángulo rectoCuando a un ángulo recto se le divide en varios de ángulosconsecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 90º. A B C  β  + β + δ = 90º δ O DPropiedad del ángulo llanoCuando a un ángulo llano se le divide en varios ángulosconsecutivos, las medidas de dichos ángulos suman 180º. C B D β    + β +  + θ = 180º θ A E
  • 20. Propiedad del ángulo de una vueltaLas medidas de los ángulos consecutivos que completan unavuelta suman 360º. B C   δ A β D θ  +  + δ + θ + β = 360º ETeoremaLas bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios formanun ángulo que mide 90º. B * OM bisectriz del ángulo AOB. M  β N * ON bisectriz del ángulo BOC.  β A C m MON = 90º д
  • 21. Rectas oblicuasDos rectas en un plano son oblicuas cuando al cortarse formancuatro ángulos diferentes de un ángulo recto. L La notación: ↔ ↔ L1 L L1 ↔ ↔ ↔ ↔ Se lee la recta L es oblicua a la recta L 1 . L L 1Rectas perpendicularesDos rectas en un plano son Perpendiculares cuando al cortarseforman cuatro ángulos que miden 90º cada uno. L1 ↔ ↔ La notación: L L1 L ↔ Se lee: la recta L es Perpendicular a la recta L 1 ↔ ↔ L L
  • 22. Rectas ParalelasDos rectas en un plano son paralelas cuando por más que seprolonguen no llegan al cortarse. ↔ ↔ L La notación: L // L 1 ↔ ↔ Se lee: la recta L es Paralela a la recta L 1 L1 ↔ ↔ L // L 1
  • 23. Cuando dos rectas son cortadas por una recta secante, seforman ocho ángulos que reciben los siguientes nombres:Ángulos externos: son los ángulos 1; 2; 7 y 8Ángulos internos: son los ángulos 3; 4; 5 y 6Ángulos alternos externos: son los ángulos 1 y 8 ; 2 y 7Ángulos alternos internos: son los ángulos 3 y 6 ; 4 y 5Ángulos correspondientes: son los ángulos 1 y 5 ; 3 y 7 ; 2 y 6 ; 4 y 8Ángulos conjugados externos: son los ángulos 1 y 7 ; 2 y 8Ángulos conjugados internos: son los ángulos 3 y 5 ; 4 y 6 2 L 1 3 4 5 6 7 8 L1
  • 24. Ángulos formados por dos rectas paralelas al ser cortadaspor una recta secante:Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secantese cumple:1) Los ángulos alternos externos son congruentes. 1 2 ↔ ↔ m 1=m 8 L д д д д Si L // L 1 m 2=m 7 L1 7 82) Los ángulos alternos internos son congruentes. L ↔ ↔ m 3=m 6 3 4 д д д д Si L // L 1 m 4=m 5 5 6 L1
  • 25. 3) Los ángulos correspondientes son congruentes. ↔ ↔ m 1=m 5 д д д д д д д д Si L // L 1 1 2 m 3=m 7 L 3 4 m 2=m 6 m 4=m 8 5 6 7 8 L14) Los ángulos conjugados externos son suplementarios. m 1=m 7 = 180º 1 2 ↔ ↔ L д д д д Si L // L 1 m 2=m 8 = 180º L1 7 8
  • 26. 5) Los ángulos conjugados internos son suplementarios. m 3=m 5 = 180º 3 4 ↔ ↔ L д д д д Si L // L 1 m 4=m 6 = 180º 5 6 L1
  • 27. Ángulos de lados paralelosDos ángulos que tienen sus lados paralelos (2 a 2) son:Congruentes: si sus lados están dirigidos en el mismo sentido o ensentido opuesto.Suplementarios: si dos de sus lados están dirigidos en el mismosentido y los otros dos en sentido opuesto. B B1 A1 B B O1 β δ B1 θ O1 A1  B1 A1 O1  YO A O O A A → → → → → → Si OA // O 1 A 1 Si OA // O 1 A 1 Si OA // O 1 A 1 → → → → → → OB // O1 B 1 OB // O1 B1 OB // O1 B 1 =β Y=θ =δ
  • 28. Ángulos de lados perpendicularesDos ángulos que tienen sus lados perpendiculares (2 a 2) son:Congruentes: si los dos ángulos son agudos o los dos son obtusos.Suplementarios: si uno de ellos es agudo y el otro es obtuso. ▬ ▬ ▬ ▬ D Si BC AB, AD CD y : ,  : ángulos obtusos θ β, θ: ángulos agudos, C  Entonces: β=θ = β   + θ = 180º B A β +  = 180º

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