Unità didattica sui limiti - IIS "Einaudi-Scarpa" - Prof. Sorbaioli Francesco
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Unità didattica sui limiti - IIS "Einaudi-Scarpa" - Prof. Sorbaioli Francesco

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Presentazione di un'unità didattica sui limiti a cura del prof. Francesco Sorbaioli, insegnante presso l'IIS "Einaudi-Scarpa" di Montebelluna.

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Unità didattica sui limiti - IIS "Einaudi-Scarpa" - Prof. Sorbaioli Francesco Unità didattica sui limiti - IIS "Einaudi-Scarpa" - Prof. Sorbaioli Francesco Presentation Transcript

  • LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Breve storia del concetto di limite • Spesso si considera come data di nascita del concetto di limite il 1821, perché in quell'anno L. • A. Cauchy pubblica il suo Cours d'analyse, cioè l'opera che raccoglie le sue lezioni di analisi tenute • presso l'École Polytechnique di Parigi. Qui Cauchy dà una definizione di limite in questi termini: • "Allorché i valori successivamente assunti da una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a • un valore fissato, sì da differirne alle fine tanto poco quanto si vorrà, quest'ultima quantità è • chiamata il limite di tutte le altre". • Definisce poi sia la nozione di infinitesimo, una "variabile che ha zero come limite", sia quella di • infinito, una variabile i cui successivi valori numerici "crescono sempre più, in modo da superare • ogni numero dato". Tratta anche del limite di successioni, in particolare per la successione delle • somme parziali delle serie. • La formulazione che oggi usiamo per il limite di una funzione, è successiva ed è dovuta • principalmente a Karl Weirstrass (1815-1897). A Cauchy va il merito di aver dato una rigorosa • sistemazione ad un concetto che già da molto tempo era trattato dai matematici. Facendo un • percorso a ritroso, possiamo osservare che già attorno alla metà del XVIII secolo, la voce limite • appare nell'Encyclopedy di Diderot e d'Alembert. D'Alembert, che compila la voce assieme • all'Abbé de la Cappelle, sostiene la necessità di porre la teoria del limite alla base del calcolo • differenziale, calcolo che era stato scoperto da Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo, basato • sull'uso degli infinitesimi. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • • Le cosiddette “prime e ultime ragioni” della Philosophiae naturalis Principia mathematica (1687) • di Newton non sono altro che un modo un po' contorto per esprimere che due rapporti tendono allo • stesso limite. Il bolognese Pietro Mengoli nella sua Geometriae speciosae elementa (1659) aveva • dedicato un capitolo alla teoria dei limiti, fornendo diverse proprietà e teoremi e mostrando di avere • un'idea ben chiara di grandezza che tende all'infinito (quasi infinita), che tende a zero (quasi nulla) • o di due grandezze che tendono allo stesso limite (quasi aequales). Ma già i greci calcolavano dei • limiti di successioni, mediante il procedimento oggi detto metodo di esaustione. • Il metodo d'esaustione, ideato da Eudosso di Cnido (c.a. 408-355 a.C.), è un procedimento per • confrontare due grandezze omogenee (aree, volumi), non equiscomponibili rispettivamente in un • numero finito di triangoli o parallelepipedi, attraverso il confronto per equiscomponibilità di • grandezze omogenee incluse nella data o includenti la data e a questa approssimantesi. • Col metodo d'esaustione Eudosso mostrò che una piramide è la terza parte del prisma avente • la stessa base e stessa altezza, come pure un cono rispetto al cilindro con stessa base e stessa • altezza. Ne fece uso anche Euclide, mediante il quale dimostrò che il rapporto tra l'area del cerchio • e quadrato del diametro è costante, come pure tra volume della sfera e cubo del diametro. • Il più geniale maestro nell'uso del metodo di esaustione fu Archimede, mediante il quale ottenne quelle • che oggi noi diciamo le formule per trovare l'area del cerchio, la superficie o il volume di una sfera • e altri risultati ancora. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • • Per esempio, Archimede approssimò il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti a • partire dal quadrato e raddoppiando via via il numero dei lati e sostanzialmente provò che le aree • di tali poligoni tendono (quelli circoscritti per eccesso e quelli inscritti per difetto) a una stessa • grandezza, che è l'area del cerchio. • Sempre col metodo d'esaustione e approssimando l'area di un segmento di parabola con quella • di poligoni ottenuti dall'unione di successivi e opportuni triangoli, mostrò che l'area del segmento di • parabola è i 4/3 di quella del triangolo inscritto in tale segmento. • Possiamo quindi dire che le prime applicazioni del procedimento infinito di limite sono state per • calcolare aree e volumi. Ma il limite è anche l'unico strumento con cui poter, per così dire, • “maneggiare con sicurezza” tanto gli infinitesimi che gli infiniti. Oggi è il fondamento di tutto il • calcolo differenziale e integrale, le cui applicazioni sono numerosissime, non solo in matematica e • fisica, ma in tutte le scienze. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Premesse di metodo • Il concetto di limite è il fondamento concettuale del calcolo infinitesimale. Il concetto di limite è più un mezzo che un fine, il fine è introdurre la derivata e l'integrale. • Il concetto di limite è di per sé molto interessante, perché mostra come la matematica nei tempi moderni (dal 19° sec.) abbia saputo “domare” i procedimenti infiniti, strappare l’infinitesimo e l’infinito dal limbo delle idee vaghe o contraddittorie, e ricondurlo alle idee già note attorno ai numeri, per dare un ruolo fondamentale ai concetti di grandezza variabile, funzione, variabile logica. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Conseguenze didattiche : • Dare rilievo inizialmente alla definizione di limite, la comprensione del concetto, che non va confinato nel solo piano intuitivo, ma affrontato anche nel suo aspetto formale. • Questa comprensione è aiutata vedendo la definizione in azione, il che accade quando questa entra in qualche dimostrazione. • Il concetto di derivata costituirà la prima forte motivazione per cui “è valsa la pena” introdurre i limiti; avvicinare perciò i due argomenti nel tempo. • Allo studente non si deve chiedere di saper risolvere limiti complicati, ma forme fondamentali. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Obiettivi riguardo ai limiti: • Concettuale: comprendere la definizione di asintoto, continuità, derivata, integrale, e la dimostrazione di almeno alcuni teoremi di calcolo differenziale. • Computazionale: capire come si ricavano le formule di derivazione delle funzioni elementari, saper trovare gli asintoti di una funzione . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti) • La familiarità col concetto di funzione reale di variabile reale nei suoi vari aspetti logici, analitici, grafici. • Funzione come elemento sintetico tra algebra, trigonometria, geometria analitica, esponenziali e logaritmi. • Funzione come sequenza di istruzioni da “montare e smontare”, idea di composizione e dominio di una funzione composta (es. log di… radice di…). • Monotonia delle funzioni elementari e disequazioni. • Padronanza dei grafici delle funzioni elementari. • Dai grafici di funzioni elementari a quelli di traslate, dilatate, riflesse. • Funzioni definite “a pezzi” e funzione logica “se - allora”Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti) • Uso di valori assoluti e disuguaglianze. Occorre riprendere: • Il concetto di valore assoluto; • modulo della differenza come distanza sulla retta, significato geometrico di disuguaglianze come Il modulo del prodotto (quoziente) è il prodotto (quoziente) dei moduli, mentre il modulo della somma... disuguaglianza triangolare. Come si scrive una catena di disuguaglianze. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ? 1.LA DEFINIZIONE Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente. f(x) non si avvicina ad alcun valore determinato. Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che è proprio f(x0). x0 non appartiene al campo di esistenza. Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a un valore l che non è f(x0). Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • ESEMPIO Cosideriamo la funzione: . Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3? 1.LA DEFINIZIONE x f(x) 2,9 5,8 2,99 5,98 2,999 5,998 2,9999 5,9998 x f(x) 3,1 6,2 3,01 6,02 3,001 6,002 3,0001 6,0002 6 è |x – 3| < . Cioè, per ogni numero reale positivo e, se , allora . La condizione per avere |f(x) – 6| < e Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • 1.LA DEFINIZIONE DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x0 Si dice che la funzione f (x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x0, e si scrive , quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x0. In simboli . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Fissiamo ε > 0. Individuiamo un intorno I di x0 tale che per ogni . Se riduciamo e, troviamo un intorno di x0 più piccolo. Qual è il significato intuitivo della definizione? 2.IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE L’esistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l . In simboli . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Per ogni ε troviamo l’insieme dei valori di x che soddisfano la condizione 3. LA VERIFICA ESEMPIO Verifichiamo che . e verifichiamo che contenga un intorno di 2. Quindi , cioè da cui si ricava . In temini di intervalli: , che è un intorno di 2. Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • 4. LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Una funzione f è continua in x0 DEFINIZIONE Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D. Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. se x0 appartiene al dominio di f e il limite in x0 coincide con f(x0), cioè: . Funzioni continue in intervalli reali La funzione costante f(x) = k, continua in tutto R. La funzione polinomiale f(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R. La funzione radice quadrata , continua in R+ U {0}. Le funzioni goniometriche (esempi) f(x) = sen(x), continua in tutto R. f(x) = cotg(x), continua in R – {kp, }. La funzione esponenziale f(x) = ax , con a > 0, continua in tutto R. La funzione logartimica f(x) = logax, con a > 0, , continua in R+ . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • Il limite esiste e vale 3. Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0 escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3. La funzione tende a 3 da valori più grandi. 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l, Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori. si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive: . ESEMPIO Verifichiamo che . Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui 0 < (4x2 – 3) – (–3) < e , ossia 0 < 4x2 < e . La seconda, 4x2 < e , è soddisfatta per . La prima relazione, 0 < 4x2 , dà . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l, Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori. si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive: . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite destro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x0. Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno destro di x0, . Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l. DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno sinistro di x0, . Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)
  • 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO ESEMPIO Consideriamo la funzione e verifichiamo che , . Limite destro Verifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta in un intorno destro di 1. Soddisfatta in . Limite sinistro Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. Soddisfatta in . | (2x + 1) – 3 | < e - e < 2x – 2 < e | (3x – 1) – 2 | < e - e < 3x – 3 < e Prof. F. Sorbaioli Istituto Istruzione Superiore “Einaudi-Scarpa” Montebelluna(TV)