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Teorema del binomio
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Teorema del binomio

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  • 1. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 1 MATEMÁTICAS BÁSICAS TEOREMA DEL BINOMIO CONCEPTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un binomio como un polinomio. El desarrollo del binomio ( )n ba + posee singular importancia ya que aparece con mucha frecuencia en Matemáticas y posee diversas aplicaciones en otras áreas del conocimiento. FÓRMULA GENERAL DEL BINOMIO Sea un binomio de la forma ( )ba + . Si a este binomio se le multiplica sucesivamente por si mismo se obtienen las siguientes potencias: ( ) baba +=+ 1 ( ) ( )( ) 22 2 2 2 bababababa veces ++=++=+ ( ) ( )( )( ) 3223 3 3 33 babbaababababa veces +++=+++=+ ( ) ( ) ( ) 432234 4 4 464 babbabaabababa veces ++++=+⋅⋅⋅+=+ ( ) ( ) ( ) 54322345 5 5 510105 babbababaabababa veces +++++=+⋅⋅⋅+=+ ( ) ( ) ( ) 6542332456 6 6 61520156 babbabababaabababa veces ++++++=+⋅⋅⋅+=+ De lo anterior, se aprecia que: a) El desarrollo de n ba )( + tiene 1+n términos b) Las potencias de a empiezan con n en el primer término y van disminuyendo en cada término, hasta cero en el último c) Las potencias de b empiezan con exponente cero en el primer término y van aumentando en uno con cada término, hasta n en el último. d) Para cada término la suma de los exponentes de a y b es n . e) El coeficiente del primer término es uno y el del segundo es n . f) El coeficiente de un término cualquiera es igual al producto del coeficiente del término anterior por el exponente de a dividido entre el número que indica el orden de ese término. g) Los términos que equidistan de los extremos tienen coeficientes iguales.
  • 2. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 2 Ejemplo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 15 5 4 210 4 3 310 32 2 45 23 1 51 45 1 5 510105 ↑↑↑↑↑↑ +++++=+ babbababaaba es Aplicando las consideraciones expuestas en los incisos para el caso general se tiene: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 4433221 4321 32)1( 321 )2)(1( 21 )1( 1 ba nnnn ba nnn ba nn ba n aba nnnnnn −−−− −−− + −− + − ++=+ ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) nn bba nnnnn +⋅⋅⋅+ −−−− + − 55 54321 4321 Ahora, si se introduce la notación factorial, la fórmula del binomio puede escribirse así: ( ) ( )( ) 4433221 !4 32)1( !3 )2)(1( !2 )1( !1 ba nnnn ba nnn ba nn ba n aba nnnnnn −−−− −−− + −− + − ++=+ ( )( )( )( ) nn bba nnnnn +⋅⋅⋅+ −−−− + − 55 !5 4321 Ejemplo. Obtener el desarrollo de 4 )52( yx − Solución. Haciendo xa 2= y yb 5−= Aplicando la fórmula se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )4322344 552 !3 234 52 !2 34 52 !1 4 252 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4322344 552 6 24 52 2 12 52 1 4 252 yyxyxyxxyx −+−+−+−+=− ( ) 4322344 62510006001601652 yxyyxyxxyx +−+−=− EL R-ÉSIMO TERMINO DEL DESARROLLO BINOMIAL En el desarrollo binomial: ( ) nnnnnnnn bba n ba nn ba nnn ba nn ba n aba ++ − +⋅⋅⋅+ −− + − ++=+ −−−−− 112233221 !1!2 )1( !3 )2)(1( !2 )1( !1 si se decide llamar a un termino cualquiera del desarrollo como r-ésimo termino, entonces se encuentra que: • El exponente del término b del binomio es: 1−r • El exponente del término a del binomio es: ( ) 11 +−=−− rnrn • El denominador del coeficiente es: ( )!1−r • El numerador del coeficiente es: ( )( ) ( )221 +−⋅⋅⋅−− rnnnn
  • 3. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 3 En consecuencia el r-ésimo termino de la expansión de ( )n ba + es: ( )( ) ( ) ( ) 11 !1 221 −+− − +−⋅⋅⋅−− rbrna r rnnnn Ejemplo. Encontrar el quinto término del desarrollo 6 )5( yx + Solución. 5,6,5, ==== rnybxa , aplicando la expresión: ( )( )( ) ( ) ( ) 424242 375,9625155 !4 3456 yxyxyx == TEOREMA DEL BINOMIO EXPRESADO A TRAVÉS DE COMBINACIONES El desarrollo de la expresión ( )n ba + también se puede obtener aplicado la teoría del análisis combinatorio. Si se multiplica el binomio por si mismo de forma reiterada se obtiene: ( ) ( )( ) 222 2 bababbbaabaabababa ++=+++=++=+ ( ) ( )( ) bbbbbababbaaabbabaaabaaababbbaabaaba +++++++=++++=+ 3 3223 33 bbbaa +++= ( ) ( )( ) aabbaabaaaabaaaababbbbbababbaaabbabaaabaaaba +++=++++++++=+ 4 bbbbbbbabbabbbaababbbababaabbaaaabbbabbaabababaa ++++++++++++ 432234 464 babbabaa ++++= Puede observarse que el número de términos o sumandos de ( )3 ba + es ocho y es el doble que el de ( )2 ba + , ya que los términos se obtienen añadiendo al final de los cuatro una a o una b . Por su parte, el número de términos de ( )4 ba + es 16, ya que se añade al final de cada uno de los ocho términos de ( )3 ba + una a o una b . De forma similar, para obtener ( )5 ba + , se procedería de la misma manera, partiendo de ( )4 ba + y se obtendrían 32 términos. Por ejemplo, los términos del desarrollo ( )4 ba + pueden obtenerse a través de un diagrama de árbol: a b aa ab ba bb aaa aab aba abb baa bab bba bbb aaaa aaab aaba aabb abaa abab abba abbb baaa baab bbaa bbab baba babb bbba bbbb ((((aaaa++++bbbb))))2222 ((((aaaa++++bbbb))))3333 ((((aaaa++++bbbb))))4444((((aaaa++++bbbb))))
  • 4. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 4 Si se suman los términos de cada columna, se obtienen respectivamente los desarrollos para ( )2 ba + , ( )3 ba + y ( )4 ba + . Cada término se obtiene de la columna anterior añadiendo al final la letra a o la letra b . Como las letras que aparecen están multiplicando entre sí, la secuencia abaa (por ejemplo) no es otra cosa que ba3 , y por tanto, es igual a las secuencias baaa, aaba y aaab. Lo que se tiene que encontrar es ¿cuántas veces aparece 4 a , cuántas ba3 , cuántas 22 ba , cuántas 3 ab , y cuántas 4 b ? A fin de determinar esto, se aplicará el concepto de combinaciones antes expuesto. Como se definieron, las combinaciones de p elementos tomados de q en q , son las posibles formas de hacer arreglos de q elementos, escogiéndolos de un conjunto de p elementos, con pq < , de modo que dos de esos arreglos son distintos sólo si tienen algún elemento diferente (es decir, si tienen los mismos q elementos, aunque estén colocados en diferente orden, se considera el mismo grupo). Por ejemplo, para calcular       2 4 , se deben formar grupos de dos elementos, escogiéndolos de entre cuatro elementos dados. Suponiendo que los elementos están numerados del 1 al 4. Entonces los grupos de dos elementos serán: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}. Regresando al desarrollo de ( )4 ba + , los términos con dos b pueden tenerlas situadas en los lugares 1º y 2º, 1º y 3º, 1º y 4º, 2º y 3º, 2º y 4º, y 3º y 4º (no hay distinción entre el caso 1º y 2º y el caso 2º y 1º). Por tanto el término con dos b del desarrollo de ( )4 ba + , es decir, el término 22 ba , aparece un número de veces igual al número 6 2 44 2 =      =C . De igual modo, los términos de ( )4 ba + con una b aparecen un número de veces igual a 4 1 44 1 =      =C . Siguiendo el mismo razonamiento se tiene que: ( ) 40312213044 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 babababababa       +      +      +      +      =+ De acuerdo a lo anterior, se puede llegar a una generalización del desarrollo del binomio: ( ) nnnnnnn b n n ba n ba n ba n ba n a n ba       +⋅⋅⋅+      +      +      +      +      =+ −−−− 44332211 43210 que en forma condensada se puede escribir como: ( ) 1 0 ≥      =+ ∑= − nba k n ba n k kknn que es el teorema del binomio expresado a través de combinaciones.
  • 5. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 5 Para encontrar el r-ésimo término del desarrollo se aplica la siguiente expresión: 11 1 −+−       − rrn ba r n Ejemplo. Aplicando el binomio de Newton desarrollar ( )6 yx + Solución: ( ) ∑= −       =+ 6 0 66 6 k kk yx k yx 6542332456 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 0 6 yxyyxyxyxyxx       +      +      +      +      +      +      = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − + − + − + − + − = 42332456 !46!4 !6 !36!3 !6 !26!2 !6 !16!1 !6 !06!0 !6 yxyxyxyxx ( ) ( ) 65 !06!6 !6 !56!5 !6 yxy − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6542332456 !0!6 720 !1!5 720 !2!4 720 !3!3 720 !4!2 720 !5!1 720 !6!0 720 yxyyxyxyxyxx ++++++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6542332456 1720 720 1120 720 224 720 66 720 242 720 1201 720 7201 720 yxyyxyxyxyxx ++++++= 6542332456 61520156 yxyyxyxyxyxx ++++++= Ejemplo. Obtener el cuarto término de la expresión ( )20 yx − Solución. Sustituyendo 4,20 == rn : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )317317317141420 !17!3 !20 !320!3 !20 3 20 14 20 yxyxyxyx −=− − =−      =−      − −+− ( )( ) ( ) 317317 1140 6 181920 yxyx −=−= TRIÁNGULO DE PASCAL El triángulo de Pascal es un esquema triangular de números en cuyo vértice hay un uno que corresponde a ( ) 1 0 =+ba . En el segundo renglón hay dos números uno que corresponderán a los coeficientes de a y b respectivamente. La fila siguiente se obtiene sumando los dos números inmediatos a él en la fila precedente y luego se le agrega un uno a cada extremo de la fila. Después, se efectúa una relación entre los números del triángulo de Pascal y la suma de las potencias de a y b , de forma que los coeficientes se asignan en el mismo orden en que aparecen. Gráficamente esto es:
  • 6. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 6 1 1 1 12 1 1 11 3 3 4 46 1 15 510 10 1 16 615 1520 1 17 721 2135 35 ((((a+ba+ba+ba+b))))1111 ((((a+ba+ba+ba+b))))2222 ((((a+ba+ba+ba+b))))3333 ((((a+ba+ba+ba+b))))4444 ((((a+ba+ba+ba+b))))5555 ((((a+ba+ba+ba+b))))6666 ((((a+ba+ba+ba+b))))7777 1((((a+ba+ba+ba+b))))0000 Por ejemplo, para encontrar los coeficientes del desarrollo ( )5 ba + , se le aplican los factores de la fila correspondiente, tal y como se muestra en la siguiente figura: 1 5 10 10 5 1 a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5 Ejemplo. Aplicar el triángulo de Pascal para desarrollar ( )634 62 ba + Solución. Aplicando los coeficientes respectivos se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +++++=+ 43243334234435464634 621562206215626262 babababaaba ( )( ) ( )63534 6626 bba ++ ++++++= 15412891261632024 3129376077560346408152164 ba,ba,ba,ba,ba,a 18 656,46 b+ TEOREMA DEL BINOMIO CON EXPONENTES NEGATIVOS O FRACCIONARIOS La fórmula general para desarrollar el binomio ( )n ba + también es aplicable en el caso de que el exponente sea fraccionario o negativo, siempre que se cumpla que ba > y 0>a .
  • 7. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 7 Para el caso de que el exponente sea fraccionario, el desarrollo presenta la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⋅⋅⋅+ −− + − ++=+ −−− 3 3 3 2 2 2 !3 2 !2 ba m mnmnn ba m mnn ba m n aba m mn m mn m mn m n m n Por su parte, si el exponente es negativo, el desarrollo posee la siguiente forma: ( ) ( ) ( )( ) ⋅⋅⋅+ ++ − + +−=+ −−−−−−−− 33221 !3 21 !2 1 ba nnn ba nn bnaaba nnnnn Nótese como en este caso, los signos de los términos se alternan. Se aprecia como para ambos casos, el desarrollo posee un número infinito de términos. Ejemplo. Obtener los seis primeros términos del desarrollo ( )5 2 yx + Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅++−+−+=+ −−−−− 55 23 45 18 35 13 25 8 5 3 5 2 5 2 !51253 23211 !4625 624 !3125 48 !225 6 5 2 yx , , yxyxyxyxxyx ⋅⋅⋅++−+−+= −−−−− 55 23 45 18 35 13 25 8 5 3 5 2 000375 23211 00015 624 750 48 50 6 5 2 yx , , yx , yxyxyxx Ejemplo. Obtener los siete primeros términos del desarrollo yx 32 1 + Solución. ( ) 1 32 32 1 − += + yx yx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++−+−=+ −−−−−− 453423211 32 4 24 32 3 6 32 2 2 32232 yx ! yx ! yx ! yxxyx ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅⋅⋅++− −− 6756 32 6 720 32 5 120 yx ! yx ! ( ) ⋅⋅⋅++−+−+−=+ −−−−−−−− 6756453423211 128 729 64 243 32 81 16 27 8 9 4 3 2 1 32 yxyxyxyxyxyxxyx CÁLCULO DE RAÍCES POR MEDIO DEL BINOMIO Una de las aplicaciones que tiene el desarrollo del binomio es que pueden extraerse raíces considerando que ( )n n aa 1 11 +=+ . Esto es: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ⋅⋅⋅+ −−− + −− + − ++=+ −−−− 4 41 4 3 31 3 2 21 2 111 1 4 31211 1 3 211 1 2 1 1 1 11 a !n nnn a !n nn a !n n a n a n n n n n n n n nn
  • 8. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 8 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ⋅⋅⋅+ −−− + −− + − ++=+⇒ 4 4 3 3 2 2 1 !4 31211 !3 211 !2 11 11 a n nnn a n nn a n n a n a n Para calcular la raíz enésima de un número cualquiera, se descompone el número en dos sumandos, de forma tal que el primero sea la mayor potencia perfecta del orden de la raíz y posteriormente se expresa como factor común. Ejemplos. Calcular de forma aproximada las siguientes raíces: 1) 30 Solución. 2 1 5 1 15 25 5 15 25 5 12552530       +=+=      +=+= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )         ⋅⋅⋅+     −−− +     −− +     − +      += 4 4 3 3 2 2 5 1 !42 23122121 5 1 !32 22121 5 1 !22 21 5 1 2 1 15 ( ) ( )0954375.150000625.00005.0005.01.015 ≈⋅⋅⋅+−+−+≈ 4771875.5≈ 2) 3 10 Solución. 3 1 3333 4 1 12 8 2 12 8 2 182810       +=+=      +=+= ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )         ⋅⋅⋅+     −−− +     −− +     − +      += 4 4 3 3 2 2 4 1 !43 33132131 4 1 !33 32131 4 1 !23 31 4 1 3 1 12 ( ) ( )07719264.1200016075.000096450.000694444.008333333.012 ≈⋅⋅⋅+−+−+≈ 15438528.2≈ Nótese como los términos cada vez son más pequeños, así que para fines prácticos, basta con calcular los primero cuatro términos para tener una aproximación razonable de la raíz buscada. 3) 4 260 Solución. 4 1 44 44 64 1 14 256 4 14 256 4 12564256260       +=+=      +=+= ( ) ( ) ( )( ) ( )              −− +     − +      +≈ 3 3 2 2 64 1 !34 42141 64 1 !24 41 64 1 4 1 14 ( ) ( )03903982140000002000000228800390625014 .... ≈+−+≈ 156159284.≈
  • 9. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 9 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Un interés es un beneficio que se obtiene al prestar una cantidad de dinero, capital, durante un cierto tiempo. Es decir, el interés es la diferencia entre el monto final y el capital inicial. Se llama tasa de interés o rédito al tanto por ciento al que está invertido un capital C en una unidad de tiempo (por lo general se toma como unidad de tiempo el año). La tasa anual de interés se representa por i y se expresa como un porcentaje (5%, por ejemplo) o como su equivalente en forma decimal (0.05). En los cálculos normalmente se utiliza esta última expresión, aunque la información se transmita en forma de tanto por ciento. Interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial (los intereses se retiran). Interés compuesto es el que se obtiene cuando al capital se le suman periódicamente (en general, los periodos son anuales) los intereses producidos. Así, al final de cada periodo, el capital que se tiene es el capital anterior más los intereses producidos por ese capital en dicho periodo (los intereses se reinvierten). • Fórmula del interés simple El interés o rédito R que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t (en años) y a la tasa de interés i (en decimal) : tiCR ⋅⋅= Ejemplos. 1) Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de $50,000 invertido durante 4 años a una tasa del 6% anual. Solución ( )( ) 000,12$406.0000,50 ==R 2) Calcular el interés simple producido por $20,000 durante 90 días a una tasa de interés anual del 5%. Solución. El año bancario posee 360 días, así que: ( ) 250$ 360 90 05.0000,20 =      =R 3) Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses $1,200. La tasa de interés de esa cuenta de ahorro es del 2%. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año? Solución. Sustituyendo: ( )( )102.0200,1 C= Despejando el capital: ( )( ) 000,60 102.0 200,1 ==C 4) Un préstamo de $40,000 se convierte al cabo de un año en $48,000. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada? Solución. Los intereses han ascendido a: 000,8$000,40$000,48$ =− Sustituyendo: ( )( )1000,40000,8 i=
  • 10. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 10 Despejando la tasa de interés: ( )( ) %202.0 1000,40 000,8 ===i 5) Un capital de $450,000 invertido a una tasa de interés del 3% durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de $9,000. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido? Solución. Sustituyendo: ( )( )t03.0000,450000,9 = Despejando el tiempo: ( )( ) mesesañost 8 3 2 03.0000,450 000,9 === • Fórmula del interés compuesto Sea C un capital invertido durante n años a una tasa i de interés compuesto por cada año. Durante el primer año el capital produce un interés iC ⋅ , por tanto, el monto final 1M será: ( )iCiCCM +=⋅+= 11 Después del segundo año, el monto 1M produce un interés ( ) ( )2 1 iiCiiC +=+ , por lo tanto, el monto final 2M será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222 12 1121 iCiiCiiCiCiiCMM +=++=+++=++= Prosiguiendo de forma análoga, se puede concluir que al cabo de n años el capital inicial C, invertido en la modalidad de interés compuesto se convertirá en un monto final nM : ( )n n iCM += 1 Nótese como es un caso particular del teorema del binomio. Aunque la fórmula del interés compuesto se dedujo para una tasa de interés anual durante n años, es también válida si los periodos de conversión (capitalización), son semestres, trimestres, días, etc., sólo que se tienen que convertir éstos a años. Por ejemplo: Si los periodos de conversión son semestrales, la expresión es: n n i CM 2 2 1       += Si los periodos de conversión son cuatrimestrales, la expresión es: n n i CM 3 3 1       += Si los periodos de conversión son trimestrales, la expresión es: n n i CM 4 4 1       += La tasa de interés se encuentra despejando de ( )n n iCM += 1 , esto es: ( ) 111 −=∴=+⇒+= n nn nnn C M i C M ii C M El capital inicial se halla despejando en la fórmula original, esto es:
  • 11. Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Teorema del binomio Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa 11 ( )n n i M C + = 1 Por su parte, el tiempo de inversión también se obtiene despejando en la fórmula original, utilizando las propiedades de los logaritmos, esto es: ( ) ( )n n n n iCMiCM ++=⇒+= 1logloglog1loglog 1010101010 ( ) ( )i CM ninCM n n + − =∴++=⇒ 1log loglog 1logloglog 10 1010 101010 Ejemplos. 1) Determinar el monto que se obtendrá de un capital de $50,000 después de 5 años a una tasa de interés compuesto anual del 6%. Solución. ( ) ( ) 2791166338225578100050060100050 5 5 .,$.,.,M ≈≈+= 2) Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de $90,000 para que al final de 3 años se haya convertido en $115,000. Solución. %... , , i 518085101085111 00090 000115 3 ≈≈−≈−= 3) Un cierto capital invertido durante 8 años a una tasa de interés compuesto anual del 12% se ha convertido en $2’000,000. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Solución. De la expresión n n i CM 2 2 1       += se despeja C: ( ) 56.292,787 2 12.0 1 000,000'2 2 1 822 ≈       + =       + = n n i M C 4) Una persona solicitó un préstamo bancario de $40,000 para comprar un automóvil a una tasa de 24%. Si no se efectuó ningún pago, calcular el tiempo que transcurrió para que su deuda se transformara en $70,000. Solución. ( ) ( ) años. . .. .log ,log,log ilog ClogMlog n n 60152 0934216850 60205999148450980404 2401 0004000070 1 10 1010 10 1010 ≈ − ≈ + − = + − =

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