12. LA ELIPSE f1(-c,o) f2(c,o) V1(-a,o) V2(a,o) L.R M1 M2 P1 P2 P3 r1 r2 P4 Y Eje Normal X Eje Focal l 1 l 2 l 4 l 3 V1V2 = longitud del eje mayor M1M2 = longitud del eje menor r 1 + r 2 = 2a = cte. P(x,y)
13.
14. ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE h k x x´ y´ y M´1 M´2 V2´ V1´ f1´ f2´ P´(x´, y´) P (x,y) C V1´(-a,o) V2´(a,o) M1´(o,b) M2´(o,b) C´(o,o) C (h,k) (x´) 2 (y´) 2 = 1 a 2 b 2 +
17. LA HIPERBOLA Y X EJE CONJUGADO EJE NORMAL EJE FOCAL C r1 r2 r2 r1 f1(-c,o) f2(c,o) V1(-a,o) V2(a,o) L.R L.R Eje Transverso asíntota P(x,y) P(x,y) l 1 l 2
18.
19. LA HIPÈRBOLA l 1 l 2 f1 V1 V2 f2 P 1 ( c, b 2 /a) P 2 ( c, -b 2 /a) Y X Eje Focal M1 M2 C C(0,0)
20. x 2 y 2 a 2 b 2 x 2 1 y 2 a 2 b 2 y 2 b 2 x 2 1 a 2 y 2 b 2 x 2 - a 2 a 2 y 2 b 2 (x 2 - a 2 ) y 2 ± b ( x 2 - a 2 ) a 2 a si => x=c y ± b (c 2 - a 2 ) a y ± b b 2 a y ± b (b) y ± b 2 a a - =1 - = = = = = = = = = -
21. si x = y ± b ( x 2 - a 2 ) a y ± b x 2 1- a 0 a x 2 0 y ± b x y = mx + k ECUACIÓN DE UNA RECTA ASINTÓTICA a y b x ==> ay - bx = 0 ==> l 1 a y b x ==> ay + bx = 0 ==> l 2 a = = = = = -
25. LA PARÁBOLA D Y d d V f P2 P(x;y) P1 (x1;y1) r r (p;o) LR DIRECTRIZ X Eje de simetría r = d V(0,0)
26. r = d (x-p) 2 + (y-0) 2 2 = (x+p) 2 x 2 - 2px + p 2 +y 2 = x 2 + 2px + p 2 y 2 = 4px ECUACIÒN DE LA PARÀBOLA ECUACIÒN DE LA DIRECTRIZ D x = -p x + p = 0 Si x = p y 2 = 4p 2 y= ± 2p P (x,y) LR = 4p y 2 = 4px y = ± 2 px
27. LA PARÀBOLA k h v P Y´ 2 = 4p x´ X X´ Y´ Y D V’ (0;0) V (h;k)
28. ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA (y’) 2 = 4px’ (y - k ) 2 = 4p (x - h) y 2 - 2yk + k 2 = 4px - 4ph y 2 - 4px - 2ky + k 2 + 4ph = 0 A x 2 + B y 2 + D x + E y + F = 0 A = 0 B = 1 D = -4p E = -2k F = k 2 + 4ph Eje focal en x
