Em Socorro Da Aritmetica

Em socorro da Aritmetica

Freqüentemente a Aritmética é incapaz de, com seus próprios meios, demonstrar categoricamente algumas de suas afirmações.

Em tais casos, temos que apelar para os métodos sintetizadores da Álgebra.

A este gênero de teses aritméticas, fundamentadas na Álgebra, pertencem, por exemplo, muitas das regras usadas nas operações abreviadas, as curiosas propriedades de alguns números, as caracteristicas de divisibilidade, etc. Dedicaremos este capítulo ao exame de questões desse tipo.

Multiplicação Abreviada

As pessoas que costumam calcular muito facilitam freqüentemente as operações mediante transformações algébricas pouco com. plexas. Por exemplo, a operação 988 2 se efetua como se segue:

988 x 988 = (988 + 12) x (988 - 12) + 122 = 1000 x 976 + 144 = 976144.

a- É fácil ver que, neste caso, se recorre à seguinte transformação algébrica: a 2 = a 2 - b 2 + b 2 = (a+b) (a-b) + b 2 . Na prática, podemos aplicar esta f6rmula a cálculos mentais. Por exemplo : 27 2 = (27+3) (27-3)+32 = 729, 63 2 = 66.60 + 32 = 3969, 18 2 = 20.16 + 22 = 324, 37 2 = 40.34 + 32 = 1369, 48 2 = 50.46 + 22 = 2304, 54 2 = 58.50 + 42 = 2916.

A multiplicação 986 x 997 assim se realiza: 986 x 997 = (986- 3) x 1000 + 3 x 14 = 983042. Em que se baseia tal método? Suponhamos que os fatores estejam sob a Forma (1000 -14) x (1000 - 3) e multipliquemos de acordo com as regras da Álgebra: 1000 x 1000 – 1000 x 14 - 1000 x 3 + 14 x 3 Seguem as transformações : 1000 x (1000 -14) – 1000 x 3 +14 x 3 = 1000 x 986 – 000 x 3 +14 x 3 = 1000 (986 -3) +14 x 3 A última linha é a que exprime o método acima usado para o , cálculo. Oferece interesse o processo para multiplicarem-se dois núrn~ ros compostos de três algarismos, quando o das dezenas é o mesmo nos dois, e a soma dos de unidades é igual a 10. Por exemplo, a multiplicação 783 x 787 se efetua da seguinte maneira:78.79 = 616 ; 3.7 = 21; e o resultado vem a ser: 616221. Este processo se extrai das seguintes transformações (780+3) (780+7) = 780 x 780 + 780 . 3 + 780 . 7+3 .7 – 780 x 780 +780 x 10 +3.7- 780 (780+10) + 3.7 = 780.790 + 21 = 616200 + 21.

Existe outro meio, mais simples, para realizar tais multiplicações, a saber:

783 x 787 = (785-2) (785+2) = 785 2 - 4 = 616225 - 4 = 616221.

No exemplo acima tivemos que elevar ao quadrado o número 785.

Para elevar-se ao quadrado um número que termina por 5 é muito cômodo o seguinte processo :

35 2 ; 3 x 4 = 12. Resultado: 1225

65 2 ; 6 x 7 = 42. »- 4 225

75 2 ; 7 x 8 = 56. »- 5 625.

Efetua-se a operação multiplicando-se o algarismo das dezenas pelo seu imediatamente superior, e escrevendo-se 25 à direita desse resultado.

O processo baseia-se no seguinte: se denotarmos por “a” o algarismo das dezenas, o número todo pode ser escrito 10a + 5. O quadrado deste número será calculado como o de um binômio, a saber,1000' + 100a + '25 = 100a (a + 1) + 25.'

A expressão a( a + 1) é o resultado da multiplicação do algarismo das dezenas pelo que o excede de uma unidade. Por outro lado, multiplicar o número por 100 e acrescentar-lhe 25 vem a dar na mesma que colocar 25 à direita do produto antes obtido. .

Deste mesmo processo também se' extrai o simples modo de elevar ao quadrado números mistos, cuja parte fracionária é ~.

Por exemplo: (3 1/2) 2 = 3,5 2 = 12,25 = 12 ¼

(7 ½ ) 2 = 56 ¼ = (8 ½ ) 2 = 72 ¼

Os Algarismos 1, 5 e 6

Quem já não terá notado que quando se multiplicam por si mesmos números que terminam por 1 ou por 5, o produto também termina, respectivamente, por esses mesmos algarismos?

Sem dúvida será menos conhecido que o mesmo acontece com os números terminados por 6.

Por' esta razão, entre outras, a potência de número terminados por 6 também acaba comum 6.

Exemplo: 46 2 = 2116; 46 3 = 97336.

Esta curiosa propriedade dos algarismos 1, 5 e 6 pode ser fundamentada por via algébrica.

Façamos o caso do seis. Todo número terminado com 6 pode ser decomposto do seguinte modo:

10a + 6; 10b + 6; etc., onde a e b são inteiros.

A multiplicação de dois inteiros como os que figuram acima é igual a

100ab+60b+60a+36=10(10ab+6b+6a}+30+6 = 10(10ab+6b+6a+3)+6.

O resultado deve, pois, constar de algumas dezenas e do algarismo 6 que, nem é preciso dizê-lo, deve reaparecer no fim. O mesmo método de demonstração pode ser usado para o 1 e para o 5. .