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Uma dica Matemática

Se um carro viaj...
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Você pode ver que eu listei todos os...
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Assim, nCr. = n!/(n-r) !r!

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MODO SIMPLES DE OBTER O MESMO RESULTA...
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Conte as possibilidades e você tem 30...
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Para alguns valores de n :

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Passo 3 : ag...
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(10/3. 6590909 + 3.6590909) / 2 = 3.1...
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Um segundo método

Como se computa...
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2. Divida A por G e então calcule a m...
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    2 ___>      2 x 2 + 1 = 5, reser...
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10 - Junte o próximo grupo de dois dí...
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5 – 8 x 2 = 16

6 - 1315/16 temos 8 ...
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Sempre maravilha como determinar a...
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Este é um número irracional, desde...
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Nós escolhemos 16 e 2 por uma razã...
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A resposta decisiva é então:




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Ainda assim pode ser simplificado,...
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Esta é a resposta correta, mas deu...
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1. Se selecionarmos 71 e 64:
   71 -...
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Este processo também funciona em quad...
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BEATCALC: Dividindo Números - Livr...
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   Multiplique por 2: 2 x 68 = 120 + ...
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 Divisão feita via calculadora dará v...
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   Multiplique por 8: 8 x 42 = 320 + ...
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   Multiplique por 8 = 8 x 63 = 504 ...
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   2. Se o número de 3 dígitos for 46...
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   Repita estes dígitos para obter um...
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   333/37 x 3 = 27 OU  Multiplique 3...
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 Exemplos:

   1. Se o quadrado for 2...
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            BEATCALC: Somando Núme...
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   2. Some os dígitos do resultado do...
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Exemplo:

   1.   Se os dois númer...
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   4. Assim a soma dos os números da ...
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   3. Números de termos = 2 x 2º dígi...
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   4. Assim a soma da série de 9 até ...
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Quer saber mais ? Visite: http:www...
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   Escolha dígitos das dezenas cuja s...
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   2 x 2 = 4:                   4 ...
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Multiplicação de centenas de mesma...
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   O primeiro dígito será o quadrado ...
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   Primeiro dois dígitos: 3 x 3 = 9, ...
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   Assim 76 x 75 = 5700.

Multiplican...
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   A média é 65.  O quadrado da médi...
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   Se o primeiro número é 36, escolha...
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   O número escolhido é 28.

   Multi...
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   Assim 22 x 78 = 1716.

   O número...
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  1. 1. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Uma dica Matemática Se um carro viaja para o leste a uma velocidade de 30 milhas por hora do Ponto A ao Ponto B e do Ponto B de volta ao Ponto A 60 milhas por hora, qual é a velocidade média do carro? A) 35 B) 40 C) 45 D) 50 E) A resposta não pode ser determinada da informação dada. Se você atacar o problema somando 30 e 60 e dividindo por 2, você teria obtido a resposta errada. A resposta é (B). Porque o carro leva mais tempo para viajar em uma direção (30 mi/h) do que para a outra (60 mi/h), a média muda dramaticamente. Um modo simples para atacar este problema seria dobrar Velocidade 1 (30) e 2 (60). Agora, divida este número pela soma de Velocidade 1 e 2. Você pode solucionar esta equação facilmente resolvendo algebricamente o problema: 2XY/ (X+Y). Programação de calculadora -------------------- Programar isto em sua calculadora (Texas Instruments TI) faça o seguinte: :ClrHome :Input " SPEED1 ": ,X :Input " SPEED2 ": ,Y :ClrHome : (2XY)/(X+Y) -> X : Disp “AVERAGE VELOCIDADE”, A. Nota -> é a tecla STO (onde a 2ª função é reclose de RCL) O paradoxo do aniversário: Descobrindo uma pessoa com o mesmo dia do seu aniversário Neste artigo, exploraremos algumas técnicas das probabilidades, e das permutações e combinações. Vai ser um artigo ligeiramente longo, mas é muito educativo, e eu tentarei cobrir a coisa inteira do principio ao fim. Você pode pular certos pedaços se você os conhece, mas para o benefício de todos que não conhecesse eu os incluí. Eu procurei fazer algumas perguntas sem invocar qualquer deste conhecimentos, mas eu ainda penso que você deve ler e procurar entender o que eu estou tentando para explicar. Agora vamos olhar um pouco primeiro mais de perto uma probabilidade. Vamos a descobrir a probabilidade de em uma moeda atirada 5 vezes randomicamente sair 3 caras. A probabilidade de sair uma cara é justamente 1/2, mas deixe-nos considere uma moeda ' viciada' onde a probabilidade é ' p' ao invés. Então a probabilidade de obtermos uma coroa é (1-p) (que geralmente é 1/2 para uma moeda imparcial). Nós podemos obter duas caras da seguinte maneira: 1) HHTTT 2) HTHTT 3) HTTHT 4) HTTTH 5) THHTT 6) THTHT 7) THTTH 8) TTHHT 9) TTHTH 10) TTTHH Página 1 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  2. 2. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Você pode ver que eu listei todos os casos pela maneira sistemática na qual eu fiz Esta é uma parte importante da matemática. O modo no qual você obtém um resultado é freqüentemente mais difícil que a resposta. Se nós quiséssemos fazer o mesmo com 30 moedas... Vamos dizer que você provavelmente terá que inalar suas luzes. Mas eu lhe dou a resposta: 435. E se torna pior para achar 3,4 moedas pelo menos e assim por diante. Achando o número de tais pares pertencem ao tópico das permutações e combinações (amorosamente abreviada como PC). PERMUTAÇÕES Outra diversão aqui, estudará permutações. Permutações é o número de modos que se pode reorganizar um caractere. Por exemplo, vamos considerar abc como um caractere. Então nós podemos reorganizá-lo assim: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Há 6 permutações. Deixa tentar generalizar este resultado. Suponha que temos 'n caracteres' a1, a2, a3... an que formam o conjunto, então para a primeira posição, nós podemos colocar QUALQUER um dos caracteres de n. As próximas posições podem tomar caractere remanescente ' n-1 ‘. Assim podemos escrever que o número de modos que podemos organizar ou podemos permutar o conjunto é n* (n-1) * (n-2)... *2*1. Isto pode ser escrito mais compactamente como n! (leia como fatorial de n). COMBINAÇÕES Vamos para as 'combinações onde nós computamos simplesmente os modos de SELECIONAR ' r' objetos de um conjunto de 'n objetos'. Isto significa, suponha que você tem a, b, c, o número de maneiras de selecionar 1 objeto é 3, 2 objetos também é 3. Mas no caso de 4 objetos, nós temos 4, 6,4 modos de escolher 1 objeto, 2 objetos, 3 objetos respectivamente. Há muito mais, mas nós não precisaremos disto aqui. Agora, deixa visualize uma fila de ' n' caixas, cada caixa contém uma bola com característica única. A palavra chave aqui é que estas caixas são sem igual ou contêm algo sem igual. Agora se você vai escolher exatamente 2 caixas e pegar as suas bolas, então você pode fazê-lo escolhendo qualquer uma das primeiras ' n' caixas. Então, você pode escolher uma outra bola da ' n-1 ' remanescente. Nós podemos fazer assim por (n) * (n-1) modos. MAS, suponha que selecionamos primeiro uma bola em particular (digamos uma vermelha), depois então selecionamos uma azul. Nós poderíamos ter feito isto selecionando a bola azul primeiro, depois então a bola vermelha. Mas ambos dariam o mesmo resultado. Nós podemos ver facilmente que isto é verdade para todo jogo de duas bolas (verde e rosa ou rosa e verde). Assim nós podemos ver que este número se repete duas vezes a cada caso, e assim o verdadeiro resultado é: n* (n-1) /2. Vamos olhar a escolha de 3 bolas ao acaso. Podemos escolher a primeira bola de ' n modos', a segunda de 'n-1' modos e a terceira de 'n-2 ' modos. Mas o número de casos repetidos agora é muito maior. Vamos pegar as bolas a, b, c (elas têm letras identificando-as), e olhar a ordem de escolha: 2) abc acb bac bca cab cba. 3) Agora muitos dos nossos leitores verão imediatamente que esta é a mesma sucessão EXATA como nós vimos na seção de permutações. Bem, vamos explicar a razão disto. Estas bolas podem ser removidas em qualquer ordem de PERMUTAÇÃO, e ainda dá o mesmo resultado. Assim este número é de fato o número de permutações. Generalizemos a escolha r (obviamente r <=n) objetos de ' n'. Nós podemos escrever como: n* (n-1) * (n-2)... (n-r) / r Note que n* (n-1) * (n-2)... (n-r) também pode ser escrito como: n!/(n-r)!. Isto é escrito compactamente como nCr. De fato isto é lido como n escolhas de r. Página 2 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  3. 3. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Assim, nCr. = n!/(n-r) !r! Permutações e combinações é um tópico adorável, e desafiante, porém é muito agradável. É altamente lógico, e se algum de vocês tiverem uma opção de aprender, não deixe passar. DE VOLTA AO PROBLEMA Apliquemos o que nós já aprendemos a este problema. Agora podemos ver a seqüência da moeda sob um enfoque diferente. O número de modos de obtermos 'r' caras é exatamente o número de maneiras de escolher ' r' moedas de 'n' que você arremessa e produz caras, e todo o resto coroas. Definitivamente não importa se você arremessa uma moeda ' n' vezes, ou se você arremessa ' n' moedas de uma vez. Assim o número de maneiras é: nCr. A probabilidade de tal evento ocorrer é igual à pr * (1-p) n-r, porque você tem ' r' caras e ' n-r ' coroa. O termo de nCr é exatamente a ' freqüência' com que o evento acontece. Assim nós podemos escrever a probabilidade como: nCr * pr * (1-p) n-r Esta é a probabilidade de e obter exatamente 'caras de r'. Agora vamos olhar a nossa classe (finalmente). A probabilidade de uma pessoa ter nascido no mesmo dia que você é 1/365. Isto é ' p'. Agora o caso estará satisfeito se há pelo menos 1 pessoa, i.e 1,2,3... pessoas também nasceram. Assim é nC1 (1/365)^1 * (364/365)^n-1 + nC2 (1/365)^2 * (364/365)^n-2... adição (nCr * pr * (1-p) n-r) de r = 1 para r = n Aqui “n” é o número de excluindo você mesmo. Expansões do Binômio Agora, podemos resolver esta adição que usa um conceito chamado de 'expansão binomial' que lida com as expansões polinomiais de (x+y)^n. Por exemplo: (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2. (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3. Vamos ver se podemos dissecar uma fórmula geral. (x+y)*(x+y)*(x+y)... (N vezes). Então temos o termo x^r y^(n-r) ( temos que obter a soma das suas potencias para ser seja igual a n btw.) se escolhermos qualquer r termos e considerarmos seus x's e tomarmos os y's do resto dos termos. Esta é uma operação lógica. Assim este é exatamente o nCr como nós vimos nas seções anteriores . Então, temos o coeficiente de x^r y^(n-r) que é nCr! Nossa adição é a mesma coisa, com x = p, y = 1-p, com exceção do termo nC0 p^0 (1-p)^n (i.e. quando nenhuma das pessoas contribuem com a data seu aniversário). Assim vamos apenas somar e subtrair este termo e obter RESULTADO P = (p + 1-p)^n - (1-p)^n. = 1 - (1-p)^n Tal um resultado muito simples não é ?. Em nosso caso dá 7.9% com n = 30, e 15.1% com 60 estudantes. Página 3 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  4. 4. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc MODO SIMPLES DE OBTER O MESMO RESULTADO Agora, você vai ficar bravo comigo, pois isto pode ser resolvido facilmente, e sem qualquer desta matéria extra, mas eu ainda acho que este foi um bom momento para introduzir tudo disto. Podemos levar o jogo complementar das probabilidades simplesmente quando ninguém compartilha seu aniversário, semelhante ao que fizemos no post do Clay. e obtivemos o mesmo resultado. Eu só quis apresentar-lhes estes tópicos. Paradoxo do aniversário - Parte II Aqui temos uma aplicação divertida sobre a aplicação da probabilidade para mostrar que as chances são boas pelo menos quando duas pessoas em um grupo relativamente pequeno compartilham o mesmo dia do aniversário. “Digamos “você me perguntou quando eu celebrei meu aniversário, e eu respondi”, “ por suposição “. Se você fosse educado o bastante para cooperar, você muito provavelmente iria falhar na adivinhação. Ignorando os anos bissextos, há 365 dias no ano, e eu só celebro meu aniversário em um desses dias. Segundo as probabilidades a chance da sua adivinhação ser correta é 1 em 365 (ou .003%). Isso é um conceito fácil de entender. Faz sentido que é improvável que você adivinhe meu aniversário. Agora digamos você sabe meu aniversário. O que são as chances que a próxima pessoa que você encontra na rua tem a mesma data do seu aniversário? Novamente, as chances são abismais: 1 em 365. Então parece muito improvavelmente você encontre duas pessoas com a mesma data de aniversário, direito? Bem, não necessariamente. Digamos que você conheça um grupo de 10 pessoas. Quais são as chances que dois deles façam aniversário no mesmo dia? Sem envolver qualquer matemática, parece que as chances são baixas. E como aproximadamente 20 pessoas? Ou 30 pessoas? A chance de duas pessoas compartilharem da mesma data de aniversário é realmente baixa? Qual deve ser de fato o tamanho do numero de pessoas de um grupo para que se torne provável que duas pessoas na verdade compartilhem da mesma data de aniversário? A resposta pode surpreendê-lo. Mas antes de calcular, vamos pesquisar algo mais fácil: DADOS. Você apanha dois dados, dê uma chacoalhada, e atira. Quais são as chances em uma partida? (Isso é similar a duas pessoas que compartilham seu aniversário.) Uma estratégia é calcular primeiro as chances do NÃO e então subtrair de 1. Isso provê as chances do evento oposto . Pense de atirar uma moeda. A chance de obter cara é 1/2. Então as chances não obter cara (coroa) é 1/2. Mesmo princípio se aplica aqui. Façamos: Primeiro calcule todas as possíveis combinações de atirar dois dados: 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Conte as combinações e teremos 36. Poderíamos ter alcançado o mesmo resultado multiplicando 6 x 6. Assim há 36 possibilidades. Quantos dessas possibilidades de NÃO provêem uma partida? xx 12 13 14 15 16 21 xx 23 24 25 26 31 32 xx 34 35 36 41 42 43 xx 45 46 51 52 53 54 xx 56 61 62 63 64 65 xx Página 4 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  5. 5. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Conte as possibilidades e você tem 30. Novamente nós poderíamos ter alcançado o mesmo resultado multiplicando 6 x 5. O primeiro dado tem 6 maneiras de apresentar um valor. O segundo dado só tem 5 maneiras de apresentar para satisfazer a condição de não repetição. Então há 6 x 5 combinações de dados sem repetição. Assim as chances de atirar dois para obter valores diferentes é 30/36, ou 5/6. As chances de obter situações opostas dois dados que valores se repetem é por conseqüência 1 - 5/6, ou 1/6. Teria sido mais fácil contar o número de partidas em nossa tabela, mas o método matemático se tornaria manual ao se calcular às chances de duas pessoas em um grupo terem nascido no dia. Falando disso, façamos isso agora. Suponha que temos uma sala da aula de 30 estudantes. Quais são as chances de duas crianças terem, nascidas no mesmo dia? Como fizemos com os dados, vamos contar primeiro as possíveis combinações, exclua menos da tabela. As combinações totais de dados eram 6 x 6. Igualmente, a combinação total de aniversários é 365 x 365 x 365 x... (30 vezes), mais sucintamente 36530. (Novamente ignoramos anos bissexto.) Esse é nosso denominador. Sem calcular podemos ver que é um número enorme. Agora, como antes, calculemos o número de possibilidades da data de nascimento não ser a mesma. A primeira pessoa declara seu dia de aniversário. Para que a próxima pessoa NÃO tenha a mesma data de aniversário, ela tem que escolher 364 dias para a próxima pessoa. A próxima pessoa tem que escolher 363 dias para a próxima. E assim por diante. Novamente estamos tentando calcular o número de combinações nas quais ninguém faz aniversário no mesmo dia. Para os dados, o cálculo era 6 x 5. Aqui fazemos à mesma coisa: 365 x 364 x 363 x 362 x... x 339 x 338 x 337 x 336 Podemos escrever mais concisamente como se segue: “onde n é igual a o número de crianças na sala de aula (neste caso 30) e a exclamação “significa “ fatorial “. Fatoriais são definidos como n*(n-1)*(n - 2)... (3)(2)(1). Por exemplo, 6! = 6*5*4*3*2*1. Calcule e temos nosso numerador. Reúna os dois para achar as chances de NÃO ter pelo menos duas crianças com a mesma data aniversário em um grupo de 30: Há cerca de 30% de chance de que você NÃO achará duas pelo menos duas crianças compartilhando à mesma data de nascimento em um grupo de 30. Então a situação oposta, que você pelo menos achará duas crianças compartilhando a mesma data de nascimento em um grupo de 30, é um gritante 70% (1 - .3 = .7). De fato, nós achamos que em um grupo de 23 crianças, suas chances são melhores que 50% de pelo menos achar duas pessoas que aniversariem no mesmo dia. Este é o Paradoxo do Aniversário. Não parece possível haver boas chances de encontrar pelo menos duas pessoas com a mesma data de aniversário em um grupo relativamente pequeno. Mas elas existem. Lembre- se estas não são as chances de encontrar alguém com a mesma data que a SUA em um grupo de 30 pessoas. Estes são as chances de pelo menos encontrar duas pessoas fora das 30 que compartilham o mesmo aniversário. As chances de alguém ter a mesma data do seu aniversário. Aqui postaremos um método mais simples. É 1 - a probabilidade de que ninguém compartilhe seu aniversário. Assim, P = 1 - (364/365)^n. Página 5 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  6. 6. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Para alguns valores de n : 1 0.002739726 2 0.005471946 3 0.00819668 10 0.027061942 20 0.053391535 30 0.079008598 100 0.239932926 200 0.422298043 300 0.560907764 252.651988844 0.5 Assim você pode ver como é baixa esta probabilidade. Você precisa estar em um quarto com aproximadamente 253 pessoas antes de fique provável (>50%) que alguém compartilha a mesma data do seu aniversário. Multiplique números de 2 e 3 dígitos mentalmente O truque que vou explicar é chamado à técnica da multiplicação cruzada... algo que você não sabe. Comecemos por 123 * 456. Passo 1 : organize os números em ordem (um sobre o outro). 123 456 ---------- Comece multiplicando 6*3=18 primeiro. (Vai 1) Escreva o 8 e guarde Vai 1 mentalmente. 123 456 ----------VAI 1 ----8 Passo 2: forme um X invisível - Pode não ser simples no princípio, mas eu explicarei. Comece observando o 6 & 2, então o 5 & 3. Faça uma linha entre esses números e você obterá um X. Agora multiplique 6*2=12 MAIS (+) 5*3=15 (Vai 1) Assim 12 + 15 = 27 27 + 1 (o vai 1) = 28 (Vão 2 ) Agora escreva o 8 e guarde Vai 2 mentalmente. 123 456 Página 6 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  7. 7. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc ----------VAI 2 ---88 Passo 3 : agora examine os números 6 & 1, 4 & 3, então no meio 2 & 5. Multiplique-os e some tudo: 6 x 1= 6 + 4 x 3 = 12 + 5 x 2=10 Assim 6 + 12 +10 = 28 VÃO 2 = 30. (Vai 3) Escreva 0 e vai 3. 123 456 ----------VAI 3 --088 Passo 4 - Agora usaremos o X invisível péla última vez. Desta vez preste atenção nos números 5 & 1, 4 & 2 Multiplique e some: 5 x 1=5 + 4 x 2=8 Assim 5 + 8 = 13 Vai 3 = 16. (Vai1)  Escreva 6 e VAI 1. 123 456 ----------VAI1 --6088 Passo 5 (passo final)--- no princípio nós começamos multiplicando 6 & 3. Agora nós multiplicaremos 4 & 1. Assim 4 x 1=4 + leve 1 = 5 Escreva abaixo e o veja a resposta final! 123 456 ---------- 56088 Nada neste mundo é fácil de aprender no inicio, invista algum tempo e se torne um mestre nesta habilidade. Boa Sorte! Como você pode calcular manualmente uma raiz quadrada? Há um modo realmente interessante para se calcular uma raiz quadrada, fácil de programar ou fazer à mão. É diferente da maioria dos métodos já vistos porque usa a aproximação sucessiva, quer dizer, você usa o método repetidamente para obter uma aproximação melhor e melhor. Vamos demonstrar um exemplo. O método requer uma suposição inicial, mas não tem que ser uma mesma suposição ideal (uma suposição inicial pobre simplesmente requerer mais repetições do método). Vamos computar a raiz de 10, usando a suposição não muito boa de 1.0 com 8 casas decimais: (10/1 + 1) / 2 = 5.5 (10/5. 5 + 5.5) / 2 = 3.6590909. Página 7 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  8. 8. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc (10/3. 6590909 + 3.6590909) / 2 = 3.1960051. (10/3. 1960051 + 3.1960051) / 2 = 3.1624556. (10/3. 1624556 + 3.1624556) / 2 = 3.1622777. (10/3. 1622777 + 3.1622777) / 2 = 3.1622777. Os últimos dois resultados são o mesmo, assim nós paramos. Este resultado está correto até 8 casas decimais mostradas (um resultado mais preciso é 3.162277660, o qual quando arredondado a 8 dígitos é de fato 3.1622777). Sacou o padrão? Para obter uma nova estimativa, divida 10 pela estimativa atual, então some o quociente à estimativa atual, então divida por 2. Uma suposição inicial melhor, digamos 3, exigiria para menos repetições para obter o mesmo número de precisão de dígitos. Este é um exemplo chamado o método de Newton, um método numérico muito poderoso. Também pode ser usado para achar raízes cúbicas, quadráticas, etc. (entretanto as formulações para estas raízes não são tão simples quanto para computar raízes quadradas). Matemática, Fatos, Ficção, Função, Fantasia O método de Newton para calcular uma Raiz Quadrada Este método envolve um pouco de multiplicar e dividir mas com o tempo a raiz quadrada aparece: Passo 1) Digamos que X é o número que você deseja calcular a raiz quadrada. Deixe G ser sua melhor suposição em cada fase do cálculo. (Passo 2) Ache o próximo G, chame G', você fixou g ' igual a: G ' = (X + G 2) / 2G Suposição G` = (X + G 2) / 2G G` 1 ( 2 + 1 2) / ( 2 x 1) 1,5 1,5 ( 2 + 1,5 2 ) / (2 x 1,5) 1,4167 1,4167 ( 2 + 1,4167 2 ) / (2 x 1,4167) 1,4142 (Passo 3) Este G' se torna próximo de G. Iterativamente repita o cálculo sucessivamente, e você chegará eventualmente à raiz quadrada que você busca. Página 8 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  9. 9. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Um segundo método Como se computa raízes quadradas? O modo mais comum é usar o método de Newton de aproximações sucessivas que dizem que nós podemos supor y para o valor da raiz quadrada de um número x, nós podemos executar uma manipulação simples para obter uma suposição melhor (um numero mais próximo da raiz quadrada) calculando a média de y por exemplo (resultado da média entre o resultado da suposição e o quociente), nós podemos computar a raiz quadrada de 2 como se segue. Suponha nossa suposição inicial é 1: Suposição Quociente Média Continuando este processo, nós obtemos melhores aproximações para a raiz quadrada. Explicando o segundo método Este método não nada mais do que a dedução da formula aplicada que nos leva até a primeira formula, assim Quociente = x / G Média = (X / G + G) / 2 ... onde: ((X + G 2) / G) / 2 = ((X + G 2) / G) / 2 = ((X + G 2) / G) x 1/ 2 = (X + G 2) / 2G A utilização deste método evita cálculos adicionais , portanto bem fácil que o primeiro. http://www.lifesmith.com Assunto: A Raiz quadrada de Newton Você pode explicar como se acha raízes quadradas à mão relacionado ao método de Newton por aproximação à zero de uma função? O fato matemático antigo "divisão e média” representa o algoritmo da aproximação da raiz quadrada de (a) representa de fato o método de Newton, aplicado a f(função de x) = x 2 - 1? Primeiro, aqui está o algoritmo da divisão-e-média. Suponha que você deseja calcular a raiz quadrada de um número A. O algoritmo da divisão-e-média é: 1. Faça uma estimativa grosseira G da raiz quadrada de A. Página 9 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  10. 10. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 2. Divida A por G e então calcule a média entre G e A, quer dizer, calcule: G * = ((A / G) + G) / 2 3. Se G * for suficientemente preciso, pare. Caso contrário, utilize G = G* e vá para o passo 2. Aqui temos um exemplo: calcular a raiz quadrada de 2, escolha a estimativa G = 1,5. G * = (2/1.5 + 1.5) / 2 = 1.41666666666 G * = (2/1.41666666666 + 1.41666666666) / 2 = 1.41421568628 G * = (2/1.41421568628 + 1.41421568628) / 2 = 1.41421356238 G * = (2/1.41421356238 + 1.41421356238) / 2 = 1.41421356238 O número de casas decimais dobra mais ou menos a cada repetição do passo 2. The Math Forum: http://mathforum.org/dr.math/ Exercício. O método de Newton para raízes cúbicas está baseado no fato que se y é uma estimativa da raiz do cubo de x, então uma estimativa melhor é determinada pelo valor: 27.000000000000000000 18.012345679012345679 ( 27 / 27 x 27 )+ 2 x 27 )= 27 / 729 + 54 / 3 = 18,01234567 12.035970165670879138 (27 / 18,01234567 2)+ 2 x 18,012345679) / 3 = 12,03697016 8.086107099217611217 5.528384045781982989 3.980062783328257022 3.221524734478918666 3.014883755226693167 3.000073356602492539 3.000000001793671897 3.000000000000000001 3.000000000000000000 <<< Décima primeira iteração 3.000000000000000000 Baseado em algoritmo da raiz quadrada. Pegue todos os dígitos exceto o último dígito e multiplique por 20, depois pelo último dígito, e some o quadrado do último dígito. ex. 2354^2  235 x 20 x 4 + ( 4 x 4 ) = 18800 +16=18816 Mantenha os 2 últimos (16) para uso na resposta final. Repita o processo exclua um dígito do calculo anterior e esqueça do último dígito original. Lembre-se de somar os dígitos restantes do calculo anterior (i.e. 188). Quando você obtiver o primeiro dígito (ou primeiro dois), eleve-o ao quadrado e some os dígitos restantes. 2354____> 235 x 20 x 4 + (4 x 4) = 18816, reserve o 16 235____> 23 x 20 x 5 + (5 x 5) = 2325, +188=2513, reserve 13 23 ___> 2 x 20 x 3+ (3 x 3) 9 = 129, +25=154, reserve 54 Página 10 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  11. 11. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 2 ___> 2 x 2 + 1 = 5, reserve 5 Resposta = 5 54 13 16 = 5541316 Raiz quadrada à mão Instruções: Exemplo: 1 - Conte o número de dígitos que seu número tem e que estão ao lado esquerdo do ponto decimal. Se o número de dígitos é impar, então adicione um “zero" à frente do número. Obviamente isso não muda seu valor, mas é importante porque agora você precisa separá-lo em grupos de dois dígitos, e é importante que você separe seu número em grupos formais. 28.6, separa-se em “28” 60 “00”. Porém, de 9.1 separaríamos como "09” 10 “00". 2 - Observe o primeiro grupo de dois dígitos do número. Ache o maior número maior para cuja raiz é igual ou menor que ele. Este é o primeiro dígito da raiz quadrada exata. O primeiro grupo é 28 que nos dá 5 já que 52 = 25 que é menor que 28. 3 - Subtrai o resultado do primeiro grupo de dois dígitos (28) (do numero apurado acima ao quadrado 5). 28 - 25 = 3 4 - Agora junte-o (passo 3) ao próximo grupo de dois dígitos para obter o dividendo parcial. "3 + 60" temos "360” 5 - Agora multiplique o valor da raiz (passo 2 = 5) por 2, e descarte qualquer ponto decimal. Este é o divisor parcial. 5 x 2 = 10 6 - Divida um divisor pelo outro e preserve o primeiro dígito do resultado. Este é o próximo dígito da raiz quadrada. 360/10 = 36 preserve-se "3” Desde estamos trabalhando com o primeiro dígito depois do decimal em nosso número original (o 6 em 28.6) para gerar o novo dígito, nós pusemos um decimal à frente do novo dígito. Assim sendo, nossa raiz quadrada é: 5,3 7 - Use o dígito do passo 6 e junte-o ao divisor parcial do passo cinco : "10 + 3" temos 103 8 - Multiplique o resultado pelo dígito novo : 103 x 3 = 309 9 - Subtraia o resultado do dividendo parcial (passo 4) : 360 - 309 = 51 Página 11 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  12. 12. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 10 - Junte o próximo grupo de dois dígitos (00) ao resultado do passo 9 para obter um novo dividendo parcial. "51 + 00" temos 5100 Neste momento o algoritmo começa a repetir os passos: 11 - Repita o passo 5: Multiplique o que você tem agora como raiz quadrada (passo 6 = 5,3) por dois, mas descarte o ponto decimal, para obter um novo divisor parcial. 53 x 2 = 106 12 - Repita passo 6: Divida os divisores parciais e reserve o primeiro digito do resultado. 5100/106 = 48.11..., Reserve "4” Inclua o novo dígito ao final da raiz quadrada, e obtenha: 5,34 13 - Para mais precisão, só repita passos 7 até 10, e então retorne ao passo 5 atrás tantas vezes quanto você desejar. Some mais grupos de “00” se for necessário. Como se tudo isso não fosse bastante, há uma coisa a observar. De fato, se você tentasse seguir esta jogo de instruções com algum outro número alem de 28.6, você pode ter descoberto bem o que isso representa: O resultado do passo 9 pode ser um número negativo! "Assim o que"?, Você pode perguntar. Bem, como o resultado do passo 9 é a base para o próximo dividendo parcial representa dizer que se apurarmos um número negativos teremos dividendo parcial negativo. E que, quando você atinge o passo 12 (ou o repita o passo 6), significa que o próximo dígito da raiz quadrada será negativo! "Bondade" você exclama, isso que em terra significa ter um dígito negativo em um número “?”. Afortunadamente, a resposta para aquela pergunta não é "nada". Se você pensa atrás para quando você estava no primeiro ou segundo grau quando seu professor de matemática lhe explicou o sistema de notação decimal, você se lembrará que a notação de decimal é uma (muito conveniente) taquigrafia para a soma. Por exemplo, 127.6 é 1 na casa das centenas, mais 2 nas dezenas, mais 7 nas unidades. Ou seja, 1 x 100 + 2 x 10 + 7 x 1 + 6x.1. Os dígitos simplesmente são o atalho para os vários produtos que você soma. Tendo isso em mente, nós vemos que tendo um dígito negativo não é nenhuma grande quantidade. Significa justamente que você tem que exercitar um pouco matemática para propor um "número normal" que tenha todos os dígitos positivos. Por exemplo, se em 127.6, o 2 fosse negativo? Isso seria 1 x 100 + (-2) x 10 + 7 x 1 + 6 x.1 onde temos 100 - 20 + 7 + 0,6 ou 87,6 Assim se o resultado do passo 9 é um número negativo, não se preocupe com isto. Proceda normalmente. Olhemos um exemplo que tem este fenômeno, que mostrarei os passos aqui, mas não repetirei as suas descrições: A raiz quadrada de 77.15 é: Passo: Resultado: 0 - raiz (77.15) = ?.? 1 - 77.15 temos "77” 15 “00” 2 - 82 = 64, e 64 < 77 8.? 3- 77 - 64 = 13 4- "13" + "15" = "1315” Página 12 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  13. 13. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 5 – 8 x 2 = 16 6 - 1315/16 temos 8 8.8? (= 8 + 8 x 10 - 1) 7- "16" + "8" = "168” 8- 168 x 8 = 1344 9- 1315 - 1344 = -29 10- "-29" + "00" = "-2900” 11 – 88 x 2 = 176 12 - -2900/176 temos -1 8.79 (= 8 + 8x10-1 + (-1)x10-2) 13- "176" + "-1" = 1761 A derivação de 1761 é na verdade um pouco enganadora. Lembre-se que você tem que juntar o novo dígito ao divisor parcial, então multiplicar o resultado pelo novo dígito. Juntar um dígito negativo é uma operação diferente de que anexar-se um novo dígito novo ao final do seu resultado, porque agora você realmente está executando o cálculo (- (176 x 10 + 1)), no qual você multiplica então por -1 para obter 1761. Os sinais de menos se cancelam, o que é bom. Assim o que você realmente faz é juntar o valor absoluto do novo dígito novo ao divisor parcial, e faça para o resultado o mesmo sinal como o dígito novo. Então multiplique pelo dígito novo como normal. Você sempre obterá um resultado positivo. 14- -2900 - 1761 = -4661 15- "-4661" + "00" = "-466100” 16 – 879 x 2 = 1758 17 - -466100 / 1758 temos -28.788 (= 8 + 8 x 10 - 1 + (-1) x 10 - 2 + (-2) x 10-3) E realmente, isso não é uma resposta ruim desde que 28.7882 = 77.228944 que só estão apagados por 078944. Nada ruim, durante só três ciclos pelo algoritmo. Você pode desejar saber se este negócio com dígitos negativos sempre acontece. A resposta é não. A razão é por causa da natureza do algoritmo. Este é um algoritmo de aproximação sucessivo que a cada passo obtém se aproxima da resposta correta. Assim se sua aproximação inicial for muito pequena, o algoritmo terá que somar uma quantia positiva pequena a cada passo para atingir a resposta correta. Mas se a aproximação inicial é muito grande, o algoritmo não tem escolha, mas levar adicionar quantias pequenas longe da aproximação a cada passo. Caso contrário, a aproximação há aos poucos se torna pior. Mas como conseguir isso? A advertência é que os passos de 1 a 4, são diferentes, e eles não são repetidos. Eles são criados para sempre dar primeiro um digito positivo que é uma aproximação da verdadeira resposta. Isto não é difícil ver; passo 2 lhe diz imediatamente que ache um número cuja quadrado seja menor que o primeiro grupo de dígitos. Então, a raiz quadrada daquele número é menor que a raiz quadrada do primeiro grupo de dígitos. É garantido que primeiro dígito está correto porque é a raiz quadrada perfeita maior e que é menor que o primeiro grupo de dígitos, mas, todavia como o valor em si é menor que a verdadeira resposta. Considerando que é fácil entender que o primeiro dígito da resposta é uma aproximação da verdadeira resposta, também é bem fácil ver que o segundo dígito da resposta será positivo. O segundo dígito tem que Página 13 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  14. 14. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc ser positivo para alcançar a aproximação mais próxima da verdadeira resposta. Porém, é parte da natureza do algoritmo que o segundo dígito pode exceder a verdadeira resposta. Quando isso acontece, a aproximação muda de uma em baixo a uma em cima, e assim todos seus dígitos restantes serão negativos. Eu deixo isto para as mentes dos mais espertos que eu próprio que podem entender por que é possível o segundo dígito exceder a verdadeira resposta (e esperançosamente fixar o algoritmo). Finalmente, uma última nota. No evento em que você escolhe achar a raiz quadrada de um número que tem uma raiz quadrada racional (como 17.64, cuja raiz quadrada é exatamente 4.2), você achará isso em algum momento do passo 9 a subtração irá zerar exatamente e lá não há nenhum grupo dígitos à esquerda para lidar com isso, não temos "00". Se isso acontecer, você sabe que tudo acabou, e você achou a raiz quadrada exata que estava procurando (não somente se aproximou). Isto é fácil provar; se você assumir que o resultado do passo 9 é exatamente zero, e você continua com o zero durante o cálculo, você verá que todos os outros dígitos produzidos pelo algoritmo também serão zero. A raiz quadrada de Newton Se você está criando sua própria linguagem de programação, e chegou momento de criar uma função especial para calcular raízes quadradas. Tudo você tem que calcular estas raízes é com a adição, subtração, multiplicação, e divisão. Olhando para suas notas, você descobre uma fórmula para derivar raízes quadradas conhecidas como “o Método de Newton.” Este método calcula uma sucessão de aproximações da raiz quadrada que chegam a raiz quadrada atual do número. A fórmula para este método é como segue: Onde xi é a i enésima aproximação da raiz quadrada de N (N é o número você está calculando a raiz quadrada.) O método requer um x0 de estimativa inicial. A metadeN N deveria ser uma boa aproximação inicial. A de X + sucessão de aproximações seguirá infinitamente,imas você deve parar de calcular novas estimativas quando X a diferença entre aproximações sucessivas for suficientemente pequena, i.e. quando |xi+1-xi|. Você pode determinar que 0.00001i+1 = X seja suficiente para suailinguagem de programação. A equação, proveria estes valores sucessivos: 2 Aproximações (xi) Diferença da última aproximação (| xi+1-xi |) 12.500000 12.500000 X1 7.250000 5.250000 X2 5.349138 1.900862 X3 5.011394 0.337744 X4 5.000013 0.011381 X5 5.000000 0.000013 X6 5.000000 0.000000 X7 Formato de contribuição: A contribuição consiste em séries de inteiro positivos. A contribuição terminará antes de 0 (zero). Formato de produção: O computador deveria produzir as raízes quadradas de todas as inteirezas entradas até 6 lugares decimais de precisão. (IE, no máximo sua resposta deveria ser 0.00001 fora.) Contribuição de amostra Produção de amostra 87 A raiz quadrada de 87 é 9.327379. 95 A raiz quadrada de 95 é 9.746794. 83 A raiz quadrada de 83 é 9.110434. 37 A raiz quadrada de 37 é 6.082763. 5 A raiz quadrada de 5 é 5.000000 Página 14 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  15. 15. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 0 Sempre maravilha como determinar a raiz quadrada de um número sem a ajuda de uma calculadora? Acredite ou não, as pessoas faziam isto. Aqui é um método por fazer assim. Se você é bom com divisão longa, aqui é um modo rápido para achar raízes quadradas bem precisas sem a ajuda de uma calculadora. Tentemos 24.6. 1. Faça uma suposição. Pode ser uma suposição muito ruim. Não importa. Você pode adivinhar até mesmo Um. Tentemos Cinco já que 52 em 25 que estão bem perto de 24.6. 2. Divida 24.6 por 5. 24.6 / 5 = 4.92. 3. Agora, vem o truque: Escolha uma suposição nova entre cinco e 4.92 e divida novamente em 24.6. Tentemos 4.95. 24.6 / 4.95 = 4.96. 4.96 estão bonitos perto de 4.9598 que é a raiz quadrada atual de 24.6. 4. Repita passos 2 e 3 para qualquer desejou nível de precisão. O mais adiante você vai, o mais duro a divisão longa se torna. Mas os primeiros alguns ciclos se rendem uma bonita resposta íntima. A razão que isto trabalha é porque n*n = 24.6 e n = 24.6 / n. Então, a real raiz quadrada sempre estará em algum lugar entre 24.6 / n e n. Assunto: Ref: Raízes Quadradas Sem uma Calculadora Para fazer isto, você tem que aprender um algoritmo de raiz quadrado. Adquira um pedaço de papel e um lápis. Eu espero que eu possa explicar isto bastante há pouco usando bem palavras. Primeiro, escreva o decimal 7.00000000 e distinguir pares de dígitos do ponto de fração decimal. Isto lhe dá 7.00'00'00'00 '... Começar, adivinhe a raiz quadrada de 7. O mais próximo inteiro é 2. Agora monte a coisa como uma divisão longa. 2 divide 7 por 2 vezes. 2 x 2 = 4. Subtraia isso de 7 que deixa resto 3 e derruba os próximos dois dígitos. Agora vem a parte que é diferente de divisão. A resposta que mostra tão longe é 2. Dobre que e usa os 4 como o primeiro dígito de um divisor novo. Tudo que entra no lugar do a pessoa também tem que entrar para cima na resposta. Em outras palavras, a pergunta é: quarenta algo vai em 300 quanto vezes?. A resposta é 6. Quarenta seis vezes seis = 276. Subtraia isso de 300 resto 24. Derrube os próximos dois zeros. Dobre o que está na resposta (dobre 26). Use 52 como os primeiros dois dígitos em um divisor novo e a pergunta se torna quinhentos e vinte algo divide em vinte e quatro cem quanto vezes? A resposta é 4. 4 vezes 524 = 2096. Subtraia de 2400. Derrube dois mais zeros. Dobre a resposta e deixe um dígito vazio e assim por diante e assim sucessivamente. Você pode continuar sempre indo. Agora, você sabe que você é mais inteligente que uma calculadora! Uma vez você vê como isto vai, não é aquele duro. Se você quer um duro, tente o algoritmo para achar uma raiz cúbica (eu não conheço isto). Espere que você possa seguir isto. O Foro de Matemática - local de rede! http://mathforum.org/dr.math / SIMPLIFICANDO A RAIZ QUADRADA Aqui esta uma raiz quadrada típica: Página 15 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  16. 16. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Este é um número irracional, desde que não existe nenhum número racional que multiplicado por si próprio leve ao resultado de 32. De fato, a raiz quadrada de 32 tem este valor: Este é um número irracional. Sempre cresce, e nunca há um padrão repetido completo. Isto significa que se você quiser usar a raiz quadrada de 32 em um cálculo, você terá que arredonda-lo. Por exemplo, você poderia escolher arredondar a raiz quadrada de 32 para aproximadamente 5.7, ou talvez 5.657 Porém para trabalhar com isto, você terá que tomar a decisão de como arredonda-lo. Suponha entretanto, você estava trabalhando com uma fórmula. Aqui esta um exemplo: Altura Você propôs esta fórmula, e quer que seja usada para achar a altura de algo. O problema acontece se você decide avaliar a raiz quadrada de 32, e arredondar seu valo. Sem saber que estará usando a fórmula, ou quão grande o valor de t será, não há nenhum espaço para que você possa tomar uma decisão para quanto arredondar a raiz quadrada de 32! Por exemplo, se você decide arredondar para uma casa decimal e usar 5.7, e alguém que esteja usando a fórmula define um valor de 973 para t, a resposta não será tão precisa quanto se você estivesse usando 5.657. Você não tem um modo de saber para quanto arredondar a raiz quadrada com antecedência! Você poderia deixar a raiz quadrada de 32 intacta. Suponhamos que sempre criaremos expressões tão simples quanto possível. Uma melhor solução para este dilema é simplificar a raiz quadrada de 32, mas sem avaliar. Vamos lhe mostrar como simplificar uma raiz quadrada. Vejamos a raiz quadrada de 32 novamente: Nós vamos trocar 32 para um par de números que multiplicados dão32. Há várias possibilidades. Aqui esta um par escolhido: Página 16 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  17. 17. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Nós escolhemos 16 e 2 por uma razão. 16 é um quadrado perfeito e um fator de 32. O que significa isto? Bem, você já sabe que raízes quadradas se multiplicam juntas. Assim nós podemos fazer isto: E agora, por 16 ser um quadrado perfeito, sua raiz é 4: A nós fizemos uma mudança a raiz quadrada de 32 é igual a 'quatro vezes a raiz quadrada de 2': Porque o número debaixo do sinal radical é menor, é considerado que a raiz é mais simples. Claro que, não todas as raízes quadradas podem ser extraídas. Aqui temos uma que não se simplificará: (Não há nenhum par de fatores de 30 que sejam é quadrado perfeito) façamos outro exemplo... Aqui é um radical diferente, também uma raiz quadrada,: Nós queremos dois números que multiplicados seja iguais a 75, onde um deles seja o mais possível perfeito. Aqui estão eles: Estes números foram escolhidos porque a raiz quadrada de 25 é perfeita. Que nos deixou fazer isto: Página 17 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  18. 18. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc A resposta decisiva é então: Porque o número debaixo do sinal radical é menor (' 3 ' em vez de ' 75 '), é considerado que a raiz é mais simples. Aqui temos outro... Olhemos o que acontece se você escolhe os números errados: Como você poderia separar 48 em dois números que multiplicados dão 48? Há muitos modos... aqui temos um: Infelizmente, isto não ajudará a simplificar o radical, porque nem a raiz quadrada de 8 nem a raiz quadrada de 6 são perfeitas, assim você não pode ir mais distante. Aqui temos o modo formal de fazer a pergunta: Note que 16 vezes 3 também é 48, mas neste caso 16 é um quadrado perfeito, assim você pode achar sua raiz quadrada facilmente. Aqui temos outro... Você provavelmente percebeu que nós estamos omitindo o primeiro passo onde o ' 4 vezes 7 ' está debaixo de um único sinal de raiz. E também que nós pusemos a raiz perfeita primeiro. Assim sendo, quando você trabalhar com isto, o número inteiro virá na frente da raiz. Isso é o modo formal para se escrever um radical misto. Agora examinemos o que fazer quando a raiz já é parte de um radical misturado: Aqui temos um radical misto: Página 18 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  19. 19. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Ainda assim pode ser simplificado, a raiz quadrada de 8 pode ser se separada: Advertimos que o '3' já estava lá na frente e permanece, enquanto a raiz é separada. Agora nós vamos calcular a raiz quadrada de 4: O passo final é combinar os dois números inteiros: O.K., nós estamos quase acabando. Vejamos se você tem isto... Nós mostramos que o primeiro dos dois números a serem usados para se separar a raiz deve ser perfeito. Mas o que acontece se você escolher o maior possível? Aqui temos o que nós queremos dizer: Há muitos pares de números que multiplicados dão 200. Nós queremos um par onde o primeiro número seja perfeito. Como 25 e 8? Tudo parece funcionar. Mas você vê o problema? Nossa resposta pode ser simplificada um pouco mais! ... e aqui temos a solução completa: Página 19 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  20. 20. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Esta é a resposta correta, mas deu muito trabalho, principalmente porque nós não procuramos um quadrado perfeito maior que multiplicado de 200. De fato, 200 = 100 X 2, e 100 é um quadrado perfeito e maior que 25. Além disso, 100 alem de ser um quadrado perfeito maior é um fator de 200. Aqui temos a solução de maneira mais rápida: Compare com as cincos soluções anteriores. Para procurar o fator perfeito maior! Agora que você sabe simplificar uma raiz quadrada. Nossa fórmula original: pode ser substituído por isto: Esta versão é mais simples, embora possa não aparecer daquele modo, porque o número debaixo do sinal radical é menor. Sempre que você encontra um radical, espera-se que você o avalie e o arredonde e o simplifique (se possível). BEATCALC: Diferença entre quadrados - Detone a Calculadora e calcule de cabeça Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos consecutivos. Selecione dois números de 2 dígitos consecutivos. Some os dois números. 24 + 25 = 49. (24 2 = 576, 25 2 = 625, 625 - 576 = 49) 63 + 64 = 127. (63 2 = 3969, 64 2 = 4096, 4096 – 3969 = 127) Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos diferentes Selecione dois números de 2 dígitos, um não mais que 10 maior que o outro. Subtraia o número maior de menor. Some os dois números. Multiplique a primeira resposta pela segunda. Página 20 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  21. 21. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 1. Se selecionarmos 71 e 64: 71 - 64 = 7. 71 + 64 = 135 Multiplique estes resultados: 7 x 135 = 945 Assim a diferença entre 71 2 e 64 2 é 945. 2. Se selecionarmos 27 e 36: 36 - 27 = 9. 36 + 27 = 63 Multiplique estes resultados: 9 x 63 = 567 Assim a diferença entre 27 2 e 36 2 é 567. Raiz quadrada de um número terminado em 1. Selecioneum número de 2 dígitos e eleve ao quadrado. Desprezeos dois últimos dígitos do quadrado. Ache a maior raiz quadrada dos dígitos restantes. Este é primeiro dígito da raiz quadrada. O segundo dígito é 1. 1. Se o quadrado for 2601: Despreze os dois últimos dígitos: 26 Ache a raiz mais próxima em 26: 5 x 5 = 25 O primeiro dígito é 5. O segundo dígito é 1. Assim a raiz quadrada de 2601 é 51. 2. Se o quadrado for 8281: Despreze os dois últimos dígitos: 82 Ache a raiz mais próxima em 82: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 1. Assim a raiz quadrada de 8281 é 91. Este processo também funciona para quadrados de número de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 22801, ache a maior raiz em 228: 15 x 15 = 225. Os dois primeiros dígitos são 15, o último dígito é 1, e a raiz quadrada de 22801 é 151. Raiz quadrada de quadrados perfeitas que terminam em 5. Selecione um número de 2 dígitos e eleve ao quadrado. Descarte os dois últimos dígitos do quadrado. Ache a raiz quadrada mais próxima dos dígitos restantes. Este é primeiro dígito da raiz. O segundo dígito é 5. 1. Se o quadrado for 9025: Descarte os dois últimos dígitos: 25 Ache a mais próxima em 90: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 5. Assim a raiz quadrada de 9025 é 95. 2. Se o quadrado for 4225: Descarte os dois últimos dígitos: 25 Ache a raiz mais próxima em 42: 6 x 6 = 36 O primeiro dígito é 6. O segundo dígito é 5. Assim a raiz quadrada de 4225 é 65. Página 21 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  22. 22. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Este processo também funciona em quadrados de números de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 15625, ache a raiz mais próxima de 156: 12 x 12 = 144 . Os primeiros dois dígitos são 12, o último dígito é 5, e a raiz quadrada de 15625 é 125. Página 22 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  23. 23. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc BEATCALC: Dividindo Números - Livre-se da calculadora, aprenda uma cabeça de calcular! http://mathforum.org / Dividindo números de 2 ou 3 dígitos por 2 ½. Selecione um número de 2 ou 3 dígitos.  Multiplique por 4 (ou por 2 duas vezes).  Divida por 10. Exemplo: O número escolhido é 86. Multiplique por 4: 4 x 86 = 344  Divida por 10: 34,4  Assim 86 dividido por 2 1/2 = 34,4. O número escolhido é 624. Multiplique por 2: 2 x 624 = 1248  Multiplique por 2: 2 x 1248 = 2496  Divida por 10: 249,6 Assim 624 dividido por 2 1/2 = 249,6. Multiplique por 4 quando for fácil; caso contrário use dois passos, multiplique duas vezes por 2. Dividindo um número de 2 dígitos por 3 ½. Multiplique o número por 2.  Divida o produto por 7. Exemplo: 1. O número escolhido é 42. Multiplique por 2: 2 x 42 = 84  Divida por 7: 84/7 = 12  Assim 42 dividido por 3 1/2 = 12. 2. O número escolhido é 61. Multiplique por 2: 2 x 61 = 122  Divida por 7: 122/7 = 17 3/7  Assim, 61 dividido por 3 1/2 = 17 3/7. Se o número escolhido for divisível por 7, a resposta será um número inteiro. Para números não divisíveis por 7, uma calculadora mostrará decimal repetido, mas sua resposta fracionária será exata. Dividindo um número de 2 dígitos por 15. Multiplique por 2.  Divida o resultado por 3.  Divida por 100 decimal uma casa à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 68. Página 23 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  24. 24. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Multiplique por 2: 2 x 68 = 120 + 16 = 136  Divida o resultado por 3: 136/3 = 45 1/3 Mova uma casa decimal no inteiro, à esquerda: 4.5 1/3  Assim, 68 dividido por 15 = 4.5 1/3. 2. O número escolhido é 96. Multiplique por 2: 2 x 96 = 180 + 12 = 192  Divida o resultado por 3: 192/3 = 64 Mova uma casa decimal no inteiro, à esquerda: 6.4  Assim 96/15 = 6.4. Com este método você poderá para dividir números por 15 com dois cálculos rápidos - uma multiplicação e uma divisão. Dividindo um número de 2 ou 3 dígitos por 25. (Escolha números maiores quando você seguramente domina o método.) Multiplique por 4 (ou por 2 duas vezes).  Divida por 100, isto é, mova duas casas decimais à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 38. Multiplique por 4: 4 x 38 = 152  Mova duas casas decimais à esquerda (divida por 100): 1,52 Assim 38 dividido por 25 = 1,52  2. O número escolhido é 641. Multiplique duas vezes por 2: 2 x 2 x 641 = 2564.  Mova duas casas decimais à esquerda: 25,64. Assim 641 dividido por 25 = 25,64. Dividindo um número de 2 ou 3 dígitos por 35. Multiplique por 2. Divida o número resultante por 7.  Divida o inteiro por 10, isto é, mova uma casa decimal à esquerda. Exemplo: 1. Se o número escolhido é 61: Multiplique por 2: 2 x 61 = 122.  Divida por 7: 122/7 = 17 3/7  Divida o inteiro por 10 : 1,7 3/7 Assim 61 dividido por 35 = 1,7 3/7. 2. Se o número escolhido é 44: Multiplique por 2: 2 x 44 = 88  Divida por 7: 88/7 = 12 4/7  Divida o inteiro por 10: 1,2 4/7 Assim 44 dividido por 35 = 1,2 4/7. Página 24 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  25. 25. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Divisão feita via calculadora dará valores repetidos (a menos que o número original seja um múltiplo de 7), truncados pelos limites da exibição. A resposta exata deve ser expressa como um número fracionário. Dividindo um número de 2 dígitos por 45. Divida por 5.  Divida o número resultante por 9. Exemplo: 1. Se o número escolhido para dividir por 45 é 32: Divida por 5: 32/5 = 6,4  Divida o resultado por 9: 6,4/9 = 0,71 1/9 Assim 32 dividido por 45 = 0,71 1/9. 2. Se o número escolhido é 61: Divida por 5: 61/5 = 12.2  Divida o resultado por 9: 12.2/9 = 1.35 5/9 Assim 61 dividido por 45 = 1.35 5/9. Dividindo um número de 2 ou 3 dígitos por 75.  Multiplique por 4 (ou por 2 duas vezes). Divida por 100, isto é, mova duas casas decimais à esquerda.  Divida por 3 (o resto fica expresso como fração). Exemplo: 1. O número escolhido é 82. Multiplique por 4: 4 x 82 = 328.  Divida por 100: 3,28  Divida por 3: 3,28/3 = 1,09 1/3 Assim 82 dividido por 75 = 1,09 1/3. 2. O número escolhido é 631. Multiplique por 4 : 4 x 631 = 2524.  Divida por 100: 25,24.  Divida por 3: 25,24/3 = 8,41 1/3 Assim 631 dividido por 75 = 8,41 1/3. Dividindo um número de 2 dígitos por 125. Multiplique por 8.  Divida por 1000 isto é, mova 3 casas decimais à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 72. Multiplique por 8: 8 x 72 = 560 + 16 = 576.  Divida por 1000: 0,.576  Assim 72 ÷ 125 = 0, 576. 2. O número escolhido é 42. Página 25 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  26. 26. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Multiplique por 8: 8 x 42 = 320 + 16 = 336.  Divida por 1000: 0,336  42 dividido por 125 = 0,336. Dividindo um número de 2 dígitos por 375. Multiplique por 8.  Divida o produto por 3 (remanescente expresso como uma fração).  Divida a parte inteira por 1000, isto é, mova 3 casas decimais à esquerda. Exemplo: 1. O número escolhido é 32. Multiplique por 8: 8 x 32 = 240 + 16 = 256  Divida por 3: 256/3 = 85,3 1/3  Divida por 1000: 0,0853 1/3  Assim 32 dividido por 375 = 0,0853 1/3. 2. O número escolhido é 61. Multiplique por 8: 8 x 61 = 480 + 8 = 488  Divida por 3: 488/3 = 162 2/3  Divida a parte inteira por 1000: 0,162 2/3  Assim 61 dividido por 375 = 0,162 2/3. Dividindo um número de 2 dígitos por 625. Multiplique por 8.  Divida o produto por 5.  Divida por 1000. Exemplo: 1. O número escolhido é 65. Multiplique por 8 = 8 x 65 = 480 + 40 = 520  Divida por 5: 520/5 = 104  Divida por 1000: 0,104 Assim 65 dividido por 625 = 0,104. 1. O número escolhido é 32. Multiplique por 8: 8 x 32 = 240 + 16 = 256  Divida por 5: 256/5 = 51.2  Divida por 1000: 0,0512 Assim 32 ÷ 625 = .0512. Dividindo um número de 2 dígitos por 875. Multiplique por 8 =  Divida por 7.  Divida por 1000. Exemplo: 1. O número escolhido é 31. Multiplique por 8: 31 x 8 = 248  Divida por 7: 248/7 = 35 3/7  Divida por 1000: 0,035 3/7 Assim 31 dividido por 875 = 0,035 3/7. 2. O número escolhido é 63. Página 26 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  27. 27. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Multiplique por 8 = 8 x 63 = 504  Divida por 7: 504/7 = 72  Divida por 1000: 0,072 Assim 63 ÷ 875 = 0,072. Dividindo um número composto de 3 dígitos repetidos por 37 e somando 41. Selecione um número de 3 dígitos repetidos. A resposta é 3 vezes um dos dígitos mais 41! Exemplo: 1. Selecione 999. Multiplique o dígito por 3: 9 x 3 = 27.  Some 41: 27 + 41 = 68. Assim (999 ÷ 37) + 41 = 68. Dividindo um número composto de 6 dígitos repetidos por 15873. Selecione um numero de 6 dígitos. A resposta é 7 vezes o primeiro dígito do número! Exemplo: 777777/15873 = 7 x 7 = 49. 555555/15873 = 7 x 5 = 35. 999999/15873 = 7 x 9 = 63. Dividindo um número composto de 6 dígitos repetidos por 7, então por 13. Número escolhido de 3 dígitos. Repita os dígitos para obter um outro número de 6 dígitos.  Divida estes 6 dígitos por 7, então por 13. OU  A resposta é 11 vezes o numero de 3 dígitos escolhido originalmente. Exemplo: 1. Se o número de 3 dígitos for 234: O novo número de 6 dígitos é 234234.  Divida por 7, então por 13 = 234234 / 7 / 13 = 2574 Multiplique 234 por 11 : último dígito à direita = ___4 Próximo dígito à esquerda = 3 + 4 = 7: __7_ Próximo dígito para esquerda = 2 + 3 = 5: _5__ Último dígito em esquerda = 2___ Assim 234234 ÷ 7, e por 13 é 2574. Página 27 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  28. 28. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 2. Se o número de 3 dígitos for 461:  O novo número é 461461. Divida 461461 por 7, então por 13 = 5071 OU  Multiplique 461 por 11, trabalhe da direita para a esquerda: Último dígito à direita = ___1 Próximo dígito à esquerda = 6 + 1 = 7: __7_ Próximo dígito à esquerda = 4 + 6 = 10 (vai 1): _0__ Último dígito em esquerda = 4 + 1(vai) = 5: 5___ Assim 461461 ÷ 7, e por 13 dá 5071. Dividindo um número 6 dígitos (2 centenas repetidas) por 13, então por 11. Selecione um número de 3 dígitos. Repita os dígitos para obter um novo número de 6 dígitos.  Divida estes 6 dígitos por 13, então por 11. OU  A resposta é 7 vezes o numero de três dígitos escolhido! Dedução : O numero de 6 dígitos é gerado pelo numero escolhido multiplicado por 1001 = 231 x 1001 = 231231 Dividindo-se o novo numero por 13 e 11 sucessivamente temos : (Numero original x 1001) / (13 x 11) = Numero original x 1001 /143 = Numero original x 7 Exemplo: 1. Se o número de 3 dígitos for 231: O novo número é 231231. Divida o novo numero por 13, então por 11: 231231 / 13 / 11 = 1617. OU Multiplique o numero escolhido por 7 = 231 x 7 = 1617 2. Se o número é 412: O novo número é 412412. A divisão 13, então por 11: 7 x 412 = 2800 + 70 + 14 = 2884. Assim 412412 ÷ 13, e por 11 dá 2884. Dividindo um número de composto 6 dígitos (2 centenas repetidas), por 7, 11,13. Selecione um número de 3 dígitos. Página 28 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  29. 29. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Repita estes dígitos para obter um novo número de 6 dígitos.  Divida este número por 7, então 11, então 13. A resposta é o número original. Exemplo: 1. Se o número for 289: O novo número é 289289. ( 289 x 1001 ou x 7 x 11 x 13)  Multiplicamos por 1001 ou por 7 x 11 x 3 Divida por 7, então por 11, então por 13: a resposta é 289.  Dividimos por 1001 ou por 7 x 11 x 3 Por isso voltamos a calcular o numero original escolhido Assim 289289 dividido por 7, então 11, então 13 dá 289. 2. Se o número for 983: O novo número é 983983.  Divida por 7, então por 11, então por 13: a resposta é 983.  Assim 983983 dividido por 7, então 11, e então 13 dá 983. Altere somar ou subtrair outros números para o último passo e você criará muitos exercícios novos. Dividindo um número composto de 6 dígitos repetidos por 37037, multiplicando por n. Selecione um número composto de 6 dígitos repetidos. Multiplique o dígito único do multiplicando por 3, então por n. Exemplo: Multiplicando por 5: Se o número repetido for é 555555: (55555 = 1001 x 555 37037 = 37 x 1001 ) 555/37 x 4 = 60 Multiplique 5 x 3 = 15.  Multiplique 15 x 4 = 60  Assim 555555 ÷ 37037 e multiplicado por 4 é 60. Multiplicando por 4: Se o número for 444444: 444 / 37 x 4= 48 OU  Multiplique 4 x 3 = 12.  Multiplique 12 x 4 = 48 Assim 444444 ÷ 37037 e multiplicado por 4 é 48. Multiplicando por 3: Se o número for 333333: Página 29 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  30. 30. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 333/37 x 3 = 27 OU  Multiplique 3 x 3: 9  Multiplique 9 x 3: 27 Assim 333333 dividido por 37037 e multiplicado por 3 dá 27. Mudando o último passo (multiplique o dígito único do multiplicando por 3, então por n , onde n representa o digito do multiplicador), você pode criar muitas versões deste exercício. Seja inventivo e crie alguns cálculos Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos consecutivos. Selecione dois números de 2 dígitos consecutivos.  Some os dois números. Exemplos: 24 + 25 = 49. (24 x 24 = 576, 25 x 25 = 625, 625 - 576 = 49.) 63 + 64 = 127. (63 x 63 = 3969, 64 x 64 = 4096, 4096 – 3969 = 127) Diferença dos quadrados de dois números de 2 dígitos diferentes Selecione dois números de 2 dígitos, cuja diferença seja =< que 10. Subtraia o número maior de menor. Some os dois números. Multiplique a primeira resposta pela segunda. Exemplos: 1. Se selecionarmos 71 e 64:  Subtraia o número maior de menor.= 71 – 64 = 7 Some os dois números. 71 + 64 = 135 Multiplique estes resultados: 7 x 135 = 945 (7 x 135) = 7 x (100+30+5) = 700+210+35 = 910 + 35 = 945 Assim a diferença dos quadrados de 71 e 64 é 945. 2. Se selecionarmos 36 e 27:  Subtraia o número maior de menor = 36 - 27 = 9.  Some os dois números = 36 + 27 = 63  Multiplique estes resultados = 9 x 63 = 567  Assim a diferença das quadrados de 27 e 36 é 567. Achando a raiz quadrada de números que terminam em 1. Selecione um número terminado em 1. Despreze os dois primeiros dígitos do quadrado.  Ache a raiz quadrada maior dos dígitos restantes.  Este é primeiro dígito da raiz quadrada.  O segundo dígito é 1. Página 30 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  31. 31. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Exemplos: 1. Se o quadrado for 2601: Despreze os dois últimos dígitos: 26  Ache a raiz maior em 26 = 5 x 5 = 25 O primeiro dígito é 5. O segundo dígito é 1.  Assim a raiz quadrada de 2601 é 51. 2. Se o quadrado for 8281: Despreze os dois últimos dígitos: 82  Ache a maior raiz em 82: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 1.  Assim a raiz quadrada de 8281 é 91. Este processo também funciona para quadrados de número de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 22801, ache a maior raiz em 228: 15 x 15 = 225. Os primeiros dois dígitos = 15, o último dígito é 1, e a raiz quadrada de 22801 é 151. Achando a raiz quadrada de quadrados perfeitas que terminam em 5. Selecione um número de 2 dígitos e eleve ao quadrado. Descarte os dois últimos dígitos do quadrado.  Ache a raiz quadrada mais próxima dos dígitos restantes.  Este é primeiro dígito da raiz.  O segundo dígito é 5. Exemplos: 1. Se o numero ao quadrado for 9025: Descarte os últimos dois dígitos: 90  Ache a mais próxima em 90: 9 x 9 = 81 O primeiro dígito é 9. O segundo dígito é 5.  Assim a raiz quadrada de 9025 é 95. 2. Se o quadrado for 4225: Descarte os últimos dois dígitos: 42  Ache a raiz mais próxima em 42: 6 x 6 = 36  O primeiro dígito é 6.  O segundo dígito é 5.  Assim a raiz quadrada de 4225 é 65. Este processo também funciona em quadrados de números de 3 dígitos (ou mais). Para o quadrado 15625, ache a raiz mais próxima de 156: 12 x 12 = 144 . Os primeiros dois dígitos = 12, o último dígito é 5, e a raiz quadrada de 15625 é 125. Página 31 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  32. 32. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc BEATCALC: Somando Números- Livre-se da calculadora, aprenda a calcular de cabeça! 1 – Soma de números de 2 pares de dígitos até um número par de dois dígitos escolhido. 1. Divida o número por 2 (ou multiplique por 1/2). 2. Multiplique este resultado pelo próximo número sucessivo. Exemplo: 1. O numero escolhido é 24: 2. Divida 24 por 2 (24/2 = 12) ou multiplique por 1/2 (1/2 x 24 = 12). 3. O próximo número sucessivo é 13; 12 x 13 = 156. Modos de multiplicar 13 por 12: Quadrado de 12, então some 12: 12 2 = 144, 144 + 12 = 156. Ou pode ser feito em passos: 12 x (10+3) = (12 x 10 ) + ( 12 x 3 ) =120+36= 156. Logo temos : 2 + 4 + 6 + 8 + 1 0 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 = 156 Assim a soma de todos os números pares a partir de 2 até 24 é 156. Exemplo: 1. O numero escolhido é 42: 2. Divida 42 por 2 ( 42 / 2 = 21 ). 3. Multiplique o resultado pelo próximo numero 22; 21 x 22 = 462. Modos de multiplicar 22 por 21: Quadrado de 21, então some 21: 21 2 = 441, 441 + 21 = 462. Ou 21 x ( 20 + 2 ) = (21 x 20) + (21 x 2) = 420 + 42 = 462 4. Assim a soma de todos os números pares de dois até 42 é 462. 2 – Soma dos dígitos do quadrado de números compostos de 1´s. 1. Eleve ao quadrado o número formado por 1´s (111, 11111, etc.). Página 32 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  33. 33. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 2. Some os dígitos do resultado do quadrado. Exemplo: 1. Se o número selecionado é 1111: 2. Quadrado do número: 1111 x 1111 = 1234321 3. Some os dígitos do resultado do quadrado : 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 4. A resposta é o quadrado do número de 1´s (4) em 1111. Exemplo: 1. Se o número selecionado é 111111: 2. Quadrado do número: 111111 x 111111 = 12345654321 3. Some os dígitos do resultado do quadrado: 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1= 36 4. A resposta é o quadrado do número de 1´s (6) em 111111. 3 - Soma da sucessão de números impares sucessivos. 1. Escolha um número de 2 dígitos impar. 2. Some 1 ao número de dois dígitos. 3. Divida o resultado da soma por 2. 4. Eleve este numero ao quadrado. 5. Esta é a soma de todos os números impares de 1 até o numero escolhido. Exemplo: 1. Se o número impar selecionado for 35: 2. Some 1 ao numero 35+1 = 36. 3. Divida por 2 = 36/2 = 18. 4. Eleve este número ao quadrado = 18 2 = 324 5. Ou 18 x 18 = (20 - 2) (18) = (20 x 18) - (2 x 18) = 360 - 36 = 360 - 30 - 6 = 324. 6. Assim a soma de todos os números impares de 1 até 35 é 324. Na verdade temos a soma da progressão aritmética de 18 termos, com primeiro termo igual à 1 e ultimo termo igual à 35, e de razão 2, onde: Soma dos termos da PA = ( a 1 + a n ) x n/2 = (1 + 35) x 18/2 = 36 x 9 = 324 Exemplo: 1. Se o numero impar selecionado for 79: 2. Some 1 = 79 + 1 = 80. 3. Divida por 2 = 80/2 = 40. 4. Eleve este numero ao quadrado = 40 2 = 1600. 5. Assim a soma de todos os números impares desde 1 até 79 é 1600. Soma de números sucessivos entre dois números. 1. Escolha dois números menores do que 20 (nenhum limite para peritos) 2. Some os números escolhidos 3. Subtraia os números entre si e some 1; 4. Multiplique a metade da soma por esta diferença + 1, 5. Ou multiplique a soma pela metade da diferença + 1. Página 33 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  34. 34. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Exemplo: 1. Se os dois números selecionados forem 6 e 19: 2. Some os números escolhidos: 6 + 19 = 25. 3. Subtraia os números entre si: 19 - 6 = 13. Some 1: 13 + 1 = 14. 4. Multiplique a metade de 25 (12,5) pela diferença 14 = 12,5 x 14 = 175 5. Ou multiplique a soma pela metade da diferença + 1 = 26 + 14/2 = 25 x 7 = 175 . 6. Assim a soma dos números entre 6 e 19 é 175. Exemplo 1. Se os dois números selecionados são 4 e 18: 2. Some os números: 4 + 18 = 22. 3. Subtraia os números: 18 - 4 = 14. Some 1: 14 + 1 = 15. 4. Multiplique a metade de 22 por 15: 11 x 15 = 165. 5. Ou multiplique a soma pela metade da diferença +1 = 22 + 15/2 = 165 6. Assim a soma dos números de 4 até 18 é 165. Pratique com números menores que 20, então avance para números maiores. Soma de uma sucessão de 1 até um numero de 2 dígitos escolhido. 1. Escolha um número de 2 dígitos e o próximo numero sucessivo. 2. Multiplique o número de 2 dígitos pela metade do número sucessivo, 3. Ou multiplique a metade do numero pelo próximo número sucessivo. Exemplo: 1. Se o número selecionado é 51: 2. O próximo número é 52. Multiplique 51 pela metade de 52. 3. 51 x 26: (50 +1)(20 + 6) = (50 x 20) + (50 x 6) + 20 +6) = 1000 + 300 + 26 = 1326 4. Assim a soma de todos os números de 1 até 51 é 1326. Exemplo 1. Se o número selecionado for 34: 2. O próximo número é 35. Multiplique a metade de 34 por 35. 3. 17 x 35: (10 x 35) + (7 x 30) + (7 x 5) = 350 + 210 + 35 = 560 + 35 = 595 4. Assim a soma de todos os números de 1 até 34 é 595. Soma da sucessão ascendente/descendente de um número de 1 digito 1. Escolha um número de 1 digito. 2. Some os dígitos da sua seqüência ascendente/descendente até 1 3. Eleve-o ao quadrado. Exemplo: 1. Se o número selecionado for 7: 2. Some 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 3. Quadrado de 7 = 7 2 = 49 Página 34 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  35. 35. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 4. Assim a soma dos os números da sucessão ascendente/descendente de 1 até 7 é 49. Exemplo 1. Se o número selecionado for 9: 2. Some 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 3. Quadrado de 9 = 81 4. Assim a soma dos os números da sucessão ascendente/descendente de 1 até 9 é 81. Soma da sucessão de números das dezenas 10 1. Escolha uma dezena menor do que 20. 2. Some todas as dezenas a partir de 10 até o numero e vice versa: 3. Ache o quadrado do 2º dígito do número escolhido (mantenha o vai x) __X 4. O número de termos é 2 x (2º dígito + 1). 5. Os primeiros dígitos = número de termos + (vai x) . XX_ Exemplo: 1. Dezena escolhida: 16 2. Some as dezenas a partir de 10 até o numero e vice-versa: (10+11+12+13+14+15+16+15+14+13+ 12+ 11+.10) 3. Ache o quadrado do 2º dígito do número selecionado : 6 x 6 = 36 (vai 3) __6 4. Numero de termos = 2 x (2º dígito + 1) : 2 x 6 + 1 = 13 5. Os primeiros dígitos=Número de termos + (vai 3): 13 + 3 = 16 16_ 6. Assim a soma da sucessão é 166. Exemplo: 1. Dezena escolhida 18 2. Some as dezenas a partir de 10 ...e vice versa : (10+11+12+...18 17+16+15...10) 3. Quadrado do 2º dígito do número: 8 x 8 = 64 (vai 6) __4 4. Número de termos = 2 x (2º dígito + 1): 2 x 8 + 1 = 17 5. Primeiros dígitos = Número de termos + (vai x) : 17 + 6 = 23 23_ 6. Assim a soma da sucessão é 234. Soma da sucessão de números das dezenas dos 20's 1. Escolha um número de 2 dígitos das dezenas dos 20's. A partir de 20, somar todas as dezenas dos 20's até o numero escolhido e vice versa: 2. Quadrado do 2º dígito do número (vai x) __X 3. O número de termos é 2 x o 2º dígito + 1. 4. Primeiros dígitos = 2 x Numero de termos + ( vai x). X_ Exemplo: 1. Se o número das dezenas dos20's selecionado é 23: (20+21+22+23+22+21+20) 2. Quadrado do 2º dígito do número: 3 x 3 = 9 ( via 0) __9 3. Números de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 3 + 1 = 7 4. Primeiros dígitos = 2 x Número de termos: 2 x 7 + 0 = 14 14_ 5. Assim a soma da sucessão é 149. 1. Se o número na dezena dos 20's é 28: (20 + 21+22 .+ 28+27+.. 22+21+20) 2. Quadrado do 2º dígito do número: 8 x 8 = 64 (vai 6) __4 Página 35 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  36. 36. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 3. Números de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 8 + 1 = 17 4. Primeiros dígitos = 2 x Numero de termos + ( vai 6 ): 2 x 17 + 6 = 40 40_ 5. Assim a soma da sucessão é 404. Soma sucessões de números das dezenas YY's 1. Escolha número de dois dígitos na casa dos xx's. 2. Some as dezenas a partir de xx até o numero escolhido e vice-versa: 3. Quadrado o 2º dígito do número (mantenha o vai x) _ _ X 4. Os primeiros dígitos = Y x Número de termos + (vai x). onde Y representa o primeiro digito da dezena alvo do calculo. 5. Para 10; Y = 1, para 20; Y = 2, para 30; Y = 3, e assim sucessivamente. Exemplo: 1. Se o número da dezena da casa dos 30's for 34: 2. Some as dezenas a partir de YY : (30+31+32+33+34+33+32+31+30) 3. Quadrado o 2º dígito do número: 4 x 4 = 16 (vai 1) __6 4. Número de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 4 + 1 = 9 5. Y x Número de termos + vai x: 3 x 9 + 1 = 28 28_ 6. Assim a soma da sucessão é 286. 1. Se o número da dezena da casa dos 40's for 48: 2. Some (40 + 41 + 42 + 43 +... 48 ... 47 + 46 + ... + 40) 3. Quadrado o 2º dígito do número: 8 x 8 = 64 (vai 6) __4 4. Número de termos = 2 x 2º dígito + 1: 2 x 8 + 1 = 17 5. Y x Número de termos + vai x : 4 x 17 + 6 = 74 74_ 6. Assim a soma da sucessão é 744. Viu o padrão? 1. Repita o procedimento do item 1 até o item 4 2. Repita o procedimento do item 5 usando diferentes valores para Y de acordo com a dezena sujeita ao calculo : 3. Para 10; Y = 1, para 20; Y = 2, para 30; Y = 3 e assim sucesivamente. Soma de uma série com razão 2 (dobro do anterior) 1. Peça a um amigo escolher um número de dígito. (Nenhuma restrição para peritos.) 2. Peça seu amigo que anote rapidamente uma série onde o próximo termo é sempre igual ao dobro do anterior, e peça que lhe conte o último termo. 3. Peça para seu amigo que some todos estes termos. 4. Você dará a resposta antes que ele possa terminar: 5. A soma dos termos desta série será 2 vezes o último termo menos o primeiro termo. Exemplo: 1. Se o número selecionado for 9: 2. A série anotada é: 9, 18, 36, 72, 144,. 3. Duas vezes o último termo (144) menos o primeiro (9): 2 x 144 = 288; 288 - 9 = 279. Página 36 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  37. 37. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 4. Assim a soma da série de 9 até 144 é 279. 1. O número selecionado é 32: 2. A série anotada é: 32, 64, 128, 256, 512. 3. Duas vezes o último termo menos o primeiro (64): 2 x 512 = 1024; 1024 - 32 = 992. 4. Assim a soma da serie 32 até 512 é 992. Soma de uma série de razão 4 (quádruplos) 1. Peça um amigo para escolher um número de 1 dígito. 2. Peça para seu amigo que anote uma série onde o próximo termo é sempre quatro vezes o anterior, e que lhe diga apenas o último termo. 3. Peça para seu amigo que some todos estes termos. 4. Você dará a resposta antes dele terminar: 5. A soma dos termos será quatro vezes o último termo menos o primeiro termo, dividido por 3. Exemplo: 1. Se o número selecionado for 5: 2. A série anotada é: 5, 20, 80, 320, 1280,. 3. (4 vezes o último termo menos o primeiro) / 3: (4 x 1280 -5) / 3 = 5115 / 3 = 1705 4. Assim, a soma de 5 e seus quádruplos até 1280, vale 1705. 1. O número selecionado é 32: 2. A série anotada é: 32, 128, 512, 2048. 3. (4 x último termo menos o primeiro) / 3 = (4 x 2048 – 32)/ 3 = 8160/3 = 2720. 4. Assim a soma de 32 e seus quádruplos até 2048 vale 2720. Soma de uma série de dez números 1. Peça um amigo para escolher um número de 1 dígito. (Dois dígitos para peritos.) 2. Peça a seu amigo para anotar um terceiro número somando os primeiros dois. 3. Que crie um quarto somando o segundo com o terceiro. Continue deste modo até que tenha alcançado um total de dez números. 4. Peça para somar os dez números. Você dará a resposta antes dele terminar: A soma de todas os termos desta série será o sétimo número vezes 11. Exemplo: 1. Se os números selecionados forem 4 e 7: 2. A série anotada é: 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322,. 3. O sétimo número é 76. 11 x 76 = 836. 4. Assim a soma dos dez números é 836. Página 37 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  38. 38. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Quer saber mais ? Visite: http:www.mathforum.org/ BEATCALC: Multiplicando Números - Livre-se da calculadora, a calcule de cabeça! Multiplicação de dezenas com dígitos das dezenas iguais, dígitos das unidades somam 10. Ambos os números devem ter o mesmo dígito das dezenas. Escolha os dígitos das unidades cuja soma é 10. Multiplique o dígito da dezena por ele mesmo + 1; este número será a primeira parte da resposta: X X _ Multiplique os dois dígitos das unidades, esta será a última parte da resposta: _ _ X X. Nota: Se os 2 dígitos das unidades são 1 e 9 (ou, um produto menor que dez), insira 0 (zero) para o primeiro X em passo 4. Exemplo: Se a dezena for 47, escolha 43 como a segunda dezena. Multiplique o dígito da dezena, por ele mesmo+ 1): 4x (4+1)=20  a primeira parte da resposta é: 2 0 _ _.  Multiplique os dígitos das unidades 7 x 3 = 21;  a última parte da resposta é: _ _ 2 1. Assim 47 x 43 = 2021. Se a dezena for 62, escolha 68 como segunda dezena. Digito da dezena por ele mesmo + 1 = 6 x (6+1) = 42,  a 1a parte da resposta é 4 2 _ _. Multiplique os dígitos das unidades = 2 x 8 = 16;  a última parte da resposta é _ _ 1 6. Assim 62 x 68 = 4216. Multiplicação de duas dezenas com digito da unidades iguais Ambos os números deveriam ter o mesmo dígito da unidades . Página 38 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  39. 39. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Escolha dígitos das dezenas cuja soma seja 10. Multiplique os dígitos das dezenas e some o digito unidade: X X _ _. Multiplique os dígitos das unidades: _ _ X X. Exemplo: Se a dezena for 67, escolha 47 como a segunda dezena. Multiplique os dígitos das dezenas, some o dígito da unidade: 6 x 4 = 24, 24+7 = 31  3 1 _ _. Multiplique os dígitos das unidades. 7 x 7 = 49 __49 Assim 67 x 47 = 3149. Se a dezena for 93, escolha 13 como a segunda dezena. 9 x 1 = 9; 9 + 3 = 12.  12__ 3x3=9 __09 Assim 93 x 13 = 1209. Multiplicação de centenas digito das centenas iguais,dezenas iguais à zero, unidades somam 10. Selecione uma centena com o dígito das dezenas em Zero. Escolha um multiplicador conforme a regra acima. O primeiro dígito(s) será o quadrado do dígito da centena: X _ _ _ _ ou XX _ _ _ _. O próximo dígito será o dígito da centena dos números: _ X _ _ _ ou _ _ X _ _ _. O próximo dígito é zero: _ _ 0 _ _ ou _ _ _ 0 _ _. Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ X ou _ _ _ _ X X. Exemplo: Se a centena é 407, escolha 403 como a segunda dezena. Quadrado do digito da centena 4 x 4 = 1 6  1 6 _ _ _ _. O próximo dígito será o próprio dígito das centenas :  _ _ 4 _ _ _. O próximo dígito é zero:  _ _ _ 0 _ _. Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades 7 x 3 = 2 1.  _ _ _ _ 2 1. Assim 407 x 403 = 164021. Se a centena for 201, escolha 209 como a segundo centena. Página 39 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  40. 40. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc 2 x 2 = 4: 4 _ _ _ _. Próximo dígito 2 _ 2 _ _ _. Próximo dígito 0 _ _ 0 _ _. Ultimo dígito 1 x 9 = 9: _ _ _ 0 9. Assim 201 x 209 = 42009. Multiplicando centenas com dígitos das centenas iguais, dezenas igual a 1, unidades somam 10. Selecione uma centena com o dígito das dezenas em 1. Escolha um multiplicador conforme regra. Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ 0 X ou _ _ _ _ X X. O próximo dígito a esquerda será 2: _ _ 2 _ _ ou _ _ _ 2 _ _. O próximo dígito à esquerda 3 x o dígito das centenas do número (vai x): _ X _ _ _ . Os primeiros dígitos serão a quadrado do primeiro dígito mais o vai: X _ ou X _ _ . Exemplo: Se a centena é 814, escolha 816 como a segunda dezena. Multiplique os dígitos das unidades (últimos dígitos): 4 x 6 = 24 _ _ _ _ 2 4. O dígito a esquerda é 2: _ _ _ 2 _ _. O próximo dígito é 3 vezes o dígito das centenas: 8 x 3 = 24 (vai 2) _ _ 4 _ _ _. Primeiros dígitos = quadrado do dígito das centenas + o vai: 8x8= 64+2=66 6 6 _ _ _ _. Assim 814 x 816 = 664224. Se a centena é 317, escolha 313 como o multiplicador. 7 x 3 = 21 _ _ _ 2 1. O próximo dígito é 2: _ _ 2 _ _. 3 x 3 = 9; _ _ 9 _ _ _. 3x3=9 9 _ _ _ _. Assim 317 x 313 = 99221. Página 40 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  41. 41. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Multiplicação de centenas de mesma classe, digito das dezenas igual a 2, unidades somam 10. Selecione uma centena com dígito das dezenas igual a 2. Escolha um multiplicador com as mesmas regras acima. Os últimos dois dígitos será o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ _X X. O próximo dígito a esquerda será 6: _ _ 6 _ _. O próximo dígito à esquerda será 5 x o dígito das centenas do número (vai x): _ _ X _ _ _. Os primeiros dígitos serão a quadrado do primeiro dígito mais o vai: X X _ _ _ _. Exemplo: Se a centena é 622, escolha 628 como a segunda dezena. Multiplique os dígitos das unidades. 2 x 8 - últimos dois dígitos: _ _ _ 1 6. O próximo dígito a esquerda é 6: __6__. O próximo dígito à esquerda 5 x dígito das centenas 5 x 6 = 30 (vai 3): __0___ Os primeiros dígitos = (dígito das centenas) 2 mais o vai: 6 x 6 = 36; 36 + 3 = 3 9. Assim 622 x 628 = 390616. A centena é 221, escolha 229 como a segunda dezena. 1 x 9 = 9: ___09 O próximo dígito é 6: _ _ 6_ _. 5 x 2 = 10 (vai 1): _ 0_ _ _ 2 x 2 = 4; 4 + 1 = 5_ _ _ _ Assim 221 x 229 = 50609. Multiplicação de centenas de mesma classe, digito das dezenas igual a 3 , unidades somam 10. Selecione uma centena com dígito das dezenas igual a 3.  Escolha um multiplicador com as regras acima. Os últimos dois dígitos serão o produto dos dígitos das unidades: _ _ _ _ X X. O próximo dígito a esquerda será 2: _ _ 2 _ _. O próximo dígito à esquerda 7 vezes o dígito das centenas mais 1 (vai): _ _ X _ _ _. Página 41 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  42. 42. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc O primeiro dígito será o quadrado do primeiro dígito mais o vai: X X _ _ _ _. Exemplo: Se a centena é 631, escolha 639 como a outra dezena. 1 x 9 = 09 (multiplique os dígitos das unidades): _ _ _ _ 0 9. O próximo dígito a esquerda é 2: _ _ _ 2_ _. 7 x 6= 42, 42+1 = 43 (próximo dígito 7 vezes o dígito das centenas + 1 (vai 4): _ _ 3 _ _. O primeiro dígito é: (dígito das centenas) 2 mais 4: 6 x 6 = 36; 36 + 4 = 4 0. Assim 631 x 639 = 403209. Se a centena é 236, escolha 234 como a outra dezena. Multiplique os dígitos das unidades: 6 x 4 = _ _ _ _ 2 4. O próximo dígito a esquerda é 2: ___2__. Próximo dígito 7 x 2 = 14, 14 + 1 = 15 (vai 1): _ 5 _ _ _ _. Primeiro dígito = 2 x 2 = 4; 4 + 1 = 5 1: 5 _ _ _ _ _. Assim 236 x 234 = 55224. Multiplicação de centenas de mesma classe, digito das dezenas igual a 4, unidades somam 10. Os últimos 3 dígitos será o produto dos terceiros dígitos com zeros à esquerda: 0XX. O terceiro dígito da direito será 9 vezes o primeiro dígito + 2 + vai: __X___ O primeiro dois dígitos será o quadrado do primeiro dígito mais vai: X _ _ _ _. Exemplo: Se o primeiro número for 541, escolha uma centena de mesma classe, classe dos 500 , 549 por exemplo. Últimos três dígitos: Zero(s) acompanhado do produto das unidades: 1 x 9 = 9: _ _ _ 0 0 9 Próximo dígito: 9 x dígito das centenas + 2: 9 x 5 = 45, 45 + 2 = 47 (vai 4): _ _ 7 _ _ _. Primeiro dos dígitos: (digito das centenas) 2 e vai 4: 5 x 5 = 25, 25 + 4 = 29: 2 9 _ _ _ _. Assim 541 x 549 = 297009. Se o primeiro número é 344, escolha 346 como multiplicador. Últimos 3 dígitos: 4 x 6 = 24: ___024 Próximo dígito: 9 x 3 = 27, 27+2 = 29 (vai 2): _ _ 9 _ _ _. Página 42 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  43. 43. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Primeiro dois dígitos: 3 x 3 = 9, 9 + 2 = 11: 1 _ _ _ _. Assim 344 x 346 = 119024. Multiplicando dois números de 3 dígitos (dígito das dezenas somam 10) Os últimos três dígitos serão 0`s seguido do produto dos terceiros dígitos: _ _ _ 0 X X. O terceiro dígito da direito será o primeiro dígito + 3: _ _ X _ _. O primeiro dígito será o primeiro dígito vezes ele mesmo + 1 + vai: X _ _ _ _. Exemplo: Se o número é 752 multiplicado por 758 Últimos três dígitos: 0 seguido do produto dos terceiros dígitos: 2 x 8 = 16: _ _ 0 1 6 Próximo dígito: primeiro dígito + 3: 7 + 3 = 10 (vai 1): _ _ 0 _ _ _ Primeiro dois dígitos: primeiro dígito vezes ele mesmo + 1 + vai: 7 x 8 = 56, 56 + 1 = 57: 5 7 _ _ _ _. Assim 752 x 758 = 570016. Se o número é 654 multiplicado por 656. Últimos três dígitos: 0 seguido do produto dos terceiros dígitos: 4 x 6 = 24: ___024 Próximo dígito: primeiro dígito + 3: 6 + 3 = 9: vai 0 __9___ Primeiro dois dígitos: primeiro dígito vezes ele mesmo +1; +vai: 6x7+0 = 42: 4 2 _ _ _ _. Assim 654 x 656 = 429024. Multiplicando números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 1) Escolha um número, some ou diminua 1 do numero original.  Calcule o quadrado do número maior.  Subtraia o número maior do resultado do quadrado. OU Calcule o quadrado do número menor  Some o número menor ao resultado. Exemplo: Se o primeiro número é 32, escolha 31. 32 x 32 = 1024 (quadrado do maior).  1024 - 32 = 992 (subtraia o numero maior do produto). Assim 32 x 31 = 992 Se o primeiro número é 76, escolha 75. 75 x 75 = 5625 (quadrado menor).  5625 + 75 = 5700 (some o numero menor ao produto). Página 43 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  44. 44. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Assim 76 x 75 = 5700. Multiplicando número de 2 dígitos (diferença entre eles é de 2) Ou selecione um número some 2 ou diminua 2 do numero original. Calcule o quadrado da média dos dois números.  Subtraia 1 deste quadrado. Exemplo: Se o primeiro número é 29, o outro é 31. A média entre 29 e 31 é 30. Quadrado de 30: 30 x 30 = 900. Subtraia 1: 900 - 1 = 899  Assim 29 x 31 = 899. Se o primeiro número for 76, escolha 74 como o segundo número. A média de 76 e 74 é 75. Quadrado 75: 75 x 75 = 5625. Subtraia 1: 5625 - 1 = 5624  Assim 76 x 74 = 5624. Números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 3) Some 1 ao menor número  Calcule o quadrado deste número.  Subtraia 1 do número menor.  Some resultado ao quadrado calculado. Exemplo: Se o primeiro número é 27, escolha 24. Some 1 ao número menor: 24 + 1 = 25.  Calcule o quadrado deste número: 25 x 25 = 625. Subtraia 1 do número menor: 24 - 1 = 23.  Some ao quadrado calculado: 625 + 23 = 648. Assim 27 x 24 = 648. Se o primeiro número é 34, escolha 31. Some 1 ao número menor: 31 + 1 = 32.  Calcule o quadrado deste número: 32 x 32 = 1024. Subtraia 1 do número menor: 31 – 1 = 30.  Some isto ao quadrado calculado: 1024 + 30 = 1054. Assim 34 x 31 = 1054. Multiplicando números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 4) Ache a média dos números.  Calcule o quadrado da média.  Subtraia 4 deste quadrado. Exemplo: Se o primeiro número é 63, escolha 67. Página 44 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  45. 45. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc A média é 65.  O quadrado da média: 65 x 65 = 4225.  Subtraia 4 deste quadrado: 4225 - 4 = 4221  Assim 63 x 67 = 4221. Se o primeiro número é 38, escolha 42 como o segundo número. A média é 40.  O quadrado da média: 40 x 40 = 1600.  Subtraia 4 deste quadrado: 1600 - 4 = 1596. Assim 38 x 42 = 1596. Multiplicando números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 6) Ache a média dos números.  Calcule o quadrado da média.  Subtraia 9 deste quadrado. Exemplo: Se o primeiro número é 78, escolha 72 como o segundo número. A média é 75.  Quadrado da média: 75 x 75 = 5625.  Subtraia 9 deste quadrado: 5625 - 9 = 5616. Assim 78 x 72 = 5616. Se o primeiro número é 31, escolha 37 como o segundo número. A média é 34.  O quadrado da média: 34 x 34 = 1156.  Subtraia 9 deste quadrado: 1156 - 9 = 1147. Assim 31 x 37 = 1147. Multiplicando números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 8) Ache a média dos dois.  Calcule o quadrado da média.  Subtraia 16 deste quadrado. Exemplo: Se o primeiro número é 34, escolha 26. A média é 30.  O quadrado da média: 30 x 30 = 900.  Subtraia 16 do quadrado: 900 - 16 = 884. Assim 34 x 26 = 884. Se o primeiro número é 64, escolha 72. A média é 68.  O quadrado da média: 68 x 68 = 4624.  Subtraia 16 do quadrado: 4624 - 16 = 4608. Assim 64 x 72 = 4608. Multiplicando números de 2 dígitos (diferença entre eles é de 10) Ache a média dos dois números.  Calcule o quadrado da média.  Subtraia 25 do quadrado. Exemplo: Página 45 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  46. 46. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Se o primeiro número é 36, escolha 26. A média é 31.  O quadrado da média: 31 x 31 = 961.  Subtraia 25 desta quadrado: 961 - 25 = 936. Assim 36 x 26 = 936. Se o primeiro número é 78, escolha 88 (10 maior). A média é 83.  O quadrado da média: 83 x 83 = 6889.  Subtraia 25 do quadrado: 6889 - 25 = 6864 Assim 78 x 88 = 6864. Multiplicando número de 2 dígitos por 1 1/9 Multiplique por 10 (adicione um zero) ao número.  Divida o resultado por 9. Exemplo: O número escolhido é 32. Some zero: 320  Divida por 9: 320/9 = 35 5/9  Assim 32 x 1 1/9 = 35 5/9. Se número escolhido é 74: Some zero: 740  Divida por 9: 740/9 = 82 2/9  Assim 74 x 1 1/9 = 82 2/9. Multiplicando um número de 2 dígitos por 15 Multiplique por 10 (adicione um zero) a ele.  Divida por 2.  Some o número obtido dividindo por 2 ao último número. Exemplo: O número escolhido é 62. Multiplique por 10 (adicione um zero): 620.  Divida por 2: 620/2 = 310.  Some: 620 + 310 = 930. Assim 62 x 15 = 930. Se o número 36: Multiplique por 10 (adicione um zero): 360.  Divida por 2: 360/2 = 180.  Some: 360 + 180 = 540. Assim 36 x 15 = 540. Multiplicando número de 2 dígitos por 18 Multiplique por 2.  Multiplique por 10  Subtraia o número obtido multiplicando por 2 Do último número. Exemplo: Página 46 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  47. 47. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc O número escolhido é 28. Multiplique por 2: 28x2 = 56.  Multiplique por 10 (adicione um zero): 560.  Subtraia: 560 - 56 = 504. Assim 18 x 28 = 504. Se o número a ser multiplicado for 46:  2 x 46 = 92 (multiplique por 2).  Multiplique por 10 (adicione um zero): 920.  Subtraia: 920 - 92 = 828 Assim 46 x 18 = 828. Multiplicando número de 2 dígitos por 21 Selecione um número.  Multiplique o número por 2.  Multiplique por 10 (adicione um zero). Some o número original. Exemplo: O número escolhido for 23. Multiplique por 2: 2 x 23 = 46  Multiplique por 10 = 460 Some o número original: 460+23 = 483  Assim 21 x 23 = 483. O número escolhido é 74. Multiplique por 2: 2 x 74 = 148  Multiplique por 10 (adicione um zero): 1480  Some o número original: 1480 + 74 = 1554  Assim 21 x 74 = 1554. Multiplicando número de 2 dígitos por 22 Multiplique por 2. O último dígito será o mesmo. _ _ _ X Some os dígitos a partir da direita. Exemplo: O número escolhido é 78. Multiplique por 2: 78 x 2 = 156. Por último dígito vale 6. _ _ _ 6. Some dígitos a partir da direita. 6 + 5 = 11 (vai 1) _ _ 1 _ 5 + 1 + 1 (vai 1) = 7 (vai 0) _7__ O primeiro dígito 1 + vai 0, é ele mesmo. 1___ Página 47 de 97 http://mathforum.org/dr.math /
  48. 48. /home/pptfactory/temp/20091207122252/aartedecalculargeral-091207062249-phpapp02.doc Assim 22 x 78 = 1716. O número escolhido é 34. 34 x 2 = 68 (multiplique por 2). Por último dígito vale 8. _ _ 8. Some os dígitos a partir da direita. 8 + 6 = 14 (vai 1) _4_ Primeiro dígito + vai 1: 6 + 1 = 7 _ _ Assim 22 x 34 = 748. Multiplicando números de 2 ou 3 dígitos por 25 Divida o numero por 4 ou multiplique por 100. Se dividiu por 4, multiplique por 100 ou mova o ponto da fração à direita duas casas, se multiplicou por 100 divida por 4. Exemplo: O número escolhido é 78. Divida por 4: 78/4= 19.5  Mova o ponto da fração decimal à direita 2 casas: 1950 Assim 78 x 25 = 1950. O número escolhido é 78. Multiplique por 100: 78 x 100 = 7800  Divida por 4: 7800 / 4 = 1950  Assim 78 x 25 = 1950 Multiplicando número de 2 dígitos por 27 Selecione um número.  Multiplique por 3.  Adicione um zero. Subtraia o número obtido do resultado da multiplicação por 3. Exemplo: O número escolhido é 42.  Multiplique por 3: 3 x 42 = 126.  Adicione um zero: 1260 Subtraia o número obtido da multiplicação por 3: 1260 – 126 = 1134.  Assim 42 x 27 = 1134. O número escolhido é 63:  Multiplique por 3: 3 x 63 = 189. Multiplique por 10 = 1890. Subtraia: 1890 - 189 = 1701.  Assim 63 x 27 = 1701. Multiplicando um número de 2 dígitos por 28  Multiplique por 3.  Adicione um zero. Página 48 de 97 http://mathforum.org/dr.math /

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