Chapitre vi np complétude
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Chapitre vi np complétude Presentation Transcript

  • 1. Université Saad Dahleb de Blida Faculté des Sciences Département d’Informatique Licence Génie des Systèmes Informatique (GSI) Semestre 5 (3ème année) ALGORITHMIQUE 02 CHAPITRE VI: NP-COMPLÉTUDE AROUSSI 2013-2014 Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/
  • 2. PLAN DU CHAPITRE VI  Introduction (Vocabulaire Général)  Classification  Notion de Réduction  Théorie de NP-Complétude  Quelques  de Problème Problèmes NP-Complets Conclusion 2
  • 3. INTRODUCTION PROBLÈME DE DÉCISION  Pour des raisons de simplicité et techniques, la théorie de la NP-Complétude se limite à l’étude des problèmes de décision dont la solution est formulée en termes oui/non.  Un problème de décision est une paire P =(X,Y), où  X est l’ensemble des instances de P ;  Y est l’ensemble des instances-«oui»  X Y est l’ensemble des instances-«non» 3
  • 4. INTRODUCTION PROBLÈME DE DÉCISION  Un algorithme pour un problème de décision (X,Y) est un algorithme qui calcule la fonction F : X →{0, 1}, définie par  Cette restriction aux problèmes de décision est justifiée par le fait que les autres problèmes qui ne sont pas de décision, comme les problèmes d’optimisation et de recherche, peuvent être facilement transformés en un problème de décision équivalent. 4
  • 5. INTRODUCTION PROBLÈME DE DÉCISION VS AUTRES PROBLÈMES  Problème de Recherche: Exemple Entrée Réponse Algorithme de recherche (Trouver un arbre recouvrant) G (X, E) non orienté Arbre recouvrant Algorithme de décision (Existence d’un arbre recouvrant) G (X, E) non orienté Oui/Non Réduction de la recherche à la décision par test d'hypothèse (La connexité de G) 5
  • 6. INTRODUCTION PROBLÈME DE DÉCISION VS AUTRES PROBLÈMES  Problème d’Optimisation: Exemple Entrée Réponse Algorithme d’optimisation (Trouver un arbre recouvrant de poids minimum) G (X, E, W) non orienté Arbre recouvrant minimum Algorithme de décision (Existence d’un arbre recouvrant de poids  k) G (X, E, W) non orienté Oui/Non Lorsque le critère d'optimisation est borné a priori, réduction de l'optimisation à la décision par test d'hypothèse (La connexité de G et le poids de l’arbre recouvrant). 6
  • 7. INTRODUCTION ALGORITHME DÉTERMINISTE VS NON-DÉTERMINISTE  Un algorithme déterministe est un algorithme dont la solution qu’il produit peut être déduite des spécifications de l’algorithme lui-même.  Un algorithme non déterministe est un algorithme dont la solution est devinée puis vérifiée. 7
  • 8. INTRODUCTION ALGORITHME EFFICACE  Pour différentes raisons, la convention suivante s’est imposée en informatique : Un algorithme est efficace (ou facile) si sa complexité en temps est polynomiale, c’est-à-dire en O(nk) pour un entier k.  Un problème est de complexité polynomiale s'il existe un algorithme de complexité polynomiale le résolvant. 8
  • 9. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE P  La classe P regroupe tous les problèmes de décision qui peuvent être résolus par un algorithme déterministe de complexité polynomiale.  Exemple:  Problème de l’existence de l’arbre de recouvrement de poids  k (Algorithme de Kruskal)  9 Problème de l’existence d’un chemin de longueur  k (Algorithme de Dijkstra)
  • 10. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  La classe NP (Non deterministic Polynomial) regroupe tous les problèmes de décision qui peuvent être résolus par un algorithme non-déterministe de complexité polynomiale (i.e. dont la solution peut être vérifiée en temps polynomial)  Pour montrer qu’un problème est dans la classe NP, il suffit de trouver un algorithme qui vérifie si une sol ution donnée est valide en temps polynomiale. 10
  • 11. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 1: Problème de Satisfaction en calcul propositionnel (SAT)  Soit F = (x1, ...., xn) une formule du calcul propositionnel en Forme Normale Conjonctive, i.e. F = C1  C2  .....  Cm pour une collection de clauses {C1, C2, ....., Cm} sur l’ ensemble X = {x1, ...., xn } de variables booléennes (littéraux).  Décider si F est satisfiable, c-à-d décider s’il existe x1, ...., xn  {0, 1}n tel que F s’évalue en vraie pour cette valeur 11 de ses variables (toutes les clauses de C soient vraies).
  • 12. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 2: Problème de K-SAT (k>2)  Soit F = (x1, ...., xn) une formule du calcul propositionnel en Forme Normale Conjonctive, i.e. F = C1  C2  .....  Cm pour une collection de clauses {C1, C2, ....., Cm} sur l’ensemble X = {x1, ...., xn } tel que chaque clause contient exactement k littéraux |Ci| = k.  Décider si F est satisfiable, c-à-d décider s’il existe x1, ...., xn  {0, 1}n tel que F s’évalue en vraie pour cette valeur de ses variables (toutes les clauses de C soient vraies). 12
  • 13. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 3: Problème de sac à dos entier  Soient un ensemble d’objets avec un poids Pi et une valeur Vi, une capacité de sac à dos Pmax et un objectif de valeur Vmax.  Déterminer s’il existe un ensemble d’objets dont le poids total  Pmax et la valeur totale  Vmax. 13
  • 14. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 4: Problème du cycle hamiltonien  Soit G = (X, E) un graphe non orienté  Déterminer s’il existe un cycle hamiltonien, c’est-à-dire décider s’il existe un chaîne de G passant une fois et une seule par chacun des sommet et revenant à son point de départ.  Variantes: chaîne hamiltonien, hamiltonien, chemin hamiltonienne. circuit 14
  • 15. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 5: Problème de voyageur de commerce (PVC)  Un représentant doit visiter n villes. Il souhaite faire une tournée en visitant chaque ville exactement une fois et en terminant sa tournée dans la ville de départ.  Le voyage entre la ville i et la ville j a un coût c (i, j), et le représentant souhaite effectuer une tournée dont le coût total est 15 minimum.
  • 16. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 5: Problème de voyageur de commerce (PVC)  Le problème de décision correspondant est:  Soit un graphe G= (V, E, C) non orienté.  Décider s’il existe une tournée de coût  k. 16
  • 17. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 6: Problème de Coloriage de Graphe  Étant donnée le graphe G = (X, E) non orienté, déterminer le nombre minimal de couleurs pour colorier les sommets X du G tel que deux sommets adjacent soient de couleur différente. 17
  • 18. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES CLASSE NP  Problème 6: Problème de Coloriage de Graphe  Le problème de décision correspondant est:  Soient un graphe G = (X, E) et un entier k  Déterminer si le graphe G admet un coloriage avec au moins de k couleurs.  Ce problème de décision est connu sous le nom du 18 problème K-Coloriabilité
  • 19. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES COMPARAISON ENTRE LES DEUX CLASSES P ET NP  Clairement, P  NP mais la question qui se pose est : P = NP ?  C’est l’une des questions (voire la question) non résolue les plus célèbres qui défie les chercheurs depuis plus de 40 ans : elle a été placée parmi la liste des sept problèmes du prix du millénaire réputés insurmontables posés par le l’institut Clay Mathematical en 2000. L’institut offre un million de dollars à qui déterminerait la réponse à cette question. 19
  • 20. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES COMPARAISON ENTRE LES DEUX CLASSES P ET NP  Clairement, P  NP mais la question qui se pose est : P = NP ?  Intérêt: Si P = NP, alors tous les problèmes vérifiables polynomialement seraient décidables en temps polynomial.  La plupart des personnes pensent que ces deux classes sont distinctes car il y a un très grand nombre de problèmes pour lesquels on n’arrive pas à produire d’algorithme polynomiaux depuis plus de 40 ans. 20
  • 21. NOTION DE RÉDUCTION IDÉE  Soient A et B deux problèmes. Si A se réduit à B (noté A  B) , alors  le problème A est plus facile que le problème B, ou  le problème B est plus difficile que le problème A. 21
  • 22. NOTION DE RÉDUCTION DÉFINITION  Soient A (XA, YA) et B (XB, YB) deux problèmes de décision. Une réduction de A vers B (A  B) est une fonction R : XA  XB calculable en temps polynomial telle que aYA ssi R(a) YB : R 22
  • 23. NOTION DE RÉDUCTION PROPRIÉTÉS  Soient A (XA, YA), B (XB, YB) et C (XC, YC) des problèmes de décision.  AA  A  B et B  C impliquent A  C.  A  B et B  A impliquent A  B (A et B sont équivalents). 23
  • 24. NOTION DE RÉDUCTION APPLICATION À LA COMPARAISON DE DIFFICULTÉ  Intuitivement, si un problème est plus facile qu’un problème polynomial, alors il est polynomial.  Formellement :  Si A  B, et si B  P alors A  P.  Si A  B, et si A  P alors B  P. 24
  • 25. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE DÉFINITION  Un problème B est dit NP-complet, si 1. 2.  B  NP  A  NP, A  B. Les problèmes NP-complets sont donc les plus difficiles de la classe NP. 25
  • 26. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE  Pour prouver la NP-complétude d’un problème B, il suffit de prouver que : 1. B est dans NP; 2. A  B pour un problème A que l’on sait déjà NPcomplet.  La difficulté est d’arriver à en produire un premier 26 problème NP-Complet.
  • 27. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 1: SAT  Théorème 1 (Cook-Levin, 1971): Le problème SAT est NP-complet.  Le problème SAT est le premier problème montré comme NP-complet.  Résultat admis: la preuve consiste en un codage d'une machine de Turing qui vérifie les solutions de P en temps polynomial.  Ce théorème va être utilisé pour en montrer par réduction d’autres problèmes NP-Complet. 27
  • 28. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 2: 3-SAT  Théorème 2 (Cook-Levin, 1971): Le problème de 3SAT est NP-Complet.  Preuve 2: Il faut montrer que : 1. 3-SAT est dans NP; 2. SAT  3-SAT (réduire SAT à 3-SAT). Fsat R F3-sat F3-sat est elle satisfiable? Oui 28 Non
  • 29. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 2 : LE PROBLÈME DE DE 3-SAT EST NP-COMPLET  Preuve 2: SAT  3-SAT (réduire SAT à 3-SAT).  Toute clause du problème SAT peut être remplacée de manière équivalente par un ensemble de clauses 3-SAT qui contiennent chacune exactement trois littéraux. 29
  • 30. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 2 : LE PROBLÈME DE DE 3-SAT EST NP-COMPLET  Preuve 2: SAT  3-SAT (réduire SAT à 3-SAT).  Toute clause du problème SAT peut être remplacée de manière équivalente par un ensemble de clauses 3-SAT qui contiennent chacune exactement trois littéraux. 30
  • 31. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 2 : LE PROBLÈME DE DE 3-SAT EST NP-COMPLET  Preuve 2: SAT  3-SAT (réduire SAT à 3-SAT).  La satisfiabilité des clauses Z’ est donc équivalente à la satisfaisabilité de l’ensemble initiale Z.  La réduction est manifestement polynomiale ; on a donc bien prouvé que SAT se réduisait à 3-SAT; ce dernier est donc bien NP-complet 31
  • 32. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 3: 3-COLORIABLE  Théorème 3: Le problème de 3-Coloriable est NPComplet.  Preuve 3: Il faut montrer que : 1. 3-Coloriable est dans NP; 2. 3-SAT  3-Coloriable (réduire 3-SAT à 3-Coloriable). F3-sat R G = (V, E) G est il 3Coloriable ? Non Oui 32
  • 33. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME  DE 3-COLORIABLE EST NP-COMPLET Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable. On construit un graphe ayant 3 + 2 n + 5 m sommets tels que:  Les trois premiers sont notés VRAI, FAUX, NSP. Ces trois sommets sont reliés deux à deux en triangle, de sorte qu’ils doivent être tous trois de couleurs différentes. On appellera les couleurs correspondantes CVRAI(e.g. vert), CFAUX(e.g. rouge), CNSP (e.g. bleu) NSP VRAI FAUX 33
  • 34. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME  DE 3-COLORIABLE EST NP-COMPLET Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable. On construit un graphe ayant 3 + 2 n + 5 m sommets tels que:  On associe un sommet à chaque variable (Xi) et au complémentaire de chaque variable (Not Xi). Pour assurer qu’une variable prenne la valeur VRAI ou FAUX, pour chaque variable xi on construit un triangle dont les sommets sont Xi, NOT Xi, et NSP. NSP Xi NSP Not Xi Xi Not Xi 34
  • 35. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME  DE 3-COLORIABLE EST NP-COMPLET Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable. On construit un graphe ayant 3 + 2 n + 5 m sommets tels que:  Pour chaque clause {A, B, C}, on introduit le motif : A 3 2 B 4 C  0 Ce motif sous graphe est 3-coloriable VRAI 1 35
  • 36. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME  DE 3-COLORIABLE EST NP-COMPLET Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable. On construit un graphe ayant 3 + 2 n + 5 m sommets tels que:  Ce motif est 3-coloriable A 3 2 B CVRAI ou CFAUX A CVRAI ou CFAUX C 4 VRAI C 1 3 2 B 0 0 4 VRAI 1 36
  • 37. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME  3-COLORIABLE EST NP-COMPLET DE Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable. On construit un graphe ayant 3 + 2 n + 5 m sommets tels que:  Ce motif est 3-coloriable A 3 2 CVRAI ou CFAUX B 4 VRAI C CVRAI ou CFAUX A C 1 3 2 B 0 0 4 VRAI 1 37
  • 38. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME DE 3-COLORIABLE EST NP-COMPLET  Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable.  Considérons alors le graphe formé des trois sommets distingués, des triangles formés sur les variables, et des motifs donnés. Si ce graphe est 3-coloriable, alors en particulier tout sous-graphe est coloriable.  À partir d’une 3-coloration du graphe, on construit une affectation de valeurs de vérité en mettant à 1 toutes les variables coloriées par CVRAI. Cette affectation est cohérente (une variable et son complémentaire ont bien une valeur opposée) et au moins une variable par clause est à 1.  Inversement, étant donné une affectation de valeurs de vérité, il est 38 aisé de déduire une 3-coloration du graphe.
  • 39. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 3 : LE PROBLÈME DE 3-COLORIABLE EST NP-COMPLET  Preuve 3: 3-SAT  3-Coloriable.  L’existence d’une 3-coloration du graphe est donc équivalente à la satisfaisabilité de la formule initiale.  La réduction est manifestement polynomiale ; on a donc bien prouvé que 3-SAT se réduisait à 3-COLORABILITE ; ce dernier est donc bien NP-complet. 39
  • 40. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 4: CYCLE HAMILTONIEN  Théorème 4 (Karp, 1972): Le problème de Cycle Hamiltonien est NP-Complet.  Preuve 4: Il faut montrer que : 1. Cycle Hamiltonien est dans NP; 2. Plusieurs méthodes: a. 3-SAT  Cycle Hamiltonien. b. 3-SAT  Recouvrement de Sommets Cycle Hamiltonien c. 40 3-SAT  Stable  Recouvrement de Sommets  Cycle hamiltonien
  • 41. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET  Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) : 3-SAT  Cycle Hamiltonien. F3-sat R G = (V, E) G contient il un C. H? Oui Non 41
  • 42. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET  Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) :  On construit le graphe de la manière suivante:  Pour chaque variable, on introduit le sous graphe suivant: X Not X  Chaque nouvelle variable est liée à la précédente X1 X2 Xn 42
  • 43. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET    Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) : On construit le graphe de la manière suivante: Pour chaque clause, on introduit la structure B : Aucun cycle hamiltonien de G ne peut traverser à la fois L1, L2 et L3. U' L3 L2 L1 U 43
  • 44. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET    Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) : On construit le graphe de la manière suivante: Les clauses sont liées comme suit: C1 X1 C2 X2 Cm Xn 44
  • 45. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET    Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) : On construit le graphe de la manière suivante: Les littéraux de chaque clause sont liés aux variables la structure A suivante: 45
  • 46. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET  Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) :  Par exemple, le graphe suivant présente ces clauses C1 C2 A A A C3 A A A A A X1 A 46 X2 X3
  • 47. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 4 : LE PROBLÈME DE CYCLE HAMILTONIEN EST NP-COMPLET  Preuve 4 (Papadimitriou et Steiglitz, 1982) :  Nous affirmons maintenant que G est hamiltonien si et seulement si F3-sat est satisfaisable. Soit C un cycle hamiltonien. On définit un assignement en fixant un littéral à vrai si et seulement si C contient l’arête correspondante. D’après les propriétés des structures A et B, chaque clause contient un littéral qui est vrai.  Inversement, tout assignement satisfaisant définit un ensemble d’arêtes qui correspondent à des littéraux qui sont vrai. Comme chaque clause contient un littéral qui est vrai, cet ensemble d’arêtes peut être complété en un cycle hamiltonien de G.  Enfin, la réduction est trivialement polynomiale. 47
  • 48. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 5: PVC  Théorème 5: Le problème du voyageur de Commerce (PVC) est NP-Complet.  Preuve 5: Il faut montrer que : 1. 2.  PVC est dans NP; Cycle Hamiltonien  PVC. Le problème PVC revient à trouver un cycle hamiltonien 48 C dont la somme des poids des arêtes soit minimum.
  • 49. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6: SAC À DOS  Théorème 6: Le problème du sac à dos est NPComplet.  Preuve 6: Il faut montrer que : 1. Sac à Dos est dans NP; 2. 3-SAT  Stable  Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble  Sac à dos 49
  • 50. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 6 : LE PROBLÈME DE SAC À DOS EST NP-COMPLET  Preuve 6: 3-SAT  Stable  Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble  Sac à dos.  Théorème 6.1 (Karp, 1972): Le problème du stable est NP- Complet.  Théorème 6.2 (Karp, 1972): Le problème du recouvrement des sommets est NP-Complet.  Théorème 6.3 (Karp, 1972): Le problème de somme de sous 50 ensemble est NP-Complet.
  • 51. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.1: STABLE  Soit un graphe non orienté G et un entier k. Le problème consiste à décider s’il existe un ensemble d'au moins k sommets, ne contenant aucune paire de sommets voisins.  On appelle un tel ensemble un stable ou un ensemble indépendant de G. 51
  • 52. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.1: STABLE  Théorème 6.1 (Karp, 1972): Le problème du stable est NP-Complet.  Preuve 6.1: Il faut montrer que : 1. Stable est dans NP; 2. 3-SAT  Stable. F3-sat R G = (V, E) G contient il un stable de taille k? Oui 52 Non
  • 53. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 6.1 : LE PROBLÈME DE STABLE EST NP-COMPLET  Preuve 6.1: 3-SAT  Stable  On construit un graphe G avec 3m sommets (m le nombre des clauses):  Pour chaque littéral xi, G possède une arête entre chaque sommet associé à un littéral xi et chaque sommet associé à un littéral not xi  Xi Not Xi Ainsi, un stable de G correspond à une affectation de valeurs de vérité à une partie des variables; 53
  • 54. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 6.1 : LE PROBLÈME DE STABLE EST NP-COMPLET  Preuve 6.1: 3-SAT  Stable  On construit un graphe G avec 3m sommets (m le nombre des clauses):  Pour chaque clause C = L1  L2  L3, on associe un triangle. L1 L3  Ainsi, L2 un stable de G contient au plus un des trois sommets associés à la clause C 54
  • 55. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 6.1 : LE PROBLÈME DE STABLE EST NP-COMPLET  Preuve 6.1: 3-SAT  Stable  Par exemple, le graphe suivant présente ces clauses X1 Not X2 Not X1 Not X3 X2 Not X3 Not X1 X3 Not X2 55
  • 56. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 6.1 : LE PROBLÈME DE STABLE EST NP-COMPLET  Preuve 6.1: 3-SAT  Stable  Soit m le nombre de clauses dans F. On démontre que F est satisfiable ssi G possède un stable de taille m.  En effet, si F est satisfiable, on considère une assignation des variables satisfaisant F. Pour chaque clause C de F, on choisit un littéral de C rendu vrai par l’assignation : cela définit m sommets formant un stable de G. 56
  • 57. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PREUVE 6.1 : LE PROBLÈME DE STABLE EST NP-COMPLET  Preuve 6.1: 3-SAT  Stable  Réciproquement, si G a un stable de taille m, alors il a nécessairement un sommet dans chaque triangle. Ce sommet correspond à un littéral rendant la clause associée vraie, et forme une assignation des variables cohérente par construction des arêtes.  La réduction est clairement polynomiale. 57
  • 58. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.2: RECOUVREMENT DES SOMMETS  Soit un graphe non orienté G et un entier k. Le problème consiste à décider s’il existe un ensemble d'au plus k sommets couvrants toutes les arêtes (au moins une des 2 extrémités est couverte).  Théorème 6.2 (Karp, 1972): Le problème du recouvrement des sommets est NP-Complet. 58
  • 59. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.2: RECOUVREMENT DES SOMMETS  Preuve 6.2: Il faut montrer que : 1. Stable est dans NP; 2. Stable  Recouvrement des sommets.  Le problème recouvrement des sommets est équivalent au problème stable par passage au complémentaire: Si G = (V, E) admet un stable X de taille k alors V-X 59 est un couvrant de taille n-k de G.
  • 60. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.3: SOMME DE SOUS ENSEMBLE  Soit un ensemble fini d'entiers E et un entier t. Le problème consiste à décider s’il existe un sous ensemble E’ E tel que  Théorème 6.2 (Karp, 1972): Le problème de somme de sous ensemble est NP-Complet. 60
  • 61. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.3: SOMME DE SOUS ENSEMBLE  Preuve 6.3: Il faut montrer que : 1. Stable est dans NP; 2. Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble. Un graphe G = (A, B) R Oui Un ensemble d’entier E et un entier t ? Non 61
  • 62. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.3: SOMME DE SOUS ENSEMBLE  Preuve 6.3: Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble.  Numéroter les sommets (A) entre 0 et n-1 et les arêtes (B) entre 0 et m-1.  Soit D = (dij) la matrice d’incidence arête-sommet, c.-à-d.: que dij = 1 si l’arête i est incidente au sommet j, dij = 0 sinon.  Construire l'ensemble E à partir de G comme suit:  Pour chaque arête i est associé l'entier bi (b4)  Pour chaque sommet j est associé un poids aj tel que: 62
  • 63. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.3: SOMME DE SOUS ENSEMBLE  Preuve 6.3: Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble.  Construire l'ensemble E à partir de G comme suit:  Pour chaque arête i est associé l'entier bi (b4)  Pour chaque sommet j est associé un poids aj tel que:  On construit l'entier t : 63
  • 64. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6.3: SOMME DE SOUS ENSEMBLE  Preuve 6.3: Recouvrement des sommets  Somme de sous ensemble. 1. Pour tout sous-ensemble E’ de somme t, il y a k termes correspondant à des sommets dans E’. 2. Inversement, étant donnée une couverture de sommets, on construit l’ensemble E’ en prenant tout simplement les sommets de la couverture. 3. Il est facile de voir que la réduction s’effectue en temps polynomial. 64
  • 65. THÉORIE NP-COMPLÉTUDE PROBLÈME 6: SAC À DOS  Théorème 6: Le problème du sac à dos est NPComplet.  Preuve 6: Il faut montrer que : 1. Sac à Dos est dans NP; 2. Somme de sous ensemble  Sac à dos  En particulier pour ai = pi et Pmax = Vmax = t, on trouve 65 problème de somme de sous ensemble.
  • 66. SOURCES DE CE COURS  Olivier Bournez, Fondements de l’informatique Logique, modèles, et calculs, Chapitre 12: Quelques problèmes NP-complets, Cours INF423 de l’Ecole Polytechnique, 2013, pp. 234.  Jean Fonlupt et Alexandre Skoda. Optimisation combinatoire – Théorie et algorithmes, Chapitre 15: NP-complétude, 2010, 664p.  Gilles Schaeffer, Cours 4: Réduction et NP-complétude, 2010, pp. 124, Disponible sur http://www.enseignement.polytechnique.fr/informatique/INF550/Cours1011/ INF550-2010-5.pdf  Johanne Cohen, La NP-complétude, PRISM/CNRS, 2012, pp. 95, Disponible 66 sur http://www.prism.uvsq.fr/~joco/enseignement/Complexite.pdf