Chapitre 2 problème de plus court chemin

CHAPITRE II:
PROBLÈME DU PLUS COURT
CHEMIN
Université Blida 1
Faculté des Sciences
Département d’Informatique
Master GSI (Génie des Systèmes Informatiques)
Semestre 1
Mme AROUSSI
2015-2016
Disponible sur https://sites.google.com/a/esi.dz/s-aroussi/

 Introduction
 Définition
 Conditions (Optimalité/ Nécessaire)
 Algorithmes de Résolution
 Algorithme de DIJKSTRA
 Algorithme de BELLMAN
 Algorithme de BELLMAN-FORD
 Algorithme de FLOYD
2
PLAN DU CHAPITRE II

3
 Le problème du Plus Court Chemin (PCC)
compte parmi les problèmes le plus classiques
de la théorie des graphes et les plus importants
dans leurs applications (les problèmes
d'optimisation de réseaux routiers ou
télécommunications, les problèmes de tournées,
….)
INTRODUCTION

4
 Ce problème du Plus Court Chemin (PCC) peut être posé
de la façon suivante:
 Etant donné un graphe orienté valué G (X,U,L), on
associe à chaque arc u(i,j) un nombre réel l(u) ou lij,
appelé la longueur ou le poids de l’arc, le PCC entre
deux sommets s (source ou origine) et d (destination)
du graphe consiste à déterminer, parmi tous les
chemins allant de s à d, un chemin, noté u*, dont la
longueur totale l(u*) = soit minimale
DÉFINITION

5
 Condition Nécessaire: Le problème du plus court
chemin a une solution si et seulement s’il n'existe pas
dans le graphe de circuit de longueur strictement
négative pouvant être atteint à partir de l’origine (s).
 Un circuit négatif est appelé circuit absorbant
INTRODUCTION
a
f
b
e
-3
-3
-1
c
d
5
-510
2

6
 Condition d’Optimalité: Les sous-chemins des plus
courts chemins sont des plus courts chemins.
INTRODUCTION
Exemples des arborescences des
plus courts chemins dont l’origine
est a
a
b
e
c
d
3
5
3
1 2
6
6
4
72
a
b
e
c
d
3
5
6
6
a
b
e
c
d
3
2
4
2

7
 Selon les propriétés du graphe traité (orienté/non
orienté, avec/sans circuit ou longueurs
positives/quelconques) et selon le problème considéré
(recherche du plus court chemin d'un sommet vers
tous les autres, ou entre tous les couples de
sommets), il existe de nombreux algorithmes
permettant l'obtention d'une solution.
ALGORITHMES DE RÉSOLUTION

8
ALGORITHMES DE RÉSOLUTION
Algorithmes Type du
PCC
Propriétés du graphe
Type de graphe Longueur
Dijkstra D’un
sommet à
tous les
autres
sommets
Graphe orienté (et non
orienté)
Longueur
positives
Bellman Graphe orienté sans
circuit (sommet
d’origine doit être sans
prédécesseur)
Longueur
quelconque
(nombre réel)
Bellman-Ford Graphe orienté
Floyd Entre tous
les
couples de
sommets
Graphe orienté sans
circuit absorbant

9
 Cet algorithme permet de calculer le PCC d’un sommet «
s » à un sommet « d » ou d’un sommet « s » à tous les
autres sommets dans un graphe de longueur positive.
 Soit (i) la valeur de chemin du sommet « s » vers le
sommet « i », ainsi, initialement : (s) = 0 et (x) = 
pour tout sommet x ≠s
 Soit M l’ensemble des sommets marqués, initialement
il est vide (M =  )
ALGORITHME DE DIJKSTRA

10
 Tant qu’il existe un sommet non marqué (M≠X) ou on
n’a pas arrivé au sommet destinataire (x ≠ d) faire:
1. Choisir un sommet non marqué, soit x (xX-M),
ayant le plus petit  [(x) = min {(y) tq xX-M}]
2. Mettre à jours ses successeurs non encore marqués
comme suit: (y) = min ((y), (x)+lxy) tel que y+(x)  (X-
M)
3. Marquer le sommet x [M = M  {x}]

11
 Exemple: Trouver PCC de a vers tous les autres sommets
(a) (b) (c) (d) (e)
0 (init) 0    
1 0 (*) 3 5
2 3(*) 9 5
3 9 11 5 (*)
4 9(*)
5 11(*)
6 (fin) 0 3 9 11 5
a
b
e
c
d
3
5
3
1 2
6
6
4
72

12
 Comment trouver le PCC chemin de a vers (b, e, c ou d)?
 Pour chaque couple de sommet (i, j), on garde l’arc vérifiant la
relation suivante: u(i,j) = (j) -  (i).
a
b
e
c
d
3
5
3
1 2
6
6
4
72
9
0
5
3
11

13
 On peut trouver plusieurs arborescences:
a
b
e
c
d
3
5
6
6
9
0
5
3
11
a
b
e
c
d
3
2
4
2
9
0
5
3
11

14
s » à un sommet « d » ou d’un sommet « s » à tous les
autres sommets dans un graphe orienté sans circuit de
longueur quelconque.
 Soit (i) la valeur de chemin du sommet sans prédécesseur
« s » vers le sommet « i », ainsi, initialement : (s) = 0
 Soit M l’ensemble des sommets marqués, initialement il
contient « s » (M = {s} )
ALGORITHME DE BELLMAN

15
 Tant qu’il existe un sommet non marqué (M≠X) ou on
n’a pas arrivé au sommet destinataire (x ≠ d) faire:
1. Choisir un sommet non marqué, soit x (xX-M), dont
tous les prédécesseurs sont marqués [-(x)  M]
2. Mettre à jours son poids  comme suit: (x) = min
((y)+lyx) tel que y-(x)
3. Marquer le sommet x [M = M  {x}]

16
(a) (b) (c) (d)
0 (init) 0 (*) - - -
1 2 (*)
2 9(*)
3 4(*)
fin 0 2 9 4
a
c
b
d
10
2
-6
7
3
a
c
b
d
2
-6
7
0 2
9 4

17
s » à tous les autres sommets dans un graphe orienté de
longueur quelconque et aussi de détecter la présence d’un
circuit absorbant.
 Soit k(i) la valeur de chemin du sommet « s » vers le
sommet « i » ne contenant pas plus de k arcs, ainsi,
initialement : k = 0; k (s) = 0 et k(x) =  pour x ≠s
 Soit M l’ensemble des sommets dont le poids k (s) a
été modifié à l’itération k, initialement il contient « s »
(M = {s} )
ALGORITHME DE BELLMAN-FORD

18
 Tant qu’il existe un sommet marqué (M≠) et k est
strictement inférieur à n (n présente le nombre des
sommets |X|) faire:
1. Incrémenter k
2. Initialiser l’ensemble NM à vide (NM contiendra les
sommet dont la marque k sera modifiée)

19
3. Pour tout sommet x de +(M) (i.e les successeurs des
sommets dont la marque a été modifié au cours de
l’itération k-1) faire:
a) Mettre à jours sa marque : k (x) = min (k-1 (x),
k -1(y) +lyx) tel que y-(x)  M
b) Si sa marque a été modifiée (k (x) < k-1 (x) ) alors
ajouter x à l’ensemble NM (NM = NM  {x})
4. Remplacer M par MN

20
 En absence de circuit absorbant dans le graphe,
l’algorithme se termine nécessairement à l’issue de
l’itération n (k = n) car, au pire des cas, le PCC de s
vers tous les autre sommets est un chemin élémentaire
possédant (n-1) arcs.
 Si une ou plusieurs marques sont modifiées à l’itération
n (+(M) ≠), cela signifie qu’il existe un circuit
absorbant.

21
 Exemple 1: Trouver PCC de a vers tous les autres sommets
k k (a) k (b) k (c) k (d) k (e)
0 (init) 0 (*)    
1 0 3(*) 5(*)
2 9(*) 11(*) 5
3 (fin) 0 3 9 11 5
4
a
b
e
c
d
3
5
3
1 2
6
6
4
72

22
 Exemple 2: Trouver PCC de a vers tous les autres sommets
k k (a) k (b) k (c) k (d) k (e) k (f)
0 (init) 0 (*)     
1 10(*) 2(*)
2 5(*) 7(*) -1(*)
3 -4(*) 6(*)
4 1(*) -2(*)
5 3(*)
6 2(*)
a
f
b
e
-3
-3
-1
c
d
5
-510
2

23
 Cet algorithme permet de calculer le PCC entre tous les
couples de sommets dans un graphe orienté sans circuit
absorbant de longueur quelconque.
 Numéroter les sommets de 1 à n (|X| = n)
 Soit la matrice A = {aij} de taille n x n définie initialement comme
suit:
ALGORITHME DE FLOYD

24
 Cet algorithme permet de calculer le PCC de la façon
suivante:
 A la première itération, on cherche le PCC entre
chaque couple (i, j) passant éventuellement par le
sommet 1 ;
 A l'itération k (avec l > 1), on cherche le PCC entre
chaque couple (i, j) passant par des sommets d'indice
inférieur ou égal à k.
ALGORITHME DE FLOYD

25
 Voici une description formelle de l'algorithme :
 Pour tout sommet k (k allant de 1 à n)
 Pour tout couple de sommet (i, j) calculer
j
i
k
k

26
 Exemple: Trouver PCC entre tous les couples des sommets
a
c
b
d
6
2
5
-1
-2-4 5

SOURCES DE CE COURS
 Lucas Letocart, Cours d’Algorithmique de graphes, Institut Galilée,
Université Paris 13, Disponible sur www-galilee.univ-
paris13.fr/fichiers/Cours_Algo_Graphes.pdf
 Laurent Canet, Algorithmique, graphes et programmation
dynamique, Notes de Cours & Rapport de Travaux Pratiques, 2003
 Aroussi Sana, Notes des Travaux Dirigés de Recherche
Opérationnelle, Ecole nationale Supérieure d’Informatique (ESI),
2013. 27

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