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  • 1. PROBABILIDAD Y ESTADISTICAPROBABILIDADESLa probabilidad es la posibilidad numérica, medida entre 0 y 1, de que ocurra un evento.A pesar de la difundida aplicación de los principios de la probabilidad, existe dos perspectivas paraasignar probabilidades: Los enfoques objetivo y subjetivo. La probabilidad objetiva se subdivide en:a) Probabilidad clásicab) Probabilidad empíricaPROBABILIDAD CLASICALa probabilidad clásica parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmenteposibles. El muslo clásico es el que se relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos deazar. La probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:La probabilidad clásica implica la determinación de la probabilidad de algún evento a priori(antesde hecho). Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas, se puede determinar que laprobabilidad de sacar una carta cualquiera es:Al tirar un dado “equilibrado”, la probabilidad de obtener a) un dos y b) un tres, es:El espacio muestral de tirar una moneda presenta dos resultados: caras y cruces. De ahí que, si losdos resultados son igualmente probables( es decir, la moneda está “equilibrada” ), la probabilidadde que caiga cara esY la probabilidad de que caiga cruz esSi se saca una canica de una urna en la que haya 321, la probabilidad de obtener una cualquiera esEl enfoque clásico también se puede aplicar a eventos que comprenden dos o mas resultados. Porejemplo, se puede querer determinar la probabilidad de sacar una de las cuatro reinas de una mazo
  • 2. de 52 cartas. En este y en casos semejantes es necesario identificar primeramente el número deresultados “favorables”, y después dividir ese número entre el número total de resultados delespacio muestral.Si un evento es imposible, tiene una probabilidad O. en cambio, si un evento es cierto o seguro deocurrir, debe tener una probabilidad de 1, o bien, del 100%.oLa interpretación de una probabilidad clásica, como 0.25 , es que si el experimento se repitiera ungran numero de veces un evento que presenta una probabilidad de 0.25 ocurrirá casi el 25% de lasveces.PROBABILIDADEMPIRICALa probabilidad empírica o frecuencia relativa se basa en el número de veces que ocurre el eventocomo proporción del número de intentos conocidos.El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empíricamente, registra lafrecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el eventoocurra nuevamente con base en estos datos históricos.Frecuencia RelativaEl enfoque empírico de la probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números. La clavepara determinar probabilidades de forma empírica consiste en que una mayor cantidad deobservaciones proporcionaran un cálculomás preciso de la probabilidad.Ley de los grandes números: En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de unevento se aproximara a su probabilidad real.Un problema común con el modelo de frecuencia relativa resulta cuando se hacen estimaciones conunos números insuficientes de observaciones.La probabilidad empírica implica la determinación de la probabilidad de algún evento o posterior(después del hecho).Cuando se emplea el enfoque empírico, es importante tomar en cuenta los siguientes puntos:1) La probabilidad obtenida de esa maneraa es unicamente una estimacion del valor real.El solo hehco de tirar una moneda 10 veces y obtener cuatro caras no es garantia de que caerancuatro caras cada vez que se hagan 10 tiradas. De ahí que la prueba empirica generalmente nonos proporciona una probabilidad exacta.2) Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, tanto mejor sera la estimacion de laprobabilidad.3) La probabilidad es propia de solo un conjunto de condiciones identicas a aquellas en las quese obtuvieron los datos.La validez de emplear el enfoque de frecuencia relativa depende de la “igualacion” de dosconjuntos de condiciones.EJEMPLO:Un jugador de básquet, de 100 lanzamientos logro encestar 90. Si queremos saber la probabilidadde que el jugador en el próximo lanzamiento logre encestar, entonces el modelo de frecuenciarelativa sirve para estimar dicha probabilidad.Pasado
  • 3. (Datos históricos)EVENTO FRECUENCIAEncestar(E) 90Fallar(F) 100n 100lanzamientosFUTURONo sabemos si el próximo lanzamiento el jugador encestara o fallara. Solo sabemos que hay dosposibles resultados: encestar o fallar.Si hacemos E: evento “jugador enceste”y F: evento “jugador falle”si las condiciones que se dieron en el pasado se mantuvieron en el futuro, entonces la frecuenciarelativa de algún evento, como el evento E, puede utilizarse como la probabilidad de que dichoevento pueda ocurrir.Si la frecuencia relativa se hubiese calculado en base a pocos lanzamientos, seria un riesgo aceptarlacomo la probabilidad empírica de que el jugador enceste.EJEMPLOSi se tira la moneda, digamos 100 veces y cae cara 60, puede ser “razonable” estimar laprobabilidad de caras para futuros lanzamientos.El enfoque empírico da una probabilidad aceptable cercana al valor real cuando se realiza un grannúmero de ensayos. Generalmente no nos proporciona una probabilidad exacta.EJEMPLO:Se ha registro en el siguiente cuadro la venta diaria en un local comercial durante 100 días,calificándonosle como buena, regular y mala de acuerdo al ingreso diario.VENTA DIAIRIACLASIFICACION NUMERO DIAS FREC.RELATIVABUENA 65 65/100 =0.65RGULAR 28 28/100 =0.28MALA 7 7/100 = 0.07100 1.00¿Cuál será la probabilidad de que la venta en un día cualquiera sea buena?P(Buena) = 0.65Probabilidad SubjetivaLa probabilidad subjetiva es una evaluación personal de la posibilidad de q ocurra un evento son elresultado de un esfuerzo por cuantificar nuestros sentimientos o creencias respecto a algoSegunda extracciónSi la primaria es dietética si la primera bebida es normal
  • 4. N=9 latas N=9 latasB BB BBBB BB P(A2/A1)= 2/9 A B A P(A2/B1) = 3/9A B A B A B1º Probabilidad conjunta P(A y B) Probabilidad de q A y B ocurranP(A y B) = P(A) P(B) probabilidad conjunta para 2 intentosSi los eventos A y B son independientes la probabilidad de q ambos ocurran es igual al producto desus probabilidades individuales o “marginales”EJEMPLO. En el lanzamiento de dos dados la probabilidad de q ambos sean 3 es:P(A y B) = P(A) P(B)P(3 y 3) = p(3) P(3)P(ambos ) = 1/6 * 1/6 = 1/36 112 2A 3 P(A)=1/6 3 B P(B)=1/64 45 56 6Ejemplo: una ánfora contiene 5 esferas amarillas y 3 esferas blancas. Se extrae una esfera del ánforay se repone. Otra esfera es extraída posteriormente. Encontrando las probabilidades de quea) Ambas sean amarillasb) La primera sea amarilla y la segunda blancac) La primera sea blanca y la segunda amarillad) Ambas sean blancasSea A; evento “obtener una esfera amarilla”y B: evento “obtener una esfera blanca”1º extracción 2º extracción
  • 5. N=8 N=8B A A ¿A o B ? B A B ¿A o B ?B A AP(A1)=5/8 B A A P(A2)=5/8B AP(B1)=3/8 A A P(B2)=3/8El resultado que ocurre en la primera extracción no tiene ningún efecto en la segunda por lo tantolas respectivas probabilidades son:a) P( A1 y A2 )= P(A1) * P(A2)= 5/8 * 5/8 = 25/64b) P(A1 y B2 ) = P(A1) * P(B2)= 5/8 * 3/8 = 15/64c) P(B1 y A2 ) = P(B1) * P(A2)= 3/8 * 5/8 = 15/64d) P(B1 y B2 ) = P(B1) * P(B2)= 3/8 * 3/8 = 9/64Asi mismo la probabilidad de q ocurran sucesivamente n eventos en n intentos independientesP(A1 y A2 y…..An) = P(A1 A2 ……. An)P(A1 y A2 y….An) = P(A1) P(A2) …..P(An)2º Caso: eventos dependientesP(A1 y B2) = P(A1) * P(B2/A1)La probabilidad de dos eventos dependientes es igual a la probabilidad de un evento multiplicadorpor la probabilidad condicional del otro.EJERCICIOS DE PROBABILIDADESSi se extrae al azar 2 cartas de una baraja ordinaria una a la vez con reemplazo. ¿Cuál es laprobabilidad de obtener por lo menos un As?EVENTO A: no obtener un As en la primera extracciónEVENTO B: no obtener un as en la segunda extracción
  • 6. Si yo saco una carta de un mazo de carta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 cartas en la que launa muestre un As y la otro un rojo?EVENTO A: Obtener un AsEVENTO B: Obtener una carta rojaSuponga que va a elegir de manera aleatoria un individuo entre una población de 130 personas enesa población hay 40 niños menores de 12 años, 60 adolescentes y 30 adultos. ¿Cuál es lasprobabilidades de que el individuo sea un adolescente o un adulto?A: adolescentes=60B: adulto=30C: niños=40P(A o B)= P(A)+P(B)Son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivosSuponga que lanzamos una sola vez un par de dados no cargado. ¿Cuál es la probabilidad deobtener 2 en el primer dado y cuatro en el segundo.A: Obtener un dos en el primer dadoB: Obtener un cuatro en el segundo dadoSon independientes
  • 7. Suponga que usted extrae una muestra aleatoria de una bolsa de fruta. La bolsa contiene 4manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Si seleccionamos2 frutas una vez con reemplazo. ¿Cuál esla probabilidad de obtener una naranja y una manzana en ese orden?P(A)= Obtener naranjaP(B)= Obtener manzanaDIAGRAMA DE ARBOLCada vendedor de PROMOVIX las etapas del problema como “abajo promedio”, “promedio” o“arriba del promedio” con respecto a su actitud para las ventas, además cada uno se clasificarespecto a su posibilidad de promoción en regular, buena o excelente. En la tabla se presenta lasclasificaciones de estos conceptos para 500 vendedoresHabilidad en VentasD(Regular)E(Buena)F(Excelente) TotalA Debajo del promedio 16 12 22 50B Promedio 45 60 45 150C Por arriba del promedio 93 72 135 300Total 154 144 202 500COMBINATORIALa combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de considerar la cantidad deopciones posibles en un conjunto finito de objetos. Tiene en cuenta la repetición posible de losmismos, y la no repetición, al igual que los intercambios de posiciones de los elementos conrespecto a su ubicación y orden específicos. Estos tipos de operaciones se denominan Variaciones,combinaciones y permutacionesResuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones(ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto.Analicemos entre 1, 2, 3, 4 determinar el número de dígitos posibles.2 123 134 1411 213 234 241 312 324 3423PRINCIPIO DE CONTEO4 x 3 = 12
  • 8. Un edificio tiene 7 puertas de acceso. De cuantas formas puede ingresar una persona al edificioy salir de el por una puerta distinta a la que ingreso.7 x 6 =42Determinar de cuantas maneras distintas se puede ordenar 3 libros de matemática y 3 de físicaen un anaquel que tiene espacio para 6 libros. a.) si los libros de la misma asignatura debenquedar juntos. b.)los de matemáticas deben quedar juntos pero los de física puede colocarse encualquier lugar.3 .2 .1 .3 .2 .13 .2 .1 .3 .2 .1Cuantas distribuciones distintas , cada una consistentes en 4 letrasse pueden formar con la letra de la palabra “personal” para que cada distribución empiece y terminecon una vocal“PERSONAL”3 .6 .5 .2 = 180FACTORIALPERMUTACIONESEl caso particular de variaciones de n elementos tomados en grupos de r, en el que n = r sedenomina permutación. Cada agrupación difiere de las restantes sólo en el orden de colocación delos elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del conjuntoM M M F F FF F F M M M1 412 423 434
  • 9. COMBINACIONLas agrupaciones combinatorias denominadas combinaciones son las que se obtienen al seleccionarde un conjunto de n elementos grupos de r, de tal forma que cada grupo es diferente de los demás si,y sólo si, contiene algún elemento diferente, sea cual sea su orden de colocación en el grupo.El número de combinaciones ordinarias (sin repetición) que se pueden formar con n elementostomados de r en r se calcula a partir de la siguiente fórmula:EJEMPLOSEn cuantas formas puede un jurado otorgar el primero, segundo, tercero entre 12 concursantes. b.)encuantas formas se puede seleccionar los puestos de presidente, secretaria, tesorero de un club de 12miembros de manera que ninguno de ellos sea elegido para más de un puesto.n=12r=3Se va a seleccionar un comité senatorio formado por 7 miembros conservadores y 4 liberales encuantas diferentes formas se puede formar un comité que tenga 3 observadores y 2 liberales.n=7 n=4r=3 r=2DISTRIBUCION PROBABILISTICASCuando se analiza un experimento aleatorio, se descubren factores de comportamiento de laprobabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello, es frecuente asociar a estosexperimentos una «función de probabilidad», que puede adoptar diversas formas y regirse porprincipios diferentes y cuyo estudio arroja luz sobre la naturaleza y las características del fenómenofísico o social ligado al experimentoEjemplox 1 2 301121223SSSSCCCCSSCCSSCCSCSCSCSC
  • 10. Variables aleatoriasEn un experimento aleatorio cabe definir una aplicación que asigne a cada sucesoestocástico del espacio muestral un cierto número. Esta aplicación recibe el nombre de variablealeatoria, y el conjunto de valores que puede asumir una variable aleatoria es su recorrido. Según elnúmero de elementos del recorrido, se distinguen dos tipos de variables aleatorias:Variable aleatoria continua, de recorrido infinito, donde el número al que se hacecorresponder la aplicación pertenece al conjunto de los números reales R.Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un número finito de valorespredeterminados, por lo que su recorrido es finitoMEDIA ARITMETICA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDADLa media aritmética se define como la suma del producto de cada valor de la variable aleatoriaconsiderada por su probabilidad. MEDIA ARITMETICAVARIANZA DESVIACION ESTANDAREjemplo:Se seleccionó al azar un grupo de 3 personas de una muestra de 10 que incluye a 4 menores deedad. Interesa conocer de estos últimos en el grupo.a) Cuáles son los valores posibles de esta variable aleatoriab) Determine la distribución probabilísticas de esta variablec) Cuál es la probabilidad de que haya: exactamente un menor de edad, por lo menos uno, 2 omás.x: número de menores de edad6  mayores de edad4  menores de edad(x) frecuencia P(x)0 1 0.1251 3 0.3752 3 0.3753 1 0.1258 1
  • 11. 6C3*4C0=206C2*4C1=606C1*4C2=366C0*4C3=410C3=DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIALUna forma corriente de descripción de los experimentos aleatorios equiprobables con variablediscreta es la distribución binomial. En este tipo de distribución se estudia la probabilidad de que seproduzca un cierto resultado, que se describe por medio de dos parámetros: el número derepeticiones realizadas del experimento y la probabilidad individual del suceso aleatorio que sepersigue como resultado.Condiciones para una distribución binomialUna distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos sonmutuamente independientes.En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito (suceso A), expresada por p.Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ), que es igual a q =1 - p.El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un ciertonúmero de éxitos. La variable aleatoria X, que indica el número de veces que aparece el suceso A(éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {0, 1, 2, 3)n=número total de los elementos de la poblaciónx=número de éxitosπ=es la probabilidad de un éxitoEJERCICIOSUn estudio reciente de los vigilantes de la comisión de tránsito de una ciudad revelo que el 60%de los conductores en esa ciudad se coloca el cinturón de seguridad al manejar. Se seleccionauna muestra de 10 conductores en una carretera de esa ciudad.a. Cuál es la probabilidad de que exactamente 7 conductores lleven puesto el cinturón deseguridad.b. Cuál es la probabilidad de que 7 o menos de los conductores lo lleven puestosn=10 π=0.6a.) x=7x Probabilidad0 0.1671 0.52 0.33 0.0331
  • 12. Un 10% de los empleados de producción de una fábrica de cemento están ausentes de trabajo enu n determinado día. Suponga que se selecciona al azar 10 trabajadores de producción para unestudio riguroso de ausentismo.a. ¿Cuál es la variable aleatoria?b. Tal variable es discreta o continuac. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 10 empleados seleccionado estéausente?Variable aleatoria: número de empleados ausentesVariable discretan=10 π=0.1 x=0En un estudio reciente se halló que el 90 por ciento de los casos de una ciudad tienen problemasestructurales. En una muestra de 9 viviendas cual es la probabilidad de que:a) Las 9 tengan defecto en su estructura, b) Menos de 5 posean dicho problemas, c) Mas de 5tengan problemas en su estructura, d) Por lo menos 7 en las casas tengan problemasn=9π=0.9a) 0.387b) P(x≤5‖ n=9^π=0.9)=0.001c) 0.045+0.172+0.387+0.387=0.991d) P(x≥7‖ n=9^π=0.9)=0.946DISTRIBUCION PROBABILISTICAS HIPERGEOMETRICALos experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.d) El número de repeticiones del experimento (n) es constanteN=representa el tamaño de la poblaciónS=es la cantidad de éxitos en la mismax= representa el número de éxitos que interesan=representa el tamaño de la muestraC= es el símbolo de la combinación
  • 13. EJEMPLOSUna población costa de 10 artículos 6 d4 los cuales están defectuosos, se seleccionan una muestrade 3.¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan defectos ?N=10S=6 P(2)=N=3X=2DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA DE POISSONLa distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.La distribución de Poissonparte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial serealiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cadaensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.P(x)= ºEn esta distribucion π es muy pequeña aproximación y n es muy grandee =2.7182EJEMPLOSla gerente de un banco está encargada de los préstamos con bases en sus añosa de experiencia queestima que la probabilidad de un solicitante no sea capaz de pagar con préstamos es de 0.025 esmás pesado realizo 40 préstamo a) Cuál es la probabilidad que 3 préstamos no sean pagadosoportunamente b) cual es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos no se liquiden a tiempo.n= 40π=0.025a)u=nπ=40x0.025=1p(x=3)= =0.0613b)P(x≥3)=1- P(x≥3)=1-[P(X=0)]+P(X=1)+P(X=2)P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X 3)=1-0.3679-0.3679-0.1839=0.0803
  • 14. Se estima que el 0.5% de las llamadas telefónicas a un departamento de facturación reciben laseñal de ocupado ¿Cuál es la probabilidad de que las 1200 llamadas del día de hoy 5 hayanrecibido dicha señal.n=1200π=0.5%=0.005u=n.π=1200X0.005=6P(X≥5^U=6)=1-P(X<5)= 1-[P(X=0)]+P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)=1-0.0025-0.0149-0.0446-0.0892-0.1339=0.7149El gerente de personal de una empresa estudia el número de accidentes en el trabajo ocurra en 1 meselaborado la siguiente distribución probabilísticaDeterminar la media aritmética, la varianza y la desviación estándar en dicho periodoµ=∑[ .P(X)]-=3.5x-( =1.81= = 1.345Se elabora una pasta dental con un nuevo sabor y se le dio a probar a un grupo de10 personas, 6 deellas afirman que les gusta el nuevo sabor y los 4 restantes opinan que no les gusta el nuevo sabor,se seleccionan4 de las 10 personas para que participen en una nueva entrevista prolongada.¿cuál esla probabilidad de que los mismos seleccionen para la entrevista a 2 que les guste el nuevo sabor onoN=10s=6n=4x=2XNº de accidentesP(X)ProbabilidadX.P(X) P(X)0 0.40 0 01 0.20 0.20 0.202 0.20 0.40 0.83 0.10 0.3 0.94 0.10 0.4 1.6∑=1.3 ∑=3.5
  • 15. Las ventas de automóviles LEXUS en un área de EE.UU sigue la distribución de POISSON con unamedia de 3 x día. a.) cual esla probabilidad de que ninguno se venda en un día especifico. b.) cuales la probabilidad de que durante 5 días consecutivos se venda al menos 1 auto de esa marca.U=3X=0b.)u=3P(x=1)=1-0.0498=0.9502