O documento descreve os princípios do formalismo em matemática segundo David Hilbert. O formalismo vê a matemática como o estudo da estrutura de objetos simbólicos e defende que uma teoria é válida desde que seja consistente, ou seja, livre de contradições. Hilbert desenvolveu a metamatemática para provar a consistência de teorias através de sua axiomatização, formalização e demonstração de não-contradição.

1. 48 INTUICIONISMO
6. Indicação bibliográfica
a) Exposições gerais sobre os fundamentos da matemática,
onde se trata dointuicionismo: as mesmas relacionadas nocapí-
tulo precedente. Convém consultar, também, Weyl'11.
ò) Para se fazer uma ideia perfeita dointuicionismo, indica-
mos Heyting111,121 e os artigos de Brouwer que constam da Biblio-
grafia, embora tais artigos sejam de leitura difícil. Nas obras
citadas de Heyting, em especial, oleitor encontrará farta indica-
çãobibliográfica.
CAPÍTULO III
FORMALISMO
1. O método axiomático
O1 criador e principal representante do formalismoé o ana-
lista alemão David Hilbert, um dos maiores matemáticos con-
temporâneos. Vários são osadeptos dessa escola:Bernays, Curry,
Ackermann, Herbrand, etc. Atualmente, na França, há um gru-
po de matemáticos que escrevem sob o nome de Nicholas Bour-
baki e que se aproximam, bastante, das concepções hilbertianas.
Citamos este fato, porque a escola Bourbaki tem exercido enor-
me influência no ambiente matemático do Brasil.
O formalismo nasceu das vitórias alcançadas pelo chamado
método axiomático. Para se estudar uma teoria pelo método
axiomático, procede-se assim: escolhe-se certo número de no-
ções e de proposições primitivas, suficientes para sobre elas
edificar a teoria, aceitando-^e outras ideias ou outras proposi-
ções só mediante, respectivamente,definições e demonstrações;
obtém-se, dessa maneira, uma axiomáticamaterial da teoria dada;
deixam-se de lado ossignificados intuitivos dos conceitosprimi-
tivos, considerando-os como termos caracterizados implicitamen-
te pelas proposições primitivas. Procuram-se, então, as conse-
quências do sistema obtido, sem preocupação coma natureza ou
com o significado inicial desses termos ou das relações entre
eles existentes. Estrutura-se, assim, o que se denomina uma
axiomática abstraía.
O método axiomáticoé de grande importância. Em primei-
ro lugar, conduz à economia de pensamento: quando se estuda

2. 50 FORMALISMO
axiomática abstraía, está-se, concomitantemente, tratando de
diversas teorias, a saber, todas as que se "enquadram" na
axiomática em apreço. Em segundo, podem-se investigar, por
seu intermédio, problemas relevantes, tais como a da equiva-
lência de duas teorias, independência de axiomas, etc.
Na matemática, o método axiomático vem sendo praticado
há muito tempo. Já o encontramos, v.g., em Euclides. Em seus
Elementos, Euclides aplica o método no desenvolvimento da
geometria, embora do ponto de vista lógico a obra não seja per-
feita. Segundo a tradição oriunda dos Elementos, na exposi-
ção sistemática da geometria parte-se de determinadas noções
tidas como claras (ponto,reta,. . .)e de certas proposiçõesadmi-
tidas sem demonstração (por exemplo: "Dois pontos distintos
individualizam uma reta"). Estas proposições comumente se
dividem em duas categorias: a primeira, que podemos deno-
minar categoria dos axiomas, compõe-sede enunciados eviden-
tes comuns a todas as ciências, como "O todo é igual à soma
de suas partes"; na segunda, a categoria das proposições chama-
das postulados, que exprimem propriedades estritamente geo-
métricas (algumas vezes não tão evidentes quanto os axiomas),
incluem-se enunciados como "Por um ponto dado fora de uma
reta, passa no máximo uma paralela a essa reta". A obra de
Euclides não é inteiramente satisfatória, entre outras razões,
porque o geômetra grego, em suas demonstrações, lança mão,
em diversas oportunidades, de suposições que não enunciou
de modo explícito. Por conseguinte, Euclides não se limitou a
tirar consequências exclusivamente das proposições primiti-
vas que explicitou,donde sua axiomática não ser perfeita.
Com a evoluçãoda matemática, especialmente comrelação à
geometria, o métodoaxiomático tornou-se cada vez mais rigoro-
so, chegando a um alto grau de perfeição lógicanas últimas dé-
cadas do século passado, com Pasch, Peano, Pieri, etc. Pode-se
dizer que o método adquiriu seu estado quase definitivo com a
FORMALISMO 51
publicação do livro Grundlagen der Geometrie, de Hilbert, em
1989 (Hilbert111).
Notemos que, atualmente, não há distinção entre axioma e
postulado. As proposições que não se demonstram se chamam
proposições primitivas, não sendo necessário nem conveniente
classificá-las em axiomas e em postulados. Na realidade, hoje,
as palavras axioma e postulado são sinónimas e significam
proposições primitivas. Nas axiomáticas, existem apenas duas
categorias de enunciados: as proposições primitivas (não inte-
ressando se evidentes ou não), aceitas sem demonstração, e as
proposições demonstradas (por meio de raciocínioslogicamente
correios, a partir dospostulados).
Mas ométodoaxiomático não serve unicamente para econo-
mizar pensamento e sistematizar teorias. Ele constitui ótimo
instrumento de trabalho e depesquisa no domínio da matemáti-
ca Assim, por exemplo,grandes avanços feitos em nosso século
em álgebra, em topologia e em outros ramos da matemática,
encontram-se correlacionados, de modo íntimo, com ométodo
axiomático. De um modogeral, as disciplinas dedutivas funda-
mentam-se, hodiernamente, de acordocomas normas dométo-
do em questão. Apenas os intuicionistas não conferem tanto va-
lor a esse método,embora eletenha sido empregado, comalgum
proveito, também em matemática intuicionista.
2. A concepção formalista da matemática.
Vimos que o método axiomáticoencontra aplicação pratica-
mente em toda a matemática, constituindo-se,hoje, na técnica
básica desta ciência. O formalismo,em poucas palavras, deseja
transformar o método axiomático,de técnicaque é, na essência
mesma da matemática.
Hilbert, ao contrário dos logicistas, não deseja reduzir a
matemática à lógica. Trata de fundamentar essa ciências jun-

3. 52 FORMALISMO
tas, de acordo com o que será exposto a seguir. Ele também se
opõe aointuicionismo, procurando assentar a matemática tradi-
cional sobre bases sólidas, ao abrigo das críticas de Brouwer e
seus correligionários. Em particular, Hilbert crê que a teoria
de Cantor pode subsistir, afirmando que "do paraíso que Can-
tor criou para nós, nada nos deverá expulsar".
"Os formalistas", afirma Black, "negam que os conceitos
matemáticos possam ser reduzidos a conceitoslógicos e susten-
tam que muitas das dificuldades lógicas surgidas no seio da
filosofialogicista não têm nada com a matemática. Eles vêem
na matemática a ciência da estrutura dos objetos. Os números
são as propriedades estruturais mais simples dosobjetose cons-
tituem, por seu turno, objetos com novas propriedades. O ma-
temático pode estudar as propriedades dos objetos somente por
meio de um sistema apropriado de símbolos,reconhecendo e re-
levando os aspectos destituídos de importância dos sinais que
utiliza. Mas, desde que disponha de um sistema de sinais ade-
quado, não necessita mais se incomodar com o seu significado,
porque pode constatar, nos próprios símbolos,as propriedades
estruturais que ointeressam. Daí frisar oíbrmalista a relevân-
cia das características formais da linguagem simbólica da mate-
mática, que são independentes dos significados que porventura
se possam atribuir aos símbolos matemáticos. Isto não quer di-
zer que a matemática seja apenas jogo sem sentido, acusação
esta que comumente se faz ao formalismo. Os formalistas afir-
mam, apenas, que o matemático investiga as propriedades es-
truturais dos símbolos (e,portanto, de todos osobjetos) indepen-
dentemente de suas significações."18
Os hilbertianos acham, como os intuicionistas, que certos
conceitos e princípios da matemática tradicional não têm con-
teúdo intuitivo pleno. Tal se dá, por exemplo, com as partes da
teoria dos conjuntos que envolvem o infinito atual. Porém,
* BLACK™, pp. 8-9.
FORMALISMO 53
Hilbert pensa que a dificuldade é removível, sem necessidade
de grandes sacrifícios,como querem os brouwerianos;em parti-
cular, sem ser preciso abandonar o princípio do terceiroexcluí-
do, e, de modo geral, a lógica clássica.
Na geometria elementar, com a finalidade de simplificar e
de uniformizar determinadas questões, introduzem-secertos con-
ceitos, como ponto do infinito e reta do infinito, que não são
entes geométricos"reais", mas, em última instância, apenascon-
venções linguísticas. Da mesma forma, em álgebra,introduzem-
se números "ideais", em algumas discussões, para uniformizar
as teorias estudadas. Segundo Hilbert, justifica-se, de modo
análogo, a conveniência da introduçãode conceitose princípios
sem conteúdo intuitivo em matemática: a finalidade é simpli-
ficar e sistematizar as disciplinas matemáticas. Comisso, as leis
da lógica clássica mantêm-se válidas, o que traz enorme sim-
plificação para a estrutura dessas disciplinas. Todavia, seme-
lhante modo de proceder somente será lícito se não conduzir a
contradições, a absurdos. Daí, a importância extraordinária,
conferida por Hilbert, às provas de não-contradição das teorias
matemáticas.
Para Hilbert, o matemático pode estudar qualquer sistema
simbólico, admitindo-se que osistema não encerrecontradições,
isto é, que no sistema não se possa provar uma proposiçãoe, ao
mesmo tempo, sua negação. Hilbert emprega o termo "existên-
cia" como sinónimo de "não-contraditório". A liberdade do ma-
temático é completa: basta provar a consistência (ou seja, au-
sência de contradição) deuma teoria matemática, para torná-la
inteiramente lícita. Oanalista alemão edificou, então, uma nova
ciência — a metamatemática, ou teoria da demonstração —,
cuja finalidade básica seria demonstrar a consistência dasdiver-
sas teorias matemáticas. Tais demonstrações far-se-iam, de modo
geral, em três etapas sucessivas e que são:
c) Axiomatização: axiomatizam-se as diversas teorias lógi-
co-matemáticas.

4. 54 FORMALISMO
b) Formalização:formalizam-seas axiomáticas obtidas, isto
significando que em cada uma delas os conceitosprimitivos, os
postulados e os conectivos,relações eprincípios lógicossão subs-
tituídos por símbolose arranjos simbólicossujeitos a regrasbem-
defmidas, análogas às de um jogo, por exemplo,o xadrez. Uma
axiomática formalizada converte-se, em resumo, numa espécie
dejogo grafomecânico, efetuadocomsímbolosdestituídos de sig-
nificação e regulado por meio de regras determinadas.
c) Demonstraçãoda consistênciadas axiomáticas formaliza-
das: para cada axiomática formalizada, mediante investigação
de sua estrutura grafomecânica, procura-se provar sua consis-
tência, evidenciando que não se poderájamais chegar a arranjos
simbólicos contraditórios, operando-se de acordo com as regras
estabelecidas.
Na metamatemática, é claro, só podem ser usados métodos
evidentes e construtivos, tendo por base a intuição dossímbolos.
Hilbert denominou métodos finitistas os métodos aceitos em
metamatemática, os quais, no seu entender, devem ser mais res-
tritos doque osempregadosna aritmética elementar intuicionista.
O caminho pelo qual Hilbert procura demonstrar a consis-
tência dos diversos capítulos da matemática pode parecer algo
sofisticado. Porém, na verdade, não se vislumbra outro modo
de proceder.
Em muitos casos, a prova da consistência de uma teoria A
pode ser reduzida à da consistência de outra, B, da seguinte
maneira: dentro da teoria B, elabora-se um modelo de A, ou
seja, escolhe-se um sistema conveniente, S, de objetos de B, de
tal forma que para esse sistema sejam satisfeitas as proposi-
ções primitivas de A;S constitui, assim, um modeloda teoria A.
Então, constata-se imediatamente que se B for consistente, A
também o será. Por este processo,por exemplo,Beltrami e Klein
provaram a consistência da geometria plana não-euclidiana de
Lobatchewski, construindo um modelo dela por meio dageome-
tria euclidiana; de idêntico modo, Hilbert provou que a geo-
FORMALISMO 55
metria comum é consistente se a análise ofor.Provas de consis-
tência, como as que acabamos de descrever, são relativas, re-
duzindo a questão da consistência de uma disciplina à mesma
questão referente a outra. Por esse método, pois, não se obtém
segurança cabal de que a teoria que se consideraéabsolutamen-
te consistente, a não ser que a teoria na qual se constrói omode-
lo tenha sido já reconhecida consistente, com toda certeza ou
que omodelo seja tão simples e evidente, que assegure aconsis-
tência, como se dá em alguns casos muito especiais. No entanto,
o métodoem apreço não tem aplicaçãogeral: no casoda aritmé-
tica elementar ou da análise éimpossívelaplicá-lo,poisnão exis-
tem teorias mais seguras e mais simples nas quais se possam
construir os modelos apropriados correspondentes.
Também não se pode recorrer à intuição como critério geral
para legitimar uma teoria; ela só ajudaria enquanto não fos-
sem introduzidos os elementos ideais, na acepção de Hilbert, o
que se dá coma maior parte da matemática.
Finalmente, não podemos apelar para omundofísico na es-
perança de provar a consistência das disciplinas dedutivas. A
matemática teve origem empírica, mas, como hoje se apresen-
ta, situa-se inteiramente além dos fatos empíricos, desenvol-
vendo-se em planoabstrato e formal. Nessa direção,não sepode
dar nenhum passo.
Por conseguinte, pelo menos no tocante às disciplinas ma-
temáticas fundamentais, como a teoria dos conjuntos, a arit-
mética elementar e a análise, não existe outro meio de se pro-
var a consistência, a não ser de conformidade comos preceitos
hilbertianos.
3. Os teoremas de Gõdel.
Hilbert e seus discípulos atacaram oproblema da demons-
tração deconsistência das diversas partes da matemática econ-
seguiram realizar progressos interessantes. Por volta de 1930,

5. 56 FORMALISMO
tudo parecia indicar que a metamatemática formalista seriaco-
roada de êxito, atingindo o seu objetivo. Dentre as questões
basilares que naquela época preocupavamoshilbertianos desta-
cam-se, como principais, os problemas da consistência da arit-
mética e da análise, em especial oprimeiro.
Foientão que,em 1931,19 umjovem lógico-matemático, Kurt
Gõdel, publicou resultados revolucionários,que abalaram pro-
fundamente o formalismo. Esses resultados podem ser enun-
ciados, de modo aproximado,assim:
Teorema 1. Toda axiomática consistente da aritmética é
incompleta.
Uma axiomática diz-secompleta,quando qualquer enuncia-
do, S, formulável nesta axiomática, é tal que S ou sua negação é
demonstrável (na axiomática em apreço); em caso contrário, a
axiomática é incompleta.O presente teorema de Gõdelsignifica,
portanto, que existem proposiçõesaritméticas tais que nem elas,
nem suas negações,sãodemonstráveisna axiomática da aritmé-
tica que se adotar. Essas proposiçõessão chamadas indecidíveis
na axiomática considerada. Logo, em qualquer axiomáticacon-
sistente da aritmética existem sentenças indecidíveis.
Como uma proposição e sua negaçãoconstituem enunciados
contraditórios, uma delas é necessariamente verdadeira (desde
que se admita o princípio do terceiro excluído). Em consequên-
cia, existem sentenças aritméticas verdadeiras, formuláveis em
dada axiomática da aritmética, mas que não são demonstráveis
nessa axiomática,eisto severifica qualquer que seja a axiomática
em questão. Frisemos, pois, que este fato não constitui imperfei-
ção deste ou daquele sistema consistente de axiomas, porém é
inerente a qualquer um deles.20
19 GÕDEL publicou suas investigações em. GODEL'*'.
20 Os teoremas de GÕDEL valem, na realidade, independentemente do
princípio do terceiro excluído, sendo que, nas suas demonstrações, não se
requer mais do que processos finitistas. Sobre este ponto, ver KLEENE™.
FORMALISMO 57
Teorema II. A consistência de qualquer axiomática con-
sistente da aritmética não pode ser demonstrada nessa axio-
mática.
Este teoremanos diz que a provade ausência de contradição
de uma axiomáticada aritmética não pode ser realizada apenas
com os recursos dessa axiomática ou, de modo equivalente, que
a demonstração de que dada axiomática da aritmética éconsis-
tente só pode ser efetuada comauxíliodos recursos de uma teo-
ria mais "forte" (ou seja, é impossível formalizar uma prova de
consistência de qualquer axiomática da aritmética, tendo por
base tão-somente essa axiomática).Devemos deixar claro que
ao afirmarmos, aqui,que uma teoria Aé mais forte doque outra
B, isto significa, apenas, que A encerra algummétodo ou proces-
so inexpressávelem B. Se A for mais forte do que B, tal fato não
acarreta que B não possa ser mais forte do que A.
Gõdel demonstrouoseu segundo teoremana hipótese da con-
sistência simples, já definida, ou seja, quandona axiomáticanão
existem proposições tais que tanto elas como suas negaçõesse-
jam demonstráveis.Além desta, há, também, a co-consistência,
estudada especialmentepor Tarski, que, na aritmética, recai na
impossibilidade de se poder demonstrar, ao mesmo tempo,o se-
guinte: a) nem todo númeronatural tem a propriedade P; ò)O, l,
2, 3,. . . possuem a propriedadeP. A consistência simples não
implica a oconsistência, mas a co-consistência acarreta a consis-
tência simples.Gòdel provou o seu primeiroteorema supondoa
axiomática correspondenteda aritmética co-consistente;21 poste-
riormente, Rosser provou oteorema pressupondoapenas acon-
sistência simples.
21 Note-se, de passagem, que a consistência simples não assegura, por si
só, a legitimidade completa de um sistema axiomático, pois ele pode ser
co-inconsistente. Por conseguinte, quando dissemos, acima, que em matemá-
tica existir, para HILBERT, é sinónimo de não contraditório, isto não constitui
afirmação muito correia nem muito precisa. Todavia semelhantes questões
não necessitam ser tratadas com todo rigor numa obra como esta.

6. 58 FORMALISMO
Os teoremas de Gõdel evidenciam que o métodoaxiomático
está sujeito a grandes limitações. Além disso, como uma discus-
são detalhada mostraria, o segundo teorema implica, pratica-
mente, a impossibilidade de uma demonstração íinitista dacon-
sistência da aritmética (ou de qualquer teoria que encerre a
aritmética ordinária como "subteoria"), o que destrói a maior
parte das aspirações hilbertianas.22
Na demonstração de seus teoremas, Gõdel seguiu método
originalíssimo, que consiste em enumerar os símbolos usados
no formalismo adotado, de modo a permitir associar a cada
fórmula um e apenas uni número natural, embora possam
existir números a que não correspondem fórmulas. Isto feito,
enunciados envolvendo fórmulas podem ser substituídos por
enunciados a respeito de números, isto é: se P for uma pro-
priedade de fórmulas, pode-se achar uma propriedade Q de
números, tal que uma fórmula gozará de propriedade P se, e
somente se, o número associado a essa fórmula gozar da pro-
22 De um modo geral, os teoremas de GODEL aplicam-se a qualquer teoria
que envolva (englobe) a aritmética elementar. WEYL, a esse respeito afirma
"GODEL showed that HILBERT'S formalism,in fact in any formal system M that
is not too narrow, two strange things happen: 1) One can point out arithmetic
propositions <I> of comparatively elementary nature that are evidently true yet
cannot be deduced within the formalism. 2) The formula Q that expresses the
consistency ofM is itself not deduciblewithin M.More precisely,a dedution ofO
or Q within the formalism M would lead straight to a contradition in M,. . ."
(WEYL, obra citada na Bibliografia, p. 219).
GODEL, em seu estudo GODEL111, escreveu: "Die umfassendsten derzeit
aufgestellten formalen Systeme sind das System der Principia Mathematica
einerseits, das ZERMELO-FHAE^KELSHE (von 1. v. NEUMANN weiter aus-
gebildete) Axiomensystem der Megenlehre andererseits. . . .Lm folgenden
wird gezeigt. . . dass es in den beiden angefuhrten Systemen sogar relativ
einfache Probleme aus der Theorie der gewóhnlichen ganzen Zahlen gibt,
die sich aus den Axiomen nicht entscheiden lassen. Dieser Umstand liegt
nicht etwa an der speziellen Natur der aufgestellten Systeme, sondem gilt
fur eine sehr weite Klasse formaler Systeme, zu denen msbesondere alie
gehòren, die aus den beiden angefuhrten durch Hinzufiigung endlich vieler
Axiome entstehen, vorausgesetzt, dass durch die hinzugefliigten Axiome
keine falschen Satze von der in Fussnote 4) angegebenen Art beweisbar
werden" (cf.A. Church, "A Bibliography of Symbolic Logic", The Journal of
Symbolic Logic, vol. l, n° 4, 1936J
FORMALISMO 59
priedade Q (evidentemente, essa afirmação não é verdadeira
para qualquer propriedade de fórmulas, mas para a maioria
das propriedades interessantes, doponto de vista matemático,
tal se dá).23
Aos símbolos O (zero), -i (não), —» (implica), A (e), v (ou),
= (igual), etc., associam-se os números da forma 5n + l (n = O,
l, . . .), respectivamente; às variáveis x, y, z,. . . os números
5n + 2; aos quantificadores existenciais Ex (existe um x), Ey
(existe um y),. . ., os números 5n + 3; aos quantificadores uni-
versais V x (todo x), V y (todo y),. . ., os números 5n + 4; aos
integralizadoresEx, EX,. . . (cujo significado ultrapassa a finalida-
de desta exposição),os números 5n + 5. Assim, ficam numera-
dos todos os símbolos essenciais para odesenvolvimento da arit-
mética.24
A fim de associar números também a fórmulas, dá-se a es-
tas disposição arboriforme, colocando como raiz o símbolo ou
operador fundamental da fórmula considerada. Por exemplo, a
fórmula
x —> (y —»x)
é escrita
x
23 Na descrição do método empregado por GÕDEL para aritmetizar a axio-
mática formalizada da aritmética, que se considera, não procuramos ser rigo-
rosos, pois queremos unicamente dar uma noção sumária dele. Em particular,
não definimos com precisão o conceito de fórmula, não distinguimos cui-
dadosamente entre variáveis preposicionais e outros tipos de variáveis, etc.
24 O primeiro grupo de símbolos, composto por O (zero), —t (não)—> (impli-
ca), etc. isto é, por operadores e por constantes, é finito. As três outras catego-
rias de símbolos, ao contrário, são infinitas (embora enumeráveis, ou seja, en-
tre os elementos de cada uma delas e o conjunto dos números naturais pode-se
estabelecer uma correspondência, de tal modo que a todo elemento corresponda
um único número natural, e a qualquer número natural um e um só elemento.)

7. 60 FORMALISMO
À raiz atribui-se o número de posição 1. Para os símbolos
situados nos ramos, onúmero de posiçãona base de numeração
2 obtém-se (de baixo para cima) acrescentando-se à direita do
número da raiz ou do nó os algarismos Oou l, conforme seja o
ramo da esquerda ou da direita.Assim, ao conjuntode símbolos
em questão correspondem os números de posição
110
ou, na base decimal,
Faz-se corresponder a esses números os que ocupam as po-
sições por eles indicadas na sucessão donúmeros primos, orde-
nada por grandeza, a partir de 2. Então, os números primos
associados ao esquema simbólico acima são: 2, 3, 5, 13, e 17, os
quais são afetados de expoente igual ao número 5n + p do sím-
bolo correspondente. O produto de tais potências fornece o
número de Gõdel da fórmula, que, no presente caso, é 211 x 32
x 511 x 137 x 172. Reciprocamente, pode-se verificar se a dado
número corresponde certo agrupamento de símbolos,fatoran-
do-o e procedendo à construção inversa. Por exemplo, o número
1.440.000.000 = 2" x 32 x 57 mostra que o grupo simbólico que lhe
corresponde é constituído pelo símbolos—>, x e y, colocados nas
posições l, 2, e 3 (ou,no sistema de base dois, l, 10 e 11).Logo,
é da forma
FORMALISMO 61
OU X •y-
De maneira análoga, podem-seassociar númerosàsdemons-
trações. Uma axiomática dada surge, assim, como parte da arit-
mética, onde propriedades de números são imagens de proprie-
dades de símbolos.A metamatemática fica contida,em última
instância, num domínioparticular da matemática: a aritmética.
Em resumo, as propriedades matemáticas de uma axiomá-
tica correspondem a propriedades aritméticas, que são formulá-
veis na própria axiomática, desde que ela não seja>demasiada-
mente fraca. Assim,à afirmação de que determinada axiomática
da aritmética é consistente, correspondeum enunciadok, refe-
rente a números e expressável em termos das noções aritméti-
cas ordinárias (que se supõe constem da axiomáticaem tela). O
enunciado k é verdadeiro se, e somente se, a propriedade meta-
matemática que lhe corresponde,isto é, a consistência da axio-
mática, também o for. Então, o segundo teorema de Gõdel nos
diz que k não pode ser provado dentro da axiomática que se
considera (suposta consistente).
4. Crítica do formalismo.
Os trabalhos de Gõdel patentearam que as demonstrações
metamatemáticas de consistência, como as queria Hilbert, são
geralmente impossíveis. Emvirtude da enormeimportância que
o formalismoconfere às demonstrações de consistência, verifi-
camos que Gõdel quase destruiu ocorpode doutrina hilbertiano.
A posiçãoformalista, depois das indagações de Gõdel, tornou-se
pouco segura: nada pode impedir que o matemático formalista
estude os seus sistemas simbólicos, mas também nada nos ga-
rante que ele não encontre, de vez em quando, contradiçõesem
suas transformações simbólicas. Em síntese, ométodo axiomático

8. 62 FORMALISMO
é técnica de valor, embora se tenha mostradoincapaz de secon-
verter em fundamento convenienteda matemática, pelomenos
dentro dos moldeshilbertianos.
Mas esse não é oúnicoreparo a que está exposto o formalis-
mo. Vimos que Hilbert admitia a existência de elementos ideais
nas disciplinas matemáticas, com a finalidade precípua de sis-
tematizá-las e simplificá-las. Mas seria imprescindível, para a
concepção hilbertiana situar-se além de críticas sérias, que se
tivesse certeza de que os enunciados formulados em termos in-
tuitivos (isto é, com conteúdo intuitivo), obtidos através de ra-
ciocínios utilizando elementos ideais, fossem (intuitivamente)
verdadeiros. Este constitui um problemadifícil, sendoimpossível
debatê-lo aqui.26 Porém, a simples existência de semelhante ques-
tão lança ainda mais dúvidas sobre a plausibilidade da tese
formalista.
Outra crítica comum ao formalismo consiste em se notar
que oshilbertianos deram pouca importância ao significado dos
símbolos matemáticos e que uma filosofia correta da matemáti-
ca não pode olvidar esse ponto.Bertrand Russell chegou a as-
severar que "osformalistas se assemelham a um relojoeiro que,
de tanto se preocupar com a aparência de seus relógios,esque-
ceu que a finalidade deless é marcar tempo e descuroudos me-
canismos".26
Apesar de tudo,no entanto, a corrente formalista contribuiu
notavelmente para o aperfeiçoamento da lógica e para oprogres-
so das investigações sobre osfundamentos da matemática. Aliás,
os próprios teoremas de Gõdel foram descobertos mediante pro-
cessos metamatemáticos. Não obstante as limitações que lhe são
inerentes, a metamatemática tem evoluídobastante e são vários
os resultados de sumaimportância por ela alcançados.
25 Cf. KLEENE111, pp. 565 e 212.
FORMALISMO 63
5. Indicação bibliográfica.
a) Dentre as exposiçõesde caráter geral, referentes aosfun-
damentos da matemática, indicamos as mesmas do capítulo
anterior.
ò) Em Hilbert & Bernays111 e Kleene111, encontram-se exce-
lentes explanações do formalismo e das conquistas efetuadas
pela metamatemática, embora sejam obras de leitura um tanto
difícil para o principiante. No livro de Kleene, lembremos de
passagem, os capítulos I, II e III recomendam-se para se fazer
uma ideia panorâmica da situação atual dosfundamentosda ma-
temática. Ainda sobre as concepções de Hilbert, convém ler
Heyting111, segunda secção.
c) Sobre os teoremas de Gõdel,além de Hilbert & Bernays111
e Kleene111, pode-se consultar Nagel & Newman111, que tem cu-
nho elementar. Veja-se, também, Weyl111, apêndiceA.
d) Alguns dos apêndices de Hilbert111 mostram como evoluiu
o pensamento hilbertiano relativamente às questões de funda-
mentos da matemática.