Pendulo simple c

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  • 1. GU´ DE LABORATORIO PENDULO SIMPLE IA ´ GRUPO CAVENDISH Programa Lic. Matem´ticas y F´ a ısica Facultad de Ciencias Humanas y de la Educaci´n o 21 de noviembre de 2010
  • 2. 2
  • 3. Cap´ ıtulo 1P´ndulo simple e Antecedentes hist´ricos o La primera descripci´n del movimiento de un o p´ndulo se debi´ a Galileo Galilei. Se dice que e o se produjo mientras observaba la regularidad del movimiento de una l´mpara colgada del techo de la a catedral de Pisa, llegando a medir el tiempo que demoraba en realizar una oscilaci´n con su pro- o pio pulso, arribando a la conclusi´n de que to- o das las l´mparas tardaban el mismo tiempo en a realizar una oscilaci´n completa. Con esta idea, o prepar´ una serie de experimentos para investigar o el movimiento al que llam´ pendular (movimien- o to de cosas que cuelgan de un hilo) Galileo con- struy´ dos p´ndulos del mismo volumen, pero uno o e con una esfera de metal y otro con una de madera. ¡Incre´ıble, los dos tardan el mismo tiempo en os- cilar¡Resulta que Arist´teles estaba equivocado, efectivamente, con este ultimo experi- o ´mento Galileo obtuvo la clave para dominar las mediciones del tiempo,cuando uti-lizaba un hilo largo, el p´ndulo tardaba mucho en ir y venir, y cuando lo acortaba, ela oscilaci´n se hac´ m´s r´pida. o ıa a aInteresante le resultaba a Galileo que, cuando la longitud de un p´ndulo se hace eel doble de largo que otro, no tarda el doble del tiempo en realizar una oscilaci´n ocompleta, sino 1.5 veces m´s lento, por lo que para hacerlo el doble de lento debe acuadriplicarse la longitud. A estas conclusiones lleg´ Galileo experimentalmente, sin oapenas contar con la matem´tica necesaria para obtener estos resultados, lo cual se ahace hoy en d´ a trav´s del c´lculo diferencial. ıa e a 3
  • 4. 4 CAP´ ´ ITULO 1. PENDULO SIMPLE Fundamento te´rico oEl p´ndulo simple es un modelo que debe cumplir con las siguientes caracter´ e ısticas:1- El hilo del que se cuelga la esfera es inextensible y sin masa.2- La masa de la esfera se considera un cuerpo puntual.3- No existen agentes que provoquen efectos disipativos. Se desprecian las fuerzasde fricci´n. oTeniendo en cuenta estas condiciones, se puede obtener el modelo matem´tico que apermite describir el movimiento del p´ndulo simple.Si la part´ula se desplaza for- e cmando un angulo Θ con la vertical y luego se suelta, el p´ndulo queda solamente ´ ebajo la acci´n de la fuerza del campo gravitatorio a la que se denota por mg. La olongitud l, representa el radio del arco de circunferencia que describe la esfera bajola acci´n de esta fuerza. Utilizando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta oel diagrama de cuerpo libre, se puede plantear que: n F = mgEl movimiento oscilatorio que se observa en un p´ndulo simple puede ser de tres etipos: 1. Movimiento oscilatorio no amortiguado. Se produce cuando la fricci´n entre la o masa y el aire se puede considerar nula. A este movimiento se le llama tambi´n e movimiento arm´nico simple. o 2. Movimiento oscilatorio amortiguado. Es todo tipo de movimiento oscilatorio real, para el cual no se puede despreciar la fuerza de fricci´. n 3. Movimiento oscilatorio forzado. Se produce cuando a un movimiento oscilatorio subamortiguado se le suministra sistem´ticamente cierta energ´ por un agente a ıa externo para compensar la p´rdida por causas de la fricci´n. Un ejemplo e o de este tipo de movimiento lo constituye un ni˜ en un columpio, al que o sistem´ticamente hay que empujarlo para que no cese su movimiento. a
  • 5. 5 Como se desprende de su definici´n, el movimiento o arm´nico simple es un modelo, porque en la pr´cti- o a ca nunca es posible eliminar totalmente la fricci´n o entre el cuerpo que oscila y el aire, pero este mo- delo es muy util, porque permite estudiar las ca- ´ racter´ısticas generales de este tipo de movimiento. Para obtener las ecuaciones del movimiento de un cuerpo que oscila libremente sin fricci´n, se uti- o lizar´n como recursos, el movimiento circunferen- a cial uniforme de una part´ ıcula y algunos elementos de trigonometr´ En un movimiento circunferen- ıa. cial uniforme, cada vez que la part´ ıcula completa una vuelta, la proyecci´n (o la sombra del cuer- o po que gira) sobre una direcci´n, digamos el eje o X, realiza un movimiento arm´nico simple. Dicha o proyecci´ se detiene en los extremos y retorna a su n posici´n inicial describiendo un movimiento rec- o til´ ıneo oscilatorio. En el punto central (posici´n de o equilibrio) la part´ ıcula posee m´xima velocidad, a pero la fuerza es nula.El mismo tiempo T que transcurre mientras se produce una vuelta completa delcuerpo animado de movimiento circunferencial uniforme, demorar´ la proyecci´n en a ovolver a tener los mismos valores de todos sus par´metros cinem´ticos (velocidad, a aposici´n y aceleraci´n), por lo tanto, el movimiento arm´nico simple de la proyecci´n o o o oy el movimiento circunferencial uniforme tienen el mismo per´ ıodo T.Cuando la part´ ıcula que gira se encuentra en cualquier posici´n, su proyecci´n en el o oeje de las X queda definida como: X = Acos(ωt + ϕo )Donde A es la m´xima separaci´n desde el punto de equilibrio, que podr´ tener la a o apart´ ıcula animada de movimiento arm´nico simple, ω es la frecuencia angular, y oϕo el angulo que formaba el radio de la circunferencia con el eje de las X cuando ´comenz´ a observarse el movimiento. En el movimiento oscilatorio se le denomina ofase a todo el argumento del coseno y constante de fase a ϕo . De forma an´loga, se apueden obtener las ecuaciones de la velocidad y de la aceleraci´n para un movimiento oarm´ico simple. De modo que puede escribirse, para la velocidad: n V = −ωAsen(ωt + ϕo )Y para la aceleraci´n: o X = −ω 2 Acos(ωt + ϕo )Si se hubiese encontrado la ecuaci´n de la posici´n a partir de la funci´n seno, los o o oresultados habr´ sido semejantes, puesto que entre el seno y el coseno solamente ıan
  • 6. 6 CAP´ ´ ITULO 1. PENDULO SIMPLEexiste una diferencia de fase de Π/2 radianes. Haciendo un an´lisis dinmico del a ´movimiento oscilatorio en el sistema masa resorte, se pueden obtener las ecuacionespara el per´ ıodo de la masa oscilante. En efecto, un diagrama de cuerpo libre para lamasa que se est´ moviendo permite escribir: a ΣF = maPero si se observa la figura del p´ndulo, se puede ededucir que, despreciando la fricci´n, las fuerzas oque mueven al cuerpo se pueden describir as´ı: F = mg sen θEcuaci´ que, teniendo en cuenta la segunda ley de nNewton, y eliminando la notaci´n vectorial, puede oescribirse como: mg sen θ = maComo el modelo del p´ndulo simple presupone eque los ´ngulos de oscilaci´n son peque˜os, se a o ncumple la relaci´n sen θ ≈ θ y suponiendo oque el movimiento se produce en el eje de lasX: d2 x a= dt2La segunda ley de Newton toma la forma: d2 x gθ = dt2Del tri´ngulo que forma la el hilo del p´ndulo en una posici´ cualquiera y la vertical, a e n xse obtiene la relaci´n sen θ = L ; lo que combinado con que la oscilaci´n es peque˜a, o o npermite escribir la segunda ley de Newton en la forma: g d2 x x= 2 L dt gSi se hace el cambio de variable L = ω 2 , esta ecuaci´n queda definitivamente como: o d2 x + ω2x = 0 dt2A lo que matem´ticamente se le conoce como una ecuaci´ diferencial de segundo a oorden, lineal y homog´nea, y cuya soluci´n es precisamente la ecuaci´n del e o omovimiento arm´nico simple: o X = A cos (ωt + ϕo )
  • 7. 7La verificaci´n de que esta funci´n es soluci´n de la ecuaci´n diferencial a la que o o o ocondujo el problema f´ ısico del p´ndulo simple, puede lograrse con facilidad, derivando edos veces dicha funci´n y sustituyendo el resultado en la propia ecuaci´n diferencial. o oEl valor de ω que aqu´ se ha tomado como un simple cambio de variable, ıest´ relacionado con el per´ a ıodo de la oscilaci´n del p´ndulo y de cualquier movimiento o eoscilatorio, a trav´s de la conocida expresi´n obtenida del movimiento circunferencial e ouniforme: 2π ω= T gEn donde, si se sustituye, a ω, por su valor, ω = L , se obtiene, para el per´ ıodo delp´ndulo la expresi´n: e o L T = 2π 2 gQue es la expresi´n del per´odo de las oscilaciones peque˜as que se producen en un o o np´ndulo simple, cuando no se tienen en cuenta las fuerzas disipativas de la fricci´n, e oy ser´ la ecuaci´n que se utilizar´ para calcular la aceleraci´n de la gravedad en esta a o a opr´ctica de laboratorio. aObjetivo generalDeterminar experimentalmente el valor num´rico de la aceleraci´n del campo grav- e oitatorio (gravedad) en la Universidad de los Llanos.Objetivos espec´ ıficos1- Desarrollar habilidades para realizar mediciones de tiempo y londitud.2- Desarrollar habilidades en la observaci´n, y comparaci´n de un mismo fen´meno o o of´ ısico (la oscilaci´n de un p´ndulo) con diferentes caracter´ o e ısticas.3- Desarrollar habilidades para describir, sintetizar y generalizar regularidades conla ayuda de la teor´ de errores y del m´todo gr´fico de an´lisis de los resultados. ıa e a aPreguntas iniciales1. ¿Qu´ es un p´ndulo simple¿ A cualquier p´ndulo puede llam´rsele simple¿ e e e a ˜2. ¿Por quA c al p´ndulo simple tambi´n se le llama p´ndulo matem´tico¿ e e e a3. ¿Qu´ elementos conforman al p´ndulo simple¿ e e
  • 8. 8 CAP´ ´ ITULO 1. PENDULO SIMPLE4. ¿Por qu´ el angulo de oscilaci´n de un p´ndulo simple debe ser peque˜o¿ ¿qu´ tan e ´ o e n epeque˜o debe ser dicho angulo¿ n ´5. ¿Qu´ caracter´ e ısticas debe tener el hilo con el que se construye un p´ndulo simple¿ e6. ¿Cu´les son las variables a considerar para medir el per´ a ıodo de un p´ndulo simple ey c´mo deben medirse¿ o7. ¿Qu´ tipo de movimiento describe la masa de un p´ndulo simple¿ e e8. ¿Cu´l es la ecuaci´n que determina las caracter´ a o ısticas de un movimiento arm´nico o ˜simple¿ ¿Bajo quA c condiciones se cumple esta ecuaci´n para el p´ndulo simple? o e‘9. El estudiante debe saber representar gr´ficamente el desplazamiento contra el atiempo para el movimiento del p´ndulo ayud´ndose de una hoja de c´lculo de Excel. e a a10. ¿Qu´ magnitud se debe medir en el desarrollo de esta pr´ctica para poder hallar e ala aceleraci´n de la gravedad¿ o11. ¿Cu´les deben ser las medidas de seguridad y precauciones que deben tenerse aen cuenta para realizar este experimento¿12. ¿Cu´les son los elementos que deben tenerse en cuenta para garantizar que el aexperimento se realice bajo el modelo previsto¿13. ¿Cu´les son los errores que se pueden cometer al realizar este experimento¿ a Materiales . Esfera de plomo. . Hilo inextensible de diferentes longitudes. . Soporte universal. . Regla. . Cron´metro. o . Transportador.T´cnica operatoria: Antes de pasar a realizar el trabajo experimental, los estudi- eantes deben pasar por el computador, para que interactu´n con el simulador de esta e
  • 9. 9pr´ctica. Cuando el computador le indique que est´n preparados para desarrollar la a aparte operatoria, podr´n pasar al laboratorio y realizar los siguientes pasos: a1. Realizar el montaje del P´ndulo Simple. e2. Poner a oscilar el p´ndulo con un angulo de aproximadamente 5 grados sexages- e ´imales. Para ello pueden utilizarse varios m´todos, el estudiante debe elegir uno y ejustificar dicha elecci´n. o3. Colocar la cuerda inextensible a una longitud determinada y contar 60 oscila-ciones. Repetir este proceso tres veces.4. Ubicar la cuerda a una longitud diferente a la inicial, y contar 60 oscilaciones,repetir este proceso tres veces.5. Repetir el proceso anterior tres veces.6. Se deben realizar no menos de tres series de mediciones de tiempo para 60 oscila-ciones, a partir de las cuales se determinar´ el per´ a ıodo promedio del p´ndulo. Los evalores deben recogerse en una tabla. √7. Se utilizar´ la ecuaci´n ω = 2π l para la determinaci´n indirecta de g. a o o8. Se representar´ en un papel cuadriculado los valores obtenidos experimentalmente ade longitud vs periodo.9. Se concluyen los resultados de observar la dependencia de la aceleraci´n de la ogravedad con la longitud del hilo.9. Se analizan todas las fuentes de errores en el experimento, calculando el valor delos errores relativos y absolutos para presentar el mejor valor de g que puede serreportado con este experimento y se confeccionar´ un informe con los resultados, ateniendo en cuenta la teor´ de errores que aparece en la primera parte de este man- ıaual de laboratorios.10. Terminada la parte experimental, los integrantes del grupo deben ingresar alcomputador los datos obtenidos en el experimento, al hacerlo, el software le infor-mar´ si los valores son aceptables o no. a