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  1. 1. çtrC )<, r : ) < { ." ^..,--:;:J Elttf ::* I P 41* " s frî;;y=g*:S;?fiffNo{ 6p rc, o(,.<,R{eç -*5 ffiiiJ: nPeu6gcit "";;"orgsÀ /o? g;Ëa a,?dil âp r*âqsl e1assaro r*d m 6uoxafl,p pnuoJr{/o€ t"J"ù alqeru?P : anbral l t -ts ."-ifz = (r),.f : It I t * - [ax 6 cl ralpra€l/oz :=1")J ,N T,- 1 ua uo aqcnc6 âp ?{11ç^9âp o1-- PJ 6sn râtruo(ll q rororrr{/oI enbrqde o6gsçrdlâ1tl I "p.q*"d (Éc v : 36rqde6-aum) 1â tt] rsd *o"1*oË""*-Î er?dartn stsp j o ):yoooquo ueld np {t alus?Puogr uo]tllr ededlsq pÛ o =(x)J: r ed[ 1 l - 1r r s ,x - t|, îr z^ G*odsl:fi!5f,uffi ( r I -F ltr-] [i)ri:opraPcIEf,(P a r A t *o lo t --L ua(r ( reeÊ-i z + o|l= (r)Ë Ï:n ** renuoN(Q * y (x) ,H"r-"1"i o"t "o**n (c)nod"*;;,""-;;:*#"H"rrH "1l g) {=(x)Hndto (c)P (6æ âolnoces rm [ f, g - ] (x),D râlnc1ecP rs ârusâp . .f,-rrns uorpuor : :: il o o*n" j"^::::, ": ausrsep ,: ;: ;f:*i: uo uo*uorerr "d ] : : *;;: ,*dr É s -l rnseps?p I - ol z^ -) ,.Æffi6 €
  2. 2. -, 4{-r,--" l! ./ -/ tqq l l-, . IL"-"1-, (") - ( -l, J: $t";; t: 1i Ilill .l.l :. Lv t-lt J iU lo -l--+ 1 -
  3. 3. Ia LycéesTahar Sfar et @ebùif ùe g-*.F*n flo I Classe: 4à* Sc exp Ibn Sirn MaMia a9 /12 / 2009 Profs : Mme Turki etMrs Baccar, Hamm etMeddeb Ex.qcice nol : (3pts) justification. Pour clmcunedespropositionsxtivantes, rëporùe par woi oufaux sans (Ine rfrTnnseexncterqporte 0,51nint, une ré7nnseinexacteenlève 0,257nint, labserrce réponse est de comfiée 0 point. Si le total est négstif, Ia tnte sera rwwrÉe à zéro. 1) Soit f une foqctiondeux fois dérivablezur [0,+æ[. La courbereprésentative safonction dérivéef de dansun repère(O,i,i) estdonnee le graphique par ci-contre. Soit4lacouôereprésentative de f . a/ f estdecroissante [1, +æ[. zur b/ I-epoint dabscisse estun point dinflexion de€. I c| ? aunç demi-tangeûte horizontaleau point dabscisse0. _? 1 2) Soit g une fonctiondérivablezur IR* telle que,pourtout x E IR+, i = g(r) <; On a alors,pour tout x E lR* .-2 1 al Trsg ( x) s 3x . bl lg(x)-s(o)l =I, c/ Si gt(O) : 0, alors la couôe représentative g est compriseentreles droites dfuuations : de -2 1 Y -Tx d Y :î - Exæcice noZ : (5,5.pts) Le plan complexe muni dun repere est direct (O,û,i). unitégraphique orthonormé :2cm. 1) Onrappelleque,poûrtousnombrescomplexesdetb.as = tq*b)(az +ab +b2). -bs Résoudre Iensemble nombres darns des complexes léquation: 23 = 8. 2) On désignepN A, B â C les points dafiixes respec{ivÊs et c définiespar : a,b a =2 , b =-1 +6f3 etc= ;1- iJ3. al Détennirrerla forme exponentielle chacundesnombrescomplexesù et c. dc b/ Plaærlespoints,4 Ea C dansle repère(O,û,ù). , 3) SoitBle point daffixeb = 2 + 1Æ+ 3i . o/ Montrer quele triangle ABBestrectangle isocèl enA. et e b/ Placerle point B dansIe repère{O,û,û). per 4) SoitMle milieu de IBB), on désigne m laffixe deM. a/ Montrer m :ry(r que + irfrJ. b/ En deduirequeles pointsO, C *M sontalignés.
  4. 4. ElSsqlcg .n4 : ft,s Fs) Soit/ la fonction définiesur [-1 , 1] par : f (x) - (1 - ù:..Gî ll a/ Etudier la derivabiliæde ;r à gaucheen 1 et à droite en (-1) b/ lnterpréltergeometriquement résultats. les et 2) e/ Montrer quef estdérivable J-l , 1[ et calcul f (x). sur b/ F-tudier signede f (x) et dresser tableaude variationsde f . le le 3) Montrer que léquationf(r) = x odrnetdansJ0,1[ unesolutionuniquea.Exqclce no4 : (7 Fs) Qn considère zuites(I çtY défrnies IN pat : les sur u.+Yn Uo= 2 et pourtouta€ I/V U^-h et Un+r: r) Calculer ,U2 etVz, :Va,U1,V1 { l< Un < 2) Montrer par récdrrenceque,pour tout n €. IN , on a : 1 s Y , ,< [1 ", (un-vn) 3) Montrer que, pourtout n € IN, on a : Un+t -Vn+t = z(un+v,.) t1] (On pourraremarquer q u e : U r r . V n =2 ). 4) Montrer par réorrrence,quepour tout n € ItV, on a : Un ) Vn 5) Mcntrer cpe [/ est deeroissante que V est croissante. et 6) Montrer que,pour tout n € I/V, on a : Un -- Vn1 l. En déduireque (Ur, -Vn) = IIn -Yn. tzl 7) Enutilisant les relations[1] et [2], montrer que,pour tout n € /JV,on a : (Jn+r -Vn+r lltU"-V). En deduireque,pourtout n € //V,on a : Un - Vn= (;)". 8) Montrer que les deuxsuitesIl etV sont convergentes la mêmelimite I qu-oncalculera. vers &o#e ciâûæ
  5. 5. n _- a fuebgit ùegpntf;a^ n" I Classe.:4"-" Sc exp Date : 08/12 / 2010 Prafs : Mme Turki et Mrs Hamzaet Meddeb ExæcÎce nol : (5pts) Sur la figurecidessousest tracéela courbereprésentative dunefonction Cy dérivable sur par dérivée f . [$,,+f [. On désigne / la fonction de On saitque : - Laxedes abscisses uneasymptote Ç au voisinage +æ. est à de - La courbeÇ admetunetangente parallèle Iaxedes abscisses.au à pointA. - La tangente Csau pointB passeparA. à 1) A partirdu graphique des renseignements et fournis: a/ Dêterminer (x), f(l) et f(2) ,liml b/ Déterminer signede f (x) suivantles valeurs x. le de 2) Soitg la fonctiohdéfiniesur l0 , +*[ par: g(x) = + . f(x) a/ Calculer lim e(x ) , 1im g(x , g(1")et g(2). : les de g b/ Etudier variations la fonction sur 10,+co[. 3) Soit h la fonctiondéfinie 10,+æ[ par: h(x) = / x /lj sur " f a/ Calculer: ntl ,tT. et,l j g/t(x ) b/ Çalculer /,l-l- t al l. -***_-l
  6. 6. ExercÎçe, no2 : (7Pæ) complexe que lal=Z Soit a un nombre tel complexes dansIensemble de nombres c : léquation 1) Résoudre z2 +2iz -l-uz =0 2| Leplancomplexe rapporté un repèreorthonormé est à direct(O,i,i) .s soientA, M etN lespoints daffixes respectives -i - a et -i + d 2i, Iaffixe point/ milieu lUtt I et calculer distance du ae la MN o/Déterminer déterminera centreet le b/ ÊndéduirequeM et N appartiennent un cercle€ donton à le raYon. complexe, montrer suivant léquivalence : 3) a/soit ,t un nombre z.t -z u : k (zN -z u) si et seulement (zk -ta:li si b/ En déduire que : ( M, N et,4 sontalignés si et seulement ( a est un imaginaire ) si ) Déterminerdansceæslesvaleurspossib|esdea 4) Danscettequestion, suppose on que les pointsM, N etl ne sontpas alignés AMN que o est le centrede gravitédu triangle a/ Montrer AMNsoit isocèle sommet bl Dêtermrner valeurs a pourque le triangle les de de princiPallExæci€e n"3 : (8Pts) L 1) a/Vérifierque,pourtoutx ) 0, on a " l7q - x -- {11+t+x b/ Endéduire pourtoutx > 0, lm que, - x ) 0 =;(.F .l -t 2) on considère fonction définie [0, +*[ par. f(r ) ta f sur ) a/ Calculer (x ,lim/ ) -f b/ Montrer / estdérivable [0, +æ[et quef (x) = J x!*)t que sur z+ l c/ Etablir tableau variation f et déterminer( [0, +æ;;. le de de f 3) On pose: g{x) = f (x) - x, x E [0, +oo[ c/ Etudier ses de variation g le de unique et que a b/ Montrer |équationg(x): 0, admetdans[0 , +æ1uneso|ution que : 0,3< a 1O,4. .rt tat !* -f - -r -
  7. 7. =o4) Soit la suiteU définiesur I/Vpar : { t o lU,u =f (U,), n e N L al Montrerpar récurrence que,pour tout n € I/V, 0 S Iln -2 b/ Calculer et vérifierqueUr> a . U, que Uz 1d. Quepeut-on c/ Sanscalculer , montrer U, déduire la monotonie U ? de de pourtoutr 20, lf{el =; .5) al Montrerque, En déduire, utilisant en Iinégalité accroissements que : des finis, I u,*,-alsll u,-al, Pour n € //v. tout b/ Endéduire que: lu,-ol=r*l, pourtoutn € /N. z) c/ Montrer alors que la suite U est convergenteet déterminer sa limite. &oræte c/tartæ
  8. 8. Série dexercices ( 4 tu Sc æp ) FortcrTofis *sctpaoqa& 1) So i t / t a f o n c t i o n d é f i n ie su r ]l,**[ (r) *+P. p a r :f( x) = t " ,*& , :ii;::::;;::ï::ïiJ::î::::l ** b/ Montrer précisera. que/ réarise une biject,* j" r z--ùv. rrsl1 , +æ1sur un ,_. J +æl .._ **,,,#, . % .inleweruq rir$$ on désisn par e f-t h fonctionréciproque de f . c/M ontrergue:f -r(x )=r * # Ç*,; i: :" p o u r t o ux F I , , t {x --"U:, ,rr"ffi, , . , , , , ,,., , " , , 2) So i tp (r)= I - ;, /; r. I,f r -r -.6 - , x eJt, . --_r , +æ[. -,{|""ir*, a/ Etudier fes variations "i de g . $Fii:t+;.,. b/ illontrerquil existe un c/ itlontrer (a) =]*.:1""= t".ï:"-,fls Jl 2[ tefquew@)= s. guef Exgclce no2 : Soit/ fa :tl o o":f(x):-+ o=f I -t a n x r_ +L (t_tunr)t de variation de f . f-, la fonctionréciproque de f . 2) a/ Catcufer n(r), .f f "(&) j*t- ( t) b/, ^, --. que.f-t L Montrer t v 3 - l / "n estjer,u"J,"rr, /; cafcr r ler ( f- .) ( t) . c// M o n t r a r^,,^:. r, e Àliontrer que Vr e-/, ( _,(x)= f -rËr __]-Fon.rionr@ Page1 sur 2
  9. 9. Lycée TahæSfarMahdia Prof : MeddebTarakExsclce no3 : définie [0,+æ[ par f(r)=l+]#F A- Soit/ lafonction sur : de 1) Etudier variations f. les que 2 a/ Montrer léquation :/(r) : r, admet unique dans[0 , +æ[ unesolution a. 3) On désigne f -la fonction par réciproque f . de que b/ Montrer : f (x)=# pour x e J. tout de c/ Etablirle tableaude variations /-1. 3) 4,) zxJxt @)***ryFonctionsréciproques[4 a-" Scexp ) Page2 sur 2
  10. 10. F _ LycéesTaharSfar el Ibn Sina Mahdia Eeboir ùennt$Ie no2 Classe ,l*" Scexp : Date : 05/02 / 2010 Profs : Mæ Turki et MT Baccar. Hamzs etMeddebExscbe n"I : {6fi} (*_F*, u;- | x s i r € lo , 1 [ définie 10,+*[ par : /(r) = { Soitf la fonction sur t L1F-r sf r € [1,+oo1 par dansun repèreorthonorm (o,i,î ).On désigne € sa courbereprésentative ê 1) a/ Vérifierque f est continueen 1. la de en graphiquement b/ Etudier dérivabilité f à droiteet à gauclre 1. Interpréter les résultatsobtenus. 2) a/ Etudier variations /. les de b/ Montrer que la droiteD:y - r est une asymptole à€ c/ Préciser position E parrapport D sur [1, **[. la de à dl Traw D et€. g a/ Montrerque,f est une bijection 10,+-[ surIR. de b/ An notef-l la fonctionréciproque T. de Montrerquet-1 est dérivable 0. en t c/ Ondésignepar € la courbereprésentative f-l dansle repère{o,î,1). de Tracer €. quê, toutre l-æ,01,f-(x) = d/ Montrer pour ;;fuoExæcîce no2 : (4Fs) Soitf la fonctifi définie [0,1] par : f (x) -]rorl sur r, 1) Dresser tableaude variations f. le de 2) al Montrerque/ est une biiection [0,1] .ut de [0, ] l. bl On désignepart-l la fonctionréciproque f. de quef-1 est dérivable Montrer sur [0, ] [. i) " (f-)(ï) c/catcuterf-( d/ Montrer pour r e [0, â [, t f-)(x)= que, tout #
  11. 11. .h._Exqclce no3 : (4 pts) direct(O,ï,,y,Ê Lespaceest rapportéà un repèreorthonormé ).On considère points les â(3,0,0) , B(0,1,1), C(-1 ,L,2) et D(3,L,I). 1l al Calculer composantes vecteurû. les du =TE nfr. b/ Dêduire Iairedu triangle ABC. c/ Montrerque les pointsA, B, C et D sont non coplanaires. 2 o/ On noteV le volumedu tétraèdre âBCD.Montrerque : 7 = â . - orthogonal D sur le plan(CBC).Calculer b/ Soit H le projeté de DH. 3) a/ Calculer distance pointD à la droite(âC). la du b/ On note H le projetéorthogonal D sur la droite(âC), montrerque le triangleDHH de est rectangle en déduireHH. etExæclce no4 : (6F9 direct(O,i,;, Ë ). Lespaceest rapportéà un repèreorthonorméOn considère points les A(-3,0 ,0) , B(0 , 3 , 0) et C(-3 ,3 , -3). 1) o/ Montrer que les pointsl4,B et C déterminent planP. un b/ Montrerquuneéquationcartésienne P est : r * y - z * 3 = O. de c/ Soit le pointH(-2,2,-L), montrer que H est le centredu cercle€csrennscrit au triangle ABC. 2) Soit lensemble déquation. + yz + zz - 2x + 2y * Bz- 15 = 0. 5 x2 c/ Montrerque S est une sphèredont-onpréciserale centreI er la rayonR. b/ Vênfiæque,4,I et C appartiennent S. à c/ Vêrifierque (IH) est Iaxede E. d/ Dêterminer lintersection S et P. de 3) Soitle point D(L,0,0). al Vêrlfierque D est à Iintérieur S, et que les pointsA, B, C et D sont non coplanaires. de b/ SoitQ le Plandéquation * 1 = 0, :r Montrer que 0 est le plan médiateurdu segment[^4D1. c/ Déterminer centreO et le rayonR de la sphèreS circonscrite tétraèdreABCD. le au Sootaeûaræz
  12. 12. Lycées Tahar Sfar Mahdia tr.vçuu. - +em e l d ^Ë,,^_^. , >Ce t p D qte:12 /02 /2011 Profs : M* Turki et M, Hamza et Meddeb Exqcice not : (Zpts) | . So i t 9 | a f o n c t i o n d é fi n i e su r1 R p a r:9@) = I3+ 3xI4. s 1) Etudierle sens de variatio de ç. n 2) Carcurer çeL), en déduire,suivantres vareurs de r_,fe signede ç@). ff. On considèrela fonction / définiesur IR par: f (x) =t1,-2. . x2+ l on désignepar Tsacourbe représentative dans un repère:orthonorm(o, é î,i). 1) Montrer que, pour tout réelr, on a : f,(x) = ,x.?(x)= --l (x2+112 2) Etabtirle tableaude variations l de /. 3) a/ Montrerque ra droitea:y -x est une asymptote 3 .de b/ Etudierla position de Spar rapport à A. . 4) Tracer 3et A ( on précisera lintersection ?avecl,axe de 5) Soit g fa restriction des abscisses). de / à f,intervalfe *oo[ . [0, a/ Montrer g estunebijection que geto,*;i surun b/ on désigne s-r tafonctionrre"iËloqr",i" intervafre/ gu,onprécisera. par n. Tracer lacourbe ? représentativeg-1 dans même de le repère î,ï). (O,Exqcice no2 : (Spts) Soit fafonction / définie fo,1f par f (x) : tanz(x). : "rI L 2 11) a/ Montrer que,fréafise bijection une de fo,firrr. [0,**[. b/ Ondésigne y-ttafonction par ,e"iproql"ol, Cafculer: f-r(o), /-1(r) et _llT- f-r(x).2)Mont rerqUe / - 1 e s t d é r i v a b | e s ur ]o ,+ *[e tq u e ( f- ,( x) = #3) Onpose, pourï e -- |*lY ]0,+æ[ s(x) = f-t1yz1+ , f_l(#) a/ Catcuteî s(1). b/ Montrer g est dérivable gue sur ]0,+*[ et queg,(x) = 0. c/ Endéduire gue,pourtoutr e 10,+æ[, g(ù =î []
  13. 13. ExqcÎce no3 : (8pts) par représenté la figurecidessous. Soitle cubeOABCDEFGLespace rapporté repère est au orthonormé (o direct ,oÂ,oe,ffi).Soit a un réelsuPérieur égal à 1. ouL, M et K sont les PointsdéfinisPar:ofr = o6Â, oi = aoe et Ert= oEF. F 1l a/ Déterminer composantes vecteur - Drt n oE - tes du û b/ Endéduire, fonction s, lairedu triangle en de DMI c/ Calculer, fonction a, le votume tétraèdre en de du DMLK. d/ Calculer volumedu tétraèdre le ACDF- I 2) a/ Démontrer la droite(oI0 est perpendiculaire plan(DMD. que au bl La droite(OK)coupele plan(DML)en H. que Démontrer oû.oR- ort.oÊ. onnote.l le réeltelqueOÊ = Oft. c/ Lesvecteurs etDPétantcolinéaires, oÊ =+. Montrerque.l. d.+z , a 2 -a + 2 d/ Dêmontrer Hft = G - DOR, déduire.que = 7;6 que en HK - e/ Retrouver levolume tétraèd DMLK ators du re Sootnee/anæ Ia Ë2ï tJ
  14. 14. iycée Tahar Siar iie fufahiiia ilassès: 4èu Sc i.zets Date:04/ 03/ 2009 Durée:2 heures Discipline:Mathéma ues tiq Dîro& 08 arfirvîgt f,â Proposé par: TArk Na1ou4Hamza RachecietMericieb TarekExercicen" I: (4s4s).* Ctwrye questioncomporte trois affirmations a, b et c. On indiEtera poùr elncune delles si elle wate oujausse.Aucune justtJtcalun nesi demuraiee. Soit/une fonctionimpairedéfinieet dérivable [-5,5], on désigne sur parFune primitive def A parfsafonction dérivæ sur cet intervalle. Sur les graphiques ci-apres,le repere(O,i,i) est orthogonal. La courbe (C) estla représentation graphiquede la fonctionl La droite (OA) estla tangenteen û à iC). Â(-2,8j, B(*2,t5, ûi et Ci2^11,ûi. .Bei C sonide-.ix poinlsde iCi. f.a. (C) est la courbereprésentative F . de d | t.ri. j ^t/^ (ur=-2.^ l.c. lfest négative nulle sur [-1, 1J. ou 2. Soit ,Sl"airg orynméeen unité dairg de ia portion du plandélimitée (C),1a:re(O,i) et les par droitesdéquations: = -2 st r = 0. x 2-a.4<.5<12. z.u. tzut<xW=0. 2.c. FQ)-^F(O)< 0. 3. parmi les courbes ) et (Cz) tune représente/ et Iautrereprésente Surla courbe(Cz),le (Cr F. pointD a pour abscisse 1JT et b point^Ea pour abscisse . ZJT 3.a, Uneéquationde(Cr)est:y--rc2-2. !. 3.b. (C2) est la courbereprésentative deF. ^, ta r... j o""î{}*--12 Page1 sur 3
  15. 15. Exercice n" 2: (s p*l) A- Soit/la fonction définie io, ,u, $lnar:f(x)= sinx. l) Montrerque/realise bfeaionOe une [0, â] *, tq rl. Ondésigne -rlafonction pat.f réciproquede/ r(l) erl-r(O). 2) Calcuter"f que,f*r estdérivable [0, t [ * gue(y-r;,(r) = _! 3) Montrer sur .!t J | -xz" B- onpose: I:-#, 1= t=[ltT_x, æ etK=f] _=-r__-ar J0- "J1-x2 . t o rf lp l) alMontrerque: I=1. ô/ CalculerK. 2) al Montrer que:J = I - ï -L* * o ifl]fr bl Enutilisant intégration parties, une par montrer qu. Jj #* - - l. | -xt "l c/En déduire valeurdel la Exercice n" 3i çs,sp*1 A- Soit la foncrion/définie zur.IRpar:/(x) = ##, on désigne parK sacourbereprésentative dansun repèreorthonormé(o,7,ï) untté: zcm. l) Etudier lesvariationsde/et dresser tableau son de variations. 2) alBaireune équation la tangent T à€ de e aupointd,abscisse 0. , : ô/Etudier ra position de ra courbepar rapport à ra tangente?r 3) Tracer Tet6 B- Soit.Flaprimitivede/sur [0, +*[ teileque F(0) = 0. l) Etudierle sens variæionde.Fzur +*1. de [0, 2) al Montrerque,pour tout r ) 0, on a. ? =f@) =,. blEndeduire que,pour tout x ) 0, on <r. ^, !*<F(x) c/ Calculeralorsla limite de.Florsque tendvers+æ. x 3) allvlantrer queléquation: F(x) = 2 admetdans +æ[ [0, solutionuniquea. à / M o n tre rq u e : <3 . n 2 <a 4) On désigne il,atrede la par irarriedu planlimitéepar la courbeCr dans repere(O,i,j) le a"U fonction Iore desabscisses lesdroitesd,equatiors: et -d = .tr 0 et r = r. Montrerqu., <r(<2. f Page2 sur 3
  16. 16. Exercicen" 4: (sFs) Dans wbeABCDEFGH, désigne un on respectifs segments et par.Iet,Ilesmilieux des [rltrJ IGH}K estle centre la faceBCGF. calculs de Les effectués le repère seront dans orthonormé / --+ --+ --+ v,AB,AD,AE). Etablir queDIFJ estenfait un DIFJ estun parallélo1amme. l) a/ Démontrerque le quadrilatère losange montrerque laire de ce losange égale+ et est ( z ô/ Vérifierquele vecteur?l normal plan(DIJ). En déduire f I estun vecteur au une [-r j équationcartésienne ce Plan. de cl Déterminerla distaoce point E au plan(DIJ),puis calculerle volumede la pyramide du EDIFJ On rappelleque le volume Zdune pyramidede hauteurh et debasecorrespondanteB est donnee la formule: fl = + xB xh. par 2) Soit A la droitepassant E et orthogonale plan (DIJ). pæ au paramétrique  et montrerqueK e A. a/ Donnerune représentation de ô/ Déterrniner coordonnées point dirfersectionI de L et (DIJ). les du clYénfrerque L estle centrede gravitédu triangleBEG. dequation + yz + z2- 2x - y * z +f = O. 3) Soit Iensemble,S :.x2 dont on precisera centre,! lr ruyoo. alYénfrerque,Sestune sphère le relativeà S et au plan (DIJ) peut-ot déduire blVénfrer que.t e ,S.Quellepropriétégeométrique de ce dernierrésultæ. Page3 sur 3
  17. 17. L),céesTaharSfar et Ibn Sina Mahdia funboi, g -: nô2 ùn Classe 4"^ Sc exp : Date:03 l2UA 103 Profs: Mme Turki et Mrs Baccar,Hamzaet MeddebExercicenol : epts) ()nerëponse exacterapporte0,5poinl, unerëponse enlève0,25point, labsencede réponse tnexacte estcongtré point, Si le total estnégatif,alors la noteseraramenëe zéro 0 à 1) pour chacune des propositionssuivantes,répondre par vrai ou faux sans iustification. Pr : On donne les fonctionsF et G définiessur IR par : 2 x*I 4x2+6x+9 F(x) = e I u txr = - xz+ x( + 2 x2 +x+2 dunemêrnefonction. F el G sontdeux primitives Pr: fi"lx ax = f - I] *t a*. Pg: Soitf unefonction sur continue [0 ,1]. lavaleurmoyenne sur[0,1]estégale 1 $i f( f (ù -L)dt - 0. alors, de/ à 2) pourchacune questions des suivantes, seule une proposées parmilesréponses est Indiquer lettrequi correspond la bonneréponse. corregte. la à soit ABCD EFGH cube,I el J sontles milieux un des respectifs arêtes[Er] et [FC],L est le pointdéfini par: ALZiæ. On considère repère(A ,AÊ,m , AË). le SoitP le plandéquation4x - 4y * 3z- 3 = 0 : Qr : Le plan P est le Plan: al (GLE) b/ (LEt) c/ ( GFA) Qz : Le planparallèle P passant / coupela droite(FB) à par en M de coordonnées : o t (r , o, l) blU, o, i ) ,t(1 ,0 ,:) paramétrique la droite(Gt) est: Qs : Unê représentation de ( x= I*a " , z =4* 4a " {; : i : î , , { ; = =o *T o cl lv- - L *a z= 1*4a l "r=o
  18. 18. Exerciceno2 : gpts) 2 Lespace estrapporté un repère à orthonor (o ,î,i ,Ê). nêOn co n si dèrel es poi nts /( 1",-L,1 ) e t B ( - 1 , 2 , - Z ) e t le p la n P d é q u a t io n : r * y* z*2 = 0 . 1) Montrer que la droite(,48)est parallèle p. à 2) soit a un réel,on désigne so Iensemble points de l. tels que : par des M . x2 + y2 + zz + 2x - Zay* Zaz+ az + a = 0. a/ Montrer que, pourtout réela,.9o une sphèrede centreI|?L , a , -a) et de rayon est Ï;ffiF; e@8, c/ Déterminer pourqueSosoittangente p. a à 3) SoitQ le plandéquationy - z - 4 = 0. I que ai Vérifier Q est perpendiculaireà (AB). b/ Déterminer pourque so coupeQ suivantun cercle7oerayon rÆ . a c/ Déterminer dansce cas les coordonnées centrede z . duExercicenoî : gpts), Soit (/n) la suitedéfiniesur IN par: I, = Sila xnsin|x d.x. 1) a/ Montrer que,pourtoutn € 11V,/r, à 0. b/ Montrer que la suite(I,r) est décroissante. c/ En déduiregue (/rr)est convergente. 2) a/ Montrergue,pourtoutn e IN, In = J:/, xn d"x. b/ Détermineralorsla limite la suite(In). de 3) al Calculer . Io b/ Enutilisant intégration parties, une par que : t, =* montrer c/ En effectuant deuxintégrations parties, par que : montrer pour n E rN, =ry ((;)". - (n+ rll") rout rn+z ù d/ on a représenté ci-contreles courbesreprésentatives k dansun repère orthonormé, fonctions et g définies des f par. f (x) = x2sin3x et g(x) = sin3x. , Calculer Iaire la partie de grise.
  19. 19. r "ff Iahar Sfar - Mahdia Devoir de Mathémati ues Année Scolaire 2go7 - 2008 Niveau : 4tu.Sc .Exp Propæé : par: Ivl*Î-rrki , lvl" Hamza ercice : n"1( 3 points ) chacunedes questionszuivantesrépondre pa.rwai ou faux san^s justification nPour c Une réponsejuste rapporte 0.5 point r Une absence reponse rapporte pas de poiat dg ne . une réponsefausseest saoctionnépaf -0:15 Si [e totale d,esnotesattribué ar:x questionsde Iexereice néeatiye est , , la note est raroen-é zéro à .., ,,,,.,:,::: Soit la fonction déffnls sur R. par /(r) : à + 3c + l Poul tout r- e lR . _,j,! ç 1A rJ -r. ? vateur moyenne r /| sur r[0,2] est . t La t de - .. - ^ ] t 16 ---: -- - ^ ::..., **:"t:-.:..",, ,.-,."* f z. l- t("1* estIaired.un rectangle longueur de Ë .t de laiEèumz ,., Jo- ,.,,o,.,:,,.i*-r,- ... r1.a,rr.:ç;,,.*.;"a.g.*,,i*ft::if,ii.i{,,ffr;..,,.*,..,.1 3. II queF(0) : T lrimttive F de / sur [0,2]telle ,- ! .;,. i.,r..-r-],. n9 ",<iste sur 6 4. I existeune primitiveF de / sur [0,2] décroissante [û,1] , b. Ir existene primiriræ F de / sur [0,z] teltequeF(0) - F(z) > 0 queF(r) ( 0 pour tout c € [02] V 6. Il existe uneprimitiveF de / sur [0,2] telle Exercice TL-2 7 Poirrts ) ( g définies lRpar sur on considèJ;;; forictionsr eb g3 ,., , J(t): Tæ et e(r): æ (lnitg glaphiqu 3 cm) e Le plar érantrapporté ua repêr (O,1 ,?) ntUoormé et de I dans ce plan à ê de i Ë:;ËL=tàptâ"ttoti"o On designe parCtet par C, 1 . a ) Et u d i e rIæl i g ri te se n *co e te n_oodeJ.Inter pr éter cesr esultats de / b) Etablir Ie tableau de variation c) Tracer C1 pr d) On poseI = Ï@)dt Jo Utillserlamét}rodedesrectarrBl6,enp.artagearrtl,intervalle[0,llencinqinter- donnerun encadlementde [ valles damplitude02 pour que f = in(tÆ) Dans Ia suite on admet
  20. 20. 2 . a) E-tablirle tableau des ra,riationsde g b) TFacerCo f On poseJ : I g@)h. Calculer I + J . En d&uire. J. JO ?Ê4. Calcutrer.@@w1Jaiæ domainedu plan limites,gaa.r courbes et cn et les droiÈ*s du les cy déquationsî* -7 et z = 1 &rnrcice,ngS(spoiurs) 1r rn un.po€e r -- l .., ..,:- Jo *d 3 p o *r o u r n € N L + a + t, , .,1 . bfonterque,$-< < .ro r, Monher qru".&t h* 11.: ! .1. i :a q!ÉJrsrÉt ê (1") est décroissaate3. a) lvfonf--ær 1T i b) Ivloutlnrqrrc;;--:-:il < l, ç - .Bn déduire lim Io .+ é!.n.|.L) n+ I " : n-*eo i. . " a) A laidedbeiotéSraËorr;êr partie, nontrer que pour tout n € N* on a . T I f l+2t alr r .,x n* J i | n * L J s ( 1 + o + * ) 2 * -7--tt| - n :T - = .,. . ; b) t;n d€durrÊ$leDotir touû n € N. on a t, 1q j ,t+31;];,(3(r+t).r,<t+ # e) Ea déduire;euela suite (3n.I.) est coavergenteet donaer sa limite. .] :.i. â ,,F-,>cercice:rl4.( 5 points )Lespaæétantrapporté un repèreorthonorrné à direct (O,?, 1 ,,T).On doa-ue points les B(0,2"0)et -ÊJ1,0,0); C(0,0,3)1. a) JustiûerquelespointsA ; B et Cne sontpasalignés /6 : .b) Montrerryo ? | s f est orthogonale ræcieurs "tfr aux Æ 2/ c) Donneruneéquationcartésienne plan(ABC).Vériûerque t É (ABC) du dont uneéquationcartésienne :2. Soit S la sphère est r2 +y2 +2 2+ aî+ W + cz+ d:A "ek,C a) Tbouvera, b et c pour que S soit circonscriteau-tébraèdre OABC. b) Montrer queS est la sphèrede centrer{*,t, jt * a" ,rvoo $. au3. Donner le centreet le rayon du cercle circopgÔrit triangle .4,8C.
  21. 21. LycéeTaharSfar Mahdia Prof : MEDDEB Tarak g@MWWTflEWMUfl @eq9rea co@pleseaExqrcîce nol : 1) Soit0 un réelde Iintervalle , n[. l0 r :i l t Li rL!ll,-. ::..r R é s o u d rea n sIe n se mb lC l équation: - 2i.2 - 1- e2ig d e z2 :0. . . :..], .:: 2) Le plancomplexe rapporté un repèreorthonormé û,û);: On considère est à (O, les 1"è! . a points M etN daffixes A,, respective z4 = -1 + i, zu = i * eiT et-zp=i-etu. s. , a/ Montrerque les droites(AM) et (AN ) son perpendiculaires. . que les pointsM et N sontsymétriques rapport un pointfixe 1 que b/ Montrer par a lon précisera. : que M et N appartiennent un cercle7 c/ Montrer à queIonprécisera. *. 3) a/ Déterminer, fonction 0,laire/4 (0) Outriangte en de AMN. =,:: b/ Déien-niner valeurde É poui: la iâqueiie (û) est maximale. ,,/ Piaceicjans cas ce les point A,M etN sur la figur:e.Exercïce nu2 : 1) a/ Ecriresousla formealgébrique + t11) (t . Gffiriràtion : (E) :L22 4z r 3 - iV5 = 0. b/ Résoudfe,"od.9,,,,,.!j - c/ Mettre|e,,.!Jo onSî$tgl sousla formeexponentielle. 2) Le plan.compi é$t rapporté un repèreorthonormê à (o,û.,û). On considère les l- iJj _L ^ 3+ iJi points et C datfixes A respectives =ïa et P: z a/ Montrer que OACest un triangle rectangle. b/ Délèrminer Iaffixe pointB tel que OABCest un rectangle. du 3) S=Oitun réelde lintervalle z[. On considère I 10, léquation. (E): z2 - 2z - 2isinïeio = o. q .Z = a / M o n tre r u e i si n 0 e t0 e2i0 1. - b/ Résoudre (Ëo).On désignera z la solution dansC léquation par ayantune partie imaginaire négative parz " laulresolution. et g c / D éte rmi n e rp o u rq u eIo naitz : d etz" = F. gçNombrescomplexes[Révision){. ème sxp Page1-sur 2
  22. 22. LycéeToharSfar Mahdia Prof : MEDDEBTarok Exercice __ n"3 : ^... . Soitm un nombrecomplexe. . . o n p o Se f(z)=z3 -4 mz2 +(5 m2 +4) z_2m v_B*....] . t.. oet^erminer Iensembledesnombres E complexes pourquelonait/(0) = 0 m ]J 2) a/ Calculer(2m). f , , f(" )=(z-2 m)(2 2 *az*b) . ,,,,* c/ RésoudredansC léquationf (z) = g. u,.*.i , Dansla suitede llexercice, supposequem Ç. on E. :+4$1u,.,, 3) Le plancomplexe rapporté un repère est à orthonormê (O,û,ù). On consideretes p o i nts Mte t M2 d a ffi xe s M, respectives = Zm , z1= m lZi el,,r )= m - Zi. z. - m-)i O n p o sez=" " . m+2 i a/ Montrer queI z est imaginaire si et seulement lml = 2 pur si . - l r b/ Onsupposedansla suite m = zeiï où I estun reàioe||1,"1 que " )2 J que Montrer le quadrilatèr e OM1tt4 estun l.""t.ng|". M, c/ DéterminerpourqueOMTMM2 uncarré. 0 soit $ Exercïce n"4 : jr: è""=ii1i -l; 1) a/ Ecrire sousla formeexponentielle nombre le complexe +i ). ]1(r 2 / b/ Montrerque,pourtoutréélï on a: l= ,, -..,-,.-..-="=- v - -co S l e : et eu - l :2sin " e l -l z ) X oi, tl- ., 2) 2 ) a / Ré so u d re d a n sl é q u a tion : z2- ^12( t*i) z- 1+ r = 0. C ( E) b/ Mettreles solutiôns 1r; sousla formeexponentielle.on pourrautiliser de ( les résultats la première de question ). 1T 82 lz*Ji S)r S;it 9"unréelde lintervalle z[. On considère 10, léquation: n l fi e )rz2e i o z *2 i si n o e i o= 0. -Z a,/Montrer que.e2i0 2i sinTeie: 7 . - b / R é so u d rea n sC l é q u a tion d ( Eù. 4) Le plancomplexe rapporté un repèreorthonormé est à (0,û.,r7).on désigneparM, N e t A l e sp o i n td a ffi xe sspectiveszy:1* eig ,zN= - J.* eil et zs- I. re a/ calculerlzu - 11, g quelest Iensemble pointsM lorsque décritl0 , nll des b/ Montrer que le triangleOMNest rectangle O. en g c/ Déterminer pourque le triangle OMNsoitisocèle. gç Nombrescomplexes(Révision){. ème sxp Page2 sur 2
  23. 23. Lycée Thhar Sfar - Mahdia Année Scolaire zOtL - 2OI.2 Devoir de srrnthèsen"2 ffi Niveau t 4h"Sc.Exp Proposés par: M*ftrki et MIlamza Exerciæ n"l ( 4 potnûe ) Pour chacunedes queotionspo6éec une eeuledes réponsesest er(âcte , Rryopier le numéro de chaquegueotionet indique la réponsechoisie. Aucune jrutification nest demandée. Une réponseexact rapporte 1 point Une réponsefausseou Iabsencede réponsene rapporte ni nenlèrreaucun point .1. On donne Ie tableau de variation dounefonction / définie est continue sur [-5;12] nI, f(r)da :7 b) léquation î(x):0 admet exartementder:x splutionssur [-5; t2] . c) Pour tout c e [-5;8] on a /(r) < 02. Ia courbe ( donnéecidessous est ls repr@ntation graphique dune fonction g définie et dénivablesur R. .La droite (ÂB),tracée sur la graphique, est. la tangente à la courbe ( au point A. .; ; ; ; ; ; ; l | | | | | | tr r tltl l- - L- - r - - J- _l- _1__L Ittr tlt r ttl ttt .t - - r - - - l- - J- - l- - a_- L tlttltl r tttttl + Ê- F- - È- { - - { - - } - - ts r r tlttl ttttttl _- . -_. -_. : :_r,:-:r :!. -:. T -:. r": ;r:.,:-f llliltl ttttttl lrttttt !- I ll I I t. .t. .t. t t t I ll I I I I || I r- t tl I t -f- - I tl I flOn poseg la fonctiondfuivêede g sur R. a) g(0): -t b) s(0): 1 c) 9(0):23. Une seuledestrois courbes ci-après l,areprésentation est graphiqueduneprimitive de
  24. 24. la fonction g sur R.Preciser la quelle. I - - - f- 1- - " !- - r - - r - I ttttl --|-- I - - - r - l r ttl- l - - l _- !_- --r- I ,, l r tl --L- I - - - L- J - - l - - r - - L- tl ttt I r tttl ---tr-il--{--+r-F- I ttttl ! ltttt I tttl I rttl I rttt o | ! i iz - J - - r - -L -, | * - r ttl r ttl - l - - f- r a - --F _ r ttl tttl 4, Soit h la fonction définie sur Ri par : h(r) : f- t g2 la primitirre H de h qui sannuleen L est é+zr-g 2# - 3 r * l s3-3x+2 a) Il(r): b) I/(c): c) .F/(u): 2r 2x ?Æ Exercice n"2 ( 6 poinrs) Soit la fonction / définie sur R. par : f@):* +r {îr12 On dfuigne pu" (f la courbe représentativede / dans un repène (l"ll : llTll (o,?,7)otu""ormé. :2u,). L. a) Calculerles limites de /(r) en *æ et en -æ. b) Soit / la fonction dfuivéede /, montrer que 0 < .f(") <.1 pour tout n € R. c) Etablir le tableau de variation de f sur R. 2. a) Montrer que [e poi4t / (0; 1) est un centre de s]métrie 6s (f . b) Donner léquation de la tangenteT à {y en f. c) Déduireque.I est un point dinflepcion Cr. 6s 3. Soit g la fonction définie,*h par : g(c) : f (r) - r. a) Montrer que léquation g(r) :0 admet de.ns une unique solution a R. et quea e ]1.7;1.8[.i b) Etudier la position de(r et de la droite A déquation y : sL"-*."-4*ftsçerlg-A-.--* -* --È*I f. a) Montrer que t réaliseune bijection de lR, J0;2[. sur b) Soit ( Ia courbe représentativede la fonction /-1réciproque de / ii Tbacer (.dans le mêmerepère(O;7;7) . 6. on pose [" $@) - s)tu. .I: Jo
  25. 25. Correction du de"-oir de Lycée Tahar Sf,ar Synthèse noZ Scolaire $.nnée :2017 -2012 Niteau a 4é^* Sc. Exn Exercicc: nol théorènie V.l et cicce qr"ri des précècl: c re l1 . 7 ; 1 . 8 [ . b ) s o it x e I R o n a / (x )-x ( 0 s ig g (x )< 0 r. b) 2. c) 3. b) 4. c) or 0 - g(cr) on auraalorsg(x) < g(a) et Exercice: no2 comme g est strictementdécroissante IR. sur on aurar > 0, . 1. a) limf(*) = ri- r i ii^ *t = 2 ûn aura si x < cr €1 est au dessusde  r++s r - r + æ Ï fl s l x > c [ €1 est au dessous Â. de 4Df -) # l i m / ( x ) = l i m-r r-+-@ r+ - @ / I + z : *l =0 . i v b) f estdérivable R et on a sur -f (x) >o v x eR . ( x+z) {x2 +z De plus on a pour toutx elR . .,. _: _.. x2+2)2 do ù /( x )* **t. !2 Conclusion: </(x) < I pourtoutx eR.. 0 c) Tableau de variation de f, 5. a) Puisque/est continue et strictement croissantesur R. donc/réalise une bijection de 1R sur{R) c .à. d surJ0;2[ ùe- so(€i. 6. a)I- l"ç$)-x)dï Js"" =[.tr.t-*"*], 2. a) Pour toutxelR.on a -xelR et f,J = 1cr- -r-l - I f= ^ "* a-_"rl - / f(-x)+f{x) = 2 donc 1(0 ; l) est un cenrrede ro. symétrie de€1. O n a p o u rt o u t x e [ 0 ; c t ] f (x )-x ) 0 d o n c I e s t é g a le à ll4 d e I a ire e x p rimé e e n cm 2 b) T:y = 1 équation T à€1enl. de *r* d e la ré g io n d u p la n limit é e p a r le s vz c) PuisqueI est un centrede symétriede€1,|a droites x - 0; x = !,la courbe €letl axedes tangente àÇlenl traverser€JdoncI est un point abscisses. b ) O n n o t e & . la ré g io n d u p la n dinflexion de€1. on a fr. = DtU Dz ou D2= ,Sa(Dl)avec 3, a) g est dérivable sur R et on a g(x) -.f(x)-1 < 0 V relR D1 est la region du plan indiquée dans la questionprécédente. sait que 56 conserveles On-.donc g est confinuç et stictement décroissante sur IR. dgncg réaliseunebijectionde lR surg(lR) mesuresdaires donc a ir e (R) - 2 a ir e (Dr)x4 cm2. = 8 I c mz - vérifiant E x e f c ic e : n o 3 1. a) M(x ; y) eE sig OIP = 1 n
  26. 26. , _-__jr _--JCe qui prouve que E est un de centreO et t --> a)M eQ sie( BCA BS) .SM = 0de rayon l. ""r"1"b) On note F Iensemble pointsM(* ;y) du des sigdet(Ed;F; s#): o,plan vérifiant :y = f/ 1-" ou x € [0 ; 1] sig Me Q ou Q est n plan définipar le point SM ( x ; y) e F sig M(x;y)eE et x et ye[0 ; 1 ] etlesvecte,rrc Bdet BS On remarque lesdeuxvecteurtEd et Bd quesig F est le quart du cercle€ oux et y e[0; l]. ne sontpascolinéaires carc) J6est laire de la région du plan limitée par les _-_*r0.) 2 ---.--(-2droites Jc= 0 , x = 1, laxe desabscisses la et -( r l BClr l^8s l1l= r / 8lcourbedont une équationest y -r/1-r, r"ri z ) +/ l-z) r--"-= Ontrouve Q:x*4y-z -3 = 0.étgrtcar{l -" ) 0 pourtoutx e[0 ; 1]. b) Daprès quiprécède ce Pn8:@C).Dlprès ce qui précède aura on lo= = I-2a î. {x Onaur a6= ( BC) :J.y= 0+ a a e lRz. t ,= { o r { t -*d ,=[- lz = -2+2a ]{ r-" ,)t],=+ estunereprésentationparamétrique Â. de = = ll;E nrdll Ir- Iol-"hn- dx Jo-Jr i -+ c) d(A; A) = -l:f,-- llBTll3. a) Soitne N llÉnzdllJ,*t- Jn= x" (x -ry,[-74r. [ o -2. llu?llO n a po u r to u t xe [0;1] 3 . a ) S f P d o n c S A B C e s t u n t é t ra è d r e . ------+,"t[1] 2o etx-l ( o donc | | AS| -r. ------ii b) 1/(sABc1 lÆ ^ 4c ) - = la-sulte(J,) est décrqissante- 6 * ----)rl b ) On a da p r è s ce qui précède ll ë u b),uire(sAc1= !4ll =^l?o=^leJ,> 0 pour tout n eN donc la suiteest 22décroissante minoré par 0 donc elle est et On sait queconvergente. 1/(SABC) _4. a) On a pour tout x e [0 ; 1] doù d(B ; (,S,,a = 1F. C)0 < 1-x2 ( ldonc C<F7 ( 1 donc ; r)"t0 < x {t - x ( xn pour tout n e N.d o n c 0 <- r ,( [xdx V neN 4. a) f est une sphèrede centre a".uroof . 01 Jo r::b)On a 0 ( /,<-L V neN donc n *l b) On aIA = IB = IC= /S = doncf est $ lim J n = 0 e t l i m I,= L . au circonscrite téfaèdreSABC.n-r+ û n++@ + r- c) d( I;P) = 0.Idoncf fiP= € ou€es tExercice: no4.€t 14 | +r o | +t (2 I un cerclede ravon r = P- r e = ïoABIo In,tCIIl= N, l-4l. -ù 0/ +/ circonscrit au triangle ABC.-+ -}AB A AC + o-donclespoints , B et C Adéterminent plan P dontfrr estun vecteur un doir F: Lr -4y * 4z* d = 0.norrnalEt comnreAcP onawad = 6 doncP:x-21t*22*3=0.
  27. 27. Niltedu Réyi,sioncomotexe r >t- Belkocem Tahar Bac et tec sc /L Tél: 9a 28 2820 lE4-V r ç r ç e n - l t, tÈ:, E. lonconsidèreléquation: z1-(1+i)ehz+ieilo=O ce[0;2n] avec uë, I lflSoit/ et/les sotution E. on pose = t +/, . de U I le la)Déterminermodule un argument U . et de I q = S.Ecrire sous u formecartésienneexponentielle déduire et en costf; lutsoit I crsachant U estréel que lc)Déterminer I t+- 2)Résoudre C léquation . dans E #" Exercice n"2 Soita un réeldel-n;nl On poseu=3cos a-Sisinfl et v = 5cos - 3isin a cr 1)Montrer vz-uz unecon$tânte que est 2)Soit féquation : Zz2+(3cos E q-Sisina )z-Z=0, On notez etz" lessolutiondè (E) a)Sans calculer et t, montrerqr" rrgil; + arg{/,) = n[2n] . t rl: ;7. i i b)Résoudie c téquation et donner solution dans E les ,"r.r.ËintÀ:tlionentieye . .:r 3) Dans.le complexe plan rqpporté un repèreorthonorrqlé, à lbTr;i) .on considère pointsM, et M,, d,affixe les respectives et 2,, z li1- tr Trouver vateurs crpour res les de quers otrlM,t èha)lir,""grerectangte o . ----"o-en ii:-iiiz Exercrce X n3 il,tttl t,...11;:1 ,il::, .- 1)Résoudredans Cl,équation : Zzr-z(g+i);i=Oiri,"i;, .i1.. 2) Résoudre Cléquution-llTlf dans 3)5oitléquation 2iz2+z{r-Si)+3i-1 (E) =0 a)Vérifier 1 estsotution Eet déduir lautreracine que de e b)En déduire solution t,équation r + I )t+(z+ 1 les de 2i( = o, Xr-si)+3i-1 Onconsidère points A(-1) ; nA,1I*:; et It4"11=Il) les É Montrerque AM,M,,est un triangleéquilatéral . 4)On prend pointsM(z)et N(2,) les ,/=z+ i telque alMontrer si r * ets , 0Ê[0 ;Zn]; alors N appartient que à la droite des abscisses . fhr ! b)Montrer z estimaginaire ssi (z+zllz-!iu + 1 ) = g que pur z c)En déduire lensemble points des rur M(z)pc qu ez s o itima g in a ire r . pu
  28. 28. Exerckeno41)a)Résoudre = z2+z+1 0 léquation ,- , .2 .4, queb)vérifier: lessolutions léquation sécrit de E sousforme; zç s 3et Zz= e32)Ondonne léquation : z6+23+1=. E 0a) Résoudre léquation . Eb)Montrer la somme solutions t,équationestégale 0 . que des de E, à 2* + 4r +b)oéduire que o s l _ co sl _ co, 9" = o. alors " 9 dorfredansC léquation : z2-(1+i)erez+iele=0 € [0 ;n] E ou êl)alVérifier et estunesolution E. que deb)En déduire lautreracine E. de2)On pose Zr = elê , lz = iele et z, = 1.1*1.2.a)vérifiereu€ 23=&/@+f,ib)Déterminerla valeurde € pour Quez3soit un réet .3) Dans plancomplexe le rapportéà repère u4 (o;i;i) orthonormé .on considère points N , p et e lesdaffixesrespectives , zz et z3 . zr A{i), e(1I }; pl,ialDéterminer{ M(z)e / lz,l = Ztilf E=i:)onsupposeque 2= liuiÊ, o € [0;n].Déterminersuivantlesvaleurs g laforrnetrigonométrique de de z,2)a)S oM i ÈB . M o n r r eru e(i ;Z D -)= - it q ++ çi ,îi | 1lzr )b) En é d u i r een se m b le=t M(z)ep/z,eR: ) d l F3)a)M É A .Montrer le triangle que AMM estrectangle lvlet déduirè mesure en une deB// soite a li léquation : z3-(i+2eio)22+(1+e2te+2iere)z-i(1+"r,u) E =0 #f "*i)a)Vérifier Queze= i est une solutionde E . b)Résoudre alorsE c) Donner solutions formeexponentielle les sous . ûn désignepar tr4ret Mz daffixesrespectives +3ê et zr= sre-1 zr=i + ,.i,":ntrer OM, LOM2 que lll[g:!:gnstruire lensemble des pointsM1 puislensemble pointsM2lorsque varie. des €
  29. 29. le cerclede centre O et de layon 2Dansla figure (0, d, û) est repère orthonormédirect du plan,e estet I est un point daffixezu(voirfigure) zs1/ Déterminerpar une teôuie gl"pttiqu" le moduieet un argumentdeEn déduire Qve = -1 * iVT zs :2/ a)Placersur la figurele point C daffixezc 1+ tV3 bj Uontrer quele quadrilatère OAË&est-un losangeB/ On se proposede déterminerIensemble E des pointsM daffixe tels quez3 soit un réel zpobitifou nul. a) Vérifier queles points O,4et B appartiennent f ;à b) Prouverque tout point M de la demi-droite[OB) appartientà E 8 .j Soitz un nombreiomplexenon nul,de moduler et dargument = ?!! ; k ê V Montrer que z3 est un réel positif si et seulementi 6 quelon déterminera. Représenter sur la figure. E d) En déduireque E est la réunionde trois demi droites Une absencede répon:e est comptée 0 point justification nest d:nandée.p Si le total est négatif. .a note est rarnenéeà z,ero- Aucune on pose -G;-+iJz:æ z: l.La forme algébriqr-ude Z2æt a)zJi w{6A *&"tù Q 2+ rt+iQ - f) ù 2rt+2iJ2 2. Z2sæit sous la f.rme exponentielle 3t 3t a) 4ed c) 4e7 d) 4e- a, 3. Z secrit sous la f rrne exponontielle .} .,- 5r -3lr. a(Q,eti/ b) 2eiii c) zeE d)2e8 Jr+n .,F,/t sont les cæinus et simrs de n.- e r--={- Z ")+ b)T d)i Exe r cice N"2(6P crats 1 . Calculer (2 - 3i)2 , Résoudredans C le:-uation, (1 - i)" - (2 - i)z * 2i :0 On notera z1 la solrrjon dont ta partie réel est négatiræ m pur fg.)Oo""ur un arggme* de zr.En déduire que zf@e$ imaginaire Le planP étant rapFrté è un repère(O,7?) orthînorf: Soient ; B et C les:ointsdaffxes A ze:2 i zB: -;+ "ri a zc 4. a) Calcuter pou que Ion u ?- " : i zc zs- zA b) Quelle est la ûlrure du triangte ABC ? c) Placerdans le:lan les PointsA , B et C que le quadrilatère ABCD soir un carré- fJ; iffo,r"o l,a.fâr du point D du plan pour -r

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