Problemario Matematicas 4

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  • 1. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemario para el curso Matemáticas I 1. NÚMEROS NATURALES. 1.1. Definición. 1.2. Operaciones. 2. NÚMEROS ENTEROS. 2.1. Definición. 2.2. Orden. 2.3. Operaciones 3. NÚMEROS RACIONALES. 3.1. Definición. 3.2. Orden. 3.3. Expresión decimal. 3.4. Equivalencias. 3.5. Operaciones fundamentales. 3.6. Razones y proporciones. 4. NÚMEROS IRRACIONALES. 4.1. Definición. 5. NÚMEROS REALES. 5.1. Definición. 5.2. Representación geométrica. 5.3. Definición de igualdad y sus propiedades. 6. APLICACIONES. 6.1. Mínimo común múltiplo ( M. C. M.) 6.2. Máximo Común Divisor. (M. C. D.) 6.3. Potencia y radicación. 6.4. Notación científica. 2. LENGUAJE ALGEBRAICO. 2.1. Definición de Álgebra. 2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico). 2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación. 2.4. Término algebraico y sus partes. 2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes. 2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. 2.7. Grado de una expresión algebraica. 2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica. 2.9. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. OPERACIONES ALGEBRAICAS. 3.1. Adición y sustracción de monomios y polinomios con coeficientes, enteros y fraccionarios. 3.2. Introducción y supresión de signos de agrupación. 3.3. Leyes de los exponentes enteros para la multiplicación. 3.4. Multiplicación por polinomios. 3.5. Definición de producto y producto notable. 3.5.1. Cuadrado de un binomio. 3.5.2. Binomios conjugados. 3.5.3. Binomio con un término común. 3.5.4. Cubo de un binomio. 3.5.5. Teorema del binomio. 3.5.6. Binomio por un trinomio cuyo producto es igual a una suma o diferencia de cubos 3.5.7. Cuadrado de un trinomio. Salvador González Sánchez -1-
  • 2. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3.6. Leyes de los exponentes enteros para la división. 3.7. División de polinomios. 3.8. División sintética. 3.9. Factorización. 3.9.1. Factor común. 3.9.2. Diferencia de cuadrados. 3.9.3. Trinomios con término de segundo grado. 3.9.4. Suma y diferencia de cubos. 3.9.5. Por agrupación. 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS. 4.1. Definición y clasificación. 4.2. Propiedades. 4.3. Simplificación. 4.4. Multiplicación de fracciones. 4.5. División de fracciones. 4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas 4.7. Suma y resta de fracciones. 4.8. Simplificación de fracciones complejas. 5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES. 5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios. 5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios. 5.3. Definición de raíz 5.4. Propiedades de los radicales. 5.5. Simplificación de un radical. 5.6. Suma de radicales. 5.7. Multiplicación y división de radicales. 5.8. Racionalización. 6. ECUACIONES. 6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado de número de incógnitas. 6.2. Propiedades de las ecuaciones. 6.3. Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita. 6.5. Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas. 6.6. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica. 6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones de lineales con dos incógnitas. 6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por: 6.9.1. Factorización. 6.9.2. Formula cuadrática. 6.9.3. Completando el trinomio cuadrado perfecto. Objetivo Realizar una recopilación de los problemas propuestos por los libros de texto relativos a cada uno de los subtemas señalados por el programa analítico de la materia de matemáticas. Salvador González Sánchez -2-
  • 3. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre números enteros 1. Di que número debes sumar en cada situación: a) Bajó 3 kilos de peso. b) Su dieta tiene 200 calorías menos. c) La bolsa perdió 153 puntos. d) La temperatura bajó 17º C. e) Retiró $35.50 de sus ahorros. f) Se contrajo 0.15 metros la barra de acero. g) El ritmo cardíaco aumentó 5 latidos por minuto. h) La presión atmosférica subió0.16 atm. i) El resorte se estiró 5 centímetros. j) Este pan lleva 100 gramos menos de levadura. k) Este barco tiene 5 metros más de estribor. l) Creció 1 20 de metro. m) Una pérdida de $320. n) La tela encogió 1 de metro. 4 o) El café subió $0.70 el kilo. p) Un descuento de $9. q) Un aumento de $52. r) Se hundió 4.25 metros. s) La longitud aumentó 10 centímetros. t) Se cortó el cabello 8 centímetros. 3 u) Subió 2 kilos de peso. 4 v) Perdió 2 dientes. Salvador González Sánchez -3-
  • 4. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 2. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. R: 400 y 50 3. Un ejército retrocedió 2300 metros. Después de reagruparse, avanzó 1750 metros. Al día siguiente ganó otros 1875 metros. Calcula la ganancia o pérdida total de ese ejército. 4. La suma de dos números es 3768 y su cociente 11. Hallar los números. R: 3454 y 314 5. Juan gana $8 por hora peinando caballos. Después de trabajar 8 horas tenía $94. ¿Cuánto tenía antes de comenzar a trabajar? 6. El doble de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente es 36. Hallar los números. R: 45 y 5 7. Determina el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 23.5, 37.2 y 39.7 pies. 8. 800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su cociente. Hallar los números. R: 730 y 10 9. Determina el perímetro de un trapezoide cuyos lados miden 43.27, 47.37, 50.21 y 52.93 centímetros. 10. La edad de A es 4 veces la de B y ambas edades suman 45 años. ¿Qué edad tiene cada uno? R: A, 36 años; 9 años. 11. Entre A y B tienen $12,816.00, y B tiene la tercera parte de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno? R: A, $9,612 y B, $3,204 12. Durante cinco días de invierno se registraron las siguientes temperaturas a mediodía: –15ºC, 6ºC, –5ºC y –8ªC. ¿Cuál fue la temperatura promedio de esos cinco días? 13. La bolsa de valores tuvo las siguientes fluctuaciones durante una semana. Ganó 132 puntos, perdió 57 puntos, perdió 86 puntos, ganó 27 puntos y perdió 50 puntos. ¿Cuántos puntos ganó o perdió durante la semana? 14. Un día de invierno, la temperatura en la madrugada era de 8ºC. Durante la mañana subió 12ºC, en la tarde descendió 5ºC y en la noche bajó 3ºC. ¿Qué temperatura había en la noche? 15. Un submarino se encuentra a 210 metros bajo el nivel del mar. Debido a las fuertes corrientes tiene que descender 74 metros. Más tarde decide subir 50 metros. ¿ A qué profundidad se encuentra el submarino? Salvador González Sánchez -4-
  • 5. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 16. María tenía $897. Tuvo que pagar una cuenta de $78.65, una de $53 y una de $8.50. Juan le pagó $101.80 que le debía. ¿Cuánto dinero tiene ahora María? 17. Un avión subió a una altura de 8825 metros. Debido al mal tiempo tuvo que elevarse 1547 metro. Después descendió 1239 metros para continuar su viaje. ¿Qué altura llevaba? 18. Un elevador estaba en el piso 12. Bajó 5 pisos, subió 13 y bajó 2 ¿En que piso se encuentra ahora? 19. Ricardo tiene una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $229. Pagó con la tarjeta $296, $103 y $76. Como había gastado mucho, depositó $130. ¿Qué saldo tiene ahora en la tarjeta de crédito? 20. Un alpinista se encuentra en la cima del Popocatepetl cuya altura es de 5452 metros. Desciende 476 metros. Otro alpinista se encuentra al pie del volcán y asciende 892 metros. ¿Cuál es la diferencia entra las alturas a las que se encuentran los dos alpinistas? 21. La Ciudad de México tiene una altitud de 2303 metros sobre el nivel del mar. Un helicóptero de noticias sobrevuela la ciudad. Sube 193 metros, desciende 24 metros, baja 9 metros y se eleva 38 metros. Después de todos estos movimientos, ¿qué altura tiene sobre el nivel del mar? 22. El área de un rectángulo es igual a 24 centímetros cuadrados. Si se deforma el rectángulo disminuyendo la altura y permaneciendo el área constante, ¿qué le sucede a la base? 23. Divide el número 403 327 884 entre 280 869, 270 327 y 267 814 respectivamente. La solución que encontrarás en los tres casos es un número entero y corresponden al año en el que nació Cristóbal Colón, el año en que descubrió América y el año en que murió, respectivamente. —————————— Dos correos salen de dos ciudades, A y B, distantes entre sí 150 kms. a las 7 a.m., y van uno hacia el otro. El que sale de A va a 8 kms. por hora y el sale de de B va a 7 kms. por hora. ¿A qué hora se encontrarán y a que distancia de A y B? El que sale de A anda 8 kms/h y el de B anda 7 kms/h, luego de una hora se acercan 8+7=15 kms. y como la distancia que separa A de B es de 150 kms., se encontraran al cabo de 150 kms ÷ 15 kms. = 10 horas. Habiendo salido a las 7 a.m., se encontrarán a las 5 p.m. Salvador González Sánchez -5-
  • 6. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I En las 10 horas que se ha estado moviendo el móvil que salió de A ha recorrido 8 kms × 10 horas = 80 kms.; luego, el punto de encuentro dista de A 80 kms. y de B distará 150 kms – 80 kms. =70 kms. Comprobación El que salió de B, en las 10 horas que ha estado andando para encontrar al de A, ha recorrido 10 × 7 kms = 70 kms., que es la distancia del punto de encuentro al punto B. —————————— Dos autos salen de dos ciudades, A y B, situadas a 1400 Kms. de distancia, y van uno hacia el otro. El de A sale a las 6 a.m. a 100 Kms./h. ¿A qué hora se encontrarán y a qué distancia de los puntos A y B? El que sale de A, de 6 a 8 de la mañana recorre 2×100 Kms. = 200 Kms.; luego a las 8 a.m., cuando sale el de B, la distancia que los separa es de 1,400 Kms. - 200 Kms. = 1,200 Kms. A partir de las 8 a.m., en cada hora se acercan 100 Kms. + 50 Kms. = 150 Kms.; luego, para encontrarse, necesitarán 1,200 Kms. ÷ 150 Kms. = 8 horas, a partir de las 8 a.m.; luego se encontrarán a las 4 p.m. El que salió de A ha estado andando desde las 6 a.m. hasta las 4 p.m., o sea 10 horas, a razón de 100 Kms. por hora, para encontrar al otro; luego, ha recorrido 10 × 100 Kms. = 1,000 Kms.; luego, el punto de encuentro E dista 1,000 kms. de A y 1,400-1,000 = 400 Kms. de B. Comprobación De 8 a.m. a 4 p.m., o sea en 8 horas, el que salió de B ha recorrido 8×50 Kms. = 400 Kms., que es la distancia hallada del punto de encuentro al punto B. a) Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 840 Kms. y van al encuentro. El de A va a 50 Kms./h. y el de B a 70 Kms./h. Si salieron a las 6 p.m., ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y de B? R: A la 1 p.m.; a 350 Kms. de A y 490 Kms. de B b) Dos móviles salen de dos puntos A y B que distan 236 Kms. y van al encuentro. Si el de A sale a las 5 a.m. a 9 Kms./h. y el B a las 9 a.m. a 11 Kms./h. ¿a qué hora se encontrarán y a qué distancia de A y B? R: A las 7 p.m.; a 126 Kms. de A y 110 Kms. de B. c) Un auto sale de Sta. Clara hacia La Habana a las 6 a.m. a 30 Kms./h. y otro de la Habana hacia Sta. Clara a las 6½ a.m. a 20 Kms./h. ¿A qué Salvador González Sánchez -6-
  • 7. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I distancia se hallarán a las 9 a.m. sabiendo que entre Sta. Clara y la Habana hay 300 Kms.? R: A 160 Kms. d) A las 6 a.m. sale un auto de A a 60 Kms./h. y va al encuentro de otro que sale de B a 80 Kms./h., a la misma hora. Sabiendo que se encuentran a las 11 a.m., ¿cuál es la distancia entre A y B? R: 700 Kms. —————————— Un hacendado lleva al Banco tres bolsas con dinero. La 1ª y la 2ª juntas tienen $350; la 2ª y la 3ª juntas $300, y la 1ª y la 3ª juntas, $250 ¿Cuánto tiene cada bolsa? 1ª bolsa + 2ª = $ 350 bolsa 2ª bolsa + 3ª = $ 300 bolsa 1ª bolsa + 3ª = $ 250 bolsa Suma: $ 900 La suma $900 contiene dos veces lo de la primera bolsa, más dos veces lo de la segunda, más dos veces lo de la tercera, luego la mitad de la suma $900 ÷ 2 = $450 = 1ª bolsa + 2ª bolsa + 3ª bolsa. Si las tres juntas tienen $450, y la 1ª y la 2ª , $350, la tercera tendrá $450-$350=$100. La segunda tendrá $300 - $100 = $200 La primera tendrá $350- $200 = $150 La primer bolsa contiene $150, la segunda $200 y la tercera $100 Comprobación La 1ª y la 2ª bolsa tendrán $150 + $200 = $350 La 2ª y la 3ª bolsa tendrán $200 + $100 = $300 La 1ª y la 3ª bolsa tendrán $150 + $100 = $250 1) En un colegio hay tres aulas. La 1ª y la 2ª juntas tienen 85 alumnos; la 2ª y la 3ª, 75 alumnos; la 1ª y la 3ª, 80 alumnos ¿Cuántos alumnos hay en cada clase? R: 1ª, 45; 2ª, 40; 3ª, 35 2) La edad de pedro y la de Juan suman 9 años; la de Juan y la de Enrique, 13 años y la de Pedro y la de Enrique, 12 años. Hallar las tres edades. R: Pedro, 4 años; Juan, 5; Enrique, 8 3) Un saco y un pantalón valen 75 bolívares; el pantalón y su chaleco, 51 bolívares y el saco y el chaleco, 66 bolívares ¿cuánto vale cada pieza? R: saco, 45; pantalón 30; chaleco, 21 Salvador González Sánchez -7-
  • 8. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 4) Un hacendado lleva al banco tres bolsas que contienen dinero. El duplo de lo que contiene la 1ª y la 2ª bolsa es 14,000 bolívares; el triplo de lo que contiene la 1ª y la 3ª es 24,000 bolívares y la mitad de lo que contiene la 2ª y la 3ª es 4,500 bolívares ¿Cuánto contiene cada bolsa? R: la 1ª 3,000; la 2ª 4,000; la 3ª 5,000 bolívares. —————————— Un depósito se puede llenar por dos llaves. Una vierte 150 litros en 5 minutos y la otra 180 litros en 9 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito, estando vacío y cerrado el desagüe, si se abren a un tiempo las dos llaves, sabiendo que su capacidad es de 550 litros? La 1ª llave vierte 150 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte 150 ÷ 5 = 30 litros. La 2ª llave vierte 180 litros en 5 minutos; luego, en un minuto vierte 180 ÷ 9 = 20 litros. Las dos llaves juntas vierten en un minuto 30 + 20 = 50 litros. Como la capacidad del depósito es de 550 litros, tardarán en llenarlo 550 ÷ 50 = 11 minutos. Comprobación La 1ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 30 = 330 litros. La 2ª llave, en 11 minutos, vierte 11× 20 = 220 litros. Las dos llaves juntas, en 11 minutos, echarán 330 + 220 = 550 litros, que es la capacidad del depósito. —————————— Un estanque tiene dos llaves, una de las cuales vierte 117 litros en 9 minutos y la otra en 112 litros en 8 minutos, y un desagüe por el que salen 42 litros en 6 minutos. El estanque contenía 500 litros de agua y abriendo las dos llaves y el desagüe al mismo tiempo se acabó de llenar en 48 minutos. ¿Cuál es la capacidad del estanque? La 1ª llave vierte 117 ÷ 9 = 13 litros por minuto. La 2ª llave vierte 112 ÷ 8 = 14 litros por minuto. Las dos llaves juntas vierten 13 + 14 = 27 litros por minuto. Por el desagüe 42 ÷ 6 = 7 litros por minuto Si en un minuto las dos llaves echan 27 litros y salen 7 litros por el desagüe, quedan en el estanque 20 litros en cada minuto; luego, en 48 minutos, que es el tiempo en que acaba de llenarse el estanque, se han quedado 20 × 48 = 960 litros, y como éste tenía ya 500 litros, la capacidad del estanque es 500 + 960 = 1,460 litros. Comprobación Salvador González Sánchez -8-
  • 9. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I La capacidad total es 1460 litros. Quitando los 500 litros que ya había en el estanque, quedan 1460-500=960 litros de capacidad. Estos 960 litros se llenan en 960 ÷ 20 = 48 minutos. A. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su desagüe. ¿En cuánto tiempo se llenará si abrimos al mismo tiempo tres llaves que vierten, la 1ª, 36 litros en 3 minutos; la 2ª, 48 litros en 6 minutos y la 3ª, 15 litros en 3 minutos? R: 12 minutos. B. Un lavabo tiene una llave que vierte 24 litros en 4 minutos y un desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe por el que salen 32 litros en 16 minutos. Si estando vacío el lavabo y abierto el desagüe se abre la llave, ¿en cuánto tiempo se llenará el lavabo si su capacidad es de 84 litros? R: 21 min. C. Si un estanque de 480 litros de capacidad que está lleno se le abre el desagüe, se vacía en 1 hora. Si estando vacío y cerrado el desagüe, se abre su llave de agua, se llena en 40 minutos. ¿en cuánto tiempo se llenará, si estando vacío y abierto el desagüe, se abre la llave? R: 2 h. D. Un tinaco de 1200 litros se llena en 5 horas. ¿Cuántos litros por minuto arroja la llave? R: E. Un estanque se puede llenar por dos llaves, una de las cuales vierte 200 litros en 5 minutos y la otra 150 litros en 6 minutos. El estanque tiene un desagüe por el que salen 8 litros en 4 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque, si estando vacío, se abren al mismo tiempo las dos llaves y el desagüe, sabiendo que su capacidad es de 441 litros? R: 7 min. F. Un estanque tiene tres grifos que vierten: el 1º, 50 litros en 5 minutos; 2º, 91 litros en 7 minutos y el 3º, 108 litros en 12 minutos, y dos desagües por los que salen 40 litros en 5 minutos y 60 litros en 6 minutos, respectivamente. Si estando vacío el estanque y abiertos los desagües, se abren la tres llaves al mismo tiempo, necesita 40 minutos para llenarse. ¿Cuál es su capacidad? R: 560 l. G. Un estanque cuya capacidad es de 53,227 litros tiene dos llaves que vierten una 654 lts. en 3 minutos y la otra 1260 lts. en 4 minutos y dos desagües por los que salen, respectivamente, 95 lts. en 5 minutos y 102 lts. en 6 minutos. Si en el estanque hay ya 45,275 litros de agua y se abren a un tiempo las dos llaves y los desagües, ¿en cuánto tiempo se acabará de llenar? R: 16 min. H. Un depósito tiene tres llaves que vierten: la 1ª, 68 lts en 4 minutos; la 2ª, 108 lts en 6 minutos y la 3ª, 248 lts en 8 minutos y un desagüe por los que salen 55 lts en 5 minutos. Si el desagüe está cerrado y se abren Salvador González Sánchez -9-
  • 10. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I las tres llaves al mismo tiempo, el depósito se llena en 53 minutos. ¿En cuánto tiempo puede vaciarlo el desagüe estando lleno y cerradas las llaves? R: 5 h. 18 min. I. Si estando lleno un depósito se abre un desagüe por el que salen 54 lts en 9 minutos, el depósito, se vacía en 5 horas. Sí estando vacío y abierto el desagüe se abren dos llaves que vierten juntas 21 litros por minuto, ¿en cuánto tiempo se llenará el estanque? R: 2 h. J. Un estanque tiene agua hasta su tercera parte, y si ahora abrieran una llave que echa 119 lts en 7 minutos y un desagüe por el que le salen 280 litros en 8 minutos, el depósito se vaciaría en 53 minutos ¿Cuál es la capacidad del estanque? R: 2,862 lts. K. Si en un estanque que está vacío y cuya capacidad es de 3,600 litros, se abrieran al mismo tiempo tres llaves y un desagüe, el estanque se llenaría en 15 minutos. Por el desagüe salen 240 litros en 4 minutos. Si el estanque tiene 600 litros de agua y está cerrado el desagüe, ¿en cuánto tiempo lo acabarán de llenar las tres llaves? R: 10 min. —————————— Un comerciante compró 30 trajes a $20 pesos cada uno. Vendió 20 trajes a $18 cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder? Costo de los 30 trajes a $20 uno: 30 × 20 = $ 600 Para no perder, es necesario que de la venta saque estos $600 que gastó. De la venta de 20 trajes a $18 uno, sacó: 20 × $ 18 = $360; luego lo que le tiene que sacar de los trajes restantes para no perder es $600 – $360 = $240. Habiendo vendido 20 trajes, le quedan 30 – 20 = 10 trajes Si de estos 10 trajes tiene que sacar $240, cada traje tendrá que venderlo a $240 ÷ 10 = $24 Comprobación Al vender los trajes que le quedaban a $24, obtuvo 10 × 24 = $240, y de los 20 trajes que ya había vendido antes a $18 obtuvo 20 × $18 = $360; luego, en total obtuvo las ventas $240 + $360 = $600, que es el costo; luego, no pierde. —————————— Compré cierto número de bueyes por $5600. Vendí 34 bueyes por $2210, perdiendo en cada uno $5. ¿A cómo hay que vender el resto para que la ganancia total sea de $2130? Salvador González Sánchez - 10 -
  • 11. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Costo de los bueyes: $5600 Para ganar en total $2130 hay que sacar de la venta $5600 + $2130 = $7730 De la primera venta que hice obtuve ya $2210; luego, lo que tengo que sacar de los bueyes que me quedan es $7730 – $2210 = $5520. Ahora vamos a ver cuantos bueyes me quedaron. Precio de venta de un buey: $2210 ÷ 34 = $65. Al vender cada buey a $65, perdí $5 en cada uno; luego, el precio de compra fue de $70 cada buey. Si cada buey me costo $70 y el importe total de la compra fue de $5600, compré $5600 ÷ $70 = 80 bueyes. Como ya se vendieron 34 bueyes, quedan 80 – 34 = 46 bueyes. De estos 46 bueyes que me quedan tengo que obtener $5520, luego cada buey hay que venderlo a $5520 ÷ 46 = $120 Comprobación Vendiendo los 46 bueyes que le quedaban a $120, obtiene 46 × $120 = $5520, y como de la primera venta obtuvo $2210, ha obtenido en total $5520 + $2210 = $7730. Como el costo fue de $5600, la ganancia es $7730 – $5600 = $2130; luego, se cumplen las condiciones del problema. 1) Compré 500 sombreros a $6 uno. Vendí cierto número en $500, a $5 uno. ¿A cómo tengo que vender el resto para no perder? R: $6.25 2) Un librero compró 15 libros a 12 quetzales cada uno. Habiéndose deteriorado algo 9 de ellos, tuvo que venderlos a 8 quetzales cada uno. ¿A cómo tiene que vender los restantes para no perder? R: 18 Quetzales 3) Un comerciante compró 600 sacos de frijoles a $8 cada uno. Por la venta de cierto número de ellos a $6 uno, recibe $540. ¿A cómo tendrá que vender los restantes para ganar el total $330? R: $9 4) Vendí 60 sacos de azúcar por 480 bolívares, ganando 3 en cada uno. ¿Por cuántos sacos estaba integrado un pedido que hice al mismo precio y por el cual pagué 400? R: 80 sacos. 5) Un importador adquiere cierto número de automóviles por $108,000. Vendió una parte por $46,400, a $400 cada uno, perdiendo $100 en cada uno, y otra parte por $36,000, ganando $100 en cada uno. ¿A cómo vendió los restantes si en definitiva tuvo una ganancia de $4,000? R: $740 —————————— Salvador González Sánchez - 11 -
  • 12. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Un capataz contrata a un obrero ofreciéndole $5 cada día que trabaje y $2 por cada día que, a causa de la lluvia, no pueda trabajar. Al cabo de 23 días el obrero recibe $91 ¿Cuántos días trabajó y cuantos no trabajó? Si el obrero hubiera trabajado los 23 días hubiera recibido 23 × $5 = $115. Como solamente ha recibido $91, la diferencia $115 – $91 = $24 proviene de los días que no pudo trabajar. Cada día que no trabaja deja de recibir $5 – $2 = $3, luego no trabajó $24 ÷ $3 = 8 días, y trabajó 23– 8 = 15 días. Comprobación En 15 días que trabajó recibió 15 × $5 = $75 En 8 días que no trabajó recibió 8 × $2 = $16 En total recibió $75 + $16 = $91 1. Se tienen $129 en 36 billetes de $5 y de a $2 ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de $2? R: 19 de $5, 17 de $2 2. Un padre pone 15 problemas a su hijo, ofreciéndole 4 centavos por cada uno que resuelva, pero a condición de que el muchacho perderá 2 centavos por cada uno que no resuelva. Después de trabajar en los 15 problemas quedaron en paz. ¿Cuántos problemas resolvió el muchacho y cuántos no resolvió? R: resolvió 5, no resolvió 10 3. En un ómnibus iban 40 excursionistas. Los hombres pagaban 40 centavos las damas 25 centavos. Los pasajes costaron en total $13.45 ¿Cuántos excursionistas son hombres y cuántos damas? R: 23 hombre y 17 damas. 4. En un teatro las entradas de adulto costaban 9 bolívares y las de niños 3. concurrieron 752 espectadores y se recaudaron 5,472 bolívares ¿Cuántos espectadores eran adultos y cuántos niños? R: 536 adultos y 216 niños. 5. Un comerciante pagó 45,900 sucres por 128 trajes de lana y gabardina. Por cada traje de lana pagó 300 y por cada traje de gabardina pagó 400. ¿Cuántos trajes de clase compró? R: 53 de lana y 75 de gabardina. 6. María abrió una cuenta de cheques con $437.37. Después de un mes tenía depósitos de $125.18, $137.26 y $145.56. Ese mismo mes hizo retiros por $117.11, $183.49 y $122.89. Calcula su saldo final. 7. Escribiendo 3 páginas en una hora y trabajando 8 horas al día, ¿cuántos días se requieren para escribir un libro de 912 páginas? Salvador González Sánchez - 12 -
  • 13. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 8. Si se quiere dividir un número entre 2, el resultado entre 3 y después dividir nuevamente entre 5, ¿entre que número se tiene que dividir para efectuar una sola división y obtener el mismo resultado? 9. la línea ofensiva de un equipo de fútbol americano está formada por dos alas, dos tacleadores y un centro. Si los alas pesan 298 y 287 libras, los tacleadores 310 y 302 libras y el centro 303 libras, calcula el peso promedio de esa línea ofensiva. 10. Un problema de números. Entre estas cifras hay que intercalar signos aritméticos simples (de más, menos, multiplicación, división y paréntesis) para llegar a los resultados indicados. 3 3 3 3 =3 3 3 3 3 =5 3 3 3 3 =7 3 3 3 3 =4 3 3 3 3 =6 3 3 3 3 =8 R: (3+3+3)÷3=3 (3+3)–(3÷3)=5 3+3+(3÷3)=7 (3×3+3)÷3=4 3+3+3–3=6 3×3–(3÷3)=8 Salvador González Sánchez - 13 -
  • 14. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre números racionales 6 a) Si tengo $25 y hago compras por los 5 de esta cantidad, ¿cuánto debo? R: $5 b) Una señora tenía en un recipiente 8 tazas de leche. Utilizó 2⅔ tazas 1 para hacer un pastel y 3 tazas para hacer un flan. ¿Cuántas tazas de 4 leche le quedaron? c) Una persona está a dieta para aumentar de peso. El primer mes subió 3 0.75 kilogramos. El segundo mes bajó ½. El tercer mes aumento 1 4 de kilo y el cuarto mes bajó ⅔ de kilo. ¿Cuántos kilos subió? d) Una persona esta siguiendo una dieta para adelgazar. El primer mes bajó 2¼ kilos, el segundo bajó 1, el tercero subió  de kilo y el cuarto perdió 1 kilos. ¿Cuántos kilos bajó en total? 3 e) Un reloj adelanta 7 de minuto cada hora. ¿Cuánto adelantará en 5 21 51 horas; en medio día; en una semana? R: 7 min.; 7 min.; 1 h. 12 min. 1 1 f) Tengo $86. Si compro 3 libros de $ 8 cada uno y seis objetos de a 7 3 77 $8 cada uno, ¿cuánto me queda? R: $ 8 g) Para hacer un metro de una obra un obrero emplea 6 horas. ¿Cuánto 2 5 10 14 18 108 empleará para hacer 3 metros; 33 metros? R: 88 hs.; 11 hs. 3 3 2 3 h) Compré tres sombreros a $ 5 uno; 6 camisas a $ 4 una. Si doy para 7 19 cobrar un billete de $50, ¿cuánto me devuelven? R: $ 10 2 1 1 54 24 i) Tenía $ 3 , compré 8 plumas fuentes a $ 4 ; 9 libros a $ 4 y luego 3 29 15 15 me pagan $ 16 . ¿cuánto tengo ahora? R: $ 48 Salvador González Sánchez - 14 -
  • 15. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I j) Si de una soga de 40 metros de longitud se cortan tres partes iguales 2 5 de 3 metros de longitud, ¿cuánto falta a lo que queda para tener 5 5 31 8 8 metros? R: 8 metros. 1 3 80 90 k) Compré 16 caballos a $ 5 uno y los vendí a $ 10 uno ¿Cuánto 3 gané? R: $ 161 5 11 l) A$ 10 el saco de naranjas, ¿cuánto pagaré por tres docenas de sacos? 3 39 R: $ 5 3 m) Tenía $40 y gasté 8 . ¿Cuánto me queda? R: $25 2 1 n) Un hombre es dueño de los 5 de una finca y vende 2 de su parte. 1 ¿Qué parte de la finca le queda? R: 5 3 o) Un mechero consume 4 kgs. de aceite por día. ¿Cuánto consumirá en 5 5 6 de día? R: 8 kg. 3 1 2 p) Si un auto anda 60 Kms por hora, ¿cuánto andará en 5 , en 8 , en 11 y 7 1 10 2 7 10 46 en 9 de hora? R: 36; 2 ; 11 ; 3 Kms 7 q) Un obrero realizará una obra por $200 y hace los 20 . ¿Cuánto recibirá? R: $70 r) Un obrero realizará una obra por $300 y ya ha cobrado una cantidad 11 equivalente a los 15 de la obra. ¿Cuánto le falta por cobrar? R: $80 s) ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que 6 queden en él los 7 del contenido? R: 80 litros Salvador González Sánchez - 15 -
  • 16. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 7 t) En un colegio hay 324 alumnos y el número de alumnas es los 18 del total. ¿Cuántos varones hay? R: 198 2 3 u) De una finca de 20 hectáreas, se venden los 5 y se alquilan los 4 del resto. ¿Cuánto queda? R: 3 hectáreas 3 2 v) Me deben los 4 de $88. Si me pagan los 11 de los $88, ¿cuánto me deben? R: $50 2 17 18 3 w) Repartí $ 5 entre varias personas y a cada una tocó $ 25 . ¿Cuántas eran las personas? R: 5 2 3 x) Si en 20 minutos estudio los de una página de un libro, ¿en cuánto tiempo podré estudiar 10 páginas? R: 5 h. y) La distancia entre dos ciudades es de 140 Kms. ¿Cuántas horas debe 3 andar un hombre recorre los 14 de dicha distancia en una hora, para ir 2 4 de una ciudad a otra? R: 3 h. 3 2 z) A $ 11 el kilo de una mercancía, ¿cuántos kilos puedo comprar con 1 35 $80? R: 5 kilos 1 aa) ¿Cuántas varillas de 4 de metro de longitud se pueden sacar de una 5 2 1 varilla de 12 metros de largo? R: 3 2 1 bb) Si tengo $50, ¿a cuantos muchachos podré dar $ 3 por cabeza? R: A 30 3 4 cc) Si un kilogramo de frijoles cuesta los de uno de manteca, ¿con cuántos kilogramos de frijoles podré comprar 15 de manteca? R: Con 20. Salvador González Sánchez - 16 -
  • 17. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre aplicaciones (Razones y proporciones) 1) Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros? 2) Dos números están a razón 3 . Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál 7 es el otro? 3) Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión? 4) Dos obreros trabajan en un fabrica empacando calcetines, pero mientras uno empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas habrá empacado el otro? 5 5) La suma de dos números es 2920 y se encuentra en razón . 3 ¿Cuáles son los números? 6) Dos números se encuentran en razón . Si se sabe que uno es 3 unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números? 7) Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo? 8) Comiendo 90 gramos de cereal, se consumen 360 calorías. ¿Qué cantidad de cereal debe comerse para consumir solamente 80 calorías? 9) Una mapa señala en el borde inferior: escala 1:100,000,000 ¿A cuántos kilómetros equivale una línea de 3 centímetros de largo? 10) Dos ángulos están a razón 6 a 7. Si el menor mide 30º ¿Cuánto mide el otro? 11) En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos están en razón . ¿Cuánto mide cada uno de ellos? 12) En un triángulo isósceles el lado desigual está en razón  a los dos iguales. Si el lado mayor mide 1.8 centímetros. ¿Cuál es perímetro del triángulo? Salvador González Sánchez - 17 -
  • 18. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 13) En 1970 en México el número de kilómetros cuadrados de 1 superificie estaban en razón con el número de habitantes. Si la 25 superficie de México es de 1,972,547 kilómetros cuadrados. ¿Cuántos habitantes había en México en 1970? 14) En la república de Haití, en 1970 la razón entre el número de kilómetros cuadrados de superficie y el numero de habitantes estaba en razón 1 a 175. Si el número de habitantes en ese momento era de 4,856,250. ¿Qué superficie tiene Haití? 15) ¿Qué longitud tiene en un mapa una distancia de 400 kilómetros si el mapa señala: escala 1:19,500,000? 16) La estatura de mi hija cabe 2 veces en la mía, sobrando cierta cantidad de centímetros que está en razón 2 a 3 con la estatura de mi hija: a. ¿En qué razón está la estatura de mi hija en relación con la mía? b. Si mi estatura fuera de 160 metros con las condiciones del problema. ¿Cuál sería la de mi hija? c. La pregunta (b) si mi estatura es de 1.72 metros. 17) Las velocidades máximas de una mariposa y un avestruz están en razón . Si la mariposa, que es la que alcanza menor velocidad puede recorrer 48 kilómetros en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá el avestruz en el mismo tiempo? 18) Se estima que uno de cada 25 bebés hijos de madres que contrajeron rubéola durante el cuarto mes de embarazo sufre alguna anomalía congénita. ¿Qué número de bebés afectados habrá en 25,575 niños, hijos de madres que contrajeron la enfermedad? 19) En 1974 la razón entre las especies de insectos descritos hasta 19 entonces y el total de ellos era . Si entonces se tenía la 60 descripción de 950,000 especies. ¿Cuál era el total de especies de insectos? 20) Al aplicar la vacuna contra la tosferina, la posibilidad de que los niños tengan fiebre como reacción está en razón 1 a 100,000. Si se detectaron 26 niños con fiebre. ¿Cuántos fueron vacunados? Salvador González Sánchez - 18 -
  • 19. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre aplicaciones (mcm) 1) Hallar la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 2, de 5 o de 8 pies de largo. R: 40 pies. 2) ¿Cuál es la menor suma de dinero con que se puede comprar un número exacto de libros de $3, $4 $5 u $8 cada uno y cuántos libros de cada precio podría comprar con esa suma? R: $120; 40 de $3, 30 de $4; 24 de $5 y 15 de $8 3) Para comprar un número exacto de docenas de pelotas de 80 centavos la docena o un número exacto de docenas de lápices a 60 centavos la docena, ¿cuál es la menor cantidad de dinero necesaria? R: $2.40 4) ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de las tres llaves que vierten: la 1ª 12 litros por minuto; la 2ª 18 litros por minuto y la 3ª 20 litros por minuto? R: 180 litros 5) Hallar el menor número de bombones necesario para repartir entre tres clases de 20 alumnos, 25 alumnos o 30 alumnos, de modo que cada alumno reciba un número exacto de bombones y cuántos bombones recibirá cada alumno de la 1ª, de la 2ª y de la 3ª clase. R: 300 bombones; de la 1ª 15 bombones, de la 2ª 12 y de la 3ª 10. 6) Tres galgos arrancan juntos en una carrera en que la pista es circular. Si el primero tarda 10 segundos en dar una vuelta a la pista, el segundo 11 segundos, el tercero 12 segundos, ¿al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno ese tiempo? R: 660 segundos u 11 minutos; el 1º 66 vueltas, el 2º 60; el 3º 55 7) Tres aviones salen de una misma ciudad, el 1º cada 8 días, el 2º cada 10 días y el 3º cada 20 días. Si salen juntos de ese aeropuerto el día 2 de enero, ¿cuáles serán las dos fechas más próximas en que volverán a salir juntos? (el año no es bisiesto) R: 11 de febrero y 23 de marzo Salvador González Sánchez - 19 -
  • 20. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre aplicaciones (MCD) a) Se tienen tres varillas de 60 cms., 80 cms y 100 cms de longitud respectivamente. Se quieren dividir en pedazos de la misma longitud sin que sobre ni falte nada. Di tres longitudes posibles para cada pedazo. b) Un padre da 80 centavos a otro 75 centavos y a otro 60 centavos, para repartir entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada pobre y cuantos lo pobres socorridos? R: 5 centavos y 43 pobres. c) Se tienen tres cajas que contienen 1600 libras, 2000 libras y 3392 libras de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques del mismo peso y el mayor posible ¿Cuánto pesa cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja? R: 16 lbs; en la 1ª 100; en la 2ª 125; en la 3ª 212 d) Un hombre tiene tres rollos de billetes de banco. En uno tiene $4500, en otro $5240 y en el tercero $6500. Si todos los billetes son iguales y de la mayor denominación posible, ¿cuánto vale cada billete y cuántos billetes hay en cada rollo? R: $20; en el 1º 225; en el 2º 262; en el 3º 325 e) Se quieren envasar 161 kilos, 253 kilos y 207 kilos de plomo entres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja? R: 23 kilos; en la 1ª 7; en la 2ª 11; en la 3ª 9 f) Se tienen tres extensiones de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela apara que el número de parcelas de cada una sea el menor posible? R: 175 m2 Salvador González Sánchez - 20 -
  • 21. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipos sobre aplicaciones (potencia) Una sustancia radiactiva se desintegra de tal modo que después de 1 hora queda la mitad de la cantidad inicial. Si en cierto momento hay 320 gramos de la sustancia, ¿cuánto quedará después de 8 horas? ¿Cuánto después de n horas? Como la cantidad que queda después de cada hora es  de los gramos al final de la hora anterior, la cantidad restante se calcula multiplicando el número de gramos anterior por . Gramos que quedan Inicio: 0 horas 1 0 320   320 2 Después de 1 hora 1 1 320   160 2 Después de 2 horas 1 2 320   80 2 Después de 3 horas 1 3 320   40 2 ∷ ∷ Después de 8 horas 1 8 320   1.25 2 Se observa que el exponente de  es el mismo que el número de horas durante las que ha estado decayendo la sustancia. Si continua la misma pauta, llegamos a la n conclusión que después de n horas quedan 320   n 1 320   2 2 gramos. 1) Supón que una sustancia decae de tal modo que ½ de ella queda después de 1 hora. Si había 640 gramos al inicio, ¿cuánto queda después de 7 horas? ¿Cuánto queda después de n horas? R: 5 gramos; 640(½)n gramos 2) Si una cuerda tiene 243 pies de longitud y se cortan sucesivamente ⅔ de su longitud, ¿cuánto queda después de 5 cortes? ¿Cuánto después de n cortes? R: Salvador González Sánchez - 21 -
  • 22. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3) Para la cuerda del ejercicio anterior, ¿cuánto queda después de 5 cortes si cada vez se corta la tercera partes? ¿Cuánto queda después de n cortes? R: 32 pies; 243(⅔)n pies 4) Una empresa tiene un plan de 4 años para aumentar su personal a la cuarta parte cada uno de esos años. Si el personal actual es de 2560, ¿cuántos habrá al final del plan cuatrienal? Formula una expresión exponencial que represente la fuerza laboral después de n años. 5) Cuando una inversión de P dólares gana el i% de interés anual, y el interés se compone (capitaliza) anualmente, la formula de la cantidad final, A, después de n años, es A=P(1+i)n, en la cual i se expresa en forma decimal. Calcula la cantidad A si se invierten $1,000 al 10% compuesto anualmente durante 3 años. R: $1,331 6) Usa la fórmula del problema anterior para calcular el número de años que tardaría en duplicarse una inversión de $1,000, invertida al 10% de interés compuesto anualmente. R: 7 años (donde n tendrá que ser igual a 7.2725409) —————————— ¿Cuál es la cantidad que se obtiene al invertir 1000 pesos a un interés compuesto del 3% bimestral durante 2 años? Llamamos i al interés bimestral, es decir i= 0.03 En un año habrán pasado seis períodos bimestrales, por lo que el capital más los intereses correspondientes serán: 10001  i  6 Al finalizar el segundo año: 10001  i   6 2  10001  i  1  i  6 6  10001  i  6 6  10001  i  26  10001  i  12 Es decir, 10001  i   1000(1.03)12  1425.76 12 La cantidad que se obtiene es aproximadamente 1425.76 pesos. 7) ¿Cuánto percibe un empleado que guarda 700 pesos en una caja de ahorros durante un año, si el interés que se le aplica es del 1.5% bimestral? 8) Ignacio quiere invertir su dinero durante un año, pero no sabe que le conviene más. Así que se plantea la siguiente pregunta: ¿Qué Salvador González Sánchez - 22 -
  • 23. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I conviene más, invertir al 20% trimestral reinvirtiendo los intereses o invertir al 95% anual? 9) ¿Cuál es el rédito que se obtendrá al invertir un capital de $1000 a una tasa de interés compuesto del 3% al cuatrimestre durante un período de 2 años?¿Conviene más hacer la inversión durante el mismo período si la tasa de interés compuesto que se ofrece es del 10% anual? 10) Si se invierten 10,000 pesos a un interés compuesto del 2% bimestral , ¿cuál será el capital al cabo de tres años? 11) Julián tiene 15,000 pesos que invierte de la siguiente manera: $10,000 a un interés compuesto trimestral del 4% y $5,000 a un interés compuesto semestral del 7%, ambos por un periodo de dos años. a).- ¿Cuál será su capital final? b).-¿Le convendría más invertir los $15,000 a un interés compuesto del 2.5% cuatrimestral, invertido un periodo de seis años? 12) ¿Qué rendimiento produce invertir 125,000 pesos a un interés compuesto del 2.5% cuatrimestral, invertido un periodo de seis años? 13) Calcula el capital que se tendrá después de cinco años invirtiendo 1200 pesos de la siguiente manera: Los tres primeros años a un interés compuesto del 2% bimestral, al finalizar este plazo el capital total se invierte a un interés compuesto del 3% bimestral. 14) Armando quiere comprar un refrigerador que le cuesta 2,500 pesos, pero sólo tiene 1,600 pesos. Decide invertir su dinero por un período de cuatro años a una tasa de interés compuesto del 5% semestral. Suponiendo que el costo del refrigerador aumenta el 6% cada año, al cabo de los cuatro años, ¿le alcanzará para comprar el refrigerador? 15) ¿Cuál de las dos opciones da al finalizar un mayor rendimiento?: a).-Invertir el capital a una tasa de interés compuesto del 2% bimestral durante cuatro años. b).-Invertir el capital a una tasa de interés compuesto del 3% bimestral durante cuatro años. 16) Magdalena decide invertir 10,000 pesos a un interés compuesto del 1% mensual. ¿Cuál será el capital de Magdalena al cabo de tres años? Salvador González Sánchez - 23 -
  • 24. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 17) Julio quiere comprar un automóvil que tiene un costo de 26,500 pesos, pero sólo cuenta con 23,000. Sabe que en un año el costo del automóvil aumenta un 10%, que puede invertir su dinero al 4% de interés compuesto semestral y que en dos años recibirá 3,000 que prestó a un hermano sin cobrarle intereses. ¿Podrá comprar el auto en dos años? Salvador González Sánchez - 24 -
  • 25. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre aplicaciones (radicación) a) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el metro de valla cuesta 380 pesos? R: 27,360 pesos b) Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m de ancho, y quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cuál debe de ser el lado del terreno cuadrado? R: 16 m c) Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2 ¿Cuánto mide su lado? R: 29 dm d) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 635.04 m2 ¿Cuál es la longitud que tiene la valla que lo rodea? R: 100.8 m e) Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones por $256. Sabiendo que le número de pantalones coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones compró? R: 16 pantalones f) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2,209 m2 y se quiere rodear con una valla que cuesta $3.50 cada metro. ¿Cuánto cuesta la obra? R: $658 g) ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 867 m2 si su longitud es triple que su ancho? R: 51 m de largo y 17 m de ancho h) Se quieren distribuir los 529 alumnos de una escuela formando un cuadrado. ¿Cuántos alumnos habrá en cada lado del cuadrado? R: 23 i) Se compra cierto número de bolígrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de un bolígrafo coincide con el número de bolígrafos comprados, ¿cuál es el precio de un bolígrafo? R:14 j) Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125,000 cm3. Si se corta la mitad superior, ¿cuáles serán las dimensiones del recipiente resultante? R: 50 cm de largo, 50 cm de ancho y 25 cm de largo. k) Un depósito en forma cúbica tiene una capacidad de 1,728 m3. Si el agua contenida en el depósito ocupa un volumen de 1,296 m3, ¿qué altura alcanza el agua en el depósito? R: 9 m l) Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado? R: 150 m de lado Salvador González Sánchez - 25 -
  • 26. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I m) En un depósito hay 250047 dms3 de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Si el agua llega a 15 dms del borde, ¿cuáles serán las dimensiones del estanque? R: 67 dm de ancho y largo; 78 dm de alto. n) Se compra cierto número de libros por $729. Si el número de libros comprado es el cuadrado del precio de un libro, ¿cuántos libros he comprado y cuánto costó cada uno? R: 81 libros; $9 Salvador González Sánchez - 26 -
  • 27. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre aplicaciones (notación científica) 1) La luz que viaja aproximadamente a 3.0 × 105 km por segundo, tarda cerca de 5.0 × 102 segundos en llegar a la Tierra . ¿Cuál es la distancia aproximada, en notación científica, del Sol a la Tierra? R: 1.5 × 108 kms = 150,000,000 kms. 2) Una nave espacial tarda aproximadamente 5 días en llegar a la Luna. A este ritmo ¿cuánto le tomará viajar de la Tierra a Marte? R: 7.9217 × 102 días = 729.17 días Distancia desde la tierra Luna 240,000 mi Sol 93,000,000 mi Marte 35,000,000 mi Plutón 2,670,000,000 mi 3) La distancia aproximada de Neptuno al Sol es de 2,790,000,000 mi. ¿Cuánto tarda en llegar la luz desde el Sol a Neptuno? R: 1.5 × 1014 4) La luz viaja a una velocidad aproximada de 300 000 kilómetros por segundo. La distancia media de la Tierra al Sol es 150 000 000 kilómetros. Usa la notación científica para calcular cuánto tarda la luz del sol en llegar a la Tierra. 5) Basándote en la información anterior, emplea la notación científica para demostrar que un año luz, la distancia que recorre la luz en un año, es, aproximadamente, 9.44 × 1012 = 9,440,000,000,000 kilómetros. 6) Chasqueamos los dedos y los volvemos a chasquear 1 minuto después. A continuación esperamos 2 minutos y chasqueamos los dedos, después 4 minutos, 8 minutos, 16 minutos, etc. Esto es, se duplica el intervalo entre los chasquidos sucesivos. Si siguiéramos haciendo esto durante 1 año ¿cuántas veces chasquearíamos los dedos? —————————— La energía total recibida desde el sol cada minuto es de 1.02 × 1019 calorías. Puesto que el área de la tierra es de 5.1 × 1018 centímetros, la cantidad de energía recibida por centímetro cuadrado por minuto (la constante solar) es 19 1.02  10 18 5.1  10 Salvador González Sánchez - 27 -
  • 28. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Simplificando la expresión Al dividir 1.02 entre 5.1 obtenemos 0.2 = 2 × 10-1. Ahora 1019 ÷ 1018 = 1019-18 = 101. Por lo tanto, la respuesta final es   2  10  1  10  2  10  2 1 0 Esto significa que la tierra recibe alrededor de 2 calorías de calor por centímetro cuadrado cada minuto. —————————— En un año reciente, el departamento del Tesoro de Estados Unidos informó de la impresión de las siguientes cantidades de dinero en las denominaciones especificadas: $3,500,000,000 en billetes de $1; $1,120,000,000 en billetes de $5; $640,000,000 en billetes de $10; $2,160,000,000 en billetes de $20; $250,000,000 en billetes de $50; $320,000,000 en billetes de $100. Tendremos que escribir estos números en notación científica y determinar cuánto dinero fue impreso (en miles de millones). $ 3,500,000,000 en billetes de $1 = 3.5 × 109 $1,120,000,000 en billetes de $5 = 1.12 × 109 $640,000,000 en billetes de $10 = 6.4 × 108 $2,160,000,000 en billetes de $20 = 2.16 × 109 $250,000,000 en billetes de $50 = 2.5 × 108 $320,000,000 en billetes de $100 = 3.2 × 108 Puesto que tenemos que escribir todas las cantidades en miles de millones (un millar de millón es 109) debemos anotar todos los números empleando 9 como exponente. En primer lugar, consideremos 6.4 × 108. Para anotar este número con un exponente de 9, escribimos 6.4 × 108 = (0.64 × 10) × 108 = 0.64 × 109 de manera similar 2.5 × 108 = (0.25 × 10) × 108 = 0.25 × 109 y 3.2 × 108 = (0.32 × 10) × 108 = 0.32 × 109 Al escribir los otros números, obtenemos 0.64 × 109 0.25 × 109 0.32 × 109 Salvador González Sánchez - 28 -
  • 29. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3.5 × 109 1.12 × 109 2.16 × 109 7.99 × 109 Entonces se imprimieron 7.99 mil millones de dólares. 7) El estadounidense promedio consume 80 libras de vegetales al año. Puesto que hay unos 250 millones de estadounidenses, las libras consumidas cada año son: (8 × 101) × (2.5 × 108). Escribe esta cifra en notación científica y en su forma estándar. R: 2 × 1010; 20,000,000,000 8) En Estados Unidos se producen 148.5 millones de toneladas de basura cada año. Puesto que una tonelada es igual a 2000 libras, hay unas 360días en un año y 250 millones de estadounidenses, las libras de basura producidas cada día del año por cada día del año por cada  1.485  108   2  103    hombre , mujer y niño de dicho país son     escribe  2.5  10   3.6  10 2  8   este número en notación estándar. R: 3.3 9) La fisión nuclear se utiliza como fuente de energía. ¿Sabes cuánta energía proporciona un gramo de uranio 235? La respuesta es 4.7  10 9 kilocalorías. Escríbela en notación científica. R: 2 × 107 235 10) La velocidad del sonido en el aire es de 3.31×104 centímetros por segundo. Calcula esa velocidad en centímetros por hora. 11) Si la masa de un protón es de 0.000000000000000000000167248 gramos, calcula la masa de un millón de protones. 12) La velocidad de la luz en el vacío es , aproximadamente 30,000,000,000 de centímetros por segundo. Calcula esa velocidad en millas por hora. Considera 160 000 cm ≈ 1 milla. 13) La luna está a unas 235 000 millas de la Tierra. Expresa esa distancia en pulgadas. 14) La luna está a unas 378 196 kilómetros de la Tierra. Expresa esa distancia en pulgadas. Considera 1 km ≈ 39 400 pulgadas. 15) El sol queda a unos 149 700 000 kilómetros de la Tierra. Expresa esa distancia en millas. Considera 1 km ≈ 0.6214 milla. Salvador González Sánchez - 29 -
  • 30. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 16) La luz viaja a unas 186 000 millas por segundo. Un pársec equivale a 3.26 años luz. La estrella Alpha Centauri está a 1.3 parsecs de la Tierra. Expresa esa distancia en millas. 17) El planeta Plutón queda, aproximadamente a 3,574,000,000 de millas de la Tierra. Si una nave espacial pudiera viajar a 18,000 millas por hora, ¿cuánto tardaría en llegar a Plutón? 18) Una unidad astronómica (UA) se define como la distancia promedio de la Tierra al Sol (aproximadamente 9.3 × 107 millas). El cometa Halley recorre de 0.6 a 18 UA desde el Sol. Expresa esa distancia en millas. 19) La masa de un cometa es de 1016 gramos. Cuando el cometa se acerca al Sol, su material se evapora con una rapidez de 107 gramos por segundo. Calcula la vida del cometa si aparece cada 50 años y permanece 10 días cerca del Sol. Salvador González Sánchez - 30 -
  • 31. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas con operaciones algebraicas. Una piscina es 10 metros más larga que ancha y alrededor hay un camino de 2 metros de ancho. Encuentra las dimensiones de la piscina si el área del camino alrededor de la piscina es de 216 metros. Para encontrar la solución de este tipo de problemas es útil hacer un diagrama que represente la situación que se explica en el problema. 2 2 2 2 Nos pide encontrar las dimensiones de la piscina y observamos que una depende de la otra. Así que si una es x la otra será x+10. El área del camino alrededor de la piscina será el área de la piscina y el camino alrededor menos el área de la piscina, así que como: x  4x  10  4 Es el área de la piscina más el camino a su alrededor y xx  10 es el área de la piscina, tenemos que: x  4x  10  4  xx  10  área del camino = 216. Ahora hagamos los cálculos: x  4x  10  4  xx  10  216 xx  14 x  4 x  4 14   xx  10 x  216 x 2  x 2  14 x  4 x  10 x  56  216 8 x  56  216 8 x  56  56  216  56 8 x  216  56 8 x  160 8 x 160  8 8 x  20 De manera que las dimensiones de la piscina son 20 m. de ancho por x+10, es decir 30 m. de largo. Salvador González Sánchez - 31 -
  • 32. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I —————————— Al hacer una zanja de 2m de ancho por 1m de profundidad alrededor de un edificio cuadrado y pegada a este, para retirar la tierra que se sacó hicieron falta 13 camiones de 14 metros cúbicos y dos de 5. Encuentra las dimensiones del edificio. Empecemos por hacer un esquema:. Denotemos por x el lado del edificio. Observemos que la cantidad de tierra removida es 1413  52  182  10  192 x metros cúbicos. Observemos ahora 2 que el volumen de tierra es igual al área por la profundidad es de 1 m, el área en la que se estuvo cavando es 192 2 de  192m 2 1 Así, el área del edificio más la de la zanja es x  4x  4 , el área del edificio es x• x y la diferencia de estas dos cantidades es de 192. Podemos entonces escribir la ecuación: x  4x  4  xx  192 xx  4 x  4 x  16  xx  192 x 2  8 x  16  x 2  192 8 x  16  192 8 x  16  16  192  16 8 x  176 8 x 176  8 8 x  22 Así, las dimensiones del edificio son de 22 metros por lado. 1) Una cancha de basketball es un rectángulo que tiene que tiene 10m más de largo que de ancho. Se van a colocar 20 filas de asientos alrededor y cada fila ocupa en total 1.5m. Encuentra el área total que se necesita para una construcción de este tipo si se van a usar 7200 metros cuadrados para la zona de asientos. Recuerda hacer un esquema, plantear una igualdad y resolver la ecuación que se obtiene, es decir, encontrar para qué valor de la variable se cumple la ecuación. Salvador González Sánchez - 32 -
  • 33. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I —————————— La figura muestra una pista de carreras donde la parte interior consiste de un rectángulo que es dos veces más largo que ancho y de dos semicírculos. La pista es de 7 metros de ancho y el tartán que se utilizó para recubrirla fue de 1354 metros cuadrados. Encuentra las medidas del radio interior de los semicírculos. r 2r 4r 7 22 Para facilitar las cuentas tomaremos la aproximación de para π. 7 Como nos piden el radio denotémoslo por r, así que los lados del rectángulo serán 2r y 4r . El área total es: 4r 2r  14   r  7 2 De modo que el área de la pista, cubierta por el tartán es:   4r 2r  14   r  7   4r 2r   r 2  1354 2 8r  56r  r  14r  49  8r  r  1354 2 2 2 2 8r 2  8r 2  56r  14r  49  r 2  r 2  1354 56r  14r  49  1354 22 Como   en este caso 7  22   22  56r  14 r  49   1354  7   7  56r  44r  154  1354 100r  154  1354 100r  154  154  1354  154 100r  1200 100r 1200  100 100 r  12 Salvador González Sánchez - 33 -
  • 34. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I El radio es de 12 metros 2) Una piscina rectangular es 7 metros más larga que ancha y está rodeada de concreto por un camino de 1.5 metros de ancho y cuya área es de 120m2. Encuentra las dimensiones de la piscina. Recuerda que es conveniente hacer un diagrama, plantear una igualdad y resolver la ecuación que aparezca. 3) La distancia en metros recorrida por un objeto en caída libre está dada por 1 2 d gt la expresión 2 , donde g = 9.8 m/seg2 es la aceleración producida por la gravedad y t es el tiempo transcurrido desde que empezó a caer el objeto medido en segundos. ¿Cuántos metros ha recorrido un objeto después de 8 segundos? d 1 2    9.8 m/seg 2 8 2 seg 2  313.6 m 4) La distancia recorrida por un móvil está dada por el producto de la velocidad por el tiempo, es decir: d  vt , en cada caso encuentra la distancia recorrida si: a) v = 90 Km/h, t = 1.15 h b) v = 60 Km/h, t = 38 seg c) v = 75 Km/h, t = 2 h d) v = 15.4 Km/h, t =  h W p 5) La fórmula 4 A se utiliza para calcular la presión en libras por pulgada cuadrada de una llanta de automóvil. W es el peso del automóvil en libras y A es el área de contacto con el piso de la llanta en pulgadas cuadradas. En cada caso encuentra la presión de la llanta. a) W= 936 lb, A= 9 pulg2 b) W= 4660 lb, A= 29 pulg2 c) W= 2198 lb, A= 78.5 pulg2 d) W= 1376 lb, A= 11.5 pulg2 El volumen de un cilindro está dado por la fórmula V   r h , donde r es 2 6) el radio de la base y h es la base del cilindro. En cada caso encuentra el volumen del cilindro si: Salvador González Sánchez - 34 -
  • 35. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 15 1 5 a) r= , h= b) r= 3 , h= 10 4 6 11 c) r= 6, h= 2 d) r= 1.13, h= 3.5 h A B  b  7) El área de un trapecio se define como 2 , donde h es la altura, B es la base mayor y b es la base menor. En cada caso encuentra el área del trapecio si: a) h=10, B=25, b= 15 b) h=9, B=14, b= 4 c) h=6, B=12.5, b= 7.25 d) h=5.4, B=12.6, b= 7.8 8) Kepler enunció tres leyes para explicar el movimiento de lo planetas alrededor del sol. La tercera de dichas leyes dice: el cuadrado del período es proporcional al cubo de la distancia media al sol, es decir, P  kd , 2 3 donde P es el período, k es la constante de proporcionalidad y d es la distancia media al Sol. Si medimos en años terrestres, k=1. Encuentra el período de los siguientes planetas. a) Júpiter, d=5.2 b) Mercurio, d=0.387 c) Plutón, d=39.44 d) Saturno, d=9.54 9) Un trapecio está formado por un cuadrado y dos triángulos rectángulos. En cada uno de los triángulos el cateto que forma parte de la base mayor del trapecio es de cinco unidades menor que el otro cateto. a. ¿Cuál es el área del trapecio? Simplifica tu respuesta. b. ¿Cuál es el área del trapecio si el lado del cuadrado mide 9 unidades? 10) Dos círculos concéntricos son bases de dos cilindros circulares rectos, el pequeño tiene radio de 5 centímetros menor que el grande y ambos cilindros tienen altura igual a h centímetros. Escribe el volumen de la región que se encuentra dentro del cilindro grande y fuera del chico como el producto de un monomio por un polinomio. Salvador González Sánchez - 35 -
  • 36. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 11) Tres números enteros consecutivos satisfacen la siguiente condición: Ocho veces el primero, más el cubo del segundo menos el cubo del primero es igual al cubo del tercero menos el cubo del segundo. Encuentra dichos números. 12) El círculo grande de la siguiente figura tiene radio R y cada uno de los círculos pequeños tienen radio a. Tendremos que formular la ecuación del área sombreada, forma factorizada, y con el resultado calcular el área para R=15.7 y a=3.1 a R Productos Notables 13) En una escuela tiene cierto numero de mosaicos y quieren formar un cuadrado en el centro del patio. Colocando cierto número de mosaicos en cada fila sobran 39 y añadiendo un mosaico en cada fila faltan 24. ¿Cuántos mosaicos hay en la escuela? 14) Un salón de recepciones tiene forma cuadrada y se quiere colocar en el centro un tapete cuadrado dejando un pasillo alrededor de 2 metros de ancho. Se sabe que el área del tapete mide 80 metros cuadrados menos que el área del salón. ¿Cuánto mide de lado el salón? 15) Las longitudes de un lado de un rectángulo y de la diagonal son dos enteros consecutivos y el cuadrado de la longitud del otro lado mide 9 metros cuadrados. Encuentra el perímetro del rectángulo. Salvador González Sánchez - 36 -
  • 37. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 16) Con una cartulina de forma rectangular, se quiere construir una caja abierta. Para ello se quitan cuadrados iguales de lado h en cada esquina y se doblan hacia arriba los bordes. Encuentra la fórmula del volumen s la cartulina mide: a) 12 centímetros de largo y 12 centímetros de ancho. b) 8 centímetros de largo y 5 centímetros de ancho. 17) El área de un círculo de radio r es πr2, ¿cuál es la fórmula del área A del anillo que se obtiene de quitar a un círculo de radio y un círculo de radio x con el mismo centro? 18) En un partido de béisbol, el bateador batea la pelota directamente hacia arriba una velocidad de 29.4 m/seg. ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire antes de que la atrape el cácher? La pelota tarda el mismo tiempo en subir que en bajar. ¿A que altura llegó la pelota? La relación 1 entre la altura y el tiempo está dada por la ecuación h  v0 t  gt 2 , donde 2 g = 9.8 m/seg2 es la aceleración de la gravedad y v0 es la velocidad inicial. 19) Si un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 44.1 m/seg. ¿Cuánto tardará en llegar al suelo? Usa la fórmula del problema anterior. 20) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo es dos unidades menor que el otro. El área del triángulo es igual a 35. ¿Cuánto vale el cuadrado de la hipotenusa? 21) Un cuadrado de lado l se deforma para obtener un rectángulo, sumando 7 unidades al largo y restando 7 al ancho, sin embargo después de efectuar la deformación, el área obtenida es cero. ¿Cuánto mide el lado l del rectángulo original? 22) Un rectángulo tiene un perímetro de 28 centímetros y un área de 45 centímetros cuadrados. ¿Cuántos centímetros miden sus lados? Salvador González Sánchez - 37 -
  • 38. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 23) En una competencia de lucha grecorromana hay cierto número de personas. Compiten todos contra todos, si hubo 10 combates. ¿Cuántos competidores había? 24) A un baile asistieron igual número de hombres que de mujeres. Si cada hombre bailó con todas las mujeres y cada mujer bailó con todos los hombres y en total se hicieron 225 parejas distintas. ¿Cuántas personas hubo en el baile? —————————— Se lanza una piedra con una resortera con una velocidad inicial de 39.2 metros por segundo. ¿Cuándo alcanzará una altura de 34.3 metros? Para resolver este problema debemos utilizar la fórmula de física que relaciona la altura que llamaremos h, la velocidad inicial v0, el tiempo t y la fuerza de la gravedad g. 1 h  v0 t  gt 2 2 La fuerza de gravedad es: g = 9.8 m/seg2. Sustituyendo los datos tenemos: 34.3  39.2t  9.8t 2 1 2 Escribimos la ecuación como: 4.9t 2  39.2t  34.3  0   Factorizamos primero el coeficiente de t2, 4.9 t 2  8t  7  0 ; ahora tenemos que encontrar dos números tales que su producto se a 7 y su suma sea –8. Dichos números son –7 y –1. Así que:   4.9 t  8t  7  4.9t  7t  1 2 Resolvemos: 4.9(t  7)(t  1)  0 . Obteniendo: t –7 = 0 t –7 = 0 t=7 t=1 Hay dos momentos en que la piedra alcanza una altura de 34.3 metros, 1 segundo después de ser lanzada (cuando va de subida) y también 7 segundos después del lanzamiento (cuando va de bajada). Salvador González Sánchez - 38 -
  • 39. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 25) Un niño lanza un dardo con una cerbatana verticalmente hacia arriba a una velocidad de 19.6 m/seg. ¿en qué momento alcanza el dardo una altura de 19.6 metros? ¿En qué momento el dardo vuelve a tocar el suelo? ¿Dónde se encuentra 3 segundos después de ser lanzado? 26) Un auto parte del reposo y acelera 3 m/seg2, ¿en cuánto tiempo habrá recorrido 96 metros? 27) Al cumplir 16 años, Armando decide repartir las 66 canicas que posee entre sus primos , a cada uno le corresponde cierto número de canicas, pero uno de ellos decide no aceptar las canicas por lo que la repartición hace entre los restantes, tocando a cada uno 11 canicas más que en la primera repartición. ¿A cuántos primos quería repartir las canicas inicialmente? 28) Al concluir la semana un padre de familia tiene 120 pesos en la bolsa y decide repartirlo entre sus hijos en partes iguales. En el momento de repartir piensa: ―si tuviera dos hijos menos, le tocarían a cada uno 16 pesos más‖. ¿Cuántos hijos tiene? ¿Cuánto le tocó a cada uno? Salvador González Sánchez - 39 -
  • 40. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre fracciones algebraicas 1).- Dos ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es 180º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios si están en una razón de 5 a 7. 2).- Dos ángulos complementarios son aquellos cuya suma es 90º. Encuentra las medidas de dos ángulos suplementarios si están en una razón de 3 a 2. 3).- Santiago recorrió 425 kilómetros en el mismo tiempo que Jerónimo recorrió 325 kilómetros. La velocidad de Santiago era de 20 kilómetros por hora más que Jerónimo. ¿A qué velocidad iba cada uno? 4).- Un río tiene una corriente de 5 kilómetros por hora. Si una lancha de motor tarda el mismo tiempo en recorrer 15 kilómetros a favor de la corriente que 9 kilómetros en contra de la corriente, ¿cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas? —————————— Un número de dos cifras satisface las siguientes condiciones. El número dividido entre el doble de la cifra de las unidades es igual al cociente del cuadrado de la suma de 2 más la cifra de las decenas, entre la suma de 4 más la cifra de las unidades. Además la cifra de la decenas excede a la de las unidades en 2. Encuentra dicho número. Llamamos d a la cifra de las decenas y u a la de las unidades. Planteamos la ecuación 10d  u 2  d  2  2u 4u Además d  u  2 Sustituyendo este valor de d en la ecuación, obtenemos: 10(u  2)  u 2  (u  2)  2  2u 4u Salvador González Sánchez - 40 -
  • 41. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 11u  20 4  u  2 De donde  2u 4u Simplificando del lado derecho de la ecuación, tenemos: 11u  20 4  u 4  u   2u 4u 11u  20  4u 2u Ahora resolvemos esta ecuación: 11u  20  4u 2u 11u  20  2u (4  u ) 0  2u 2  8u  11u  20 11u  20  2u  8u 2 0  2u 2  3u  20 11u  2u 2  8u  20 0  2u  5u  4 Como estamos buscando un número entero, sólo elegimos la solución u = 4. Para obtener el valor de d sustituimos este valor de u en: d  u  2  4  2  6 , entonces el número buscado es 64. Comprobación Sustituyendo d = 6 y u = 4 en la ecuación propuesta: 10d  u 10(6)  4 64 Lado izquierdo:   8 2u 2(4) 8 Lado derecho: 2  d 2  2  62  64 8 4u 44 8 5).- Un número de dos cifras satisface las siguientes condiciones. La cifra de las decenas es 1 unidad menor que las cifras de las unidades. Si se divide el número entre la suma de sus cifras el cociente es 5. Encuentra el número. 6).- Si al volumen de un cubo le restamos la longitud de una arista, se obtiene la misma cantidad que al sumar la longitud de dicha arista al área de una de las caras. ¿Cuáles son las dimensiones del cubo? Salvador González Sánchez - 41 -
  • 42. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 7).- Cierto número de amigas deciden tejer manteles para vender. Para tener un ingreso en un plazo menor, deciden tejerlos en cuadros, uniendo cada semana los que tejen durante es lapso. Todas tejen semanalmente el mismo número de cuadros. La primera semana reúnen 108 cuadros, la segunda semana 116, la tercera 76. Al finalizar la tercera semana cada una ha tejido 75 cuadros. ¿Cuántas personas tejen? 8).- Un obrero puede realizar cierto trabajo en 7 horas menos que otro que tiene menos experiencia. Juntos pueden realizarlo en 12 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en hacer el trabajo cada uno? 9).- Un río tiene una corriente de 15 kilómetros por hora. Si una lancha de motor tarda el mismo tiempo en recorrer 25 kilómetros a favor de la corriente que 15 kilómetros en contra de la corriente, ¿cuál es la velocidad de la lancha en aguas tranquilas? 10).- ¿Cuántas cajas de mosaico pueden comprarse con $1092 si se sabe que dos semanas antes estuvo en oferta con un precio de $16 menor y en ese momento hubiera sido posible comprar 16 cajas más? ¿Cuál es el costo por caja? 11).- Una bomba grande puede vaciar un tanque de agua en 15 horas menos que una bomba chica. Entre las dos pueden vaciarlo en 10 horas. ¿En cuánto tiempo lo vaciaría la bomba grande? 12).- Si dos resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo, la resistencia total Rt 1 1 1 obtenida se calcula como   . Si se tienen dos resistencias y el Rt R1 R2 valor de una de ellas es 5 ohms menos que la otra, ¿qué capacidad debe tener cada una para obtener, al conectarlas en paralelo un resistencia de 6 ohms? 13).- Dos resistencias son tales que una de ellas tienen valor de 6 ohms más que la otra. ¿Qué capacidad tienen si al conectarlas en paralelo la resistencia total es de 4 ohms? Salvador González Sánchez - 42 -
  • 43. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 14).- Si se conectan en paralelo 6 resistencias del mismo valor y la resistencia total obtenida es de 20 ohms, ¿qué capacidad tienen las resistencias? 15).- La tarifa de un taxi es de 80 centavos de dólar por el primer  de milla y 20 centavos de dólar por cada  de milla adicional. Si un pasajero paga $6.00 ¿qué distancia recorrió el taxi? 16).- La distancia entre dos poblaciones, A y B, es 120 millas. Si se conduce un automóvil en una dirección, a velocidad media de 60 millas por hora, y regresa a 40 millas por hora, ¿cuál es su velocidad promedio durante el viaje redondo? En contra de nuestra intuición, no es 50 millas por hora. Calculamos la respuesta empleando la fórmula de la velocidad promedio de un viaje redondo a velocidades medias s1 y s2 en las direcciones respectivas: 2 1 1  s1 s 2 Necesitaremos determinar una forma simplificada de esta fracción compleja y comprobar la respuesta. 17).- Un señor heredo 17 caballos a sus tres hijos. Dejó la mitad al mayor, la tercera parte al intermedio y la novena parte al menor. Ya que 17 no es divisible entre 2, 3 ni 9, los hijos pidieron prestado un caballo del vecino para tener un total de 18. A continuación el hijo mayor recibió  × 18 = 9 caballos, el intermedio  × 18 = 6 caballos y el menor  × 18 = 2 caballos. Como 9 + 6 + 2 = 17, que es la cantidad de caballos heredados a los hijos, fue posible regresar el caballo adicional al vecino ¿Dónde está el error de esta historia? Salvador González Sánchez - 43 -
  • 44. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre exponentes fraccionarios y radicales. 1).- La longitud de un rectángulo es 1 centímetro menos que el doble de su ancho. El perímetro es 28 centímetros. Determine las dimensiones del rectángulo 2).- . 3).- Salvador González Sánchez - 44 -
  • 45. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Problemas tipo sobre ecuaciones La longitud de un rectángulo es 1 centímetro menos que el doble de su ancho. El perímetro es 28 centímetros. Determina las dimensiones del rectángulo. Tomamos nota de la información que se da en el problema: La longitud es uno menos que el doble del ancho. El perímetro es 28. Hacemos una figura y determinamos lo que se pide contestar; introduciendo una variable adecuada, que normalmente representa la cantidad que se debe determinar. Representamos el ancho con a. Entonces, 2a–1 representa la longitud. a Con la información disponible, formamos una 2a-1 ecuación donde interviene la variable. El perímetro es la distancia que se recorre alrededor del rectángulo. Esto proporciona la información necesaria para escribir una ecuación. a  (2a  1)  a  (2a  1)  28 Resolvemos la ecuación: a  (2a  1)  a  (2a  1)  28 6a  2  28 6a  28  2 6a  30 30 a 6 a5 Regresamos al problema original para ver si la respuesta obtenida tiene sentido. ¿Parece ser una solución razonable? ¿Quedó contestado lo que pregunta el problema?. Salvador González Sánchez - 45 -
  • 46. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I El problema original preguntaba las dos dimensiones. Si el ancho, a, es 5 centímetros; entonces la longitud, 2a–1, debe ser 9 centímetros. Comprobamos la solución por sustitución directa de la respuesta en el enunciado original del problema. Como comprobación, vemos que la longitud del rectángulo, 9 centímetros, es 1 centímetro menos que el doble del ancho, 5 centímetros, tal como lo dice el problema. También, el perímetro es 28 centímetros. Por último, describamos la solución en términos de las unidades correctas. Las dimensiones son 5 cm. por 9 cm. —————————— Un automóvil sale de cierta población a mediodía, y se dirige hacia el este a 40 millas por hora. A la 1:00 p.m. otro automóvil sale de la población , viaja en la misma dirección a una velocidad de 50 millas por hora. ¿Cuántas horas tarda el segundo vehículo en rebasar al primero? La relación básica que debemos recordar es que la velocidad multiplicada por el tiempo es igual a la distancia ( v × t = d ). Por ejemplo, un automóvil viajando a una velocidad de 60 millas por hora, durante 5 horas, recorre 60×5 o 300 millas. Los dos automóviles viajan a distintas velocidades, y durante distintos tiempos, pero ambos viajarán la misma distancia desde el punto de partida hasta que se encuentran. La pista es la siguiente: Representar la distancia que viaja cada uno e igualar estas cantidades. Usaremos la x para representar la cantidad de horas que tardará el segundo automóvil en rebasar al primero. Entonces éste, que ha comenzado una hora antes, viaja x+1 horas hasta el punto de encuentro. Es útil resumir esta información en forma de tabla. Velocidad Tiempo Distancia Primer automóvil 40 x+1 40(x+1) Segundo automóvil 50 x 50x Salvador González Sánchez - 46 -
  • 47. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Al igualar las distancias llegamos a una ecuación de que se puede despejar x: 50 x  40( x  1) 50 x  40 x  40 50 x  40 x  40 x  40 x  40 10 x  40 x4 El segundo automóvil rebasa al primero en 4 horas. Esta respuesta ¿parece razonable? Comprobemos el resultado. El primer automóvil viaja 5 horas a 40 millas por hora, lo que hace un total de 200 millas. El segundo, viaja 4 horas a 50 millas por hora, y se obtiene el mismo total de 200 millas. —————————— La señora López invirtió 5000 dólares en un certificado de depósito que paga una tasa de interés anual del 4%. Su asesor financiero invirtió otros 3000 en su representación, cantidad que también devenga una tasa anual. Si el interés total ganado en el año fue $395, ¿cuál fue la tasa anual de su segundo depósito? Necesitamos emplear la fórmula I=Prt, en la cual I es el interés que gana un principal de P dólares invertidos con una tasa r (en forma decimal) durante t años. En este caso, t=1. Sea r la tasa que gana la inversión de $3000. Interés al 4% + Interés al r% = Interés Total (5000)(0.04)(1) + (3000(r)(1) =395 200 + 3000r =395 3000r =195 195 r   0.065 3000 La tasa para su inversión de 3000 dólares fue 6.5% —————————— Marcela tiene un salario base de $250 semanales. Además, recibe una comisión del 12% de lo que vende. La semana anterior sus ingresos Salvador González Sánchez - 47 -
  • 48. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I totales fueron $520. ¿Cuáles fueron sus ventas totales durante esa semana? Sea x sus ventas totales de la semana. Entonces, podemos emplear la siguiente relación: Salario + Comisión = Ingresos Totales 250 + 0.12x =520 0.12x =270 270 x  2250 0.12 Las ventas totales de Marcela, durante la semana fueron $2250 1).- Carlos gastó $6.15 en estampillas de 10, 25 y 30 centavos. En número de estampillas, compró la mitad de 25 centavos que las de 10 centavos y tres veces más de 30 centavos que de 10 centavos ¿Cuántas estampillas compró de cada valor? Siempre que se maneje cierta cantidad de determinada estampilla, el valor total es la cantidad de estampilla multiplicada por el valor de esa estampilla. 2).- María tiene $169 en billetes y monedas de uno, cinco y diez. Tiene el doble de monedas de uno que de billetes de cinco, y cinco billetes más de diez que de cinco. ¿Cuántas monedas y billetes de cada denominación tiene? 3).- Dos automóviles salen de una población al mismo tiempo y viajan en direcciones opuestas. Uno viaja a 45 millas por hora y el otro a 55 millas por hora ¿En cuánto tiempo estarán alejados 350 millas? 4).- Roberto da una caminata a un paso de 3 millas por hora. Dos horas después, Rogelio trata de alcanzarlo trotando a 7 millas por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar donde está Roberto? 5).- El ancho de una pintura es 4 pulgadas menos que su longitud. El marco que rodea la pintura tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 240 pulgadas cuadradas. ¿Cuáles son las dimensiones de la pintura? Salvador González Sánchez - 48 -
  • 49. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I El área total menos el área de la pintura es igual al área del marco. 6).- Gabi viaja 27.5 millas para llegar a su trabajo. La primera parte de su trayecto es por una carretera vecinal por la que avanza a 35 millas por hora, y la segunda parte es por una autopista donde su velocidad media es 48 millas por hora. Si el tiempo durante el cuál viaja en la autopista es 5 veces el tiempo que tarda en la carretera vecinal. ¿Cuál es el tiempo total del viaje? 7).- Luis gana un sueldo mensual de $2250 más una comisión del 4% sobre sus ventas totales en el mes. El mes pasado, sus ingresos totales fueron de $2512. ¿Cuáles fueron sus ventas totales? 8).- Ana compró un auto usado en $9010, incluyendo ya el impuesto del 6% sobre el costo. ¿Cuál fue el costo del automóvil, sin el impuesto? 9).- Dos botes comienzan a moverse al mismo tiempo, pero desde las orillas opuestas de un río, que atraviesan una y otra vez. La primera vez que se cruzan están a 700 pies de una de las orillas. Después de haber completado la travesía y regresado, se cruzan de nuevo a una distancia de 400 pies de la otra orilla. ¿Qué ancho tiene el río? Suponiendo que cada bote viaja a una velocidad constante, sin perder tiempo en las vueltas? —————————— Un alpinista desea cortar una cuerda de 213 pies de longitud en tres tramos. Si cada tramo debe de tener dos pies más que el anterior, ¿cómo deben de hacer los cortes? Si x representa la longitud del tramo, el alpinista desea que las longitudes de los tres tramos sean, x, x+2, y x+4. Sabe que la suma de las tres longitudes se puede expresar de dos maneras: como x+(x+2)+(x+4) y como 213 x  x  2  x  4  213 3 x  6  213 3 x  207 x  69 x  2  71 x  4  73 Salvador González Sánchez - 49 -
  • 50. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Debe hacer los cortes para dejar longitudes de 69, 71 y 73 pies. Esto lo puede lograr si corta 69 pies de un extremo y 73 pies del otro. El centro tendrá 71 pies de longitud. —————————— Un sistema de audio y video se vende en $777. Si el precio de lista es de $925, calcular el porcentaje de descuento. En este caso, $777 es el precio de venta, $925 es el precio normal y el descuento debe ser el producto de $925 por el porcentaje de descuento. Podemos definir que r represente el porcentaje de descuento, expresado como decimal. A continuación sustituimos el precio de venta por $77 y el precio normal por $925 en la fórmula: Precio de venta = precio normal – descuento, al sustituir los valores, obtenemos: 777  925  925r 777  925  925  925  925r  148  925r 0.16  r El porcentaje de descuento es 16% Como el descuento es de 16% de $925, que es $148, el precio de venta es $925–$148, o sea, $777 —————————— Una fundación escolar es dueña de acciones de IBC, que se venden a $54 cada una, de GS, con valor de $65 cada una, y de ATB, con valor de $105 por acción. La fundación es propietaria de cantidades iguales de acciones GS y de IBC, pero tiene 5 veces más acciones de ATB. Si los valores en cartera suman $450 800, ¿cuántas acciones de cada empresa posee la fundación. El valor de las acciones de IBC, más el valor de las acciones de GS y el de las acciones de ATB deben ser iguales a $450 800 Si x representa la cantidad de acciones de IBC, entonces $54x es el valor de las acciones. Como la fundación posee igual cantidad de acciones de GS que de IBC, x también representa la cantidad de acciones de GS. El valor de las acciones es $65x. Salvador González Sánchez - 50 -
  • 51. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Como la fundación posee igual cantidad de acciones de ATB, quiere decir que posee 5x acciones. El valor de esas acciones es $105(5x). Igualamos la suma de esos valores a $450 800 54 x  65 x  105(5 x)  450800 54 x  65 x  525 x  450800 644 x  450800 450800 x 644 x  700 La fundación es propietaria de 700 acciones de IBC, 700 de GS y 5(700), o sean 3500 de ATB. El valor de 700 acciones de IBC a $54 cada una es $37 800 El valor de 700 acciones de GS a $65 cada una es $45 500 El valor de 3500 acciones de ATB a $105 cada una es $367 500 La suma de estos valores es $450 800 —————————— Si el ángulo vértice de un triángulo isósceles mide 64º, determinar la medida de cada ángulo base. Se nos dice que el ángulo vértice mide 64º. Si hacemos que xº represente la medida de uno de los ángulos base, entonces el otro ángulo base medirá xº. Así, la suma de los ángulos del triángulo es xº+xº+64º. Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º, sabemos que xº+xº+64º es igual a 180º x  x  64  180 2 x  64  180 2 x  180  64 2 x  116 116 x 2 x  58 La medida de cada ángulo base es 58º. La suma de las magnitudes de los ángulos base y el ángulo vértice es 180º Salvador González Sánchez - 51 -
  • 52. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I —————————— Una persona dispone de 28 metros de cerca para construir un corral rectangular. Si se desea que el corral mida 6 pies más de longitud que de ancho, calcular sus dimensiones. El perímetro P de un rectángulo, es la distancia alrededor de él. Si se define a a w como representación del ancho del corral, entonces w+6 representa la longitud. El perímetro se puede expresar en la forma 2w+2(w+6), o bien como 28. 2 w  2( w  6)  28 2 w  2 w  12  28 4 w  12  28 4 w  28  12 4 w  16 16 w 4 w4 w  6  10 Las dimensiones del corral son de 4 metros por 10 metros. Si un corral tiene 4 metros de ancho y 10 metros de longitud, su longitud es metros mayor que su ancho, y su perímetro es 2(4) metros + 2(10) metros = 28 metros 10).- Un cable mide 60 pies se corta en cuatro tramos, y cada tramo sucesivo mide tiene el doble de longitud que el anterior. Calcula la longitud del tramo más largo. 11).- Un cable que mide 186 pies de longitud se corta en cuatro tramos. Calcula la longitud de cada tramo, si cada tramo sucesivo tiene 3 pies más de longitud que el anterior. 12).- Un carpintero serrucha una tabla de 22 pies, para cortarla en dos. Desea que una de las tablas tenga 1 pie más de longitud que la tabla más corta. Calcula la longitud de cada tramo. 13).- Se va a cortar una viga de acero de dos tramos. El tramo más largo debe de medir 2 pies más que 3 veces la longitud del tramo más corto. Calcula la longitud de cada tramo. Salvador González Sánchez - 52 -
  • 53. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 14).- El costo de un juego de palos de golf es $590. Si los palos de acero cuestan $40 más que los de madera, calcula el costo de los palos de acero. 15).- En una promoción se ofrece una televisión y una videocasetera (VCR) por $655. Si la TV cuesta más que la VCR, ¿cuánto cuesta la TV. 16).- Una recamara cuesta, normalmente, $983. Está en oferta a $737.25. ¿Cuál es porcentaje de descuento? 17).- El dueño de una librería compra un libro usado, en $12, y lo vende en $40. Calcula el porcentaje de aumento. 18).- El dueño de una tienda de regalos compra animales disecados a $18 y los vende a $30. Calcula el porcentaje de aumento. 19).- En un fondo de retiro individual valuado en $53 900, un estudiante compra 500 acciones, unas en el Gran Banco y otras en Préstamos Seguros. Si el Gran Banco las vende a $115 por acción y Prestamos Seguros las vende a $97 por acción, ¿cuántas acciones compra el estudiante en cada banco? 20).- Un fondo de pensiones es dueño de 12 000 acciones en acciones de mutualidad. En la actualidad, las acciones se venden a $12 cada una, y los bono a $15 cada uno. ¿Cuántas acciones y cuántos bonos posee el fondo, si el valor actual del depósito es $165 000? 21).- El mes pasado una tienda puso su oferta en el periódico, donde se ofrecía una calculadora científica a $15 y una calculadora graficadora en $65 y vendió 85 calculadoras, equivalente a ventas por $3875. ¿Cuántas calculadoras de cada tipo vendió? 22).- Una empresa semillera vende semillas de dos tipos de pasto. Un saco con 100 libras de una mezcla de centeno con pasto alfombra se vende en $245, y un saco de 100 libras de pasto alfombra se vende en $347 Salvador González Sánchez - 53 -
  • 54. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I ¿Cuántos saco se venden de cada tipo se venden en una semana en la que la facturación de 19 sacos ascendió a $5369? 23).- Un señor, con $21.25 en el bolsillo, baja de su automóvil en el camino a casa para comprar rosas por el cumpleaños de su hija. Si cada rosa cuesta $1.25 y los gastos de envió son $5, ¿cuántas rosas puede comprar? 24).- Para mudarse a otra ciudad, se puede alquilar un camión por $29.95 diarios más 19 centavos por milla. Si se usa un camión un día, ¿cuántas millas puede recorrer a un costo de $77.45? 25).- Un estudiante gana $17 diarios por entregar paquetes por las noches. Se le paga a razón de $5 pesos diarios más 60 centavos por paquete entregado. ¿Cuántas entregas deberá de hacer diariamente para aumentar su ingreso a $23 su ingreso diario? 26).- El ancho de una alberca rectangular es la tercera parte de su longitud. Si su perímetro es 96 metros, determina las dimensiones de esa alberca. 27).- Una huerta rectangular tiene su longitud igual al doble de su ancho. Calcula sus dimensiones, si tiene un perímetro de 72 metros. 28).- Un campesino dispone de 624 pies de cerca para cercar un pastizal. Como un río pasa en uno de los lados, sólo se necesitarán cercar los tres lados restantes. Calcula las dimensiones del pastizal, si su longitud debe ser el doble de su ancho. 29).- Una persona dispone de 150 metros de cerca para formar un corral que tenga una división. Si un lado debe ser un cuadrado, calcula las dimensiones exteriores. x metros (x +5)metros x metros (x +5)metros Salvador González Sánchez - 54 -
  • 55. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 30).- Se desea cercar una alberca que mide 20 × 30 pies, disponiendo de un pasadizo con ancho uniforme en todo el derredor. ¿Qué ancho debe tener el pasillo si se dispone de 180 pies de cerca? 31).- Un artista desea enmarcar una fotografía, con un marco que mide 2 pulgadas de ancho. ¿Qué ancho tendrá la fotografía ya enmarcada, si el artista emplea 70 pulgadas de marco y el largo es mayor en cinco pulgadas con respecto al ancho? 32).- Calcula el tamaño de cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero. —————————— Unos ingenieros de diseño deben colocar dos cilindros hidráulicos como se muestra en la figura siguiente, para contrarrestar una fuerza de 9500 libras en el punto A. El primer cilindro, en el extremo de la palanca, ejerce una fuerza de 3500 libras. ¿Dónde se debe colocar el segundo cilindro, que es capaz de ejercer una fuerza de 5500 libras? De acuerdo a la física, la palanca quedará en equilibrio cuando la fuerza del primer cilindro multiplicada por su distancia al punto de apoyo (llamado también pivote o fulcro) más la fuerza del segundo cilindro multiplicada por su distancia al punto de apoyo es igual al producto de la fuerza de 9500 libras por su distancia al punto de apoyo. Se define a x como la distancia del cilindro mayor hasta el punto de apoyo. Fuerza del cilindro 1 Fuerza del cilindro 2 Fuerza por equilibrar, + = por su distancia por su distancia por su distancia 3500 • 5 + 5500x = 9500 • 3 3500 lb 5500 lb 9500 lb A x 5 pies 3 pies Salvador González Sánchez - 55 -
  • 56. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 35005  5500 x  95003 17500  5500 x  28500 5500 x  28500  17500 5500 x  11000 11000 x 5500 x2 Los diseñadores deben especificar que el segundo cilindro esté a 2 pies del punto de apoyo. 35005  5500 x  95003 35005  5500(2)  95003 17500  11000  28500 28500  28500 33).- Un sube y baja tiene 20 pies de longitud y el punto de apoyo está en su centro. Si un niño que pesa 80 libras se sienta en un extremo, ¿a qué distancia del centro se debe sentar su padre, que pesa 160 libras, para balancear ese sube y baja? 34).- Dos fuerzas, una de 110 y la otra de 88 libras, se aplican en los extremos opuestos de una palanca de 18 pies de longitud. ¿A qué distancia de la fuerza mayor debe estar el punto de apoyo para que la palanca quede balanceada? 35).- Una mujer hecha mano de una barra de 10 pies para levantar una piedra que pesa 210 libras. Si coloca otra piedra a 3 pies de la primera para que funcione como punto de apoyo, ¿cuánta fuerza debe ejercer para levantarla piedra más grande? 36).- Un jugador de fútbol americano que pesa 350 libras, dice que puede levantar un automóvil que pesa 2500 libras. Si emplea una barreta de 12 pies, con un punto de apoyo colocado a 3 pies del coche, ¿podrá levantarlo? 37).- Juan y Roberto se sientan en los extremos opuestos en un sube y baja de 18 pies de longitud, que tiene su punto de apoyo en su centro. Juan pesa Salvador González Sánchez - 56 -
  • 57. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 160 libras y Roberto 200 libras. María se sienta a 4 pies frente a Juan, y el sube y baja se equilibra. ¿Cuánto pesa María? 38).- Las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit se relacionan mediante la ecuación C  F  32 . ¿A qué temperatura indican lo mismo los 5 9 termómetros Fahrenheit y Celsius? 39).- Uno de dos tableros solares debe tener 3 pies más de ancho que el otro; pero, para tener la misma eficiencia, los dos deben tener la misma área. Calcula el ancho de cada uno, si uno de ellos tiene 8 pies. —————————— Un profesor dispone de $15000 para invertir en un año, una parte al 8% y el resto al 7% de interés. Si se desea ganar $1110 con esa inversión, ¿cuánto debe invertir con cada tasa? Sumaremos el interés de la inversión al 8% y el interés de la inversión al 7%, e igualaremos la suma al interés total ganado. El interés simple se calcula con la fórmula i=prt, en la que i es el interés ganado, p es el principal, r es la tasa de interés, y t es el tiempo, en años, durante el cual se ha invertido el principal. Así, si se invierten $x al 8% durante un año, el interés ganado es $0.08x. Si se invierten los $(15000-x) restantes al 7%, la cantidad ganada con ellos es $0.07(15000-x). La suma de estas cantidades debe ser igual a $1110. Podemos decir que x representa la cantidad invertida al 8%. Entonces, 15000-x represéntale dinero invertido al 7%. Los intereses ganados Los intereses + = Los intereses totales al 8% ganados al 7% 0.08x + 0.07(15000-x) = 1110 0.08 x  0.07(1500  x)  1110 8 x  7(15000  x)  111000 8 x  105000  7 x  111000 x  105000  111000 x  6000 15000  x  9000 El profesor debe invertir $6000 al 8% y $9000 al 7% Salvador González Sánchez - 57 -
  • 58. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Los intereses de $6000 son 0.08($6000)=$480 Los intereses de $9000 son 0.07($9000)=$630 Los intereses totales son $1110 —————————— Un automóvil sale de Paracuaro y va hacia Coalcoman a una velocidad de 55 millas por hora. Al mismo tiempo, otro coche sale de Coalcoman y va hacia Paracuaro a una velocidad de 50 millas por hora. ¿Cuánto tiempo pasa para que se encuentren, si esas ciudades están a 157.5 millas de distancia? En este caso los automóviles viajan uno hacia el otro. Los problemas de movimiento uniforme se basan en la fórmula d=rt, en la cual d es la distancia, r es la velocidad y t es el tiempo. Podemos organizar la información en una tabla: Velocidad • Tiempo = Distancia Automóvil más rápido 55 • t = 55t Automóvil más lento 50 • t = 50t Haremos que t represente el tiempo que viaja cada automóvil. Entonces, 55t representa la distancia recorrida por el auto más rápido, y 50t representa la distancia recorrida por el más lento. La distancia que La distancia que La distancia entre las recorre el auto más + recorre el auto más = dos ciudades rápido lento 55t + 50t = 157.5 55t  50t  157.5 105t  157.5 157.5 t 105 t  1.5 Los dos automóviles se encontrarán después de 1 hora. El automóvil más rápido viaja 1.5(55)=82.5 millas El automóvil más lento viaja 1.5(50)=75 millas La distancia total recorrida es 157.5 millas —————————— El dueño de una confitería nota que 20 libras de almendras corren el riesgo de echarse a perder. No se vendieron a causa de su alto precio, $12 Salvador González Sánchez - 58 -
  • 59. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I por libra. Decide mezclar cacahuates por almendras y bajar el precio por libra. Si los cacahuates se venden a $3 por libra, ¿cuántas libras de éstos debe mezclar con las almendras para obtener una mezcla que se venda a $6 por libra? Este problema se basa en la fórmula V=pn, donde V representa el valor, p representa el precio por libra y n representa la cantidad de libras. Podemos hacer que x represente la cantidad de libras de cacahuates que se debe usar y organizar la información disponible en la tabla: Precio • Libras = Valor Almendras 12 • 20 = 240 Cacahuates 3 • x = 3x Mezcla 6 • 20+x = 6(20+x) Haremos que x represente la cantidad de libras de cacahuates que se van a usar. Entonces, 20 + x representa la cantidad de libras en la mezcla. El valor de las El valor de los + = El valor de la mezcla almendras cacahuates 240 + 3x = 6(20+x) 240  3 x  6(20  x) 240  3 x  120  6 x 240  120  3x  3 x  120  120  6 x  3 x 120  3x 120 x 3 x  40 El dueño de la confitería debe mezclar 40 libras de cacahuates con las 20 libras de almendras. El valor de las almendras es $12(20)=$240 El valor de los cacahuates es $3(40)=$140 El valor de la mezcla es $6(60)=$360 El valor de las almendras más el de los cacahuates es igual al valor de la mezcla. —————————— Salvador González Sánchez - 59 -
  • 60. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I Un bote está parcialmente lleno con 12 litros de leche entera, con 4% de grasa. ¿Cuánta leche, con 1% de grasa, se debe agregar para obtener una mezcla que contenga el 2% de grasa? Si el primer bote contiene 12 litros de leche con 4% de grasa, contiene 0.04(12) litros de grasa. A este bote le agregaremos el contenido del segundo bote, el cual contiene 0.01(l) litros de grasa. La suma de los dos volúmenes de grasa es 0.04(12)+0.01(l), y es la cantidad de grasa que debe haber en el tercer bote, es decir 0.02(12+l) litros de grasa. Haremos que l represente la cantidad de litros de leche con 1% de grasa que vamos a emplear. Entonces, La cantidad de grasa La cantidad de grasa La cantidad de grasa en 12 litros de leche al + en l litros de leche al = en (12+l) litros de 4% 1% mezcla con 2% 0.04(12) + 0.01l = 0.02(12+l) 0.04(12)  0.01l  0.02(12  l ) 4(12)  1l  2(12  l ) 48  l  24  2l 24  l Así, 24 litros de leche con el 1% de grasa se deben agregar para obtener una mezcla que contenga 2% de grasa. 12 litros de leche con el 4% de grasa contienen 0.48 litros de grasa. 24 litros de leche con el 1% de grasa contienen 0.24 litros de grasa. Eso da un total de 36 litros de una mezcla que contiene 0.72 litros de grasa, que es una solución al 2% 40).- Entusiasmada por el anuncio, una mujer invirtió $12000, una parte en el mercado de dinero y el resto en una cuenta a 5 años. ¿Cuánto invirtió en cada cuenta, si sus ingresos totales son $1060 al año? Créditos República Cuentas Tasa HOY 5.5% Ahorros 7.5% Mercado de dinero 8.0% Cheques 4.0% Plazo fijo a 5 años 9.0% Salvador González Sánchez - 60 -
  • 61. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 41).- Un señor invirtió $14000, parte al 7% y parte al 10% de interés anual. El ingreso anual debido a esas inversiones fue $1280. ¿Cuánto invirtió en cada una de las tasas? 42).- Un profesor desea ganar $1500 anuales, adicionales, derivados de un obsequio en efectivo de $16000 que recibió. Pone $6000 en una unión de crédito, que le paga el 7% anual de interés. ¿A qué tasa debe poner el resto de su dinero para alcanzar la meta? 43).- Pablo dividió una herencia en dos depósitos, uno que le paga el 7% de interés anual, y el otro el 10%. Invirtió el doble al 10% en comparación de lo que invirtió al 7%. Si sus ingresos anuales totales fueron $4050, ¿de cuánto fue su herencia? 44).- María dispone de algo de dinero para invertir. Si pudiera invertir $3000 más, podría ganar el 11%. Si no, lo que puede ganar es el 7.5% de interés anual. Si la inversión al 11% le produciría el doble de renta anual que la inversión al 7.5%, ¿cuánto dinero tiene a la mano para invertir? 45).- Un operador de camión desea ganar $3500 anuales adicionales, derivados de una herencia de $40000. Si invierte $10000 en una mutualidad que le paga el 8%, ¿a qué tasa debe invertir el resto para alcanzar su meta? 46).- Para un concierto de jazz, los boletos de estudiantes costaron $2 cada uno, y los de no estudiante $4 cada uno. Si se vendieron 200 boletos y el total recabado fueron $750, ¿Cuántos boletos de estudiante se vendieron? 47).- En unos juegos escolares se vendieron 140 boletos, y se recabó un total de $290. Si los boletos de adulto cuestan $2.50 y los de estudiante $1.50, ¿cuántos boletos de adulto se vendieron? 48).- Un automóvil sale de Puebla con rumbo a Guadalajara, que esta a 343 millas. Al mismo tiempo, otro automóvil sale de Guadalajara hacia Puebla. Si el primer automóvil viaja a un promedio de 50 millas por hora, y el segundo a 48 millas por hora, ¿cuánto tiempo transcurre antes de que se encuentren ambos automóviles? Salvador González Sánchez - 61 -
  • 62. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 49).- Un ciclista sale de Toluca, a una velocidad de 18 millas por hora. Una hora después, un automóvil sale de Toluca y viaja a 45 millas por hora en la misma dirección. ¿Cuánto tiempo tardará el vehículo en rebasar al ciclista? 50).- A las 2 p.m. salen dos automóviles de un pueblo, uno hacia el norte y el otro hacia el sur. Si el que va hacia el norte avanza a un promedio de 50 millas, y el que va hacia el sur recorre 60 millas por hora, ¿a qué hora estarán los vehículos separados por 165 millas? 51).- Dos maratonistas salen de la línea de partida: uno recorre 12 millas por hora y el otro a 10 millas por hora. Si mantiene su paso ¿cuánto tardarán en estar a  de milla entre sí? 52).- Un esquí a chorro puede viajar a 12 millas por hora en aguas tranquilas. Si un esquiador navega corriente arriba durante 3 horas, y la corriente es de 4 millas por hora, ¿cuánto tardará en regresar? Sugerencia: su velocidad es (12–4)millas por hora; ¿qué tanta distancia pudo recorrer en 3 horas? 53).- Sara camino hacia el norte a un paso de 3 millas por hora, y regresó a 4 millas por hora. ¿Cuántas millas caminó si tardó 3.5 horas el viaje redondo? 54).- Guillermo viajó una distancia de 400 millas en 8 horas. Parte del tiempo su velocidad era 45 millas por hora, y el resto de la velocidad fue 55 millas por hora. ¿Cuánto tardó en viajar a cada una de esas velocidades? 55).- El dueño de una dulcería desea elaborar 30 libras de una mezcla de dos tipos de dulce, para venderlos a $1 por libra. Si uno de los dulces se venden a 95 centavos por libra y el otro a $1.10 por libra, ¿cuántas libras de cada tipo debe usar? 56).- Se elabora una mezcla de dulces, para venderla en 89 centavos por libra. Si se usan 32 libras de un dulce menos costoso, cuyo precio es 80 centavos por libra, junto con 12 libras de uno más costoso, calcula éste precio de éste último, por libra. Salvador González Sánchez - 62 -
  • 63. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 57).- ¿Cuánta agua se debe agregar a 20 onzas de una solución de alcohol al 15% para obtener alcohol al 10%? + = 20 oz x oz ? oz 15% ?% 10% 58).- ¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para aumentar la concentración de 300 galones de soluciones de sal, del 2 al 3%? 59).- La crema contiene, aproximadamente, 22% de grasa de leche. ¿Cuántos galones de crema se deben mezclar con leche con 2% de grasa, para obtener 20 galones de leche con 4% de grasa? 60).- ¿Cuánto ácido se debe agregar a 60 gramos de una solución al 65% de ese ácido para obtener una nueva solución con 75% del ácido? 61).- Un alumno tenía 70% de puntuación en un examen de 30 preguntas. Para mejorar su calificación, el profesor estuvo de acuerdo con ponerle 15 preguntas más. ¿cuántas preguntas debe de contestar correctamente para elevar su puntuación a 80%? 62).- En un segundo examen, el estudiante del problema anterior obtuvo una puntuación de 60% en un examen de 20 preguntas. Esta vez el profesor le dejó 20 problemas adicionales para poder mejorar su calificación, ¿cuántas preguntas debe contestar correctamente para elevar su puntuación a 70%? 63).- Antes del examen final, María había obtenido un total de 375 puntos en 4 pruebas. Para alcanzar 10 de calificación en la materia debe tener un 90% de un total posible de 450 puntos. Calcula la cantidad mínima de puntos que puede obtener en el examen final para obtener 10 de calificación. Salvador González Sánchez - 63 -
  • 64. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 64).- Un alumno obtuvo un total de 435 puntos en 5 exámenes de álgebra. Para obtener 9 de calificación en la materia debe tener el 80% de un total de 600 puntos posibles. Calcula la cantidad mínima de puntos que debe obtener el estudiante en el examen final para obtener un 9. 65).- En una librería se vende un libro de álgebra en $65. Si el vendedor gana el 30% en cada libro, ¿cuánto paga a la editorial por el libro de álgebra? 66).- En una librería se vende un texto en $39.20. Si la utilidad es el 40% de cada venta, ¿cuánto paga el librero a la editorial de ese texto? 67).- Un carpintero desea intercalar dos divisiones transversales en un cajón de 28 pulgadas de largo. Desea colocarlas de tal modo que los espacios creados aumenten 3 pulgadas, del frente hacia el fondo. Si el espesor de cada división es de  pulgada, ¿a qué distancia del extremo delantero debe colocar la primera división? 68).- Un carpintero desea colocar cuatro entrepaños en una pared de 8 pies de altura, para que los 4 espacios creados disminuyan 6 pulgadas al avanzar de abajo hacia arriba. Si el espesor de cada entrepaño es de  de pulgada, ¿a qué distancia del piso quedará el entrepaño inferior? 69).- Imagina que eres el gerente de producción en el Teatro de la Comedia. Hubo lleno en el estreno de ―La Comedia de la Vida.‖ Al día siguiente contaste los talones recabados en ese estreno. El teatro tiene 110 lugares, y se vendieron $512 en boletos para adulto, a $3 cada uno, y los demás se vendieron a $5. Se deben pagar regalías de 7% sobre las ventas de los boletos. ¿Cuánto debes de regalías por derecho de autor, por ese estreno? 70).- Un carpintero quiere cortar una tabla de 20 pies para que un tramo mida el triple del otro. ¿Dónde debe cortar la tabla? 71).- Un rectángulo tiene 4 metros más de longitud que de ancho. Si su perímetro es 28 metros, calcula su área. Salvador González Sánchez - 64 -
  • 65. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 72).- Susana pesa 48 libras y su papá 180. Si Susana se siente en un extremo de un sube y baja de 20 pies, apoyado en su centro, ¿a qué distancia del apoyo debe sentarse su papá para equilibrar el sube y baja? 73).- María dispone de $25000 para invertir. Deposita algo de su dinero al 10% de su interés, y el resto al 9%. Si su ingreso total por esas inversiones es $2430, ¿cuánto invirtió a cada tasa? 74).- ¿Cuánta agua se debe agregar a 20 litros de una solución de alcohol al 20% para rebajarla al 8%? 75).- Un automóvil y una motocicleta salen del mismo lugar y viajan en la misma dirección. El automóvil viaja a una velocidad promedio de 55 millas por hora, y la motocicleta a 40 millas por hora. ¿En cuánto tiempo la distancia entre los dos vehículos será 5 millas? 76).- La mayoría de las veces, el peso o volumen iniciales de un medicamento impreso en el envase, pero en la unidad experimental de GTHM alguien olvidó anotar el volumen inicial de Suero V. Lo que sabía es que la primera dosis era  de la cantidad original, y la segunda era  de lo que quedara. Después de administrar las dos dosis quedaban 24 cc del suero. Esta medicina experimental se vende a $35 cc. ¿Cuánto costó cada dosis? 77).- Un decorador entra a tu taller de herrería pidiendo que le hagas un macetón exterior. Te da la siguiente información sobre lo que quiere el cliente. La caja rectangular debe tener 12 pies de longitud y 5 pies de ancho, y debe contener 8 yardas cúbicas de material orgánico. ¿Qué prefundid debe tener esa caja? 78).- Un químico necesita conocer el peso molecular, en gramos/mol. de un sólido. Consultando en sus manuales, pudo deducir que la suma de la tercera parte y la mistad del peso molecular es 90 g/mol. Calcula el peso molecular del sólido. 79).- Arquímedes dijo que si te dieran una palanca adecuada, podrías mover le mundo. Haz sido contratado para la construcción de una cabaña en el bosque. Se debe sacar una gran roca del terreno. Para moverla se necesita Salvador González Sánchez - 65 -
  • 66. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I una palanca de 15 pies de longitud, con el punto de apoyo a 3 pies de la roca, así como un peso combinado de 350 libras. El camión que vas a usar para retirar la roca necesita tener una capacidad mínima , en peso, ¿de cuántas libras? 80).- La Confitería Mundial desea hacer canastas de primavera. Después de hacerlas, les sobraron 27 libras de medias pacanas, que se venden a $6.30 por libra. También sobraron 25 libras de almendras, que se venden a $8 por libra. Para salir de los sobrantes, Confitería Mundial quiere vender bolsas de 1 libra de mezcla, a $7 cada una. ¿Cuántas onzas de pacanas y almendras hay en cada bolsa? ¿Cuántas bolsas se deben hacer? (1 libra tiene 16 onzas) 81).- Eres miembro del Consejo Ciudadano de Planeación. Se esta llevando a cabo el mayor debate en muchos años, acerca de si la ciudad debe construir o no una cisterna de emergencia que sirva en estaciones especialmente secas. El sitio propuesto tiene el espacio suficiente para una cisterna cónica de 14 pies de diámetro y 85.3 pies de profundidad. Mientras el suministro principal de agua funcione, la cisterna se mantendrá llena. Sin embargo, en caso de una emergencia, esa cisterna, además de suministrar agua a la ciudad, perderá cierta cantidad por evaporación. La empresa diseñadora de la cisterna proporciona la siguiente información: Si D es igual a la cantidad de días consecutivos en lo que se usa la cisterna, que tiene volumen V, la cantidad total de agua perdida por 2 D  0.7  evaporación en esos días D días será 0.1V    .  D  Así que el volumen de agua que queda en la cisterna, después de haberla usado D días es: Volumen=V–(consumo diario)•D–(evaporación) En la ciudad se consumen unos 57,500 pies cúbicos de agua por día, bajo condiciones de emergencia. La mayor parte de los miembros del Consejo cree que es buena idea la construcción de la cisterna, si es que puede surtir el agua durante una semana. De no ser así, su voto será en contra de la construcción. a. Calcula el volumen que le cabe a la cisterna. Recuerda que se deben manejar correctamente las cifras significativas. Expresa la respuesta en notación científica. Salvador González Sánchez - 66 -
  • 67. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I b. Demuestra que la cisterna alcanza para el suministro de agua a la ciudad durante una semana completa. c. ¿Cuánta agua podría usar diariamente tu ciudad si la cisterna propuesta pudiera suministrar agua durante 10 días? 82).- Teresa administra la tienda Deportes Vigor, cadena nacional de venta al menudeo de artículos deportivos. Te contrató para que le ayudaras a resolver algunos problemas. Asegúrate de explicar como llegaste a las soluciones. a. La empresa ha dispuesto, recientemente, que todos los embarques de palos de golf se vendan a un precio de menudeo que sea igual a tres veces su costo. Ayer llegó un embarque de palos de golf, y todavía no se han etiquetado. Esta mañana llamó la casa matriz para decir que esos palos se deben vender con descuento de 35% sobre su precio de menudeo. En lugar de etiquetar cada palo con su precio de menudeo, calcula el precio de venta y etiqueta los palos. Teresa desea saber como llegar, directamente, del costo del palo a su precio de venta ya con descuento. Esto es, sí C es el costo para la tienda de cierto palo, ¿cuál es su precio de venta? 1) Deduce una fórmula y contesta esta pregunta. 2) Ahora prueba tu fórmula en un palo que cuesta $26 a la tienda. Compara tu respuesta con lo que obtienes siguiendo el procedimiento de la empresa, primero calculado el precio al menudeo y después rebajándolo en 35%. b. Todas las bolsas para palos se han vendido con un descuento de 20% durante las últimas semanas. Teresa las tiene todas en una gran anaquel, donde hay un letrero que dice ―20% de descuento sobre el precio a menudeo‖. La matriz les comunica ahora que este precio de venta se reduzca en 35%. En lugar de reetiquetar cada una de las bolsas con su precio de venta, a Teresa le gustaría cambiar el letrero para que diga ―___ de descuento sobre el precio al menudeo. 1) Calcula el número que debe poner Teresa en el espacio en blanco. 2) Comprueba tu respuesta calculando el precio final de venta de una bolsa de palos cuyo precio al menudeo sea de $100, de dos manera:  con el porcentaje que dijiste debería aparecer en el espacio en blanco.  calculando los dos descuentos por separado. Salvador González Sánchez - 67 -
  • 68. PROBLEMARIO PARA EL CURSO DE MATEMÁTICAS I 3) ¿Diría lo mismo el letrero si el precio al menudeo se hubiera reducido primero 35% y después 20%? Explica tu respuesta. Salvador González Sánchez - 68 -