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CONGRUENCIA DE ÁNGULOS
CAPITULO IV
A A’
CONGRUENCIA
B C B’ C’
Dos o más figuras son congruentes cuando pueden hacerse
coincidir en todos sus puntos por superposición directa; o
El ABC es congruente con el A’B’C’ por tener la misma
simplemente dos figuras son congruentes cuando tienen la
forma y el mismo tamaño. Todas sus partes son
misma forma y el mismo tamaño.
correspondientes:
CONGRUENCIA DE SEGMENTOS
B  B’ BA  B' A' BC  B'C '
Todo segmento es igual así mismo; esta es la famosa identidad
de las cosas. A B
luego: ABC A’B’C’
En lo sucesivo usaremos correspondiente como sinónimo de
En forma simbólica AB  AB
homólogo
Siendo el símbolo  el que representa la congruencia.
Gráfica con tu compás y regla dos ángulos que sean
El segmento AB es congruente con el segmento A' B' , porque
congruentes, con la condición:
tienen la misma forma y el mismo tamaño.
a) que tengan tres lados iguales:
A B A’ B’
AB  A' B'
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 40

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b) Que tengan igual un lado y los ángulos adyacentes: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son congruentes si sus partes se corresponden
30º 80º mutuamente. Para probar que dos triángulos son congruentes no
es necesario, conocer seis de sus elementos; basta con conocer
tres de ellos (como en los tres ejercicios anteriores).
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
Un criterio de congruencia no es más que conocer y estar cierto
de que tres condiciones hacen constar que dos triángulos son
congruentes
PRIMER CRITERIO DE CONGRUENCIA
c) Que tengan iguales dos lados y el ángulo comprendido
Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos lados y el
ángulo comprendido.
45º
Dados los siguientes tres elementos construir dos triángulos que
sean congruentes.
Al hacer la construcción se estará confirmando, que, con esos
tres elementos es posible obtener un triángulo único.
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De las construcciones podemos observar que los elementos de SEGUNDO CRITERIO DE CONGRUENCIA
los triángulos se corresponden: Criterio Ángulo Lado Ángulo, dos triángulos son congruentes si
tienen iguales un lado y dos ángulos adyacentes.
A  A’ B  B’ C  C’
AB  A' B' BC  B' C' AC  A' C' Con los elementos que se dan, construye 2 triángulos que sean
congruentes.
En símbolos: ABC  A’B’C’ a).-
Interpretando, el triángulo cuyos vértices son A, B y C, es
congruente con el triángulo A’, B’ y C’
Cuando dos triángulos tienen iguales dos lados y el ángulo
comprendido iguales, a estos tres elementos le llamaremos,
criterio de congruencia LAL (lado ángulo lado). Esto
simplemente asegura la congruencia.
Reproduce, dos triángulos iguales con los elementos que se dan, b).-
bajo el criterio LAL.
C C’
A B A’ B’
Que los ángulos sean adyacentes al lado significa que están en
sus extremos.
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Por construcción
A  A’ B  B’ AB  A' B'
y la construcción es única por lo que
C  C’ AC  A' C' BC  B' C' Algunas personas tienen la tendencia a considerar que dos
triángulos son iguales si tienen sus tres ángulos respectivamente
Por el criterio ALA los dos triángulos son congruentes. iguales. Esto es falso, existen sí, triángulos que tienen sus tres
ABC  A’B’C’ ángulos respectivamente iguales y, sin embargo, los triángulos
no son iguales. Estos triángulos son semejantes más no iguales.
TERCER CRITERIO DE CONGRUENCIA
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
iguales sus tres lados. Congruencia LLL (lado, lado, lado). CASOS PARTICULARES DE CONGRUENCIA ENTRE TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Con los datos que se dan construye dos triángulos congruentes y C C’
establezca la congruencia de sus partes.
a).-
A A’ B’
C B
C
Dos triángulos rectángulos son congruentes si tienen iguales la
hipotenusa y un cateto, (LLA).
b).-
La congruencia LLA no es general, nada más se cumple en los
triángulos rectángulos.
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Ejercicios d).-
1.- ¿Que criterio se emplea para determinar la congruencia de la
pareja de triángulos? Los criterios son: LLL, LAL, ALA.
a).-
e).-
Las marcas corresponden al criterio LAL.
b).- En una demostración de congruencia de triángulos,
visualizaremos en la figura los tres elementos que hacen que dos
triángulos sean congruentes (LLL, ALA, LAL).
f).-
g).-
c).-
h).-
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Solución:
Como los triángulos son congruentes: 4y = 60°
60º
Despejando y  = 15º
4
3x = 30° despejando x,
3x = 30º
i).-
x = 30
3
x = 10°
b).-
7y+8 11x+6
j).-
I  II
I II
2x+12 3y+2
c).- I  II
6y-7
x=
2.- Las siguientes figuras representan triángulos congruentes. y=
3x-2 I II
Encontrar de las letras que se indican.
7y-14
a).-
2x+13
3x I  II
I 4y
x=
y=
60°
II
30°
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 45

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3.- Encontrar el valor de las letras que se indican, si los
siguientes triángulos son congruentes.
4.- Construir dos triángulos congruentes con los datos que se
x+2 5y-18
dan: II
I
a) x+8
3y-2
I  II
7x-6 5y+5 x=
y=
I II
4y+4 3x+16
4y+1
b)
MÉTODO DEDUCTIVO
4.- I  II x= y= 2x-11
I II
Para hacer una demostración, se parte de los axiomas,
definiciones y teoremas ya demostrados con anterioridad. Sobre
X+5 7y+1
esta base se puede construir una argumentación, que conduzca a
la afirmación o negación de la proposición general. Al hacer lo
anterior se esta hablando de la Geometría como Ciencia. Desde
el punto de vista pedagógico casi siempre se observa como
5.- I  II x= y=
problema la demostración geométrica, debido a su abstracción
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 46

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como ciencia formal, y se presenta como un obstáculo sabe leer estuviese pensando en el nombre de las letras y no en
insalvable; que solamente un número reducido de estudiantes es el contenido de la lectura.
capaz de aprender que la geometría sea una ciencia formal
quiere decir que sean objeto de estudio no es el mundo, se Entonces la demostración
trabajar con conceptos abstraídos del mundo real.  Hipótesis
 Figuras y trazos
Algunos matemáticos afirman que los estudiantes aprenden lo  Afirmaciones
mismo si se hacen o no demostraciones; sin embargo otros como  Tesis
Piagget, teorizan que en el Bachillerato los alumnos han
desarrollado sus estructuras mentales de tal forma que todos son La demostración del método deductivo es el camino hipótesis –
capaces de aprender el método deductivo ya que es el método tesis, por muy complicada que sea una demostración, el
lógico del pensamiento. Otros opinan que los alumnos pueden encadenamiento tienen que seguir este camino ¿Qué de ninguna
escoger cualquier profesión, más sin embargo ningún estudiante manera es mecánico? El éxito en una demostración de alto grado
debe renunciar a pensar con rigor. Puede haber otras formas de de dificultad consistirá en relacionar la hipótesis con alguna
educar al pensamiento, pero Euclides no debe ser ignorado. propiedad ya demostrada que ayuda a llegar a la tesis, ésta ayuda
puede ser también un trazo auxiliar. Estos artificios no parecen
No hay reglas para hacer una demostración, sin embargo, es naturales pero la ciencia no es natural es una creación del
valido hacer algunas sugerencias: hombre y el razonamiento que sigamos será una forma
Hacer una figura geométrica de la proposición a demostrar (para contundente de desconfiar de la observación meramente
una demostración la figura es un recurso). sensorial.
Escribir por orden las afirmaciones enumerando primero las que
se den como condiciones, para hacer la demostración. Solo se aprende a demostrar haciendo. Por lo que es
A cada afirmación, asociársele su razón. recomendable, que cada quien se dedique a lo suyo, se haga
responsable de su propio aprendizaje.
Estas sugerencias son recomendables para que el alumno
aprenda a razonar con orden. Una vez desarrollada la habilidad
todo lo anterior sale sobrando, por que es como si alguien que ya
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No reproduzcas los trabajos de tus compañeros, no copies.
Intenta resolver cada ejemplo y todos los ejercicios. Ejercicios del Capitulo IV.
A los lados o ángulos congruentes hay que colocar marcas
iguales.
1.- Demostrar que si los segmentos AE y DF se bisecan en P
Hipótesis: PDA  PFE.
Que un segmento sea bisecado por un punto quiere decir que lo
parte a la mitad.
En demostraciones de congruencia se mostrará que dos
triángulos son congruentes, si se cumple uno de los tres criterios
( LLL, ALA, LAL).
¿Cuál criterio confirma que los dos triángulos anteriores son
congruentes?
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Afirmaciones Razones 4.- Teorema: Los segmentos de rectas paralelas comprendidas
1.- P biseca los segmentos AE y DF Por hipótesis entre paralelas son iguales.
2.- AP  PE Por hipótesis l4 l3 l2
3.- DP  PF Por hipótesis
l1 l 2
4.- 1  2 Opuestos por el vértice l1
5.- PDA  PFE Criterio LAL
l3 l4
Q.D. queda demostrado
2.- Si P es el punto medio de DF y DF, demostrar que : 5.- En la siguiente figura, si AB DC y AD BC , demuestra que
DPA  FPE ABD  CDB
A F
D C
P
A B
D E
6.- Teorema: a los lados iguales de un triángulo se oponen
3.- Demostrar que, la bisectriz de un triángulo isósceles lo ángulos iguales. Hacer la demostración en un triángulo
divide en dos triángulos congruentes. isósceles. Esto puede ser el corolario del teorema del problema 3
C
C
A B A B
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7.- En la siguiente figura AH  FH y AHB  FHB, 9.- En el triángulo equilátero ABC AP  BQ  CR demostrar
demostrar que A  F que el PQR es equilátero.
A
H
D
R
B C
B
Q
A F
10.- Dado un ángulo del vértice A, por un punto P de la
8.- En la figura AE interseca a BD en C y AC  DC BC  EC bisectriz, se traza una recta paralela a uno de sus lados, ésta
demostrar que AD recta corta a otro lado en un punto B. Si AB = 5, ¿Cuánto mide
BP?
D
E
C
B
A
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11.- Mostrar que en un triángulo isósceles las medianas de los 13.- Demostrar que en estos pares de triángulos, el ángulo tres y
lados iguales, son iguales: el ángulo 4, son congruentes.
Hipótesis:
1 3  4
2 AB  BC en B
3 PB  QB
Tesis AM  CM MP  MQ
3
P
12.- Con la ayuda de dos triángulos rectángulos congruentes;
justifique el procedimiento para medir el ancho de un río. M
4
B Q C
15.- Busca triángulos congruentes para medir el tamaño de un
lago. Recuerda el teorema que señala que cuando dos ángulos
que tienen sus lados respectivamente paralelos, son iguales.
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