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En los problemas de construcción, se trata de construir una
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12.- Dibuja los ángulos de la medida que a continuación se         15.- Los siguientes ejercicios, se refieren a encon...
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Geometria Euclideana Capt 2

  1. 1. 6 CONCEPTOS BÁSICOS CAPITULO II A los conceptos básicos también se les conoce como términos indefinidos. En geometría como en cualquier otra disciplina es “Toda ciencia demostrativa tiene que partir de Principios Indemostrables; de otro modo, los pasos de apremiante que el alumno se apropie de nuevos conceptos, se la demostración serían infinitos”: Aristóteles familiarice con un nuevo simbolismo y para que no haya confusión aprenda una sola notación y esto permite una DEFINICIONES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES comunicación con mayor claridad. Al final de cuentas la Matemática es la apropiación de un nuevo lenguaje. El estudio de la Geometría plana, desde los griegos hasta nuestros días ha seguido un solo camino: el descubrimiento de PUNTO hechos por el método que conocemos como inductivo y su Ya se dijo que es un término no definido pero podemos concreción en el método deductivo. representarlo con la punta de nuestro lápiz y nombrarlo con Son pocas las ciencias que pueden presumir de tener, como la cualquier letra mayúscula. geometría, una estructura tan acabada que permanece .A .B prácticamente sin modificaciones desde la antigüedad. Eúclides le dio orden y sustento, de acuerdo con fuentes consultadas. Como el punto geométrico es algo ideal; el grafo no es punto, es una forma práctica de representarlo. La abstracción es una De nuestro pasado escolar la mayoría, retenemos algunos estructura conceptual que nos sirve para pensar y transformar la conocimientos sueltos de la geometría plana. La mayoría realidad, sin tener que operar con objetos físicos, es decir la seremos capaces de reconocer un triángulo equilátero, las líneas matemática como ciencia formal trabaja con conceptos ideales. paralelas, un cuadrado etc., algunos pocos podrán calcular el área de un trapecio, pero casi nadie será capaz de recordar el LÍNEA RECTA teorema de Pitágoras y menos realizar su demostración. Esto da La línea recta es un término no definido, tiene que ser pensada idea de la dificultad que conllevan los docentes enfrentados en como algo ideal. No existen en el universo objetos que puedan la enseñanza de la geometría y enfrenta de manera dramática las representar fielmente la idea de la línea recta. Sin embargo una opiniones encontradas: memorización contra razonamiento. aproximación a la idea de línea puede ser un cabello lo suficientemente tensado, el alambre que sirve de lindero en un terreno etc. Para los fines de la enseñanza de la geometría una MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  2. 2. 7 línea en el pizarrón o en nuestro cuaderno, representa la línea 8) Toda figura se puede cambiar de posición sin alterar su recta. forma ni sus dimensiones. l 9) El número de puntos es infinito. Figura 1 Las flechas indican que la recta se puede prolongar de manera DEFINICIÓN indefinida en ambos direcciones. Por conveniencia las rectas se Las definiciones de las figuras geométricas y a propósito representan con letras minúsculas. ¿Que se entiende por definición de una figura geométrica? ¿Puede demostrarse una definición? Argumenta LOS CINCO POSTULADOS DE EÚCLIDES Escribe 5 definiciones de figuras geométricas 1.- Dos puntos determinan una recta. 1.- 2.- Todo segmento puede prolongarse, en ambas direcciones de 2.- manera que siga estando sobre la misma recta. 3.- 3.- Dado un punto y un segmento, se puede determinar un 4.- círculo. 4.- Todos los ángulos rectos son iguales. 5.- 5.- Por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela y solo una. EL TEOREMA DE PITÁGORAS “En todo triángulo rectángulo el cuadrado construido sobre la Axiomas que aparecen en los Elementos: hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos” 1) Cosas que se pueden superponer una a otra son iguales. 2) El todo es mayor que cualquiera de sus partes. 3) Toda cosa es idéntica así misma. 4) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. a2 + b 2 = c 2 c b 5) El todo es igual a la suma de sus partes. 6) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. Figura 2 7) Dos rectas no pueden intersecarse entre sí, en más de un punto. a Para su MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  3. 3. 8 demostración se tienen que usar solamente los términos no Con los elementos anteriores la geometría está en posibilidades definidos los axiomas los postulados las definiciones etc., de realizar una demostración de una proposición general que son enlazados de una manera lógica. En la demostración no se puede los teoremas introducir nada de lo que no está plenamente aceptado. COROLARIO Ejercicios: Es una proposición que se deduce de un teorema, como consecuencia del mismo. Ejemplo: En un triángulo rectángulo Demostrar el Teorema de Pitágoras con recortes en papel. los dos ángulos agudos son complementarios. Enuncia cinco teoremas de los que recuerdes de estudios ¿QUÉ ES UN PROBLEMA GEOMÉTRICO? anteriores; si no recuerdas recurre a las fuentes más inmediatas. Es una proposición no resuelta en la que se pide construir una 1.- figura que reúna ciertas condiciones o bien calcular el valor de 2.- una magnitud. 3.- 4.- SEMIRECTA 5.- Si sobre la recta de la figura 1 se dibuja un punto A, se obtienen dos semirectas, es decir rectas que ya solamente se Haciendo dobleces en una hoja de papel formar dos líneas pueden prolongar en un sentido (figura 4). perpendiculares. m A Haz un dobles en una hoja, observa como se forma una línea Figura 4 recta. SEGMENTO DE RECTA Dibuja un punto P cualesquiera. Si sobre una recta se gráfica dos puntos A y B. La porción de Dobla la hoja, hasta que el punto P dibujado coincida con la recta comprendida se llama segmento. línea. A B Figura 5 a) Une los puntos con un doblez y se obtiene la línea que forma el ángulo recto. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  4. 4. 9 Segmento AB sin sentido. Solamente tomando en cuenta la Una vez fijadas las condiciones se crean los objetos geométricos medida (esto es su valor absoluto) es lo mismo medir de A a B y las definiciones correspondientes para crear un sistema que de B hacia A. Generalmente al punto que se nombre en consistente de las figuras planas y sus propiedades. primer termino se llamara origen y al otro extremo. Notación: Un segmento se designa por las letras de sus extremos ÁNGULOS y por un trazo encima ( AB ). Se define un ángulo como la magnitud de la abertura formada por dos rayos unidos en un punto común llamado vértice del RECTAS PARALELAS ángulo. En la figura 8 el punto en común es C. Son las que no tienen puntos comunes o más llanamente nunca se cruzan. A m n C Figura 6 B Figura 8 Notación: m n la recta m es paralela a la recta n. Las rayos CA y CB se llaman lados del ángulo. RECTAS PERPENDICULARES Son dos segmentos formando ángulos rectos. Notación: el ángulo de la figura 8 se representará solamente con la letra de su vértice. C (ángulo C), o con tres letras r escribiendo la del vértice en medio ACB, siendo esta ultima la l notación de ángulo que se usará en lo sucesivo. Figura 7 MEDIDA DE LOS ÁNGULOS: Notación: l┴r la recta l es perpendicular a la recta r. Medir una cantidad es compararla con otra, tomada como Por el postulado 4 de Euclides, los dos ángulos rectos de la unidad de medida. De momento solamente se utilizará para la figura 7 son iguales. medida de los ángulos el grado, y el sistema circular o radian MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  5. 5. 10 POSTULADO DE LA MEDIDA DE UN ÁNGULO Esto significa que en todos las circunferencias caben 6.28 A todo ángulo se le asocia un número real llamado grado. radios. Para que el ángulo mida un radian la condición es que el arco S, mida lo mismo que el radio. EL SISTEMA CIRCULAR. En el sistema circular se usa como unidad de medida el Radian. El radian es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Como la longitud de una circunferencia es igual a 2 radios; resulta que un ángulo de 360° equivale a uno de 2 radianes; es decir: 6.28 radios (dándole a  un valor de 3.14) equivalen a 360° grados. EQUIVALENCIA DE ANGULOS EN GRADOS Y RADIANES. De acuerdo con la definición de grado los cuatro ángulos rectos de la figura suman 360°. Por eso decimos que el ángulo de una vuelta mide 360°. Figura 9 ¿Cuántas unidades de longitud mide la circunferencia de la figura, suponiendo que su radio mide la unidad r=1 ¿Cuantos ángulos que midan un radian se pueden trazar en una La longitud de la circunferencia se encuentra por la formula: circunferencia? 6.28 porque el arco S mide lo mismo que el radio r. L=2r si r=1 Ejercicio L=2(1) = 3.14 Gráfica en una circunferencia ángulos centrales de aproximadamente 57°. L= 6.28 Entonces se puede escribir la siguiente equivalencia 360 grados = 2 radianes. ¿ Cuantos grados mide un radian? Despejar radianes MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  6. 6. 11 360 Convertir los ángulos medidos en grados a radianes y viceversa.  Radian 2 a. 30° b. 45° 180 c. 60° d. 90° Simplificando:  Radian  e. 120° f. 150° ¿ Cuantos radianes. mide un grado? Despejar grado 360 grados = 2 Radianes. g. 180° h. 210° grado = 2 Radianes/360° i. 300° j. 720°  grado = Radianes 180 k. 2 Rad l. 11 Rad 6 6 Con estas equivalencias se pueden hacer las conversiones de grados a radian o viceversa. 2 4 m. Rad n. Rad 3 3 EJEMPLO: o. 2 Rad p. 3Rad Para convertir 30° a radianes, se multiplica 30° por la equivalencia, esto es: 10 q. 6 Rad r. Rad  3  3 30   180 18 6 11 13 EJEMPLO: s. Rad t. Rad 3 3  Convertir radianes a grado, multiplicamos de igual manera 6 Gráfica los siguientes ángulos, usando el transportador.  180 180 por la equivalencia    30 a) 35° b) 42° c) 63° 6  6 d) 150° e)  2 Rad f)  Rad 6 g) 3 Rev h) 1 Rev 2 4 2 i) Rad 3 Divide una circunferencia en cuatro partes iguales. Escribe cada Ejercicio uno de sus ángulos centrales en: grados, radianes y revoluciones. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  7. 7. 12 Divide una circunferencia en ocho partes iguales. Escribe cada uno de sus ángulos centrales en: grados, radianes y revoluciones. Haz lo mismo dividiéndola en doce partes iguales CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POR SU MAGNITUD Figura 10 AOC +COB = 90° ÁNGULO RECTO Es el que mide 90° y esta formado por dos rectas EJEMPLO: perpendiculares entre sí. Encontrar el complemento del ángulo de 39° ¿Cuantos grados le Tomando como modelo el ángulo recto faltan a 39° para 90°? a) Los ángulos menores de 90° se llaman agudos. 90° - 39° = 51° b) Los ángulos mayores de 90° se llaman obtusos. Encontrar el complemento del ángulo 42° 22’. Sabiendo que c) Ángulo llano o de lados colineales. cada grado tiene 60 minutos 1° = 60’; descomponemos un grado en minutos. Ejercicio 89° 60’ De acuerdo con las definiciones anteriores, clasifica los ángulos - 42° 22’ del ejercicio anterior. 47° 38’ Ejercicio PAREJAS DE ÁNGULOS Encuentre el complemento de los siguientes ángulos a. 62° b. 49° ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS. c. 35° 21’ 31’’ d. 72° 25’ Son dos ángulos que suman noventa grados como se muestra en e. 68° 12’ f. 81° 20’ 15’’ la siguiente figura. g. 33° 12’ 33’’ h. 45° 0’ 48’’ EJEMPLO: MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  8. 8. 13 ¿Cuanto vale x en la figura 11, para que los ángulos sean ÁNGULO LLANO O DE LADOS COLINEALES complementarios? Es un ángulo que mide 180°, un lado es la prolongación del otro. Es una línea recta, mide el arco completo del transportador. Fig 2x 20° ABC 180° ura A B C 12 Figura 11 ÁN Solución: de la definición de ángulos complementarios, los dos GULOS SUPLEMENTARIO ángulos deben sumar 90°. Son dos ángulos que suman 180°. También los podemos 2x + 20° = 90° entender, como el ángulo llano dividido en dos ángulos. despejando a x, tendremos: 2 x = 90° - 20° 70 x = A + B =180° 20 x = 35° B A Figura 13 El complemento de 20° es 70° ya que 20° +70° = 90° Ejercicio EJEMPLO: Encontrar el suplemento de los siguientes ángulos. Si el complemento de un ángulo es el doble del ángulo, entonces a) 123° d) 23° 31’ encontrar el valor de los ángulos. b) 143° 21’ 16’’ e) 162° 22’ Solución: sea x un ángulo y sea 2x el doble del ángulo. Por la i. c) 93° 25’ j. f) 178° 25’ 45’’ definición de ángulos complementarios, tenemos: x +2 x = 90° EJEMPLO: 3 x = 90° El suplemento de un ángulo x es 3x encontrar el valor de los x = 90°/3 ángulos. x = 30° Si x = 30° y 2x = 60° tendremos que: x +2x = 90° Solución: Hacer una gráfica del problema, con la ayuda de la definición de ángulos suplementarios. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  9. 9. 14 En la demostración se hace una figura. Se plantea la hipótesis que se va a demostrar. Se hacen los razonamientos en base a los axiomas, definiciones y teoremas ya demostrados. Se llega a la tesis o conclusión. No se permite usar teoremas o proposiciones Figura 14 no demostradas. Se enumeran los razonamientos. 3x + x = 180° Completa la solución de la ecuación. ángulo x = Una vez hecha la figura 16, tenemos que suplemento del ángulo x = Hipótesis: 3 = 4 ÁNGULOS ADYACENTES 1.- 1 + 3 = 180° Por ser suplementario Son parejas de ángulos que tienen un lado común. Como los 2.- 1 + 4 = 180° Por ser suplementario ángulos complementarios y suplementarios. 3.- 1 + 3 = 1 + 4 Por ser cantidades iguales 4.- 1 + 3 = 1 + 4 Si a cosas iguales se le quitan ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE cosas iguales. La igualdad se Son dos ángulos, donde sus lados son prolongaciones uno del conserva.  3 = 4 Tesis o conclusión otro. Lo entendemos también de modo gráfico como dos líneas que se cruzan entre sí. PAREJAS DE ÁNGULOS FORMADOS CUANDO DOS PARALELAS SON CORTADAS POR UNA SECANTE. m 2 1 3 3 4 l1 2 Figura 16 1 6 5 l2 7 8 m secante 1 es opuesto por el vértice al 2 4 l1 l 2 3 es opuesto por el vértice al 4 Figura 17 100 E s te O e s te 80 N o rte Recorta los ángulos opuestos por el vértice, sobrepón las partes 60 hasta que coincidan. 40 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 20 0 1 e r tr im . 2do 3 e r tr im . 4 to tr im . tr im . MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  10. 10. 15 ÁNGULOS CORRESPONDIENTES 3.- 3 = 5 Dos cosas iguales a una tercera Mide las parejas de ángulos correspondientes, 2 y 6, 3 y son iguales (axioma) 7, 1 y 5, 4 y 8; demuestra midiendo que son iguales y Las parejas de ángulos externos externos son iguales.Mide los recórtalas. ángulos para su comprobación 2 = 8, 1 = 7 a. Corta 2 y el 8, ¿Cómo son? Ejercicio b. Corta 1 y el 5, ¿Cómo son? Escribe el nombre correcto de las parejas de ángulos formados c. Corta 3 y el 6, ¿Cuántos grados suman? entre dos o más paralelas. d. Y ahora ¿Cuánto suman el 4 y el 5? e. Los ángulos 2 y 7 ¿Son suplementarios? f. Corta 1 y el 8, ¿Cuántos grados suman? Ángulos colaterales internos son suplementarios 4 + 5 = 180° 6 + 3 = 180° Figura 18 Ángulos colaterales externos son suplementarios a) a y i 2 + 7 = 180° b) m y k 1 + 8 = 180° c) b y j Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos d) o y l iguales. e) p y n Mide con el transportador los siguientes ángulos cerciórate que f) e y f son iguales 3 = 5, 4 = 6 g) e y a Utilizaremos la figura 17 para la demostración h) n y k Hipótesis: 3 =  5 los ángulos alternos internos son iguales i) f y b 1.- 3 = 1 Opuestos por el vértice j) p y j 2.- 1 = 5 Por ser correspondiente 3.- 1+3= 1+ 5 Sumando 1 y 2 1 2 3 MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana. 6
  11. 11. B 16 a b AB CD c d A D 8 e 135° Figura 19 g h C a) 2 y 5 b) 4 y 1 c) 3 y 6 Figura 20 d) 7 y 2 e) 7 y 5 Asigna el valor en grados que corresponda a cada ángulo f) 4 y 8 a = b = c = d = e = g = h = MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  12. 12. 17 TRAZOS GEOMÉTRICOS CON REGLA Y COMPÁS. En los problemas de construcción, se trata de construir una figura geométrica, limitada por las condiciones que se dan. Lo importante de una construcción es la explicación del modo de realizarlo. Es recomendable enumerar los pasos que se realizan en la construcción. La trascendencia de una construcción geométrica es tan solo demostrar la posibilidad matemática de hacerlo bajo restricciones convenidas. Figura 21 Trazo No. 1 Definición: El segmento de recta QQ' que pasa por el punto medio y es perpendicular al segmento se llama mediatriz. Encontrar el punto medio de un segmento. 1.- Abre tu compás un poco más de la mitad del segmento. Trazo No. 2 2.- Haciendo centro en A trazar 2 arcos, uno por encima y otro Con tu escuadra traza una perpendicular a un segmento que pase por debajo del segmento. por un punto P exterior al segmento. Hazlo también usando 3.- Repite los arcos pero ahora haciendo centro en B. El punto regla y compás. Escribe y enumera, cuidadosamente, cada uno de intersección de los arcos los llamaremos Q y Q’ de los pasos que seguiste para su construcción. 4.- Une los punto Q y Q’, la línea que une los puntos es la mediatriz. El punto de intersección P sobre AB , es el punto medio. Figura 22 MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  13. 13. 18 Trazo No. 3 Construcción de la bisectriz de un ángulo. Figura 23 1.- Haciendo centro en V traza dos arcos sobre ambos lados del Figura 24 ángulo. 2.- Haciendo centro en A y B traza los arcos como lo indica la 1.- Con centro en P construir sobre el segmento AB un circulo figura. las intersecciones las denominaremos Q y R. 3.- Une V con el punto donde se cruzan los arcos en el interior 2.- Con centro en Q trazar un arco sobre el segmento y otro por del ángulo. debajo. Definición de Bisectriz: es una recta que divide a cualquier 3.- Repetir la operación, ahora con centro R. ángulo en dos ángulos iguales. 4.- La perpendicular resulta de unir S con T. Trazo No. 4 Trazar una perpendicular a un segmento, que pase por un punto que este sobre un segmento. MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  14. 14. 19 8.- Con la regla y el compás, construye un ángulo, igual al de la Ejercicios del Capitulo II figura. Escribe correctamente y enumera los pasos necesarios, 1.- Hállese el complemento de los siguientes ángulos: para hacer el trazo. a) 72° b) 65° 30’ c) 22° 20’ 5’’ d) 45° e) 130 ° f) 0° g) A h) 36° 21’ 2.- Hállese el suplemento de los siguientes ángulos: a) 45° b) 120° 9.- Trazar una recta paralela a l que pase por P. Escribe c) 145° 5’ d) 22° 20’ 15’’ correctamente los pasos necesarios, para hacer la construcción. e) 82° 23’ 10’’ f) 123° 35’ g)172° 21’ 33’’ h)152° 23’ 3.- La expresión 180° - B ¿Es el suplemento de A? l P 4.- Si el suplemento del ángulo x es 5x ¿Cuál es el valor de x? 5.- Determinar los dos ángulos x, y cuya suma es 90° y su 10.- Dibuja los siguientes ángulos, de cualquier magnitud. diferencia 10° a) SPQ b) TQR c) MNQ d) ABC 6.- Uno de los ángulos de un triángulo es el doble del otro y el triple del tercero, hállense los tres ángulos. 11.- Mide con tu compás los grados que aproximadamente 7.- Si uno de los ángulos agudos, de un triángulo rectángulo es tienen los ángulos que construiste en el ejercicio anterior (el dos veces el otro ¿Cuáles son los valores de esos ángulos? numero 10). MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  15. 15. 20 12.- Dibuja los ángulos de la medida que a continuación se 15.- Los siguientes ejercicios, se refieren a encontrar ángulos indica. entre paralelas cortadas por una secante. a) 59° b) 83° c)129° d) 93° l1 l 2 l1 3   D E e) Rev f) g) h) ½ Rev H 8 2 6  i) j) 150° K 45° R 4 l2 D= K= E= R= 13.- Con base en las siguientes figuras y los valores que se dan H= encontrar los demás ángulos. D 140° D= E E= 16.- Ídem B F F= AB CD D 80° Q= Z= Z C= 14.- Ídem 50° Q A C x= Razón: A= Razón: 2x B= Razón: 17.- EJEMPLO: 3x-20 A E X C Z E B Q M D DE AB 50° 55° R A B MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  16. 16. 21 Z = 50° X = 130° Q = 50° 20.- l2 l1 l1 l 2 M = 55° D = 75° R = 125° 3x+15 5x-65 x= Solución: R R = 1.- A = Z Por ser correspondientes. 2.- B = M Por ser alternos internos. 3.- A = Q Por ser alternos internos. 21.- EJEMPLO: 4.- D = 75° Para completar 180° 5.- R + M = 180° Colaterales internos. x+2y l1 l 2 3x+y 18.- Ídem x = 20° 100° y = 40° l1 l3 l1 l 2 l4 l3 l4 l1 l2 D Solución: 50° A = 1.- x + 2y = 100° Por ser alternos internos. Q T B = 2.- 3x + y = 100° Por ser correspondientes. A C = B D = Resolviendo el sistema por eliminación: Q = l2 T = por –3(x + 2y = 100°) por 1(3x + y = 100°) C 19.- -3x – 6y = -300° 3x + y = 100° l1 l 2 -5y = -200° Z X  200 y = l1 x= 5 Y x/2+20 Y = y = 40° l2 Z = MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  17. 17. 22 Sustituyendo y = 40° para encontrar x 25.- Trazar la mediatriz de los siguientes segmentos: x + 2y = 100° x + 2(40°) = 100° x = 100° - 80° x = 20° p 22.- 26.- Trazar una perpendicular al siguiente segmento por los x+4y l l1 l 2 puntos que se indican. P 5y l1 l m x= 100° l2 y= k P P )) 23.- l1 l1 l 2 27.- Trazar la bisectriz de los ángulos: l2 130° x= y= 5x-y 4x+y 28.- Trazar una recta paralela a la Recta l, que pase por el punto P. Escribe los pasos para la construcción. 24.- Dibujar los ángulos siguientes y enseguida trazar la bisectriz de cada uno de ellos: T Q R a) TPQ b) ABC c) MNQ S P O MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  18. 18. 23 31.- Dividir una 29.- Divide un círculo en cuatro partes iguales. circunferencia en cinco partes iguales. 30.- Divide un círculo en tres partes iguales. 32.- ¿Cuáles son los valores de X, Y en la siguiente figura si X-Y=100° AB || C D MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.
  19. 19. 24 A B C y D x MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.

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