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Tal vez, la idea de líneas paralelas fue aprendida por
CAPITULO I experiencia observando el bordo de los ríos igual pudo suceder
“Para cultivar la inteligencia no basta conocer a con la idea de circulo observando la luna, el sol, etc.
Euclides”
Sin embargo, para la construcción de la geometría tal como lo
ANTECEDENTES HISTÓRICOS concibieron los matemáticos y filósofos griegos, se tuvo que
pasar de lo concreto a lo abstracto de las formas “burdas” a las
¿Es la Geometría, una revelación o una creación del hombre?
ideas tal como lo concibe Platón. Sin una idea clara de la
Esta pregunta más bien corresponde al terreno de la filosofía.
abstracción no hubiera sido posible el desarrollo de la
La Geometría desde los egipcios y tal vez en otras
deducción
civilizaciones y hasta la época moderna, ha sido un ejercicio
continuo de crear una forma de pensamiento, una manera de No existe en el mundo sensible ninguna línea, porque son ideas
razonar, que comprende las distintas metodologías o formas de y la ciencia solamente puede desarrollarse no teniendo en
adquisición del conocimiento particularmente, la inducción y la cuenta lo concreto más bien un sistema de nociones no
deducción. No cabe la menor duda que los egipcios y definidas que le sirvan de fundamento. Imagine un punto sin
babilonios, conocían las propiedades particulares de muchos “área”, una línea sin anchura, etc., y esto es la sustancia de la
objetos geométricos; pero fueron los griegos, los creadores del ciencia.
método deductivo, que usaron para desarrollar la geometría
axiomática tal como se consigna actualmente en los textos PRINCIPALES CIVILIZACIONES DONDE SE DESARROLLO
modernos con ligeras modificaciones pero con la ayuda de una LA GEOMETRÍA
poderosa herramienta, el álgebra. Desconocida por los griegos.
L OS E GIPC IOS
Los historiadores en la reconstrucción de hechos afirman, que
la Geometría tuvo su origen en el reparto de la tierra, cuando el De acuerdo con las fuentes consultadas sobre los egipcios los
jefe de la tribu o el rey repartieron parcelas de tierra en las historiadores Herodoto y Aristóteles afirman que el Rey
formas con las que en la actualidad estamos familiarizados: Sesostris repartió en Egipto las tierras y las partes entregadas
cuadrados, rectángulos, trapecios, etc. tenían la forma de cuadrado, rectángulo, triángulo, etc.
Aristóteles aseguraba que la geometría fue creada por los
sacerdotes egipcios que tenían el tiempo suficiente para
dedicarlo a tal actividad, dicha afirmación la sustenta en base a
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.

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que la clase dominante era precisamente la casta sacerdotal. conocimientos, si es que los desarrollaron, se han perdido para
Siendo la clase dominante la dueña del conocimiento que se siempre y sólo queda lo que está documentado.
mantenía en secreto, lejos de las clases marginadas. Sin
embargo esto es justificable hasta en las sociedades modernas L OS B A B IL ON IOS
donde existen lenguajes especiales.
Al igual que los egipcios tuvieron un conocimiento práctico,
Sin embargo la única evidencia de los conocimientos sabían los procedimientos para calcular, áreas de triángulos,
geométricos de la antigüedad son los papiros. El papiro del trapecios, volúmenes de prismas etc., se presume que conocían
Rhind escrito por Ahmés aproximadamente en 1550 a.c. y el la semejanza de triángulos; y que la longitud de una
papiro de Moscú, escrito aproximadamente en el año 3550 a.c. circunferencia es aproximadamente a tres veces su radio y
por estos documentos, se sabe que los egipcios, conocían las entre muchos otros casos particulares, sabían que el triangulo
figuras planas y sabían calcular su área. Las mismas fuentes inscrito en una semicircunferencia es rectángulo.
señalan que los egipcios, conocían el triángulo rectángulo de Pero lo mismo que los Egipcios no desarrollaron el método
lados 3, 4 y 5 unidades calculaban, el área del triángulo y del deductivo solamente dominaron la Geometría a base de
círculo, así como el volumen de algunos sólidos como el cubo, mediciones de casos muy particulares.
cilindro circular, paralepipedo y la pirámide cuadrangular.
También las mismas fuentes revelan que los geómetras egipcios L OS G R IEGOS
comprendían ya la semejanza del triangulo y obviamente la
La Geometría Plana o Euclideana, en la actualidad se enseña
proporcionalidad.
en las escuelas con pequeñas variantes tal cómo la
Los egipcios eran eminentemente prácticos; necesitaban su desarrollaron los griegos, hace aproximadamente 2500 años.
regla para medir y eran expertos en medir áreas de figuras Desde entonces se revela como un poderoso método que se
particulares (empirismo). Conocían la inducción que consiste aparta definitivamente de los conocimientos “prácticos” de los
en afirmar sin ninguna comprobación la propiedad de algún egipcios y babilonios. .
objeto físico y trasladarla a una propuesta general.
La historia más antigua de los matemáticos griegos fue escrita
No sabemos si las culturas anteriores a los egipcios en el Siglo IV a.C., por un discípulo de Aristóteles, llamado
profundizaron lo suficiente en el desarrollo teórico de la Eudemo. Un breve extracto de esta obra, aparece en el
geometría. No habiendo forma de constatarlo; esos comentario sobre el Libro I de los Elementos de Eúclides,
escrito por Proclo en el Siglo VI d.C. de acuerdo con Proclo
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.

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los griegos tomaron de otras civilizaciones los conocimientos que con ellos hayan construido todo un saber, que fue y sigue
matemáticos, transformando esta herencia cultural en una siendo un patrón de razonamiento.
ciencia deductiva. Se cuenta que el método deductivo se
Por ejemplo: la Proposición: “el ángulo inscrito en una
desarrolla a partir de Pitágoras, se presume que los
semicircunferencia es recto”. Para ellos fue un acontecimiento,
matemáticos pitagóricos introducen en la geometría las
que causaba tanto revuelo, como en el mundo moderno El
nociones abstractas de axioma, teorema, punto, recta, etc.,
descubrimiento del genoma humano. Para la mayoría en la
sustituyendo el carácter empírico y particular de los
actualidad es algo que se considera intrascendente.
matemáticos prehelénicos.
El desarrollo de la geometría a partir de la abstracción de las
Los griegos conocieron el espacio, partían de hechos
formas geométricas sustituyendo el pragmatismo de los
experimentales que tomaban como verdades y se esforzaban
egipcios y babilonios es donde radica lo verdaderamente
por aceptarlas y crear un sistema con estas verdades. Dicho de
admirable de la civilización griega, no cabe la menor duda que
otra manera los axiomas son enunciados que se aceptan como
generan la abstracción a partir de las verdades “prácticas”
verdades sin discusión.
observadas. Construyeron verdades generales “modelando el
A los griegos les corresponde el mérito de haber abstraído a espacio”, a partir de términos sin definir y sus famosas
través de lo perceptible la línea, el punto, la superficie, etc. y verdades evidentes (axiomas).
haber formado con estas nociones el piso conceptual para el
Se pasa de la verdad práctica a la verdad científica, de acuerdo
desarrollo de una Ciencia deductiva. El modelo creado por los
con una lógica. Y es así como con tan poco la humanidad ha
griegos se ha perpetuado por siglos con ligeras modificaciones
ganado tanto en el desarrollo de las ciencias.
e interpretaciones. Los teoremas de Thales y de Pitágoras,
aparecen como algo absolutamente distinto de lo hecho por los La geometría deductiva de los griegos aferrados a la regla y al
egipcios y babilonios. Con los griegos se desarrolla la compás como ejes de la construcción fue revolucionada por
geometría partiendo de nociones evidentes, para que a través Descartes en el siglo XVI, con la Geometría de coordenadas
del razonamiento construir una proposición general. con lo que adquiere un nuevo enfoque y ha permitido el
florecimiento de la geometría analítica, la trigonometría etc. La
Los dos milenios y medio que separan al mundo moderno de la
unión del espacio y del número, es un descubrimiento moderno,
época griega nos impide lo hecho por los griegos, únicamente
con el que ni siquiera soñaron los griegos.
observando los hechos de la experiencia convertidos a ideas y
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.

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PRINCIPALES MATEMÁTICOS GRIEGOS A Thales de Mileto, se le atribuyen las siguientes
proposiciones:
T H A L ES DE M IL ET O  Cualquier diámetro biseca a un círculo.
 Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son
Thales de Mileto; nació en Fenicia y es considerado uno de los
iguales.
siete sabios de Grecia se dice que Thales, fue un rico
comerciante, siendo un hombre acaudalado renunció a los  Los ángulos verticales formados por dos rectas que se
negocios y dedicó su vida a la matemática y la filosofía. cortan son iguales (ángulos rectos).
 Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
En sus múltiples viajes que hizo a Egipto aprendió de la clase proporcionales.
sacerdotal, los conocimientos geométricos que eran mantenidos
También se le atribuye a Thales ser el primero en darle
en secreto para la “plebe”. Su fama de hombre de Ciencia, la
importancia al lugar geométrico o curva, al moverse un punto
adquirió al predecir un eclipse de sol en 585 a.C.
según una ley definida.
Por ejemplo: un lugar geométrico es la circunferencia, la ley
P IT Á GOR A S
que la define es: “todos los puntos que están a una misma
distancia de un punto fijo forman una circunferencia”, Thales
Discípulo de Thales nació en Samos (aproximadamente en 569
sustento la abstracción como principio general. Como filósofo
a.C.). En Crotona estableció su escuela de matemáticas y
resumió su filosofía diciendo que: “todo lo que existe es agua”.
filosofía. Cuenta la historia que a sus clases acudía una
muchedumbre a escuchar sus clases, incluyendo a las mujeres.
Hoy sabemos que estaba equivocado sin embargo la
Su influencia fue tan poderosa que sus discípulos pronto
importancia de la afirmación es que no la baja del Olimpo, es
formaron una hermandad. Sus miembros sostenían las mismas
una afirmación de un hombre que puede ser verdadera o falsa;
creencias, se dedicaban a los mismas investigaciones y se
tira a la basura la intervención de los dioses en los asuntos de la
comprometían bajo juramento a no revelar ningún secreto o
humanidad
enseñanza de la escuela. Su distintivo fue la hermosa Estrella
De acuerdo con las fuentes consultadas fue el primer Pentagonal, hecha por el propio Pitágoras.
matemático que intentó sistematizar la geometría.
El ambiente que rodeaba a estos filósofos eran el aire libre y el
cielo estrellado. Su descubrimiento más famoso es el teorema
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que lleva su nombre. Pitágoras, el filósofo al preguntársele para Desde entonces las proposiciones generales (teoremas) para ser
que vivía; respondía que para admirar el cielo y las estrellas. aceptadas como verdaderas tienen que ser demostradas de
Pero, además, afirmaba la hermandad, que este mundo estaba acuerdo con el método deductivo, esto es seguir un riguroso
formado por números. proceso de razonamiento. Ya no necesitamos regla ni compás,
solamente se requiere un riguroso desarrollo lógico que es la
E Ú C L I D ES demostración.
Muy poco se sabe de la vida de Eúclides, se presume que vivió
en el año 350 a.C. las fuentes de información son muy escasas
prácticamente inexistentes . Se dice que residió en Alejandría,
la ciudad fundada por Alejandro el joven príncipe soldado que
murió a la edad de 35 años. Se presume que fue maestro de la
escuela de Alejandría. Ciudad que fue centro de acumulación
del saber de aquella época.
La obra genial de Eúclides es haber desarrollado un método de
investigación, que fue aplicado particularmente para el estudio
de las figuras geométricas. Fijó de principio unas cuantas
verdades evidentes (axiomas), tan incuestionables que no se
pueden demostrar y se aceptan como verdaderas.
La obra cumbre de Eúclides fueron sus famosos elementos y el
método deductivo. Fijó en principio unos cuantos términos
primitivos o términos no definidos; partió de unas cuantas
verdades evidentes (axiomas).
A partir de este marco conceptual se demuestran los teoremas.
Los teoremas son las verdades generales que requieren de una
demostración usando únicamente los axiomas, los términos no
definidos, etc.
MATEMÁTICAS II: Geometría Euclidiana.