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Fracciones Algebraicas

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  • 1. Fracciones Algebraicas Capitulo 4 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS. 4.1. Definición y clasificación. 4.2. Propiedades. 4.3. Simplificación. 4.4. Multiplicación de fracciones. 4.5. División de fracciones. 4.6. Obtener el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas 4.7. Suma y resta de fracciones. 4.8. Simplificación de fracciones complejas. El concepto de número entero es uno de los más antiguos en matemáticas. El concepto de los números racionales (llamados así debido a que son razones de los números enteros) se desarrollo mucho después debido a que las tribus iletradas no tenían necesidad de un concepto de esta clase. Los números irracionales evolucionaron durante un largo período, debido a la necesidad de ciertos tipos de medición. Por ejemplo: tomamos una varilla y cortamos dos pedazos iguales. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo? Un medio, por supuesto. Si cortamos la misma varilla en cuatro pedazos iguales, entonces cada pedazo tiene un longitud de ¼. Dos estos pedazos tendrán longitud 2 4 , lo que nos dice que deberíamos tener 2 4  12 Ideas como éstas condujeron al desarrollo de la aritmética de los números racionales. Durante la Edad de Bronce, las inscripciones de jeroglíficos egipcios muestran los recíprocos de enteros mediante un signo oval alongado. 4.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN Se llama fracción o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como términos del quebrado. Así, a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre expresión b (divisor). Fracción algebraica simple Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples: 2 x 1 x 2  2x  2 , 2 , . x 1 x  x  4 x 1 Fracción propia e impropia Una fracción simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.
  • 2. FRACCIONES ALGEBRAICAS 20 xy 2 x 1 x 2  2x  2 x 2  2x  2 Por ejemplo, , son fracciones propias, mientras que , son 36 x 3 y 6 9 x 2  14 x  45 x2 1 x 1 fracciones impropias. Una fracción impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fracción propia. a 3  3a 2  4a  7 9a  11  a4 a  a 1 2 a2  a 1 Fracción compuesta Una fracción compuesta es aquella que contiene una o más fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas: x2 3 x2  x 4 2 x  1 2 x 2  3x  2 , 2x  5 4 1 x  2x  3 2 2x  1 Significados de una fracción Significado 1.- Una fracción indica una división. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 divido por 4 o bien 34. Cuando una fracción significa división, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor. Significado 2.- Una fracción indica una razón. Por ejemplo, ¾ quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una fracción significa razón de dos cantidades, éstas deben estar expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razón de 3 días a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14 días eliminándose luego la unidad común. Significado 3.- Una fracción indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, ¾ puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas. Numerador o Denominador Nulo Si el denominador de una fracción es cero, el valor de dicha fracción es nulo siempre que el denominador sea x5 distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, si x/3=0 se deduce que x=0. La fracción para x = 5 3 vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado. Como la división por cero carece de sentido, una fracción cuyo denominador sea cero es imposible. Por ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, si x = 0 la fracción 5x es imposible o bien 5/x carece de sentido. 4.2 PROPIEDADES Fracciones equivalentes Dos fracciones algebraicas son equivalentes, si tienen el mismo valor cuando se asignan valores específicos a sus números literales. l valor de una fracción no varía si el numerador y el denominador se multiplican (o dividen) por una misma cantidad no nula. a a a c  1   b b b c ac  bc 4- 2
  • 3. FRACCIONES ALGEBRAICAS Ya que la división entre un número es equivalente a la multiplicación por su recíproco, tenemos que: 1 a a a d  d  b 1 b b d d Entonces las fracciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo valor, pero distintos numerador y 2 20 20 x 2 20 20 x denominador. Por ejemplo , y son fracciones equivalentes porque   3 30 30 x 3 30 30 x Para obtener fracciones equivalentes se aplican las siguientes propiedades: Propiedad 1: Se multiplican numerador y denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, la fracción no varía. 3 30  Tanto 3 como 4 se han multiplicado por 10 4 40 5 5x  Tanto 5 como 7 se han multiplicado por x 7 7x Propiedad 2: Se dividen numerador y denominador de una fracción por un mismo número, distinto de cero, la fracción no varía. 400 4  Tanto 400 como 500 se han divido entre 100 500 5 7a 2 7 2  Tanto 7a2 como 9a2 se han divido entre a2 9a 9 Fracciones equivalentes multiplicando numerador y denominador por los valores dados: 2 5 x 4x x-3 x2 x2+x-3 2 4 10 2x 8x 2x  6 2x2 2x 2  2x  6 3 6 15 3x 12 x 3x  9 3x 2 3x 2  3x  9 a 2a 5a ax 4ax ax  3a ax 2 ax 2  ax  3a 7 14 35 7x 28 x 7 x  21 7x 2 7 x 2  7 x  21 3 6 15 3x 12 x 3x  9 3x 2 3x 2  3x  9 x 2x 5x x 2 4x 2 x  3x 2 x3 x 3  x 2  3x Fracciones equivalentes a las dadas dividiendo numerador y denominador: 2 5 x 4x x2 20x2 20 x 2 10 x 2 4x2 20 x 5x 20 1 80 x 2 40 x 2 16 x 2 80 x 20 x 80 4 40 x 3 20 x 3 8 x3 40 x 2 10 x 2 40x 2x 60 x 2 30 x 2 12 x 2 60 x 15 x 60 3 El reciproco de un número El reciproco de un número de un número es igual a la unidad dividido por dicho número. Por ejemplo, el inverso de 5 es 1/5. Asimismo, el reciproco de 2/3 es 3/2, porque 3/2=12/3 4- 3
  • 4. FRACCIONES ALGEBRAICAS Propiedad 1. Las fracciones a/b y b/a son reciprocas; esto es, el reciproco de una fracción se obtiene permutando numerador y denominador. 2 3 a b Propiedad 2. El producto de dos recíprocos es la unidad. Por ejemplo  1,  1 3 2 b a Propiedad 3. Para dividir por un número o una fracción se multiplica por el reciproco. Por ejemplo 2 3 1 7 8  8   12 , 7  5  7   3 2 5 5 Propiedad 4. Para resolver una ecuación con un coeficiente fraccionario se multiplican los dos miembros por 2 la fracción reciproca. Por ejemplo para resolver la ecuación x  10 , se multiplican ambos 3 3 3 2 3 miembros por . Es decir  x   10 de donde x = 15 2 2 3 2 Forma estándar de una fracción a a a a a a  se escribe como  se escribe como  se escribe como b b b b b b a a a a a a se escribe como  se escribe como se escribe como b b b b b b a a Las formas y se llaman formas estándar de una fracción y sirven para escribir respuestas que incluyen b b fracciones. 4.3 SIMPLIFICACIÓN Se dice que una fracción está reducida a sus términos más sencillos o totalmente simplificados, cuando no existe ningún factor común al numerador y denominador. Evidentemente una fracción dada puede reducirse a sus términos más sencillos dividiendo el numerador y el denominador entre los factores que tengan en común. Este proceso se llama también cancelación de factores comunes: Ejemplo 2x3  2x Simplificar la fracción 4 x 4  8 x 3  12 x 2 SOLUCIÓN: Primeramente factorizaremos el numerador y el denominador y luego cancelaremos los factores comunes a ellos:    1 1  2x  2x 3 2x x  1 2 2 xx  1x  1 x 1    4 x  8 x  12 x 4 3 2 2  4x x  2x  3 2  2 x1x  3 x   2  2 xx  3 2x 1 Para reducir una fracción algebraica a expresión algebraica mixta o entera, se divide el numerador entre el denominador. Si la división es exacta la fracción equivalente es una expresión algebraica entera. Si la división no es exacta, se prosigue la división hasta que el primer término del resto sea de menor grado que el 4- 4
  • 5. FRACCIONES ALGEBRAICAS primer termino del divisor y al cociente así obtenido se le añada una fracción cuyo numerador es el resto cuyo denominador es el divisor. Ejemplo 18 x 3 y  12 x 2 y 2  6 xy 3 Reducir a expresión algebraica entera la fracción algebraica xy SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos 18x3 y  12 x 2 y 2  6 xy 3 xy -18x3y 18x 2  12 xy  6 y 2  12 x 2 y 2  6 xy 3 12x2y2 6xy3 -6xy3 18 x 3 y  12 x 2 y 2  6 xy 3 Así pues = 18x 2  12 xy  6 y 2 xy Ejemplo 2 x 4  8x 2  6 x  1 Reducir a expresión algebraica mixta la fracción algebraica 2x SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos 2 x 4  8x 2  6 x  1 2x 4 -2x 3x3-4x-3 -8x2 - 6x +1 8x2 6x +1 -6x +1 1 2 x 4  8x 2  6 x  1 1 Como la división no es exacta tendremos  x 3  4x  3  2x 2x Ejemplo 2 x 5  3x 4  2 x 2  x  1 Reducir a expresión algebraica mixta la fracción x 1 4- 5
  • 6. FRACCIONES ALGEBRAICAS SOLUCIÓN: Dividamos el numerador entre el denominador. Tendremos 2x 4  x 3  x 2  x  2 x 1 2 x 5  3x 4  2x 2  x  1  2x 5  2x 4 x4  2x 2  x  1  x 4  x3  x 3  2x 2  x  1 x3  x 2  x2  x 1 2x  1 2 x  2 -3 2 x 5  3x 4  2 x 2  x  1 3 Como la división es inexacta. Tendremos = 2x 4  x 3  x 2  x  2  x 1 x 1 Ejemplo 27 x 3 y 2 z 4 Reducir a su mínima expresión 3x 2 y 3 z 27 x 3 y 2 z 4  3x 2 y 2 z 9 xz 3 SOLUCIÓN: El m.c.d. de los dos términos del quebrado es 3x 2 y 2 z , entonces:  3x 2 y 3 z  3x 2 y 2 z y Ejemplo a b Reducir a su más simple expresión a2  b2 a b a b a  b  a  b  1 SOLUCIÓN:    a b 2 2 a  ba  b a  ba  b  a  b a  b Ejemplo x 3  x 2  6x Reducir a su mínima expresión x 3  3x 2  2 x x 3  x 2  6x   x x2  x  6   xx  3x  2  x  3 xx  3x  2 xx  1x  2 x  1 SOLUCIÓN: x  3x  2 x 3 2 2 Ejemplo a 5  a 4 b  ad 4  bd 4 Reducir a su mínima expresión a 4  a 3 b  a 2 d 2  abd 2 4- 6
  • 7. FRACCIONES ALGEBRAICAS a 5  a 4 b  ad 4  bd 4  a 4 a  b   d 4 a  b   a  d a  b  a  d  4 4 4 4 a 4  a 3 b  a 2 d 2  abd 2 a 3 a  b   ad 2 a  b  a  ad a  b a  ad  3 2 3 2 SOLUCIÓN:  a 2   d 2 a2  d 2  a 2 d2  a a2  d 2  a Para reducir una expresión algebraica mixta a fracción algebraica, se multiplica la parte entera por el denominador y el producto resultante se le suma algebraicamente el numerador. El resultado así obtenido es el numerador de la fracción algebraica. El denominador de la fracción algebraica es el mismo que el de la expresión algebraica mixta. Ejemplo 2 xy Reducir x  a fracción algebraica x y SOLUCIÓN: Tendremos: x( x  y)  x 2  xy x 2  xy  2 xy  x 2  3xy Que es el numerador de la fracción algebraica. 2 xy x 2  3xy Así pues, x   x y x y Ejemplo x y Reducir 2  a fracción algebraica x y SOLUCIÓN: Tendremos: 2( x  y)  2 x  2 y 2 x  2 y  ( x  y)  2 x  2 y  x  y  x  3 y x  y x  3y Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, 2   x y x y Ejemplo 2 Reducir x  1  a fracción algebraica x2 SOLUCIÓN: Tendremos: ( x  1)( x  2)  x 2  x  2 x2  x  2  2  x2  x 2 x2  x Que es el numerador de la fracción algebraica. Así pues, x  1   x2 x2 Fracciones Irreducibles Un fracción es irreducible cuando su numerador y denominador no tienen más factores (divisores), comunes que la unidad. 4- 7
  • 8. FRACCIONES ALGEBRAICAS 3x Por ejemplo no es irreducible porque x es un factor común al numerador y denominador (es un divisor de 7x ambos). Eliminando x por división resulta 3/7, que sí es irreducible. Para hallar la fracción irreducible de una dada. 1.- Descomponer en factores sus términos (numerador y denominador). 2.- Dividir ambos términos por cada factor común. Ejemplo Reducir: 3ab 2 c 8a  8b 2a 2  2b 2 3ab 2 d 12a  12b 5a  5b Soluciones 2   1 1  3ab c 1 2 c 8(a  b)  8(a  b) 2  2(a  b)( a  b) 2(a  b)(a  b) 2(a  b)   3ab d 1 2  d 12(a  b) 12(a  b) 3 3    5(a  b) 5(a  b)   5 1 1 Propiedad 1: Si dos expresiones son exactamente iguales su cociente es 1 1 5abc ab 8( x  x  5) 2 8 1 1,  4 5abc ba 2( x  x  5) 2 2  1 Propiedad 2: El cociente de dos binomios opuestos es -1. x y  1 , 5  x 5  x   1 , a  b7  c   1 yx x  5x  5 b  a c  7 Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores monomios comunes Ejemplo 39rs 32a 3 b 3 5 x  35 21a 2 52rs 64a 2 b 15 x 14a 2  7ab  3 1  1 ab 2  1  3a 39rs 32a 3 b 3 5( x  7) 21a 2 52rs  64a 2 b 15 x  7 a ( 2a  b)  4 1  3 1 2 1 3 ab 2 x7 3a 4 2 3x 2a  b 4- 8
  • 9. FRACCIONES ALGEBRAICAS Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos comunes Ejemplo 2x  6 x2  x 3x  3 y (b  c) 2 3ax  9a 2  2x 3 y  3x 2 2  acx  abx 2( x  3) x( x  1) 3( x  y ) (b  c)(b  c) 3a( x  3) 2(1  x) 3( y  x)( y  x)  ax(c  b) 1 x( x  1)  1 1  2( x  3) 2(1  x) 3( x  y ) (b  c)(b  c) 3a ( x  3) 3( y  x)( y  x)  ax(c  b)   x       1 1 1 2 2 1 bc 3a yx  ax Reducción de fracciones cuyos términos tienen factores binómicos opuestos Ejemplo 1  1 1   4 y (4  y ) (4  y ) 1 5  5r 5(1  r ) 5(1  r ) 1 1 a)    b)     3 y  12 3( y  4) 3( y  4) 3 10rt  10t 10t (r  1) 10t (r  1)   2t 2t   2 1  d 2  49 (d  7)( d  7) (d  7)(d  7)  1  d  7   d  7 c)     14  2d 2(7  d ) 2(7  d ) 2 2  1  ( w  x) d) 2  w  x w  x   w  x w  x    1  w  x    w  x  x  w 2 x  w 2 x  wx  w x wx  w     x  w xw xw Fracciones que tienen al menos un término trinómico Ejemplo 1   b 2  3b bb  3 bb  3 b a) 2    b  10b  21 b  3b  7  b3b  7  b  7  1 1  b) x 2  9 x  20  x  5x  4  x  5x  4   x  5  5  x 4x  x 2 x4  x  x4  x  x x    1  c) 2   y  5 y  3   y  5 y  3  y  5 y 2  2 y  15 2 y  12 y  18 2 y  3 y  3 2 y  3 y3 2 y  3    4- 9
  • 10. FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracciones algebraicas con mínimo común denominador Reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el menor denominador posible. Para reducir fracciones algebraicas al mínimo común denominador se procede del modo siguiente: a) Se simplifica al máximo las fracciones dadas. b) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores, que será el mínimo común denominador de las fracciones equivalentes. c) Para hallar los numeradores de las fracciones equivalentes se divide al mínimo común denominador anteriormente obtenido entre cada uno de los denominadores y los cocientes resultantes se multiplican por cada uno de los numeradores respectivos. Ejemplo Para reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas: 3 5 7 3 , 2 , 32 x 48 x 40 x 4 SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello descomponemos factorialmente los coeficientes 32 2 48 2 40 2 Es decir 32 =25 16 2 24 2 20 2 48 =243 8 2 12 2 10 2 40 =235 4 2 6 2 5 5 2 2 3 3 1 m.c.m.= 2535 =480 1 1 Así pues el mínimo común denominador será: 480x4 A continuación dividiremos el mínimo común denominador entre cada uno de los denominadores. Tendremos: 480x4  32x3 = 15x 480x4  48x2 = 10x2 480x4  40x4 = 12 Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos: 15x  3 = 45x 10x2  5 = 20x2 12  7 = 84 3 5 7 45 x 50 x 2 84 Por consiguiente: , , = 4 , 4 , 32 x 3 48 x 2 40 x 4 480 x 480 x 480 x 4 Ejemplo Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas: 5 3 4 , , 54( x  y) 64( x  y ) 81( x  y) 2 2 SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los coeficientes. 4- 10
  • 11. FRACCIONES ALGEBRAICAS 54 2 64 2 81 3 Es decir 54 =233 27 3 32 2 27 3 64 =26 9 3 16 2 9 3 81 =34 3 3 8 2 3 3 1 4 2 1 m.c.m.= 2634 =5184 2 2 1 Así pues, el mínimo común denominador (m.c.d.) será: 5184(x2-y2) Enseguida dividir el m.c.d. entre cada uno de los denominadores: 5184(x2-y2):54(x+y)=96(x-y) 5184(x2-y2) : 64(x2-y2) = 81 5184(x2-y2):81(x-y)=64(x+y) Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos 96(x-y)  5 = 480(x-y) 81  3 = 243 64 (x+y)  4 = 256 (x+y) 5 3 4 480( x  y) 243 256( x  y) Por consiguiente: , , = , , 54( x  y) 64( x 2  y 2 ) 81( x  y) 5184( x 2  y 2 ) 5184( x 2  y 2 ) 5184( x 2  y 2 ) Ejemplo 3z 5x 3y Reducir al mínimo común denominador las fracciones algebraicas: 2 , 2 3 , 80 xy 72 y z 64 x 2 z 2 SOLUCIÓN: Como las fracciones algebraicas dadas ya están simplificadas al máximo, hallaremos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para ello, en primer lugar descomponemos factorialmente los coeficientes. 80 2 72 2 64 2 Es decir 80 =245 40 2 36 2 32 2 72 =2332 20 2 18 2 16 2 64 =26 10 2 9 3 8 2 5 5 3 3 4 2 m.c.m.= 26325 =2880 1 1 2 2 1 Así pues, el mínimo común denominador será: 2880(x2y2z3) Se divide el m.c.d. entre cada uno de los denominadores: 2880(x2y2z3): 80xy2 = 36xz3 2880(x2y2z3) : 72y2z3 = 40x2 2880(x2y2z3): 64x2z2 = 45y2z Multipliquemos ahora los cocientes anteriores por los numeradores respectivos 36xz3 3z = 108xz4 40x2  5x = 200x3 45y2z 3y = 135y3z 3z 5x 3y 108 xz 4 200 x 3 135 y 3 z Por consiguiente: , , = 2 3 , 2 3 , 80 xy 2 2 3 72 y z 2 2 64 x z 2880 xy z 2880 xy z 2880 xy 2 z 3 4- 11
  • 12. FRACCIONES ALGEBRAICAS Ejemplo 5ab 2 7cd 8 fb 3 Reduce a su mínimo común denominador las siguientes fracciones: , , 8cd 2 10b 2 e 15de 3  SOLUCIÓN: El m.c.m. de 18cd 2 , 10b 2 e, 15de 3  120cd 2 b 2 e 3  Ahora : 120cd   b e  8cd 2 5ab 2  75ab 4 e 3 2 2 3 120cd 2 2 3 b e 10b e7cd   84c d e 2 2 3 2 120cd 2 2 3 b e 15de 8 fb   64cdb f 3 3 5 75ab 4 e 3 84c 2 d 3 e 2 64cdb 5 f Por lo tanto las fracciones quedan así: , , 120cd 2 b 2 e 3 120cd 2 b 2 e 3 120cd 2 b 2 e 3 Ejemplo 2x 6x 5x  9 35x  x  12 Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: , 2 2 5x  9  5x  3x  3 2 35x  x  12  7  5x  3x  4 SOLUCIÓN: Factorizas primero ambos denominadores 2 m.c.m. de 5x  9 y 35x  x  12  35x  3x  3x  4 2 2 Ahora 35x  3x  3x  4  5x  3x  32x  14xx  4 35x  3x  3x  4  35x  3x  46x  6xx  3 14 xx  4 6 xx  3 Quedando las fracciones de la manera siguiente: , 35x  3x  3x  4 35x  3x  3x  4 Ejemplo 5 a a2 Reduce a su menor común denominador las siguientes fracciones: , , 3a 3  6a 2 a 2  6a  8 a 3  8 3a 3  6a 2  3a 2 a  2 SOLUCIÓN: Factorizando los denominadores a 2  6a  8  a  2a  4  a 3  8  a  2 a 2  2a  4  m.c.m. de los denominadores: 3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4   3a 2 a  2a  4a 2  2a  4 3a 2 a  25  5a  4a 2  2a  4 3a 2 a  2a  4a 2  2a  4 a  2a  4a  3a 3 a 2  2a  4 3a 2 a  2a  4a 2  2a  4 a  2a 2  2a  4a 2  3a 4 a  4 Con lo cual los quebrados quedan de la manera siguiente:  5a  4 a 2  2a  4   3a 3 a 2  2a  4  3a 4 a  4   ,   3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4 3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4 3a 2 a  2a  4 a 2  2a  4 ,   4- 12
  • 13. FRACCIONES ALGEBRAICAS 4.4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es irreducible a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el numerador del producto. b) Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto. Ejemplo 3 7 37  21 x 5 x5 5 x a)    b)    5 11 511 55 3 r 3r  3r a 9 c 7 a9c 7  63ac 2 c x 2c x  2cx c)      d)     4 2 d a  c 42d a  c  8d a  c  d 5 y d 5 y  5dy 3c 5 xy 3c  15cxy a 3 r  5 a3r  5 3ar  5 e) 5xy    f)     ab ab ab 4 r a  2 4r a  2 4r a  2 Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto se puede simplificar 1) Descomponer en factores los polinomios que figuran en los numeradores y denominadores. 2) Dividir por los factores comunes del numerador y denominador. 3) Multiplicar los factores restantes. Ejemplo     3 10 77 3  10  77 3  2  5  7  11 3  2  5  7  11 a)       11 5 7 6 576 5 7 3 2     5 7 3 2 7x 2a 7x 2a  7x  2a 2x b)       a 7  7x a 71  x  a 71  x  1  x   1   5x3a  3b  5x 3a  b  15 c) 2 2     a b x aba  b x   ab 1 1 1  d) y 2  6 y  5 7 y  21    y  5 y  1  7 y  3   y 1 7 y  63 5  y  2 2 7 y  3 y  3 5  y 5  y   y  35  y         1 1   1 1 1  1   a a  4 2 a  8 a  4 4a 2 a  4 2a  4 a  2a  2 4a 2 2 aa  2 e)         4a 4  a 24  12a 4  a 4a  4a  122a  4  a    6 1 1 6 1 1 Ejemplo x 2  6x  9 x2 Calcula el producto de por x x 3 SOLUCIÓN: Multiplicamos entre sí los numeradores y los denominadores. A continuación simplificamos la fracción que resulte. 4- 13
  • 14. FRACCIONES ALGEBRAICAS x 2  6x  9 x 2      x 2  6 x  9 x 2 x  3x  3x 2 x  3x   xx  3 x x 3 xx  3 xx  3 1 Ejemplo x2  x  6 x2  x  6 Calcula el producto de por x2  4 x2 9 x2  x  6 x2  x  6    x2  x  6 x2  x  6   SOLUCIÓN: x2  4 x2 9 x2  4 x2 9     x  3x  2x  3x  2  x  2x  2x  3x  3  1  1 x  2x  2x  3x  3 x  2x  2x  3x  3 1 Ejemplo 6 x 2  5x  4 8x 2  6 x  9 Multiplica por 2 x 2  5x  3 12 x 2  7 x  12 6 x 2  5x  4  8x 2  6 x  9  6 x 2   5x  4 8x 2  6 x  9   3x  42 x  14 x  32 x  3 2 x  5 x  3 12 x  7 x  12 2 2 2 x  5x  312 x 2 2  7 x  12  2 x  3x  13x  44 x  3 SOLUCIÓN:  2 x  33x  44 x  32 x  1  2 x  1 2 x  33x  44 x  3x  1 x  1 4.5 DIVISIÓN DE FRACCIONES Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca Ejemplo 2 2 5 2 1 21 2 9 a 9 3 27 a) 5       b)     3 3 1 3 5 35 15 4 3 4 a 4a a  2 a2 a a2 b a c) 2    2   d) 14 1 14 7 14 3 2 3 6 2        b  b b a b  x 3 x 3  x 7 x 1 x b 1  2 8 12 x282 7 b 2 b3 b5 e) 3  2  3   f) b 2     x x x   12 3x b3 1 7 7 x 3  6 5 y 2 x x 5 5 y 2 x 42 60    g)     7 y 42 7 y  x4   x 5 1 x4 1 5 h) a  100 2a  20 a  100 2    20 2  a  10a  10  20  5a  10 8 20 8 2a  20 8  2a    10 4 2 1 4- 14
  • 15. FRACCIONES ALGEBRAICAS  1 1 1   g) 2 5a  25ab  25a  5a  b  7b  6  2 5a   b  6b  1  1 b  36 b 2  7b  6 b 2  36 25ab  25a b  6b6 25ab1      5b  6 1 5 1  1 1  1    h) 4x 2  1  2x 2  7x  4  4 x  1 x  7 x  12 2 x  12 x  1 x  3x  4  2 x  1 1  2 x 2 2      9 x  3x 2 x 2  7 x  12 9 x  3x 2 2 x 2  7 x  4 3x3x   2 x x4  1  3x 3x 1 1 1 Ejemplo x2  x  6 x2  4 Dividir entre x 2 1 x 1 SOLUCIÓN: Como se ha indicado, invertimos el divisor y luego procedemos como en la multiplicación. x2  x  6  x 2  4 x 2  x  6 x 1   2    x 2  x  6 x  1 x 1 2 x 1 x 2 1 x  4   x 2 1 x 2  4   x  3x  2x  1  x  3 x  1x  1x  2x  2 x  1x  2 4.7 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores comunes. Procedimiento 1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores. 2) Reducir la fracción que resulte. Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido del signo que corresponde a su fracción. Ejemplo  1 2a 7a 4a 2a  7a  4a 5a a a)      15 15 15 15 15 3  3 5a 2a  9 5a  2a  9 3a  9 3a  3  b)      a3 3 3 3 3  3 7 5  x 7  5  x  2  x c)     1 x2 x2 x2 x2 Adición o sustracción de expresiones racionales con denominadores distintos. Para sumar o restar fracciones con denominadores diferentes, primero las convertimos a fracciones que tengan el mismo denominador. Cuando los denominadores son opuesto multiplicamos una de ellas por 1, 1 escrito en la forma , para obtener un común denominador. 1 4- 15
  • 16. FRACCIONES ALGEBRAICAS Ejemplo x y Sumar  x y yx x y x  1  y     x  y y  x x  y  1  y  x x y SOLUCIÓN:   x y  yx x y x y    1 x y x y x y Cuando los denominadores de dos o más fracciones son distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada, para obtener un común denominador. Ejemplo 3 4 Sumar  x y 3 4 3 y 4 x 3 y 4x 3y  4x SOLUCIÓN:         x y x y y x xy xy xy Ejemplo 7 Sumar 3  x2 7 3 7 3x  2 7 3x  6 7 3       x  2 1 x  2 1x  2 x  2 x  2 x  2 SOLUCIÓN: 3x  6  7 3x  1   x2 x2 Ejemplo 4x 7x Sumar  x2 x2 4x 7x 4 x x  2  x  27 x  4 x 2  8 x  7 x 2  14 x    x  2 x  2 x  2x  2 x  2x  2 x  2x  2 x  2x  2 SOLUCIÓN:  4 x 2     8 x  7 x 2  14 x 4 x 2  8 x  7 x 2  14 x  x  2x  2 x  2x  2  3x 2  22 x  x  2x  2 Ejemplo a b c Efectúa la siguiente operación:   2b 2a 3ab SOLUCIÓN: El m.c.m. de los denominadores: 6ab 6ab  2ba  3a 2 6ab  2ab  3b2 6ab  3ab  2c 4- 16
  • 17. FRACCIONES ALGEBRAICAS a b c 3a 2 3b 2 2c 3a 2  3b 2  2c entonces:       2b 2a 3ab 6ab 6ab 6ab 6ab Ejemplo 5 Efectúa la siguiente operación: x 2  2 x  5  x 1 2 SOLUCIÓN: Los enteros los convertimos en quebrados poniéndoles a la unidad como denominador: x2 2x 5 5    2 1 1 1 x 1 m.c.m. de los denominadores: x  1 2   ( x 2  1)  1 x 2  x 2 ( x 2  1) ( x  1)  12 x  2 x( x  1) 2 2 ( x  1)  15  5( x  1) 2 2 x 2 2x 5    2 5      2  x 2 x 2  1 2x x 2  1 5 x 2  1  2 5    1 1 1 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 4  x 2  2 x 3  2 x  5x 2  5  5  x2 1 x 4  2x3  4x 2  2x  x2 1 Ejemplo x 3  2 xy y x   Efectúa la siguiente operación:  3x y 2 2 6 x  6 y 4x  y   3 x 2  y 2  3x  y x  y   SOLUCIÓN: Primero factorizaremos los denominadores: 6 x  6 y  6x  y  4x  y   4x  y  el m.c.m. de los denominadores es: 12x  y x  y  . Ahora: 12x  y x  y   3x  y x  y x3  2 y   4 x3  8xy 12x  y x  y   6x  y   y   2 xy  2 y 2 12x  y x  y   4x  y  x   3x 2  3xy luego: x 3  2 xy y x 4 x 3  8 xy 2 xy  2 y 2 3x 2  3xy        3 x 2  y 2 6 x  6 y 4x  y  12x  y x  y  12x  y x  y  12x  y x  y  4- 17
  • 18. FRACCIONES ALGEBRAICAS 4 x 3  8 xy  2 xy  2 y 2  3x 2  3 xy  12x  y x  y  4 x 3  3x 2  3xy  2 y 2  12x  y x  y  Ejemplo x 3 Sumar  x 2  2x 1 x 2 1 SOLUCIÓN: Factorizamos el denominador y determinados el común denominador: x 2  2 x  1  x  1x  1  x  12 x 2  1  x  1x  1 El mínimo común denominador x  12 x  1 A continuación escribimos cada fracción con su denominador en forma factorizada, y convertimos las fracciones en unas que tengan el denominador común x  12 x  1 . Por último, sumamos las fracciones. x 3 x 3    x  2x 1 2 x  1 x  1x  1 x  1x  1 2 xx  1 3x  1   x  1x  1x  1 x  1x  1x  1 x 2  x  3x  3  x  1x  1x  1 x 2  4x  3  x  12 x  1 Ejemplo 3x 2 x 2  3x  2 Restar  x  1 x  1x  1 SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= x  1x  1 3x 2 x 2  3x  2   x  13x  2 x 2  3x  2 x  1 x  1x  1 x  1x  1 x  1x  1  3x 2  3x        2 x 2  3x  2 3x 2  3x  2 x 2  3x  2 3x 2  3x  2 x 2  3x  2 x  1x  1 x  1x  1 x  1x  1 x  1x  1 x2  2  x  1x  1 4- 18
  • 19. FRACCIONES ALGEBRAICAS Ejemplo 2x 1 x 1 Hacer las operaciones indicadas   x 4 2 x  3x  2 2 x  x2 2 SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para encontrar el MCD= x  2x  2x  1 2x 1 x 1 2x 1 x 1      x 4 2 x  3x  2 2 x  x2 2 x  2x  2 x  2x  1 x  1x  2 2 xx  1 1x  2  x  1x  2     x  2x  2x  1 x  2x  1x  2 x  1x  2x  2 2 xx  1  1x  2   x  1x  2  x  2x  1x  2 2x 2  2x  x  2  x 2  x  2 3x 2  4 x  4   x  2x  1x  2 x  2x  1x  2 En este caso se puede simplificar el resultado final 3x 2  4 x  4  3x  2x  2  3x  2 x  2x  1x  2 x  2x  1x  2 x  2x  1 4.8 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de fracción simple Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos. Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego proceder como en la división de fracciones. Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones. Ejemplo x2 3  Simplificar x  1 x  1 2 2x  5 x 2  2x  3 SOLUCIÓN: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra: x2 3 x2 3x  1   x 1 x 1  x 1 2 2 x  1x  1 2x  5 2x  5 x 2  2x  3 x  3x  1 4- 19
  • 20. FRACCIONES ALGEBRAICAS x2 3x  3 4x  1   x 1 2 x  1x  1  x  1x  1 2x  5 2x  5 x  3x  1 x  3x  1 1   4x  1  x  3x  1  4 x  1x  3 x  1x1 2 x  5   x  12 x  5 1 4 x 2  11x  3  2 x 2  3x  5 Ejemplo x2 3  x 1 Simplificar la misma fracción compleja x  1 2 2x  5 x 2  2x  3 SOLUCIÓN: Utilizaremos ahora el segundo método. Multiplicaremos el numerador y denominador por el denominador común de todas las fracciones: 3x2 x2 3   x  1 x  1x  1 x  1 Factorizamos los denominadores de la fracción x  1 2  2x  5 2x  5 x  2x  3 2 x  3x  1 m.c.d. (denominadores): (x+1)(x-1)(x+3) x2 3   x  1x  1x  3  x  1x  1 x  1 x  1x  1x  3 2x  5 x  3x  1 1 1   1  x  1x  1x  3x  2  x  1x  1x  3  3 x1x1     x1    1 1 1 1  1    x  1x  1x  32 x  5 x3x1    1 1  x  3x  2  x  1x  3 3  x 2  5 x  6  3x 2  6 x  9 x  12 x  5 2 x 2  3x  5 4 x 2  11x  3  2 x 2  3x  5 4- 20
  • 21. FRACCIONES ALGEBRAICAS Ejemplo x2 Simplificar 2 x  3x  2 2 4 1 2x  1 SOLUCIÓN: Ahora aplicaremos el segundo método. Como 2x2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2), resulta que el menor denominador común de las fracciones del numerador y el denominador es (2x + 1)(x - 2), tenemos x2 x2 x2 2 x  3x  2  2 2 x  1x  2  2 x  1x  2  2 x  1x  2 1 4 1 4 2 x  1x  2 1  4 2x  1 2x  1 2x 1 2 x  1x  2x  2  2 x  1x  2  2 x  1x  2  2 x  1x  24 2x  1 x2 x2 x2   2  2 2 x  1x  2  4x  2 2 x  3x  2  4 x  8 2 x  7 x  6 Ejemplo 1 1 Simplificar x2 1 1 x SOLUCIÓN: Multiplicamos por x2 el numerador y el denominador, por ser el m.c.m. de las fracciones incluidas  1  1 x 2 1  2  x 2  1  x 2  x2  x 1 2  x    1 x 2 1  x 2  1 x2  x x 2 1    x x 1   x  1x  1  x  1x  1  x  1 xx  1 xx  1 x   1 Ejemplo a b  Simplificar b a a b 2 b a SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = 4- 21
  • 22. FRACCIONES ALGEBRAICAS a b a b 1  ab   ab   ab    b a  b a  a2  b2  a  b a  b   a  ba  b  a  b a b a ab  2   ab   ab  2  ab  b a 2  2ab  b 2 a  b 2 a  bab  a  b   b a b a 1 Ejemplo 11 6 3 x x2 Simplificar 4 4 3  2 x x SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x2  11 6  x2 3   2    11    6  x 2 3  x 2    x 2  2     x x   x x     4 4  x2 3   2   4    4  x 2 3  x 2    x 2  2     x x   x x   11x 2   6 x 2  3x 2       x    x 2  3x 2  11x  6 3x  2x  3 x  3         4x 2   2  3x 2  4 x  4 3x  2x  2 x  2 3x   2     4x    2   x   x  Ejemplo x2 Simplificar 4 x2 x 1 SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-1  x  1x  2  x  1x  2  x  1x  2 x  14 x  1x  2  4 x  1 x  2  4    x  1x  2   x 1  x 1  x  1x  2  x  1x  2  x  1x  2  x  1 x  x24 2 x2  x  6 x  3x  2 x  3 Ejemplo 6 x 3 Simplificar x4 18 x5 x4 SOLUCIÓN: Multiplicamos por el m.c.m. de los denominadores = x-4 4- 22
  • 23. FRACCIONES ALGEBRAICAS x  4 x  3   6     x  4x  3  x  4 6   x4  x  4  x  4x  3  6 x  418 x  4x  5  18 x  4 x  5  18  x  4x  5     x4 x4  x 2  x  12  6  x2  x  6  x  3x  2  x  3 x  x  20  18 2 x2  x  2 x  2x  1 x  1 Ejemplo x2 3  x 1 Simplificar x  1 2 2x  5 x 2  2x  3 SOLUCIÓN: Dividimos una fracción simple entre otra x2 3 x2 3x  1 x2 3x  1 x  2  3x  3 4x 1    x  1 x  1  x  1 x  1x  1  x  1x  1 x  1x  1  x  1x  1  x  1x  1 2 2 2x  5 2x  5 2x  5 2x  5 2x  5 x  2x  3 2 x  3x  1 x  3x  1 x  3x  1 x  3x  1  4x 1  x  3x  1  4 x  1x  3 x  1x  1 2 x  5 x  12 x  5 Ejemplo x2 Simplificar la fracción 2 x  3x  2 2 4 1 2x 1 SOLUCIÓN: Obtenemos una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones. Como 2 x 2  3x  2  2 x  1x  2 , resulta que el menor denominador común de las fracciones del numerador y denominador es 2 x  1x  2 . Por tanto, multiplicando el numerador y denominador por 2 x  1x  2 , tenemos: x2 x  22 x  1x  2 2 x  3x  2 2  2 x  1x  2  x2  x2 42 x  1x  2 2 x  1x  2  4x  2 x  22 x  3 12 x  1x  2  4 1 2x  1 2 x  1 4- 23
  • 24. FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 4.1: Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica: 2  3x 2  1.-   x 4     3x  2  2.-   2    6  x  2a 6a 3.-   3 5 4.-   x 2 x 3 3 2 x 1   x4 2 x 2 ab  2 3a (b 2 ) 5.-  a 2b 3 2a 2 b 2 2 3ab 3 6.-  2 2  6 2a b x 1 a 3 7.-   a 2 x 2 3 1 a 3b 2  2 8.-  32 ab  2 5ab 2 3 1 a 2 b 3  2 9.- 1 3   3a b (5ab) 1 4- 24
  • 25. FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 4.2: Resuelve las siguientes expresiones y simplifica: a 2  ab ac  2ad  2bc  4bd 1.-  4.-  a2  b2 a 2 c  4abc  4b 2 c x2  y2 x 2  4x  3 2.-  5.-  x3  y3 x 2  2x  3 2x  x 2  x3 m 2  mn 3.- 3  6.-  x  3x  2 m 3  m 2 n  mn  n 2 En cada uno de los ejercicios 7 y 8, expresar la fracción impropia dada como la suma de un polinomio y una fracción propia. x 3  4x 2  2x  1 x3  2 7.-  8.-  x2 1 x 1 Cada una de los ejercicios 9 y 10 transformar la expresión dada en una fracción impropia. 2 x7 9.- x 2  x  1   10.- x 2  2 x  2   x 1 x2  2 En cada uno de los ejercicios 11-20, efectuar la suma algebraica indicada. 1 1 1 16.- 11.-    x x 1 x 1 1 1 1    a  ba  c  b  c a  b a  c c  b m m 2 12.-   2  m 1 m 1 m 1 17.- 1 x 1 x 3x 13.-   2  a b c 2 x 2 x x 4    a  ba  c  b  c b  a  c  a c  b 2 a 1 14.-  2  a 1 a  a 1 18.- a2 b2 c2 a 1 2a 3  1 a 1    15.- 2  4  2  a  ba  c  b  c b  a  a  c b  c  a  a 1 a  a 1 a  a 1 2 4- 25
  • 26. FRACCIONES ALGEBRAICAS 19.- 20.- x y yz zx bc ca a b       y  z z  x  z  x x  y  x  y  y  z  a  b  c  2 2 b  c  a  2 2 c  a  b  2 2 En cada uno de los ejercicios 21-28, efectuar la operación indicada y simplificar, si es posible, el resultado. 5 x 2 y 9a 2 b   21.- 3ab 2 10 xy 2 29.- a  b2  x2  x3 a2  b2 ax  x a  22.-     3 a x a x 1 30.- x  9 x 2  4x  3 x x 23.- x 2  5x  6  x 2  5x  6 y2 x2  x  6 1 31.- x2  y x3 1 x 1 1  2 x 24.- x  2 x  3x x  x  2  3 2 x2  x 1 1 1  x3  x 2  6x x y 32.-  y x x 2  xy  xz  x y 25.- x  y 2  z 2  x xy  y 2  yz x y  2 x  z  2  y 2 x  y   z 2 2 33.- y x  x y  26.- a  22  x2  y x x3 a 2  4b 2 a2 a 4x 2  9x 2 34.- a b  x2  y2 b2 27.-  b 2x  3y a b x y m m   b2  35.- m  2 m  2  a    m2 m2 a   28.-   m2 m2 1 1    a b 4- 26
  • 27. FRACCIONES ALGEBRAICAS RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS 4.1: Multiplica o divide las siguientes expresiones y simplifica:   1 x 2  3x  2  3x 2  3x 2 1.-     x 4   4  2   x   1  2    x    3  1  1  3x  2   3 x  2  3x 3 2.-   2     2    x3  6  x   6       x 3   3   1  1 2a 6a 2a 5 2a 5 5 3.-       3 5 3 6a 3 6a 9  3  1 1  x 4.-   x 2x 3 x  3 2 1 4 2x 3 x  4  2 1  32 x  9 x x4 2 x 2 x  2 x 2 1 1   5.- ab 2 3a (b 2 )  ab ab 3ab 2  3 a b 2a b  2 3 2 2 2  a b 2a b  a b a b   2  2  b 2 2 2 2 2a 5 b 3 a a  a  1  1 3ab 3 3ab 2a 2 b 2 6a 3 b 3 a 3 b 3 1 3 3 6.-  2 2      a b 6 2a b 6 3 18  3 3 3 x 1 a 3 7.- 2  2  x 12   a 32   x  a 5  a 5 x a x 8.- 3 1 a 3b 2  2 32 a 6 b 4  4 2 2  324  a 62 b 42   36 a 8 b 6  729a 8 b 6 3 ab 2 2 3 a b 3 5 9     52 1 b 3 a b 9.- 5ab  2 3 a b  1 2  3  2  5ab 2 3 a b  1 1 1 2 4 6  5 ab 2 32 a 4 b 6  1 1 1  25  3a 5 b12  75a 5 b12 1 3 3a b (5ab) 1 1 3 3a b 5 a b 3ab 3 5 a b   11 1 1 1 4- 27
  • 28. FRACCIONES ALGEBRAICAS RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS 4.2: Resuelve las siguientes expresiones y simplifica: 1 a  ab 2 aa  b  a 1.- 2 2   a b a  b ab  a  b    1 1  x y 2 2  x  y x  y   x y 2.- 3 x y 3  y 2  2  x x  2 xy  y x  2 xy  y 2 2 1 2x  x 2  x3 x 3.-  x  3x  2 1  x 3   1 ac  2ad  2bc  4bd c  2d a  2b  c  2d  4.-   a c  4abc  4b c 2 2 ca  2b a  2b  ca  2b     1 1  x  4 x  3 x  3x  1 x  3x  1 x  1 2 5.- 2    x  2 x  3 x  3x  1 x  3x  1 x  1    1 1 m  mn 2 mm  n  m 6.- 3   m  m n  mn  n 2 2 n  m m  n  n  m 2 2  1 x3  4x 2  2x  1 3x  3 7.-  x4 2 x 1 2 x 1 x3  2 8.-  x 1 2 x3 1 9.- x  x  1  2  x 1 x 1 4- 28
  • 29. FRACCIONES ALGEBRAICAS x  7 x 4  2 x 3  3x  3 10.- x 2  2 x  2   x2  2 x2  2 1 1 1 3x 2  1 3x 2  1 11.-     x x  1 x  1 xx  1x  1 x x 2  1   m m 2 2m  1 12.-   2 m 2 m  1 m 1 m 1 m 1 1 x 1 x 3x x 13.-   2 3 2 2 x 2 x x 4 x 4 2 a 1 3a 2  2a  1  2  14.-  a  1 a  a  1 a  1 a 2  a  1  a 1 2a 3  1 a 1 2a 2  1  4  2  a  1 2 15.- a2  a 1 a  a2 1 a  a 1 a  a 1 a2  a 1   1 1 1 16.-   0 a  ba  c  b  c a  b a  c c  b a b c 17.-   0 a  ba  c  b  c b  a  c  a c  b a2 b2 c2 18.-   1 a  ba  c  b  c b  a  a  c b  c  x y yz zx 19.-   0  y  z z  x  z  x x  y  x  y  y  z  bc ca a b 20.-  2  2 0 a  b  c  b  c  a  c  a  b  2 2 2 2   x 3a 5 x y 9a b 5 x y 9a 2 b 3ax 2 2 2 21.-     3ab 2 10 xy 2 3ab 2 10 xy 2 2by   b  2y 4- 29
  • 30. FRACCIONES ALGEBRAICAS 1 1  ax  x a  ax x  a ax x  a x  a  2 2 22.-         xa ax a x ax xa ax  xa  1 1 2 x  4x  3 x  1x  3 x  1x  3x  3 x  1x  3 23.- 2 x  5x  6  x  2x  3  x  2x  3  x  2  x  1x  3  1  x  1 2 x  5x  6 x  2x  3 x  2x  3x  3 x3 x  2  x  3 x  2 2 x  x6 x  2x  3 x  2x  3 m.c.m.=(x+3) x3 1 x 1  2 x  2 x  3x x  x  2  x  1x x  x  6 3 2 2 24.- x2  x 1 x  22 x  3 x3  x 2  6x m.c.m. = x(x-1)(x+3)(x+2)(x2-x+6) x 2  xy  xz 25.- x  y 2  z 2  x  y  z 2 x xy  y 2  yz y  x  z   y 2 x  y   z 2 2 2 m.c.m. = (z+x-y)(z+x+y)(x+y-z)(x-y-z) a  22  x2  a  2 2 26.- 3 x a  4b 2 2  x a 2  4b 2  4x2  9x2 x2  y2 x2 27.-  5 2x  3 y 2 x  3 y x  y  x y m.c.m.= (x+y)(x-y) 4- 30
  • 31. FRACCIONES ALGEBRAICAS  2  2  a  b  ab a  b  b2   ab  a  ab  1    a    a   2b  b 3 b a 2  b 2 ba  b a  b  28.-      ba  b  a a      1 1  1 1 1 ab   ab  1 b 1  a 1 ab ab     ab    a b a b  a  b 1 29.- a  b2  x2  a b x3 a b 2 2 xa  b  3 1 30.- x  1 9 x3 x x y2 1 2 31.- x  x y y x 1 x 1 1  x y 1 32.-  y x yx  x y x y 2 y x x y 33.-  x y x y  y x a2 b a a 34.- a  b 2  a b 1 b b b a a b a b m m  35.- m  2 m  2   1 m2 m2 2  m2 m2 4- 31

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