Exponentes

Exponentes
fraccionarios y radicales
Capitulo 5
5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES.
5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios.
5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios.
5.3. Definición de raíz
5.4. Propiedades de los radicales.
5.5. Simplificación de un radical.
5.6. Suma de radicales.
5.7. Multiplicación y división de radicales.
5.8. Racionalización.

Antecedentes
Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los babilonios
utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad de que el producto de
dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. El matemático
griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las potencias. De este modo x, xx, xxx…
representaban la primera, segunda y tercera potencias de x respectivamente. La notación actual con
exponentes fue introducida por René Descartes (1596-1650).
A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el álgebra
aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el arreglo de
coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la multiplicación repetitiva (con
iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y para resolver ecuaciones de grado mayor
al cúbico.

El signo de la raíz cuadrada puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (1500-1545), quien
lo escribió como  con dos trazos. Rudolf pensó que  recordaba el aspecto de la r minúscula, la inicial
de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es x y se lee “la raíz cuadrada de x”

5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios
Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del
término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división
queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir:
m
 b n   n bm
1 m 1
a n  a
n b n
 
 

EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES

5.2 Operaciones con exponentes fraccionarios
La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la misma
base se suman los exponentes es general y se aplica igualmente cuando las cantidades que se multiplican
tienen exponentes negativos o fraccionarios.

1 3 1 3 5
a-4  a = a-3 a-1  a-2 = a-3 a a  a
2 4

2 4
a 4

3 1 3 1 1
a a =a
3 -5 -2
a a =a =1
3 -3 0
a

4
a  a
2
 
4 2
a

4

Recordando las propiedades de los exponentes:
a m  a n  a mn a  m n
 a mn abm  a m b m
am am 1 1
n
 amn , m  n n
 anm , m  n a m  m
así mismo m
 am
a a a a

Ejemplo:
1 1 1 1
   
Multiplicar 2 x 1  3x 2 y 2  y 1 por x 1  x 2
y 2
 y 1
Los polinomios están ordenados en orden ascendente con relación a x porque el exponente de x en el
segundo termino -½ es mayor que el exponente de x en el primer termino -1 y el tercer termino y-1
equivale a x0y-1 y 0 es mayor que el -½.

Tendremos
1 1
 
1
2x  3x 2 y 2  y 1
1 1
 
x 1  x 2 y 2  y 1
3 1
 
2
2x  3x 2 y 2  x 1 y 1
3 1 1 3
   
 2x 2 y 2  3x 1 y 1  x 2 y 2

1 3

2 x 1 y 1  3x  2 y 2  y 2
3 1 1 3
   
2
2x  x 2 y 2  2x 2 y 2  y 2

Ejemplo:
2 1 1 1

Multiplicar ab 1  a 3  a 3 b por a 3 b 3  b  2  a 3 b 1

2 1
a b 1  a 3  a 3 b
1 1

a 3 b 3 b 2
a 3 b 1

5-2

4 2
a 3 b  4  ab 3  a 3 b  2
2 1
ab 3  a 3 b  2  a 3 b 1
2 1
 a 3 b  2  a 3 b 1  1
4 2
a 3 b 4  3a 3 b  2 1

 1
 1

El 1 último se obtiene porque el producto   a 3 b   a 3 b   a 0 b 0  1  1  1
  
  
La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base se resta
el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las cantidades que se dividen
son negativos o fraccionarios.

a 1  a 2  a 1 2  a 3 a 3  a 5  a 3 5  a 2 a 2  a 1  a 2 1  a3
1  1 1 4 1 3 1 3 1 1 1 1 1 3
 1    1      
aa 3
a  3
a 3
a 3 a2  a4  a2 4
a 4
a 4
 a2  4 2
a 4

Ejemplo:
1 3 5 3 7 2 2 3 3 4 4
Dividir a b  2ab  a b entre a b  2a b a b

Dividendo y divisor están ordenados en orden ascendente a la a. Tendremos:

a 3b1  2a 2b2  a 1b3
a 2b2  2a3b3 a 4b4 a1b3  2ab5  a3b7
 a 1b3  2b4  ab5
 2b4  3ab5
 2b4  4ab5  2a 2b6
 ab5  2a 2b6  a3b7
 ab5  2a2b6  a3b7

Al dividir 2b-4 entre a2b-2 como en el dividendo no hay a y en el divisor hay a2 debe de tenerse presente que 2b-
4 equivale a 2a0b-4 y dividiendo esta cantidad entre a2b-2 tenemos

2a0b-4  a2b-2 = 2a0-2b-4+2 = 2a2b-2
que es el resultado del cociente.

5-3


Ejemplo:
Dividir:
1 1

x 2  2  3x 2

1 1 1 1
 
4x  1  x
2 2
4 x  7 x  11  x
2 2
 3x 1
1
 4x  x 2  1
1 1

8 x 2  10  x 2

1 1

- 8x  2  2 x
2 2

1

12  3x 2
 3x 1
1

 12  3x 2
 3x 1

1
Al efectuar la división entre de 12 entre 4x 2 podemos considerar que 12 tiene x0 y tendremos
1 1 1 1
0 
12  4 x 2  12x 0  4 x 2  3x 2  3x 2

O sea que si en el divisor hay una letra que no la hay en el dividendo, esa letra aparece en el cociente con
el signo cambiado.

5.3 Definición de raíz
La se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando. Toda la
expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión radical. Otra parte de
una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas tienen
un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo general no se escribe.

2 3
x Significa x .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo x es la
raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.

8 se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8

5 x se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x

x x
se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es
2y 2y

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa.
La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como x , es el
número positivo cuyo cuadrado es igual a x.

5-4


Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no son número
reales. Consideremos  4 ¿A que es igual  4 ? Para evaluar esto,  4 , debemos encontrar un
número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número distinto de cero
debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número elevado al cuadrado da –4 y  4 no tiene
valor real. Los números como  4 o la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números
imaginarios.

Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números cuadrados
perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados perfectos porque cada uno
de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número cuadrado perfecto es un factor de un
radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado perfecto.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales
12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, ... cuadrados de los número naturales
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos
a
Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma , donde a y b son enteros diferentes de
b
cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden expresar con un denominador
igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos también son números racionales
porque cada uno es un entero. Cuando un número racional se escribe como decimal, será un decimal
finito o periódico.
Decimal finito Decimal periódico
1 1
 0.5  0.333...
2 3
1 2
 0.25  0.666...
4 3
4  2.0 1
 0.1666...
6

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los números
irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz cuadrada de cualquier
entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.

Por ejemplo, 2 y 3 son números irracionales.

5-5


Número cuadrado Raíz cuadrada del número
Valor
perfecto cuadrado perfecto
1 1 1
4 4 2
9 9 3
16 16 4
25 25 5
36 36 6
49 49 7
64 64 8
81 81 9
100 100 10
121 121 11
144 144 12
169 169 13
196 196 14
225 225 15
256 256 16
289 289 17
324 324 18
361 361 19
400 400 20

Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos como el
cociente de dos enteros.

N U M E R O
25 2 32
-3 0 100 20% 0.333... 0.09 .333 7 3
25 
12 3 4 2
Entero 
positivo
Entero  
negativo
Racional          
Cociente  3 0 10 1 1 3 333 5 2 4
de dos
enteros 1 1 1 5 3 10 1000 12 5 1
Irracional  

Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes racionales y
viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las siguientes relaciones son útiles al
respecto:

Considera que para b no negativo, cuando n es par

5-6

m
  b n   n bm
1 m 1
a n
n a b n
 
 

Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las variables
representan números reales positivos.

5
1
2
 5 x
1
7
7 x m
2
3
 3 m2 o bien  m
3 2

2 1 1 1
3u v  2 3
3
5

 5 3u 2v3  
3 5
3u 2v3 
3
13  13
1
2 y 3

y
2
3

3
y2

 y
3
2

1 1 2
 x  
3 3 1
3
x 2 2
3
4
w3  w 4 4 x4  y4  x4  y4 4
x

5
3x y   3x y 
2 2 4 2 2
4
5

EJERCICIOS 5.1:

Cambia a la forma radical. No simplifiques
1 1 3
2 4 7
11 6 4y
5m a  b 
2 1 1
3 2
72
4ab 
3 2 1
3 5
5 3
U 5
7 x y 
2
4 y 
3 3
2 3
4 7
x

Cambia a la forma exponente racional. No simplifiques.
1 y2 6 4
w
7
m 5
y3 4
a2
4
xy 3 5
7m n  3 3 4 x2  y2

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias propiedades de los
radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

5-7


 
1 5
5
25  25 5  2 5  21  2

4  9  36  6 o bien 4  9  23  6

36 36 6
 9  3 o bien  3
4 4 2

   
1 4 2 1
6
2  2
4 4 6
 2  2  22
6 3 3  3 22

5.4 Propiedades de los radicales
Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son números
naturales 2, x y y son números reales positivos.
n
x x
1.- n
xn  x 3.- n 
y n y
2.- n xy  n x n y 4.- kn x km  n x m

Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:
1 1
x x x n n n
x
 
n
   1 
1
1.- n
x  x
n n n
x x n 3.- n
 y
y   n y
yn

 
1 1 1 km m
xy  xy n  x n y n  n x n y
1
2.- n 4.- kn
x km  x km kn  x kn  x n  n x m

El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables representan números
reales positivos.

Propiedad 1: 5
3x y  2 5
 3x 2 y

Propiedad 2: 10 5  50  25  2  25  2  5 2
3
x x 3 x 1
Propiedad 3: 3 3  o bien: 3 x
27 27 3 3

Propiedad 4: 6
x 4  23 x 22  3 x 2

Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas con
radicales por una variedad de formas equivalentes.
Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con radicales
está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones siguientes:

Forma radical más simple

5-8


1.- El radicando (expresión dentro del signo radical) no contiene ningún factor polinomial de una potencia
mayor o igual al índice del radical.
x 3 Viola esta condición
2.- La potencia del radicando y el índice del radical no tienen ningún factor común, que no sea 1.
6
x 4 Viola esta condición
3.- No aparece un radical en el denominador.
3
Viola esta condición
5
4.- No aparece ninguna fracción dentro del radical.
2
Viola esta condición
3

Es necesario comprender que ocasionalmente, pueden ser más útiles otras formas que no sean con la
forma radical más simple. La elección depende de la situación.

Ejemplo:
Cambia a la forma radical más simple
72  6 2  2  6 2  2  6 2

8x 3  4x 2x  4x  
2 2
2x  2x 2x
9
x6  3 x2

3x 3x 3 3x 3
   x 3
3 3 3 3

x x2 2x 2x 2x 1
    o bien 2x
2 22 4 4 2 2
Al proceso de suprimir los radicales de un denominador se le llama racionalización del denominador.

5.5 Simplificación de un radical
Una expresión que contiene radicales está en su forma más sencilla sí:
 No se puede sacar ningún factor del radicando.
 No puede reducirse ningún índice.
 No hay fracciones dentro del radical.
 No hay radicales en el denominador.

Ejemplo:
Reducir:
18  32  2  32  2  3 2

5-9


25 x 2  4 5 x   5 x
4 2

1 1 3 42 3 16 3 8 3 2 23 2 3 2
3
     
4 3 4 3 42 3 43 4 4 2

4 4 2 2 5
  
5 5 5 5

x 1
Para eliminar el radical 2 del denominador recordemos la formula del producto de binomios
x 2
conjugados (a-b)(a+b)=a2-b2; así multiplicando el numerador y el denominador de la
expresión por (x+2), obtenemos:


x 1 x  2 x2  2 1 x  2
 

x 2 x 2 x2  2

5.6 Suma y resta de radicales
Con frecuencia es posible simplificar las expresiones algebraicas con radicales sumando o restando
términos que contengan exactamente las mismas expresiones.

Ejemplo:
Combinando todos los términos posibles

5 3  4 3  5  4 3  9 3

23 xy 2  73 xy 2  2  73 xy 2  53 xy 2

3 xy  23 xy  4 xy  73 xy  3 xy  4 xy  23 xy  73 xy  7 xy  93 xy

Así vemos que, si dos términos contienen exactamente el mismo radical con el mismo índice y también el
mismo radicando, se pueden combinar en uno solo.

Ejemplo:
Expresemos ahora, los términos en su forma radical más simple y combinarlos hasta donde sea posible.
4 8  2 18  4 42  2 92
8 2 6 2
2 2

1 1 3
2 12   2 4  3 
3 3 3
3
4 3
3

5 - 10


 1
 4   3
 3
11 11 3
 3 o bien
3 3

3
81  3 1  3 33  3  3
1 3

9
32 3
13
 33 3  3
3
 1
  3  3 3
 3
8 33
3

5.7 Multiplicación y división con radicales
Ahora estudiaremos varios tipos de productos y cocientes especiales con radicales. En nuestro
planteamiento de estos problemas la propiedad distributiva de los números reales desempeña un papel
importante.

Ejemplo:
Multiplicamos y simplificamos

2 10  3   2 10  2  3
 20  3 2
 4 5 3 2

 2 3  2 5   2 2  3 2  5 2  15
 2  2 2  15
 2 2  13

 x 3  x 5   x x  3 x  5 x  15
 x  2 x  15

 m  n  m  n 
3 3 2 3 3 2
 3 m3  3 m2n2  3 mn  3 n3
 m  3 m2 n 2  n

Recuerda que para expresar 2/3 en su forma radical más simple multiplicamos por 3 el numerador y el
denominador, con el propósito de suprimir del denominador el radical.
2 2 3 6
 
3 3 3 3
El denominador se convierte así en un número racional.

5 - 11


5.8 Racionalización
El proceso de convertir los denominadores irracionales en formas racionales se llama racionalización del
denominador.
1
Veamos ahora como se racionaliza el denominador binomial de
3 2

De nada sirve multiplicar el numerador y denominador por 3 o por 2. Pero al recordar el producto
notable: (a-b)(a+b)=a2-b2. Observamos que conviene multiplicar el numerador y el denominador pero con
el signo central opuesto. Así:

1


1 3 2

3 2 
 3 2
 3 2   3 2 3 2 3 2 

2


2 62


12  2 2 2 3  2 2 2 3  2
   3 2
 
6 2  
6 2 6 2 64  2 2

x y

 x y  x y


x  2 xy  y
x y  x y  x y  x y

5 - 12


EJERCICIOS 5.2:
Extrae raíz cuadrada a los siguientes números.
1.- Multiplica un número de dos cifras y extráele la raíz cuadrada.
2.- Multiplica un número de 3 cifras por si mismo. y extráele raíz cuadrada.
3.- Comprueba que el número 1.7320 es la raíz cuadrada del número 3.
4.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números. Los números que no tienen raíz cuadrada
perfecta, encuéntrala con dos decimales.

a) 5 b) 61 c) 121 d) 1000

e) 6 f) 81 g) 225 h) 12345

i) 49 j) 100 k) 235 l) 123456

5.- Expresa las siguientes potencias en forma de radical.

2 8 1
a) 5 3 = b) e) m 3 = c) i) ( 27 x 2 ) 3 =

e) f)  xy 
1 1 m
2
d) 49 2 = = f) n
j) a =

2 1 1
g) x 5 = h) g) 49x 2  2 = i) k) 3 =x

7 1 1
j) a 2 = k) h) (8 x3 ) 3 = l) ( x3 yz9) 3 =

6.- Expresa los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario

a) x3 b) 6 mn3 c) 8
x6 y8

d) xy e) 7
5x 2 y 3 f) 3
x3 y5 z 4

g) 5
3x 2 y 2 h) 5
7ab 4 i) x  y 3

j) 3
x  y 2 k) 3
b  c 2

EJERCICIOS 5.3:
5 - 13


Saca del radical los factores que tengan raíz perfecta.

(a) 32  (b) 4
32 

(c) 54  (d) 8x 3 y 

(e) 80  (f) 3
27 y 4 z 5 

(g) 75  (h) 20 x 6 y 8 

(i) 72  (j) 3
54 x 6 y 9 

(k) 98  (l) 18 x 7 y 3 

(m) 28  (n) 3
a 7b5 y 3 

(o) 128  (p) 4 16 x 9 y 4 z 3 

(q) 3
54  (r) 5
ax 7 y 9 z 12 

(s) 3
162  (t) 7
x9 z8 

(u) 45  (v) 4
81a 6b 3 

(w) 63 

EJERCICIOS 5.4:
5 - 14


Suma los siguientes radicales:

1.- 3 5 + 2 5 -5=

2.- 5 2 +7 2 -2=

3.- 33a + 53a - 63a =

4.- b + 2  b =

5.- 5 +  20 + 2 5=

6.- 52 + 50 =

7.- 18 - 32=

8.- 72 + 98 -200 =

9.- 3
16 - 3354 =

10.- 7 + 28 + 63 =

11.- 3x x3y +5x2xy =

12.- 2a3 a4 b4 -3a2bab =

13.- 3
32 + 3108 + 3 3256=

14.- 3
 24 + 53 =

15.- 45 +  20 +80 =

16.- 24 +54 +96=

17.- 5ax5y 3 + ax2yxy =

18.- 3xx7 + 5x9 + x11 =

19.- 5aa2 x3 y5 + 2a2yxy3 =

EJERCICIOS 5.5:
Multiplicación de radicales
5 - 15


1.- 5  2  5  2  10 * Pueden multiplicarse si tienen el mismo índice.

2.- 7  14  7  7  2  49  2  7 2

3.- 2 xy 3  9 x 3 y 5  2 9 x 4 y 8  23x 2 y 4  6 x 2 y 4 multiplicados los coeficientes

4.- 
2 2 3 2  
5.- 5  15 

6.-  
33 3 3 9 

7.- 2  14 
8.- 6 x7 x   
9.- 3
16  3 5 

10.- 3
25  3 5 

11.- 3 xy 3  5 x 3 y 

12.- 3 xy  2 x 

13.- 3 6 

14.- 6 6 

15.- 10  10 

16.- 3
x  3 x2 

17.- 
25 8 
18.- 5 2 3 8 

19.- 5  x 5  x  
20.- 7  2x 7  2x  
21.-  2  x  2

22.-  2  3  5  2

23.- x  3   2

EJERCICIOS 5.6:

5 - 16


a) ( x ) 2 = 1 1
b) ( x2 y2 ) 2 ( x3 y3 ) 3 =

1 1 1 1 1 1
c) x5 x6 = d) (ab)2 (a3b4 )4 =

2 5 1 1 1 1
e) 3 3 3 2 = f) ( x 2 y 2 ) 3 ( x5 y5 ) 6 =

5 2 1 1
g) (81) 4 = h) x 3 ( 2x 2 -3 x 3 ) =

3 1 1
i) ( y3 ) 2 = j) ( 3x 2 - 1)(3x 2 + 1) =

3 5
l) (x + 2 ) (x - 2 ) =
k) (x 2 ) 4 =

1
n) x(x -2) =
m) (3x ) 3 =

1
p) ( + 1) (x -  x+ 1)=
o) (ab) 3 =

2 2
5
r) ( 3 x3 + 2 ) ( 3x3 - 2 =
q) (a b ) 3 =

7 5
s) ( 5x) 4 = t) 3
3  3 3 =

1 1
2 2 2
u) 3x(2x y) = v) 16 =

1 1 1 1
x) 423 =
w) ( 2 x 3 y 2 )( 3 x 3 y 2 ) =

1 1 1
y) ( 18 ) 2 = z) ( 5x 2 +6 )( 5 x 2 - 6 )=

1 1 1 5
aa) ( x 5 y 2 )5 = bb) ( 23 x 2 ) 2 ( 2 x 2 ) 3 =
1 3 1 1
cc) (a 2 b 2 )2 = dd) 3 2 3 4 =
1 2 10
ee) (3 2 ) 5 = ff) 5 3 5 3 =

1
gg) (16) 4 =

EJERCICIOS 5.7:
División de potencia de la misma base y exponente negativos.

5 - 17


1 2
42 2 1
x2 1 1 53
1) 1 x 2 4 x 8 x x
8 4 2) 2 
x 4 5 4

8
25
3) (2-2)2 = 4) 2 

2 5

6

2 
 12 x5
1
5) 2  6) 2 
x 3

7
a4
7) (xy2)-2 = 8) 1 

a 4

3

x5 b 4
9)  10) 15 
x
b 4

2
 2
1

a 
 
11) (x-3)3 = 12) 2 
 3
a 4 
 

3
 9 2
-2
13) (5x y) = -1
14) 1 
27 2

2 1
x 2 y 3 x3 y2
15) 4 5  16) 1 1 
x y
x y 3 2

3 6
a b 5 7
17) (22)0 + 1 = 18) 2 1 
a a 5 7

3
 2 3
1 1

x y 
19)  x 1  2  
0
20)
 
1 1 
8x 2 y 2

5 - 18


1
 3 52
1 1

21) 2(xy)0 + 2 =  2x y 
22)  
 2 2
1 1

 4x y 

1
 2 2 
1 1 3
 3a b 
23) (3 + 40)2 = 24)  3  
 27 x 2 y 4 
 
2
27 3
25) 3  7-1= 26) 1 
81 4

3
 3 52 
1

 a b 
1  

27) 2 x 1 y 2  
2  28)
 2 3
5 
a 5b 2 
 

1
 5 2


29) 3 1 x 2 y
 13
3 y  
3 2
3 a2 
30)  3 
 4

a 

1
 7 2 2

x 2 y5
 
31) 3x2 y z  2x-1 y-2 z-3= 32) 3 
 2 3
1 2

x y2
 

4
 3
z 4 
33) (x-1+2)2= 34)  5  
 4
z 

1
 3
2 2

a 

0 2
35) (x +3) = 36)  5 
 4
a 

2
 2 6
a 5b 5 
   
1 1 2
37) x 2  y 2 2  38) 6 
 3 5
a 2b 6 
 

5 - 19


1

   64 3
2
 13  12
39) a 5 3  40) 1 
16 2

41) (2x-1 + 4)(2x-1 - 4)= 42) x-2x6 = x-2+4 = x4

1
 
1 1

43) x 3 y 2  
3  44) x 2  x 2 
x2


2 1  3 1
45) 2  46) x-2x-3=
4  2 3

7 2  5 1
47) 3  48) 2-3  25 =
2  6 1

3 2  6 1
49) 1 
4  3 3

5 - 20


EJERCICIOS 5.8:
Divide los siguientes radicales.

15
1.-  10.- 7 5 2
45

6
2.-  11.- a 8b 9  a 3b 5 
3

20
3.-  12.- x y x
5

9
4.- 3
 13.- 26x 9 y 11  27 x 7 y 3 
18

3
32
5.- 3
 14.- 2  2 + 3 =
4

3
6.-  15.- 3  5 - 7 =
2

x 3 y3 11  13
7.-  16.- 
xy 17

18ab 3
8.- 3 4
 17.- 7 x  14 x 3 y 2 
2a b

27a 6b 5
9.- 
3a 3b

5 - 21

Exponentes

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Exponentes

Similar to Exponentes (20)

Exponentes