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    Metodo de cross Metodo de cross Document Transcript

    • Folio EST 02-03METODO DE CROSS Materia: Estructura II Folio: EST 2-03 Fecha: Noviembre/2000 Autores: Arqto. Isabel M. Zúñiga Lamarque Arqto. Jing Chang Lou
    • 2
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSINTRODUCCIONEl poder entender y manejar el conocimiento de losmodelos estructurales requiere contar conherramientas que nos permitan evaluar las tensionesque se generan en los elementos componentes delsistema.Estas herramientas de evaluación se basan en modelosfísicos, que se establecen sobre esos elementos y quebuscan representar los fenómenos tensionales(comportamiento tensional, deformaciones) medianteprocedimientos y ecuaciones matemáticas. Laimportancia de contar con estas herramientas, paranosotros como arquitectos o estudiantes dearquitectura, radica en1. Los métodos y ecuaciones matemáticas con que se mide un fenómeno, contienen en su formulación. las variables que intervienen en éste la medida o proporción en que participan o influyen en el fenómeno. Por lo tanto, es la herramienta que nos otorga una comprensión de cómo funciona ese fenómeno y nos dice cómo intervenir y modificarlo en función de los requerimientos.He aquí algunos ejemplos que ilustran este punto.Un viga simplemente apoyada, con cargauniformemente repartida “q” y luz “l”Si observamos los valores dados de Momento Máximo yde Flecha Máxima, vemos que la luz influye en elcuadrado de su valor en las tensiones de la viga, y a lacuarta en la deformación de ésta.Es fácil concluir que a medida que la luz crece, ladeformación de la viga aumenta en mayor proporciónque sus tensiones.Por otra parte, también es posible afirmar, que en lamedida que la carga aumenta, el problema detensiones y el de deformaciones en la viga, seincrementa en la misma proporción.Si esa misma viga se empotra en sus apoyos (porejemplo conectándola en cada uno de estos con un parde pernos adecuadamente dimensionados) la fórmulaque representa el valor de la flecha máxima, nosmuestra que la deformación disminuirá a la quintaparte, con respecto a la deformación original. (fig. 2)MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 3
    • Este tipo de conclusiones, que lo podemos obtener entodos los niveles de análisis estructural, desde el diseñode un conector, al análisis y dimensionamiento de unelemento del sistema o al análisis del modeloestructural como un todo, nos ira proporcionando loscriterios que como arquitectos necesitamos paraenfrentar nuestros proyectos.2. Por otra parte, el contar con estas herramientas - que en muchos casos son simplificaciones del fenómeno o aproximaciones a la realidad - nos permite hacer una evaluación con miras a un predimensionamiento o a establecer la factibilidad de nuestras proposiciones.En el estudio de las estructuras hiperestáticas,debemos recurrir al estudio de las deformaciones de loselementos para poder llegar a conocer las tensionesque los solicitan. A partir de dichas deformaciones, sellegan a establecer sistemas de análisis como es el casode los Teoremas de Clapeyron, o de los Tres y CuatroMomentos.Este método nos permite determinar el valor de losmomentos en los nudos o apoyos de elementoshiperestáticos, como lo son las vigas empotradas, lasvigas continuas, las losas y los marcos rígidos. Paraesto, es necesario establecer en cada nudo, unaecuación por cada momento desconocido.El asunto es que al aplicar Clapeyron al modelo, seestablecen relaciones entre dichos momentos, lo quegenera ecuaciones con tres o cuatro incógnitas, segúnsea la conformación de los nudos.Finalmente, los resultado se obtienen resolviendosistemas de ecuaciones, lo que resulta muy tediosocuando las incógnitas son varias.En el ejemplo de la figura 3, sólo hay una incógnita y elaplicar Clapeyron resulta eficiente ya que sólodeberemos resolver una ecuación.En la viga empotrada de la figura 4, también lasincógnitas se reducen a una, por la simetría delmodelo.La viga de dos tramos de la figura 5 se resolverá con unsistema de dos ecuaciones, si es simétrica, y de tres sino lo es.En cambio. el marco de dos pisos y 3 naves. de la figura6. a pesar de la simetría que reduce las incógnitas a la4
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSmitad. tiene una incógnita en los nudos 1 - 2 – 5, tresincógnitas en los nudos 3 - 6, y cuatro incógnitas en elnudo 4, con un total de trece incógnitas, que deberánresolverse con un sistema de trece ecuaciones.Este caso y muchos otros que enfrentaremos ennuestros diseños, que cuentan con gran cantidad deincógnitas, hace indispensable el contar con otraherramienta que facilite su resolución.Esta herramienta es el método de Cross, que podrá seraplicado tanto en vigas, como en losas o marcos, conuna o muchas incógnitas, pero evidentemente, cómo secomprobara a medida de que se plantee el método y sedesarrollen ejemplos, Clapeyron seguirá, siendo máspractico, en el caso de pocas incógnitas y Crossresultará irreemplazable, como herramienta "manual",en caso contrario.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5
    • ANTECEDENTES PREVIOS1) COEFICIENTE DE TRASPASOEn una barra empotrada-rotulada, se aplica unmomento "M" en el extremo que puede girar. En elextremo contrario (el empotramiento) se genera unmomento de respuesta “ R ” tal que el ángulo φ1 M endicho apoyo es igual a ceroφ1 = 0La deformación angular (rotación), es originada por"M"., es anulada al llegar al empotramiento por “M R”,tal que:φ1(M) − φ1( M R ) = 0ML M R L − =06EI 3EIpor lo tanto: MMR = 2Conclusiones1. Cada vez que en una barra rotulada-empotrada, apliquemos un momento en el extremo rotulado, éste afectará al extremo empotrado en el que se producirá un momento de igual sentido que el momento original y con la mitad de su magnitud.2. Por otra parte, en el extremo rotulado, el valor del ángulo será: ML M R L M φ2 = − siendo: MR = tenemos: 3EI 6EI 2 ML ML φ2 = − 3EI 12EI ML por lo tanto: φ 2 = 4EI Este valor lo usaremos en la siguiente demostración6
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSS2) Rigidez y Coeficientes de DistribuciónAl aplicar un momento a un nudo rígido, este gira talque:φ1 = φ 2 = φ3 (1)Por otra parte, cada una de las barras se hace cargo deuna parte del momento solicitante para equilibrarlo,siendoM1 + M 2 + M 3 = M . (2)De acuerdo al valor de ángulo establecido en ladeducción. anterior M 1L1 M 2 L2 M 3L 3φ1 = φ2 = φ3 = 4EI 4EI 4EIEn esta relación, la deformación angular φ, esdirectamente proporcional al momento solicitante “M”y a la capacidad de deformarse de la barra, oflexibilidad L/4EILlamaremos “f” a la flexibilidad de la barra y rigidez asu valor inverso: k = 1/fSiendo 4 un valor constante, podemos simplificar esaexpresión, trabajando con un coeficiente de rigidez k =EI/L o, simplemente K = I/L, ya que lo usual es quetodas las barras del nudo sean de la mismamaterialidad y esta se expresa en el coeficiente deelasticidad E.De esta forma, el valor de los ángulos o giros de lasbarras serán M1 M2 M3φ1 = φ2 = φ3 = (3) k1 k2 k3y combinando (1) con (3)M1 M2 M3 = = (4)k1 k2 k3Expresaremos todos los momentos en función de M 1: M1 k 2 M1 k 3M2 = M3 = k1 k1y reemplazaremos en (2)MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7
    • M1 M1 k 2 M 1 k 3M= + + k1 k1 k1desarrollando esta expresión M1 + M1 k 2 + M 1 k 3M= k1 M 1 (k1 + k 2 + k 3 )M= k1por lo tanto k1M1 = *M (k 1 + k 2 + k 3 ) k2M2 = *M (k1 + k 2 + k 3 ) k3M3 = *M (k1 + k 2 + k 3 )Conclusiones1. Al aplicar un momento en un nudo rígido éste será equilibrado por todas las barras que concurren al nudo, en proporción de sus rigideces EI/L o 1/L.2. Podemos determinar un "coeficiente de distribución", para la participación de cada una de las barras concurrentes al nudo, tal que k1 cd 1 = k1 + k 2 + k 3 k1 generalizando cd 1 = k1 + k 2 + ... + k n k1 k2 k3 ó cd 1 = cd 2 = cd 3 = etc. Σk Σk Σk8
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSEL METODO1. Se inicia el método considerando que todos los nudos del entramado son absolutamente rígidos, quedando las barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que cada una tendría en su extremo un empotramiento perfecto. Esto significa . que las barras que poseen cargas, La viga y sus cargas generarán en sus extremos pares de empotramiento perfecto, que deberán ser calculados para aplicar el método.2. A continuación, se soltará nudo por nudo, de uno a la vez. dejando congelados los demás nudos y permitiendo que las barras de dicho nudo, entre las que hay continuidad, interactúen. Los Momentos de empotramiento perfecto Si en el nudo hay momentos, este girará, y dicho giro deberá ser equilibrado por las barras que concurren al nudo. Se produce así, una interacción entre las barras que llegan al nudo y una distribución de los esfuerzos (momentos) en función de las rigideces de los elementos. (ver punto 2 de "antecedentes previos").3. Cada barra que rotó, al asumir un momento, genera en Se suelta el nudo 2 y gira debido a M E su apoyo contrario un momento de respuesta, de igual sentido que el anterior y de la mitad del valor de este. Es decir, la barra asume un momento de valor “M” en el extremo que rota, y "traspasa" al otro extremo un momento de valor M/2. (ver punto 1 de "antecedentes previos"). Las barras que concurren al nudo loEs posible anotar inmediatamente los traspasos que se equilibran con momentos contrarios taloriginan cada vez que equilibramos un nudo, como que: M 1-2 + M 2-3 = M Etambién, podemos "soltar y equilibrar" todos los nudos, unopor uno, y después de desarrollar una vuelta completa deequilibrios, efectuar todos los correspondientes alos apoyos contrarios.4. Al ejecutar los traspasos, los nudos ya equilibrados sevuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo deequilibrios y traspasos. A los apoyos contrarios se traspasanA medida de que se completa un mayor número de vueltas, momentos de igual sentido y la mitad dellos desequilibrios van disminuyendo en magnitud, y nos valoracercamos más a los valores reales del momento en lasbarras. Por eso este método es conocido también como el“de las aproximaciones sucesivas”.Se recomienda repetir dicho ciclo las veces. que seanecesario, hasta que los desequilibrios remanentes no seansuperiores al 10% del desequilibrio original de cada nudo5. El valor del momento final. en los extremos de cadabarra corresponde a la suma de todos los momentos que. Los momentos resultantes después della fueron afectando en los sucesivos ciclos de equilibrios y equilibrio y traspasos del nudo 2traspasos.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9
    • PROCEDIMIENTOPara aplicar el método, se dibuja una trama ortogonal querepresenta todas las barras de entramado.Las intersecciones de líneas horizontales y verticalescorresponden a los nudos y deberá anotarse en ellos, en elextremo de cada barra, su correspondiente coeficiente dedistribución" en, dicho nudo.Estos valores se encerrarán en un rectángulo. sobre el cual seubicará el correspondiente valor de momento deempotramiento perfecto, para esa barra. en ese nudo.La ubicación de estos valores en el nudo, por convención, serála siguiente:Para las barras horizontales:§ en el apoyo izquierdo: arriba,§ en el apoyo derecho: abajo.Para las barras verticales:§ en el apoyo inferior: a la izquierda§ en el apoyo superior: ala derecha.A continuación se inician los ciclos de equilibrios y traspasos,hasta equilibrar definitivamente el nudo o al menos reducir eldesequilibrio según lo recomendado.Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra enuna columna que se genera a partir del valor deempotramiento perfecto original, y que se cierra con lasumatoria de todos los momentos de dicha columna.10
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSEJEMPLO 1APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LADETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UNA VIGACONTINUA, DE TRES TRAMOS.DatosViga de Hormigón Armado 20/50Peso propio viga = 250 kg mICarga repartida q = 200 kg/mlI.- ANTECEDENTES PREVIOS1.- Cálculo Momentos de Empotramiento PerfectoEn este caso, los tres tramos tienen las mismas cargas Yluces y por lo tanto, los mismosMomentos de Empotramiento perfecto.ME = qL 2 = ( 250 kg + 200 kg * 4 m )( )2 = 600 kgm 12 122.- Coeficientes de Distribución por NudoTodas las barras tiene la misma rigidez EI/L, por lo queles asignaremos rigidez 1Nudos 1 – 4A los nudos 1 y 4, llega una sola barra, por lo que si: k 1cd = cd (1− 2) = cd (3 −4 ) = =1 Σk 1Nudos 2 - 3 1cd (2−1) = cd ( 2−3 ) = = 0,5 2 1cd (3−2 ) = cd (3− 4 ) = = 0,5 2MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 11
    • II.- DESARROLLODibujamos la malla, con los coeficientes de distribuciónpor nudo y los momentos de empotramiento perfecto.Obsérvese que si deshacemos el empotramiento en losnudos, los nudos 1 y 4 rotarán, debido al momento quelos afecta y los desequilibra.1º Vuelta de Equilibrios: Se suelta nudo por nudo(deshaciendo el empotramiento) permitiendo que elnudo gire y las barras interactúen.En cada nudo., las barras que concurren a élreestablecen el equilibrio, aportando. un momento deigual valor Y sentido contrario. Cada barra hace suaporte en función de su correspondiente coeficiente dedistribución. Así es, como en los nudos 1 y 4, la únicabarra del nudo aportó el total del equilibrio (+600 y -600, respectivamente). En cambio. en los nudos 2 y 3,no había desequilibrio y las barras aportaron "cero"`.Se traza una línea horizontal, después de que cadanudo queda equilibrado y este se vuelve a "empotrar".1ª Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentosaportados por las barras, generan en sus apoyoscontrarios, un momento de igual sentido (signo) y lamitad de su valor.12
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSObviamente, las barras que no aportaron momentos, no"traspasan" momentos al apoyo contrario.Se ha completado así, una primera vuelta o ciclo deequilibrios y traspasos.Obsérvese que los nudos 2 y 3, después de los traspasosquedaron nuevamente desequilibrados. (Momentos queaparecen después de las líneas horizontales deequilibrio).Se procederá, por lo tanto, a realizar un 2º ciclo deequilibrios y traspasos.2º Vuelta de Equilibrios: los nudos 1 y 4 estánequilibrados. mientras que los nudos 2 y 3 tienendesequilibrios de +300 y -300. respectivamente. Sesoltará nudo por nudo y los desequilibrios seequilibrarán, nuevamente, con los aportes de las barrasque concurren al nudo, de acuerdo a sus coeficientesde distribución.2ª Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentosaportados por las barras, generan en sus apoyoscontrarios, un momento de igual sentido (signo) y lamitad de su valor.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 13
    • Se completa así, la segunda "vuelta" o ciclo deequilibrios y traspasos.Todos los nudos del sistema han quedadodesequilibrados.Los desequilibrios son mayores al 10% del valor de losdesequilibrios originales, por lo que se procederá arealizar una tercera vuelta.3ª Vuelta de Equilibrios y Traspasos : Se equilibrantodos los nudos. uno por uno, y luego se efectúan loscorrespondientes traspasos a los apoyos contrarios,según se indica.Después de esta tercera vuelta, se observa que losnudos 1 y 4, han disminuido sus desequilibrios a menosdel 5% respecto a los desequilibrios originales (18,75kgm, anotados después de la última línea de equilibrios,con respecto a 600 kgm).Los nudos 2 y 3, en cambio, presentan desequilibrios de56,2.5 kgm (37,5 + 18,75), cuando originalmenteestaban equilibrados (desequilibrios = 0). En este caso,como es imposible lograr el 10% del "desequilibrio"original, nos remitiremos al primer desequilibrioacontecido en el nudo, de 300 kgm. Siendo así, aúndebemos disminuir el desequilibrio, a un valor inferiora 3 0 kgm., por lo que efectuaremos una última vuelta.Finalizamos el desarrollo del método, sumando todaslas cifras anotadas en cada columna, para obtener losmomentos finales, correspondientes a los extremos decada barra.14
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSSe detiene el procedimiento después de un ciclo deequilibrios. De esta manera. al sumar los momentosfinales en cada nudo, deberá dar valor cero, ya que elnudo está en equilibrio. Esto nos permite verificar queno hayamos cometido errores de signos en el desarrolloy que hayamos aplicado correctamente los coeficientesde distribución.El método de Cross nos ha proporcionado el valor de losmomentos en los nudos; es tarea aparte el encontrarlos valores de momentos de tramo, que se determinanen cada tramo de la viga, con las mismas herramientasque utilizamos en una viga isostática cualquiera y,aunque en este caso plantearemos el modelo, noincluiremos los cálculos ya que no es el tema de esteapunte. Por razones de simetría, es suficiente analizardos tramos de la viga.Y para finalizar, incluiremos el diagrama de momentosde la viga.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 15
    • EJEMPLO 2:APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LADETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UNA VIGA CONTINUA,ASIMÉTRICA, DE DOS TRAMOS Y VOLADIZO.DatosViga de Acero (obviar peso propio)q1 = 200 kg / mlq2 = 300 kg / mlP = 500 kgL = 3,00 mI. ANTECEDENTES PREVIOS1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto qL 2M EMP = 12 200 3 2M EMP = = 150 kgm 12 PLM EMP = 8 500 3M EMP = = 187,5 kgm 8M EMP (1) = 150 kgm + 187,5 kgm = 337,5 kgmM EMP (2i) = 150 kgm + 187,5 kgm = 337,5 kgm qL 2M EMP = 30 300 3 2M EMP = = 90 kgm 30 qL 2M EMP = 20 300 3 2M EMP = = 135 kgm 20 qL 2M EMP = 216
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSS 200 12M EMP = = 100 kgm 2M EMP (3d) = 100 kgm2.- Coeficientes de Distribución por Nudo.Todas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por loque le asignaremos rigidez “1”En el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidezinfinita comparada con la barra 1-2 por lo tanto elcoeficiente de distribución de la barra es: cd(1-2) = 0En el nudo 2 llegan dos barras de igual rigidez por lotanto el coeficiente de distribución es el mismo paracada una de ellas: cd(1-2) = 0,5 cd(2-3) = 0,5En el nudo 3 el equilibrio del voladizo depende de sucontinuidad con la barra 2-3 y no puede aportar nada alequilibrio del nudo, por lo tanto el coeficiente dedistribución para cada una de ellas: cd(2-3) = 1 cd(voladizo) = 0MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 17
    • II. DESARROLLOComo ya hemos desarrollado un ejemplo en que cadaciclo o vuelta se trató por separado, en este ejemplo yen los siguientes incluiremos la malla con el procesototal, de equilibrios y traspasos y los valores finales.También se incluye el cuadro que indica losdesequilibrios existentes en cada vuelta.III.- Grafico de Momento18
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSEJEMPLO 3:APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LADETERMINACIÓN DE MOMENTOS EN UN MARCO DE DOSNAVES Y UN PISO.DatosMarco de Hormigón ArmadoVigas 20/50 Pilares 20/30Peso propio vigas q = 250kg/mlSobrecarga q= 300 kg/mlP = 150 kgL 1= 3,00 m.L 2 = 6,00 m.h= 3,00 m.I.- ANTECEDENTES PREVIOS1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto qL 2M EMP = 12 250 3 2M EMP( 4− 5) = = 187,50 kgm 12 250 6 2M EMP(5− 6 ) = = 750,00 kgm 12 5qL 2M EMP = 96 5 300 3 2M EMP( 4−5) = = 140,63 kgm 96M EMP(4 −5) = 187,50 + 140,63 = 328,13 kgm 2PLM EMP = 9 2 150 6M EMP(5− 6) = = 200,00 kgm 9M EMP(5− 6) = 750 + 200 = 950,00 kgmMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 19
    • 2.- Calculo de Rigideces de las Barras. ( EI / L )Barras 1-4 y 3-6 20 30 3 45000I= = 45000 → k = = 150 12 300Barras 2-5 30 20 3 20000I= = 20000 → k = = 66,67 12 300Barras 4-5 20 50 3 208333I= = 208333 → k = = 694,44 12 300Barras 5-6 20 50 3 208333I= = 208333 → k = = 347,22 12 6003.- Coeficientes de Distribución por NudoEn los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene unarigidez infinita comparada con las barras que llegan acada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución delas barras es:cd (1− 4) = cd ( 2−5) = cd (3 −6) = 0En los nudos 4 y 6 llegan dos barras de distinta rigidezpor lo tanto el coeficiente de distribución para cadauna de ellas es: 694,44cd ( 4 −5) = = 0,91 694,44 + 66,7cd (1−4) = 1 − 0,91 = 0,09 347,22cd ( 5−6) = = 0,84 347,22 + 66,7cd ( 3− 6) = 1 − 0,84 = 0,16En el nudo 5 llegan tres barras de distintas rigidecespor lo tanto el coeficiente de distribución para cadauna de ellas es: 694,44cd ( 4 −5) = = 0,58 694,44 + 347,22 + 66,7 347,22cd ( 5−6) = = 0,29 694,44 + 347,22 + 66,7cd ( 2− 5) = 1 − 0,58 − 0,29 = 0,1320
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSII.- DESARROLLOEn el caso de los marcos, como en el de las vigashiperestáticas analizadas en los ejemplos anteriores, elmétodo de Cross nos proporciona el valor de losmomentos en los nudos.Los momentos de tramo se obtiene en los respectivostramos de viga, tal como en los otros casos, con lasmismas herramientas utilizadas hasta ahora en una vigaisostática cualquiera.MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 21
    • III.- Gráfico de Momento22
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSEJEMPLO 4 :APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LADETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UN MARCO EN DOSPISOS.Datos:Marco de Hormigón ArmadoViga 20/50 Pilares 20/30Peso propio viga q1 = 250 Kg/mlSobrecarga q2 = 200 Kg/mlP = 500 kgL1 = 6,00 mh = 3,00 mI.- ANTECEDENTES PREVIOS1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto qL 2M EMP = 12 450 * 6 2M EMP = = 1350 kgm 12 PLM EMP = 8 500 * 6M EMP = = 375 kgm 8 qL2M EMP = 2 450 * 2 2M EMP = = 900 kgm 22.- Calculo de Rigideces de las Barras.Pilares 1-4, 2-5, 3-6, 4-7 y 5-8 20 30 3 45000I= = 45000 → k = = 150 12 300MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 23
    • Vigas 4-5, 5-6 y 7-8 20 50 3 208333I= = 208333 → k = = 347,22 12 6001c.- Coeficientes de Distribución por NudoEn los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene unarigidez infinita comparada con las barras que llegan acada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución delas barras es:cd (1− 4) = cd ( 2−5) = cd (3 −6) = 0En el nudo 4 llegan tres barras de distinta rigidez porlo tanto el coeficiente de distribución para cada una deellas es: 150cd (1− 4) = cd ( 4 −7) = = 0,23 347 + 150 + 150 347cd ( 4 −5) = = 0,54 347 + 150 + 150En el nudo 5 llegan cuatro barras de distinta rigidezpor lo tanto el coeficiente de distribución para cadauna de ellas es: 150cd ( 2− 5) = cd ( 5−8) = = 0,15 347 + 347 + 150 + 150 347cd ( 4 −5) = cd (5− 6) = = 0,35 347 + 347 + 150 + 150En el nudo 6 llegan tres barras de distinta rigidez, perouna barra en voladizo no se considera ya que ésta noaporta rigidez al sistema, por lo tanto el coeficiente dedistribución para cada una de ellas es: 150cd ( 5−6) = = 0,30 347 + 150 + 0 347cd ( 3− 6) = = 0,70 347 + 150 + 0En los nudos 7 y 8 llegan dos barras de distintasrigideces por lo tanto el coeficiente de distribuciónpara cada una de ellas es: 150cd ( 4 −7) = cd ( 5−8) = = 0,30 347 + 150 347cd ( 7 −8) = = 0,70 347 + 15024
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSII. DESARROLLOMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 25
    • III.- Grafico de Momentos26
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSCASOS DE SIMETRIAExisten dos tipos de simetría : A) Simetría respecto a un apoyo B) Simetría respecto a la mitad de la vigaCASO ASIMETRÍA RESPECTO A UN APOYOSe produce cuando el eje de simetría coincide con elapoyo de una viga o con el pilar central de un marco.Viga simétrica respecto a un apoyoEn este caso, el eje de simetría divide el modelo endos partes, y se trabaja con una de ellas.Las barras que llegan al eje de simetría se considerancon dicho extremo empotrado.Marco simétrico respecto a pilar central y su modelode evaluaciónEn el caso de un marco, el pilar central no tienemomentosMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 27
    • CASO B:SIMETRÍA RESPECTO A LA MITAD DE LA VIGA.Se produce cuando el eje de simetría coincide con elpunto medio del tramo de viga central de una vigacontinua o de un marco.En este caso, como en el anterior, el eje de simetríadivide el modelo en dos partes, trabajándose una deellas. A las barras cortadas se le considerará la mitadde su rigidez real, y su encuentro con el eje de simetríase considera un apoyo rotulado.Viga Simétrica respecto al punto medio del tramocentral.Marco Simétrico respecto al punto medio de la viga28
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSEJEMPLO 5:CASO DE SIMETRÍA RESPECTO A UN APOYO.DatosMarco de Hormigón ArmadoViga 20/50 Pilares 20/30Peso propio viga q = 250 kg / mlSobrecarga q1 = 200 kg / mlL 1 = 3,00 mh = 3,00 mI.- ANTECEDENTES PREVIOS1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto qL 2M EMP = 12 450 * 3 2M EMP = = 337,50 kgm 122.- Calculo de Rigideces de las Barras.Pilares 1-4 20 30 3 45000I= = 45000 → k = = 150 12 300Vigas 4-5 20 50 3 208333I= = 208333 → k = = 694,44 12 3003.- Coeficientes de Distribución por NudoEn el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidezinfinita comparada con la barra por lo tanto elcoeficiente de distribución de la barra es:cd (1− 4) = 0En el nudo 4 llegan dos barras de distinta rigidez por lotanto el coeficiente de distribución para cada una deellas es: 150cd (1− 4) = = 0,18 150 + 694,44cd ( 4 −5) = 1 − 0,18 = 0,82MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 29
    • En el nudo 5 la barra 4-5 llega el eje de simetría por lotanto al considerar un empotramiento el coeficiente dedistribución para la barra es:cd ( 4 −5) = 0II.- DESARROLLOIII.- GRÁFICO DE MOMENTO30
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSEJEMPLO 6 :CASO DE SIMETRÍA RES PECTO A LA MITAD DE UNA VIGADatosMarco de Acero (obviar peso propio)Pilares y vigas de secciones iguales.Sobrecarga q = 4500 kg / mlP = 500 kgL = 3,00 mh = 3,00 mI.- ANTECEDENTES PREVIOS1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto qL 2M EMP = 12 450 * 3 2M EMP = = 337,50 kgm 12 PLM EMP = 8 500 * 3M EMP = = 187,50 kgm 82.- Coeficientes de Distribución por NudoTodas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por loque le asignaremos rigidez “1”En los nudos 1 y 2 el empotramiento tiene una rigidezinfinita comparada con la barra por lo tanto elcoeficiente de distribución de la barra es:cd (1−5) = cd (2 −6) = 0En el nudo 5 llegan dos barras de igual rigidez por lotanto el coeficiente de distribución para cada una deellas es:cd (1−5) = cd ( 5− 6) = 0,50En el nudo 6 llegan tres barras de la misma rigidez perola barra 6-7 es la barra cortada por el eje de simetríapor lo que sólo se considerará la mitad de su rigidez. 1cd ( 2− 6) = cd (5− 6) = = 0,40 1 + 1 + 0,50cd ( 6− 7) = 1 − 0,40 − 0,40 = 0,20MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 31
    • En el nudo ficticio en la mitad de la barra 5-6 seconsidera apoyo rotulado por lo tanto el coeficiente dedistribución es:cd ( 6− 7) = 1II.- DESARROLLOIII.- GRAFICO DE MOMENTOS32
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSTABLA DEMOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO PL qL  2  MA = MA = (L + b ) 5 − b 2    8 96  L  PL qL  2  MB = MB = (L + b ) 5 − b 2    8 96  L  2 P ab qL 2 MA = MA = L2 30 2 Pa b qL 2 MB = MB = L2 20 Pa (L − a) qa 2  a a  MA = MA = 10 − 15 − 6   L2 30  L L  Pa (L − a ) qa 3  a MB = MB = 5 − 4  L2 20L  L qL2 17 qL 2 MA = MA = 12 384 qL2 17qL2 MB = MB = 12 384 5qL 2 qL 2 MA = MA = 96 32 5qL 2 qL 2 MB = MB = 96 32MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 33
    • 34
    • Folio EST 02-03 METODO DE CROSSBIBLIOGRAFÍAMETODO DE CROSS Prof. Raúl Véliz Montoya Apunte del Departamento de Ciencias de la ConstrucciónHORMIGÓN ARMADO P. Jimenez Montoya TablasApuntes Personales del AutorMATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 35
    • INDICEINTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 3ANTECEDENTES PREVIOS.................................................................................................................. 6 Coeficiente de traspaso.................................................................................................... 6 Coeficiente de Distribución .............................................................................................. 7EL METODO....................................................................................................................................... 9PROCEDIMINETO............................................................................................................................... 10EJEMPLOS........................................................................................................................................ 10 EJEMPLO 1 : Viga Con tinua de tres tramos ....................................................................... 11 EJEMPLO 2 : Viga Continua Asimétrica de dos tramos y un voladizo................................ 16 EJEMPLO 3 : Marco de dos naves y un piso....................................................................... 19 EJEMPLO 4 : Marco de dos pisos ....................................................................................... 23CASOS DE SIMETRIA........................................................................................................................... 27 Simetría con respecto a un apoyo..................................................................................... 27 Simetría con respecto a la mitad de una viga.................................................................... 28EJEMPLOS.......................................................................................................................................... 29 EJEMPLO 1 : Marco simétrico con respecto a un apoyo..................................................... 28 EJEMPLO 2 : Marco simétrico con respecto a la mitad de una viga................................... 31ANEXOS............................................................................................................................................. 32 Tabla : Valores de momentos de empotramiento perfecto............................................... 33 Bibliografía........................................................................................................................ 3536