Komposisi dua-fungsi

14,465 views
14,124 views

Published on

Published in: Education
1 Comment
1 Like
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
14,465
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
221
Comments
1
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Komposisi dua-fungsi

  1. 1. KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERSStandar Kompetensi:5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsiKompetensi Dasar5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi5.2 Menentukan invers suatu fungsiA. Pengertian relasi antara anggota dua himpunanRelasi (hubungan) dapat terjadi antara anggota dari dua himpunan. Misalnya,A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}. Antara anggota himpunan A dan B ada relasi“tiga kurangnya dari”. Relasi tersebut dapat ditunjukkan dengan diagram sbb:Relas antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai himpunanpasangan berurutan sebagai berikut: {(1,4), (2,5), (3,6), (4, 7)}Relasi antara anggota himpunan A dan B dapat dinyatakan denganmenggunakan rumus. Misalnya anggota A dinyatakan dengan x, makapasangannya ialah y anggota B dirumuskan: y=x+3 1
  2. 2. B. Pengertian fungsi dan pemetaanPerhatikan diagram panah berikut. (1) (2) (2) (4)Pada gambar 1, 3 dan 4 setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepatsatu anggota himpunan B. Relasi yang memiliki ciri seperti itu disebut fungsiatau pemetaan.Pada gambar 2 bukan fungsi karena ada anggota A yang punya pasangan lebihdari satu anggota B. 2
  3. 3. Definisi:Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi atau pemetaaan, jika danhanya jika setiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat dengan satuunsur dalam himpunan B.Latihan:Relasi dari himpunan A = {a, b, c, d} ke himpunan B = {p, q, r, s} yang disajikandalam diagram panah berikut, mana yang merupakan fungsi ?1. 5.2. 6. 3
  4. 4. 3. 7.4. 8. 4
  5. 5. Misalkan f adalah suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka fungsi fdilambangkan dengan: f: A BJika x ∈ A dan y ∈B sehingga pasangan berurut ( x, y ) ∈ f , maka y disebutpeta atau bayangan dari x oleh fungsi f.Peta atau bayangan ini dinayatakan dengan y = f (x) seperti ditunjukkan padagambar berikut.Jadi, suatu fungi f dapat disajikan dengan lambang pemetaan sebagai berikut: f : x → y = f ( x) 5
  6. 6. dengan y = f (x ) disebut rumus atau aturan fungsi, x disebut peubah (variabel)bebas dan y disebut peubah (variabel) tak bebas.Himpunan A disebut daerah asal atau domain dan dilambangkan dengan D f.Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dan dilambangkan dengan K f.Himpunan dari semua peta A di B disebut daerah hasil (range) dandilambangkan dengan Rf.Contoh:A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}f: A B dimana f(x) = 2x +3Diagram panahnya sbb:Domainnya adalah A = {1, 2, 3, 4}.Kodomainnya adalah B = {5, 7, 9, 10, 11, 12}Rangenya adalah C = {5, 7, 9, 11}Jadi Rr ⊂ K f , tetapi dapat juga R f = K f 6
  7. 7. B. Fungsi KomposisiPerhatikan contoh berikut:Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}.f: A B ditentukan dengan rumus f ( x) = 2 x + 1 dengan g : B →C ditentukan olehrumus g ( x ) = x + 2 . Ditunjukkan oleh diagram panah sbb: 2Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:peta dari 2 adalah 27peta dari 3 adalah 51peta dari 4 adalah 66peta dari 5 adalah 83dan diagaram panahnya menjadi, 7
  8. 8. fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis h = g  fatau h( x) = ( g  f )( x).Secara umum:Definisi:Misalkan fungsif : A → B ditentukan dengan rumus y = f (x )g : B →C ditentukan dengan rumus y = g (x ) 8
  9. 9. Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan autan: h( x) = ( g  f )( x) = g ( f ( x))o dibaca komposisi atau “bundaran”Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi ( g  f )( x) = g ( f ( x)) ditentukandengan pengerjaan f (x) terlebih dahulu kemudian dilanjutkan denganpengerjaan oleh g ( x ). Perhatikan contoh berikut. Contoh: 2 1. Diketahui f(x) = x + 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan: a. (f o g)(x) b. (g o f)(x) Jawab: a. (f o g)(x) = f (g(x)) = f(2x – 3) 2 = (2x – 3) + 1 2 = 4x – 12x + 9 + 1 2 = 4x – 12x + 10 b. (g o f)(x) = g (f(x)) 9
  10. 10. 2 = g(x + 1) 2 = 2(x + 1) – 3 2 = 2x - 1 Ternyata, ( f  g )( x ) ≠ ( g  f )( x). Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif. 22. Diketahui dan ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x + 6x + 7, maka tentukan g(x) ! Jawab : f(x) = x + 3 2 (f o g)(x) = x + 6x + 7 2 f(g(x)) = x + 6x + 7 2 g(x) + 3 = x + 6x + 7 2 g(x) = x + 6x + 4 10
  11. 11. 23. Diketahui dan ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x) = 4x + 12x + 6, maka tentukan g(x) . 2 Jawab : (g o f)(x) = 4x + 12x + 6 2 g(f(x)) = 4x + 12x + 6 2 g(2x + 4) = 4x + 12x + 6 p −4 Misal: 2x + 4 = p, maka x = 2  p −2  2  p −4 4 g(p) =  4   + 12  ) + 6  2  2 g(p) = p – 8p + 16 + 6p – 24 + 6 2 g(p) = p – 2p – 2 2 Maka: g (x) = x – 2x – 2 Cara lain: ( g  f )( x ) = g ( f ( x )) = g ( 2 x + 4) = 4 x 2 + 12 x + 6 (2 x + 4) 2 − 2(2 x + 4) − 2 Jadi, g ( x) = x − 2 x − 2 2 11
  12. 12. C. Fungsi Invers1. Pengertian InversMisalkan f fungsi dari himpunan A ke B yang dinyatakan dengan diagram panahsbb:sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan:f :{(a,b |) a ∈ A dan b∈ B}Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadidomaian, maka diagram panahnya menjadi 12
  13. 13. dan himpunan pasangan berurutannya menjadi{(b, a) | b ∈ B dan a∈ A}Relasi yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers fungsi f dan −1dilambangkan dengan fDefinisi:Jika fungsi f : A → B dinyatakan dengan pasangan berurutan f :{(a,b |) a ∈ A danb∈ B} maka invers fungsi f adalah f −1 : B → A ditentukan oleh f {(b, a |) b ∈ B dana∈ A}Apakah invers suatu fungsi juga merupakan fungsi ? Untuk jelasnya perhatikandiagram panah berikut. 13
  14. 14. (1) (2) (3)Tampak bahwa yang inversnya juga merupakan fungsi hanya pada gambar (3).Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers fungsi itu disebut fungsiinvers. 14
  15. 15. 2. Menentukan Rumus Fungsi InversPerhatikan diagram panah berikut.y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh fungsi f dapatdinayatakan dengan persamaan: y = f (x ) -1 -1Kalau f adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi fsehingga diperoleh persamaan: −1 x=f ( y)Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x.Contoh:1. Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi f ( x) = 2 x + 6 !Jawab:y = f ( x) = 2 x + 6⇔2x = y − 6 1⇔x= y −3 2 15
  16. 16. −1 1 −1 1Dengan demikian f ( y) = y − 3 atau f ( x) = x −3 2 2Contoh: 2x − 5 1Tentukan r5umus fungsi invers dari fungsi f ( x) = 3x + 1 , x ≠ − 3Jawab: 2x − 5y = f ( x) = 3x + 1⇔ y (3 x + 1) = 2 x − 5⇔ 3 yx + y = 2 x − 5⇔3 yx − 2 x = −y − 5⇔ (3 y − 2) x = − y − 5 − y −5⇔x = 3y − 2 y +5⇔x = 2 −3y −1 y +5⇔f ( y) = 2 −3y −1 x +5⇔f ( x) = 2 − 3x 2x − 5 1 −1 x +5Jadi fungsi invers dari fungsi f ( x) = 3x + 1 , x ≠ − 3 adalah f ( x) = 2 − 3x 16
  17. 17. 3. Fungsi Invers dan Fungsi KomposisiMisalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari fungsi f(x) danfungsi g(x). Fungsi h(x) kemungkinannya adalah ....ii) h(x) = (fog)(x)ii) h(x) = (gof)(x)Diagram panahnya sbb:i) 17
  18. 18. −1 −1Jadi ( g  f ) ( x) = ( f  g −1 )( x )ii) 18
  19. 19. −1 −1 −1Jadi ( f  g ) ( x) = ( g  f )( x ) 19
  20. 20. Contoh:Misalkan f : R → R dan g : R → R ditentukan dengan rumus f ( x) = x + 3 dang ( x ) = 5 x − 2. Tentukan ( f  g ) −1 ( x)Jawab:Cara 1: −1Dicari ( f  g )( x) terlebih dahulu selanjutnya dicari ( f  g ) ( x)( f  g )( x ) = f ( g ( x)) = (5 x − 2) + 3 = 5 x + 1y = 5 x +1⇔5 x = y −1 1 1⇔x= y− 5 5 −1 1 1Jadi ( f  g ) ( x) = 5 x − 5Cara 2: −Dicari f 1 ( x ) dan g −1 ( x) selanjutnya menggunakan rumus( f  g ) −1 ( x) = ( g −1  f −1 )( x )f ( x) = x + 3⇔ y = x +3⇔ x = y −3 −1⇔f ( x) = x − 3g ( x) = 5 x − 2⇔ y = 5x − 2 1 2⇔x= y+ 5 5 1 2⇔ g −1 ( x ) = x + 5 5 20
  21. 21. ( f  g ) −1 ( x ) = ( g −1  f −1 )( x ) = g −1 ( f −1 ( x )) 1 2 = ( x − 3) + 5 5 1 1 = x− 5 5Contoh:Fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus: 3x + 5f ( x) = 2 x + 1 dan g ( x) = x −4 −1Carilah ( g  f ) ( x )!Jawab;( g  f )( x) = g ( f ( x)) 3(2 x + 1) + 5 = 2x +1 − 4 6x +8 = 2x −3 6x + 8⇔y= 2x − 3⇔ 2 yx − 3 y = 6 x + 8⇔ 2 yx − 6 x = 3 y + 8⇔ (2 y − 6) x = 3 y + 8 3y +8⇔x = 2y −6 −1 3x + 8Jadi ( g  f ) ( x ) = 2 x − 6 21
  22. 22. UJI KOMPETENSI1. Diketahui f (3x − 1) = 6 x + 4 , maka f (x ) =....A. 2x + 4B. 2x – 4C. 2x + 6D. 2x – 6E. 2x + 5C2. Diketahui f (2 x + 1) = 4 x + 2 x − 5 maka f ( 2) =.... 2A. -3B. -2C. 1D. 2E. 3 22
  23. 23. A3. Daerah hasil (range) dari fungsi f : R → R dimana f ( x ) = x − 2 x − 8 adalah .... 2A. { y | y ≥ 8, y ∈ R}B. { y | y ≥ −8, y ∈ R}C. { y | y ≥ −9, y ∈ R}D. { y | y ≤ −8, y ∈ R}E. { y | y ≤ 9, y ∈ R}C4. Jika f ( x) = 5 x + 2 dan g ( x) = −2 x +1 maka ( f  g )(−2) =....A. -17B. -16C. -15D. -14E. -13E x +25. Jika f ( x) = 2 x + 3 dan g ( x) = 3 x −1 maka ( g  f )(−2) =....A. -1B. 0C. 1D. 5/11E. 9/11B 23
  24. 24. 6. Jika f ( x) = x + 2 dan g ( x) = 3x + 4 x + 1 maka ( g  f )( x) = .... 2A. 3 x + 16 x + 21 2B. 3 x + 16 x − 21 2C. 3x + 8 x + 21 2D. 3 x + 12 x − 21 2E. 3 x + 12 x + 21 2A x +57. Jika f ( x ) = 2 x + 1 maka f −1 (3) = ....A. -3/5B. -2/5C. 1D. 2/5E. 3/5D8. Jika f ( x) = 7 x − 2 maka f −1 ( x +1) = ....A. x + 2B. x -2C. x + 3D. 1/7 (x + 2)E. 1/7 (x + 3)E9. Jika f ( x) = 2 x − 3 dan ( g  f )( x) = 6 x + 10 maka g ( x) = ... −1A. x + 19 24
  25. 25. B. x – 19C. 1/3(x – 19)D. 1/3(x + 10)E. 1/3(x - 10)C10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f − 2 1 ( x) = ....A. x + 9B. 2 + xC. x − 10 x − 3 2D. 2+ x +1E. 2+ x +7E 25
  26. 26. B. x – 19C. 1/3(x – 19)D. 1/3(x + 10)E. 1/3(x - 10)C10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f − 2 1 ( x) = ....A. x + 9B. 2 + xC. x − 10 x − 3 2D. 2+ x +1E. 2+ x +7E 25
  27. 27. B. x – 19C. 1/3(x – 19)D. 1/3(x + 10)E. 1/3(x - 10)C10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f − 2 1 ( x) = ....A. x + 9B. 2 + xC. x − 10 x − 3 2D. 2+ x +1E. 2+ x +7E 25
  28. 28. B. x – 19C. 1/3(x – 19)D. 1/3(x + 10)E. 1/3(x - 10)C10. Jika f ( g )( x) =10 x − 8 x − 3 dan g ( x) = 2 x + 4 maka f − 2 1 ( x) = ....A. x + 9B. 2 + xC. x − 10 x − 3 2D. 2+ x +1E. 2+ x +7E 25

×