世界のナベアツさんは1から順番に数を数えていき，3の倍数と3がつく数字のときだけアホになります．では，彼がNまで数え終えたとき，彼は何回アホになったのでしょうか? そこには興味深い数理的内容がありました．いわゆる整数問題であり，数学オリンピック的な問題です． また，プログラミングが得意な方は，彼がアホになる回数を出力するプログラムを作ってみるのも面白いと思います．

1. 世界のナベアツ問題
「彼が1からNまで数えたとき，彼は
何回アホになったのだろうか? 」

2. 世界のナベアツとは・・・
• 元お笑い芸人．その後，桂三度という名の落
語家になった．
• 次のネタで有名になった．

3. 世界のナベアツの有名なネタ
彼は1から順番に数を数えていき， 3の倍数と3が付く（いず
れかの桁の数字が3である）数字を数えるときだけアホになる．
彼が1から40まで数えたときに彼がアホになる数字を黄色
で示すと次のようになる：
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27,
28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39,
40.
ちなみに上の例では，彼は21回アホになったことになる．

4. まあ40くらいなら地道に書き出して数えていって
もいいけど，もっと数が大きくなったとき，計算でア
ホになった回数を出すことはできるのだろうか？
（もっと効率的なアルゴリズムはないのか？）
そこで，冒頭にある次のような問題を考えた．
問題：「彼が1からNまで数えたとき，彼は何回アホ
になったのだろうか?」
この問題の答えを퐴(푁) とする．与えられた푁 に
対して，퐴(푁) をどう求めるかが問題になる．
よければ紙と鉛筆を用意してお考え下さい．

5. 問題へのアプローチ
1以上N以下の整数の集まり
1からNまでの数の中にある
(i) 3の倍数の個数푥
(ii) 3が付く数の個数푦
(iii) 3が付く3の倍数の個数푧
を考える．
(i)と(ii)の重複部分が(iii)なので，彼がアホになる回数は
퐴 푁 = 푥 + 푦 − 푧
で求めることができる．
(i), (ii), (iii)を順番に考えていく．
(i) (iii) (ii)

6. (i) 3の倍数の個数푥
1からNまでの自然数のなかにある3の倍数の個数は
푥 =
푁
3
.
（※ここで，[ ] はガウス記号と呼ばれ， [푋] で푋 を超えない最
大の整数を表す．）
（※なぜ푥 =
푁
3
かというと，1以上N以下の3の倍数は，
1 × 3, 2 × 3, 3 × 3, … ,
푁
3
× 3
がすべてだから． 푁
3
+ 1 × 3 はNを超える．）

7. (ii) 3が付く数の個数푦
まず，1からNまでの数の中にある3が付かな
い数の個数푦 を求めたい．（ 푦 = 푁 − 푦 とな
る．）
これから푦 の求め方を説明していきたい．例
としてまず푁 = 25389 のときを考える．つまり，
「00001, 00002, 00003, … , 25389の中に3が付
かない数は何個あるか? 」
を考えたい．これには場合分けが有効である．

8. Case1: 一万の位の数字が0または1であるよう
な3が付かない数の個数を考える．そういう数
は，
0**** or 1****
という形で，*には（3を除く）0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9
の9個の数字のいずれかが入る．ただし，00000
はカウントしないので，Case1に該当する数は
2 × 94 − 1 個ある．

9. あとは，Case2 として，一万の位の数字が2で
ある3が付かない数の個数を求めればよいのだ
が…
Case2-1: 一万の位の数字が2で，千の位の数字
が0, 1, 2, 4 のどれかである3がつかない数
そういう数は，
20*** or 21*** or 22*** or 24***
という形で，*は3以外の1桁の数字．よって，
Case2-1に該当する数の個数は(5 − 1) × 93 で
ある．

10. Case2-2: 一万の位の数字が2で，千の位の数字
が5である，3がつかない数
そのような数は25*** という形であり，もっと
いうと，
250** or 251** or 252**
という形である．よって，Case2-2に該当する数
は3 × 92 個ある．

11. 以上より，푁 = 25389 のとき，3が付かない数
の個数は，
푦 = 2 × 94 + (5 − 1) × 93 + 3 × 92 − 1
である．
以上の説明で，すでに푁 が与えられたときの
푦 の求め方（푦 を求めるアルゴリズム）をつかめ
た方もいるかもしれない．
つまり，どういうアルゴリズムかというと……（別
のNの例を挙げる）……

12. まず，Nの上の桁から見ていく．
푁 = 20681343029
3が現れない限りは，
{(푁の10푖の位の数字) − 0 or 1 } × 9푖
を푦 に足していく．ただし， 0 or 1 の部分については，(푁の10푖
の位の数字) が3より大きい場合は1で，3より小さい場合は0 ．
푦 = 2 × 910 + 0 × 99 + 6 − 1 × 98
+ 8 − 1 × 97 + 1 × 96+? ?.

13. そうしていって，(푁の10푗の位の数字) が3
だった場合，푦 に3 × 9푗 − 1 を足して終了．
푁 = 20681343029 のとき，
푦 = 2 × 910 + 0 × 99 + 6 − 1 × 98
+ 8 − 1 × 97 + 1 × 96 + 3 × 95 − 1.

14. なお，Nのどの桁にも3がない場合，푦 の式の
最後に−1 はつかないので注意（なぜか考えて
みよう）．
푁 =9240517 のとき，
푦 = (9 − 1) × 96 + 2 × 95 + 4 − 1 × 94
+0 × 93 + 5 − 1 × 92 + 1 × 91
+7 × 90.

15. 푦 が求まれば， 푦 = 푁 − 푦 が求まる．

16. (iii) 3が付く3の倍数の個数푧
まず3が付く数を並べてみる．
3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,
39, 43, 53, 63, 73, 83, 93, ……
この数列を{푎푛} とする．(푎1= 3, 푎2 = 13, 푎3 =
23, … )
次に，この中にある3の倍数を黄色で示すと
3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,
39, 43, 53, 63, 73, 83, 93, …
となる.

17. これから，次の面白い予想が出てくる．
予想：「푎3푛+1 (ただし，푛は負でない整数) は3
の倍数である」
それではこの予想を証明しよう．

18. 予想の証明：
まず，anにどんな数を足すとan+1になるかを場合分けし
て考える．
（Case1とCase2ではanの一の位にしか3がない場合を，
Case3とCase4では一の位でない位に3がある場合を考え
ている．）
Case1: an = □□…□3
という形で，□はすべて3以外の数字であり，anの末尾は
299…93または23という形のとき
an+1 = an+7.
（ちなみに，このとき，an+1 の末尾は300…0という形）
（例： an=293のとき， an+1 = 300 = an+7. ）

19. 予想の証明（つづき）：
Case2: an = □□…□3 またはan = 3 のとき
（ただし□はすべて3以外の数字で，an の末尾
は299…93という形でも23という形でもないとき）
an+1 = an+10である.
（例： an=283のとき， an+1 = 293 = an+10. ）

20. 予想の証明（つづき）：
Case3: an = □□…□3△△…△ または
an = 3△△…△ という形のとき
（ただし，□はすべて3ではなく，△の少なくとも
どれか1つは9ではないとき）
an+1 = an +1.
（例： an =1394のとき， an+1 = 1395= an +1.）

21. 予想の証明（つづき）：
Case4: an = □□…□399…9 またはan = 399…9
という形であって，□はすべて3ではないとき
an+1の末尾は400…0という形になる．これに3
を足せば末尾は40…03あるいは43となって，3
が現れるので，
an+1 = an +1+3 = an +4
である.
（例: an =399のとき， an+1 =403 = an+4.）

22. 予想の証明（つづき）：
以上Case1からCase4より，
an+1 = an+(1 or 4 or 7 or 10)
である．偶然にも1も4も7も10も3で割ったときの余
りが1である．1≡4≡7≡10 (mod 3) なので（こういうの
を合同式という），
an+1 ≡ an+1 (mod 3)
が成り立つ．a1 ≡ 0 (mod 3) なので，数列{an } を3で
割った余りでみると，
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, …
となり，3の倍数は三つおきに出てくる．
（予想の証明終わり）

23. よって， a3n+1（ただしnは負でない整数）は3の
倍数である．先ほど3が付く数の個数푦 の求め
方はわかったので，3がつく3の倍数の個数は，
푧 =
푦+2
3
である．
（なぜこうなるかは， 푦 = 3푛 + 1のとき， 푦 =
3푛 + 2のとき， 푦 = 3푛 + 3のときで場合分けし
て考えてみよう．）

24. ちなみに，
푦 − 푧 =
2
3
푦
が成り立ちます．（これについても，푦 = 3푛 + 1
のとき， 푦 = 3푛 + 2のとき， 푦 = 3푛 + 3のとき
で場合分けして考えてみよう．）

25. 以上により，ナベアツ氏がアホになる回数は
퐴 푁 = 푥 + 푦 − 푧 =
푁
3
+
2
3
푦
で求められる．
プログラミングが得意な方は，与えられた푁
に対して퐴(푁) を出力するプログラムを作って
みるのも面白いと思う．

26. 例1
• 푁 = 2014 のとき
푦 = 2 × 93 + 0 × 92 + 1 × 91 + (4 − 1) × 90 =
1470 なので， 푦 = 푁 − 푦 = 544 . ゆえに，ナベア
ツ氏がアホになる回数は，
퐴 2014 =
2014
3
+
2
3
× 544 = 1033.

27. 例2
• 푁 = 10푛 （ただし，푛は正の整数） のとき
푦 = 9푛 なので， 푦 = 10푛 − 9푛. ゆえに，ナベ
アツ氏がアホになる回数は，
퐴 10푛 =
10푛
3
+
2
3
× 10푛 − 9푛
=
10푛 − 1
3
+
2 × (10푛 − 1)
3
− 6 × 9푛−1
= 10푛 − 6 × 9푛−1 − 1.

28. 例3
• 푁 = 25389 のとき
푦 = 2 × 94 + 5 − 1 × 93 + 3 × 92 − 1
= 16280なので，푦 = 푁 − 푦 = 9109. よってア
ホになる回数は，
퐴 25389 =
25389
3
+
2
3
× 9109 = 14535.

29. いかがでしたでしょうか．
最後までご覧いただきありがとうございました．