El sistema de los números reales

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El sistema de los números reales

  1. 1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como análisis lo constituye el llamado sistema de los números reales. Números tales como 1, 3,√ , π , e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas. Existen dos métodos principales para estudiar el sistema de los números reales. Uno de ellos comienza con un sistema más primitivo –tal como el conjunto de los números naturales o enteros positivos 1, 2, 3, 4, ... −, y a partir de él, por medio de una secuencia lógica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los números reales1. En el segundo método se hace una descripción formal del sistema de los números reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas), de las cuales pueden deducirse muchas otras propiedades. En esta primera parte se hará una presentación intuitiva del conjunto R de los números reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto` de los números naturales y se efectúan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo más a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solución, que a un desarrollo axiomático del mismo. Conjunto de los números reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases de números. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes subconjuntos: Conjunto de los números naturales El conjunto de los números naturales, que se denota por N o también por Z corrientemente se presenta así: N = {1, 2, 3, 4, 5,...}. La notación de conjunto que incluye los puntos suspensivos es de carácter informal.
  2. 2. Este conjunto permite fundamentar las sucesivas ampliaciones que se hacen de los sistemas numéricos y lleva principalmente a la consideración de los números reales. Conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros, que se denota por Z, corrientemente se presenta así: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}. En el conjunto de los números enteros se pueden resolver ecuaciones que no tienen solución en N, como sucede por ejemplo con la ecuación x + 3 = 1, cuya solución es x = –2. Puede notarse que N ⊂ Z. Conjunto de los números racionales El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera { } La introducción de los números racionales responde al problema de resolver la ecuación ax = b, con a, b ∈ Z, a ≠ 0. Ésta sólo tiene solución en Z, en el caso particular en que a sea un divisor de b. Conjunto de los números reales Se define como. ℜ= ∪ En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (·), las cuales verifican las siguientes propiedades AC (llamadas también axiomas de campo). (Peano, 1889) . LOS NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL En la geometría analítica el paso importante fue establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta. Existe una condición que cumplen los números reales llamada axioma de completitud que garantiza una
  3. 3. correspondencia biunívoca (uno a uno) entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos en la recta o eje. A cada número real le corresponde un único punto sobre la recta y a cada punto en la recta o eje se le asocia un único número real. Como se observa en el gráfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen. Se selecciona además una unidad de longitud para medir distancias. Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto. A cada número real entonces se le asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente: Se asocia al origen el número 0, Se asocia a cada número positivo p un punto que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva, Se asocia a cada número negativo - p el punto que está a p unidades de distancia del origen en la dirección negativa. Los puntos en la recta se identifican con los números que representan. El número real que le corresponde a un punto de la recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe el nombre de recta real, recta coordenada, recta numérica o recta de los números reales. También se la conoce como eje coordenado o eje real. El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Ejemplo. Orden Los números reales están ordenados cumpliendo sólo una de las afirmaciones siguientes: dados dos números reales a y b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual a b. Puede observarse en la recta que a < b si y sólo si el punto que representa al númeroa está a la izquierda del punto que representa al número b.
  4. 4. .(matemati@fca.unl.edu.ar, s.f.)
  5. 5. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A: son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos o, más abstractamente, en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos Propiedad conmutativa. Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna *: se dice que * tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple: Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a. Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna *, no es conmutativa en A si: Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a.
  6. 6. Propiedad distributiva. Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas: Que expresaremos se dice que la operación es distributiva por la derecha de si se cumple: Ejemplos el producto vectorial de vectores respecto de la suma de vectores ux (v+ w) =uxv + uxw Otro ejemplo: el producto de matrices respecto a la suma de matrices. M(N+Q)= MN + MQ. Es importante el orden de factor en la definición de R-módulos a izquierda. Del mismo modo se dice que la operación es distributiva por la izquierda de si se cumple: Divisores del cero . Sea el conjunto A y la operación * , siendo a ≠ 0, b≠ 0 se deduce que a*b = 0 , se dice que a y b son divisores del 0. Hay matrices cuadradas de orden 2 no nulas cuyo producto es la matriz 0. En el conjunto Z[6]= {0,1,2,3,4,5} de los restos módulo 6 con la multiplicación * de restos, resulta 2*3=0.
  7. 7. Elementos distinguidos Elemento involutivo Se llama así al elemento d de A, con la operación binaria *, tal que d*d= d. el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los enteros. Elemento absorbente Se denomina así al elemento s de A, tal que s * a= s, para todo a de A, provisto de la operación *. 0 es elemento absorbente se un sistema numérico multiplicativo. El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el conjunto de partes de U. POTENCIACION Y RADICACION POTENCIACION ROF. José Luis Gallardo La potenciación es una nueva forma de escribir el producto de un número por él mismo. Es muy práctica, elegante, útil y fácil. Fíjate que la base es el número que multiplicas varias veces por sí mismo, el exponente es la cantidad de veces que lo haces y la potencia es el resultado. Así por ejemplo:
  8. 8. Significa que a 5 (la base) lo multiplicamos 3 veces (el exponente) por sí mismo y obtenemos 125 (la potencia) ya que: 5 x 5 x 5 = 125. Cuando un número se multiplica por sí mismo una cantidad definida de veces es una potenciación. Por ejemplo, si se multiplica ocho por sí mismo cinco veces se tendrá 8 X 8 X 8 X 8 X 8. Si se escribe en forma exponencial se anota, 85. Propiedades de la potenciación Las propiedades de la potenciación son las siguientes: Potencia de potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes. Multiplicación de potencias de igual base La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes. División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. En particular: (a + b)m = am + bm (a − b)m = am − bm Se cumple en los siguientes casos: Si m=1. Si, entre a y b, uno es igual a 0 y el otro igual a 1, siempre que m sea distinto de 0.
  9. 9. Si a y b son iguales a 0 y m≠0. Propiedad conmutativa La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes. En particular: ab = ba Si y sólo si a=b. a1 = a Potencia de base 10 Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades posee el exponente. 101 = 10 Como también pues ser unos conjuntos de números potenciados o elevados a un exponente 106 = 1000000 104 = 10000
  10. 10. RADICACIÓN ROF. José Luis Gallardo Vos sabes que la resta es la operación inversa de la suma y la división es la operación inversa de la multiplicación. La potenciación tiene también su operación inversa; y se llama ―radicación‖. Observa que 82=64 entonces 64 = 8 8 es la raíz cuadrada de 64. De la misma manera calcular la raíz cuadrada de 25 significa buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado 25. Es decir que: Por ahora sólo trabajaremos con raíces cuadradas (las que corresponden al exponente dos), pero estas no son las únicas que existen, como podrás ver en cursos posteriores. Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas Este método se debe a Newton Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:
  11. 11. OPERACIONES DE POLINOMIOS CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN. SUMA: Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo) + -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)
  12. 12. B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3) 0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo) + 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x – 3 La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero. EJEMPLO 3: (Uno de los términos del resultado es cero) A = 9 + 5x3 - 4x2 + x B = 4x2 - 3 - 2x 5x3 - 4x2 + x + 9 + 0x3 + 4x2 - 2x - 3 ____________________ 5x3 + 0x2 - x + 6 A + B = 5x3 - x + 6 Se llama términos "semejantes" a los que tienen el mismo grado (en los polinomios con un solo tipo de letra). Entre estos dos polinomios no hay términos semejantes. Se puede observar que el resultado es la suma de todos términos de los dos polinomios, sin modificarse ninguno, ya que a cada uno se le sumó cero, por no tener otro término semejante. EJEMPLO 4: (No hay términos semejantes) A = 4x3 + 5 B = -2x + x2
  13. 13. 4x3 + 0x2 + 0x + 5 + 0x3 + x2 - 2x + 0 ____________________ 4x3 + x2 - 2x + 5 A + B = 4x3 + x2 - 2x + 5 Cuando los polinomios tienen varias letras, se suman los términos semejantes, que son los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes (la misma"parte literal"). Para sumar estos polinomios, no es práctico usar el procedimiento de ordenarlos y sumarlos "en columnas", porque en general hay pocas coincidencias entre sus partes literales. Así que es mejor sumarlos "uno al lado del otro" y "juntar" los términos de igual parte literal. EJEMPLO 5: (Suma de polinomios de varias letras) A = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy B = 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y A + B = (-3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy) + (8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y) = -3xy2 + 4 - 7x2y2 - 6x2y - 5xy + 8xy - 2xy2 + 10 + 4x3y = -3xy2 - 6x2y + 4 + 10 - 5xy + 8xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 = -9xy2 + 14 + 3xy - 2xy2 + 4x3y - 7x2y2 RESTA: EJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 x B = 5x4 - 10 + 3x + 7x3 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)
  14. 14. - 5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio: 9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 + -5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados) ______________________________ 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2 A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2
  15. 15. MULTIPLICACIÓN: ¿Cómo se multiplican los polinomios? Multiplicando todos los términos de uno de ellos por todos los términos del otro. Se aplica la Propiedad distributiva entre en la multiplicación y la suma. Antes de aprender polinomios, muchas veces ya se ha aprendido a multiplicar "expresiones algebraicas", que son polinomios. Incluso en las ecuaciones. Por ejemplo: (x + 5).(x - 3) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 2x.(x + 1) es una multiplicación de dos polinomios de grado 1 Y en general, a hacer esas "distributivas" ya se aprende antes de ver el tema "Polinomios". Lo que había que hacer era "multiplicar todo con todo", es decir, cada término de una expresión con cada término de la otra: (x + 5).(x - 3) = x.x - 3.x + 5.x - 15 = x2 - 3x + 5x - 15 = Y luego "juntar las x con las x, los números con los números, las x2 con las x2...". "Juntar era en realidad: "hacer la cuenta entre los números que tienen delante". En este ejemplo sólo tenemos para juntar las x. Son -3 + 5 = 2. Es decir que quedan 2x. Como otro número no hay, queda -15. Y como otra x2 no hay, queda x2. Eso de juntar se ve también la suma de polinomios: "juntar las x con las x, los números con los números..." es en realidad "sumar los términos semejantes o de igual grado". (ver: suma de polinomios) = x2 + 2x - 15 Y multiplicar a dos polinomios no es otra cosa que aplicar la Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma a esos dos polinomios. Es lo mismo que se hacía en las ecuaciones, pero ahora los polinomios pueden ser de grados mayores que 1, y tener muchos términos. Por ejemplo: A = -9x3 + x + 4x5 B = 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x (-9x3 - x + 4x5).(3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x) = Se trata, como antes, de multiplicar cada término de uno por todos los términos del otro.
  16. 16. EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio) A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4 -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x X -5x4 ______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5 Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base. También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos) A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo) X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ -24x3 + 30x2 - 12x - 6 + 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x _________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6
  17. 17. A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6 A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil en columnarlos según su grado, porque van saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna. explicación ejemplo 2 EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x
  18. 18. Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los términos con 0. EJEMPLO 4: (Multiplicación de polinomios incompletos; sin completarlos, pero sí ordenándolos) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 - 9x2 + x (polinomio A incompleto pero ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado) _____________________ 15x4 - 27x2 + 3x -10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x EJEMPLO 5: (Multiplicación de polinomios de varias letras) A = -3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3
  19. 19. B = 5x4y + 8x - 2x3y - 10 A x B = (-3x2y3 + 4 - 7x2y2 - 6x3y3).(5x4y + 8x - 2x3y - 10) = -15x6y4 - 24x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 + 60x3y3 = -15x6y4 + 12x6y4 - 24x3y3 + 60x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 14x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 = -3x6y4 + 36x3y3 + 6x5y4 + 30x2y3 + 20x4y + 32x - 8x3y - 40 - 35x6y3 - 56x3y2 + 28x5y3 + 70x2y2 - 30x7y4 - 48x4y3 + 12x6y4 EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo) A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2 5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado) X -2x2 + 3 (polinomio B completo y ordenado) ______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0 -10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0 A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x EJEMPLO 7: (Sin ordenar ni completar) A = -9x2 + x + 5x4
  20. 20. B = 3 - 2x2 9x2 + x + 5x4 (polinomio A incompleto y desordenado) X 3 - 2x2 (polinomio B incompleto y desordenado) __________________________ - 10x6 + 18x4 - 2x3 + 15x4 - 27x2 + 3x _________________________________________ - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x A x B = - 10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x Los resultados no salen en orden. Pero podemos ubicarlos calculando más o menos el espacio que necesitamos para todos los grados. Por ejemplo, si el primer resultado que obtenemos es -10x6, sabemos que a su derecha tiene a haber 6 columnas más para los grados anteriores (grado 5 a 0). Entonces lo ponemos bien a la izquierda, dejando a su derecha el lugar necesario para los otros grados que puedan aparecer en los siguientes resultados. Si el segundo resultado es -2x3, dejamos un espacio entre -10x6 y este nuevo término, para los grados intermedios que faltan. Así quedan más o menos acomodados, para que en la próxima fila podamos poner los resultados debajo en la columna correspondiente. DIVISION: División entre fracciones En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética. Se aplica ley de signos
  21. 21. Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada) Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético. Ejemplos: División de polinomios entre monomios. Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones. Pasos: Colocamos el monomio como denominador de él polinomio. Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio. Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. Se realizan las sumas y restas necesarias. Ejemplos:
  22. 22. División entre polinomios. En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor. Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división. La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el término que se encuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.
  23. 23. Ejemplos: PRODUCTOS NOTABLES Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factoriza las a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
  24. 24. A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factoriza las (mostrada como un producto notable). Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como (a + b)2 Nota: Se recomienda volver al tema factorización para reforzar su comprensión. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad. Demostración:
  25. 25. (a + b) (a – b) = a2 – b2 El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda Demostración: Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factoriza la como a2 – b2 Cubo de una suma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3. Cubo de una diferencia
  26. 26. a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3. A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa: Producto notable Expresión algebraica Nombre (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Trinomio al cuadrado MAXIMO COMUN DIVISOR DE POLINOMIOS El problema de calcular el máximo común divisor (MCD) de dos polinomios es de importancia fundamental en álgebra computacional. Estos cálculos aparecen como subproblemas en operaciones aritméticas sobre funciones racionales o aparecen como cálculo prominente en factorización de polinomios y en integración simbólica, además de otros cálculos en álgebra.
  27. 27. En general, podemos calcular el MCD de dos polinomios usando una variación del algoritmo de Euclides. El algoritmo de Euclides es conocido desde mucho tiempo atrás, es fácil de entender y de implementar. Sin embargo, desde el punto de vista del álgebra computacional, este algoritmo tiene varios inconvenientes. Desde finales de los sesentas se han desarrollado algoritmos mejorados usando técnicas un poco más sofisticadas. En esta primera parte vamos a entrar en la teoría básica y en los algoritmos (relativamente) más sencillos, el algoritmo "subresultant PRS'' (aquí lo llamaremos PRS subresultante) y el algoritmo heurístico (conocido como "GCDHEU''). Este último algoritmo es muy eficiente en problemas de pocas variables y se usa también como complemento de otros algoritmos. De hecho, se estima que el 90% de los cálculos de MCD's en MAPLE se hacen con este algoritmo [13]. No se puede decir con certeza que haya un "mejor'' algoritmo para el cálculo del MCD de dos polinomios. Los algoritmos más usados, para calcular MCD en son "EZ-GCD'' (Extended Zassenhaus GCD), GCDHEU y "SPMOD'' (Sparse Modular Algorithm) [16] GCDHEU es más veloz que EZGCD y SPMOD en algunos casos, especialmente para polinomios con cuatro o menos variables. En general, SPMOD es más veloz que EZGCD y GCDHEU en problemas donde los polinomios son "ralos'', es decir con muchos coeficientes nulos y éstos, en la práctica, son la mayoría. EJERCICIOS Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2 1°) Se factorizan las expresiones dadas: –> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización) –> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de Factorización) 2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de 4a y 2a^2 son 2a Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
  28. 28. por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es la Solución. NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda. ___________________________________________________________ Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4 1°) Se factorizan las expresiones dadas: –> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización –> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. –> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización. Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas: Factor común de las 3 expresiones es = (x +2) por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución. ___________________________________________________________ 1. Reducir fracciones a común denominador. Ejemplo: Reducir a común denominador las siguientes fracciones: Factor izamos los denominadores: 12 = 22 x 3 9 = 32 18 = 2 x 32 Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. El m.c.m (12, 9, 18) = 22 • 32 = 4 • 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. Aplicaciones del m.c.d. 1. Simplificar una fracción hasta su irreducible. Ejemplo: Simplifica hasta su equivalente irreducible la siguiente fracción:
  29. 29. Hallamos el M.C.D. (360, 336). Para ello factorizamos el numerador y el denominador. 360 = 23 x 32 x 5 336 = 24 x 3 x 7 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (360, 336) = 23 • 3 = 8 • 3 = 24. Dividimos el numerador y el denominador entre 24 360 = 360 : 24 = 15 336 336 : 24 14 y obtenemos la fracción equivalente irreducible: 2. Resolver problemas de la vida práctica. Ejemplo: Queremos embaldosar el suelo de una cocina rectangular con baldosas cuadradas. La cocina mide 270 cm de largo por 180 cm de ancho. ¿De qué tamaño tengo que comprar las baldosas de manera que encajen enteras en estas dimensiones y sean lo más grande posible? ¿Cuántas baldosas tengo que comprar? Solución: la longitud del lado de la baldosa ha de ser un divisor común de 270 y 180, y el más grande posible. Por lo tanto, estamos buscando el máximo común divisor de 270 y 180. Factorizamos 270 y 180: 270 = 2 x 33 x 5 180 = 22 x 33 x 5 Elegimos los factores primos comunes elevados al menor exponente y tenemos que: M.C.D. (270,180) = 2 • 32 • 5 = 2 • 9 • 5 = 90. Por lo tanto, comprando baldosas de 90 cm de lado podremos pavimentar la cocina sin tener que romper ninguna. Ahora vamos a calcular cuántas necesitamos: 270 : 90 = 3. Tres baldosas de largo. 180 : 90 = 2. Dos baldosas de ancho. Respuesta: Necesitamos 6 baldosas.
  30. 30. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FACTORIZACIÓN Descripción: La función cuadrática es una función de los reales en los reales cuya regla de correspondencia está dada por f(x) = ax2 + bx + c (a≠0) y cuyo dominio incluye todos los números reales. Para resolver ecuaciones cuadráticas utilizamos principalmente el método de factorización. Ejemplos: 1) Resuelva − 9 . Solución: Lo primero es lograr que la ecuación se iguale a cero. Para esto, primero multiplicaremos el lado izquierdo y luego restaremos el nueve. Después factorizaremos la ecuación resultante para obtener la solución final. Es conveniente verificar la solución final en la ecuación original. 9 2x2 x 6x 9 2x2 5x 3 9 0 2x2 5x 12 0 0 2x 3 0 2x 3 x 3/ 2
  31. 31. ó x 4 0 x 2) Halle las soluciones de x3 8x2 16x 0 . Solución: Como la ecuación ya está igualada a cero solamente hay que factorizar e igualar sus factores a cero y resolver en términos de x . 2 8x 0 0 x 0 ó x 4 0 x 4
  32. 32. Ecuaciones de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la incógnita es uno. Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de mantener la igualdad de la expresión. Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: (x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4) a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4 x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4 b) Trasponemos los términos: x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1; c) Reducimos términos semejantes: 6x = -4 ; d) Dividimos por 6: x = -4/6 e) Simplificamos por 2: x = -2/3 Ecuaciones literales de primer grado Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del alfabeto (estos
  33. 33. literales se suponen valores constantes). Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder despejarla. Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a) Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos semejantes y trasponemos términos: a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3a b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x = 3a – b c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3): (¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1) Ejemplos de planteo de ecuaciones: Ejemplo 1: Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a 9. Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado: (x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos: x2 + 2x + 1 – x2 = 9 2x + 1 = 9 x = 4; Por lo tanto los números son 4 y 5. Ejemplo 2: Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades suman 97. ¿Qué edad tiene el menor? Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación: x + 2x + 1 = 97
  34. 34. 3x = 96 x = 32 Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la de Sergio es 65. Respuesta: la edad del menor es 32. Ejemplo: 1.-Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2 1º paso: Se suma a los dos miembros 3. 2x -3 + 3 = 2 + 3 2x = 5 2º pasó. Se divide los dos miembros por 2. 2x /2 = 5/2 2.- Resolución de la ecuación 3x -2 = x + 5 1º paso: Restamos x a los dos miembros. 3x -2 -x = x - x + 5; 2x - 2 = 5 2º pasó. Sumamos 2 a los dos miembros. 2x - 2 + 2 = 5 + 2; 2x = 7 3º pasó. Dividimos por 2, el coeficiente de la x 2x/2 = 7/2 SOLUCIÓN: x = 7 / 2 3.- Resolución de la ecuación 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5 1º paso: Se simplifica los dos miembros. 6x - 4 = 12 - 3x 2º paso: Sumamos 3x a los dos miembros.
  35. 35. 6x + 3x - 4 = 12 - 3x + 3x; 9x -4 = 12 3º paso. Sumamos 4 a los dos miembros. 9x - 4 + 4 = 12 + 4; 9x = 16 4º paso: Dividimos por 9 SOLUCIÓN: x = 16 / 9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO (O CUADRÁTICAS) Ecuaciones de segundo grado y una incógnita Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x. Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación. Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0 El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solución de la ecuación. Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Solución de ecuaciones cuadráticas Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales.
  36. 36. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas: Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está) –6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe) Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por factorización En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero. Ejemplos 1) Resolver (x + 3)(2x − 1) = 9 Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios: Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero: Ahora podemos factorizar esta ecuación:
  37. 37. (2x − 3)(x + 4) = 0 Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas: Si 2x − 3 = 0 2x = 3 Si x + 4 = 0 x = −4 Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x − 1) = 9 2x2 + 5x − 12 = 0 2x2 + 5x = 12 2x2 − 12 = − 5x 2) Halle las soluciones de La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x: Ahora, si x = 0 o si x− 4 = 0 x = 4
  38. 38. Solución por completación de cuadrados Se llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo: (ax + b)2 = n en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo x2 + bx + c = 0 por ejemplo, la ecuación x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0 Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo (ax + b)2 Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b) Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2 En nuestro ejemplo x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 x2 + 8x + 16 = 64 la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64
  39. 39. Que es igual a (x + 4)2 = 64 Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos queda x + 4 = 8 Entonces x = 8 − 4 x = 4 Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio. Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuación x2 + 6x − 16 = 0 Hacemos x2 + 6x = 16 Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio). Para encontrar el término que falta hacemos (Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado). Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9
  40. 40. x2 + 6x + 9 = 25 factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25 La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad: Extraemos raíz cuadrada y queda x + 3 = 5 y x + 3 = −5 (pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5 Entonces x = 5 − 3 x = 2 Y x = − 5 − 3 x = − 8 La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8. Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente: La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.
  41. 41. La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización. Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que: Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el – Así es que las soluciones son PROPIEDADES Y OPERACIONES CON LOS NÚMEROS REALES Para tener éxito en algebra, debe entender como sumar, restar, multiplicar y dividir números Reales. Dos números, en la recta numérica, que están a la misma distancia del cero pero en direcciones opuestas se denominan: Inversos aditivos, opuestos o simétricos uno del otro. Por ejemplo. 3 es el inverso aditivo de -3, y -3 es el inverso aditivo de 3 El numero 0 (cero) es su propio inverso aditivo. La suma de un número y su inverso aditivo es 0 (cero).
  42. 42. Inverso aditivo Para cualquier número real de a, su inverso aditivo es –a. Considere el número -4. Su inverso aditivo es -(-4). Como sabemos que este número debe ser positivo, esto implica que -(-4) = 4. Éste es un ejemplo de la propiedad del doble negativo. Propiedad del doble negativo Para cualquier número real a, -(-a) = a Por la propiedad del doble negativo, -(-6.9) = 6.9 Valor absoluto El valor de cualquier número distinto del cero siempre será un nuero positivo, y el valor absoluto de 0 es 0. Para determinar el valor absoluto de un número real, use la definición siguiente. La definición de valor absoluto indica que el valor absoluto de cualquier número no negativo, es el mismo, y el valor absoluto de cualquier número negativo es el inverso aditivo (opuesto9 del número. El valor absoluto de un número puede determinarse por medio de la definición. Por ejemplo. Operaciones con los números Reales 1. Sumar números reales Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma. La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo. Ejemplo. -5 + (-9) Solución: Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
  43. 43. Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor. Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto. Ejemplo. 3 + (-8) Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto. Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5 Restar números reales Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a – b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 – 8 = 5 + (-8) = -3 Multiplicar números reales Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
  44. 44. Ejemplo Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos. Propiedad del cero en la multiplicación Para cualquier número a, Dividir números reales Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplos. Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente. Propiedades de los números reales. Propiedades de los números reales. b) ecuaciones fraccionarias
  45. 45. En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo:
  46. 46. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma: Donde cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta. Determinar la solución del sistema, es hallar un punto que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, hallar el punto donde se intersectan ambas rectas. Gráficamente, la situación es la siguiente Sistema compatible indeterminado Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
  47. 47. Se puede ver: Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación. Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:
  48. 48. CLASIFICAMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 x + y = 6 2 x - y = 2 a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 1, y = 4; x = 2, y = 2 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y= 0; x = 2, y = 2 Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más abajo .x + y = 3 2 x + 2 y = 6 b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0, y = 3; x = 3, y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son: x = 1, y = 2; x = 2, y = 1 Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema será compatible indeterminado. Vemos la representación más abajo x + y = 3 x + y = - 1 c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son: x = 0,y = 3; x = 3,y = 0 Dos soluciones de la segunda ecuación son:
  49. 49. x = 0, y =-1; x = -2, y = 1 Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible. Vemos la representación siguiente Método de reducción Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incógnita. Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número. Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos ) de las ecuaciones que se suman. Ejemplo Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones El sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la desaparezca al sumar ambas ecuaciones. Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene
  50. 50. Que es otra ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de igualación El método de igualación consiste en lo siguiente: Supongamos que tenemos dos ecuaciones: Donde , , y representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ). De las dos igualdades anteriores se deduce que Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no aparece ni en ni en , entonces la ecuación No contendría dicha incógnita. Este proceso de eliminación de incógnitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incógnita, digamos . Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye por su solución en otras ecuaciones donde aparezca para reducir el número de incógnitas en dichas ecuaciones. Ejemplo El sistema de ecuaciones Es equivalente a este otro
  51. 51. El segundo sistema lo he obtenido pasando los términos en del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema. Del segundo sistema se deduce que Que es una ecuación con una sola incógnita cuya solución es . Sustituyendo por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que Que es una ecuación con una sola incógnita y cuya solución es . Método de sustitución Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma Entonces podemos despejar en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación: Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incógnitas que las de partida. Aquí y son expresiones algebraicas de las incógnitas del sistema. Ejemplo Intentemos resolver La primera ecuación se puede reescribir de la forma Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que
  52. 52. Sustituyendo por en Se tiene que Que es una ecuación con solo una incógnita y cuya solución es . Sustituyendo por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incógnita Cuya solución es . Método de Gauss Gauss es uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. ¡Fue un GENIO! El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy fácil de resolver. Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incógnita a la que multiplican. Ejemplo La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
  53. 53. Es: Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos: Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera. Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas (ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior: Que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones: Que es equivalente al inicial. Solucionamos la tercera ocupación para obtener : En la primera y segunda ecuación, sustituimos por la solución de la tercera ecuación ( ), para obtener: La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incógnita, , que resolvemos para obtener . Sustituimos, en la primera ecuación, por 1 ( ). Esto nos da una ecuación en :
  54. 54. Que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial: EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIÓN ALGEBRAICA. Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. TÉRMINO. Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. GRADO ABSOLUTO DE UN TÉRMINO. Es la suma de los exponentes de sus factores literales. GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA. Es el exponente de dicha letra. CLASES DE TÉRMINOS. El término entero es el que no tiene denominador literal, el término fraccionario es el que tiene denominador literal. El término racional es el que no tiene radical, e irracional el que tiene radical. TÉRMINOS HOMOGÉNEOS. Son los que tienen el mismo grado absoluto. TÉRMINOS HETEROGÉNEOS. Son los de distinto grado absoluto. TÉRMINOS SEMEJANTES. Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 10 Ejemplos de Términos Semejantes: x es semejante con 3x ya que ambos términos tienen la misma literal (x). xy2 es un término semejante a -3y2x ya que ambos tienen la misma literal (xy2 = y2x) 5xyrb es un término semejante con –xyrb 4bx2 no es semejante a 4b2x ya que el literal bx2 no es igual al b2x. 5hk es semejante a 6hk porque tiene la misma literal (hk) 4(jk)3 es semejante a 9j3k3 porque (jk)3 = j3k3 5ty es semejante a 3ty 5kl4 es semejante a -2kl4
  55. 55. 68lky5 es semejante a -96lky5 378ab3c2 no es semejante a 378a2b3c CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICA MONOMIO. Es una expresión algebraica que consta de un solo término. BINOMIO. Es un polinomio que consta de dos términos. TRINOMIO. Es un polinomio que consta de tres términos. POLINOMIO. Es una expresión algebraica que consta de más de un término. GRADO DE UN MONOMIOS Llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de su parte literal: El monomio es de grado: 2 + 3 + 1 = 6º grado. El grado lo podemos considerar respecto a una letra. En el ejemplo anterior, el grado respecto a la letra a es 2, respecto a b es 3 y respecto a c es 1.
  56. 56. GRADO DE UN POLINOMIO Es el mayor de los grados de los monomios que contiene el polinomio: 9.5 ¿Cuál es el grado de: ? 9.6 ¿Cuál es el grado de: ? ORDENAR UN POLINOMIO Ordenar un polinomio es colocar los monomios de mayor a menor teniendo en cuenta su grado: 9.8 Ordena el polinomio: Respuesta: NOMENCLATURA ALGEBRAICA 1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: S o l u c i ó n :
  57. 57. 2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes: S o l u c i ó n : 3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales: 4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos S o l u c i ó n :
  58. 58. 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales S o l u c i ó n : 6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado S o l u c i ó n : 7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b S o l u c i ó n : DESCOMPOSICIÒN FACTORIAL Factores
  59. 59. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los que el producto entre sí (de estos factores) nos da la expresión primitiva. Así, efectuando el producto entre a y a + b, se obtiene: a y abe, cuyo producto entre sí dan la expresión a2 + ab, estos son los divisores de a2 + ab de tal manera que: (X+3)(X+5) = x2 + 8x + 15 Donde (x+3) (X+5) son los factores de x2 + 8x + 15 Métodos para la factorización de polinomios Todo Polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales. Binomios Diferencia de Cuadrados Suma o diferencia de Cubos Suma o diferencia de potencias impares iguales Trinomios Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma x²+bx+c Trinomio de la forma ax²+bx+c Polinomios Factor común Factorizar un monomio Se descompone el término en el producto de factores primos. Ejemplo:
  60. 60. Factorizar un polinomio No todo polinomio se puede descomponer en un producto indicado de dos o más factores distintos de 1, ya que de la misma forma que en Aritmética, hay números primos que sólo son divisibles por la unidad y por sí mismos, en Algebra, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por la unidad y por ellas mismas, en consecuencia, no son el producto de otras expresiones algebraicas. Así a + b no puede descomponerse en dos factores distintos de 1 porque sólo es divisible por a + b y por la unidad. A continuación diferentes casos de descomposición factorial. Caso I: Factor común Factor común. Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Ejemplos: a) Descomponer en factores a2 + 2a a2 y 2a contienen el factor común a. Se escribe este factor común como coeficiente de un paréntesis, dentro de este paréntesis se escriben los cocientes obtenidos de efectuar el cociente entre a2 y a y 2a ya Obteniendo como resultado: a2 + 2a = a(a + 2) b) Factorizar 10b - 40ab2 Los coeficientes numéricos tienen los factores 2,5 y 10. Se toma el 10 porque siempre se escoge el mayor factor común. De las variables, el único factor común es b ya que se haya en los dos términos del binomio y se toma con su menor exponente. El factor común será 10b Obteniendo: 10b - 40ab2 = 10b(1 - 4ab) c) Descomponer en factores: 10a2 - 5a + 15a3 = 5a (2a - 1 + 3a2) Factor común de un polinomio a) Descomponer en factores: x(a+b)+y(a+b)
  61. 61. Los dos términos de la expresión tienen como factor común (a+b). Se escribe (a+b) como coeficiente de un paréntesis, dentro del paréntesis se escriben los cocientes de dividir x(a+b) entre (a+b) y y(a+b) entre (a+b). Factorizando se obtiene: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) x(a+b)+y(a+b) = ax+bx+ay+yb y (a+b)(x+y) = ax+ay+bx+by Obteniendo: x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y) y ax+bx+ay+yb = ax+ay+bx+by Factor común por agrupación de términos Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se extrae el factor común de cada uno. Ejemplos a) Factorizar ax + by +ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x, y los dos últimos tienen el factor común y, asociando los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos también en un paréntesis precedido de un signo + ya que el tercer término es positivo se obtiene: ax+bx+ay+by = (ax+bx)(ay+by) ax+bx+ay+by = x(a+b) + y(a+b) extrayendo los factores comunes ax+bx+ay+by = (a+b)(x+y) factorizando Nota: La asociación de términos puede hacerse de varios modos y siempre se obtendrá el mismo resultado. Trinomio cuadrado perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Asi, 16a2 es cuadrado perfecto de 4a. En efecto (4a2) = 4a x 4a = 16a2, 4a cantidad que multiplicada por si misma da 16a2, 4a es la raíz cuadrada de 16a2. Sin embargo (-4a2) = (-4a)((-4a) = 16a2, luego (-4a) es también raíz de 16a2, por lo que la raiz cuadrada de una cantidad positiva tiene los signos (+) y (-).
  62. 62. Raíz cuadrada de un monomio Para extraer la raíz cuadrada de un monomio, se saca la raíz cuadrada de su coeficiente numérico y se dividen los exponentes de cada cantidad literal entre 2. Ejemplo: La raíz cuadrada de 25a2b4 es 5ab2 Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, es el producto de dos binomios iguales. Así, a2 + 2ab + b2 es cuadrado perfecto porque es el cuadrado de a + b Por tanto: (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 Trinomios de la forma x2 + px + q En el producto notable (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab observa que se obtiene un trinomio de la forma x2 + px + q, haciendo para ello a + b = p y ab = q Por tanto: Un trinomio de la forma x2 + px + q se puede descomponer en el producto de dos factores: (x + a) y (x + b) si podemos encontrar dos números a y b cuya suma algebraica sea p y cuyo producto sea (Baldor, 2013) OPERACIONES CON FRACCIONES SUMA ALGEBRAICA DE FRACCIONES Para entender mejor este tema, lo que haremos primero es repasar como se resuelven las sumas y las restas cuando tenemos fracciones.
  63. 63. En principio podemos distinguir dos situaciones diferentes; cuando las fracciones tienen igual denominador, y cuando tienen distintos denominadores. En el primer caso, el resultado de una suma algebraica de fracciones de igual denominador, es una fracción que tendrá el mismo denominador que las fracciones dadas y su numerador será la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas. En el segundo caso, cuando se tienen distintos denominadores, se puede optar por dos caminos. Uno de ellos, implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual será el denominador de la fracción resultado, en tanto que el numerador será la suma algebraica de números que surgen de dividir el mínimo común múltiplo que hemos determinado, por cada uno de los denominadores de las fracciones dadas, y al resultado de cada una de estas divisiones se lo multiplica por su respectivo numerador, se hace la suma algebraica del numerador y ya está. El otro camino implica determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores, y después, expresar cada una de las fracciones como fracciones equivalentes cuyos denominadores serán el mínimo común múltiplo que se ha determinado, con lo cual se consigue transformar una suma algebraica de fracciones de distinto denominador en una suma algebraica de igual denominador, que se resuelve como ya hemos visto. Ahora bien, todo lo que hemos desarrollado se aplica, para las expresiones algebraicas fraccionarias. De modo tal que si se tiene una expresión con igual denominador, se mantiene el denominador y se suman o restan sus denominadores según sea el caso.
  64. 64. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Multiplicar fracciones es muy sencillo, solo hay que multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí. Para las fracciones algebraicas, pasa lo mismo. Es decir hay que multiplicar los polinomios que están en los numeradores, entre sí, y de igual manera se multiplican entre sí los polinomios que están en los denominadores. En la práctica, procederemos de la siguiente manera: 1) Factoramos todos los polinomios. 2) Simplificamos lo que se pueda. 3) Ponemos como resultado, los factores que no se cancelaron. Veamos un ejemplo:
  65. 65. DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS La división de fracciones tampoco es muy complicada. Se realiza el producto cruzado entre los numeradores y los denominadores. Caso contrario, se multiplica la primera por la recíproca de la segunda. (Traducción: se invierte la segunda de las fracciones, con lo cual se transforma la división en una multiplicación, y se resuelve el ejercicio como un producto). Desarrollando por el segundo método. Ahora, cuando tenemos fracciones algebraicas, se procede de la misma manera. Es decir hay que invertir la segunda fracción y resolverla como una multiplicación. Formula: RESOLUCION POR COMPLEMENTACION DE UN TRINOMIO CUADRADO En este tipo de expresión, hace falta un término cuadrático, para transformar a la expresión original en un trinomio cuadrado perfecto.
  66. 66. Dicho término cuadrático se suma y se resta, al mismo tiempo, garantizando que en realidad estamos agregando 0, es decir que no estamos alterando la expresión básica en nada. La parte positiva de las dos que se han agregado, se suma a la parte de la expresión básica que necesitaba esa adición para transformar dicha parte básica en un trinomio cuadrado perfecto. La parte negativa queda agregada al final de todo. Se factoriza la parte que ha quedado transformada en un trinomio cuadrado perfecto. Ahora se tendrá una diferencia de cuadrados, en la cual el primer término es el trinomio cuadrado perfecto factorizado, y la otra es la parte negativa de las dos expresiones cuadráticas que se agregaron. Dicha diferencia de cuadrados se vuelve a factorizar, como tal, y deja la expresión original totalmente factorizada, mediante la completación de un trinomio cuadrado perfecto y de llevar todo a una diferencia de cuadrados. Cuando mencionamos el caso cinco es porque un autor decidió enumerar los casos, para nosotros es conocido como completación del trinomio cuadrado perfecto, entonces para hacerlo recordemos que es el trinomio cuadrado perfecto. Recordemos que sabíamos que era un trinomio cuadrado perfecto si tomábamos las raíces y encontrábamos el doble producto. En este caso la factorización es muy simple, pongamos las raíces en un paréntesis y pongamos entre ellas el signo del doble producto y elevemos al cuadrado, esa es la factorización del trinomio cuadrado perfecto. Pero vamos a ver ahora trinomios donde no encontramos ese doble producto pero haciendo un artilugio matemático podemos lograrlo para luego volver esa expresión en una diferencia de cuadrados que es otro caso distinto. Para averiguar si es cuadrado perfecto tomamos las raíces siempre de los que estén solos. El problema de las matemáticas es que si yo sumo algo también se lo debo restar porque al restarlo no afectó la expresión. Luego de eso si se puede factorizar. Aunque hagamos la completación y obtuvimos un trinomio, simplemente tuve una diferencia y para factorizar se deben obtener productos. Entonces se debe hacer una diferencia de cuadrados porque lo bueno del trinomio cuadrado perfecto es que cuando yo lo factorizo siempre se me genera un cuadrado y si la expresión que sume y reste no me queda al cuadrado entonces el caso no aplica, o sea que no podemos usar el caso cinco. Siempre que haya completación tengo que darme cuenta que lo que vaya a sumar o restar tenga raíz. Al tener las dos raíces y el doble producto ya puedo empezar a factorizar, poniendo entre paréntesis las raíces, el signo de la mitad que en este
  67. 67. caso si importa. Con esto dejamos por explicado como se resuelven trinomios y binomios utilizando la completación del trinomio cuadrado perfecto. 2 Comentarios en: factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas son más que curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para su diseño. Ejemplos: Resolver la siguiente ecuación x 2 + 4 x = 12 Solución: Paso 1: Escribir la ecuación en la forma general. x 2 + 4 x - 12 = 0 Paso 2: Factorizar x 2 + 4 x - 12 = 0 ( x + 6 ) ( x - 2 ) = 0 Paso 3: Igualar cada factor a cero y resolver para x x + 6 = 0 x = - 6 x - 2 = 0 x = 2 Paso 4: Verificar la solución. Verificar x=-6 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( - 6 ) 2 + 4 ( - 6 ) -12 = 0 36 - 24 - 12 = 0 0 = 0 Verificar x=2 x 2 + 4 x - 12 = 0 ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) - 12 = 0 4 + 8 - 12 = 0 0 = 0
  68. 68. FRACCIONES ALGEBRAICAS ¿QUE SON? Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero. Por ejemplo: Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta: Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis. Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador. Por ejemplo, simplificar: Otro ejemplo Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para
  69. 69. quedar Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel). Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero el denominador. Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta: Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos. Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Veamos el siguiente ejemplo: Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común.
  70. 70. Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.). Para calcular el m.c.m. factorizamos 5ab a2 15b2 a 5b a 15b2 a 5b 1 15b2 b 5 1 15b b 5 1 15 5 1 1 3 3 1 1 1 Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas. Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común: Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así: Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente: Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente: Nótese que ―los términos que faltan‖ se obtienen haciendo la misma división del caso anterior. Un ejemplo más:
  71. 71. Sumar Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos qué significa esto: Sea una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra , entonces: Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas Multiplicar Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores: Simplificamos antes de efectuar el producto: Ahora, podemos multiplicar los factores finales: Ejemplos desarrollados a) b) c) Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables. Cociente o división de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos, ahora qué significa esto: Sea una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra , entonces:
  72. 72. Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas Dividir Anotamos haciendo el producto cruzado: Simplificamos y finalmente multiplicamos: Ejemplos desarrollados a) b) c) Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=). d) Fracciones algebraicas compuestas En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas. Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen. Ejemplos: 1) 2) 3) (LINEA, 2013) Bibliografía
  73. 73. LINEA, PROFESRO EN. 2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA. [En línea] 01 de 08 de 2013. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html
  74. 74. FUNCION CUADRATICA Clasificación de ecuaciones lineales o de primer grado Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano. Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales: a) ecuaciones lineales propiamente tales En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo). Para proceder a la resolución se debe: Eliminar paréntesis. Dejar todos los términos que contengan a "x" en un miembro y los números en el otro. Luego despejar "x" reduciendo términos semejantes. Ejemplo: 4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16) 4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192 4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10 –35x = 182 b) ecuaciones fraccionarias En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción). Para proceder a la resolución se debe: Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el
  75. 75. mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.) Ejemplo: m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12 c) ecuaciones literales Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por "x" para despejarla. Ejemplo: Graficas de ecuaciones lineales Intercepta, pendiente y ecuación de la recta Las ecuaciones lineales son siempre de la forma: y = mx + b Donde m es la pendiente y la b es el intercepto en y. El intercepto en y esta expresada por: (0, b) y es donde la recta corta el eje de y El intercepto en x esta expresada por: (a, 0) y es donde la recta corta el eje de x. Digamos que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7. Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y. Con los resultados se formaran los puntos de la gráfica de la siguiente manera: Ej. Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x, los valores de -2, -1, 0, 1 y 2 x y -2 -1 0 1
  76. 76. 2 Y = 3x + 7 Y = 3(-2) + 7 [Cuando la x es -2, la y es 1] Y = -6 + 7 Y = 1 Y = 3x + 7 Y = 3(-1) + 7 [Cuando la x es -1, la y es 4] Y = -3 + 7 Y =4 Y = 3x + 7 Y = 3(0) + 7 [Cuando la x es 0, la y es 7] Y = 0 + 7 Y = 7 Y = 3x + 7 Y=3(1) + 7 Y= 3 + 7 Y = 10 [Cuando la x es 1, la y es 10] Y = 3x + 7 Y= 3(2) + 7 Y= 6 + 7 Y = 13 [Cuando la x es 2, la y es 13] x y -2 1 -1 4 0 7
  77. 77. 1 10 2 13 Y así se resuelve con cada valor que le quieras dar a la x de la tabla. Es por esto que x se llama la variable independiente, ya que le puedes dar cualquier valor de su dominio, que son los valores permitidos para la x. En el caso de está ecuación lineal, x puede ser cualquier número real, pero en nuestro estudio se encontrarán ecuaciones que tienen restricciones en su dominio. Veamos cómo queda la gráfica de la ecuación y = 3x + 7. (Ver Parte (Rivera, 2002) Bibliografía LINEA, PROFESRO EN. 2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA. [En línea] 01 de 08 de 2013. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html. Rivera, Melissa Murrias y Dra. Luz M. 2002. Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce . Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce . [En línea] 09 de 2002. http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html Sistemas de ecuaciones Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones. Por ejemplo, las ecuaciones: forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. El conjunto de ecuaciones: forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
  78. 78. Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema. Por ejemplo, es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de segundo grado, porque el mayor exponente es 2 (la x e y al cuadrado). Este sistema con ecuaciones de segundo grado se llaman también sistema de ecuaciones cuadráticas. El sistema de ecuaciones es de primer grado con dos incógnitas (porque todos los valores están elevados a 1, que no se escribe). Cuando el sistema de ecuaciones es de primer grado y además no aparecen términos con las incógnitas multiplicadas entre sí(tipo x • y) se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo sistemas Para resolver un sistema de ecuaciones existen los siguientes métodos: Método de sustitución Lo que debemos hacer: 1.- Despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones. 2.- Sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación. 3.- Resolver la ecuación resultante. 4.- Calcular la otra incógnita en la ecuación despejada. Ejemplo: Resolver Se despeja x en la segunda ecuación: x = 8 – 2y
  79. 79. Se sustituyen en la primera ecuación: 3(8 – 2y) – 4y = – 6 Operando: 24 − 6y − 4y = − 6 24 – 10y = – 6 − 10y = − 6 − 24 − 10y = − 30 Se resuelve: y = 3 Se sustituye este valor en la segunda: x + 2(3) = 8 x + 6 = 8 x = 8 – 6 = 2 Solución del sistema: x = 2, y = 3 Método de reducción Lo que debemos hacer: 1.- Se igualan los coeficientes de una incógnita, salvo el signo, eligiendo un múltiplo común de ambos. 2.- Puede ser el producto de los coeficientes de esa incógnita. 3.- Se suman o restan, según convenga, las ecuaciones. 4.- Se resuelve la ecuación de primer grado resultante. 5.- Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema. Ejemplo:
  80. 80. Resolver Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra (la y). Luego hacemos lo mismo con la y. Se elimina la x: Se elimina la y: Ver: PSU: Matemática; Pregunta 26_2010 Método de igualación Lo que debemos hacer: 1.- Se despeja una de las incógnitas en ambas ecuaciones. 2.- Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3.- Se resuelve la ecuación resultante. 4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5.- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo: Resolver Despejamos x en la primera ecuación: Despejamos x en la segunda ecuación: x = –1 – 2y Igualamos ambas expresiones:
  81. 81. :Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación: x = 3 + 2(−1) x = 3 − 2 x = 1 Solución del sistema: x = 1, y = –1 Otro ejemplo: Resolver, por el método de igualación, el sistema Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: Igualamos ambas expresiones: Luego, resolvemos la ecuación: Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x: (LINEA, 2013) Bibliografía LINEA, PROFESRO EN. 2013. PROFESOR EN LINEA. PROFESOR EN LINEA. [En línea] 01 de 08 de 2013. http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Algebra_Fracciones.html. Rivera, Melissa Murrias y Dra. Luz M. 2002. Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce . Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce . [En línea] 09 de 2002. http://ponce.inter.edu/cremc/eclineal.html.
  82. 82. EJERCICIOS SISTEMA DE ECUACIONES 1.- Resolver la ecuación x² + 5x + 6 =0 δ₁ ●δ₂= 6 -> elemento libre δ₁ + δ₂= - 5 -> coeficiente de x, con signo opuesto. (x + 3)(x + 2) = 0; x₁ = - 3 y x₂ = - 2 2.- Resolvamos la ecuación. . x ² + 3x =0 Factorizando obtenemos: x ² + 3x = 0 X (x – 3) =0 Y aplicando la propiedad indicada, nos queda: x₁ = 0 ó.... x₂ – 3 =0 x₁= 0 ó....... x₂ = 3 3.- Resolver la ecuación 9 – (x – 6)²= 2x – 2 9–(x –6)² =2x–2 9 – (x² - 12 x + 36) = 2x – 2 >- x² + 12 x – 36 = 2x – 11 -x² + 10x – 25= 0 / -1 X² - 10x +25= 0
  83. 83. Factorizando y aplicando la propiedad indicada, nos queda: X² - 10x +25= 0 δ₁ ●δ₂= 25 -> elemento libre δ₁ + δ₂= 10 -> coeficiente de x, con signo opuesto. δ₁ δ₂ δ₁ ●δ₂ δ₁ + δ₂ -5 5 -25 10 5 -5 25 0 -5 -5 25 -10 (x – 5)(x – 5)= 0 X – 5 = 0 => x₁ = 5 X – 5 => x₂ = 5 4.- Resolvamos la ecuación.....5x² + 11x =0 5x² + 11x =0 => x (5x + 11) = 0 => x = 0 =>5 x + 11 = 0 = > X = - 11/5 5.- Resolvamos la ecuación...... x² - 64= 0 x² - 64= 0 ->x² - 8²= 0 Factorizando como suma por su diferencia nos queda: ð (x – 8) (x + 8) = 0 ð x₁ = 8 ð x₂= -8
  84. 84. 6.- Resolvamos la ecuación..... x² - 5=0 x² - 5= 0 ð) x² - (√5)² =0 ð (x - √5) (x + √5)=0 ð x₁ = √5 ð x₂ = - √5 7.- Resolvamos la ecuación....... 2 x² - 50 = 0 ð) 2 x² - 50 = 0 ð 2x² = 50 ð x² = 50/2 ð x² = 25 ð x = √25 ð x = ± 5 ð x₁= 5 ð x₂= - 5 8.- Resolvamos la ecuación.....49x² - 1= 0 49x² - 1= 0 . ð 49 x² =1 ð x²= 1/49 ð x = √1/49 ð x = ± 1/ 7 ð x₁= 1/7 ð x₂= -1/7 9.- Resolvamos la ecuación...x² - 9x - 22 – 0 x² - 9x - 22 – 0
  85. 85. ð δ₁ ●δ₂= - 22 -> elemento libre ð δ₁ + δ₂= 9 -> coeficiente de x, con signo opuesto. δ₁ δ₂ δ₁ ●δ δ₁ + δ₂ 11 2 22 13 -11 2 -22 -9 11 -2 -22 (x – 11)(x + 2)= 0 x₁= 11 x₂= -2 10.- Resolvamos la ecuación... x² - 7x – 18 = 0 x² - 7x – 18 = 0 ð δ₁ ●δ₂= - 18 -> elemento libre ð δ₁ + δ₂= 7 -> coeficiente de x, con signo opuesto. δ₁ δ₂ δ₁ ●δ₂ δ₁ + δ₂ - 6 3 -18 -3 -3 6 -18 3 9 -2 -18 7 -9 2 -18 -7 (x - 9)(x+2) = 0 x₁= 9; x₂= - 2 (2013) Bibliografía 2013. ECA Estudio y Centro de Aprendizaje . ECA Estudio y Centro de Aprendizaje . [En línea] 01 de 08 de 2013. http://eca-algebra-3-medio.blogspot.com/2010/08/ejercicios-resueltos- deecuacion.
  86. 86. html. FCUADRATICA. 2013. FCUADRATICA. FCUADRATICA. [En línea] 01 de 08 de 2013. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
  87. 87. Definición Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas: Intersección de la parábola con los ejes Intersección con el eje OY: Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parábola con el eje OY tendrá de coordenadas (0,c) Intersección con el eje OX: Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas: Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje OX en dos puntos. Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje OX en un punto (que será el vértice).
  88. 88. Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales yla parábola no cortará al eje OX. Resumen Toda función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c, representa una parábola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficiente a de x2. Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Si a > 0, las ramas van hacia arriba y si a < 0, hacia abajo. Cuanto más grande sea el valor absoluto de a, más cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje OY, que es el (0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuación ax2 + bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vértice es Xv = -b/2a. (FCUADRATICA, 2013) Bibliografía FCUADRATICA. 2013. FCUADRATICA. FCUADRATICA. [En línea] 01 de 08 de 2013.
  89. 89. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm

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